1.3.2 奇偶性(一) 学案(人教A版必修1)
奇偶性(原版)
1.3.2 奇偶性教学设计一、教材分析1.教材的地位与作用①内容选自人教版《高中课程标准实验教科书》A版必修1第一章第三节。
②奇偶性是函数的一个重要性质。
有了函数的奇偶性，对于某些函数来说，我们只需要研究它的一部分即可；另外，它的研究也为今后幂函数、三角函数的性质等后续内容的深入研究起着铺垫的作用。
③奇偶性的教学无论是在知识还是水平方面对学生的教育起着非常重要的作用，所以本节课充满着数学方法论的渗透教育，同时又是数学美的集中表达。
2.学情分析①已经学习了函数的单调性，对于研究函数的性质的方法已经有了一定的理解。
即使他们尚不知函数奇偶性，但学生在初中已经学习过图形的轴对称与中心对称，对图象的特殊对称性早已有一定的感性理解。
②在研究函数的单调性方面，学生懂得了由形象到具体，然后再由具体到一般的科学处理方法，具备一定数学研究方法的感性理解。
③高一学生具备一定的观察水平，但观察的深刻性还有待于提升。
④高一学生的心理具备一定的稳定性，有明确的学习动机，能自觉配合教师完成教学内容。
二、教学目标1.知识与技能①理解函数奇偶性的含义，掌握判断函数奇偶性的方法。
②能用定义来判断函数的奇偶性。
③掌握奇偶函数的图像性质。
2.过程与方法①从数和形两个角度理解函数的奇偶性。
②培养学生数形结合的思想，感悟由形象到具体，再从具体到一般地研究方法。
3.情感态度与价值观①体会具有奇偶性函数的图像对称的性质，感受数学的对称美，体验数学研究的严谨性。
②通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生的观察、归纳、抽象的水平，同时渗透数形思想，从特殊到一般的数学思想。
三、重点与难点1.重点：函数奇偶性的概念与判断2.难点：函数奇偶性的判断四、教法1.多媒体与板书相结合2.以引导发现法为主，直观演示法、设疑诱导法为辅五、教学过程1 新课导入师：同学们，上节课我们研究了函数很重要的一个性质——单调性，那么这节课我们就要来研究一下函数的另一个重要性质——奇偶性。
高一数学人教A版必修1课件1321函数的奇偶性
总结：(1)偶函数 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内 每 一个 x，都有 f(－x)＝f(x) ，那么函数 f(x)就叫做偶函数． (2)奇函数 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内 每 一个 x，都有 f(－x)＝－f(x) ，那么函数 f(x)就叫做奇函数．
【归纳提升】 (1)奇偶函数的定义域关于原点对称，如 果函数的定义域不关于原点对称，则此函数既不是奇函数也 不是偶函数．
(6)显然函数 f(x)的定义域关于原点对称． 当 x>0 时，－x<0，f(－x)＝x2－x＝－(x－x2)＝－f(x)， 当 x<0 时，－x>0，f(－x)＝－x－x2＝－(x2＋x)＝－f(x)， ∴f(－x)＝－f(x)， ∴函数 f(x)为奇函数.
2 利用函数的奇偶性求解析式
学法指导：利用函数奇偶性求函数解析式 利用函数奇偶性求函数解析式的关键是利用奇偶函数的 关系式 f(－x)＝－f(x)或 f(－x)＝f(x)成立，但要注意求给定哪 个区间的解析式就设这个区间上的变量为 x，然后把 x 转化 为－x(另一个已知区间上的解析式中的变量)，通过适当推导， 求得所求区间上的解析式．
[例 2] 已知函数 y＝f(x)的图象关于原点对称，且当 x＞0 时，f(x)＝x2－2x＋3.试求 f(x)在 R 上的表达式，并画出它的图 象，根据图象写出它的单调区间．
[分析] 由函数图象关于原点对称可知 y＝f(x)是奇函 数．利用奇函数性质可求得解析式．
[解析] ∵函数 f(x)的图象关于原点对称． ∴f(x)为奇函数，则 f(0)＝0， 设 x＜0，则－x＞0，∵x>0 时，f(x)＝x2－2x＋3， ∴f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x＋3)＝－x2－2x－3 于是有：
1.3.2 函数的奇偶性
有时判定f(-x)=±f(x)比较困难,可考虑判定 f(-x)±f(x)=0或判定f(x)/f(-x)=±1.
六，当堂训练 巩固提高
判断下列函数的奇偶性小组讨论质疑完善解题步骤
(1) f (x) x 1 x
(3) f (x) 5
(5) f (x) x 1
(2) f (x) x2 1
为后面研究奇函 数图象性质 埋下伏笔
赵州桥又名安济桥，建于隋炀帝大业年间 (公元 595-605)年间，是著名匠师李春建造。桥长64.40米， 跨径37.02米，是当今世界上跨径最大、建造最早的单 孔敞肩型石拱桥。这是世界造桥史的一个创造。
y=f(x)
y
(-m,f(m))
O
y
O
f (x)=x2
学生已学过单调性，对探索函数奇偶性有良好的基础，
而且初中学过轴对称图形和中心对称图形，但对对称
图形的抽象几何意义及特征用函数符号抽象表示很困
（二）教学目标：
难
1.知识与技能
(1).使学生理解奇函数、偶函数的概念及其几 何意义；
(2).使学生掌握判断函数奇偶性的方法。
2.过程与方法.
(1).培养学生判断、推理的能力；
②图象法: 看图象是否关于原点或y轴对称。
例1，2巩固基本概念
五 小组独立完成多媒体 展示答案 例 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)奇、偶函数的定义域都关于原点对称．( )
(2)若函数 y＝f(x)满足 f(x)－f(－x)＝0，则 y＝f(x)是
偶函数；若函数 y＝f(x)满足 f(x)＋f(－x)＝0，则 y＝f(x)
1、对定义域中的每一 个x，-x是也在定义 域内；
人教A版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第五章 三角函数 第1课时 周期性、奇偶性
故该函数既是奇函数又是偶函数.
探究点三 函数奇偶性与周期性的综合问题
【例3】定义在上的函数()既是偶函数,又是周期函数,若()的最小正周期为π,
π
5π
∵ (−) = |sin(−)| + cos(−) = |sin | + cos = (),∴函数()是偶函数.
（2）() =
解 () =
3
sin(
4
3
sin(
4
+
3
4
+
3π
);
2
3π
)
2
=
3
−cos ,
4
3
4
∈ .
∵ (−) = −cos(− ) = −cos = (),
第五章 三角函数
5.4 三角函数的图象与性质
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第1课时 周期性、奇偶性
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
【课标要求】1.理解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求正弦函数、余弦函数的
周期，并会应用.3.掌握正弦函数、余弦函数的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性.
1
3
（4） = |cos |, ∈ .
解 函数 = |cos |的图象如图（实线部分）所示.
由图象可知, = |cos |的最小正周期为π.
规律方法求三角函数的最小正周期的常用方法
（1）公式法,即先将函数化为 = sin( + ) + 或 = cos( + ) +
【成才之路】2014-2015学年高中数学 1.3.2 奇偶性 第1课时 函数的奇偶性课件 新人教A版必修1
[分析] (1) 定义域关于原点对称 得到a，b所满足 → fx关于y轴对称 的关系，进而求值
(2)利用奇偶性质求值． (3)利用奇偶性确定 m 的值，再求单调区间．
[解析] (1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以 a－1 1 ＝－2a，解得 a＝3. 1 2 又函数 f(x)＝3x ＋bx＋b＋1 为二次函数，结合偶函数图象 的特点，易得 b＝0.
2．了解奇函数和偶函数图象的对称性．
●温故知新 旧知再现 1 ．轴对称图形：如果一个图形上的任意一点关于某一条 直线 的对称点仍是这个图形上的点，就称该图形关于该直线 _____
对称轴 ． 成轴对称图形，这条直线称作该轴对称图形的________
2 ．中心对称图形：如果一个图形上的任意一点关于某一 ____ 点 的对称点仍是这个图形上的点，就称该图形关于该点成中 心对称图形，这个点称作该中心对称图形的 __________． 对称中心 (－a，b) ，关于原 3．点P(a、b)关于y轴的对称点为P′__________ (－a，－b ) 点的对称点P″__________ ．
1 2 2x ＋1，x＞0 (4)f(x)＝ －1x2－1，x＜0 2
.
