最新版高考理数全国卷2

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2024年高考新课标全国Ⅱ卷数学真题卷(含答案与解析)

2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标II 卷）数学本试卷共10页，19小题，满分150分.注意事项：1 .答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3. 填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的・请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1. 已知z = —1 —i,则（）A. 0B. 1C. V2D. 22. 已知命题p ： Vx e R , x +11> 1 ；命题 q ： > 0 , x 3 = x ，贝I （）A. p 和q 都是真命题B. ~^P 和q 都是真命题C. p 和「0都是真命题D. F 和「0都是真命题3. 已知向量口,直满足|4 = 1J q + 2，= 2,且— 则料=（）A. |B. —C.匝D. 12 2 24. 某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg ）并部分整理下表据表中数据，结论中正确的是（）亩产量[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1100,1150)[1150,1200)频数612182410A. 100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB.100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%C.100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间5.已知曲线C：x2+y2=16(歹>0),从。

全国2卷理科数学与答案

普通高等学校招生全国统一考试（Ⅱ卷）逐题解析欧阳学文理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

【题目1】(·新课标全国Ⅱ卷理1)1.（）A． B． C． D．【命题意图】本题主要考查复数的四则运算及共轭复数的概念，意在考查学生的运算能力.【解析】解法一：常规解法解法二：对十法可以拆成两组分式数，运算的结果应为形式，（分子十字相乘，分母为底层数字平方和），（分子对位之积差，分母为底层数字平方和）.解法三：分离常数法解法四：参数法，解得故【知识拓展】复数属于新课标必考点，考复数的四则运算的年份较多，复数考点有五：1.复数的几何意义（）；2.复数的四则运算；3.复数的相等的充要条件；4.复数的分类及共轭复数；5.复数的模【题目2】(·新课标全国Ⅱ卷理2)2.设集合，．若，则（）A． B． C． D．【命题意图】本题主要考查一元二次方程的解法及集合的基本运算，以考查考生的运算能力为目的.【解析】解法一：常规解法∵∴1是方程的一个根，即，∴故解法二：韦达定理法∵∴1是方程的一个根，∴ 利用伟大定理可知：，解得：，故解法三：排除法∵集合中的元素必是方程方程的根，∴，从四个选项A﹑B﹑C﹑D看只有C选项满足题意.【知识拓展】集合属于新课标必考点，属于函数范畴，常与解方程﹑求定义域和值域﹑数集意义相结合，集合考点有二：1.集合间的基本关系；2.集合的基本运算.【题目3】(·新课标全国Ⅱ卷理3)3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏【命题意图】本题主要考查等比数列通向公式及其前项和，以考查考生的运算能力为主目的.【解析】解法一：常规解法一座7层塔共挂了381盏灯，即；相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，即，塔的顶层为；由等比前项和可知：，解得.解法二：边界效应等比数列为递增数列，则有，∴，解得，∴.【知识拓展】数列属于高考必考考点，一般占10分或12分，即两道小题或一道大题，其中必有一道小题属于基础题，一道中档偏上题或压轴题，大题在17题出现，属于基础题型，高考所占分值较大，在高中教学中列为重点讲解内容，也是大部分学生的难点，主要是平时教学题型难度严重偏离高考考试难度，以及研究题型偏离命题方向，希望能引起注意；考试主线非常明晰，1.等差数列通向公式及其前项和；2. 等比数列通向公式及其前项和.【题目4】(·新课标全国Ⅱ卷理4)4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，学科&网粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（）A ．B ．C ．D ．【命题意图】本题主要考查简单几何体三视图及体积，以考查考生的空间想象能力为主目的.【解析】解法一：常规解法从三视图可知：一个圆柱被一截面截取一部分而剩余的部分，具体图像如下：切割前圆柱切割中切割后几何体从上图可以清晰的可出剩余几何体形状，该几何体的体积分成两部分，部分图如下：从左图可知：剩下的体积分上下两部分阴影的体积，下面阴影的体积为，，，∴；上面阴影的体积是上面部分体积的一半，即，与的比为高的比（同底），即，，故总体积.第二种体积求法：，其余同上，故总体积.【知识拓展】三视图属于高考必考点，几乎年年考三视图，题型一般有五方面，1.求体积；2.求面积（表面积，侧面积等）；3.求棱长；4.视图本质考查（推断视图，展开图，空间直角坐标系视图）；5.视图与球体综合联立，其中前三个方面考的较多.【题目5】(·新课标全国Ⅱ卷理5)5.设，满足约束条件，则的最小值是（）A． B． C． D．【命题意图】本题主要考查线性规划问题，以考查考生数形结合的数学思想方法运用为目的，属于过渡中档题.【解析】解法一：常规解法根据约束条件画出可行域（图中阴影部分）, 作直线，平移直线，将直线平移到点处最小，点的坐标为，将点的坐标代到目标函数，可得，即.解法二：直接求法对于封闭的可行域，我们可以直接求三条直线的交点，代入目标函数中，三个数种选其最小的为最小值即可，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，所求值分别为﹑﹑，故，.解法三：隔板法首先看约束条件方程的斜率约束条件方程的斜率分别为﹑﹑；y = 32x +3y 3=02x 3y +3=0其次排序按照坐标系位置排序﹑﹑；再次看目标函数的斜率和前的系数看目标函数的斜率和前的系数分别为﹑；最后画初始位置，跳格，找到最小值点目标函数的斜率在之间，即为初始位置，前的系数为正，则按逆时针旋转，第一格为最大值点，即，第二个格为最小值点，即，只需解斜率为和这两条线的交点即可，其实就是点，点的坐标为，将点的坐标代到目标函数，可得，即.【知识拓展】线性规划属于不等式范围，是高考必考考点，常考查数学的数形结合能力，一般变化只在两个方向变化，1.约束条件的变化；2.目标函数的变化；约束条件变化从封闭程度方面变化，目标函数则从方程的几何意义上变化，但此题型属于高考热点题型（已知封闭的约束条件，求已知的二元一次方程目标函数），此题型属于过渡中档题，只需多积累各题型解决的方法即可.【题目6】(·新课标全国Ⅱ卷理6)6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A．12种B．18种C．24种D．36种【命题意图】本题主要考查基本计数原理的应用，以考查考生的逻辑分析能力和运算求解能力为主.【解析】解法一：分组分配之分人首先分组将三人分成两组，一组为三个人，有种可能，另外一组从三人在选调一人，有种可能；其次排序两组前后在排序，在对位找工作即可，有种可能；共计有36种可能.解法二：分组分配之分工作工作分成三份有种可能，在把三组工作分给3个人有可能，共计有36种可能.解法三：分组分配之人与工作互动先让先个人个完成一项工作，有种可能，剩下的一项工作在有3人中一人完成有种可能，但由两项工作人数相同，所以要除以，共计有36种可能.解法四：占位法其中必有一个完成两项工作，选出此人，让其先占位，即有中可能；剩下的两项工作由剩下的两个人去完成，即有种可能，按分步计数原理求得结果为36种可能.解法五：隔板法和环桌排列首先让其环桌排列，在插两个隔板，有种可能，在分配给3人工作有种可能，按分步计数原理求得结果为36种可能.【知识拓展】计数原理属于必考考点，常考题型有1.排列组合；2.二项式定理，几乎二者是隔一年或隔两年交互出题，排列组合这种排序问题常考，已经属于高考常态，利用二项式定理求某一项的系数或求奇偶项和也已经属于高考常态，尤其是利用二项式定理求某一项的系数更为突出.【题目7】(·新课标全国Ⅱ卷理7)7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，学科&网给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩【命题意图】本题考查推理与证明的有关知识，考查考生推理论证能力.【解析】解法一：假设法甲看乙﹑丙成绩，甲不知道自己的成绩，那么乙﹑丙成绩中有一人为优，一人为良；乙已经知道自己的成绩要么良，要么优，丙同样也是，当乙看到丙的成绩，一定知道自己的成绩，但是丙一定不知道自己的成绩；而丁同学也知道自己的成绩要么良，要么优，只有看到甲的成绩，才能判断自己的成绩，丁同学也一定知道自己的成绩，故只有乙﹑丁两位同学知道自己的成绩.解法二：选项代入法当我们不知道如何下手,则从选项入手，一一假定成立，来验证我们的假设是否成立，略【知识拓展】推理与证明近两年属于热点考题，的第15题（理）﹑第16题（文），今年的理（7）﹑文（9），属于创新题，突出新颖，但题的难度不大，需要考生冷静的思考，抓住主要知识要点，从而能够快速做题，属于中档题.【题目8】(·新课标全国Ⅱ卷理8)8.执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的（）A．2 B．3 C．4 D．5【命题意图】本题考查程序框图的知识，意在考查考生对循环结构的理解与应用.【解析】解法一：常规解法∵，，，，，∴ 执行第一次循环：﹑﹑；执行第二次循环：﹑﹑；执行第三次循环：﹑﹑；执行第四次循环：﹑﹑；执行第五次循环：﹑﹑；执行第五次循环：﹑﹑；当时，终止循环，输出，故输出值为3.解法二：数列法，，裂项相消可得；执行第一次循环：﹑﹑，当时，即可终止，，即，故输出值为3.【题目9】(·新课标全国Ⅱ卷理9)9.若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（）A．2 B． C． D．【命题意图】主要考查双曲线的性质及直线与圆的位置关系，意在考查考生的转化与化归思想.【解析】解法一：常规解法根据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为，根据直线与圆的位置关系可求得圆心到渐进线的距离为，∴ 圆心到渐近线的距离为，即，解得.解法二：待定系数法设渐进线的方程为，根据直线与圆的位置关系可求得圆心到渐进线的距离为，∴ 圆心到渐近线的距离为，即，解得；由于渐近线的斜率与离心率关系为，解得.解法三：几何法从题意可知：，为等边三角形，所以一条渐近线的倾斜较为，由于，可得，渐近线的斜率与离心率关系为，解得.解法四：坐标系转化法根据圆的直角坐标系方程：，可得极坐标方程，由可得极角，从上图可知：渐近线的倾斜角与圆的极坐标方程中的极角相等，所以，渐近线的斜率与离心率关系为，解得.解法五：参数法之直线参数方程如上图，根据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为，可以表示点的坐标为，∵，∴点的坐标为，代入圆方程中，解得.【知识拓展】双曲线已成为高考必考的圆锥曲线内容（理科），一般与三角形﹑直线与圆﹑向量相结合，属于中档偏上的题，但随着二卷回归基础的趋势，圆锥曲线小题虽然处于中档题偏上位置，但难度逐年下降.【题目10】(·新课标全国Ⅱ卷理10)10.已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．【命题意图】本题考查立体几何中的异面直线角度的求解，意在考查考生的空间想象能力【解析】解法一：常规解法在边﹑﹑﹑上分别取中点﹑﹑﹑，并相互连接.由三角形中位线定理和平行线平移功能，异面直线和所成的夹角为或其补角，通过几何关系求得，，，利用余弦定理可求得异面直线和所成的夹角余弦值为.解法二：补形通过补形之后可知：或其补角为异面直线和所成的角，通过几何关系可知：，，，由勾股定理或余弦定理可得异面直线和所成的夹角余弦值为.解法三：建系建立如左图的空间直角坐标系，，，，∴，∴解法四：投影平移三垂线定理设异面直线和所成的夹角为利用三垂线定理可知：异面直线和所成的夹角余弦值为.【知识拓展】立体几何位置关系中角度问题一直是理科的热点问题，也是高频考点，证明的方法大体有两个方向：1.几何法；2.建系；几何法步骤简洁，但不易想到；建系容易想到，但计算量偏大，平时复习应注意各方法优势和不足，做到胸有成竹，方能事半功倍.【题目11】(·新课标全国Ⅱ卷理11)11.若是函数的极值点，则的极小值为（）A. B. C. D.1【命题意图】本题主要考查导数的极值概念及其极大值与极小值判定条件，意在考查考生的运算求解能力.【解析】解法一：常规解法∵∴ 导函数∵∴∴导函数令，∴，当变化时，，随变化情况如下表：++0 0极大值极小值从上表可知：极小值为.【知识拓展】导数是高考重点考查的对象，极值点的问题是非常重要考点之一，大题﹑小题都会考查，属于压轴题，但难度在逐年降低.【题目12】(·新课标全国Ⅱ卷理12)12.已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（）A. B. C. D.【命题意图】本题主要考查等边三角形的性质及平面向量的线性运算﹑数量积，意在考查考生转化与化归思想和运算求解能力【解析】解法一：建系法，连接，，，∴∴∴，∴∴最小值为解法二：均值法∵，∴由上图可知：；两边平方可得∵，∴∴，∴最小值为解法三：配凑法∵∴∴最小值为【知识拓展】三角形与向量结合的题属于高考经典题，一般在压轴题出现，解决此类问题的通法就是建系法，比较直接，易想，但有时计算量偏大.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高考全国卷2数学理科试卷及答案

