2016-2017年湖南省邵阳市新宁一中高一上学期数学期中试卷和解析

2016-2017学年湖南省邵阳市新宁一中高一（上）期中数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）若全集U={1，2，3，4，5}，A={2，4，5}，B={1，2，5}，则（∁U A）∩B=（）A．{2，5}B．{1，3，4}C．{1，2，4，5}D．{1}2．（5分）已知x3=4，则x等于（）A．B．C．log34 D．log433．（5分）函数y=的定义域为（）A．{x|x＜1}B．{x|x≥1}C．{x|0＜x＜1}D．{x|x≤1}4．（5分）下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是（）A．B．C．D．5．（5分）下列函数中，增长速度最慢的是（）A．y=e x B．y=lnx C．y=x100D．y=2x6．（5分）函数的递减区间是（）A． B．（0，+∞）C．（0，1]D．[1，+∞）7．（5分）y=的图象大致是（）A． B．C．D．8．（5分）关于函数f（x）=x2﹣2x+1的零点，下列说法正确的是（）A．因为f（0）⋅f（2）＞0，所以f（x）在（0，2）内没有零点B．因为1是f（x）的一个零点，所以f（0）⋅f（2）＜0C．由于f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，所以f（x）在（﹣∞，0）内有唯一的一个零点D．以上说法都不对9．（5分）对于函数，下列说法正确的是（）A．f（x）是奇函数B．f（x）是偶函数C．f（x）是非奇非偶函数D．f（x）既是奇函数又是偶函数10．（5分）函数f（x）=的零点为（）A．﹣4或﹣2 B．﹣4或2 C．﹣2或4 D．﹣2或211．（5分）集合M由正整数的平方组成，即M={1，4，9，16，25，…}，若对某集合中的任意两个元素进行某种运算，运算结果仍在此集合中，则称此集合对该运算是封闭的，M对下列运算是封闭的是（）A．加法B．减法C．乘法D．除法12．（5分）已知a，b是两个不相等的实数，集合A={a2﹣4a，﹣1}，B={b2﹣4b+1，﹣2}，若映射f：x→x表示将集合A中的元素x映射到集合B中仍然为x，则a+b 等于（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）计算：=．14．（5分）某班现有学生40人，其中15人喜爱篮球运动，20人喜爱排球运动，另有10人对这两项运动都不感兴趣（即均不喜爱），则该班喜爱排球运动但不喜爱蓝球运动的人数为．15．（5分）已知集合A={（x，y）|x2=y+1，|x|＜2，x∈Z}，试用列举法表示集合A=．16．（5分）已知函数的图象表示打字练习的“学习曲线”，其中N表示打字速度（字/min），t（h）表示达到打字水平N（字/min）所需要的学习时间．依此学习规律要想达到90字/min的打字速度，所需的学习时间为小时．三、解答题（本大题共5小题，共40分）17．（8分）已知某种病毒每经30min繁殖为原来的2倍，并且这种病毒的繁殖规律为y=e kt，其中k为常数，t表示时间，单位：h，y表示病毒个数．（1）求常数k；（2）经过5h，1个这样的病毒能繁殖为多少个？18．（8分）是否存在这样的实数a，使得函数f（x）=x2+（3a﹣2）x+a﹣1图象在区间（﹣1，3）上与x轴有且只有一个交点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．19．（8分）已知函数f（x）=x2+bx+c，且f（1）=0．（1）若函数f（x）是偶函数，求f（x）的解析式；（2）在（1）的条件下，求函数f（x）在区间[﹣1，3]上的最大值和最小值；（3）要使函数f（x）在区间[﹣1，3]上单调递增，求b的取值范围．20．（8分）已知函数（k∈Z）在（0，+∞）上为增函数．（1）求k值，并写出相应的f（x）的解析式；（2）对于（1）中得到的函数f（x），试判断是否存在正实数m，使得函数g（x）=1﹣mf（x）+（2m﹣1）x在区间[﹣1，2]上的值域为？若存在，求出m值；若不存在，请说明理由．21．（8分）若非零函数f（x）对于任意的实数a，b均有f（a+b）=f（a）⋅f（b），且当x＜0时，f（x）＞1．（1）求f（0）的值；（2）求证：；（3）求证：f（x）＞0；（4）求证：f（x）为减函数；（5）当时，解不等式f（x2+x﹣3）⋅f（5﹣x2）≤．2016-2017学年湖南省邵阳市新宁一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）若全集U={1，2，3，4，5}，A={2，4，5}，B={1，2，5}，则（∁U A）∩B=（）A．{2，5}B．{1，3，4}C．{1，2，4，5}D．{1}【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5}，A={2，4，5}，B={1，2，5}，∴（∁U A）∩B={1，3}∩{1，2，5}={1}．故选：D．2．（5分）已知x3=4，则x等于（）A．B．C．log34 D．log43【解答】解：由x3=4，则x=，故选：B．3．（5分）函数y=的定义域为（）A．{x|x＜1}B．{x|x≥1}C．{x|0＜x＜1}D．