九年级数学寒假作业【专题13】概率初步(背)
九年级数学上人教版《概率初步》课堂笔记
《概率初步》课堂笔记
一、概率的定义和意义
1.定义：一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数
p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P(A) = p。
2.意义：概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表
现。
二、等可能事件和不可能事件
1.等可能事件：当一次试验要分成若干个相等的机会，并且这些机会是可数的，
或是有确定的数量时，出现各不相同的结果并且出现每种结果的可能性都相等的随机事件。
2.不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。
三、简单事件的概率计算
1.公式：P(A) = m/n，其中m是事件A发生的次数，n是试验总次数。
2.注意事项：在计算概率时，需要注意以下几点：
•要注意区分频率与概率的不同。
频率是试验中某个事件出现的次数与试验总次数的比值，而概率是频率的稳定值。
•要注意在等可能事件中，不同的试验结果出现的可能性是相等的。
•要注意任何一个事件的概率都应该是0到1之间的一个实数。
四、实例应用
通过实例分析，理解概率的概念和计算方法。
例如，抛硬币、掷骰子等实例的分析，可以引出概率的定义和计算方法。
同时，通过实例分析，也可以让学生更好地理解概率的意义和应用。
五、课堂小结
本节课学习了概率初步这一节内容，主要包括了概率的定义和意义、等可能事件和不可能事件、简单事件的概率计算等方面的知识。
通过本节课的学习，学生应该能够初步掌握概率的概念和计算方法，并且能够运用这些知识解决实际问题。
同时，学生也应该能够认识到概率在生活和其他领域中的应用，激发学习兴趣。
专题13概率初步(学)-2015年《寒假总动员》九年级数学寒假作业(背学练测)
3.
温馨例题：从写有1、2、3、4、5、6、7、8、9的9张卡片中任取一张，求抽得偶数的概率.
《寒假总动员》之学一学九年级数学
专题十三概率初步
知识点
概率
概念
1.在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件叫随机事件；
2.一定会发生的事件叫必然事件；一定不发生的事件叫不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定事件.
3.表示一个事件发生的可能性大小的数，叫做该事件的概率．
公理、定理和公式
1.等可能情况下的概率计算：如果一次试验可能出现的结果有n种，而且每一种结果出现的可能貹相同，其中事件A包含的结果有m种，那么事件A发生的概率 （由于 ，因而P(A)的变化范围是 ）
解：所有机会均等的结果有9个，
所关注的结果有2、4、6、8共4个，
所以P（抽得偶数）＝ 。
九年级数学概率初步知识点
九年级数学概率初步知识点
9年级数学的初步概率知识点包括：
1. 事件与概率：事件是指某种可能发生的结果，概率是指某个事件发生的可能性大小。
2. 随机事件与确定事件：随机事件是指其结果在每次试验中可能不同的事件，确定事
件是指其结果在每次试验中都相同的事件。
3. 样本空间与样本点：样本空间是指所有可能结果的集合，样本点是样本空间中的每
个具体结果。
4. 基本事件与复合事件：基本事件是指样本空间中的单个样本点，复合事件是指由基
本事件组成的事件。
5. 等可能性原理：在一次试验中，如果每个基本事件发生的可能性相等，则称这些事
件是等可能事件。
6. 事件的概率：事件A的概率表示为P(A)，定义为事件A发生的次数与试验总次数之比。
7. 加法定理：对于两个互斥事件A和B（即A和B不能同时发生），则P(A或B) =
P(A) + P(B)。
8. 互斥事件与对立事件：互斥事件是指两个事件不能同时发生，对立事件是指在一次
试验中只能发生其中一个事件的概率。
9. 条件概率：指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，表示为P(A|B)，计算公式为P(A|B) = P(A∩B)/P(B)。
10. 事件的独立性：当事件A的发生与事件B的发生是相互独立的，即事件A的概率不受事件B的发生与否影响时，称事件A与事件B独立。
11. 乘法定理：对于两个独立事件A和B，P(A∩B) = P(A) × P(B)。
12. 事件的补事件：指在一次试验中，事件A不发生的事件。
这些是九年级数学中概率的初步知识点，通过掌握这些知识，可以更好地理解和解决与概率相关的问题。
九年级上册概率初步知识点
九年级上册概率初步知识点概率是数学中的一个重要概念，广泛应用于生活和各个领域。
它可以用来描述事件发生的可能性大小，帮助我们做出预测和决策。
九年级上册学习的概率初步知识点为我们提供了一些基础，并为进一步学习概率奠定了基础。
一、基本概率概念概率是用来衡量某个事件发生的可能性大小的数值。
它通常用0到1之间的数字来表示，0表示不可能发生，1表示一定发生。
在常见的情况下，概率值介于0和1之间。
二、样本空间与事件样本空间是指一个随机试验可能出现的所有结果的集合。
例如，掷一枚骰子的样本空间为{1, 2, 3, 4, 5, 6}。
事件是样本空间的子集，表示我们所关注的一部分结果。
例如，掷骰子得到偶数的事件可以表示为{2, 4, 6}。
三、概率的计算方法在九年级上册，我们学习了计算概率的几种方法，包括等可能概率、频率和相对频率。
等可能概率指的是每个可能结果发生的概率都相等。
例如，掷一枚均匀的骰子，每个数字出现的概率为1/6。
频率指的是某事件在相同条件下重复试验中发生的次数。
例如，掷一枚骰子100次，记录每个数字出现的次数，然后用出现次数除以总次数得到频率。
相对频率指的是某事件在大量试验中发生的频率。
它是频率的一种估计，并且随着试验次数的增加趋近于真实概率。
四、互斥事件与独立事件互斥事件是指两个事件不可能同时发生的情况。
例如，掷骰子得到奇数和得到偶数就是互斥事件，因为一个结果不可能同时满足两个条件。
独立事件是指两个事件的发生与否不会互相影响。
例如，掷一枚骰子两次，第一次得到1的概率为1/6，第二次得到1的概率也为1/6，两个事件的发生与否是相互独立的。
五、条件概率与乘法法则条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
它的计算方法是将两个事件同时发生的概率除以条件事件发生的概率。
例如，从一副扑克牌中抽出一张牌，已知这张牌是红心的条件下，它是A的概率为1/13。
乘法法则是用于计算两个事件同时发生的概率。
