【配套K12】新版高中数学人教A版选修2-2习题：模块综合检测

模块综合检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知复数z满足(z-1)i=1+i,则z=()A.-2-iB.-2+iC.2-iD.2+i答案C2已知a<0,-1<b<0,则下列各式成立的是()A.a>ab>ab2B.ab2>ab>aC.ab>a>ab2D.ab>ab2>a解析∵-1<b<0,∴0<b2<1,b2>b.又a<0,∴a<ab2<0,ab2<ab.故选D.答案D3若复数2a+2i1+i(a∈R)是纯虚数,则复数2a+2i在复平面内对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析2a+2i1+i =(2a+2i)(1-i)2=(a+1)+(1-a)i,由题意得a=-1,所以2a+2i=-2+2i.在复平面内对应的点为(-2,2),即在第二象限.答案B4已知直线y=kx+1与曲线y=x2+ax+b相切于点A(1,3),则a-b等于()A.-4B.-1C.3D.-2解析因为点A(1,3)在直线y=kx+1上,所以k=2.又y=x2+ax+b,则y'=2x+a,所以k=y'|x=1,即2=2×1+a,所以a=0.又点A(1,3)在曲线y=x2+ax+b上,所以b=2,a-b=-2.故选D.答案D5下列推理正确的是()A.因为m>n,m>p,所以m-n>m-pB.如果不买彩票,那么就不能中大奖,因为你买了彩票,所以你一定能中大奖C.如果m,n均为正实数,那么(m+n)2≥4mnD.如果m,n均为正实数,那么lg m+lg n≥2√lgmlgn解析由m>n,m>p可能有m-n<m-p,例如2-1<2-(-1),故选项A不正确;选项B显然不正确;当m,n均为正实数时,lg m,lg n不一定为正数,所以lg m+lg n≥2√lgm·lgn不一定成立,故选项D不正确.答案C6设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图,则导函数y=f'(x)的图象可能为()解析如图,可知函数f(x)在区间(-∞,0),(0,a)和(b,+∞)内是增函数,f'(x)>0,y=f'(x)的图象在x轴的上方;函数f(x)在区间(a,b)内是减函数,f'(x)<0,y=f'(x)的图象在x轴的下方.综上可知,D选项正确,故选D.答案D(n∈N*)时,第一步验证当n=1时,左边应取7用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(n+3)=(n+3)(n+4)2的项是()A.1B.1+2C.1+2+3D.1+2+3+4解析等式左边的规律是从1一直加到n+3.所以当n=1时,应为1+2+3+4.故选D.答案D8n个连续自然数按规律排成下表:根据规律,从2 016到2 018,箭头的方向依次为()A.↓→B.→↑C.↑→D.→↓解析由已知可得箭头变化的周期为4,故由得从2 016到2 018的方向为选项A中所示.答案A9给出以下命题:(1)若∫baf(x)d x>0,则f(x)>0;(2)∫2π|sin x|d x=4;(3)F(x)是以T为周期的函数,且F'(x)=f(x),则∫a0f(x)d x=∫a+TTf(x)d x.其中正确命题的个数为()A.1B.2C.3D.0解析(1)错误.如∫2-1x d x=12x2|-12=32>0,但f(x)=x在(-1,2)上不满足f(x)>0.(2)正确.∫2π0|sin x|d x=∫πsin x d x+∫2ππ(-sin x)d x=4.(3)正确.∫a 0f(x)d x=F(x)|a=F(a)-F(0),∫a+T T f(x)d x=F(x)|Ta+T=F(a+T)-F(T)=F(a)-F(0).答案B10已知对任意实数x,有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且当x>0时,f'(x)>0,g'(x)>0,则当x<0时() A.f'(x)>0,g'(x)>0 B.f'(x)>0,g'(x)<0C.f'(x)<0,g'(x)>0D.f'(x)<0,g'(x)<0解析由题意可知y=f(x)是奇函数,y=g(x)是偶函数.因为当x>0时,y=f(x),y=g(x)是增函数,所以当x<0时,y=f(x)是增函数,y=g(x)是减函数,即当x<0时,f'(x)>0,g'(x)<0.答案B11下面给出了关于复数的四种类比推理:①复数的加减法运算法则,可以类比多项式的加减法运算法则;②由向量a的性质:|a|2=a2,可以类比得到复数z的性质:|z|2=z2;③关于x的方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R)有两个不同实根的条件是b2-4ac>0,类比可得关于x的方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈C)有两个不同复数根的条件是b2-4ac>0;④由向量加法的几何意义,可以类比得到复数加法的几何意义.其中类比得到的结论正确的是()A.①③B.②④C.②③D.①④解析②中|z|2∈R,而z2不一定是实数.③中复数集中不能比较大小,不能用b2-4ac来确定根的个数.答案D12如图,设T是直线x=-1,x=2,y=0以及过x=-1,x=2与y=x2交点的直线围成的直角梯形区域,S是T内函数y=x2图象下方的点构成的区域(图中阴影部分).