江苏省无锡市外国语学校九年级一模数学试题
2024年中考数学第一次模拟试卷(无锡卷)(全解全析)
2024年中考第一次模拟考试（无锡卷）数学·全解全析（考试时间：120分钟试卷满分：140分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）1．下列各组数中，互为相反数的组是()A ．2023-和2023-B ．2023和12023C ．2023-和2023D ．2023-和12023【答案】A【解析】解：A ．20232023-=和2023-互为相反数，故A 选项符合题意；B ．2023和12023互为倒数，故B 选项不符合题意；C ．20232023-=和2023不互为相反数，故C 选项不符合题意；D ．2023-和12023不互为相反数，故D 选项不符合题意；故选：A ．2．已知114A a =-+，下列结论正确的是（）A ．当5a =-时，A 的值是0B ．当4a >-时，A 的最小值为1C ．若A 的值等于1，则4a =-D ．若A 的值等于2，则5a =-【答案】D【解析】解：当5a =-时，1111254A =-=+=-+，A 选项错误；当4a >-时，40a +>，104a >+，104a -<+，1114a -<+，即A 的最小值小于1，B 选项错误；当1A =时，1114a =-+，解得4a =-，此时分式无意义，故不合题意，C 选项错误；当2A =时，1214a =-+，解得5a =-，D 选项正确，故选：D ．3．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，1122,2∠=︒∠的度数为（）A ．32︒B ．58︒C ．68︒D ．78︒【答案】B【解析】解：如图，根据题意得：a b ，c d ∥，∴13180∠+∠=︒，32∠=∠，∵1122∠=︒，∴258∠=︒．故选：B ．4．下列计算错误的是（）A ．()21x x x x -=-B ．325x x x ×=C ．()236x x =D ．()2224a a -=-【答案】D【解析】解：A 中()21x x x x -=-，正确，故不符合要求；B 中325x x x ×=，正确，故不符合要求；C 中()236x x =，正确，故不符合要求；D()2222444a a a a -=-+≠-，错误，故符合要求；故选：D ．5．若点()()()112233A x y B x y C x y ，、，、，是反比例函数11y x=-图象上的点，且1230x x x <<<，则123y y y 、、的大小关系是（）A ．123y y y <<B ．321y y y <<C ．231y y y <<D ．312y y y <<【答案】D【解析】解：根据题意画出函数图象得，可知，312y y y <<．故选：D ．6．随着城际交通的快速发展，某次动车平均提速60km /h ，动车提速后行驶480km 与提速前行驶360km 所用的时间相同．设动车提速后的平均速度为x km /h ，则下列方程正确的是（）A ．36048060x x =+B ．36048060x x =-C ．36048060x x =-D ．36048060x x=+【答案】B【解析】解：根据题意，得36048060x x=-．故选：B ．7．将抛物线()215y x =-+通过平移后，得到抛物线的解析式为223y x x =++，则平移的方向和距离是（）A ．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度B ．向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度C ．向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度D ．向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度【答案】D【解析】解：抛物线()215y x =-+的顶点坐标为15（，），抛物线()222312y x x x =++=++的顶点坐标为()12-，，而点()15，向左平移2个，再向下平移3个单位可得到()12-，，所以抛物线()215y x =-+向左平移2个，再向下平移3个单位得到抛物线y=x 2+2x+3．故选：D ．8．如图，正方形ABCD 和正方形AEFG ，当正方形AEFG 绕点A 逆时针旋转45︒时，如图，连接DG 、BE ，并延长BE 交DG 于点.H 若AE =228AB =，时，则线段BH 的长为（）A 16105B 14105C ．5210+D ．610+【答案】A【解析】解：连结GE 交AD 于点N ，连结DE ，如图，正方形AEFG 绕点A 逆时针旋转45︒，AF ∴与EG 互相垂直平分，且AF 在AD 上，2AE = 22AN GN ∴==，826DN ∴=-=，在Rt DNG 中，DG =22DN GN +2=10；由题意可得：ABE 相当于逆时针旋转90°得到AGD ，2DG BE ∴==10，DEG S = 12GE ND ⋅=12DG HE ⋅，HE ∴=10=6105BH BE HE ∴=+=6101021055+=故选：A ．9．如图，AB 是O 的一条弦，点C 是O 上一动点，且ACB θ∠=，点E ，F 分别是,AC BC 的中点，直线EF 与O 交于G ，H 两点，若O 的半径是r ，则GE FH +的最大值是（）A ．()2sin r θ-B ．()2sin r θ+C ．()2cos r θ-D ．()2cos r θ+【答案】A【解析】解：作直径AP ，连接BP ，90ABP ∴∠=︒，,2P C PA r θ∠=∠== ，sin sin AB P APθ∴∠==，2sin AB r θ∴=⋅，∵E ，F 分别是,AC BC 的中点，EF ∴是ABC 的中位线，1sin 2EF AB r θ∴==⋅，GE FH GH EF +=- ，∴当GH 长最大时，GE FH +有最大值，∴当GH 是圆直径时，GH 最大．∴GE FH +最大值是()2sin 2sin r r r θθ-=-．故选：A ．10．如图，在矩形ABCD 中，E 为AB 中点，以AE 为边向上作正方形AEFG ，边EF 交CD 于点H ，在边AE 上取点M 使AM AD =，作MN AG ∥交CD 于点L ，交FG 于点N ，记AE a =，EM b =，欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了()()22a b a b a b +-=-．现以BM 为直径作半圆O ，恰好经过点H ，交CD 另一点于P ，记HPB △的面积为1S ，DLF △的面积为2S ，若1b =，则12S S -的值为()A ．12B ．22C ．1D 2【答案】A【解析】解：依题意得：四边形AEFG AMLD ，均为为正方形，四边形AMNG MEFN MEHL MBCL EBCH ，，，，均为矩形，∵AE a EM b ==，，点E 为AB 的中点，∴EB AE CH a ===，AD AM DL EH BC a b =====-，DG LN HF ME HL b =====，ML EH BC ==，∴()211•22S DL HF a b b ==-，连接MH ，∵HC ME ∥，∴ MHBP =，∴MH BP =，在Rt MHL △和Rt BPC △中，ML BC MH BP=⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL MHL BPC ≌△△，∴HL PC b ==，∴HP CH PC a b =-=-，∴()211122S HP BC a b =⨯=-，∵MB 为直径，∴90MHB ∠=︒，即90MHE BHE ∠+∠=︒，∵90MEH HEB ∠=∠=︒，∴90HME MHE ∠+∠=︒，∴HME BHE ∠=∠，∴HME BHE ∽，∴EH EB EM EH =：：，∴2EH BE EM =⨯，即：()2a b ab -=，∴()211122S a b ab =-=，∴()212111222S S ab a b b b -=--=，∵1b =，∴1212S S -=．故选：A ．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）11．化学元素钉()Ru 是除铁()Fe 、钻()Co 和镍()NIi 以外，在室温下具有独特磁性的第四个元素．钉()Ru 的原子半径约0.000 000 000 189m ．将0.000 000 000 189用科学记数法表示为．【答案】101.8910-⨯【解析】解：100.000 000 000 189 1.8910-=⨯，故答案为：101.8910-⨯12．若2a +与3b -互为相反数，则22a b =．2【解析】解：∵2a +与3b -互为相反数，∴230a b ++-=，即1a b +=，∴)2222a b a b =+=213．不等式组32122x x x x ≥-⎧⎪⎨+≥⎪⎩的解集是．【答案】113x -≤≤【解析】解：32122x x x x ≥-⎧⎪⎨+≥⎪⎩①②解不等式①得：1x ≥-解不等式②得：13x ≤，∴不等式组的解集为：113x -≤≤，故答案为：113x -≤≤．14．写出一个图象是曲线且过点()1,2的函数的解析式：．【答案】2y x=（答案不唯一）【解析】解：设反比例函数解析式为k y x=，依题意，2k =∴一个图象是曲线且过点()1,2的函数的解析式是：2y x=，故答案为：2y x=（答案不唯一）．15．如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为3，则这个“莱洛三角形”的周长是．【答案】3π根据正三角形的有关计算求出弧的半径和圆心角，根据弧长的计算公式求解即可．【解析】解：如图：∵ABC 是正三角形，∴60BAC ∠=︒，∴ BC的长为：603180ππ⨯=，∴“莱洛三角形”的周长=33ππ⨯=．故答案为：3π．16．如图，已知平行四边形ABCD 中，E 为BC 边上一点，连接AE DE 、，若AD DE =，AE DC =，4BE =，tan 3B ∠=，则EC 的长为．【答案】6【解析】解：作,AF BE DG AE ⊥⊥，如图所示：∵,AE DC AB DC==∴,AB AE B AEB =∠=∠∵AD BC ∥∴AEB DAE ∠=∠∴B AEB DAE ∠=∠=∠∵4BE =∴2BF EF ==∵tan 3AFB BF∠==∴226,210AF AB AE AF BF ===+=∵AD DE =,DG AE ⊥∴10AG EG ==∵tan tan tan 3DAE AEB B ∠=∠=∠=∴22310,10DG AD DG AG ==+=∴10BC AD ==∵4BE =∴6EC BC BE =-=故答案为：617．我国魏晋时期的数学家刘徽(263年左右）首创“割圆术”，所谓“割圆术”就是利用圆内接正多边形无限逼近圆来确定圆周率，刘徽计算出圆周率 3.14π≈．刘徽从正六边形开始分割圆，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，圆内接正二十四边形，⋯，割得越细，正多边形就越接近圆．设圆的半径为R ，圆内接正六边形的周长66P R =，计算632P πR ≈=；圆内接正十二边形的周长1224sin15P R =︒，计算12 3.102PπR≈=；那么分割到圆内接正二十四边形后，通过计算可以得到圆周率π≈．（参考数据：sin150.258︒≈，sin 7.50.130)︒≈【答案】3.12【解析】解：圆内接正二十四边形的周长2448sin 7.5P R =⋅⋅︒，则48sin 7.5480.130 3.1222R R π⋅︒⨯≈≈≈，故答案为3.1218．如图，点A 是双曲线y=8x在第一象限上的一动点，连接AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为斜边作等腰Rt △ABC ，点C 在第二象限，随着点A 的运动，点C 的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为．【答案】y=﹣8x ．【解析】解：如图，连结OC ，作CD ⊥x 轴于D ，AE ⊥x 轴于E ，∵A 点、B 点是正比例函数图象与双曲线y=8x 的交点，∴点A 与点B 关于原点对称，∴OA=OB ，∵△ABC 为等腰直角三角形，∴OC=OA ，OC ⊥OA ，∴∠DOC+∠AOE=90°，∵∠DOC+∠DCO=90°，∴∠DCO=∠AOE ，∵在△COD 和△OAE 中，CDO OEA DCO EOA CO OA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△COD ≌△OAE （AAS ），设A 点坐标为（a ，8a ），则OD=AE=8a ，CD=OE=a ，∴C 点坐标为（﹣8a，a ），∵﹣8a a ∙=﹣8，∴点C 在反比例函数y=﹣8x图象上．故答案为：y=﹣8x ．三、解答题（本大题共10小题，共86分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（1）计算：()103127123π2-⎛⎫-+- ⎪⎝⎭；（2）用配方法解方程：24210x x --=．【解析】（1）解：原式()23211=--+23211=+-+52=（2）解：24210x x --=2421x x -=244214x x -+=+()2225x -=25x ∴-=±17x ∴=，23x =-20．计算：(1)()()22a b b a b -+-；(2)21241121x x x x +⎛⎫+÷ ⎪+++⎝⎭【解析】（1）解：()()22a b b a b -+-22222a ab b ab b =-++-2a =；（2）解：21241121x x x x +⎛⎫+÷ ⎪+++⎝⎭()21212(2)x x x x ++=⨯++12x +=21．如图，在ABC 中，过A 点作AD BC ∥，交ABC ∠的平分线于点D ，点E 在BC 上，DE AB ∥．(1)求证：四边形ABED 是菱形；(2)当6BC =，4AB =时，求DF 的长．【解析】（1）证明：∵AD BC ∥，DE AB ∥，∴四边形ABED 是平行四边形，∵AD BC ∥，∴ADB CBD ∠=∠，∵BD 平分ABC ∠，∴ABD CBD ∠=∠，∴ADB ABD ∠=∠，∴AD AB =，∴四边形ABED 是菱形；（2）解：∵四边形ABED 是菱形，4AB =，∴4DE BE AD AB ====，AD BC ∥，∴ADF CEF ∠=∠，∵AFD CFE ∠=∠，∴CEF ADF ∽△△，∴ADDFCE EF =，∵6BC =，∴2CE BC BE =-=，∴42DF EF=，∴2DF EF =，∴23DF DE =，∴83DF =．22．现有三张正面印有2023年杭州亚运会吉祥物琮琮、宸宸和莲莲的不透明卡片A ，B ，C ，卡片除正面图案不同外，其余均相同，(1)若将三类卡片各10张，共30张，正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是琮琮的概率是___________．(2)现将三类卡片各一张，放入不透明箱子，小明随机抽取一张，看后，放回，再由小充随机抽取一张．请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到相同卡片的概率．【解析】（1）解；∵一共有30张卡片，其中琮琮的卡片有10张，且每张卡片被抽到的概率相同，∴从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是琮琮的概率是101303=，故答案为：13．（2）解：画树状图如下：由树状图可知，一共有9种等可能性的结果数，其中恰好摸到相同卡片的结果数有3种，∴恰好摸到相同卡片的概率为3193=．23．某校初三物理组为激发学生学习物理的热情，组织初三500名学生进行“水火箭”制作和演示飞行活动．为了解该年级学生自制水火箭的飞行情况，现随机抽取40名学生进行水火箭飞行测试，并将测试成绩（百分制）作为样本数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．①将样本数据分成5组：5060,6070,7080,8090,90100x x x x x ≤<≤<≤<≤<≤<，并制作了如图所示的不完整的频数分布直方图；②在8090x ≤<这一组的成绩分别是：80，81，83，83，84，85，86，86，86，87，8.8，89，根据以上信息，解答下列问题：(1)补全频数分布直方图；(2)抽取的40名学生成绩的中位数是____________；(3)如果测试成绩达到80分及以上为优秀，试估计该年级500名学生中水火箭飞行测试为优秀的学生约有多少人？