高考全国卷2数学理科试卷及答案1234567果实饱满鲜嫩水灵鸽子、燕子象征和平乳燕初飞婉转悦耳莺歌燕舞翩然归来麻雀、喜鹊枝头嬉戏灰不溜秋叽叽喳喳鹦鹉鹦鹉学舌婉转悦耳笨嘴学舌啄木鸟利嘴如铁钢爪如钉鸡鸭鹅神气活现昂首挺胸肥大丰满自由自在引吭高歌马腾空而起狂奔飞驰膘肥体壮昂首嘶鸣牛瘦骨嶙峋行动迟缓俯首帖耳膘肥体壮车川流不息呼啸而过穿梭往来缓缓驶离船一叶扁舟扬帆远航乘风破浪雾海夜航追波逐浪飞机划破云层直冲云霄穿云而过银鹰展翅学习用品美观实用小巧玲珑造型优美设计独特玩具栩栩如生活泼可爱惹人喜爱爱不释手彩虹雨后彩虹彩桥横空若隐若现光芒万丈雪大雪纷飞大雪封山鹅毛大雪漫天飞雪瑞雪纷飞林海雪原风雪交加霜雪上加霜寒霜袭人霜林尽染露垂露欲滴朝露晶莹日出露干雷电电光石火雷电大作惊天动地春雷滚滚电劈石击雷电交加小雨阴雨连绵牛毛细雨秋雨连绵随风飘洒大雨倾盆大雨狂风暴雨大雨滂沱瓢泼大雨大雨淋漓暴雨如注风秋风送爽金风送爽北风呼啸微风习习寒风刺骨风和日丽雾大雾迷途云雾茫茫雾似轻纱风吹雾散云消雾散云彩云满天天高云淡乌云翻滚彤云密，布霞彩霞缤纷晚霞如火朝霞灿烂丹霞似锦星最远的地方：天涯海角最远的分离：天壤之别最重的话：一言九鼎最可靠的话：一言为定其它成语一、描写人的品质：平易近人宽宏大度冰清玉洁持之以恒锲而不舍废寝忘食大义凛然临危不俱光明磊落不屈不挠鞠躬尽瘁死而后已二、描写人的智慧：料事如神足智多谋融会贯通学贯中西博古通今才华横溢出类拔萃博大精深集思广益举一反三三、描写人物仪态、风貌：憨态可掬文质彬彬风度翩翩相貌堂堂落落大方斗志昂扬意气风发，威风凛凛容光焕发神采奕奕四、描写人物神情、情绪：悠然自得眉飞色舞喜笑颜开神采奕奕欣喜若狂呆若木鸡喜出望外垂头丧气无动于衷勃然大怒五、描写人的口才：能说会道巧舌如簧能言善辩滔滔不绝伶牙俐齿，出口成章语惊四座娓娓而谈妙语连珠口若悬河六、来自历史故事的成语：三顾茅庐铁杵成针望梅止渴完璧归赵四面楚歌负荆请罪精忠报国手不释卷悬梁刺股凿壁偷光七、描写人物动作：走马——花欢呼雀跃扶老携幼手舞足蹈促膝谈心前俯后仰奔走相告跋山涉水前赴后继张牙舞爪八、描写人间情谊：恩重如山深情厚谊手足情深形影不离血浓于水志同道合风雨同舟赤诚相待肝胆相照生死相依九、说明知事晓理方面：循序渐进日积月累温故——新勤能补拙笨鸟先飞学无止境学海无涯滴水穿石发奋图强开卷有益十、来自寓言故事的成语：夏天的，景色鸟语蝉鸣万木葱茏枝繁叶茂莲叶满池秋天秋高气爽天高云淡秋风送爽秋菊怒放秋菊傲骨秋色迷人秋色宜人金桂飘香秋天的景色果实累累北雁南飞满山红叶五谷丰登芦花飘扬冬天天寒地冻北风呼啸滴水成冰寒冬腊月瑞雪纷飞冰天雪地冬天的景色冰封雪盖漫天飞雪白雪皑皑冰封大地冰天雪地早晨东方欲晓旭日东升万物初醒空气清醒雄鸡报晓晨雾弥漫晨光绚丽中午烈日当头丽日临空艳阳高照万里无云碧空如洗傍晚日落西山夕阳西斜残阳如血炊烟四起百鸟归林华灯初上夜幕低垂日薄西山夜晚夜深人静月明星稀夜色柔美夜色迷人深更半夜漫漫长夜城镇风光秀丽人山人海车水马龙宁静和谐村庄草木苍翠竹篱瓦舍山幽路辟小桥流水大楼、饭店直指青云古色古香青砖素瓦耸入碧云工厂机器轰鸣铁流直泻热气腾腾钢花飞溅商店粉饰一新门可罗雀冷冷清清错落有致馆场富丽堂皇设施齐全气势雄伟金碧辉煌学校风景如画闻名遐迩桃李满天下车站、码头井然有序杂乱无章布局巧妙错落有致街道宽阔平坦崎岖不平拥挤不堪畅通无阻花花红柳绿花色迷人花香醉人花枝招展百花齐放百花盛开百花争艳，绚丽多彩五彩缤纷草绿草如，，标准答案一、填空题。

2022年高考数学试卷(新高考Ⅱ卷)(解析卷)

2022年普通高等学校招生全国统一考试（新高考全国Ⅱ卷）数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-£，则A B =I （）A. {1,2}- B. {1,2} C. {1,4} D. {1,4}-【答案】B【解析】【分析】求出集合B 后可求A B I .【详解】{}|02B x x =££，故{}1,2A B =I ，故选：B.2. (22i)(12i)+-=（）A. 24i-+ B. 24i -- C. 62i + D. 62i-【答案】D【解析】【分析】利用复数的乘法可求()()22i 12i +-.【详解】()()22i 12i 244i 2i 62i +-=+-+=-，故选：D.3. 图1是中国古代建筑中的举架结构，,,,AA BB CC DD ¢¢¢¢是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中1111,,,DD CC BB AA 是举，1111,,,OD DC CB BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为11111231111,0.5,,DD CC BB AA k k k OD DC CB BA ====．已知123,,k k k 成公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则3k =（）A. 0.75B. 0.8C. 0.85D. 0.9【答案】D【解析】【分析】设11111OD DC CB BA ====，则可得关于3k 的方程，求出其解后可得正确的选项.【详解】设11111OD DC CB BA ====，则111213,,CC k BB k AA k ===，依题意，有31320.2,0.1k k k k -=-=，且111111110.725DD CC BB AA OD DC CB BA +++=+++，所以30.530.30.7254k +-=，故30.9k =，故选：D4. 已知向量(3,4),(1,0),t ===+r r r r r a b c a b ，若,,<>=<>r r r r a c b c ，则t =（）A. 6- B. 5- C. 5 D. 6【答案】C【解析】【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得【详解】解：()3,4c t =+r ,cos ,cos ,a c b c =r r r ,即931635t t c c+++=r r ,解得5t =,故选：C5. 有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（）A. 12种B. 24种C. 36种D. 48种【答案】B【解析】【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有3!种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3!2224´´=种不同的排列方式，故选：B6. 若sin()cos()sin 4p a b a b a b æö+++=+ç÷èø，则（）A. ()tan 1a b -= B. ()tan 1a b +=C. ()tan 1a b -=- D. ()tan 1a b +=-【答案】C【解析】【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.【详解】由已知得：()sin cos cos sin cos cos sin sin 2cos sin sin a b a b a b a b a a b ++-=-,即：sin cos cos sin cos cos sin sin 0a b a b a b a b -++=，即：()()sin cos 0a b a b -+-=,所以()tan 1a b -=-,故选：C7. 已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为积为（）A. 100πB. 128πC. 144πD. 192π【答案】A【解析】【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径12,r r ，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径12,r r ，所以1222r r ==123,4r r ==，设球心到上下底面的距离分别为12,d d ，球的半径为R ，所以1d =，2d =121d d -=或121d d +=1=，解得225R =符合题意，所以球的表面积为24π100πS R ==．故选：A ．8. 已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==å（）A. 3- B. 2- C. 0 D. 1【答案】A【解析】【分析】根据题意赋值即可知函数()f x 的一个周期为6，求出函数一个周期中的()()()1,2,,6f f f L 的值，即可解出．【详解】因为()()()()f x y f x y f x f y ++-=，令1,0x y ==可得，()()()2110f f f =，所以()02f =，令0x =可得，()()()2f y f y f y +-=，即()()f y f y =-，所以函数()f x 为偶函数，令1y =得，()()()()()111f x f x f x f f x ++-==，即有()()()21f x f x f x ++=+，从而可知()()21f x f x +=--，()()14f x f x -=--，故()()24f x f x +=-，即()()6f x f x =+，所以函数()f x 的一个周期为6．因为()()()210121f f f =-=-=-，()()()321112f f f =-=--=-，()()()4221f f f =-==-，()()()5111f f f =-==，()()602f f ==，所以一个周期内的()()()1260f f f +++=L ．由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-å．故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知函数()sin(2)(0π)f x x j j =+<<的图像关于点2π,03æöç÷èø中心对称，则（）A. ()f x 在区间5π0,12æöç÷èø单调递减B. ()f x 在区间π11π,1212æö-ç÷èø有两个极值点C. 直线7π6x =是曲线()y f x =的对称轴D. 直线y x =-是曲线()y f x =的切线【答案】AD【解析】【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．【详解】由题意得：2π4πsin 033f j æöæö=+=ç÷ç÷èøèø，所以4ππ3k j +=，k ÎZ ，即4ππ,3k k j =-+ÎZ ，又0πj <<，所以2k =时，2π3j =，故2π()sin 23f x x æö=+ç÷èø．对A ，当5π0,12x æöÎç÷èø时，2π2π3π2,332x æö+Îç÷èø，由正弦函数sin y u =图象知()y f x =在5π0,12æöç÷èø上是单调递减；对B ，当π11π,1212x æöÎ-ç÷èø时，2ππ5π2,322x æö+Îç÷èø，由正弦函数sin y u =图象知()y f x =只有1个极值点，由2π3π232x +=，解得5π12x =，即5π12x =为函数的唯一极值点；对C ，当7π6x =时，2π23π3x +=，7π()06f =，直线7π6x =不是对称轴；对D ，由2π2cos 213y x æö¢=+=-ç÷èø得：2π1cos 232x æö+=-ç÷èø，解得2π2π22π33x k +=+或2π4π22π,33x k k +=+ÎZ ,从而得：πx k =或ππ,3x k k =+ÎZ ,所以函数()y f x =在点æççè处的切线斜率为02π2cos 13x k y ==¢==-，切线方程为：(0)y x =--即y x =-．故选：AD ．10. 已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)C y px p =>焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM =，则（）A. 直线AB 的斜率为B. ||||OB OF =C. ||4||AB OF > D. 180OAM OBM Ð+Ð<°【答案】ACD【解析】【分析】由AF AM =及抛物线方程求得3(4p A ，再由斜率公式即可判断A 选项；表示出直线AB 的方程，联立抛物线求得(,3p B ，即可求出OB 判断B 选项；由抛物线的定义求出2512p AB =即可判断C 选项；由0OA OB ×<uuu r uuu r ，0MA MB ×<uuu r uuur 求得AOB Ð，AMB Ð为钝角即可判断D 选项.【详解】对于A ，易得(,0)2p F ，由AF AM =可得点A 在FM 的垂直平分线上，则A 点横坐标为3224p p p +=，代入抛物线可得2233242p y p p =×=，则3(4p A ，则直线AB=，A 正确；对于B，由斜率为AB的方程为2p x y =+，联立抛物线方程得220y py p -=，设11(,)B x y1p y p +=，则1y =，代入抛物线得212p x æ=×ççè，解得13p x =，则(,3p B ，=，B 错误；对于C，由抛物线定义知：32524412pp AB p p OF ==>=，C 正确；对于D ，2333((,043434p p p p pOA OB æ×=×=×+=-<ççèuuu r uuu r ，则AOB Ð为钝角，又2225((,043436p p p p p MA MB ææö×=-×-=-×-+=-<çç÷çèøèuuu r uuu r ，则AMB Ð为钝角，又360AOB AMB OAM OBM Ð+Ð+Ð+Ð=o ，则180OAM OBM Ð+Ð<o ，D 正确.故选：ACD.11. 如图，四边形ABCD 为正方形，ED ^平面ABCD ，,2FB ED AB ED FB ==∥，记三棱锥E ACD -，F ABC -，F ACE -的体积分别为123,,V V V ，则（）A. 322V V = B. 31V V =C. 312V V V =+ D. 3123V V =【答案】CD【解析】【分析】直接由体积公式计算12,V V ，连接BD 交AC 于点M ，连接,EM FM ，由3A EFM C EFM V V V --=+计算出3V ，依次判断选项即可.【详解】设22AB ED FB a ===，因为ED ^平面ABCD ，FB ED P ，则()2311114223323ACD V ED S a a a =××=×××=V ，()232111223323ABC V FB S a a a =××=×××=V ，连接BD 交AC 于点M ，连接,EM FM ，易得BD AC ^，又ED ^平面ABCD ，AC Ì平面ABCD ，则ED AC ^，又ED BD D =I ，,ED BD Ì平面BDEF ，则AC ^平面BDEF ，又12BM DM BD ===，过F 作FG DE ^于G ，易得四边形BDGF 为矩形，则,FG BD EG a ===，则,EM FM ====，，222EM FM EF +=，则EM FM ^，12EFM S EM FM =×=V ，则33123A EFM C EFM EFM V V V AC S a --=+=×=V ，则3123V V =，323V V =，312V V V =+，故A 、B 错误；C 、D 正确.故选：CD.12. 若x ，y 满足221+-=x y xy ，则（）A. 1x y +£ B. 2x y +³-C. 222x y +£ D. 221x y +³【答案】BC【解析】【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．【详解】因为22222a b a b ab ++æö££ç÷èø（,a b ÎR ），由221+-=x y xy 可变形为，()221332x y x y xy +æö+-=£ç÷èø，解得22x y -£+£，当且仅当1x y ==-时，2x y +=-，当且仅当1x y ==时，2x y +=，所以A 错误，B 正确；由221+-=x y xy 可变形为()222212x y x y xy ++-=£，解得222x y +£，当且仅当1x y ==±时取等号，所以C 正确；因为221+-=x y xy 变形可得223124y x y æö-+=ç÷èø，设cos sin 2y x y q q -==，所以cos ,x y q q q ==，因此2222511cos sin cos 12cos 2333x y q q q q =q -q +=++++42π2sin 2,23363q æöéù=+-Îç÷êúèøëû，所以当x y ==221x y +³不成立，所以D 错误．故选：BC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知随机变量X 服从正态分布()22,N s，且(2 2.5)0.36P X <£=，则( 2.5)P X >=____________．【答案】0.14##750．【解析】【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出．【详解】因为()22,X N s :，所以()()220.5P X P X <=>=，因此()()()2.522 2.50.50.360.14P X P X P X >=>-<£=-=．故答案为：0.14．14. 曲线ln ||y x =过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．【答案】①. 1ey x = ②. 1e y x =-【解析】【分析】分0x >和0x <两种情况，当0x >时设切点为()00,ln x x ，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出0x ，即可求出切线方程，当0x <时同理可得；【详解】解：因为ln y x =，当0x >时ln y x =，设切点为()00,ln x x ，由1y x¢=，所以001|x x y x =¢=，所以切线方程为()0001ln y x x x x -=-，又切线过坐标原点，所以()0001ln x x x -=-，解得0e x =，所以切线方程为()11e ey x -=-，即1ey x =；当0x <时()ln y x =-，设切点为()()11,ln x x -，由1y x¢=，所以111|x x y x =¢=，所以切线方程为()()1111ln y x x x x --=-，又切线过坐标原点，所以()()1111ln x x x --=-，解得1e x =-，所以切线方程为()11e ey x -=+-，即1ey x =-；故答案为：1ey x =；1e y x=-15. 设点(2,3),(0,)A B a -，若直线AB 关于y a =对称的直线与圆22(3)(2)1x y +++=有公共点，则a 的取值范围是________．【答案】13,32éùêúëû【解析】【分析】首先求出点A 关于y a =对称点A ¢的坐标，即可得到直线l 的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；【详解】解：()2,3A -关于y a =对称的点的坐标为()2,23A a ¢--，()0,B a 在直线y a =上，所以A B ¢所在直线即为直线l ，所以直线l 为32a y x a -=+-，即()3220a x y a -+-=；圆()()22:321C x y +++=，圆心()3,2C --，半径1r =，依题意圆心到直线l 的距离d ，即()()2225532a a -£-+，解得1332a ££，即13,32a éùÎêúëû；故答案为：13,32éùêúëû16. 已知直线l 与椭圆22163x y +=在第一象限交于A ，B 两点，l 与x轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且||||,||MA NB MN ==l 的方程为___________．【答案】0x +-=【解析】【分析】令AB 中点为E ，设()11,A x y ，()22,B x y ，利用点差法得到12OE AB k k ×=-，设直线:AB y kx m =+，0k <，0m >，求出M 、N 的坐标，再根据MN 求出k 、m ，即可得解；【详解】解：令AB 的中点为E ，因为MA NB =，所以ME NE =，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211163x y +=，2222631x y +=，所以2222121206633x x y y -+-=，即()()()()12121212063x x x x y y y y -++-+=所以()()()()1212121212y y y y x x x x +-=--+，即12OE AB k k ×=-，设直线:AB y kx m =+，0k <，0m >，令0x =得y m =，令0y =得m x k =-，即,0m M k æö-ç÷èø，()0,N m ，所以,22m m E k æö-ç÷èø，即1222mk mk´=--，解得k =k =，又MN =，即MN ==，解得2m =或2m =-（舍去），的所以直线:2AB y x =+，即0x -=；故答案为：0x -=四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 已知{}n a 为等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且223344a b a b b a -=-=-．（1）证明：11a b =；（2）求集合{}1,1500k m k b a a m =+££中元素个数．【答案】（1）证明见解析；（2）9．【解析】【分析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，根据题意列出方程组即可证出；（2）根据题意化简可得22k m -=，即可解出．【小问1详解】设数列{}n a 的公差为d ，所以，()11111111224283a d b a d b a d b b a d +-=+-ìí+-=-+î，即可解得，112db a ==，所以原命题得证．小问2详解】【由（1）知，112d b a ==，所以()1111121k k m b a a b a m d a -=+Û´=+-+，即122k m -=，亦即[]221,500k m -=Î，解得210k ££，所以满足等式的解2,3,4,,10k =L ，故集合{}1|,1500k m k b a a m =+££中的元素个数为10219-+=．18. 记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S，已知12313S S S B -+==．（1）求ABC V 的面积；（2）若sin sin A C =，求b ．【答案】（1（2）12【解析】【分析】（1）先表示出123,,S S S，再由123S S S -+=2222a c b +-=，结合余弦定理及平方关系求得ac ，再由面积公式求解即可；（2）由正弦定理得22sin sin sin b acB AC =，即可求解.【小问1详解】由题意得22221231,,2S a S S =×===，则222123S S S -+==，即2222a c b +-=，由余弦定理得222cos 2a c b B ac +-=，整理得cos 1ac B =，则cos 0B >，又1sin3B =，则cos B ==1cosac B ==1sin 2ABC S ac B ==V 【小问2详解】由正弦定理得：sin sin sin b a c B A C==，则229sin sin sin sin sin 4b a c ac B A C A C =×===，则3sin 2b B =，31sin 22b B ==.19. 在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率；（3）已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.【答案】（1）47.9岁；（2）0.89；（3）0.0014．【解析】【分析】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；（2）设A ={一人患这种疾病的年龄在区间[20,70)}，根据对立事件的概率公式()1(P A P A =-即可解出；（3）根据条件概率公式即可求出．【小问1详解】平均年龄(50.001150.002250.012350.017450.023x =´+´+´+´+´ 550.020650.017750.006850.002)1047.9+´+´+´+´´=（岁）．【小问2详解】设A ={一人患这种疾病的年龄在区间[20,70)}，所以()1()1(0.0010.0020.0060.002)1010.110.89P A P A =-=-+++´=-=．【小问3详解】设B =“任选一人年龄位于区间[40,50)”，C =“从该地区中任选一人患这种疾病”，则由已知得：()()16%0.16,0.1%0.001,(|)0.023100.23P B P C P B C =====´=,则由条件概率公式可得从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，此人患这种疾病的概率为()(|)()()0.0010.23(|)0.00143750.0014()0.16P BC P C P B C C B P B B P P ´====»．20. 如图，PO 是三棱锥P ABC -的高，PA PB =，AB AC ^，E 是PB 的中点．（1）证明：//OE 平面PAC ；（2）若30ABO CBO Ð=Ð=°，3PO =，5PA =，求二面角C AE B --的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）1113【解析】【分析】（1）连接BO 并延长交AC 于点D ，连接OA 、PD ，根据三角形全等得到OA OB =，再根据直角三角形的性质得到AO DO =，即可得到O 为BD 的中点从而得到//OE PD ，即可得证；（2）建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦的绝对值，再根据同角三角函数的基本关系计算可得.【小问1详解】证明：连接BO 并延长交AC 于点D ，连接OA 、PD ，因为PO 是三棱锥P ABC -的高，所以PO ^平面ABC ，,AO BO Ì平面ABC ，所以PO AO ^、PO BO ^，又PA PB =，所以POA POB @△△，即OA OB =，所以OAB OBA Ð=Ð，又AB AC ^，即90BAC Ð=°，所以90OAB OAD Ð+Ð=°，90OBA ODA Ð+Ð=°，所以ODA OADÐ=Ð所以AO DO =，即AO DO OB ==，所以O 为BD 的中点，又E 为PB 的中点，所以//OE PD ，又OE Ë平面PAC ，PD Ì平面PAC ，所以//OE 平面PAC【小问2详解】解：过点A 作//Az OP ，如图建立平面直角坐标系，因为3PO =，5AP =，所以4OA ==，又30OBA OBC Ð=Ð=°，所以28BD OA ==，则4=AD ，AB =，所以12AC =，所以()2,0O ，()B ，()2,3P ，()0,12,0C ，所以32E æöç÷èø，则32AE æö=ç÷èøuuu r，()AB =uuur ，()0,12,0AC =uuu r ，设平面AEB 的法向量为(),,n x y z =r，则3020n AE y z nAB ì×=++=ïíï×==îuuuv v uuu v v ，令2z =，则3y =-，0x =，所以()0,3,2n =-r；设平面AEC 的法向量为(),,m a b c =u r，则302120m AE b c m AC b ì×=++=ïíï×==îuuu v v uuu v v ，令a =6c =-，0b =，所以)6m =-u r；所以cos ,n m=r u r 设二面角C AE B --的大小为q ，则cos cos ,n q =r ，所以11sin 13q ==，即二面角C AE B --的正弦值为1113.21. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为(2,0)F ，渐近线方程为y =．（1）求C 的方程；（2）过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，点()()1122,,,P x y Q x y 在C 上，且1210,0x x y >>>．过P且斜率为QM .从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M 在AB 上；②PQ AB ∥；③||||MA MB =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【答案】（1）2213y x -=（2）见解析【解析】【分析】（1）利用焦点坐标求得c 的值，利用渐近线方程求得,a b 的关系，进而利用,,a b c 的平方关系求得,a b 的值，得到双曲线的方程；（2）先分析得到直线AB 的斜率存在且不为零，设直线AB 的斜率为k , M (x 0,y 0),由③|AM |=|BM |等价分析得到200283k x ky k +=-；由直线PM 和QM 的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ 的斜率03x m y =，由②//PQ AB 等价转化为003ky x =，由①M 在直线AB 上等价于()2002ky k x =-，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.【小问1详解】右焦点为(2,0)F ，∴2c =,∵渐近线方程为y =，∴ba=，∴b =，∴222244c a b a =+==，∴1a =，∴b =．∴C 的方程为：2213y x -=；【小问2详解】由已知得直线PQ 的斜率存在且不为零，直线AB 的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB 的斜率存在且不为零；若选①③推②，则M 为线段AB 的中点，假若直线AB 的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M 在x 轴上，即为焦点F ,此时由对称性可知P 、Q 关于x 轴对称，与从而12x x =，已知不符；总之，直线AB 的斜率存在且不为零.设直线AB 的斜率为k ,直线AB 方程为()2y k x =-,则条件①M 在AB 上，等价于()()2000022y k x ky k x =-Û=-；两渐近线的方程合并为2230x y -=,联立消去y 并化简整理得：()22223440k x k x k --+=设()()3334,,,A x y B x y ,线段中点为(),N N N x y ,则()2342226,2233N N N x x k kx y k x k k +===-=--,设()00,M x y ,则条件③AM BM =等价于()()()()222203030404x x y y x x y y -+-=-+-,移项并利用平方差公式整理得：()()()()3403434034220x x x x x y y y y y éùéù--++--+=ëûëû，()()3403403434220y y x x x y y y x x -éùéù-++-+=ëûëû-,即()000N N x x k y y -+-=,即200283k x ky k +=-；由题意知直线PM的斜率为直线QM∴由))10102020,y y x x y y x x -=--=-,∴)121202y y x x x -=+-,所以直线PQ 的斜率1212y y m x x -==-,直线)00:PM y x x y =-+,即00y y =,代入双曲线的方程22330x y --=,即)3yy +-=中，得：()()00003y y éù+-+=ëû,解得P的横坐标：100x y ö=+÷÷ø,同理：200x y ö=÷÷ø，∴0012012002222000033,2,33y x x x y x x x x y x y x ö-=++-=--÷--ø∴03x m y =,∴条件②//PQ AB 等价于003m k ky x =Û=，综上所述：条件①M 在AB 上，等价于()2002ky k x =-；条件②//PQ AB 等价于003ky x =；条件③AM BM =等价于200283k x ky k +=-；选①②推③:由①②解得：2200002228,433k k x x ky x k k =\+==--,∴③成立；选①③推②：由①③解得：20223k x k =-，20263k ky k =-，∴003ky x =，∴②成立；选②③推①：由②③解得：20223k x k =-，20263k ky k =-，∴02623x k -=-，∴()2002ky k x =-，∴①成立.22. 已知函数()e e ax x f x x =-．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）当0x >时，()1f x <-，求a 的取值范围；（3）设n *ÎN ln(1)n +++>+L ．【答案】（1）()f x 的减区间为(),0-¥，增区间为()0,+¥.（2）12a £ （3）见解析【解析】【分析】（1）求出()f x ¢，讨论其符号后可得()f x 的单调性.（2）设()e e 1ax x h x x =-+，求出()h x ¢¢，先讨论12a >时题设中的不等式不成立，再就102a <£结合放缩法讨论()h x ¢符号，最后就0a £结合放缩法讨论()h x 的范围后可得参数的取值范围.（3）由（2）可得12ln t t t <-对任意1t >恒成立，从而可得()ln 1ln n n +-<*n N Î恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.【小问1详解】当1a =时，()()1e x f x x =-，则()e xf x x ¢=，当0x <时，()0f x ¢<，当0x >时，()0f x ¢>，故()f x 的减区间为(),0¥-，增区间为()0,¥+.【小问2详解】设()e e 1ax x h x x =-+，则()00h =，又()()1e e ax x h x ax ¢=+-，设()()1e e ax x g x ax =+-，则()()22e e ax x g x a a x ¢=+-，若12a >，则()0210g a ¢=->，因为()g x ¢为连续不间断函数，故存在()00,x Î+¥，使得()00,x x "Î，总有()0g x ¢>，故()g x 在()00,x 为增函数，故()()00g x g >=，故()h x 在()00,x 为增函数，故()()01h x h >=-，与题设矛盾.若102a <£，则()()()ln 11e e e e ax ax ax x x h x ax ++¢=+-=-，下证：对任意0x >，总有()ln 1x x +<成立，证明：设()()ln 1S x x x =+-，故()11011x S x x x-¢=-=<++，故()S x 在()0,¥+上为减函数，故()()00S x S <=即()ln 1x x +<成立.由上述不等式有()ln 12e e e e e e 0ax ax x ax ax x ax x +++-<-=-£，故()0h x ¢£总成立，即()h x 在()0,¥+上为减函数，所以()()01h x h <=-当0a £时，有()e e e 1100ax x ax h x ax ¢=-+<-+=，所以()h x 在()0,¥+上为减函数，所以()()01h x h <=-.的.综上，12a £【小问3详解】取12a =，则0x ">，总有12e e 10x x x -+<成立，令12e x t =，则21,e ,2ln x t t x t >==，故22ln 1t t t <-即12ln t t t<-对任意的1t >恒成立.所以对任意的*n N Î，有2ln<整理得到：()ln 1ln n n +-<()ln 2ln1ln 3ln 2ln 1ln n n >-+-+++-L L ()ln 1n =+，故不等式成立.【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式..。

