高中数学 第1章 三角函数复习与小结教案 新人教版必修4
高中数学必修4教学案：第一章三角函数 复习与小结 精
三角函数复习与小结教学目标：1．进一步巩固三角函数的图象、性质；2．应用三角函数解决实际问题；3．渗透数形结合与转化思想．教学重点：让学生掌握三角函数的图象；熟练运用三角公式．教学难点：图象变换．教学过程：一、问题情景问题：本章有哪些知识点？1．任意角的概念；2．角度制与弧度制；3．任意角的三角函数；4．三角函数的图象与性质；二、学生活动1．sin390°+cos120°+sin225°的值是 ．2．︒-︒︒-︒23cos 37cos 23sin 37sin = ． 3．已知sin θ+cos θ=51-，),,0(πθ∈ tan θ的值是 ． 4．关于函数f (x )＝4sin(2x +π3)(x ∈R)，有下列命题： （1）y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4·cos(2x －π6)； （2）y ＝f (x )是以2π为最小正周期的周期函数；（3）y ＝f (x )的图象关于点（－π6，0）对称； （4）y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称． 其中正确的命题序号是 （注：把你认为正确的命题序号都填上）．三、数学应用1．例题：例 1 已知角α终边上一点0),3,4(≠-a a a P ，求)29sin()211cos()sin()2cos(αααπαπ+---+的值．分析 利用三角函数的定义，以及诱导公式． 例2 已知函数cos 2(0)6y a b x b π=-+>⎛⎫ ⎪⎝⎭的最大值为23，最小值为21-. （1）求b a ,的值；（2）求函数)3sin(4)(π--=bx a x g 的最小值并求出对应x 的集合. 分析：（1）利用三角函数的性质，]1,1[)62cos(-∈+πx（2）利用三角函数的性质，]1,1[)3sin(-∈-πbx 2．练习：（1）函数)22cos(π+=x y 的图象的对称轴方程是 ；（2）要得到函数y=sin(2x -3π)的图象，只要将函数y=sin2x 的图象 ； （3）已知()sin()cos()4f x a x b x παπβ=++++（,,,a b αβ为非零实数），(2007)5f =，则(2008)f = ；（4）函数)32cos(π--=x y 的单调递增区间是 ．四、要点归纳与方法小结1．进一步巩固、熟悉了三角函数的图象、性质并加以灵活应用；2．初步学会了如何应用三角函数解决实际问题；3．进一步渗透了数形结合与转化思想．。
高中数学 第一章 三角函数教案 新人教A版必修4
分析：如何依据换算公式？（抓住：终边在坐标轴上时的正弦线、余弦线、正切线的情况？α的大小.3π与4sin 5π；2tan 3π与4tan 5π.P45 5题7、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起．．．．．．．点无关）．．．．. 说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. （四）理解和巩固： 例1 书本86页例1.例2判断：（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定） （2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定） （3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量） （4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量） （6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同） （7）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定） 例3下列命题正确的是（ ）A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c 也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行解：由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B 不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C ，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C.例4 如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与向量OA 、OB 、OC 相等的向量.变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个）变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在） 变式三：与向量共线的向量有哪些？（FE DO CB ,,） 课堂练习：1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由①向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD是平行四边形当且仅当AB＝DC⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB、AC在同一直线上.②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确.⑥不正确.如图AC与BC共线，虽起点不同，但其终点却相同.2．书本88页练习三、小结：1、描述向量的两个指标：模和方向.2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.3、向量的图示，要标上箭头和始点、终点.四、课后作业：书本88页习题2.1第3、5题OABaaab bb如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作AB ＝a ，BC ＝ｂ，则向量AC 叫做a 与ｂ的和，记作a ＋ｂ，即 a ＋ｂAC BC AB =+=，规定：a + 0-= 0 + a探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |；（3）当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |，当a 与b 反向时，若|a |>|b |，则a +b 的方向与a 相同，且|a +b |=|a |-|b |；若|a |<|b |，则a +b 的方向与b 相同，且|a +b|=|b |-|a |.（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加３．例一、已知向量a 、b ，求作向量a +b作法：在平面内取一点，作a OA = b AB =，则b a OB +=. ４．加法的交换律和平行四边形法则问题：上题中b +a 的结果与a +b 是否相同？ 验证结果相同 从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）２）向量加法的交换律：a +b =b +a ５．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c ) 证：如图：使a AB =， b BC =， c CD =A BCa +ba +baa b b aｂｂ ａa)(-+t OA tOB te是同一平面内的两个向量，则有例2（教材P98）已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(2，5)，试判断A ，B ，C 三点之间的位置关系.例3（教材P99）设点P 是线段P 1P 2上的一点， P 1、P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2).(1) 当点P 是线段P 1P 2的中点时，求点P 的坐标； (2) 当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，求点P 的坐标.例4若向量a=(-1，x)与b =(-x ， 2)共线且方向相同，求x解：∵a=(-1，x)与b =(-x ， 2) 共线 ∴(-1)×2- x •(-x )=0∴x=±2 ∵a 与b 方向相同 ∴x=2例5 已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ，向量AB 与CD 平行吗？直线AB与平行于直线CD 吗？ 四、课堂练习：1.若a =(2，3)，b =(4，-1+y )，且a ∥b ，则y =（ ） A.6 B .5 C.7 D.82.若A (x ，-1)，B (1，3)，C (2，5)三点共线，则x 的值为（ ） A.-3 B .-1 C.1 D.33.若AB =i +2j ， DC =(3-x )i +(4-y )j (其中i 、j 的方向分别与x 、y 轴正方向相同且为单位向量). AB 与DC 共线，则x 、y 的值可能分别为（ ） A.1，2 B .2，2 C.3，2 D.2，44.已知a =(4，2)，b =(6，y )，且a ∥b ，则y = .5.已知a =(1，2)，b =(x ，1)，若a +2b 与2a -b 平行，则x 的值为 .6.已知□ABCD 四个顶点的坐标为A (5，7)，B (3，x)，C (2，3)，D (4，x )，则x = . 五、小结本节课主要讲述了平面向量的坐标的概念及平面向量的坐标运算；大家要会根据向量的坐标，判断向量是否共线.C对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·ａ＝０；对于②：应有０·ａ＝0； 对于④：由数量积定义有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜·｜cos θ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，这里θ是ａ与ｂ的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜；对于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ·ｂ＝０； 对于⑥：由ａ·ｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零； 对于⑦：若ａ与с共线，记ａ＝λс.则ａ·ｂ＝（λс）·ｂ＝λ（с·ｂ）＝λ（ｂ·с），∴（ａ·ｂ）·с＝λ（ｂ·с）с＝（ｂ·с）λс＝（ｂ·с）ａ 若ａ与с不共线，则(ａ·ｂ)с≠（ｂ·с）ａ.评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.例6 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ.解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ＝０°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18； 若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18； ②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°， ∴ａ·ｂ＝０；③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6×21＝9 评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当ａ∥ｂ时，有0°或180°两种可能. 四、课堂练习：1.已知|a |=1，|b |=2，且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ） A.60° B .30° C.135° D.４５°2.已知|a |=2，|b |=1，a 与b 之间的夹角为3π，那么向量m =a -4b 的模为（ ） A.2 B .23 C.6 D.123.已知a 、b 是非零向量，则|a |=|b |是(a +b )与(a -b )垂直的（ ） A.充分但不必要条件 B .必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知向量a 、b 的夹角为3π，|a |=2，|b |=1，则|a +b |·|a -b |= . 5.已知a +b =2i -8j ，a -b =-8i +16j ，其中i 、j 是直角坐标系中x 轴、y 轴正方向上的单位向量，那么a ·b = .。
新编人教A版高中数学必修4第一章三角函数章末复习课导学案
第一章 三角函数学习目标.1.理解任意角的三角函数的概念.2.掌握同角三角函数基本关系及诱导公式.3.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象.4.理解三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tanx 的性质.5.了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的实际意义，掌握函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的变换.1.任意角三角函数的定义在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么： (1)y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y ； (2)x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ； (3)y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝y x(x ≠0). 2.同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：tan α＝sin αcos α ⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . 3.诱导公式六组诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z )”的诱导公式.当k 为偶数时，函数名不改变；当k 为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号.记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”. 4.正弦函数、余弦函数和正切函数的性质类型一.三角函数的概念例1.已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴.若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝ .答案.－8解析.r ＝x 2＋y 2＝16＋y 2，且sin θ＝－255， 所以sin θ＝y r＝y16＋y2＝－255，所以θ为第四象限角，解得y ＝－8.反思与感悟.(1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应三角函数值.②在α的终边上任选一点P (x ，y )，P 到原点的距离为r (r ＞0).则sin α＝yr ，cos α＝x r.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便.(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.跟踪训练1.已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值. 解.∵角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，∴在角α的终边上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)， 则x ＝4t ，y ＝－3t .r ＝x 2＋y 2＝(4t )2＋(－3t )2＝5|t |.当t ＞0时，r ＝5t ，sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34；当t ＜0时，r ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34.综上可知，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34或sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34.类型二.同角三角函数的基本关系式及诱导公式的应用例2.已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ，cos θ，θ∈(0，2π).求：(1)cos 2⎝⎛⎭⎪⎫3π2－θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋cos (－π－θ)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ1＋tan (π－θ)；(2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值. 解.由根与系数的关系，得 sin θ＋cos θ＝3＋12， sin θcos θ＝m2.(1)原式＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－sin θcos θ ＝sin 2θsin θ－cos θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12. (2)由sin θ＋cos θ＝3＋12， 两边平方可得1＋2sin θcos θ＝4＋234，1＋2×m 2＝1＋32，m ＝32. (3)由m ＝32可解方程2x 2－(3＋1)x ＋32＝0， 得两根12和32.∴⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝12，cos θ＝32或 ⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝32，cos θ＝12.∵θ∈(0，2π)， ∴θ＝π6或π3.反思与感悟.(1)牢记两个基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1及sin αcos α＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明.在应用中，要注意掌握解题的技巧.比如：已知sin α±cos α的值，可求cos αsin α.注意应用(cos α±si n α)2＝1±2sin αcos α. (2)诱导公式可概括为k ·π2±α(k ∈Z )的各三角函数值的化简公式.记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限.跟踪训练2.已知f (α)＝sin 2(π－α)·cos (2π－α)·tan (－π＋α)sin (－π＋α)·tan (－α＋3π).(1)化简f (α)；(2)若f (α)＝18，且π4<α<π2，求cos α－sin α的值；(3)若α＝－47π4，求f (α)的值.解.(1)f (α)＝sin 2α·cos α·tan α(－sin α)(－tan α)＝sin α·cos α.(2)由f (α)＝sin α·cos α＝18可知，(cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin α·cos α＋sin 2α ＝1－2sin α·cos α＝1－2×18＝34.又∵π4<α<π2，∴cos α<sin α，即cos α－sin α<0，∴cos α－sin α＝－32. (3)∵α＝－47π4＝－6×2π＋π4，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－47π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－47π4·sin ⎝⎛⎭⎪⎫－47π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋π4·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋π4＝cos π4·sin π4＝22×22＝12.类型三.三角函数的图象与性质例3.将函数y ＝f (x )的图象向左平移1个单位长度，纵坐标不变，横坐标缩短到原来的π3倍，然后向上平移1个单位长度，得到函数y ＝3sin x 的图象. (1)求f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，求当x ∈[0，1]时，函数y ＝g (x )的最小值和最大值.