【解析】（1）解：在7080x ≤<这组的人数为：404612108----=（人），补全频数分布直方图如下：（2）中位数应为40个数据由小到大排列中第20，21个数据的平均数，∵数据处于较小的三组中有46818++=（个）数据，∴中位数应是8090x ≤<这一组第2，3个数据的平均数，∴中位数为：8183822+=（分），故答案为：82分；（3）∵样本中优秀的百分比为：1210100%55%40+⨯=，∴可以估计该校500名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有：55%500275⨯=（人），答：估计该校500名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有275人．24．如图，在四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=︒．(1)经过点A 、B 、D 三点作O ；(2)O 是否经过点C ？请说明理由．【解析】（1）解：如图所示，O 即为所求；（2）O 经过点C ，理由如下：连接OC ，∵90BCD ∠=︒，点O 为BD 的中点，∴12CO BC OD OB ===，∴点C 在O 上．25．最佳视点如图1，设墙壁上的展品最高处点P 距底面a 米，最低处的点Q 距底面b 米，站在何处观赏最理想？所谓观赏理想是指看展品的视角最大，问题转化为在水平视线EF 上求使视角最大的点．如图2，当过P Q E ，，三点的圆与过点E 的水平线相切于点E 时，视角PEQ ∠最大，站在此处观赏最理想，小明同学想这是为什么呢？他在过点E 的水平线HM 上任取异于点E 的点E '，连接PE '交O 于点F ，连接QF ，…任务一：请按照小明的思路，说明在点E 时视角最大；任务二：若3 1.8a b ==，，观察者的眼睛距地面的距离为1.5米，最大视角为30︒，求观察者应该站在距离多远的地方最理想(结果精确到0.013 1.73≈)．【解析】任务一：过点E 的水平线HM 上任取异于点E 的点E '，连接PE '交O 于点F ，连接QF ，∵PFQ ∠是QFE ' 的外角，∴PFQ PE Q '∠>∠，又∵PFQ ∠与PEQ ∠都是弧PQ 所对的圆周角，∴PFQ PEQ ∠=∠，∴PEQ PE Q '∠>∠，∴在点E 时视角最大．任务二：∵30PEQ ∠=︒，∴60POQ ∠=︒，又∵OP OQ =，∴OPQ △是等边三角形，OP OQ PQ ==．如图2，连接OE ，∵HE 是O 的切线，∴90OEH ∠=︒，∵90PHE ∠=︒，∴180OEH PHE ∠+∠=︒，∴//PQ OE ，又∵PQ OP OE ==，∴四边形PQOE 是平行四边形，∴30OPE PEQ ∠=∠=︒，∴603030EPH OPQ OPE ∠=∠-∠=︒-︒=︒．由题意得，3 1.5 1.5PH =-=(米)，在Rt PHE △中，3•tan 1.50.873HE PH EPH =∠=⨯(米)．答：观察者应该站在距离0.87米的地方最理想．26．在2024年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，小星同学对会场进行装饰．如图1所示，他在会场的两墙AB 、CD 之间悬挂一条近似抛物线2435y ax x =-+的彩带，如图2所示，已知墙AB 与CD 等高，且AB 、CD 之间的水平距离BD 为8米．(1)如图2，两墙AB ，CD 的高度是米，抛物线的顶点坐标为；(2)为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点M 处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M 到墙AB 距离为3米，使抛物线1F 的最低点距墙AB 的距离为2米，离地面2米，求点M 到地面的距离；(3)为了尽量避免人的头部接触到彩带，小星现将M 到地面的距离提升为3米，通过适当调整M 的位置，使抛物线2F 对应的二次函数的二次项系数始终为15，若设点M 距墙AB 的距离为m 米，抛物线2F 的最低点到地面的距离为n 米，探究n 与m 的关系式，当924n ≤≤时，求m 的取值范围．【解析】（1）解：由题意得，抛物线的对称轴为4x =，则45422b x a a==-=-，解得：0.1a =；∴抛物线的表达式为0.10.83y x x =-+，则点(0,3)A ，即3AB CD ==（米)，当4x =时，0.10.83 1.4y x x =-+=，即顶点坐标为(4,1.4)，故答案为：3，(4,1.4)；（2）解：设抛物线的表达式为2(2)2y a x ='-+，将点A 的坐标代入上式得23(02)2a ='-+，解得14a '=，∴抛物线的表达式为21(2)24y x =-+，当3x =时，21(2)2 2.254y x =-+=（米)，∴点M 到地面的距离为2.25米；（3）解：由题意知，点M 、C 纵坐标均为4，则右侧抛物线关于M 、C 对称，∴抛物线的顶点的横坐标为11(8)422m m +=+，则抛物线的表达式为211(4)52y x m n =--+，将点C 的坐标代入上式得2113(84)52m n =--+，整理得21412055n m m =-+-；当2n =时，即214122055m m =-+-，解得85m =-；当9n 4=时，同理可得86m =故m 的取值范围为：8685m ≤≤27．定义：对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的四边形，则这样的四边形称为镶嵌四边形．(1)如图1，将ABC 纸片沿中位线EH 折叠，使点A 落在BC 边上的D 处，再将纸片分别沿EF ，HG 折叠，使点B 和点C 都与点D 重合，得到双层四边形EFGH ，则双层四边形EFGH 为______形．(2)ABCD Y 纸片按图2的方式折叠，折成双层四边形EFGH 为矩形，若5EF =，12EH =，求AD 的长．(3)如图3，四边形ABCD 纸片满足AD BC ∥，AD BC <，AB BC ⊥，8AB =，10CD =．把该纸片折叠，得到双层四边形为正方形．请你画出一种折叠的示意图，并直接写出此时BC 的长．【解析】（1）双层四边形EFGH 为矩形，理由如下：由折叠的性质可得AEH HED ∠=∠，BEF DEF ∠=∠，180AEH HED BEF DEF ∠+∠+∠+∠=︒ ，90HED DEF ∴∠+∠=︒，90HEF ∴∠=︒，同理可得90EHG EFD ∠=∠=︒，∴四边形EFGH 是矩形，故答案为：矩；（2） 四边形EFGH 为矩形，90FEH ∴∠=︒，EH FG =，EH FG ∥，222251213FH EF EH ∴=+=+=，EHM GFN ∠=∠，又ABCD 为平行四边形，A C ∴∠=∠，AD BC =，由折叠得A EMH ∠=∠，C GNF ∠=∠，EMH GNF ∴∠=∠，在EHM 与GFN 中，EH FGEHM GFN EMH GNF=⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩，(AAS)EHM GFN ∴ ≌，MH NF ∴=，由折叠得AH MH =，CF FN =，AH CF ∴=，又AD BC = ，DH BF FM ∴==，又AD AH DH =+ ，HF MH MF =+，13AD HF ∴==．（3）有以下三种基本折法：折法1中，如图所示：由折叠的性质得：AD BG =，142AE BE AB ===，152CF DF CD ===，GM CM =，90FMC ∠=︒， 四边形EFMB 是叠合正方形，4BM FM ∴==，2225163GM CM CF FM ∴=-=-=，1AD BG BM GM ∴==-=，7BC BM CM =+=；折法2中，如图所示：由折叠的性质得：四边形EMHG 的面积12=梯形ABCD 的面积，142AE BE AB ===，DG NG =，NH CH =，BM FM =，MN MC =，125GH CD ∴==， 四边形EMHG 是叠合正方形，5EM GH ∴==，正方形EMHG 的面积2525==，90B ∠=︒ ，2225163FM BM EM BE ∴=-=-=，设AD x =，则3MN FM FN x =+=+，梯形ABCD 的面积1()82252AD BC =+⨯=⨯，252AD BC ∴+=，252BC x ∴=-，2532MC BC BM x ∴=-=--，MN MC = ，25332x x ∴+=--，解得：134x =，134AD ∴=，251337244BC =-=．折法3中，如图所示，作GM BC ⊥于M ，则E ，G 分别为AB ，CD 的中点，则4AH AE BE BF ====，152CG CD ==，正方形的边长42EF GF ==4GM FM ==，2225163CM CG GM --=，11BC BF FM CM ∴=++=．综上所述：7BC =或11或374．28．如图所示，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且1OA =，4OB OC ==．(1)求抛物线的解析式；(2)若连接AC 、BC ．动点D 从点A 出发，在线段AB 上以每秒1个单位长度向点B 做匀速运动；同时，动点E 从点B 出发，在线段BC 2个单位长度向点C 做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接DE ，设运动时间为t 秒．在D 、E 运动的过程中，当t 为何值时，四边形ADEC 的面积最小，最小值为多少？(3)点M 是抛物线上位于x 轴上方的一点，点N 在x 轴上，是否存在以点M 为直角顶点的等腰直角三角形CMN ？若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．【解析】（1）解：∵4OB OC ==，1OA =，则()0,4C ，()4,0B ，()0,1A -∴抛物线解析式为2(1)(4)34y x x x x =-+-=-++；（2）解：∵4OB OC ==，∴OBC △是等腰直角三角形，由点的运动可知：2BE t =，过点E 作EF x ⊥轴，垂足为F ，∴22tBE BF t t ==，又∵()0,1A -，则5AB =，∴ADEC ABC BDES S S =- 1145(5)22t t=⨯⨯-⨯-⨯21555(228t =-+，∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，∴224442AC =+=5AB =，∴04t ≤≤，当52t =时，四边形ADEC 的面积最小，即为558；（3）解：存在，(15,15)M +或(222,222)M -，当点M 在CN 的右侧时，如图所示，过点M 作y 轴的平行线PQ ，交x 轴于点Q ，过点C 作CP PQ ⊥，∵CMN 是以M 为直角为直角顶点的等腰直角三角形，∴CM MN =，90CMN ∠=︒，∴90PCM PMC NMQ ∠=︒-∠=∠，又90CPM MQN ∠=∠=︒∴CPM MQN ≌，∴CP MQ =，设2(,34)M m m m -++，∴234m m m -++=，解得：51m =或15m =∴(15,15)M ；当点M 在CN 的右侧时，同理可得234m m m -++=-，解得：222m =-22m =（舍去）∴(222,222)M -，综上所述，(15,15)M 或(22,22)M -．。
2020-2021无锡外国语学校初三数学下期中一模试题及答案
2020-2021无锡外国语学校初三数学下期中一模试题及答案一、选择题1．在反比例函数y＝1kx-的每一条曲线上，y都随着x的增大而减小，则k的值可以是（）A．－1B．1C．2D．32．如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与直线a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC=4，CE=6，BD=3，则BF=（）A．7B．7.5C．8D．8.53．在函数y＝21ax+（a为常数）的图象上有三个点（﹣1，y1），（﹣14，y2），（12，y3），则函数值y1、y2、y3的大小关系是（）A．y2＜y1＜y3B．y3＜y2＜y1C．y1＜y2＜y3D．y3＜y1＜y2 4．在△ABC中，若=0，则∠C的度数是（）A．45°B．60°C．75°D．105°5．反比例函数kyx=与1(0)y kx k=-+≠在同一坐标系的图象可能为（）A．B．C．D．6．如果两个相似三角形对应边之比是1:3，那么它们的对应中线之比是（）A．1:3B．1:4C．1:6D．1:97．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（2，2）、B（3，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD，则端点C的坐标分别为（）A ．（4，4）B ．（3，3）C ．（3，1）D ．（4，1）8．如图所示，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 为OD 的中点，连接AE 并延长交DC 于点F ，则DF ：FC=（ ）A ．1：3B ．1：4C ．2：3D ．1：29．如图，△ABC 中AB 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是（﹣1，0），以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A′B′C′，且△A′B′C′与△ABC 的位似比为2：1．设点B 的对应点B′的横坐标是a ，则点B 的横坐标是（ ）A ．12a -B ．1(1)2a -+C ．1(1)2a --D ．1(3)2a -+ 10．如图，BC 是半圆O 的直径，D ，E 是»BC上两点，连接BD ，CE 并延长交于点A ，连接OD ，OE ，如果70A ∠︒＝，那么DOE ∠的度数为（ ）A ．35︒B ．38︒C ．40︒D ．42︒ 11．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点P ，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD 的长为（ ）A 15B ．5C ．15D ．812．若270x y -=. 则下列式子正确的是（ ）A ．72x y =B ．27x y =C ．27x y =D ．27x y = 二、填空题13．如图，P （m ，m ）是反比例函数9y x =在第一象限内的图象上一点，以P 为顶点作等边△PAB ，使AB 落在x 轴上，则△POB 的面积为_____．14．如图，已知AD 为ABC ∆的角平分线，DE AB ∥，如果23AE EC =，那么AE AB=______.15．若△ABC ∽△A’B’C’，且△ABC 与△A’B’C’的面积之比为1:4，则相似比为____．16．如图，已知一次函数y=kx ﹣3（k≠0）的图象与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，与反比例函数y=12x（x ＞0）交于C 点，且AB=AC ，则k 的值为_____．17．如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的P 点处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为________米．18．在ABC ∆中，若45B ∠=o ，102AB =，55AC =ABC ∆的面积是______．19．如图所示的网格是正方形网格，点P 到射线OA 的距离为m ，点P 到射线OB 的距离为n ，则m __________ n ．（填“>”，“=”或“<”）20．如图，若点 A 的坐标为 ()1,3 ，则 sin 1∠ =________.三、解答题 21．如图，一次函数y ＝mx ＋5的图象与反比例函数y ＝k x(k≠0)在第一象限的图象交于A(1，n)和B(4，1)两点，过点A 作y 轴的垂线，垂足为M.(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)求△OAM 的面积S ；(3)在y 轴上求一点P ，使PA ＋PB 最小．22．如图，AD 是△ABC 的中线，tan B ＝13，cos C ＝2，AC ＝2.求： （1）BC 的长；（2）sin ∠ADC 的值．23．计算：（1）203)330π︒-+（2）21445|5|2-︒⎛⎫+- ⎪⎝⎭（3）已知α为锐角，()2sin 152α︒-=，计算2cos 3tan 12αα-+-的值． 24．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A(－2，1)，B(－1，4)，C(－3，2)．(1)以原点O 为位似中心，位似比为1∶2，在y 轴的左侧，画出△ABC 放大后的图形△A 1B 1C 1，并直接写出C 1点的坐标；(2)如果点D(a ，b)在线段AB 上，请直接写出经过(1)的变化后点D 的对应点D 1的坐标．25．如图，一次函数y ＝kx +2的图象与反比例函数y ＝m x的图象交于点P ，点P 在第一象限．