二阶常微分方程解
二阶常系数线性微分方程的通解公式
二阶常系数线性微分方程的通解公式，
近年来，随着网络技术的不断发展和人们日益增长的对网络技术的依赖，互联
网技术的优势日益凸显。
比如二阶常系数线性微分方程的通解公式，可以有效地解决多种网络问题。
二阶常系数线性微分方程的通解公式是数学里面的重要概念，它使计算机科学
家们能够把数学理论应用于网络方面的问题解决。
其通解公式简单来说就是一元二次方程的通解公式。
它的标准形式为：y=c11*e~(atanx)+c12*etanx。
式中c11、
c12都是常数，通过不定积分求解得出。
二阶常系数线性微分方程的通解公式具有重要的经济意义，尤其对于处理网络
问题具有重要的应用价值。
比如，在网络重构以及网络安全领域，二阶常系数线性微分方程的通解公式可以有效地解决网络数据的处理、存储以及传输问题；在通信领域，它可以有效地应用于高速网络的传输以及信息的自动处理；在可信计算领域，可以用来分布式计算、网络安全、网络备份以及网络重构等应用问题。
因此可见，二阶常系数线性微分方程的通解公式对于网络技术的发展有着至关
重要的意义，如果知道了这个公式的通解方法，那么就可以有条不紊地解决网络技术相关的复杂问题。
二阶常微分方程的解法
二阶常微分方程的解法二阶常微分方程是微积分中的一个重要概念，涉及到求解具有两个未知函数的微分方程。
本文将介绍二阶常微分方程的一些解法方法。
一、可分离变量法对于形如f''(x) = g(x)的二阶常微分方程，可以通过分离变量的方法求解。
首先将方程进行变形，得到f''(x)-g(x) = 0。
然后令y=f'(x)，将方程转化为一阶方程y'-g(x)=0，再次进行变形得到dy/dx=g(x)。
接下来，对方程两边进行积分，得到y的表达式，再次积分即可得到f(x)的解。
二、特征方程法对于形如f''(x) + a1f'(x) + a0f(x) = 0的二阶常微分方程，可以通过特征方程法求解。
首先假设f(x)的解为f(x) = e^(rx)，其中r为待求解的常数。
代入原方程，得到特征方程r^2 + a1r + a0 = 0。
解特征方程，可以得到两个根r1和r2，然后f(x)的解可以表示为f(x) = C1e^(r1x) +C2e^(r2x)，其中C1和C2为待定常数。
三、常系数齐次线性微分方程法对于形如f''(x) + af'(x) + bf(x) = 0的二阶常微分方程，可以通过常系数齐次线性微分方程法求解。
首先假设f(x)的解为f(x) = e^(rx)，代入原方程，得到特征方程r^2 + ar + b = 0。
解特征方程，可以得到两个根r1和r2。
根据根的不同情况，可以得到不同的解形式。
1）当r1和r2是不相等的实根时，f(x)的解可以表示为f(x) =C1e^(r1x) + C2e^(r2x)，其中C1和C2为待定常数。
2）当r1和r2是相等的实根时，f(x)的解可以表示为f(x) = (C1x +C2)e^(r1x)，其中C1和C2为待定常数。
3）当r1和r2是共轭复数根时，f(x)的解可以表示为f(x) =e^(ax)[C1cos(bx) + C2sin(bx)]，其中C1和C2为待定常数。
二阶常微分方程解法
二阶常微分方程解法二阶常微分方程是数学中常见的方程形式，可以通过不同的方法来求解。
本文将介绍二阶常微分方程的解法，并通过例题来说明具体步骤。
一、齐次二阶常微分方程的解法齐次二阶常微分方程的一般形式为：y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0齐次二阶常微分方程的解法步骤如下：1. 首先，设y=e^(λx)为方程的解，其中λ为待定常数。
2. 求解特征方程λ^2 + P(x)λ + Q(x) = 0的根。
设该方程的根为λ1和λ2。
3. 根据特征根λ1和λ2的值，分别列出对应的解y1=e^(λ1x)和y2=e^(λ2x)。
4. 则原方程的通解为y=C1y1 + C2y2，其中C1和C2为任意常数。
例题1：求解二阶常微分方程y'' - 4y' + 4y = 0。
解题步骤：1. 特征方程为λ^2 - 4λ + 4 = 0，解得λ=2。
2. 因此，对应的特解为y1=e^(2x)。
3. 原方程的通解为y=C1e^(2x) + C2xe^(2x)，其中C1和C2为任意常数。
二、非齐次二阶常微分方程的解法非齐次二阶常微分方程的一般形式为：y'' + P(x)y' + Q(x)y = f(x)非齐次二阶常微分方程的解法步骤如下：1. 首先，求解对应的齐次方程y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0的通解，假设为y=C1y1 + C2y2。
2. 再根据待定系数法，设非齐次方程的特解为y*，代入原方程得到特解的形式。
3. 求解特解形式中的待定系数，并将特解形式代入原方程进行验证。
4. 特解形式正确且验证通过后，非齐次方程的通解为y=C1y1 +C2y2 + y*。
例题2：求解二阶常微分方程y'' - 4y' + 4y = x^2 + 3x + 2。
解题步骤：1. 对应的齐次方程的通解为y=C1e^(2x) + C2xe^(2x)，其中C1和C2为任意常数。
二阶常系数线性微分方程的解法
二阶常系数齐次线性方程解的性质 回顾
一阶齐次线性方程 y P( x) y 0 (1)
1、方程(1)的任意两个解的和仍是(1)的解； 2、方程(1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解；
2
二阶常系数齐次线性方程解的性质 y ay by 0 (2)
1、方程(2)的任意两个解的和仍是(2)的解； 2、方程(2)的任意一个解的常数倍仍是(2)的解；
Q( x) Qm ( x) , 即 y Qm ( x) erx 情形2 若 r 是特征方程的单根, 即 r2 ar b 0 ,
而 2r a 0 , 则令 Q( x) xQm ( x) , 即
y xQm ( x)erx
14
Q (2r a)Q (r 2 ar b)Q Pm ( x) (*) 情形3 若 r 是特征方程的二重根, 即 r2 ar b 0 ,
2
2
此时原方程的通解为
y
(C1
C 2 x)e2x
1 2
x 2e2x
；
Q( x) Ax2 , Q Pm ( x) , 2 A 1
21
y 4 yAe x ,
代入原方程,得
A
(
1 2)2
,
即特解为
y
(
1 2)2
e
x
,
此时原方程的通解为
于是 y x( 1 x 1)e2x ，
2
2
原方程通解为
y
C1e x
C 2e2 x
x(1 2
x
1) e2 x
.
