哈理工高数考试试题
高数理工复习试题及答案
A 卷一、选择题1. 若正项级数1n n u ∞=∑收敛，则下列结论正确的是( ).A. 11()n n n u u +∞+=+∑一定收敛. B.1lim1n n nu u ρ+→∞=<. C. 1n ρ<. D. n +∞=. 2.设可微函数(,)f x y 在点00(,)x y 处取得极小值，则下列结论正确的是（ ） A. 0(,)f x y 在0y y =处导数大于零. B. 0(,)f x y 在0y y =处导数等于零. C. 0(,)f x y 在0y y =处导数小于零.. D.0(,)f x y 在0y y =处导数不存在. 3.设210()10x f x xx ππ--<≤⎧=⎨+<<⎩，则以2π为周期的傅里叶级数在x π=处收敛于( ).A.21π+ B.1-. C.22π. D.2π. 4.设D 为由x 轴，y 轴及直线1x y +=所围成，则D2d σ=⎰⎰( ). A. 2. B. 3. C. 4. D.1.5.若函数(,)x f x y ，(,)y f x y 连续是(,)f x y 可微的（ ）.A.必要条件B.充要条件C.既不是充分又不是必要条件D.充分条件 二、填空题1.微分方程26(1)x y y y x e -'''--=+的特解形式为 .(不求特解)2.二重积分222316(cos 1)x y x y yx d σ+≤++=⎰⎰.3.若级数1(1)nn n a x +∞=-∑在5x =-处收敛，则级数1(1)n n n a x +∞=-∑在6x =处 .（绝对收敛，条件收敛，发散）4.函数22u x yz =-在点(1,2,2)-处的梯度(1,2,2)gradu - .5. 2y x =在空间几何中表示 图形. 三、计算题1.求曲线x t =，2,y t =-3z t =与平面24x y z ++=平行的切线方程。
哈理工(2)高数考试试题B
考试科目： 高等数学 考试时间：120分钟 试卷总分100分一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在括号中）（本大题共5小题，每小题4分，总计20分）１、设L 是222a y x =+（0>a ）的正向圆周，则y y xy x y x x Ld )(d )(3223⎰-+-的值为（ ）．(A) 2π4a ； (B) 4πa -； (C) 4πa ； (D) 33π2a ．２、设 Ω为立方体：10≤≤x ，10≤≤y ，10≤≤z ，则=⎰⎰⎰Ωz y x yx d d d 2（ ）． (A)31； (B) 41； (C) 61； (D) 81 ３、幂级数()∑∞=-11n nnnx 的收敛域为（ ）. (A) ]1,1[-； (B) )1,1[-； (C) ]1,1(-； (D) )1,1(-. 4、设a ，b +=-，则必有（ ）． (A) =+； (B) =-； (C) =⨯； (D) 0=•．５、微分方程xxy y y 2ee 36+=+'-''的特解应具有的形式为（ ）.（A ）)e e (2xxB A x +； （B ）x x B A 2e e +； （C ）x x Bx A 2e e +； （D ）xx B Ax 2e e +.二、填空题（将正确的答案填在横线上）（本大题共5小题，每小题4分，总计20分） １、设yx u =（0>x ，1≠x ），则.=u d .2、曲线 ⎪⎩⎪⎨⎧==-01422z x y 绕x 轴旋转一周，所得的旋转曲面的方程为 .3、设∑的方程为22y x z +=在10≤≤z 部分的上侧，则⎰⎰∑=y x z d d 2 .4、设222),,(z xy x z y x f ++=，则),,(z y x f 在点)2,1,1(-处沿方向{}1,2,2-=l 的方向导数为 .5、设D 是两坐标轴及直线1=+y x 围成的区域，则⎰⎰+Dy x y x d d )(的值为 .三、解答下列各题（1、2、3、4每小题7分，5、6每小题10分，总48分）1、求过点)4,2,1(-A 且与二平面02=-+z y x 及023=++z y x 都平行的直线方程.2、求曲面0582=++--z x xy x 在点)1,3,2(-处的切平面与法线方程.3、计算曲面积分⎰⎰∑++-+-=y x z x z y y z y x x I d d )2(d d )2(d d )(333，其中积分曲面∑为221y x z --=的上侧.4、设),(y x f 具有一阶连续偏导数，且满足32),(x x x f =，422),(x x x x f x -='，计算 ),(2x x f y '5、判别下列级数的敛、散性（每题5分） （1）n n n 1sin 11∑∞=； （2）∑∞=-123)1(n n n n .6、求解下列微分方程的通解（每题5分） （1）xy y -=+'e； （2）023='+''-'''y y y .四、证明题（每小题6分，总计12分） 1、设∑∞=12n n a 收敛，试证明：∑∞=1n nna 绝对收敛.2、设)(z f 连续，积分区域Ω为：1222≤++z y x ，试证明：z z z f z y x z f d )1)((πd d d )(112⎰⎰⎰⎰-Ω-=（资料素材和资料部分来自网络，供参考。
2019届黑龙江省高三12月考理科数学试卷【含答案及解析】
2019届黑龙江省高三12月考理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知集合A＝，B＝，则A B＝（）A ． _________________________________B ．_________C ．______________________________________D ．2. 已知数列满足，，则数列的前6项和为（）A ． 63 ______________B ． 127 ______________C ．____________________ D ．3. 若，是第三象限的角，则（）A ．___________________B ． ______________C ．_________ D ．4. 已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题不正确的是（）A ．若，，则______________B ．若，，则C ．若，，则______________D ．若，，则5. 已知正项数列中，，，，则等于（）A ．_________B ． 4 ________________C ． 8 _________D ． 166. 已知两定点，，点P在椭圆上，且满足＝2，则为（________ ）A ．－12 ______________B ． 12 ___________C ．一9 ______________D ． 97. 一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的侧面积是（）8. 点为椭圆的一个焦点，若椭圆上存在点使为正三角形，那么椭圆的离心率为（）A ．B ．C ．D ．9. 已知抛物线的焦点F到双曲线C：渐近线的距离为，点是抛物线上的一动点，P到双曲线C的上焦点的距离与到直线的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为（）A ． ______________________________B ．C ． ______________________________D ．10. 已知是内的一点，且若和的面积分别为，则的最小值是（）A ． 20 ________B ． 18 _________C ． 16 ________________D ． 911. 已知圆：，平面区域Ω：．若圆心，且圆与轴相切，则的最大值为（）A ．____________________________B ．__________________C ．_________ _________ D ．12. 已知函数，设方程的四个实根从小到大依次为，对于满足条件的任意一组实根，下列判断中正确的个数为（________ ）（ 1 ）或；（ 2 ）且；（ 3 ）或；______________（ 4 ）且．A ． 3_________________B ． 2 _________C ． 1D ． 0二、填空题13. 在边长为1的正三角形ABC中，设，则__________ ．14. 若等比数列的各项均为正数，且，则________ ．15. 利用一个球体毛坯切削后得到一个四棱锥 ,其中底面四边形是边长为的正方形，，且平面 ,则球体毛坯体积的最小值应为_________ ．16. 若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，，，有下列命题：① 在内单调递增；② 和之间存在“隔离直线”，且的最小值为；③ 和之间存在“隔离直线”，且的取值范围是；·④ 和之间存在唯一的“隔离直线” ．其中真命题的个数为_________________________________ （请填所有正确命题的序号）三、解答题17.在锐角中, 分别为角所对的边，且（Ⅰ ）确定角的大小；（Ⅱ ）若，且的面积为，求的值．18.已知数列的前项和为 ,若（） ,且．（Ⅰ ）求证：数列为等差数列；（Ⅱ ）设 ,数列的前项和为 ,证明:（）．19.如图,已知四边形和均为直角梯形，∥ ，∥ ，且，平面⊥平面 ,（Ⅰ ）证明：平面；（Ⅱ ）求平面和平面所成锐二面角的余弦值．20.已知椭圆：的一个焦点为，左右顶点分别为，．经过点的直线与椭圆交于，两点．（Ⅰ ）求椭圆方程；（Ⅱ ）记与的面积分别为和，求的最大值．21.设函数．（Ⅰ ）若函数在上为减函数，求实数的最小值；（Ⅱ ）若存在，使成立，求实数的取值范围．22. 选修4-1：几何证明选讲如图所示，为的直径，为的中点，为的中点．（Ⅰ ）求证：；（Ⅱ ）求证：．23. 选修 4—4 ：坐标系与参数方程平面直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为．（Ⅰ ）求直线的极坐标方程；（Ⅱ ）若直线与曲线相交于、两点，求．24. 选修4－5：不等式选讲设函数．（Ⅰ ）解不等式；（Ⅱ ）若对一切实数均成立，求实数的取值范围．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】。