P A ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ．一次函数的图象分别交x 轴、y 轴于点C 、D ，且S △PBD ＝4，12OC OA =． （1）求点D 的坐标； （2）求一次函数与反比例函数的解析式；（3）根据图象写出当x ＞0时，一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【解析】【分析】利用反比例函数的增减性，y随x的增大而减小，则求解不等式1-k>0即可．【详解】∵反比例函数y=1−kx图象的每一条曲线上，y随x的增大而减小，∴1−k>0，解得k<1.故选A.【点睛】此题考查反比例函数的性质，解题关键在于根据其性质求出k的值.2．B解析：B【解析】【分析】由直线a∥b∥c，根据平行线分线段成比例定理，即可得AC BDCE DF=，又由AC=4，CE=6，BD=3，即可求得DF的长，则可求得答案．【详解】解：∵a∥b∥c，∴AC BD CE DF=，∵AC=4，CE=6，BD=3，∴436DF =，解得：DF=92，∴937.52BF BD DF=+=+=．故选B．考点：平行线分线段成比例．3．A解析：A【解析】【分析】先根据反比例函数的解析式判断出反比例函数的图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的值判断出y1，y2，y3的大小关系即可．【详解】∵反比例函数的比例系数为a2+1＞0，∴图象的两个分支在一、三象限，且在每个象限y随x的增大而减小．∵﹣114-＜＜0，∴点（﹣1，y1），（14-，y2）在第三象限，∴y2＜y1＜0．∵12＞0，∴点（12，y3）在第一象限，∴y3＞0，∴y2＜y1＜y3．故选A．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．4．C解析：C【解析】【分析】根据非负数的性质可得出cosA及tanB的值，继而可得出A和B的度数，根据三角形的内角和定理可得出∠C的度数．【详解】由题意，得 cosA=，tanB=1，∴∠A=60°，∠B=45°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°．故选C．5．B解析：B【解析】【分析】根据反比例函数和一次函数的性质逐个对选项进行分析即可．【详解】A 根据反比例函数的图象可知，k>0,因此可得一次函数的图象应该递减，但是图象是递增的，所以A错误；B根据反比例函数的图象可知，k>0,，因此一次函数的图象应该递减，和图象吻合，所以B正确；C根据反比例函数的图象可知，k<0,因此一次函数的图象应该递增，并且过（0,1）点，但是根据图象，不过（0,1），所以C错误；D根据反比例函数的图象可知，k<0,因此一次函数的图象应该递增，但是根据图象一次函数的图象递减，所以D错误．故选B【点睛】本题主要考查反比例函数和一次函数的性质，关键点在于系数的正负判断，根据系数识别图象.6．A解析：A【解析】∵两个相似三角形对应边之比是1:3，∴它们的对应中线之比为1:3.故选A.点睛: 本题考查相似三角形的性质，相似三角形的对应边、对应周长，对应高、中线、角平分线的比，都等于相似比,掌握相似三角形的性质及灵活运用它是解题的关键.7．A解析：A【解析】【分析】利用位似图形的性质结合对应点坐标与位似比的关系得出C点坐标．【详解】∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD，∴A点与C点是对应点，∵C点的对应点A的坐标为（2，2），位似比为1：2，∴点C的坐标为：（4，4）故选A．【点睛】本题考查了位似变换，正确把握位似比与对应点坐标的关系是解题关键．8．D解析：D【解析】解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，则△DFE∽△BAE，∴DF：AB=DE：EB．∵O为对角线的交点，∴DO=BO．又∵E为OD的中点，∴DE=14DB，则DE：EB=1：3，∴DF：AB=1：3．∵DC=AB，∴DF：DC=1：3，∴DF：FC=1：2．故选D．9．D解析：D【解析】【分析】设点B的横坐标为x，然后表示出BC、B′C的横坐标的距离，再根据位似变换的概念列式计算．【详解】设点B的横坐标为x，则B、C间的横坐标的长度为﹣1﹣x，B′、C间的横坐标的长度为a+1，∵△ABC放大到原来的2倍得到△A′B′C，∴2（﹣1﹣x）＝a+1，解得x＝﹣12（a+3），故选：D．【点睛】本题考查了位似变换，坐标与图形的性质，根据位似变换的定义，利用两点间的横坐标的距离等于对应边的比列出方程是解题的关键．10．C解析：C【解析】【分析】连接CD，由圆周角定理得出∠BDC=90°，求出∠ACD=90°-∠A=20°，再由圆周角定理得出∠DOE=2∠ACD=40°即可，【详解】连接CD，如图所示：∵BC是半圆O的直径，∴∠BDC=90°，∴∠ADC=90°，∴∠ACD=90°-∠A=20°，∴∠DOE=2∠ACD=40°，故选C．【点睛】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．11．C解析：C【解析】【分析】作OH⊥CD于H，连结OC，如图，根据垂径定理由OH⊥CD得到HC=HD，再利用AP=2，BP=6可计算出半径OA=4，则OP=OA－AP=2，接着在Rt△OPH中根据含30°的直角三角形的性质计算出OH=12OP=1，然后在Rt△OHC中利用勾股定理计算出CH=15，所以CD=2CH=215．【详解】作OH⊥CD于H，连结OC，如图，∵OH⊥CD，∴HC=HD ，∵AP=2，BP=6，∴AB=8，∴OA=4，∴OP=OA ﹣AP=2，在Rt △OPH 中，∵∠OPH=30°，∴∠POH=30°，∴OH=12OP=1， 在Rt △OHC 中，∵OC=4，OH=1，∴∴故选C ．【点睛】本题主要考查圆中的计算问题，熟练掌握垂径定理、含30°的直角三角形的性质以及勾股定理等知识点，掌握数形结合的思想是解答的关键12．A解析：A【解析】【分析】直接利用比例的性质分别判断即可得出答案．【详解】∵2x -7y =0，∴2x =7y ．A ．72x y =，则2x =7y ，故此选项正确； B ．27x y =，则xy =14，故此选项错误； C ．27x y =，则2y =7x ，故此选项错误； D ．27x y =，则7x =2y ，故此选项错误． 故选A ．【点睛】本题考查了比例的性质，正确将比例式变形是解题的关键．二、填空题13．【解析】【详解】如图过点P 作PH⊥OB 于点H∵点P （mm ）是反比例函数y=在第一象限内的图象上的一个点∴9=m2且m ＞0解得m=3∴PH=OH=3∵△PAB是等边三角形∴∠PAH=60°∴根据锐角三 解析：933+ ． 【解析】 【详解】如图，过点P 作PH ⊥OB 于点H ，∵点P （m ，m ）是反比例函数y=9x在第一象限内的图象上的一个点， ∴9=m 2，且m ＞0，解得，m=3.∴PH=OH =3.∵△P AB 是等边三角形，∴∠P AH =60°. ∴根据锐角三角函数，得3∴OB 3∴S △POB =12OB•PH =9332+. 14．【解析】【分析】由证得【详解】∵∴△CED ∽△CAB ∴∵∴∵为的角平分线∴∠ADE=∠BAD=∠DAE ∴故填：【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质根据平行线证得三角形相似由此得到边的比值关系推导出解析：35【解析】 【分析】由DE AB ∥证得【详解】 ∵DE AB ∥，∴△CED ∽△CAB, ∴DE CE AB AC =, ∵23AE EC =, ∴35DE CE AB AC ==, ∵AD 为ABC ∆的角平分线，DE AB ∥,∴∠ADE=∠BAD=∠DAE,∴AEAB=35DE CEAB AC==,故填：3 5 .【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质，根据平行线证得三角形相似，由此得到边的比值关系，推导出AEAB的值.15．1：2【解析】【分析】由△ABC相似△A′B′C′面积比为1：4根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解【详解】解：∵△ABC相似△A′B′C′面积比为1：4∴△ABC与△A′B′C′的相似比解析：1：2【解析】【分析】由△ABC相似△A′B′C′，面积比为1：4，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求解.【详解】解：∵△ABC相似△A′B′C′，面积比为1：4，∴△ABC与△A′B′C′的相似比为：1：2，故答案为: 1：2.【点睛】本题主要考查的是相似三角形的性质，解决本题的关键是要熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方.16．k=【解析】试题分析：如图：作CD⊥x轴于D则OB∥CD∴△AOB∽△ADC∴∵AB=AC∴OB=CD由直线y=kx﹣3（k≠0）可知B（0﹣3）∴OB=3∴CD=3把y=3代入y=（x＞0）解得x解析：k=3 2【解析】试题分析：如图：作CD⊥x轴于D，则OB∥CD，∴△AOB∽△ADC，∴，∵AB=AC，∴OB=CD，由直线y=kx﹣3（k≠0）可知B（0，﹣3），∴OB=3，∴CD=3，把y=3代入y=（x＞0）解得，x=4，∴C（4，3），代入y=kx﹣3（k≠0）得，3=4k﹣3，解得k=，故答案为．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．17．5【解析】根据题意画出图形构造出△PCD∽△PAB利用相似三角形的性质解题解：过P作PF⊥AB交CD于E交AB于F如图所示设河宽为x米∵AB∥CD∴∠PDC=∠PBF∠PCD=∠PAB∴△PDC∽△解析：5【解析】根据题意画出图形，构造出△PCD∽△PAB，利用相似三角形的性质解题．解：过P作PF⊥AB，交CD于E，交AB于F，如图所示设河宽为x米．∵AB∥CD，∴∠PDC=∠PBF，∠PCD=∠PAB，∴△PDC∽△PBA，∴AB PF CD PE=，∴AB15x CD15+=，依题意CD=20米，AB=50米，∴15205015x=+，解得：x=22.5（米）．答：河的宽度为22.5米．18．75或25【解析】【分析】过点作于点通过解直角三角形及勾股定理可求出的长进而可得出的长再利用三角形的面积公式即可求出的面积【详解】解：过点作垂足为如图所示在中；在中∴∴或∴或25故答案为：75或25解析：75或25【解析】【分析】过点A 作AD BC ⊥于点D ，通过解直角三角形及勾股定理可求出AD ，BD ，CD 的长，进而可得出BC 的长，再利用三角形的面积公式即可求出ABC ∆的面积．【详解】解：过点A 作AD BC ⊥，垂足为D ，如图所示．在Rt ABD ∆中，sin 10AD AB B =⋅=，cos 10BD AB B =⋅=；在Rt ACD ∆中，10AD =，55AC =，∴225CD AC AD =-=，∴15BC BD CD =+=或5BC BD CD =-=， ∴1752ABC S BC AD ∆=⋅=或25． 故答案为：75或25．【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理以及三角形的面积，通过解直角三角形及勾股定理，求出AD ，BC 的长度是解题的关键．19．>【解析】【分析】由图像可知在射线上有一个特殊点点到射线的距离点到射线的距离于是可知利用锐角三角函数即可判断出【详解】由题意可知：找到特殊点如图所示：设点到射线的距离点到射线的距离由图可知【点睛】本 解析：>【解析】【分析】由图像可知在射线OP 上有一个特殊点Q ,点Q 到射线OA 的距离2QD =Q 到射线OB 的距离1QC =，于是可知AOP BOP ∠>∠ ,利用锐角三角函数sin sin AOP BOP ∠>∠ ,即可判断出m n >【详解】由题意可知：找到特殊点Q ，如图所示：设点Q 到射线OA 的距离QD ，点Q 到射线OB 的距离QC 由图可知2QD =，1QC = ∴ 2sin QD AOP OP ∠== ,1sin QC BOP OP OP ∠== ∴sin sin AOP BOP ∠>∠,∴m n OP OP> ∴m n >【点睛】本题考查了点到线的距离，熟知在直角三角形中利用三角函数来解角和边的关系是解题关键.20．【解析】【分析】根据勾股定理可得OA 的长根据正弦是对边比斜边可得答案【详解】如图由勾股定理得：OA==2sin ∠1=故答案为解析：3 【解析】 【分析】根据勾股定理，可得OA 的长，根据正弦是对边比斜边，可得答案．【详解】如图，由勾股定理，得：OA =22OB AB +=2．sin ∠1=3AB OA =，故答案为3．三、解答题21．（1）y=4x；y＝－x＋5（2）2（3）（0，175）【解析】分析：（1）根据待定系数法分别求出反比例函数与一次函数解析式即可；（2）根据反比例函数的性质，xy=k＜直接求出面积即可；（3）作点A关于y轴的对称点N，则N（-1，4），连接BN交y轴于点P，点P即为所求．详解：（1）将B（4，1）代入y＝kx得：1＝4k，∴k=4，∴y＝4x，将B（4，1）代入y=mx+5，得：1=4m+5，∴m=-1，∴y=-x+5，（2）在y＝4x中，令x=1，解得y=4，∴A（1，4），∴S=12×1×4=2，（6分）（3）作点A关于y轴的对称点N，则N（-1，4），连接BN交y轴于点P，点P即为所求．设直线BN的关系式为y=kx+b，由414k bk b＝＝+⎧⎨-+⎩，得35175kb⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝，∴y＝−35x+175，∴P（0，175） 点睛：此题主要考查了待定系数法求一次函数与反比例函数解析式以及作对称点问题，根据已知得出对称点是解决问题的关键．22．（1）BC ＝4；（2）sin ∠ADC ＝22. 【解析】（1）如图，作AE⊥BC，∴CE =AC •cos C =1，∴AE =CE =1，1tan 3B =， ∴BE =3AE =3，∴BC =4；（2）∵AD 是△ABC 的中线，∴DE =1，∴∠ADC =45°，∴2sin ADC ∠=23．（1）72．（2）7；（3）﹣3 【解析】【分析】（1）先计算乘方和三角函数值，再计算加减法即可；（2先计算乘方和三角函数值、绝对值，再计算加减法即可；（3）先由特殊角的三角函数值计算出α，再代入求值即可.【详解】解：（1）原式＝3﹣33 ＝2+32 ＝72． （2）原式＝4﹣2×1+5 ＝4﹣2+5＝7．（3）∵α为锐角，()2sin 15α︒-=∴α﹣15°＝45°．∴α＝60°．∴2cos 3tan 12αα-+- ＝﹣2×12+3×3﹣23＝﹣1+33﹣23＝﹣1+3．【点睛】本题考查了含特殊角的三角函数值的四则运算，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.24．(1)图见解析，C 1(－6，4)；(2)D 1(2a ，2b)．【解析】【分析】（1）连接OB 并延长，使BB 1=OB ，连接OA 并延长，使AA 1=OA ，连接OC 并延长，使CC 1=OC ，确定出△A 1B 1C 1，并求出C 1点坐标即可； （2）根据A 与A 1坐标，B 与B 1坐标，以及C 与C 1坐标的关系，确定出变化后点D 的对应点D 1坐标即可．【详解】（1）根据题意画出图形，如图所示：则点C 1的坐标为（-6，4）；（2）变化后D 的对应点D 1的坐标为：（2a ，2b ）．【点睛】运用了作图-位似变换，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．25．（1）D （0,2）； （2）22y x =+；12y x =;（3）2x > 【解析】【分析】（1）在y=kx+2中，只要x=0得y=2即可得点D 的坐标为（0，2）．（2）由AP ∥OD 得Rt △PAC ∽Rt △DOC ，又12OC OA =，可得13OD OC AP AC ==，故AP=6，BD=6-2=4，由S△PBD=4可得BP=2，把P（2，6）分别代入y=kx+2与myx=可得一次函数解析式为y=2x+2反比例函数解析式为12yx =；（3）当x＞0时，一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围由图象能直接看出x ＞2．【详解】解：（1）在y=kx+2中，令x=0得y=2，∴点D的坐标为（0，2）（2）∵AP∥OD，∴∠CDO=∠CPA，∠COD=∠CAP，∴Rt△PAC∽Rt△DOC，∵12OCOA=，即13OD OCAP AC==，∴13 OD OC AP AC==∴AP=6，又∵BD=6-2=4，∴由142PBDS BP BD=⋅=V，可得BP=2，∴P（2，6）（4分）把P（2，6）分别代入y=kx+2与m yx =可得一次函数解析式为：y=2x+2，反比例函数解析式为：12 yx =（3）由图可得x＞2．【点睛】考查反比例函数和一次函数解析式的确定、图形的面积求法、相似三角形等知识及综合应用知识、解决问题的能力．有点难度．。