18
例6 求微分方程 y 6 y 9 y x e3x 的通解.
解 特征方程 2 6 9 0 , 特征根 1,2 3 ，
对应齐次方程通解 Y (C1 C2 x)e3x . 因为 r 3 是二重特征根,
二阶常微分方程解
二阶常微分方程解 Document number：BGCG-0857-BTDO-0089-2022第七节 二阶常系数线性微分方程的解法在上节我们已经讨论了二阶线性微分方程解的结构，二阶线性微分方程的求解问题，关键在于如何求二阶齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解。
本节讨论二阶线性方程的一个特殊类型，即二阶常系数线性微分方程及其求解方法。
先讨论二阶常系数线性齐次方程的求解方法。
§ 二阶常系数线性齐次方程及其求解方法设给定一常系数二阶线性齐次方程为22dx y d ＋p dxdy ＋qy ＝0 其中p 、q 是常数，由上节定理二知，要求方程的通解，只要求出其任意两个线性无关的特解y 1,y ２就可以了，下面讨论这样两个特解的求法。
我们先分析方程可能具有什么形式的特解，从方程的形式上来看，它的特点是22dx y d ，dx dy，y 各乘以常数因子后相加等于零，如果能找到一个函数y ，其22dx y d ，dxdy，y 之间只相差一个常数因子，这样的函数有可能是方程的特解，在初等函数中，指数函数e rx ，符合上述要求，于是我们令y ＝e rx(其中r 为待定常数)来试解将y ＝erx，dxdy ＝re rx，22dxy d ＝r 2e rx代入方程得 r 2e rx ＋pre rx＋qe rx＝0或 e rx（r 2＋pr ＋q ）＝0因为e rx ≠0，故得r 2＋pr ＋q ＝0由此可见，若r 是二次方程r 2＋pr ＋q ＝0的根，那么e rx 就是方程的特解，于是方程的求解问题，就转化为求代数方程的根问题。
称式为微分方程的特征方程。
特征方程是一个以r 为未知函数的一元二次代数方程。
特征方程的两个根r １，r 2，称为特征根，由代数知识，特征根r 1，r 2有三种可能的情况，下面我们分别进行讨论。
(1)若特证方程有两个不相等的实根r １，r 2，此时e r １x ，e r2x 是方程的两个特解。
二阶常微分方程的几种解法
二阶常系数非齐次线性微分方程的几种解法一 公式解法目前,国内采用的高等数学科书中, 求二阶常系数线性非奇次微分方程[1]:通解的一般方法是将其转化为对应的齐次方程的通阶与它本'''()y ay by f x ++=身的特解之和。
微分方程阶数越高, 相对于低阶的解法越难。
那么二阶常系数齐次微分方程是否可以降价求解呢? 事实上, 经过适当的变量代换可将二阶常系数非齐次微分方程降为一阶微分方程求解。
而由此产生的通解公式给出了该方程通解的更一般的形式。
设二阶常系数线性非齐次方程为(1)'''()y ay by f x ++=这里都是常数。
为了使上述方程能降阶, 考察相应的特征方程b a 、(2)20k ak b ++=对特征方程的根分三种情况来讨论。
1 若特征方程有两个相异实根。
则方程(1) 可以写成12k 、k'''1212()()y k k y k k y f x --+=即 '''212()()()y k y k y k y f x ---= 记 , 则(1) 可降为一阶方程'2z y k y =-由一阶线性方程的通解公'1()z k z f x -= [5]()()[()]p x dx p x dxy e Q x e dx c -⎰⎰=+⎰(3)知其通解为这里表示积分之后的函数是以为自变量的。
1130[()]xk xk tz e f t edt c -=+⎰0()xh t dt ⎰x 再由11230[()]x k xk t dy k y z e f t e dt c dx--==+⎰解得12212()()34012[(())]k k xxuk xk k ue y e ef t dt du c c k k --=++-⎰⎰应用分部积分法, 上式即为1212212()()34001212121[()()]k k xk k xxxk xk tk te e y ef t edt f t edt c c k k k k k k ----=-++---⎰⎰(4)1122121200121[()()]x x k x k t k xk t k k x e f t e dt e f t e dt c e c e k k --=-++-⎰⎰2 若特征方程有重根, 这时方程为k 或'''22()y ky k y f x -+='''()()()y ky k y ky f x ---=由公式(3) 得到'10[()]x kx kt y ky e e f t dt c --=+⎰再改写为'1()xkxkx kt ey key e f t dt c ----=+⎰即10()()x kxkt d e y e f t dt c dx--=+⎰故(5)120()()xkx kt kx kx y ex t e f t dt c xe c e -=-++⎰例1 求解方程'''256xy y y xe -+=解 这里 的两个实根是2 , 32560k k -+=.由公式(4) 得到方程的解是2()x f x xe =332222321200xxx t t x t t x xy e e te dt e e te dt c e c e --=-++⎰⎰32321200xxx t x x xe te dt e tdt c e c e -=-++⎰⎰2232132xx x x x e c e c e ⎡⎤=--++⎢⎥⎣⎦这里.321c c =-例2 求解方程'''2ln x y y y e x-+=解 特征方程 有重根1 , .由公式(5) 得到方程的解是2210k k -+=()ln x f x e x =120()ln xx t t x xy ex t e e tdt c xe c e -=-++⎰120()ln xxx xe x t tdt c xe c e =-++⎰1200[ln ln ]xxxx xe x tdt t tdt c xe c e =-++⎰⎰21213ln 24x x xx e x c xe c e ⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦二 常数变易法二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是, (6)'''()y py qy f x ++= , (7)'''0y py qy ++=其中 为常数,根构造方程(7) 的两个线性无关的解,再由这两个解构造出方p q 、程(7) 的通解。
二阶二次常微分方程
二阶二次常微分方程是指形如以下形式的微分方程：
\[ \frac{d^2y}{dt^2} + a \frac{dy}{dt} + by = f(t) \]