解.(1)函数y ＝ 3 sin x 的图象向下平移1个单位长度得y ＝3sin x －1，再将得到的图象上的点的横坐标伸长为原来的3π倍，得到y ＝3sin π3x －1的图象，然后向右平移1个单位长度，得到y ＝3sin(π3x －π3)－1的图象，∴函数y ＝f (x )的最小正周期为T ＝2ππ3＝6.由2k π－π2≤π3x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得6k －12≤x ≤6k ＋52，k ∈Z ，∴函数y ＝f (x )的单调递增区间是[6k －12，6k ＋52]，k ∈Z .(2)∵函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，∴当x ∈[0，1]时，y ＝g (x )的最值即为x ∈[3，4]时，y ＝f (x )的最值.∵当x ∈[3，4]时，π3x －π3∈[2π3，π]，∴sin(π3x －π3)∈[0，32]，∴f (x )∈[－1，12].∴当x ∈[0，1]时，y ＝g (x )的最小值是－1，最大值为12.反思与感悟.研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调性、最值问题，把ωx ＋φ看作一个整体来解决. 跟踪训练3.函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的部分图象如图所示. (1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值； (2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12上的最大值和最小值.解.(1)f (x )的最小正周期为π，x 0＝7π6，y 0＝3.(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，0，于是，当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3.类型四.三角函数的最值和值域命题角度1.可化为y ＝A sin (ωx ＋φ)＋k 型 例4.求函数y ＝－2sin(x ＋π6)＋3，x ∈[0，π]的最大值和最小值. 解.∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈[π6，7π6]，∴－12≤sin(x ＋π6)≤1.当sin(x ＋π6)＝1，即x ＝π3时，y 取得最小值1.当sin(x ＋π6)＝－12，即x ＝π时，y 取得最大值4.∴函数y ＝－2sin(x ＋π6)＋3，x ∈[0，π]的最大值为4，最小值为1.反思与感悟.利用y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 求值域时要注意角的取值范围对函数式取值的影响.跟踪训练4.已知函数y ＝a sin(2x ＋π6)＋b 在x ∈[0，π2]上的值域为[－5，1]，求a ，b 的值.解.∵x ∈[0，π2]，∴2x ＋π6∈[π6，76π]，sin(2x ＋π6)∈[－12，1].∴当a ＞0时，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，－a2＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－3；当a ＜0时，⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋b ＝1，a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－1.∴a ，b 的取值分别是4，－3或－4，－1. 命题角度2.可化为sin x 或cos x 的二次函数型例5.已知|x |≤π4，求函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值.解.y ＝f (x )＝cos 2x ＋sin x ＝－sin 2x ＋sin x ＋1. 令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴－22≤sin x ≤22.则y ＝－t 2＋t ＋1＝－(t －12)2＋54(－22≤t ≤22)，∴当t ＝－22，即x ＝－π4时，f (x )有最小值，且最小值为－(－22－12)2＋54＝1－22. 反思与感悟.在换元时要立刻写出新元的范围，否则极易出错.跟踪训练5.已知函数f (x )＝－sin 2x －a sin x ＋b ＋1的最大值为0，最小值为－4，若实数a >0，求a ，b 的值.解.令t ＝sin x ，则g (t )＝－t 2－at ＋b ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋a 22＋a24＋b ＋1，且t ∈[－1，1].根据对称轴t 0＝－a2与区间[－1，1]的位置关系进行分类讨论.①当－a2≤－1，即a ≥2时，⎩⎪⎨⎪⎧y max ＝g (－1)＝a ＋b ＝0，y min ＝g (1)＝－a ＋b ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2.②当－1<－a2<0，即0<a <2时，⎩⎪⎨⎪⎧y max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a 24＋b ＋1＝0，y min ＝g (1)＝－a ＋b ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2(舍)或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝－10(舍)，综上所述，a ＝2，b ＝－2.类型五.数形结合思想在三角函数中的应用例6.已知方程sin(x ＋π3)＝m2在[0，π]上有两个解，求实数m 的取值范围.解.函数y ＝sin(x ＋π3)，x ∈[0，π]的图象如图所示，方程sin(x ＋π3)＝m2在[0，π]上有两个解等价于函数y 1＝sin(x ＋π3)，y 2＝m2在同一平面直角坐标系中的图象在[0，π]上有两个不同的交点，所以32≤m2＜1，即3≤m ＜2.反思与感悟.数形结合思想贯穿了三角函数的始终，对于与方程解有关的问题以及在研究y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的性质和由性质研究图象时，常利用数形结合思想. 跟踪训练6.设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0).若f (x )在区间[π6，π2]上具有单调性，且f (π2)＝f (2π3)＝－f (π6)，则f (x )的最小正周期为 . 答案.π解析.记f (x )的最小正周期为T .由题意知T 2≥π2－π6＝π3.又f (π2)＝f (2π3)＝－f (π6)，且2π3－π2＝π6， 可作出示意图如图所示(一种情况)，∴x 1＝(π2＋π6)×12＝π3，x 2＝(π2＋2π3)×12＝7π12， ∴T 4＝x 2－x 1＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π.1.若一个α角的终边上有一点P (－4，a )，且sin α·cos α＝34，则a 的值为(..) A.4 3B.±4 3C.－43或－433D. 3答案.C解析.由三角函数定义可知，r ＝a 2＋16， sin α＝a a 2＋16，cos α＝－4a 2＋16，sin α·cos α＝－4a a 2＋16＝34， 得a ＝－43或－433.2.已知f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)cos (－π－α)tan α，则f (－31π3)的值为(..)A.12B.－13C.－12D.13 答案.C解析.∵f (α)＝sin αcos (－α)cos (π＋α)tan α＝sin αcos α－cos α·sin αcos α＝－cos α，∴f (－31π3)＝－cos(－31π3)＝－cos(10π＋π3)＝－cos π3＝－12.3.函数y ＝|sin x |＋sin|x |的值域为(..) A.[－2，2] B.[－1，1] C.[0，2] D.[0，1] 答案.C解析.∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|sin x |＋sin x (x ≥0)，|sin x |－sin x (x ＜0)，∴0≤f (x )≤2.故选C.4.函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是(..)A.2，－π3B.2，－π6C.4，－π6D.4，π3答案.A解析.从图象可得34T ＝5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝3π4，∴T ＝π＝2πω，∴ω＝2.又∵f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12＋φ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋φ＝2，且－π2＜φ＜π2，∴φ＝－π3.5.已知函数f (x )＝－sin 2x ＋sin x ＋a ，若1≤f (x )≤174对一切x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围.解.令t ＝sin x ，则t ∈[－1，1]，则函数可化为f (t )＝－t 2＋t ＋a ＝－(t －12)2＋a ＋14.当t ＝12时，f (t )max ＝a ＋14，即f (x )max ＝a ＋14；当t ＝－1时，f (t )min ＝a －2， 即f (x )min ＝a －2.故函数f (x )的值域为[a －2，a ＋14].所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋14≤174，a －2≥1，解得3≤a ≤4.故实数a 的取值范围为[3，4].三角函数的性质是本章复习的重点，在复习时，要充分利用数形结合思想把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得到函数的性质，或由单位圆中三角函数线表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也能利用函数的性质来描述函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练运用数形结合的思想方法.课时作业一、选择题1.已知角α的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，则角α的最小正值为(..) A.5π6 B.2π3 C.11π6D.5π3答案.D解析.因为sin 5π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＝sin π6＝12， cos 5π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＝－cos π6＝－32，所以点⎝⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6在第四象限. 又因为tan α＝cos5π6sin5π6＝－3＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2π－π3＝tan 5π3，所以角α的最小正值为5π3.故选D.2.若sin(π－α)＝－53，且α∈(π，3π2)，则sin(π2＋α)等于(..) A.－53B.53C.－23D.23答案.C解析.∵sin(π－α)＝－53，∴sin α＝－53， 又∵α∈(π，3π2)，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－59＝－23， ∴sin(π2＋α)＝cos α＝－23，故选C.3.已知函数f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |，则f (x )的值域为(..)A.[－1，1]B.[－22，1] C.[－1，22] D.[－1，－22] 答案.C解析.f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≤cos x ，cos x ，sin x ＞cos x .函数f (x )的图象如图所示，由f (x )的图象，知f (x )的值域为[－1，22].4.设函数f (x )＝4sin(2x ＋1)－x ，则在下列区间中函数f (x )不存在零点的是(..) A.[－4，－2] B.[－2，0] C.[0，2] D.[2，4]答案.A解析.由数形结合的思想，画出函数y ＝4sin(2x ＋1)与y ＝x 的图象，观察可知选A.5.将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数(..) A.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递减B.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增C.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递减D.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增 答案.B解析.y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3向右平移π2个单位长度得到y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3的图象. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12，则2x －2π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2， ∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增. 6.函数f (x )＝A sin(ωx ＋θ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (x )等于(..)A.2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3B.2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C.2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3D.2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6 答案.A解析.由图象知A ＝2，∵5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝34T ，∴T ＝π，∴ω＝2.∵2×5π12＋θ＝π2＋2k π(k ∈Z )，∴可取θ＝－π3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.7.同时具有性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线x ＝π3对称；③在区间[5π6，π]上是单调递增函数”的一个函数可以是(..) A.y ＝cos(2x －π3)B.y ＝sin(2x －π6)C.y ＝sin(2x ＋5π6)D.y ＝sin(x 2＋π6)答案.B解析.由T ＝2πω＝π知，ω＝2，D 错；图象与对称轴的交点为最值点，即当x ＝π3时，函数值为最值，A 错；由B 的单调递增区间，可得－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，即为[－π6＋k π，π3＋k π](k ∈Z )，当k ＝1时，[5π6，π]∈[5π6，4π3]，故选B. 二、填空题8.设x ∈(0，π)，则f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最大值是 . 答案.54解析.∵f (x )＝cos 2x ＋sin x ＝－sin 2x ＋sin x ＋1 ＝－⎝⎛⎭⎪⎫sin x －122＋54. 又∵x ∈(0，π)，∴0＜sin x ≤1， ∴当sin x ＝12时，f (x )的最大值是54.9.函数y ＝f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 014)的值等于 .答案. 2解析.由图知A ＝2，ω＝π4，φ＝0，∴f (x )＝2sin π4x ，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (8)＝0. 又f (x )的周期为8，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 014). ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝ 2. 10.设函数f (x )＝sin(2x ＋π3)，下列命题：①f (x )的图象关于直线x ＝π3对称；②f (x )的图象关于点(π12，0)对称；③把f (x )的图象向左平移π12个单位长度，得到一个偶函数的图象；④f (x )的最小正周期为π，且在[0，π6]上为增函数.其中正确命题的序号为 .答案.③解析.f (x )＝sin(2x ＋π3)的图象的对称轴方程满足2x ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z )，解得x ＝π12＋k π2(k ∈Z )；f (x )＝sin(2x ＋π3)的图象的对称中心的横坐标满足2x ＋π3＝k π(k ∈Z )，解得x ＝－π6＋k π2(k ∈Z )；f (x )的周期为T ＝2π2＝π，由(2x ＋π3)∈[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )，得f (x )的增区间为[k π－5π12，k π＋π12](k ∈Z )；把f (x )的图象向左平移π12个单位长度，得到f (x )＝sin[2(x ＋π12)＋π3]＝sin(2x ＋π2)＝cos 2x 的图象，为偶函数.故只有③正确.11.已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (π6)对x ∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，则f (x )的单调递增区间是 . 答案.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )解析.由题意可知，当x ＝π6时，f (x )取最值.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝±1，∴π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，∴φ＝π6＋k π(k ∈Z ).又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，∴sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)，即－sin φ>sin φ，∴sin φ<0.不妨取φ＝－5π6，则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π6.令－π2＋2k π≤2x－5π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，则π3＋2k π≤2x ≤4π3＋2k π(k ∈Z )，∴π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z )，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z ). 三、解答题12.若sin αcos α＜0，sin αtan α＜0，且 1－sin α1＋sin α ＋1＋sin α1－sin α＝22，求tan α.解.∵sin αcos α＜0，sin αtan α＜0， ∴α是第二象限角，∴ 1－sin α1＋sin α＋1＋sin α1－sin α＝ (1－sin α)21－sin 2α＋ (1＋sin α)21－sin 2α＝2|cos α|＝2－cos α＝22，∴cos α＝－22，则sin α＝22，tan α＝－1. 13.已知f (x )＝3sin(2x ＋π4)－1.(1)f (x )的图象是由y ＝sin x 的图象如何变换而来？(2)求f (x )的最小正周期、图象的对称轴方程、最大值及其对应的x 的值.解.(1)将函数y ＝sin x 图象上每一点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的3倍得到函数y ＝3sin x 的图象，再把所得函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝3sin 2x 的图象，再把所得函数的图象向左平移π8个单位长度，得到函数y ＝3sin(2x ＋π4)的图象，最后把所得到的函数的图象向下平移一个单位长度，得到函数f (x )＝3sin(2x ＋π4)－1的图象.(2)最小正周期T ＝π，由2x ＋π4＝π2＋k π(k ∈Z )，得对称轴方程为x ＝π8＋k π2(k ∈Z ).当2x ＋π4＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝π8＋k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值2.四、探究与拓展14.将函数f (x )＝2sin(ωx －π3)(ω>0)的图象向左平移π3ω个单位得到函数y ＝g (x )的图象.若y ＝g (x )在[－π6，π4]上为增函数，则ω的最大值为 .答案.215.已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值. 解.(1)因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，x ∈R ， 所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.由－π＋2k π≤2x －π4≤2k π(k ∈Z )，得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k ∈Z )，故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z ).(2)因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π8上为增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π2上为减函数，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π4＝－2cos π4＝－1，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2上的最大值为2，此时x ＝π8；最小值为－1，此时x ＝π2.。