2023年黑龙江省高考理科数学真题及参考答案
2023年黑龙江省高考理科数学真题及参考答案一、选择题1.设5212ii iz +++=，则=z （）A .i 21-B .i21+C .i -2D .i+22.设集合R U =，集合{}1<=x x M ，{}21<<-=x x N ，则{}=≥2x x （）A .()N M C U ⋃B .MC N U ⋃C .()N M C U ⋂D .NC M U ⋃3.如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（）A .24B .26C .28D .304.已知()1-=ax xe xe xf 是偶函数，则=a （）A .2-B .1-C .1D .25.设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域(){}41,22≤+≤y x y x 内随机取一点，记该点为A ，则直线OA 的倾斜角不大于4π的概率为（）A .81B .61C .41D .216.已知函数()()ϕω+=x x f sin 在区间⎪⎭⎫⎝⎛326ππ，单调递增，直线6π=x 和32π=x 为函数()x f y =的图象的两条对称轴，则=⎪⎭⎫⎝⎛-125πf （）A .23-B .21-C .21D .237.甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（）A .30种B .60种C .120种D .240种8.已知圆锥PO 的底面半径为3，O 为底面圆心，PB P A ，为圆锥的母线，︒=∠120AOB ，若P AB ∆的面积等于439，则该圆锥的体积为（）A .πB .π6C .π3D .π639.已知ABC ∆为等腰直角三角形，AB 为斜边，ABD ∆为等边三角形，若二面角D AB C --为150°，则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为（）A .51B .52C .53D .5210.已知等差数列{}n a 的公差为32π，集合{}*∈=N n a S n cos ，若{}b a S ,=，则=ab （）A .1-B .21-C .0D .2111.已知B A ,是双曲线1922=-y x 上两点，则可以作为B A ,中点的是（）A .()1,1B .()2,1-C .()3,1D .()4,1-12.已知圆122=+y x O ：，2=OP ，过点P 作直线1l 与圆O 相切于点A ，作直线2l 交圆O 于C B ,两点，BC 中点为D ，则PD P A ⋅的最大值为（）A .221+B .2221+C .21+D .22+二、填空题13.已知点()51，A 在抛物线px y C 22=：上，则A 到C 的准线的距离为.14.若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+-≤-739213y x y x y x ，则y x z -=2的最大值为.15.已知{}n a 为等比数列，63542a a a a a =，8109-=a a ，则=7a .16.已知()()xxa a x f ++=1，()1,0∈a ，若()x f 在()∞+，0为增函数，则实数a 的取值范围为.三、解答题（一）必做题17.某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为i i y x ,()10,2,1 =i ，试验结果如下试验序号i 12345678910伸缩率i x 545533551522575544541568596548伸缩率iy 536527543530560533522550576536记i i i y x z -=()10,2,1 =i ，记1021,z z z 的样本平均数为z ，样本方差为2s ，（1）求z ，2s ；（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果1022s z ≥，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）.18.在ABC ∆中，︒=∠120BAC ，2=AB ，1=AC .（1）求ABC ∠sin ；（2）若D 为BC 上一点，且︒=∠90BAD ，求ADC ∆的面积.19.如图，在三棱锥ABC P -中，BC AB ⊥，2=AB ，22=BC ，6==PC PB ，BC AP BP ,,的中点分别为O E D ,,，DO AD 5=，点F 在AC 上，AO BF ⊥.（1）证明：EF ∥平面ADO ；（2）证明：平面ADO ⊥平面BEF ；（3）求二面角C AO D --的正弦值.20.已知椭圆C ：()012222>>=+b a bx a y 的离心率为35，点()02，-A 在C 上.（1）求C 的方程；（2）过点()3,2-的直线交曲线C 于Q P ,两点，直线AQ AP ,交y 轴于N M ,两点，求证：线段MN 中点为定点.21.已知函数()()1ln 1+⎪⎭⎫⎝⎛+=x a x x f .（1）当1-=a 时，求曲线()x f 在()()1,1f 的切线方程；（2）是否存在实数b a ,使得曲线⎪⎭⎫⎝⎛=x f y 1关于直线b x =对称，若存在，求出b a ,的值；如果不存在，请说明理由；（3）若()x f 在()∞+，0存在极值，求a 的取值范围.（二）选做题【选修4-4】22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤=24sin 2πθπθρ，曲线2C ：⎩⎨⎧==ααsin 2cos 2y x （α为参数，παπ<<2）.（1）写出1C 的直角坐标方程；（2）若直线m x y +=既与1C 没有公共点，也与2C 没有公共点，求m 的取值范围.【选修4-5】23.已知()22-+=x x x f .（1）求不等式()x x f -≤6的解集；（2）在直角坐标系xOy 中，求不等式组()⎩⎨⎧≤-+≤06y x yx f 所确定的平面区域的面积.参考答案一、选择题123456789101112BADDCDCBCBDA1.解：()i i ii i i i i i i z 21112211212252-=--=+=+-+=+++=，则i z 21+=2.解：由题意可得{}2<=⋃x x N M ，则()=⋃N M C U {}2≥x x .3.解：如图所示，在长方体1111D C B A ABCD -中，2==BC AB ，31=AA ，点K J I H ,,,为所在棱上靠近点1111,,,A D C B 的三等分点，N M L O ,,,为所在棱的中点，则三视图所对应的几何体为长方体1111D C B A ABCD -去掉长方体11LMHB ONIC -之后所得的几何体，该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方体.4.解：∵()1-=ax xe xe xf 是偶函数，则()()=--x f x f ()()[]01111=--=-------axx a x ax x axx e e e x e e x e xe ，又∵x 不恒为0，可得()01=--xa xee ，则()x a x 1-=，∴2=a .5.解：∵区域(){}41,22≤+≤y x y x 表示以()00，O 为圆心，外圆半径2=R ，内圆半径1=r 的圆环，则直线OA 的倾斜角不大于4π的部分如阴影所示，在第一象限对应的圆心角4π=∠MON ，结合对称性可得所求概率为41242=⨯=ππp .6.解：∵()()ϕω+=x x f sin 在区间⎪⎭⎫⎝⎛326ππ，单调递增，∴26322πππ=-=T ，且0>ω，则π=T ，22==Tπω.当6π=x 时，()x f 取得最小值，则Z k k ∈-=+⋅,2262ππϕπ，则Z k k ∈-=,652ππϕ，不妨取0=k 则()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=652sin πx x f ，则2335sin 125=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππf .7.解：有1本相同的读物，共有16C 种情况，然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有25A 种，根据分布乘法公式则共有⋅16C 12025=A 种.8.解：在AOB ∆中，︒=∠120AOB ，而3==OB OA ，取AC 中点C ，连接PC OC ,，有AB OC ⊥，AB PC ⊥，如图，︒=∠30ABO ，23=OC ，32==BC AB ，由P AB ∆的面积为439得439321=⨯⨯PC ，解得233=PC ，于是6232332222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=OC PC PO ，∴圆锥的体积()πππ663313122=⨯⨯=⨯⨯=PO OA V .9.