向T中随机投一点,则该点落入S中的概率为()A.15B.25C.13D.12解析解方程组{y =x 2,x =-1,得曲线y=x 2与直线x=-1交点的纵坐标y 1=1;解方程组{y =x 2,x =2,得曲线y=x 2与直线x=2交点的纵坐标y 2=4.所以直角梯形区域T 的面积为1+42×[2-(-1)]=152. 又因为阴影部分S 的面积为∫ 2-1x 2d x=13x 3|-12=3,所以向T 中随机投一点, 则该点落入S 中的概率为3152=25.答案B二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)13已知i 是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数a 的值为 . 答案-214已知函数f (x )={ax 2+bx +c (x ≥-1),f (-x -2)(x <-1),在其图象上点(1,f (1))处的切线方程为y=2x+1,则f (x )在点(-3,f (-3))处的切线方程为 . 解析在y=2x+1中,令x=1,得y=3,所以f (1)=3, 所以a+b+c=3.对函数f (x )=ax 2+bx+c 求导得f'(x )=2ax+b , 则f'(1)=2a+b=2.由已知得f (-3)=f (3-2)=f (1)=3,对函数f (x )=f (-x-2)求导得f'(x )=-f'(-x-2), 所以f'(-3)=-f'(3-2)=-2,所以f (x )在点(-3,f (-3))处的切线方程为y-3=-2(x+3),即y=-2x-3. 答案y=-2x-315设等边三角形ABC 的边长为a ,P 是△ABC 内的任意一点,且P 到三边AB ,BC ,CA 的距离分别为d 1,d 2,d 3,则有d 1+d 2+d 3为定值√32a.由这个平面图形的特性类比空间图形:设四面体ABCD 的棱长均为a ,P 是四面体ABCD 内的任意一点,且点P 到平面ABC ,平面ABD ,平面ACD ,平面BCD 的距离分别为d 1,d 2,d 3,d 4,则有d 1+d 2+d 3+d 4为定值 .解析在等边三角形ABC 中,d 1+d 2+d 3=√32a 为△ABC 的高,类比四面体中,d 1+d 2+d 3+d 4也应为四面体的高√63a.答案√63a16若偶函数f (x )在x ∈(0,+∞)时满足f'(x )>f (x )x,且f (1)=0,则不等式f (x )x≥0的解集是 .解析设g (x )=f (x )x(x>0), 则g'(x )=f '(x )·x -f (x )x 2>0, 所以g (x )在(0,+∞)内是增函数.当x>0时,由f (x )x ≥0=f (1)1,得x ≥1;当x<0时,-x>0,f (x )x ≥0⇔f (x )-x ≤0⇔f (-x )-x≤0⇔-x ≤1,所以-1≤x<0. 答案[-1,0)∪[1,+∞)三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(12分)若复数z 1满足z 1=i(2-z 1)(i 为虚数单位). (1)求z 1; (2)求|z 1|;(3)若|z|=1,求|z-z 1|的最大值.分析先由已知条件求出复数z 1,再利用复数模的定义及其几何意义求解.解(1)由z 1=i(2-z 1),得z 1=2i1+i =1+i .(2)|z 1|=|z 1|=√2.(3)|z-z 1|表示复数z 与z 1分别对应的点Z 与Z 1间的距离,Z 在圆x 2+y 2=1上,Z 1(1,1),显然Z ,Z 1间的最大距离为√2+1,即|z-z 1|的最大值为√2+1.18(12分)设两抛物线y=-x 2+2x ,y=x 2所围成的图形为M ,求M 的面积. 分析先求得两抛物线的交点坐标,再作出草图,结合图形求解. 解解方程组{y =-x 2+2x ,y =x 2,得两抛物线的交点坐标为(0,0),(1,1).函数y=-x 2+2x 与y=x 2在同一坐标平面内的图象如图所示,由图可知,图形M 的面积为∫ 10(-x 2+2x-x 2)d x=∫ 10(-2x 2+2x )d x=(-23x 3+x 2)|01=13. 所以M 的面积为13.19(12分)已知△ABC 的三边长分别为a ,b ,c ,且其中任意两边长均不相等.若1a ,1b ,1c成等差数列,比较√ba 与√cb的大小,并证明你的结论. 解大小关系为√ba <√cb ,证明如下:要证√ba <√cb ,只需证ba <cb ,因为a ,b ,c>0,所以只需证b 2<ac. 因为1a ,1b ,1c成等差数列,所以2b =1a +1c ≥2√1ac.所以b 2≤ac.又a ,b ,c 任意两边均不相等,所以b 2<ac 成立. 故所得大小关系正确.20(12分)设△ABC 的两个内角A ,B 所对的边分别为a ,b ,复数z 1=a+b i,z 2=cos A+icos B ,若复数z 1·z 2为纯虚数,试判断△ABC 的形状,并说明理由.分析利用复数为纯虚数的条件,结合正弦定理及三角知识求解. 解△ABC 为等腰三角形或直角三角形.理由如下:因为z 1=a+b i,z 2=cos A+icos B , 所以z 1·z 2=(a cos A-b cos B )+i(a cos B+b cos A ). 