【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修1-2课件：第4章 名师点拨：复数的有关概念
高中数学北师大版选修1-2 4.1.1 数的概念的扩展课件(31张)
则 a2＋( 3)2＝4.解得 a＝± 1.所以 z＝± 1＋ 3i.
1 2 3 4
1.已知复数 z＝a2－(2－b)i 的实部和虚部分别是 2 和 3,则实数 a,b 的值分别是( C ) A. 2,1 C.± 2,5 B. 2,5 D.± 2,1
2 a ＝2， 令 ∴a＝± 2,b＝5. －2＋b＝3.
反思与感悟
按照复数和复平面内所有点所成的集合之间
的一一对应关系,每一个复数都对应着一个有序实数对,只要 在复平面内找出这个有序实数对所表示的点 ,就可根据点的
位置判断复数实部、虚部的取值.
跟踪训练 3
已知复数 z 的虚部为 3,在复平面内复数 z 对应的向
量的模为 2,求复数 z.
解 由已知,设 z＝a＋ 3i(a∈R).
2
2 a 3m － m－1＝0， 2 ∴ 10－m－2m2＝0，
71 解得 a＝11 或 a＝－ . 5
实部与
虚部,然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程,
从而可以确定两个独立参数.
跟踪训练 2 解
已知 M ＝ {1,( m 2 － 2 m ) ＋ ( m 2 ＋ m － 2)i}, P ＝
(1)分类：
复数的分类及包含关系
实数b＝0 复数(a＋bi,a,b∈R) 纯虚数a＝0 虚数b≠0 非纯虚数a≠0
(2)集合表示：
知识点三
两个复数相等
a＋bi＝c＋di当且仅当 a＝c且b＝d .
知识点四
复数的几何意义
一一对应 (1)复数 z＝a＋bi(a,b∈R)― ― ― ― ― → 复平面内的点 Z(a,b)； 一一对应 → (2)复数 z＝a＋bi(a,b∈R) ― ― ― ― ― → 平面向量OZ＝(a,b).
【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修1-1教案：第2章 知识点拨：椭圆与双曲线的经典性质及法则
椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=. 7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM ABb k k a⋅=-，即0202y a x b K AB-=。
12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b+=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b+=+. 双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=. 7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-. 当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K ABOM =⋅，即0202y a x b K AB =。
北师大版高中数学选修1-2课件第四章数系的扩充与复数的引入1第2课时
数系的扩充与复数的引入 §1 数系的扩充和复数的引入
第2课时 复数的几何意义
1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
自主预习学案
• 大家知道实数的几何模型是数轴上的点， 即实数和数轴上的点建立了一一对应关系， 那么复数的几何模型又是怎样的呢？在 1806年，德国数学家高斯公布了虚数的图 像表示法，即虚数能用平面内的点来表 示．在直角坐标系中，横轴上取对应实部a 的点A，纵轴上取对应虚部b的点B，通过这
• (2019·北京昌平区新学道临川中学月考C )在 复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分
别为A，B．若C为线段AB的中点，则点C
对应的复数是( )
• A．4＋8i
B．8＋2i
• C．2＋4i D．4＋i
• [解析] 由题意知A(6,5)，B(－2,3)， ∴C(2,4)，∴点C对应的复数为2＋4i，故选
N，求实数 m 的值．
[解析] ∵M∪N＝N，∴M⊆N， ∴m2－2m＋(m2＋m－2)i＝－1 或 m2－2m＋(m2＋m－2)i＝4i. 由复数相等的充要条件，得
m2－2m＝－1 m2＋m－2＝0
，或mm22－ ＋2mm－＝20＝4
，
解得 m＝1 或 m＝2.
