2019年河北省衡水中学高三上学期三调考试数学理试题(含答案)
2019届河北省衡水中学高三第三次质检数学(理)试题(有答案解析)
2019届河北省衡水中学高三第三次质检数学（理）试题一、单选题1．已知集合{|1}A x x =<，{|1x B x e =< }，则（ ） A ．{|1}A B x x ⋂=< B ．()R A C B R ⋃=C ．{|}A B x x e ⋃=<D ．(){|01}R C A B x x ⋂=<< 【答案】B【解析】求出集合A={x|x ＜1}，B={x|e x ＜1}={x|x ＜0}，从而R C B ={x|x≥0}，R C A ={x|x≥1}，由此能求出结果． 【详解】∵集合A={x|x ＜1}，B={x|e x ＜1}={x|x ＜0}，R C B ={x|x≥0}，R C A ={x|x≥1}，∴A∩B={x|x ＜0}，故A 错误； A ∪B={x|x ＜1}，故C 错误；()R A C B R ⋃=，故B =正确；()R C A B ∅⋂=，故D 错误．故选B ． 【点睛】本题考查集合与集合的关系的判断，考查补集、交集、并集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题． 2．已知i 为虚数单位，若1i(,)1ia b a b =+∈-R ，则b a =（ ）A ．1 BC ．2D ．2【答案】C【解析】根据复数的除法运算得到1112i a bi i +==+-，再由复数相等的概念得到参数值，进而得到结果. 【详解】i 为虚数单位，若1(,)1a bi a b R i =+∈-，1112ia bi i +==+-根据复数相等得到1 2 1 2ab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.1212().2ba==故答案为C.【点睛】这个题目考查了复数除法运算，以及复数相等的概念，复数a bi+与ic d+相等的充要条件是a c=且b d=．复数相等的充要条件是化复为实的主要依据，多用来求解参数的值或取值范围．步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程（组）求解．3．向量,,a b cr r r在正方形网格中的位置如图所示.若向量a bλ+r r与cr共线,则实数λ=（）A．2-B．1-C．1D．2【答案】D【解析】由图像，根据向量的线性运算法则，可直接用,a brr表示出cr，进而可得出λ. 【详解】由题中所给图像可得：2a b c+=rr r，又cr=a brrλ+，所以2λ=.故选D【点睛】本题主要考查向量的线性运算，熟记向量的线性运算法则，即可得出结果，属于基础题型.4．函数f(x)=15sin(x+3π)+cos(x−6π)的最大值为A．65B．1 C．35D．15【答案】A【解析】由诱导公式可得ππππcos cos sin6233x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则()1ππ6πsin sin sin53353f x x x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,函数()f x的最大值为65. 所以选A.【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为sin()y A x B ωϕ=++的形式，再借助三角函数的图像研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．5．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（ ）A ．932B ．516C ．38D ．716【答案】C【解析】分析：由七巧板的构造，设小正方形的边长为1，计算出黑色平行四边形和黑色等腰直角三角形的面积之和．详解：设小正方形的边长为12，2；黑色等腰直角三角形的直角边为2，斜边为2，大正方形的边长为2，所以21222322P 82222⨯⨯==⨯， 故选C ．点睛：本题主要考查几何概型，由七巧板的构造，设小正方形的边长为1，通过分析观察，求得黑色平行四边形的底和高，以及求出黑色等腰直角三角形直角边和斜边长，进而计算出黑色平行四边形和黑色等腰直角三角形的面积之和，再将黑色部分面积除以大正方形面积可得概率，属于较易题型．6．已知0a >，且，函数()()log 6a f x ax =-，则“13a <<”“是()f x 在()1,2上单调递减”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】先将函数()()log 6a f x ax =-转化为y ＝log a t ，t ＝6ax -，两个基本函数，再利用复合函数求解． 【详解】0a Q >,且1a ≠，6t ax ∴=-为减函数.若()f x 在()1,2上单调递减，则1a >.且620a -⨯≥，则13a <≤.13a <<是13a <≤的充分不必要条件.故选A . 【点睛】本题主要考查复合函数，关键是分解为两个基本函数，利用同增异减的结论研究其单调性，再求参数的范围,属于基础题．7．一给定函数()y f x =的图象在下列四个选项中，并且对任意1(0,1)a ∈，由关系式1()n n a f a +=得到的数列{}n a 满足1n n a a +<.则该函数的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】利用已知条件推出n n f a a （）＜，判断函数的图象，推出选项即可． 【详解】由题对于给定函数()y f x =的图象在下列四个选项中，并且对任意()10,1a ∈，由关系式()1n n a f a +=得到的数列{}n a 满足1n n a a +<．则可得到n n f a a （）＜，所以11f a a （）＜在101a ∀∈（，）上都成立，即01x f x x ∀∈（，），（）＜，所以函数图象都在y x =的下方． 故选A ． 【点睛】本题考查函数图象的判断，数列与函数的关系，属基础题．8．某几何体的三视图如图所示，其中主视图，左视图均是由高为2三角形构成，俯视图由半径为3的圆与其内接正三角形构成，则该几何体的体积为( )A ．936π+B ．9318π+C ．336π D ．3318π 【答案】A【解析】由三视图知该几何体由底面边长是33高为2的正三棱锥和底面半径是3高为2的圆锥组合而成，利用锥体的体积公式可得结果. 【详解】由三视图知该几何体由底面边长是33高为2的正三棱锥和底面半径是3，高为2的圆锥组合而成，正三棱锥的体积是(21393332342⨯⨯=， 圆锥的体积是213263ππ⨯⨯⨯=，所以组合体的体积936π+，故选A. 【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.9．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ， 122F F c =，过2F 作x 轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A ，已知3,2a Q c ⎛⎫⎪⎝⎭， 22F Q F A >，点P 是双曲线C 右支上的动点，且11232PF PQ F F +>恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是( )A ．71,6⎛⎫ ⎪⎝⎭B．,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭C．76⎛ ⎝⎭D．1,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】令x =c代入双曲线的方程可得2by a==±， 由22F Q F A >,可得232a b a>，即为3a 2>2b 2=2(c 2−a 2)，即有2c e a =<① 又11232PF PQ F F +>恒成立， 由双曲线的定义,可得2a +|PF 2|+|PQ |>3c 恒成立， 由F 2,P ,Q 共线时,|PF 2|+|PQ |取得最小值|F 2Q |=32a ， 可得3c <2a +32a ， 即有c e a =<76②由e >1，结合①②可得， e 的范围是(1,7 6). 故选：A.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.10．已知实数x y ，满足124242,240,330,x y x y x y x y --⎧+≥+⎪-+≥⎨⎪--≤⎩若(1)1y k x ≥+-恒成立，那么k 的取值范围是( ) A ．1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．[)3,+∞ D ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】由题意，作出不等式组对应的可行域，根据()11y k x =+-的图象是过点()1,1--，斜率为k 的直线，结合图象，即可求解.【详解】由题意,实数,x y 满足124242240330x y x y x y x y --⎧+≥+⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，即220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，又因为函数()11y k x =+-的图象是过点()1,1--，斜率为k 的直线，要使得不等式()11y k x ≥+-恒成立，即11y k x +≤+恒成立， 结合图象可知，当直线过点()1,0B 时，斜率取得最小值12，所以实数k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故选D.【点睛】本题主要考查了简单线性规划的应用，其中解答中正确求解约束条件所对应的不等式组，作出约束条件所表示的平面区域，再根据斜率公式求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，推理与计算能力.11．已知三棱锥A BCD -中，2AB AC BD CD ====，2BC AD =， 直线AD 与底面BCD 所成角为3π，则此时三棱锥外接球的表面积为 （ ） A ．8π B ．6πC ．9πD ．5π【答案】A【解析】取BC 的中点O ，判断O 为三棱锥外接球的球心，即可求出结果. 【详解】取BC 中点O ，则AO BC ⊥，DO BC ⊥，AO DO =， 因为直线AD 与底面BCD 所成角为3π，所以AO DO AD ==， 因为2BC AD =，所以AO DO BO CO ===，即O 为三棱锥外接球的球心， 因为2AB AC BD CD ====，所以122AO BC == 所以三棱锥外接球的表面积为4π28π⨯=. 故选A 【点睛】本题主要考查几何体外接球的相关计算，熟记球的表面积公式即可，属于常考题型.12．己知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()112,0212,22x x f x f x x --⎧<≤⎪=⎨->⎪⎩，则函数()()1g x xf x =-在[)6-+∞,上的所有零点之和为（ ） A ．7 B ．8C ．9D ．10【答案】B【解析】由已知可分析出函数()g x 是偶函数，则其零点必然关于原点对称，故()g x 在[]6,6-上所有的零点的和为0，则函数()g x 在[)6-+∞,上所有的零点的和，即函数()g x 在(6,)+∞上所有的零点之和，求出(6,)+∞上所有零点，可得答案．【详解】解：Q 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()()f x f x ∴-=-． 又Q 函数()()1g x xf x =-，()()()1()[()]1()1()g x x f x x f x xf x g x ∴-=---=---=-=，∴函数()g x 是偶函数，∴函数()g x 的零点都是以相反数的形式成对出现的．∴函数()g x 在[]6,6-上所有的零点的和为0，∴函数()g x 在[)6-+∞,上所有的零点的和，即函数()g x 在(6,)+∞上所有的零点之和．由02x <…时，|1|1()2x f x --=，即22,01()2,12x x x f x x --⎧<=⎨<⎩…… ∴函数()f x 在(]0,2上的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当且仅当2x =时，()1f x =又Q 当2x >时，1()(2)2f x f x =- ∴函数()f x 在(]2,4上的值域为11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在(]4,6上的值域为11,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在(]6,8上的值域为11,168⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当且仅当8x =时，1()8f x =，函数()f x 在(]8,10上的值域为611,213⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当且仅当10x =时，1()16f x =，故1()f x x<在(]8,10上恒成立，()()1g x xf x =-在(]8,10上无零点，同理()()1g x xf x =-在(]10,12上无零点， 依此类推，函数()g x 在(8,)+∞无零点，综上函数()()1g x xf x =-在[)6-+∞,上的所有零点之和为8 故选：B ． 【点睛】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的零点，函数的图象和性质，其中在寻找(6,)+∞上零点个数时，难度较大，故可以用归纳猜想的方法进行处理．二、填空题 13．曲线y =y x =所围成的封闭图形的面积为__________．【答案】16【解析】由定积分的几何意义可得：封闭图形的面积()132120211|326S x x dx x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰. 14．()5221111x x x ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为________. 【答案】15【解析】写出()521x +展开式的通项，求出含2x 及4x 的项，则答案可求．【详解】 解：25252525221111(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x+++=+++++Q 且25(1)x +展开式的通项为215r r r T C x +=． 由22r =，得1r =；由23r =，得32r =（舍)；由24r =，得2r =． ()5221111x x x ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭∴展开式中2x 的系数为125515C C +=．故答案为：15． 【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用问题，解题时应灵活应用二项展开式的通项公式，属于基础题． 15．过抛物线的焦点的直线交于两点，在点处的切线与轴分别交于点，若的面积为，则_________________。
2019年河北省衡水中学高三上学期期末考试数学(理)试卷(含答案)
高考数学精品复习资料
2019.5
河北省衡水中学20xx届高三上学期期末考试
数子试卷(理科)
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷（非选择题)两部分，共150。
考试时间120分钟。
第I卷(选择題共60分）
一、选择题（每小题5分，共60分。
下列每小题拼给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）
1.若复数6
3
ai
i
（其中a R，i为虚数単位）的实部与虚部相等，则a=
A.3
B.6
C.4
D.12
