2015-2016学年高中数学 1.3.2诱导公式习题课学案 新人教A版必修4
高中数学 诱导公式(2)教案 新人教A版必修1
第十二教时教材：诱导公式（2） 90︒ k ± α, 270︒ ± α,目的：能熟练掌握上述诱导公式一至五，并运用求任意角的三角函数值，同时学会另外四套诱导公式，并能应用，进行简单的三角函数式的化简及论证。
过程： 一、 复习诱导公式一至五：练习：1．已知)900tan()180sin()180cot()540tan()720cos()180sin(,31)3sin(α+α---α-α+α+α+-=α+π求解： 31sin ,sin )sin()3sin(=α∴α-=α+π=α+π31sin )180tan(sin )180cot(tan cos sin =α=α+α+α-ααα-=∴原式 2．已知的值。
求)65cos(,33)6cos(α-π=α+π 解：33)6cos()]65(cos[)65cos(-=α+π-=α-π-π-=α-π 二、 诱导公式1． 公式6：（复习）2． 公式7：如图，可证： 则sin(90︒ +α) = M’P’ = OM = cos αcos(90︒ +α) = OM’ = PM = -MP = -sin α从而：或证：sin(90︒ +α) = sin[180︒- (90︒ -α)] = sin(90︒ -α) = cos αcos(90︒ +α) = cos[180︒- (90︒ -α)] = -sin(90︒ -α) = -cos α3． 公式8：sin(270︒ -α) = sin[180︒+ (90︒ -α)] = -sin(90︒ -α) = -cos α（其余类似可得，学生自己完成）4． 公式9：（学生证明）三、小结：90︒± α, 270︒ ± α的三角函数值等于α的余函数的值，前面再加上一个把α看成锐角时原函数值的符号四、 例一、)2cos()5cos()2sin()4sin()cot()2tan()23cos()2sin(α+π-α+πα-πα-π=α+π-+α-πα-π-α+πk k k 求证： 证：α-ααα=α+α-α+α=sin cos cos sin cot tan sin cos 左边 α-ααα=α+α-αα-=sin cos cos sin sin cos cos sin 右边 左边 = 右边 ∴等式成立例二、的值。
人教A版高中数学必修4课后习题 第一章 1.3 第2课时 诱导公式五、六
第一章三角函数1.3 三角函数的诱导公式第2课时诱导公式五、六课后篇巩固探究基础巩固1.若α∈(π,3π2),则√1-sin2(3π2-α)=( )A.sin αB.-sin αC.cos αD.-cos α(π,3π2),∴sinα<0.∴√1-sin2(3π2-α)=√1-cos2α=√sin2α=-sinα.2.已知P(sin 40°,-cos 140°)为锐角α终边上的点,则α=( )A.40°B.50°C.70°D.80°-cos140°)为角α终边上的点,因而tanα=-cos140°sin40°=-cos(90°+50°) sin(90°-50°)=sin50°cos50°=tan50°,又α为锐角,则α=50°,故选B.3.已知sin(π-α)=-2sin(π2+α),则sin αcos α=()A.25B.-25C.25或-25D.-15-α)=-2sin(π2+α),∴sinα=-2cosα.再由sin 2α+cos 2α=1可得sinα=2√55,cosα=-√55,或sinα=-2√55,cosα=√55,∴sinαcosα=-25.故选B.4.在△ABC 中,若sin A+B 2=45,则cos C2=( )A.-35B.-45C.35D.45解析∵A+B+C=π,∴A+B 2=π2−C2.∴sin A+B 2=sin (π2-C2)=cos C2=45.5.已知cos(60°+α)=13,且-180°<α<-90°,则cos(30°-α)的值为( ) A.-2√23B.2√23C.-√23D.√23-180°<α<-90°,得-120°<60°+α<-30°.又cos(60°+α)=13>0,所以-90°<60°+α<-30°,即-150°<α<-90°,所以120°<30°-α<180°,cos(30°-α)<0,所以cos(30°-α)=sin(60°+α)=-√1-cos 2(60°+α)=-√1-(13) 2=-2√23.6.若cos α=13,且α是第四象限的角,则cos (α+3π2)= .α是第四象限的角,所以sinα=-√1-cos 2α=-2√23. 于是cos (α+3π2)=-cos (α+π2)=sinα=-2√23. -2√237.若sin (π2+θ)=37,则cos 2(π2-θ)= .(π2+θ)=cosθ=37,则cos 2(π2-θ)=sin 2θ=1-cos 2θ=1-949=4049.8.求值:sin 2(π4-α)+sin 2(π4+α)= .解析∵π4-α+π4+α=π2,∴sin 2(π4+α)=sin 2[π2-(π4-α)]=cos 2(π4-α).∴sin 2(π4-α)+sin 2(π4+α)=sin 2(π4-α)+cos 2(π4-α)=1.9.化简:sin(-α-3π2)·sin(3π2-α)·tan 2(2π-α)cos(π2-α)·cos(π2+α)·cos 2(π-α).=sin(-α+π2)·[-sin(π2-α)]·tan 2(2π-α)cos(π2-α)·cos(π2+α)·cos 2(π-α)=cosα·(-cosα)·tan 2αsinα·(-sinα)·cos 2α=tan 2αsin 2α=1cos 2α.10.已知角α的终边经过点P (45,-35).(1)求sin α的值; (2)求sin(π2-α)tan (α-π)sin (α+π)cos (3π-α)的值.∵P (45,-35),|OP|=1,∴sinα=-35.(2)sin(π2-α)tan (α-π)sin (α+π)cos (3π-α)=cosαtanα-sinα(-cosα)=1cosα,由三角函数定义知cosα=45,故所求式子的值为54.能力提升1.已知π<α<2π,cos(α-9π)=-35,则cos (α-11π2)的值为( )A.35B.-35C.-45D.45cos(α-9π)=-cosα=-35,所以cosα=35.又因为α∈(π,2π),所以sinα=-√1-cos 2α=-45,cos (α-11π2)=-sinα=45.2.已知角α的终边上有一点P(1,3),则sin (π-α)-sin(π2+α)cos(3π2-α)+2cos (-π+α)的值为( )A.-25B.-45C.-47D.-4=sinα-cosα-sinα-2cosα=tanα-1-tanα-2.因为角α终边上有一点P(1,3), 所以tanα=3,所以原式=3-1-3-2=-25.故选A.3.已知α为第二象限角,则cos α√1+tan 2α+sin α√1+1tan 2α= .√sin 2α+cos 2αcos 2α+sinα√sin 2α+cos 2αsin 2α=cosα1|cosα|+sinα1|sinα|.因为α是第二象限角,所以sinα>0,cosα<0, 所以cosα1|cosα|+sinα1|sinα|=-1+1=0,即原式等于0.4.sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 289°= .sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 289°=sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 245°+cos 244°+…+cos 21°=(sin 21°+cos 21°)+(sin 22°+cos 22°)+…+(s in 244°+cos 244°)+sin 245°=44+12=892.5.已知函数f(x)=√2cos x-π12,x ∈R.若cos θ=35,θ∈3π2,2π,则fθ-5π12= .解析f θ-5π12=√2cos θ-5π12−π12=√2cos θ-π2=√2cosπ2-θ=√2sinθ,由已知可得θ为第四象限角,所以sinθ<0,故sinθ=-√1-cos 2θ=-45,f θ-5π12=√2sinθ=√2×-45=-4√25.-4√256.是否存在角α,β,α∈(-π2,π2),β∈(0,π),使等式sin(3π-α)=√2cos (π2-β),√3cos(-α)=-√2cos(π+β)同时成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,请说明理由. ,得{sinα=√2sinβ,√3cosα=√2cosβ,①②①2+②2得sin 2α+3cos 2α=2,∴sin 2α=12.又α∈(-π2,π2),∴α=π4或α=-π4.将α=π4代入②,得cosβ=√32.又β∈(0,π),∴β=π6,代入①可知符合.将α=-π4代入②得cosβ=√32,又β∈(0,π),∴β=π6,代入①可知不符合.综上可知,存在α=π4,β=π6满足条件.。
高中数学新人教版A版精品教案《1.3 三角函数的诱导公式》3
1.2.3三角函数的诱导公式教学设计第1课时一、三维目标1．知识与技能（1）建构合理的问题情境，让学生体验公式的推导过程并能够理解借助三角函数的定义及单位圆中的三角函数线推导三角函数的诱导公式；（2）理解记忆的基本上，能够运用诱导公式，把任意角的三角函数的化简、求值问题转化为锐角三角函数的化简、求值问题。
2．过程与方法（1）经历由观察图形、直观感知探讨数量关系式的过程，培养学生的数学发现能力和概括能力；（2）通过对诱导公式的发现和探究、运用过程，培养学生的化归能力，提高分析问题和解决问题的能力。
3．情感、态度、价值观（1）通过对诱导公式的探求，培养学生的探索能力、钻研精神和科学态度；（2）在诱导公式的探求过程中，运用合作学习的方式进行，培养学生团结协作的精神。
二、教学重点与难点教学过程中的重点是，探求－α的诱导公式推导过程。
π＋α，π－α与的诱导公式的推导，在小结－α的诱导公式发现过程的基础上，在教师的引导下由学生自己推出。
教学过程中的难点是，对角α的任意性的理解。
π＋α，π－α与角α终边位置的几何关系的发现以及表示。
以及发现由终边位置关系导致（与单位圆交点）的坐标关系，从而根据三角函数的定义发现三角函数的之间的关系即发现诱导公式的“路线图”。
三、教学方法与教学手段问题教学法、自主探究法，多媒体课，数学实验四、教学过程课堂脉络：温故知新——问题引导——特殊探路——动画感知自主探究——归纳方法——巩固反馈——开放小结（一）温故知新，问题提出师：如何求任意角三角函数的函数值？（定义法，三角函数线）师：如何将任意角三角函数求值问题转化为0°-360°角三角函数求值问题？ 问题1求390°的正弦、余弦值【设计意图】哈尔莫斯说：问题是数学的心脏。
数学的课堂教学活动教学应当从问题开始。
教师通过设计合理的问题，把数学教学的“锚”，抛在学生最近发展区内，为教学的展开提供知识和思维的生长点。