高中数学 第一章 三角函数教案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学教案
三角函数模块专题复习 ——任意角的三角函数及诱导公式一、教学分析三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用.三角函数模型的简单应用的设置目的,在于加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习.本节教材通过4个例题,循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用,在素材的选择上注意了广泛性、真实性和新颖性,同时又关注到三角函数性质(特别是周期性)的应用.通过引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题,培养他们综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力.培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.由于实际问题常常涉及一些复杂数据,因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据,包括建立有关数据的散点图,根据散点图进行函数拟合等. 二、教学目标1、知识与技能：掌握三角函数的基础知识及简单应用. 2、过程与方法：选择合理三角函数模型解决实际问题，注意在复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题。
切身感受数学建模的全过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用及数学和日常生活和其它学科的联系。
3、情态与价值：掌握三角函数的基础知识及简单应用，培养学生数学应用意识;提高学生利用信息技术处理一些实际计算的能力。
三、教学重点与难点教学重点:三角函数的图形和性质. 教学难点: 三角函数的图形和性质. 四．要点精讲 1．任意角的概念 旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点。
规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。
如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。
2．终边相同的角、区间角与象限角 3．弧度制 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写)。
角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分.角α的弧度数的绝对值是：rl=α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径。
高中数学 第一章三角函数教案 新人教A版必修4
第一章 三角函数1.1任意角和弧度制1.1.1任意角一、 教学目标：1、知识与技能（1）推广角的概念、引入大于360︒角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（5）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；（6）揭示知识背景，引发学生学习兴趣.（7）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.2、过程与方法通过创设情境：“转体720︒，逆（顺）时针旋转”，角有大于360︒角、零角和旋转方向不同所形成的角等，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习.3、情态与价值通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后，知道角之间的关系.理解掌握终边相同角的表示方法，学会运用运动变化的观点认识事物.二、教学重、难点重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法.难点: 终边相同的角的表示.三、学法与教学用具之前的学习使我们知道最大的角是周角,最小的角是零角.通过回忆和观察日常生活中实际例子,把对角的理解进行了推广.把角放入坐标系环境中以后,了解象限角的概念.通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法.我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示.另外还有相同终边角的集合的表示等.教学用具:电脑、投影机、三角板四、教学设想【创设情境】思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？[取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0360︒︒~之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.【探究新知】1．初中时，我们已学习了0360︒︒~角的概念，它是如何定义的呢？[展示投影]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1.1-1，一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点.2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720︒” （即转体2周），“转体1080︒”（即转体3周）等,都是遇到大于360︒的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于360︒的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢?[展示课件]如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性. 为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角(positive angle),按顺时针方向旋转所形成的角叫负角(negative angle).如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角(zero angle).[展示课件]如教材图1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于750︒；图1.1.3(2)中，正角210α︒=，负角150,660βγ︒︒=-=-；这样，我们就把角的概念推广到了任意角（any angle ）,包括正角、负角和零角. 为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“α∠”可简记为α.3.在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念. 角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。
必修4第一章 《三角函数》期末复习教案
第一章《三角函数》期末复习教案一、网络构建二、要点归纳1．任意角三角函数的定义在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么： (1)y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y . (2)x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x . (3)y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝yx (x ≠0)． 2．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：tan α＝sin αcos α ⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . 3．诱导公式六组诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z )”的诱导公式．当k 为偶数时，函数名不改变；当k 为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号．记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”．4．正弦函数、余弦函数和正切函数的性质函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象定义域 R R ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z值域[－1,1][－1,1]R对称性对称轴：x ＝k π＋π2(k ∈Z )；对称中心：(k π，0)(k ∈Z ) 对称轴：x ＝k π(k ∈Z )；对称中心：⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0(k ∈Z )对称中心：⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z )， 无对称轴奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 周期性最小正周期：2π 最小正周期：2π 最小正周期：π 单调性在⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )上单调递增；在[－π＋2k π，2k π] (k ∈Z )上单调递增；在[2k π，π＋2k π]在开区间⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2 (k ∈Z )上单调递增在⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )上单调递减(k ∈Z )上单调递减最值当x ＝π2＋2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；当x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )时，y min ＝－1当x ＝2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；当x ＝π＋2k π(k ∈Z )时，y min ＝－1无最值题型一 三角函数的化简与求值例1 已知f (α)＝sin 2(π－α)·cos (2π－α)·tan (－π＋α)sin (－π＋α)·tan (－α＋3π).(1)化简f (α)；(2)若f (α)＝18，且π4<α<π2，求cos α－sin α的值；(3)若α＝－47π4，求f (α)的值．考点 综合运用诱导公式化简、求值 题点 综合运用诱导公式化简、求值 解 (1)f (α)＝sin α·cos α·tan α(－sin α)(－tan α)＝sin α·cos α.(2)由f (α)＝sin α·cos α＝18可知，(cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin α·cos α＋sin 2α ＝1－2sin α·cos α＝1－2×18＝34.又∵π4<α<π2，∴cos α<sin α，即cos α－sin α<0，∴cos α－sin α＝－32. (3)∵α＝－47π4＝－6×2π＋π4，∴f ⎝⎛⎭⎫－47π4＝cos ⎝⎛⎭⎫－47π4·sin ⎝⎛⎭⎫－47π4 ＝cos ⎝⎛⎭⎫－6×2π＋π4·sin ⎝⎛⎭⎫－6×2π＋π4 cos π4·sin π4＝22×22＝12.反思感悟 解决三角函数的化简与求值问题一般先化简再求值．在应用中，要注意掌握解题的技巧．比如：已知sin α±cos α的值，可求cos αsin α，注意应用(cos α±sin α)2＝1±2sin αcos α. 跟踪训练1 已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15.(1)求tan α的值； (2)把1cos 2α－sin 2α用tan α表示出来，并求其值．考点 运用基本关系式求三角函数值 题点 运用基本关系式求三角函数值 解 (1)由sin α＋cos α＝15，得1＋2sin αcos α＝125，所以sin αcos α＝－1225，因为α是三角形的内角，所以sin α>0，cos α<0， 所以sin α－cos α＝(sin α－cos α)2 ＝(sin α＋cos α)2－4sin αcos α ＝⎝⎛⎭⎫152＋4825＝75， 故得sin α＝45，cos α＝－35，所以tan α＝－43.(2)1cos 2α－sin 2α＝cos 2α＋sin 2αcos 2α－sin 2α＝1＋tan 2α1－tan 2α， 又tan α＝－43，所以1cos 2α－sin 2α＝1＋tan 2α1－tan 2α＝－257. 题型二 三角函数的图象与性质例2 函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的部分图象如图所示．(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，－π12上的最大值和最小值． 考点 正弦、余弦函数的最大(小)值 题点 正弦、余弦函数的最大(小)值 解 (1)f (x )的最小正周期为π，x 0＝7π6，y 0＝3.(2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－5π6，0， 于是，当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3.反思感悟 研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调性、最值问题，把ωx ＋φ看作一个整体来解决．跟踪训练2 已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，且A ⎝⎛⎭⎫π2，1，B (π，－1)，则φ的值为 ．考点 求三角函数解析式 题点 根据三角函数图象求解析式 答案 －5π6解析 根据函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象，且A ⎝⎛⎭⎫π2，1，B (π，－1)，可得从点A 到点B 正好经过了半个周期，即12·2πω＝π－π2，所以ω＝2.再把点A ，B 的坐标代入可得2sin ⎝⎛⎭⎫2×π2＋φ＝－2sin φ＝1,2sin(2×π＋φ)＝2sin φ＝－1， 所以sin φ＝－12，所以φ＝2k π－π6，或φ＝2k π－5π6，k ∈Z .又|φ|<π，所以φ＝－π6或－5π6.当φ＝－π6时不合题意，所以φ＝－5π6.题型三 三角函数的最值或值域命题角度1 可化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 型例3 求函数y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋3，x ∈[0，π]的最大值和最小值． 考点 正弦、余弦函数的最大(小)值 题点 正弦、余弦函数的最大(小)值 解 ∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， ∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤1.当sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝1，即x ＝π3时，y 取得最小值1. 当sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝－12，即x ＝π时，y 取得最大值4. ∴函数y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋3，x ∈[0，π]的最大值为4，最小值为1. 反思感悟 利用y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 求值域时要注意角的取值范围对函数式取值的影响． 跟踪训练3 (2017·全国Ⅲ)函数f (x )＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π6的最大值为( ) A.65 B ．1 C.35 D.15考点 正弦、余弦函数的最大(小)值 题点 正弦、余弦函数的最大(小)值 答案 A解析 ∵⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋⎝⎛⎭⎫π6－x ＝π2， ∴f (x )＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π6 ＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ＝65sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤65. ∴f (x )max ＝65.故选A.命题角度2 可化为二次函数型例4 函数y ＝－tan 2x ＋4tan x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4的值域为 ． 考点 正切函数的定义域、值域 题点 正切函数的值域 答案 [－4,4]解析 ∵－π4≤x ≤π4，∴－1≤tan x ≤1.令tan x ＝t ，则t ∈[－1,1]， ∴y ＝－t 2＋4t ＋1＝－(t －2)2＋5. ∴当t ＝－1，即x ＝－π4时，y min ＝－4，当t ＝1，即x ＝π4时，y max ＝4.故所求函数的值域为[－4,4]．反思感悟 在换元时要立刻写出新元的范围，否则极易出错．跟踪训练4 (2017·全国Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是 ． 考点 正弦、余弦函数的最大(小)值 题点 余弦函数的最大(小)值 答案 1解析 f (x )＝1－cos 2x ＋3cos x －34＝－⎝⎛⎭⎫cos x －322＋1. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴cos x ∈[0,1]， ∴当cos x ＝32时，f (x )取得最大值，最大值为1. 题型四 数形结合思想在三角函数中的应用例5 如果关于x 的方程sin 2x －(2＋a )sin x ＋2a ＝0在x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上有两个实数根，求实数a 的取值范围．考点 三角函数中的数学思想 题点 三角函数中的数形结合思想 解 sin 2x －(2＋a )sin x ＋2a ＝0， 即(sin x －2)(sin x －a )＝0. ∵sin x －2≠0，∴sin x ＝a ，∴此题转化为求在x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上，sin x ＝a 有两个实数根时a 的取值范围． 由y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6与y ＝a 的图象(图略)知12≤a <1. 故实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，1.反思感悟 数形结合思想贯穿了三角函数的始终，对于与方程解有关的问题以及在研究y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质和由性质研究图象时，常利用数形结合思想． 跟踪训练5 方程lg|x |＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的实数根的个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 考点 三角函数的数学思想 题点 三角函数中的数形结合思想 答案 C解析 由⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤1得－1≤lg|x |≤1，即110≤|x |≤10， 方程lg|x |＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3实根的个数就是函数y ＝lg|x |与y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3图象公共点的个数， 当x >0时，两函数图象如图所示，两图象有3个公共点，同理，当x <0时，两图象也有3个公共点， 故两图象共有6个公共点，从而方程有6个实数根， 故选C.1．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α等于( ) A.223 B ．－223 C.13 D ．－13答案 D解析 cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－13. 2．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3考点 求三角函数的解析式 题点 根据三角函数的图象求解析式 答案 A解析 从图象可得34T ＝5π12－⎝⎛⎭⎫－π3＝3π4， ∴T ＝π＝2πω，∴ω＝2.又∵f ⎝⎛⎭⎫5π12＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×5π12＋φ＝2sin ⎝⎛⎭⎫5π6＋φ＝2， 且－π2<φ<π2，∴φ＝－π3.3．函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为( )A ．－π4B ．0 C.π4 D.3π4考点 三角函数图象的平移、伸缩变换 题点 三角函数图象的平移变换 答案 C解析 平移后的图象对应的函数为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ. 因为此函数为偶函数，中小学教育资源及组卷应用平台21世纪教育网() 所以π4＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )， 所以φ的一个可能值为π4. 4．y ＝2sin x sin x ＋2的最小值是( ) A ．2 B ．－2 C ．1 D ．－1考点 正弦、余弦函数的最大(小)值 题点 正弦函数的最大(小)值答案 B解析 由y ＝2sin x sin x ＋2＝2－4sin x ＋2， 当sin x ＝－1时，y ＝2sin x sin x ＋2取得最小值－2. 5．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋a ，a 为常数． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )的单调递增区间；(3)若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )的最小值为－2，求a 的值． 考点 正弦、余弦函数性质的综合应用 题点 正弦、余弦函数性质的综合应用解 (1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋a ， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )， 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )． (3)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6， 所以当x ＝0时，f (x )取得最小值，即2sin ⎝⎛⎭⎫－π6＋a ＝－2，故a ＝－1.。
高中数学必修4第一章三角函数完整教案
第一章 三角函数 4-1.1.1任意角（1）教学目标：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。
教学重点：理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义 教学难点：“旋转”定义角 课标要求：了解任意角的概念 教学过程： 一、引入同学们在初中时，曾初步接触过三角函数，那时的运用仅限于计算一些特殊的三角函数值、研究一些三角形中简单的边角关系等。
三角函数也是高中数学的一个重要内容，在今后的学习中大家会发现三角学有着极其丰富的内容，它能够简单地解决许多数学问题，在中学数学中有着非常广泛的应用。
二、新课1．回忆：初中是任何定义角的？（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”师：初中时，我们已学习了0○～360○角的概念，它是如何定义的呢？生：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
师：如图1，一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α。
旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点。
师：在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720o” （即转体2周），“转体1080o”（即转体3周）；再如时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？如果慢了5分钟，又该如何校正？生：逆时针旋转300；顺时针旋转300. 师：（1）用扳手拧螺母；（2）跳水运动员身体旋转．说明旋转第二周、第三周……，则形成了更大范围内的角，这些角显然超出了我们已有的认识范围。
本节课将在已掌握～角的范围基础上，重新给出角的定义，并研究这些角的分类及记法． 2.角的概念的推广： (1)定义：一条射线OA 由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按一定方向旋转到另一位置OB ，就形成了角α。
高中数学 任意角的三角函数教案 新人教版必修4-新人教版高一必修4数学教案
任意角的三角函数(一)一、教学目标：1、知识与技能〔1〕掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义〔包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号〕；〔2〕理解任意角的三角函数不同的定义方法；〔3〕了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；〔4〕掌握并能初步运用公式一；〔5〕树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.2、过程与方法初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引导学生把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数.讲解例题，总结方法，巩固练习.3、情态与价值任意角的三角函数可以有不同的定义方法，而且各种定义都有自己的特点.过去习惯于用角的终边上点的坐标的“比值〞来定义，这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数，但它对准确把握三角函数的本质有一定的不利影响，“从角的集合到比值的集合〞的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集〞的对应关系有冲突，而且“比值〞需要通过运算才能得到，这与函数值是一个确定的实数也有不同，这些都会影响学生对三角函数概念的理解.本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.这个定义清楚地说明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也说明了这两个函数之间的关系.二、教学重、难点重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义〔包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号〕；终边相同的角的同一三角函数值相等〔公式一〕.难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义〔包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号〕；三角函数线的正确理解.三、学法与教学用具任意角的三角函数可以有不同的定义方法，本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.说明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也说明了这两个函数之间的关系.另外，这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接，数形结合更加紧密，这就为后续内容的学习带来方便，也使三角函数更加好用了.教学用具:投影机、三角板、圆规、计算器四、教学设想第一课时任意角的三角函数〔一〕提问：锐角O的正弦、余弦、正切怎样表示？借助右图直角三角形，复习回顾.数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?如图,设锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点(,)P a b ,它与原点的距离0r =>.过P 作x 轴的垂线,垂足为M ,那么线段OM 的长度为a ,线段MP 的长度为b .那么sin MP bOP rα==;cos OM a OP r α==; tan MP bOM aα==.思考：对于确定的角α，这三个比值是否会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变呢？显然，我们可以将点取在使线段OP 的长1r =的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：sin MP b OP α==; cos OM a OP α==; tan MP bOM aα==. 思考：上述锐角α的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数.【探究新知】1.探究:结合上述锐角α的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢?显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆.2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?如图,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么: (1)y 叫做α的正弦(sine),记做sin α,即sin y α=； 〔2〕x 叫做α的余弦(cossine),记做cos α,即cos x α=； 〔3〕y x 叫做α的正切(tangent),记做tan α,即tan (0)yx xα=≠. 注意:当α是锐角时，此定义与初中定义相同〔指出对边，邻边，斜边所在〕；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点(,)P x y ，从而就必然能够最终算出三角函数值.3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢? 前面我们已经知道,三角函数的值与点P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离r =那么sin α=,cos α=,tan yxα=.所以，三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数.4.例题讲评例1.求53π的正弦、余弦和正切值. 例2．角α的终边过点0(3,4)P --，求角α的正弦、余弦和正切值.教材给出这两个例题，主要是帮助理解任意角的三角函数定义.我也可以尝试其他方法:如例2:设3,4,x y =-=-那么5r ==.于是4sin 5y r α==-,3cos 5x r α==-,4tan 3y x α==. 5.巩固练习17P 第1,2,3题6.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表；再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中：例3．求证：当且仅当不等式组sin 0{tan 0θθ<>成立时，角θ为第三象限角.8.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系? 显然: 终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一:sin(2)sin k απα+=cos(2)cos k απα+= (其中k Z ∈) tan(2)tan k απα+=9.例题讲评例4.确定以下三角函数值的符号,然后用计算器验证: (1)cos250︒; (2)sin()4π-; (3)tan(672)︒-; (4)tan3π例5.求以下三角函数值:(1)'sin148010︒; (2)9cos4π; (3)11tan()6π- 利用公式一,可以把求任意角的三角函数值, 转化为求0到2π(或0︒到360︒)角的三角函数值. 另外可以直接利用计算器求三角函数值,但要注意角度制的问题. 10.巩固练习17P 第4,5,6,7题11.学习小结(1)本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同? (2)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗? (3)请写出各三角函数的定义域；(4)终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?你在解题时会准确熟练应用公式一吗?五、评价设计1．作业：习题1.2 A组第1,2题．2．比较角概念推广以后,三角函数定义的变化.思考公式一的本质是什么?要做到熟练应用.另外,关于三角函数值在各象限的符号要熟练掌握,知道推导方法.第二课时任意角的三角函数〔二〕【复习回顾】1、三角函数的定义；2、 三角函数在各象限角的符号；3、 三角函数在轴上角的值；4、 诱导公式〔一〕：终边相同的角的同一三角函数的值相等；5、 三角函数的定义域.要求：记忆.并指出，三角函数没有定义的地方一定是在轴上角，所以，凡是碰到轴上角时，要结合定义进行分析；并要求在理解的基础上记忆. 【探究新知】1．引入：角是一个图形概念，也是一个数量概念〔弧度数〕.作为角的函数——三角函数是一个数量概念〔比值〕，但它是否也是一个图形概念呢？换句话说，能否用几何方式来表示三角函数呢？2．[边描述边画]以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆〔注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米〕.当角α为第一象限角时，那么其终边与单位圆必有一个交点(,)P x y ，过点P 作PM x ⊥轴交x 轴于点M ，那么请你观察:根据三角函数的定义：|||||sin |MP y α==；|||||cos |OM x α==随着α在第一象限内转动，MP 、OM 是否也跟着变化？ 3．思考：〔1〕为了去掉上述等式中的绝对值符号，能否给线段MP 、OM 规定一个适当的方向，使它们的取值与点P 的坐标一致？〔2〕你能借助单位圆，找到一条如MP 、OM 一样的线段来表示角α的正切值吗？我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角α的终边不在坐标轴时,以O 为始点、M 为终点，规定：当线段OM 与x 轴同向时，OM 的方向为正向，且有正值x ；当线段OM 与x 轴反向时，OM 的方向为负向，且有正值x ；其中x 为P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有cos OM x α==同理,当角α的终边不在x 轴上时,以M 为始点、P 为终点，规定：当线段MP 与y 轴同向时，MP 的方向为正向，且有正值y ；当线段MP 与y 轴反向 时，MP 的方向为负向，且有正值y ；其中y 为P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有sin MP y α==4.像MP OM 、这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段〔direct line segment 〕.5.如何用有向线段来表示角α的正切呢?如上图,过点(1,0)A 作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与α的终边交于点T ,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段OA AT 、,我们有tan y AT xα==我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP OM AT 、、,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.6.探究：〔1〕当角α的终边在第二、第三、第四象限时，你能分别作出它们的正弦线、余弦线和正切线吗？〔2〕当α的终边与x 轴或y 轴重合时，又是怎样的情形呢？7.例题讲解 例1．42ππα<<，试比较,tan ,sin ,cos αααα的大小.处理:师生共同分析解答,目的体会三角函数线的用处和实质. 8.练习19P 第1,2,3,4题9学习小结(1)了解有向线段的概念.(2)了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来.(3)体会三角函数线的简单应用. 【评价设计】1． 作业：比较以下各三角函数值的大小(不能使用计算器)(1)sin15︒、tan15︒〔2〕'cos15018︒、cos121︒〔3〕5π、tan 5π2．练习三角函数线的作图.同角三角函数的基本关系一、教学目标： 1、知识与技能(1) 使学生掌握同角三角函数的基本关系；(2)某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；(3)利用同角三角函数关系式化简三角函数式；(4)利用同角三角函数关系式证明三角恒等式；〔5〕牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；〔6〕灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；〔7〕掌握恒等式证明的一般方法.2、过程与方法由圆的几何性质出发,利用三角函数线,探究同一个角的不同三角函数之间的关系；学习一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；利用同角三角函数关系式化简三角函数式；利用同角三角函数关系式证明三角恒等式等.通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.3、情态与价值通过本节的学习，牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；进一步树立化归思想方法和证明三角恒等式的一般方法.二、教学重、难点重点：公式1cos sin 22=+αα及αααtan cos sin =的推导及运用：〔1〕某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个，求其余两个；〔2〕化简三角函数式；〔3〕证明简单的三角恒等式.难点: 根据角α终边所在象限求出其三角函数值；选择适当的方法证明三角恒等式.三、学法与教学用具利用三角函数线的定义, 推导同角三角函数的基本关系式:1cos sin 22=+αα及αααtan cos sin =,并灵活应用求三角函数值,化减三角函数式,证明三角恒等式等.教学用具:圆规、三角板、投影四、教学设想【创设情境】与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化．【探究新知】 1. 探究:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从圆的几何性质出发,讨论一 下同一个角不同三角函数之间的关系吗?如图:以正弦线MP ,余弦线OM 和半径OP 三者的长构成直角三角形,而且1OP =.由勾股定理由221MP OM +=,因此221x y +=,即22sin cos 1αα+=.根据三角函数的定义,当()2a k k Z ππ≠+∈时,有sin tan cos ααα=.这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方等于1，商等于角α的正切.2. 例题讲评 例6.3sin 5α=-,求cos ,tan αα的值. sin ,cos ,tan ααα三者知一求二,熟练掌握.3. 巩固练习23P 页第1,2,3题4.例题讲评例7.求证:cos 1sin 1sin cos x xx x+=-. 通过本例题,总结证明一个三角恒等式的方法步骤. 5.巩固练习23P 页第4,5题 6.学习小结〔1〕同角三角函数的关系式的前提是“同角〞，因此1cos sin 22≠+βα，γβαcos sin tan ≠． 〔2〕利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，即要就角所在象限进行分类讨论．五、评价设计(1) 作业：习题组第10,13题.(2) 熟练掌握记忆同角三角函数的关系式,试将关系式变形等,得到其他几个常用的关 系式;注意三角恒等式的证明方法与步骤.。