专题13 概率初步2013
专题13 概率初步（于同溪朱建英）1．考试要求考点1．体验确定与不确定现象主要考察必然事件、不可能事件及随机事件的区别．评判某项活动是否“合算”，机会的均等与不等，游戏是否“公平”等.考点2．概率的预测概率的意义、频率与概率的关系、通过计算预测随机事件的概率、概率的应用、在复杂情况下列举机会均等结果、用替代物做模拟实验是重点考查内容．求随机事件的概率的基本方法有比值、画图（包括几何图和树状图）、列表及用频率估计概率等．以方程、函数、不等式为载体求概率；在几何图形中用面积求概率；已知概率来估计球的个数、结合图形考察概率等，是近几年中考经常考察的内容，需要仔细的分析才能解决．2．典型例题分析例题为了决定谁将获得仅有的一张科普报告入场券，甲和乙设计了如下的一个游戏：口袋中有编号分别为1、2、3的红球三个和编号为4的白球一个，四个球除了颜色或编号不同外，没有任何别的区别，摸球之前将小球搅匀，摸球的人都蒙上眼睛．先甲摸两次，每次摸出一个球；把甲摸出的两个球放回口袋后，乙再摸，乙只摸一个球．如果甲摸出的两个球都是红色，甲得1分，否则，甲得0分；如果乙摸出的球是白色，乙得1分，否则，乙得0分；得分高的获得入场券，如果得分相同，游戏重来．（1）(4分)运用列表或画树状图求甲得1分的概率；（2）(3分)这个游戏是否公平？请说明理由．解析：（1）列表或树状图如下：001110111得分第1次第2次开始4321123124134432P(甲得1分)=61122（2）不公平．∵P(乙得1分)=14∴P(甲得1分)≠P(乙得1分)，∴不公平．3．典型素材在一个不透明的口袋里装有黑、白两种颜色的球共20个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回口袋中，不断重复．下表是活动中的一组统计数据：本情景是摸球实验，利用本素材可出以下题目进行考查：（1）假如你去摸一次，你摸到白球和黑球的概率分别是多少？（2）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各多少个?（3）在一个不透明的口袋里装有若干个白球，在不允许将球倒出来数的情况下如何估计白球的个数？请你应用统计与概率的思想和方法来解决．专题13 概率初步 （时间：100分钟；分数：100分）一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分）1.下列事件为必然事件的是（ ） A ．小王参加本次数学考试，成绩是100分B ．某射击运动员射靶一次，正中靶心C ．打开电视机，CCTV 第一套节目正在播放新闻D ．口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中必有红球2．一个不透明的盒子中装有2个白球，5个红球和8个黄球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的概率为（ ）A.518B.13C.215D.115 3．如图，A 、B 是数轴上的亮点，在线段AB 上任取一点C ，则点C 到表示－1的点的距离不大于．．．2的概率是（ ）A ．21 B ．32 C ．43 D ．544．经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左或向右转．若这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过该十字路口全部继续直行的概率为 （ ） A. 13B. 23C. 19D. 125．四张质地、大小、背面完全相同的卡片上,正面分别画有圆、矩形、等边三角形、等腰梯形四个图案.现把它们的正面向下随机摆放在桌面上,从中任意抽出一张,则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为( )A.14 B. 12 C. 34D. 1 6. 义乌国际小商品博览会某志愿小组有五名翻译,其中一名只会翻译阿拉伯语,三名只会翻译英语,还有一名两种语言都会翻译.若从中随机挑选两名组成一组，则该组能够翻译上述两种语言的概率是( )A ．53 B.107 C.103 D.25167.在围棋盒中有x 颗白色棋子和y 颗黑色棋子，从盒中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是25 ．如果再往盒中放进6颗黑色棋子，取得白色棋子的概率是14 ，则原来盒中有白色棋子（ ）A.8颗B.6颗C.4颗D.2颗 8．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它获得食物的概率是（ ）. A ．21 B ．31 C ．41 D ．61第8题图9．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，妈妈买了2只红豆棕，3只碱水粽，5只感肉粽，粽子除内部馅料不同外其它均相同，小颖随意吃一个，吃到红豆粽的概率是（ ） A .110B. 15 C . 13 D . 1210．将三粒均匀的分别标有1，2，3，4，5，6的正六面体骰子同时掷出，出现的数字正好是直角三角形三边长的概率是（ ）．A.1216 B. 172 C. 136D. 11211．小江玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图所示的靶子，点E 、F 分别是矩形ABCD 的两边AD ．BD 上的点，EF∥AB，点M 、N 是EF 上任意两点，则投掷一次，飞镖落在阴影部分的概率是（ ）A ．B. C ．D ．第11题图12．一只盒子中有红球m 个，白球8个，黑球n 个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么m 与n 的关系是 ( )A ．m=3，n=5B ．m=n=4C ．m+n=4D ．m+n=8二、填空题（本题共6个题，每小题3分，共18分）13．在一只不透明的口袋中放人只有颜色不同的白球6个，黑球4个，黄球n 个，搅匀后随机从中摸取—个恰好是黄球的概率为13，则放人的黄球总数n =_____________14．在半径为2的圆中有一个内接正方形，现随机地往圆内投一粒米，落在正方形内的概率为 ．（注：π取3） 第14题图15．有四张正面分别标有数字－3，0，1，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余相 同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a ，则使关于x 的分式方程1－ax x －2＋2＝ 12－x 有正整数解的概率为 ．