普通高等学校招生全国统一考试(课标Ⅱ卷)理数答案解析(正式版)(解析版).docx

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}(1)(20B x x x =-+<,则A B =I （）A ．{}1,0A =-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,2 【答案】A考点：集合的运算．2．若a 为实数且(2)(2)4ai a i i +-=-，则a =（） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 【答案】B 【解析】试题分析：由已知得24(4)4a a i i +-=-，所以240,44a a =-=-，解得0a =，故选B ．考点：复数的运算．3．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。

以下结论不正确的是( )A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【答案】D 【解析】试题分析：由柱形图得，从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关，故选D ．2004年 2005年 2006年 2007年 2008年 2009年 2010年 2011年 2012年 2013年考点：正、负相关．4．等比数列｛a n ｝满足a 1=3，135a a a ++ =21，则357a a a ++= ( )A ．21B ．42C ．63D ．84 【答案】B考点：等比数列通项公式和性质．5．设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+=( )A ．3B ．6C ．9D ．12 【答案】C 【解析】试题分析：由已知得2(2)1log 43f -=+=，又2log 121>，所以22log 121log 62(log 12)226f -===，故2(2)(log 12)9f f -+=，故选C ．考点：分段函数．6．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( ) A ．81 B ．71 C ．61 D ．51【答案】D 【解析】试题分析：由三视图得，在正方体1111ABCD A B C D -中，截去四面体111A A B D -，如图所示，，设正方体棱长为a ，则11133111326A A B D V a a -=⨯=，故剩余几何体体积为3331566a a a -=，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为51，故选D ．考点：三视图．A1A7．过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN =( ) A ．26 B ．8 C ．46 D ．10 【答案】C【解析】由已知得321143AB k -==--，27341CB k +==--，所以1AB CB k k =-，所以AB CB ⊥，即ABC ∆为直角三角形，其外接圆圆心为(1,2)-，半径为5，所以外接圆方程为22(1)(2)25x y -++=，令0x =，得2y =±，所以MN =C ．考点：圆的方程．8．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,a b 分别为14,18，则输出的a =( )【答案】B 【解析】试题分析：程序在执行过程中，a ，b 的值依次为14a =，18b =；4b =；10a =；6a =；2a =；2b =，此时2a b ==程序结束，输出a 的值为2，故选B ．考点：程序框图．9．已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36π B.64π C.144π D.256π【答案】C 【解析】试题分析：如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时2311136326O ABC C AOB V V R R R --==⨯⨯==，故6R =，则球O 的表面积为24144S R ππ==，故选C ．考点：外接球表面积和椎体的体积．10．如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=．将动P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为（）【答案】B 【解析】DPCBOAx考点：函数的图象和性质．11．已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（）A 5．2 C 32 【答案】D 【解析】试题分析：设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，如图所示，AB BM =，0120ABM ∠=，过点M作MN x ⊥轴，垂足为N ，在Rt BMN ∆中，BN a =，3MN a =，故点M 的坐标为(23)M a a ，代入双曲线方程得2222a b a c ==-，即222c a =，所以2e =D ．考点：双曲线的标准方程和简单几何性质．12．设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（）A ．(,1)(0,1)-∞-UB ．(1,0)(1,)-+∞UC ．(,1)(1,0)-∞--UD ．(0,1)(1,)+∞U【答案】A 【解析】试题分析：记函数()()f x g x x=，则''2()()()xf x f x g x x -=，因为当0x >时，'()()0xf x f x -<，故当0x >时，'()0g x <，所以()g x 在(0,)+∞单调递减；又因为函数()()f x x R ∈是奇函数，故函数()g x 是偶函数，所以()g x 在(,0)-∞单调递减，且(1)(1)0g g -==．当01x <<时，()0g x >，则()0f x >；当1x <-时，()0g x <，则()0f x >，综上所述，使得()0f x >成立的x 的取值范围是(,1)(0,1)-∞-U ，故选A ．考点：导数的应用、函数的图象与性质．第II 卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。