[分析] → 定义域关于原点对称 利用函数奇偶性 — 的定义进行判断 → 研究f－x与 → 分段函数需分 段来研究 fx的关系
[解析]
(1)函数f(x)＝x＋1的定义域为实数集R，关于原点
对称．
＝ －f(x)＝－x3. „可类推出：f(－x) ____
新知导学
1．偶函数和奇函数 偶函数 定 义 奇函数 f(－x)＝_____ －f(x) 函数f(x)叫做奇函数 图象关于_____ 原点 对称
2020高中数学A版新教材必修1学案导学案 第三章 3.2.2 奇偶性
－3 B.f(2)<f 2 <f(－1)
－3 C.f(2)<f(－1)<f 2
－3 D.f(－1)<f 2 <f(2) 解析 ∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，
∴f(2)＝f(－2).
又 f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，且－2<－3<－1. 2
－x2－x，x<0， 综上可知 f(x)＝
x2－x，x≥0. (2)设 x<0，－x>0， 则 f(－x)＝(－x)2＋(－x)－1＝x2－x－1， 又 f(x)在 R 上为偶函数，∴当 x∈(－∞，0)时，f(x)＝f(－x)＝x2－x－1. 题型四 函数单调性与奇偶性的应用 方向 1 比较大小问题 【例 4－1】 若对于任意实数 x 总有 f(－x)＝f(x)，且 f(x)在区间(－∞，－1]上是 增函数，则( )
－∞，－5 5，＋∞
单调递减区间是
2和2
.
4.(1)中的函数在区间(－∞，－2]与[2，＋∞)上单调性相反，(2)中的函数在区间
－5，0 0，5 2 与 2 上单调性相同.
1.函数的奇偶性 奇、偶函数的定义域关于原点对称
奇偶性
定义
图象特点
设函数 f(x)的定义域为 I，如果 x∈I，都有－x∈I，且
为________________________________________________________.
解析 因为函数 f(x)在区间[－3，－1]上是减函数，所以 f(－1)<f(－2)<f(－3).
又函数 f(x)是偶函数，则 f(－x)＝f(x).即 f(－1)＝f(1)，f(－2)＝f(2)，
函数的奇偶性教学设计.doc
函数的奇偶性教学设计孟凡勋内蒙古乌兰浩特一小X-3 -2 -10 1 2 3 fM = x 2 （1）这两个函数图象有什么共同特征？X ・3 •2 0 1 2 3 /（无）=W辅助教学。
6教学策略分析从一线教学來看，两数的奇偶性教学要比单调性的教学较为容易一些，也正因如此一 些一线教师对奇偶性的教学重视不够，基本上是以广而告之式的教学方式进行教学，然后抛 出大量的习题让学生去做。
事实上，高一的学生还没有完全适应高中数学的特点，这种教学 方式不仅会让一部分学生不能适应，而U 还会造成学生不重视概念课的教学，不能体会到概 念的形成过程、不能对概念的本质进行深入的挖掘、不能形成对概念的深刻认识。
学生会错 误的认为高中数学就是解题。
长此以往对学生的学习极为不利。
为此在教学中学生要领悟概 念的生成过程，体会数学的基本思想和方法，本节课的核心思想是数形结合思想。
高一的学 生在领悟思想方法的过程中需要过程和载体，本节内容就是一节体会思想方法的重要载体的 课。
在教学中，给学生较多的时间去作图，思考、举例、沟通是非常重要的。
也是符合新课 程理念的。
因此在教学中采用自主合作，问题导学等教学方法。
教学以“数学知识发生发展的过程和理解数学知识的心理过程为基本线索”让知识自 然的流入学生的头脑之中。
在得到函数的的奇偶性定义时尽可能多的让学生多举出奇函数或 偶函数的例子，如果调动学生的能力不够或启发不当，会造成学生的学习不自然，教师的教 学强加于人，同时概念教学培养学生思维能力的作用会大打折扣。
本节课的教学流程如下：7教学过程（1） 教学引言一直击课题引言在函数的单调性学习中，我们先是从几个特殊的函数图象开始，通过对函数图象 的观察，也即对“形”的认识，从数学直观上体验到函数图彖的上升或下降，乂进一步从“数” 的角度给出函数的单调性定义。
本节课我们用同样的方法来研究函数的奇偶性。
设计意图所谓好的开始是成功的一半，老师的儿句引言对本节课的学习起到提纲挈领 的作用。
1.3.2函数的奇偶性(第1课时)教学设计
函数的奇偶性（第1课时）教学设计嵊州市三界中学竹林烽一．教材分析1 教材的地位与作用内容选自人教版A版必修1第一章第三节;函数奇偶性是研究函数的一个重要策略,因此成为函数的重要性质之一,它的研究也为今后幂函数、三角函数的性质等后续内容的深入起着铺垫的作用;奇偶性的教学无论是在知识还是在能力方面对学生的教育起着非常重要的作用,因此本节课充满着数学方法论的渗透教育,同时又是数学美的集中体现。
2 学情分析已经学习了函数的单调性，对于研究函数的性质的方法已经有了一定的了解。
尽管他们尚不知函数奇偶性,但学生在初中已经学习过图形的轴对称与中心对称，对图象的特殊对称性早已有一定的感性认识；在研究函数的单调性方面，学生懂得了由形象到具体,然后再由具体到一般的科学处理方法,具备一定数学研究方法的感性认识；高一学生具备一定的观察能力，但观察的深刻性及稳定性也都还有待于提高；高一学生的学习心理具备一定的稳定性,有明确的学习动机，能自觉配合教师完成教学内容。
二．目的分析教学目标：1、奇函数的概念；2、偶函数的概念；3、函数奇偶性的判断；过程与方法目标：1、培养学生的类比，观察,归纳能力；2、渗透数形结合的思想方法，感悟由形象到具体,再从具体到一般的研究方法情感态度与价值观目标：1、对数学研究的科学方法有进一步的感受；2、体验数学研究严谨性，感受数学对称美重点与难点重点：函数奇偶性的概念难点：函数奇偶性的判断三．教法、学法、教学手段教法自学辅导法、讨论法、讲授法学法归纳——讨论——练习教学手段多媒体电脑四．过程分析（一）情境导航、引入新课问题提出源于生活，那么我们现在正在学习的函数图象，是否也会具有对称的特性呢是否也体现了图象对称的美感呢（二）构建概念、突破难点考察下列两个函数：1 2思考1:这两个函数的图象有何共同特征思考2:对于上述两个函数，f1与f-1，f2与f-2，f与f-有什么关系一般地，若函数=f的图象关于轴对称，当自变量任取定义域中的一对相反数时，对应的函数值相等。
高中数学 13 函数的基本性质 2 函数的奇偶性学案 新人教A版必修1 学案
函数的奇偶性●知识梳理1.奇函数：对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）=－f（x）〔或f（x）+f（－x）=0〕，则称f（x）为奇函数.2.偶函数：对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）=f（x）〔或f（x）－f（－x）=0〕，则称f（x）为偶函数.3.奇、偶函数的性质（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）.（2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.（3）若奇函数的定义域包含数0，则f（0）=0.（4）奇函数的反函数也为奇函数.（5）定义在（－∞，+∞）上的任意函数f（x）都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和.●点击双基1.下面四个结论中，正确命题的个数是①偶函数的图象一定与y轴相交②奇函数的图象一定通过原点③偶函数的图象关于y轴对称④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f（x）=0（x∈R）A.1B.2C.3解析：①不对；②不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f（x）=0〔x∈（－a，a）〕.答案：Af（x）=ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函数，那么g（x）=ax3＋bx2＋cx是A.奇函数解析：由f（x）为偶函数，知b=0，有g（x）=ax3＋cx（a≠0）为奇函数.答案：Af （x ）在区间［－1，0］上是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式中正确的是A.f （cos α）＞f （cos β）B.f （sin α）＞f （cos β）C.f （sin α）＞f （sin β）D.f （cos α）＞f （sin β）解析：∵偶函数f （x ）在区间［－1，0］上是减函数，∴f （x α、β是锐角三角形的两个内角， ∴α+β＞90°，α＞90°－β.1＞sin α＞cos β＞0.∴f （sin α）＞f （cos β）.答案：Bf （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则a ＝___________，b ＝___________. 解析：定义域应关于原点对称，故有a －1＝－2a ，得a ＝31. 又对于所给解析式，要使f （－x ）＝f （x ）恒成立，应b ＝0. 答案：31 0 5.给定函数:①y=x 1（x ≠0）；②y=x 2+1；③y=2x ；④y=log 2x ；⑤y=log 2（x+12 x ）. 在这五个函数中，奇函数是_________，偶函数是_________，非奇非偶函数是__________. 答案：①⑤②③④●典例剖析【例1】 已知函数y=f （x ）是偶函数，y=f （x －2）在［0，2］上是单调减函数，则A.f （0）＜f （－1）＜f （2）B.f （－1）＜f （0）＜f （2）C.f （－1）＜f （2）＜f （0）D.f （2）＜f （－1）＜f （0）剖析：由f （x －2）在［0，2］上单调递减，∴f （x ）在［－2，0］上单调递减.∵y=f （x ）是偶函数，∴f （x ）在［0，2］上单调递增.又f （－1）=f （1），故应选A.答案：A【例2】 判断下列函数的奇偶性：（1）f （x ）=|x+1|－|x －1|；（2）f （x ）=（x －1）·xx -+11； （3）f （x ）=2|2|12-+-x x ； （4）f （x ）=⎩⎨⎧>+<-).0()1(),0()1(x x x x x x 剖析：根据函数奇偶性的定义进行判断.