又z 1·z 2为纯虚数,所以{acosA =bcosB ,acosB +bcosA ≠0,①②由①及正弦定理,得sin A cos A=sin B cos B , 即sin 2A=sin 2B. 因为A ,B 为△ABC 的内角,所以0<2A<2π,0<2B<2π,且2A+2B<2π. 所以2A=2B 或2A=π-2B ,即A=B 或A+B=π2.也就是A=B 或C=π2. 由②及正弦定理,得sin A cos B+sin B cos A ≠0, 即sin(A+B )≠0.因为A ,B 是△ABC 的内角,所以0<A+B<π.所以sin(A+B )≠0成立. 综上所述,知A=B 或C=π2.故△ABC 为等腰三角形或直角三角形.21(12分)已知函数f (x )=e x (ax 2+a+1)(a ∈R ). (1)若a=-1,求曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程;(2)若f (x )≥2e2对任意x ∈[-2,-1]恒成立,求实数a 的取值范围. 解(1)当a=-1时,f (x )=-x 2e x ,f (1)=-e .f'(x )=-2x e x -x 2e x .因为切点为(1,-e),则k=f'(1)=-3e,所以f (x )在点(1,-e)处的切线方程为y=-3e x+2e .(2)由题意得,f (-2)=e -2(4a+a+1)≥2e 2,解得a ≥15.f'(x )=e x (ax 2+2ax+a+1)=e x [a (x+1)2+1].因为a ≥15,所以f'(x )>0恒成立, 所以f (x )在[-2,-1]上单调递增.要使f (x )≥2e2恒成立,则f (-2)=e -2(4a+a+1)≥2e 2,即a ≥15.故实数a 的取值范围是[15,+∞).22(14分)设函数f (x )=(x-1)3-ax-b ,x ∈R ,其中a ,b ∈R .(1)求f(x)的单调区间;(2)若f(x)存在极值点x0,且f(x1)=f(x0),其中x1≠x0,求证:x1+2x0=3;(3)设a>0,函数g(x)=|f(x)|,求证:g(x)在区间[0,2]上的最大值不小于14.(1)解由f(x)=(x-1)3-ax-b,可得f'(x)=3(x-1)2-a.下面分两种情况讨论:①当a≤0时,有f'(x)=3(x-1)2-a≥0恒成立,所以f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞).②当a>0时,令f'(x)=0,解得x=1+√3a3,或x=1-√3a3.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:所以f(x)的单调递减区间为(1-√3a3,1+√3a3),单调递增区间为(-∞,1-√3a3),(1+√3a3,+∞).(2)证明因为f(x)存在极值点,所以由(1)知a>0,且x0≠1.由题意,得f'(x0)=3(x0-1)2-a=0,即(x0-1)2=a3,进而f(x0)=(x0-1)3-ax0-b=-2a3x0-a3-b.又f(3-2x0)=(2-2x0)3-a(3-2x0)-b=8a3(1-x0)+2ax0-3a-b=-2a3x0-a3-b=f(x0),且3-2x0≠x0,由题意及(1)知,存在唯一实数x1满足f(x1)=f(x0),且x1≠x0,因此x1=3-2x0.所以x1+2x0=3.(3)证明设g (x )在区间[0,2]上的最大值为M ,max{x ,y }表示x ,y 两数的最大值.下面分三种情况讨论:①当a ≥3时,1-√3a 3≤0<2≤1+√3a 3,由(1)知,f (x )在区间[0,2]上单调递减,所以f (x )在区间[0,2]上的取值范围为[f (2),f (0)],因此M=max{|f (2)|,|f (0)|}=max{|1-2a-b|,|-1-b|}=max{|a-1+(a+b )|,|a-1-(a+b )|}={a -1+(a +b ),a +b ≥0,a -1-(a +b ),a +b <0.所以M=a-1+|a+b|≥2.②当34≤a<3时,1-2√3a 3≤0<1-√3a 3<1+√3a 3<2≤1+2√3a 3,由(1)和(2)知f (0)≥f (1-2√3a 3)=f (1+√3a 3),f (2)≤f (1+2√3a 3)=f (1-√3a 3), 所以f (x )在区间[0,2]上的取值范围为[f (1+√3a 3),f (1-√3a 3)],因此M=max {|f (1+√3a 3)|,|f (1-√3a 3)|}=max {|-2a 9√3a -a -b|,|2a 9√3a -a -b|} =max {|2a 9√3a +(a +b )|,|2a 9√3a -(a +b )|}=2a 9√3a +|a+b|≥29×34×√3×34=14.③当0<a<34时,0<1-2√3a 3<1+2√3a 3<2, 由(1)和(2)知f (0)<f (1-2√3a 3)=f (1+√3a 3),f (2)>f (1+2√3a 3)=f (1-√3a 3), 所以f (x )在区间[0,2]上的取值范围为[f (0),f (2)],因此M=max{|f (0)|,|f (2)|}=max{|-1-b|,|1-2a-b|} =max{|1-a+(a+b )|,|1-a-(a+b )|}=1-a+|a+b|>14.综上所述,当a>0时,g (x )在区间[0,2]上的最大值不小于14.。