2.若集合A= {x Z∣2<2x+2≤8} B=(22
x x>0},则A(R
C B)所含的元素个数为（）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
3.已知数列2、6、10、32…..，那么72是这个数列的第（）项
A. 23
B. 25
C. 19
D. 24
4.若曲线ax2+by2= l为焦点在X轴上的椭圆，则实数a，b满足（）
A.a2>b2
B. 1
a
>
1
b
C. 0<a<b
D. 0<b<a
5.已知函数 f (x)=sin x+cos x的图象的一个对称中心是点(
3
，0)，则函数g(x)=Asin xcos x+sin2 x的图象的一条对称轴是直线
A. x=5
6
B. x=
4
3
C. x =
3
D. x=
3
6.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是7/4,则
A. a=3 B a = 4 C.a = 5 D. .a = 6。
河北省衡水市2019届高三第三次模拟考试数学(理)试卷含答案
2018-2019学年高三年级第三次质检考试数学试题（理）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和II 卷（非选择题）两部分，满分分，考试时间分钟。
1501202．答题前请仔细阅读答题卡（纸）上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题。
3．选择题答案涂在答题卡上，非选择题答案写在答题卡上相应位置，在试卷和草稿纸上作答无效。
第Ⅰ卷 选择题（共60分）1．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求,将正确答案填涂在答题卡上。
1.已知集合，则( ){}{}1|,1|<=<=xe x B x x A A. B. C. D.{}1|<=x x B A {}e x x B A <=| R B C A R =)( {}10|)(<<=x x B A C R 2. 已知为虚数单位，若，则 （ ）i 1i(,)1+ia b a b =+∈R b a =A. 1B.C.D.22223.向量在正方形网格中的位置如图所示.若向量与共线,则实数（ ）A. ,,a b c λ+a b c λ=2-B. C. D.1-124.函数的最大值为（ ）A. B. 1 C. D. )6cos()3sin(51)(ππ-++=x x x f 515356 5.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为 （ ）A ．B ．C ．D ． 932516387166.已知，，则“”“是在上单调递减”的（ ）A 充分不必0>a )6(log )(ax x f a -=31<<a )(x f )2,1(要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件7.一给定函数的图象在下列四个选项中，并且对任意，由关系式得到的数)(x f y =)1,0(1∈a )(1n n a f a =+列满足.则该函数的图象可能是( ){}n a n n a a <+1 A. B. C. D.8.某几何体的三视图如图所示，其中主视图，左视图均是由高为2三角形构成，俯视图由半径为3的圆与其内接正三角形构成，则该几何体的体积为( )A. B. C. D. .9.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ， 122F F c =，过2F 作x 轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A ，已知3,2a Q c ⎛⎫⎪⎝⎭， 22F Q F A >，点P 是双曲线C 右支上的动点，且11232PF PQ F F +>恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A. ⎫+∞⎪⎪⎭B. 71,6⎛⎫⎪⎝⎭C. 76⎛ ⎝D. ⎛ ⎝10.已知实数、满足，若恒成立，那么的取值范围是( )A ．⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-+≥+--033042242421y x y x yx y x 1)1(-+≥x k y k B ． C ． D ．]3,21[]34,(-∞),3[+∞21,(-∞11.已知三棱锥A BCD -中，2,2AB AC BD CD BC AD =====， 直线AD 与底面BCD 所成角为3π，则此时三棱锥外接球的表面积为 （ ）A. π8 B. C. D. π6π9π512.已知函数是定义在R 上的奇函数，当时，则函数在⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<=--,2),2(21,202)(,1|1|x x f x x f x 1)()(-=x xf x g 上的所有零点之和为( )A ．7 B ．8 C ．9 D ．10),7[+∞-第Ⅱ卷 非选择题（共90分）2．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡上相应位置。
衡中2019上三调理数答案
( ) ( )⋅ = ⎪3 ⎪ 5 ( )2018～2019 学年度上学期高三年级三调考试数学(理)试卷答案一、选择题1-5:BCCDD 6-10:ACCDB11、12：CA二、填空题13.214. 3三、解答题15. 4 3316.42 2 17. 解：(1)∵ + +3 ，代入 = ⎛ cos 3A , sin 3A ⎫ ，= ⎛A A ⎫ ，有m n 2m n m 2 2 ⎪ n cos 2 , s in 2 ⎪ 1 + 1 + ⎛ 2 cos 3A cos A+ sin 3A sin A ⎫ = 3 ，2 2 2 2 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ∴ ⎛ cos 3A cos A + sin 3A sin A ⎫ = 1 ，即cos ⎛ 3A - A ⎫ = 1 ，∴ cos A = 1 ， A = 60° . 2 2 2 2 ⎪ 2 2 2 ⎪ 2 2⎝ ⎭ ⎝⎭(2)法一：∵ cos A = 1 ，∴ b 2- c 2 - a 21 = ①2 又∵ b + c = 3a ②2bc 2联立①②有， bc = b 2+ c 2- ⎛ b + c ⎫ ⎝ ⎭，即 2b 2 - 5bc - 2c 2 = 0 ，解得b = 2c 或c = 2b ，又∵ b - c = 3a ，若b = 2c ，则 a = 3c ， ∴ a 2 + c 2 =( 3c )2- c 2 = 4c 2 = b 2 ， △ABC 为直角三角形，同理，若 c = 2b ，则△ABC 也为直角三角形.18.(1)由已知，得圆心在经过点 P (4, 0) 且与 y = 2x - 8 垂直的直线 y = - 1x + 2 上，它又在线2 段OP 的中垂线 x = 2 上，所以求得圆心C (2,1) ，半径为 . 所以圆C 的方程为： ( x - 2)2+ ( y - 1)2= 5 .(2)假设存在两点 M , N 关于直线 y = kx - 1 对称，则 y = kx - 1 通过圆心C (2,1) ，求得 k = 1，所以设直线 MN 为 y = -x + b ，代入圆的方程得 2x 2 - (2b + 2 ) x + b 2 - 2b = 0 ，62设M (x1 , -x1 +b )，N (x2 , -x2 +b )，则OM ⋅ON = 2x1x2 -b x1 +x2 +b2 =b2 - 3b = 0 ，n nn n nn a 2 + b 2n n +1 = 2 (1 2 )n 2解得b = 0 或b = 3 ，这时∆ > 0 ，符合题意，所以存在直线 MN 为 y = -x 或 y = -x + 3 符合条件.19.解：(1)由 a 1 = 1 及2S= 2 pa 2+ pa- p (n ∈ N * ) ，得： 2 = 2 p + p - p ，∴ p = 1 .(2) 由 2S = 2a 2+ a -1 ①，得 2Sn +1 = 2a n +1 2 n +1 -1 ②由②－①，得 2a n +1 = 2 (a n +1 2 - a 2 ) + (a - a n )，即： 2 (a n +1 + a n )(a n +1 - a n ) - (a n +1 + a n ) = 0 ， ∴ (a n +1 + a n )(2a n +1 - 2a n - 1) = 0 ，由于数列{a } 各项均为正数，∴2a - 2a = 1 ，即 a - a = 1， n n +1 nn +1 n 2∴数列{a } 是首项为 1，公差为 1的等差数列，n∴数列{a } 的通项公式是 a 2 = 1 + (n - 1)⨯ 1 =n +1. n n2 2(3) 由 a = n + 1，得： S n (n + 3) ，∴ b = 4S n ⋅ 2n = n ⋅ 2n ， n 2 n 4n n + 3∴ T n = 1⨯ 2 + 2 ⨯ 2 + 3⨯ 2 + …+ n ⋅ 2 2 3 n2T n -T n= 1⨯ 22 + 2 ⨯ 23 + … + (n -1)⨯ 2 n + n ⨯ 2 n +1 ，- n= 2 + 22 + 23 + …+ 2n - n ⋅ 2n +1=- n ⨯ 2n +1 = - (n - 1 )⋅ 2n +1 - 21 - 2T = (n - 1) ⋅ 2n +1 + 2 .20.解：(1)因为 c = a 3， a 2 - b 2 = c 2 ，所以 a = 2b ，2因为原点到直线 AB : x - y = 1 的距离 d = a b ab = 4 5，解得 a = 4 ， b = 2 ，5故所求椭圆C 的方程为 x y 2 + = 1 .⎧ y = kx + 1 ⎪ 16 42 2(2)由题意⎨ x 2 ⎪⎩16 y = 1 4消去 y ，整理得(1 + 4k ) x + 8kx -12 = 0 ，可知∆ > 0 ， + a 2+1 + k2 x 2设 E (x , y ) ， F ( x , y ) ， EF 的中点是 M ( x , y ) ，则 x=x 2 + x 3 = -4k ，2233MMM2 1 + 4k 2y M = kx M + 1 =1 ，1 + 4k2 所以 k BM = y M + 2 = - 1，所以 x x M kM + ky M + 2k = 0 ，即 -4k 1 + 4k 2 + k 1 + 4k 2 + 2k = 0 ，又因为 k ≠ 0 ，所以 k 2 = 1 ，所以 k = ± 2.8 4 21.解：(1)设点 M 到直线l 的距离为 d ，依题意 M 2 = d ，设 M ( x , y ) ，则有= y + 1 ，化简得 x 2 = 4 y .所以点 M 的轨迹C 的方程为 x 2 = 4 y .(2) 设l : y = kx + 1 ，代入 x 2 = 4 y 中，得 x 2- 4kx - 4 = 0 ，设 A (x , y ) ， B ( x , y ) ， AB1 122x 2 则 x + x = 4k ，x ⋅ x = -4 ，所以 AB x - x = 4 (k 2+ 1) ，因为C : x 2= 4 y ，即 y = ， 1 2 1 2 1 24所以 y = x，所以直线l 的斜率为 k = x 1 ，直线l 的斜率为 k = x 2 ，因为 k k = x 1 x 2 = -1，2 1 1 2 2 2 2 1 24所以 PA ⊥ PB ，即△PAB 为直角三角形.所以△PAB 的外接圆的圆心为线段 AB 中点，线段 AB 是直径，因为 AB = 4 (k 2 + 1) ， 所以当 k = 0 时线段 AB 最短，最短长度为 4，此时圆的面积最小，最小面积为 4π. 22.解：(1)依题意，知 f ( x ) 的定义域为(0, +∞) ， 当 a = b = 1 时， f ( x ) = ln x - 1 x 2 - 1x ，2 4 21 1 1 -( x + 2)(x - 1) f '( x ) = - x x - = ，2 2 2x 令 f '( x ) = 0 ，解得 x = 1 .(∵ x > 0 )因为 g ( x ) = 0 有唯一解，所以 g ( x 2 ) = 0 ，当0 < x < 1时， f '( x ) > 0 ，此时 f ( x ) 单调递增；当 x > 1 时， f '( x ) < 0 ，此时 f ( x ) 单调递减，所以 f ( x ) 的极大值为 f (1) = - 3，此即为最大值.4(2) F ( x ) = ln x + a， x ∈(0, 3] ，则有 k = F '(x ) = x 0 - a ≤ 1 ，在 x ∈(0, 3] 上恒成立，x 所以 a ≥ ⎛ - 1 x 2 + x ⎫， x ∈(0, 3] .0 20 0 2 0 0 ⎪ 0 ⎝ ⎭max当 x = 1 时， - 1 x 2 + x 取得最大值 1 ，所以 a ≥ 1.2 0 0 2 2x 2 + ( y - 1)2( ) ( )m(3) 因为方程 2mf (x ) = x 2有唯一实数解，所以 x 2 - 2m ln x - 2mx = 0 有唯一实数解，设 g ( x ) = x 2 - 2m ln x - 2mx ，2x 2 - 2mx - 2m则 g ' x = ，令 g ' x = 0 ，x 2 x- mx - m = 0 ，因为 m > 0 ， x > 0 ，所以 x 1 0 (舍去)， x 2 = 2，当 x ∈(0, x 2 ) 时， g '( x ) < 0 ， g ( x ) 在(0, x 2 ) 上单调递减； 当 x ∈( x 2 , +∞) 时， g '( x ) > 0 ， g ( x ) 在( x 2 , +∞) 上单调递增； 当 x = x 2 时， g '( x 2 ) = 0 ， g ( x ) 取最小值 g ( x 2 ) .⎧⎪g ( x 2 ) = 0 ⎧⎪x 2- 2m ln x - 2mx = 0 则⎨ ，即⎨ 2 2 2， ⎪g '( x ) = 0 ⎪x - mx - m = 0⎩ 2 ⎩ 2 2所以 2m ln x 2 + mx 2 - m = 0 ，因为 m > 0 ，所以 2 ln x 2 + x 2 -1 = 0 (*) 设函数 h ( x ) = 2 ln x + x - 1 ，因为当 x > 0 时， h ( x ) 是增函数，所以 h ( x ) = 0 至多有一解，因为 h (1) = 0 ，所以方程(*)的解为 x 2 = 1 ，即2= 1，解得 m = 1 .2 m。
河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试数学(理)试题(解析版)
2
x1 x2
AB
1 10 ，又因为 x1 x2 1 ，所以 x1 ， x2 3 。 3 3
2
x2 x1
2 x2 2 x1
2
4 7 ，选 B 3
【知识点、能力】设计变量，并找到变量间的等式关系，利用余弦定理解决
【题号】12 【答案】D 【解题思路】 设 x 0 时， f x x e
x 的值， 再利用 tan 2
A : f (2 x) cos 2 x sin 2 2 x cos x sin 2 x f x ，正确 B : f ( x) cos x sin 2 x cos x sin 2 x f x ，为奇函数，周期函数，正确
2 棱爬行至顶点 B ,最短路径有 C4 6 条, 它可以爬行的不同的最短路径有 10 6 60 条,
所以 B 选项是正确的. 【知识点、能力点】考查排列组合中的组合问题，并考查了分析解决问题的能力 【题号】5 【答案】B 【解题思路】通过将所给函数 f x 转化成两个函数之差，通过在一个坐标系下画出 x 2 和
V 125 3t 1 t 1 ， t
4000 1 时， Vmax ，选 B 27 3
【知识点、能力】空间想象能力，利用导数判断函数最值
【题号】11 【答案】B 【解题思路】 设 A x1 , 2 x1 ， B x2 , 2 x2 ， x2 x1 0 ， 因为 kQA kQB ,即
2
双曲线的一个焦点为 0, 2 ,
1 1 1 4, m m 3
双曲线的渐近线方程为 y 3x
所以 A 选项是正确的. 【知识点、能力点】考查抛物线的标准方程及几何性质、双曲线的标准方程及几何性质；并 考查了推理能力与计算能力.
