第八章 第二节 课时限时检测

(时间60分钟，满分80分)
一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)
1．(2011·青岛二中检测)“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0与直线x ＋y ＝1平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：若a ＝2，直线ax ＋2y ＝0与直线x ＋y ＝1显然平行，若直线ax ＋2y ＝0与直线x ＋y ＝1平行，由a 1＝21≠0
1
，易得a ＝2.
答案：C
2．(2010·温州十校模拟)已知点A (1，－2)，B (m,2)，且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是( )
A ．－2
B ．－7
C ．3
D ．1
解析：线段AB 的中点(1＋m 2，0)代入直线x ＋2y －2＝0中，得m ＝3.
答案：C
3．夹在两平行直线l 1：3x －4y ＝0与l 2：3x －4y －20＝0之间的圆的最大面积等于( ) A ．2π B ．4π C ．8π
D ．12π
解析：圆的最大直径即为两条平行直线间的距离d ＝20
5＝4，所以r ＝2，故最大面积为
π·22＝4π.
答案：B
4．直线x －2y ＋1＝0关于直线y －x ＝1对称的直线方程是( ) A ．2x －y ＋2＝0 B ．3x －y ＋3＝0 C ．2x ＋y －2＝0
D ．x －2y －1＝0
解析：设所求直线上任一点的坐标为(x ，y )，则它关于y －x ＝1对称的点为(y －1，x ＋1)，且在直线x －2y ＋1＝0上，∴y －1－2(x ＋1)＋1＝0，化简得2x －y ＋2＝0.
答案：A
5．已知实数x ，y 满足2x ＋y ＋5＝0，那么x 2＋y 2的最小值为( ) A. 5 B.10 C ．2 5
D ．210
解析：x 2＋y 2表示点(x ，y )到原点的距离，根据数形结合得x 2＋y 2的最小值为原点到
直线2x ＋y ＋5＝0的距离，即d ＝
5
5
＝ 5. 答案：A
6．(2011·潍坊五校联考)已知b >0，直线(b 2＋1)x ＋ay ＋2＝0与直线x －b 2y ＝0互相垂直，则ab 的最小值等于( )
A ．1
B ．2
C ．2 2
D ．2 3
解析：由两条直线垂直的充要条件可得：－b 2＋1a ·1b 2＝－1，解得a ＝b 2＋1b 2，所以ab ＝
b 2＋1b 2·b ＝b 2＋1b ＝b ＋1b .又因为b >0，故b ＋1
b ≥2 b ·1b ＝2，当且仅当b ＝1b ，即b ＝1时取
“＝”．
答案：B
二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分)
7．若点(1,1)到直线x cos α＋y sin α＝2的距离为d ，则d 的最大值是__________． 解析：依题意有d ＝|cos α＋sin α－2|＝|2sin(α＋π
4)－2|，
于是当sin(α＋π
4)＝－1时，d 取得最大值2＋ 2.
答案：2＋ 2
8．与直线2x ＋3y －6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是________．
解析：设(x 0，y 0)是直线2x ＋3y －6＝0上任一点，其关于点(1，－1)的对称点的坐标是(x ，y )，则2x 0＋3y 0－6＝0，(*)
又由对称性知⎩⎨⎧
x 0＋x
2
＝1 y 0
＋y
2＝－1
，∴⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝2－x
y 0＝－2－y
，代入(*)式，得2(2－x )＋3(－2－y )－
6＝0，即2x ＋3y ＋8＝0.
答案：2x ＋3y ＋8＝0
9．(2010·深圳二月模拟)设l 1的倾斜角为α，α∈⎝⎛⎭⎫0，π
2，l 1绕其上一点P 沿逆时针方向旋转α角得直线l 2，l 2的纵截距为－2，l 2绕P 沿逆时针方向旋转π
2－α角得直线l 3：x ＋2y
－1＝0，则l 1的方程为________．
解析：∵l 1⊥l 3，
∴k 1＝tan α＝2，k 2＝tan2α＝
2tan α1－tan 2α
＝－4
3.
∵l 2的纵截距为－2，∴l 2的方程为y ＝－4
3x －2.