解：取AB 的中点E ，连接DE CE ,，∵ABC ∆为等腰直角三角形，AB 为斜边，则有AB CE ⊥，又ABD ∆为等边三角形，则AB DE ⊥，从而CED ∠为二面角DAB C --的平面角，即︒=∠150CED ，显然E DE CE =⋂，⊂DE CE ,平面CDE ，又⊂AB 平面ABC ，因此平面CDE ⊥平面ABC ，显然平面CDE ∩平面CE ABC =，直线⊂CD 平面CDE ，则直线CD 在平面ABC 内的射影为直线CE ，从而DCE ∠为直线CD 与平面ABC 所成的角，令2=AB ，则1=CE ，3=DE，在CDE ∆中，由余弦定理得：72331231cos 222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯⨯-+=∠⋅-+=CED DE CE DE CE CD ，由正弦定理得CEDCDDCE DE ∠=∠sin sin ，即7237150sin 3sin =︒=∠DCE ，显然DCE ∠是锐角，7257231sin 1cos 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∠-=∠DCE DCE ，∴直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为53.10.解：依题意，等差数列{}n a 中，()⎪⎭⎫⎝⎛-+=⋅-+=323232111πππa n n a a n ，显然函数==n a y cos ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+3232cos 1ππa n 的周期为3，而*∈N n ，即n a cos 最多有3个不同取值，又{}{}b a Nn a n ,cos =∈*，而在321cos ,cos ,cos a a a 中，321cos cos cos a a a ≠=或321cos cos cos a a a =≠，于是有⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32cos cos πθθ，即有Z k k ∈=⎪⎭⎫ ⎝⎛++,232ππθθ，解得Z k k ∈-=,3ππθ213cos cos cos 3cos 343cos 3cos 2-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππππππππππk k k k k ab 11.解：由对称性只需考虑()1,1，()2,1，()3,1，()4,1即可，注意到()3,1在渐近线上，()1,1，()2,1在渐近线一侧，()4,1在渐近线的另一侧.下证明()4,1点可以作为AB 的中点.设直线AB 的斜率为k ，显然k 存在.设()41+-=x k y l AB ：，直线与双曲线联立()⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=194122y x x k y ，整理得()()()094429222=------k x k k xk ，只需满足⎩⎨⎧>∆=+0221x x ，∴()29422=--k k k ，解得49=k ，此时满足0>∆.12.解：如图所示，1=OA ，2=OP ，则由题意可知：︒=∠45APO ，由勾股定理可得122=-=OA OP P A ，当点D A ,位于直线PO 异侧时，设40παα≤≤=∠，OPC ，则：⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⋅4cos cos 214cos πααπαPD P A αααααααα2sin 2122cos 1cos sin cos sin 22cos 22cos 22-+=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=42sin 2221πα∵40πα≤≤，则4424ππαπ≤-≤-，∴当442ππα-=-时，PD P A ⋅有最大值1.当点D A ,位于直线PO 同侧时，设40παα≤≤=∠，OPC ，则：⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⋅4cos cos 214cos πααπαPD P A αααααααα2sin 2122cos 1cos sin cos sin 22cos 22cos 22++=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛++=42sin 2221πα∵40πα≤≤，则2424ππαπ≤+≤，∴当242ππα=+时，PD P A ⋅有最大值为221+.二、填空题13.49；14.8；15.2-；16.⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,21513.解：由题意可得：()1252⨯=p ，则52=p ，∴抛物线的方程为x y 52=，准线方程为45-=x ，点A 到C 的准线的距离为49451=⎪⎭⎫ ⎝⎛--.14.作出可行域如下图所示，∵y x z -=2，∴z x y -=2，联立有⎩⎨⎧=+-=-9213y x y x ，解得⎩⎨⎧==25y x 设()2,5A ，显然平移直线x y 2=使其经过点A 此时截距z -最小，则z 最大，代入得8=z .15.解：设{}n a 的公比为()0≠q q ，则q a q a a a a a a 5263542⋅==，显然0≠n a ，则24q a =，即231q q a =，则11=q a ，∵8109-=a a ，则89181-=⋅q a q a ，则()()3351528-=-==q q，则23-=q ，则25517-==⋅=q q q a a .16.⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,215解析：()()()a a a a x f xx+++='1ln 1ln ，由()x f 在()∞+，0为增函数可知()∞+∈，0x 时，()0≥'x f 恒成立，只需()0min ≥'x f ，而()()()01ln 1ln 22>+++=''a a a a x f xx，∴()()()01ln ln 0≥++='>'a a f x f ，又∵()1,0∈a ，∴⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈1,215a .三、解答题（一）必做题17.解：（1）∵i i i y x z -=()10,2,1 =i ，∴9536545111=-=-=y x z ；62=z ；83=z ；84-=z ；155=z ；116=z ；197=z ；188=z ；209=z ；1210=z .()()[]1112201819111588691011011021=++++++-+++⨯=++=z z z z ∵()∑=-=1012101i i z z s ，将各对应值代入计算可得612=s （2）由（1）知：11=z ，612=s，∴5122106121061210222=⨯==s ，121112==z ，∴1022s z ≥∴甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高18.解：（1）根据题意，由余弦定理可得：72112212cos 222222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⨯-+=∠⋅-+=BAC AC AB AC AB BC ∴7=BC 由正弦定理ABC AC A BC ∠=∠sin sin ，即ABC∠=sin 1237，解得1421sin =∠ABC .（2）由三角形面积公式可得430sin 2190sin 21=︒⨯⨯⨯︒⨯⨯⨯=∆∆AD AC AD AB S S ACDABD ，则103120sin 12215151=⎪⎭⎫⎝⎛︒⨯⨯⨯⨯==∆∆ABC ACD S S .19.解：（1）连接OF OE ,，设tAC AF =，则()BC t BA t AF BA BF +-=+=1，BC BA AO 21+-=，AO BF ⊥，则()[]()()0414********=+-=+-=⎪⎭⎫⎝⎛+-⋅+-=⋅t t BC t BA t BC BA BC t BA t AO BF 解得21=t ，则F 为AC 的中点，由F O E D ,,,分别为AC BC P A PB ,,,的中点，于是AB OF AB DE AB DE 2121∥，，∥=，即OF DE OF DE =，∥，则四边形ODEF 为平行四边形，DO EF DO EF =，∥，又⊄EF 平面ADO ，⊂DO 平面ADO ，∴EF ∥平面ADO .（2）由（1）可知EF ∥OD ，则266==DO AO ，，得2305==DO AD ，因此215222==+AD AO OD ，则AO OD ⊥，有AO EF ⊥，又BF AO ⊥，F EF BF =⋂，⊂EF BF ,平面BEF ，则有AO ⊥平面BEF ，又⊂AO 平面ADO ，∴平面ADO ⊥平面BEF .（3）过点O 作BF OH ∥交AC 于点H ，设G BE AD =⋂，由BF AO ⊥得AO HO ⊥，且AH FH 31=，又由（2）知，AO OD ⊥，则DOH ∠为二面角C AO D --平面角，∵E D ,分别为P A PB ,的中点，因此G 为P AB ∆的重心，即有,31,31BE GE AD DG ==又AH FH 31=，即有GF DH 23=，622642622215234cos 2⨯⨯-+=⨯⨯-+=∠P A ABD ，解得14=P A ，同理得26=BE ，于是3222==+BF EF BE ，即有EF BE ⊥，则35262631222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=GF ，从而315=GF ，21531523=⨯=DH ，在DOH ∆中，215,262321====DH OD BF OH ，于是22221sin ,22232624154346cos 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∠-=⨯⨯-+=∠DOH DOH .∴二面角C AO D --的正弦值为22.20.解：（1）由题意可得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+==352222a c e c b a b ，解得⎪⎩⎪⎨⎧===523c b a ，∴椭圆的方程为14922=+x y。