解：（1）函数的定义域x ∈（－∞，+∞），对称于原点.∵f （－x ）=|－x+1|－|－x －1|=|x －1|－|x+1|=－（|x+1|－|x －1|）=－f （x ），∴f （x ）=|x+1|－|x －1|是奇函数.xx -+11≥0，得－1≤x ＜1，其定义域不对称于原点，所以f （x ）既不是奇函数也不是偶函数. （3）去掉绝对值符号，根据定义判断.由⎩⎨⎧≠-+≥-,02|2|,012x x 得⎩⎨⎧-≠≠≤≤-.40,11x x x 且 故f （x ）的定义域为［－1，0）∪（0，1］，关于原点对称，且有xf （x ）=2212-+-x x =xx 21-，这时有f （－x ）=x x ---2)(1=－xx 21-=－f （x ），故f （x ）为奇函数. （4）∵函数f （x ）的定义域是（－∞，0）∪（0，+∞），并且当x ＞0时，－x ＜0，∴f （－x ）=（－x ）［1－（－x ）］=－x （1+x ）=－f （x ）（x ＞0）.当x ＜0时，－x ＞0，∴f （－x ）=－x （1－x ）=－f （x ）（x ＜0）.故函数f （x ）为奇函数.评述：（1）分段函数的奇偶性应分段证明.（2）判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式.【例3】 （2005年东城区模拟题）函数f （x ）的定义域为D={x|x ≠0}，且满足对于任意x 1、x 2∈D ，有f （x 1·x 2）=f （x 1）+f （x 2）.（1）求f （1）的值；（2）判断f （x ）的奇偶性并证明；（3）如果f （4）=1，f （3x+1）+f （2x －6）≤3，且f （x ）在（0，+∞）上是增函数，求x 的取值X 围.（1）解：令x 1=x 2=1，有f （1×1）=f （1）+f （1），解得f （1）=0.（2）证明：令x 1=x 2=－1，有f ［（－1）×（－1）］=f （－1）+f （－1）.解得f （－1）=0. 令x 1=－1，x 2=x ，有f （－x ）=f （－1）+f （x ），∴f （－x ）=f （x ）.∴f （x ）为偶函数.（3）解：f （4×4）=f （4）+f （4）=2，f （16×4）=f （16）+f （4）=3.∴f （3x+1）+f （2x －6）≤3即f ［（3x+1）（2x －6）］≤f （64）.（*）∵f （x ）在（0，+∞）上是增函数，∴（*）等价于不等式组⎩⎨⎧≤-+>-+64)62)(13(,0)62)(13(x x x x 或⎩⎨⎧≤-+-<-+,64)62)(13(,0)62)(13(x x x x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤--<>537,313x x x 或或⎪⎩⎪⎨⎧∈<<-.,331R x x ∴3＜x ≤5或－37≤x ＜－31或－31＜x ＜3. ∴x 的取值X 围为{x|－37≤x ＜－31或－31＜x ＜3或3＜x ≤5}. 评述：解答本题易出现如下思维障碍：（1）无从下手，不知如何脱掉“f ”.解决办法:利用函数的单调性.（2）无法得到另一个不等式.解决办法：关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反.深化拓展已知f （x ）、g （x ）都是奇函数，f （x ）＞0的解集是（a 2，b ），g （x ）＞0的解集是（22a ，2b ），2b ＞a 2，那么f （x ）·g （x ）＞0的解集是 A.（22a ，2b ）B.（－b ，－a 2） C.（a 2，2b ）∪（－2b ，－a 2）D.（22a ，b ）∪（－b 2，－a 2） 提示：f （x ）·g （x ）＞0⇔⎩⎨⎧>>0)(,0)(x g x f 或⎩⎨⎧<<.0)(,0)(x g x f ∴x ∈（a 2，2b ）∪（－2b ，－a 2）. 答案：C【例4】 （2004年某某模拟题）已知函数f （x ）=x+x p +m （p ≠0）是奇函数. （1）求m 的值.（2）（理）当x ∈［1，2］时，求f （x ）的最大值和最小值.（文）若p ＞1，当x ∈［1，2］时，求f （x ）的最大值和最小值.解：（1）∵f （x ）是奇函数，∴f （－x ）=－f （x ）.∴－x －x p +m=－x －xp －m. ∴2m=0.∴m=0.（2）（理）（ⅰ）当p ＜0时，据定义可证明f （x ）在［1，2］上为增函数.∴f （x ）max =f （2）=2+2p ，f （x ）min =f （1）=1+p. （ⅱ）当p ＞0时，据定义可证明f （x ）在（0，p ］上是减函数，在［p ，+∞）上是增函数. ①当p ＜1，即0＜p ＜1时，f （x ）在［1，2］上为增函数，∴f （x ）max =f （2）=2+2p ，f （x ）min =f （1）=1+p. ②当p ∈［1，2］时，f （x ）在［1，p ］上是减函数.在［p ，2］上是增函数.f （x ）min =f （p ）=2p .f （x ）max =max{f （1），f （2）}=max{1+p ，2+2p }. 当1≤p ≤2时，1+p ≤2+2p ，f （x ）max =f （2）；当2＜p ≤4时，1+p ≥2+2p ，f （x ）max =f （1）. ③当p ＞2，即p ＞4时，f （x ）在［1，2］上为减函数，∴f （x ）max =f （1）=1+p ，f （x ）min =f（2）=2+2p . （文）解答略.评述：f （x ）=x+xp （p ＞0）的单调性是一重要问题，利用单调性求最值是重要方法.函数的基本性质要点精讲1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x 都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x 都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。
高中数学_奇偶性教学设计学情分析教材分析课后反思
1.3.2奇偶性一【教学目标】1.理解函数的奇偶性及奇偶性函数的图象特征；2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质；3.学会判断函数的奇偶性； 二【教学重难点】教学重点：函数的奇偶性及其几何意义教学难点：判断函数的奇偶性 三【教学过程】师：在日常生活中，我们经常会接触到一些外形十分对称的物体，比如蝴蝶，北京的故宫，它们是什么对称图形？还有双鱼年画，太极图案，它们是什么对称图形？这些对称物体向人们展示了一种美---对称美，对称美给人民带来了美的享受，其实这种美在数学中也有大量的反应，如函数图象关于y 轴和原点对称，这节课我们一起来学习函数的这个性质——函数的奇偶性（引出课题）首先，大家回顾一下在初中所学的函数中，哪些函数的图象是对称的？ 生：二次函数，一次函数，反比例函数师：很好！那接下来我们以2x y =和x y -=2为例来探究它们的性质特征，先来看第一个问题。
问题1：观察两个函数图象并思考以下问题： （1）这两个函数图象有什么共同特征吗？（2）相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？生：这两个函数图象都关于y 轴对称.师：那么如何利用函数的解析式描述函数的图象关于y 轴对称呢？x-3 -2 -1 0 1 2 3-222yx表1表2填写表1和表2，从这个表格中，大家发现了什么规律？ 生：当自变量x 取一对相反数时，相应的函数值相等。
师：我们不妨以2x y =为例，对于2)(x x f =，有)3(9)3(f f ==- )2(4)2(f f ==- )1(1)1(f f ==- 等等问题：对函数2)(x x f =，是否对于定义域内任取一对相反数x 和x -，都有)()(x f x f =-呢？能用函数解析式给出证明吗？生：是 )()()(22x f x x x f ==-=- )()(x f x f =-∴师：很好！对于函数2)(x x f =来说，对于定义域R 内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，这时我们称函数2)(x x f =为偶函数。
【金版新学案】高一数学人教A版必修一练习：1.3.2奇偶性(含答案详析)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分) 1．下列函数是偶函数的是( ) A ．y ＝2x 2－3 B ．y ＝x 3C ．y ＝x 2，x ∈[0,1]D ．y ＝x解析： 对于A ：f (－x )＝2(－x )2－3＝2x 2－3＝f (x )，∴f (x )是偶函数，B 、D 都为奇函数，C 中定义域不关于原点对称，函数不具备奇偶性，故选A.答案： A2．函数f (x )＝1x－x 的图象( )A ．关于y 轴对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于坐标原点对称D ．关于直线y ＝－x 对称 解析： ∵f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f (－x )＝－1x －(－x )＝x －1x＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，图象关于原点对称．答案： C3．若函数f (x )＝ax 2＋(a －2b )x ＋a －1是定义在(－a,0)∪(0,2a －2)上的偶函数，则f ⎝⎛⎭⎫a 2＋b 25＝( )A ．1B ．3C.52D.72解析： 因为偶函数的定义域关于原点对称，则－a ＋2a －2＝0，解得a ＝2.又偶函数不含奇次项，所以a －2b ＝0，即b ＝1，所以f (x )＝2x 2＋1.于是f ⎝⎛⎭⎫a 2＋b 25＝f (1)＝3.答案： B4．已知函数f (x )在[－5,5]上是偶函数，f (x )在[0,5]上是单调函数，且f (－3)<f (1)，则下列不等式中一定成立的是( )A ．