人教版高中数学全套教案导学案1.3三角函数的诱导公式(2).doc
1. 3 三角函数的诱导公式<第二课时>班级 姓名学习目标：1、利用单位圆探究得到诱导公式五，六，并且概括得到诱导公式的特点。
2、理解求任意角三角函数值所体现出来的化归思想。
3、能初步运用诱导公式进行求值与化简。
教学重点：诱导公式的探究，运用诱导公式进行求值与化简，提高对单位圆与三角函数关系的认识。
教学难点：诱导公式的灵活应用 教学过程：一、复习：1．复习诱导公式一、二、三、四；2．对“函数名不变，符看象限”的理解。
二、新课：1、 如图,设任意角α的终边与单位圆的交点P 1的坐标为(x,y),由于角2π-α的终边与角α的终边关于直线y=x 对称,角2π-α的终边与单位圆的交点P 2与点P 1关于直线y=x 对称,因此点P 2的坐标是(y,x),于是,我们有sinα=y, cosα=x, cos(2π-α)=y, sin(2π-α)=x.从而得到诱导公式五:2、提出问题能否用已有公式得出2π+α的正弦、余弦与α的正弦、余弦之间的关系式?3、诱导公式六4、用语言概括一下公式五、六：2π±α的正弦(余弦)函数值,分别等于α的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符. 简记为“:函数名改变,符看象限.”作用：利用公式五或公式六,可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化. 5、提出问题学了六组诱导公式后,能否进一步用语言归纳概括诱导公式的特点？ （奇变偶不变,符看象限.） 6、示例应用例1将下列三角函数转化为锐角三角函数。
（1）sin π53 (2)cos100º21′ (3)sin π3631(4)tan324º32′例2、 证明(1)sin(23π-α)=-cosα ;(2)cos(23π-α)=-sinα.变式练习 的值。
求)4(cos )4(cos 22α+π+α-π例3 化简.)29sin()sin()3sin()cos()211cos()2cos()cos()2sin(a a a a a a a a +-----++-ππππππππ变式练习 化简 1、（1）)2cos()2sin()25sin()2cos(αππααππα-∙-∙+-（2）)sin()360tan()(cos 02ααα-+--2、已知sinα是方程5x 2-7x-6=0的根,且α为第三象限角,求)2cos()2cos()tan()2(tan )23sin()23sin(2a a a a a a +∙--∙-∙-∙+ππππππ的值.三、小结应用诱导公式化简三角函数的一般步骤： 1︒用“- α”公式化为正角的三角函数；2︒用“2k π + α”公式化为[0，2π]角的三角函数；3︒用“π±α”或 “2π±α”公式化为锐角的三角函数 四、作业：习题1.3 B 组第1题五、探究1、习题1.3 B 组第2题2、)2sin(,1)sin(31sin β+α=β+α=β求，已知。
高中数学1.3三角函数的诱导公式(一)诱导公式二三四教案新人教A版必修4
３ 三角函数的诱导公式（一）诱导公式二三四一、关于教学内容的思考教学任务：帮助学生理解,,πααπα+--与α的正弦、余弦、正切值的关系；会利用诱导公式进行化简、求值。
教学目的：引导学生如何利用三角函数线探讨上述关系；教学意义：培养学生数形结合的思想。
二、教学过程１．理解,,πααπα+--与α的正弦、余弦、正切值的关系①,,πααπα+--与α终边的对称性；②观察三角函数线的关系：相等、相反；③得出关系式。
απ+ α- απ- α 关于原点对称 关于x 轴对称关于y 轴对称 三角函数线正弦线、余弦线互为相反 正切线相同 正弦线、正切线互为相反 余弦线相同 正切线、余弦线互为相反 正弦线相同诱导公式 ααπααπααπtan )tan(;cos )cos(;sin )sin(=+-=+-=+ 公式二 sin()sin ;cos()cos ;tan()tan αααααα-=--=-=- 公式三 sin()sin ;cos()cos ;tan()tan πααπααπαα-=-=--=-公式四④总结：,,πααπα+--的三有函数值，等于α的同名函数值，前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
２．利用诱导公式一二三四求值、化简例 ①=︒225cos ；②π311sin ＝ ；③)316sin(π-＝ ；④=︒-)2040cos( 。
①22-；②23-；③23；④21-。
例 )180cos()180sin()360sin()180cos(︒--︒--︒++︒αααα＝ ；１ 三、教材节后练习（可以在课堂上随着教学内容穿插进行）四、教学备用例子１．在ABC ∆中，31cos =B ，则)cos(C A +等于（ Ｂ ） Ａ．31 Ｂ．31- Ｃ．322 Ｄ．322-２．求)417sin()417cos(ππ---的值。
2 ３．在ABC ∆中，2cos sin =+A A ，)cos(2cos 3B A --=π，求ABC ∆的三个内角。
高中数学第一章三角函数课时作业101.3.2三角函数诱导公式(第3课时)新人教A版必修4
课时作业(十) 1.3.2 三角函数诱导公式（第3课时）1．tan600°的值是( ) A ．－33B.33C ．－ 3D. 3答案 D解析 tan600°＝tan (2×360°－120°)＝－tan120°＝tan60°＝ 3.故选D. 2．sin(－17π6)的值为( )A.12B ．－12C.32D ．－32答案 B解析 sin(－17π6)＝－sin 17π6＝－sin(5π6＋2π)＝－sin 5π6＝－sin(π－π6)＝－sinπ6＝－12.3．已知sin(π＋α)＝45，且α是第四象限角，则cos (α－2π)的值是( )A ．－35B.35 C ．±35D.45答案 B解析 由sin(π＋α)＝45，得sin α＝－45，而cos (α－2π)＝cos α，且α是第四象限角，所以cos α＝35.4．在△ABC 中，下列关系一定成立的是( ) A ．sinA ＋sinC ＝sinB B ．sin(A ＋B)＝cosC C ．cos(B ＋C)＝－cosAD ．tan(A ＋C)＝tanB 答案 C解析 ∵A＋B ＋C ＝π，∴B ＋C ＝π－A ， ∴cos(B ＋C)＝cos(π－A)＝－cosA.5．已知sin (α－π4)＝13，则cos(π4＋α)的值等于( )A.223B.－233C.13D ．－13答案 D解析 cos(π4＋α)＝cos[π2＋(α－π4)]＝－sin (α－π4)＝－13.6．若co s(α＋π)＝35，π≤α<2π，则sin(－α－2π)的值是( )A.35 B ．－35C.45D ．－45答案 C解析 ∵cos (α＋π)＝35，∴cos α＝－35.∴π<α<32π.∴sin α＝－45，而sin(－α－2π)＝－sin α.7．已知α和β的终边关于x 轴对称，则下列各式中正确的是( ) A ．sin α＝sin β B ．sin (α＋2π)＝sin β C ．cos α＝cos βD ．cos(2π－α)＝－cos β 答案 C解析 若α和β的终边关于x 轴对称，则β＝－α＋2k π，k ∈Z 根据诱导公式，所以选C.8．函数f(x)＝cos πx3(x∈Z )的值域为( )A ．{－1，－12，0，12，1}B ．{－1，－12，12，1}C ．{－1，－32，0，32，1}D ．{－1，－32，32，1} 答案 B解析 x ＝1，2，3，4，5，6时可以取到x∈Z 时的所有终边，由诱导公式一，终边相同的角同一三角函数值相同，所以答案选B.9．已知cos(π2＋φ)＝32且|φ|<π2，则tan φ＝( )A ．－33B.33C ．－ 3D. 3答案 C解析 ∵cos(π2＋φ)＝－sin φ＝32，－π2<φ<π2，∴φ＝－π3，tan φ＝－ 3.10．已知f(sinx)＝cos3x ，则f(cos10°)的值为( ) A ．－12B.12 C ．－32D.32答案 A解析 用π2－x 换f(sinx)＝cos3x 中的x ，则f(cosx)＝f(sin(π2－x))＝cos3(π2－x)＝－sin3x ，所以f(cos10°)＝－sin30°＝－12.11．化简sin(π＋α)cos(3π2＋α)＋sin(π2＋α)·cos(π＋α)＝________． 答案 －1解析 原式＝sin αcos(π2＋α)－cos αcos α＝－sin 2α－cos 2α＝－1.12．已知α为第二象限角，化简1＋2sin （5π－α）cos （α－π）sin （α－3π2）－1－sin 2（3π2＋α）＝________．答案 －1 解析 原式＝1－2sin αcos αcos α－sin α＝sin α－cos αcos α－sin α＝－1.13．如果cos α＝15，且α是第四象限角，那么cos (α＋π2)＝________．答案265解析 cos (α＋π2)＝－sin α＝265.14．求sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°的值． 答案 892 15．已知tan(3π＋α)＝2，求sin （α－3π）＋cos （π－α）＋sin （π2－α）－2cos （π2＋α）－sin （－α）＋cos （π＋α）的值．答案 2解析 tan(3π＋α)＝tan α＝2，sin （α－3π）＋cos （π－α）＋sin （π2－α）－2cos （π2＋α）－sin （－α）＋cos （π＋α）＝－sin α－cos α＋cos α＋2sin αsin α－cos α＝sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝2.。
高中数学 1.3三角函数的诱导公式(一) 学案 新人教A版必修4
广东省佛山市顺德区罗定邦中学高一数学 必修四1.3三角函数的诱导公式(一) 学案【学习目标】1. 认识诱导公式。
2. 初步运用诱导公式求三角函数值，并进行三角函数式的化简和证明。
【重点、难点】应用诱导公式进行化简、求值自主学习案【问题导学】P(x,y)关于原点对称的点为_________P(x,y)关于x 轴对称的点为_________P(x,y)关于y 轴对称的点为_________与a 角终边相同的角的集合________与a 角终边关于原点对称的角的集合________与a 角终边关于x 轴对称的角的集合________与a 角终边关于y 轴对称的角的集合________诱导公式（一）终边相同的角的同一三角函数相等sin(2k π+α)=_______ cos(2k π+α)=__________ tan(2k π+α)=_______ 诱导公式（二）终边关于原点对称的三角函数公式sin(π+α)=___________ cos(π+α)=____________ tan(π+α)=_______ 诱导公式（三） 关于x 轴对称的三角函数公式sin(－α)=____________ cos(－α)=____________ tan(－α)=______ 诱导公式（四） 关于y 轴对称的三角函数公式sin(π－α)=____________ cos(π－α)=____________tan(π－α)=______【预习自测】1.把任意角的三角函数问题转化成0°到360°的三角函数值。
