高中数学 复数的复习(习题课)课件 新人教A版选修2-2
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-2)配套课件第三章 3.2 3.2.2 复数代数形式的乘除运算
z2 · z1 z1· z2＝________ z1 ( z2 · z3 ) (z 1 · z2)· z3＝________
1 z2 ＋ z1 z3 z1(z2＋z3)＝z ________
栏 目 链 接
基 础 梳 理
例：(1) (2＋i)i＝__________________； (2)(1－2i)(3＋i)＝________________.
解析：(1)原式＝1－i2＋(－1＋i)＝2－1＋i＝1＋i.
3 3 3 1 (2)原式＝－ － ＋4－4i(1＋i) 4 4 3 1 ＝－ ＋ i(1＋i) 2 2 3 1 1 3 ＝－ － ＋ － i 2 2 2 2
栏 目 链 接
1＋ 3 1－ 3 ＝－ ＋ i. 2 2
－2＋3i －2＋3i1－2i (3)原式＝ ＝ 1＋2i 1＋2i1－2i －2＋6＋3＋4i 4 7 ＝ ＝ ＋ i. 5 5 12＋22 5－29 5 i 5－29 5 i7＋3 5 i (4)原式＝ ＝ 7－3 5 i 7－3 5 i7＋3 5 i 35＋29×15＋15 5－29×7 5i 470－188 5 i ＝ ＝ 2 2 94 7 ＋3 5 ＝5－2 5 i.
2 2 2 2
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基 础 梳 理
例：i＋2 的共轭复数是( A．2＋i C．－2＋i
答案：B
)
B．2－i D．－2－i
栏 目 链 接
＋ 2
4 ． i
4n ＋ 1
4n i － 1 － i 1 ＝ ______________ ， i
＝
i －1 －i 1 ， ____________
i －1 －i 1， i4n ＋ 3 ＝ ____________
高中数学 3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义课后习题 新人教A版选修2-2
3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义课时演练·促提升A组1.已知z1=2+i,z2=1-2i,则复数z=z2-z1对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:z=z2-z1=(1-2i)-(2+i)=-1-3i,故z对应的点为(-1,-3),在第三象限.答案:C2.已知复数z满足z+i-3=3-i,则z等于()A.0B.2iC.6D.6-2i解析:z=3-i-(i-3)=6-2i.答案:D3.若复数z1=a-i,z2=-4+b i,z1-z2=6+i,z1+z2+z3=1(a,b∈R),则z3为()A.-1-5iB.-1+5iC.3-4iD.3+3i解析:∵z1-z2=(a-i)-(-4+b i)=a+4-(1+b)i=6+i,∴a=2,b=-2,∴z3=1-z1-z2=1-2+i+4+2i=3+3i.故选D.答案:D4.若复平面上的▱ABCD中,对应复数6+8i,对应复数为-4+6i,则对应的复数是()A.-1-7iB.2+14iC.1+7iD.2-14i解析:设对应的复数分别为z1与z2,则有于是2z2=2+14i,z2=1+7i,故对应的复数是-1-7i.答案:A5.A,B分别是复数z1,z2在复平面内对应的点,O是原点,若|z1+z2|=|z1-z2|,则三角形AOB一定是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形解析:根据复数加(减)法的几何意义知,以为邻边所作的平行四边形的对角线相等,则此平行四边形为矩形,故三角形OAB为直角三角形.答案:B6.计算(-1+2i)+(i+i2)-|1+2i|=.解析:原式=-1+2i+(i-1)-=-2+3i-=-(2+)+3i.答案:-(2+)+3i7.已知复数z1=(a2-2)+(a-4)i,z2=a-(a2-2)i(a∈R),且z1-z2为纯虚数,则a=.解析:z1-z2=(a2-a-2)+(a-4+a2-2)i=(a2-a-2)+(a2+a-6)i(a∈R)为纯虚数,所以解得a=-1.答案:-18.已知z1=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x,y∈R).若z1-z2=13-2i,求z1,z2.解:∵z1-z2=(3x+y)+(y-4x)i-[(4y-2x)-(5x+3y)i]=[(3x+y)-(4y-2x)]+[(y-4x)+(5x+3y)]i=(5x-3y)+(x+4y)i,又z1-z2=13-2i,∴(5x-3y)+(x+4y)i=13-2i.∴解得∴z1=(3×2-1)+(-1-4×2)i=5-9i,z2=[4×(-1)-2×2]-[5×2+3×(-1)]i=-8-7i.9.在复平面内A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,-1+2i.(1)求对应的复数;(2)判断△ABC的形状;(3)求△ABC的面积.解:(1)对应的复数为2+i-1=1+i,对应的复数为-1+2i-(2+i)=-3+i,对应的复数为-1+2i-1=-2+2i.(2)∵||=,||=,||==2,∴||2+||2=||2,∴△ABC为直角三角形.(3)S△ABC=×2=2.B组1.复数z=x+y i(x,y∈R)满足条件|z-4i|=|z+2|,则2x+4y的最小值为()A.2B.4C.4D.16解析:∵复数z=x+y i(x,y∈R)满足|z-4i|=|z+2|,∴|x+(y-4)i|=|(x+2)+y i|,化简得x+2y=3.∴2x+4y≥2=2=2=4,当且仅当x=2y=时,等号成立.答案:C2.△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1,z2,z3,复数z满足|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,则z对应的点是△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心解析:设复数z与复平面内的点Z相对应,由△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1,z2,z3及|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|可知点Z到△ABC的三个顶点的距离相等,由三角形外心的定义可知,点Z即为△ABC的外心.答案:A3.设纯虚数z满足|z-1-i|=3,则z=.解析:∵z为纯虚数,∴设z=b i(b∈R,且b≠0).由|z-1-i|=3,得|-1+(b-1)i|=3.∴1+(b-1)2=9.∴b-1=±2.∴b=1±2.答案:(1±2)i4.已知复数z=x+y i(x,y∈R),且|z-2|=,则的最大值为.解析:∵z=x+y i(x,y∈R),且|z-2|=,∴(x-2)2+y2=3.由图可知.答案:5.已知复平面内的A,B对应的复数分别是z1=sin2θ+i,z2=-cos2θ+icos 2θ,其中θ∈(0,π),设对应的复数是z.(1)求复数z;(2)若复数z对应的点P在直线y=x上,求θ的值.解:(1)∵点A,B对应的复数分别是z1=sin2θ+i,z2=-cos2θ+icos 2θ,∴点A,B的坐标分别是A(sin2θ,1),B(-cos2θ,cos 2θ),∴=(-cos2θ,cos 2θ)-(sin2θ,1)=(-cos2θ-sin2θ,cos 2θ-1)= (-1,-2sin2θ).∴对应的复数z=-1+(-2sin2θ)i.(2)由(1)知点P的坐标是,代入y=x,得-2sin2θ=-,即sin2θ=,∴sin θ=±.又θ∈(0,π),∴sin θ=,∴θ=.6.若z∈C,且|z+2-2i|=1,求|z-2-2i|的最小值.解:设z=x+y i,x,y∈R,由|z+2-2i|=1,得|z-(-2+2i)|=1,表示以(-2,2)为圆心,1为半径的圆,如图所示,则|z-2-2i|=表示圆上的点与定点(2,2)的距离,由数形结合得|z-2-2i|的最小值为3.7.设z1=1+2a i,z2=a-i,a∈R,A={z||z-z1|<},B={z||z-z2|≤2},已知A∩B=⌀,求a的取值范围.解:因为z1=1+2a i,z2=a-i,|z-z1|<,即|z-(1+2a i)|<,|z-z2|≤2,即|z-(a-i)|≤2,由复数减法及模的几何意义知,集合A是以 (1,2a)为圆心,为半径的圆的内部的点对应的复数,集合B是以(a,-1)为圆心,2为半径的圆周及其内部的点所对应的复数,若A∩B=⌀,则两圆圆心距大于或等于半径和,即≥3,解得a≤-2或a≥.中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-2《第一章 导数及其应用》知识点、考点、及其例题
第一章导数及其应用知识点及练习题知识点1：导数概念的引入1. 导数的物理意义：瞬时速率。