f (－1)<f (－3)B ．f (2)<f (3)C ．f (－3)<f (5)D ．f (0)>f (1)解析： ∵f (－3)＝f (3)，∴f (3)<f (1)．∴函数f (x )在x ∈[0,5]上是减函数，∴f (0)>f (1)成立． 答案： D5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数，则m ＝____________.解析： 当x <0时，－x >0，f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又∵f (x )为奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )＝－x 2－2x . ∴f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，∴m ＝2. 答案： 26．已知y ＝f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )＝x 2＋ax ，且f (3)＝6，则a 的值为________． 解析： 因为f (x )是奇函数，所以f (－3)＝－f (3)＝－6，所以(－3)2＋a (－3)＝－6，解得a ＝5.答案： 57．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．解析： 依据已知条件求出y ＝f (x )，x ∈R 的解析式，再借助y ＝f (x )的图象求解． 设x <0，则－x >0.∵当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ， ∴f (－x )＝(－x )2－4(－x )． ∵f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (－x )＝f (x )， ∴f (x )＝x 2＋4x (x <0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ≥0，x 2＋4x ，x <0，由f (x )＝5得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ＝5，x ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＝5，x <0，∴x ＝5或x ＝－5.观察图象可知由f (x )<5，得－5<x <5. ∴由f (x ＋2)<5，得－5<x ＋2<5，∴－7<x <3. ∴不等式f (x ＋2)<5的解集是{x |－7<x <3}． 答案： {x |－7<x <3}8．已知函数f (x )＝1－2x.(1)若g (x )＝f (x )－a 为奇函数，求a 的值；(2)试判断f (x )在(0，＋∞)内的单调性，并用定义证明． 解析： (1)由已知g (x )＝f (x )－a 得， g (x )＝1－a －2x，∵g (x )是奇函数，∴g (－x )＝－g (x )， 即1－a －2－x＝－⎝⎛⎭⎫1－a －2x ， 解得a ＝1.(2)函数f (x )在(0，＋∞)内为增函数． 证明如下：设0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2) ＝1－2x 1－⎝⎛⎭⎫1－2x 2＝x 1－x 2x 1x 2∵0<x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1x 2>0， 从而x 1－x 2x 1x 2<0，即f (x 1)<f (x 2)．∴函数f (x )在(0，＋∞)内是增函数．9．已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x >0时， f (x )＝x 2－2x .(1)求出函数f (x )在R 上的解析式； (2)画出函数f (x )的图象．解析： (1)①由于函数f (x )是定义域为R 的奇函数， 则f (0)＝0；②当x <0时，－x >0，∵f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－2(－x )] ＝－x 2－2x ，综上：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ， x 0， x ＝－x 2－2x x(2)图象如图：能力测评10．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫13，23B.⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎣⎡⎭⎫12，23解析： 由于f (x )为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则不等式f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13，即－13<2x －1<13，解得13<x <23.答案： A11．函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且它是减函数，若实数a ，b 满足f (a )＋f (b )>0，则a ＋b ________0(填“>”、“<”或“＝”)．解析： 由f (a )＋f (b )>0得f (a )>－f (b )， ∵f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )． ∴f (a )>f (－b )，又f (x )为减函数， ∴a <－b ，即a ＋b <0. 答案： <12．函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫12＝25. (1)确定函数f (x )的解析式；(2)用定义证明：f (x )在(－1,1)上是增函数；(3)解不等式：f (t －1)＋f (t )<0.解析： (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f ＝0，f ⎝⎛⎭⎫12＝25，即⎩⎪⎨⎪⎧b1＋02＝0，a2＋b1＋14＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，∴f (x )＝x 1＋x 2.(2)证明：任取－1<x 1<x 2<1，则x 2－x 1>0， f (x 2)－f (x 1)＝x 21＋x 22－x 11＋x 21＝x 2－x 1－x 1x 2＋x 21＋x 22.∵－1<x 1<x 2<1， ∴－1<x 1x 2<1,1－x 1x 2>0. 于是f (x 2)－f (x 1)>0， ∴f (x )为(－1,1)上的增函数． (3)f (t －1)<－f (t )＝f (－t )． ∵f (x )在(－1,1)上是增函数， ∴－1<t －1<－t <1，解得0<t <12.13．已知函数y ＝f (x )不恒为0，且对于任意x 、y ∈R ，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，求证：y ＝f (x )是奇函数．证明： 在f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )中， 令y ＝－x ，得f (0)＝f (x )＋f (－x )，令x ＝y ＝0，则f (0)＝f (0)＋f (0)，所以f (0)＝0. 所以f (x )＋f (－x )＝0， 即f (－x )＝－f (x )， 所以y ＝f (x )是奇函数．。
1.3.2 奇偶性第二课时 课件(人教A版必修1)
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0<x<2 0<3x<2 x<1 2
0<x<2 0<x<2 3 ⇔ 1 x< 2
1 ，∴0<x< . 2
1 即不等式解集为x|0<x<2
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第2课时 奇偶性的应用
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1．巩固函数奇偶性的性质，并能熟练应用． 2．能利用函数的奇偶性、单调性解决一些综合 问题．
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自学导引
0 1．定义在R上的奇函数，必有f(0)＝__. 2．若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有 增 最大值M，则f(x)在[－b，－a]上是___函数，且 最小值－M 有__________. 3．若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则 增函数 有f(x)在(0，＋∞)上是_______．
点评：函数单调性的实质是自变量的变化与函 数变化的内在统一性，解答这类题的思路是：先由 函数的奇偶性将不等式两边都变成只含“f”的式子， 然后根据函数的单调性列出不等式(组)求解．
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2．设定义在[－2,2]上的偶函数g(x)，当x≥0时，g(x) 单调递减，若g(1－m)<g(m)成立，求m的取值范围． 解：∵g(x)是定义在[－2,2]上的偶函数， 且在[0,2]上单调递减，∴g(x)在[－2,0]上单调递增， 又∵g(1－m)<g(m)，
1.3.2 奇偶性第一课时 课件(人教A版必修1)
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1．判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝|x＋1|－|x－1|； (2)f(x)＝ 1 3 x2 ；
(3)f(x)＝ x－1＋ 1－x.