(1) sin 1110°=__________ (2) tan 94π = ____________ (3) cos(－ 116π)= ____________ 2.把任意角三角函数转化成0到π的三角函数值(1) cos(－ 3π5)=___________(2) tan 138π= _____________ (3) sin 197π=_________________ 3.求下列三角函数值(1)sin(- π4)=___________ (2) cos(-60°)=____________ (3)tan(-236π) =__________ (4) sin(- 103π)=____________【我的疑问】合作探究案【课内探究】例1 在0°到360°写出下列角终边相同的角（1）1289° （2）-2040°例2 利用公式求下列三角函数值（1）cos 225° (2) sin311π (3) sin(-623π) (4) cos(-2040°)例3（1）化简)180cos()180sin())sin(360180cos(αααα-︒--︒--︒-︒(2)sin(α+180°)cos(-α)sin(-α-180°)【当堂检测】1. 转化为锐角三角函数(1) cos210°=_____________ (2) sin 263°42′=_____________(3)cos(－7π)=____________ (4) tan 617π=_________________ 2. 化简 )sin()an(360)(cos 2αα-+︒--t a = __________3. 化成关于a 的三角函数(1) sin(360°－α)=___________ (2) cos(360°－α)=_______________(3) tan(360°－α)=___________【小结】课后练习案1. 利用公式求下列三角函数值cos(－420°)=_________ sin(－76π)= _____________ sin(－1300°)=_________ cos(679π-)=__________________ 2. 若sin20°=a ，则tan 200°=________________3. sin 34πtan(45π-)=____________ sin 210°=_____________ 4. 已知cos α=31，02<<-a π，求a a a a )tan cos(-))sin(2cos(+--ππ5. 化简(1) sin 3(－a)cos(2π+a)tan(－a －π)(2) ))tan(k -sin(k ))cos((sin 2a a a a k --+πππ。
人教A版高中数学必修四诱导公式一教案
1．3诱导公式（一） 教学目标（一）知识与技能目标⑴理解正弦、余弦的诱导公式． ⑵培养学生化归、转化的能力． （二）过程与能力目标（1）能运用公式一、二、三的推导公式四、五．（2）掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明． （三）情感与态度目标通过公式四、五的探究，培养学生思维的严密性与科学性等思维品质以及孜孜以求的探索精神等良好的个性品质． 教学重点掌握诱导公式四、五的推导，能观察分析公式的特点，明确公式用途，熟练驾驭公式． 教学难点运用诱导公式对三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明． 教学过程 一、复习： 诱导公式（一）tan )360tan(cos )360(cos sin )360sin(αααααα=+︒=+︒=+︒k k k诱导公式（二）tan )180tan(cos )180cos( sin )180sin(αααααα=+︒-=+︒-=+︒诱导公式（三）tan )tan(cos )cos( sin )sin(αααααα-=-=--=-诱导公式（四）tan )180tan(cos )180cos( sin )180sin(αααααα-=-︒-=-︒=-︒对于五组诱导公式的理解 ： ①可以是任意角；公式中的α ②这四组诱导公式可以概括为：符号。
看成锐角时原函数值的前面加上一个把三角函数值，的同名的三角函数值，等于它ααπαπααπ ,,, ),Z (2-+-∈+k k总结为一句话：函数名不变，符号看象限 练习1：P27面作业1、2、3、4。
2：P25面的例2：化简 二、新课讲授：1、诱导公式（五）sin )2cos(cos )2sin(ααπααπ=-=-2、诱导公式（六）sin )2cos(cos )2sin(ααπααπ-=+=+总结为一句话：函数正变余，符号看象限 例1．将下列三角函数转化为锐角三角函数：).317sin()4( ,519cos )3( ,3631sin )2( ,53tan)1(πππ-︒ 练习3：求下列函数值：).580tan )4( ,670sin )3( ),431sin()2( ,665cos)1(︒︒-ππ例2．证明：（1）ααπcos )23sin(-=-（2）ααπsin )23cos(-=-例3．化简：.)29sin()sin()3sin()cos()211cos()2cos()cos()2sin(αππααπαπαπαπαπαπ+-----++-的值。
高中数学 1.3.2 三角函数的诱导公式(二)学案 新人教A版必修4
1.3三角函数的诱导公式 【学习要求】 1．掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题． 2．对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力． 3．继续体会知识的“发生”、“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力． 【学法指导】 六组诱导公式可以概括为一句口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，即诱导公式左边的角可统一写成k ·π2±α(k ∈Z)的形式，当k 为奇数时公式等号右边的三角函数名称与左边的三角函数名称正余互变，当k 为偶数时，公式符号右边的三角函数名称与左边一样；而公式右边的三角函数之前的符号，则把α当成锐角，看k ·π2±α为第几象限角. 1．诱导公式五～六(1)公式五：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝ ；cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝ . 以－α替代公式五中的α，可得公式六．(2)公式六：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝ ；cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝ . 2．诱导公式五～六的记忆π2－α，π2＋α的三角函数值，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”.探究点一 诱导公式五(1)诱导公式五的提出：在直角三角形中，根据正弦、余弦的定义、完成下列填空：sin α＝ ，cos α＝ ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝ ，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝ . 根据上述结论，你有什么猜想？sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝ ；cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝ . (2)诱导公式五的推导：答 角α的终边与π2－α的终边关于直线y ＝x 对称． 问题1 若α为任意角，那么π2－α的终边与角α的终边有怎样的对称关系？ 问题2 设角α与单位圆交于点P (x ，y )，则π2－ α与单位圆交于点P ′，写出点P ′的坐标．答 P ′(y ，x )．问题3 根据任意角三角函数的定义，完成下列填空：sin α＝ ，cos α＝ ；sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝ ，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝ .所以，对任意角α都有：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝ ，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝ .探究点二 诱导公式六(1)诱导公式六：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝ ，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝ . (2)诱导公式六的推导：思路一 根据π2＋α＝π2－(－α)这一等式，利用诱导公式三和诱导公式五推导诱导公式六．答 sin(π2＋α)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－－α＝cos(－α)＝cos α； cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－－α＝sin(－α)＝－sin α. 思路二 根据π2＋α＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α这一等式，利用诱导公式四和诱导公式五推导诱导公式六．答 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α ＝－sin α，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α. 探究点三 诱导公式的理解、记忆与灵活应用公式一～四归纳：α＋2k π(k ∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”．公式五～六归纳：π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”．六组诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z)”的诱导公式．当k 为偶数时，函数名不改变；当k 为奇数时，函数名改变；然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号．