• 『规律方法』 利用复数相等的充要条件， 将复数问题转化为实数问题来解决．在解 题过程中要注意的是：一般由一个复数等 式可转化为一个实数方程组，所求出的解 要同时满足每一个方程．
• (1)复数与复平面内点的对应关系：每一个 复数和复平面内的一个点对应，复数的实 部、虚部分别是对应点的横坐标、纵坐 标．
• (2)复数与复平面内向量的对应关系：当向 量的起点在原点时，该向量可由终点唯一 确定，从而可与该终点对应的复数建立一 一对应关系，借助平面向量的有关知识，
北师大版选修12第四章数系的扩充与复数的引入ppt课件
4.1 数系的扩充和复数的概念
2、数的发展过程
自然数 分数
有理数 无理数
实数 虚数
复数
虚数集 复数集
纯虚数集
实数集
解:令x=bi(b∈R,b≠0),则 (bi)2+[t2-t+2t(bi)]=0
即 (-b2-2bt)+(t2-t)i=0 ∴ -b2-2bt＝０ t2-t＝０
3.2.1复数代数形式的四则运算
复数 加法
复数 减法
1、规定复数的加法法则如下： 设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，那么
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)I (a,b) +(c,d) =(a+c , b+d)
2、复数加法交换律、结合律： 对任意复数z1,z2,z3有
Z1+z2= z2+Z1 (z1+z2)+z3= z1+(z2+z3) 3、规定复数的减法法则如下： 设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，那么 (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i
３、熟悉应用
例１实数m取什么值时，复平面内表示复数 Ｚ＝（m2_8m+15)+(m2-5m-14)i的点
（１）位于第四象限？ （２）位于第一、三象限？ （３）位于直线y=x上？
采用PP管及配件：根据给水设计图配 置好PP管及配 件，用 管件在 管材垂 直角切 断管材 ，边剪 边旋转 ，以保 证切口 面的圆 度，保 持熔接 部位干 净无污 物
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学北师大版选修1-2【配套备课资源】第四章 章
目
开
＝－i－2 23＋3ii－i11003＝i－－1 i＝i－i＝0.
研一研·题型解法、解题更高效
章末复习课
小结 复数的运算可以看作多项式的化简，加减看作多项式 本 加减，合并同类项，乘法和除法可看作多项式的乘法．
课 时 栏 目 开
研一研·题型解法、解题更高效
章末复习课
跟踪训练4 计算：2＋1i－12－i i2＋1－i－i51＋i2－1－1－i2 i011.
本 ∵OA∥BC，|OC|＝|BA|，
课 时
∴kOA＝kBC，|zC|＝|zB－zA|，
栏
目 开
即 21＝yx－ ＋62，
x2＋y2＝ －32＋42，
解得xy11＝ ＝－ 0 5 或xy22＝ ＝－ 4 3 . ∵|OA|≠|BC|， ∴x2＝－3，y2＝4(舍去)，故z＝－5.
研一研·题型解法、解题更高效
栏 基本思想在本章中非常重要．
目
开
研一研·题型解法、解题更高效
章末复习课
跟踪训练3 已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i， 求x，y.
解 设x＝a＋bi(a，b∈R)，则y＝a－bi.
又(x＋y)2－3xyi＝4－6i，
本 课
∴4a2－3(a2＋b2)i＝4－6i，
时 栏 目 开
章末复习课
小结 数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种常用的 数学方法．本章中，复数本身的几何意义、复数的模以及复
本
课 数加减法的几何意义都是数形结合思想的体现，它们得以相
时
栏 互转化．涉及的主要问题有复数在复平面内对应点的位置、
目
开 复数运算及模的最值问题等．
研一研·题型解法、解题更高效
北师大版高中数学选修1-2课件4-1.1数的概念的扩展
解析： 复数系的构成为：
实数 复数虚数纯 非虚 纯数 虚数 再结合集合的运算可知 D 正确．
答案： D
3．以 3i－ 2的虚部为实部，以 3i2＋ 2i 的实部为虚部 的复数是________．
解析： 3i－ 2的虚部为 3,3i2＋ 2i 的实部为－3，所以 所求复数为 3－3i.