16．有长度分别为2cm ，3cm ，4cm ，7cm的四条线段，任取其中三条能组成三角形的概率是 ．17．如图，第（1）个图有1个黑球；第（2）个图为3个同样大小球叠成的图形，最下一层的2个球为黑色，其余为白色；第（3）个图为6个同样大小球叠成的图形，最下一层的3个球为黑色，其余为白色； ；则从第（n ）个图中随机取出一个球，是黑球的概率是.第１７题图18．一个不透明的袋子中装有3个小球，它们除分别标有的数字1，3，5不同外，其他完全相同.任意从袋子中摸出一球后放回，在任意摸出一球，则两次摸出的球所标数字之和为6的概率是三、解答题（本题６个题，共46分） 19．（7分）在6张卡片上分别写有1～6的整数，随机地抽取一张后放回，再随机地抽取一张．（1）用列表法或树形图表示所有可能出现的结果；（2）记第一次取出的数字为a ，第二次取出的数字为b ，求ba是整数的概率．20．（6分）周日里，我和爸爸、妈妈在家都想使用电脑上网，可是家里只有一台电脑啊，怎么办？为了公平起见我设计了下面的两种游戏规则，确定谁使用电脑上网.(1)任意投掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面都朝上，则爸爸使用电脑；若两枚反面都朝上，妈妈使用电脑；若一枚正面朝上一枚反面朝上，则我使用电脑.(2)任意投掷两枚骰子，若点数之和被3整除，则爸爸使用电脑；若点数之和被3除余数为1，则妈妈使用电脑；若点数之和被3除余数为2，则我使用电脑.请你来评判，这两种游戏规则哪种公平，并说明理由噢！21．(7分)某市今年理化生实验操作考试，采用学生抽签的方式决定自己的考试内容。
九年级概率初步知识点及题
九年级概率初步知识点包括：1. 概率的基本性质：概率是非负数，并且所有概率的和必须等于1。
2. 必然事件和不可能事件：必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0。
3. 独立事件：一个事件的发生不受另一个事件是否发生的影响，这样的两个事件称为独立事件。
独立事件同时发生的概率是各自概率的乘积。
4. 条件概率：在某个事件B已经发生的情况下，另一个事件A发生的概率叫做条件概率，记作P(A|B)。
5. 事件的概率：一般地，如果一个试验有n个等可能的结果，事件A包含其中的k个结果，那么事件A发生的概率为P(A)=k/n。
6. 概率的加法公式：如果两个事件A和B是互斥的（即两个事件不能同时发生），那么P(A∪B)=P(A)+P(B)。
7. 概率的乘法公式：对于任意两个事件A和B，如果它们是独立的，那么P(A∩B)=P(A)×P(B)。
8. 贝叶斯定理：在已知某个事件的概率和一些条件概率的情况下，可以使用贝叶斯定理计算其他条件概率。
以上是九年级概率初步知识点，可以通过做题来巩固这些知识点。
例如：1. 小明和小颖按如下规则作游戏：桌面上放有5支铅笔，每次取1支或2支，由小明先取，最后一次取完铅笔的人获胜。
如果小明获胜的概率为1，那么小明第一次应该取走几支铅笔？根据题意，我们知道小明获胜的概率为1，即他一定会赢。
所以我们需要找出小明第一次应该取走几支铅笔才能确保他获胜。
根据游戏规则，每次只能取1支或2支铅笔，如果小明第一次取走2支铅笔，那么无论小颖取走几支（1支或0支），小明都能在第二次取完剩下的所有铅笔，从而获胜。
因此，小明第一次应该取走2支铅笔。
九年级《概率初步》知识点
九年级《概率初步》知识点概率是数学中一个非常重要的概念，它描述了某个事件发生的可能性大小。
在九年级的数学学习中，我们将初步接触到概率的概念和相关知识。
本文将介绍九年级《概率初步》的知识点，帮助大家更好地理解和运用概率。
一、概率的基本概念概率是描述事件发生可能性的数值，用0到1之间的实数表示。
其中，0表示不可能事件，1表示必然事件。
概率的取值范围必须在0到1之间，且所有可能事件的概率之和为1。
二、事件的分类在概率中，事件可以分为互斥事件和非互斥事件。
1. 互斥事件：指的是两个事件不能同时发生。
例如，掷硬币的正反面，一次只能出现一个结果。
2. 非互斥事件：指的是两个事件可以同时发生。
例如，掷骰子的点数，可以同时出现多个结果。
三、概率的计算方法在九年级的学习中，我们将学习到以下几种概率的计算方法。
1. 实验法：通过实际的试验来计算概率。
例如，掷骰子，通过多次掷骰子的实验来计算每个点数出现的概率。
2. 统计法：通过统计已知数据来计算概率。
例如，某个班级中男生和女生的比例，可以通过统计已知的男生和女生人数来计算男生和女生的概率。
3. 几何法：通过几何图形来计算概率。
例如，从一个正方形纸片中随机撕下一块，计算落在某个区域内的概率。
四、概率的性质和运算1. 互补事件：指的是事件A发生和事件A不发生。
其概率可以用1减去事件A发生的概率来表示。
2. 事件的并、交、差运算：两个事件的并运算表示两个事件中至少发生一个的概率；交运算表示两个事件同时发生的概率；差运算表示一个事件发生而另一个事件不发生的概率。
3. 加法定理：用于计算两个事件的并的概率。
当两个事件互斥时，它们的并的概率等于它们各自概率的和；当两个事件非互斥时，它们的并的概率等于各自概率之和减去它们的交的概率。
4. 乘法定理：用于计算两个事件的交的概率。
当两个事件相互独立时，它们的交的概率等于它们各自概率的乘积；当两个事件不独立时，它们的交的概率等于第一个事件发生的概率乘以第二个事件在第一个事件发生的条件下发生的概率。
九年级概率初步知识点
九年级概率初步知识点概率是数学中一个非常重要的概念，也是生活中经常使用的概念。
它与我们的日常生活息息相关，比如我们通过概率计算可以预测天气，购买彩票时可以计算中奖概率等等。
在九年级的数学学习中，我们会初步接触到概率这个知识点。
本文将介绍九年级概率初步知识点的内容。
一、基本概念1. 试验与事件在概率的学习中，首先要了解试验和事件的概念。
试验是指具有明确结果的一次观察或操作，而事件则是试验中可能出现的某个结果或一组结果。
例如，掷骰子是一个试验，而出现点数为4的结果就是一个事件。
2. 样本空间和基本事件样本空间是指试验所有可能结果的集合，用S表示。
基本事件是样本空间中的单个元素，也就是试验的最基本结果。
比如掷硬币的样本空间为S={正面，反面}，其中正面和反面就是基本事件。
3. 事件的关系在概率的计算中，我们需要了解事件的关系。
包括互斥事件、对立事件和必然事件等。
互斥事件指的是两个事件不可能同时发生，例如掷骰子出现点数为1和点数为2就是互斥事件；对立事件指的是事件的发生与否相互对立，例如掷硬币出现正面和出现反面就是对立事件；必然事件指的是一定会发生的事件，例如掷骰子出现的点数一定是1至6之间的整数。