考试科目高等数学考试时间120分钟试卷总分100分资料
哈尔滨理工大学2002－2003学年第二学期考试试题A 卷考试科目：高等数学考试时间：120分钟试卷总分100分题号一二三四总分得分评卷教师一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在括号中）（本大题共5小题，每小题4分，总计20分）１、设为球面2222a zyx （0a），则S zyxd 1222的值为（）．(A) π2；(B)π3；(C) a 3π4；(D)π4．２、设222),,(z yxz y x f ，则)2,2,1(gradf 的值为（）．(A) 31； (B)2,2,1；(C)32,32,31； (D)３、级数1cos11n nn（为常数）的敛、散性为（）.（A ）条件收敛；（B ）绝对收敛；（C ）发散；（D ）敛散性与有关.4、设D 是矩形域4π0x，11y ，则Dy x xy x d d 2cos 的值为（）．(A)0；(B)12；(C)21； (D) 41．５、设曲线x y z xyz00222在点(,,)110处的法平面为S ，则点(,,)022到S 的距离是（）.（A ）24；（B ）22；（C ）2；（D ）23.装订线班级：学号：姓名：二、填空题（将正确的答案填在横线上）（本大题共5小题，每小题4分，总计20分）１、设2,1,1a ，3,1,2b，则)2(b a a .2、若函数c byaxxyy x y x f 322),(22（a ，b ，c 为常数）在点)3,2(处取得极小值3，则a ，b ，c 之积abc.3、设xy f y z，其中)(u f 具有一阶连续导数，则yz .4、以x c c y xx321ee（1c ，2c 为任意常数）为通解的二阶常系数非齐次微分方程为 .5、设)(u f 具有连续的导数，且满足0)0(f ，2)0(f ，则极限vz yxf t t z y x td )(π3lim222222240.三、解答下列各题（1、2、3、4每小题7分，5、6每小题10分，总48分）1、求点)1,3,2(A 在直线L ：7t x ，22t y ，23t z 上的投影.2、计算三重积分v z yxd )(3222，其中积分区域为224z xy 与22z x y 围成.哈尔滨理工大学2002－2003学年第二学期考试试题A 卷3、计算曲线积分Lyxx y y x 22d d ，其中L 为1422yx，取逆时针方向.4、将x x x f arctan 2)(展开成关于x 的幂级数，指出收敛区间.5、判别下列级数的敛、散性（每题5分）（1）12)1(5n nn n ；（2）12)1(n nnn.6、求解下列微分方程的通解（每题5分）（1）x y xy1；（2）1)(12y xy.四、证明题（每小题6分，总计12分）1、设)(x f 在a ,0上连续，积分区域a x a yxy x D0,),(，试证明：2d )(21d d )()(a Dxx f yx y f x f 2、设1n n u 与1n n w 都收敛，且n n nw v u ，试证明：1n n v 也收敛.。
2014-2015学年哈尔滨理工大学概率论与数理统计期末考试试题
A卷
考试科目：概率论与数理统计 考试时间:100 分钟 试卷总分:100 分
考试班级：14 级各专业
题号
一
二
三
四
总分
得分 装
评卷教师
班
级
一、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，总计 20 分）
：
1. 设 A, B, C 是三个事件，P( A) P(B) P(C) 1 ，P( AB) P(BC) 0, P( AC) 1，
概率是 0.02，加工出来的零件混合在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台多一倍.
求(1) 任意取出一个零件是废品的概率；(2) 若任意取出的零件经检查为废品，求它是第
二台机床加工的概率.
2.(10 分) 设 X 在区间 1, 6 上服从均匀分布，求关于未知量 t 的方程 t2 Xt 1 0 有
f
x
2
x( 1) ,
x 2
0,
其他
其中 1， 为未知参数. 求 的矩估计和极大似然估计.
四、证明题（本大题共 1 小题，每小题 6 分，共 6 分）
设 ˆ 是参数 的无偏估计，且有 lim D ˆ 0, 试证明 ˆ 是 的一致估计. n
Y a X b ~ N (0,1) ，则有(
).
A. a 5,b 5;
B. a 5,b 5; C. a 1 ,b 1 ;
5
5
D. a 1 ,b 1 . 55
三、计算题（本大题共 5 小题，共计 54 分）
1. (10 分) 两台机床加工同样的零件，第一台出废品的概率是 0.03，第二台出废品的
精品解析：黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三上学期期末考试理科数学试题(解析版)
2018-2019学年度高三上学期期末考试理科数学注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内(黑色线框)作答,写在草稿纸上、超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合则集合（）A. B. C. D.【答案】 D【解析】解方程组，得．故．选D．2.若双曲线的一个焦点为，则（）A. B. C. D.【答案】 B【解析】因为双曲线的一个焦点为，所以，故选 B.3.已知且则向量在方向上的投影为（）A. B. C. D.【答案】 D【解析】设与的夹角为，向量在方向上的投影为故选4.已知等差数列满足：，且，，成等比数列，则数列的前项和为（）A. B. C. 或 D. 或【答案】 C【解析】【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；然后求解等差数列的前n项和公式可得S n．【详解】设等差数列{a n}的公差为d，∵a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．∴a1a5，即（2+d）2＝2（2+4d），解得d＝0或4．∴a n＝2，或a n＝2+4（n﹣1）＝4n﹣2．当d＝0时，数列{a n}的前n项和为：2n；当d＝4时，则数列{a n}的前n项和为：2n2n2．故选：C．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.函数的图像大致为（）A. B.C. D.【答案】 B【解析】分析：先求出函数的定义域，结合函数图象进行排除，再利用特殊值的符号得到答案．详解：令，得或，故排除选项A、D，由，故排除选项C，故选B．点睛：本题考查函数的图象和性质等知识，意在考查学生的识图能力．6. 下列命题正确的是（）A. 若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B. 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D. 若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【答案】 C【解析】若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D错；故选项C正确.。
哈尔滨工程大学2021年《高等数学A(二)》大学期末考试试卷
考试科目:高等数学A（二）（2020年7月17日）
题号
一
二
三
四
五
六
总分
分数
登分人
1.函数 在点 处的全微分 。
2.半径为 的均匀半圆薄片（面密度为常量 ）对于其直径边的转动惯量为。
3.曲面积分 ，其中 为上半球面 。
4.级数 当 时，级数收敛。
5.微分方程 满足初始条件 ， 的特解是。
3.求微分方程 满足初值条件 的特解。
在曲面 上求一点，使该点的切平面在三个坐标轴上的截距的平方和为最小。
如果幂级数 当 （ ）时收敛。证明：对适合不等式 的一切 ，幂级数 绝对收敛。
1.函数 在点 处方向导数的最大值为。
A.
BHale Waihona Puke 4C.D.62.设 连续，且 ，其中 是由 ， ， 所围闭区域，则 =。
A.
B.
C. 2
D.
3.设 为下半圆周 ，则曲线积分 等于。
A. 0
B.
C.
D.
4.微分方程 满足 的特解为。
A.
B.
C.
D.
5.已知 由 ， ， ， 所围成，则 。
A.
B.
C.
D.