下列命题中，正确命题的个数是( )
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；
②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i；
③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.
A．0
B．1
C．2
D．3
由题目可获取以下主要信息： ①题中给出了三个命题； ②判断正确命题的个数． 解答本题只需根据复数的有关概念判断即可．
∴－t2－b2t－＝20t，b＝0，
① ②
由②得t＝0或t＝1. 当t＝0时，由①得b＝0，与b≠0矛盾，故舍去． 当t＝1时，由①得b＝－2或b＝0(舍去)． 综上可知，实数t的值为1.
练考题、验能力、轻巧夺冠
1．实数系的扩充过程 自然数―→―→整―数→
2．实数集的包含关系
有理数
实数
1．复数的有关概念
(1)复数
①定义：形如a＋bi的数叫做复数，其中a、b∈R，i叫做
．虚a叫数做单复位数的，b叫做复数的实．部
虚部
②表示方法：复数通常用表小示写，字即母. z
z＝a＋bi
(2)复数集 ①定义：的复全数体组成的集合叫做复数集．
1．两个虚数不能比较大小． 2．若两个复数能比较大小，则这两个复数一定全是实 数，
b＝0 即若 a＋bi>c＋di(a，b，c，d∈R)，则d＝0 .
a>c
(北师大版)数学选修1-2课件：第4章-名师点拨：数的概念的扩展
【正解】 ∵x 是纯虚数，∴设 x＝bi(b∈R 且 b≠0)， 【错因】 没有仔细审题，而是直接将x，t都作为实数来用 了．其实 t是实数， x为纯虚数，故 t2－t＋2tx不是实数，也就 则(bi)2＋ (t2－t＋2tb i)i＝0， 不能作为复数的虚部． 即(－b2－2tb)＋(t2－t)i＝0，
2 －b －2tb＝0， ∴ 2 t －t＝0，
① ②
由②得t＝0或t＝1.
当t＝0时，由①得b＝0，与b≠0矛盾，故舍去．
当t＝1时，由①得b＝－2或b＝0(舍去)．
综上可知，实数t的值为1.
1．两个虚数不能比较大小． 2．若两个复数能比较大小，则这两个复数一定全是实 数， b＝0 即若 a＋bi>c＋di(a，b，c，d∈R)，则d＝复数相等的充要条件得 2 t －t＋2tx＝0，
解得 t＝0 或 t＝1. ◎已知x2＋(t2－t＋2tx)i＝0，x为纯虚数，求实数t的值．
数的概念扩充到实数集后，人们发现在实数范围内很多问题 还不能解决，如从解方程的角度看，像x2＝－1这个方程在实 数范围内就无解，为了解决这个问题，需要把数的范围作进 一步的扩充，为此，人们引入一个新数i，叫虚数单位，且规 定(1)i2＝－1；(2)i可与实数进行四则运算；且原有的加、乘运 算律仍成立，这样就产生了形如：z＝a＋bi(a，b∈R)的数， 叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部，显 然i是－1的一个平方根，即i是方程x2＝－1的一个解．
复数z＝a＋bi(a，b∈R)中注意 (1)a，b∈R，这是确定 z的实部、虚部的前提，并可进一步判 定z是实数、虚数，不是纯虚数． (2)设复数z时，要注明a，b的范围． 如z是纯虚数，可设为z＝bi(b∈R且b≠0)， z是虚数，可设为z＝a＋bi(a、b∈R且b≠0)． [特别提醒 ] 形如bi的数不一定是纯虚数，只有 b∈R 且 b≠0时 才是纯虚数．
北师大版数学高二选修1-2学案第四章第1节数系的扩充与复数的引入(第1课时)
1．1 数的概念的扩展1．了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用．2．理解复数的有关概念，掌握复数的代数形式及复数的分类．1．把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1，把i叫作________．根据解方程的需要，不断扩充数系．引入虚数之后，使得方程x2＋1＝0也有解．2．形如a＋b i的数叫作______(a，b是实数，i是虚数单位)．通常表示为z＝a＋b i(a，b ∈R)．【做一做1】对于实数a，b，下列结论正确的是()．A．a＋b i是实数B．a＋b i是虚数C．a＋b i是复数D．a＋b i≠03．