二、概率计算1. 频率与概率频率是指某个事件在重复进行相同试验中出现的次数与试验总次数的比值。
而概率则是指某个事件在理论上发生的可能性，用P(A)表示。
频率和概率是有关系的，当试验次数趋近无穷大时，频率逐渐接近概率。
2. 概率的性质概率具有一些基本性质，包括非负性、规范性、可列可加性等。
非负性指的是概率的取值范围是大于等于0的实数；规范性指的是必然事件的概率为1；可列可加性指的是当一系列事件两两互斥时，它们的概率之和等于这些事件的并事件的概率。
3. 等可能概型等可能概型指的是试验的样本空间中，每个基本事件发生的可能性相同。
在等可能概型中，事件A发生的概率可以通过计算A 中基本事件的个数与样本空间基本事件总数的比值来求得。
九年级上 概率初步知识点
九年级上概率初步知识点概率初步知识点概率是数学中研究事件发生可能性的一门学科。
在日常生活中，我们经常会遇到各种不确定性的事件，比如掷骰子、抽牌、抛硬币等等。
而概率的概念和应用正是用来描述和计算这些不确定性事件的可能性大小。
一、事件与样本空间概率的研究对象可以是实验、观察、调查等事件。
在概率中，我们将这些实验、观察、调查等所研究的事物称为"事件"。
假设某实验的可能结果为E1、E2、E3……En，这些结果中的每一个就是一个事件。
样本空间是指实验中所有可能的结果的集合，通常用S表示。
例如，掷一颗骰子的实验，其样本空间为S={1, 2, 3, 4, 5, 6}，对应于掷出的可能点数。
这里的每一个点数就是一个样本点。
二、事件的概率事件的概率是对该事件发生可能性的度量，通常用P(A)表示。
1.经典概型当一个事件的所有可能结果个数相同且等可能发生时，可以使用经典概型来计算概率。
例如，掷一枚均匀的骰子，每个点数出现的可能性相同，所以掷到任何一个点数的概率都是1/6。
2.相对频率在实际的实验中，我们可以通过重复实验，记录事件发生的次数，然后计算事件发生的频率来近似估计事件的概率。
例如，抛一枚硬币，可以通过重复抛硬币并记录正反面出现的次数，然后计算正面出现的频率，这个频率就是正面出现的概率的近似值。
3.几何概型当一个事件的样本空间具有几何性质时，可以使用几何概型来计算概率。
例如，从一个圆的内部随机取一点，落入圆上某一区域的概率等于该区域的面积与圆的面积之比。
4.加法定理加法定理是概率理论中常用的计算方法，用于计算两个事件的并事件的概率。
加法定理可以表示为：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)，其中A∪B表示A和B的并事件，A∩B表示A和B的交事件。
5.乘法定理乘法定理是概率理论中常用的计算方法，用于计算两个事件的交事件的概率。
乘法定理可以表示为：P(A∩B) = P(A) × P(B|A)，其中A∩B表示A和B的交事件，P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B 发生的概率。
九年级数学概率初步知识点
九年级数学概率初步知识点
九年级数学概率初步的知识点包括以下内容：
1. 事件与样本空间：事件是指在一次随机实验中可能发生的结果，样本空间是指随机实验的所有可能结果组成的集合。
2. 事件的概率：事件A的概率表示为P(A)，计算方法为P(A) = 事件A的有利结果数/样本空间的总结果数。
3. 事件的互斥与对立：互斥事件指的是两个事件不可能同时发生，对立事件指的是两个事件只能发生其中一个。
4. 事件的并、交与差：事件A和事件B的并集是指事件A和事件B中至少有一个事件发生的情况，事件A和事件B的交集是指事件A和事件B同时发生的情况，事件A对事件B的差是指事件A发生但事件B不发生的情况。
5. 等可能事件：指在一个随机实验中，每个结果发生的概率相等。
6. 事件的组合：指将多个事件进行排列组合，计算不同情况发生的概率。
7. 古典概型：指样本空间有限，且每个样本发生的概率相等的情况。
8. 条件概率：指在已知事件A发生的情况下，事件B发生的概率，表示为P(B|A)，计算方法为P(B|A) = P(A并B)/P(A)。
9. 独立事件：指事件A的发生与事件B的发生没有相互影响，即P(A并B) = P(A) ×P(B)。
10. 事件系列：指多个事件相继进行，每个事件的发生与否会影响下一个事件的发生概率计算。
这些知识点是九年级数学概率初步的基础，通过掌握这些知识，可以进行一些简单的概率计算与推理。
九年级上册数学概率初步知识点总结
九年级上册数学概率初步知识点总结一、引言九年级上册数学中，概率初步是一个重要的知识点。
概率论是研究随机现象的数学学科，而概率初步则是让学生初步了解概率论的基本概念和方法。
本文将对九年级上册数学概率初步的知识点进行总结，以帮助学生更好地掌握这一知识点。
二、样本空间与事件1.样本空间：样本空间是随机试验所有可能结果的集合。
例如，投掷一枚骰子，样本空间为{1,2,3,4,5,6}。
2.事件：事件是样本空间的一个子集。
在概率论中，事件通常用大写字母A、B、C等表示。
三、概率的定义与性质1.概率的定义：概率是描述随机事件发生可能性大小的数值，用P(A)表示事件A发生的概率，且0≤P(A)≤1。
2.概率的性质：（1）必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0。
（2）有限个互斥事件的概率之和等于这些事件同时发生的概率。
（3）若事件A与B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)。
四、条件概率与独立事件1.条件概率：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为条件概率，记为P(A|B)。
其计算公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
2.独立事件：如果事件A的发生不影响事件B的发生，则称事件A与B相互独立。
独立事件的概率计算公式为：P(A∩B) = P(A) * P(B)。
五、随机变量及其分布1.随机变量：随机变量是定义在样本空间上的实值函数。
根据取值的不同，随机变量可以分为离散型随机变量和连续型随机变量。
2.离散型随机变量的分布律：离散型随机变量的分布律描述了取各个可能值的概率。
常用的离散型随机变量分布有二项分布、泊松分布等。
3.连续型随机变量的概率密度：连续型随机变量的概率密度函数描述了取各个值的相对可能性。
常用的连续型随机变量分布有正态分布、均匀分布等。
六、数学期望与方差1.数学期望：数学期望是描述随机变量取值平均水平的量，记为E(X)。
对于离散型随机变量，其数学期望为各可能值与其概率的乘积之和；对于连续型随机变量，其数学期望为概率密度函数与x的乘积在定义域上的积分。