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝－43x －2，
x ＋2y －1＝0，∴P (－3,2)，l 1过P 点， ∴l 1的方程为2x －y ＋8＝0. 答案：2x －y ＋8＝0
三、解答题(共3个小题，满分35分)
10．已知两直线l 1：x ＋y sin θ－1＝0和l 2：2x sin θ＋y ＋1＝0，试求θ的值，使得：(1)l 1
∥l 2；(2)l 1⊥l 2.
解：(1)法一：当sin θ＝0时，l 1的斜率不存在，l 2的斜率为零，l 1显然不平行于l 2. 当sin θ≠0时，k 1＝－1
sin θ
，k 2＝－2sin θ， 欲使l 1∥l 2，只要－
1sin θ＝－2sin θ，sin θ＝±22
， ∴θ＝k π±π
4，k ∈Z ，此时两直线截距不相等．
∴当θ＝k π±π
4，k ∈Z 时，l 1∥l 2.
法二：由A 1B 2－A 2B 1＝0， 即2sin 2θ－1＝0，得sin 2θ＝1
2，
∴sin θ＝±2
2，由B 1C 2－B 2C 1≠0，
即1＋sin θ≠0，即sin θ≠－1， 得θ＝k π±π
4
，k ∈Z ，
∴当θ＝k π±π
4
，k ∈Z 时，l 1∥l 2.
(2)∵A 1A 2＋B 1B 2＝0是l 1⊥l 2的充要条件， ∴2sin θ＋sin θ＝0，
即sin θ＝0，∴θ＝k π(k ∈Z)， ∴当θ＝k π，k ∈Z 时，l 1⊥l 2. 11．已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求： (1)点P (4,5)关于l 的对称点；
(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程．
解：设P (x ，y )关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x ′，y ′)．
∵k PP ′·k l ＝－1，即
y ′－y
x ′－x
×3＝－1.① 又PP ′的中点在直线3x －y ＋3＝0上， ∴3×x ′＋x 2－y ′＋y 2
＋3＝0.②
由①②得⎩⎨⎧
x ′＝－4x ＋3y －9
5
， ③ y ′＝3x ＋4y ＋3
5. ④
(1)把x ＝4，y ＝5代入③及④得x ′＝－2，y ′＝7， ∴P (4,5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(－2,7)．
(2)用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ，得关于l 的对称直线方程为－4x ＋3y －9
5－
3x ＋4y ＋3
5
－2＝0，化简得7x ＋y ＋22＝0. 12．(2010·山东烟台)已知直线l 1：2x －y ＋a ＝0(a >0)，直线l 2：－4x ＋2y ＋1＝0和直线l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2的距离是710
5.
(1)求a 的值；
(2)能否找到一点P ，使得P 点同时满足下列三个条件：①P 是第一象限的点；②P 点到l 1的距离是P 点到l 2的距离的1
2；③P 点到l 1的距离与P 点到l 3的距离之比是2∶5；若能，
求P 点坐标；若不能，说明理由．
解：(1)直线l 2：2x －y －1
2
＝0.
所以l 1与l 2的距离d ＝|a －(－1
2)|
22
＋(－1)
2＝
75
10
， 所以|a ＋12|
5＝75
10
所以|a ＋12|＝7
2.
因为a >0，所以a ＝3.
(2)假设存在点P ，设点P (x 0，y 0)，若P 点满足条件②，则P 点在与l 1、l 2平行的直线l ′：2x －y ＋C ＝0上，
且|C －3|5
＝12|C ＋1
2|
5，即C ＝132，或C ＝11
6，
所以2x 0－y 0＋
132＝0，或2x 0－y 0＋11
6
＝0； 若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式， 有
|2x 0－y 0＋3|5＝25|x 0＋y 0－1|2
， 即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|， 所以x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0；
由于P 在第一象限，所以3x 0＋2＝0不可能． 联立方程2x 0－y 0＋
13
2
＝0和x 0－2y 0＋4＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧
x 0
＝－3， y 0＝1
2
，应舍去． 由⎩⎪⎨⎪⎧
2x 0－y 0＋116＝0， x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎨⎧
x 0＝1
9， y 0＝3718.
∴存在点P (19，37
18
)同时满足三个条件．。