对于复数z＝a＋b i，a与b分别叫作复数z的______与______，并且分别用______与______表示，即a＝______，b＝______.复数z＝a＋b i中，a∈R，b∈R时，a，b才分别为z的实部和虚部，否则不是，而且复数z的虚部是b，而不是b i，不要弄混．【做一做2】设复数z的实部为17，虚部为－8，则复数z＝__________.4．复数的全体组成的集合叫作________，记作C，显然，______.5．在z＝a＋b i中，当______时，z为实数；当______时，z为虚数；当________时，z 为纯虚数．复数包括实数与虚数，而虚数中又含有纯虚数．z为纯虚数时应满足两条，即实部为0，虚部不为0.【做一做3－1】“复数a＋b i(a，b∈R)为纯虚数”是“a＝0”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【做一做3－2】若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x的值为()．A．－1 B．1 C．±1 D．－1或－2答案：1．虚数单位2．复数【做一做1】 C3．实部 虚部 Re z Im z Re z Im z【做一做2】 17－8i4．复数集 R C5．b ＝0 b ≠0 a ＝0，b ≠0【做一做3－1】 A【做一做3－2】 B 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x 2＋3x ＋2≠0， 解得x ＝1.1．各数集之间有怎样的包含关系？剖析：数集在不断扩充，它们之间的关系为N Z Q R C .用图示表示如图所示．2．复数如何分类？剖析：复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎪⎨⎪⎧ 实数(b ＝0)，虚数(b ≠0)⎩⎪⎨⎪⎧ 纯虚数(a ＝0)，非纯虚数(a ≠0).3．复数z 为0的条件是什么？剖析：复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )为0的充要条件是a ＝b ＝0. 题型一 辨析实数、虚数、纯虚数【例题1】 指出下列各数中，哪些为实数，哪些为虚数，哪些为纯虚数？ 3＋2，79，13i,0，i,3i －2,10－14i ，(3－5)i ，πi 2，2－2i. 反思：正确把握复数的实部、虚部的概念及实数、虚数、纯虚数的定义是作出正确的分类的关键．题型二 分清复数的实部和虚部【例题2】 以4i －3的虚部为实部，以7i －2i 2的实部为虚部的复数为( )．A ．4－2iB ．4＋2iC ．－3＋7iD ．4＋7i反思：一定要弄清一个复数的实部与虚部，在已知一个复数时，能写出它的实部和虚部；同样地，在已知复数的实部和虚部时，也要能写出这个复数．注意在判断复数z ＝a ＋b i 的实部、虚部时，必须在a ，b ∈R 的前提下判断，而且虚部是指b ，而不是b i.题型三 由实数、虚数、纯虚数的概念确定参数的取值【例题3】 实数k 为何值时，复数z ＝(k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i 分别是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零？分析：根据复数的分类，弄清一个复数满足什么条件时分别为实数、虚数、纯虚数，必须要分清复数的实部、虚部．反思：由复数z 的实部、虚部的取值来确定复数z 是实数、虚数、纯虚数．在解题时关键是确定z 的实部、虚部，并要注意纯虚数的概念满足两条：实部为零，虚部不为零．题型四 实部、虚部有限定范围的复数的判定【例题4】 复数z ＝log 2(x 2－5x ＋4)＋ilog 2(x －3)，当x 为何实数时，(1)z ∈R ；(2)z 为虚数；(3)z 为纯虚数？分析：依照复数分类求解此题，但要注意对数函数本身的要求．反思：本题考查了复数的分类及对数函数的定义域，解决此类题时，既要注意复数概念的要求，又要注意实数x 的范围．答案：【例题1】 解：实数有3＋2，79，0，πi 2； 虚数有3i －2,10－14i ，2－2i ，13i ，i ，(3－5)i ； 纯虚数有13i ，i ，(3－5)i. 