高考数学新课标全国卷2(理)试卷

普通高等学校招生全国统一考试全国卷II 数学(理工农医类)注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．2 + i(1)复数3 1- 2i的共轭复数是3（A）-i5 （B）i （C）-i5（D）i（2）下列函数中，既是偶函数哦、又在（0，）单调递增的函数是（A）y = x2(B) y = x +1（C）y = -x2 +1 (D) y = 2- x（3）执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是（A）120（B）720（C）1440（D）5040（4）有3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为1（A）31（B）22（C）33（D）4x⎭⎝ ⎦ （5）已知角θ 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边在直线 y = 2x 上，则 cos 2θ =（7）设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直，l 与 C 交于 A,B 两点，AB 为 C 的实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为（A ） 2（B ） 3（C ）2 （D ）3（8） ⎛ x + ⎝ a ⎫⎛⎪ 2x - ⎭⎝1 ⎫ ⎪ 的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为 ⎭（A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）40（9）由曲线 y = ，直线 y = x - 2 及 y 轴所围成的图形的面积为10 （A ）316 （B ）4 （C ）3（D ）6（10）已知 a 与 b 均为单位向量，其夹角为θ ，有下列四个命题P : a + b > 1 ⇔ θ ∈ ⎡0, 2π ⎫P : a + b > 1 ⇔ θ ∈⎛ 2π,π ⎤ 1 ⎢⎣ 3 ⎪⎭23 ⎥ ⎝ ⎦⎡ π ⎫⎛ π⎤P 3 : a - b > 1 ⇔ θ ∈ ⎢⎣0, 3⎪ P 4 : a - b > 1 ⇔ θ ∈ 3,π ⎥其中的真命题是（A ） - 45 （B ） - 35（C ）（D ）53 4 5 （6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的俯视图可以为x x 52 （A ） P 1, P 4 （B ） P 1 , P3 （C ） P 2 , P 3 （D ） P 2 , P 4（ 11 ）设函数 f (x ) = sin(ωx +ϕ) + cos(ωx +ϕ)(ω > 0, ϕ < π) 的最小正周期为π ，且 2f (- x ) = f ( x )，则（A ） f (x ) 在 ⎛ 0,π ⎫单调递减（B ） f (x ) 在⎛ π , 3π ⎫ 单调递减 2 ⎪ 4 4 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭（C ） f (x ) 在 ⎛ 0, π ⎫单调递增（D ） f (x ) 在⎛ π , 3π ⎫单调递增 2 ⎪ 4 4 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭1(12)函数 y =于x -1的图像与函数 y = 2sin π x (-2 ≤ x ≤ 4) 的图像所有焦点的横坐标之和等（A ）2(B) 4 (C) 6 (D)8第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2023年全国高考数学-新高考卷II试题及答案

2023年全国高考数学新高考卷II试题及答案一、选择题（每题1分，共5分）1. 设集合A={x|2＜x＜3}，集合B={x|x²3x+2=0}，则A∩B=（）A. {1}B. {2}C. {1, 2}D. ∅2. 已知函数f(x)=2x+1，则f(f(1))的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 63. 在等差数列{an}中，若a1=1，a3=3，则公差d等于（）A. 1B. 2C. 3D. 44. 若复数z满足|z|=1，则z的共轭复数z的模为（）A. 0B. 1C. 2D. 无法确定5. 下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（）A. y=x³B. y=2xC. y=x²D. y=x²x二、判断题（每题1分，共5分）1. 两个平行线的斜率相等。

（）2. 任何两个实数的和都是实数。

（）3. 若a、b均为负数，则a²+b²＞0。

（）4. 二项式展开式中的项数为n+1。

（）5. 直线y=kx+b（k≠0）的斜率k表示直线的倾斜程度。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 已知函数f(x)=x²2x，则f(2)=______。

2. 若向量a=(1,2)，向量b=(1,2)，则a•b=______。

3. 在等比数列{bn}中，若b1=2，公比q=3，则b4=______。

4. 若复数z=3+4i，则z的共轭复数z=______。

5. 设平面直角坐标系中，点A(1,2)，点B(3,4)，则线段AB的中点坐标为______。

四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述实数和虚数的区别。

2. 请写出等差数列的通项公式。

3. 什么是函数的单调性？4. 如何判断两个矩阵是否可交换？5. 请解释圆的标准方程。

五、应用题（每题2分，共10分）1. 已知函数f(x)=x²2x+1，求f(x)的最小值。

2. 设等差数列{an}的公差为2，且a1+a3+a5=21，求a4。

全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷2)(含解析版)a3word版

2021年全国统一高考数学试卷〔理科〕〔新课标n〕、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题A。

—B。

—C。

—D。

—27 9 27 37。

〔5分〕执行如下图的程序框图，假设输入的x， t均为2，那么输出的S二〔目要求。

1. 〔5 分〕设集合M={0， 1， 2}， N={x|x2—3x+20 0}， WJ M A N=〔〕A。

{1} B。

{2} C。

{0， 1} D。

{1，2}2. 〔5分〕设复数Z1，Z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，Z1=2+i，那么Z1Z2=〔A。

- 5 B。

5 C。

— 4+i D。

- 4- i3. 〔5分〕设向量a，刚足| M£|二xflb，|目-匕|二依，那么a？b=〔〕A。

1 B。

2 C。

3 D。

54. 〔5分〕钝角三角形ABC的面积是4AB=1， BC啦，那么AC=〔〕A。

5 B。

二C。

2 D。

15. 〔5分〕某地区空气质量监测资料说明，一天的空气质量为优良的概率是，连续两天为优良的概率是，某天的空气质量为优良，那么随后一天的空气质量为优良的概率是〔〕A。

B。

C。

D。

6。

〔5分〕如图，网格纸上正方形小格的边长为1 〔表示1cm〕，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，那么切削掉局部的体积与原来A。

4 B。

5 C。

6 D。

78. 〔5分〕设曲线y=ax-ln 〔x+1〕在点〔0， 0〕处的切线方程为y=2x，那么a=〔A。

0 B。

1 C。

2 D。

39. 〔5分〕设x， y满足约束条件，那么z=2x- y的最大值为〔〕A。

10B。

8C。

3D。

210。

〔5分〕设F为抛物线C: y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A， B两点，。

为标原点，那么4 OAB的面积为〔C。

6332D。

11 。

〔5 分〕直三棱柱ABC- A1B1C1 中，/ BCA=90， M， N 分别是A1B1，A I C I的中点，BC=CA=CC那么BM与AN所成角的余弦值为〔A。

新课标全国2卷理数

2021 年全国统一高考数学试卷〔理科〕〔新课标Ⅱ〕一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分。

1．〔5分〕〔2021?新Ⅱ〕=〔〕A． i B． C．D．2．〔5分〕〔2021?新Ⅱ〕集合A={〔x，y〕|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z〕，A中元素的个数〔〕A．9 B．8 C．5 D．43．〔5分〕〔2021?新Ⅱ〕函数f〔x〕= 的象大致〔〕A ．B．C．D．4．〔5分〕〔2021?新Ⅱ〕向量，足||=1，=1，?〔2〕=〔〕A．4B．3C．2D．05．〔5分〕〔2021?新Ⅱ〕双曲=1〔a＞0，b＞0〕的离心率，其近方程〔〕A．y=±xB．y=±xC．y=±xD．y=±x6．〔5分〕〔2021?新Ⅱ〕在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，AB=〔〕A．4B．C．D．27．〔5分〕〔2021?新Ⅱ〕算S=1++⋯+，了如的程序框，在空白框中填入〔〕A．i=i+1B．i=i+2C．i=i+3D．i=i+48．〔5分〕〔2021?新Ⅱ〕我国数学家景在哥德巴赫猜测的研究中取得了世界先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示两个素数的和〞，如30=7+23．在不超30的素数中，随机取两个不同的数，其和等于30的概率是〔〕A．B．C．D．9．〔5分〕〔2021?新Ⅱ〕在方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，异面直AD1与DB1所成角的余弦〔〕A．B．C．D．10．〔5分〕〔2021?新Ⅱ〕假设f〔x〕=cosx sinx在[ a，a]是减函数，a的最大是〔〕A．B．C．D．π11．〔5分〕〔2021?新Ⅱ〕f〔x〕是定域〔∞，+∞〕的奇函数，足f〔1x〕=f〔1+x〕，假设f〔1〕=2，f〔1〕+f〔2〕+f〔3〕+⋯+f〔50〕=〔〕A．50B．0C．2D．5012．〔5分〕〔2021?新Ⅱ〕F1，F2是C：=1〔a＞b＞0〕的左、右焦点，A是C的左点，点P在A且斜率的直上，△PF1F2等腰三角形，∠F1F2P=120°，C的离心率〔〕A．B．C．D．二、填空：本共4小，每小5分，共20分。

(全国卷II)(含答案)高考理科数学

普通高等学校招生全国统一考试（2全国Ⅱ卷）数学(理)试题一、选择题 ( 本大题共 12 题, 共计 60 分)（1）复数231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭( )（A ）34i -- （B ）34i -+ （C ）34i - （D ）34i + （2）函数1ln(1)(1)2x y x +-=>的反函数是( ) （A ）211(0)x y e x +=-> （B ）211(0)x y e x +=+> （C ）211(R)x y e x +=-∈ （D ）211(R)x y e x +=+∈（3）若变量,x y 满足约束条件1,,325x y x x y -⎧⎪⎨⎪+⎩≥≥≤，则2z x y =+的最大值为( )（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （4）如果等差数列{}n a 中, 34512a a a ++=, 那么127...a a a +++=( )（A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）35（5）不等式2601x x x ---＞的解集为( ) （A ）{}2,3x x x -＜或＞（B ）{}213x x x -＜，或＜＜（C ）{}213x x x -＜＜，或＞（D ）{}2113x x x -＜＜，或＜＜（6）将标号为1, 2, 3, 4, 5, 6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张, 其中标号为1, 2的卡片放入同一信封, 则不同的方法共有( )（A ）12种（B ）18种（C ）36种（D ）54种（7）为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像, 只需把函数sin(2)6y x π=+的图像( )（A ）向左平移4π个长度单位（B ）向右平移4π个长度单位（C ）向左平移2π个长度单位（D ）向右平移2π个长度单位（8）△ABC 中, 点D 在边AB 上, CD 平分∠ACB , 若＝a ,＝b ,|a |＝1, |b |＝2, 则等于( )（A ）1233a b + （B ）2133a b + （C ）3455a b + （D ）4355a b +（9）已知正四棱锥S ABCD -中, 23SA =, 那么当该棱锥的体积最大时, 它的高为( )（A ）1 （B 3 （C ）2 （D ）3（10）若曲线12y x -=在点12,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18,则a =( )（A ）64 （B ）32 （C ）16 （D ）8（11）与正方体1111ABCD A B C D -的三条棱AB 、1CC 、11A D 所在直线的距离相等的点( )（A ）有且只有1个（B ）有且只有2个（C ）有且只有3个（D ）有无数个（12）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=＞＞的离心率为3过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =u u u r u u u r, 则k =( )（A ）1 （B 2 （C 3 （D ）2 二．填空题：本大题共4小题, 每小题5分, 共20分．（13）已知a 是第二象限的角, 4tan(2)3a π+=-, 则tan a = ．（14）若9()ax x-的展开式中3x 的系数是84-, 则a = ．（15）已知抛物线2:2(0)C y px p =＞的准线为l , 过(1,0)M 3的直线与l 相交于点A , 与C 的一个交点为B ．若AM MB =u u u u r u u u r, 则p = ．（16）已知球O 的半径为4, 圆M 与圆N 为该球的两个小圆, AB 为圆M 与圆N 的公共弦, 4AB =．若3OM ON ==, 则两圆圆心的距离MN =．三．解答题：本大题共6小题, 共70分．解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分10分）ABC ∆中, D 为边BC 上的一点, 33BD =,5sin 13B =, 3cos 5ADC ∠=, 求AD ．（18）（本小题满分12分）已知数列{a n }的前n 项和S n ＝(n 2＋n )·3n .（Ⅰ）求limnn na S →∞；（Ⅱ）证明：12222312nn a a a n+++…＞．（19）（本小题满分12分）如图, 直三棱柱ABCA 1B 1C 1中, AC ＝BC , AA 1＝AB , D 为BB 1的中点, E 为AB 1上的一点, AE ＝3EB 1.（Ⅰ）证明：DE 为异面直线1AB 与CD 的公垂线；（Ⅱ）设异面直线1AB 与CD 的夹角为45°, 求二面角111A AC B --的大小．（20）（本小题满分12分）如图, 由M 到N 的电路中有4个元件, 分别标为T 1, T 2, T 3, T 4, 电流能通过T 1, T 2, T 3的概率都是p , 电流能通过T 4的概率是0.9．电流能否通过各元件相互独立．已知T 1, T 2, T 3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．（Ⅰ）求p ；（Ⅱ）求电流能在M 与N 之间通过的概率；（Ⅲ）ξ表示T 1, T 2, T 3, T 4中能通过电流的元件个数, 求ξ的期望．（21）（本小题满分12分）己知斜率为1的直线l 与双曲线C ：()2222100x y a b a b-=＞，＞相交于B 、D 两点, 且BD 的中点为()1,3M ．（Ⅰ）求C 的离心率；（Ⅱ）设C 的右顶点为A , 右焦点为F , 17DF BF =g , 证明：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．（22）（本小题满分12分）设函数()1x f x e -=-．（Ⅰ）证明：当x ＞-1时, ()1xf x x ≥+；（Ⅱ）设当0x ≥时, ()1xf x ax ≤+, 求a 的取值范围．普通高等学校招生全国统一考试（2全国Ⅱ卷）数学(理)试题答案解析: 一、选择题（1）A解析：231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭22(3)(1)(12)342i i i i --⎡⎤=-=--⎢⎥⎣⎦. （2）D解析：由y ＝, 得ln(x －1)＝2y－1, 解得 x ＝e 2y －1＋1, 故反函数为y ＝e 2x －1＋1(x ∈R )．故选D 。

2022年全国统一高考数学卷(新高考2卷)含答案解析(原卷版)