无锡外国语学校2017—2018学年度第二学期初三数学一模考试(含答案)
二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 2 分，本大题共 16 分．不需要写出解答过程，只需 把答案直接填写在相应的横线上） 11．十九大报告中提到，在未来的三年里，城镇每年需要安排的就业人员数量仍超过 1500 万，大多是青年学生．这里 1500 万，可以用科学记数法记为 ． 12．因式分解： 4 x 2 8 x 4 ＝ ．
2．若分式
x 有意义，则 x 的取值范围是 x 1
C． x 1 C． (2a ) 4a
3 2 6
A． x 1 B． x 1 3．下列运算结果正确的是 A． 2a 3b 5ab B． x 2 x 3 x 6
D． x 0 且 x 1 D． x 8 x 4 x 2
4．下列命题是真命题的是 A．三边相等的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 C．有两边及一角对应相等的两个三角形全等 D．等腰三角形顶角的外角是底角的 2 倍 5．抢微信红包成为节日期间人们最喜欢的活动之一， 对某单位 50 名员工在春节期间所抢的红包金额进 行统计，并绘制成了统计图．根据如图提供的信息， 红包金额的众数和中位数分别是 A．20，20 B．30，20 C．30，30 D．20，30 第5题 6．如图，AD 是⊙O 的切线，切点为 A，AC 是⊙O 的直径，CD 交⊙O 于点 B，连结 OB， 若 AB 的度数为 70°，则∠D 的大小为 A．70° B．60° C．55° D．35°
23． （本题满分 8 分） 在阳光体育活动时间，小亮、小莹、小芳和小刚到学校乒乓球室打乒乓球，当时只有一 副空球桌，他们只能选两人打第一场． （1）如果确定小亮打第一场，再从其余三人中随机选取一人打第一场，求恰好选中小 刚的概率； （2） 如果确定小亮做裁判， 用“手心、 手背”的方法决定其余三人哪两人打第一场． 游 戏规则是：三人同时伸“手心、手背”中的一种手势，如果恰好有两人伸出的手势相同，那 么这两人上场，否则重新开始，这三人伸出“手心”或“手背”都是随机的，请用画树状图 的方法求小莹和小芳打第一场的概率．
江苏省无锡市宜兴外国语学校2020年中考数学一模试卷(含解析)
2020年中考数学一模试卷一、选择题（共10小题）1．﹣3的绝对值是（）A．﹣B．﹣3C．D．32．函数y＝中自变量x的取值范围是（）A．x≠2B．x≥2C．x≤2D．x＞23．在下列四个图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．下列运算正确的是（）A．2a2+a2＝3a4B．（﹣2a2）3＝8a6C．a3÷a2＝a D．（a﹣b）2＝a2﹣b25．某校有25名同学参加某比赛，预赛成绩各不相同，取前13名参加决赛，其中一名同学已经知道自己的成绩，能否进入决赛，只需要再知道这25名同学成绩的（）A．最高分B．中位数C．方差D．平均数6．下列图形中，主视图为图①的是（）A．B．C．D．7．已知a﹣b＝2，则a2﹣b2﹣4b的值为（）A．2B．4C．6D．88．下列判断错误的是（）A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线互相平分的四边形是平行四边形9．如图，平面直角坐标系中，A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），反比例函数y＝的图象分别与线段AB，BC交于点D，E，连接DE．若点B关于DE的对称点恰好在OA 上，则k＝（）A．﹣20B．﹣16C．﹣12D．﹣810．如图，等边三角形ABC边长是定值，点O是它的外心，过点O任意作一条直线分别交AB，BC于点D，E．将△BDE沿直线DE折叠，得到△B′DE，若B′D，B′E分别交AC于点F，G，连接OF，OG，则下列判断错误的是（）A．△ADF≌△CGEB．△B′FG的周长是一个定值C．四边形FOEC的面积是一个定值D．四边形OGB'F的面积是一个定值二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）11．16的平方根是．12．某人近期加强了锻炼，用“微信运动”记录下了一天的行走的步数为12400，将12400用科学记数法表示应为．13．若3m＝5，3n＝8，则32m+n＝．14．用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是．15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC∥AD，∠DAB＝60°，∠ADC＝106°，则∠OCB ＝°．16．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，D为BC边的中点，以AD上一点O 为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为．17．如图，二次函数y＝（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称．已知一次函数y＝kx+b的图象经过A，B两点，根据图象，则满足不等式（x+2）2+m≤kx+b的x的取值范围是．18．如图，正方形ABCD和Rt△AEF，AB＝5，AE＝AF＝4，连接BF，DE．若△AEF绕点A旋转，当∠ABF最大时，S△ADE＝．三、解答题（共84分）19．（1）计算：（π﹣3）0+2sin45°﹣（）﹣1；（2）解不等式组：．20．解方程：（1）x2﹣8x+1＝0；（2）﹣＝1；21．如图，▱ABCD中，E为AD的中点，直线BE、CD相交于点F．连接AF、BD．（1）求证：AB＝DF；（2）若AB＝BD，求证：四边形ABDF是菱形．22．某校为了深入学习社会主义核心价值观，对本校学生进行了一次相关知识的测试，随机抽取了部分学生的测试成绩进行统计（根据成绩分为A、B、C、D、E五个组，x表示测试成绩，A组：90≤x≤100；B组：80≤x＜90；C组：70≤x＜80；D组：60≤x＜70；E 组：x＜60），通过对测试成绩的分析，得到如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答以下问题：（1）抽取的学生共有人，请将两幅统计图补充完整；（2）抽取的测试成绩的中位数落在组内；（3）本次测试成绩在80分以上（含80分）为优秀，若该校初三学生共有1200人，请估计该校初三测试成绩为优秀的学生有多少人？23．有甲、乙两把不同的锁和三把不同的钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁．随机取出两把钥匙开这两把锁，求恰好都能打开的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法给出分析过程）24．如图，△ABC中，⊙O经过A、B两点，且交AC于点D，连接BD，∠DBC＝∠BAC．（1）证明BC与⊙O相切；（2）若⊙O的半径为6，∠BAC＝30°，求图中阴影部分的面积．25．某水果商店以12.5元/千克的价格购进一批水果进行销售，运输过程中质量损耗5%，运输费用是0.8元/千克（运输费用按照进货质量计算），假设不计其他费用．（1）商店要把水果售完至少定价为多少元才不会亏本？（2）在销售过程中，商店发现每天水果的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示，那么当销售单价定为多少时，每天获得的利润w最大？最大利润是多少？（3）该商店决定每销售1千克水果就捐赠p元利润（p≥1）给希望工程，通过销售记录发现，销售价格大于每千克22元时，扣除捐赠后每天的利润随x增大而减小，直接写出p的取值范围．26．如图，线段OB放置在正方形网格中，现请你分别在图1、图2、图3添画（工具只能用直尺）射线OA，使tan∠AOB的值分别为1、2、3．27．已知，二次函数y＝ax2+2ax﹣3a（a＞0）图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点C，B关于过点A的直线l对称，直线l与y轴交于D．（1）求A，B两点坐标及直线l的解析式；（2）求二次函数解析式；（3）在第三象限抛物线上有一个动点E，连接OE交直线l于点F，求的最大值．28．如图，矩形ABCD，AB＝2，BC＝10，点E为AD上一点，且AE＝AB，点F从点E出发，向终点D运动，速度为1cm/s，以BF为斜边在BF上方作等腰直角△BFG，以BG，BF为邻边作▱BFHG，连接AG．设点F的运动时间为t秒．（1）试说明：△ABG∽△EBF；（2）当点H落在直线CD上时，求t的值；（3）点F从E运动到D的过程中，直接写出HC的最小值．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．﹣3的绝对值是（）A．﹣B．﹣3C．D．3【分析】利用绝对值的定义求解即可．解：﹣3的绝对值是3．故选：D．2．函数y＝中自变量x的取值范围是（）A．x≠2B．x≥2C．x≤2D．x＞2【分析】根据分式有意义的条件，分母不等于0，可以求出x的范围．解：根据题意得：2﹣x≠0，解得：x≠2．故函数y＝中自变量x的取值范围是x≠2．故选：A．3．在下列四个图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的特点进行分析即可．解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、是中心对称图形，故此选项符合题意；C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：B．4．下列运算正确的是（）A．2a2+a2＝3a4B．（﹣2a2）3＝8a6C．a3÷a2＝a D．（a﹣b）2＝a2﹣b2【分析】根据合并同类项，积的乘方等于乘方的积，同底数幂的除法，完全平方公式，可得答案．解：A、系数相加字母及指数不变，故A不符合题意；B、积的乘方等于乘方的积，故B不符合题意；C、同底数幂的除法底数不变指数相减，故C符合题意；D、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故D不符合题意；故选：C．5．某校有25名同学参加某比赛，预赛成绩各不相同，取前13名参加决赛，其中一名同学已经知道自己的成绩，能否进入决赛，只需要再知道这25名同学成绩的（）A．最高分B．中位数C．方差D．平均数【分析】根据中位数的意义分析．解：某校有25名同学参加某比赛，预赛成绩各不相同，取前13名参加决赛，其中一名同学已经知道自己的成绩，能否进入决赛，只需要再知道这25名同学成绩的中位数．故选：B．6．下列图形中，主视图为图①的是（）A．B．C．D．【分析】主视图是从物体的正面看得到的图形，分别写出每个选项中的主视图，即可得到答案．解：A、主视图是等腰梯形，故此选项错误；B、主视图是长方形，故此选项正确；C、主视图是等腰梯形，故此选项错误；D、主视图是三角形，故此选项错误；故选：B．7．已知a﹣b＝2，则a2﹣b2﹣4b的值为（）A．2B．4C．6D．8【分析】原式变形后，把已知等式代入计算即可求出值．解：∵a﹣b＝2，∴原式＝（a+b）（a﹣b）﹣4b＝2（a+b）﹣4b＝2a+2b﹣4b＝2（a﹣b）＝4，故选：B．8．下列判断错误的是（）A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线互相平分的四边形是平行四边形【分析】根据正方形、菱形，矩形以及平行四边形的判定定理进行判断．解：A、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故本选项错误；B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故本选项错误；C、对角线相等的四边形不一定是矩形，例如：等腰梯形的对角线相等，故本选项正确；D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项错误；故选：C．9．如图，平面直角坐标系中，A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），反比例函数y＝的图象分别与线段AB，BC交于点D，E，连接DE．若点B关于DE的对称点恰好在OA 上，则k＝（）A．﹣20B．﹣16C．﹣12D．﹣8【分析】根据A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），可得矩形的长和宽，易知点D 的横坐标，E的纵坐标，由反比例函数的关系式，可用含有k的代数式表示出点D的纵坐标和点E的横坐标，由三角形相似和对称，可求出AF的长，然后把问题转化到三角形ADF中，由勾股定理建立方程求出k的值．解：过点E作EG⊥OA，垂足为G，设点B关于DE的对称点为F，连接DF、EF、BF，如图所示：则△BDE≌△FDE，∴BD＝FD，BE＝FE，∠DFE＝∠DBE＝90°易证△ADF∽△GFE∴，∴AF：EG＝BD：BE，∵A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），∴AB＝OC＝EG＝4，OA＝BC＝8，∵D、E在反比例函数y＝的图象上，∴E（，4）、D（﹣8，）∴OG＝EC＝，AD＝﹣，∴BD＝4+，BE＝8+∴，∴AF＝，在Rt△ADF中，由勾股定理：AD2+AF2＝DF2即：（﹣）2+22＝（4+）2解得：k＝﹣12故选：C．10．如图，等边三角形ABC边长是定值，点O是它的外心，过点O任意作一条直线分别交AB，BC于点D，E．将△BDE沿直线DE折叠，得到△B′DE，若B′D，B′E分别交AC于点F，G，连接OF，OG，则下列判断错误的是（）A．△ADF≌△CGEB．△B′FG的周长是一个定值C．四边形FOEC的面积是一个定值D．四边形OGB'F的面积是一个定值【分析】A、根据等边三角形ABC的内心的性质可知：AO平分∠BAC，根据角平分线的定理和逆定理得：FO平分∠DFG，由外角的性质可证明∠DOF＝60°，同理可得∠EOG ＝60°，∠FOG＝60°＝∠DOF＝∠EOG，可证明△DOF≌△GOF≌△GOE，△OAD≌△OCG，△OAF≌△OCE，可得AD＝CG，AF＝CE，从而得△ADF≌△CGE；B、根据△DOF≌△GOF≌△GOE，得DF＝GF＝GE，所以△ADF≌△B'GF≌△CGE，可得结论；C、根据S四边形FOEC＝S△OCF+S△OCE，依次换成面积相等的三角形，可得结论为：S△AOC＝（定值），可作判断；D、方法同C，将S四边形OGB'F＝S△OAC﹣S△OFG，根据S△OFG＝•FG•OH，FG变化，故△OFG的面积变化，从而四边形OGB'F的面积也变化，可作判断．解：A、连接OA、OC，∵点O是等边三角形ABC的内心，∴AO平分∠BAC，∴点O到AB、AC的距离相等，由折叠得：DO平分∠BDB'，∴点O到AB、DB'的距离相等，∴点O到DB'、AC的距离相等，∴FO平分∠DFG，∠DFO＝∠OFG＝（∠FAD+∠ADF），由折叠得：∠BDE＝∠ODF＝（∠DAF+∠AFD），∴∠OFD+∠ODF＝（∠FAD+∠ADF+∠DAF+∠AFD）＝120°，∴∠DOF＝60°，同理可得∠EOG＝60°，∴∠FOG＝60°＝∠DOF＝∠EOG，∴△DOF≌△GOF≌△GOE，∴OD＝OG，OE＝OF，∠OGF＝∠ODF＝∠ODB，∠OFG＝∠OEG＝∠OEB，∴△OAD≌△OCG，△OAF≌△OCE，∴AD＝CG，AF＝CE，∴△ADF≌△CGE，故选项A正确；B、∵△DOF≌△GOF≌△GOE，∴DF＝GF＝GE，∴△ADF≌△B'GF≌△CGE，∴B'G＝AD，∴△B'FG的周长＝FG+B'F+B'G＝FG+AF+CG＝AC（定值），故选项B正确；C、S四边形FOEC＝S△OCF+S△OCE＝S△OCF+S△OAF＝S△AOC＝（定值），故选项C正确；D、S四边形OGB'F＝S△OFG+S△B'GF＝S△OFD+S△ADF＝S四边形OFAD＝S△OAD+S△OAF＝S△OCG+S△OAF＝S﹣S△OFG，△OAC过O作OH⊥AC于H，∴S△OFG＝•FG•OH，由于OH是定值，FG变化，故△OFG的面积变化，从而四边形OGB'F的面积也变化，故选项D不一定正确；故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）11．16的平方根是±4．【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．解：∵（±4）2＝16，∴16的平方根是±4．故答案为：±4．12．某人近期加强了锻炼，用“微信运动”记录下了一天的行走的步数为12400，将12400用科学记数法表示应为 1.24×104．