解：(1)f(x)定义域为R，关于原点对称， 又f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1| ＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数．
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(2)在判断 f(－x)与 f(x)的关系时，可以从 f(－x) 开始化简，也可以去考虑 f(－x)＋f(x)或 f(－x)－f(x) f－x 是否为 0，当 f(x)不等于 0 时也可考虑， 与1或 fx －1 的关系．
3．奇、偶函数的图象特征 (1)如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象 是以坐标原点为对称中心的中心对称图形．反之， 如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中 心对称图形，则这个函数是奇函数．
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1.3.2
第1课时
奇偶性
函数奇偶性的概念
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1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 2．掌握判断函数奇偶性的方法． 3．了解奇函数和偶函数的图象的特点．
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(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前 提条件．由函数奇偶性的定义知，若x是定义域中的 一个数值，则－x必然在定义域中，因此，函数y＝ f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义 域在数轴上所示的区间关于原点对称．换言之，若 所给函数的定义域不关于原点对称，则函数一定不 具有奇偶性．如函数y＝2x在(－∞，＋∞)上是奇函数， 但在[－2,3] 上则无奇偶性可言． (3)既奇又偶函数的表达式是f(x)＝0，x∈A，定 义域A是关于原点对称的非空数集． (4)若奇函数在原点处有定义，则有f(0)＝0.
高中数学新人教版A版精品教案《1.3.2 奇偶性》
“ 函数的奇偶性”教学设计一、教材分析“函数的奇偶性”是人教A 版必修1第一章“集合与函数概念”的第3节“函数的基本性质”的第2小节的内容。
奇偶性是函数的重要性质，教材从学生熟悉的一次函数、二次函数、反比例函数、绝对值函数入手，从特殊到一般，从具体到抽象，比较系统地介绍了函数的奇偶性。
从知识结构看，它既是函数概念的拓展和深化，又为后续研究指数函数、对数函数、幂函数、三角函数的基础，因此，本节课起着承上启下的重要作用。
学习奇偶性，能使学生再次体会到数形结合思想，初步学会用数学的眼光看待事物，感受数学的对称美。
二、学情分析（一）知识基础1、学生在初中已经学习了轴对称图形和中心对称图形，对图像的特殊对称性早已有一定的感性认识；2、掌握了部分具有奇偶性的简单函数的图像，如＝，2x y 等，为研究函数的奇偶性提供了图像累了函数研究的基本方法与初步经验，已经懂得了从形象到具体，再由具体到一般的研究方法。
（二）认知水平和能力高一学生思维能力正在由形象经验型向抽象理论型转变，能够用假设、推理来思考和解决问题，能在教师的引导下完成学习任务。
但是，学生看待问题还是静止的、片面的，抽象概括能力比较薄弱，这对建构奇偶性的概念造成了一定的困难。
（三）任教班级学生特点我所授课的班级是文科班，班级数学基础较差，层次不均，但具有较强的好奇心和求知欲。
根据以上分析，综合学生已有认知基础的条件下，我设计了以下教学目标。
三、教学目标【知识与技能】理解函数的奇偶性概念及几何特征； 学会根据定义归纳奇偶函数满足的条件 掌握判断函数奇偶性的方法。
【过程与方法】经历奇偶性概念的形成过程，提高观察抽象能力以及从特殊到一般的归纳概括能力 【情感、态度与价值观】通过自主探索，体会数形结合的思想，感受数学的对称美四、教学重点和难点重点：理解函数奇偶性的概念和几何特征难点：奇偶性概念的数学化提炼过程及掌握判断函数奇偶性的方法五、教法与学法引导发现法为主，直观演示法，设疑诱导法为辅（一）教法：（1）本节课用“微课”导入，集中学生注意力，激发学生的求知欲，调动学生的积极性；（2）采用直观演示法和启发式教学法，启发学生对图像的认识由感性上升到理性。
数学必修一奇偶性学案
数学必修一奇偶性学案学习目标要求：1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义；2.掌握判断函数奇偶性的方法；3.学会利用图象理解和研究函数的性质。
一、函数的奇偶性定义1．偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数。
2．奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=-f(x)，那么f(x)就叫做奇函数。
注意：○1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；○2由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
思考：(1)定义中“定义域内任意一个x”说明奇偶性的存在范围是什么?这与单调性有何区别?只有对定义域中的每一个x，都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x)，才能说f(x)是奇(偶)函数。
任意一个x函数奇偶性与单调性区别：①奇偶性是函数在定义域上的对称性，单调性是反映函数在某一区间上的函数值的变化趋势。
②奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的，这一点与函数的单调性不同，从这个意义上来讲，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质。
(2)定义中“都有f(-x)=±f(x)”说明具有奇偶性的函数的定义域有何特征?由定义知，若x是定义域中的一个数值，则-x也必然在定义域中，因此，函数y=f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是：定义域关于原点对称；换言之，所给函数的定义域若不关于原点对称，则这个函数必不具有奇偶性。
(3)若奇函数或偶函数在原点处有定义,则f(0)是确定的值吗?对奇函数而言，f(0)=0；对偶函数而言无法确定。
二、具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称。
三、典型例题1．判断函数的奇偶性利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称(定义域中任取x ，都存在-x 与之对应)；○2 确定f(－x)与f(x)的关系；○3 作出相应结论：（函数根据奇偶性类型：奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数。
函数的奇偶性说课稿
函数的奇偶性说课稿函数的奇偶性说课稿1尊敬的各位老师：大家好，我是1号考生。
我说课的题目是《函数的奇偶性》（板书课题），根据新课标的理念，以教什么，怎么教，为什么这样教为思路，我从6个方面进行说课。
一、说设计理念根据新课程教学理念，在教学中，我以领悟为目的，练习为主线，引导学生自主学习，合作探究，在教学中，注重培养学生逻辑思维能力、创新能力、合作能力、归纳能力、及数学联系生活的能力。
即实现数学教学的知识目标，又实现育人的情感目标。
二、说教材《函数的奇偶性》是人教版第一章集合与函数概念单元的重要知识点。
全面介绍了偶函数的定义及判定，奇函数的定义及判定等两部分知识。
为后面学习指数函数、对数函数、三角函数等知识奠定了基础。
（一）教学目标：依据本节课的知识特点及新课标要求，本课的三维教学目标是：1.知识与技能目标是：理解函数的奇偶性及其几何意义，掌握判断函数奇偶性的方法。
2.过程与方法目标是：通过学生自主探索，合作学习，培养学生的观察、分析和归纳等数学能力，渗透数形结合的数学思想。
3.情感态度与价值观目标是：让学生了解数学在生活中运用的广泛性和实用性，引发学生学习数学知识的兴趣。
（二）重点、难点：重点是：函数的奇偶性及其几何意义。
难点是：判断函数的奇偶性的方法。
（三）学情分析本课的授课对象是高一年级的学生，他们思维活跃，求知欲强，他们已经初步认识了函数的概念，高一年级的学生有自主学习、合作探究的能力，但仍需要教师的指导。
三、教法学法教法：本节课采用自主探究法、启发式教学法、讨论交流法等。
学法：引导学生探究合作，归纳总结，注重对学生自主探究问题能力的培养，发挥学习小组的合作作用。
四、教学准备教师制作多媒体课件，编印导学案；学生预习课文，观察生活中具有对称美的物体或图像。
五、教学过程本节课我从导、研、练、拓、升五个环节进行说课。
环节一：创设情境，导入新课。
（导3）、该环节，用多媒体向学生展示现实生活中蝴蝶、太阳、湖面倒影等具有对称性的图像，再让学生举例函数图像是否有类似的属性？通过评价学生回答，引出本节课的标题：函数的奇偶性。
1.3.2函数的奇偶性(一)课件
练习2.判断下列函数的奇偶性
1 (1) f ( x ) x x
解:定义域为{x|x≠0},
f ( x ) ( x ) ( 1 ) x x 1 , x
(3)f(x)=5 解:f(x)的定义域为R. ∵ f(-x)=f(x)=5 ∴f(x)为偶函数. y 5 o x
2 x 2 x, x 0, 故f ( x ) 2 x 2 x, x 0.
o
x
即 f(-x)= - f(x),
∴f(x)为奇函数.