新人教版九年级数学(上)——概率初步
知识点一、概率的有关概念1.概率的定义： 某种事件在某一条件下可能发生，也可能不发生，但可以知道它发生的可能性的大小，我们把刻划（描述）事件发生的可能性的大小的量叫做概率.2、事件类型：○1必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件. ○2不可能事件： 有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件. ○3不确定事件： 许多事情我们无法确定它会不会发生，这些事情称为不确定事件.必然事件、不可能事件都是在事先能肯定它们会发生，或事先能肯定它们不会发生的事件，因此它们也可以称为确定性事件.不确定事件都是事先我们不能肯定它们会不会发生，我们把这类事件称为随机事件。
知识点二、概率的计算1、概率的计算方式：概率的计算有理论计算和实验计算两种方式，根据概率获得的方式不同，它的计算方法也不同.2、如何求具有上述特点的随机事件的概率呢？如果一次试验中共有n 种可能出现的结果，而且这些结果出现的可能性都相同，其中事件A 包含的结果有m 种，那么事件A 发生的概率P(A)=nm 。
在求随机事件的概率时，我们常常利用列表法或树状图来求其中的m 、n ，从而得到事件A 的概率.由此我们可以得到：不可能事件发生的概率为0；即P(不可能事件)=0； 必然事件发生的概率为1；即P(必然事件)=1； 如果A 为不确定事件；那么0<P(A)<1.概率初步类型一：随机事件1．选择题：4个红球、3个白球和2个黑球放入一个不透明袋子里，从中摸出8个球，恰好红球、白球、黑球都摸到，这件事情( )A.可能发生B.不可能发生C.很可能发生D.必然发生 思路点拨： 举一反三【变式1】下列事件是必然事件的是( )A.中秋节晚上能看到月亮B.今天考试小明能得满分C.早晨太阳会从东方升起D.明天气温会升高【变式2】在100张奖券中，有4张中奖.某人从中任意抽取1张，则他中奖的概率是( )A.251 B.41 C.1001 D.201类型二：概率的意义2．有如下事件，其中“前100个正整数”是指把正整数按从小到大的顺序排列后的前面100个.事件1：在前100个正整数中随意选取一个数，不大于50； 事件2：在前100个正整数中随意选取一个数，恰好为偶数；事件3：在前100个正整数中随意选取一个数，它的2倍仍在前100个正整数中； 事件4：在前100个正整数中随意选取一个数，恰好是3的倍数或5的倍数. 在这几个事件中，发生的概率恰好等于21的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个思路点拨：事件是从前100个正整数中随意选取一个数，其中任何一个数被选取出来的可能性都是一样的，所以有100个可能的结果，而从中随意选取一个，只有一种结果，所以其中每个数被选取的概率都是1001.举一反三【变式1】从两副拿掉大、小王的扑克牌中，各抽取一张，两张牌都是红桃的概率是________.【变式2】口袋中放有3个红球和11个黄球，这两种球除颜色外没有任何区别，随机从口袋中任取一只球，取到黄球的概率是________.类型三：概率的计算1.列表法3．有两只口袋，第一只口袋中装有红、黄、蓝三个球，第二只口袋中装有红、黄、蓝、白四个球，求分别从两只口袋中各取一个球，两个球都是黄球的概率.红黄蓝白红黄蓝解：所有可能结果共有12种，两球都为黄球只有1种.故P(两球都是黄球)=举一反三【变式1】抛两枚普通的正方体骰子，朝上一面的点数之和大于5而小于等于9的概率是多少?【变式2】在生物学中，我们学习过遗传基因，知道遗传基因决定生男生女，如果父亲的基因用X和Y来表示，母亲的基因用X和X来表示，X和Y搭配表示生男孩，X和X搭配表示生女孩，那么生男孩和生女孩的概率各是多少?【变式3】两个人做游戏，每个人都在纸上随机写一个-2到2之间的整数(包括-2和2)，将两人写的整数相加，和的绝对值是1的概率是多少?【变式4】有两组卡片，第一组的三张卡片上分别写有A、C、C；第二组的五张卡片分别写有A、B、B、C、C，那么从每组卡片中各抽出一张，两张都是C的概率是多少？2.树形图法4．将分别标有数字1、2、3的三张卡片洗匀后.背而朝上放在桌面上.(1)随机地抽取一张，求P(奇数)；(2)随机地抽取一张作为十位上的数字(不放回)，再抽取一张作为个位上数字，能组成哪些两位数？恰好是“32”的概率为多少？举一反三【变式1】两名同学玩“石头、剪子、布”的游戏，假定两人都是等可能地取“石头、剪子、布”三个中的一个，那么一个回合不能决定胜负的概率是多少？3.用频率估计概率5投篮次数n8 10 12 9 16 10进球次数m 6 8 9 7 12 7进球频率(1)计算表中各次比赛进球的频率；(2)这位运动员投篮一次，进球的概率约为多少？举一反三射击次数10 20 30 40 50 60 70 80射中8环以上的频数 6 17 25 31 39 49 65 80射中8环以上的频率(1)计算表中相应的频率.(精确到0.01)(2)估计这名运动员射击一次“射中8环以上”的概率.(精确到0.1)类型四：概率的思想方法6．一个口袋中有10个红球和若干个白球，请通过以下试验估计口袋中白球的个数.从口袋中随机摸出一个球，记下其颜色，再把它放回袋中，不断重复上述试验过程，试验中总共摸了200次，其中有50次摸到红球.7．王老汉为了与顾客签订购销合同，对自己鱼塘中鱼的总质量进进了估计，第一次捞出100条，称得质量为184千克.并将每条鱼做上记号后放入水中，当它们完全混合于鱼群后，又捞出200条，称得质量为416千克，且带有记号的鱼有20条，王老汉的鱼塘中估计有鱼________条，总质量为________千克.类型五：概率的综合应用8．有5条线段，长度分别为2，4，6，8，10，从中任取3条线段.(1)一定能构成三角形吗？(2)猜想一下，能构成三角形的机会有多大？举一反三【变式1】某口袋中有红色、黄色、蓝色乒乓球共72个，亮亮通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球、蓝球的频率分别为35%、25%和40%，试估计口袋中3种乒乓球的数目.【变式2】某校三个年级在校学生共796名，学生的出生月份统计如图所示，根据下列统计图的数据回答以下问题.(1)出生人数超过60人的月份有哪些？(2)出生人数最多的是几月份？(3)在这些学生中，至少有两个人生日在10月5日是不可能的，还是可能的？还是必然的？(4)如果你随机地遇到这些学生中的一位，那么这位学生生日在哪一个月份的概率最小？一、选择题1．足球比赛前，裁判通常要掷一枚硬币来决定比赛双方的场地与首先发球者，其主要原因是( )． A ．