【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为整数，n的值取决于原数变成a时，小数点移动的位数，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．解：12400＝1.24×104．故答案为：1.24×104．13．若3m＝5，3n＝8，则32m+n＝200．【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则化简得出答案．解：∵3m＝5，3n＝8，∴32m+n＝（3m）2×3n＝52×8＝200．故答案为：200．14．用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是2．【分析】易得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径．解：扇形的弧长＝＝4π，∴圆锥的底面半径为4π÷2π＝2．故答案为：2．15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC∥AD，∠DAB＝60°，∠ADC＝106°，则∠OCB ＝46°．【分析】根据平行线的性质求出∠OCD，根据圆内接四边形的性质求出∠BCD，计算即可．解：∵OC∥AD，∴∠OCD＝180°﹣∠ADC＝74°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BCD＝180°﹣∠DAB＝120°，∴∠OCB＝∠BCD﹣∠OCD＝46°，故答案为：46．16．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，D为BC边的中点，以AD上一点O 为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为．【分析】过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F．根据切线的性质，知OE、OF是⊙O的半径；然后由三角形的面积间的关系（S△ABO+S△BOD＝S△ABD＝S△ACD）列出关于圆的半径的等式，求得圆的半径即可．解：过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F．∵AB、BC是⊙O的切线，∴点E、F是切点，∴OE、OF是⊙O的半径；∴OE＝OF；在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，∴由勾股定理，得BC＝4；又∵D是BC边的中点，∴S△ABD＝S△ACD，又∵S△ABD＝S△ABO+S△BOD，∴AB•OE+BD•OF＝CD•AC，即5×OE+2×OE＝2×3，解得OE＝，∴⊙O的半径是．故答案为：．17．如图，二次函数y＝（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称．已知一次函数y＝kx+b的图象经过A，B两点，根据图象，则满足不等式（x+2）2+m≤kx+b的x的取值范围是﹣4≤x≤﹣1．【分析】将点A代入抛物线中可求m＝﹣1，则可求抛物线的解析式为y＝x2+4x+3，对称轴为x＝﹣2，则满足（x+2）2+m≤kx+b的x的取值范围为﹣4≤x≤﹣1．解：抛物线y＝（x+2）2+m经过点A（﹣1，0），∴m＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝x2+4x+3，∴点C坐标（0，3），∴对称轴为x＝﹣2，∵B与C关于对称轴对称，点B坐标（﹣4，3），∴满足（x+2）2+m≤kx+b的x的取值范围为﹣4≤x≤﹣1，故答案为﹣4≤x≤﹣1．18．如图，正方形ABCD和Rt△AEF，AB＝5，AE＝AF＝4，连接BF，DE．若△AEF绕点A旋转，当∠ABF最大时，S△ADE＝6．【分析】作DH⊥AE于H，如图，由于AF＝4，则△AEF绕点A旋转时，点F在以A为圆心，4为半径的圆上，当BF为此圆的切线时，∠ABF最大，即BF⊥AF，利用勾股定理计算出BF＝3，接着证明△ADH≌△ABF得到DH＝BF＝3，然后根据三角形面积公式求解．解：作DH⊥AE于H，如图，∵AF＝4，当△AEF绕点A旋转时，点F在以A为圆心，4为半径的圆上，∴当BF为此圆的切线时，∠ABF最大，即BF⊥AF，在Rt△ABF中，BF＝＝3，∵∠EAF＝90°，∴∠BAF+∠BAH＝90°，∵∠DAH+∠BAH＝90°，∴∠DAH＝∠BAF，在△ADH和△ABF中，∴△ADH≌△ABF（AAS），∴DH＝BF＝3，∴S△ADE＝AE•DH＝×3×4＝6．故答案为6．三、解答题（共84分）19．（1）计算：（π﹣3）0+2sin45°﹣（）﹣1；（2）解不等式组：．【分析】（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．解：（1）原式＝1+2×﹣8＝﹣7；（2），由①得：x＞﹣1，由②得：x＜5，则不等式组的解集为﹣1＜x＜5．20．解方程：（1）x2﹣8x+1＝0；（2）﹣＝1；【分析】（1）利用配方法求解可得；（2）根据解分式方程的步骤依次计算可得．解：（1）∵x2﹣8x＝﹣1，∴x2﹣8x+16＝﹣1+16，即（x﹣4）2＝15，则x﹣4＝±，∴x＝4；（2）两边都乘以x﹣2，得：3+1﹣x＝x﹣2，解得x＝3，经检验x＝3是原分式方程的解．21．如图，▱ABCD中，E为AD的中点，直线BE、CD相交于点F．连接AF、BD．（1）求证：AB＝DF；（2）若AB＝BD，求证：四边形ABDF是菱形．【分析】（1）由平行四边形的性质和已知条件得出∠ABE＝∠DFE，AE＝DE，由AAS 证明△ABE≌△DFE即可证得结论；（2）由全等三角形的性质得出AB＝DF，证出四边形ABDF是平行四边形，再由AB＝BD，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD．∵点F在CD的延长线上，∴FD∥AB．∴∠ABE＝∠DFE．∵E是AD中点，∴AE＝DE．在△ABE和△DFE中，，∴△ABE≌△DFE（AAS）∴AB＝DF；（2）证明：∵△ABE≌△DFE，∴AB＝DF．∵AB∥DF，AB＝DF，∴四边形ABDF是平行四边形．∵AB＝BD，∴四边形ABDF是菱形．22．某校为了深入学习社会主义核心价值观，对本校学生进行了一次相关知识的测试，随机抽取了部分学生的测试成绩进行统计（根据成绩分为A、B、C、D、E五个组，x表示测试成绩，A组：90≤x≤100；B组：80≤x＜90；C组：70≤x＜80；D组：60≤x＜70；E 组：x＜60），通过对测试成绩的分析，得到如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答以下问题：（1）抽取的学生共有400人，请将两幅统计图补充完整；（2）抽取的测试成绩的中位数落在B组内；（3）本次测试成绩在80分以上（含80分）为优秀，若该校初三学生共有1200人，请估计该校初三测试成绩为优秀的学生有多少人？【分析】（1）根据E组的人数和所占的百分比可以求得本次调查的人数，再根据条形统计图中的数据可以求得B组和C组所占的百分比．根据本次调查的总人数和B组所占的百分比可以求得B组的人数；（2）根据扇形统计图中的数据可以得到中位数落在哪一组；（3）根据统计图中的数据可以计算出该校初三测试成绩为优秀的学生有多少人．解：（1）本次抽取的学生共有：40÷10%＝400（人），故答案为：400；A所占的百分比为：100÷400×100%＝25%，C所占的百分比为：80÷400×100%＝20%，B组的人数为：400×30%＝120，补全的统计图如下图所示；（2）由扇形统计图可知，抽取的测试成绩的中位数落在B组内，故答案为：B；（3）1200×（25%+30%）＝660（人），答：该校初三测试成绩为优秀的学生有660人．23．有甲、乙两把不同的锁和三把不同的钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁．随机取出两把钥匙开这两把锁，求恰好都能打开的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法给出分析过程）【分析】首先根据题意列表，得所有等可能的结果，可求得打开一把锁的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．解：画树状图：可能出现的等可能性结果有6种，分别是（A，B），（A，C），（B，A），（B，C），（C，A），（C，B），只有1种情况（有先后顺序）恰好打开这两把锁P（恰好打开这两把锁）＝．24．如图，△ABC中，⊙O经过A、B两点，且交AC于点D，连接BD，∠DBC＝∠BAC．（1）证明BC与⊙O相切；（2）若⊙O的半径为6，∠BAC＝30°，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接BO并延长交⊙O于点E，连接DE．由圆周角定理得出∠BDE＝90°，再求出∠EBD+∠DBC＝90°，根据切线的判定定理即可得出BC是⊙O的切线；（2）分别求出等边三角形DOB的面积和扇形DOB的面积，即可求出答案．【解答】证明：（1）连接BO并延长交⊙O于点E，连接DE．∵BE是⊙O的直径，∴∠BDE＝90°，∴∠EBD+∠E＝90°，∵∠DBC＝∠DAB，∠DAB＝∠E，∴∠EBD+∠DBC＝90°，即OB⊥BC，又∵点B在⊙O上，∴BC是⊙O的切线；（2）连接OD，∵∠BOD＝2∠A＝60°，OB＝OD，∴△BOD是边长为6的等边三角形，∴S△BOD＝×62＝9，∵S扇形DOB＝＝6π，∴S阴影＝S扇形DOB﹣S△BOD＝6π﹣9．25．某水果商店以12.5元/千克的价格购进一批水果进行销售，运输过程中质量损耗5%，运输费用是0.8元/千克（运输费用按照进货质量计算），假设不计其他费用．（1）商店要把水果售完至少定价为多少元才不会亏本？（2）在销售过程中，商店发现每天水果的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示，那么当销售单价定为多少时，每天获得的利润w最大？最大利润是多少？（3）该商店决定每销售1千克水果就捐赠p元利润（p≥1）给希望工程，通过销售记录发现，销售价格大于每千克22元时，扣除捐赠后每天的利润随x增大而减小，直接写出p的取值范围．【分析】本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题．（1）设购进水果a千克，水果售价定为m元/千克，水果商才不会亏本，则有a•m（1﹣5%）≥（12.5+0.8）a，解得m即可（2）可先求出y与销售单价x之间的函数关系为：y＝﹣5x+130，再根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出销售利润w与销售价x之间的函数关系式，即可求最大利润（3）设扣除捐赠后利润为s，则s＝﹣5x2+（5p+200）x﹣130（p+14），再根据对称轴的位置及增减性进行判断即可．解：（1）设购进水果a千克，水果售价定为m元/千克，水果商才不会亏本，则有a•m（1﹣5%）≥（12.5+0.8）a则a＞0可解得：m≥14∴水果商要把水果售价至少定为14元/千克才不会亏本（2）由（1）可知，每千克水果的平均成本为14元得y与销售单价x之间的函数关系为：y＝﹣5x+130由题意得：w＝（x﹣14）y＝（x﹣14）（﹣5x+130）＝﹣5x2+200x﹣1820整理得w＝﹣5（x﹣20）2+180∴当x＝20时，w有最大值∴当销售单价定为20元时，每天获得的利润w最大，最大利润是180元．（3）设扣除捐赠后利润为s则s＝（x﹣14﹣p）（﹣5x+130）＝﹣5x2+（5p+200）x﹣130（p+14）∵抛物线的开口向下∴对称轴为直线x＝＝∵销售价格大于每千克22元时，扣除捐赠后每天的利润s随x的增大而减小∴≤22解得p≤4故1≤p≤426．如图，线段OB放置在正方形网格中，现请你分别在图1、图2、图3添画（工具只能用直尺）射线OA，使tan∠AOB的值分别为1、2、3．【分析】根据勾股定理以及正切值对应边关系得出答案即可．解：如图1所示：tan∠AOB＝＝＝1，如图2所示：tan∠AOB＝＝＝2，如图3所示：tan∠AOB＝＝＝3，故tan∠AOB的值分别为1、2、3．．27．已知，二次函数y＝ax2+2ax﹣3a（a＞0）图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点C，B关于过点A的直线l对称，直线l与y轴交于D．（1）求A，B两点坐标及直线l的解析式；（2）求二次函数解析式；（3）在第三象限抛物线上有一个动点E，连接OE交直线l于点F，求的最大值．【分析】（1）、（2）对于y＝ax2+2ax﹣3a，令y＝0，则x＝﹣3或1，求出点A、B的坐标，利用点C，B关于直线l对称得AC＝AB＝4，求出a的值，进而求解；（3）利用△HEF∽△DOF，得到＝＝﹣x2﹣x+，即可求解．解：（1）对于y＝ax2+2ax﹣3a，令y＝0，则x＝﹣3或1，则点A、B的坐标分别为：（﹣3，0）、（1，0），则函数的对称轴为：x＝﹣1，则顶点C坐标为：（﹣1，﹣4a），∵点C，B关于直线l对称，如下图：∴AC＝AB＝4，即（﹣3+1）2+（0+4a）2＝42，解得：a＝（负值已舍去），故点C的坐标为：（﹣1，﹣2），则BC＝＝4＝AB＝AC，故△ABC为等边三角形，∵点C，B关于直线l对称，则BC∠⊥AD，故∠BAD＝30°，则设直线l的表达式为：y＝﹣x+b，将点A的坐标代入上式并解得：b＝﹣，故直线l的表达式为：y＝﹣x﹣；（2）由（1）知a＝，故抛物线的表达式为：y＝x2+x﹣；（3）∵直线l的表达式为：y＝﹣x﹣；∴点D的坐标为：（0，﹣），即OD＝，过点E作y轴的平行线交AD于点H，设点E（x，x2+x﹣），则点H（x，﹣x﹣），则EH＝（﹣x﹣）﹣（x2+x﹣）＝﹣x2﹣x+，∵HE∥y轴，∴△HEF∽△DOF，∴＝＝﹣x2﹣x+，∵0，故有最大值，当x＝﹣时，最大值为．28．如图，矩形ABCD，AB＝2，BC＝10，点E为AD上一点，且AE＝AB，点F从点E出发，向终点D运动，速度为1cm/s，以BF为斜边在BF上方作等腰直角△BFG，以BG，BF为邻边作▱BFHG，连接AG．设点F的运动时间为t秒．（1）试说明：△ABG∽△EBF；（2）当点H落在直线CD上时，求t的值；（3）点F从E运动到D的过程中，直接写出HC的最小值．【分析】（1）根据两边成比例夹角相等即可证明两三角形相似；（2）如图构建如图平面直角坐标系，作HM⊥AD于M，GN⊥AD于N．设AM交BG于K．首先证明△GFN≌△FHM，想办法求出点H的坐标，构建方程即可解决问题；（3）由（2）可知H（2+t，4+t），令x＝2+t，y＝4+t，消去t得到y＝x+．推出点H在直线y＝x+上运动，根据垂线段最短即可解决问题；【解答】（1）证明：如图1中，∵△ABE，△BGF都是等腰直角三角形，∴＝＝，∵∠ABE＝∠GBF＝45°，∴∠ABG＝∠EBF，∴△ABG∽△EBF．（2）解：如图构建如图平面直角坐标系，作HM⊥AD于M，GN⊥AD于N．设AM交BG于K．∵△GFH是等腰直角三角形，∴FG＝FH，∠GNF＝∠GFH＝∠HMF＝90°，∴∠GFN+∠HFM＝90°，∠HFM+∠FHM＝90°，∴∠GFN＝∠FHM，∴△GFN≌△FHM，∴GN＝FM，FN＝HM，∵△ABG∽△EBF，∴＝＝，∠AGB＝∠EFB，∵∠AKG＝∠BKF，∴∠GAN＝∠KBF＝45°，∵EF＝t，∴AG＝t，∴AN＝GN＝FM＝t，∴AM＝2+t，HM＝FN＝2+t，∴H（2+t，4+t），当点H在直线CD上时，2+t＝10，解得t＝．（3）由（2）可知H（2+t，4+t），令x＝2+t，y＝4+t，消去t得到y＝x+．∴点H在直线y＝x+上运动，如图，作CH垂直直线y＝x+垂足为H．根据垂线段最短可知，此时CH的长最小，易知直线CH的解析式为y＝﹣3x+30，由，解得，∴H（8，6），∵C（10，0），∴CH＝＝2，∴HC最小值是2．。
江苏省无锡市中考数学一模考试试卷
江苏省无锡市中考数学一模考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题（下列各题的四个选项中只有一个符合题意.共12小题，每 (共12题；共33分)1. （3分） (2019七下·乌兰浩特期中) 4的算术平方根是（）A . -2B . 2C .D .2. （3分）(2017·东平模拟) 下列图形是几家电信公司的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A .B .C .D .3. （3分）对于任意的正整数n ，能整除代数式（3n+1）（3n-1）-（3-n）（3+n）的整数是（）A . 3B . 6C . 10D . 94. （2分） (2018七上·深圳期末) 某运动会颁奖台如右图所示。
