广西柳州市2018届高三数学毕业班上学期摸底联考试题理

广西柳州市2018届高三毕业班上学期摸底联考数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合()(){}2340A x Z x x =∈+-<，{}1ln B x y x ==-，则A B ⋂=（ ） A ．(]0,e B ．{}0,e C ．{}1,2 D ．()1,2 2.已知复数z 在复平面内对应点是()1,2-，i 为虚数单位，则21z z +=-（ ） A ．1i -- B ．1i + C ．312i - D ．312i +3.如图是调査某地区男女中学生喜欢理科的等高条形阴影部分 表示喜欢理科的百分比，从图可以看出下列说法正确的（ ）①性别与喜欢理科有关 ②女生中喜欢理科的比为20% ③男生不比女生喜欢理科的可能性大些 ④男生不軎欢理科的比为40% A ．①②③ B ．①③④ C ．①②④ D ．②③④ 4.()62x y -的展开式中，24x y 的系数为（ ）A ．60B ．60-C ．240D ．240-5.已知焦点在x 轴上，中心在的椭圆上一点到两焦点的距离之和为6，若该椭圆的离心率为13，则椭圆的方程是（ ） A ．2214x y += B ．22198x y += C ．22143x y += D ．22189x y +=6.同时具有以下性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线3x π=对称；③在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数；④一个对称中心为,012π⎛⎫⎪⎝⎭”的一个函数是（ ）A ．sin 26x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭7.运行如图所示的程序框图，设输出数据构成的集合为A ，从集合A 中任取一个元素a ，则函数[),0,a y x x =∈+∞是增函数的概率为（ ）A ．37 B ．45 C. 35D ．34 8.过半径为2的球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的体积的比为（ ） A ．932 B ．916 C.38D ．316 9.数列{}n a 的通项公式为*cos,2n n a n N π=∈，其前n 项和为n S ，则2017S =（ ） A ．1008 B ．1008- C. 1- D ．010.过双曲线()222210,0x y a b a b -=>> 的右焦点F 作圆222x y a +=的切线FM （切点为M ），交y 轴于点P .若M 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率是（ ） A 2 B 3511.已知函数()21x f x e -=，直线l 过点()0,e -且与曲线()y f x =相切，则切点的横坐标为（ ）A ． 1B ．1- C. 2 D ．1e -12.已知向量AB 与AC 的夹角为60︒，且2,4AB AC ==，若AP AB AC λ=+，且AP BC ⊥，则实数λ的值为（ ）A．45B．45- C. 0 D．25-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若变量,x y满足约束条件11y xx yy≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y=+的最大值为．14. 设等比数列{}n a的前n项积为9Ⅱ，若167512=ⅡⅡ，则12a的值是．15. 已知函数()f x对任意x R∈都有()()()623f x f x f++=，()1y f x=-的图象关于点()1,0对称且()24f=，则()22f=．16. 如图所示，在四面体A BCD-中，若截面PQMN是正方形，则下列命题中正确的是．(将所有正确答案序号填写到横线上)①AC BD⊥；②//AC截面PQMN；③AC BD=；④异面直线PM与BD所成的角为45︒．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知,A B分别在射线,CM CN(不含端点C)上运动，23MCNπ∠=，在ABC∆中，角,,A B C所对的边分别是,,a b c.（1）若b是a和c的等差中项，且4c a-=，求c的值；（2）若2c=，求使ABC∆面积最大时,a b的值.18. 在一次诗词知识竞赛调査中，发现参赛选手多数分为两个年龄段:2030;3040（单位：岁），其中答对诗词名句与否的人数如图所示.（1）完成下面的22⨯列联表；判断是否有90%的把握认为答对诗词名与年龄有关，请说明你的理由；（参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）（2）若计划在这次场外调查中按年龄段分层抽样选取6名选手，求3名选手中在2030岁之间的人数的分布列和期望.19.如图 ，在四棱锥P ABCD -中，//,90AD BC ADC PAB ∠=∠=︒,12BC CD AD ==，E 为棱AD 的中点，PA CD ⊥.（1）证明：CD ⊥平面PAD ；（2）若二面角P CD A --的大小为45︒,求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值. 20. 已知过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 2()()()112212,,,A x y B x y x x <两点，且6AB =.（1）求该抛物线C 的方程；（2）已知抛物线上一点(),4M t ，过点M 作抛物线的两条弦MD 和ME ，且MD ME ⊥，判断直线DE 是否过定点？并说明理由.21. 已知函数()ln f x ax x x =+在2x e -=处取得极小值. （1）求实数a 的值；（2）设()()()22ln F x x x x f x =+--，其导函数为()F x '，若()F x 的图象交x 轴于两点()()12,0,,0C x D x 且12x x <，设线段CD 的中点为(),0N s ，试问s 是否为()0F x '=的根？说明理由.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4—4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为244x t y t ⎧=⎨=⎩(其中t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，曲线2C 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）把曲线1C 的方程化为普通方程，2C 的方程化为直角坐标方程；（2）若曲线1C ，2C 相交于,A B 两点，AB 的中点为P ，过点P 做曲线2C 的垂线交曲线1C 于,E F 两点，求PE PF ⋅. 23. 选修4—5:不等式选讲 已知函数()12017f x x =-+.（1）解关于x 的不等式()2017f x x >+； （2）若()()()24341f a f a -+>-+，求实数a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: CDCCB 6-10: CCADA 11、12：AC二、填空题13. 3 14. 2 15. 4- 16.