……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………绝密★启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试（新高考2卷）数学副标题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三四总分得分注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知集合A ={−1,1,2,4}，B ={x||x −1|≤1}，则A ∩B =( ) A. {−1,2}B. {1,2}C. {1,4}D. {−1,4}2. (2+ 2i)(1−2i)=( ) A. −2+4iB. −2−4iC. 6+2iD. 6−2i3. 中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现.如图是某古建筑物的剖面图，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，DD 1，CC 1，BB 1，AA 1是脊，OD 1，DC 1，CB 1，BA 1是相等的步，相邻桁的脊步的比分别为DD 1OD 1=0.5，CC 1DC 1=k 1，BB1CB 1=k 2，AA 1BA 1=k 3，若k 1，k 2，k 3是公差为0.1的等差数列，直线OA 的斜率为0.725，则k 3=( )A. 0.75B. 0.8C. 0.85D. 0.94. 已知向量a ⃗ =(3,4)，b ⃗ =(1,0)，c ⃗ =a ⃗ +t b ⃗ ，若<a ⃗ ,c ⃗ >=<b ⃗ ,c ⃗ >，则实数t =( )A. −6B. −5C. 5D. 65. 甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有( )A. 12种B. 24种C. 36种D. 48种6. 若sin(α+β)+cos(α+β)=2√2cos(α+π4)sinβ，则( ) A. tan(α+β)=−1 B. tan(α+β)=1 C. tan(α−β)=−1D. tan(α−β)=17. 已知正三棱台的高为1，上下底面的边长分别为3√3和4√3，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )A. 100πB. 128πC. 144πD. 192π8. 若函数f(x)的定义域为R ，且f(x +y)+f(x −y)=f(x)f(y)，f(1)=1，则∑f 22k=1(k)=( )A. −3B. −2C. 0D. 1二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。

2023年新高考理科数学ii卷22题

2023年新高考理科数学ii卷22题2023年新高考理科数学II卷22题：已知函数f(x)在区间[0,1]上连续，且f(0)=0，f(1)=1，若对任意的x∈[0,1]，都有f(x)≥x，则函数f(x)在区间[0,1]上的最小值为多少？文章：2023年新高考理科数学II卷22题要求我们研究一个函数f(x)在区间[0,1]上的性质。