新课标数学必修4第1章三角函数教案
4-1.1.1任意角（1）教学目标：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。
教学重点：理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义教学难点：“旋转”定义角课标要求：了解任意角的概念教学过程：一、引入同学们在初中时，曾初步接触过三角函数，那时的运用仅限于计算一些特殊的三角函数值、研究一些三角形中简单的边角关系等。
三角函数也是高中数学的一个重要内容，在今后的学习中大家会发现三角学有着极其丰富的内容，它能够简单地解决许多数学问题，在中学数学中有着非常广泛的应用。
二、新课1．回忆：初中是任何定义角的？（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”师：初中时，我们已学习了0○～360○角的概念，它是如何定义的呢？生：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
师：如图1，一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角α。
旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫α的顶点。
师：在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720o”（即转体2周），“转体1080o”（即转体3周）；再如时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？如果慢了5分钟，又该如何校正？生：逆时针旋转300；顺时针旋转300.师：（1）用扳手拧螺母；（2）跳水运动员身体旋转．说明旋转第二周、第三周……，则形成了更大范围内的角，这些角显然超出了我们已有的认识范围。
本节课将在已掌握～角的范围基础上，重新给出角的定义，并研究这些角的分类及记法．2.角的概念的推广：(1)定义：一条射线OA由原来的位置OA，绕着它的端点O按一定方向旋转到另一位置OB，就形成了角α。
其中射线OA叫角α的始边，射线OB叫角α的终边，O叫角α的顶点。
高中数学 第一章《三角函数》正弦、余弦函数的周期性教案 新人教版必修4-新人教版高一必修4数学教案
正弦、余弦函数的周期性教案一、教材分析：《正弦、余弦函数的周期性》是普通高中课程标准实验教科书必修四第一章第四节第二节课，其主要内容是周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．本节课是学生学习了诱导公式和正弦、余弦函数的图象之后，对三角函数知识的又一深入探讨．正弦、余弦函数的周期性是三角函数的一个重要性质，是研究三角函数其它性质的基础，是函数性质的重要补充．通过本课的学习不仅能进一步培养学生的数形结合能力、推理论证能力、分析问题和解决问题的能力，而且能使学生把这些认识迁移到后续的知识学习中去，为以后研究三角函数的其它性质打下基础．所以本课既是前期知识的发展，又是后续有关知识研究的前驱，起着承前启后的作用．二、教学目标：学情分析：学生在知识上已经掌握了诱导公式、正弦、余弦函数图象及五点作图的方法；在能力上已经具备了一定的形象思维与抽象思维能力；在思想方法上已经具有一定的数形结合、类比、特殊到一般等数学思想．本课的教学目标：(一)知识与技能1．理解周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．2．会求一些简单三角函数的周期.(二)过程与方法从学生生活实际的周期现象出发，提供丰富的实际背景，通过对实际背景的分析与y=sin x图形的比较、概括抽象出周期函数的概念.运用数形结合方法研究正弦函数y=sin x 的周期性，通过类比研究余弦函数y=cosx的周期性．(三)情感、态度与价值观让学生体会数学来源于生活，体会从感性到理性的思维过程，体会数形结合思想；让学生亲身经历数学研究的过程，享受成功的喜悦，感受数学的魅力．三、教学重点：周期函数的定义和正弦、余弦函数的周期性.四、教学难点：周期函数定义及运用定义求函数的周期.五、教学准备：三角板、多媒体课件六、教学流程：求下列函数的周期： (1)3sin4x y =，x R ∈；(2)sin()10y x π=+，x R ∈；(3)cos(2)3y x π=+,x R ∈(4)1sin()24y x π=-，x R ∈ 课外思考：1. 求函数()sin()f x A x ωϕ=+和()cos()f x A x ωϕ=+（其中,,A ωϕ为常数，且0,0A ω≠>）的周期．2.求下列函数的周期：（1）|sin |x y =，x R ∈；（2）|2cos |x y =，x R ∈ 附：板书设计附：1．本节课预计学生建构周期函数概念时有困难，特别是“正弦函数图象的周而复始变化实际上是函数值的周而复始变化” 的本质学生理解有一定困难.为了突破这个难点，借助了几何画板来帮助学生从形象思维过渡到抽象思维．2．预计部分学生对周期函数定义的自变量的任意性的理解有困难，为了突破这个难点，设计了三道判断题让学生分组讨论交流，通过学生思维碰撞来体会数学概念的严谨，通过学生互动建构自己对周期函数概念的认识．3．预计部分学生运用周期函数定义求函数周期有一定困难，为了解决这个困难，在设计中，例１第１问由师生共同完成，完成后小结解题的思路方法．再由学生完成第２问和第３问，再由师生共同点评．教案设计说明 《正弦、余弦函数的周期性》是普通高中课程标准实验教科书必修四第一章第四节第二节课，其主要内容是周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．正弦、余弦函数的周期性是三角函数的一个重要性质，是研究三角函数其它性质的基础，是函数性质的重要补充．本课的重点为周期函数的定义和正弦、余弦函数的周期性，难点为周期函数定义及运用定义求函数的周期.本课的教学设计分为六个部分，包括：教材分析，目标分析（含学情分析），教学重难点，教学准备，教学流程，教学过程．设计反映了由学生熟悉的生活的周期现象出发，通过概括、抽象，并结合正弦函数的图象引导学生感受周期函数概念的形成过程，这是设计的数学本质基础；设计中结合本班学生的学习的实际情况，从而确定了教学活动的环节．以这些分析为基础从而确定教学目标，而过程设计则针对目标从九个环节进行具体的设计．教学过程设计自始至终贯穿数形结合思想．下面从如下几个方面进行详细说明．一、教学内容的数学本质及教学目标定位本节课主要内容是周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．通过对正弦函数图象“周而复始”的变化规律特征的感知，使学生建立比较牢固的理解周期性的认知基础，然后再引导学生了解用代数表达式刻画图象“周而复始”的变化规律.本节课要探究的周期函数的概念的数学本质是从形和数两个方面去刻画“周而复始”的变化规律．学生在知识上已经学习了函数概念与基本初等函数等知识，已经掌握了三角函数图象的画法及五点法作图；在能力上已经具备了一定的形象思维与抽象思维能力；在思想方法上已经接触过数形结合、类比、特殊到一般等数学思想．另外，我还对我班学生的具体情况做了如下分析：我班学生基础知识比较扎实、思维较活跃，学生层次差异不大，能够很好的掌握教材上的内容，能较好地做到数形结合，善于发现问题，深入研究问题，但是部分学生处理抽象问题的能力还有待进一步提高．于是，结合以上的学情分析，我从“知识与技能”、“过程与方法”和“情感态度与价值观”设定目标.其中知识与技能目标为：理解周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性，会求一些简单三角函数的周期．过程与方法则是：从学生实际中的周期现象出发，提供丰富的实际背景，通过对实际背景的分析与y=sin x图形的比较、概括抽象出周期函数的概念. 运用数形结合方法研究正弦函数y=sin x的周期性，通过类比研究余弦函数y=cosx的周期性．并且在过程中渗透了本课的情感态度目标：让学生体会数学来源于生活，体会从感性到理性的思维过程，体会数形结合思想；让学生亲身经历数学研究的过程，享受成功的喜悦，感受数学的魅力.以上是对教学目标定位的说明．二、教学流程入探讨．正弦、余弦函数的周期性是三角函数的一个重要性质，是研究三角函数其它性质的基础，是函数性质的重要补充．通过本课的学习不仅能进一步培养学生的数形结合能力，分析问题和解决问题的能力，而且能使学生把这些认识迁移到后续的知识学习中去，为以后研究三角函数的其它性质打下基础．正弦函数、余弦函数的周期性，与后面高中物理研究的《单摆运动》、《简谐运动》、《机械波》等知识有着密切相关的联系．在数学和其它领域（物理学、生物学、医学等）中具有重要的作用，所以，该内容在教材中具有非常重要的意义，是连接理论知识和实际问题的一个桥梁．四、教学诊断分析1．学习正弦、余弦函数的周期性时，用图象法求周期学生容易理解；建构周期函数概念时学生有困难，特别是“正弦函数图象的周而复始的变化实际上是函数值的周而复始的变化”的本质学生感到有一定困难. 我首先让学生回顾如何利用正弦线画正弦函数y=sin x图象（动画演示）,通过动画演示，让学生感知正弦函数图象“周而复始”的变化规律，再引导学生用代数表达式刻画图象“周而复始”的变化规律．2．部分学生对周期函数定义中的任意性理解容易出现错误，需要在教学中反复强调.3．本节课充分利用了多媒体技术的强大功能，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，使学生乐意投入到现实的、探索性的教学活动中去．五、教法特点及预期效果分析结合教学目标以及学生的实际情况，我采用了启发引导与小组合作交流相结合的教学方式，而在知识构建过程中，在教师引导下，使学生经历了直观感知、观察发现、抽象概括等思维活动，提高数学思维能力；注重信息技术与数学课程的整合，提倡利用信息技术呈现以往教学中难以呈现的课程内容，鼓励学生运用信息技术进行探索和发现．本节课遵循学生的认知规律，通过典型具体例子的分析和学生自主地观察、探索活动，使学生理解周期概念的形成过程，体会蕴含在其中的数形结合的思想方法，把数学的学术形态通过适当的方式转化为学生易于接受的教育形态，教学内容利用生活中的问题和课本上已有的知识创设情境，使教学内容不仅贴近生活，并且来源于旧知识，设计内容一环扣一环，使学生对周期函数的概念理解和应用步步深入.在教学方法上运用多种方法，如观察、分析、归纳、讨论；在知识的学习过程中，重视知识的形成过程和概括过程.在解决问题中，引导学生分析、归纳方法，注意优化学生的思维品质；在教学手段上采用多媒体和黑板重点板书结合的教学方法．通过本节课学习，我力求达到：1 、形成学生主动参与，自主探究，合作交流的课堂气氛.2、学生进一步了解数学来源于生活，理解周期函数和周期的定义.3、让学生体会从感性到理性的思维过程，体会数形结合思想，让学生领悟问题探究的学习方法.由于本课内容不多，难度不大，相信大多数学生都能掌握本课知识，实现预期的目标.。
人教A版高中数学必修四 1-7 三角函数小结与复习 学案
1.7 三角函数-----小结与复习（学案）一、学习目标1.回顾本章基本概念及公式：任意角的概念、弧度制、任意角三角函数的定义，同角三角函数基本关系及诱导公式，三角函数的图像与性质及其应用，三角函数图像变换等。
掌握常见问题的解法。
二、自主学习1.自主构建知识网络三、合作探究专题一 三角函数的概念三角函数的概念所涉及的内容主要有以下两方面：理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算；掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．[例1] (1)设角α属于第二象限，⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，试判定α2角属于第几象限． (2)求函数y ＝3tan x ＋3的定义域．解：(1)依题意得2k π＋π2<α<2k π＋π(k ∈Z)，所以k π＋π4<α2<k π＋π2(k ∈Z)．当k ＝2n (n ∈Z)时，α2为第一象限角； 当k ＝2n ＋1(n ∈Z)时，α2为第三象限角．又⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2≥0，所以cos α2≤0. 所以α2应为第二、三象限角或终边落在x 非正半轴上或y 轴上．综上所述，α2是第三象限角．(2)3tan x ＋3≥0，即tan x ≥－33. 所以k π－π6≤x <k π＋π2，所以函数y ＝3tan x ＋3的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪k π－π6≤x <k π＋π2，k ∈Z .归纳升华1．由α所在象限，判断α2角所在象限时，一般有两种方法：一种是利用终边相同角的集合的几何意义，用数形结合的方法确定α2的所属象限；另一种方法就是将k 进行分类讨论．2．求函数的定义域注意数形结合，应用单位圆中三角函数线或函数图象解题；求与正切函数有关问题时，不要忽视正切函数自身的定义域．专题二 同角三角函数的基本关系与诱导公式在知道一个角的三角函数值求这个角的其他的三角函数值时，要注意题中的角的范围，必要时按象限进行讨论，尽量少用平方关系，注意切化弦、“1”的妙用、方程思想等数学思想方法的运用，在利用诱导公式进行三角式的化简，求值时，要注意正负号的选取．[例2] 已知2＋tan （θ－π）1＋tan （2π－θ）＝－4，求(sin θ－3cos θ)·(cos θ－sin θ)的值．解：法一：由已知2＋tan θ1－tan θ＝－4，所以2＋tan θ＝－4(1－tan θ)，解得tan θ＝2，所以(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ)＝4sin θcos θ－sin 2θ－3cos 2θ＝4sin θcos θ－sin 2θ－3cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝4tan θ－tan 2θ－3tan 2θ＋1＝8－4－34＋1＝15. 法二：由已知2＋tan θ1－tan θ＝－4，解得tan θ＝2，即sin θcos θ＝2，所以sin θ＝2cos θ，所以(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ)＝(2cos θ－3cos θ)(cos θ－2cos θ)＝cos 2θ＝cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝1tan 2θ＋1＝15.归纳升华三角函数式的化简，求值与证明问题的依据主要是同角三角函数的关系式及诱导公式．解题中的常用技巧有：(1)弦切互化，减少或统一函数名称；(2)“1”的代换，如：1＝sin 2α＋cos 2α(常用于解决有关正、余弦齐次式的化简求值问题中)，1＝tan π4等；(3)若式子中有角k π2，k ∈Z，则先利用诱导公式化简． 专题三 三角函数的图象及变换三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质．[例3] 如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k ⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的一段图象．(1)求此函数解析式；(2)分析一下该函数是如何通过y ＝sin x 变换得来的？解：(1)由图象知A ＝－12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝12，k ＝－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝－1，T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－π6＝π，所以ω＝2πT ＝2.所以y ＝12sin(2x ＋φ)－1.当x ＝π6时，2×π6＋φ＝π2，所以φ＝π6.所以所求函数解析式为y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1.(2)把y ＝sin x 向左平移π6个单位得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的12，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12得到y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 最后把函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向下平移1个单位，得到y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1的图象．归纳升华1．求解析式的方法：A ＝y max －y min 2，k ＝y max ＋y min 2，ω＝2πT，由“五点作图法”中方法令ωx＋φ＝0，π2，π，32π或2π求φ. 2．图象变换中应注意方向变化与解析式加减符号变化相对应．专题四 三角函数的性质三角函数的性质，重点应掌握y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，在此基础上掌握函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)及y ＝A tan(ωx ＋φ)的相关性质．在研究其相关性质时，将ωx ＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧．[例4] 已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1(其中a 为常数)． (1)求f (x )的单调区间；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值；(3)求f (x )取最大值时x 的取值集合．解：(1)由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z，解得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z，所以函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z)，由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z，所以函数f (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z)． (2)因为0≤x ≤π2，所以π6≤2x ＋π6≤7π6，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1， 所以f (x )的最大值为2＋a ＋1＝4，所以a ＝1，(3)当f (x )取最大值时，2x ＋π6＝π2＋2k π，所以2x ＝π3＋2k π，所以x ＝π6＋k π，k ∈Z.