其中\( y = y(t) \) 是未知函数，\( a \) 和\( b \) 是常数，\( f(t) \) 是已知函数，而\( t \) 是自变量。
解二阶二次常微分方程的一般步骤如下：
1. 首先，找到该微分方程的特解。
特解可以是一个特定的函数形式，例如多项式、指数函数、三角函数等。
根据\( f(t) \) 的形式，可以选择适当的特解形式，并代入微分方程，解出特解的形式。
2. 接下来，寻找该微分方程的齐次解。
齐次解是指\( f(t) \) 为零时的解。
假设齐次解为\( y_h(t) \)，代入齐次微分方程\( \frac{d^2y_h}{dt^2} + a \frac{dy_h}{dt} + by_h = 0 \)，解出齐次解的形式。
3. 根据线性微分方程的性质，二阶二次常微分方程的通解可以表示为特解与齐次解的线性组合，即\( y(t) = y_h(t) + y_p(t) \)。
通过给定的初始条件，可以确定特解和齐次解中的待定常数，从而得到特定的解。
初始条件可以是函数在某一点的值和导数的值。
二阶常微分方程的解法
二阶常微分方程的解法常微分方程是数学中的一个重要分支，涵盖了许多不同类型的方程，其中二阶常微分方程是比较常见、比较典型的一种类型。
二阶常微分方程的解法可以分为多种方法，每种方法都有其适用范围和特点。
本文将介绍几种常见的二阶常微分方程的解法。
一、特征方程法特征方程法是求解齐次线性二阶常微分方程的一种经典方法。
对于形如 $y''+p(t)y'+q(t)y=0 $ 的二阶齐次线性常微分方程，其中$p(t)$ 和 $q(t)$ 是已知函数，我们可以先设其解为 $y=e^{rt}$，将其代入原方程中得到：$$ r^2e^{rt}+p(t)re^{rt}+q(t)e^{rt}=0 $$将 $e^{rt}$ 提出来得到：$$ e^{rt}(r^2+p(t)r+q(t))=0 $$由于 $e^{rt}$ 为非零函数，因此必然有 $r^2+p(t)r+q(t)=0$，这就是我们所说的特征方程。
我们可以根据特征方程的解来确定$y$ 的形式，这个过程不再详细阐述，这里只列出几个例子：1. 当特征方程有两个不同实根 $r_1$ 和 $r_2$ 时，我们可以得到 $y=c_1e^{r_1t}+c_2e^{r_2t}$，其中 $c_1$ 和 $c_2$ 是常数。
2. 当特征方程有一个二重实根 $r$ 时，我们可以得到$y=(c_1+c_2t)e^{rt}$，其中 $c_1$ 和 $c_2$ 是常数。
3. 当特征方程有一对共轭复根 $a\pm bi$ 时，我们可以得到$y=e^{at}(c_1\cos bt+c_2\sin bt)$，其中 $c_1$ 和 $c_2$ 是常数。
二、常数变易法当二阶非齐次线性常微分方程的函数形式很规则时，我们可以使用常数变易法来求解。
常数变易法是将待求的函数拆分成两部分，一部分为齐次方程的通解（这部分已经通过特征方程法求出），另一部分为非齐次方程的特解。
这里只列出一些常见的非齐次方程及其特解：1. $y''+k^2y=f(t)$。
第三节_二阶常系数线性微分方程的解法
通解的表达式
y = C1e r1 x + C 2e r2 x
y = (C1 + C 2 x ) e
r1 x
y = eαx (C 1 cos β x + C 2 sin β x )
8
例1 解
的通解. 求微分方程 y′′ − 2 y′ − 3 y = 0 的通解.
特征方程为 λ 2 − 2λ − 3 = 0 特征根为 λ1 = −1, λ2 = 3 故所求通解为
y = C 1e − x + C 2 e 3 x
例2 解
求方程 y′′ + 2 y′ + 5 y = 0的通解 .
特征方程为 λ2 + 2λ + 5 = 0
解得
λ1， = −1± 2i , 2
y = e (C1 cos 2 x + C 2 sin 2 x )
9
故所求通解为
−x
ds ds 例3 求微分方程 2 + 2 + s = 0 满足初始条件 dt dt
∗
′′ = Q′′( x )e r x + 2λ Q′( x )e r x + λ2Q( x )e r x (y )
∗
代入方程 y′′ + ay′ + by = f ( x ) ,
整理并约去 e
rx
,得
Q′′ + (2r + a)Q′ + (r 2 + ar + b)Q = Pm ( x)
(*)
13
(1)
1、方程(1)的任意两个解的和仍是(1)的解； 方程(1)的任意两个解的和仍是(1)的解； (1)的任意两个解 (1)的解 2、方程(1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解； 方程(1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解； (1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解
二阶常系数微分方程总结
二阶常系数微分方程总结二阶常系数微分方程的求解方法及应用引言：在数学中，微分方程是一个方程，该方程中包含了未知函数的导数，是研究自然界现象变化规律的重要工具。
其中，二阶常系数微分方程是一类常见的微分方程，它具有形如f''(x)+af'(x)+bf(x)=0的形式，其中a和b为常数。
本文将从求解方法和应用两个方面对二阶常系数微分方程进行总结。
一、求解方法：1. 特征方程法：特征方程法是求解二阶常系数微分方程的常用方法。
对于f''(x)+af'(x)+bf(x)=0，我们可以假设f(x)=e^(rx)为其解，代入方程后化简得到特征方程r^2+ar+b=0。
根据特征方程的解的不同情况，可以得到方程的通解。
2. 变量分离法：对于一些特殊的二阶常系数微分方程，可以通过变量分离法求解。
首先，我们将f(x)表示为f(x)=u(x)v(x)，然后将f''(x)+af'(x)+bf(x)=0带入，得到一系列关于u(x)和v(x)的方程，通过求解这些方程可以得到方程的解。
3. 初值问题求解：对于二阶常系数微分方程的初值问题，可以通过给定初始条件来求解。
首先，将方程转化为标准形式，然后代入初始条件进行求解，得到满足初始条件的特解。
二、应用：1. 自由振动：二阶常系数微分方程广泛应用于描述自由振动现象。
例如，弹簧振子的运动可以用二阶常系数微分方程来描述，其中a和b分别代表弹簧的刚度和阻尼系数。
通过求解该微分方程，可以得到弹簧振子的运动规律。
2. 电路分析：在电路分析中，电感、电容和电阻的组合经常涉及到二阶常系数微分方程。
通过建立电路方程并转化为微分方程，可以求解电路中电流和电压随时间的变化规律，为电路设计和分析提供依据。
3. 指数增长和衰减：二阶常系数微分方程也可以应用于描述指数增长和衰减的过程。
在人口增长、物质衰变等领域中，经常需要通过求解二阶微分方程来预测趋势和变化。
二阶常微分方程解.