1.设函数 ，其中 具有二阶连续的偏导数，求 。
2.计算三重积分 ,其中 为球面 和旋转抛物面 所围成的包含 轴上半轴的闭区域。
3.求幂级数 的和函数，并由此求 的和。
4.把函数 ， 展开成以 为周期的傅里叶级数。
1.计算曲线积分 ，其中 为圆周 ，方向为逆时针方向。
2.计算 ，其中 是曲面 介于平面 与 之间的部分， 是 上的外法线向量的方向余弦。
哈尔滨工业大学高等数学期末考试试题和答案说课材料
哈尔滨工业大学高等数学期末考试试题和答案高等数学期末考试试题（4）一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上）1、已知向量a r 、b r满足0a b +=r r r ，2a =r ，2b =r ，则a b ⋅=r r．2、设ln()z x xy =，则32zx y ∂=∂∂．3、曲面229x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为．4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数在3x =处收敛于，在x π=处收敛于 ．5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则()Lx y ds +=⎰．※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级．二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分）1、 求曲线2222222393x y z z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、 求由曲面2222z x y =+及226z x y =--所围成的立体体积．3、 判定级数11(1)lnn n n n∞=+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z zx x y∂∂∂∂∂．5、计算曲面积分,dSz∑⎰⎰其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部．三、（本题满分9分）抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．四、（本题满分10分）计算曲线积分(sin )(cos )x x Le y m dx e y mx dy -+-⎰，其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周22(0)x y ax a +=>．五、（本题满分10分）求幂级数13nn n x n∞=⋅∑的收敛域及和函数．六、（本题满分10分）计算曲面积分332223(1)I x dydz y dzdx z dxdy ∑=++-⎰⎰，其中∑为曲面221(0)z x y z =--≥的上侧．七、（本题满分6分）设()f x 为连续函数，(0)f a =，222()[()]tF t z f x y z dv Ω=+++⎰⎰⎰，其中t Ω是由曲面z =与z = 30()lim t F t t+→．2012高等数学期末考试试题【A 卷】参考解答与评分标准 2009年6月一、填空题【每小题4分，共20分】 1、4-； 2、21y-；3、2414x y z ++=； 4、3，0； 5、二、试解下列各题【每小题7分，共35分】1、解：方程两边对x 求导，得323dydz y z x dx dx dy dz y z xdxdx ⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩， 从而54dy x dx y =-，74dz x dx z = (4)该曲线在()1,1,2-处的切向量为571(1,,)(8,10,7).488T ==u r (5)故所求的切线方程为1128107x y z -+-==....................【6】 法平面方程为 ()()()81101720x y z -+++-= 即 810712x y z ++=.. (7)２、解：2222226z x y z x y⎧=+⇒⎨=--⎩222x y +=，该立体Ω在xOy 面上的投影区域为22:2xy D x y +≤． (2)故所求的体积为V dv Ω=⎰⎰⎰222620202(63)6d d dz d πρρθρπρρπ-==-=⎰⎰ (7)３、解：由11lim lim ln(1)lim ln(1)10nn n n n n u n n n →∞→∞→∞=+=+=>，知级数1n n u ∞=∑发散…………………【3】又111||ln(1)ln(1)||1n n u u n n +=+>+=+,1lim ||lim ln(1)0n n n u n→∞→∞=+=.故所给级数收敛且条件收敛．【7】 ４、解：121211()0z f y f yf f x y y∂''''=⋅+⋅+=+∂， …………………………………【3】 2111122212222211[()][()]z x xf y f x f f f x f x y y y y y ∂''''''''''=+⋅+⋅--+⋅+⋅-∂∂111222231.x f xyf f f y y''''''=+--【7】５、解：∑的方程为z =∑在xOy 面上的投影区域为2222{(,)|}xy D x y x y a h =+≤-．=…..………【３】故22222200xy D dS adxdy d a d z a x y a πρρθρ∑==---⎰⎰⎰⎰⎰22012ln()2ln 2aa a a hπρπ⎡=--=⎢⎥⎣⎦..【7】三、【9分】解：设(,,)M x y z 为该椭圆上的任一点，则点M到原点的距离为d =【1】令22222(,,)()(1)L x y z x y z z x y x y z λμ=+++--+++-，则由22220220201x y z L x x L y y L z z x yx y z λμλμλμ=-+=⎧⎪=-+=⎪⎪=++=⎨⎪=+⎪++=⎪⎩，解得12x y -==，2z =121111(,2(2222M M -+-+--- (7)又由题意知，距离的最大值和最小值一定存在，所以距离的最大值与最小值分别在这两点处取得．故max 2min 1||||d OM d OM ==== (9)四、【10分】 解：记L 与直线段OA 所围成的闭区域为D ，则由格林公式，得22(sin )(cos )8x x DL OAI e y m dx e y mx dy m d ma πσ+=-+-=-=-⎰⎰⎰Ñ． (5)而10(sin )(cos )ax xOAI e y m dx e y mx dy m dx ma =-+-=-=-⎰⎰ (8)∴221(sin )(cos ).8x x Le y m dx e y mx dy I I ma ma π-+-=-=-⎰ ………………………【10】五、【10分】解：()1131limlim 3133n n n n n na n R a n ρ++→∞→∞===⇒=+，收敛区间为 (3,3)- (2)又当3x =时，级数成为11n n∞=∑，发散；当3x =-时，级数成为()11nn n ∞=-∑，收敛．......【4】 故该幂级数的收敛域为[)3,3- (5)令()13nn n x s x n ∞==∑（33x -≤<），则11111111()()33331/33n n n n n x x s x x x -∞∞-=='====--∑∑, (||3x <) ……【8】 于是()()000()()ln 3ln 3ln 33xxx dxs x s x dx x x x '===--=---⎰⎰，（33x -≤<） (10)六、【10分】解：取1∑为220(1)z x y =+≤的下侧，记∑与1∑所围成的空间闭区域为Ω，则由高斯公式，有()()133222222316I x dydz y dzdx z dxdy x y z dv ∑+∑Ω=++-=++⎰⎰⎰⎰⎰Ò (5)()2211262d d z dz πρθρρρπ-=+=⎰⎰⎰ (7)而()()221133221122313133x y I x dydz y dzdx z dxdy z dxdy dxdy π∑∑+≤=++-=-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰….…【9】2123.I I I πππ∴=-=-=- (10)七、【6分】解：()()22240sin cos tF t d d r f r r dr ππθϕϕϕ⎡⎤=+⎣⎦⎰⎰⎰….… 【2】 ()3224400002sin cos sin t t d r dr d f r r dr πππϕϕϕϕϕ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰(()422028tt r f r dr π⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎰….… 【4】 故()(3222320002()222lim lim lim ().333t t t t t f t F t f t a t t π+++→→→⎡⎤+-⎢⎥--⎣⎦=== 【6】。
2014-2015学年第二学期考试试题A