根据题目给出的条件，我们可以得知函数f(x)在区间[0,1]上连续，并且满足f(0)=0和f(1)=1。

此外，题目还告诉我们对于任意的x∈[0,1]，都有f(x)≥x。

首先，我们可以根据题目给出的条件推断出函数f(x)在区间[0,1]上是递增的。

因为对于任意的x∈[0,1]，都有f(x)≥x，所以当x<y时，有f(x)≤f(y)，即函数值随着自变量的增大而增大。

接下来，我们需要确定函数f(x)在区间[0,1]上的最小值。

根据前面得出的结论，我们可以知道当x∈[0,1]时，有f(0)≤ f(x)，即0 ≤ f(x)，所以函数f(x)在区间[0,1]上的最小值为0。

综上所述，函数f(x)在区间[0,1]上的最小值为0。

这个结论可以通过题目给出的条件和推理得出。

在解题过程中，我们运用了函数的连续性和递增性质，以及对题目条件的合理推断。

这道题目考察了我们对函数性质的理解和运用能力。

通过解答这道题目，我们不仅巩固了对函数性质的理解，还培养了我们分析问题和推理能力。

在实际生活中，我们经常会遇到需要分析问题并得出结论的情况，这种能力对于我们解决问题、做出决策都非常重要。

希望通过今后更多类似的数学题目训练，我们可以进一步提高自己的数学思维能力，并将其应用到实际生活中。

数学不仅是一门学科，更是一种思维方式和工具，在各个领域都有着广泛应用。

让我们努力学好数学，提升自己的综合素质！。

2023年全国新高考II卷数学真题试卷及答案

2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题一、单选题1．在复平面内，()()13i 3i +-对应的点位于（）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设集合{}0,A a =-，{}1,2,22B a a =--，若A B ⊆，则=a （）．A ．2B ．1C ．23D ．1-3．某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（）．A ．4515400200C C ⋅种B ．2040400200C C ⋅种C ．3030400200C C ⋅种D ．4020400200C C ⋅种4．若()()21ln 21x f x x a x -=++为偶函数，则=a （）．A ．1-B ．0C ．12D ．15．已知椭圆22:13x C y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线y x m =+与C 交于A ，B 两点，若1F AB △面积是2F AB △面积的2倍，则m =（）．A ．23B C ．D ．23-6．已知函数()e ln xf x a x =-在区间()1,2上单调递增，则a 的最小值为（）．A ．2eB ．eC ．1e -D ．2e -7．已知α为锐角，cos α=sin 2α=（）．A B C D 8．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若45S =-，6221S S =，则8S =（）．A ．120B ．85C ．85-D ．120-二、多选题9．已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，AB 为底面直径，120APB ∠=︒，2PA =，点C 在底面圆周上，且二面角P AC O --为45°，则（）．A ．该圆锥的体积为πB ．该圆锥的侧面积为C ．AC =D ．PAC △10．设O 为坐标原点，直线)1y x =-过抛物线()2:20C y px p =>的焦点，且与C 交于M ，N 两点，l 为C 的准线，则（）．A ．2p =B ．83MN =C ．以MN 为直径的圆与l 相切D ．OMN 为等腰三角形11．若函数()()2ln 0b cf x a x a x x =++≠既有极大值也有极小值，则（）．A ．0bc >B ．0ab >C ．280b ac +>D ．0ac <12．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为(01)αα<<，收到0的概率为1α-；发送1时，收到0的概率为(01)ββ<<，收到1的概率为1β-. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.A ．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l ，0，1的概率为2(1)(1)αβ--B ．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为2(1)ββ-C ．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为23(1)(1)βββ-+-D ．当00.5α<<时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率三、填空题13．已知向量a ，b满足a b -= ，2a b a b +=- ，则b = ______．14．底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______．15．已知直线:10l x my -+=与()22:14C x y -+= 交于A ，B 两点，写出满足“ABC 面积为85”的m 的一个值______．16．已知函数()()sin f x x ωϕ=+，如图A ，B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点，若π6AB =，则()πf =______．四、解答题17．记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知ABCD 为BC 中点，且1AD =．(1)若π3ADC ∠=，求tan B ；(2)若228b c +=，求,b c ．18．已知{}n a 为等差数列，6,2,n n n a n b a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数，记n S ，n T 分别为数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，432S =，316T =．(1)求{}n a 的通项公式；(2)证明：当5n >时，n n T S >．19．某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c ，将该指标大于c 的人判定为阳性，小于或等于c 的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为()p c ；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为()q c ．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．(1)当漏诊率()0.5p c =％时，求临界值c 和误诊率()q c ；(2)设函数()()()f c p c q c =+，当[]95,105c ∈时，求()f c 的解析式，并求()f c 在区间[]95,105的最小值．20．如图，三棱锥A BCD -中，DA DB DC ==，BD CD ⊥，60ADB ADC ∠=∠= ，E 为BC的中点．(1)证明：BC DA ⊥；(2)点F 满足EF DA =，求二面角D AB F --的正弦值．21．已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为()-(1)求C 的方程；(2)记C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，过点()4,0-的直线与C 的左支交于M ，N 两点，M 在第二象限，直线1MA 与2NA 交于点P ．证明:点P 在定直线上.22．（1）证明：当01x <<时，sin x x x x 2-<<；（2）已知函数()()2cos ln 1f x ax x =--，若0x =是()f x 的极大值点，求a 的取值范围．新高考二卷参考答案1．（2023·新高考Ⅱ卷·1·★）在复平面内，(13i)(3i)+-对应的点位于（）（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限答案：A解析：2(13i)(3i)3i 9i 3i 68i +-=-+-=+，所以该复数对应的点为(6,8)，位于第一象限.2．（2023·新高考Ⅱ卷·2·★）设集合{0,}A a =-，{1,2,22}B a a =--，若A B ⊆，则a =（）（A ）2 （B ）1 （C ）23（D ）1-答案：B解析：观察发现集合A 中有元素0，故只需考虑B 中的哪个元素是0，因为0A ∈，A B ⊆，所以0B ∈，故20a -=或220a -=，解得：2a =或1，注意0B ∈不能保证A B ⊆，故还需代回集合检验，若2a =，则{0,2}A =-，{1,0,2}B =，不满足A B ⊆，不合题意；若1a =，则{0,1}A =-，{1,1,0}B =-，满足A B ⊆. 故选B.3．（2023·新高考Ⅱ卷·3·★）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（）（A ）4515400200C C ⋅种（B ）2040400200C C ⋅种（C ）3030400200C C ⋅种（D ）4020400200C C ⋅种答案：D 解析：应先找到两层中各抽多少人，因为是比例分配的分层抽取，故各层的抽取率都等于总体的抽取率，设初中部抽取x 人，则60400400200x =+，解得：40x =，所以初中部抽40人，高中部抽20人，故不同的抽样结果共有4020400200C C ⋅种.4．（2023·新高考Ⅱ卷·4·★★）若21()()ln 21x f x x a x -=++为偶函数，则a =（）（A ）1- （B ）0 （C ）12（D ）1答案：B解法1：偶函数可抓住定义()()f x f x -=来建立方程求参，因为()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=，即2121()ln ()ln 2121x x x a x a x x ----+=+-++ ①，而121212121ln ln ln(ln 21212121x x x x x x x x ---+--===--+-++，代入①得：2121()(ln )()ln 2121x x x a x a x x ---+-=+++，化简得：x a x a -=+，所以0a =.解法2：也可在定义域内取个特值快速求出答案，210(21)(21)021x x x x ->⇔+->+，所以12x <-或12x >，因为()f x 为偶函数，所以(1)(1)f f -=，故1(1)ln 3(1)ln 3a a -+=+ ①，而11ln ln 3ln 33-==-，代入①得：(1)ln 3(1)ln 3a a -+=-+，解得：0a =.5．（2023·新高考Ⅱ卷·5·★★★）已知椭圆22:13x C y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线y x m =+与C 交于A ，B 两点，若1F AB ∆的面积是2F AB ∆面积的2倍，则m =（）（A ）23 （B（C）（D ）23-答案：C解析：如图，观察发现两个三角形有公共的底边AB ，故只需分析高的关系，作1F G AB ⊥于点G ，2F I AB ⊥于点I ，设AB 与x 轴交于点K ，由题意，121212212F AB F AB AB F GS S AB F I∆∆⋅==⋅，所以122F GF I =，由图可知12F KG F KI ∆∆∽，所以11222F K F G F K F I ==，故122F K F K =，又椭圆的半焦距c ==，所以122F F c ==，从而21213F K F F ==故11OK OF F K =-=，所以K ，代入y x m =+可得0m =+，解得：m =6．（2023·新高考Ⅱ卷·6·★★★）已知函数()e ln x f x a x =-在区间(1,2)单调递增，则a 的最小值为（）（A ）2e （B ）e （C ）1e - （D ）2e -答案：C解析：()f x 的解析式较复杂，不易直接分析单调性，故求导，由题意，1()e x f x a x'=-，因为()f x 在(1,2)上，所以()0f x '≥在(1,2)上恒成立，即1e 0x a x-≥ ①，观察发现参数a 容易全分离，故将其分离出来再看，不等式①等价于1ex a x ≥，令()e (12)x g x x x =<<，则()(1)e 0x g x x '=+>，所以()g x 在(1,2)上，又(1)e g =，2(2)2e g =，所以2()(e,2e )g x ∈，故21111(,)()e 2e ex g x x =∈，因为1e x a x ≥在(1,2)上恒成立，所以11e e a -≥=，故a 的最小值为1e -.7．（2023·新高考Ⅱ卷·7·★★）已知α为锐角，cos α=sin 2α=（）（A （B （C （D 答案：D解析：22cos 12sin sin 22ααα=-=⇒=，此式要开根号，不妨上下同乘以2，将分母化为24，所以2sin 2α==，故sin 2α=，又α为锐角，所以(0,)24απ∈，故sin 2α=8．（2023·新高考Ⅱ卷·8·★★★）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若45S =-，6221S S =，则8S =（）（A ）120 （B ）85 （C ）85- （D ）120-答案：C 解法1：观察发现2S ，4S ，6S ，8S 的下标都是2的整数倍，故可考虑片段和性质，先考虑q 是否为1-，若{}n a 的公比1q =-，则414[1(1)]01(1)a S --==--，与题意不符，所以1q ≠-，故2S ，42S S -，64S S -，86S S -成等比数列 ①，条件中有6221S S =，不妨由此设个未知数，设2S m =，则621S m =，所以425S S m -=--，64215S S m -=+，由①可得242262()()S S S S S -=-，所以2(5)(215)m m m --=+，解得：1m =-或54，若1m =-，则21S =-，424S S -=-，6416S S -=-，所以8664S S -=-，故8664216485S S m =-=-=-；到此结合选项已可确定选C ，另一种情况我也算一下，若54m =，则2504S =>，而2222412341212122()(1)(1)S a a a a a a a q a q a a q S q =+++=+++=++=+，所以4S 与2S 同号，故40S >，与题意不符；综上所述，m 只能取1-，此时885S =-.解法2：已知和要求的都只涉及前n 项和，故也可直接代公式翻译，先看公比是否为1，若{}n a 的公比1q =，则612162142S a S a =≠=，不合题意，所以1q ≠，故414(1)51a q S q-==--①，又6221S S =，所以6211(1)(1)2111a q a q q q --=⋅--，化简得：62121(1)q q -=- ②，又62322411()(1)(1)q q q q q -=-=-++，代入②可得：2242(1)(1)21(1)q q q q -++=- ③，两端有公因式可约，但需分析21q -是否可能为0，已经有1q ≠了，只需再看q 是否可能等于1-，若1q =-，则414[1(1)]01(1)a S --==--，与题意不符，所以1q ≠-，故式③可化为24121q q ++=，整理得：42200q q +-=，所以24q =或5-（舍去），故要求的8241118(1)[1()]255111a q a q a S q q q --===-⋅--- ④，只差11aq-了，该结构式①中也有，可由24q =整体计算它，将24q =代入①可得21(14)51a q-=--，所以1113a q =-，代入④得81255853S =-⨯=-.9．（2023·新高考Ⅱ卷·9·★★★）（多选）已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，AB 为底面直径，o120APB ∠=，2PA =，点C 在底面圆周上，且二面角P AC O --为o 45，则（）（A ）该圆锥的体积为π（B ）该圆锥的侧面积为（C ）AC =（D ）PAC ∆答案：AC解析：A 项，因为2PA =，o 120APB ∠=，所以o 60APO ∠=，cos 1OP AP APO =⋅∠=，sin OA AP APO =⋅∠=，从而圆锥的体积211133V Sh ππ==⨯⨯⨯=，故A 项正确；B 项，圆锥的侧面积2S rl ππ===，故B 项错误；C 项，要求AC 的长，条件中的二面角P AC O --还没用，观察发现PAC ∆和OAC ∆都是等腰三角形，故取底边中点即可构造棱的垂线，作出二面角的平面角，取AC 中点Q ，连接PQ ，OQ ，因为OA OC =，PA PC =，所以AC OQ ⊥，AC PQ ⊥，故PQO ∠即为二面角P AC O --的平面角，由题意，o 45PQO ∠=，所以1OQ OP ==，故AQ ==，所以2AC AQ ==，故C 项正确；D 项，PQ ==，所以11222PAC S AC PQ ∆=⋅=⨯=，故D 项错误.POCABQ10．（2023·新高考Ⅱ卷·10·★★★）（多选）设O 为坐标原点，直线1)y x =-过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，且与C 交于M ，N 两点，l 为C 的准线，则（）（A ）2p = （B ）83MN = （C ）以MN 为直径的圆与l 相切（D ）OMN ∆为等腰三角形答案：AC解析：A 项，在1)y x =-中令0y =可得1x =，由题意，抛物线的焦点为(1,0)F ，所以12p=，从而2p =，故A 项正确；B 项，此处可以由直线MN 的斜率求得MFO ∠，再代角版焦点弦公式22sin pMN α=求MN ，但观察发现后续选项可能需要用M ，N 的坐标，所以直接联立直线与抛物线，用坐标版焦点弦公式来算，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，将1)y x =-代入24y x =消去y 整理得：231030x x -+=，解得：13x =或3，对应的y 分别为-所以图中(3,M -，1(3N ，从而121163233MN x x p =++=++=，故B 项错误；C 项，判断直线与圆的位置关系，只需将圆心到直线的距离d 和半径比较，12523x x MN +=⇒的中点Q 到准线:1l x =-的距离8132d MN ==，从而以MN 为直径的圆与准线l 相切，故C 项正确；D 项，M ，N 的坐标都有了，算出OM ，ON即可判断，OM ==ON ==，所以OM ，ON ，MN 均不相等，故D 项错误.11．（2023·新高考Ⅱ卷·11·★★★）（多选）若函数2()ln (0)b cf x a x a x x =++≠既有极大值也有极小值，则（）（A ）0bc > （B ） 0ab > （C ）280b ac +> （D ）0ac <答案：BCD解析：由题意，223322()(0)a b c ax bx cf x x x x x x --'=--=>，函数()f x 既有极大值，又有极小值，所以()f x '在(0,)+∞上有2个变号零点，故方程220ax bx c --=在(0,)+∞上有两个不相等实根，所以212120()(()4(2)020)()b a c c x x a b x x a ⎧⎪∆=--->⎪⎪=->⎨⎪⎪+=>⎪⎩保证有两根保证两根同号保证两根只能同③正①②，由①可得280b ac +>，故C 项正确；由②可得0ca<，所以a ，c 异号，从而0ac <，故D 项正确；由③可得a ，b 同号，所以0ab >，故B 项正确；因为a ，c 异号，a ，b 同号，所以b ，c 异号，从而0bc <，故A 项错误.12．（2023·新高考Ⅱ卷·12·★★★★）（多选）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立. 发送0时，收到1的概率为(01)αα<<，收到0的概率为1α-；发送1时，收到0的概率为(01)ββ<<，收到1的概率为1β-. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输. 单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次. 收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.（）（A ）采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为2(1)(1)αβ--（B ）采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为2(1)ββ-（C ）采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为23(1)(1)βββ-+-（D ）当00.5α<<时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率答案：ABD 解析：A 项，由题意，若采用单次传输方案，则发送1收到1的概率为1β-，发送0收到0的概率为1α-，所以依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为2(1)(1)(1)(1)(1)βαβαβ---=--，故A 项正确；B 项，采用三次传输方案，若发送1，则需独立重复发送3次1，依次收到1，0，1的概率为2(1)(1)(1)βββββ--=-，故B 项正确；C 项，采用三次传输方案，由B 项的分析过程可知若发送1，则收到1的个数~(3,1)X B β-，而译码为1需收2个1，或3个1，所以译码为1的概率为22332333(2)(3)C (1)C (1)3(1)(1)P X P X ββββββ=+==-+-=-+-，故C 项错误；D 项，若采用单次传输方案，则发送0译码为0的概率为1α-；若采用三次传输方案，则发送0等同于发3个0，收到0的个数~(3,1)Y B α-，且译码为0的概率为22332333(2)(3)C (1)C (1)3(1)(1)P Y P Y αααααα=+==-+-=-+-，要比较上述两个概率的大小，可作差来看，2323(1)(1)(1)(1)[3(1)(1)1](1)(12)ααααααααααα-+---=--+--=--，因为00.5α<<，所以233(1)(1)(1)(1)(12)0ααααααα-+---=-->，从而233(1)(1)1αααα-+->-，故D 项正确.13．（2023·新高考Ⅱ卷·13·★★）已知向量a ，b满足-=a b ，2+=-a b a b ，则=b _____.解析：条件涉及两个模的等式，想到把它们平方来看，由题意，22223-=+-⋅=a b a b a b ①，又2+=-a b a b ，所以222+=-a b a b ，故2222244++⋅=+-⋅a b a b a b a b ，整理得：220-⋅=a a b ，代入①可得23=b ，即23=b，所以=b .14．（2023·新高考Ⅱ卷·14·★★）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为_____.答案：28解析：如图，四棱锥1111P A B C D -与P ABCD -相似，它们的体积之比等于边长之比的立方，故只需求四棱锥1111P A B C D -的体积，11113112111(4228P A B C D P ABCD V A B AB V --==⇒==，所以11118P ABCD P A B C D V V --=，故所求四棱台的体积11117P A B C D V V -=，由题意，1111212343P A B C D V -=⨯⨯=，所以7428V =⨯=.P 1D 1A 1B 1CD AB CO423【反思】相似图形的面积之比等于边长之比的平方，体积之比等于边长之比的立方.15．（2023·新高考Ⅱ卷·15·★★★）已知直线10x my -+=与⊙22:(1)4C x y -+=交于A ，B 两点，写出满足“ABC ∆的面积为85”的m 的一个值_____.答案：2（答案不唯一，也可填2-或12或12-）解析：如图，设圆心(1,0)C 到直线AB 的距离为(0)d d >，则12ABC S AB d ∆=⋅，注意到AB 也可用d 表示，故先由85ABC S ∆=求d ，再将d 用m 表示，建立关于m 的方程，又AB ==12ABC S d ∆=⨯=，由题意，85ABC S ∆=85=，结合0d >解得：d =又d ====，解得：2m =±或12±.16．（2023·新高考Ⅱ卷·16·★★★★）已知函数()sin()f x x ωϕ=+，如图，A ，B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点，若6AB π=，则()f π=_____.答案：解法1：6AB π=这个条件怎么翻译？可用12y =求A ，B 横坐标的通解，得到AB ，从而建立方程求ω，不妨设0ω>，令1sin()2x ωϕ+=可得26x k πωϕπ+=+或526k ππ+，其中k ∈Z ，由图知26A x k πωϕπ+=+，526B x k πωϕπ+=+，两式作差得：2()3B A x x πω-=，故23B A x x πω-=，又6B A AB x x π=-=，所以336ππω=，解得：4ω=，则()sin(4)f x x ϕ=+，再求ϕ，由图知23π是零点，可代入解析式，注意，23π是增区间上的零点，且sin y x =的增区间上的零点是2n π，故应按它来求ϕ的通解，所以82()3n n πϕπ+=∈Z ，从而823n πϕπ=-，故82()sin(42)sin(4)33f x x n x πππ=+-=-，所以222()sin(4sin(sin 333f πππππ=-=-=-=.解法2：若注意横向伸缩虽会改变图象在水平方向上的线段长度，但不改变长度比例，则可先分析sin y x =与12y =交点的情况，再按比例对应到本题的图中来，如图1，直线12y =与函数sin y x =在y 轴右侧的三个I ，J ，K 的横坐标分别为6π，56π，136π，所以52663IJ πππ=-=，1354663JK πππ=-=，:1:2IJ JK =，故在图2中:1:2AB BC =，因为6AB π=，所以3BC π=，故2AC AB BC π=+=，又由图2可知AC T =，所以2T π=，故24Tπω==，接下来同解法1.2图【反思】①对于函数sin()(0)y x ωϕω=+>，若只能用零点来求解析式，则需尽量确定零点是在增区间还是减区间. “上升零点”用2xn ωϕπ+=来求，“下降零点”用2x n ωϕππ+=+来求；②对图象进行横向伸缩时，水平方向的线段长度比例关系不变，当涉及水平线与图象交点的距离时，我们常抓住这一特征来求周期.17．（2023··17·★★★）记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC ∆D 为BC 的中点，且1AD =.（1）若3ADC π∠=，求tan B ；（2）若228b c +=，求b ，c .解：（1）如图，因为3ADC π∠=，所以23ADB π∠=，（要求tan B ，可到ABD ∆中来分析，所给面积怎么用？可以用它求出ABD S ∆，从而得到BD ）因为D 是BC 中点，所以2ABC ABD S S ∆∆=，又ABC S ∆=ABD S ∆=由图可知112sin 1sin 223ABD S AD BD ADB BD π∆=⋅⋅∠=⨯⨯⨯=，所以=2BD =，（此时ABD ∆已知两边及夹角，可先用余弦定理求第三边AB ，再用正弦定理求角B ）在ABD ∆中，由余弦定理，2222212cos 12212()72AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯-=，所以AB =由正弦定理，sin sin AB AD ADB B =∠，所以1sin sin AD ADB B AB ⋅∠===，由23ADB π∠=可知B为锐角，从而cos B ==，故sin tan cos B B B ==.（2）（已有关于bc 的一个方程，若再建立一个方程，就能求b 和c ，故把面积和中线都用b ，c 表示）由题意，1sin 2ABC S bc A ∆==，所以sin bc A =①，（中线AD 怎样用b ，c 表示？可用向量处理）因为D 为BC 中点，所以1()2AD AB AC =+，从而2AD AB AC =+ ，故22242AD AB AC AB AC =++⋅ ，所以222cos 4c b cb A ++=，将228b c +=代入上式化简得cos 2bc A =- ②，（我们希望找的是b ，c 的方程，故由①②消去A ，平方相加即可）由①②得222222sin cos 16b c A b c A +=，所以4bc = ③，由228b c +=可得2()28b c bc +-=，所以4b c +==，结合式③可得2b c ==.ADBC118．（2023·新高考Ⅱ卷·18·★★★★）已知{}n a 为等差数列，6,2,n n n a n b a n -⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，记n S ，n T 分别为{}n a ，{}n b 的前n 项和，432S =，316T =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）证明：当5n >时，n n T S >.解：（1）（给出了两个条件，把它们用1a 和d 翻译出来，即可建立方程组求解1a 和d ）由题意，414632S a d =+= ①，31231231111(6)2(6)62()26441216T b b b a a a a a d a d a d =++=-++-=-++++-=+-= ②，由①②解得：15a =，2d =，所以1(1)23n a a n d n =+-=+.（2）由（1）可得21()(523)422n n n a a n n S n n +++===+，（要证结论，还需求n T ，由于n b 按奇偶分段，故求n T 也应分奇偶讨论，先考虑n 为偶数的情形）当(5)n n >为偶数时，12n nT b b b =++⋅⋅⋅+12341(6)2(6)2(6)2n na a a a a a -=-++-++⋅⋅⋅+-+13124()62()2n n na a a a a a -=++⋅⋅⋅+-⨯+++⋅⋅⋅+ ③，因为131,,,n a a a -⋅⋅⋅和24,,,n a a a ⋅⋅⋅分别也构成等差数列，所以211131()(521)32242n n na a n n n n a a a --++++++⋅⋅⋅+===，2224()(723)52242n n na a n n n n a a a ++++++⋅⋅⋅+===，代入③化简得：222353732222n n n n n n nT n +++=-+⨯=，（要由此证n n T S >，可作差比较）所以2237(4)022n n n n n n T S n n 2+--=-+=>，故n n T S >；（对于n 为奇数的情形，可以重复上述计算过程，但更简单的做法是补1项凑成偶数项，再减掉补的那项）当(5)n n >为奇数时，2113(1)7(1)2n n n n n T T b +++++=-=-2213(1)7(1)351022(25)22n n n n n a n +++++-=-+=，所以223510(4)2n n n n T S n n +--=-+2310(2)(5)022n n n n --+-==>，故n n T S >；综上所述，当5n >时，总有n n T S >.19．（2023·新高考Ⅱ卷·19·★★★）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该项指标的频率分布直方图：患病者未患病者利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c ，将该指标大于c 的人判定为阳性，小于或等于c 的人判定为阴性. 此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为()p c ；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为()q c . 假设数据在组内均匀分布. 以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.（1）当漏诊率()0.5%p c =时，求临界值c 和误诊率()q c ；（2）设函数()()()f c p c q c =+. 当[95,105]c ∈时，求()f c 的解析式，并求()f c 在区间[95,105]的最小值.解：（1）（给的是漏诊率，故先看患病者的图，漏诊率为0.5%即小于或等于c 的频率为0.5%，可由此求c ）由患病者的图可知，[95,100)这组的频率为50.0020.010.005⨯=>，所以c 在[95,100)内，且(95)0.0020.005c -⨯=，解得：97.5c =；（要求()q c ，再来看未患病者的图，()q c 是误诊率，也即未患病者判定为阳性（指标大于c ）的概率）由未患病者的图可知指标大于97.5的概率为(10097.5)0.0150.0020.035-⨯+⨯=，所以() 3.5%q c =.（2）（[95,105]包含两个分组，故应分类讨论）当95100c ≤<时，()(95)0.002p c c =-⨯，()(100)0.0150.002q c c =-⨯+⨯，所以()()()0.0080.82f c p c q c c =+=-+，故()0.0081000.820.02f c >-⨯+= ①；当100105c ≤≤时，()50.002(100)0.012p c c =⨯+-⨯，()(105)0.002q c c =-⨯，所以()()()0.010.98f c p c q c c =+=-，故()(100)0.011000.980.02f c f ≥=⨯-= ②；所以0.0080.82,95100()0.010.98,100105c c f c c c -+≤<⎧=⎨-≤≤⎩，且由①②可得min ()0.02f c =.20．（2023·新高考Ⅱ卷·20·★★★）如图，三棱锥A BCD -中，DA DB DC ==，BD CD ⊥，o 60ADB ADC ∠=∠=，E 为BC 的中点.（1）证明：BC DA ⊥；（2）点F 满足EF DA =，求二面角D AB F --的正弦值.CDABEF解：（1）（BC 和DA 是异面直线，要证垂直，需找线面垂直，可用逆推法，假设BC DA ⊥，注意到条件中还有DB DC =，所以BC DE ⊥，二者结合可得到BC ⊥面ADE ，故可通过证此线面垂直来证BC DA ⊥）因为DA DB DC ==，o 60ADB ADC ∠=∠=，所以ADB ∆和ADC ∆是全等的正三角形，故AB AC =，又E 为BC 中点，所以BC AE ⊥，BC DE ⊥，因为AE ，DE ⊂平面ADE ，AE DE E = ，所以BC ⊥平面ADE ，又DA ⊂平面ADE ，所以BC DA ⊥.（2）（由图可猜想AE ⊥面BCD ，若能证出这一结果，就能建系处理，故先尝试证明）不妨设2DA DB DC ===，则2AB AC ==，因为BDCD ⊥，所以BC ==，故12DE CE BE BC ===，AE ==所以2224AE DE AD +==，故AE DE ⊥，所以EA ，EB ，ED 两两垂直，以E 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A ，D ，B，所以(DA =，AB =，由EF DA = 可知四边形ADEF是平行四边形，所以FA ED == ，设平面DAB 和平面ABF 的法向量分别为111(,,)x y z =m ，222(,,)x y z =n，则111100DA AB ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩m m ，令11x =，则1111y z =⎧⎨=⎩，所以(1,1,1)=m 是平面DAB 的一个法向量，22200AB FA ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n ，令21y =，则2201x z =⎧⎨=⎩，所以(0,1,1)=n 是平面ABF 的一个法向量，从而cos ,⋅<>===⋅m n m n m n 故二面角D AB F --=.21．（2023··21·★★★★）已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为(-.（1）求C 的方程；（2）记C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，过点(4,0)-的直线与C 的左支交于M ，N 两点，M 在第二象限，直线1MA 与2NA 交于点P ，证明：点P 在定直线上.解：（1）设双曲线方程为()222210,0x y a b a b-=>>，由焦点坐标可知c =则由ce a ==可得2a =，4b ==，双曲线方程为221416x y -=.（2）由(1)可得()()122,0,2,0A A -，设()()1122,,,M x y N x y ，显然直线的斜率不为0，所以设直线MN 的方程为4x my =-，且1122m -<<，与221416x y -=联立可得()224132480m y my --+=，且264(43)0m ∆=+>，则1212223248,4141m y y y y m m +==--，直线1MA 的方程为()1122y y x x =++，直线2NA 的方程为()2222yy x x =--，联立直线1MA 与直线2NA 的方程可得：()()()()()2121121211212121222222266y x y my my y y y y x x y x y my my y y +--+++==--=--112221122483216222141414148483664141m mm y y m m m m m y y m m -⋅-⋅++---===-⨯----，由2123x x +=--可得=1x -，即1P x =-，据此可得点P 在定直线=1x -上运动.【点睛】关键点点睛:求双曲线方程的定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题的关键.22．（2023·新高考Ⅱ卷·22·★★★★）（1）证明：当01x <<时，2sin x x x x -<<；（2）已知函数2()cos ln(1)f x ax x =--，若0x =是()f x 的极大值点，求a 的取值范围.解：（1）构建()()sin ,0,1F x x x x =-∈，则()1cos 0F x x '=->对()0,1x ∀∈恒成立，则()F x 在()0,1上单调递增，可得()()00F x F >=，所以()sin ,0,1x x x >∈；构建()()()22sin sin ,0,1G x x x x x x x x =--=-+∈，则()()21cos ,0,1G x x x x '=-+∈，构建()()(),0,1g x G x x '=∈，则()2sin 0g x x '=->对()0,1x ∀∈恒成立，则()g x 在()0,1上单调递增，可得()()00g x g >=，即()0G x '>对()0,1x ∀∈恒成立，则()G x 在()0,1上单调递增，可得()()00G x G >=，所以()2sin ,0,1x x x x >-∈；综上所述：sin x x x x 2-<<.（2）令210x ->，解得11x -<<，即函数()f x 的定义域为()1,1-，若0a =，则()()()2ln 1,1,1f x x x =--∈-，因为ln y u =-在定义域内单调递减，21y x =-在()1,0-上单调递增，在()0,1上单调递减，则()()2ln 1f x x =--在()1,0-上单调递减，在()0,1上单调递增，故0x =是()f x 的极小值点，不合题意，所以0a ≠.当0a ≠时，令0b a =>因为()()()()()222cos ln 1cos ln 1cos ln 1f x ax x a x x bx x =--=--=--，且()()()()()22cos ln 1cos ln 1f x bx x bx x f x ⎡⎤-=----=--=⎣⎦，所以函数()f x 在定义域内为偶函数，由题意可得：()()22sin ,1,11xf x b bx x x =--∈'--，（i ）当202b <≤时，取1min ,1m b ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，()0,x m ∈，则()0,1bx ∈，由（1）可得()()()2222222222sin 111x b x b x x f x b bx b x x x x +-'=-->--=---，且22220,20,10b x b x >-≥->，所以()()2222201x b x b f x x+-'>>-，即当()()0,0,1x m ∈⊆时，()0f x ¢>，则()f x 在()0,m 上单调递增，结合偶函数的对称性可知：()f x 在(),0m -上单调递减，所以0x =是()f x 的极小值点，不合题意；（ⅱ）当22b >时，取()10,0,1x b ⎛⎫∈⊆ ⎪⎝⎭，则()0,1bx ∈，由（1）可得()()()2233223222222sin 2111x x xf x b bx b bx b x b x b x b x b x x x'=--<---=-+++----，构建()33223212,0,h x b x b x b x b x b ⎛⎫=-+++-∈ ⎪⎝⎭，则()3223132,0,h x b x b x b x b ⎛⎫'=-++∈ ⎪⎝⎭，且()33100,0h b h b b b ⎛⎫''=>=-> ⎪⎝⎭，则()0h x '>对10,x b ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭恒成立，可知()h x 在10,b ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，且()21020,20h b h b ⎛⎫=-<=> ⎪⎝⎭，所以()h x 在10,b ⎛⎫ ⎪⎝⎭内存在唯一的零点10,n b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当()0,x n ∈时，则()0h x <，且20,10x x >->，则()()3322322201x f x b x b x b x b x '<-+++-<-，即当()()0,0,1x n ∈⊆时，()0f x '<，则()f x 在()0,n 上单调递减，结合偶函数的对称性可知：()f x 在(),0n -上单调递增，所以0x =是()f x 的极大值点，符合题意；综上所述：22b >，即22a >，解得a a <故a 的取值范围为(),-∞+∞.。