所以当f (x )取最大值时，x 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝π6＋k π，k ∈Z归纳升华1．形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 单调区间求法策略：可把“ωx ＋φ”看作一个整体，代入正弦函数的相应区间求解．2．求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的值域和最值时，先求复合角“ωx ＋φ”的范围，再利用y ＝sin x 的性质来求解． 四、学以致用训练1 (1)若θ为第四象限的角，试判断sin(cos θ)·cos(sin θ)的符号；(2)已知角α的终边过点P (－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求α的正切值．训练2. 若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A.125 B ．－125 C.512 D ．－512训练3. 将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( ) A.3π4 B.π4 C ．0 D ．－π4训练4.设函数f (x )(x ∈R)满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ，当0≤x ≤π时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝( )A.12B.32 C ．0 D ．－12五、自主小测1．cos 330°等于( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－322．已知cos(π＋x )＝35，x ∈(π，2π)，则tan x 等于( )A ．－34B ．－43 C.34 D.433．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π2＋π4，k ∈Z ，N ＝{x |x ＝k π4＋π2，k ∈Z }．则( )A ．M ＝NB ．M ⊆NC ． N ⊆MD ．M ∩N ＝∅4．为得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象( ) A ．向左平移5π12个单位长度 B ．向右平移5π12个单位长度C ．向左平移5π6个单位长度D ．向右平移5π6个单位长度5．若sin 2x >cos 2x ，则x 的取值范围是( )A ．{x |2k π－3π4<x <2k π＋π4，k ∈Z }B ．{x |2k π＋π4<x <2k π＋5π4，k ∈Z }C ．{x |k π－π4<x <k π＋π4，k ∈Z }D ．{x |k π＋π4<x <k π＋3π4，k ∈Z }6．如图所示，一个大风车的半径为8 m ，每12 min 旋转一周，最低点离地面2 m ．若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点P 离地面的距离h (m)与时间t (min)之间的函数关系是( )A ．h ＝8cos π6t ＋10B ．h ＝－8cos π3t ＋10C ．h ＝－8sin π6t ＋10D ．h ＝－8cos π6t ＋107．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为________． 8．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________.9．函数f (x )＝|sin x |的单调递增区间是__________．10．函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象为C ， ①图象C 关于直线x ＝1112π对称；②函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12内是增函数； ③由y ＝3sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C .以上三个论断中，正确论断的序号是________．参考答案1．C2．D [cos(π＋x )＝－cos x ＝35，∴cos x ＝－35<0，∵x ∈(π，2π)，∴x ∈(π，32π)，∴sin x ＝－45，∴tan x ＝43.]3．B [M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝2k ＋14π，k ∈Z ，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k ＋24π，k ∈Z.比较两集合中分式的分子，知前者为奇数π，后者是整数π.再根据整数分类关系，得M N .选B.]4．A [∵y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6. 由题意知要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6的图象只需将y ＝sin 2x 向左平移5π12个单位长度．] 5．D [sin 2x >cos 2x ⇔|sin x |>|cos x |.在直角坐标系中作出单位圆及直线y ＝x ，y ＝－x ，根据三角函数线的定义知角x 的终边应落在图中的阴影部分，故应选D.]6．D [据题意可设y ＝10－8cos ωt (t ≥0)．由已知周期为12 min ，可知t ＝6时到达最高点，即函数取最大值，知18＝10－8cos 6ω，即cos 6ω＝－1.∴6ω＝π，得ω＝π6.∴y ＝10－8cosπ6t (t ≥0)．] 7．－35解析 sin 4α－cos 4α＝sin 2α－cos 2α＝2sin 2α－1＝2×15－1＝－35.8.32解析 由图象可知三角函数的周期为T ＝4×π3＝2πω，∴ω＝32.9.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2，k ∈Z 解析 f (x )＝|sin x |的周期T ＝π，且f (x )在区间[0，π2]上单调递增，∴f (x )的单调增区间为[k π，k π＋π2]，k ∈Z .10．①②解析 ①f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π－π3＝3sin 32π＝－3，∴x ＝1112π为对称轴；②由－π12<x <5π12⇒－π2<2x －π3<π2，由于函数y ＝3sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内单调递增，故函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12内单调递增； ③∵f (x )＝3sin2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，∴由y ＝3sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度得到函数f (x )＝3sin2⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象，得不到图象C .。
【名师必备】人教数学必修四第一章《三角函数》教学设计(复习课).doc
第一章《三角函数》教学设计《复习课)【教学目标】1.任意角的概念与弧度制；任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；2. 同角三角函数的关系(sin? x + cos? x = 1, Sm % = tan x),诱导公式；cosx 3. 正弦、余弦、正切函数的图象与性质；4. 利用三角函数的图象求三角函数的定义域、值域等；5. 函数y = ^sin (69x + ^)的实际意义；函数y = ^sin (69x + ^)图象的变换(平移平换 与伸缩变换)；6. 会用三角函数解决一些简单实际问题及最值问题.【导入新课】 复习回顾本章知识 新授课阶段一、同角三角函数基本关系式的运用 例1若阪―Q 求：(1)也亠竺的值；coso-sina(2) 2sin 2(7-sin6rcoscr + cos 2 a 的值.cosa + sina _ cos a-sin a2sin 2 G-sinacosa + cos? a4-V2 + 15-V2 33例2若sm&cos%,叫雳J,求cos —的值.解:(cossin 0)2 = cos 2 0 + sir^ &-2sin&cos& = 1 ——=—,44，化 cos &v sin 0.解：⑴(2)原式二2 tan 2 a-tana + l tan 2 6^ + 1JIsin(——a) cos(2^ 一a) tan(-a + 3 兀)例3 已知f \a) = —2 ------------------------ -----------------tan(龙 + a) sin(— + a)(1)化简f(a):3兀 1(2)若G是第三象限的角，且COS(Q-上)二—，求/©)的值;4^ 5(3)若a = -l860°,求f(a)的值.偸 /八“ 、cos <2 cos a(-tan a)解：(1) f(a) = ----------------- -------- =-cosa.tana cos a/ 、/ 3兀、.(2)vcos(6Z-—) =-sincr,・・・siim二—丄,又"是第三彖限的角.5(3) V 6Z = -1860° = -6x360° + 300°,・•・ /(a) = /(-186O0) = -cos(-1860°)=一cos(-6 x360° + 300°) = - cos 60° = - |.二、正弦函数、余弦函数的图象与性质的应用例4求下列函数的定义域：(1)/(x) = A/A/3 -tanx ； (2) /(x) = tan(sinx) ； (3) f\x) = —cosx——lg(tanx +l)解：(1)由馆一tanx> 0 , W tanx < >/3 , k7r-—<x<k7T + — (kE Z).3f (x)的定义域为仇龙----- ykjr—](Zr G Z) •2 3兀兀(2) J ——<-l<sinx<l<-,2 2xwR.即/(x)的定义域为7?.(3)由已知＜2cos x -1 > 0,lg(tanx + l)H0, tanx +1 > 0,兀,xH k7U-\- — (ke Z),cosx>—,2 tan x H0, tanx>-l,71X 丰k,7t + — (A GZ).2k 兀 --- 5 x W 2k 兀 H —,3 3xfk 心 (展Z)[兀 . 71K71 -- < X < k/l H -- •4 2TTTT•••原函数的定义域为(2乃r 一一,2k7U )U(2k7^2k7r + —)(kw Z). 4 3例5求下列函数的周期：,、 r , 龙、./、 cos4x + sin 4x(2) y = 2sin(x ----- )sinx ； (3) y = ------------- ； --2 cos4x-sin4xTT•••周期 T = -.2(2) j ； = -2sinxcosx = -sin 2x ,故周期T =兀. _、1 + tan 4x 丄— 兀、HEHEIF兀(3) ------------------ y — = tan(4x H —),故周期 T = — •‘ 1 - tan 4x 4 4 例 6 已知函数 f(x)=^5sin(2x —£)+2sir?(x —令j (xWR).⑴求函数f(x)的最小正周期；(2)求使函数f(x)収得最大值的x 的集合.解:⑴ f(x)r/^sin(2x —£)+1 —cos2(x —令)y[3 n 1 n = 2[-^-sin2(x-y^)-2 cos2(x-—)]+lH R=2sin[2(x-y^)-g]+l Tl=2sin(2x —m )+l,• 2n • • T 二 2=7T.(2)当 f(x)取最大值时,sin(2x —?)二1,有 2x_£ =2kn+y.即 x=kn+ 愛(kez)./.所求 x 的集合^j{xeR|x= kn+ 誓k^Z}. 例7判断下列函数的奇偶性:sin2x + sin(2x + —) (1) y = -----------------------兀cos 2x + cos(2x + ―) 解：(1)y =cos2x + —cos2x-2sin 2xV3 sin(2x + —)6 V3 cos(2x + —)6 =tan(2x + —),sin2x + —sin 2x +2 cos2xrr解：(1) •・•/(兀)的定义域为XH3 +丝伙wZ),故其定义域关于原点对称,2又 f (-X )= sin(-2x) 一 tan(-x) = 一 sin 2x + tan x = - f (x),•・・/(x)为奇函数.兀兀(2) TX =—时，l + sinx + cos 兀=2,而兀二——时」+ sinx + cosx = 0 , 2 2・•・/(x)的定义域不关于原点对称，・•・/(x)为非奇非偶函数.(3)f (x)的定义域为 R,又 f (-x) = cos(sin(-x)) = cos(sinx) = /(x),••• /(X )为偶函数・(4) ril lgcosx > 0 得 cosxXl,又 COSX<1 /. COS X = 1,故此函数的定义域为 x = 2k7r(keZ)f 关于原点对称，此时/(x) = 0.・・・/(x)既是奇函数，又是偶函数.例 8 已知:函数/(%) = log 】 (sin%-cosx).2⑴求它的定义域和值域；(2)判断它的奇偶性；(3)求它的单调区间； (4)判断它的周期性，若是周期函数,求它的最小正周期.・•・ 2k 兀 < x ~~ < 2k 兀 + 兀(kw Z)./.定义域为(2后+壬,2Qr+¥ (A-E Z).(1 ) /(x) = sin 2x - tan x ； (3 ) /(x) = cos(sin x)；…_、1 + sinx-cosx(2) /(x)二 ~: ------------1 + sinx + cosx(4) /(•¥)= Jig COS X .解:⑴•由 sinx-cosx > 0 n "si ・(龙) sin x----------I 4丿>0, ••• A /2 si / 、sin 兀一 I 4丿—w (0,Jl],・•・值域为一二,+x .⑵•••定义域不关于原点对称八••函数为非奇非偶函数.(3)••• sin x - cos x = V2si/ 、•I 71sin x ------I 4丿3 龙A f(x)的递增区间为[2£龙+ —, 2乞龙+ ―)仏e Z),4 4递减区间为(2^ + -,2^ + —](Z:G Z).4 4⑷・.・/(x + 2;r) = logi [sin(x + 2;r)-cos(x + 2;r) = log, (si2••• /(x)是周期函数，最小正周期T= 2龙.例 9 己知函数 f (x) = sin 2 x + 2sinxcosx + 3cos 2 x, xe R .求:(l)函数/(x)的最大值及取得最大值的A 变量x 的集合； (II)函数/(兀)的单调增区间.解：(I) f(x) = -~学力 + sin 2x + ‘° 力)=i + sin 2x + cos 2x = 2 + 血 sin(2x + 彳)，・••当2x +彳=2£龙+彳出卩x =丘龙+彳伙u Z)时，/(兀)取得最大值2 + V2. 7T 函数f(x)的取得最大值的自变量x 的集合为{x/xeR,x = k7T + -(keZ)}.8(II) /(x) = 2 + V2sin(2x + -). 47T TT TT由题意得：2k7T--<2x^-<2k/r + -(kwZ),2 4 23” 7T即：k 兀—-<x<k7T^-(keZ).8 83” 7T因此函数/(x)的单调增区间为[乃r ——北兀+ —](展Z).8 8三、函数尹=/sin(ex + 0)的图彖与变换例10已知函数/(x) = 2 cos 2 cox + A /3 sin 2cox,(其中0 v ⑵v 1),若直线x =-为其一 条对称轴.(1)试求0的值；(2)作岀函数/(X )在区间[-龙，刃上的图象.解：(1) f (x) = 2 cos 2+ V3 sin 2cox = 1 + cos 2a )x + A /3 sin 2cox• 71—2 sin(269x + —) +1.*: x =—是夕=/*(x)的一条对称轴，/. sin(^M7r +—) = ±1.3 3 6 2a )7T 71 z 71 . 13,77、 /. ------- 1 — k 兀 H .n G Z, /. CD — 1 k(K G Z) ■3 6 2 2 2sinx-cosx) = /(x)，2•・・OV0V1,・・・Q = -.2(2)用五点作图例11 已知函数/(X)二^sin2(69x + ^X^ > o,69> 0,0 <(p<—)，且y = f (x)的最大值为2,其图象相邻两对称轴间的距离为2,并过点(1,2).(I)求0； (II)计算/⑴+/(2) + …+/(2008) •A A解：(I) y = ^4sin2(69x + ^7)= ———cos(2cox + 2(p). v y = f(x)的最大值为2, A>0.A A••• 一 + — = 2,/ = 2.又•••其图象相邻两对称轴间的距离为2, Q> 0,2 2I/© c 71-(——)= 2,69 = —•22co 42 2 7T 71:./(x) = -------- cos(—x + 2(p) = 1-cos(— x + 2(p) y = f(x) it (1,2)点,兀兀兀A cos(— + 2(p) = -\. .\ — + 2(p = 2k/r + 7r,ke Z, ••• 2(p=2k7r + — ,ke Z,71 71 71:.(p = k7T + — ,ke Z,又••• 0<(p<—,:.(p = — .4 2 471 .Z7T 兀、( ・兀(II) (p—,:.y-\- COS(—X ——)=1 + sin — X.4 2 2 2・・・ / ⑴ + /(2) + /(3) + /(4) = 2 + 14-0 + 1 = 4.又v y = /(x)的周期为4, 2008 = 4x502,••• /(I) + /(2) + …+ /(2008) = 4x502 = 2008.例12 设函数f(X)= V3 cos2cox + sin a)x cos cox + ci (其屮co> 0,a e R ) ..ft/(x)的图TT 像在尹轴右侧的第一个最高点的横坐标是兰.6(I)求⑵的值；(II)如果门兀)在区间上的最小值为的，求Q的值.3 6解：(I) f(x) — -^―cos 2cox 4—sin 2cox + (X — sin(269x H—) + + ci2 2 23 2JT 7T 7T ]依题意得20匕+丝二丝=>/ = —•6 3 2 2上的最小值为四、三角函数的运用例13某港口水的深度y （米）是时间/（0 < / < 24 ,单位：时）的函数，记作尹=/（",下面是某日水深的数据：t•时0 3 6 9 12 15 18 21 24y米10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 经长期观察，尹=/（/）的曲线可以近似地看成函数y = Asincox + b的图象.（1）试根据以上数据，求出函数，= /（/）的近似表达式，（2）一般情况下船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）.某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米，如果该船希望在同一-天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长吋间（忽略进出港所需吋间）？解：（1）由已知数据，易知函数y = f（/）的周期TJ2,振幅A=3, b=10, /. j； = 3sin—Z + 10（2）由题意，该船进出港时，水深应不小于5+6.5=11.5米.7T JT 1 7T JT 、冗/• 3 sin — Z + 10nil .5, /• sin—12—，解得:2k 兀 4— 5 —t 5 4 ---- （k G Z）.6 6 2 6 6 612A: + l<r<12A: + 5（A：G Z）,在同一天内，取k = = 1 /. 1 < / < 5, nK13 < / < 17.・・・该船可在当日凌晨1时进港，下午17时出港，在港口内最多停留16个小时.例14如图所示，一个摩天轮半径为10米，轮子的底部在地面上2米处，如果此摩天轮每20秒转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处（点P与摩天轮中心0高度相同）时开始计时，（1）求此人相对于地面的高度关于时间的函数关系式；厂、\（2） 在摩天轮转动的一圈内，有多长时间此人相对于地面的高度不超过10米？解：（1）以0为坐标原点，以OP 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设摩天轮上某人在Q 处，则在t 秒内OQ 转过的角为务,所以t 秒时,Q 点的纵坐标为务,故在t 秒时此人相对于地面的高度为尹=10sinTT—r + 12 (米)• 10jrrr\⑵令尸叭恫+ 82,则“咐一亍v0</< 20, /.10.64 <t <19.36 ,故约有8.72秒此人相对于地面的高度不超过10米.例15如图,&BCD 是一•块边长为100米的正方形地皮，英中A7TS 是一半径为90米的扇形小山，P 是弧75上一点，其余部分都是平地，现一开发商想在平地上建造 一个有边落在BC 与CD 上的长方形停车场PQCR,求长方形停车场的最 大值与最小值.解：如图，连结&P,设ZPAB = ^（0° <&V 90°）,延长RP 交AB 于M, 则 AM = 90cos 0, MP = 90sin 0 ,PQ = MB = AB - AM = 100-90 cos 0,PR = MR-MP=\QO-9Osm01 故矩形 PQCR 的面积 S = P0 • M = (100 — 90 cos &)(100 - 90 sin 0) =10000 一 9000⑸n 0 + cos 0) + 8100 sin & cos 6.设sin& + cos& = f(l < t < 血),则sin&cos& = *(尸-1)8100 2（号+950,故当心罟时,^in=950(m 2).有如图⑴、（2）的当t = y/2时，&唤=14050 —90000(加2).例16.将一块圆心角为120°,半径为20 cm的扇形铁片裁成一块矩形, 两种裁法：让矩形一边在扇形的一条半径0A上，或让矩形一边与弦平行，请问哪种裁法能得到最大面积的矩形？并求出这个最大值.解：按图⑴的裁法：矩形的一边0P 在OA 上，顶点M 在圆弧上，设ZMOA = 0f 则MP - 20sin 0, OP = 20 cos 0,所以矩形 OPM/V 的而积rrS = 400sin&cos& = 200sin2&,即当& =扌时，5inax =200.按图(2)的裁法：矩形一边PQ 与弦AB 平行，设ZMOQ = a ,在AMOQ 中，ZO0M=9O°+3O°=12O°,则正弦定理得：M0二竺巴孚二他3sin Q. sin 120 3又・・• MN = 2OM sin(60°-a) = 40sin(60° 一a),:.S = MQMN= 160°^ sin a sin(60°-a) =由于型血〉200,所以用第二种裁法得面积最大的矩形，最大面积为型返cm 〔33课堂小结主要掌握正弦函数与余弦函数的图象与性质，这是本章的核心知识点，主要的思想方法 就是数形结合思想和分类讨论思想.作业 见同步练习1600^3~3-(sin 2仅— 1-COS 2Q~~4 呼SH W + 30。