哈尔滨理工大学第二学期考试试题A 卷考试科目：高等数学（一）-Ⅱ 考试时间：100分钟 试卷总分100分考试班级：工科类各专业一、填空题（每小题4分，总计40分）1、设单位向量x 与向量{}212-=，，a 和{}011，，b =都垂直，则向量= .2、设222lnz y x u ++=，则=∂∂+∂∂+∂∂zu z y u y x u x. 3、螺旋线θπθθ8,s in 2,c o s 2===z y x 在点),,(211处的法平面方程为 .4、设22(,)(1)cos π2xy f x y x y ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则grad (1,1)f = . 5、设()yxy x z arctan22+=，则=z d . 6、极限=⎰⎰≤+++∞→y x t y x y xt t d d e e1lim222222.7、微分方程0=-''y y 的通解为 .8、曲线L 为14922=+y x ，记L 的弧长为m ，则=++⎰s y x L d )941(22 .9、设nn nx a)2(1-∑∞=在5=x 处条件收敛，则n n n x a ∑∞=1的收敛半径=R ．10、设)(x f 是周期为2的周期函数，且⎩⎨⎧<<-≤≤-=10,201,)(x ，x x x x f ，)(x f 的傅里叶级数的和函数记为)(x S ，则=)2(S .二、解答下列各题（每小题8分，总计56分）1、 设()xyy x z e 22-=，求yx z∂∂∂2.2、 求微分方程xy y y 2e 127=+'-''的通解。
3、判别级数∑∞=-12)1(n n nn的收敛性，若收敛，指出是条件收敛，还是绝对收敛。
4、设D 是由2y x =，y 轴及1=y 所围成的区域，计算y x Dy d d e3⎰⎰.5、计算曲线积分()()y x y x x y y xLd 2d 32332++-⎰，其中L 为任意一条正向光滑封闭曲线，且曲线L 所围成区域的面积为2.6、将()2()ln 1f x x=+展开成x 的幂级数，指出收敛区间.7、计算⎰⎰⎰Ω+v zd 114，其中Ω为22y x z +=与1=z 围成.三、证明题（本题4分）已知级数∑∞=12n n a ，证明级数∑∞=+121n n n a 绝对收敛.。
高一数学下学期竞赛试题 理 试题
哈师大青冈实验中学2021-2021学年度学科竞赛高一学年理科数学试题一、 选择题：〔每一小题5分，一共计60分〕1、假设集合A ＝{x ∈R |ax 2＋ax ＋1＝0}中只有一个元素，那么a ＝( ) A ．4 B ．2 C ．0 D ．0或者42、a ＝2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，c ＝2log 52，那么a ，b ，c 的大小关系为( )A. c <b <aB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a3、函数⎩⎨⎧<>=0),(0,log )(2x x g x x x f 是偶函数，那么)8(-g 的值等于〔 〕 A ．-8 B ．-3C ．3D ．84、向量i 与j 不一共线，且AB →＝i ＋m j ，AD →＝n i ＋j .假设A ，B ，D 三点一共线，那么实数m ，n 应该满足的条件是( )A ．m ＋n ＝1B ．m ＋n ＝－1C ．mn ＝1D ．mn ＝－15、设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，假设b cos C ＋c cos B ＝a sin A ， 那么△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定6、设直线l 的方程为x ＋y cos θ＋3＝0(θ∈R)，那么直线l 的倾斜角α的范围是( )A ．[0，π) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π47．a ＞0，b ＞0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，那么m ＋n 的最小值 是 ( )A ．3B ．4C ．5D ．68、等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，那么数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项的和为 ( )A ．120B ．70C ．75D ．1009、假设空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，那么以下结论一定正确的选项是( )A ．l 1⊥l 4B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定 10、某几何体的三视图如下图，那么该几何体的外表积为( )A ．180B ．200C ．220D ．24011、如下图，平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD ，将其沿对角线BD 折成四面体ABCD ，使平面ABD ⊥平面BCD ，假设四面体ABCD 的顶点在同一个球面上，那么该球的体积为( )A.32π B ．3π C.23π D ．2π12．函数)(x f y =是R 上的偶函数，对于R x ∈都有)3()()6(f x f x f +=+成立，且2)4(-=-f ，当]3,0[,21∈x x ，且21x x ≠时，都有0)()(2121>--x x x f x f ．那么给出以下命题：①2)2008(-=f ； ②函数)(x f y =图象的一条对称轴为6-=x ； ③函数)(x f y =在[﹣9，﹣6]上为减函数； ④方程0)(=x f 在[﹣9，9]上有4个根； 其中正确的命题个数为〔 〕A.1B.2C.3D.4二、填空题〔每一小题5分，一共计20分〕13、集合}),2lg({2R x x x y x M ∈-==，{}N x x a = <，假设M N ⊆，那么实数a 的取值范围是 ．14、线段PQ 两端点的坐标分别为P(－1，1)和Q(2，2)，假设直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，那么实数m 的取值范围是________．15、数列{a n }满足：对任意n *N ∈均有a n+1=pa n +3p-3,(p 为常数，p ≠0且p ≠1)，假设a 2,a 3,a 4,a 5∈{-19,-7,-3,5,10,29},那么a 1的所有可能值的集合为 。
哈理工高数考试试题6
哈尔滨理工大学 2003－2004学年第一学期考试试题 B 卷 考试科目： 高等数学 考试时间：120分钟 试卷总分100分一、填空题（将正确的答案填在横线上）（每小题3分，总计15分） 1. 极限=--→x x x x x cos e lim 20 。
2. 设)(x f 在),0[∞上连续，且满足3)1(0d )(x t t f x x =⎰+，=)6(f 。
3. 曲线21e e x y x =-+在0=x 处的切线方程为 。
4. 点0=x 是=)(x f )1(2sin x x x +的 间断点。
5. 若点)3,1(为曲线23bx ax y +=的拐点，则=ab 。
二、选择题（选出一个正确的答案，填在括号中）（每小题3分，总计15分） 1. 设b a <<0，则极限=+∞→n n n n b a lim （ ）. （A ）1； （B ）b a +； （C ）a ； （D ）b .2. 设a f =')1(，则='-=14])([x x f （ ）.（A ）a ； （B ）a 4； （C ）a 4-； （D ）0.3. 设2e x 是)(x f 的原函数，则⎰='x x f x d )(（ ）.（A ）c x x +-2e )12(2； （B ）c x +2e 21； （C ）c x x +2e ； （D ）c x x +2e 2.4. 定积分⎰-=+112d )(x x x （ ）.（A ）0； （B ）34；（C ）32； （D ）2.5. 方程455=-x x 有（ ）个实根.（A ）1； （B ）2； （C ）3； （D ）4.三、解答下列各题（每小题10分，总计30分）1. 计算导数（1）设 ⎩⎨⎧==ty t x 2cos sin ，求 22d d x y 。
（2）设 )21ln(sec x x x y ++=，求 y '。
2. 计算不定积分（1）⎰-+x x x d )1)(3(10（2）⎰+x x d e 113. 计算定积分（1）x x x d ln 1e e 1⎰（2）⎰+π02d cos 1sin x xx x四、解答下列各题（每小题8分，总计32分）1. 设)(x f 具有二阶连续导数，且0)0()0(='=f f ，4)0(=''f ，计算420)(sin lim x x f x →。
高二数学6月月考试题理试题_1 3(共10页)
哈师大青冈实验中学(zhōngxué)2021---2021学年度6月份考试〔学科竞赛〕高二学年数学理科试题一．选择题：〔一共12道小题，每一小题5分，一共60分。
在每一小题给出的四个选项里面，只有一个是正确的〕1、设集合,,那么 ( )A. B. C. D.，那么〔〕A． B. C. D.3．函数，那么函数的图象在处的切线方程为〔〕A．B．C．D．上任取两个数，方程的两根均为实数的概率为( )A． B． C． D．5.如右图是一个四棱锥的三视图，那么该几何体的体积为〔〕A．8 B．9 C．12 D．166. 二项式的展开式中含项的系数是〔〕A．80 B．48 C．D．7.在侦破某一起案件时，警方要从甲、乙、丙、丁四名可疑人员中查出真正的嫌疑人，现有四条明确信息：〔1〕此案是两人一共同作案；〔2〕假设甲参与此案，那么丙一定没参与；〔3〕假设乙参与此案，那么丁一定参与；〔4〕假设丙没参与此案，那么丁也一定没参与．据此可以判断参与此案的两名嫌疑人是〔〕A．甲、乙B．乙、丙C．甲、丁D．丙、丁8. 在极坐标系中，圆的圆心(yuánxīn)的极坐标是〔〕A. B. C. D.9. 某程序框图如下图，判断框内为“k≥n？〞，n为正整数，假设输出的S＝26，那么判断框内的n＝( )A．6 B．3 C．4 D．510. 命题命题在上有零点，那么是的〔〕A. 必要不充分条件B.充分不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件11.假设异面直线所成的角是，那么以下三个命题:①存在直线，满足l与,m n的夹角都是60︒；②存在平面，满足，与α所成角为60︒；③存在平面，满足，α与所成锐二面角为60︒.其中正确命题的个数为〔〕A．0 B．1 C. 2 D．