第七节 二阶常系数线性微分方程的解法在上节我们已经讨论了二阶线性微分方程解的结构，二阶线性微分方程的求解问题，关键在于如何求二阶齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解。
本节讨论二阶线性方程的一个特殊类型，即二阶常系数线性微分方程及其求解方法。
先讨论二阶常系数线性齐次方程的求解方法。
§7.1 二阶常系数线性齐次方程及其求解方法设给定一常系数二阶线性齐次方程为22dxyd ＋p dx dy ＋qy ＝0 (7.1)其中p 、q 是常数，由上节定理二知，要求方程(7.1)的通解，只要求出其任意两个线性无关的特解y 1,y ２就可以了，下面讨论这样两个特解的求法。
我们先分析方程(7.1)可能具有什么形式的特解，从方程的形式上来看，它的特点是22dxy d ，dx dy，y 各乘以常数因子后相加等于零，如果能找到一个函数y ，其22dxy d ，dx dy，y 之间只相差一个常数因子，这样的函数有可能是方程(7.1)的特解，在初等函数中，指数函数e rx ，符合上述要求，于是我们令 y ＝e rx(其中r 为待定常数)来试解将y ＝e rx，dx dy ＝re rx ，22dx y d ＝r 2e rx代入方程(7.1)得 r 2e rx ＋pre rx ＋qe rx＝0或 e rx （r 2＋pr ＋q ）＝0 因为e rx ≠0，故得 r 2＋pr ＋q ＝0 由此可见，若r 是二次方程r 2＋pr ＋q ＝0 (7.2) 的根，那么e rx 就是方程(7.1)的特解，于是方程(7.1)的求解问题，就转化为求代数方程(7.2)的根问题。
称(7.2)式为微分方程(7.1)的特征方程。
特征方程(7.2)是一个以r 为未知函数的一元二次代数方程。
特征方程的两个根r １，r 2，称为特征根，由代数知识，特征根r 1，r 2有三种可能的情况，下面我们分别进行讨论。
(1)若特证方程(7.2)有两个不相等的实根r １，r 2，此时er １x，e r2x是方程(7.1)的两个特解。
二阶常系数线性微分方程的解法
数学系 贺 丹
2.2 二阶常系数线性微分方程的解法
若二阶线性微分方程为 ay by cy f ( x) ，其中 a, b, c 均为常数，则称该方程为二阶常系数线性微分方程。
二阶常系数线性齐次方程的解法
ay by cy 0 ，
①
猜想方程①具有 y erx 形式的解，其中 r 为待定常数，
方程②叫做方程①的特征方程。
按特征方程的两个根 r1, r2 的三种可能情况： 1． r1 r2 是两个不相等的实根； 2． r1 r2 是两个相等的实根；
3． r1 i ， r2 i 是一对共轭复数。
3
2.2 二阶常系数线性微分方程的解法
1 ． 特 征 方 程 的 根 是 两 个 不 相 等 实 数 的 情 形 。
∵函数 y1 和 y2 都是方程①的解，且它们是线性无关的，
∴ 方程①的通解为 y C1 y1 C2 y2 ，即
y e x (C 1 co x s C 2 six n )
（其中 , 为特征方程的复根的实部及虚部）。
7
2.2 二阶常系数线性微分方程的解法
小结：求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤
高阶常系数线性齐次方程的解法 n 阶常系数线性齐次方程为
a0 y(n) a1 y(n1) an1 y an y 0 ， ③
其特征方程为 a0r n a1r n1 an1r an 0 . ④
方程②是一个一元 n 次方程， 有 n 个根。类似二阶常系
数线性齐次方程，相应地可得到方程①的 n 个线性无关
∵ erx 0 ， 2ar b 0, ar 2 br c 0 ， ∴ u( x) 0 ，
取 u( x) 0 的一个解 u( x) x ，则 y2 xerx 。
二阶常微分方程的解
二阶常微分方程的解二阶常微分方程是数学中常见且重要的一类方程，可以描述许多自然现象和物理问题。
解二阶常微分方程需要一定的数学知识和技巧，但掌握了解的性质和求解方法，我们就能更好地理解和应用它们。
首先，我们来研究二阶常微分方程的解的性质。
对于形如f''(x) + p(x)f'(x) + q(x)f(x) = 0的二阶常微分方程，其中p(x)和q(x)是已知函数，f(x)是未知函数，我们可以得到以下结论：1. 零解：如果f(x) ≡ 0是方程的解，那么它被称为零解。
2. 常数解：如果f(x) ≡ C是方程的解，其中C是常数，那么它被称为常数解。
3. 特征根法：对于二阶齐次线性常微分方程，我们可以通过求解特征方程来得到通解。
特征方程是通过将方程中的f(x)替换为e^(rx)，然后解得的关于r的二次方程。
特征方程的根决定了通解的形式。
4. 叠加原理：对于二阶齐次线性常微分方程，如果f1(x)和f2(x)分别是该方程的解，那么它们的线性组合C1f1(x) + C2f2(x)也是该方程的解，其中C1和C2是任意常数。
其次，我们来探讨二阶常微分方程的求解方法。
除了特征根法外，还有几种常用的方法：1. 变量分离法：将二阶常微分方程转化为两个一阶常微分方程，通过变量分离和积分求解。
2. 微分算子法：使用微分算子D = d/dx，将二阶常微分方程转化为代数方程。
3. 幂级数法：假设解可以表示为幂级数的形式，然后通过求导和代入方程来确定系数。
4. 矩阵法：将二阶常微分方程转化为矩阵形式，然后求解矩阵的特征值和特征向量。
最后，我们来看一些二阶常微分方程在实际问题中的应用。
例如，振动系统、电路和传热问题等都可以建模为二阶常微分方程。
通过求解方程，我们可以获得系统的振动频率、电流变化和温度分布等重要信息，从而对实际问题进行分析和优化。
总结起来，二阶常微分方程的解具有多样性和丰富性，我们可以通过掌握解的性质和求解方法来更好地理解和应用它们。
二阶线性常微分方程的解的结构