记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”．请你根据上述规律，完成下列等式：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝ ，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝ ， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋α＝ ，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋α＝ . 你能根据相关的诱导公式给出上述等式的证明吗？答 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α ＝－cos α；cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α ＝－sin α；sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α ＝－cos α；cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α ＝sin α.【典型例题】例1 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，π2≤α≤3π2，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋2π3的值． 解 ∵α＋2π3＝⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋π2， ∴sin(α＋2π3)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35. 小结 利用诱导公式五和诱导公式六求值时，要注意沟通已知条件中的角和问题结论中角之间的联系，注意π6＋α与π3－α，π4－α与π4＋α等互余角关系的识别和应用． 跟踪训练1 已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3的值． 例2 求证：2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－32πcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2－11－2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫θ＋32π＝tan 9π＋θ＋1tan π＋θ－1. 证明 ∵左边＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－θ()－sin θ－11－2sin 2θ＝－2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin θ－11－2sin 2θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin θ－11－2sin 2θ＝－2sin θcos θ－1sin 2θ＋cos 2θ－2sin 2θ＝sin θ＋cos θ2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ右边＝tan θ＋1tan θ－1 ＝sin θcos θ＋1sin θcos θ－1＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ.∴左边＝右边，故原等式成立．小结 三角函数恒等式的证明过程多数是化简的过程，一般是化繁为简，可以化简一边，也可以两边都化简，同时注意诱导公式的灵活应用，避免出现符号错误．跟踪训练2 sin2π－αcos π＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫112π－αcos π－αsin 3π－αsin －π－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫92π＋α. 例3 已知sin(5π－θ)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π－θ＝72，求sin 4⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋ cos 4⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋θ的值． 解 ∵sin(5π－θ)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π－θ ＝sin(π－θ)＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－θ ＝sin θ＋cos θ＝72， ∴sin θcos θ＝12[(sin θ＋cos θ)2－1] ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫722－1＝38， ∴sin 4⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋cos 4⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋θ＝cos 4θ＋sin 4θ ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫382＝2332. 小结 解答本题时，应先利用诱导公式将已知式子和所求式分别化简，再利用sin θ±cos θ与sin θcos θ之间的关系求值．跟踪训练3 已知sin(θ－32π)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋θ＝35，求sin 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ －cos 3⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ. 1．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3的值为 ( )A ．－233B ．233C ．13D ．－132．已知sin(α－180°)－sin(270°－α)＝m ，则sin(180°＋α)·sin(270°＋α)用m 表示为( )A.m 2－12B.m 2＋12C.1－m 22 D ．－m 2＋123．代数式sin 2(A ＋45°)＋sin 2(A －45°)的化简结果是______．4．已知f (α)＝sin α－3πcos 2π－α·sin －α＋32πcos －π－αsin －π－α. (1)化简f (α)； (2)若α是第三象限角，且cos(α－32π)＝15，求f (α)的值． 1．学习了本节知识后，连同前面的诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z)”的诱导公式．当k 为偶数时，得α的同名函数值；当k 为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号．2．诱导公式统一成“k ·π2±α(k ∈Z)”后，记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”.。
2015-2016学年高一数学人教A版必修四教案：1.3 三角函数的诱导公式(一) Word版含答案
1.3 三角函数的诱导公式一、教材分析（一）教材的地位与作用：1、本节课教学内容“诱导公式（二）、（三）、（四）”是人教版数学4，第一章1、3节内容，是学生已学习过的三角函数定义、同角三角函数基本关系式及诱导公式（一）等知识的延续和拓展，又是推导诱导公式（五）的理论依据。
2、求三角函数值是三角函数中的重要问题之一。
诱导公式是求三角函数值的基本方法。
诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～90°角的三角函数值问题。
诱导公式的推导过程，体现了数学的数形结合和归纳转化思想方法，反映了从特殊到一般的数学归纳思维形式。
这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有重大的意义。
（二）教学重点与难点：1、教学重点：诱导公式的推导及应用。
2、教学难点：相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识。
二、教学目标1、知识与技能（1）识记诱导公式．（2）理解和掌握公式的内涵及结构特征，会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简和证明．2、过程与方法（1）通过诱导公式的推导，培养学生的观察力、分析归纳能力，领会数学的归纳转化思想方法．（2）通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式．（3）通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提高学生分析问题和解决问题的实践能力．3、情感态度和价值观（1）通过诱导公式的推导，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识和创新精神．（2）通过归纳思维的训练，培养学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义思想．三、教学设想三角函数的诱导公式（一）（一）创设问题情景，引导学生观察、联想，导入课题I 重现已有相关知识，为学习新知识作铺垫。
1、提问：试叙述三角函数定义2、提问：试写出诱导公式（一）3、提问：试说出诱导公式的结构特征4、板书诱导公式（一）及结构特征：诱导公式（一）结构特征：①终边相同的角的同一三角函数值相等②把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～360°角的三角函数值问题。
高中数学 第一章 三角函数 1.3 三角函数的诱导公式(二)学案 新人教A版必修2