高中数学 第一章 三角函数章末小结与测评教学案 新人教A版必修4
第一章 三角函数1．在直角坐标系中，设任意角α终边上任意一点P (x ，y )，它与原点的距离为r ＝x 2＋y 2，则sin α＝y r ；cos α＝x r ；tan α＝yx.2．任意角的三角函数值只与这个角的终边位置有关，而与点P 在终边上的位置无关；角与三角函数值的对应关系是多值对应关系，给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的；反过来，给定一个三角函数值，有无穷多个角和它对应．3．三角函数值在各象限的符号有如下记忆口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．依据相应三角函数值的符号可以确定角终边所在的象限．[典例1] 已知角α的终边经过点P (12m ，－5m )(m ≠0)，求sin α，cos α，tan α的值．解：r ＝（12m ）2＋（－5m ）2＝13|m |， 若m >0，则r ＝13m ，α为第四象限角， sin α＝y r ＝－5m 13m ＝－513，cos α＝x r ＝12m 13m ＝1213，tan α＝y x ＝－5m 12m ＝－512.若m <0，则r ＝－13m ，α为第二象限角， sin α＝y r ＝－5m －13m ＝513，cos α＝x r ＝12m －13m ＝－1213，tan α＝y x ＝－5m 12m ＝－512.[对点训练]1．(1)α是第四象限角，P (5，x )为其终边上一点，且sin α＝24x ，则cos α的值为( )A.104 B.64 C.24 D ．－104(2)若－π2<α<0，则点P (tan α，cos α)位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 解析：(1)选A 由定义可得sin α＝x x 2＋5＝24x ，x <0，可得x ＝－3，∴cos α＝522＝104. (2)选B ∵－π2<α<0，∴tan α<0，cos α>0，∴点P (tan α，cos α)位于第二象限.三角函数式的化简、求值与证明问题的依据主要是同角三角函数的关系式及诱导公式．化简的顺序是：(1)先用诱导公式化为同角三角函数． (2)再用同角三角函数关系化简．用同角三角函数关系化简时，有两种思路：①化弦法：当切函数的项比较少时，常常化弦达到化简的目的；②化切法：当弦函数的项比较少或者正、余弦的表达式是齐次式时，常常化切，便于化简．[典例2] 已知2＋tan （θ－π）1＋tan （2π－θ）＝－4，求(sin θ－3cos θ)·(cos θ－sin θ)的值．解：2＋tan （θ－π）1＋tan （2π－θ）＝2＋tan θ1－tan θ＝－4，解得tan θ＝2.(sin θ－3cos θ)·(cos θ－sin θ)＝sin θcos θ－sin 2θ－3cos 2θ＋3sin θcos θ ＝4sin θcos θ－sin 2θ－3cos 2θsin 2 θ＋cos 2θ ＝4tan θ－tan 2θ－3tan 2θ＋1 ＝4×2－22－322＋1 ＝15. [对点训练]2．化简下列各式：(1)sin 3（π＋α）cos （－α）cos （π－α）tan 3（π＋α）cos 3（－α－π）＋ cos （α＋3π）sin 2（α＋3π）cos 2⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋αtan （α＋5π）tan （π＋α）cos 3（π＋α）；(2)tan （－510°）cos （－210°）cos 120°tan （－600°）sin （－330°）＋sin 29°cos 61°－tan 36°·tan 54°.解：(1)原式＝－sin 3αcos α（－cos α）tan 3α（－cos α）3＋（－cos α）sin 2αsin 2αtan αtan α（－cos α）3＝－sin 3αcos 2αsin 3αcos 3α·cos 3α＋cos αsin 4αsin 2αcos 2α·cos 3α＝－cos 2α＋sin 2α ＝2sin 2α－1. (2)原式 ＝－tan 510°cos 210°cos 120°－tan 600°（－sin 330°）＋sin 29°cos 61°－tan 36°·tan 54°＝－tan （360°＋150°）cos （180°＋30°）cos （180°－60°）tan （2×360°－120°）sin （360°－30°）＋1－tan 36°tan 54°＝－tan 150°（－cos 30°）（－cos 60°）tan （－120°）（－sin 30°）＝tan （180°－30°）cos 30°cos 60°tan （－180°＋60°）sin 30°＝（－tan 30°）cos 30°cos 60°t an 60°sin 30°＝－36.(1)“五点法”作图中的五点分别为图象的最高点、最低点及与x 轴的交点，描点作图并向左或向右平移即得正弦曲线和余弦曲线．周期变换ω(ω>0)→周期变换ω(ω>0)→振幅变换A (A >0)和周期变换ω(ω>0)→相位变换φ(φ≠0)→振幅变换A (A >0)．注意二者平移量的不同．(3)由已知条件确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式，需要确定A ，ω，φ，其中A ，ω易求，下面介绍求φ的几种方法．①平衡点法由y ＝A sin(ωx ＋φ)＝A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φω知它的平衡点的横坐标为－φω，所以我们可以找与原点相邻的且处于递增部分的平衡点，令其横坐标为x 1＝－φω，则可求φ.②确定最值法这种方法避开了“伸缩变换”且不必牢记许多结论，只需解一个特殊的三角方程． ③利用单调性将函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与y ＝sin x 的图象比较，选取它们的某一个单调区间得到一个等式，解答即可求出φ.[典例3] 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，⎭⎪⎫0<φ<π2的图象上的一个最低点为M ⎝⎛⎭⎪⎫2π3，－2，周期为π.(1)求f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后再将所得的图象沿x 轴向右平移π6个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，写出函数y ＝g (x )的解析式；(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12时，求函数f (x )的最大值和最小值． 解：(1)由题可知T ＝2πω＝π，∴ω＝2.又f (x )min ＝－2，∴A ＝2.由f (x )的最低点为M ，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1. ∵0<φ<π2，∴4π3<4π3＋φ<11π6. ∴4π3＋φ＝3π2.∴φ＝π6.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6――→横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2x ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6――→沿x 轴向右平移π6个单位y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝2sin x ，∴g (x )＝2sin x . (3)∵0≤x ≤π12，∴π6≤2x ＋π6≤π3.∴当2x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )min ＝2sin π6＝1，当2x ＋π6＝π3，即x ＝π12时，f (x )max ＝2sin π3＝ 3.[对点训练]3．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2内的图象大致是( )解析：选D 当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π时，sin x ≥0，tan x ≤0，∴tan x －sin x ≤0.∴y ＝tan x ＋sin x －(sin x －tan x )＝2tan x . 同理，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2时，sin x <0，tan x >0， 故tan x －sin x >0.∴y ＝tan x ＋sin x －(tan x －sin x )＝2sin x . 综上可知，选项D 正确．4．如图，是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)的一段图象．(1)求此函数解析式；(2)分析一下该函数是如何通过y ＝sin x 变换得来的？ 解：(1)由图象知 A ＝－12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝12，k ＝－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝－1，T ＝2×⎝⎛⎭⎪⎫2π3－π6＝π，∴ω＝2πT ＝2.∴y ＝12sin(2x ＋φ)－1.当x ＝π6时，2×π6＋φ＝π2，∴φ＝π6.∴所求函数解析式为y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1.(2)把y ＝sin x 向左平移π6个单位，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的12，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12，得到y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，最后把函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向下平移1个单位，得到y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1的图象.(1)函数y ＝sin x 和y ＝cos x 的周期是2π，y ＝tan x 的周期是π；函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的周期是2π|ω|，y ＝A tan(ωx ＋φ)的周期是π|ω|.(2)函数y ＝sin x 和y ＝cos x 的有界性为：－1≤sin x ，cos x ≤1，函数y ＝tan x 没有最值．有界性可用来解决三角函数的最值问题．(3)函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π上递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π上递减；函数y ＝cos x 在[－π＋2k π，2k π]上递增，在[2k π，2k π＋π]上递减；函数y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π上递增，以上k ∈Z .(4)利用函数的单调性比较同名三角函数值的大小时，注意利用诱导公式将角化到同一单调区间内；求形如f (ωx ＋φ)的单调区间时，采用整体代换的方法将ωx ＋φ视为整体求解相应x 的范围即可，注意ω的符号及f 对单调性的影响．[典例4] 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)在x ∈(0，7π)内取到一个最大值和一个最小值，且当x ＝π时，y 有最大值3，当x ＝6π时，y 有最小值－3.(1)求此函数解析式；(2)写出该函数的单调递增区间． 解：(1)由题可知A ＝3，T2＝5π，∴T ＝10π.∴ω＝2πT ＝15，15π＋φ＝π2.∴φ＝3π10.∴y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋3π10.(2)令2k π－π2≤15x ＋3π10≤2k π＋π2，得10k π－4π≤x ≤10k π＋π，k ∈Z . ∴函数的单调递增区间为{x |10k π－4π≤x ≤10k π＋π，k ∈Z }． [对点训练]5．函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象为C .①图象C 关于直线x ＝11π12对称；②函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫－π12，5π12内是增函数； ③由y ＝3sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C .以上三个论断中，正确论断的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：选C ①f ⎝⎛⎭⎪⎫11π12＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π6－π3＝3sin 3π2＝－3，∴直线x ＝11π12为对称轴，①对；②由－π12<x <5π12⇒－π2<2x －π3<π2，由于函数y ＝3sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内单调递增，故函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12内单调递增，②对； ③f (x )＝3sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，而由y ＝3sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度得到函数y ＝3sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象，得不到图象C ，③错．(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在0°～360°的范围内，与－510°终边相同的角是( ) A ．330° B ．210° C ．150° D ．30°解析：选B 因为－510°＝－360°×2＋210°，因此与－510°终边相同的角是210°. 2．若sin α＝33，π2<α<π，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝( )A ．－63 B ．－12C.12D.63解析：选A ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，又π2<α<π，sin α＝33，∴cos α＝－63. 3．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B.2sin 1C ．2sin 1D ．sin 2解析：选B 如图，由题意知θ＝1，BC ＝1，圆的半径r 满足sin θ＝sin 1＝1r，所以r ＝1sin 1，弧长AB ＝2θ·r ＝2sin 1.4．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的图象的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2解析：选C f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象的对称轴为x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π＋3π4， 当k ＝－1时，则其中一条对称轴为x ＝－π4.5．化简1＋2sin （π－2）·cos （π－2）得( ) A ．sin 2＋cos 2 B ．cos 2－sin 2 C ．sin 2－cos 2 D ．±cos 2－sin 2 解析：选C1＋2sin （π－2）·cos （π－2）＝1＋2sin 2·（－cos 2） ＝（sin 2－cos 2）2， ∵π2<2<π，∴sin 2－cos 2>0. ∴原式＝sin 2－cos 2.6．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调增区间为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈ZB ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈ZC.⎝⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z 解析：选C 令k π－π2<x ＋π4<k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π4<x <k π＋π4，k ∈Z ，选C.7．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝32，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－α的值为( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－32 解析：选C ∵⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－α＝π，∴3π4－α＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝32.8．设α是第三象限的角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则α2的终边所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 解析：选B ∵α是第三象限的角， ∴π＋2k π<α<3π2＋2k π，k ∈Z .∴π2＋k π<α2<3π4＋k π，k ∈Z . ∴α2在第二或第四象限． 又∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，∴cos α2<0. ∴α2是第二象限的角．9．