二阶线性常微分方程的解的结构 二阶线性常系数微分方程的解的求法二阶线性常微分方程：y ’’+p(x)y ’+q(x)y=r(x) p(x)、q(x)、r(x)是区间I 上的已知函数 y ’’+p(x)y ’+q(x)y=0 齐次 y ’’+p(x)y ’+q(x)y=r(x)，r(x)≠0, 非齐次【一】对齐次方程：y ’’+p(x)y ’+q(x)y=01.若y 1(x)和y 2(x)都是上述齐次方程的解，则C 1y 1(x)+C 2y 2（x ）仍是上述方程的解.2.若y 1(x)和y 2(x)在区间I 上线性无关，即αy 1(x)+βy 2(x)=0仅当α=β=0时成立， 则y=C 1y 1(x)+C 2y 2（x ）即是y ’’+p(x)y ’+q(x)y=0的通解。
【y ’’+p(x)y ’+q(x)y=0的任何一个解可表示成y=C 1y 1(x)+C 2y 2（x ）的形式】由上述1和2，求y ’’+p(x)y ’+q(x)y=0的通解，只需找到两个其两个线性无关的特解.【二】对非齐次方程：y ’’+p(x)y ’+q(x)y=r(x)，r(x)≠0y*(x)是其一y ’’+p(x)y ’+q(x)y=r(x)，r(x)≠0的一个特解Y(x)是对应齐次方程y ’’+p(x)y ’+q(x)y=0的某个解则1）y*’’+py*’+qy*=r 2) y ’’+py ’+qy=r两式相减：（y-y*）’’ + p(y-y*) ‘+q(y-y*)=0记Y=y-y*,则Y 是对应齐次方程y ’’+p(x)y ’+q(x)y=0的通解 y=y*+Y即：y ’’+p(x)y ’+q(x)y=r(x)，r(x)≠0的任何一个解y(x)都可以表示为：y(x)=y*(x)+Y(x) 即：非齐次方程的通解=非齐次方程的一个特解+对应其次方程的通解.如何求二阶线性常系数齐次微分方程y ’’+p(x)y ’+q(x)y=0 的通解？设y(x)是 y ’’+p(x)y ’+q(x)y=0 的解，p 、q 均为常数 则在I 内y ’’(x)+py ’(x)+qy(x)=0,恒成立所以y ’、py ’、qy 必须能够抵消掉，即y 、y ’、y ’’必须是同一类型的函数. 只能是指数函数令kxe =y 是方程y ’’+py ’+qy=0（p 、q 为常数）的解 即0k 2≡++kxe q pk ）（，可得02=++q pk k02=++q pk k 是一个一元二次方程，称为y ’’+py ’+qy=0的特征方程解一元二次方程得.24,24k 2221q p p k q p p ---=-+-=则与k 1k 2对应的.,y 2121xk xk e y e ==必是y ’’+py ’+qy=0（p 、q 为常数）的解但是.,y 2121xk xk e y e ==是否线性无关？【能否构成通解y ’’+py ’+qy=0（p 、q 为常数）】 分类讨论： 1.04p 2>-q即k 1k 2是两个不等实根，且常数≠=-)(2121e x k x k x k x k e e ，即.,y 2121xk x k e y e ==线性无关所以x k xk e C eC 2121y +=2.04p 2<-q.,k 21βαβα-=+=k i 是一对共轭的复根则)s i n (c o s )()s i n (c o s )()(2)(121x i x e eex y x i x e e e x y xxi xk x x i x k -===+===-+ββαβααβα 线性无关复函数用起来不方便，不用其来构造y ’’+py ’+qy=0（p 、q 为常数）的通解取其线性组合：x e e e ix yx e e e x yx x k x k x x k xk ββααsin )(21)(ˆcos )(21)(ˆ212121=-==+=)(y ˆ),(yˆ21x x 是y ’’+py ’+qy=0（p 、q 为常数）的解，且)(y ˆ),(y ˆ21x x 线性无关. y ’’+py ’+qy=0（p 、q 为常数）的通解：)sin cos ()(21x C x C e x y xββα+= 3.042=-q p此时k 1=k 2，即重根，记重根为k ，kxe x =)(y 1必是y ’’+py ’+qy=0（p 、q 为常数）的一个解 求通解，只需再找一个与kxe x =)(y 1线性无关的解.将上述这个解表示成为待定函数但非常数)(,)(y x u e x u kx=，代入y ’’+py ’+qy=0（p 、q 为常数），得到0])(')2(''[e 2=++++++u q pk k u p k u kx ，)2,0(k 212pk k q pk -===++ 所以u ’’=0.取u(x)=x,则得到y ’’+py ’+qy=0（p 、q 为常数）的另一个解kxxe y = 此时y ’’+py ’+qy=0（p 、q 为常数）的通解为kx e x C C x )()(y 21+=如何求二阶线性常系数非齐次微分方程y ’’+p(x)y ’+q(x)y=r(x)，r(x)≠0的通解？由刚开始的分析，只需求出它的一个特解y*(x)设齐次方程通解为)()()(2211x y C x y C x y +=，)()(y 21x y x 、是齐次方程的两个线性无关解 设非齐次方程有一个形如)()()()()(2211*x y x C x y x C x y +=的解.