【例题2】 B 复数4i －3的虚部为4，实部为－3；复数7i －2i 2即2＋7i ，其实部为2，虚部为7，所以以4i －3的虚部为实部，以7i －2i 2的实部为虚部的复数为4＋2i.【例题3】 解：(1)当k 2－5k －6＝0，即k ＝6或k ＝－1时，复数z 为实数．(2)当k 2－5k －6≠0，即k ≠6且k ≠－1时，复数z 为虚数．(3)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6≠0， ①②由①，得k ＝4或k ＝－1.由②，得k ≠6且k ≠－1，∴当k ＝4时，z 为纯虚数．(4)当⎩⎪⎨⎪⎧ k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6＝0，即k ＝－1时，z 为零． 【例题4】 解：(1)⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－5x ＋4>0，log 2(x －3)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >4或x <1，x ＝4，此时无解． ∴不存在x 使z ∈R .(2)z 为虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋4>0，x －3>0，log 2(x －3)≠0. ∴⎩⎨⎧ x >4或x <1，x >3，x ≠4.∴x ＞4. ∴当x ＞4时，z 为虚数． (3)⎩⎪⎨⎪⎧ log 2(x 2－5x ＋4)＝0，log 2(x －3)≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－5x ＋4＝1，x －3>0，x －3≠1， ①②③由①，得x ＝5＋132或x ＝5－132； 由②，得x ＞3；由③，得x ≠4.∴当x ＝5＋132时，z 为纯虚数．1复数1－i 的虚部是( )．A ．1B ．－1C ．iD ．－i答案：B 分清复数的实部、虚部是解题的关键．2设全集I ＝{复数}，N ＝{实数}，M ＝{纯虚数}，则( )．A ．M ∪N ＝IB ．∁I M ∪N ＝IC ．∁I M ∩N ＝ND ．M ∩∁I N ＝I答案：C 弄清数集的分类和集合之间的包含关系以及集合之间的交、并、补的运算． 3以23-i 的虚部为实部，以i i 232+的实部为虚部的复数是( )．A ．3－3iB ．3＋iC ．i 22+-D.i 22+ 答案：A 注意i 2＝－1，所以3i 2＋2i ＝－3＋2i ，其实部为－3，虚部为2；3i －2的虚部为3，实部为－2，故所求复数为3－3i.4以π＋3i 的实部为虚部，以2＋ei 的虚部为实部的复数为______．答案：e ＋πi π＋3i 的实部为π，2＋ei 的虚部为e ，则所求的复数为e ＋πi.5若log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m ＋2)为纯虚数，求实数m 的值．答案：分析：利用复数的分类解题．解：根据纯虚数的定义，得⎩⎨⎧≠+=--.0)2(log ,0)33(log 222m m m ∴⎩⎨⎧≠+=--.12,1332m m m ∴m ＝4.。
北师大版高中数学选修1-2课件第4章数系的扩充与复数的引入本章整合
-5-
本章整合
专题一
专题二
专题三
解:设 z=m+ni(m,n∈R),则 z ������=m2+n2. 由(1),知 m<0,n>0. 由(2),得 m2+n2+2i(m+ni)=8+ai, 即 m2+n2-2n+2mi=8+ai.
∴ ������2 + ������2-2n = 8, 2������ = ������.
一些特殊值的运算: (1)i 的乘方运算; (2)(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i; (3)11+-ii=i,11+-ii=-i; (4)ω=-12 + 23i,则 1+ω+ω2=0.
-7-
本章整合
Z 知识网络 HISHI WANGLUO
Z 专题探究 UANTI TANJIU
专题一
专题二
专题三
又因为 z-14 =
������-
1 4
+yi 是纯虚数,
所以 y≠0,x-14=0,即 x=14,代入 x2+y2=1 得 y=± 145.∴z=14 ± 145i.