高考数学新课标全国Ⅱ卷真题(理科)

高考数学新课标全国Ⅱ卷真题（理科）【】高考作为考生迈入大学的重要考试，备受家长和考生的关注!2021年高考正在举行，查字典数学网将2提供014高考数学新课标全国Ⅱ卷真题下载，方便大家查阅!2021年普通初等学校招生全国一致考试文科(新课标卷二Ⅱ)第一卷一.选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只要一项为哪一项契合标题要求的.1.设集合M={0,1,2｝，N= ，那么 =( )A. {1｝B. {2｝C. {0，1｝D. {1，2｝2.设双数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，zxxk ，那么 ( )A. - 5B. 5C. - 4+ iD. - 4 - i3.设向量a,b满足|a+b|= ，|a-b|= ，那么a b = ( )A. 1B. 2C. 3D. 54.钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC= ，那么AC=( )A. 5B.C. 2D. 15.某地域空气质量监测资料说明，一天的空气质量为优秀的概率是0.75，延续两为优秀的概率是0.6，某天的空气质量为优秀，那么随后一天的空气质量为优秀的概率是( )A. 0.8B. 0.75C. 0.6D. 0.456.如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm),图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削失掉，那么切削掉局部的体积与原来毛坯体积的比值为( )A. B. C. D. 7.执行右图顺序框图，假设输入的x,t均为2，那么输入的S= ( )A. 4B. 5C. 6D. 78.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，那么a=A. 0B. 1C. 2D. 39.设x,y满足约束条件，那么的最大值为( )A. 10B. 8C. 3D. 210.设F为抛物线C: 的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，那么△OAB的面积为( )A. B. C. D. 11.直三棱柱ABC-A1B1C1中，BCA=90，M，N区分是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，那么BM与AN所成的角的余弦值为( )A. B. C. D. 12.设函数 .假定存在的极值点满足，那么m的取值范围是( )A. B. C. D.。

2021年高考数学试卷(新高考Ⅱ卷)(解析卷)