§1.3 三角函数的诱导公式(二)学习目标 1.掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题. 2.对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力.3.继续体会知识的“发生”“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力．知识点一 诱导公式五完成下表，并由此总结角α，角π2－α的三角函数值间的关系．(1)sin π6＝12，cos π3＝12，sin π6＝cos π3；(2)sin π4＝22，cos π4＝22，sin π4＝cos π4；(3)sin π3＝32，cos π6＝32，sin π3＝cos π6.由此可得 诱导公式五 sin⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α， cos⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α， 知识点二 诱导公式六思考 能否利用已有公式得出π2＋α的正弦、余弦与角α的正弦、余弦之间的关系？答案 以－α代替公式五中的α得到 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos(－α)， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝sin(－α)． 由此可得诱导公式六sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－sin α． 知识点三 诱导公式的推广与规律1．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝－cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝－sin α， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋α＝－cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋α＝sin α.2．诱导公式记忆规律：公式一～四归纳：α＋2k π(k ∈Z )，－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”． 公式五～六归纳：π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”．六组诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z )”的诱导公式．记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中“奇、偶”是指k ·π2±α(k ∈Z )中k 的奇偶性，当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变．“符号”看的应该是诱导公式中，把α看成锐角时原函数值的符号，而不是α函数值的符号．1．诱导公式五、六中的角α只能是锐角．( × ) 提示 诱导公式五、六中的角α是任意角．2．诱导公式五、六与诱导公式一～四的区别在于函数名称要改变．( √ ) 提示 由诱导公式一～六可知其正确． 3．sin ⎝⎛⎭⎪⎫k π2－α＝±cos α.( × )提示 当k ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫k π2－α＝sin(π－α)＝sin α.4．口诀“符号看象限”指的是把角α看成锐角时变换后的三角函数值的符号．( × )提示应看原三角函数值的符号.类型一 利用诱导公式求值例1 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，π2≤α≤3π2，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3的值． 考点 诱导公式五、六 题点 诱导公式六解 ∵α＋2π3＝⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.反思与感悟 对于这类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系：如π3－α与π6＋α，π3＋α与π6－α，π4－α与π4＋α等互余，π3＋θ与2π3－θ，π4＋θ与3π4－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题． 跟踪训练1 已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α的值．考点 诱导公式五、六 题点 诱导公式五解 ∵π6＋α＋π3－α＝π2，∴π3－α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33.类型二 利用诱导公式证明三角恒等式例2 求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝－tan α.考点 诱导公式的综合应用 题点 综合运用诱导公式证明证明 ∵左边＝tan (－α)·sin (－α)·cos (－α)sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·co s ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝(－tan α)·(－sin α)·cos αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin 2α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin 2α－cos αsin α＝－sin αcos α ＝－tan α＝右边． ∴原等式成立．反思与感悟 利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法： (1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简． (2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子．(3)凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同．跟踪训练2 (2017·佳木斯检测)求证：sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2－11－2sin 2(π＋θ). 考点 诱导公式的综合应用 题点 综合运用诱导公式证明证明 右边＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ·(－sin θ)－11－2sin 2θ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2cos θsin θ－1cos 2θ＋sin 2θ－2sin 2θ＝(sin θ＋cos θ)2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝左边， 所以原等式成立．类型三 诱导公式的综合应用例3 已知f (α)＝sin (π－α)cos (－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos (π＋α)sin (－α).(1)化简f (α)；(2)若角A 是△ABC 的内角，且f (A )＝35，求tan A －sin A 的值．考点 诱导公式的综合应用 题点 综合运用诱导公式求值解 (1)f (α)＝sin αcos αcos α－cos α(－sin α)＝cos α.(2)因为f (A )＝cos A ＝35，又A 为△ABC 的内角，所以由平方关系，得sin A ＝1－cos 2A ＝45，所以tan A ＝sin A cos A ＝43，所以tan A －sin A ＝43－45＝815.反思与感悟 解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱．跟踪训练3 已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，求 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－32πcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·tan 2(π－α)的值．考点 诱导公式的综合应用 题点 综合运用诱导公式求值解 方程5x 2－7x －6＝0的两根为x 1＝－35，x 2＝2，由α是第三象限角，得sin α＝－35，则cos α＝－45，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－32πcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·tan 2(π－α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin αcos α·tan 2α＝cos α(－sin α)sin αcos α·tan 2α＝－tan 2α＝－sin 2αcos 2α＝－916.1．已知sin α＝513，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α等于( )A.513B.1213 C ．－513 D ．－1213 考点 诱导公式五、六 题点 诱导公式六 答案 C解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝－513.2．若cos(2π－α)＝53，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α等于( ) A ．－53B ．－23C.53D ．±53考点 诱导公式的综合应用 题点 综合运用诱导公式求值 答案 A解析 ∵cos(2π－α)＝cos(－α)＝cos α＝53， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－cos α＝－53.3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为( ) A.223 B ．－223 C.13 D ．－13考点 诱导公式五、六 题点 诱导公式五答案 C解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13.4．已知tan θ＝2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin (π－θ)等于( )A ．2B ．－2C ．0 D.23考点 诱导公式的综合应用 题点 综合运用诱导公式求值 答案 B解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin (π－θ)＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2.5．