(3) f ( x ) 1 x 2 x 2 1
(4)f(x)=|x+1|-|x-1|
解:函数的定义域为{-1,1},
f (1) f (1) f (1) 0.
∴f(x)既是偶函数, 又是奇函数.
例4.若函数 f x m 1 x 2mx 3
课堂作业 作业:课本P42 练习2， P4610
2.设y=f(x)为R上的任一函数,判断下列函数的奇偶性: (1). F(x)=f(x)+f(- x) (2)F(x)=f(x)-f(-x)
课外作业
学案P.22-23
例3.已知f(x)是奇函数,当x≥0时,f(x)=x2－2x, 求当 x＜0时,f(x)的解析式,并画出此函数 f(x) y 的图象. 解:∵f(x)是奇函数, ∴f(-x)=－f(x). ∵当x≥0时,f(x)=x2－2x, ∴当x＜0时,-x>0, f(-x) = (-x)2-2(-x) = x2+2x, 即 -f(x)= (x2+2x),∴ f(x)=-x2-2x.
2
是偶函数,求m的值.
1.两个定义: 对于f(x)定义域内的任意一个x ,
奇偶性教案
1.3 函数的基本性质 1.3.2 奇偶性一、教材分析：“奇偶性”是人教A 版必修1第一章“集合与函数概念”的第3节“函数的基本性质”的第2小节。
奇偶性是函数的一条重要性质，教材从学生熟悉的，等具有对称性的函数入手，从特殊到一般，从具体到抽象，注重信息技术的应用，比较系统地介绍了函数的奇偶性．从知识结构看，它既是函数概念的拓展和深化，又为是续研究指数函数、对数函数、幂函数、三角函数的基础。
因此，本节课起着承上启下的重要作用。
学习奇偶性，能使学生再次体会到数形结合思想，初步学会用数学的眼光看待事物，感受数学的对称美。
二、学习目标：①理解函数的奇偶性及其几何意义,培养学生观察、抽象的能力,以及从特殊到一般的概括、归纳问题的能力;②学会运用函数图象理解和研究函数的性质,掌握判断函数的奇偶性的方法,渗透数形结合的数学思想.三、教学重点：函数的奇偶性及其几何意义，会判断函数奇偶性的方法．四、教学难点：结合具体函数了解函数奇偶性的含义，判断函数的奇偶性的方法与格式.五、课时安排：2课时六、教学过程（一）、自主导学（课堂导入）1、创设情境,揭示课题“对称”是大自然的一种美，这种“对称美”在数学中也有大量的反映，让我们看看下列各函数有什么共性？观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性．2()f x x = ()||1f x x =- 21()x x x=y y y0 x通过讨论归纳：函数2()f x x =是定义域为全体实数的抛物线；函数()||1f x x =-是定义域为全体实数的折线；函数21()f x x =是定义域为非零实数的两支曲线，各函数之间的共性为图象关于y 轴对称．观察一对关于y 轴对称的点的坐标有什么关系？ 归纳：若点(,())x f x 在函数图象上，则相应的点(,())x f x -也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等．2、自主探索,尝试解决问题1:如图所示,观察下列函数x x f x x f -==2)(,)(2和的图象,总结两函数之间的共性.两函数图像都关于y 轴对称.问题2:那么如何利用函数的解析式描述函数的图象关于y 轴对称呢?填写表1和表2,你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征?这两个函数的解析式都满足:f (-3)=f (3);f (-2)=f (2);f (-1)=f (1).可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数,它们对应的函数值相等,也就是说对于函数定义域内任一个x ,都有f (-x )=f (x ).3、信息交流,揭示规律问题3:请给出偶函数的定义.偶函数的定义:一般地,对于函数f (x )的定义域内任意一个x ,都有f (-x )=f (x ),那么函数f (x )就叫做偶函数.问题4:偶函数的图象有什么特征?根据偶函数的定义可知：偶函数的图象关于y 轴对称.问题5:函数f (x )=x 2,x ∈[-1,2]是偶函数吗?函数f (x )=x 2,x ∈[-1,2]的图象关于y 轴不对称;对定义域[-1,2]内x=2,f (-2)不存在,即其函数的定义域中任意一个x 的相反数-x 不一定在定义域内,即f (-x )=f (x )不恒成立,所以不是偶函数.问题6:偶函数的定义域有什么特征?偶函数的定义域中任意一个x 的相反数-x 一定也在定义域内,此时称函数的定义域关于原点对称.问题7:观察函数f (x )=x 和f (x )=x1的图象,类比偶函数的推导过程,给出奇函数的定义和性质.奇函数的定义：一般地,如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ,都有f (-x )=-f (x ),那么函数f (x )就叫做奇函数.奇函数的图象关于原点中心对称,其定义域关于原点对称.老师给出函数f (x )=x 和f (x )=x1的图象，让学生类比偶函数的性质进行思考，得出奇函数的定义和性质，提醒并和学生一起总结得出关于奇偶函数的相关注意事项：给出偶函数和奇函数的定义后,要指明:(1)函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;(2)由函数的奇偶性定义,可知函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内任意一个x ,则-x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称);(3)具有奇偶性的函数的图象的特征:偶函数的图象关于y 轴对称,奇函数的图象关于原点对称;(4)可以利用图象判断函数的奇偶性,这种方法称为图象法,也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性,这种方法称为定义法;(5)函数的奇偶性是函数在定义域上的性质,是“整体”性质,而函数的单调性是函数在定义域的子集上的性质,是“局部”性质（二）、合作学习让学生合作做练习，教师巡视指导然后讲解例题.【例1】判断下列函数的奇偶性:(1)f (x )=x 4;(2)f (x )=x 5;(3)f (x )=x+x 1;(4)f (x )=221xx . 解:(1)函数的定义域是R ,对定义域内任意一个x ,都有f (-x )=(-x )4=x 4=f (x ),所以函数f (x )=x 4是偶函数.(2)函数的定义域是R ,对定义域内任意一个x ,都有f (-x )=(-x )5=-x 5=-f (x ),所以函数f (x )=x 5是奇函数.(3)函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),对定义域内任意一个x ,都有f (-x )=-x+(-x 1)=-(x+x 1)=-f (x ),所以函数f (x )=x+x1是奇函数. (4)函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),对定义域内任意一个x ,都有f (-x )=(-x)22)(1x -=221x x +=f (x ),所以函数f (x )=是偶函数. 点评:利用定义判断函数奇偶性的步骤:①首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;②确定f (-x )与f (x )的关系;③作出相应结论:若f (-x )=f (x )或f (-x )-f (x )=0,则f (x )是偶函数;若f (-x )=-f (x )或f (-x )+f (x )=0,则f (x )是奇函数.【例2】已知函数f (x )是定义在(-∞,+∞)上的偶函数.当x ∈(-∞,0)时,f (x )=x-x 4,则当x ∈(0,+∞)时,f (x )= .解析:当x ∈(0,+∞)时,则-x<0.又∵当x ∈(-∞,0)时,f (x )=x-x 4,∴f (x )=f (-x )=(-x )-(-x )4=-x-x 4.答案:-x-x 4点评:本题主要考查函数的解析式和奇偶性.已知函数的奇偶性,求函数的解析式时,要充分利用函数的奇偶性的定义,将所求解析式对应的区间上的函数值转化为已知解析式对应的区间上的函数值.（三）、当堂检测1、课本.21,36题、p 2.判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )=x 2+x 4,x ∈[-3,1];解：(1)因为它的定义域不关于原点对称,所以函数f (x )=x 2+x 4,x ∈[-3,1]既不是奇函数又不是偶函数.判断下列函数是否是偶函数．（1）2()[1,2]f x x x =∈-（2）32()1x x f x x -=- 解：(1)函数2(),[1,2]f x x x =∈-不是偶函数，因为它的定义域关于原点不对称． (2)函数32()1x x f x x -=-也不是偶函数，因为它的定义域为}{|1x x R x ∈≠且，并不关于原点对称．3、判断下列函数的奇偶性（1）、x x x f +=3)( （2）、11)1()(-+-=x x x x f （3）、2224)(x x x f -+-=解：（1）、函数的定义域为R ，)()()()(33x f x x x x x f -=--=-+-=-所以)(x f 为奇函数（2）、函数的定义域为}11|{-≤>x x x 或，定义域关于原点不对称，所以)(x f 为非奇非偶函数（3）、函数的定义域为{-2，2},)()(0)(x f x f x f -===-,所以函数)(x f 既是奇函数又是偶函数4、判断下列函数的奇偶性（1）4()f x x = （2）5()f x x = （3）1()f x x x =+ （4）21()f x x= 分析：先验证函数定义域的对称性，再考察()()()f x f x f x --是否等于或．解：（1）偶函数（2）奇函数（3）奇函数（4）偶函数点评：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；②确定()()f x f x -与的关系；③作出相应结论：若()()()()0,()f x f x f x f x f x -=--=或则是偶函数；若()()()()0,()f x f x f x f x f x -=--+=或则是奇函数（四）、课堂小结（教师根据学生具体的的学习接受情况提问并和学生一起做总结概括)①本节课主要学习了函数的什么性质?②如何判断或证明此性质?③求函数最值时,要注意什么原则?本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称，单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质．七、课外作业课本P39习题1.3 A组第6题,B组第3题.八、教学反思：。
