7.7(1)数列的极限
(上海)数学高二上册-7.7 数列的极限 课件
7.7.1 数列的极限
嘉定区第一中学 杨枝
an
(1)n 2bn来自1 ncn( 1)n 2
付出就要赢得回报，这是永恒的真理，自古以来很少有人能突破它。然而，如果有人能够超越它的限制，付出而不求回报，那么他一定会得到 得更多。 上天不会亏待努力的人，也不会同情假勤奋的人，你有多努力时光它知道。 与其你去排斥它已成的事实，你不如去接受它。 汗水是成功的润滑剂。 友谊是精神的融合，心灵的联姻，道德的纽结。——佩恩 每个企业家都有自己的特色和风格，但他们还有共同的特征，那就是：有正确的判断力，有决心，敢于创新，勤奋工作。 不可压倒一切，但你也不能被一切压倒。 内外相应，言行相称。——韩非 上辈子我欠你的，这辈子我来还，这辈子你欠我的，下辈子来还我。
沪教版高中数学高二上册第七章数列的极限课件
极限不存在
2.5
2
1.5
系列1 系列2 1
0.5
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
沪教版高中数学高二上册第七章数列 的极限 课件（ 公开课 课件）
例3. 判断下列数列是否存在极限，若存在求出极限
n, n 5
(2)an
1 n
,n
6
存在极限，
lim
n
an
0
6
5
4
3
系列1
2
1
0
0
2
4
6
8
10
12
an
0
(3) 1, 1,1, 1, , (1)n1,
极限不存在
例1. 判断下列数列是否存在极限，若存在求出极限
(4) 3,3,3, ,3,
存在极限，
lim
n
an
3
(5) 1, 2, 3, , n,
极限不存在
(6)
1 2
,
2 22
,
3 23
,
,
n 2n
,
存在极限，
lim
n
an
0
沪教版高中数学高二上册第七章数列 的极限 课件（ 公开课 课件）
lim
n
1 n2
lim
n
2 n
0 2 lim 1 0 0 0
n n
（2）lim 3n 4 n n
lim(3 4) lim 3 lim 4
n
n
n n n
3 4 lim 1 3 0 3 n n
沪教版高中数学高二上册第七章数列 的极限 课件（ 公开课 课件）
7.7-1数列极限的概念
最后,观察一下数列 2 ,4 ,6 ,8 , ,2 n , 的变化趋势.
yn
12
注
意
10
小
球
8
的
变
6
化
4
2
n
1 23 4 56 7
最后,观察一下数列 2 ,4 ,6 ,8 , ,2 n , 的变化趋势.
yn
12
10
正
8
在
演
6
示
4
2
n
1 23 4 56 7
最后,观察一下数列 2 ,4 ,6 ,8 , ,2 n , 的变化趋势.
小结 几个基本数列的极限
1.
lim 1 0
n n
2.
q1时 ,lim qn0
n
3.
c为常 ,lim c数 c
n
例题
1、判断下列数列是否有极限，如果有极限，给 出它的极限，如果没有极限，说明理由。
(1 ) 1 , 1 , 1 , 1 ,... 2345
(2 ) 3 ,3 ,3 ,3 ,... (3 ) 2 ,1,3 ,3 ,3 ,3 ,... (4 ) 1, 1 , 1 , 1 ,...
第一天截剩下
1; 2
第二天截剩下
1 22
;
第n天截剩下
1 2n
;
其长度组成的数列为 1, 1 ,, 1 ,
2 22 2n
其随着n无限的增加,木棒的长度无限的趋近于零
为了进一步了解数列的极限,下面我们再观察几 个数列随着 n的不断增大, 它能否趋向于一个常数.