一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='， 即0()f x '=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。
容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即000()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3. 导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有时也记作y ',即0()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆考点：导数的几何意义及其应用[例题] 已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2，4)的切线方程； (3)求斜率为4的曲线的切线方程．[变式训练] 已知函数f(x)＝x3＋x －16.(1)求曲线y ＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．知识点2：导数的计算1）基本初等函数的导数公式:1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2 若()f x x α=,则1()f x xαα-'=;3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5 若()xf x a =,则()ln x f x a a '=6 若()x f x e =,则()xf x e '=7 若()log xa f x =,则1()ln f x x a '=8 若()ln f x x =,则1()f x x'=2）导数的运算法则1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''•=•+•3. 2()()()()()[]()[()]f x f xg x f x g x g x g x ''•-•'= 3）复合函数求导()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=•考点：导数的求导及运算1、已知()22sin f x x x π=+-，则()'0f =2、若()sin x f x e x =，则()'f x =3.)(x f =ax 3+3x 2+2 ，4)1(=-'f ，则a=（ ）319.316.313.310.D C B A 4.过抛物线y=x 2上的点M )41,21(的切线的倾斜角是（） A.30° B.45° C.60° D.90° 5.如果曲线2932y x =+与32y x =-在0x x =处的切线互相垂直，则0x =知识点3：导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增； 如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数()y f x =的极值的方法是:(1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值;(2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤 （1） 求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；（2） 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.考点：1.导数在研究函数单调性中的应用2.导数在求函数极值与最值中的应用题型一：导数在研究函数单调性中的应用[例题] 设函数f (x )＝x e a －x ＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y＝(e －1)x ＋4.(1)求a ，b 的值； (2)求f (x )的单调区间．[变式训练] 设函数f(x)＝xekx(k ≠0)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)在区间(－1，1)内单调递增，求k 的取值范围．题型二：导数在求函数极值与最值中的应用[例题]已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx在区间(－2，1)内，当x＝－1时取极小值，当x＝23时取极大值．(1)求函数y＝f(x)在x＝－2时的对应点的切线方程；(2)求函数y＝f(x)在[－2，1]上的最大值与最小值．[变式训练] 设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]e x.(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程与x轴平行，求a；(2)若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围．知识点4：解决实际问题利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题考点：1、导数在切线方程中的应用2、导数在单调性中的应用3、导数在极值、最值中的应用4、导数在恒成立问题中的应用题型一：导数在切线方程中的运用1.曲线3x y =在P 点处的切线斜率为k,若k=3，则P 点为（ ） A.（－2，－8） B.（－1，－1）或（1，1）C.（2，8）D.（－21，－81）2.曲线53123+-=x x y ，过其上横坐标为1的点作曲线的切线，则切线的倾斜角为（ ） A.6π B.4π C.3π D.π43题型二：导数在单调性中的运用1.函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为( ) A.(2,)+∞ B.(,2)-∞ C.(,0)-∞ D.(0,2)2．关于函数762)(23+-=x x x f ，下列说法不正确的是（ ） A ．在区间（∞-，0）内，)(x f 为增函数 B ．在区间（0，2）内，)(x f 为减函数 C ．在区间（2，∞+）内，)(x f 为增函数 D ．在区间（∞-，0）),2(+∞⋃内,)(x f 为增函数3．已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x 是函数()f x 的导函数)，下面四个图象中()y f x =的图象大致是（ ）4、（2010年山东21）（本小题满分12分）已知函数).(111)(R a xaax nx x f ∈--+-= （Ⅰ）当处的切线方程；在点时，求曲线))2(,2()(1f x f y a=-=（Ⅱ）当12a ≤时，讨论()f x 的单调性．题型三：导数在最值、极值中的运用1.函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（ ） A ．2B. 3C. 4D.52．函数5123223+--=x x x y 在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ） A.5 , - 15 B.5 , 4 C.- 4 , - 15 D.5 , - 163.已知函数)0()(3≠++=adcxaxxf是R上的奇函数，当1=x时)(xf取得极值－2.（1）试求a、c、d的值；（2）求)(xf的单调区间和极大值；4.设函数2312)(bxaxexxf x++=-，已知12=-=xx和为)(xf的极值点。
高中数学人教A版选修2-2第三章3-2-1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义 《课件》(共20张PPT)
探究点2 复数的加法满足交换律、结合律
2. 设z1=a1+b1i, z2=a2+b2i, z3=a3+b3i. （1）因为 z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)
=(a1+a2)+(b1+b2)i,
z2+z1= (a2+b2i) + (a1+b1i) =(a1+a2)+(b1+b2)i, 所以 z +z =z +z
（2）因为 (z1+z2)+z3=[(a1+b1i)+(a2+b2i)]+(a3+b3i)
=(a1+a2 +a3)+(b1+b2+b3)i,
z1+ (z2+z3)=(a1+b1i)+[(a2+b2i)+(a3+b3i)]
=(a1+a2 +a3)+(b1+b2+b3)i,
所以 (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)
OZ2 =(c,d) OZ1=（a,b），
OZ1 + OZ2 =（a+c,b+d）
Z1(a,b)
OZ =(a+c)+(b+d)i
x
O
复数的加法可以按照向量的加法来进行
3.复数加法运算的几何意义 z1+ z2=OZ1 +OZ2 = OZ
符合向量加法 的平行四边形 法则.
y
Z2(c,d)
Z(a+c,b+d)
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 3.1.2 复数的几何意义课件 新人教A版选修2-2
复数与复平面的点的对应关系,正确.