2019届河北衡水中学高三上学期一调考试数学(理)试卷【含答案及解析】
2019届河北衡水中学高三上学期一调考试数学(理)试卷【含答案及解析】姓名 ____________ 班级 _______________ 分数 ____________题号-二二三总分得分、选择题4.已知命题•：：方程-…- 有两个实数根；命题 .■:函数'「「-一'的最小值为.给出下列命题：r①p M :②汕Q :③"F :④rpyy .1. , 0=｛耳卜|叱1｝，则 PI 0・A .1丄B .2.已知 I 为虚数单位，复数 满足,则日为(.珅D . <■如图, 3. 体的体积为网格纸上小正方形的边长为( )' ，粗线或虚线画出某几何体的三视图，该几何已知集合「二衣则其中真命题的个数为 ()?1A . •B .- C5. A 由曲线 —B,直线 1C .16D1及|轴所围成的图形的面积为6. AB C D 的图象的大致形状是11.设函数N- -■--,若方程根，则实数•的取值范围为（）|/(rf +f |/0 + l 二0有17个不同的、填空题8. 定义在IJ 上的函数 ：｛- J ■:厶（其中 A •C • （0- 4-x ） B （心）1丿（0.炖） I"「：满足；'I I .■■■ I ： I- ■，则不等式-为自然对数的底数）的解集为（）• （-oo t 0）U （3,+®）D9. ■ ■ ■ | 「 的最小值为 A • J ： B •: 满足:■-■ ： ■ ■ I r - I ，则)2^210. 已知 / (.1)= ，使得•丨…'「，则ii.i 的取值范围为 )A • C •D•2-4 1设曲线 「II - （「-为自然对数的底数）上任意一点处的切线为 上某点处的切线 人，使得£丄匚，则实数口的取值12. 总存在曲线.-[• _■：■：■■ 范围为（ ）A.- - B.（3严）C.D.13. 设脚，变量工，卩在约束条件y < na.下，目标函数二= T +的耳*T < 1最大值为■?，贝V 附= ____________ .14. 函数* = £ -川h在区间(0.3］上有两个零点，则啣的取值范围是__________________15. 已知函数’一- •在-，时有极值，则伏■-：二16. 定义在h'上的函数.I 满足：」｝1，当.I：时，y\x)<x，贝怀等式十x的解集为____________ .三、解答题17. 在「认中，丿，-,，，，分别为角，.1,1所对的边，且(7 _ 6 _ £■A 7 rrn; R rn*； C(1 )求角的大小；(2 )若'…疋的面积为-，求的值.18. 函数y I ■■:<1 -—：- 、(1 )当-时，求.丨的单调区间；(2 )若.一丨，一」，：，有；〔―Y ，求实数的取值范围.19. 在\ : A'中，角，.丿，匚的对边分别为，■・，•，且I 占知= 口(1 )求I：.的值；2 )若丿，丁，.成等差数列，且公差大于「，求；；:(的值.( 1已知函数■ I - - r I I （K ）•）若函数「| ,存在极大值和极小值，求-的取值范围;，使得_• 一，，求；的取值范围20.2）设 ， 分别为的极大值和极小值，若存在实数21.已知函数• 一（由; （（丫）= 记「||亠i ： ） - ，判断f 「 在区间I |内的零点个数并说明理 记一’「 在彳一 | 内的零点为•，,.I ： ' .'.i..!I ■；（:三It ）在I 一.内有两个不等实根-一，：（，若 ,-（片"、.），判断 「与2入的大小，并给出对应的证明22. 选修4-1 :几何证明选讲 如图，「丁是圆 的切线,于； 两点•是切点，.加，矿于兀，割线交圆•:,：四点共圆；D - J '，求，需窕的大小•23.选修4-4 :坐标系与参数方程 f — — 1 Q 4-（r 为参数），以坐标原点为极点，X已知直线的参数方程为 :的极坐标方程为|I把圆「的极坐标方程化为直角坐标方程； 将直线 向右平移 个单位，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 （ （所得直线一与圆匚相切，求 •本小题满分10分）选修4-5 : , -]\24. 已知函数：丨「|/不等式选讲( 1 (1 )若当_• I -时，恒有「I ■: 「，求■的最大值； (2 )若当，|：时，恒有-.I 一 ，求'的取值范围参考答案及解析第1题【答案】 A【解析】试畸析：由題删，"｛血宀｝ =｛卄弓,小卜口｝=叶15 , 鹅Fl p = ｛x[O<x<y ｝,故选葩第2题【答案】 b【解析】1-? 11/ — | 1+f V2试题分析；由瀬亀*乔而二牙布I 十 亍肓7°丁 '故选6第3题【答案】【解析】试题分析；由融竜得，棍搞给定的三视图可知.该几何依为如图所示的几何体」罡一个三棱锥与三棱柱的组葩其中三棱稚的体积为％斗号46 2",三棱柱时体耐今平二2心&,所b憩几何休前体积为r=iz,故选E. °第4题【答案】【解析】试题分析：由A = +4>0 ；所以方程十—2or—1“有两个实数昵所臥命題P是貢命题』当r<0时*函数/W=x + -的取11为员値，所以.命题可为假命砸，所汰叫，"% , rpQf是真席题，故选C.第5题【答案】【解析】试题分析：由万程组Z解得耳=1或"4 ,所臥所围咸的图形的面积为弘『［£-『2）规之衬斗宀2丁）卜芈、故选c・' 」丄3第6题【答案】第9题【答案】【解析】 试题分折；由题帝得」* £ T CQ sx =UW )=-_ cosr = -/(x) >所以因数F (x)为奇匣瞰丿團象关于原卓对'称,申滁S 项b C;令” 1 + e、则/⑴cosl =[ |<osl< 0 、故选B. / \l+e J第7题【答案】i【解析】试题分析；程序在运行过程中各銮重的值如下表示：fltJT^ijx = l (y = Us=2、第一次擔环'x = ly = 2^ = 3 $ 第二腐IS 环』^ = 2.y=?t j =5 § 第三 跖漕环，工二負丫二5匸二$ ；第四次循环，r = 5+v=S,r = B ；第五次猶环，x - S t y= 13,r =21 :第丸刘檢止循环，1W 寸输出结果工二半；故选0.■X S第8题【答案】 A【解析】分析：设gGO 二总丁(玄)一无文色说、则(门+J 八工)一才=叭才00+fS)-i]L 因为/(巧十fOl J 所^/(^)+r (x)-l >0 ,所以『(工)兀，所Wy=ff(x )罡单调递増 因为ey(x)>^+3 f ffKKg(x)>3 ,只因为^(0) = ^°/(C)-^ = 3 ;；所以耳>Q 7故选4------- -cos(-r)QO«X ,所以/(-x)=【解析】试题分析；因为实数 Ebe d 满足++(c~rf + 2)-0 丿所 £A—31ni7 = 0 设b-y,a-x , PlWv = 31n?r-x-由芒一才_2=0，设川= ¥C =T ,贝M 有;V = H *2 ,所以 (什汀十卩 石 就是ffi^v =31iiy-.v 3与直线+ 2之间的最小距高的平方值，对曲绒33> =31n.v-r v 2求导：/ = — 2丁与平行y = x + 2平行的切线斜率疋二1匸—2工»解得v = l 或xx离为£ = |1U+2| = ^ ,所ar =8 ,■V = ~^〔舍去)，把21代入r= Jlnr-x 2 ,解得F v = x + 2 的^第10题【答案】=T ,即切点(IT),则切f *)= /6J ,所以o <Xj<^ , E?ix+|在［0*上的最小值为|,2rl 在［+ 2)上的最小值<-、因为2/(Xj) = + ^-/(\)= /(^),所以诃(幵)・丙/印・卄!,令(2"—i丄1辺二丄)；所以F ■斗+ ：为开口向匕对称轴为2*上抛物绻所以V ■斗亠；在2 12 乃 4 2］区间［竺二rg)上1®，所以当土 = 孚丄时，y^r~^ ?当.r = i 时j y = l 即\gf (r 2)— 亠 J_ 2 2的取值范围是I 耳土甘,故选基【解析】试题分析！作出函数于(耳・的團熟 如圄所示，因为存在七一丐当刊匸韦王叮屯吕”所臥H2 2第11题【答案】【解析】试题分析，因再一我,所決广(工)=/ + 2“3 = 0 ,解得x--3..t = l ,由r(v)>0解得21或X—3 *即函数在(vTML+oo)上单调递堀由门口“解得T v Y1 ；即画数在(-3,1)上单调递涮，则的数的极大值为/(-3>= 9 ?函数的极小值为= 、根据国数的图象可知'设/(^) = ^ ,可知显-抑+"0 ,原方程有12不同的3h nil 7：r. =.-|-.VH-III -.. r'n：H:ltf ・详/( ：；•：】：：「■:心:•门I「-■- "辭7 jb J△ =t- -4>0< -2 ,所臥实数f的取值范IH为；故选C.第12题【答案】【解折】；得f （買）—「1 ,因为/ +1>1 .所以J —E （CH ）,由冒（町=加讣加曲,得 e rlg f （T ） = 3<J —2SLHX , X -25IILX £ [-2.2] f 所3a-2siar c [-2 *3CT . 2 + 3«] f 夢使过曲线/(x) = -e r -x 上任意一克的切绒4，总存在过曲线冒(V)今口+馱上一点处的切线厶,使得第13题【答案】 )M = 1 +【解析】y >工、试题分折：因为心，由约束条件*5…作出可讦域』如團所示，直线尸妣与更线x+ V<1L *耳交于(丄.二-)；目标函数娜 对应的直线与亶线T = ^r 垂直，且在勘4】w + ] (亠•亠)处取得最大值.由题意得可知匕出=2 、且"21 ,解得J M = 1+^ ■ m + 1 m + \ 也十 1-2+Srf<02 +站王11 2 解■得- ~ >故选D- 第14题【答案】I 叮【解析】试题分析:由题意得y = e r -wrr = 0 ?得m-— 、iS/(^)= —/F (JT )=-—="眄 °工x x~I -、可得八刃在区间(1⑶上单调递曙 在区间(0.1) ±单调阖右所以当“1时，得BS 小僮 同时也是最小值/⑴“，因为当x^O 时』/(x)->-h®，当£ = 3时j /(3)=y,所以更使得函数y = £ -y».v 在区间CO. J ］上肓两个零点，所以实数択的取值范围是e<;«<y */(.v) = .?+3,x- +3^+1』则/0=川*心+2丰2仗+1)50』囲数在尺单调递増，函数无极值 、所以用+打=】1・第16题【答案】£_1第15题【答案】11【解析】M 甌分析：因湖/(置匸疋+却用+粒+计，所以广(刃工3工讣血圧母刃，所以-1 + 3JJJ -H +切'二 03 -6w + ?7 = 0当OT = Ln=3时)函劉【解析】试题分朴因为定义在建上的函数/(“满足；拦,所臥两边求导』得-f (工)=2「所^f,(x) = f l(-x)^-2x ,令2 0 ,则一“0 ,因^3r<0 时』f〔計《,所以f卜司—拓，所以f, X/(0) = Q ,直线F"过原点，所以r(o)<o,所以都有f心血,令尸(幻■畑甘n-兀,则FO/S+fCl—刈一心十1—‘即％)是尺上的单哑减酗L且凤亠。
河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试数学(理)试题 Word版含答案
2018～2019学年度上学期高三年级三调考试数学(理)试卷Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}2210M x x x =--<，{}20N x x a =+>，U R =，若U M C N φ⋂=，则a 的取值范围是( ) A.1a >B.1a ≥C.1a <D.1a ≤2.若直线y kx =与双曲线22194x y -=相交，则k 的取值范围是( )A.20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B.2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭C.22,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D.22,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3.在ABC △中，3AB =，2AC =，12BD BC =，则AD BD ⋅=( ) A.52-B.52C.54-D.544.已知数列{}n a 的前n 项和为2n S n n =-，正项等比数列{}n b 中，23b a = ，()23142,n n n b b b n n N +-+=≥∈，则2log n b =( )A.1n -B.21n -C.2n -D.n5.已知直线10ax y +-=与圆()()22:11C x y a -++=相交于A ，B ，且ABC △为等腰直角三角形，则实数a 的值为( ) A.17或1- B.1- C.1 D.1或1-6.在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若2222014a b c +=，则()2tan tan tan tan tan A BC A B ⋅+的值为( ) A.2013B.1C.0D.20147.已知点()(),0M a b ab ≠是圆222:C x y r +=内一点，直线l 是以M 为中点的弦所在的直线，直线m 的方程为2bx ay r -=，那么( ) A.l m ⊥且m 与圆C 相切 B.l m ∥且m 与圆C 相切 C.l m ⊥且m 与圆C 相离D.l m ∥且m 与圆C 相离8.若圆22210x y ax y +-++=和圆221x y +=关于直线1y x =-对称，过点(),C a a -的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程是( )A.24480y x y -++=B.22220y x y +-+=C.24480y x y +-+=D.2210y x y --+=9.平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD AD ⋅=-，点M 在边CD 上，则MA MB ⋅的最大值为( )11C.0D.210.已知椭圆()222210,0x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α=∠，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆的离心率e 的取值范围是( )A.⎤⎥⎣⎦B.1⎤⎥⎣⎦C.⎣⎦D.⎣⎦11.已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足PA m PB =，当m 取最大值时，点P 恰好在以A ，B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )1 112.已知在R 上的函数()f x 满足如下条件：①函数()f x 的图象关于y 轴对称；②对于任意x R ∈，()()220f x f x +--=；③当[]0,2x ∈时，()f x x =；④函数()()()12n n f x f x -=⋅，*n N ∈，若过点()1,0-的直线l 与函数()()4f x 的图象在[]0,2x ∈上恰有8个交点，则直线l 斜率k 的取值范围是( ) A.80,11⎛⎫⎪⎝⎭B.110,8⎛⎫ ⎪⎝⎭C.80,19⎛⎫ ⎪⎝⎭D.190,8⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在ABC △中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，1b =，ABC △的面，则sin sin b cB C++的值为_______________. 14.已知平面上有四点,,,O A B C ，向量OA ，OB ，OC 满足：0OA OB OC ++=，1OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅=-，则ABC △的周长是_______________.15.已知1F 、2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π=∠，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为_______________.16.已知数列{}n a 的前n 项和122n n n S a +=-，若不等式()2235n n n a λ--<-对*n N ∀∈恒成立，则整数λ的最大值为________________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC △中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知向量33cos ,sin 22A A m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22A A n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且满足3m n +=.(1)求角A 的大小；(2)若b c +，试判断ABC △的形状.18.已知圆C 经过原点()0,0O 且与直线28y x =-相切于点()4,0P . (1)求圆C 的方程；(2)在圆C 上是否存在两个点M ，N 关于直线1y kx =-对称，且以线段MN 为直径的圆经过原点？若存在，写出直线MN 的方程；若不存在，请说明理由.19.各项均为正数的数列{}n a 中，11a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，对任意*n N ∈，有()222n n n S pa pa p p R =+-∈.(1)求常数p 的值；(2)求数列{}n a 的通项公式； (3)记423nn n S b n =⋅+，求数列{}n b 的前n 项和n T .20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率e =，原点到过点(),0A a ，()0,B b -的直线.(1)求椭圆C 的方程；(2)如果直线()10y kx k =+≠交椭圆C 于不同的两点,E F ，且,E F 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值.21.已知定点()0,1F ，定直线:1m y =-，动圆M 过点F ，且与直线m 相切.