先看数列 1,1,1,1, , 1,变化趋势演示
yn
12 10 8
6 4
显见小
球随着 n
2024高考数学数列的极限与收敛性
2024高考数学数列的极限与收敛性数列是数学中常见的概念，它是由一系列有序的数按照一定规律排列而成。
在数学中，数列的极限与收敛性是一个非常重要的内容，其在高考数学中也是一个常考的考点。
本文将介绍2024高考数学中与数列的极限与收敛性相关的知识点。
一、数列的收敛性在数学中，对于一个数列来说，如果它的数值随着项数的增加而逐渐接近某个确定的数，我们就称这个数列是收敛的。
那么数列的收敛性如何判断呢？1.1 通项公式要判断数列的收敛性，首先需要找到数列的通项公式。
通项公式可以表示数列中任意一项和项数之间的关系，能够帮助我们更好地研究数列的性质。
1.2 数列的极限数列的极限是指数列随着项数趋于无穷大时所趋近的值。
如果一个数列存在极限，我们就称这个数列是收敛的。
1.3 收敛数列的性质对于一个收敛数列来说，其有以下几个性质：- 收敛数列的极限是唯一的。
即使在数列中的某些项有相等的值，它们的极限也是相等的。
- 如果一个数列收敛，那么它一定是有界的。
也就是说，收敛数列的所有项都在某个范围内。
- 对于一个收敛数列，它的任意子数列也是收敛的，并且子数列的极限与原数列的极限相同。
二、数列的极限数列的极限是判断收敛性的重要依据。
如何确定一个数列的极限呢？2.1 数列极限的定义对于数列${a_n}$来说，如果存在一个常数$a$，对于任意给定的正数$\varepsilon$，总存在正整数$N$，使得当$n>N$时，成立$|a_n-a|<\varepsilon$，那么我们称数$a$是数列${a_n}$的极限。
2.2 数列极限的性质数列极限有以下几个重要的性质：- 如果一个数列存在极限，那么极限必定是有界的。
- 如果一个数列存在极限，那么极限必定是该数列的子数列的极限。
- 如果一个数列存在极限，并且极限为有限数，那么这个数列一定是收敛的。
三、数列极限的计算方法在高考数学中，计算数列的极限是一个常见的考点。
我们可以根据数列的性质和计算方法来求解数列的极限。
数列极限的知识点总结
数列极限的知识点总结一、数列极限的定义1.1 数列首先要了解数列的概念。
数列是由一系列按照一定顺序排列的数所组成的有序集合。
数列通常用符号{an}表示，其中an代表数列的第n个元素。
数列是数学中一种基本的数学概念，它在许多数学问题中都起着重要的作用。
1.2 数列极限接着要了解数列的极限。
数列{an}的极限是指当n趋向于无穷大时，数列中的元素an的值趋近于一个常数L，即lim(an) = L。
如果这样一个数L存在，那么我们就说数列{an}收敛，并且把L称为数列的极限，记作lim(an) = L。
如果这样一个数L不存在，那么我们就说数列{an}发散。
1.3 数列极限的形式化定义对于给定的数ε，如果存在一个正整数N，使得当n大于N时，|an - L| < ε恒成立，那么称L是数列{an}的极限。
这样的N存在的话，就称这N是数L和ε的函数。
1.4 无穷大数列如果数列{an}中的元素an当n趋向于无穷大时，它的绝对值|an|趋向于无穷大，那么就称数列{an}是无穷大的。
对于无穷大数列，我们通常用符号lim(an) = ±∞来表示。
1.5 注意事项在讨论数列极限的问题时，需要注意以下几点：1) 数列的极限可能是一个有限的常数，也可能是无穷大。
2) 一般来说，数列的极限不一定存在，也可能有多个极限（一般在不同n的取值范围内）。
3) 要特别注意当n趋于无穷大时，数列中的元素an的绝对值的行为，关系到数列是否是无穷大数列。
以上是数列极限的基本概念和定义，下面我们将介绍数列极限的相关性质。
二、数列极限的相关性质2.1 唯一性如果数列{an}收敛，那么它的极限是唯一的。
换句话说，如果lim(an) = L1和lim(an) = L2，那么L1 = L2。
2.2 有界性如果数列{an}收敛，那么它一定是有界的，即存在一个正实数M，使得|an| < M（n∈N）。
2.3 保号性如果数列{an}收敛到一个有限的极限L，那么当n充分大时，数列{an}的元素和L有相同的正负号。
高中数学中的数列极限知识点总结
高中数学中的数列极限知识点总结数列是高中数学中的重要概念，而数列的极限是数学分析的核心内容之一。
我们在学习数列时，需要理解和掌握数列极限的相关概念和性质，以提升数学思维和解题能力。