1_3_2函数的奇偶性学案
函数的奇偶性（一）学习目标1理解函数奇偶性的定义，理解什么是奇函数，什么是偶函数2.能够根据函数图像及解析式判断函数的奇偶性3快乐学习的过程中领会合作探究的精神初步掌握研究问题的方法。
重点与难点能够根据函数图像及解析式判断函数的奇偶性课前复习一自主梳理1、初中平面几何学过的对称图形分为_____对称图形和_______对称图形。
2、列举生活中表达图形的对称美的例子。
3、在平面直角坐标系中，两个分别关于x 轴、y 轴或原点O 对称的点，其坐标各具有什么特征呢？二、自主学习：1、对称点的坐标特征：（1）、我的坐标是1(3,2)P -，我与点(3,2)P 关于___x 轴_______对称。
（2）、我的坐标是2(3,2)P -，我与点(3,2)P 关于____y 轴_____对称。
（3）、我的坐标是3(3,2)P --，我与点(3,2)P 关于____原点______对称。
2、方法提炼：一般地，设点),(b a P 为平面内的任意一点，则（1）点),(b a P 关于x 轴的对称点的坐标为__（a ，-b ）________（2）点),(b a P 关于y 轴的对称点的坐标为__（-a ，b ）________（3）点),(b a P 关于原点O 的对称点的坐标为_（-a ，-b ）_________。
3、小组讨论并展示：（1）)3,2(-P 关于x 轴的对称点的坐标__（-2，-3）_________；（2）),(y x P 关于y 轴的对称点的坐标_（-x ，y ）_____,关于原点O 的对称点的坐标_（-x ，-y ）_____（3）函数)(x f y =上的一点))(,(a f a P 关于y 轴的对称点的坐标__（-a ，f （a ））__________，关于原点O 的对称点的坐标___（-a ，-f （a ））_______。
重点领悟自主学习教材33--36页内容，（10分钟）完成以下的题目任务1：理解奇函数和偶函数的定义例1． 判断函数的奇偶性1、2(),[1,2]f x x x =∈-． 2、 32()1x x f x x -=-解：1、函数2(),[1,2]f x x x =∈-不是偶函数，因为它的定义域关于原点不对称． 2、函数32()1x x f x x -=-也不是偶函数，因为它的定义域为}{|1x x R x ∈≠且，并不关于原点对称．任务2：根据函数图像，判断函数的奇偶性练习：根据以下函数图象,判断函数奇偶性.112)(2+=x x f x ]2,1[,)(2-∈=x x x f 2(2非奇非偶函数小结：由图像判断函数的奇偶性步骤1、观察定义域是否关于原点对称2、观察图像是否关于原点或y 轴对称任务3：根据奇偶函数定义，判断函数的奇偶性例2 利用定义判断以下函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数答案：（1）奇函数 （2）偶函数 （3）偶函数 （4）奇函数 （5）非奇非偶函数 （6）偶函数小结：由定义判断函数的奇偶性步骤：① 定义域关于原点对称 ② 判断f （x ）与f （-x ）的关系【学习检测】1、函数)1,0(,1)(∈=x x x f 的奇偶性是 （ C ）A ．奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数2、 若函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 是偶函数，则cx bx ax x g ++=23)(是（ A ）A ．奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数3、若函数R x x f y ∈=),(是奇函数，且)2()1(f f <，则必有 （ B ）A ．)2()1(-<-f f B. )2()1(->-f f C.)2()1(-=-f f D.不确定4、函数)(x f 是R 上的偶函数，且在),0[+∞上单调递增，则以下各B 式成立的是（ ）A ．)1()0()2(f f f >>- B. )0()1()2(f f f >->-C.)2()0()1(->>f f fD.)0()2()1(f f f >->5、已知函数)(x f y =是偶函数，其图像与x 轴有四个交点，则方程0)(=x f 的所有实数根的和为 （ D ）A ．4 B.2 C.1 D.06、函数0,)(≠=a a x f 是___偶函数____函数. ()()()()()()()()()()1)(6]2,1[,)(5 14 1312 12223-=-∈=+==+==x x f x x x f x x x f x x f x x f x x f 7、若函数)(x g 为R 上的奇函数，那么=-+)()(a g a g __0____________.8、假设奇函数)(x f 在区间[3，7]上是增函数，且最小值是5，那么)(x f 在区间[-7,-3]上的最___大___________值为______-5______.课后练习与提升一、选择题1、函数x x x f +=2)(的奇偶性是 （ C ）A ．奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数2、函数)(x f y =是奇函数，图象上有一点为))(,(a f a ，则图象必过点（ C ）A ． ))(,(a f a - B. ))(,(a f a - C. ))(,(a f a -- D. ))(1,(a f a 二、填空题： 3、)(x f 为R 上的偶函数，且当)0,(-∞∈x 时，)1()(-=x x x f ，则当),0(+∞∈x 时，=)(x f ______x （x-1）_______________________.4、函数)(x f 为偶函数，那么|)(|)(x f x f 与的大小关系为_____相等_____________.。
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1.3.2 奇偶性(一)自主学习1．掌握函数的奇偶性的定义和判断方法．2．理解奇函数和偶函数的图象的特点．1．阅读课本内容填写下表：2.(1)0.(2)有没有既是奇函数又是偶函数的函数？举例说明．f (x )＝0，x ∈[－1,1]．对点讲练函数奇偶性的判断【例1】 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x 3＋x 5； (2)f (x )＝2x 2＋2x x ＋1； (3)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (4)f (x )＝4－x 2|x ＋2|－2. 解 (1)函数的定义域为R .f (－x )＝(－x )3＋(－x )5＝－(x 3＋x 5)＝－f (x )．∴f (x )是奇函数．(2)函数的定义域为{x |x ≠－1}，不关于原点对称，∴函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0x 2－1≥0，得x ＝±1， 此时f (x )＝0，x ∈{－1,1}．∴f (x )既是奇函数又是偶函数．(4)∵⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x ＋2|－2≠0， ∴f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]，关于原点对称．此时f (x )＝4－x 2|x ＋2|－2＝4－x 2x . 又f (－x )＝4－(－x )2－x＝－4－x 2x ＝－f (x )， ∴f (x )＝4－x 2|x ＋2|－2为奇函数． 规律方法 (1)用定义判定函数奇偶性的一般步骤为：①先求定义域，考查定义域是否关于原点对称；②有时需在定义域内对函数解析式进行变形、化简，再找f (－x )与f (x )的关系；判断函数奇偶性可用的变形形式：若f (－x )＋f (x )＝0，则f (x )为奇函数；若f (－x )－f (x )＝0，则f (x )为偶函数．(2)奇(偶)函数的性质①f (x )为奇函数，定义域为D ，若0∈D ，则必有f (0)＝0；②在同一个关于原点对称的定义域上，奇函数＋奇函数＝奇函数；偶函数＋偶函数＝偶函数；奇函数×奇函数＝偶函数；偶函数×偶函数＝偶函数． 变式迁移1 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x 2－|x |； (2)f (x )＝|x ＋1|－|x －1|； (3)f (x )＝x －1＋1－x .解 (1)既是奇函数，又是偶函数．