让比赛更富有情趣 B ．让比赛更具有神秘色彩 C ．体现比赛的公平性 D ．让比赛更有挑战性2．小张掷一枚硬币，结果是一连9次掷出正面向上，那么他第10次掷硬币时，出现正面向上的概率是( )． A ．0 B ．1 C ．0.5 D ．不能确定 3．关于频率与概率的关系，下列说法正确的是( )． A ．频率等于概率B ．当试验次数很多时，频率会稳定在概率附近C ．当试验次数很多时，概率会稳定在频率附近D ．试验得到的频率与概率不可能相等 4．下列说法正确的是( )．A ．一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了2000次，其中，抛掷出5点的次数最少，则第2001次一定抛掷出5点B ．某种彩票中奖的概率是1％，因此买100张该种彩票一定会中奖C ．天气预报说明天下雨的概率是50％．所以明天将有一半时间在下雨D ．抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等 5．下列说法正确的是( )．A ．抛掷一枚硬币5次，5次都出现正面，所以投掷一枚硬币出现正面的概率为1B ．“从我们班上查找一名未完成作业的学生的概率为0”表示我们班上所有的学生都完成了作业C ．一个口袋里装有99个白球和一个红球，从中任取一个球，得到红球的概率为1％，所以从袋中取至少100次后必定可以取到红球(每次取后放回，并搅匀)D ．抛一枚硬币，出现正面向上的概率为50％，所以投掷硬币两次，那么一次出现正面，一次出现反面6．在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外完全相同的小球，其中白球1个，黄球1个，红球2个，摸出一个球不放回，再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是( )．A ．21 B ．31 C ．61 D ．81 7．在今年的中考中，市区学生体育测试分成了三类，耐力类、速度类和力量类．其中必测项目为耐力类，抽测项目为：速度类有50m 、100m 、50m × 2往返跑三项，力量类有原地掷实心球、立定跳远、引体向上(男)或仰卧起坐(女)三项．市中考领导小组要从速度类和力量类中各随机抽取一项进行测试，请问同时抽中50m × 2往返跑、引体向上(男)或仰卧起坐(女)两项的概率是( )． A ．31B ．32C ．61D ．918．元旦游园晚会上，有一个闯关活动：将20个大小、重量完全一样的乒乓球放入一个袋中，其中8个白色的，5个黄色的，5个绿色的，2个红色的．如果任意摸出一个乒乓球是红色，就可以过关，那么一次过关的概率为( )．A ．32 B ．41 C ．51 D ．101 9．下面4个说法中，正确的个数为( )． (1)“从袋中取出一只红球的概率是99％”，这句话的意思是肯定会取出一只红球，因为概率已经很大 (2)袋中有红、黄、白三种颜色的小球，这些小球除颜色外没有其他差别，因为小张对取出一只红球没有把握，所以小张说：“从袋中取出一只红球的概率是50％” (3)小李说，这次考试我得90分以上的概率是200％ (4)“从盒中取出一只红球的概率是0”，这句话是说取出一只红球的可能性很小 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 10．下列说法正确的是( )．A ．可能性很小的事件在一次试验中一定不会发生B ．可能性很小的事件在一次试验中一定发生C ．可能性很小的事件在一次试验中有可能发生D ．不可能事件在一次试验中也可能发生 二、填空题11．在一个不透明的箱子里放有除颜色外，其余都相同的4个小球，其中红球3个、白球1个．搅匀后，从中同时摸出2个小球，请你写出这个实验中的一个可能事件：_______ __________．12．掷一枚均匀的骰子，2点向上的概率是______，7点向上的概率是______．13．设盒子中有8个小球，其中红球3个，黄球4个，蓝球1个，若从中随机地取出1个球，记事件A为“取出的是红球”，事件B 为“取出的是黄球”，事件C 为“取出的是蓝球”，则P (A )＝______，P (B )＝______，P (C )＝______．14．有大小、形状、颜色完全相同的5个乒乓球，每个球上分别标有数字1，2，3，4，5中的一个，将这5个球放入不透明的袋中搅匀，如果不放回地从中随机连续抽取两个，则这两个球上的数字之和为偶数的概率是______．15．下面图形：四边形，三角形，正方形，梯形，平行四边形，圆，从中任取一个图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为______．16．从下面的6张牌中，一次任意抽取两张，则其点数和是奇数的概率为______．17．在一个袋子中装有除颜色外其他均相同的2个红球和3个白球，从中任意摸出一个球，则摸到红球的概率是______．18．在一个不透明的盒子中装有2个白球，n 个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为32，则n ＝______． 三、解答题19．某出版社对其发行的杂志的质量进行了5次“读者调查问卷”，结果如下：被调查人数n 1001 1000 1004 1003 1000 满意人数m999998100210021000m满意频率n(1)计算表中各个频率；(2)读者对该杂志满意的概率约是多少?(3)从中你能说明频率与概率的关系吗?20．四张质地相同的卡片如图所示．将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上．(1)求随机抽取一张卡片，恰好得到数字2的概率；(2)小贝和小晶想用以上四张卡片做游戏，游戏规则见信息图．你认为这个游戏公平吗?请用列表法或画树形图法说明理由．。
概率知识点总结框图九年级
概率知识点总结框图九年级九年级概率知识点总结框图概率是数学中一个非常重要的概念，在我们的生活中也经常会涉及到。
它告诉我们某件事情发生的可能性大小，帮助我们做出合理的决策。
在九年级的数学课程中，我们学习了一些概率的基本知识和技巧。
在这篇文章中，我将用一个框图的形式总结这些知识点，帮助大家更好地理解和记忆。
1. 概率基本概念- 定义：概率是某个事件发生的可能性大小的度量。
- 表示方式：通常用 P(A) 表示事件 A 发生的概率。
2.概率计算方法(1) 理论概率：根据理论分析或计算得出的概率。
- 公式：P(A) = 事件 A 的可能结果数 / 总的可能结果数。
(2) 经验概率：根据大量实验数据或观察得出的概率。
- 公式：P(A) = 事件 A 发生的次数 / 总的实验次数。