(1)求动圆M 的圆心轨迹C 的方程；(2)过点F 的直线与曲线C 相交于,A B 两点，分别过点,A B 作曲线C 的切线1l ，2l ，两条切线相交于点P ，求PAB △外接圆面积的最小值.22.设函数()21ln 2f x x ax bx =--.(1)当12a b ==时，求函数()f x 的最大值； (2)令()()212a F x f x ax bx x =++-，()03x <≤其图象上任意一点()00,P x y 处切线的斜率12k ≤恒成立，求实数a 的取值范围；(3)当0a =，1b =-，方程()22mf x x =有唯一实数解，求正数m 的值.2018～2019学年度上学期高三年级三调考试数学(理)试卷答案一、选择题1-5:BCCDD 6-10:ACCDB 11、12：CA 二、填空题13.2 14. 16.4 三、解答题17. 解：(1)∵()()2223m n m n ++⋅=，代入33cos ,sin 22A A m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22A A n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，有33112cos cos sin sin 32222A A A A ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，∴331cos cos sin sin 22222A A A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即31cos 222A A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴1cos 2A =，60A =°. (2)法一：∵1cos 2A =，∴222122b c a bc --=①又∵b c +=②联立①②有，222bc b c =+-，即222520b bc c --=，解得2b c =或2c b =，又∵b c -，若2b c =，则a =，∴)2222224a c c c b +=-==，ABC △为直角三角形，同理，若2c b =，则ABC △也为直角三角形.18.(1)由已知，得圆心在经过点()4,0P 且与28y x =-垂直的直线122y x =-+上，它又在线段OP 的中垂线2x =上，所以求得圆心()2,1C .所以圆C 的方程为：()()22215x y -+-=.(2)假设存在两点,M N 关于直线1y kx =-对称，则1y kx =-通过圆心()2,1C ，求得1k =， 所以设直线MN 为y x b =-+，代入圆的方程得()2222220x b x b b -++-=， 设()11,M x x b -+，()22,N x x b -+，则()121222230OM ON x x b x x b b b ⋅=-++=-=， 解得0b =或3b =，这时0∆>，符合题意，所以存在直线MN 为y x =-或3y x =-+符合条件.19.解：(1)由11a =及()2*22n n n S pa pa p n N =+-∈，得：22p p p =+-，∴1p =.(2)由2221n n n S a a =+-①，得2111221n n n S a a +++=+-②由②－①，得()()2211122n n n n n a a a a a +++=-+-，即：()()()11120n n n n n n a a a a a a ++++--+=， ∴()()112210n n n n a a a a +++--=，由于数列{}n a 各项均为正数，∴1221n n a a +-=，即112n n a a +-=， ∴数列{}n a 是首项为1，公差为12的等差数列， ∴数列{}n a 的通项公式是()111122n n a n +=+-⨯=. (3)由12n n a +=，得：()34n n n S +=，∴4223n n n n S b n n =⋅=⋅+，∴231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⋅…()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯…，()()2311121222222212212n n n n n n T n n n +++--=++++-⋅=-⨯=--⋅--…()1122n n T n +=-⋅+.20.解：(1)因为c a =，222a b c -=，所以2a b =，因为原点到直线:1x yAB a b -=的距离d ==，解得4a =，2b =， 故所求椭圆C 的方程为221164x y +=.(2)由题意2211164y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()22148120k x kx ++-=，可知0∆>，设()22,E x y ，()33,F x y ，EF 的中点是(),M M M x y ，则2324214M x x kx k +-==+，21114M M y kx k =+=+，所以21M BM M y k x k +==-，所以20M M x ky k ++=，即224201414k k k k k -++=++，又因为0k ≠，所以218k =，所以k =21.解：(1)设点M 到直线l 的距离为d ，依题意2M d =，设(),M x y ，则有1y +，化简得24x y =.所以点M 的轨迹C 的方程为24x y =.(2)设:1AB l y kx =+，代入24x y =中，得2440x kx --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，124x x ⋅=-，所以()21241AB x x k -=+，因为2:4C x y =，即24x y =，所以2xy =，所以直线1l 的斜率为112x k =，直线2l 的斜率为222x k =，因为121214x x k k ==-，所以PA PB ⊥，即PAB △为直角三角形.所以PAB △的外接圆的圆心为线段AB 中点，线段AB 是直径，因为()241AB k =+， 所以当0k =时线段AB 最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π. 22.解：(1)依题意，知()f x 的定义域为()0,+∞， 当12a b ==时，()211ln 42f x x x x =--， ()()()21111'222x x f x x x x-+-=--=， 令()'0f x =，解得1x =.(∵0x >)因为 ()0g x =有唯一解，所以()20g x =，当01x <<时，()'0f x >，此时()f x 单调递增； 当1x >时，()'0f x <，此时()f x 单调递减，所以()f x 的极大值为()314f =-，此即为最大值.(2)()ln aF x x x =+，(]0,3x ∈，则有()00201'2x a k F x x -==≤，在(]00,3x ∈上恒成立，所以200max12a x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭，(]00,3x ∈. 当01x =时，20012x x -+取得最大值12，所以12a ≥.(3)因为方程()22mf x x =有唯一实数解， 所以22ln 20x m x mx --=有唯一实数解， 设()22ln 2g x x m x mx =--，则()2222'x mx mg x x--=，令()'0g x =，20x mx m --=，因为0m >，0x >，所以10x =<(舍去)，2x =当()20,x x ∈时，()'0g x <，()g x 在()20,x 上单调递减； 当()2,x x ∈+∞时，()'0g x >，()g x 在()2,x +∞上单调递增； 当2x x =时，()2'0g x =，()g x 取最小值()2g x .则()()220'0g x g x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即22222222ln 200x m x mx x mx m ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，所以222ln 0m x mx m +-=，因为0m >，所以222ln 10x x +-=(*) 设函数()2ln 1h x x x =+-，因为当0x >时， ()h x 是增函数，所以()0h x =至多有一解，因为()10h =，所以方程(*)的解为21x =1=，解得12m =.。
河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试数学(理)试题含答案
12019届河北省衡水中学高三上学期三调考试数学（理）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题1．集合 ， ， ，若 ，则 的取值范围是A ．B ．C ．D ． 2．若直线 与双曲线相交，则 的取值范围是A ．B ．C ．D ．3．在 中， ， ， ，则 A ．B ．C ．D ．4．已知数列 的前 项和为 ，正项等比数列 中， ，，则A ．B ．C ．D ．5．已知直线 与圆 相交于 ， ，且 为等腰直角三角形，则实数 的值为A ．或 B ． C ． D ． 1或6．在 中， 分别是角 的对边，若 ，则的值为 A ． B ． 1 C ． 0 D ． 20147．已知点 是圆 内一点，直线 是以 为中点的弦所在的直线，直线 的方程为 ，那么A ． 且 与圆 相切B ． 且 与圆 相切C ． 且 与圆 相离D ． 且 与圆 相离8．若圆 和圆 关于直线 对称，过点 的圆 与 轴相切，则圆心 的轨迹方程是A ．B ．C ．D ．9．平行四边形 中， ， ，点 在边 上，则 的最大值为A ．B ．C ． 0D ． 2 10．已知椭圆上一点 关于原点的对称点为 ， 为其右焦点，若 ，设 ，且，则该椭圆的离心率 的取值范围是A ．B ．C ．D ．11．已知点 是抛物线 的对称轴与准线的交点，点 为抛物线的焦点， 在抛物线上且满足 ，当 取最大值时，点 恰好在以 ， 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为A ．B ．C ．D ．12．已知在 上的函数 满足如下条件：①函数 的图象关于 轴对称；②对于任意 ， ；③当 时， ；④函数 ， ，若过点 的直线 与函数 的图象在 上恰有8个交点，则直线 斜率 的取值范围是A ．B ．C ．D ．二、填空题13．在 中， 分别是角 的对边，已知， ， 的面积为，则的值为_______________.14．已知平面上有四点 ，向量 ， ， 满足： ， ，则 的周长是_______________.15．已知 、 是椭圆和双曲线的公共焦点， 是他们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为_______________.此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号216．已知数列 的前 项和 ，若不等式 对 恒成立，则整数 的最大值为________________.三、解答题17．在 中，角 的对边分别是 ，已知向量，，且满足 .(1)求角 的大小；(2)若 ，试判断 的形状.18．已知圆 经过原点 且与直线 相切于点 （Ⅰ）求圆 的方程；（Ⅱ）在圆 上是否存在两点 关于直线 对称，且以线段 为直径的圆经过原点？若存在,写出直线 的方程；若不存在，请说明理由19．各项均为正数的数列 中， ， 是数列 的前 项和，对任意 ，有.(1)求常数 的值；(2)求数列 的通项公式；(3)记，求数列 的前 项和 .20．已知椭圆的离心率，原点到过点 ， 的直线的距离是. (1)求椭圆 的方程；(2)如果直线 交椭圆 于不同的两点 ，且 都在以 为圆心的圆上，求 的值.21．已知定点()0,1F ，定直线l ： 1y =-，动圆M 过点F ，且与直线l 相切. （Ⅰ）求动圆M 的圆心轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线与曲线C 相交于A ， B 两点，分别过点A ， B 作曲线C 的切线1l ， 2l ，两条切线相交于点P ，求PAB 外接圆面积的最小值.22．设函数. (1)当时，求函数 的最大值；(2)令 ， 其图象上任意一点 处切线的斜率恒成立，求实数 的取值范围；(3)当 ， ，方程 有唯一实数解，求正数 的值.2019届河北省衡水中学高三上学期三调考试数学（理）试题数学 答 案参考答案 1．B 【分析】先化简集合M 、N,再求 ，再根据 得到a 的不等式，即得解. 【详解】由题得 -，， 因为 ，所以.故答案为：B 【点睛】(1)本题主要考查集合的化简运算，考查集合的关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题时要注意取等的问题，最好把等号带进原题检验.2．C 【分析】联立直线和双曲线的方程得到，即得 的取值范围. 【详解】联立直线和双曲线的方程得 （ -当 时，，直线和双曲线的渐近线重合，所以直线与双曲线没有公共点. 当 时，，，解之得. 故答案为：C 【点睛】本题主要考查直线和双曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.3．C【分析】如图所示，由==，可得，代入即可得出．【详解】如图所示，∵==，∴，∴•===﹣．故答案为：【点睛】本题考查了向量的平行四边形法则、数量积运算性质，考查了计算能力，属于基础题．4．D【分析】数列{a n}的前n项和S n=n2﹣n，a1=S1=0，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，可得a n．设正项等比数列{b n}的公比为q＞0，b2=a3=4．b n+3b n﹣1=4b n2（n≥2，n∈N+），化为q2=4，解得q，可得b n．【详解】数列{a n}的前n项和S n=n2﹣n，∴a1=S1=0，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣2，n=1时也成立．∴a n=2n﹣2．设正项等比数列{b n}的公比为q＞0，b2=a3=4．b n+3b n﹣1=4b n2（n≥2，n∈N+），∴=4，化为q2=4，解得q=2．∴b1×2=4，解得b1=2．∴b n=2n．则log2b n=n．故答案为：D【点睛】(1)本题主要考查数列通项的求法，考查等比数列通项的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 若在已知数列中存在：或的关系，可以利用项和公式，求数列的通项.5．D【分析】由三角形ABC为等腰直角三角形，得到圆心C到直线的距离d=rsin45°，利用点到直线的距离公式列出方程，求出方程的解即可得到a的值．【详解】∵由题意得到ABC为等腰直角三角形，∴圆心C（1，﹣a）到直线ax+y﹣1=0的距离d=rsin45°，即=，整理得：1+a2=2，即a2=1，解得：a=﹣1或1，故答案为：D【点睛】此题考查了直角与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，圆的标准方程，等腰直角三角形的性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．6．A【分析】由a2+b2=2014c2，利用余弦定理可得a2+b2﹣c2=2013c2=2abcosC．利用三角函数基本关系式和两角和的正弦公式、正弦定理可得===即可得出．【详解】∵a2+b2=2014c2，∴a2+b2﹣c2=2013c2=2abcosC．∴====2013．故答案为：A3【点睛】本题考查了三角函数基本关系式和两角和的正弦公式、正弦定理、余弦定理等基础知识与基本技能方法，属于难题．7．C【分析】求圆心到直线的距离，然后与a2+b2＜r2比较，可以判断直线与圆的位置关系，易得两直线的关系．【详解】以点M为中点的弦所在的直线的斜率是﹣，直线m的斜率为，∴直线l⊥m，∵点M（a，b）是圆x2+y2=r2内一点，∴a2+b2＜r2，∴圆心到bx﹣ay=r2的距离是＞r，故相离．故答案为：C【点睛】本题主要考查直线的位置关系，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.8．C【分析】求出两个圆的圆心坐标，两个半径，利用两个圆关于直线的对称知识，求出a的值，然后求出过点C（﹣a，a）的圆P与y轴相切，就是圆心到C的距离等于圆心到y轴的距离，即可求出圆心P的轨迹方程．【详解】圆x2+y2﹣ax+2y+1=0的圆心（，），因为圆x2+y2﹣ax+2y+1=0与圆x2+y2=1关于直线y=x﹣1对称，设圆心（，）和（0,0）的中点为（，），所以（，）满足直线y=x﹣1方程，解得a=2，过点C（﹣2，2）的圆P与y轴相切，圆心P的坐标为（x，y）所以解得：y2+4x﹣4y+8=0，所以圆心的轨迹方程是y2+4x﹣4y+8=0，故答案为：C【点睛】（1）本题主要考查圆关于直线的对称问题，考查动点的轨迹方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求轨迹方程的四种主要方法：①待定系数法：通过对已知条件的分析，发现动点满足某个曲线（圆、圆锥曲线）的定义，然后设出曲线的方程，求出其中的待定系数，从而得到动点的轨迹方程.②代入法：如果点的运动是由于点的运动引起的，可以先用点的坐标表示点的坐标，然后代入点满足的方程，即得动点的轨迹方程.③直接法：直接把已知的方程和条件化简即得动点的轨迹方程.④参数法：动点的运动主要是由于某个参数的变化引起的，可以选参、设参，然后用这个参数表示动点的坐标，即，再消参.9．D【分析】根据向量的数量积的运算，求出A=120°，再建立坐标系，得到•=x（x﹣2）+=x2﹣2x+=（x﹣1）2﹣，设f（x）=（x﹣1）2﹣，利用函数的单调性求出函数的最值，问题得以解决．