2018届广东省中山市高三第一学期期末统一考试文科数学试题及答案

中山市高三级2018学年度第一学期期末统一考试数学试卷（文科）本试卷共4页，20小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。

3、不可以使用计算器。

4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．设复数113i z =-，21i z =-，则12z z +在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设全集U 是实数集,R {}22,M x x =-≤≤,{}2430N x x x =-+>,则M N ⋂=（ ）A ．{|21}x x -≤<B ．{|22}x x -≤≤C ．{|12}x x <≤D ．{|2}x x <3．已知平面向量()21=，a ，()2x =-，b ，若a ∥b ，则a +b 等于( )A ．()2,1--B ．()2,1C ．()3,1-D ．()3,1-4．已知数列{}n a 为等差数列，若23a =，1612a a +=，则789a a a ++=A ．36B ．42C ．45D ．635．在某次测量中得到的A 样本数据如下:82, 84, 84, 86, 86, 86, 88, 88, 88, 88.若B 样本数据恰好是A 样本数据都加2后所得数据,则A ,B 两样本的下列数字特征对应相同的是（ ） A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差6．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，105,45=∠=∠CAB ACB 后，就可以计算出A 、B 两点的距离为（ ）A.m 2225B ．m 225C ．m 250D ．m 3507．如图，定义某种运算a S b =⊗，运算原理如右图所示，则式子131100lg ln )45tan 2(-⎪⎭⎫⎝⎛⊗+⊗e π的值为（ ）A ．11B ．13C ．8D ．48．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则该棱柱的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．69．已知函数)(x f y =)(R x ∈满足(2)2()f x f x +=，且[1,1]x ∈-时，()1f x x =-+，则当(0,10]x ∈时，)(x f y =与4()log g x x =的图象的交点个数为( )A ．11B ．10C ．9D ．810．对a ∀、b R ∈，运算“⊕”、“⊗”定义为：a b ⊕=,().()a a b b a b <⎧⎨≥⎩，a b ⊗=,().()a ab b a b ≥⎧⎨<⎩，则下列各式其中不恒成立的是（ ） ⑴a b a b a b =+⊗+⊕ ⑵a b a b a b =-⊗-⊕ ⑶[][]a b a b a b =⋅⊗⋅⊕ ⑷[][]a b a b a b =÷⊗÷⊕ A ．⑴、⑶B ．⑵、⑷C ．⑴、⑵、⑶D ．⑴、⑵、⑶、⑷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分。

） 11. 22cos 15sin 15-= .12．已知函数3log ,0()2,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())9f f = .13．若变量,x y 满足线性约束条件4325048010x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-≥⎩，则2z x y =-的最大值为________．14．已知函数221,(20)()3,(0)ax x x f x ax x ⎧++-<≤=⎨->⎩有3个零点，则实数a 的取值范围是 .三、解答题（ 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

） 15．（本题满分12分）设平面向量)sin ,(cos x x =，1)2b = ，函数()1f x a b =⋅+ 。

（Ⅰ）求函数)(x f 的值域和函数的单调递增区间;（Ⅱ）当9()5f α=,且263ππα<<时,求2sin(2)3πα+的值.16．（本题满分12分）某学校餐厅新推出A ，B ，C ，D 四款套餐，某一天四款套餐销售情况的条形图如下. 为了了解同学对新推出的四款套餐的评价，对每位同学都进行了问卷调查，然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取20份进行统计，统计结果如下面表格所示：（Ⅰ）若同学甲选择的是A 款套餐，求甲的调查问卷被选中的概率；（Ⅱ）若想从调查问卷被选中且填写不满意的同学中再选出2人进行面 谈，求这两人中至少有一人选择的是D 款套餐的概率. 17．（本题满分14分）如图所示，圆柱的高为2，、DF 是圆柱的两条母线，过AD 作圆柱的截面交下底面于BC ,四边形ABCD 是正方形，EO ⊥AB.（Ⅰ）求证BC BE ⊥；（Ⅱ）求四棱锥E-ABCD 的体积.18．（本小题满分14分）数列{n a }的前n 项和为n S ，2131(*)22n n S a n n n N +=--+∈． （Ⅰ）设n n b a n =+，证明：数列{}n b 是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n nb 的前n 项和n T ；19.（本小题满分14分）已知函数()x f x e kx =-，.（Ⅰ）若0k >，且对于任意0)(,>∈x f R x 恒成立，试错误！未找到引用源。

确定实数k 的取值范围；（Ⅱ）设函数)()()(x f x f x F -+=，求证：1ln (1)ln (2)ln ()ln(2)()2n nF F F n e n N +*+++>+∈20. （本小题满分14分）已知函数2()f x x x λλ=+，()ln g x x x λ=+，()()()h x f x g x =+，其中R λ∈，且0λ≠. （Ⅰ）当1λ=-时，求函数()g x 的最大值； （Ⅱ）求函数()h x 的单调区间；（III ）设函数(),0,()(),0.f x x xg x x ϕ≤⎧=⎨>⎩若对任意给定的非零实数x ，存在非零实数t （t x ≠），使得'()'()x t ϕϕ=成立，求实数λ的取值范围.中山市高三级2018—2018学年度第一学期期末统一考试数学试卷（文科）答案本试卷共4页，20小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．DAACD CBBCB二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．; 12．14; 13. 5; 14. 3(,1)4三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题满分12分）设平面向量)sin ,(cos x x =，1)2b = ，函数()1f x a b =⋅+ 。