2021年全国统一高考数学试卷（新高考全国Ⅱ卷）使用省份：海南､辽宁､重庆一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 复数2i13i--在复平面内对应的点所在的象限为（）A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】【分析】利用复数的除法可化简2i13i--，从而可求对应的点的位置.【详解】()()2i 13i 2i 55i 1i13i 10102-+-++===-，所以该复数对应的点为11,22æöç÷èø，该点在第一象限，故选：A2. 设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()U A B =I ð（）A. {3} B. {1,6} C. {5,6} D. {1,3}【答案】B 【解析】【分析】根据交集、补集的定义可求()U A B Çð.【详解】由题设可得{}U 1,5,6B =ð，故(){}U 1,6A B Ç=ð，故选：B.3. 抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+，则p =（）A. 1B. 2C. D. 4【答案】B 【解析】【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p 的值..【详解】抛物线的焦点坐标为,02p æöç÷èø，其到直线10x y -+=的距离：d 解得：2p =(6p =-舍去).故选：B.4.北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O ，半径r 为6400km 的球，其上点A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为a ，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为22(1cos )S r p a =-（单位：2km），则S 占地球表面积的百分比约为（）A. 26% B. 34% C. 42% D. 50%【答案】C 【解析】【分析】由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得，S 占地球表面积的百分比约为：226400164003600002(1.cos )1cos 44242%22r r p a ap ---+==»=.故选：C .5. 正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（）A. 20+B. C.563【答案】D 【解析】【分析】由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解.【详解】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，所以该棱台的高h ==下底面面积116S =，上底面面积24S =，所以该棱台的体积((121116433V h S S =+=++=.故选：D.6. 某物理量的测量结果服从正态分布()210,N s，下列结论中不正确的是（）A. s 越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B. s 越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C. s 越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D. s 越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等【答案】D 【解析】【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.【详解】对于A ，2s 为数据的方差，所以s 越小，数据在10m =附近越集中，所以测量结果落在()9.9,10.1内的概率越大，故A 正确；对于B ，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B 正确；对于C ，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C 正确；对于D ，因为该物理量一次测量结果落在()9.9,10.0的概率与落在()10.2,10.3的概率不同，所以一次测量结果落在()9.9,10.2的概率与落在()10,10.3的概率不同，故D 错误.故选：D .7. 已知5log 2a =，8log 3b =，12c =，则下列判断正确的是（）A. c b a << B. b a c<< C. a c b<< D. a b c<<【答案】C 【解析】【分析】对数函数的单调性可比较a 、b 与c 的大小关系，由此可得出结论.【详解】55881log 2log log log 32a b =<==<=，即a c b <<.故选：C.8. 已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +为偶函数，()21f x +为奇函数，则（）A. 102f æö-=ç÷èøB. ()10f -=C. ()20f =D. ()40f =【答案】B 【解析】【分析】推导出函数()f x 是以4为周期的周期函数，由已知条件得出()10f =，结合已知条件可得出结论.【详解】因为函数()2f x +为偶函数，则()()22f x f x +=-，可得()()31f x f x +=-，因为函数()21f x +为奇函数，则()()1221f x f x -=-+，所以，()()11f x f x -=-+，所以，()()()311f x f x f x +=-+=-，即()()4f x f x =+，故函数()f x 是以4为周期的周期函数，因为函数()()21F x f x =+为奇函数，则()()010F f ==，故()()110f f -=-=，其它三个选项未知.故选：B.二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 下列统计量中，能度量样本12,,,n x x x L 的离散程度的是（）A. 样本12,,,n x x x L 的标准差B. 样本12,,,n x x x L 的中位数C. 样本12,,,n x x x L 的极差D. 样本12,,,n x x x L 的平均数【答案】AC 【解析】【分析】考查所给的选项哪些是考查数据的离散程度，哪些是考查数据的集中趋势即可确定正确选项.【详解】由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；故选：AC.10.如图，在正方体中，O 为底面的中心，P 为所在棱的中点，M ，N 为正方体的顶点．则满足MN OP ^的是（）A. B.C. D.【答案】BC 【解析】【分析】根据线面垂直的判定定理可得BC 的正误，平移直线MN 构造所考虑的线线角后可判断AD 的正误.【详解】设正方体的棱长为2，对于A ，如图（1）所示，连接AC ，则//MN AC ，故POC Ð（或其补角）为异面直线,OP MN 所成的角，直角三角形OPC ，OC =1CP =，故tan POC Ð==在故MN OP ^不成立，故A 错误.对于B ，如图（2）所示，取NT 的中点为Q ，连接PQ ，OQ ，则OQ NT ^，PQ MN ^，由正方体SBCM NADT -可得SN ^平面ANDT ，而OQ Ì平面ANDT ，故SN OQ ^，而SN MN N =I ，故OQ ^平面SNTM ，又MN Ì平面SNTM ，OQ MN ^，而OQ PQ Q =I ，所以MN ^平面OPQ ，而PO Ì平面OPQ ，故MN OP ^，故B 正确.对于C ，如图（3），连接BD ，则//BD MN ，由B 的判断可得OP BD ^，故OP MN ^，故C 正确.对于D ，如图（4），取AD 的中点Q ，AB 的中点K ，连接,,,,AC PQ OQ PK OK ，则//AC MN ，因为DP PC =，故//PQ AC ，故//PQ MN ，所以QPO Ð或其补角为异面直线,PO MN 所成的角，因为正方体的棱长为2，故12PQ AC ==，OQ ===PO ===，222QO PQ OP <+，故QPO Ð不是直角，故,PO MN 不垂直，故D 错误.故选：BC.11. 已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(,)A a b ，则下列说法正确的是（）A. 若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B. 若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离C. 若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D. 若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切【答案】ABD 【解析】【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为222,a b r +的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.【详解】圆心()0,0C 到直线l 的距离d =，若点(),A a b 在圆C 上，则222a b r +=，所以d =则直线l 与圆C 相切，故A 正确；若点(),A a b 在圆C 内，则222a b r +<，所以d =则直线l 与圆C 相离，故B 正确；若点(),A a b 在圆C 外，则222a b r +>，所以d =则直线l 与圆C 相交，故C 错误；若点(),A a b 在直线l 上，则2220a b r +-=即222=a b r +，所以d =l 与圆C 相切，故D 正确.故选：ABD.12.设正整数010112222k k k k n a a a a --=×+×++×+×L ，其中{}0,1i a Î，记()01k n a a a w =+++L ．则（）A. ()()2n n w w =B. ()()231n n w w +=+C. ()()8543n n w w +=+D. ()21nnw -=【答案】ACD 【解析】【分析】利用()n w 的定义可判断ACD 选项的正误，利用特殊值法可判断B 选项的正误.【详解】对于A 选项，()01k n a a a w =+++L ，12101122222k k k k n a a a a +-=×+×++×+×L ，所以，()()012k n a a a n w w =+++=L ，A 选项正确；对于B 选项，取2n =，012237121212n +==×+×+×，()73w \=，而0120212=×+×，则()21w =，即()()721w w ¹+，B 选项错误；对于C 选项，3430234301018522251212222k k k k n a a a a a a +++=×+×++×+=×+×+×+×++×L L ，所以，()01852k n a a a w +=++++L ，2320123201014322231212222k k k k n a a a a a a +++=×+×++×+=×+×+×+×++×L L ，所以，()01432k n a a a w +=++++L ，因此，()()8543n n w w +=+，C 选项正确；对于D 选项，01121222n n --=+++L ，故()21nn w -=，D 选项正确.故选：ACD.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为_______________【答案】y =【解析】【分析】由双曲线离心率公式可得223b a=，再由渐近线方程即可得解.【详解】因为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2，所以2e ===，所以223b a =，所以该双曲线的渐近线方程为by x a=±=.故答案为：y =.【点睛】本题考查了双曲线离心率的应用及渐近线的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.14. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数():f x _______．①()()()1212f x x f x f x =；②当(0,)x Î+¥时，()0f x ¢>；③()¢f x 是奇函数．【答案】()4f x x =（答案不唯一，()()2*nxN f n x =Î均满足）【解析】【分析】根据幂函数的性质可得所求的()f x .【详解】取()4f x x =，则()()()()44421121122x f x f x x x x f x x ===，满足①，()34f x x ¢=，0x >时有()0f x ¢>，满足②，()34f x x ¢=的定义域为R ，又()()34f x x f x ¢¢-=-=-，故()f x ¢是奇函数，满足③.故答案为：()4f x x =（答案不唯一，()()2*nxN f n x =Î均满足）15. 已知向量0a b c ++=r r r r ，1a =r ，2b c ==r r ，a b b c c a ×+×+×=r r r r r r_______．【答案】92-【解析】【分析】由已知可得()20a b c++=r r r，展开化简后可得结果.【详解】由已知可得()()()22222920a b c a b c a b b c c a a b b c c a ++=+++×+×+×=+×+×+×=r r rr r r r r r r r r r r r r r r，因此，92a b b c c a ×+×+×=-r r r r r r .故答案为：92-.16.已知函数12()1,0,0xf x e x x <=>-，函数()f x 的图象在点()()11,A x f x 和点()()22,B x f x 的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 取值范围是_______．【答案】()0,1【解析】【分析】结合导数的几何意义可得120x x +=，结合直线方程及两点间距离公式可得A M =，B N =.【详解】由题意，()1011,0,xx x e x f x e e x <=ì---³ï=íïî，则()0,,0xx x f x e e x ì-ï=<>í¢ïî，所以点()11,1x A x e -和点()22,1x B x e -，12,x x AM BN k e k e =-=,所以12121,0x x e e x x -×=-+=，所以()()111111,0:,11x x x x e e x x e AM e y M x -+=---+，所以AM ==()10,1x e =Î=故答案：()0,1【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件120x x +=，消去一个变量后，运算即可得解.四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17. 记n S 是公差不为0等差数列{}n a 的前n 项和，若35244,a S a a S ==．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）求使n n S a >成立的n 的最小值．【答案】(1)26n a n =-；(2)7.【解析】【分析】(1)由题意首先求得3a 的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；(2)首先求得前n 项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n 的最小值.【详解】(1)由等差数列的性质可得：535S a =，则：3335,0a a a =\=，设等差数列的公差为d ，从而有：()()22433a a a d a d d =-+=-，()()()41234333322S a a a a a d a d a a d d =+++=-+-++-=-，从而：22d d -=-，由于公差不为零，故：2d =，数列的通项公式为：()3326n a a n d n =+-=-.(2)由数列的通项公式可得：1264a =-=-，则：()()214262n n n S n n n -=´-+´=-，.为的则不等式n n S a >即：2526n n n ->-，整理可得：()()160n n -->，解得：1n <或6n >，又n 为正整数，故n 的最小值为7.【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.18. 在ABC V 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+.．（1）若2sin 3sin C A =，求ABC V 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC V 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．【答案】（12）存在，且2a =.【解析】【分析】（1）由正弦定理可得出23c a =，结合已知条件求出a 的值，进一步可求得b 、c 的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出sin B ，再利用三角形的面积公式可求得结果；（2）分析可知，角C 为钝角，由cos 0C <结合三角形三边关系可求得整数a 的值.【详解】（1）因为2sin 3sin C A =，则()2223c a a =+=，则4a =，故5b =，6c =，2221cos 28a b c C ab +-==，所以，C 为锐角，则sin C ==，因此，11sin 4522ABC S ab C ==´´=△（2）显然c b a >>，若ABC V 为钝角三角形，则C 为钝角，由余弦定理可得()()()()22222221223cos 022121a a a a b c a a C ab a a a a ++-++---===<++，解得13a -<<，则0<<3a ，由三角形三边关系可得12a a a ++>+，可得1a >，a Z ÎQ ，故2a =.19. 在四棱锥Q ABCD -中，底面ABCD 是正方形，若2,3AD QD QA QC ====．（1）证明：平面QAD ^平面ABCD ；（2）求二面角B QD A --的平面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）23.【解析】【分析】（1）取AD 的中点为O ，连接,QO CO ，可证QO ^平面ABCD ，从而得到面QAD ^面ABCD .（2）在平面ABCD 内，过O 作//OT CD ，交BC 于T ，则OT AD ^，建如图所示的空间坐标系，求出平面QAD 、平面BQD 的法向量后可求二面角的余弦值.【详解】（1）取AD 的中点为O ，连接,QO CO .因为QA QD =，OA OD =，则QO ^AD ，而2,AD QA ==2QO ==.在正方形ABCD 中，因为2AD =，故1DO =，故CO =因为3QC =，故222QC QO OC =+，故QOC V 为直角三角形且QO OC ^，因为OC AD O =I ，故QO ^平面ABCD ，因为QO Ì平面QAD ，故平面QAD ^平面ABCD .（2）在平面ABCD 内，过O 作//OT CD ，交BC 于T ，则OT AD ^，结合（1）中的QO ^平面ABCD ，故可建如图所示的空间坐标系.则()()()0,1,0,0,0,2,2,1,0D Q B -，故()()2,1,2,2,2,0BQ BD =-=-uuu r uuu r .设平面QBD 的法向量(),,n x y z =r ，则00n BQ n BD ì×=í×=îuuu v v uuu v v 即220220x y z x y -++=ìí-+=î，取1x =，则11,2y z ==，故11,1,2n æö=ç÷èør .而平面QAD 的法向量为()1,0,0m =u r ，故12cos ,3312m n ==´u r r .二面角B QD A --的平面角为锐角，故其余弦值为23.20. 已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，右焦点为F．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN =【答案】（1）2213x y +=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由离心率公式可得a =2b ，即可得解；（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证MN =充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<，由直线与圆相切得221b k =+，联立直线与椭圆方程结合弦=1k =±，即可得解.【详解】（1）由题意，椭圆半焦距c =且c e a ==，所以a =又2221b a c =-=，所以椭圆方程为2213x y +=；（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>，当直线MN 的斜率不存在时，直线:1MN x =，不合题意；当直线MN 的斜率存在时，设()()1122,,,M x y N x y ，必要性：若M ，N ，F三点共线，可设直线(:MN y k x =即0kx y--=，由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1，解得1k =±，联立(2213y x x y ì=±ïíï+=î可得2430x -+=，所以121234x x x x +=×=，所以MN ==所以必要性成立；充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<即0kx y b -+=，由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，所以221b k =+，联立2213y kx b x y =+ìïí+=ïî可得()222136330k x kbx b +++-=，所以2121222633,1313kb b x x x x k k -+=-×=++，===化简得()22310k-=，所以1k=±，所以kb=ìïí=ïî或kb=ìïí=ïî，所以直线:MN y x=或y x=-，所以直线MN过点F，M，N，F三点共线，充分性成立；所以M，N，F三点共线的充要条件是||MN=【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重. 21.一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，()(0,1,2,3)iP X i p i===．（1）已知01230.4,0.3,0.2,0.1p p p p====，求()E X；（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：230123p p x p x p x x+++=的一个最小正实根，求证：当()1E X£时，1p=，当()1E X>时，1p<；（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．【答案】（1）1；（2）见解析；（3）见解析.【解析】【分析】（1）利用公式计算可得()E X.（2）利用导数讨论函数的单调性，结合()10f=及极值点的范围可得()f x的最小正零点.（3）利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明.【详解】（1）()00.410.320.230.11E X=´+´+´+´=.（2）设()()3232101f x p x p x p x p=++-+，因为32101p p p p +++=，故()()32322030f x p x p x p p p x p =+-+++，若()1E X £，则123231p p p ++£，故2302p p p +£.()()23220332f x p x p x p p p ¢=+-++，因为()()20300f p p p ¢=-++<，()230120f p p p ¢=+-£，故()f x ¢有两个不同零点12,x x ，且1201x x <<£，且()()12,,x x x Î-¥È+¥时，()0f x ¢>；()12,x x x Î时，()0f x ¢<；故()f x 在()1,x -¥，()2,x +¥上为增函数，在()12,x x 上为减函数，若21x =，因为()f x 在()2,x +¥为增函数且()10f =，而当()20,x x Î时，因为()f x 在()12,x x 上为减函数，故()()()210f x f x f >==，故1为230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根，若21>x ，因为()10f =且在()20,x 上为减函数，故1为230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根，综上，若()1E X £，则1p =.若()1E X >，则123231p p p ++>，故2302p p p +>.此时()()20300f p p p ¢=-++<，()230120f p p p ¢=+->，故()f x ¢有两个不同零点34,x x ，且3401x x <<<，且()()34,,x x x Î-¥+¥U 时，()0f x ¢>；()34,x x x Î时，()0f x ¢<；故()f x 在()3,x -¥，()4,x +¥上为增函数，在()34,x x 上为减函数，而()10f =，故()40f x <，又()000f p =>，故()f x 在()40,x 存在一个零点p ，且1p <.所以p 为230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根，此时1p <，故当()1E X >时，1p <.（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1.22. 已知函数2()(1)x f x x e ax b =--+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）从下面两个条件中选一个，证明：()f x 有一个零点①21,222e a b a <£>；②10,22a b a <<£．【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可；(2)由题意结合(1)中函数的单调性和函数零点存在定理即可证得题中的结论.【详解】(1)由函数的解析式可得：()()'2x f x x e a =-，当0a £时，若(),0x Î-¥，则()()'0,f x f x <单调递减，若()0,x Î+¥，则()()'0,f x f x >单调递增；当102a <<时，若()(),ln 2x a Î-¥，则()()'0,f x f x >单调递增，若()()ln 2,0x a Î，则()()'0,f x f x <单调递减，若()0,x Î+¥，则()()'0,f x f x >单调递增；当12a =时，()()'0,f x f x ³在R 上单调递增；当12a >时，若(),0x Î-¥，则()()'0,f x f x >单调递增，若()()0,ln 2x a Î，则()()'0,f x f x <单调递减，若()()ln 2,x a Î+¥，则()()'0,f x f x >单调递增；(2)若选择条件①：由于2122e a <…，故212a e <£，则()21,010b af b >>=->，而()()210b f b b e ab b --=----<，而函数在区间(),0-¥上单调递增，故函数在区间(),0-¥上有一个零点.()()()()2ln 22ln 21ln 2f a a a a a b=--+éùéùëûëû()()22ln 21ln 22a a a a a>--+éùéùëûëû()()22ln 2ln 2a a a a =-éùëû()()ln 22ln 2a a a =-éùëû，由于2122e a <…，212a e <£，故()()ln 22ln 20a a a -³éùëû，结合函数的单调性可知函数在区间()0,¥+上没有零点.综上可得，题中的结论成立.若选择条件②：由于102a <<，故21a <，则()01210fb a =-£-<，当0b ³时，24,42e a ><，()2240f e a b =-+>，而函数在区间()0,¥+上单调递增，故函数在区间()0,¥+上有一个零点.当0b <时，构造函数()1x H x e x =--，则()1xH x e ¢=-，当(),0x Î-¥时，()()0,H x H x ¢<单调递减，当()0,x Î+¥时，()()0,H x H x ¢>单调递增，注意到()00H =，故()0H x ³恒成立，从而有：1x e x ³+，此时：()()()()22111x f x x e ax b x x ax b =---³-+-+()()211a x b =-+-，当x ()()2110a x b -+->，取01x =+，则()00f x >，即：()00,10f f ö<+>÷÷ø，而函数在区间()0,¥+上单调递增，故函数在区间()0,¥+上有一个零点.()()()()2ln 22ln 21ln 2f a a a a a b =--+éùéùëûëû()()22ln21ln22a a a a a £--+éùéùëûëû()()22ln2ln2a a a a=-éùëû()()ln22ln2a a a=-éùëû，由于12a<<，021a<<，故()()ln22ln20a a a-<éùëû，结合函数的单调性可知函数在区间(),0-¥上没有零点.综上可得，题中的结论成立.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．。

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数学试卷第1页（共8页）数学试卷第2页（共8页）绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅱ卷理科数学本试卷满分150分,考试时间120分钟.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合{}2–56|0A x x x =+＞，{}–10|B x x =＜，则A B =I( )A .(–1)∞，B .(–2)1，C .(–3)–1，D .(3)+∞，2.设–32z i =+，则在复平面内z 对应的点位于( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限3.已知()2,3AB =u u u r ，(3)AC t =,uuu r ，1BC =uu u r ，则AB BC =⋅uu u r uu u r ( )A .–3B .–2C .2D .34.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行.2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上.设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：121223()()M M M R r R r r R +=++.设r Rα=，由于α的值很小，因此在近似计算中34532333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为 ( )ABCD5.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 ( )A .中位数B .平均数C .方差D .极差6.若a b ＞，则( )A .0()ln a b -＞B .33a b ＜C .330a b ->D .a b > 7.设α，β为两个平面，则αβP 的充要条件是( )A .α内有无数条直线与β平行B .α内有两条相交直线与β平行C .α，β平行于同一条直线D .α，β垂直于同一平面8.若抛物线()220y px p =>的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =( )A .2B .3C .4D .89.下列函数中，以2π为周期且在区间42ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调递增的是( )A .()cos 2f x x =B .()sin 2f x x =C .()cos f x x =D .()f x sin x =10.已知π20a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，），2sin2cos2+1αα=，则sin α=( )A .15 B.5CD11.设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点.若PQ OF =，则C 的离心率为( )ABC .2D12.设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷第3页（共8页）数学试卷第4页（共8页）若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是( )A .9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B .7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C .5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D .8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 .14.已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x =-.若(ln2)8f =，则a = .15.ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b a c B ===，则ABC △的面积为 .16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有个面，其棱长为 .（本题第一空2分，第二空3分.）图１图２三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）如图，长方体1111–ABCD A B C D 的底面ABCD 是正方形，点E 在棱1AA 上，1BE EC ⊥. （1）证明：BE ⊥平面11EB C ；（2）若1AE A E =，求二面角1––B EC C 的正弦值.18.（12分）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束. （1）求()2P X =；（2）求事件“4X =且甲获胜”的概率.数学试卷第5页（共8页）数学试卷第6页（共8页）19.（12分）已知数列{}n a 和{}n b 满足11a =，10b =，1434n n n a a b +-=+，1434n n n b b a +-=-. （1）证明：{}n n a b +是等比数列，{}–n n a b 是等差数列；（2）求{}n a 和{}n b 的通项公式.20.（12分）已知函数()11ln x f x x x -=-+.（1）讨论()f x 的单调性，并证明()f x 有且仅有两个零点；（2）设0x 是()f x 的一个零点，证明曲线y lnx =在点00(,)A x lnx 处的切线也是曲线e x y =的切线.21.（12分）已知点()2,0A -，()2,0B ，动点(),M x y 满足直线AM 与BM 的斜率之积为12-.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE x ⊥轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G . （i ）证明：PQG △是直角三角形；（ii ）求PQG △面积的最大值.（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22.[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P .（1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程；（2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程.23.[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知()|||2|().f x x a x x x a =-+--（1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集；（2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________谢谢观赏谢谢观赏数学试卷第7页（共8页）数学试卷第8页（共8页）。