【详解】∵平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，•=﹣1，点M在边CD上，∴| • •cos∠A=﹣1，∴cosA=﹣，∴A=120°，以A为原点，以AB所在的直线为x轴，以AB的垂线为y轴，建立如图所示的坐标系，∴A（0，0），B（2，0），D（﹣，），设M（x，），则﹣≤x≤，∴=（﹣x，﹣），=（2﹣x，﹣），∴•=x（x﹣2）+=x2﹣2x+=（x﹣1）2﹣，设f（x）=（x﹣1）2﹣，则f（x）在[﹣，1）上单调递减，在[1，]上单调递增，∴f（x）min=f（1）=﹣，f（x）max=f（﹣）=2，则•的最大值是2，45故答案为：D【点睛】本题考查了向量的数量积定义和向量数量积的坐标表示和函数的最值问题，关键是建立坐标系，属于中档题．10．B 【分析】 椭圆=1（a ＞b ＞0）焦点在x 轴上，四边形AFF 1B 为长方形．根据椭圆的定义：|AF|+|AF 1|=2a ，∠ABF=α，则∠AF 1F=α．椭圆的离心率e===，α∈[，]， ≤sin （α+ ）≤1，≤≤ ﹣1，即可求得椭圆离心率e 的取值范围．【详解】 椭圆=1（a ＞b ＞0）焦点在x 轴上，椭圆上点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，设左焦点为F 1，连接AF ，AF 1，BF ， BF 1，∴四边形AFF 1B 为长方形． 根据椭圆的定义：|AF|+|AF 1|=2a ， ∠ABF=α，则：∠AF 1F=α． ∴2a=2ccosα+2csinα 椭圆的离心率e= ==，α∈[，]，∴ ≤α+ ≤， 则：≤sin （α+）≤1， ∴≤≤ ﹣1，∴椭圆离心率e 的取值范围：， ，故答案为：【点睛】本题考查椭圆的定义，三角函数关系式的恒等变换，利用定义域求三角函数的值域，离 心率公式的应用，属于中档题型．(2) 求离心率的取值范围常用的方法有以下三种：①利用圆锥曲线的变量的范围，建立不等关系；②直接根据已知中的不等关系，建立关于离心率的不等式；③利用函数的思想分析解答.11．C【分析】过P 作准线的垂线，垂足为N ，则由抛物线的定义，结合|PA|=m|PB|，可得 =，设PA 的倾斜角为α，则当m 取得最大值时，sinα最小，此时直线PA 与抛物线相切，求出P 的坐标，利用双曲线的定义，即可得出结论．【详解】过P 作准线的垂线，垂足为N ，则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|， ∵|PA|=m|PB|，∴|PA|=m|PN|,∴ =， 设PA 的倾斜角为α，则sinα= ，当m 取得最大值时，sinα最小，此时直线PA 与抛物线相切， 设直线PA 的方程为y=kx ﹣1，代入x 2=4y ，可得x 2=4（kx ﹣1），即x 2﹣4kx+4=0，∴△=16k 2﹣16=0，∴k=±1， ∴P （2，1），∴双曲线的实轴长为PA ﹣PB=2（ 1）， ∴双曲线的离心率为=+1．故答案为：C【点睛】本题考查抛物线的性质，考查双曲线、抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，是解题的关键．(2) 圆锥曲线的离心率常见的有两种方法：公式法和方程法.12．A【分析】根据条件分别判断函数的周期性，奇偶性以及函数在一个周期上的图象，利用函数与图象之间的关系，利用数形结合进行求解即可．【详解】∵函数f（x）的图象关于y轴对称，∴函数f（x）是偶函数，由f（2+x）﹣f（2﹣x）=0得f（2+x）=f（2﹣x）=f（x﹣2），即f（x+4）=f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，若x∈[﹣2，0]，则x∈[0，2]，∵当x∈[0，2]时，f（x）=x，∴当﹣x∈[0，2]时，f（﹣x）=﹣x，∵函数f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=﹣x=f（x），即f（x）=﹣x，x∈[﹣2，0]，则函数f（x）在一个周期[﹣2，2]上的表达式为f（x）=＜，∵f（n）（x）=f（2n﹣1•x），n∈N*，∴数f（4）（x）=f（23•x）=f（8x），n∈N*，故f（4）（x）的周期为，其图象可由f（x）的图象压缩为原来的得到，作出f（4）（x）的图象如图：易知过M（﹣1，0）的斜率存在，设过点（﹣1，0）的直线l的方程为y=k（x+1），设h（x）=k（x+1），则要使f（4）（x）的图象在[0，2]上恰有8个交点，则0＜k＜k MA，∵A（，0），∴k MA==，故0＜k＜，故选：A．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件判断函数的性质，结合数形结合是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．(2)函数零点问题的处理常用的有方程法、图像法、方程+图像法.13．2【分析】根据解出A=，利用三角形的面积公式算出c=2．根据余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA的式子算出c=，最后利用正弦定理加以计算，即可得到答案．【详解】∵，A∈（0，π）∴2A+=，可得A=∵b=1，ABC的面积为，∴S=bcsinA=，即，解之得c=2由余弦定理，得a2=b2+c2﹣2bccosA=1+4﹣2×=36∴a=（舍负）根据正弦定理，得===2故答案为：2【点睛】本题着重考查了特殊角的三角函数值、三角形的面积公式、正余弦定理解三角形等知识，属于中档题．14．【分析】先判断三角形为正三角形，再根据正弦定理，问题得以解决．【详解】平面上有四点O，A，B，C，满足++=，∴O是ABC的重心，∵•=•，∴•（﹣）=•=0，即：⊥，同理可得：⊥，⊥，即O是垂心，故ABC是正三角形，∵•=•=•=﹣1，令外接圆半径R，则：R2cos（∠AOB）=R2cos（）=﹣1即：R=即：==2R=2，即：a=，故周长：3a=3，故答案为：【点睛】本题考查了平面向量的有关知识以及正弦定理解三角形等有关知识，属于中档题．15．【分析】设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2,由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①在椭圆中，①化简为即4c2=4a2﹣3r1r2…②，在双曲线中，化简为即4c2=4a12+r1r2…③，所以，再利用柯西不等式求椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值.【详解】设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2,∵∠F1PF2=，则∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①在椭圆中，①化简为即4c2=4a2﹣3r1r2…②，在双曲线中，①化简为即4c2=4a12+r1r2…③，所以，由柯西不等式得（1+）（）≥（）2所以故答案为：【点睛】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．属于难题．16．4【分析】由数列递推式求得首项，然后构造出等差数列{}，求出通项后代入不等式2n2﹣n﹣3＜（5﹣λ）a n，整理后得到5﹣λ＞．然后根据数列的单调性求得最值得答案．【详解】当n=1时，，得a1=4；当n≥2时，，两式相减得，得，7∴．又，∴数列{}是以2为首项，1为公差的等差数列，，即．∵a n＞0，∴不等式2n2﹣n﹣3＜（5﹣λ）a n，等价于5﹣λ＞．记，n≥2时，．∴n≥3时，＜，．∴5﹣λ＞，即＜，∴整数λ的最大值为4．故答案为:4【点睛】本题考查了数列通项的求法，考查了等差关系的确定，考查了数列的函数特性，考查了不等式的恒成立问题，是中档题．(2)解答本题的关键有两点,其一是根据求数列的通项,其二是求的最大值.17．（1）（2）直角三角形【分析】(1)直接化简得，.（2）联立①，②，化简得或，当b=2c时，可以推理得到为直角三角形，同理，若，则也为直角三角形.【详解】(1)∵，代入，，有，∴，即，∴，.(2)∵，∴①又∵②联立①②有，，即，解得或，又∵，若，则，∴，为直角三角形，同理，若，则也为直角三角形.【点睛】（1）本题主要考查三角恒等变换，考查余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解题的关键是推理得到或.18．（Ⅰ）.（Ⅱ）见解+析.【分析】（Ⅰ）由已知得圆心经过点P（4，0）、且与y=2x﹣8垂直的直线上，它又在线段OP的中垂线x=2上，求得圆心C（2，1），半径为C的方程．（Ⅱ）假设存在两点M，N关于直线y=kx﹣1对称，则y=kx﹣1通过圆心C（2，1），求得k=1，设直线MN为y=﹣x+b，代入圆的方程，利用韦达定理及•=0，求得b的值，可得结论．【详解】（Ⅰ）法一：由已知，得圆心在经过点且与垂直的直线上，它又在线段的中垂线上，所以求得圆心，半径为所以圆的方程为.(细则：法一中圆心3分，半径1分，方程2分)法二：设圆的方程为，可得解得,所以圆的方程为(细则：方程组中一个方程1分)（Ⅱ）假设存在两点关于直线对称，则通过圆心，求得，所以设直线为代入圆的方程得，设，，则解得或8这时，符合题意，所以存在直线为或符合条件(细则：未判断的扣1分).【点睛】本题主要考查了圆锥曲线的综合应用问题，其中解答中涉及到圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，直线与圆的位置关系的应用，向量的坐标运算等知识点的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中把直线的方程和椭圆方程联立，转化为方程的根与系数的关系、韦达定理的应用是解答问题的关键19．（1）（2）（3）【分析】(1)令中n=1即得p的值.(2)利用项和公式求数列的通项公式.(3)先求出，再利用错位相减法求数列的前项和.【详解】解：(1)由及，得：，∴.(2)由①，得②由②－①，得，即：，∴，由于数列各项均为正数，∴，即，∴数列是首项为1，公差为的等差数列，∴数列的通项公式是.(3)由，得：，∴，∴，.【点睛】（1）本题主要考查项和公式求数列的通项，考查等差数列的通项和求和公式，考查错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 数列，其中是等差数列，是等比数列，则采用错位相减法.20．（1）（2）【分析】(1)由题得到a,b的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程.(2)联立直线和椭圆的方程消去y得到，可知，设，，的中点是，求出M 的坐标，再根据求出k的值.【详解】解：(1)因为，，所以，因为原点到直线的距离，解得，，故所求椭圆的方程为.(2)由题意消去，整理得，可知，设，，的中点是，则，，所以，所以，即，又因为，所以，所以.【点睛】(1)本题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)解答本题的关键是利用韦达定理求出点M的坐标，根据已知得到.21．（Ⅰ）24x y=；（Ⅱ）当0k=时线段AB最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π.试题分析：（Ⅰ）设(),M x y，（Ⅱ）由题意PAB的外接圆直径是线段AB，设ABl：1y kx=+，与24x y=联立得2440x kx--=，从而得k=时线段AB最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π.试题详细分析：（Ⅰ）设点M到直线l的距离为d，依题意910设(),M x y ，则有化简得24x y =.所以点M 的轨迹C 的方程为24x y =. （Ⅱ）设AB l ： 1y kx =+， 代入24x y =中，得2440x kx --=. 设()11,A x y ， ()22,B x y ， 则124x x k +=， 124x x ⋅=-.因为C ： 24x y =，即，直线2l 的斜率为所以PA PB ⊥，即PAB 为直角三角形.所以PAB 的外接圆的圆心为线段AB 的中点，线段AB 是直径.所以当0k =时线段AB 最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π.【方法点晴】本题主要考查直接法求轨迹方程、点到直线的距离公式及三角形面积公式，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标(),x y ，根据题意列出关于,x y 的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把,x y 分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将()()00{x g x y h x ==代入()00,0f x y =.本题（Ⅰ）就是利用方法①求圆心轨迹方程的.22．（1）（2）（3）【分析】(1)利用导数求函数的单调区间即得函数的最大值.(2)由题得， .再求右边二次函数的最大值即得.(3)转化为 有唯一实数解，设 ，再研究函数在定义域内有唯一的零点得解.【详解】(1)依题意，知 的定义域为 ， 当时，，，令 ，解得 .(∵ )因为 有唯一解，所以 ，当 时， ，此时 单调递增； 当 时， ，此时 单调递减， 所以 的极大值为，此即为最大值.(2)， ，则有，在 上恒成立，所以， .当 时，取得最大值 ，所以.(3)因为方程 有唯一实数解， 所以 有唯一实数解， 设 ， 则，令 ， ，因为 ， ，所以(舍去)，，当 时， ， 在 上单调递减； 当 时， ， 在 上单调递增； 当 时， ， 取最小值 .则 ，即， 所以 ，因为 ，所以 (*) 设函数 ，因为当 时， 是增函数，所以 至多有一解， 因为 ，所以方程(*)的解为 ，即，解得.【点睛】(1)本题主要考查利用导数求函数的最值，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，考查利用导数研究函数的零点，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)研究函数的零点问题常用的有方程法、图像法、方程+图像法.11。
河北衡水中学2019届全国高三年级三调考试
河北衡水中学2019 届全国高三年级三调考试理科数学本试卷 4 页，23 小题，满分150 分。
考试时间120 分钟。
注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置。
2. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
3. 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上。
4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 个小题, 每小题5 分, 共60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合M x 2x2 x 1 0 ，N x 2x a 0 ，U R ，若M C N ，则a 的取值U范围是( )A. a 1B. a 1C. a 1D. a 12. 若直线y kx 与双曲线2 2x y9 41相交，则k 的取值范围是( )A. 0, 23B.23,0 C.2 2,3 3D.2 2, ,3 33. 在△ABC 中，AB 3 ，AC 2 ， 14. BD BC ，则AD BD ( )2A. 52B.52C.54D.545. 已知数列 a 的前n项和为n2S n n ，正项等比数列b n 中，b2 a3 ，n2b 3b 1 4b n 2,n N ，则log2 b n ( )n n nA. n 1B. 2n 1C. n 2D. n15.已知直线ax y 1 0 与圆 2 2C : x 1 y a 1 相交于 A ，B，且△ABC 为等腰直角三角形，则实数a的值为( )A. 17 或1 B. 1 C. 1 D.1 或 16.在ABC 中，a, b, c 分别是角A,B,C 的对边，若 2 2 2014 2a b c ，则2tan A tan Btan C tan A tan B的值为( )A. 2013B.1C.0D.20147.已知点M a,b ab 0 是圆 2 2 2C : x y r 内一点，直线l 是以M 为中点的弦所在的直线，直线m 的方程为 2bx ay r ，那么( )A. l m 且m 与圆C 相切B. l ∥m且m 与圆C 相切C. l m 且m 与圆C 相离D. l ∥m且m 与圆C 相离8.若圆 2 2 2 1 0x y ax y 和圆2 2 1x y 关于直线y x 1 对称，过点 C a, a 的圆P与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程是( )A. 2 4 4 8 0y x y B.2 2 2 2 0 y x yC. 2 4 4 8 0y x y D.2 2 1 0 y x y9.平行四边形ABCD 中，AB 2 ，AD AD 1，点M 在边CD 上，则MA MB 的最大值为( )A. 2 1B. 3 1C.0D.210.已知椭圆2 2x y2 2 1 a 0,b 0a b上一点 A 关于原点的对称点为B，F 为其右焦点，若AF BF ，设∠ABF ，且,6 4 ，则该椭圆的离心率e的取值范围是( )A.22 ,1 B.22, 3 1 C.2 3,2 2D.3 6,3 311.已知点A是抛物线 2 4x y 的对称轴与准线的交点，点 B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足PA m PB ，当m 取最大值时，点P 恰好在以 A ，B 为焦点的双曲线上，则双曲2线的离心率为( )A. 5 12B.2 12C. 2 1D. 5 112.已知在R上的函数 f x 满足如下条件：①函数 f x 的图象关于y 轴对称；②对于任意x R ，f 2 x f 2 x 0 ；③当x 0,2 时， f x x ；④函数n 1f x f 2 x ，n*n N ，若过点1,0 的直线l 与函数f x 的图象在x 0,2 上恰有8 个交点，则直线l 斜4率k 的取值范围是( )A.80,11B.1180,C.80,19D.1980,二、填空题（每题 5 分，满分20 分，将答案填在答题纸上）13.