上一行中的21,C C 已变易为待定函数接下来的任务是选择)(),(21x C x C ，使)()()()()(2211*x y x C x y x C x y +=是y ’’+p(x)y ’+q(x)y=r(x)，r(x)≠0的一个解将)()()()()(2211*x y x C x y x C x y +=代入y ’’+p(x)y ’+q(x)y=r(x)，r(x)≠0中得到：()()()()()()()()()x y x C x y x C x y x C x y x C x '''''y 22112211*+++=因为只要求出一个特解，即只要确定一组函数)(),(21x C x C ，我们就有比较大的自由度对)(),(21x C x C 加以限制，如选择)(),(21x C x C 使()()()()0''2211=+x y x C x y x C这样，()()()()()()()()()()()()()()x y x C x y x C x y x C x y x C x x y x C x y x C x 22112211*2211*'''''''''y'''y'+++=+=将()()()()()()()()()()()()()()()()()()()x y x C x y x C x y x C x y x C x x y x C x y x C x x y x C x y x C x 22112211*2211*2211*'''''''''y'''y'y +++=+=+=代入y ’’+p(x)y ’+q(x)y=r(x)，r(x)≠0()()()()()()()()()()()()()()()()()()()x r x y x C x y x C q x y x C x y x C p x y x C x y x C x y x C x y x C =+++++++2211221122112211''''''''''()()x x 21y ,y 都是齐次方程的解，可将上式化简为()()()()()x r x y x C x y x C =+2211''()()()()0''2211=+x y x C x y x C 与()()()()()x r x y x C x y x C =+2211''是关于()()x C x C 21,的线性代数方程组，解之，得()()()()()()()()()()()()()()()()x y x y x y x y x r x y x y x C x y x y x y x y x y x r x y x C 21211122121221'''0','''0'==再积一次分即可求出()()x C x C 21,.这就是参数变易法求二阶线性常系数非齐次微分方程.。
二阶常微分方程的特解
二阶常微分方程的特解
二阶常微分方程的特解需要根据具体的方程形式来确定。
一般来说，我们可以使用初值条件或特定的边界条件来求解。
以下是一些常见的二阶常微分方程及其对应的特解方法：
1. 齐次线性方程：形如y'' + p(x)y' + q(x)y = 0 的方程，其中p(x) 和q(x) 是已知函数。
可以使用特征方程法来求解。
首先假设
y=e^(mx)，代入方程得到特征方程m^2 + p(x)m + q(x) = 0。
解出特征方程后，根据根的不同情况，可以得到不同类型的特解。
2. 非齐次线性方程：形如y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x) 的方程，其中f(x) 是已知函数。
可以使用常数变易法来求解。
首先求齐次线性方程的通解y_0(x)，然后假设特解为y_p(x) = u(x)y_0(x)，代入方程中求解u(x)。
最后特解为y(x) = y_0(x) + y_p(x)。
3. 高阶常系数线性齐次方程：形如a_ny^(n) + a_(n-1)y^(n-1) + ... + a_1y' + a_0y = 0 的方程，其中a_n, a_(n-1), ..., a_1, a_0 是已知常数。
可以使用特征方程法来求解。
假设y=e^(mx)，代入方程得到特征方程a_nm^n + a_(n-1)m^(n-1) + ... + a_1m + a_0 = 0。
解出特征方程后，根据根的不同情况，可以得到不同类型的特解。
这些只是二阶常微分方程的一些常见特解方法，实际问题中可能还有其他特殊情况需要考虑。
2.2二阶常系数线性微分方程的解法
13
2.2 二阶常系数线性微分方程的解法
1. f (x) Pm(x)ex ( 其中 pm ( x)是 x 的 m 次多项式 )
这时方程②为 ay by cy Pm ( x)ex
③
可以设 y Q( x)ex ( 其中Q( x) 是多项式 ) 。
例 1．求方程 y 5 y 6 y 2x 3 的特解。
解： f ( x) 2x 3 (2x 3)e0x ，
属 f ( x) Pm ( x)e x 型（ m 1, 0 ），
特征方程为 r2 5r 6 0 ， r1 2 ， r2 3 ，
∵ 0 不是特征根，
∴设特解为 y Q1( x)e0x Aox A1 ，
得 erx (ar 2 br c) 0 ，但 erx 0 ，故有
ar 2 br c 0 ，
②
2
2.2 二阶常系数线性微分方程的解法
ar 2 br c 0 ，
②
若 r 是一元二次方程②的一个根，则 y erx 就是 方程①的一个特解。
方程②叫做方程①的特征方程。
按特征方程的两个根 r1, r2 的三种可能情况： 1． r1 r2 是两个不相等的实根； 2． r1 r2 是两个相等的实根；
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2.2 二阶常系数线性微分方程的解法
高阶常系数线性齐次方程的解法 n 阶常系数线性齐次方程为
a0 y(n) a1 y(n1) an1 y an y 0 ， ③
其特征方程为 a0r n a1r n1 an1r an 0 . ④
方程②是一个一元 n 次方程， 有 n 个根。类似二阶常系
Q( x) 应为 m 次多项式 , Q( x) 应为 m 1 次多项式 ,
二阶常微分方程有解的条件
二阶常微分方程有解的条件
我们要探讨二阶常微分方程有解的条件。
首先，我们需要了解二阶常微分方程的一般形式。
一个二阶常微分方程的一般形式是：
y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = f(x)