已知sin(5π－θ)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π－θ＝72，求sin 4⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋cos 4⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋θ的值．考点 诱导公式的综合应用 题点 综合运用诱导公式求值 解 ∵sin(5π－θ)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π－θ ＝sin(π－θ)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ ＝sin θ＋cos θ＝72， ∴sin θcos θ＝12[(sin θ＋cos θ)2－1]＝12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫722－1＝38， ∴sin 4⎝⎛⎭⎪⎫π2－θ＋cos 4⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋θ＝cos 4θ＋sin 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫382＝2332.1．诱导公式的分类及其记忆方式 (1)诱导公式分为两大类：①α＋k ·2π，－α，α＋(2k ＋1)π(k ∈Z )的三角函数值，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，为了便于记忆，可简单地说成“函数名不变，符号看象限”．②α＋π2，－α＋π2的三角函数值，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．(2)以上两类公式可以归纳为：k ·π2＋α(k ∈Z )的三角函数值，当k 为偶数时，得α的同名函数值；当k 为奇数时，得α的异名函数值，然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．2．利用诱导公式求任意角的正弦、余弦函数值，常采用“负角化正角，大角化小角，最后转化成⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内的三角函数值”这种方式求解．用诱导公式把任意角的三角函数转化为0到π2之间的角的三角函数的基本步骤：一、选择题1．已知cos α＝14，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2等于( ) A.14 B ．－14 C.154 D ．－154 考点 诱导公式五、六 题点 诱导公式六 答案 A解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α＝14. 2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，那么cos α等于( )A ．－25B ．－15C.15D.25考点 诱导公式五、六 题点 诱导公式六 答案 C 解析 sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝cos α，故cos α＝15，故选C.3．(2017·福建双十中学期末)化简sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α的结果是( )A ．1B ．sin 2α C ．－cos 2α D ．－1 考点 诱导公式的综合应用 题点 综合运用诱导公式求值 答案 C解析 因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－sin α，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos αsin α， 所以原式＝cos α(－sin α)cos αsin α＝－cos 2α，故选C.4．(2017·上饶检测)已知sin 10°＝k ，则cos 620°的值为( ) A ．k B ．－k C ．±k D ．不确定 考点 诱导公式的综合应用 题点 综合运用诱导公式求值 答案 B解析 cos 620°＝cos(360°＋260°)＝cos 260°＝cos(270°－10°)＝－sin 10°＝－k . 5．已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.32考点 诱导公式的综合应用题点 综合运用诱导公式求值答案 A解析 f (cos 10°)＝f (sin 80°)＝cos 240° ＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12.6．若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是( )A ．cos(A ＋B )＝cosC B ．sin(A ＋B )＝－sin CC ．cos A ＋C 2＝sin BD ．sin B ＋C2＝cos A2考点 诱导公式的综合应用题点 综合运用诱导公式化简答案 D解析 ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C ，∴cos(A ＋B )＝－cos C ，sin(A ＋B )＝sin C ，故A ，B 项不正确；∵A ＋C ＝π－B ，∴A ＋C 2＝π－B2，∴cos A ＋C2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B2＝sin B2，故C 项不正确；∵B ＋C ＝π－A ，∴sin B ＋C 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A2＝cos A2，故D 项正确．7．若sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为() A ．－2m 3 B.2m 3 C ．－3m 2 D.3m2考点 诱导公式的综合应用题点 综合运用诱导公式求值答案 C解析 ∵sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α－sin α＝－m ，∴sin α＝m2.故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－3m2.二、填空题8．化简sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫15π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝ . 考点 诱导公式的综合应用题点 综合运用诱导公式化简答案 －1解析 原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋α·co s ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin α ＝(－cos α)·sin αcos α·sin α＝－1.9．若cos α＝15，且α是第四象限角，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝ . 考点 诱导公式五、六题点 诱导公式六答案 265 解析 ∵cos α＝15，且α是第四象限角， ∴sin α＝－ 1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝－265. ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－sin α＝265. 10．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝ .考点 诱导公式五、六题点 诱导公式五答案 892解析 原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 245°＝44＋12＝892. 11．(2017·四川成都树德中学期中)给出下列三个结论，其中正确结论的序号是 ． ①sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是角α是锐角；②若cos(n π－α)＝13(n ∈Z )，则cos α＝13； ③若α≠k π2(k ∈Z )，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－1tan α. 考点 诱导公式的综合应用题点 综合运用诱导公式化简答案 ③解析 由诱导公式二，知α∈R 时，sin(π＋α)＝－sin α，所以①错误．当n ＝2k (k ∈Z )时，cos(n π－α)＝cos(－α)＝cos α，此时cos α＝13，当n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，cos(n π－α)＝cos[(2k ＋1)π－α]＝cos(π－α)＝－cos α，此时cos α＝－13，所以②错误．若α≠k π2(k ∈Z )，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α－sin α＝－1tan α，所以③正确．三、解答题12．已知角α的终边经过点P (－4,3)，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin (－π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α的值． 考点 诱导公式的综合应用题点 综合运用诱导公式求值解 ∵角α的终边经过点P (－4,3)，∴tan α＝y x ＝－34， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin (－π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α ＝－sin αsin α－sin αcos α＝tan α＝－34. 13．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π2－α＝60169，且π4<α<π2，求sin α与cos α的值． 考点 诱导公式的综合应用题点 综合运用诱导公式求值解 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－α＝－cos α， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π2－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π2＋α＝－sin α， ∴sin α·cos α＝60169， 即2sin α·cos α＝120169.