在△ABC 中，a,b, c 分别是角A, B,C 的对边，已知1sin 2A ，b 1 ，△ABC 的6 2面积为32，则b csin B sin C的值为_______________.14.已知平面上有四点O, A, B,C ，向量OA，OB ，OC 满足：OA OB OC 0 ，OA OB OB OC OC OA 1，则△ABC 的周长是_______________.15.已知F、F2 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且 1 2∠F PF ，则13椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为_______________.16.已知数列 a 的前n 项和nn 1S 2a 2 ，若不等式n n22n n 3 5 a n 对*n N 恒成立，则整数的最大值为________________.三、解答题（本大题共 6 小题，共70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）17.在△ABC 中，角A, B,C 的对边分别是a,b, c ，已知向量3A 3Am cos ,sin ，2 2A An cos ,sin ，且满足m n 3 .2 2(1) 求角A的大小；(2) 若 b c 3a ，试判断△ABC 的形状.318.已知圆 C 经过原点O 0,0 且与直线y 2x 8 相切于点P 4,0 .(1) 求圆C 的方程；(2) 在圆C 上是否存在两个点M ，N 关于直线y kx 1对称，且以线段MN 为直径的圆经过原点？若存在，写出直线MN 的方程；若不存在，请说明理由.19.各项均为正数的数列a中，a1 1，S n 是数列a n 的前n 项和，对任意n*n N ，有22S n 2 pa n pa n p p R .(1) 求常数p 的值；(2) 求数列a的通项公式；n(3) 记 bn 4Snn 3n2 ，求数列b n 的前n 项和T n .20.已知椭圆2 2x yC : 1 a b 02 2a b的离心率3e ，原点到过点 A a,0 ，B 0, b 的直2线的距离是4 5 5.(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 如果直线y kx 1 k 0 交椭圆 C 于不同的两点E, F ，且E,F 都在以 B 为圆心的圆上，求k 的值.21.已知定点 F 0,1 ，定直线m : y 1 ，动圆M 过点F ，且与直线m 相切.(1) 求动圆M 的圆心轨迹 C 的方程；(2) 过点F 的直线与曲线 C 相交于A, B 两点，分别过点A, B 作曲线 C 的切线l1 ，l2 ，两条切线相交于点P ，求△PAB 外接圆面积的最小值.22.设函数12f x ln x ax bx .2(1) 当1a b 时，求函数 f x 的最大值；2(2) 令12F x f x ax bx2ax，0 x 3 其图象上任意一点P x0 , y0 处切线的斜率1k 恒成立，求实数 a 的取值范围；24(3) 当a 0 ，b 1 ，方程 22mf x x 有唯一实数解，求正数m 的值.2018～2019 学年度上学期高三年级三调考试数学( 理) 试卷答案一、选择题1-5:BCCDD 6-10:ACCDB 11 、12：CA二、填空题23.14. 3 6 15. 4 336.三、解答题17. 解：(1) ∵2 2m n 2m n 3 ，代入3A 3A A Am cos ,sin ，n cos ,sin ，有2 2 2 23A A 3A A1 12 cos cos sin sin 32 2 2 2，∴3A A 3A A 1cos cos sin sin2 2 2 2 2，即cos3A A 12 2 2，∴cos1A ，A 60°.2(2) 法一：∵cos 1A ，∴22 2 2 1b c a2bc 2①又∵b c 3a ②联立①②有，2b c2 2bc b c ，即32 22b 5bc 2c 0 ，解得b 2c 或 c 2b ，又∵ b c 3a ，若b 2c ，则a 3c，∴22 23 24 2 2a c c c cb ，△ABC 为直角三角形，同理，若c 2b ，则△ABC 也为直角三角形.18.(1) 由已知，得圆心在经过点P 4,0 且与y 2x 8 垂直的直线1y x 2 上，它又在线2段OP 的中垂线x 2 上，所以求得圆心 C 2,1 ，半径为 5 .所以圆 C 的方程为： 2 2x 2 y 1 5 .(2) 假设存在两点M , N 关于直线y kx 1对称，则y kx 1 通过圆心 C 2,1 ，求得k 1 ，所以设直线MN 为y x b ，代入圆的方程得 2 22x 2b 2 x b 2b 0 ，5设M x1, x1 b ，N x2, x2 b ，则O M ON 2x1x2 b x1 x2 b2 b2 3b 0 ，解得b 0 或b 3 ，这时0，符合题意，所以存在直线MN 为y x 或y x 3 符合条件.24.解：(1) 由a1 1及2 *2S n 2 pa n pa n p n N ，得：2 2 p p p ，∴p 1 .(2) 由 22S n 2a n a n 1①，得22S n 2a n a n 1 ②1 1 1由②－①，得 2 22a 2 a a a a ，n 1 n 1 n n 1 n 即：2a n a n a n a n a n a n 0 ，1 1 1∴a n 1 a n 2a n 1 2a n 1 0 ，由于数列1 a 各项均为正数，∴2a n 1 2a n 1 ，即a 1 a ，n n n2∴数列 a 是首项为1，公差为n 12的等差数列，∴数列 a 的通项公式是n1 n 1a 1 n 1 . n2 2(3) 由 1na ，得：n2n n 3S ，∴n44Sn n nb 2 n 2nn 3，∴ 2 3T 1 2 2 2 3 2 ⋯n2nn2 3 n n 12T 1 2 2 2 ⋯n 1 2 n 2 ，nn2 3 1 2 1 2 1 1n n n nT 2 2 2 ⋯ 2 n 2 n 2 n 1 2 2 n1 2n 1T n 1 2 2 .n25.解：(1) 因为ca32， 2 2 2a b c ，所以 a 2b ，x y因为原点到直线: 1AB的距离dab2 2a b4 55，解得 a 4 ，b 2 ，a b故所求椭圆C 的方程为2 2x y16 41.6y kx 1(2) 由题意x2 y2 消去y ，整理得116 42 21 4k x 8kx 12 0 ，可知0 ，设E x2, y2 ，F x3 , y3 ，EF 的中点是M x M , y M ，则xM x x 4k2 322 1 4k，y kx M M 1121 4k，所以kBM y2 1Mx kM，所以x M ky M 2k 0 ，即4k k2 21 4k 1 4k2k 0 ，又因为k 0 ，所以 2 1k ，所以82 k .426.解：(1) 设点M 到直线l 的距离为 d ，依题意 2M d ，设M x, y ，则有22 1 1x y y ，化简得2 4x y . 所以点M 的轨迹 C 的方程为2 4x y .(2) 设l AB : y kx 1，代入 2 4x y 中，得2 4 4 0x kx ，设 A x1, y1 ，B x2 , y2 ，则x1 x2 4k ，x1 x2 4 ，所以 2 2AB 1 k x x 4 k 1 ，因为1 22C : x 4y ，即2xy ，4所以xy ，所以直线l1 的斜率为2x1k ，直线l2 的斜率为12x2k ，因为22x x1 2k1k2 1，4所以PA PB ，即△PAB 为直角三角形.所以△PAB 的外接圆的圆心为线段AB 中点，线段AB是直径，因为 2AB 4 k 1 ，所以当k 0时线段AB 最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为 4 . 27.解：(1) 依题意，知 f x 的定义域为0, ，当 1a b 时，21 12f x ln x x x ，4 21 1 1 x2 x 1f ' x xx 2 2 2x，令 f ' x 0 ，解得x 1 . ( ∵x 0 )因为g x 0 有唯一解，所以g x2 0 ，当0 x 1时， f ' x 0 ，此时 f x 单调递增；当x 1 时， f ' x 0 ，此时 f x 单调递减，所以 f x 的极大值为3f 1 ，此即为最大值.4(2) F x ln x ax ，x 0,3 ，则有x ak F ' x0 212，在x0 0,3 上恒成立，x0 7所以12a x x ，x0 0,3 .0 02max当x0 1时，122x x 取得最大值0 012，所以 1a .2(3) 因为方程 22mf x x 有唯一实数解，所以 2 2 ln 2 0x m x mx 有唯一实数解，设 2 2 ln 2g x x m x mx ，则g' x22x 2mx 2mx，令g ' x 0 ， 2 0x mx m ，因为m 0 ，x 0 ，所以2m m 4mx 0 (舍去) ，122m m 4mx ，22当x0, x 时，g ' x 0 ，g x 在0, x2 上单调递减；2当x x2 , 时，g ' x 0，g x 在x2, 上单调递增；当x x2 时，g ' x2 0 ，g x 取最小值g x2 .则g x2g ' x 02，即2x 2m l n x 2mx 02 2 22x mx m2 2，所以2m ln x mx m 0 ，因为m 0 ，所以2ln x2 x2 1 0 (*)2 2设函数h x 2ln x x 1，因为当x 0 时，h x 是增函数，所以h x 0 至多有一解，因为h 1 0，所以方程(*) 的解为x2 1，即 2 4m m m2 1，解得1m .2。
河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试数学(理)试题+Word版含答案【KS5U+高考】
2018～2019学年度上学期高三年级三调考试数学(理)试卷Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.集合{}2210M x x x =--<，{}20N x x a =+>，U R =，若UM C N φ⋂=，则a 的取值范围是( ) A.1a >B.1a ≥C.1a <D.1a ≤2.若直线y kx =与双曲线22194x y -=相交，则k 的取值范围是( ) A.20,3⎛⎫⎪⎝⎭B.2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭C.22,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D.22,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭3.在ABC △中，3AB =，2AC =，12BD BC =，则AD BD ⋅=( )A.52-B.52C.54-D.544.已知数列{}n a 的前n 项和为2n S n n =-，正项等比数列{}n b 中，23b a = ，()23142,n n n b b b n n N +-+=≥∈，则2log n b =( )A.1n -B.21n -C.2n -D.n5.已知直线10ax y +-=与圆()()22:11C x y a -++=相交于A ，B ，且ABC △为等腰直角三角形，则实数a 的值为( )A.17或1-B.1-C.1D.1或1-6.在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若2222014a b c +=，则()2tan tan tan tan tan A B C A B ⋅+的值为( ) A.2013B.1C.0D.20147.已知点()(),0M a b ab ≠是圆222:C x y r +=内一点，直线l 是以M 为中点的弦所在的直线，直线m 的方程为2bx ay r -=，那么( )A.l m ⊥且m 与圆C 相切B.l m ∥且m 与圆C 相切C.l m ⊥且m 与圆C 相离D.l m ∥且m 与圆C 相离8.若圆22210x y ax y +-++=和圆221x y +=关于直线1y x =-对称，过点(),C a a -的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程是( )A.24480y x y -++= B.22220y x y +-+= C.24480y x y +-+=D.2210y x y --+=9.平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD AD ⋅=-，点M 在边CD 上，则MA MB ⋅的最大值为( )11C.0D.210.已知椭圆()222210,0x y a b a b +=>>上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α=∠，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆的离心率e 的取值范围是( )A.⎤⎥⎣⎦B.1⎤⎥⎣⎦C.⎣⎦D.⎣⎦ 11.已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足PA m PB=，当m 取最大值时，点P 恰好在以A ，B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )A.B.1112.已知在R 上的函数()f x 满足如下条件：①函数()f x 的图象关于y 轴对称；②对于任意x R ∈，()()220f x f x +--=；③当[]0,2x ∈时，()f x x =；④函数()()()12n n f x f x -=⋅，*n N ∈，若过点()1,0-的直线l 与函数()()4f x 的图象在[]0,2x ∈上恰有8个交点，则直线l 斜率k 的取值范围是( ) A.80,11⎛⎫⎪⎝⎭B.110,8⎛⎫ ⎪⎝⎭C.80,19⎛⎫ ⎪⎝⎭D.190,8⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在ABC △中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知1sin 262A π⎛⎫+=⎪⎝⎭，1b =，ABC △的面积为，则sin sin b cB C ++的值为_______________.14.已知平面上有四点,,,O A B C ，向量OA ，OB ，OC 满足：0OA OB OC ++=，1OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅=-，则ABC △的周长是_______________.15.已知1F 、2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π=∠，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为_______________.16.已知数列{}n a 的前n 项和122n n n S a +=-，若不等式()2235n n n a λ--<-对*n N ∀∈恒成立，则整数λ的最大值为________________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC △中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知向量33cos ,sin 22A A m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22A A n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且满足3m n +=. (1)求角A 的大小；(2)若b c +=，试判断ABC △的形状. 18.已知圆C 经过原点()0,0O 且与直线28y x =-相切于点()4,0P .(1)求圆C 的方程；(2)在圆C 上是否存在两个点M ，N 关于直线1y kx =-对称，且以线段MN 为直径的圆经过原点？若存在，写出直线MN 的方程；若不存在，请说明理由. 19.各项均为正数的数列{}n a 中，11a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，对任意*n N ∈，有()222n n n S pa pa p p R =+-∈.(1)求常数p 的值；(2)求数列{}n a 的通项公式；(3)记423nn n S b n =⋅+，求数列{}n b 的前n 项和n T .20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率e =，原点到过点(),0A a ，()0,B b -的直线的距离是.(1)求椭圆C 的方程； (2)如果直线()10y kx k =+≠交椭圆C 于不同的两点,E F ，且,E F 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值. 21.已知定点()0,1F ，定直线:1m y =-，动圆M 过点F ，且与直线m 相切.(1)求动圆M 的圆心轨迹C 的方程；(2)过点F 的直线与曲线C 相交于,A B 两点，分别过点,A B 作曲线C 的切线1l ，2l ，两条切线相交于点P ，求PAB △外接圆面积的最小值.22.设函数()21ln 2f x x ax bx=--.(1)当12a b ==时，求函数()f x 的最大值； (2)令()()212a F x f x ax bx x =++-，()03x <≤其图象上任意一点()00,P x y 处切线的斜率12k ≤恒成立，求实数a 的取值范围；(3)当0a =，1b =-，方程()22mf x x =有唯一实数解，求正数m 的值.2018～2019学年度上学期高三年级三调考试数学(理)试卷答案一、选择题1-5:BCCDD 6-10:ACCDB 11、12：CA 二、填空题13.2 14. 16.4三、解答题17. 