45分钟滚动基础训练卷(八)

45分钟滚动基础训练卷(八)

[考查范围：第27讲～第29讲 分值：100分]

一、填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，把答案填在答题卡相应位置) 1．数列3,5,9,17,33，…的通项公式a n 等于________．

2．由a 1＝1，a n ＋1＝a n

3a n ＋1

给出的数列{a n }的第34项为________．

3．等差数列{a n }中，已知a 1＝1

3

，a 2＋a 5＝4，若a n ＝33，则n ＝________.

4．[2012·东莞联考] 在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n 等于________．

5．等差数列{a n }中，a 1＝70，公差为－9，则这个数列中绝对值最小的一项是第________项．

6．已知a n ＝log n ＋1(n ＋2)(n ∈N ＋)．我们把使乘积a 1·a 2·a 3·…·a n 为整数的数n 叫做“劣数”，则在区间(1,2 007)内的所有劣数的和为________．

7．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 6＝36，S n ＝324，S n －6＝144(n >6)，则n 等于________．

8．[2012·苏州模拟] 已知集合A n ＝{x |2n

1，且x ＝7m ＋1，m ，n ∈N ＋}，则A 6中各元素的和为________．

二、解答题(本大题共4小题，每小题15分，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

9．四个正数，前三个数成等差数列，其和为48，后三个数成等比数列，其最后一个数为25，求此四个数．

10．已知数列{a n }的首项为a 1＝3，通项a n 与前n 项和S n 之间满足2a n ＝S n ·S n －1(n ≥2)．

(1)求证：⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

1S n 是等差数列，并求公差；

(2)求数列{a n }的通项公式．

11．等比数列{a n }的公比q >1，第17项的平方等于第24项，求使a 1＋a 2＋…＋a n >1a 1＋

1

a 2

＋…＋1

a n

成立的正整数n 的取值范围．

12．设无穷等差数列{a n }的前n 项和为S n .

(1)若首项a 1＝3

2

，公差d ＝1，求满足S k 2＝(S k )2的正整数k ；

(2)求所有的无穷等差数列{a n }，使得对于一切正整数k 都有S k 2＝(S k )2成立．

45分钟滚动基础训练卷(八)

1．2n ＋1 [解析] 所给数比2,4,8,16,32大1. 2.1100 [解析] ∵1a n ＋1－1a n

＝3，∴1a n ＝1＋(n －1)×3＝3n －2，∴1a 34＝100，即a 34＝1100. 3．50 [解析] a 2＋a 5＝a 1＋d ＋a 1＋4d ＝2a 1＋5d ＝4，

又a 1＝13，∴d ＝23，a n ＝13＋(n －1)·23＝23n －1

3

.

a n ＝33，∴23n －1

3

＝33，得n ＝50.

4．2n [解析] 因数列{a n }为等比数列，则a n ＝2q n －

1，因数列{a n ＋1}也是等比数列，由(a n ＋1＋1)2

＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)⇒q ＝1，即a n ＝2，所以S n ＝2n .

5．9 [解析] a n ＝70＋(n －1)×(－9)＝－9n ＋79， ∴|a 9|＝2，|a 8|＝7，即绝对值最小的项是第9项． 6．2 026 [解析] ∵a 1a 2…a n ＝log 23·log 34·…·log n ＋1(n ＋2)＝log 2(n ＋2)＝k ，∴n ＋2＝2k .由n ＝2k －2∈(1,2 007)有2≤k ≤10(k ∈Z )，

故所有劣数的和为(22＋23＋……＋210)－2×9＝4(1－29)1－2

－18＝2 026. 7．18 [解析] 由S n ＝324，S n －6＝144得a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＋a n －4＋a n －5＝180，

再由S 6＝36，∴a 1＋a n ＝36，∴S n ＝n (a 1＋a n )

2

＝324，∴n ＝18.

8．891 [解析] 令n ＝6得26

故各元素之和为S ＝9×71＋9×8

2

×7＝891.

9．[解答] 因前三个数成等差数列，且其和为48，可令前三个数分别为16－d,16,16＋d ，又∵后三个数成等比数列，∴(16＋d )2＝25×16，∴d ＝4，d ＝－36(舍)，即四个数为12,16,20,25.

10．[解答] (1)由2a n ＝S n ·S n －1(n ≥2)得2(S n －S n －1)＝S n ·S n －1⇒1S n －1S n －1＝－1

2

，

∴⎩⎨⎧⎭

⎬⎫1S n 是等差数列，且公差为－12.

(2)1S n ＝13＋(n －1)⎝⎛⎭⎫－12⇒S n ＝65－3n

， 当n ＝1时，a 1＝3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝18

(3n －5)(3n －8)

.

11．[解答] 由题意得：()a 1q 162＝a 1q 23，∴a 1q 9＝1.

又∵数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫1a n 是以1a 1为首项，以1

q 为公比的等比数列，要使不等式成立，

则需a 1(q n

－1)q －1

>1a 1⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1q n 1－1q

，把a 21＝q －18代入上式并整理，得：q －

18(q n －1)>q ⎝⎛⎭⎫1－1q n ， ∴q n >q 19，∵q >1，∴n >19，故所求正整数n 的取值范围是n ≥20.

12．[解答] (1)当a 1＝3

2，d ＝1时，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝32n ＋n (n －1)2＝12

n 2＋n ，

由S k 2＝(S k )2，得1

2

k 4＋k 2＝⎝⎛⎭⎫12k 2＋k 2， 即k 3⎝⎛⎭

⎫1

4k －1＝0， 又k ≠0，所以k ＝4.

(2)设数列{a n }的公差为d ，则在S k 2＝(S k )2中分别取k ＝1,2，得