① 又∵sin 2α＋cos 2α＝1，②①＋②得(sin α＋cos α)2＝289169， ②－①得(sin α－cos α)2＝49169. 又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴sin α>cos α>0， 即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0，∴sin α＋cos α＝1713，③sin α－cos α＝713，④ ③＋④得sin α＝1213，③－④得cos α＝513. 四、探究与拓展14．已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，则sin (π－α)＋5cos (2π－α)2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－sin (－α)＝ . 考点 诱导公式的综合应用题点 综合运用诱导公式化简答案 －34解析 ∵sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，∴－si n(3π－α)＝2cos(4π－α)，∴－sin(π－α)＝2cos(－α)，∴sin α＝－2cos α且cos α≠0，∴原式＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α＝－2cos α＋5cos α－2cos α－2cos α＝3cos α－4cos α＝－34. 15．已知α是第四象限角，且f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin (－π－α)cos (2π＋α). (1)若cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值； (2)若α＝－1 860°，求f (α)的值．考点 诱导公式的综合应用题点 综合运用诱导公式求值解 f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin (－π－α)cos (2π＋α) ＝sin αcos α－sin αsin (π＋α)cos α＝1sin α. (1)∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＋2π＝15， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝15， ∴sin α＝－15，∴f (α)＝1sin α＝－5.(2)当α＝－1 860°时，f(α)＝1 sin α＝1sin(－1 860°)＝1－sin 1 860°＝1－sin(5×360°＋60°)＝1－sin 60°＝－233.。
高中数学人教A版必修学案： 诱导公式(一) Word版含解析
(2)“大化小”，用公式一将角化为0°到360°间的角；
(3)“小化锐”，用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；
(4)“锐求值”，得到锐角的三角函数后求值．
跟踪训练1(1)sin ＋tan 的值为()
A. B．－
C．－ D.
(2)sin2120°＋cos 180°＋tan 45°－cos2(－330°)＋sin(－210°)＝________.
解析：(1)原式＝－sin ＋tan ＝－ ＋ ＝－ .故选C.
(2)原式＝sin260°＋(－1)＋1－cos230°＋sin 30°＝ 2－ 2＋ ＝ .
答案：(1)C(2)
首先利用诱导公式把角化为锐角再求值．
类型二 已知三角函数值求相关角的三角函数值
例2若sin(π＋α)＝ ，α∈ ，则tan(π－α)等于()
＝ ，
∵sin >0，tan <0，∴原式>0.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．求值：(1)cos ＝________；(2)tan(－225°)＝________.
解析：(1)cos ＝cos ＝cos
＝cos ＝－cos ＝－ .
(2)tan(－225°)＝tan(360°－225°)＝tan 135°＝tan(180°－45°)＝－tan 45°＝－1.
[
1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)点P(x，y)关于x轴的对称点是P′(－x，y)．()
(2)诱导公式中的符号是由角α的象限决定的．()
(3)诱导公式一、二、三、四函数的名称都不变．()
答案：(1)×(2)×(3)√
2．对于诱导公式中的角α，下列说法正确的是()
人教A版必修四教案(精品)：1.3 三角函数的诱导公式(二) Word版含答案
三角函数的诱导公式（二）一、教材分析（一）教材的地位与作用：1、本节课教学内容“诱导公式（二）、（三）、（四）”是人教版数学4，第一章1、3节内容，是学生已学习过的三角函数定义、同角三角函数基本关系式及诱导公式（一）等知识的延续和拓展，又是推导诱导公式（五）的理论依据。
2、求三角函数值是三角函数中的重要问题之一。
诱导公式是求三角函数值的基本方法。
诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～90°角的三角函数值问题。
诱导公式的推导过程，体现了数学的数形结合和归纳转化思想方法，反映了从特殊到一般的数学归纳思维形式。
这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有重大的意义。
（二）教学重点与难点：1、教学重点：诱导公式的推导及应用。
2、教学难点：相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识。
二、教学目标1、知识与技能（1）识记诱导公式．（2）理解和掌握公式的内涵及结构特征，会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简和证明．2、过程与方法（1）通过诱导公式的推导，培养学生的观察力、分析归纳能力，领会数学的归纳转化思想方法．（2）通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式．（3）通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提高学生分析问题和解决问题的实践能力．3、情感态度和价值观（1）通过诱导公式的推导，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识和创新精神．（2）通过归纳思维的训练，培养学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义思想．三、教学设想（一）、复习：诱导公式（一）tan )360tan(cos )360(cos sin )360sin(αααααα=+︒=+︒=+︒k k k诱导公式（二） tan )180tan(cos )180cos( sin )180sin(αααααα=+︒-=+︒-=+︒诱导公式（三） tan )tan(cos )cos( sin )sin(αααααα-=-=--=-诱导公式（四） tan )180tan(cos )180cos( sin )180sin(αααααα-=-︒-=-︒=-︒对于五组诱导公式的理解 ：①可以是任意角；公式中的α②这四组诱导公式可以概括为： 符号。
5.3 第2课时 诱导公式-高一数学新教材配套学案(人教A版必修第一册)
5.3 第2课时 诱导公式【学习目标】【自主学习】复习回顾：公式一 公式二公式三 公式四的正余弦值与α的正余弦值的关系？【经典例题】题型一 利用诱导公式证明例1 (1) ααπcos -)-23sin(= (2) ααπin )23sin(s =+【跟踪训练】题型二 利用诱导公式化简例2 )29sin()-sin()-3sin()cos()-211cos()2cos()cos()-2sin(απαπαπαπαπαπαπαπ+--++【跟踪训练】2 化简题型三 利用诱导公式求值例3 .)37sin(90-270-,51)53sin(的值，求＜＜且已知ααα+=-【跟踪训练】3 .32sin ,232,536cos 的值求已知⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤≤=⎪⎭⎫ ⎝⎛+παπαππα【当堂达标】1．已知sin α＝513，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ2cos 等于( ) A.513 B.1213 C ．－513 D ．－12132．若31)3sin(=+πα，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ6cos 等于( ) A ．31- B ．31 C.332 D ．332- 3．已知()213sin -=+απ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ27cos 的值为( ) A.21- B ．21 C.23 D ．23- 4．已知tan θ＝2，则()()⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-απαπαππα2cos 2sin cos sin 等于( ) A ．3 B ．2 C ．1 D.-15．