解：(1)∵()()2223m n m n ++⋅=，代入33cos ,sin 22A A m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22A A n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，有 33112cos cos sin sin 32222A A A A ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，∴331cos cos sin sin 22222A A A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即31cos 222A A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴1cos 2A =，60A =°. (2)法一：∵1cos 2A =，∴222122b c a bc --=①又∵b c +=②联立①②有，222bc b c =+-，即222520b bc c --=， 解得2b c =或2c b =，又∵b c -，若2b c =，则a =，∴)2222224a c c c b +=-==，ABC △为直角三角形，同理，若2c b =，则ABC △也为直角三角形.18.(1)由已知，得圆心在经过点()4,0P 且与28y x =-垂直的直线122y x =-+上，它又在线段OP 的中垂线2x =上，所以求得圆心()2,1C.所以圆C 的方程为：()()22215x y -+-=.(2)假设存在两点,M N 关于直线1y kx =-对称，则1y kx =-通过圆心()2,1C ，求得1k =，所以设直线MN 为y x b =-+，代入圆的方程得()2222220x b x b b -++-=，设()11,M x x b -+，()22,N x x b -+，则()121222230OM ON x x b x x b b b ⋅=-++=-=，解得0b =或3b =，这时0∆>，符合题意，所以存在直线MN 为y x =-或3y x =-+符合条件.19.解：(1)由11a =及()2*22n n n S pa pa p n N =+-∈，得：22p p p =+-，∴1p =.(2)由2221n n n S a a =+-①，得2111221n n n S a a +++=+-②由②－①，得()()2211122n n n n n a a a a a +++=-+-，即：()()()11120n n n n n n a a a a a a ++++--+=，∴()()112210n n n n a a a a +++--=，由于数列{}n a 各项均为正数，∴1221n n a a +-=，即112n n a a +-=，∴数列{}n a 是首项为1，公差为12的等差数列， ∴数列{}n a 的通项公式是()111122n n a n +=+-⨯=.(3)由12n n a +=，得：()34n n n S +=，∴4223n nn n S b n n =⋅=⋅+，∴231222322nn T n =⨯+⨯+⨯++⋅…()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯…，()()2311121222222212212n n n n n n T n n n +++--=++++-⋅=-⨯=--⋅--…()1122n n T n +=-⋅+.20.解：(1)因为c a=，222a b c -=，所以2a b =， 因为原点到直线:1x y AB a b -=的距离d ==，解得4a =，2b =，故所求椭圆C 的方程为221164x y +=.(2)由题意2211164y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()22148120k x kx ++-=，可知0∆>，设()22,E x y ，()33,F x y ，EF 的中点是(),M M M x y ，则2324214M x x kx k +-==+，21114M M y kx k =+=+，所以21M BM M y k x k +==-，所以20M M x ky k ++=，即224201414k k k k k -++=++，又因为0k ≠，所以218k =，所以4k =±. 21.解：(1)设点M 到直线l 的距离为d ，依题意2M d =，设(),M x y ，则有1y +，化简得24x y =.所以点M 的轨迹C 的方程为24x y =.(2)设:1AB l y kx =+，代入24x y =中，得2440x kx --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，124x x ⋅=-，所以()21241AB x x k -=+，因为2:4C x y =，即24x y =，所以2xy =，所以直线1l 的斜率为112x k =，直线2l 的斜率为222x k =，因为121214x x k k ==-，所以PA PB ⊥，即PAB △为直角三角形.所以PAB △的外接圆的圆心为线段AB 中点，线段AB 是直径，因为()241AB k =+，所以当0k =时线段AB 最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π. 22.解：(1)依题意，知()f x 的定义域为()0,+∞，当12a b ==时，()211ln 42f x x x x=--，()()()21111'222x x f x x x x -+-=--=，令()'0f x =，解得1x =.(∵0x >) 因为()0g x =有唯一解，所以()20g x =，当01x <<时，()'0f x >，此时()f x 单调递增；当1x >时，()'0f x <，此时()f x 单调递减，所以()f x 的极大值为()314f =-，此即为最大值.(2)()ln a F x x x =+，(]0,3x ∈，则有()00201'2x a k F x x -==≤，在(]00,3x ∈上恒成立， 所以200max 12a x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭，(]00,3x ∈. 当01x =时，20012x x -+取得最大值12，所以12a ≥. (3)因为方程()22mf x x =有唯一实数解，所以22ln 20x m x mx --=有唯一实数解，设()22ln 2g x x m x mx=--，则()2222'x mx mg x x --=，令()'0g x =，20x mx m --=，因为0m >，0x >，所以10x =<(舍去)，2x =，当()20,x x ∈时，()'0g x <，()g x 在()20,x 上单调递减； 当()2,x x ∈+∞时，()'0g x >，()g x 在()2,x +∞上单调递增；当2x x =时，()2'0g x =，()g x 取最小值()2g x .则()()220'0g x g x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即22222222ln 200x m x mx x mx m ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，所以222ln 0m x mx m +-=，因为0m >，所以222ln 10x x +-=(*) 设函数()2ln 1h x x x =+-，因为当0x >时，()h x 是增函数，所以()0h x =至多有一解，因为()10h =，所以方程(*)的解为21x =，即1=，解得12m =.。
2019届河北省衡水中学高三第三次质检数学(理)试题(解析版)
2019届河北省衡水中学高三第三次质检数学（理）试题一、单选题1．已知集合{|1}A x x =<，{|1x B x e =< }，则（ ） A ．{|1}A B x x ⋂=< B ．()R A C B R ⋃=C ．{|}A B x x e ⋃=<D ．(){|01}R C A B x x ⋂=<< 【答案】B【解析】求出集合A={x|x ＜1}，B={x|e x ＜1}={x|x ＜0}，从而R C B ={x|x≥0}，R C A ={x|x≥1}，由此能求出结果． 【详解】∵集合A={x|x ＜1}，B={x|e x ＜1}={x|x ＜0}，R C B ={x|x≥0}，R C A ={x|x≥1}，∴A∩B={x|x ＜0}，故A 错误； A ∪B={x|x ＜1}，故C 错误；()R A C B R ⋃=，故B =正确；()R C A B ∅⋂=，故D 错误．故选B ． 【点睛】本题考查集合与集合的关系的判断，考查补集、交集、并集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题． 2．已知i 为虚数单位，若1i(,)1ia b a b =+∈-R ，则b a =（ ）A ．1 BC ．2D ．2【答案】C【解析】根据复数的除法运算得到1112i a bi i +==+-，再由复数相等的概念得到参数值，进而得到结果. 【详解】i 为虚数单位，若1(,)1a bi a b R i =+∈-，1112ia bi i +==+-根据复数相等得到1212ab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.1212().2ba==故答案为C.【点睛】这个题目考查了复数除法运算，以及复数相等的概念，复数a bi+与ic d+相等的充要条件是a c=且b d=．复数相等的充要条件是化复为实的主要依据，多用来求解参数的值或取值范围．步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程（组）求解．3．向量,,a b cr r r在正方形网格中的位置如图所示.若向量a bλ+r r与cr共线,则实数λ=（）A．2-B．1-C．1D．2【答案】D【解析】由图像，根据向量的线性运算法则，可直接用,a brr表示出cr，进而可得出λ. 【详解】由题中所给图像可得：2a b c+=rr r，又cr=a brrλ+，所以2λ=.故选D【点睛】本题主要考查向量的线性运算，熟记向量的线性运算法则，即可得出结果，属于基础题型.4．函数f(x)=15sin(x+3π)+cos(x−6π)的最大值为A．65B．1 C．35D．15【答案】A【解析】由诱导公式可得ππππcos cos sin6233x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则()1ππ6πsin sin sin53353f x x x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,函数()f x的最大值为65.所以选A.【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为sin()y A x Bωϕ=++的形式，再借助三角函数的图像研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．5．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（）A．932B．516C．38D．716【答案】C【解析】分析：由七巧板的构造，设小正方形的边长为1，计算出黑色平行四边形和黑色等腰直角三角形的面积之和．详解：设小正方形的边长为12，2；黑色等腰直角三角形的直角边为2，斜边为2，大正方形的边长为2，所以21222322P82222⨯⨯==⨯，故选C．点睛：本题主要考查几何概型，由七巧板的构造，设小正方形的边长为1，通过分析观察，求得黑色平行四边形的底和高，以及求出黑色等腰直角三角形直角边和斜边长，进而计算出黑色平行四边形和黑色等腰直角三角形的面积之和，再将黑色部分面积除以大正方形面积可得概率，属于较易题型．6．已知0a>，且，函数()()log6af x ax=-，则“13a<<”“是()f x在()1,2上单调递减”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】先将函数()()log 6a f x ax =-转化为y ＝log a t ，t ＝6ax -，两个基本函数，再利用复合函数求解． 【详解】0a Q >,且1a ≠，6t ax ∴=-为减函数.若()f x 在()1,2上单调递减，则1a >.且620a -⨯≥，则13a <≤.13a <<是13a <≤的充分不必要条件.故选A . 【点睛】本题主要考查复合函数，关键是分解为两个基本函数，利用同增异减的结论研究其单调性，再求参数的范围,属于基础题．7．一给定函数()y f x =的图象在下列四个选项中，并且对任意1(0,1)a ∈，由关系式1()n n a f a +=得到的数列{}n a 满足1n n a a +<.则该函数的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】利用已知条件推出n n f a a （）＜，判断函数的图象，推出选项即可． 【详解】由题对于给定函数()y f x =的图象在下列四个选项中，并且对任意()10,1a ∈，由关系式()1n n a f a +=得到的数列{}n a 满足1n n a a +<．则可得到n n f a a （）＜，所以11f a a （）＜在101a ∀∈（，）上都成立，即01x f x x ∀∈（，），（）＜，所以函数图象都在y x =的下方． 故选A ． 【点睛】本题考查函数图象的判断，数列与函数的关系，属基础题．8．某几何体的三视图如图所示，其中主视图，左视图均是由高为2三角形构成，俯视图由半径为3的圆与其内接正三角形构成，则该几何体的体积为( )A ．936π+B ．9318π+C ．336π D ．3318π 【答案】A【解析】由三视图知该几何体由底面边长是33高为2的正三棱锥和底面半径是3高为2的圆锥组合而成，利用锥体的体积公式可得结果. 【详解】由三视图知该几何体由底面边长是33高为2的正三棱锥和底面半径是3，高为2的圆锥组合而成，正三棱锥的体积是(21393332342⨯⨯=， 圆锥的体积是213263ππ⨯⨯⨯=，所以组合体的体积362π+，故选A. 【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.9．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ， 122F F c =，过2F 作x 轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A ，已知3,2a Q c ⎛⎫⎪⎝⎭， 22F Q F A >，点P 是双曲线C 右支上的动点，且11232PF PQ F F +>恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是( )A ．71,6⎛⎫ ⎪⎝⎭B．,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭C．76⎛ ⎝⎭D．1,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】令x =c代入双曲线的方程可得2by a==±， 由22F Q F A >,可得232a b a>，即为3a 2>2b 2=2(c 2−a 2)，即有2c e a =<① 又11232PF PQ F F +>恒成立， 由双曲线的定义,可得2a +|PF 2|+|PQ |>3c 恒成立， 由F 2,P ,Q 共线时,|PF 2|+|PQ |取得最小值|F 2Q |=32a ， 可得3c <2a +32a ， 即有c e a =<76②由e >1，结合①②可得， e 的范围是(1,7 6). 故选：A.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.10．已知实数x y ，满足124242,240,330,x y x y x y x y --⎧+≥+⎪-+≥⎨⎪--≤⎩若(1)1y k x ≥+-恒成立，那么k 的取值范围是( ) A ．1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．[)3,+∞ D ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】由题意，作出不等式组对应的可行域，根据()11y k x =+-的图象是过点()1,1--，斜率为k 的直线，结合图象，即可求解.【详解】由题意,实数,x y 满足124242240330x y x y x y x y --⎧+≥+⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，即220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，又因为函数()11y k x =+-的图象是过点()1,1--，斜率为k 的直线，要使得不等式()11y k x ≥+-恒成立，即11y k x +≤+恒成立， 结合图象可知，当直线过点()1,0B 时，斜率取得最小值12，所以实数k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故选D.【点睛】本题主要考查了简单线性规划的应用，其中解答中正确求解约束条件所对应的不等式组，作出约束条件所表示的平面区域，再根据斜率公式求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，推理与计算能力.11．已知三棱锥A BCD -中，2AB AC BD CD ====，2BC AD =， 直线AD 与底面BCD 所成角为3π，则此时三棱锥外接球的表面积为 （ ） A ．8π B ．6πC ．9πD ．5π【答案】A【解析】取BC 的中点O ，判断O 为三棱锥外接球的球心，即可求出结果. 【详解】取BC 中点O ，则AO BC ⊥，DO BC ⊥，AO DO =， 因为直线AD 与底面BCD 所成角为3π，所以AO DO AD ==， 因为2BC AD =，所以AO DO BO CO ===，即O 为三棱锥外接球的球心， 因为2AB AC BD CD ====，所以122AO BC == 所以三棱锥外接球的表面积为4π28π⨯=. 故选A 【点睛】本题主要考查几何体外接球的相关计算，熟记球的表面积公式即可，属于常考题型.12．己知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()112,0212,22x x f x f x x --⎧<≤⎪=⎨->⎪⎩，则函数()()1g x xf x =-在[)6-+∞,上的所有零点之和为（ ） A ．