本文将对高中数学中的数列极限知识点进行总结，并提供一些例题进行讲解。
1. 数列与数列极限的基本概念数列是由一列数按照一定规律排列而成的，可以用数学公式表示为 {an}，其中n表示序号，an表示第n项。
对于数列来说，我们常常关注的是数列的极限。
数列极限是指数列在无限项情况下逐渐接近的数值，可以用极限符号lim表示。
当数列的极限存在时，我们可以通过计算极限值来求解相关问题。
2. 数列极限的性质数列极限具有以下性质：(1) 唯一性：数列的极限值唯一，即一个数列只有唯一一个极限值。
(2) 有界性：如果数列有极限，那么它一定是有界的，即数列的项在某一范围内。
(3) 保号性：如果数列的极限值大于0（或小于0），那么数列的部分项也大于0（或小于0），反之亦然。
(4) 夹逼性：如果数列的每一项都被两个趋于相同极限的数列夹逼，那么它们的极限也相同。
3. 数列极限的计算方法在实际运用中，我们常常需要计算数列的极限。
对于一些简单的数列，我们可以通过常用的计算方法求解。
(1) 常数数列的极限等于该数列的常数项。
例如：数列 {an} = {2, 2, 2, ...} 的极限等于2。
(2) 等差数列的极限等于首项（a1）。
例如：数列 {an} = {1, 3, 5, ...} 的极限等于1。
(3) 等比数列的极限在一定条件下存在，存在时等于首项乘以公比（ |r| < 1）。
例如：数列 {an} = {2, 1, 0.5, ...} 的极限等于0。
4. 数列极限的收敛与发散数列极限可以分为收敛和发散两种情况。
(1) 收敛：如果数列的极限存在，我们称数列是收敛的。
(2) 发散：如果数列的极限不存在，我们称数列是发散的。
例如：数列 {an} = {1, -1, 1, -1, ...} 是发散的，因为其极限不存在。
数列极限-PPT精选文档
2.几个重要极限：
1 0 limC C （C为常数） lim n n n
q 0 当 q 1 时 lim n
n
3．我们可以将an看成是n的函数即an=f(n),n∈N*,an就
是一个特殊的函数，对于一般的函数f(x) x∈R是否有同
样的结论？
3、数列极限的运算法则 lim bn=B 如果 lim an=A，
n
n 1
例2：已) 5 a n b n
2
求常数a、b、c的值。
例3．已知数列{ an }是由正数构成的数列， a1=3，且满足于lgan =lgan-1 +lgc，其中 n 是 大于1的整数，c 是正数
（１）求数列{ an }的通项公式及前n项和Sn
例1：求下列极限
2n n7 (1 )lim 2 5 n 7 n
2
(2 )lim ( n nn )
2 n
2 4 2 n 2 . . . . . 2) ( 3 ) l i m (n 2 n n n
a ( 1 a ) ( 1 a) ( a 1 ) ( 4 ) l i m n 1 n 1 a ) ( 1 a ) . . . . . . . . . . . n a (
2 a n 求 的 值 （2） lim n n 2 a n 1
n 1
课堂小结 1、极限的四则运算，要特别注意四则运 算的条件是否满足。
2.几个重要极限：
limC C （C为常数）
n
1 lim 0 n n
q 0 当 q 1 时 lim n
n
2、本节复习内容是数列极限在代数，平 面几何、三角、解析几何中的综合应用， a1 尤其要注意公式S= 的运用。 1 q
(上海)数学高二上册-7.7 数列的极限(一) 课件
[举例]
数列an
5, 7,
1 n 1000 n N* 的极限是什么？
n 1001
【问题四】有极限的数列中每一项值的大小有什么变化规律？
（请学生举例说明）递增；递减；摆动；恒定。
【问题五】数列极限的值可否有两个或更多？
[举例] 数列{0,1,0,1,...0,1,...}的极限是什么？
返回
3.例题讲解
【问题一】有穷数列是否有极限？
[举例]
数列{1, 1 , 1 ,... 1 }的极限是什么？ 2 3 10
【问题二】“无限趋近”能否用“越来越接近”替代？
[举例]
数列{1, 1 , 1 ,...1 ,...}越来越接近 0.01,则该数列的极限为 0.01是否正确？ 23 n
【问题三】改变数列前面有限项的值，该数列的极限是否改变？
(2) lim 1 0 n n
(3) lim C C（C为常数） n
返回
4.应用举例——(2)列表判断
例3.
