转动惯量计算方法

实验三刚体转动惯量的测定

转动惯量是刚体转动中惯性大小的量度。它与刚体的质量、形状大小和转轴的位置有关。形状简单的刚体，可以通过数学计算求得其绕定轴的转动惯量；而形状复杂的刚体的转动惯量，则大都采用实验方法测定。下面介绍一种用刚体转动实验仪测定刚体的转动惯量的方法。

实验目的：

1、理解并掌握根据转动定律测转动惯量的方法；

2、熟悉电子毫秒计的使用。

实验仪器：

刚体转动惯量实验仪、通用电脑式毫秒计。

仪器描述：

刚体转动惯量实验仪如图一，转动体系由十字型承物台、绕线塔轮、遮光细棒等（含小滑轮）组成。遮光棒随体系转动，依次通过光电门，每π弧度（半圈）遮光电门一次的光以计数、计时。塔轮上有五个不同半径（r）的绕线轮。砝码钩上可以放置不同数量的砝码，以获得不同的外力矩。

实验原理：

空实验台（仅有承物台）对于中垂轴OO’的转动惯量用J o表示，加上试样（被测物体）后的总转动惯量用J表示，则试样的转动惯量J1：

J1 = J –J o (1)

由刚体的转动定律可知：

T r – M r = J α (2) 其中M r 为摩擦力矩。

而 T = m(g -r α) (3) 其中 m —— 砝码质量 g —— 重力加速度 α —— 角加速度 T —— 张力

1． 测量承物台的转动惯量J o

未加试件，未加外力（m=0 , T=0）

令其转动后，在M r 的作用下，体系将作匀减速转动，α=α1，有 -M r1 = J o α1 (4) 加外力后，令α =α2

m(g –r α2)r –M r1 = J o α2 (5) （4）（5）式联立得

J o =

21

2212mr mgr

ααααα--- (6)

测出α1 , α2，由（6）式即可得J o 。

2． 测量承物台放上试样后的总转动惯量J ，原理与1.相似。加试样后，有 -M r2=J α3 (7) m(g –r α4)r –Mr 2= J α4 (8)

∴ J =

23

4434mr mgr ααααα---

(9)

注意：α1 , α3值实为负，因此（6）、（9）式中的分母实为相加。

3． 测量的原理

设转动体系的初角速度为ωo ，t = 0 时θ= 0 ∵ θ=ωo t + 2

2

1t α (10)

测得与θ1 , θ2相应的时间t 1 , t 2

由 θ1=ωo t 1 + 2121t α (11)

θ2=ωo t 2 + 2

22

1t α (12)

得 2

2112

22112)

(2t t t t t t --=

θθα (13) ∵ t = 0时，计时次数k=1（θ=л时，k = 2） ∴ []2

2

11222112)1()1(2t t t t t k t k ----=

πα (14) k 的取值不局限于固定的k 1 , k 2两个，一般取k =1 , 2 , 3 , …,30,…

实验方法：

本实验采用HMS-2型“通用电脑式毫秒计”来测量k 及其相应的t 值，毫秒计的使用

方法见本实验附录。

先完成砝码的挂接和绕线，然后复位毫秒计，放开砝码。砝码在重力作用下带动体系加速转动。 “毫秒计”将自动记下k 及其相应的t 值。由式（14）即得α2。待砝码挂线自动脱离后，即可接着测α1。所以,实验一次即可完成对体系的转动惯量J 的测量。

此时应注意两点：①、从测α2到测α1的计时分界处要记清，处理数据时不能混杂；②、测α1的开始时间虽然可以选为较远地离开分界处，但以后的每个时间的数据都必须减去开始的时间数值。

α3 , α 4 的测量方法与α1 , α 2相同。

实验步骤：

1、 按（图一）安装调试好仪器，细线的一端连结钩挂砝码6，另一端打一适当大小的结塞入塔轮3的缝中，绕线于塔轮时应单层逐次排列。线的长度应使砝码触地前一点点脱离

塔轮。选取塔轮半径r = 2.5×10-2m ，砝码质量m = 6.0×10-2

kg 当实验台离地面高度为h 时，有h =

r k π22

'

⨯，式中k ，为每半圈记一次时间的数目，k’ = k –1 . 通过该式适当选取h ，使k ’≤10为加速；k ’>10为减速。一般选k ’ > 13进行

计算。

2、测量承物台的转动惯量J 0 o

参阅[实验方法]中的说明及后面附录“HMS-2型通用电脑式毫秒计”使用说明。记

录每一值对应时间于下表。

选取不同的12及对应的12值代入（14）即可求得α1和α2，将α1α2再代入（6）即可计算出此承物台的转动惯量J o 。 注意：

（1） 计算α2时，将数据分成四组，按等权原则，取

k 1= 2, 3, 4, 5时对应的k 2分别为 k 2 = 6, 7, 8, 9（即Δk = k 2 – k 1 = 4）, 按公式（14）进行计算。

即由 []2

2112

22112)1()1(2t t t t t k t k ----=

πα 求出α21

, α

22

, α23 ,α24 , 再求得2α。

（2） 同理计算α1时，也将数据分成四组，按等权原则，取

k’1 = 2, 3, 4, 5时对应的k ,2分别为 k’2 = 6, 7, 8, 9 按公式（14）进行计算，得出α

11

, α

12

, α13 ,α14 ,再求得1α（此时k’ = k –15

即取k=15时 t’= 0）

1． 测量试样的转动惯量J 1

将待测试样放至承物台上，按上面2中测量方法，可测得系统（承物台加待测试

样）的转动惯量J 。

由式（1）

J 1 = J - J o 可求出待测试样的转动惯量。 待测试样

（1） 铝环 （2） 铝圆盘

*（3）移轴砝码（两个）：对称地倒插于承物台十字架的小孔内，两砝码距离2X ,取值分别为

a. 2X 1= 10cm

b. 2X 2= 20cm

计算公式：

1． 质量均匀分布的圆环，总质量为M ，外径、内径分别为D 1、D 2，则对通过中心与环

面垂直的转轴的转动惯量

)(8

12

221D D M J +=

(15) 2． 若为圆盘试样，上式的D 2=0，即 28

1

MD J =

(16) D 为圆盘的直径