知识点2
复数的模
对复数模的三点说明
(1)数的角度理解:复数a+bi(a,b∈R)的模|a+bi|= a 2 +b 2 ,
两个虚数不能比较大小,但它们的模可以比较大小.
(2)几何角度理解:表示复数的点Z到原点的距离.|z1-z2|表示
复数z1,z2对应的点之间的距离. (3)特殊情形:如果b=0,那么z=a+bi(a,b∈R)是一个实数a,它 的模等于|a|(就是a的绝对值).
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)若 OZ ＝(0，－3)，则 OZ 对应的复数为_________.
(2)复数z=1-4i位于复平面上的第______象限.
(3)复数 3i 的模是________.
【解析】(1)由 OZ ＝(0，－3)，得点Z的坐标为(0，－3)，
OZ 所以对应的复数为0－3i＝－3i.
(3)虚轴与复数的对应:除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数, 原点对应的有序实数对为(0,0),它所确定的复数是z=0+0i=0, 表示的是实数. (4)象限内的点与复数的对应: ①第一象限的复数特点:实部为正,且虚部为正;
②第二象限的复数特点:实部为负,且虚部为正;
③第三象限的复数特点:实部为负,且虚部为负;
如有序实数对(3,2),它与平面直角坐标系中横坐标为3,纵坐标
为2的点A,建立了一一对应的关系.
【微思考】
(1)原点O在虚轴上,则数0是否也可以看作为虚数?
提示:不可以.数0为实数,不是虚数.
(2)实数可用数轴上的点来表示,类比一下,复数怎样来表示呢?
提示:任何一个复数z=a+bi(a,b∈R),都和一个有序实数对(a,b)
人教版高中数学选修2-2 数系的扩充与复数的概念 PPT课件
例2 已知 (2 x 1) i 求 x与 y .
y (3 y )i ，其中x, y R
转化
解题思考： 复数相等 的问题
求方程组的解 的问题
一种重要的数学思想：转化思想
1、如果(x+y)+(y-1) =(2x+3y)+(2y+1) , 求实数x,y的值.
i
i
2.若(2x2-3x-2)+(x2-5x+6) =0，求x的值.
2 i 7
0
2、判断下列命题是否正确：
（1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数
（2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数
（3）若a为实数，则Z= a一定不是虚数
例1 实数m取什么值时，复数
z m 1 (m 1)i
m 1时，复数z 是实数． m 1时，复数z 是虚数．
即 m 1时，复数z 是 纯虚数．
是（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？
解: （1）当 m 1 0，即 （2）当 m 1 0 ，即 （3）当 m 1 0
m 1 0
2
练习:当m为何实数时，复数
Z m m 2 (m 1)i
2
是 （1）实数
（2）虚数
（3）纯虚数
思考？ 5、复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的 关系？
一. 数的发展过程（经历）
测量、分配中的等分 计数的需要 （循环小数） ————— 自然数 ————————分数 解方程3 x=5 表示相反意义的量 （整数集和有理数集到此才完整形成） ———————负数 解方程x+3=1 为什么方程没实 循环小数 _ __________ 度量 数解? 小数集 ————— 无理数 （实数集形成 ） 2 不循环小数 解方程x =2 __________ _
《复数代数形式的加、减运算及其几何意义》人教版高中数学选修2-2PPT课件(第3.2.1课时)
第3章 数系的扩充与复数的引入 3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义
PEOPLE'S EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-2
讲解人： 时间：2020.6.1
课前导入
上一节，我们主要讲了什么？
实数系
扩充到
动动脑
提示
新知探究
如图所示：
y Z
Z2Z1，OZ2分别与 复数a + bi,c + di对应， 则OZ1 = (a,b),OZ2 = (c,d). 由平面向量的坐标运算，
得OZ = OZ1 + OZ2
OZ1 + OZ2 = (a + c,b + d).
新知探究
这说明两个向量OZ1和OZ2的和就是 复数(a + c) + (b + d)i对应的向量.
(Z1 + Z2 ) + Z3 = Z1 + (Z2 + Z3 ).
新知探究
复数加法的几何意义 探究 复数与复平面内的向量有一一对应关系.我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数 加法的几何意义吗？
新知探究
观察 我们知道,两个向量的和满足平行四边形法则, 复数可以表示平面上的向量，那么复数的加法与向 量的加法是否具有一致性呢？
课堂练习
解法二： ∵(1－2i)+(－2+3i)=－1+i， (3－4i)+(－4+5i)=－1+i， …… (2001－2002i)+(－2002+2003i)=-1+i. 相加得(共有1001个式子)：
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-2)配套课件第三章 3.1 3.1.1 数系的扩充和复数的相关概念
a＋bi(a，b∈R) 的数叫做复数，a 叫做 2．复数的定义：形如_________________
实部 ，b 叫做复数的________ 虚部 ．全体复数所成的集合叫做 复数的________ 复数集 b＝ 0 ________， 用字母 C 表示． 对于复数 a＋bi(a， b∈R)， 当且仅当______ b≠0 时，复数 z＝a＋bi 时，复数 z＝a＋bi(a，b∈R)是实数 a；当________ a＝0且b≠0 时，z＝bi 叫做纯虚数；当且仅当________ a＝b＝0 叫做虚数；当____________
第三章
数系的扩充与复数的引入
3.1 数系的扩充和复数的概念 3．1.1 数系的扩充和复数的相关概念
栏 目 链 接
1．理解复数的基本概念． 2．理解复数相等的充要条件．
栏 目 链 接
栏 目 链 接
基 础 梳 理
1．虚数单位 i.
－1 ； (2)实数可以与它进行四则运算．进行四则运 (1)i2＝________
)
D．既不充分也不必要条件
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解析：若 a＋bi(a，b∈R)为纯虚数，则 a＝0，b≠0. ∴a＋bi(a， b∈R)为纯虚数是 a＝0 的充分不必要条件． 答案：A
自 测 自 评
2．下列说法正确的是( ) A．如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于 0， 那么这两个复数相等 B．若 a，b∈R 且 a＞b，则 ai＞bi C．如果复数 x＋yi 是实数，则 x＝0，y＝0 D．复数 a＋bi 不是实数
解得 x≠－3 且 x≠5.
