苏教版必修5《2.2.2等差数列的通项公式》同步作业含答案解析

[学业水平训练] 一、填空题
1．已知数列{a n }为等差数列，a 3，a 9是方程x 2－4x ＋2＝0的两个根，则a 6＝________． 解析：∵2a 6＝a 3＋a 9＝4，∴a 6＝2.
答案：2
2．已知等差数列的前三项为a －1，a ＋1，2a ＋3，则这个数列的通项公式是________． 解析：由题意得a ＋1－(a －1)＝2a ＋3－(a ＋1)，得a ＝0，
∴数列是首项为－1，公差为2的等差数列，
∴a n ＝－1＋(n －1)·2＝2n －3.
答案：a n ＝2n －3
3．数列{a n }中，a 1＝2，2a n ＋1－2a n ＝1，n ∈N *，则a 101＝________.
解析：根据题意，得2a n ＋1－2a n ＝1，2a 1＝4.
∴{2a n }是首项为4，公差为1的等差数列，
∴2a 101＝4＋(101－1)＝104，∴a 101＝52.
答案：52
4．(2014·南京高二检测)在等差数列{a n }中，若a 1＋a 4＋a 7＝39，a 2＋a 5＋a 8＝33，则a 3＋a 6＋a 9的值为________．
解析：法一：因为a 1，a 4，a 7成等差数列，
所以a 1＋a 7＝2a 4，得a 4＝13.
同理a 2＋a 8＝2a 5，得a 5＝11，从而a 6＝a 5＋(a 5－a 4)＝9，故a 3＋a 6＋a 9＝3a 6＝27. 法二：由{a n }为等差数列可知，三个数a 1＋a 4＋a 7，a 2＋a 5＋a 8，a 3＋a 6＋a 9也成等差数列，且公差d ＝33－39＝－6，因而a 3＋a 6＋a 9＝33＋(－6)＝27.
答案：27
5．数列{a n }中，首项a 1＝3，且有2(a n ＋1－a n )＝a n ＋1·a n ，则数列{a n }的通项公式是________．
解析：递推关系式2(a n ＋1－a n )＝a n ＋1·a n ，两边同时除以a n ＋1·a n ，可得2（a n ＋1－a n ）a n ＋1·a n
＝1，即1a n ＋1－1a n
＝－12. 若令b n ＝1a n ，显然数列{b n }是以－12为公差的等差数列且首项b 1＝1a 1＝13
. 所以b n ＝13
＋(n －1)·⎝⎛⎭⎫－12＝－12n ＋56＝5－3n 6. 所以a n ＝1b n ＝65－3n
. 答案：a n ＝65－3n
6．设首项为－20的数列{a n }为等差数列，且恰从第8项开始为正数，则公差d 的取值范围是________．
解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 7＝a 1＋（7－1）d ＝－20＋6d ≤0，a 8＝a 1＋（8－1）d ＝－20＋7d >0，解得⎩
⎨⎧d ≤103，d >207.从而d 的取值范围
是(207，103
]． 答案：(207，103
] 7．如果f (n ＋1)＝2f （n ）＋12
(n ＝1，2，3，…)且f (1)＝2，则f (2 014)等于________． 解析：∵f (n ＋1)＝2f （n ）＋12＝f (n )＋12
， ∴f (n ＋1)－f (n )＝12
， 即数列{f (n )}是首项为2，公差为12
的等差数列． 所以通项公式为：f (n )＝2＋(n －1)×12＝12n ＋32
， ∴f (2 014)＝12×2 014＋32
＝1 008.5. 答案：1 008.5
二、解答题
8．设等差数列{a n }中，a n >0，a n －1－a 2n ＋a n ＋1＝0(n ≥2)，求通项a n .
解：法一：∵{a n }为等差数列，
∴a n ＝a n －1＋a n ＋12
(n ≥2)， 则a n －1－（a n －1＋a n ＋1）24
＋a n ＋1＝0 ⇒4(a n －1＋a n ＋1)＝(a n －1＋a n ＋1)2，
又a n －1＋a n ＋1>0，所以a n －1＋a n ＋1＝4.