3.概率的性质- 0 ≤ P(A) ≤ 1，表示概率值的范围介于0和1之间。
- 事件的对立事件概率之和为1，即 P(A) + P(A') = 1。
4.互斥事件和独立事件(1) 互斥事件：指两个事件不能同时发生。
- P(A ∩ B) = 0，即事件 A 和事件 B 的交集为空集。
(2) 独立事件：指两个事件的发生与否相互不影响。
- P(A ∩ B) = P(A) × P(B)，即事件 A 和事件 B 的交集的概率等于事件 A 和事件 B 的概率的乘积。
5.加法原理- 对于两个互斥事件 A 和 B，有 P(A∪B) = P(A) + P(B)。
- 对于两个不互斥事件 A 和 B，有 P(A∪B) = P(A) + P(B) -P(A∩B)。
6.条件概率- 定义：已知事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率。
- 公式：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中P(B) ≠ 0。
7.乘法定理- 对于两个独立事件 A 和 B，有P(A∩B) = P(A) × P(B)。
8.全概率公式- 定义：用于计算一个事件 A 发生的概率。
九年级数学概率初步知识点
九年级数学概率初步知识点概率是数学中一个重要的概念，用于描述一个事件发生的可能性大小。
在九年级数学学习中，我们首次接触到了概率的概念，并开始探索相关的知识点。
本文将介绍九年级数学概率初步知识点，帮助同学们更好地理解和应用概率。
一、随机性与概率随机性是指在一定条件下，事件的结果不确定，难以准确预测。
而概率则是用来描述随机事件发生可能性的数字。
我们常用0到1之间的数值表示概率，其中0表示不可能发生，1表示必然发生。
二、事件与样本空间在概率的研究中，我们首先需要确定一个事件的样本空间。
样本空间是指一个随机试验的所有可能结果构成的集合。
例如，掷一个普通的骰子，样本空间为{1, 2, 3, 4, 5, 6}。
事件是样本空间的子集，表示我们感兴趣的那部分结果。
三、计算概率的方法有两种常用的计算概率的方法，分别是古典概率和几何概率。
1. 古典概率古典概率是根据一系列等可能性的事件进行计算的。
例如，从一个装有五个红球和五个蓝球的袋子中随机取出一个球，事件A表示取出红球的结果。
由于袋子中红球和蓝球的数量相等，所以事件A发生的概率为1/2。
2. 几何概率几何概率是通过研究事件所占空间的几何性质来计算的。
例如，掷一个平面均匀的骰子，事件A表示掷出的点数为偶数。
根据几何概率的原理，事件A发生的概率为3/6，即1/2。
四、概率的性质概率具有以下几个重要的性质：1. 互补事件的概率和为1对于一个事件A，其对立事件(A的补事件)为A'，则P(A) +P(A') = 1。
例如，掷一个骰子，事件A表示掷出的点数为偶数，A'表示掷出的点数为奇数。
由于每个点数都是偶数或奇数，所以P(A) + P(A') = 1。
2. 加法原理对于两个互不相容的事件A和B，事件A或B发生的概率等于事件A发生的概率加上事件B发生的概率。
即P(A或B) = P(A) +P(B)。
例如，从一副扑克牌中随机抽取一张牌，事件A表示抽到红桃，事件B表示抽到方块。
九年级概率初步知识点总结
九年级概率初步知识点总结概率是数学中一门重要的分支，也是我们生活中不可缺少的一部分。
对于九年级的学生来说，学习概率的初步知识点是打下数学基础的一项重要任务。
本文将对九年级概率的初步知识点进行总结。
首先，我们需要了解概率的基本概念。
概率是指某一事件发生的可能性大小。
通常用一个介于0和1之间的数来表示，0表示肯定不发生，1表示肯定发生。
例如，抛硬币出现正面的概率是0.5，摇色子出现6的概率是1/6。
其次，我们需要了解概率的计算方法。
概率的计算方法有多种，包括古典概率、几何概率和统计概率等。
古典概率是指在试验的基础上进行概率计算，公式为：事件发生的次数/总的可能次数。
例如，从一副扑克牌中随机抽取一张牌，抽到黑桃的概率是13/52=1/4。
几何概率是指在几何空间中根据几何图形进行概率计算，公式为：事件的面积或长度/总的面积或长度。
统计概率是指根据现有的数据进行概率计算，公式为：事件发生的次数/试验的总次数。
例如，统计某班级同学的身高，身高在160cm到170cm之间的同学占总人数的30%。
接着，我们需要了解概率的性质。
概率的性质包括互斥事件、独立事件和必然事件等。
互斥事件是指两个事件不可能同时发生，例如抛一次硬币出现正面和出现反面是互斥事件。
独立事件是指两个事件之间互不影响，例如抛一次硬币出现正面和摇一次色子出现1是独立事件。
必然事件是指在试验中一定会发生的事件，例如抛一次硬币一定会出现正面或反面。
此外，我们还需要了解一些概率的应用问题。
概率在生活中有着广泛的应用，包括游戏、赌博、统计等。
例如，在玩扑克牌游戏时，我们可以根据对手抽到的牌和已知的牌来计算自己获胜的概率，从而做出正确的决策。
在赌场中，玩家可以根据掷骰子的概率来进行投注，提高自己的胜率。
在统计学中，我们可以根据一定的概率模型来分析大量的数据，得出有价值的结论。
最后，要学会灵活运用概率的方法解决问题。
概率是一门灵活性很强的学科，应用范围广泛。
在学习概率的过程中，我们要学会通过分解复杂问题，运用概率的基本原理进行简化，找到解题的突破口。
【九年级】初三寒假作业概率试题汇编(2021年最新版)
【九年级】初三寒假作业概率试题汇编（2021年最新版）学期期末考试很快完结，接下来就是假期时间，数学网特整理了初三寒假作业，希望能够对同学们有所帮助27.(2021辽宁葫芦岛一模)某商场为了吸引顾客，设计了一种促销活动：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有0元、10元、20元和30元的字样.规定：顾客在本商场同一日内，每消费满200元，就可以在箱子里先后摸出两个球(第一次摸出后不放回)，商场根据两小球所标金额的和返还相应价格的购物券，可以重新在本商场消费，某顾客刚好消费200元.(1)该顾客至少可得到元购物券，至多可得到元购物券;(2)请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于30元的概率.答案：解：(1)10，50. 4分(2)画树状图:6分从上图可以看出,共有12种等可能结果,其中大于或等于30元共有8种可能结果,因此，P(不低于30元)= . 8分28、(2021山东德州特长展示)(本题满分8分)为更好地宣传开车不喝酒，喝酒不开车的驾车理念，某市一家报社设计了如下的调查问卷(单选).