2 x －x－6 x＋3 ＝0， (3) 要使该复数是纯虚数，需满足 x2－2x－15≠0.
高中数学第三章3.2复数代数形式的四则运算3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义讲义新人教A版选修2_2
3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义1．复数的加法与减法 (1)复数的加减法运算法则(a ＋b i)±(c ＋d i)＝□01(a ±c )＋(b ±d )i. (2)复数加法的运算律复数的加法满足□02交换律、□03结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝□04z 2＋z 1；(z 1＋z 2)＋z 3＝□05z 1＋(z 2＋z 3)． 2．复数加、减法的几何意义 (1)复数加法的几何意义若复数z 1，z 2对应的向量OZ 1→，OZ 2→不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ 1→，OZ 2→为邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数．(2)复数减法的几何意义复数z 1－z 2是连接向量OZ 1→，OZ 2→的□06终点，并指向被减向量的向量Z 2Z 1→所对应的复数． (3)复平面内的两点间距离公式：d ＝□07|z 1－z 2|. 其中z 1，z 2是复平面内的两点Z 1和Z 2所对应的复数，d 为Z 1和Z 2间的距离．1．两点间的距离公式结合模的知识可得复平面上两点间的距离公式，设z 1＝x 1＋y 1i ，z 2＝x 2＋y 2i ，则|Z 2Z 1→|＝|z 1－z 2|＝|(x 1＋y 1i)－(x 2＋y 2i)|＝|(x 1－x 2)＋(y 1－y 2)i|＝x 1－x 22＋y 1－y 22.2．复数模的两个重要性质(1)||z 1|－|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|＋|z 2|； (2)|z 1＋z 2|2＋|z 1－z 2|2＝2|z 1|2＋2|z 2|2.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数与向量一一对应．( )(2)复数与复数相加减后结果只能是实数．( )(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× 2．做一做(1)计算：(3＋5i)＋(3－4i)＝________. (2)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝________.(3)已知向量OZ 1→对应的复数为2－3i ，向量OZ 2→对应的复数为3－4i ，则向量Z 1Z 2→对应的复数为________．答案 (1)6＋i (2)－11i (3)1－i探究1 复数的加减运算例1 计算：(1)(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)； (2)(－7i ＋5)－(9－8i)＋(3－2i)．[解] (1)原式＝(3－4－3)＋(－5－1－4)i ＝－4－10i. (2)原式＝(5－9＋3)＋(－7＋8－2)i ＝－1－i. 拓展提升复数代数形式的加减法运算，其运算法则是对它们的实部和虚部分别进行加减运算．在运算过程中应注意把握每一个复数的实部和虚部．这种运算类似于初中的合并同类项．【跟踪训练1】 计算：(1)(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)； (2)(i 2＋i)＋|i|＋(1＋i)．解 (1)原式＝(－1＋3i)＋(－2－i)＋(1－2i) ＝(－3＋2i)＋(1－2i)＝－2. (2)原式＝(－1＋i)＋0＋12＋(1＋i) ＝－1＋i ＋1＋(1＋i)＝1＋2i. 探究2 复数加减运算的几何意义例2 已知ABCD 是复平面内的平行四边形，且A ，B ，C 三点对应的复数分别是1＋3i ，－i,2＋i ，求点D 对应的复数．[解] 解法一：设D 点对应复数为x ＋y i(x ，y ∈R )，则D (x ，y )． 又由已知A (1,3)，B (0，－1)，C (2,1)，∴AC 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，BD 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y －12.∵平行四边形对角线互相平分， ∴⎩⎪⎨⎪⎧32＝x 2，2＝y －12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5.即点D 对应的复数为3＋5i.解法二：设D 点对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )．则AD →对应的复数为(x ＋y i)－(1＋3i)＝(x －1)＋(y －3)i ， 又BC →对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i. 由已知AD →＝BC →，∴(x －1)＋(y －3)i ＝2＋2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2，y －3＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5，即点D 对应的复数为3＋5i.[条件探究] 若一个平行四边形的三个顶点对应的复数分别为1＋3i ，－i,2＋i ，求第四个顶点对应的复数．[解] 设1＋3i ，－i,2＋i 对应A ，B ，C 三点，D 为第四个顶点，则①当ABCD 是平行四边形时，D 点对应的复数是3＋5i.②当ABDC 是平行四边形时，D 点对应的复数为1－3i.③当ADBC 是平行四边形时，D 点对应复数为－1＋i.拓展提升(1)根据复数的两种几何意义可知：复数的加减运算可以转化为点的坐标运算或向量运算．(2)复数的加减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法则和三角形法则． (3)复数及其加减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能． 【跟踪训练2】 已知复平面内平行四边形ABCD ，A 点对应的复数为2＋i ，向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，求：(1)点C ，D 对应的复数； (2)平行四边形ABCD 的面积．解 (1)因为向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ， 所以向量AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. 又OC →＝OA →＋AC →，所以点C 对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i. 因为AD →＝BC →，所以向量AD →对应的复数为3－i ，即AD →＝(3，－1)， 设D (x ，y )，则AD →＝(x －2，y －1)＝(3，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3，y －1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝0.所以点D 对应的复数为5. (2)因为BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos B ，所以cos B ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝3－25×10＝152＝210.所以sin B ＝752＝7210，所以S ＝|BA →||BC →|sin B ＝5×10×7210＝7.所以平行四边形ABCD 的面积为7. 探究3 复数加减运算的几何意义的应用 例3 已知|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，求|z 1＋z 2|.