{x|x≤1}【解答】解：函数y=的定义域为{x|}，即{x|1﹣x＞0}解得{x|x＜1}．故选：A．4．（5分）下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是（）A．B．C．D．【解答】解：只要函数图象有部分在x轴的上下两侧，并且没有间断，就能用二分法求函数零点，观察所给的四个图象，满足条件的只有C．故选：C．5．（5分）下列函数中，增长速度最慢的是（）A．y=e x B．y=lnx C．y=x100D．y=2x【解答】解：y=e x，y=x100，y=2x，随着x的增大，函数值的增长速度越来越快，y=lnx随着x的增大，函数值的增长速度越来越慢，故选：B．6．（5分）函数的递减区间是（）A． B．（0，+∞）C．（0，1]D．[1，+∞）【解答】解：0＜＜1，故函数f（x）在（0，+∞）递减，故选：B．7．（5分）y=的图象大致是（）A． B．C．D．【解答】解：y=的图象即为将y=的图象向下平移1个单位得到的由指数函数y=为减函数且过定点（0，1）的特点可知y=的图象大致是B故选：B．8．（5分）关于函数f（x）=x2﹣2x+1的零点，下列说法正确的是（）A．因为f（0）⋅f（2）＞0，所以f（x）在（0，2）内没有零点B．因为1是f（x）的一个零点，所以f（0）⋅f（2）＜0C．由于f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，所以f（x）在（﹣∞，0）内有唯一的一个零点D．以上说法都不对【解答】解：函数f（x）=x2﹣2x+1的零点，即为f（x）=（x﹣1）2=0，解得x=1，即零点为1．对A，因为f（0）•f（2）＞0，所以f（x）在（0，2）内没有零点，错误，还要考虑（0，2）内的某个函数值的符号，比如f（1）=0；对B，因为1是f（x）的一个零点，所以f（0）•f（2）＜0，错误，要考虑（0，2）的单调性，事实上，f（0）•f（2）＞0；对C，由于f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，所以f（x）在（﹣∞，0）内有唯一的一个零点．错误，图象在（﹣∞，0）内与x轴没有交点．故选：D．9．（5分）对于函数，下列说法正确的是（）A．f（x）是奇函数B．f（x）是偶函数C．f（x）是非奇非偶函数D．f（x）既是奇函数又是偶函数【解答】解：由＞0，解得：﹣1＜x＜1，故函数f（x）的定义域是（﹣1，1），关于原点对称，而f（﹣x）=log2=﹣log2=﹣f（x），故f（x）是奇函数，故选：A．10．（5分）函数f（x）=的零点为（）A．﹣4或﹣2 B．﹣4或2 C．﹣2或4 D．﹣2或2【解答】解：∵函数f（x）=，∴或解得：x=﹣4，或x=2函数的零点为：﹣4，2；故选：B．11．（5分）集合M由正整数的平方组成，即M={1，4，9，16，25，…}，若对某集合中的任意两个元素进行某种运算，运算结果仍在此集合中，则称此集合对该运算是封闭的，M对下列运算是封闭的是（）A．加法B．减法C．乘法D．除法【解答】解：因为1+4=5∉M，所以此集合对加法运算不是封闭的；因为4﹣1=3∉M，所以此集合对减法运算不是封闭的；因为9÷4=2.25∉M，所以此集合对除法运算不是封闭的；数列M={1，4，9，16，25，…}的通项公式为：，数列中任意两个数的积还是一个数的平方，它还在此集合中，所以此集合对乘法运算是封闭的．故选：C．12．（5分）已知a，b是两个不相等的实数，集合A={a2﹣4a，﹣1}，B={b2﹣4b+1，﹣2}，若映射f：x→x表示将集合A中的元素x映射到集合B中仍然为x，则a+b 等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵f：x→x表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x，∴M=N，又∵集合M={a2﹣4a，﹣1}，N={b2﹣4b+1，﹣2}，∴a2﹣4a=﹣2，且b2﹣4b+1=﹣1，即a，b是方程x2﹣4x+2=0的两个根，故a+b=4，故选：D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）计算：=4．【解答】解：原式=0.25×4+3lg（2×5）=1+3=4，故答案为：414．（5分）某班现有学生40人，其中15人喜爱篮球运动，20人喜爱排球运动，另有10人对这两项运动都不感兴趣（即均不喜爱），则该班喜爱排球运动但不喜爱蓝球运动的人数为15．【解答】解：因为共40人，有10人对着两项运动都不喜爱，则热爱这两项运动的有40﹣10=30（人），因为15人喜爱篮球运动，20人喜爱排球运动，则两项都喜欢的有15+20﹣30=5（人）则该班喜爱排球运动但不喜爱蓝球运动的人数为20﹣5=15（人）故答案为：15．15．（5分）已知集合A={（x，y）|x2=y+1，|x|＜2，x∈Z}，试用列举法表示集合A={（﹣1，0），（0，﹣1），（1，0）} ．【解答】解：∵集合A={（x，y）|x2=y+1，|x|＜2，x∈Z}，∴A={（﹣1，0），（0，﹣1），（1，0）}．故答案为：{（﹣1，0），（0，﹣1），（1，0）}，16．（5分）已知函数的图象表示打字练习的“学习曲线”，其中N表示打字速度（字/min），t（h）表示达到打字水平N（字/min）所需要的学习时间．