-12-
∴a2=4m2=4(8-n2+2n)=4[-(n-1)2+9]. ∵n>0,∴a2≤36.∴|a|≤6. 又∵m<0,∴a<0.∴-6≤a<0. ∴a 的取值范围是{a|a∈R,且-6≤a<0}.
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Z 专题探究 UANTI TANJIU
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本章整合
Z 知识网络 HISHI WANGLUO
∵y≠0.∴ ������2 + ������2 = 5,解得 ������ = -1, 或 ������ = -2,
2019-2020学年高中北师大版数学选修1-2课件：第四章 数系的扩充与复数的引入 2 第2课时
(2)实数集内乘法、乘方的一些重要结论和运算法则在复数集内不一定成 立．如：①z∈R 时，|z|2＝z2，而 z∈C 时，|z|2∈R 时，而|z|2∈C，
∴|z|2≠z2. 如 z＝－2 时，|－2|2＝(－2)2. 而 z＝1＋i 时，|z|2＝|1＋i|＝2. z2＝(1＋i)2＝2i，显然|z|2≠z2. ②z1、z2∈R 时，z21＋z22＝0⇔z1＝0 且 z2＝0.
1．(2019·全国Ⅱ卷理，2)设 z＝－3＋2i，则在复平面内 z 对应的点位于( C )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[解析] z ＝－3－2i，故 z 对应的点(－3，－2)位于第三象限．故选 C．
运算的实质是__分__母__实__数__化____.
1．虚数单位 i 的乘方的几个注意点： (1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，1i ＝－i， 11＋ －ii＝i，11－＋ii＝－i，ab＋ －baii＝i， in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N＋)．
2．重要等式 z·z ＝|z|2＝| z |2 的应用 z·z ＝|z|2＝| z |2，即两个互为共轭复数的乘积等于这个复数(或其共轭复数)模 的平方． 此等式虽然结构很简单，但它将 z、z 、|z|、| z |紧密地联系在一起，并且等式 左→右具有实数化功能，右→左具有分解因式功能．
3．证明 z 为纯虚数的方法 (1)设 z＝a＋bi，证明 a＝0 且 b≠0； (2)z2<0⇔z 为纯虚数； (3)若 z≠0，则 z＋ z ＝0⇔z 为纯虚数． 4．证明 z∈R 的方法 (1)设 z＝a＋bi(a、b∈R)，证明 b＝0； (2)z∈R⇔z＝ z ； (3)z∈R⇔z2≥0； (4)z∈R⇔|z|2＝z2.
北师大版数学选修1-2同步教学课件：第4章数系的扩充和复数的引入章末复习
题型探究
类型一 复数的概念 例 1 已知复数 z＝a2－a－6＋a2＋a22－a－4 15i，分别求出满足下列条件的实 数 a 的值：
(1)z 是实数； 解 由a2－a－6＝0，解得a＝－2或a＝3. 由a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3. 由a2－4≠0，解得a≠±2. 由a2＋2a－15＝0且a2－4≠0，得a＝－5或a＝3， ∴当a＝－5或a＝3时，z为实数.
x2－3x－3>0， 所以log2x－3＝0，
x－3>0， 解得x＝4，所以当x＝4时，z∈R.
解答
(2)z为虚数.
解 因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，
x2－3x－3>0， 所以log2x－3≠0，
x－3>0，
解得
3＋ x> 2
21 且
x≠4.
所以当
3＋ x> 2
21 且Biblioteka x≠4时，z为虚数.
纯虚数 ；各象限内的点都表示非纯虚数.
(5)复数的模：设复数z＝a＋bi在复平面内对应的点是Z(a，b)，点Z到原 点的距离|OZ|叫作复数的模或绝对值，记作|z|，即|z|＝|a＋bi|＝__a_2_＋__b_2 __ (a，b∈R).
2.复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi←―一――一―对――应―→复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R). (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)←―一――一―对――应―→ 平面向量O→Z.