[解]解法一：设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，∴a2＋b2＝c2＋d2＝1，①(a－c)2＋(b－d)2＝1.②由①②得2ac＋2bd＝1.∴|z1＋z2|＝a＋c2＋b＋d2＝a2＋c2＋b2＋d2＋2ac＋2bd＝ 3.解法二：设O为坐标原点，z1，z2，z1＋z2对应的点分别为A，B，C.∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，∴△OAB是边长为1的正三角形，∴四边形OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形，且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长，∴|z1＋z2|＝|OC|＝|OA|2＋|AC|2－2|OA||AC|cos120°＝ 3.拓展提升掌握以下常用结论：在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：①为平行四边形；②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．【跟踪训练3】若复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，求|z＋i＋1|的最小值．解解法一：设复数－i，i，－(1＋i)在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3.如图，因为|z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2，所以复数z对应的点Z的集合为线段Z1Z2.问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，由图可知|Z1Z3|为最小值且最小值为1.解法二：设z＝x＋y i(x，y∈R)．因为|z＋i|＋|z－i|＝2，所以x2＋y＋12＋x2＋y－12＝2，又x2＋y＋12＝2－x2＋y－12≥0，所以0≤1－y＝x2＋y－12≤2，即(1－y)2＝x2＋(y－1)2，且0≤1－y≤2.所以x＝0且－1≤y≤1，则z＝y i(－1≤y≤1)．所以|z＋i＋1|＝|1＋(y＋1)i|＝12＋y＋12≥1，等号在y＝－1即z＝－i时成立．所以|z＋i＋1|的最小值为1.1.复数的加法规定：实部与实部相加，虚部与虚部相加，两个复数的和仍是一个复数，这一法则可以推广到多个复数相加.2.因为复数可以用向量来表示，所以复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则.3.复数的减法可根据复数的相反数，转化为复数的加法来运算.1．复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 A解析 ∵z 1－z 2＝(3＋i)－(1－i)＝2＋2i ， ∴z 1－z 2在复平面内对应的点位于第一象限． 2．已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z 等于( ) A ．－3i B ．3i C ．±3i D．4i 答案 B解析 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由z ＋3i ＝x ＋(y ＋3)i 为纯虚数，得x ＝0，且y ≠－3，又|z |＝x 2＋y 2＝|y |＝3，∴y ＝3.故选B.3．非零复数z 1，z 2分别对应复平面内的向量O A →，O B →，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则( ) A ．O A →＝O B → B ．|O A →|＝|O B →| C ．O A →⊥O B →D ．O A →，O B →共线答案 C解析 如图，由向量的加法及减法法则可知，O C →＝O A →＋O B →，B A →＝O A →－O B →.由复数加法及减法的几何意义可知，|z 1＋z 2|对应O C →的模，|z 1－z 2|对应B A →的模．又|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，所以四边形OACB 是矩形，则O A →⊥O B →.4．复数z 满足z －(1－i)＝2i ，则z 等于( )A ．1＋iB ．－1－iC ．－1＋iD ．1－i答案 A解析 z ＝2i ＋(1－i)＝1＋i.故选A.5．如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 分别对应复数0,3＋2i ，－2＋4i.求：(1)向量AO →对应的复数； (2)向量CA →对应的复数； (3)向量OB →对应的复数．解 (1)因为AO →＝－OA →，所以向量AO →对应的复数为－3－2i.(2)因为CA →＝OA →－OC →，所以向量CA →对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)因为OB →＝OA →＋OC →，所以向量OB →对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.。
人教a版数学【选修2-2】第3章《数系扩充与复数引入》总结课件
[答案] A
[解析] z＝(a＋i)2＝(a2－1)＋2ai，据条件有
2 a －1＝0， 2a＜0.
∴a＝－1.
3．(2013· 吉林白山一中高二期末)若复数 1＋i、－2＋i、3 －2i 在复平面上的对应点分别为 A、B、C，BC 的中点 D，则 → 向量AD对应的复数是( 3 5 A．2－2i 3 5 C．－2＋2i ) 1 3 B．2＋2i 1 3 D．－2－2i
[答案] 1
[解析] 设 z1＝a＋bi(a，b∈R)， 则 z2＝a＋bi－i(a－bi)＝a－b＋(b－a)i. ∵z2 的实部是－1.即 a－b＝－1， ∴z2 的虚部 b－a＝1.
典例探究学案
复数的概念 熟练掌握复数的代数形式，复数的相等及复数表示各类数的 条件是熟练解答复数题的前提．
成才之路 · 数学
人教A版 · 选修2-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第三章
数系的扩充与复数的引入
第三章 章末归纳总结
1
自主预习学案
1.复数代数形式z＝a＋bi中，a、b∈R应用复数相等的条件， 必须先化成代数形式． 2．复数表示各类数的条件，其前提必须是代数形式z＝a＋ bi(a，b∈R)，z为纯虚数的条件为a＝0且b≠0，注意虚数与纯 虚数的区别． 3．复数运算的法则，不要死记硬背，加减可类比合并同类 项，乘法可类比多项式乘法，除法可类比分母有理化．
[答案] A
)
B．在圆上 D．不能确定
2＋i 2＋i1＋i [解析] ∵a＋bi＝ ＝ 2 1－i 1 3 ＝2＋2i(a，b∈R)， 1 a＝2 ∴ b＝3 2
，
1 3 5 2 2 ∵ 2 ＋ 2 ＝2>2，
数学：3.1《数系扩充和复数概念》PPT课件(新人教选修2-2)
一一对应
面 y 向 量
b
o
x
复数的绝对值 (复数的模)的几何意义: 对应平面向量 OZ 的模| OZ |，即复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的 距离。
y
| z | = a 2 b2
z=a+bi Z (a,b)
O
| z || z | a2 b2
练习1:
设z1,z2∈C, |z1|= |z2|=1
|z2+z1|=
2,
求|z2-z1|
2
练习2:复数z1,z2分别对应复 平面内的点M1,M2,,且| z2+ z1|=
| z2- z1|,线段M1M2,的中点M对应
的复数为4+3i,求|z1|2+ |z2|2
y
满 足 |z|=5(z∈C) 的 复 +yi(x,y∈R)
5
5 O x
0 3 4 5 4 3 0 y 5 4 3 0 3- 4- 5- x
5 2 y 2x z
–5
复数的几何意义（一）
复数z=a+bi （数） z=a+bi Z(a,b)
引言：在人和社会的发展过程中，常 常需要立足今天，回顾昨天，展望明天。 符合客观发展规律的要发扬和完善，不符 合的要否定和抛弃。那么，在实数集向复 数集发展的过程中，我们应该如何发扬和 完善，否定和抛弃呢？
如何探索复数集的性质和特点？ 探索途径： (1) 实数集原有的有关性质和特点能否
推广到复数集？