求证：θπθπθθθθθ2sin 2112cos 23sin 2cos sin cos sin --⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+【课堂小结】【参考答案】【自主学习】sin(α+2kπ)=sinαcos(α+2kπ)=cosαtan(α+2kπ)=tanαsin(π+α)=－sinαcos(π+α)=－cosαtan(π+α)=tanαsin(－α)=－sinα cos(－α)=cosα tan(－α)=－tanαsin(π-α)=sinαcos(π-α)=－cosαtan(π-α)=－tanαsin()cos2cos()sin2πααπααsin()cos2cos()sin2πααπαα【经典例题】例1()31sin sin22ππαπα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin2ππα⎡⎤⎛⎫=+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦sin2πα⎛⎫=--⎪⎝⎭cosα=-()32cos cos22ππαπα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos2πα⎛⎫=--⎪⎝⎭sinα=-【跟踪训练】1例2()()()()()()sin cos sin cos52=cos sin sin sin42παααπαπαπαπαπα⎡⎤⎛⎫---+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫---+++⎡⎤ ⎪⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎣⎦原式()()2sin cos cos2=cos sin sin sin2παααπαααα⎡⎤⎛⎫---⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫---+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭sin=tancosααα-=-【跟踪训练】2例3【跟踪训练】3解 ∵α＋2π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋π2， ∴sin(α＋2π3)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35．【当堂达标】1.C 解析sin α＝－513. 2.B 3.A 21sin )2cos()22cos()23cos(21sin 21sin )sin()2(sin -=-=--=-++=+=∴-=-=+=++ααπαπππππαααπαππ解：4.B解析 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝13， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝13.解析 sin (α－π)＋cos (π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α－cos αcos α－sin α＝－tan α－11－tan α＝－3－11－3＝2.5. 所以原等式成立. ＝(sin θ＋cos θ)2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝左边， 证明 右边＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ·(－sin θ)－11－2sin 2θ ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2cos θsin θ－1cos 2θ＋sin 2θ－2sin 2θ。
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第一章三角函数三角函数
1．3 三角函数的诱导公式
1．3.2 诱导公式(习题课)
1．熟练正确地运用诱导公式解决一些三角函数的求值与三角变换的问题．2．在使用诱导公式中，体会由未知到已知，由复杂到简单的转化过程．
基础梳理
自测自评
1．化简1－sin2440°的结果为(C)
A．－cos 80° B．－sin 80°
C ．co s 80°
D ．sin 80 ° 解析：1－sin 2440°＝cos 2440°＝|cos 440°|＝cos 80°.故选C.
2．sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π2＋α等于(D ) A ．sin α B ．cos α C ．－sin α D ．－cos α
解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π2＋α＝－sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋α＝－cos α.故选D. 3．若α＋β＝π，则下列各等式不成立的是(D )
A ．sin α＝sin β
B ．cos α＋cos β＝0
C ．tan α＋tan β＝0
D ．sin α2
＝cos β 解析：由α＋β＝π，得α2＝π2－β2
， ∴sin α2＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－β2＝cos β2，即D 不成立．故选D. 4．sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＋sin 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6＋x ＝1． 解析：sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝sin 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3－x ＋ s in 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3
－x ＝ sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＋cos 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3－x ＝1.
基础提升
1．已知函数f (x )＝cos x
2
，则下列等式成立的是(D ) A ．f (2π－x )＝f (x ) B ．f (2π＋x )＝f (x )
C ．f (－x )＝－f (x )
D ．f (－x )＝f (x ) 解析：对于A ，f (2π－x )＝cos 2π－x 2＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫π－x 2＝－cos x 2≠f (x )，对于B ，f (2π＋
x )＝cos 2π＋x 2＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫π＋x 2＝－cos x 2≠f (x )． 对于C ，f (－x )＝cos －x 2＝cos x 2
≠－f (x )，故选D. 2．若sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π2－α＋2sin(6π－α)的值为(B ) A ．－2m 3 B ．－3m 2 C.2m 3 D.3m 2
解析：由sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋α＝－m ， 得－sin α－sin α＝－m ，即sin α＝m 2
. ∴cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π2－α＋2sin(6π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－3m 2.故选B. 3．已知α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2
，3π2，tan(α－7π)＝－34，sin α＋cos α的值等于(C ) A ．±15 B.15 C ．－15 D ．－35
解析：∵tan(α－7π)＝－34，∴tan α＝－34， 又α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2，∴α∈⎝ ⎛⎦
⎥⎤π2，π. ∴sin α＝35，cos α＝－45.∴ sin α＋cos α＝－15
.故选C. 4．已知α为第四象限角且sin(π－α)＝－13
，则tan α等于____________． 解析：由sin(π－α)＝－13，得sin α＝－13，又α为第四象限角，∴cos α＝223
，tan α＝－24
. 答案：－
24 巩固提高
5．已知f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧sin πx ，x <0，f （x －1）－1，x >0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116的值为(C ) A ．－1 B ．－3－2
C ．－2
D ．－3
解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6＝sin π6＝12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56－1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16－2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－2＝－sin π6－2＝－12－2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫116＝－2.故选C. 6．若f (α)＝sin （π－α）cos （2π－α）tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos （－π－α）
，则 f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－313π的值为(B )
A.12 B ．－12 C.32 D ．－32
解析：f (α)＝sin α²cos α²cos α－cos α²sin α
＝－cos α， ∴f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－313π＝－cos π3＝－12. 7．已知π<θ<2π，cos(θ－9π)＝－35
，求tan(10π－θ)的值． 解析：由已知，得cos(θ－π)＝－35，cos(π－θ)＝－35，∴cos θ＝35
.∵π<θ<2π，∴3π2<θ<2π.∴tan θ＝－43
. ∴tan(10π－θ)＝tan(－θ)＝－tan θ＝43
. 8．若sin(x －2π)－cos(π－x )＝1－32
，x 是第二象限的角． (1)求sin x 与cos x 的值；
(2)求x 的集合．
解析：(1)由已知，得sin x ＋cos x ＝1－32
， ∴sin x cos x ＝－34. 又x 是第二象限的角，
∴sin x >0，cos x <0.
∴sin x －cos x ＝1－2sin x cos x ＝
2＋32＝1＋32
. ∴sin x ＝12，cos x ＝－32.
(2)∵sin ⎝
⎛⎭⎪⎫π－π6＝sin π6＝12， ∴在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π2，π内符合条件的x ＝5π6. ∴x 的集合为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝2k π＋5π6，k ∈Z .。