在随机调查了本市全部8000名司机中的部分司机后，统计整理并制作了如下的统计图：根据以上信息解答下列问题：(1)补全条形统计图，并计算扇形统计图中m=________;(2)该市支持选项B的司机大约有多少人?(3)若要从该市支持选项B的司机中随机选择100名，给他们发放请勿酒驾的提醒标志，则支持该选项的司机王明被选中的概率是多少?解：(1)20，补全统计图; ---3分(2) 支持选项B的人数大约为：800023%=1840. -------5分(3) 王明被选中的概率是： . ------8分29、(2021年福州市初中毕业班质量检查) (10分)有一个袋中摸球的游戏.设置了甲、乙两种不同的游戏规则：甲规则：乙规则：第一次第二次红1红2黄1黄2红1(红1，红1)(红2，红1)(黄1，红1)②红2(红1，红2)(红2，红2)(黄1，红2)(黄2，红2)黄1(红1，黄1)①(黄1，黄1)(黄2，黄1)黄2(红1，黄2)(红2，黄2)(黄1，黄2)(黄2，黄2)请根据以上信息回答下列问题：(1) 袋中共有小球_______个，在乙规则的表格中①表示_______，②表示_______;(2) 甲的游戏规则是：随机摸出一个小球后______(填放回或不放回)，再随机摸出一个小球;(3) 根据甲、乙两种游戏规则，要摸到颜色相同的小球，哪一种可能性要大，请说明理由.解：(1) 1分; (红2，黄1) 2分; (黄2，红1) 3分(2) 不放回 5分(3) 乙游戏规则摸到颜色相同的小球的可能性更大.理由：在甲游戏规则中，从树形图看出，所有可能出现的结果共有12种，这些结果出现的可能性相同，而颜色相同的两个小球共有4种. 6分P(颜色相同)=412=13. 7分在乙游戏规则中，从列表看出，所有可能出现的结果共有16种，这些结果出现的可能性相同，而颜色相同的两个小球共有8种. 8分P(颜色相同) =816=12. 9分∵1312，乙游戏规则摸到颜色相同的小球的可能性更大. 10分30、(2021河南沁阳市九年级第一次质量检测)(9分)不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球(除颜色不同外，其它都一样)，其中红球2个，蓝球1个，现在从中任意摸出一个红球的概率为 .⑴求袋中黄球的个数;⑵第一次摸出一个球(不放回)，第二次再摸出一个球，请用树状图或列表法求两次摸出的都是红球的概率.解：(1)设黄球有x个，则所以黄球有1个. 3分(2)列表或树状图略 7分9分31、(2021年湖北省武汉市中考全真模拟)(本题满分7分) (1)如图1，一小球从M处投入，通过管道自上而下落到A 或B或C.已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的，请通过列表法或画树形图求投一个小球落到A的概率.(2)如图2，有如下四个转盘实验：实验一：先转动转盘①，再转动转盘①; 实验二：先转动转盘①，再转动转盘②;实验三：先转动转盘①，再转动转盘③; 实验四：先转动转盘①，再转动转盘④其中，两次指针都落在红色区域的概率与(1)中小球落到A的概率相等的实验是 .(只需填入实验的序号)解：⑴P(A)= (树形图略) ⑵实验四32、(2021年湖北武汉模拟)(本题满分7分)有三张卡片(形状、大小、质地都相同)，正面分别写上整式x+1，x，3.将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张卡片，再从剩下的卡片中随机抽取另一张.第一次抽取的卡片上的整式作为分子，第二次抽取的卡片上的整式作为分母.(1)请你用树状图或列表法列出抽取两张卡片的所有等可能结果;(2)试求抽取的两张卡片结果能组成分式的概率.答案：20、(1)树状图：列表法：333. (2021年吉林沈阳模拟)(6分)黄冈市教育局为提高教师业务素质，深入扎实开展了课内比教学活动.在一次数学讲课比赛中，每个参赛选手都从两个分别标有A、B内容的签中，随机抽取一个作为自己的讲课内容，某校有三个选手参加这次讲课比赛，请你求出这三个选手中有两个抽中内容A，一个抽中内容B的概率.答案：解：设这三个选手分别为甲乙丙，根据题意画出树状图如图：∵从树状图可以看出，所有等可能的结果共有8种，即(A，A，A)，(A，A，B)，(A，B，A)，(A，B，B)，(B，A，A)，(B，A，B)，(B，B，A)，(B，B，B)，选手中有两个抽中内容A，一个抽中内容B(记着事件M)的结果共有3个，即(A，A，B)，(A，B，A)，(B，A，A)，P(M)= .34.(2021年江苏无锡崇安一模)(本题满分8分)如图所示，有一张太阳和两张月亮共三张精美卡片，它们除花形外，其余都一样.(1)从三张卡片中一次抽出两张卡片，请通过列表或画树状图的方法，求出两张卡片都是月亮的概率;(2)若再添加几张太阳卡片后，任意抽出一张卡片，使得抽出太阳卡片的概率为23，那么应添加多少张太阳卡片?请说明理由.答案：35.(共8分)(1)树状图或表格，略(3分)由树状图或表格可知，从三张卡片中抽出两张卡片，共有等可能的结果6种. (4分)其中两种卡片都是月亮的结果有2种，P(抽到两张月亮)=26=13(6分)(2)设添加x张太阳卡片，P=1+x3+x=23，解得x=3(最好检验下)(8分)36.(2021年唐山市二模)在一副扑克牌中，拿出红桃2、红桃3、红桃4、红桃5四张牌，小明从中随机摸出一张记下牌面上的数字为，然后放回洗匀，再由小华随机摸出一张，记下牌面上的数字为，组成一对数( ， )。
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一、 定义 1.随机事件： 在一定条件下，可能发生也可能不放声的事件，称为随机事件.
2.必然事件 必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件.
3.不可能事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件. 其中必然事件和不可能事件结果都是确定的统称为确定事件.
4.频率：随机事件的频率是指事件发生的次数m 与实验总次数n 的比值
n m ； 二、概率
1、随机事件的频率具有一定的稳定性，在大量实验情况下即总在某个常数的附近摆动，且随着实验次数的增多，这种摆动的幅度越来越小，就把这个常数叫做该随机事件的 频率，我们用这个频率估算事件的概率.
2.若如果一次试验共有n 种可能出现的结果，而且所有可能结果出现的可能性一样，其中事件A 包含的结果有m 种，那么事件E 发生的概率P （A ）=n m ，范围0≤P (A )≤1 必然事件的概率是为 1
不可能事件的概率是 0
不确定事件的可能性的范围是0<P (A )<1
4、解决概率问题常用方法： 列举法，树状图法，列表法.。