解答
(2)若复数 z 对应的点 P 在直线 y＝12x 上，求 θ 的值. 解 由(1)知，点P的坐标为(－1，－2sin2θ). 由点 P 在直线 y＝12x 上，得－2sin2θ＝－12， ∴sin2θ＝14，又 θ∈(0，π)，∴sin θ>0， 因此 sin θ＝12，∴θ＝π6或 θ＝56π.
《学案导学设计》高中数学北师大版选修1-2【配套备课资源】第四章 1
关
14
研一研·问题探究、课堂更高效
跟踪训练2
实数m为何值时，复数z＝
mm＋2 m－1
＋(m2＋2m
－3)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
解 (1)要使z是实数，
本 课 时
m需满足m2＋2m－3＝0，且mmm－＋12有意义即m－1≠0，
栏 目
解得m＝－3.
开 关
(2)要使z是虚数，m需满足m2＋2m－3≠0，
本 课 时 栏 目 开 关
1
学习要求
1．了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程.
2．理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些
本
基本概念.
课 时
3．掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条
栏
件.
目
开 4．理解复数的几何表示．
关
学法指导
可以从实际需求和数系的扩充认识引入复数的必要性，
关
(2)复数集
①定义： 复数的全体 组成的集合叫作复数集．
②表示：通常用大写字母 C 表示．
3
填一填·知识要点、记下疑难点
2．复数的分类及包含关系
(1)分类：
实数b＝0
本 课
复数(a＋bi，a，b∈R)虚数b≠0纯非虚纯数虚数a＝a0≠ 0
时 栏
(2)集合表示：
目
开
关
3．两个复数相等：a＋bi＝c＋di 当且仅当 a＝c且b＝d .
本 课
答 对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当b≠0时叫作虚
时 栏
数；当a＝0且b≠0时，叫作纯虚数．
目
开
关
9
研一研·问题探究、课堂更高效
例1 请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，
北师大版数学选修1-2同步教学课件：第4章1.2复数的有关概念
1 2 34 5
解答
(2)位于x轴的负半轴上. 解 由mm22＋－38mm－＋2185＝<00，， 得3m<＝m－<57，或m＝4， 所以m＝4.
1 2 34 5
解答
1.复数的几何意义
规律与方法
这种对应关系架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用 几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加 了解决复数问题的途径. (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)而不是(a，bi)；
取值范围是
A.a<－1或a>1
√B.－1<a<1
C.a>1
D.a>0
解析 因为|z1|＝ a2＋4，|z2|＝ 4＋1＝ 5，
所以 a2＋4< 5，即 a2＋4<5，
所以a2<1，即－1<a<1.
1 2 34 5
解析 答案
4.若复数z＝(m－2)＋(m＋1)i为纯虚数(i为虚数单位)，其中m∈R，则|z| ＝_3__.
解答
(2)第四象限. 解 当实数 x 满足xx22＋ －2x－x－6>150<，0， 即当2<x<5时，点Z在第四象限.
解答
反思与感悟 按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关 系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有 序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值.
解答
(2)直线x－y－3＝0上. 解 z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i对应点Z(x2＋x－6，x2－2x－15)， 当实数x满足(x2＋x－6)－(x2－2x－15)－3＝0， 即当x＝－2时，点Z在直线x－y－3＝0上.
【高中课件】高中数学北师大版选修12第四章数的概念的扩展典例导航课件ppt.ppt
(2)当 z 为虚数时，∵m 是实数， ∴mm22m－－m＋2m＋m3－2－6≠ 15有0 意义， ∴m≠－3 且 m≠－2 且 m≠3， 即当 m∈(－∞，－3)∪(－3，－2)∪(－2,3)∪(3，＋∞) 时，z 为虚数．
(3)当 z 为纯虚数时，∵m 是实数， m2－m2＋m2－15＝0，
∴m2m－＋m3－6≠0， 即mm＝ ≠53或 且mm＝ ≠－ －32， 且m≠－3， ∴m＝5，即当 m＝5 时，z 为纯虚数．
•(a2＋a已)i，知其复中数az∈1＝R－，4若a＋z1>1z＋2，(2求a2a＋的3值a)．i，z2＝2a＋
∴m＝12或m＝1 ．
(4)要使 z 为零，须有2mm2－2－53mm＋＋41＝＝00 ， ∴m＝12或m＝1 ，∴m＝1.
