高等数学课件--D8_5平面方程

n2
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思考与练习
P42 题4 , 5, 8
作业
P42 2, 6, 7, 9
2012-10-12
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பைடு நூலகம்第六节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题
求过点 (1,1,1)且垂直于二平面 和
的平面方程. 解: 已知二平面的法向量为
n1 (1, 1, 1), n2 (3 , 2 , 12)
特别,当平面与三坐标轴的交点分别为
时,平面方程为
x a y b z c 1 (a , b , c 0)
此式称为平面的截距式方程. 分析: 利用三点式
xa a a
y
b
z
0 0
0
c
按第一行展开得 ( x a)bc y (a)c zab 0
即
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2 2 2
特殊情形 • 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点的平面; • 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量
n (0, B, C ) i,
平面平行于 x 轴;
• A x+C z+D = 0 表示 平行于 y 轴的平面;
• A x+B y+D = 0 表示 平行于 z 轴的平面; • C z + D = 0 表示 平行于 xOy 面 的平面; • A x + D =0 表示 平行于 yOz 面 的平面； • B y + D = 0 表示 平行于 zOx 面 的平面.
平面 2 : A2 x B2 y C2 z D2 0, n2 ( A2 , B2 , C2 ) 垂直: 平行: n1 n2 0 夹角公式: cos
n1 n2 n1
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A1 A2 B1B2 C1C2 0
A1 A2 B1 B2 C1 C2
任取点 M ( x, y, z ) , 则有
M 0M n
z

O x
M
n
M0
故
M 0M n 0
y
A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0
①
称①式为平面的点法式方程,称 n 为平面 的法向量.
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bcx acy abz abc
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二、平面的一般方程
设有三元一次方程
Ax B y C z D 0 ( A B C 0 )
2 2 2
②
任取一组满足上述方程的数 x0 , y0 , z0 , 则
A x0 B y0 C z0 D 0
即
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2x y z 0
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例5. 设
是平面
外一点,求 P0 到平面的距离d . 解:设平面法向量为 n ( A , B , C ) , 在平面上取一点
P ( x1 , y1 , z1 ) ,则P0 到平面的距离为 1
d Prj n P P0 1
结束
例6. 求内切于平面 x + y + z = 1 与三个坐标面所构成 四面体的球面方程.
解: 设球心为 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) , 则它位于第一卦限,且
x0 y 0 z 0 1 1 1 1
2 2 2
x0 y0 z0 R(半径) z
x0 y0 z0 1, 1 3 x0
3 x0
O
M0
故
y
因此所求球面方程为
x
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内容小结
1.平面基本方程:
一般式
点法式 截距式
Ax By Cz D 0
( A B C 0)
2
2
2
x a

y b

z c
1
(abc 0)
z z1 z 2 z1 0 z3 z1
cos n1 n2 n1 n2
n1

n2
2

1
即
cos
2 A1
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A1 A2 B1 B2 C1C2

2 B1 2 C1
A2 B2 C2
目录
2
2
2
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1 : n1 ( A1 , B1 , C1 ) 2 : n2 ( A2 , B2 , C2 )
P P0 n 1 n
n
P0

A( x0 x1 ) B ( y0 y1 ) C ( z 0 z1 ) A B C A x0 B y 0 C z 0 D A B C
2 2 2
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d
P 1
2
2
2
d
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(点到平面的距离公式)
cos
n1 n2 n1 n2
特别有下列结论：
(1) 1 2 n1 n2 A1 A2 B1 B2 C1 C2 0 (2) 1 // 2
A1 A2
1
n2 n1
2
n1 // n2
B1 B2 C1 C2
n2 n1
2 1
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取所求平面的法向量
n n1 n2 (10 , 15 , 5 )
则所求平面方程为
10( x 1) 15( y 1) 5( z 1) 0
化简得
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2x 3y z 6 0
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第五节 平面及其方程
一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程
第八章
三、两平面的夹角
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一、平面的点法式方程
设一平面通过已知点 M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) 且垂直于非零向 量 n ( A , B , C ) , 求该平面的方程.
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三点式
x x1 x2 x1 x3 x1
y y1 y 2 y1 y3 y1
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2.平面与平面之间的关系 平面 1 : A1 x B 1 y C 1 z D1 0, n1 ( A1 , B 1 , C 1 )
以上两式相减 , 得平面的点法式方程
显然方程②与此点法式方程等价, 因此方程②的图形是
法向量为 n ( A, B, C ) 的平面, 此方程称为平面的一般 方程.
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Ax By Cz D 0 ( A B C 0 )
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例2. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程. 解: 因平面通过 x 轴 , 故 A D 0
设所求平面方程为
By Cz 0
代入已知点 (4 , 3 , 1) 得
化简,得所求平面方程 例3.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程.
(P39例4 , 自己练习)
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三、两平面的夹角
两平面法向量的夹角(常指锐角)称为两平面的夹角. 设平面∏1的法向量为 n1 ( A1 , B1 , C1 ) 平面∏2的法向量为 n2 ( A2 , B2 , C2 ) 则两平面夹角 的余弦为
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例4. 一平面通过两点 M 1 ( 1, 1, 1 ) 和 M 2 ( 0 , 1, 1 ) , 且
垂直于平面∏: x + y + z = 0, 求其方程 .
解: 设所求平面的法向量为
方程为
A( x 1) B( y 1) C ( z 1) 0
n M 1M 2
则所求平面
A 0 B 2C 0 , 即 A B C 0,
n 的法向量
故
(C 0)
因此有 2C ( x 1) C ( y 1) C ( z 1) 0
约去C , 得
2( x 1) ( y 1) ( z 1) 0
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例1.求过三点 的平面 的方程. 解: 取该平面 的法向量为
n M 1M 2 M 1M 3
i j 3 4 k 6
n
M1 M3 M2

2
3
1
(14 , 9 , 1)
又 M 1 , 利用点法式得平面 的方程
即
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说明: 此平面的三点式方程也可写成
x 2 y 1 z 4
3 2
4 3
6 0 1
一般情况 : 过三点 M k ( xk , yk , zk ) (k 1, 2 , 3) 的平面方程为
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