它的主视图是（）A .B .C .D .5. （3分） (2017八下·西城期末) 如果关于x的方程有两个相等的实数根，那么以下结论正确的是（）．A .B .C . k＞D . k＞16. （3分）下列说法正确的是（）A . 为了解我国中学生的体能情况，应采用普查的方式B . 若甲队成绩的方差是2，乙队成绩的方差是3，说明甲队成绩比乙队成绩稳定C . 明天下雨的概率是99%，说明明天一定会下雨D . 一组数据4，6，7，6，7，8，9的中位数和众数都是67. （2分）(2017·肥城模拟) 如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B的距离是（）A . 10 海里B . 10 海里C . 10 海里D . 20 海里8. （3分）(2019·和平模拟) 某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400m的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成任务．求原计划每小时修路的长度．若设原计划每小时修路xm，则根据题意可得方程（）A .B .C .D .9. （3分）(2016·兰州) 如图，用一个半径为5cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了108°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（）A . πcmB . 2πcmC . 3πcmD . 5πcm10. （2分）(2018·拱墅模拟) 四张分别画有平行四边形、等腰直角三角形、正五边形、圆的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中任取一张，卡片上所画图形恰好是中心对称图形的概率是（）A .B .C .D .11. （3分）等腰三角形中，两边的长分别为3和7，则此三角形周长是（）A . 13B . 17C . 13或17D . 1512. （3分）(2013·海南) 直线l1∥l2∥l3 ，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共15分)13. （3分）(2019·宁波模拟) 4x2﹣36因式分解的结果________.14. （3分）(2016·盐城) 已知圆锥的底面半径是2，母线长是4，则圆锥的侧面积是________．15. （3分） (2017八上·哈尔滨月考) 已知a+b=3，ab=1，则 + 的值等于________．16. （3分）如图，△ABC的内心在x轴上，点B的坐标是（2，0），点C的坐标是（0，﹣2），点A的坐标是（﹣3，b），反比例函数y=（x＜0）的图象经过点A，则k= ________．17. （3分） (2017七上·灵武期末) 观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第16个图形共有________个★．三、解答题（本题4个小题，每小题6分，共24分） (共4题；共20分)18. （6分） (2020九上·高平期末) 计算：．19. （2分）(2017·河西模拟) 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．20. （6分）(2019·兰坪模拟) 在如图所示的直角坐标系中，解答下列问题：（1）分别写出A、B两点的坐标；（2）将△ABC绕点A顺时针旋转90°，画出旋转后的△AB1C1；（3）求出线段B1A所在直线 l 的函数解析式，并写出在直线l上从B1到A的自变量x 的取值范围.21. （6分）某校开展了以“人生观、价值观”为主题的班会活动，活动结束后，初三（1）班数学兴趣小组提出了5个主要观点并在本班50名学生中进行了调查（要求每位同学只选自己最认可的一项观点），并制成了如下扇形统计图．（1）该班学生选择“和谐”观点的有几个人，在扇形统计图中，“和谐”观点所在扇形区域的圆心角是多少度（2）如果该校有400名初三学生，利用样本估计选择“感恩”观点的初三学生约有多少人．（3）如果数学兴趣小组在这5个主要观点中任选两项观点在全校学生中进行调查，求恰好选到“和谐”和“感恩”观点的概率．（用树状图或列表法分析解答）四、（本题7分） (共2题；共14分)22. （7.0分） (2019九上·台州月考) 在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a为抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“衍生直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“衍生三角形”．已知抛物线与其“衍生直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．（1）填空：该抛物线的“衍生直线”的解析式为________，点A的坐标为________，点B的坐标为 ________ ；（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN 为该抛物线的“衍生三角形”，求点N的坐标；（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“衍生直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．23. （7.0分） (2018七上·铁西期末) 某校为了解七年级学生体育课足球运球的掌握情况,随机抽取部分七年级学生足球运球的测试成绩作为一个样本,按A、B、C、D四个等级进行统计,制成了如图所示的不完整的统计图(说明:A等级:8分～10分；B等级:7分～7.9分；C等级:6分～6.9分；D等级:1分～5.9分)：根据所给信息,解答以下问题:（1）在扇形统计图中,求等级C对应的扇形圆心角的度数,并补全条形统计图；（2）该校七年级有300名学生,请估计足球运球测试成绩达到A等级的学生有多少人?五、（本题8分） (共1题；共8分)24. （8分）(2017·青岛模拟) 在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC=16cm，BD=12cm；点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为2cm/s；点Q从点C出发，沿CO方向匀速运动，速度为1cm/s；若P、Q两点同时出发，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．过点Q作MQ∥BC，交BD于点M，设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题：（1）求t为何值时，线段AQ、线段PM互相平分．（2）设四边形APQM的面积为Scm2，求S关于t的函数关系式；设菱形ABCD的面积为SABCD，求是否存在一个时刻t，使S：SABCD=2：5？如果存在，求出t，如果不存在，请说明理由．（3）求时刻t，使得以M、P、Q为顶点的三角形是直角三角形．六、（本题10分） (共1题；共10分)25. （10分） (2018九上·下城期末) 一个斜抛物体的水平运动距离为x（m），对应的高度记为h（m），且满足h＝ax2+bx﹣11a（其中a≠0）．已知当x＝0时，h＝2；当x＝10时，h＝2．（1）求h关于x的函数表达式．（2）求斜抛物体的最大高度和达到最大高度时的水平距离．七、（本题13分） (共1题；共13分)26. （13.0分） (2016九上·海门期末) 如图，在⊙O中，OE垂直于弦AB，垂足为点D，交⊙O于点C，∠EAC=∠CAB．（1）求证：直线AE是⊙O的切线；（2）若AB=8，sin∠E= ，求⊙O的半径．参考答案一、选择题（下列各题的四个选项中只有一个符合题意.共12小题，每 (共12题；共33分) 1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共5题；共15分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、三、解答题（本题4个小题，每小题6分，共24分） (共4题；共20分)18-1、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、四、（本题7分） (共2题；共14分) 22-1、22-2、23-1、23-2、五、（本题8分） (共1题；共8分)24-1、24-2、24-3、六、（本题10分） (共1题；共10分) 25-1、25-2、七、（本题13分） (共1题；共13分) 26-1、26-2、。
2020-2021学年江苏省无锡市九年级一模数学试题及答案解析
（第8题图）（第7题图）（第9题图）CDOA PBOABxyCF E（第10题图）中考数学模拟试题注意事项： 1．本卷满分130分．考试时间为120分钟．2．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其余各题均应给出精确结果．一、选择题（本大题共10题，每小题3分，共计30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请用2B 铅笔把答题卡上相应的答案．．．．．．．．．涂黑．） 1．－8的相反数是………………………………………………………………………（ ▲ ）A ．8B ．－8C ．0.8D ．－182．若式子a －3在实数范围内有意义，则a 的取值范围是…………………………（ ▲ ） A ．a ＞3 B ．a ≥3 C ．a ＜3 D ．a ≤33．若等腰三角形的顶角为80º，则它的底角度数为…………………………………（ ▲ ） A ．20º B ．50º C ．80º D ．100º4．下列运算正确的是……………………………………………………………………（ ▲ ） A ．x －2x ＝x B ．(xy)2＝xy 2C ．(－2)2＝4D ．2×3＝ 6 5．已知实数a 、b ，若a ＞b ，则下列结论正确的是……………………………………（ ▲ ）A ．a －5＜b －5B ．2＋a ＜2＋bC ．－a 3＞－b3D ．3a ＞3b6．一组数据3，5，7，m ，n 的平均数是6，则m ，n 的平均数是………………………（ ▲ ）A ．6B ．7C ．7.5D ．157．如图⊙O 中，直径AB 垂直于弦CD ，垂足为P ．若CD ＝8，OP ＝3，则半径为（ ▲ ）A．10 B．8 C．5 D．38．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90º，AB＝3，BC＝4，点D在BC上，以AC为对角线的所有□ADCE 中，DE的最小值是……………………………………………………（▲）A．2 B．3 C．4 D．59．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，延长BA和CD交于点P，已知△PAD和△ODC的面积分别为20和6，则△PBC的面积为………………（▲）A．40 B．42 C．45 D．4810．如图，点A是函数y＝1x图象上的一点，点B、C的坐标分别为B（－2，－2），C（2，2）．试利用性质：“y＝1x图象上的任意一点P都满足|PB－PC|＝22”求解下面问题：作∠BAC的内角平分线AE，过B作AE的垂线交AE于F．当点A在函数y＝1x图象上运动时，点F也总在一图形上运动，该图形为………………（▲）A．圆B．双曲线C．抛物线D．直线二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共计16分．请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．）11．若分式x 2－1x ＋1的值为0，则实数x 的值为 ▲ .12．因式分解：x 3－9x ＝ ▲ .13．已知点P （a ，b ）在一次函数y ＝2x ＋3的图象上，则2a －b 的值为 ▲ .14．据国家旅游部门统计，今年“五一”小长假期间，全国旅游市场趋势良好，假期旅游总收入达到32100万亿元，将32100万亿用科学记数法表示为 ▲ 万亿. 15．已知圆锥的母线长为5cm ，侧面积是15πcm 2，则它的底面半径是 ▲ cm.16．如图，△ABC 中，∠A ＝90º，点D 在AC 边上，DE ∥BC ，若∠1＝155º，则∠B 的度数为 ▲ . 17．如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，连接AE 、DE ，将△DEC 沿线段DE 翻折，点C恰好落在线段AE 上的点F 处．若AB ＝6，BE :EC ＝4 :1，则线段DE 的长为 ▲ .18．在平面直角坐标系中，直角梯形AOBC 的位置如图所示，∠OAC ＝90°，AC ∥OB ，OA ＝4，AC＝5，OB ＝6．M 、N 分别是线段AC 、线段BC 上的动点，当△MON 的面积最大且周长最小时，点M 的坐标为 ▲ .三、解答题（本大题共10小题，共计84分．解答需写出必要的文字说明或演算步骤.） 19．（本题满分8分）计算：（1）2－2＋8－12sin30º； （2）(1＋1x －1)÷x x 2－1．（第16题图）AOBxy 11C MN（第18题图）AEDF（第17题图）CB（第24题图）20．（本题满分8分）（1）解方程：x 2－2x ＝2x －1； （2）解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＜6 x 2≤x 3＋1.21．（本题满分8分）如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝45º，直线l 经过A 点，BD ⊥l ，CE ⊥l ，垂足分别为D 、E ， 先证明△BDA ≌△AEC ，然后直接写出BD 、DE 、EC 之间的数量关系.22．（本题满分8分）一不透明的袋子中装有3个大小、质地都相同的乒乓球，球面上分别标有数字1、2、3．先从袋中任意取出一球后放回，搅匀后再从袋中任意取出一球．若把两次号码之积作为一个两位数的十位上的数字，两次号码之和作为这个两位数的个位上的数字，求所组成的两位数是偶数的概率．（请用“画树状图”或“列表”的方法给出分析过程，并写出结果）23．（本题满分8分）某厂为了解工人在单位时间内加工同一种零件的技能水平，随机抽取了50名工人加工的零件进行检测，统计出他们各自加工的合格品数是1-8这8个整数，现提供统计图的部分信息如图，请解答下列问题：lADEC（1）根据统计图，求这50名工人加工出的合格品数的中位数； （2）写出这50名工人加工出的合格品数的众数的可能取值；（3）厂方认定，工人在单位时间内加工出的合格品数不低于3件为技能合格，否则，将接受技能再培训．已知该厂有同类工人400名，请估计该厂将接受技能再培训的人数．24．（本题满分8分）如右上图，某景区内一酒楼的顶部竖有一块宣传牌CD ．现在前方山坡的坡脚A 处测得牌子底部D 的仰角为60º，沿山坡向上走到B 处测得牌子顶部C 的仰角为45º．已知山坡AB 的坡度i ＝1:3，AB ＝10米，AE ＝15米，求这块宣传牌CD 的高度．（测角仪的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：2≈1.414，3≈1.732）25．（本题满分8分）某物流公司的甲、乙两辆货车分别从A 、B 两地同时相向而行，并以各自的速度匀速行驶，途经配货站C ，甲车先到达C 地，并在C 地用1小时配货，然后按原速度开往B 地，乙车从B 地直达A 地，下图是甲、乙两车间的距离y （千米）与乙车出发x （时）的函数的部分图像．（1）A 、B 两地的距离是_________千米，甲车出发_________小时到达C 地；（2）求乙车出发2小时后直至到达A 地的过程中，y 与x 的函数关系式及x 的取值范围，并在图中补全函数图像；30030y (千米)x (时21.5 O（第25题图）（3）乙车出发多长时间，两车相距150千米？26．（本题满分10分）如图，在直角三角形ABC 中，∠C ＝90º，∠A ＝30º，AC ＝4，将△ABC 绕点A 逆时针旋转60º，使点B 落在点E 处，点C 落在点D 处．P 、Q 分别为线段AC 、AD 上的两个动点，且AQ ＝2PC ，连接PQ 交线段AE 于点M ．（1）设AQ ＝x ，△APQ 面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； （2）若以点P 为圆心，PC 为半径的圆与边AB 相切，求AQ 的长；（3）是否存在点Q ，使得△AQM 、△APM 和△APQ 这三个三角形中一定有两个三角形相似？若存在，请求出AQ 的长；若不存在，请说明理由．27．（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，Rt △OAB 的直角边OA 在x轴正半轴上，且OA ＝4，AB ＝2，将△OAB 沿某条直线翻折，使OA 与y 轴正半轴的OC 重合．