m＝1或m＝4 即当 m＝1 时，z 为零．
2.当 m 为何实数时，复数 z＝m2－m2＋m2－15＋m2m－＋m3－6i 满 足下列条件？
• 1.已知下列命题： • ①复数a＋bi不是实数； • ②两个复数不能比较大小； • ③若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2； • ④若复数z＝a＋bi，则当且仅当b≠0时，z为虚数； • ⑤若a＋bi＝c＋di，则a＝c且b＝d. • 其中真命题的个数是( ) • A．0个 B．1个 C．3个 D．4个
• [解题过程] (1)要使z为实数，须有m2－5m＋4＝0， • ∴m＝1或m＝4. • 即当m＝1或m＝4时，z为实数； • (2)要使z为虚数，须有m2－5m＋4≠0，即m≠1且m≠4. • ∴当m≠1且m≠4时，z为虚数．
《学案导学设计》高中数学北师大版选修1-2【配套备课资源】第四章 2.2
方法二 (技巧解法)
本 课 时
原式＝[1＋2 i2]6＋
2＋ 3－
3ii 2ii
栏 目 开 关
＝i6＋
2＋ 2＋
33iii＝－1＋i.
7
研一研·问题探究、课堂更高效
小结 (1)复数的乘法可以按照乘法法则进行，对于能够使
本 课
用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便，
时 栏
例如平方差公式、完全平方公式等．
3
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点一 复数乘除法的运算 问题1 怎样进行复数的乘法？
本
课 答 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把
时
栏 已得结果中的i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并
目
开 即可．
关
4
研一研·问题探究、课堂更高效
问题2 如何理解复数的乘除法运算法则？
本
答 复数的乘法可以把i看作字母，按多项式乘法的法
乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝ z1z2＋z1z3
2
填一填·知识要点、记下疑难点
3．共轭复数
如果两个复数满足 实部相等，虚部互为相反数 时，称这
本
两个复数互为共轭复数，z的共轭复数用 z 表示．即z＝a
课 时
＋bi，则 z ＝ a－bi .
栏 目
4．复数的除法法则
开 关
设 则zzz121＝＝aac＋＋ ＋dbbiii， ＝z2＝accc2＋＋＋bddd2i(＋c＋bcc2d－＋i≠add20i)，
2＋ 3－
3i 2i.
课 解 (1)(2＋i)(2－i)＝4－i2＝4－(－1)＝5；
时
栏 目
(2)(1＋2i)2＝1＋4i＋(2i)2＝1＋4i＋4i2＝－3＋4i；
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得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方 法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径． [特别提醒] 复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，
b)，而不是(a，bi)．
1．复数 z＝a＋bi 的模|z|＝ a2＋b2； 2．从几何意义上理解，表示点 Z 和原点间的距离，类 比向量的模可进一步引申：|Z1－Z2|表示点 Z1 和点 Z2 之间的 距离．
◎在复平面内，向量OA表示的复数为 1＋i，将向量OA 向右平移 1 个单位后，再向上平移 2 个单位，得到向量 → → O′A′，则向量O′A′对应的复数是________．
→
→
【错解】
2＋3i
【错因】 在复平面内，一个向量作平移变换，从一个位 置无论平移到哪一个位置，平移后的向量和原来的向量都是相 → → 等向量，对应的复数也都相等，所以O′A′＝O A.因此，向量 → O′A′对应的复数仍然是 1＋i.
【正解】
1＋iΒιβλιοθήκη