已知数列{an}的通项公式是
an
2n 1， n
填表并判断该数列是否有极限。
n 1 2 3 … 10 … 100 … 1000 … an |an-2|
结合“|an-A|无限趋近于零”与“an无限趋近于A” 的意义相同，来判断数列的极限是否存在。
7.7 数列的极限（一）
返回
割圆术
返回
1.新课引入
数列的极限
身边的“极限”
历史上的“极限”
（1）极限运动 （2）液体浓度 （3）文学作品
（1）一尺之锤 （2）割圆术 （3）穷竭法
2.新知构建——(1)观察分析
观察以下数列在n无限增大时的变化趋势：
（1）
7.7数列的极限
1
an n
2
1
2
3
4
5
6
7
8
…
项
1
2
1
4
1
8
1
16
1
32
1
64
1
128
1
256
…
an
| − |
0.5
0.25
0.125
0.0625
0.03125
0.015625
0.0078125
0.00390625
…
……
7.7 数列的极限
Limits of Sequences
……
1 1 1 1 1
, , , , ,
2 4 8 16 32
n
,
1
,
2
圆周率=圆周与直径的比值
=直径为1的圆的周长
先秦 "周三径一"
魏晋时期
刘徽
直径为1的圆的周长
割圆术
正六边形
正六边形
正十二边形
正六边形
正十二边形
正二十四边形
割圆术
a1
割之弥细，所失弥少，
割之又割，以至于不可割，
一个变量趋于一个
固定量，趋于程度
小于任何给定量。
18世纪
19世纪
创立了
微积分
达朗贝尔
（ 1717 － 1783 ）
拓展：极限的发展史
公元前300多年前
朴素的
直观的
极限观
当一个变量逐次所取的
值无限趋于一个定值，
最终使变量的值和该定
值之差要多小就多小，
这个定值就叫做所有其
《数列极限》课件
数列极限的求法和定理
夹逼定理
当数列中的部分项趋近于某值 时，可以用夹逼定理计算数列 极限。
单调有界性原理
针对单调有界数列极限计算， 有效避免无关项的干扰。
等比数列求和公式
等比数列常用求和公式是根据 数列的公比、项数和首项等参 数来计算其总和。
数Байду номын сангаас极限的应用
1
概率论
数列极限可以用于计算连续抛硬币等随机事件的概率。
2
微积分
通过数列极限的积分运算，在空间形体的计算上取得模型化精确结果。
3
金融学
通过数列极限的公式及定理，对于计息的时间长度和贷款利率有精确的计算方法。
数列极限和函数极限的关系
概念解释
数列极限和函数极限都是极 限概念，数列极限为数列中 每一项趋向于某个常数值， 函数极限为自变量无限接近 某一值时因变量所趋向的极 限值。
《数列极限》PPT课件
欢迎大家来学习本课程，我们将深入了解数列极限的概念及应用，同时带您 领略数学的神奇之处。
数列极限概述
1 数列
数列就是按照一定次序排 列的一列数。
2 收敛与发散
数列收敛是指数列的值无 限地靠近某个数，发散表 示数列的值趋于正无穷或 负无穷。
3 应用
数列极限有诸如杨辉三角、 黄金分割数等数学问题的 解决方法。
针对实际问题，通过数列极限相 应的公式和求值技巧得出定量结 果。
数列的定义及分类
等差数列
其数列中每一项与前一项之差相 等。
等比数列
其数列中每一项与前一项之比相 等。
斐波那契数列
其数列中每一项都等于前两项之 和。
数列极限的定义和性质
1 数列极限的定义
数列极限是 指随着数列项数的增加，数列中 的每一项趋近于某个确定的常数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
an 1 ，n为奇数 n
n （3） ，n为偶数 n 1 an 1 ，n为奇数 n
思考题：
1 的前面添加1，2，3，4，， 1、在数列
100构成新数列，则新数列极限发生了变化吗？ 2、若数列{an} 与{bn}的极限存在，它们的 和、差、积、商构成的新数列极限存在吗？
数列的极限
一.引入
1.战国时代哲学家庄周所著的《庄子· 天下
篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取 其半，万世不竭。”
2.请画出数列 什么特征？
的图像，并观察图像有
——数列的极限
二.概念讲解
三.例题讲解
1. （1）判断数列2，2，2，…，2（共10万个），是 否有极限，并说明理由 解：没有。因为此数列不是无穷数列。 （2）已知无穷数列 ，判断数列 是否有 极限，若有则加以证明，若无则说明理由。
n 2
若存在，极限是什么？
拓展
割之弥细， 所失弥少，割 之又割，以至 于不可割，则 与圆合体而无 所失矣.
三国时的刘徽提出的 的方法.他把圆周分 “割圆求周” 成三等分、六等分、十二等分、二十四等分、· · · 这样继续 分割下去,所得多边形的周长就无限接近于圆的周长.
刘徽割圆术:“割之弥细，所失弥少，割之又割， 以致于不可割，则与圆合体，而无所失矣。”
2. 判断数列
有没有极限，并说明理由。
判断下列数列是否存在极限
1 (1)an n 3 1 n (2) an ( ) 3 (3)an 3n (4) an ( 3)
n
试讨论an q 的极限情况
n
练习：研究下列数列的极限情况：
10n ,1 n 10 1 an 1 , n 11, n N n
直径为1的圆：
正三角形
正六边形
正十二边形
四.小结
五.作业
• 练习册 P17 EX1~4 • 《伴你成长》P56~57