3f x的导函数，〔其中为自然对数的底数〕，对任意12. 函数是函数()实数，都有，那么不等式的解集为〔〕A．B．C．D．二.填空题：〔此题一共4道小题，每一小题5分，一共20分〕13. 各顶点(dǐngdiǎn)都在一个球面上的正四棱柱的高为2，这个球的外表积为，那么这个正四棱柱的体积为14. 在直角坐标平面内，由曲线，，和x轴所围成的封闭图形的面积为15. 在直角坐标系中，圆的参数方程为〔为参数〕，以为极点，x C的普通方程为16. 直线分别与直线，曲线交于A、B两点，那么|AB|最小值为三.解答题：一共70分，解容许写出必要的文字说明，证明过程或者演算步骤17.〔10分〕为了调查胃病是否与生活规律有关，在某地对540名40岁以上的人进展了调查，结果是：患胃病者生活不规律的一共60人，患胃病者生活规律的一共20人，未患胃病者生活不规律的一共260人，未患胃病者生活规律的一共200人．(1)根据以上数据列出2×2列联表；(2)在犯错误的概率不超过0．01的前提下认为40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关系吗？为什么？P(K2≥k0)0．150．100．050．0250．0100．0050．001 k02．0722．7063．8415．0246．6357．87910．82818.〔12分〕生蚝即牡蛎(mǔlì)〔oyster〕，是所有食物中含锌最丰富的，在亚热带、热带沿海都适宜蚝的养殖，我国分布很广，北起鸭绿江，南至岛，沿海皆可产蚝.蚝乃软体有壳，依附寄生的动物，咸淡水交界所产尤为肥美，因此生蚝成为了一年四季不可或者缺的一类美食.某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了40只统计质量，得到的结果如下表所示. 质量〔〕数量6101284〔Ⅰ〕假设购进这批生蚝，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量〔所得结果保存整数〕；〔Ⅱ〕以频率估计概率，假设在本次购置的生蚝中随机挑选4个，记质量在间的生蚝的个数为，求X 的分布列及数学期望.19．(12分)某工厂为了对新研发的一种产品进展合理定价，将该产品按事先拟定的价格进展试销，得到如下数据：单价x (元) 8 8．2 8．4 8．6 8．8 9 销量y (件)908483807568(1)求回归直线方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b ^x ；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的本钱是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－本钱) 20. 〔12分〕如图，在中，，是的中点，C 是线段上的一点，且，，将沿折起使得二面角是直二面角.〔1〕求证(qi úzh èng)：平面；〔2〕求直线与平面所成角的正切值.21.〔12分〕 在直角坐标系中，曲线：经过伸缩变换后得到曲线.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.〔Ⅰ〕求出曲线2C 、3C 的参数方程； 〔Ⅱ〕假设、分别是曲线2C 、3C 上的动点，求的最大值.22. 〔 12分〕函数，〔1〕讨论函数()f x 的单调性； 〔2〕假设函数()f x 在定义域内恒有，务实数的取值范围．参考答案．一. 选择题：1-5 ：AACBD 6-10: DDBCA ： 11-12:DA 二. 填空题：13. 2 14.15.三.17. (1)由可列2×2列联表：患胃病 未患胃病 总计 生活规律 20 200 220 生活不规律 60 260 320 总计80460540(2)根据(gēnjù)列联表中的数据，由计算公式得K 2的观测值k ＝540×20×260－200×602220×320×80×460≈9．638．∵9．638＞6．635，因此，在犯错误的概率不超过0．01的前提下认为40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关．18.〔Ⅰ〕由表中数据可以估计每只生蚝的质量为，∴购进500kg ，生蚝的数量约有〔只〕.〔Ⅱ〕由表中数据知，任意挑选一个，质量在[)5,25间的概率，X 的可能取值为0，1，2，3，4，那么，，，，，∴X 的分布(f ēnb ù)列为X 0 123 4 P216625∴或者.19．(1)x ＝16(8＋8．2＋8．4＋8．6＋8．8＋9)＝8．5，y ＝16(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，从而a ^＝y ＋20x ＝80＋20×8．5＝250, 故y ^＝－20x ＋250． (2)由题意知， 工厂获得利润z ＝(x －4)y ＝－20x 2＋330x －1 000＝－20⎝⎛⎭⎪⎫x －3342＋361．25，所以当x ＝334＝8．25时，z max＝361．25(元)．即当该产品的单价定为8．25元时，工厂获得最大利润． 20解：解：(Ⅰ)因为，所以又，PE AB ⊥，所以又因为所以是的斜边BE 上的中线，所以C 是BE 的中线，所以C 是BE 的中点， 又因为是的中位线，所以又因为平面PAB ，平面PAB ，所以//CD 平面PAB .〔Ⅱ〕据题设分析知，两两互相垂直，以为原点，AP AE AB ,,分别为轴建立如下图的空间直角坐标系：因为(y īn w èi)，且分别是的中点，所以，所以有点， 所以， 设平面PCD 的一个法向量为，那么 即，所以令，那么设直线PE 与平面PCD 所成角的大小为，那么.又，所以，所以.故直线PE 与平面PCD 所成角的正切值为21.解：〔Ⅰ〕曲线1C ：221x y +=经过伸缩变换'2'x xy y =⎧⎨=⎩，可得曲线2C 的方程为，∴其参数(c ānsh ù)方程为〔为参数〕；曲线3C 的极坐标方程为2sin ρθ=-，即，∴曲线3C 的直角坐标方程为，即，∴其参数方程为〔为参数〕.〔Ⅱ〕设，那么P 到曲线3C 的圆心的间隔，∵，∴当时，.∴.22. 〔1〕，当时，，那么()f x 在上递减；当时，令，得〔负根舍去〕；当得，；令()0f x '<，得，∴上递增，在上递减．·······5分〔2〕当时，，符合题意；当0a >时，，，，∴，，当时，在()0,+∞上递减(dìjiǎn)，且与的图象在()0,+∞上只有一个交点，设此交点为，那么当时，，故当0a <时，不满足()0f x ≤， 综上，a 的取值范围．······12分内容总结（1）哈师大青冈实验中学2021---2021学年度6月份考试〔学科竞赛〕 高二学年数学理科试题一．选择题：〔一共12道小题，每一小题5分，一共60分 （2）当时，， ，，∴，，当时，在上递减，且与的图象在上只有一个交点，设此交点为， 那么当时，，故当时，不满足， 综上，的取值范围．······12分。
2018年度黑龙江高等考试理科数学真命题试卷(附答案解析)
2018年普通高等学校招生全国统一考试（附答案）
理科数学
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是()
(1)
18.下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折现图。
哈尔滨工程大学2021年《高等数学A(二)》大学期末考试试题
函数),(y x z z =22()n L
x y ds +⎰
函数x
x f 1
)(=展开成微分方程y -''2得分评卷人
二、
1. 考虑二元函数①),(y x f 在点③),(y x f 在点若用“Q P ⇒”表示可以由性质
2. 计算⎰+L
y xdy dx e 2
，其中L 为椭圆x y x 8422=+，L 的方向为正方向。
3. 计算⎰⎰∑
+dS y x )(22，其中∑是22y x z +=及1=z 所围成的整个边界曲面。
班级：
学号：
姓名：
装
订
线
2. 将函数)0(1)(π≤≤+=x x x f 展开成周期为π2的余弦级数，并求级数 +++2251
311的和。
3. 设)(x y n 满足x n n n e x x y x y 1)()(-+='，n
e
y n =)1(（其中n 为正整数）。
求级数
∑∞
=1
)(n n
x y
之和。
得分评卷人
应用题（10分）
五、
在半径为R 的半球下，拼上一个底半径为R ，高为h 的圆柱体，使圆柱体的底圆与半球的底圆重合（如下图建立坐标系），问h 为多少时，拼得的整个立体的重心恰在原点上？（其中半球体和圆柱体的密度1=ρ）
2. 设),(y x f ，),(y x g 在有界闭区域D 上连续，且0),(≥y x g ，证明在D 上总存在一点),(00y x ，使
⎰⎰⎰⎰=D
D
d y x g y x f d y x g y x f σσ),(),(),(),(0。
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三上学期期末考试理科数学试题(解析版)