7 B ．8C ．9D ．10【答案】B【解析】由已知可分析出函数()g x 是偶函数，则其零点必然关于原点对称，故()g x 在[]6,6-上所有的零点的和为0，则函数()g x 在[)6-+∞,上所有的零点的和，即函数()g x 在(6,)+∞上所有的零点之和，求出(6,)+∞上所有零点，可得答案．【详解】解：Q 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()()f x f x ∴-=-． 又Q 函数()()1g x xf x =-，()()()1()[()]1()1()g x x f x x f x xf x g x ∴-=---=---=-=，∴函数()g x 是偶函数，∴函数()g x 的零点都是以相反数的形式成对出现的．∴函数()g x 在[]6,6-上所有的零点的和为0，∴函数()g x 在[)6-+∞,上所有的零点的和，即函数()g x 在(6,)+∞上所有的零点之和．由02x <…时，|1|1()2x f x --=，即22,01()2,12x x x f x x --⎧<=⎨<⎩…… ∴函数()f x 在(]0,2上的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当且仅当2x =时，()1f x =又Q 当2x >时，1()(2)2f x f x =- ∴函数()f x 在(]2,4上的值域为11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在(]4,6上的值域为11,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在(]6,8上的值域为11,168⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当且仅当8x =时，1()8f x =，函数()f x 在(]8,10上的值域为611,213⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当且仅当10x =时，1()16f x =，故1()f x x<在(]8,10上恒成立，()()1g x xf x =-在(]8,10上无零点，同理()()1g x xf x =-在(]10,12上无零点， 依此类推，函数()g x 在(8,)+∞无零点，综上函数()()1g x xf x =-在[)6-+∞,上的所有零点之和为8 故选：B ． 【点睛】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的零点，函数的图象和性质，其中在寻找(6,)+∞上零点个数时，难度较大，故可以用归纳猜想的方法进行处理．二、填空题 13．曲线y =y x =所围成的封闭图形的面积为__________．【答案】16【解析】由定积分的几何意义可得：封闭图形的面积()132120211|326S x x dx x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰. 14．()5221111x x x ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为________. 【答案】15【解析】写出()521x +展开式的通项，求出含2x 及4x 的项，则答案可求．【详解】 解：25252525221111(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x+++=+++++Q 且25(1)x +展开式的通项为215r r r T C x +=． 由22r =，得1r =；由23r =，得32r =（舍)；由24r =，得2r =． ()5221111x x x ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭∴展开式中2x 的系数为125515C C +=．故答案为：15． 【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用问题，解题时应灵活应用二项展开式的通项公式，属于基础题． 15．过抛物线的焦点的直线交于两点，在点处的切线与轴分别交于点，若的面积为，则_________________。
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高考数学精品复习资料2019.520xx —20xx 学年度高三上学期三调考试高三年级数学试卷（理）本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（每小题5分，共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.设集合M={x|x 2≤4），N={x|log 2 x≥1}，则M∩N 等于（ ） A ．[﹣2，2] B ． {2} C ． [2，+∞） D ． [﹣2，+∞）2.若0>x 、0>y ，则1>+y x 是122>+y x 的 ( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件 3.平面直角坐标系xOy 中，已知A(1,0)，B （0,1），点C 在第二象限内，56AOC π∠=，且|OC|=2，若OC OA OB λμ=+，则λ，μ的值是（ ）A ．3，1B ． 1，3C ．-1，3D ．3-，1 4.设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，则21a a 的值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.45.如图，圆O 的两条弦AB 和CD 交于点E ，EF//CB,EF 交AD 的 延长线于点F ，FG 切圆O 于点G ，EF=2，则FG 的长为（ ） A.12 B.13C.1D. 2 6. 某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱的长度是（ ）A.C.7.已知m 、n 是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,给出下列命题: ①若,//m αβα⊥,则m β⊥;②若,m n αβ⊥⊥,且,m n ⊥则αβ⊥; ③若,m β⊥//m α,则αβ⊥;④若//m α,//n β,且//m n ,则//αβ. 其中正确命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48.已知,,a b c 为互不相等的正数，222a c bc +=，则下列关系中可能成立的是（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．b a c >> D ．a c b >>9.已知各项均为正数的等比数列{}n a 满足7652a a a =+,若存在两项,m n a a1144,a m n=+则的最小值为 （ ） A ．32 B ．53C ．94D ．910.已知,a Z ∈关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数， 则所有符合条件的a 值之和是（ ） A.13B.18C.21D.2611.若函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，22['()]['()]0,()()0f f f f αβαβ+=+= （其中,R αβ∈且αβ≠），则下列选项中一定是方程()0f x =的根的是（ ） A ．3ba-B ．2b a-C ．3c aD ．2c a12. 设定义域为R 的函数|1|251,0,()44,0,x x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨++<⎪⎩若关于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++=有7个不同的实数解，则m = （ ）A ．2B ．4或6C ．2或6D ．6第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每题5分，共20分。
把答案填在答题纸的横线上） 13、若)2,0(πα∈,且2cos α+1sin(2)22πα+=,则tan α= . 14.向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若(,)c a b R λμλμ=+∈，则λμ+=15.已知函数221(),()(),2x f x x g x m x =+=+若12[1,2],[1,1],x x ∀∈∃∈-使得12()()f x g x ≥，则实数m 的取值范围是 .16.设关于x ,y 的不等式组210,0,0x y x m y m -+>⎧⎪-<⎨⎪+>⎩表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0=2，则m 的取值范围是三、解答题（本大题共7题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）17. （本小题满分12分）在三棱柱111C B A ABC -中，侧面11A ABB 为矩形，2,11==AA AB ，D为1AA 的中点，BD 与1AB 交于点O ，⊥CO 侧面11A ABB ． （Ⅰ）证明：1AB BC ⊥;（Ⅱ）若OA OC =，求三棱锥ABC B -1的体积．18. （本小题满分12分）已知函数3()f x x mx =-+在（0，1）上是增函数，1A A1B B1C C OD（Ⅰ）实数m 的取值集合为A ，当m 取集合A 中的最小值时，定义数列{}n a 满足13,a =且0,n a >1n a +=，求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若n n b na =,数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：34n S >.19.（本小题满分12分）某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件．．，需另投入成本为)(x C ，当年产量不足80千件时，x x x C 1031)(2+=（万元）.当年产量不小于80千件时，14501000051)(-+=xx x C （万元）.每件．．商品售价为500元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.（Ⅰ）写出年利润)(x L （万元）关于年产量x （千件．．（Ⅱ）年产量为多少千件．．20．（本小题满分12分）已知A B 、分别在射线CM CN 、在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c （Ⅰ）若a 、b 、c 依次成等差数列，且公差为2．求c （Ⅱ）若c =ABC ∠=θ，试用θ表示ABC ∆并求周长的最大值．21. （本小题满分12分）已知函数()2ln ()f x x ax a a R =-+∈． （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）若()0f x ≤恒成立，证明：当120x x <<时，21211()()121f x f x x x x ⎛⎫-<- ⎪-⎝⎭．请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答。
注意：只能做所选定的题目。
如果多做，则按所做的第一个题目计分。
22. (本小题满分10分)如图，AB 是圆O 的直径，C 是半径OB 的中点，D 是OB 延长线上一点，且BD=OB ，直线MD 与圆O 相交于点M 、T（不与A 、B 重合），DN 与圆O 相切于点N ，连结MC ，MB ，OT ．（I ）求证：DC DO DM DT ⋅=⋅；（II ） 若60=∠DOT ，试求BMC ∠的大小． 23.(本小题满分10分) 已知函数()1f x x =-． （I ）解不等式: 1()(1)2f x f x ≤+-≤； （II ）若0＞a ，求证：()()f ax af x -≤()f a .高三年级三调考试数学试卷（理）参考答案一、 选择题 BBDC DBBC ACAA 二、填空题 13、1 14、52-15、52m ≤ 16、2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭三、解答题17. （1）根据题意，由于在三棱柱111C B A ABC -中，侧面11A ABB 为矩形，2,11==AA AB ，D为1AA 的中点，BD 与1AB 交于点O ，⊥CO 侧面11A ABB ，那么在底面11A ABB Z 中，利用相似三角形可知，1AB BD ⊥,1CO AB ⊥,进而得到1BCD AB ⊥面,则可知1AB BC ⊥;……………………6分（2）如果OA OC =，那么利用2,11==AA AB ，D 为1AA 的中点，勾股定理可知2AC OA =,根据柱体的高，以及底面积可知三棱柱ABC B -1的体积为186……………………12分 18. 解：（1）由题意得f′（x ）=﹣3x 2+m ，∵f （x ）=﹣x 3+mx 在（0，1）上是增函数，∴f′（x ）=﹣3x 2+m≥0在（0，1）上恒成立， 即m≥3x 2，得m≥3，-----------------------------2分 故所求的集合A 为[3，+∞）；所以m=3，∴f′（x ）=﹣3x 2+3，∵，an ＞0，∴=3an ，即=3，∴数列{an}是以3为首项和公比的等比数列，故an=3n ； -------------------------------6分（2）由（1）得，bn=na n =n•3n， ∴Sn=1•3+2•32+3•33+…+n•3n① 3Sn=1•32+2•33+3•34+…+n•3n+1 ②①﹣②得，﹣2Sn=3+32+33+…+3n ﹣n•3n+1=﹣n•3n+1化简得，Sn=＞．----------------------------12分10分为1000万元. --------------------12分 20． 解（Ⅰ）a 、b 、c 成等差，且公差为2，∴4a c =-、2b c =-. 又23MCN ∠=π，1cos 2C =-，∴222122a b c ab +-=-， ∴()()()()2224212422c c c c c -+--=---，恒等变形得 29140c c -+=，解得7c =或2c =.又4c >，∴7c =. …………6分（Ⅱ）在ABC ∆中，sin sin sin AC BC AB ABC BAC ACB ==∠∠∠，∴2sin sinsin 33ACBC ===πθ⎛⎫-θ ⎪⎝⎭，2sin AC =θ，2sin 3BC π⎛⎫=-θ ⎪⎝⎭.∴ABC ∆的周长()f θAC BC AB =++2sin 2sin 3π⎛⎫=θ+-θ+ ⎪⎝⎭12sin cos 22⎡⎤=θ+θ+⎢⎥⎣⎦2sin 3π⎛⎫=θ++ ⎪⎝⎭10分又0,3π⎛⎫θ∈ ⎪⎝⎭，∴2333πππθ<+<,∴当32ππθ+=即6πθ=时，()f θ取得最大值2+． ……………………12分 21. 解：（Ⅰ）f '(x )＝2－axx，x ＞0．若a ≤0，f '(x )＞0，f (x )在(0，＋∞)上递增；若a ＞0，当x ∈(0， 2a )时，f '(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈( 2a，＋∞)时，f '(x )＜0，f (x )单调递减．…5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，若a ≤0，f (x )在(0，＋∞)上递增， 又f (1)＝0，故f (x )≤0不恒成立．若a ＞2，当x ∈(2a，1)时，f (x )递减，f (x )＞f (1)＝0，不合题意．若0＜a ＜2，当x ∈(1， 2a)时，f (x )递增，f (x )＞f (1)＝0，不合题意．若a ＝2，f (x )在(0，1)上递增，在(1，＋∞)上递减， f (x )≤f (1)＝0，合题意．故a ＝2，且ln x ≤x －1（当且仅当x ＝1时取“＝”）．…8分当0＜x 1＜x 2时，f (x 2)－f (x 1)＝2ln x 2x 1－2(x 2－x 1)＋2＜2(x 2x 1－1)－2(x 2－x 1)＋2＝2(1x 1－1)(x 2－x 1)，所以f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＜2(1x 1－1)．…12分22. （1）证明：因MD 与圆O 相交于点T ，由切割线定 理DM DT DN ⋅=2，DA DB DN ⋅=2，得DA DB DM DT ⋅=⋅，设半径OB=)0(>r r ，因BD=OB ，且BC=OC=2r，则233r r r DA DB =⋅=⋅，23232r r r DC DO =⋅=⋅，所以.DC DO DM DT ⋅=⋅------------------5分（2）由（1）可知，DC DO DM DT ⋅=⋅，且CDM TDO ∠=∠， 故DTO ∆∽CM D ∆，所以DMC DOT ∠=∠；根据圆周角定理得，DMB 2DOT ∠=∠，则.30=∠BMC --------10分 23.解: （1）由题()(1)f x f x +-12x x =-+-121x x ≥-+-=.因此只须解不等式122x x -+-≤. …………………………………………2分当1x ≤时，原不式等价于232x -+≤，即112x ≤≤. 当12x <≤时，原不式等价于12≤，即12x <≤.当2x >时，原不式等价于232x -≤，即522x <≤.综上,原不等式的解集为15|22x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭. …………………………………………5分（2）由题()()f ax af x -11ax a x =---.当a ＞0时，()()f ax af x -1ax ax a =---1ax a ax =---1ax a ax ≤-+-1a =-()f a =. …………………………10分。