（Ⅰ）求函数)(x f 的值域和函数的单调递增区间;（Ⅱ）当9()5f α=,且263ππα<<时,求2sin(2)3πα+的值.15．解： 依题意)(x f ⋅=)sin ,(cos x x 11)1sin 122x x +=++………（2分） sin()13x π=++ ………………………………………………（4分）（Ⅰ） 函数)(x f 的值域是[]0,2；………………………………………………（5分） 令πππππk x k 22322+≤+≤+-，解得52266k x k ππππ-+≤≤+………………（7分） 所以函数)(x f 的单调增区间为5[2,2]()66k k k Z ππππ-++∈.……………………（8分） （Ⅱ）由9()sin()1,35f παα=++=得4sin()35πα+=,因为2,63ππα<<所以,23ππαπ<+<得3cos()35πα+=-,………………………（10分） 2sin(2+)sin 2()33ππαα=+ 432sin()cos()23355ππαα=++=-⨯⨯ 2425=-……………………………………………………………………（12分）16．（本题满分12分）某学校餐厅新推出A ，B ，C ，D 四款套餐，某一天四款套餐销售情况的条形图如下. 为了了解同学对新推出的四款套餐的评价，对每位同学都进行了问卷调查，然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取20份进行统计，统计结果如下面表格所示：（Ⅰ）若同学甲选择的是A 款套餐，求甲的调查问卷被选中的概率；（Ⅱ）若想从调查问卷被选中且填写不满意的同学中再选出2人进行面 谈，求这两人中至少有一人选择的是D 款套餐的概率.解：（Ⅰ）由条形图可得，选择A ，B ，C ，D 四款套餐的学生共有200人，其中选A 款套餐的学生为40人， 由分层抽样可得从A 款套餐问卷中抽取了 42004020=⨯份. …………….（2分） 设事件M =“同学甲被选中进行问卷调查”，则.10404)(==M P . ……………………………………………………….（5分） 答：若甲选择的是A 款套餐，甲被选中调查的概率是0.1. …………….（6分）（II ）由图表可知，选A ，B ，C ，D 四款套餐的学生分别接受调查的人数为4，5，6，5. 其中不满意的人数分别为1，1，0，2个 . ………………………….（7分） 记对A 款套餐不满意的学生是a ；对B 款套餐不满意的学生是b ；对D 款套餐不满意的学生是c ，d. ………………………………………………….（8分） 设事件N =“从填写不满意的学生中选出2人，至少有一人选择的是D 款套餐”从填写不满意的学生中选出2人，共有(a ,b ),(a ,c ),(a ,d ),(b ,c ),(b ,d ),(c ,d )6个基本事件， 而事件N 有(a ,c ),(a ,d ),(b ,c ),(b ,d ),(c ,d )5个基本事件，………………………（10分） 则65)(=N P . ………………………………………………………（12分） 17．（本题满分14分）如图所示，圆柱的高为2，、DF 是圆柱的两条母线，过AD 作圆柱的截面交下底面于BC , 四边形ABCD 是正方形.（Ⅰ）求证BC BE ⊥；（Ⅱ）求四棱锥E-ABCD 的体积.（Ⅰ） AE 是圆柱的母线，∴AE ⊥下底面，又BC ⊂下底面，∴AE BC ⊥…………………………….3分 又 截面ABCD 是正方形，所以BC ⊥AB ，又AB AE A =∴BC ⊥面ABE ，又BE ⊂面ABE ，∴BC BE ⊥ ……………………………（7分）（Ⅱ）因为母线AE 垂直于底面，所以AE 是三棱锥A BCE -的高………………（8分）， 由（Ⅰ）知BC ⊥面ABE ，BC ⊂面ABCD ，∴面ABCD ⊥面ABE ， 又 面ABCD ⋂面ABE AB =，EO ⊂面ABE ，EO AB ⊥∴EO ⊥面ABCD ，即EO 就是四棱锥E ABCD -的高…………………（10分） 设正方形ABCD 的边长为x , 则AB BC x ==，BE =又 BC BE ⊥，∴EC为直径，即EC =在Rt BEC 中，222EC BE BC =+,即22244x x x =+-⇒=∴4416ABCD S =⨯=， ……………………………………………………………（12分）24AE BE EO AB ⋅===∴111633E ABCD ABCD V OE S -=⋅⋅==18.（本小题满分14分）数列{n a }的前n 项和为n S ，2131(*)22n n S a n n n N +=--+∈． （I ）设n n b a n =+，证明：数列{}n b 是等比数列； （II ）求数列{}n nb 的前n 项和n T ；（Ⅲ）若12n n n c a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，22014211k k k k k c c P c c =++=+∑．求不超过P 的最大整数的值。