其中，y''(x) 是 y 关于 x 的二阶导数，p(x) 和 q(x) 是 x 的函数，f(x) 是 x
的函数。
为了找到这个方程的解，我们需要满足以下条件：
1. 初始条件：给定 y(a) 和 y'(a)，其中 a 是某个特定的 x 值。
2. 边界条件：可能还需要在 x 的某个特定值上设定额外的条件。
3. 连续性条件：确保解在所有定义域内都是连续的。
4. 可积性条件：确保方程的右边 f(x) 在整个定义域内都是可积的。
5. 稳定性条件：确保解在所有定义域内都是稳定的，即没有不稳定的振动或爆炸。
综上所述，为了找到一个二阶常微分方程的解，我们需要满足一系列的条件，包括初始条件、边界条件、连续性条件、可积性条件和稳定性条件。
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第七节 二阶常系数线性微分方程的解法在上节我们已经讨论了二阶线性微分方程解的结构，二阶线性微分方程的求解问题，关键在于如何求二阶齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解。
本节讨论二阶线性方程的一个特殊类型，即二阶常系数线性微分方程及其求解方法。
先讨论二阶常系数线性齐次方程的求解方法。
§ 二阶常系数线性齐次方程及其求解方法设给定一常系数二阶线性齐次方程为22dx y d ＋p dxdy ＋qy ＝0 其中p 、q 是常数，由上节定理二知，要求方程的通解，只要求出其任意两个线性无关的特解y 1,y ２就可以了，下面讨论这样两个特解的求法。
我们先分析方程可能具有什么形式的特解，从方程的形式上来看，它的特点是22dx y d ，dx dy，y 各乘以常数因子后相加等于零，如果能找到一个函数y ，其22dx y d ，dxdy，y 之间只相差一个常数因子，这样的函数有可能是方程的特解，在初等函数中，指数函数e rx ，符合上述要求，于是我们令y ＝e rx(其中r 为待定常数)来试解将y ＝erx，dxdy ＝re rx，22dxy d ＝r 2e rx代入方程得 r 2e rx ＋pre rx＋qe rx＝0或 e rx（r 2＋pr ＋q ）＝0因为e rx ≠0，故得r 2＋pr ＋q ＝0由此可见，若r 是二次方程r 2＋pr ＋q ＝0的根，那么e rx 就是方程的特解，于是方程的求解问题，就转化为求代数方程的根问题。
称式为微分方程的特征方程。
特征方程是一个以r 为未知函数的一元二次代数方程。
特征方程的两个根r １，r 2，称为特征根，由代数知识，特征根r 1，r 2有三种可能的情况，下面我们分别进行讨论。
(1)若特证方程有两个不相等的实根r １，r 2，此时e r １x ，e r2x 是方程的两个特解。
因为 x r x r 21e e ＝e x)r r (21-≠常数所以e r1x ，e r2x 为线性无关函数，由解的结构定理知，方程的通解为y ＝C 1e r1x ＋C 2e r2x(2)若特征方程有两个相等的实根r 1＝r 2，此时p 2－4q ＝0，即有r 1＝r 2＝2p-，这样只能得到方程的一个特解y１＝e r １x ，因此，我们还要设法找出另一个满足12y y ≠常数，的特解y 2，故12y y 应是x 的某个函数，设12y y ＝u ，其中u ＝u(x)为待定函数，即y 2＝uy 1＝ue r １x对y 2求一阶，二阶导数得dx dy 2＝dxdu e r1x＋r １ue r1x＝(dx du ＋r 1u)er1x222dx y d ＝(r 2１u ＋2r 1dx du ＋22dx ud )e r1x将它们代入方程得(r 21u ＋２r 1dx du ＋22dxu d )e r1x＋p(dxdu ＋r 1u)er1x＋que r1x ＝0或［22dx u d ＋(2r 1＋p) dxdu＋(r ２１＋pr 1＋q)u ］e r1x ＝0因为e r1x ≠0，且因r 1是特征方程的根，故有r ２１＋pr １＋q ＝0，又因r 1＝－2p故有2r 1＋p ＝0，于是上式成为22dxu d ＝0 显然满足22dxud ＝0的函数很多，我们取其中最简单的一个 u(x)＝x则y 2＝xe rx 是方程的另一个特解，且y 1，y 2是两个线性无关的函数，所以方程的通解是y ＝C 1e r1x ＋C 2xe r1x ＝(C 1＋C 2x)er1x(3)若特征方程有一对共轭复根 r 1＝α＋i β，r 2＝α－i β此时方程有两个特解y 1＝e (α＋i β)xy 2＝e （α－i β）x则通解为y ＝C 1e （α＋i β）x ＋C 2e （α－i β）x其中C 1，C 2为任意常数，但是这种复数形式的解，在应用上不方便。
在实际问题中，常常需要实数形式的通解，为此利用欧拉公式e ix ＝cosx ＋isinx ，e －ix ＝cosx －isinx有 21(e ix＋e －ix)＝cosxi 21(e ix－e －ix)＝sinx21 (y 1＋y ２)＝21e αx(e i βx＋e －i βx)＝e αxcos βxi 21 (y 1－y 2)＝i21e αx(e i βx－e －i βx)＝e αxsin βx由上节定理一知，21 (y 1＋y 2)，i21(y 1－y 2)是方程的两个特解，也即e αx cos βx ，e αx sin βx 是方程的两个特解：且它们线性无关，由上节定理二知，方程的通解为y ＝C 1e αx cos βx ＋C 2e αx sin βx或 y ＝e αx (C 1cos βx ＋C 2sin βx)其中C 1，C 2为任意常数，至此我们已找到了实数形式的通解，其中α，β分别是特征方程复数根的实部和虚部。