点B 的对应点为点D ，连接AD 交OB 于点E ． （1）求经过O 、A 、D 三点的抛物线的解析式；（2）若动点P 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO 运动，线段AP 的垂直平分线交直线AD 于点M ，交（1）中的抛物线于点N ，设线段MN 的长为d （d ≠0），点P 的运动时间为t 秒，求d 与t 之间的函数关系式（直接写出自变量t 的取值范围）；B CD E PQM（第26题图）ABCD EE ’A ’ ’C ’’ （第28题图）AOCxE BD（第27题图）y（3）在（2）的条件下，连接PM，当t为何值时，直线PM与过D、E、O三点的圆相切，并求出此时切点的坐标．28．（本题满分8分）如图所示，五边形ABCDE的每条边所在直线沿该边垂直方向向外平移4个单位，得到新的五边形A’B’C’D’E’.（1）图中5块阴影部分能拼成一个五边形吗？说明理由；（2）证明五边形A’B’C’D’E’的周长比五边形ABCDE的周长至少增加25个单位.初三数学适应性考试参考答案与评分标准一、选择题：（每题3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ABBDDCCBCA三、解答题：19．（共8分）（1）解：原式＝14＋22－14……………(3分) ＝22…………… (4分)（2）解：原式＝x x －1×(x ＋1)(x －1)x ……………………(3分) ＝x ＋1…………… (4分)20．（共8分）（1）化简，得 x 2－4x －1＝0……………………………………… (1分) 解得 x ＝4±202………… (3分)，即x ＝2±5…………… (4分)（2）由①解得，x ＞－2……………………………………………………………… (1分)由②解得，x ≤6………………………………………………………………… (3分) 故原不等式组的解集是－2＜x ≤6………………………………………………(4分) 21.（共8分）证明全等………………………………………………………………(5分)线段间数量关系BD ＋CE ＝DE ……………………………………… (8分)22.（共8分）（1）只需按“求和”画树状图或列表，略…………………………(4分) 由树状图（或表格）可知共有等可能的结果9种…………….………….………(5分) 其中个位数字是偶数的结果有5种，………………………………………………(6分)P （组成的两位数是偶数）＝59………………………………………………………(8分)23.（共8分）（1）4……………………………………………………………………(2分) （2）众数可能为4，5，6………………………………………………………………(5分) （3）这50名工人中，合格品低于3件的人数为2＋6＝8（人）……………………(6分)故该厂将接受再培训的人数约有400×850＝64（人）…………………………(8分)24.（共8分）作BG ⊥CE 于G ，BH ⊥AE 于H ………………………………………(1分)在Rt △ABH 中，AB ＝10，i ＝tan ∠BAH ＝33，∴BH ＝5，AH ＝53…………(2分) 在Rt △ADE 中，AE ＝15，∠DAE ＝60º，∴DE ＝153………………………(3分) 在Rt △CBE 中，BG ＝HE ＝53＋15，∠CBG ＝45º，∴CG ＝53＋15…………(4分) ∴CD ＝CG ＋BH －DE ＝53＋15＋5－153＝20－103≈2.7（米）……………(7分) 答：这块宣传牌CD 的高度约为2.7米………………………………………………(8分) 25.（共8分）（1）300，1.5………………………………………………………………(2分)（2）y ＝⎩⎨⎧60x －120，2≤x ≤2.5180x －420，2.5＜x ≤3.560x ，3.5＜x ≤5…………………………………………………………(5分)………………………………(6分)（3）乙车出发56或316小时，两车相距150千米.26.（共10分）（1）y ＝－38x 2＋3x （0＜x ≤4）………………………………………(3分) （2）此时，BP ＝AP ，由x 2＋x ＝4，解得x ＝83，即AQ 为83………………………………(5分)（3）①若△AQM 与△APM 相似，恰好全等，则AP ＝AQ ＝x ，x 2＋x ＝4，故x ＝83……(6分)②若△AQM 与△APQ 相似，只能△AQM ∽△PQA ，∴∠APQ ＝∠MAQ ＝30º………(7分) ∴PQ ⊥AD ，于是AC ＝x 2＋2x ＝4，故x ＝85……………………………………………(8分)③若△APM 与△APQ 相似，只能△APM ∽△QPA ，∴∠AQP ＝∠MAP ＝30º………(9分) ∴PQ ⊥AC ，于是AC ＝x 2＋x2＝4，故x ＝4……………………………………………(10分)综上所述，当AQ 的长为83或85或4时，△AQM 、△APM 和△APQ 这三个三角形中一定有两个三角形相似.27.（共10分）（1）y ＝－x 2＋4x …………………………………………………………(2分) （2）当0＜t ＜4时，d ＝－14t 2＋t …………………………………………………………(4分)当t ＞4时，d ＝14t 2－t …………………………………………………………………(6分)（3）当t ＝32时，切点（3，1）……………………………………………………………(8分)当t ＝132时，切点（－1，3）………………………………………………………(10分)28．（共8分）（1）图中5块阴影部分能拼成一个五边形…………………………… (1分) 说明两点：一是长为4的一些边的重合，二是五个中心角合成360º…………… (4分) （2）画出5块阴影部分拼成一个五边形的示意图（可放大）………………………… (5分)。
2024年江苏省无锡外国语学校中考数学一模试题(原卷版)
2024年江苏省无锡外国语学校中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1. 实数9的平方根为（ ）A. 3B. C. D. 2. 函数中，自变量的取值范围为（ ）A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 4. 将函数图象向右平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式是（ ）A. B. C. D. 5.分式的计算结果是（ ）A. B. C. D. 6. 如图，，，是正方形网格的格点，连接，，则的值是（ ）A B. C. D. 7. 已知一组数据，，，，的平均数是2，方差是3，那么另一组数据，，，，的平均数和方差分别是（ ）A. 2，3B. 2，9C. 4，18D. 4，278. 下列四个命题不正确的是（ ）A. 各角相等圆内接五边形是正五边形B. 各边相等的圆内接五边形是正五边形C. 各角相等的圆内接六边形是正六边形D. 各边相等的圆内接六边形是正六边形的.的3±y =x 3x ≥3x >3x <3x ≠246325a a a +=236a a a ⋅=()32626a a =()23624a a -=31y x =-+31y x =--33y x =-+37y x =-+35y x =--111(1)a a a +++11a +1a a +1a 1a a+A B C AC AB tan BAC ∠1213151x 2x 3x 4x 5x 132x -232x -332x -432x -532x -9. 如图，在正方形中，是延长线上一点，在上取一点，使点关于直线的对称点落在上，连接交于点，连接交于点，连接．现有下列结论：①；②；③；④若，，则，其中正确的是（ ）A. ②③④B. ①②③C. ①③④D. ①②④10. 二次函数，若当时，，则当时，函数值的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分）11. 分解因式：2a 3﹣8a =________．12. 年月日，李强总理在十四届全国人大二次会议上提到年全国城镇新增就业万人，将数据万用科学记数法表示______．13. 某一次函数的图象经过点，且函数的值随着自变量的增大而减小，请你写一个符合条件的函数表达式：___．14. 已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i =1：2.4，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为______米．15. 等边△AOB 的边长为4，如图所示地放置在平面直角坐标系中，点B 绕点A 旋转30°，恰好落在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则k ＝_____．16. 如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M 与圆心O 重合，则图中阴影部分的面积是________．是ABCD E BC AB F B EF G AD EG CD H BH EF M CM BHG BHC ∠=∠GBH BCM ∠=∠GD =1AG =2GD =BM =2104y x x a a ⎛⎫=-+<< ⎪⎝⎭x t =0y <1x t =-y 102y <<02y <<112y <<122y <<202435202312441244()2,3-y x k x17. 已知函数，且关于、的二元一次方程有两组解，则的取值范围是__．18. 如图，在正方形中，点E ，F 分别在，上，且，分别交，于点M ，N ．设和的面积分别为和，若，则的值为______．三、解答题（本大题共8小题，共96分）19. （1（2）化简：．20. （1）解方程：；（2）解不等式组：．21. 如图，、是的对角线上两点，．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）连接交于，若，，求的长．22. 某校组织了一次防溺水、防交通事故、防食物中毒、防校园欺凌及其他各种安全意识的调查活动，了解同学们在哪些方面的安全意识薄弱，便于今后更好地开展安全教育活动．根据调查结果，绘制出图1，图2两幅不完整的统计图．()()1010x x y x x ⎧+≥⎪=⎨--<⎪⎩x y 20ax a y --=a ABCD BC AB DE DF ＝AC DE DF DMN AFN 1S 2S 212S S =tan ADF ∠()1tan 45-︒()()()2232323a b a b a b --+-2241y y =-53291032x x x x -≤+⎧⎪⎨+>⎪⎩E F ABCD Y BD BE DF =AECF AC BD O AE EC ⊥6AC =OE请结合图中的信息解答下列问题：(1)本次调查的人数为___________，其中防校园欺凌意识薄弱的人数占_________%；(2)补全条形统计图；(3)若该校共有1500名学生，请估计该校学生中防溺水意识薄弱的人数；(4)请你根据题中的信息，给该校的安全教育提一个合理的建议．23. 为创建“全国文明城市”，周末团委组织志愿者进行宣传活动．班主任梁老师决定从4名女班干部（小悦、小惠、小艳和小倩）中通过抽签方式确定2名女生去参加．抽签规则：将4名女班干部姓名分别写在四张完全相同的卡片正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，梁老师先从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下姓名．（1）第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为 ；（2）试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，求出“小惠被抽中”的概率．24. 某蔬菜经销商去蔬菜生产基地批发某种蔬菜，已知这种蔬菜的批发量在20千克千克之间（含20千克和50千克）时，每千克批发价是5元；若超过50千克时，批发的这种蔬菜全部打八折．零售价（元千克）5 5.56 6.57日销售量（千克）9075604530（1）此种蔬菜的日销售量（千克）受零售价（元千克）的影响较大，为此该经销商试销一周获得如上数据（是的一次函数），根据以上数据求出与之间的函数关系式；（2）若每天批发的蔬菜能够全部销售完，且当日零售价不变，那么零售价定为多少时，该经销商销售此~50x /y y x /y x y x种蔬菜的当日利润最大？最大利润为多少元？25. 已知中，，，，点E 、F 分别在边AC 、边BC 上（点E 不与点A 重合，点F 不与点B 重合），连接EF ，将沿着直线EF 翻折后，点C 恰好落在边AB 上的点D 处，过点D 作，交射线AC 于点M ．设，．（1）如图1，当点M 与点C 重合时，求的值；（2）如图2，当点M 在线段AC 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）当时，求AD 的长．26. 某数学兴趣小组，开展项目式学习，问题如下：如图，抛物线与轴正半轴分别交于、两点（点在点的右边），与轴交于点，点为抛物线上位于第一象限内的一动点（在的右侧），过点、的直线交轴于点，过点、的直线交轴于点，连接、、，试探究、、、之间的数量关系．为研究该问题，小组拟采用问题研究的一般路径一一从特殊到一般的研究方法：（1）设，，．①若点的横坐标为3，请计算 ；比较大小： （填“”，“ ”或“”）．Rt ABC △90C ∠=︒30B ∠=︒4AB =CEF △DM AB ⊥AD x =CF y CE=MD ED12CM CE =()20y ax bx c a =++>x A B B A y C P P B A P y M B P y N BM BC AC CM CN OA OB 1a =3b =-2c =P CM CN =OA OB CM CN<>=②若点横坐标为，上述与之间的数量关系是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（2）小明在研究时发现：当、两点的横坐标为，时，将抛物线变形为，研究此问题更加方便，请借助小明的发现验证你的猜想．（3）请利用上述经验，解决项目式问题，若，请直接写出的取值范围 ．的P m OA OB CM CNA B 1x ()212x x x <()()12y a x x x x =--BCM ACM BCM S S k S -= k。
2023年江苏省无锡市中考数学第一次模拟考试试卷附解析
2023年江苏省无锡市中考数学第一次模拟考试试卷学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．有一个被等分成 16 个扇形的转盘，其中有3个扇形，涂上了红色，其余均是白色，转动转盘，当它停止时，指针落在红色区域的概率是（ ）A ．316B ．38C ．34D ．13162．下列多边形一定相似的为（ ）A ．两个矩形B ．两个菱形C ．两个正方形D ．两个平行四边形3．对于反比例函数y ＝2x，下列说法不正确．．．的是（ ） A ．点（―2,―1）在它的图象上B ．它的图象在第三象限C ．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大D ．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小4．下列属于反比例函数的是（ ）A ．y ＝－x 3B ．ｙｘ ＝－ 2C ．ｙ＝－４3xD ．ｙ＝１ｘ5．一组数据共40个，分成5组，第1～4组的频数分别是10，5，7，6，第5组的频率是（ ）A ．0.15B ．0.20C ．0.25D ．0.306．下列命题中正确的有（ ）①面积相等的两个三角形全等；②锐角小于它的余角；③两个全等三角形的周长相等；④一组同位角的平分线互相平行．A ．1个B ．2个C 3个D ．4个 7．分式2221m m m m-+-约分后的结果是（ ） A ．1m m n -+ B ．1(1)m m m --+ C ．1m m - D ．1(1)m m m -+ 8．方程组251x y x y -=⎧⎨+=⎩的解是（ ）A ．31x y =⎧⎨=⎩B ．01x y =⎧⎨=⎩C ．21x y =⎧⎨=-⎩D ．21x y =-⎧⎨=⎩ 9．下列等式是由 5x-1 =4x 根据等式性质变形得到的，其中正确的有（ ）①5x-4x=1；②4x-5x=1；③51222x x -=；④6x-1=3x A ．0 个 B ．1 个 C ．2 个 D ．3 个二、填空题10．如图是引拉线固定电线杆的示意图．已知：CD ⊥AB ，CD 33=m ，∠CAD=∠DBD=60°，则拉线AC 的长是 m ．11． 在对物体做功一定的情况下，力F(牛)与此物体在力的方向上移动的距离s(米)成反比例函数关系，其图象如图所示，P(5，1)在图象上，则当力达到10牛时，物体在力的方向上移动的距离是 米．12． 如图，在数轴上，A ，B 两点之间表示整数的点有 个.13．一个四边形的边长分别为a ，b ，c ，d ，其中a ，c 为对边，且满足a 2＋b 2＋c 2＋d 2＝2ac ＋2bd ，则此四边形为 ．