∵f (x )＝0，f (－x )＝0，∴f (－x )＝f (x )且f (－x )＝－f (x )．(2)函数的定义域为R ，∵f (－x )＝|－x ＋1|－|－x －1|＝|x －1|－|x ＋1|＝－(|x ＋1|－|x －1|)＝－f (x )，∴f (x )＝|x ＋1|－|x －1|是奇函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，1－x ≥0，知x ＝1， ∴函数f (x )的定义域为{1}，不关于原点对称．故f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．分段函数奇偶性的证明【例2】 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋3 (x <0)－x 2＋2x －3 (x >0)，判断f (x )的奇偶性． 解 (1)当x <0时，－x >0，f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )－3＝－x 2－2x －3＝－f (x )．(2)当x >0时，－x <0，f (－x )＝(－x )2＋2(－x )＋3＝x 2－2x ＋3＝－(－x 2＋2x －3)＝－f (x )，综上可知f (x )为奇函数．规律方法 (1)对于分段函数奇偶性的判断，须特别注意x 与－x 所满足的对应关系，如x >0时，f (x )满足f (x )＝－x 2＋2x －3，－x <0满足的不再是f (x )＝－x 2＋2x －3，而是f (x )＝x 2＋2x ＋3.(2)要对定义域内的自变量都要考察，如本例分为两种情况，如果本例只有(1)就说f (－x )＝－f (x )，从而判断它是奇函数是错误的、不完整的．(3)分段函数的奇偶性判断有时也可通过函数图象的对称性加以判断．变式迁移2 判断函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －1 (x >0)0 (x ＝0)x ＋1 (x <0)的奇偶性．解 当x <0时，－x >0，f (－x )＝－x －1＝－(x ＋1)＝－f (x )，另一方面，当x >0时，－x <0，f (－x )＝－x ＋1＝－(x －1)＝－f (x )，而f (0)＝0，∴f (x )是奇函数．抽象函数奇偶性的判断【例3】已知函数f(x)，x∈R，若对任意实数a，b都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)．求证：f(x)为奇函数．证明设a＝0，则f(b)＝f(0)＋f(b)，∴f(0)＝0.又设a＝－x，b＝x，则f(0)＝f(－x)＋f(x)．∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．规律方法抽象函数奇偶性的判定是根据定义，即寻求f(x)与f(－x)的关系，需根据这样的目标，认真分析函数所满足的条件式的结构特征，灵活赋值．变式迁移3 函数f(x)，x∈R，且f(x)不恒为0.若对于任意实数x1，x2，都有f(x1＋x2)＋f(x1－x2)＝2f(x1)·f(x2)．求证：f(x)为偶函数．证明令x1＝0，x2＝x，则得f(x)＋f(－x)＝2f(0)f(x)①又令x1＝x，x2＝0，得f(x)＋f(x)＝2f(x)f(0)②由①、②得f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．1．在奇函数与偶函数的定义域中，都要求x∈D，－x∈D，这就是说，一个函数不论是奇函数还是偶函数，它的定义域都一定关于坐标原点对称．如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，那么这个函数就失去了是奇函数或是偶函数的条件．2．解题中可以灵活运用f(x)±f(－x)＝0对奇偶性作出判断．3．奇函数f(x)若在x＝0处有意义，则必有f(0)＝0.课时作业一、选择题1．已知函数f(x)＝1x2(x≠0)，则这个函数()A．是奇函数B．既是奇函数又是偶函数C．是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数答案 C解析∵x≠0，∴f(－x)＝1(－x)2＝1x2＝f(x)，∴f(x)是偶函数．2．奇函数y ＝f (x ) (x ∈R )的图象必过点( )A ．(a ，f (－a ))B ．(－a ，f (a ))C ．(－a ，－f (a )) D.⎝⎛⎭⎫a ，f ⎝⎛⎭⎫1a 答案 C解析 ∵y ＝f (x )是奇函数，过(－a ，f (－a ))点，而f (－a )＝－f (a )∴y ＝f (x )过点(－a ，－f (a ))．3．函数y ＝(x ＋1)(x －a )为偶函数，则a 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2答案 C解析 结合选项，当a ＝1时，y ＝x 2－1，显然为偶函数． 4.如图是一个由集合A 到集合B 的映射，这个映射表示的是( )A ．奇函数而非偶函数B ．偶函数而非奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数答案 C解析 因为f (x )＝0，x ∈{－2,2}，满足f (－x )＝±f (x )．所以该映射表示的既是奇函数又是偶函数．5．若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)是偶函数，则g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数答案 A解析 ∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即ax 2－bx ＋c ＝ax 2＋bx ＋c ，∴b ＝0，此时g (x )＝ax 3＋cx (a ≠0)，由于g (－x )＝a (－x )3＋c (－x )＝－(ax 3＋cx )＝－g (x )，∴g (x )是奇函数．二、填空题6．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，其定义域为[a －1,2a ]，则a ＝________，b ＝________.答案 130 解析 ∵f (x )是定义域为[a －1,2a ]的偶函数，∴a －1＝－2a ，∴a ＝13. 又f (－x )＝f (x )，∴13x 2－bx ＋1＋b ＝13x 2＋bx ＋1＋b . ∴b ＝0.7．下列四个结论：①偶函数的图象一定与纵轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f (x )＝0 (x ∈R )；④偶函数的图象关于y 轴对称，其中正确的命题有________个．答案 1解析 ①错误，如偶函数f (x )＝1x 2的图象与纵坐标轴不相交． ②错误，如奇函数f (x )＝1x不过原点． ③错误，如f (x )＝0，x ∈[－1,1]，既是奇函数又是偶函数．④正确．8．已知f (x )＝ax 3＋bx －8，且f (－2)＝10，则f (2)＝__________.答案 －26解析 ∵f (－x )＋f (x )＝－16，∴f (2)＋f (－2)＝－16，∴f (2)＝－26.三、解答题9．判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝2x －1＋1－2x ； (2)f (x )＝x 4＋x ；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2 (x >0)0 (x ＝0)－x 2－2 (x <0)； (4)f (x )＝x 3－x 2x －1. 解 (1)定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，不关于原点对称．该函数既不是奇函数也不是偶函数．(2)定义域为R ，关于原点对称，f (1)＝2，f (－1)＝0，∴f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)，故其既不是奇函数也不是偶函数．(3)定义域为R ，关于原点对称．当x >0时，－x <0，f (－x )＝－(－x )2－2＝－(x 2＋2)＝－f (x )；当x <0时，－x >0，f (－x )＝(－x )2＋2＝－(－x 2－2)＝－f (x )；当x ＝0时，f (0)＝0.故该函数为奇函数．(4)函数的定义域为{x |x ∈R 且x ≠1}，不关于原点对称．所以函数f (x )＝x 3－x 2x －1既不是奇函数也不是偶函数． 10．已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的不恒为零的函数，且对定义域内的任意x ，y ，f (x )都满足f (x ·y )＝y ·f (x )＋x ·f (y )．(1)求f (1)，f (－1)的值； (2)判断f (x )的奇偶性，并说明理由．解 (1)∵f (x )对任意x ，y 都有f (x ·y )＝y ·f (x )＋x ·f (y )，令x ＝y ＝1时，有f (1·1)＝1·f (1)＋1·f (1)，∴f (1)＝0.令x ＝y ＝－1时，有f [(－1)·(－1)]＝(－1)·f (－1)＋(－1)·f (－1)，∴f (－1)＝0.(2)∵f (x )对任意x ，y 都有f (x ·y )＝y ·f (x )＋x ·f (y )，∴令x ＝t ，y ＝－1，有f (－t )＝－f (t )＋t ·f (－1)．将f (－1)＝0代入得f (－t )＝－f (t )，∴函数f (x )在(－∞，＋∞)上为奇函数．。