2．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对 C 应的点在虚轴上”的（ ）。 (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)不充分不必要条件
11-12学年高中数学 3.1.2 复数的几何意义同步练习 新人教A版选修2-2
复数的几何意义一、选择题1．如果复数a ＋b i(a ，b ∈R )在复平面内的对应点在第二象限，则( )A ．a >0，b <0B ．a >0，b >0C ．a <0，b <0D ．a <0，b >0[答案] D[解析] 复数z ＝a ＋b i 在复平面内的对应点坐标为(a ，b )，该点在第二象限，需a <0且b >0，故应选D.2．(2010·北京文，2)在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i[答案] C[解析] 由题意知A (6,5)，B (－2,3)，AB 中点C (x ，y )，则x ＝6－22＝2，y ＝5＋32＝4， ∴点C 对应的复数为2＋4i ，故选C.3．当23<m <1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] D[解析] ∵23＜m ＜1，∴3m －2>0，m －1＜0， ∴点(3m －2，m －1)在第四象限．4．复数z ＝－2(sin100°－icos100°)在复平面内所对应的点Z 位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] C[解析] z ＝－2sin100°＋2icos100°.∵－2sin100°<0,2cos100°<0，∴Z 点在第三象限．故应选C.5．若a 、b ∈R ，则复数(a 2－6a ＋10)＋(－b 2＋4b －5)i 对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] D[解析] a 2－6a ＋10＝(a －3)2＋1>0，－b 2＋4b －5＝－(b －2)2－1<0.所以对应点在第四象限，故应选D.6．设z ＝(2t 2＋5t －3)＋(t 2＋2t ＋2)i ，t ∈R ，则以下结论中正确的是( )A ．z 对应的点在第一象限B ．z 一定不是纯虚数C ．z 对应的点在实轴上方D ．z 一定是实数[答案] C[解析] ∵2t 2＋5t －3＝(t ＋3)(2t －1)的值可正、可负、可为0，t 2＋2t ＋2＝(t ＋1)2＋1≥1，∴排除A 、B 、D ，选C.7．下列命题中假命题是( )A ．复数的模是非负实数B ．复数等于零的充要条件是它的模等于零C ．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件D ．复数z 1>z 2的充要条件是|z 1|＞|z 2|[答案] D[解析] ①任意复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2≥0总成立．∴A 正确；②由复数相等的条件z ＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0b ＝0.⇔|z |＝0，故B 正确；③若z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1、b 1、a 2、b 2∈R )若z 1＝z 2，则有a 1＝a 2，b 1＝b 2，∴|z 1|＝|z 2|反之由|z 1|＝|z 2|，推不出z 1＝z 2，如z 1＝1＋3i ，z 2＝1－3i 时|z 1|＝|z 2|，故C 正确；④不全为零的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∴D 错．8．已知复数z ＝(x －1)＋(2x －1)i 的模小于10，则实数x 的取值范围是( )A ．－45<x <2 B ．x <2C ．x >－45D ．x ＝－45或x ＝2 [答案] A[解析] 由题意知(x －1)2＋(2x －1)2<10，解之得－45<x <2.故应选A. 9．已知复数z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 2＝－1＋a i ，若|z 1|<|z 2|，则实数b 适合的条件是( )A ．b <－1或b >1B ．－1<b <1C ．b >1D ．b >0[答案] B[解析] 由|z 1|<|z 2|得a 2＋b 2<a 2＋1，∴b 2<1，则－1<b <1.10．复平面内向量OA →表示的复数为1＋i ，将OA →向右平移一个单位后得到向量O ′A ′→，则向量O ′A ′→与点A ′对应的复数分别为( )A ．1＋i,1＋iB ．2＋i,2＋iC ．1＋i,2＋iD ．2＋i,1＋i[答案] C[解析] 由题意O ′A ′→＝OA →，对应复数为1＋i ，点A ′对应复数为1＋(1＋i)＝2＋i.二、填空题11．如果复数z ＝(m 2＋m －1)＋(4m 2－8m ＋3)i(m ∈R )对应的点在第一象限，则实数m 的取值范围为________________．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1－52∪⎝⎛⎭⎪⎫32，＋∞ [解析] 复数z 对应的点在第一象限需⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋m －1>04m 2－8m ＋3>0解得：m <－1－52或m >32. 12．设复数z 的模为17，虚部为－8，则复数z ＝________.[答案] ±15－8i[解析] 设复数z ＝a －8i ，由a 2＋82＝17，∴a 2＝225，a ＝±15，z ＝±15－8i.13．已知z ＝(1＋i)m 2－(8＋i)m ＋15－6i(m ∈R )，若复数z 对应点位于复平面上的第二象限，则m 的取值范围是________．[答案] 3<m <5[解析] 将复数z 变形为z ＝(m 2－8m ＋15)＋(m 2－m －6)i∵复数z 对应点位于复平面上的第二象限∴⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－8m ＋15<0m 2－m －6>0解得3<m <5.14．若t ∈R ，t ≠－1，t ≠0，复数z ＝t 1＋t ＋1＋t ti 的模的取值范围是________． [答案] [2，＋∞)[解析] |z |2＝⎝⎛⎭⎪⎫t 1＋t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t t 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫t 1＋t ·1＋t t ＝2. ∴|z |≥ 2.三、解答题15．实数m 取什么值时，复平面内表示复数z ＝2m ＋(4－m 2)i 的点(1)位于虚轴上；(2)位于一、三象限；(3)位于以原点为圆心，以4为半径的圆上．[解析] (1)若复平面内对应点位于虚轴上，则2m ＝0，即m ＝0.(2)若复平面内对应点位于一、三象限，则2m (4－m 2)>0，解得m <－2或0<m <2.(3)若对应点位于以原点为圆心，4为半径的圆上， 则4m 2＋(4－m 2)2＝4即m 4－4m 2＝0，解得m ＝0或m ＝±2.16．已知z 1＝x 2＋x 2＋1i ，z 2＝(x 2＋a )i ，对于任意的x ∈R ，均有|z 1|>|z 2|成立，试求实数a 的取值范围．[解析] |z 1|＝x 4＋x 2＋1，|z 2|＝|x 2＋a |因为|z 1|>|z 2|，所以x 4＋x 2＋1>|x 2＋a |⇔x 4＋x 2＋1>(x 2＋a )2⇔(1－2a )x 2＋(1－a 2)>0恒成立． 不等式等价于1－2a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2a >0Δ＝－4(1－2a )(1－a 2)<0解得－1<a ≤12所以a 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－1，12. 17．已知z 1＝cos θ＋isin2θ，z 2＝3sin θ＋icos θ，当θ为何值时(1)z 1＝z 2；(2)z 1，z 2对应点关于x 轴对称；(3)|z 2|< 2.