又a n －1＋a n ＋1＝2a n ，∴a n ＝2.
法二：∵{a n }为等差数列，
∴2a n ＝a n －1＋a n ＋1.
根据题意，得2a n －a 2n ＝0.
∵a n >0，∴a n ＝2.
法三：设a n ＝pn ＋q (p ，q 均为常数)．
代入a n －1－a 2n ＋a n ＋1＝0化简，
得p 2n 2＋(2pq －2p )n ＋q 2－2q ＝0，
因为此式对一切n 均成立，
所以⎩⎪⎨⎪⎧p 2＝0，
2pq －2p ＝0，q 2－2q ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧p ＝0，q ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝0，q ＝2. 所以a n ＝0或a n ＝2，因为a n >0，所以a n ＝2.
9．某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元．从第二年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元．按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
解：设从第一年起，第n 年的利润为a n 万元，
则a 1＝200，a n －a n －1＝－20，n ≥2，n ∈N *.
所以每年的利润a n 可构成一个等差数列{a n }，且公差d ＝－20.从而a n ＝a 1＋(n －1)d ＝220－20n .
若a n <0，则该公司经销这一产品将亏损，所以由a n ＝220－20n <0，得n >11， 即从第12年起，该公司经销此产品将亏损．
[高考水平训练]
一、填空题
1．已知{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 3a 6＝55，a 2＋a 7＝16，则a 2 014＝________．
解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＞0，
由a 2＋a 7＝16，得2a 1＋7d ＝16，①
由a 3a 6＝55，得(a 1＋2d )(a 1＋5d )＝55，②
由①②得(16－3d )(16＋3d )＝220，即256－9d 2＝220.
∴d 2＝4，又d ＞0，∴d ＝2，代入①得a 1＝1.
∴a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1.所以a 2 014＝4 027.
答案：4 027
2．如果有穷数列a 1，a 2，…，a m (m 为正整数)满足条件：a 1＝a m ，a 2＝a m －1，…，a m ＝a 1，则称其为“对称”数列．例如数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，4，8都是“对称”数列．已知在21项的“对称”数列{c n }中c 11，c 12，…，c 21是以1为首项，2为公差的等差数列，则c 2＝________．
解析：因为c 11，c 12，…，c 21是以1为首项，2为公差的等差数列，所以c 20＝c 11＋9d ＝1＋9×2＝19，
又{c n }为21项的对称数列，所以c 2＝c 20＝19.
答案：19
二、解答题
3．已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，且a 1＝2，a 3＝10.若b n ＝12
a n －30，求： (1)数列{
b n }的通项公式；
(2)|b n |的最小值．
解：(1)由题意，知a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＝a n －a n －1＝…＝a 2－a 1，故数列{a n }为等差数列．
又a 1＝2，a 3＝10，所以公差d ＝a 3－a 13－1
＝4， 所以a n ＝4n －2，从而b n ＝12
a n －30＝2n －31. (2)由2n －31≥0，解得n ≥312
. 又n ∈N *，所以当1≤n ≤15时，b n <0；当n ≥16时，b n >0.
又数列{b n }为递增数列，从而b 15是前15项中绝对值最小的，b 16是15项之后绝对值最小的．而|b 15|＝1，|b 16|＝1，所以|b n |的最小值为1.
4．已知{a n }是等差数列且a 1＝2，a 2＝3，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列构成一个新的等差数列．求：
(1)原数列中的第12项是新数列中的第几项？
(2)新数列中的第29项是不是原数列中的项？为什么？
解：(1)记新的等差数列为{b n }，设其公差为d .
则d ＝3－24＝14
， ∴数列{b n }的通项公式为b n ＝2＋14
(n －1)， 又原数列第12项为13.
令2＋(n －1)·14
＝13，解得n ＝45. ∴原数列的第12项为新数列的第45项．
(2)是．理由：∵b 29＝2＋28×14
＝9， 令2＋(n －1)＝9，∴n ＝8.
∴新数列的第29项是原数列的第8项．。