综上所述，求二阶常系数线性齐次方程的通解，只须先求出其特征方程的根，再根据他的三种情况确定其通解，现列表如下特征方程r 2＋pr ＋q ＝0的根微分方程22dx y d ＋p dx dy＋qy ＝0的通解有二个不相等的实根r 1，r 2y ＝C 1e r1x＋C 2e r2x有二重根r 1＝r 2y ＝(C 1＋C 2x)e r1x有一对共轭复根β-α=β+α=i r i r 21y ＝e αx (C 1cos βx ＋C 2sin βx)例1. 求下列二阶常系数线性齐次方程的通解(1) 22dx y d ＋3dx dy－１０y ＝0 (2) 22dx y d －4dx dy ＋4y ＝0 (3) 22dx y d ＋4dxdy ＋7y ＝0 解 (1)特征方程r 2＋3r －10＝0有两个不相等的实根r 1＝－5，r 2＝2所求方程的通解 y ＝C 1e －5r＋C 2e 2x(2)特征方程r 2－4r ＋4＝0，有两重根 r 1＝r 2＝2所求方程的通解y ＝(C 1＋C 2x)e 2x(3)特征方程r 2＋4r ＋7＝0有一对共轭复根r 1＝－2＋3i r 2＝－2－3i所求方程的通解 y ＝e －2x(C 1cos3x ＋C 2sin 3x)§ 二阶常系数线性非齐次方程的解法由上节线性微分方程的结构定理可知，求二阶常系数线性非齐次方程22dx y d ＋p dxdy ＋qy ＝f(x) 的通解，只要先求出其对应的齐次方程的通解，再求出其一个特解，而后相加就得到非齐次方程的通解，而且对应的齐次方程的通解的解法，前面已经解决，因此下面要解决的问题是求方程的一个特解。
方程的特解形式，与方程右边的f(x)有关，这里只就f(x)的两种常见的形式进行讨论。
一、f(x)＝p n (x)e αx ，其中p n (x)是n 次多项式，我们先讨论当α＝0时，即当f(x)＝p n （x ）时方程22dx y d ＋p dx dy ＋qy ＝p n(x) 的一个特解。
(1)如果q ≠0，我们总可以求得一n 次多项式满足此方程，事实上，可设特解~y ＝Q n(x)＝a 0x n＋a 1xn －1＋…＋a n ，其中a 0，a 1，…a n 是待定常数，将~y 及其导数代入方程，得方程左右两边都是n 次多项式，比较两边x 的同次幂系数，就可确定常数a 0，a 1，…a n 。
例1. 求22dx y d ＋dxdy＋2y ＝x 2－3的一个特解。
解 自由项f(x)＝x 2－3是一个二次多项式，又q ＝2≠0，则可设方程的特解为~y ＝a 0x 2＋a 1x ＋a 2求导数~'y ＝2a 0x ＋a1~"y ＝2a代入方程有2a 0x 2＋(2a 0＋2a 1)x ＋（2a 0＋a 1＋2a ２）＝x 2－3比较同次幂系数⎪⎩⎪⎨⎧-=++=+=3a 2a a 20a 2a 21a 2210100 解得 47a 21a 21a 210-=-==所以特解~y ＝21x 2－21x －47(2)如果q ＝0，而p ≠0，由于多项式求导一次，其次数要降低一次，此时~y ＝Q n (x)不能满足方程，但它可以被一个(n ＋1)次多项式所满足，此时我们可设~y ＝xQ n (x)＝a 0x n ＋1＋a 1x n ＋…＋a n x代入方程，比较两边系数，就可确定常数a 0，a 1，…a n 。
例2. 求方程22dx y d ＋4dxdy＝3x 2＋2的一个特解。
解 自由项 f(x)＝3x 2＋2是一个二次多项式，又q ＝0，p ＝４≠0，故设特解~y ＝a 0x 3＋a 1x 2＋a 2x求导数~'y ＝3a 0x 2＋2a 1x ＋a2~"y ＝6a 0x ＋2a1代入方程得12a 0x 2＋（8a 1＋6a 0）x ＋（２a 1＋4a 2）＝3x 2＋2，比较两边同次幂的系数⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=2a 4a 20a 6a 83a 1221010 解得 3219a 163a 41a 210=-==所求方程的特解 ~y ＝41x 3－163x 2＋3219x(3)如果p ＝0，q ＝0，则方程变为22dxyd ＝p n(x)，此时特解是一个(n ＋2)次多项式，可设~y ＝x 2Q n(x)，代入方程求得，也可直接通过两次积分求得。
下面讨论当α≠0时，即当f(x)＝p n (x)e αx 时方程22dx y d ＋p dxdy ＋qy ＝p n(x)e αx的一个特解的求法，方程与方程相比，只是其自由项中多了一个指数函数因子e αx，如果能通过变量代换将因子e αx去掉，使得化成式的形式，问题即可解决，为此设y ＝ue αx ，其中u ＝u(x)是待定函数，对y ＝ue αx ，求导得dx dy ＝e αxdxdu＋αue αx求二阶导数 22dx y d ＝e αx22dx u d ＋2αe αxdxdu＋α2ue αx代入方程得eαx［22dx u d ＋2αdxdu ＋α2u ］＋pe αx［dxdu＋αu ］＋que αx＝p n (x)e αx消去e αx 得22dx u d ＋(2α＋p) dxdu ＋(α2＋p α＋q)u ＝p n（x ） 由于式与形式一致，于是按的结论有：(1)如果α2＋p α＋q ≠0，即α不是特征方程r 2＋pr ＋q ＝0的根，则可设的特解u ＝Ｑn (x)，从而可设的特解为~y ＝Q n (x)e αx(2)如果α2＋p α＋q ＝0，而２α＋p ≠0，即α是特征方程r 2＋pr ＋q ＝0的单根，则可设的特解u ＝xQ n (x)，从而可设的特解为~y ＝xQ n (x)e αx(3)如果r 2＋p α＋q ＝0，且２α＋p ＝0，此时α是特征方程r 2＋pr ＋q ＝0的重根，则可设的特解u ＝x 2Q n (x)，从而可设的特解为~y ＝x 2Q n (x)e αx例3. 求下列方程具有什么样形式的特解(1)22dx y d ＋5dx dy ＋6y ＝e 3x (2) 22dx y d ＋5dx dy ＋6y ＝3xe －2x (3) 22dx y d ＋αdxdy ＋y ＝－(3x 2＋1)e －x解 (1)因α＝3不是特征方程r 2＋5r ＋6＝0的根，故方程具有形如~y ＝a 0e3x 的特解。