[解析] (1)z 1＝z 2⇔⎩⎨⎧ cos θ＝3sin θsin2θ＝cos θ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ tan θ＝332sin θcos θ＝cos θ⇒θ＝2k π＋π6(k ∈Z )． (2)z 1与z 2对应点关于x 轴对称⇒⎩⎨⎧ cos θ＝3sin θsin2θ＝－cos θ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ θ＝k π＋π6(k ∈Z )2sin θcos θ＝－cos θ⇒θ＝2k π＋76π(k ∈Z )． (3)|z 2|<2⇒(3sin θ)2＋cos 2θ< 2 ⇒3sin 2θ＋cos 2θ<2⇒sin 2θ<12⇒k π－π4<θ<k π＋π4(k ∈Z )． 18．已知复数z 1＝3－i 及z 2＝－12＋32i. (1)求|z 1|及|z 2|的值并比较大小；(2)设z ∈C ，满足条件|z 2|≤|z |≤|z 1|的点Z 的轨迹是什么图形？[解析] (1)|z 1|＝|3＋i|＝(3)2＋12＝2 |z 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12－32i ＝1.∴|z 1|＞|z 2|. (2)由|z 2|≤|z |≤|z 1|，得1≤|z |≤2.因为|z |≥1表示圆|z |＝1外部所有点组成的集合． |z |≤2表示圆|z |＝2内部所有点组成的集合，∴1≤|z|≤2表示如图所示的圆环．。
人教a版数学【选修2-2】3.1.1《数系的扩充与复数的概念》ppt课件
新知导学 1．数系扩充的原因、脉络、原则 脉络：自然数系→整数系→有理数系→实数系→________ 复数系 原因：数系的每一次扩充都与实际需求密切相关，实际需求 与数学内部的矛盾在数系扩充中起了主导作用．
原则：数系扩充时，一般要遵循以下原则： (1)增添新元素，新旧元素在一起构成新数集； (2)在新数集里，定义一些基本关系和运算，使原有的一些主 要性质(如运算定律)________适用； 依然 (3)旧元素作为新数集里的元素，原有的运算关系 __________ ； (4)新的数集能够解决旧的数集不能解决的矛盾． 保持不变
成才之路 · 数学
人教A版 · 选修2-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第三章
数系的扩充与复数的引入
第三章 3.1 数系的扩充与复数的概念
3.1.1 数系的扩充与复数的概念
1
自主预习学案
2
典例探究学案
3
巩固提高学案案
1.在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学 内部的矛盾在数系扩充过程中的作用． 2．理解复数的有关概念，掌握复数的代数表示． 3．理解复数相等的充要条件．
复数的相等与复数的分类 新知导学 3．复数相等的充要条件 设a、b、c、d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔___________. a＝c且b＝d 4．复数z＝a＋bi(a、b∈R)，z＝0的充要条件是 _____________，a＝0是z为纯虚数的____________条件． a＝0且b＝0 必要不充分
5．复数的分类
b＝0 (1)复数 z＝a＋bi(a、b∈R)，z 为实数⇔__________ ，z 为
b≠0 虚数⇔_________ ，z
高中数学人教A版选修2-2 变化率问题 课件(20张)
活动1：气球膨胀率
在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气 容量的增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数 学的角度, 如何描述这种现象呢?
我们知道, 气球的体积V 单位 : L 与半径 r 4 3 (单位 : dm)之间的函数关系是V r r , 3
如果把半径r表示为体积V的函数, 3V 那么r V . 4
65 h( ) h(0) v 49 0( s / m) 65 0 49
O
65 65 t 98 49
t
练一练
一运动质点的位移S与时间t满足S(t)=t2,分别计算S(t) 在下列区间上的平均变化率.(位移单位为m,时间单位为s) （1）[1, 3]; 4 思考： （2）[1, 2]; 3 2.1 （3）[1, 1.1]; 如何刻画t=1这一时刻 （4）[1, 1.001]; 2.001 质点运动的快慢程度呢？ （5）[1, 1.0001]; 2.0001 2 （6）[0.999, 1]; 1.999 （7）[0.99, 1]; 1.99 （8）[0.9, 1]. 1.9
y元/m2 y
某小区近十年来的房价变化如下图所示
(13,11000) (12,11000)
11000
情境2 8000
5500 2400
(11,8000) 12
11, (10,5500)
(1,2400)
(1997)
1 1995
(2007) (2008)(2009)
11 20062007 12 13 2005
3
0.62>0.16 r 1 r 0 0.62cm , r 1 r 0 气球的平均膨胀率为 0.62dm / L . 10 （ 2） 类似地,当空气容量从1 L增加到2 L时, 气球半径 增加了r 2 r 1 0.16dm , r 2 r 1 气球的平均膨胀率为 0.16dm / L . 2 1
人教a版数学【选修2-2】3.1.2《复数的几何意义》ppt课件
，
－1＜m＜2 ∴ m＞2或m＜1’
∴－1＜m＜1. (3)由已知得 m2－m－2＝m2－3m＋2. ∴m＝2.
[方法规律总结] 1.复数的几何意义包含两种： (1)复数与复平面内点的对应关系：每一个复数和复平面内的 一个点对应，复数的实部、虚部分别是对应点的横坐标、纵 坐标． (2)复数与复平面内向量的对应关系：当向量的起点在原点时 ，该向量可由终点唯一确定，从而可与该终点对应的复数建 立一一对应关系，借助平面向量的有关知识，可以更好的理 解复数的相关知识． 2．有关复数在复平面内的对应点位置(在实轴上、虚轴上、 某个象限内、某条已知直线上等)的题目，先找出复数的实 部、虚部，再按点所在的位置列方程或不等式(组)求解．
[分析]
确定z的实部、虚部 → 列方程不等式组
→ 求解m
[解析] 复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i的实部为m2－m －2，虚部为m2－3m＋2. (1)由题意得m2－m－2＝0. 解得m＝2或m＝－1.
2 m －m－2＜0 (2)由题意得 2 m －3m＋2＞0
实数x分别取什么值时，复数z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i对应 的点Z在：(1)第三象限；(2)第四象限；(3)直线x－y－3＝0上 ？ [解析] 因为x是实数，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是实数 ． 若已知复数z＝a＋bi，则当a<0，且b<0时，复数z对应的点在 第三象限； 当a>0，且b<0时，复数z对应的点在第四象限； 当a－b－3＝0时，复数z对应的点在直线x－y－3＝0上．
2 P(3m－2，m－1)，当 m>1 时，P 在第一象限；当 m<3时，P 在 2 2 第三象限，当3<m<1 时，P 在第四象限，当 m＝3时，P 在 y 轴 上，当 m＝1 时，P 在 x 轴上，故选 B.
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 阶段复习课课件 新人教A版选修2-2
【答案速填】 ①i2=-1 ②a=c,b=d ③a-bi ④Z(a,b) ⑤
OZ
⑥a+c ⑦(b+d)i ⑧(a-c)+(b-d)i
【核心解读】 1.复数的分类 对复数z＝a＋bi(a，b∈R)， 当b＝0时，z为实数；当b≠0时，z为虚数； 当a＝0，b≠0时，z为纯虚数． 2.复数中的两种思想 (1)函数思想：求复数模的最值时，需转化为关于复数 z=x+yi(x,y∈R)的实部x或虚部y的二次函数讨论求最值. (2)方程思想：由复数的代数形式利用复数相等的条件得到 方程(组)，解决问题.
x 3m 2， ， y m 1
消去m得：x-3y-1=0，因为直线
x-3y-1=0经过第一、三、四象限，所以，复数 m(3+i)-
(2+i)(m∈R，i为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于
第二象限，故选B.