依此学习规律要想达到90字/min的打字速度，所需的学习时间为144小时．【解答】解：∵函数，∴当N=90字/min时，t=﹣144×lg（1﹣）=144．故答案为：144．三、解答题（本大题共5小题，共40分）17．（8分）已知某种病毒每经30min繁殖为原来的2倍，并且这种病毒的繁殖规律为y=e kt，其中k为常数，t表示时间，单位：h，y表示病毒个数．（1）求常数k；（2）经过5h，1个这样的病毒能繁殖为多少个？【解答】解：（1）∵t=0时，y=1，t=0.5时，y=2，∴2=e0.5k，解得k=2ln2=ln4．（4分）（2）由（1）知，∴当t=5时，y=45=210=1024．∴经过5h，1 个这样的病毒能繁殖1024个．（4分）18．（8分）是否存在这样的实数a，使得函数f（x）=x2+（3a﹣2）x+a﹣1图象在区间（﹣1，3）上与x轴有且只有一个交点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．【解答】解：∵△=（3a﹣2）2﹣4（a﹣1）=9a2﹣16a+8＞0，∴函数f（x）必有两个不相等的零点．又函数f（x）的图象在区间（﹣1，3）上与x轴有且只有一个交点，∴由零点存在性定理，可得f（﹣1）⋅f（3）≤0，即（2﹣2a）⋅（10a+2）≤0，解得a≤或a≥1．因此存在实数满足题设条件．19．（8分）已知函数f（x）=x2+bx+c，且f（1）=0．（1）若函数f（x）是偶函数，求f（x）的解析式；（2）在（1）的条件下，求函数f（x）在区间[﹣1，3]上的最大值和最小值；（3）要使函数f（x）在区间[﹣1，3]上单调递增，求b的取值范围．【解答】解：（1）∵函数为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），x∈R恒成立，即：x2﹣bx+c=x2+bx+c∴b=0又∵f（1）=0．∴c=﹣1∴f（x）=x2﹣1；（2）由（1）易知其对称轴为：x=0∴当x=0时， f（x）min=﹣1，当x=3时，f（x）max=8；（3）∵函数f（x）在区间[﹣1，3]上单调递增∴，∴b≥2即b≥2时，f（x）在区间[﹣1，3]上是递增的．20．（8分）已知函数（k∈Z）在（0，+∞）上为增函数．（1）求k值，并写出相应的f（x）的解析式；（2）对于（1）中得到的函数f（x），试判断是否存在正实数m，使得函数g（x）=1﹣mf（x）+（2m﹣1）x在区间[﹣1，2]上的值域为？若存在，求出m值；若不存在，请说明理由．【解答】（10分）解：（1）（4分）依题意，﹣k2+k+2＞0，即k2﹣k﹣2＜0⇒﹣1＜k＜2，又k∈Z，∴k=0或1，故f（x）=x2．（2）（6分）由（1）知g（x）=﹣mx2+（2m﹣1）x+1，（其中m＞0，x∈[﹣1，2]），因而，g（x）图象的开口向下，对称轴为，由于g（﹣1）=2﹣3m，g（2）=﹣1∈，，结合图象，只可能有2﹣3m=﹣4⇒m=2，此时符合题意．所以，存在实数m=2满足题意．[本题因为g（2）=﹣1∈，所以不可能出现的情形．] [注：本题第（1）问较易，第（2）问较难]21．（8分）若非零函数f（x）对于任意的实数a，b均有f（a+b）=f（a）⋅f（b），且当x＜0时，f（x）＞1．（1）求f（0）的值；（2）求证：；（3）求证：f（x）＞0；（4）求证：f（x）为减函数；（5）当时，解不等式f（x2+x﹣3）⋅f（5﹣x2）≤．【解答】解：（1）取a=b=0，得f（0）=[f（0）]2，而f（x）≠0，所以f（0）=1．证明：（2）取a=x，b=﹣x，则f（0）=f（x）•f（﹣x）=1，则．证明：（3）由（2）及x＜0时，f（x）＞1，可知∈（0，1），即x＞0时，f（x）∈（0，1）．再结合（1）知f（x）＞0，x∈R．证明：（4）当b ＜0时，a +b ＜a ，f （b ）＞1，f （a ）＞0， ∴f （a +b ）=f （a ）⋅f （b ）＞f （a ）⋅1=f （a ）， 故f （x ）为减函数． （5）∵，且f （2）＞0，∴．于是不等式f （x 2+x ﹣3）⋅f （5﹣x 2）≤可以化为f （x +2）≤f （2）， 再由f （x ）为R 上的减函数得 x +2≥2⇒x ≥0∴不等式的解集为[0，+∞）．赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321A1FDAB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DFE-a1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°E-aaBE挖掘图形特征：a+bbx-aa 45°DBa +b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM . （1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．E2.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求△AMN的周长．ND CABM3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．F。