2018-2019学年度高三上学期期末考试理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合则集合（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解方程组，得．故．选D．2.若双曲线的一个焦点为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为双曲线的一个焦点为，所以，故选B.3.已知且则向量在方向上的投影为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设与的夹角为，向量在方向上的投影为故选4.已知等差数列满足：，且，，成等比数列，则数列的前项和为（）A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；然后求解等差数列的前n项和公式可得S n．【详解】设等差数列{a n}的公差为d，∵a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．∴a1a5，即（2+d）2＝2（2+4d），解得d＝0或4．∴a n＝2，或a n＝2+4（n﹣1）＝4n﹣2．当d＝0时，数列{a n}的前n项和为：2n；当d＝4时，则数列{a n}的前n项和为：2n2n2．故选：C．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.函数的图像大致为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：先求出函数的定义域，结合函数图象进行排除，再利用特殊值的符号得到答案．详解：令，得或，故排除选项A、D，由，故排除选项C，故选B．点睛：本题考查函数的图象和性质等知识，意在考查学生的识图能力．6. 下列命题正确的是（）A. 若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B. 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D. 若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【答案】C【解析】若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D错；故选项C正确.[点评]本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质，需要熟练掌握课本基础知识的定义、定理及公式.7.阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数且)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点间的距离为2,动点满足当不共线时，面积的最大值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如图，以经过的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系；则：设，两边平方并整理得：，．面积的最大值是选A8.设函数则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，分析可得f（x）为奇函数且在R上为增函数，则有f（1﹣2x）+f（x）＞0⇒f（1﹣2x）＞﹣f（x）⇒f（1﹣2x）＞f（﹣x）⇒1﹣2x＞﹣x，解可得x的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，函数f（x）＝2x﹣2﹣x，则f（﹣x）＝2﹣x﹣2x＝﹣（2x﹣2﹣x）＝﹣f（x），f（x）为奇函数，又由f（x）＝2x﹣2﹣x，其导数为f′（x）＝（2x+2﹣x）ln2＞0，则函数f（x）在R上为增函数，则f（1﹣2x）+f（x）＞0⇒f（1﹣2x）＞﹣f（x）⇒f（1﹣2x）＞f（﹣x）⇒1﹣2x＞﹣x，解可得：x＜1，即不等式的解集为（﹣∞，1）；故选：A．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析f（x）的单调性以及奇偶性，属于基础题．9.在中，点满足，当点在线段（不包含端点）上移动时，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意画出图形，利用、表示出，再利用表示出，求出λ与μ，然后利用对勾函数的单调性求的取值范围．【详解】如图所示，△ABC中，，∴（），又点E在线段AD（不含端点）上移动，设k，0＜k＜1，∴，又，∴，∴．∵在（0，1）上单调递减，∴λ的取值范围为（，+∞），故选：C．【点睛】本题考查了平面向量的线性运算与基本不等式的应用问题，是中档题．10.已知函数的图象的一个对称中心为，且，则的最小值为（）A. B. 1 C. D. 2【答案】A【解析】当时，，当时，或，， 两式相减，得或，，即或，， 又因为，所以的最小值为．故选. 解法2：直接令，得，解得．故选.11.在底面是边长为2的正方形的四棱锥中，点在底面的射影为正方形的中心，异面直线与所成角的正切值为2，若四棱锥的内切球半径为，外接球的半径为，则（ ）A. B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】易知P ﹣ABCD 为正四棱锥，内切球球心为两斜高与底面中线所成正三角形的中心，外接球半径需通过方程解得，求解过程不难．【详解】如图，E ，F 为AB ，CD 的中点， 由题意，P ﹣ABCD 为正四棱锥， 底边长为2， ∵BC ∥AD ，∴∠PBC 即为PB 与AD 所成角， 可得斜高为2， ∴△PEF 为正三角形，正四棱锥P ﹣ABCD 的内切球半径 即为△PEF 的内切圆半径， 可得r，设O 为外接球球心， 在Rt △OHA 中，，解得R，∴，故选：B．【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径．12.设数列满足，，且，若表示不超过的最大整数，则（）A. 2018B. 2019C. 2020D. 2021【答案】C【解析】【分析】a n+2﹣2a n+1+a n＝2，可得a n+2﹣a n+1﹣（a n+1﹣a n）＝2，a2﹣a1＝4．利用等差数列的通项公式、累加求和方法、取整函数即可得出．【详解】∵a n+2﹣2a n+1+a n＝2，∴a n+2﹣a n+1﹣（a n+1﹣a n）＝2，a2﹣a1＝4．∴{a n+1﹣a n}是等差数列，首项为4，公差为2．∴a n+1﹣a n＝4+2（n﹣1）＝2n+2．∴n≥2时，a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+……+（a2﹣a1）+a1＝2n+2（n﹣1）+……+2×2+2n（n+1）．∴．∴1．∴2+2018＝2020．故选：C．【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、累加求和方法、取整函数，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知实数，满足约束条件，则的最大值_______．【答案】2【解析】【分析】作出可行域，求出区域的顶点坐标，将顶点坐标一一代入，即可判断函数的最大值。
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考试科目： 高等数学 考试时间：120分钟 试卷总分100分
一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在括号中）（本大题共5
小题，每小题4分，总计20分）
１、设L 是2
2
2
a y x =+（0>a ）的正向圆周，则y y xy x y x x L
d )(d )(3223⎰
-+-的
值为（ ）．
(A) 2π4a ； (B) 4
πa -； (C) 4πa ； (D) 33
π2a ．
２、设 Ω为立方体：10≤≤x ，10≤≤y ，10≤≤z ，则
=⎰⎰⎰Ω
z y
x y x d
d
d 2
（ ）． (A)
31
； (B) 41； (C) 6
1； (D) 81 ３、幂级数
()
∑∞
=-1
1n n
n
n
x 的收敛域为（ ）. (A) ]1,1[-； (B) )1,1[-； (C) ]1,1(-； (D) )1,1(-. 4、设a ，b +=-，则必有（ ）． (A) 0=+b a ； (B) 0=-b a ； (C) 0=⨯b a ； (D) 0=•
b a ．
５、微分方程x
x
y y y 2e
e 36+=+'-''的特解应具有的形式为（ ）.
（A ）)e e (2x
x
B A x +； （B ）x x B A 2e e +； （
C ）x x Bx A 2e e +； （
D ）x
x B Ax 2e e +.
二、填空题（将正确的答案填在横线上）（本大题共5小题，每小题4分，总计20分） １、设y
x u =（0>x ，1≠x ），则.=u d .
2、曲线 ⎪⎩
⎪⎨⎧==-01
422
z x y 绕x 轴旋转一周，所得的旋转曲面的方程为
.
3、设∑的方程为22y x z +=
在10≤≤z 部分的上侧，则⎰⎰∑
=y x z d d 2 .
4、设2
2
2),,(z xy x z y x f ++=，则),,(z y x f 在点)2,1,1(-处沿方向{}1,2,2-=l 的方向导数为 .
5、设D 是两坐标轴及直线1=+y x 围成的区域，则
⎰⎰+D
y x y x d d )(的值为 .
三、解答下列各题（1、2、3、4每小题7分，5、6每小题10分，总48分）
1、求过点)4,2,1(-A 且与二平面02=-+z y x 及023=++z y x 都平行的直线方程.
2、求曲面0582
=++--z x xy x 在点)1,3,2(-处的切平面与法线方程.
3、计算曲面积分⎰⎰∑
++-+-=
y x z x z y y z y x x
I d d )2(d d )2(d d )(333
，其中积分曲
面∑为2
2
1y x z --=的上侧.
4、设),(y x f 具有一阶连续偏导数，且满足3
2),(x x x f =，422),(x x x x f x -='，
计算 ),(2x x f y '
5、判别下列级数的敛、散性（每题5分） （1）
n n n 1sin 1
1
∑
∞
=； （2）∑∞
=-1
23)1(n n n n .
6、求解下列微分方程的通解（每题5分） （1）x
y y -=+'e ； （2）023='+''-'''y y y .
四、证明题（每小题6分，总计12分） 1、设∑∞
=1
2n n a 收敛，试证明：∑
∞
=1
n n
n a 绝对收敛.
2、设)(z f 连续，积分区域Ω为：12
2
2
≤++z y x ，试证明：
z z z f z y x z f d )1)((πd d d )(11
2⎰
⎰⎰⎰-Ω
-=。