①②④三、解答题17. （1）因为,,a b c成等差数列，故4,2a cb c=-=-，在ABC∆中，23MCNπ∠=，所以1cos2C=-，由余弦定理得2221 cos22a b cCab+-==-代入得29140c c-+=，解得2c=或7c=；因为4c>，故7c=.（2）∵2c=，1 cos2C=-，∴由余弦定理得：2222cosc a b ab C=+-，即22423a b ab ab ab ab=++≥+=，∴43ab≤，（当且仅当a b=时成立），∵133sin2S ab C ab==≤，∴当a b=时，ABC∆面积最大为3，此时23a b==，则当23a b==时，ABC∆面积最大为3.18.（1）由已知得22⨯列联表为:()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++()120701030103 2.706201004080⨯-⨯==>⨯⨯⨯，∴有90%的把握认为答对诗词名句与年龄有关.（2）设3名选手中在2030岁之间的人数为ξ，则ξ的可能取值为0，1，2，2030岁之间的人数是2人，()3436105C P C ξ===,()214236315C C P C ξ===, ()124236125C C P C ξ=== ∴ξ的分布列为:()1310121555E ξ=⨯+⨯+⨯=.19.（1）证明：由已知，PA CD ⊥， 又90ADC ∠=︒，即CD AD ⊥， 且 PA AD A ⋂=， ∴CD ⊥平面 PAD .（2）∵CD ⊥平面 PAD ，∴PDA ∠为二面角P CD A --的平面角，从而45PDA ∠=︒. 如图所示，在平面ABCD 内，作Ay AD ⊥， 以A 为原点，分别以,AD AP 所在直线为x 轴，z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，设1BC =，则()()()()0,0,0,0,0,2,1,0,0,2,1,0A P E C ， ∴()()()1,0,2,1,1,0,0,0,2PE EC AP =-==. 设平面PCE 的法向量(),,n x y z =，则200n PE x z n EC x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取2x =，则()2,2,1n =-. 设直线PA 与平面PCE 所成角为α, 则()2221sin 32221n AP n APα⋅===+-+ . ∴直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值为13.20. （1）拋物线的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭ ，∴直线AB 的方程为:22p y x ⎫-⎪⎭.联立方程组2222y pxp y x ⎧=⎪⎨⎫=-⎪⎪⎭⎩，消元得:22204p x px -+=， ∴212122,4p x x p x x +==.∴()2221212124346AB x x x x p p ++--解得2p =.∴抛物线C 的方程为：24y x =.（2）由（1）可得点()4,4M ，可得直线DE 的斜率不为0， 设直线DE 的方程为：x my t =+，联立24x my t y x=+⎧⎨=⎩，得2440y my t --=，则216160m t ∆=+>①.设()()1122,,,D x y E x y ，则12124,4y y m y y t +==-. ∵()()11224,44,4MD ME x y x y ⋅=--⋅-- ()()12121212416416x x x x y y y y =-+++-++()2222121212124164164444y y y y y y y y ⎛⎫=⋅-+++-++ ⎪⎝⎭()()()2212121212343216y y y y y y y y =-++-++22161232160t m t m =--+-=即2212321616t t m m -+=+，得：()()226421t m -=+， ∴()6221t m -=±+，即48t m =+或44t m =-+， 代人①式检验均满足0∆>，∴直线DE 的方程为：()4848x my m m y =++=++或()44x m y =-+. ∴直线过定点()8,4-（定点()4,4不满足题意，故舍去）. 21.（1）因为()ln f x ax x x =+， 所以()ln 1f x a x '=++，因为函数()f x 在2x e -=处取得极小值， 所以()20f e -'=，即2ln 10a e -++=， 所以1a =，所以()ln 2f x x '=+，当()0f x '>时，2x e ->，当()0f x '< 时，20x e -<< 所以()f x 在()20,e -上单调递减，在()2,e -+∞上单调递增. 所以()f x 在2x e -=处取得极小值，符合题意.所以1a =.（2）由（1）知函数()22ln F x x x x =--.∵函数()F x 图象与x 轴交于两个不同的点()()12,0,,0C x D x ，（12x x <）， ∴21112ln 0x x x --=， 22222ln 0x x x --=.两式相减得 ()1212122ln ln 1x x x x x x -+=+-()221F x x x'=--. ()1212121212122ln ln 4421x x x x F x x x x x x x x -+⎛⎫'=+-=- ⎪+--+⎝⎭ . 下解()1212122ln ln 40x x x x x x --=-+. 即()1212122ln0x x x x x x --=+. 令12x t x =，∵120x x <<，∴01t <<， 即()21ln 01t t t --=+.令()()21ln 1t u t t t -=-+，()()()()22211411t u t t t t t -'=-=++. 又01t <<，∴()0u t '>，∴()u t 在()0,1上是増函数，则()()10u t u <=，从而知()1212122ln ln 40x x x x x x --+<+-， 故1202x x F +⎛⎫'< ⎪⎝⎭，即()0F s '=不成立.故s 不是()0F x '=的根.22.（1）曲线1C 的参数方程为244x t y t ⎧=⎨=⎩（其中t 为参数），消去参数可得24y x =. 曲线2C的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，展开为)cos sin 22ρθρθ-=，化为10x y --=..（2）设()()1122,,,A x y B x y ，且中点为()00,P x y ，联立2410y x x y ⎧=⎨--=⎩，解得2610x x -+=，∴12126,1x x x x +==. ∴12003,22x x x y +===.线段AB 的中垂线的参数方程为32x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），代入24y x =，可得2160t +-=，∴1216t t =-， ∴1216PE PF t t ⋅==.23. （1）()2017f x x >+可化为1x x ->，∴()221x x ->， ∴12x <. ∴不等式的解集为12x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭.（2）∵()12017f x x =-+在[)1,+∞上单调递増，又431a -+>，()2411a -+≥， ∴只需要()24341a a -+>-+， 化简为()()11420a a -+--<，∴42a-<，解得26<<.a。