【拓展类型】共轭复数、复数的模 【备选例题】(1)(2013·新课标全国卷Ⅱ)| 2 | =(
【补偿训练】(2014·兰州高二检测)复数m(3+i)-(2+i)(m∈R，
i为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于( )
A.第一象限
C.第三象限
B.第二象限
D.第四象限
【解析】选B.因为m(3+i)-(2+i)=(3m-2)+(m-1)i，设复数 m(3+i)-(2+i)(m∈R，i为虚数单位)在复平面内对应的点M的 坐标为(x，y)，则
所以复数z不可能是纯虚数．
【方法技巧】复数的有关概念 (1)正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念 (如实 数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模 )的前 提． (2)两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依 据． 提醒：求字母的范围时一定要关注实部与虚部自身有意义 .
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B)
z1 3.已知复数 3. 已知复数 z1 = 2 + i , z 2 = 1 + i , 则 在复平面内 z2 四 象限. 对应的点位于第 _____象限 对应的点位于第 _____象限. 25 4.若复数 的共轭复数是 3- 4i . 4.若复数 z = 3 − 4i 5.已知复数 =3+4i, 是实数， 5.已知复数 z1=3+4 , z2= t+i,且 z1 ⋅ z 2 是实数，则实 +, 3 数 t =____.
C
4 2
A
1 2
5答案 答案
5.已知关于 5.已知关于 x 的实系数方程 x －2 ax+a － 4 a+4=0 的两 +4=0 |+|x |=3， ． 虚根为 x1、 x2， 且| x1|+| 2|=3，则 a 的值为
解:依题意可设两虚根为 m + ni , m − ni m + ni + m − ni = 2a 则由韦达定理得 2 ( m + ni )( m − ni ) = a − 4a + 4 又∵ m + ni + m − ni = 3 ,∴ 2 m + n = 3
下面我们主要通过练习来巩固相关概念和方法. 下面我们主要通过练习来巩固相关概念和方法.
基础练习: 基础练习: 为纯虚数的( 1. a = 0 是复数 a + bi ( a , b ∈ R ) 为纯虚数的 (A)充分条件 (B)必要条件 充分条件 必要条件 (C)充要条件 (D)非充分非必要条件 充要条件 非充分非必要条件 2.已知复数 2.已知复数 z = 1 + i , z 4 =_______ 4
1 ∴实数 m 的取值范围是 . 12 评注: 一元二次方程系数为虚数时, 评注 : 一元二次方程系数为虚数时 , △ 法判别实 根已经不适用了. 根已经不适用了 .
拓展练习: 拓展练习: 1.满足条件 － |=|3 满足条件| |=|3＋ | 1.满足条件| z－ i|=|3＋ 4i|的复数 z 在复平面上对应 点的轨迹是( 点的轨迹是( ) ( A)一条直线 ( B)两条直线 (C)圆 ( D) 椭圆 ) ) ( ) ) 2.复数 ＝ ＋ ( , ∈ )满足| － | 2.复数 z＝ x＋ yi( x, y∈R)满足 | z－4i|＝ | z＋2|， ＋2|， 的最小值是_______. 则 2x ＋4y 的最小值是_______. 3.如果复数 z 满足| z+ i|+| － i|=2， 3.如果复数 满足| + |+|z－ |=2， 那么| + +1|的最小 |+| |=2 那么| z+ i+1|的最小 +1| 值是( )(A) (A)1 (C)2 值是( )(A)1 (B) 2 (C)2 (D) 5 4.已知复数 4.已知复数 z = x − 2 + yi ( x , y ∈ R ) 的模是 3 ， y 3 则 的最大值是______. 的最大值是______. x 2 2 5.已知关于 5.已知关于 x 的实系数方程 x －2 ax+a －4 a+4=0 的两 +4=0 |+|x |=3， 虚根为 x1、 x2， 且| x1|+| 2|=3，则 a 的值为 ．
4
能力练习： 能力练习： .(《随堂通》 16)已知 1.(《随堂通 》 P111 16)已知 z = x＋ yi(x， y∈ R)， ＋ ， ∈ )
2+ i 或 1+ 2i + 4 +8 1 3 9 2 的值为____. 2.若 ω = − + i ,则 (1−ω)(1−ω )(1−ω )(1−ω )的值为____. 2 2 1 3.设 等于________. 3.设 S n = 1 + i + i 2 + ⋯ + i n −1 ，则 S2007 等于 ________. 1 1 14 -1 4.已知 4.已知 x + = −1, 则 x + 14 = _____. x x 随堂通》 5. (《随堂通 》 P111 12)
2 2
2
2
9 1 7 ∴ a − 4a + 4 = 解得 a = 或 ( 舍去) 4 2 2 评注: 系数一元二次方程 一元二次方程有虚根一定是成 评注: 实系数一元二次方程 有虚根一定是成 对出现的.(两虚根互为共轭复数) .(两虚根互为共轭复数 对出现的.(两虚根互为共轭复数) 作业: 作业:课本 P A 组 题 1、 2、 3（第 1 题不 抄题） 、 、 （ 129
复数的复习(习题课) 复数的复习(习题课)
知识概括Biblioteka 基础练习能力练习拓展练习
作业: 作业:课本 P
129
A 组题 1、 2、 3（第 1 题不抄题） 、 、 （ 题不抄题）
复数的复习(习题课) 复数的复习(习题课)
一、本章知识结构
虚数的引入 复 复数的表示 代数表示 几何表示 数 复数的运算 代数运算 几何意义
有实根． 已知关于 x 的方程 x 2 − (2i − 1) x + 3m − i = 0 有实根． 的取值范围是____________. 则实数 m 的取值范围是____________. 1
5答案 答案
且 2 x + y + i log 2 x − 8 = (1 − log 2 y )i ，则 z=_____. =_____.
12
随堂通》 5. (《随堂通 》 P111 12) 有实根． 已知关于 x 的方程 x 2 − (2i − 1) x + 3m − i = 0 有实根． 的取值范围是____________. 则实数 m 的取值范围是____________.
解:原方程整理得： 原方程整理得： (x ( 2＋ x＋3 m)-(2 ＋1) ＝0 ＋ ) (2x＋1)i＝ ∵ x、 m∈ R，由复数相等的充要条件得： 、 ∈ ，由复数相等的充要条件得： x 2 + x + 3m = 0 1 1 解得 x = − , m = . 2 12 2 x + 1 = 0