函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6≤x ≤π6的最大值与最小值之和为( )A.32 B ．2 C ．0 D.34解析：选A f (x )＝1－sin 2x ＋sin x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫sin x －122＋54，∵－π6≤x ≤π6，∴－12≤sin x ≤12.当sin x ＝－12时，f (x )min ＝14；当sin x ＝12时，f (x )max ＝54，∴f (x )min ＋f (x )max ＝14＋54＝32.10．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移π3个单位，得到的图象对应的解析式为( )A ．y ＝sin 12xB ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π2C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6解析：选C 将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，即将x 变为12x ，即可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3，然后将其图象向左平移π3个单位，即将x变为x ＋π3.∴y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6.11．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的一段图象如图所示，则函数的解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4 B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4或y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4 C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4 解析：选C 由图象可知A ＝2，因为π8－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝π4，所以T ＝π，ω＝2.当x ＝－π8时，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8·2＋φ＝2， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π4＝1，又|φ|<π， 解得φ＝3π4.故函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4.12．函数f (x )＝A sin ωx (ω>0)，对任意x 有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝－a ，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫94等于( )A ．aB ．2aC ．3aD ．4a解析：选A 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，得f (x ＋1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12－12＝f (x )，即1是f (x )的周期．而f (x )为奇函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫94＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝a .二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．已知tan α＝－3，π2<α<π，那么cos α－sin α的值是________． 解析：因为π2<α<π，所以cos α<0，sin α>0，所以cos α＝－cos 2α＝－cos 2αcos 2α＋sin 2α＝－11＋tan 2α＝－11＋3＝－12. sin α＝32， 所以cos α－sin α＝－1＋32.答案：－1＋3214．设f (n )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫n π2＋π4，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)等于________．解析：f (n )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫n π2＋π4的周期T ＝4， 且f (1)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π4＝cos 3π4＝－22，f (2)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π4＝－22， f (3)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋π4＝22，f (4)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋π4＝22. 所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0， 所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015) ＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝－22.答案：－2215．定义运算a *b 为a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ≤b ），b （a >b ），例如1*2＝1，则函数f (x )＝sin x *cos x 的值域为________．解析：由题意可知，这实际上是一个取小的自定义函数，结合函数的图象可得其值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22 16．给出下列4个命题：①函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12的最小正周期是π2；②直线x ＝7π12是函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的一条对称轴；③若sin α＋cos α＝－15，且α为第二象限角，则tan α＝－34；④函数y ＝cos(2－3x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3上单调递减．其中正确的是________．(写出所有正确命题的序号)．解析：函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12的最小正周期是π，则y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12的最小正周期为π2，故①正确．对于②，当x ＝7π12时，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×7π12－π4＝2sin 3π2＝－2，故②正确．对于③，由(sin α＋cos α)2＝125得2sin αcos α＝－2425，α为第二象限角，所以sin α－cos α＝1－2sin αcos α＝75， 所以sin α＝35，cos α＝－45，所以tan α＝－34，故③正确．对于④，函数y ＝cos(2－3x )的最小正周期为2π3，而区间⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3长度73>2π3，显然④错误．答案：①②③三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值：(1)sin α－3cos αsin α＋cos α；(2)sin 2α＋sin αcos α＋2.解：由tan αtan α－1＝－1，得tan α＝12.(1)sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝12－312＋1＝－53.(2)sin 2α＋sin αcos α＋2＝sin 2α＋sin αcos α＋2(cos 2α＋sin 2α) ＝3sin 2α＋sin αcos α＋2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝3tan 2α＋tan α＋2tan 2α＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＝135. 18．(12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6，x ∈R .(1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的单调递增区间． 解：(1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13×5π4－π6＝2sin π4＝ 2(2)令2k π－π2≤13x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，所以2k π－π3≤13x ≤2π3＋2k π，k ∈Z ，解得6k π－π≤x ≤2π＋6k π，k ∈Z ，所以函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6的单调递增区间为[6k π－π，2π＋6k π]，k ∈Z .19．(12分)已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象； (2)写出f (x )的值域、最小正周期、对称轴，单调区间．解：(1)列表如下：(2)由图可知，值域为[－3，3]，最小正周期为2π， 对称轴为x ＝π4＋k π，k ∈Z ，单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4＋2k π，π4＋2k π(k ∈Z )，单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋2k π，5π4＋2k π(k ∈Z )．20．(12分)如图，函数y ＝2sin(πx ＋φ)，x ∈R ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中0≤φ≤π2的图象与y 轴交于点(0，1)．(1)求φ的值；(2)求函数y ＝2sin(πx ＋φ)的单调递增区间； (3)求使y ≥1的x 的集合． 解：(1)因为函数图象过点(0，1)， 所以2sin φ＝1，即sin φ＝12.因为0≤φ≤π2，所以φ＝π6.(2)由(1)得y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6，所以当－π2＋2k π≤πx ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，即－23＋2k ≤x ≤13＋2k ，k ∈Z 时，y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6是增函数，故y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23＋2k ，13＋2k ，k ∈Z .(3)由y ≥1，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6≥12， 所以π6＋2k π≤πx ＋π6≤5π6＋2k π，k ∈Z ，即2k ≤x ≤23＋2k ，k ∈Z ，所以y ≥1时，x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k ≤x ≤23＋2k ，k ∈Z .21．(12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)，在同一周期内，当x ＝π12时，f (x )取得最大值3；当x ＝7π12时，f (x )取得最小值－3. (1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的单调递减区间；(3)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6时，函数h (x )＝2f (x )＋1－m 的图象与x 轴有两个交点，求实数m 的取值范围．解：(1)由题意，A ＝3，T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π12＝π，ω＝2πT ＝2.由2×π12＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，得φ＝π3＋2k π，k ∈Z ，又因为－π<φ<π，所以φ＝π3.所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (2)由π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π6＋2k π≤2x ≤7π6＋2k π，k ∈Z ， 则π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z ， 所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋k π，7π12＋k π(k ∈Z )．(3)由题意知，方程sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝m －16在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6上有两个根． 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6， 所以2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3. 所以m －16∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1. 所以m ∈[33＋1，7)．22．(12分)如图，函数y ＝2cos(ωx ＋θ)(x ∈R ，ω>0，0≤θ ⎭⎪⎫≤π2的图象与y 轴交于点(0，3)，且该函数的最小正周期为π.(1)求θ和ω的值；(2)已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，点P 是该函数图象上一点，点Q (x 0，y 0)是PA 的中点，当y 0＝32，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，求x 0的值． 解：(1)把(0，3)代入y ＝2cos(ωx ＋θ)中，得cos θ＝32. ∵0≤θ≤π2，∴θ＝π6. ∵T ＝π，且ω>0，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2. (2)∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，Q (x 0，y 0)是PA 的中点，y 0＝32，∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0－π2，3. ∵点P 在y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象上，且π2≤x 0≤π， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x 0－5π6＝32， 且7π6≤4x 0－5π6≤19π6. ∴4x 0－5π6＝11π6或4x 0－5π6＝13π6. ∴x 0＝2π3或x 0＝3π4.。
人教A版高中数学必修四吉林第一章三角函数阶段复习教案新
吉林省吉林一中高一数学必修四第一章《三角函数阶段复习》教案 新人教A 版1．已知角α的终边过点(,3)a a (0)a ≠，则sin α= ，tan α= ．2．若α是第四象限角，则πα-是第 象限角，2πα-是第 象限角。
3．若23cos 4m mα-=-，且α为二、三象限角，则m 的取值范围是 ．4．已知sin cos θθ-=，则44sin cos θθ+= ． 5．已知集合2{|2,}3A k k Z πααπ==±∈，2{|4,}3B k k Z πββπ==±∈，2{|,}3C k k Z πγγπ==±∈， 则这三个集合之间的关系为 （）()A A B C ⊆⊆ ()B B A C ⊆⊆ ()C C A B ⊆⊆()D B C A ⊆⊆四．例题分析：例1．求值：sin(1740)cos(1470)cos(660)sin 750tan 405-⋅+-⋅⋅．例2．已知cos 0α>，且tan 0α<，求（1）角α的集合；（2）2α、3α终边所在的象限；（3）试判断cot2α，sin 2α，cos 2α的符号。
例3．化简：（1）sin (sin tan )tan (cos sin )1cos ααααααα+-++； （2（02πα<<）例4．证明：（1）cos sin 2(cos sin )1sin 1cos 1sin cos αααααααα--=++++； （2）已知22tan 2tan 1αβ=+，求证：22sin 2sin 1βα=-．五．课后作业： 班级学号 姓名 1．已知α= ． 2．若α是三角形的内角，且3sin cos 4αα+=，则此三角形一定是 （）()A 等边三角形 ()B 直角三角形 ()C 锐角三角形 ()D 钝角三角形3．若sin cos 1αα+=-，则角α的取值范围是 ．求证：（1）1sec tan 1sin 1sec tan cos αααααα+++=+-；（2）22222(1sin )(sec 1)sin (csc cot )A A A A A --=-． 已知3sin 5m m θ-=+，42cos 5m m θ-=+，其中2πθπ<<，求满足条件的实数m 的取值的集合。
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江苏省常州市西夏墅中学高中数学 第1章 三角函数复习与小结教案
新人教版必修4
教学目标：
1．进一步巩固三角函数的图象、性质；
2．应用三角函数解决实际问题；
3．渗透数形结合与转化思想．
教学重点：
让学生掌握三角函数的图象；熟练运用三角公式．
教学难点：
图象变换．
教学过程：
一、问题情景
问题：本章有哪些知识点？
1．任意角的概念；
2．角度制与弧度制；
3．任意角的三角函数；
4．三角函数的图象与性质；
二、学生活动
1．sin390°＋cos120°＋sin225°的值是 ．
2．
︒
-︒︒-︒23cos 37cos 23sin 37sin ＝ ． 3．已知sin θ＋cos θ＝51-，(0,),πθ∈ tan θ的值是 ． 4．关于函数f (x )＝4sin(2x ＋π3
)(x ∈R)，有下列命题： （1）y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4·cos(2x －π6
)； （2）y ＝f (x )是以2π为最小正周期的周期函数；
（3）y ＝f (x )的图象关于点（－π6
，0）对称；
（4）y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π6
对称． 其中正确的命题序号是 （注：把你认为正确的命题序号都填上）．
三、数学应用
1．例题：
例1 已知角α终边上一点0),3,4(≠-a a a P ，求)2
9sin()211cos()sin()2cos(απαπαπαπ+---+的值． 分析 利用三角函数的定义，以及诱导公式．
例2 已知函数cos 2(0)6y a b x b π=-+
>⎛⎫ ⎪⎝⎭的最大值为23，最小值为21-. （1）求b a ,的值；
（2）求函数)3sin(4)(π
--=bx a x g 的最小值并求出对应x 的集合.
分析：（1）利用三角函数的性质，]1,1[)62cos(-∈+
πx （2）利用三角函数的性质，]1,1[)3sin(-∈-
πbx 2．练习：
（1）函数)22cos(π
+=x y 的图象的对称轴方程是 ；
（2）要得到函数y ＝sin(2x -3
π)的图象，只要将函数y ＝sin2x 的图象 ； （3）已知()s i n ()c o s ()f x a x b x παπβ=++++（,,,a b αβ为非零实数），
(2007)5f =，则(2008)f = ；
（4）函数)32cos(π--=x
y 的单调递增区间是 ．
四、要点归纳与方法小结
1．进一步巩固、熟悉了三角函数的图象、性质并加以灵活应用；
2．初步学会了如何应用三角函数解决实际问题；
3．进一步渗透了数形结合与转化思想．。