14．等腰直角三角形一条直角边的长为1cm ，那么它斜边上的高长是________cm ．15．若一次函数y =kx +b 的图象经过点（0，-2）和（-2，0），则y 随x 的增大而 ___ ．16．如图，OB ⊥OA 于点0，以 OA 为半径画弧，交OB 于点B ，P 是半径OA 上的动点．已知0A=2cm ．设0P=xcm ，阴影部分的面积为ycm 2，则y(cm 2)关于x(cm)的函数解析式为 .17．函数y=3x+5中，自变量x 的取值范围为 ．18．如图，将长方形纸片沿EF 折叠，使C ，D 两点分别落在C ′，D ′处，如果∠1=40°，那么∠2= ．19．如图，DE∥BC，且∠ADE= 62°，∠DEC=112°，则∠B= ，∠C= ．20．如图，在6个图形中，图形①与图形可经过平移变换得到，图形①与图形可经过旋转变换得到，图形①与图形可经过轴对称变换得到，图形⑤与图形可经过相似变换得到(填序号)．21．请你写出一个次数是 3 次的多项式．22．已知24-=，则2a bb a b a---+= ．2(2)3(2)1三、解答题23．用反证法证明“三角形三内角中，至少有一个内角小于或等于60°”.已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角.求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个小于或等于60°.证明：假设求证的结论不成立，即 .∴∠A+∠B+∠C> ，这与相矛盾，∴假设不成立，∴ .24．如图所示，□ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，AF与BE交于点G，DF与CE交于点H，则四边形EGFH是平行四边形吗?请说明理由．25．如图，已知△ABC ．(1）求AC 的长；(2）若将△ABC 向右平移2个单位．得到A B C '''∆，求点A 的对应点A '的坐标；(3）若将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转90°后，得到△11A B C ∆，求点A 的对应点1A 的坐标．26．试判断：三边长分别为222n n +,21n +、2221n n ++(n>O)的三角形是否是直角三角形?并说明理由．27．下面让我们来探究生活中有关粉刷墙壁时，刷具扫过面积的问题：（π≈3.14）(1）甲工人用的刷具形状是一根细长的棍子（如图（1），长度AB 为20cm （宽度忽略不计），他把刷具绕A 点旋转90度，则刷具扫过的面积是多少？(2）乙工人用的刷具形状是圆形（如图（2）），直径CD 为20cm ，点O 、C 、D 在同一直线上，OC=30cm ，他把刷具绕O 点旋转90度，则刷具扫过的面积是多少？28．认真观察图①的4个图中阴影部分构成的图案，回答下列问题：(1)请写出这四个图案都具有的两个共同特征．特征一：；特征二：．(2)请在图②中设计出你心中最美丽的图案，使它也具备你所写出的上述特征．29．甲、乙两车站相距400 km，慢车从甲站出发，速度为100 km／h，快车从乙站出发，速度为l40 km／h．(1)两车相向而行，慢车先开24 min，快车行驶多长时间两车相遇?(2)两车同时开出，同向而行，慢车在前，两车出发多久后快车追上慢车?30．图中 3×3 方格是从月历表中取下的，正中方格的日期是n，请用适当的代数式填入各个空格，表示所填入空格的日期，然后比较两条对角线的五个日期数之和，你发现了什么规律？【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．A2．C3．C4．Ｃ5．D6．A7．C8．C9．C二、填空题10．611．0.512．413．平行四边形14．15．减小16．y x π=-(0≤x ≤2)17．任何实数18．70°19．62°，68°20．③，②，④，⑥21．如. 3221x x ++22．45三、解答题23．没有一个内角小于或等于60°，180°，三角形的内角和为 180°，三角形三内角中至少有一个小于或等于60°24．证明四边形AFCE ，EBFD 是平行四边形，得AF ∥CE ，BE ∥DF ，即四边形EGFH 是平行四边形25．(1)AC =(2)A ′(1,2)：(3)A1(3,0)26．是直角三角形，理由略27．(1）314cm2；(2)1570cm 2．28．(1)特征一：都是轴对称图形；特征二：这些图形的面积都等于4个单位面积等；(2)图略29．（1）32h (2)10 h30．两条对角线上的三个日期数之和都等于3n。
2023年江苏省无锡外国语学校中考数学一模试卷【答案版】
2023年江苏省无锡外国语学校中考数学一模试卷一、选择题（共30分） 1．−23的相反数是（ ） A ．23B ．−32C ．32D ．−232．函数y =√2x +1中的自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ≠−12B ．x ＞−12C ．x ≥−12D ．x ≤−123．下列图形既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．下列运算结果正确的是（ ） A ．2a +3b ＝5ab B ．（﹣2a 3）2＝4a 6 C ．x 8÷x 4＝x 2D ．（a +2）•（2﹣a ）＝a 2﹣4 5．为了增强学生预防新冠肺炎的安全意识，某校开展疫情防控知识竞赛，来自不同年级的26名参赛同学的得分情况如图所示，这些成绩的众数和中位数分别是（ ）A ．98，98B ．98，97C ．96，98D ．96，966．已知有理数x ，y 满足方程组{3x −y =32y −x =−4，则2x +y 的值为（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．27．如图，▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，添加下列条件不能证明▱ABCD 是菱形的是（ ）A ．∠ABD ＝∠ADB B ．AC ⊥BDC ．AB ＝BCD ．AC ＝BD8．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠ABC ＝135°，AC ＝1，则⊙O 的半径为（ ）A ．4B ．2√2C ．√3D ．√229．如图，在△ABC 中，D 是AC 边上的中点，连接BD ，把△BDC 沿BD 翻折，得到△BDC ′，DC '与AB 交于点E ，连接AC ′，若AD ＝AC ′＝2，BD ＝3，则点D 到BC 的距离为（ ）A ．27√21 B ．75√23C ．3√217D ．27√2310．定义在平面直角坐标系xOy 中，若某函数的图象上存在点P （x ，y ），满足y ＝mx +m ，m 为正整数，则称点P 为该函数的“m 倍点”，例如：m ＝2时，点（﹣2，﹣2）即为函数）＝3x +4的“2倍点”． ①点（﹣3，﹣2）是函数y =6x 的“1倍点”；②若函数y ＝﹣x 2+bx 存在唯一的“3倍点”，则b 的值为3+2√3；③若函数y ＝﹣x +2m +1的“m 倍点”在以点（﹣1，5）为圆心，2m 为半径的圆内，则m 为大于1的所有整数．上述说法正确的有（ ） A ．①B ．①②C ．①③D ．①②③二、填空题（共24分）11．风能是一种清洁能源，我国风能储量很大，仅陆地上风能储量就有253000兆瓦，用科学记数法表示为 兆瓦．12．因式分解：2x 2﹣2＝ ．13．圆锥底面圆的半径为3m ，母线长为6m ，则圆锥的侧面积为 ． 14．命题“如果a ＞b ，则|a |＞|b |”是 命题（填“真”或“假”）． 15．计算x 2x−1−11−x的结果是 ．16．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝15，BC ＝8，则此Rt △ABC 的重心P 与外心Q 之间的距离为．17．如图，正比例函数y＝﹣2x与反比例函数y=−8x（x＜0）的图象有一个交点A，直线BC∥OA，交反比例函数的图象于点B，交y轴于点C，若BC＝2OA，则直线BC的解析式为．18．如图，在平面直角坐标系中，已知A（4，0），射线OT满足tan∠TOA=12，点P为射线OT上的一个动点，过P作PB⊥x轴于B，过A作AC⊥射线OT交BP延长线于点C，连接AP并延长交OC于点D．过D作DE∥射线OT交x轴于点E．（1）若OB＝2，则C坐标为；（2）AE的最大值为.三、解答题（共96分）19．（8分）计算与化简：（1）（﹣2）﹣1+2cos30°−√9．（2）（a+1）﹣（a﹣2）﹣（a﹣3）2．20．（8分）解方程与不等式组：（1）2x2﹣2x﹣1＝0；（2）{3x−(x−2)＞6 2x+13≤x．21．（10分）已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，点E，D，B，F在同一条直线上，∠E＝∠F．（2）若DE＝4，BD＝6．求DF的长．22．（10分）为了解中考体育科目训练情况，某校从九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：（1）本次抽样测试的学生人数是；（2）图②中∠α的度数，并把图①条形统计图补充完整；（3）若该校九年级有学生800名，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数．体育测试各个等级学生人数．23．（10分）今年以来，人工智能概念风靡全球，百度公司在3月16日推出了问答虚拟机器人一一文心一言，它不仅能说会道，还会画画写诗．我校科学小组在研究到它的原理后，给大家出了这样一道题：现要从“白日”、“依山尽”、“黄河”、“入海流”四个词中选出两个不同的词．（若每个词被选中的机会均等）（1）若第一次已选出“白日”，则第二次选出“依山尽”的概率为；（2）请用列表或树状图的方法，求“白日”和“依山尽”一起被选中的概率．24．（10分）如图，在⊙O中，AB为直径，BC为弦，点D在BC的延长线上，线段AD交⊙O于点E，过点E作EF∥BC分别交⊙O、AB于点F、G，连接BF．（2）当∠D＝45°，AB＝10，AD=8√2时，求FG的长．25．（10分）已知在△ABC中，∠A＞90°．（1）如图，请用无刻度的直尺和圆规作出点O，使得⊙O与AB、BC所在直线相切，且与BC的切点为点C；（不写作法，但保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，已知AB＝3，BC＝6，⊙O的半径为2，则△ABC的面积为．26．（10分）某批发商以24元/箱的进价购进某种蔬菜，销往零售超市，已知这种蔬菜的标价为45元/箱，实际售价不低于标价的八折，且不高于标价．批发商通过分析销售情况，发现这种蔬菜的日销售量y（箱）与当天的售价x（元/箱）满足一次函数关系，下表是其中的两组对应值．（1）直接写出y与x的函数关系式：；（2）若某天该批发商销售这种蔬菜获利1320元，则当天这种蔬菜售价为多少元/箱？（3）批发商搞优惠活动，购买一箱这种蔬菜，赠送成本为6元的土豆，这种蔬菜的售价定为多少元/箱时，可使得日销售利润最大，最大日销售利润是多少元？27．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+√2cx+c与x轴交于点A和B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，√2）．P是抛物线上一动点（不与点C重合），过点C作平行于x轴的直线，过点P作PD∥y轴交CD于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）当△CDP为等腰直角三角形时，求点D的坐标；（3）将△CDP绕点C顺时针旋转45°，得到△CD'P′（点D和P分别对应点D'和P′），若点P′恰好落在坐标轴上，请直接写出此时点P的坐标．28．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点M是射线DC上的一个动点，连接AM，过B作BP⊥AM于点P．（1）如图①．当点M为边DC中点时，连接CP并延长交AD于点E．①求证：AE＝EP；②AE的长为.（直接写出答案）（2）如图②，点Q在AD边上，且DQ＝1，当∠CPQ＝90°时，求DM的长.2023年江苏省无锡外国语学校中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共30分） 1．−23的相反数是（ ） A ．23B ．−32C ．32D ．−23解：根据相反数的含义，可得−23的相反数等于：﹣（−23）=23． 故选：A ．2．函数y =√2x +1中的自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ≠−12B ．x ＞−12C ．x ≥−12D ．x ≤−12解：由题意得：2x +1≥0，解得：x ≥−12， 故选：C ．3．下列图形既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．解：即是轴对称图形，也是中心对称图形的是A 选项中的图形． 故选：A ．4．下列运算结果正确的是（ ） A ．2a +3b ＝5ab B ．（﹣2a 3）2＝4a 6 C ．x 8÷x 4＝x 2D ．（a +2）•（2﹣a ）＝a 2﹣4 解：A 、2a +3b 不能计算，故此选项不符合题意； B 、（﹣2a 3）2＝4a 6，故此选项符合题意； C 、x 8÷x 4＝x 4，故此选项不符合题意；D 、（a +2）•（2﹣a ）＝（2+a ）•（2﹣a ）＝4﹣a 2，故此选项不符合题意． 故选：B ．5．为了增强学生预防新冠肺炎的安全意识，某校开展疫情防控知识竞赛，来自不同年级的26名参赛同学的得分情况如图所示，这些成绩的众数和中位数分别是（ ）A ．98，98B ．98，97C ．96，98D ．96，96解：∵98分出现了10次，出现的次数最多， ∴这些成绩的众数是98分；∵共有26个数，把这些数从小到大排列，中位数是第13、14个数的平均数， ∴这些成绩的中位数是98+962=97（分）．故选：B ．6．已知有理数x ，y 满足方程组{3x −y =32y −x =−4，则2x +y 的值为（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．2解：{3x −y =3①2y −x =−4②，由①+②得：3x ﹣y +2y ﹣x ＝3+（﹣4）， 化简得：2x +y ＝﹣1， 故选：A ．7．如图，▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，添加下列条件不能证明▱ABCD 是菱形的是（ ）A ．∠ABD ＝∠ADB B ．AC ⊥BD C ．AB ＝BC D ．AC ＝BD解：A 、∵∠ABD ＝∠ADB ， ∴AB ＝AD ，∴▱ABCD 是菱形，故选项A 不符合题意； B 、∵四边形ABCD 是平行四边形，AC ⊥BD ， ∴▱ABCD 是菱形，故选项B 不符合题意； C 、∵四边形ABCD 是平行四边形，AB ＝BC ， ∴▱ABCD 是菱形，故选项C 不符合题意， D 、∵四边形ABCD 是平行四边形，AC ＝BD ，∴▱ABCD 是矩形，故选项D 符合题意； 故选：D ．8．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠ABC ＝135°，AC ＝1，则⊙O 的半径为（ ）A ．4B ．2√2C ．√3D ．√22解：连接OA ，OC ，∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∠ABC ＝135°， ∴∠ADC ＝45°，∴∠AOC ＝90°， 由勾股定理得：OA 2+OC 2＝AC 2， ∵OA ＝OC ，AC ＝1， ∴OA 2+OC 2＝12， ∴2OA 2＝1， ∴OA =√22，∴⊙O 的半径为√22． 故选：D ．9．如图，在△ABC 中，D 是AC 边上的中点，连接BD ，把△BDC 沿BD 翻折，得到△BDC ′，DC '与AB 交于点E ，连接AC ′，若AD ＝AC ′＝2，BD ＝3，则点D 到BC 的距离为（ ）A ．27√21 B ．75√23 C ．3√217D ．27√23解：如图，连接CC '，交BD 于点M ，过点D 作DH ⊥BC '于点H ，∵AD ＝AC ′＝2，D 是AC 边上的中点， ∴DC ＝AD ＝2，由翻折知，△BDC ≌△BDC '，BD 垂直平分CC '， ∴DC ＝DC '＝2，BC ＝BC '，CM ＝C 'M ， ∴AD ＝AC ′＝DC '＝2， ∴△ADC '为等边三角形，∴∠ADC '＝∠AC 'D ＝∠C 'AC ＝60°， ∵DC ＝DC '，∴∠DCC '＝∠DC 'C =12×60°＝30°， 在Rt △C 'DM 中， ∠DC 'C ＝30°，DC '＝2， ∴DM ＝1，C 'M =√3DM =√3， ∴BM ＝BD ﹣DM ＝3﹣1＝2， 在Rt △BMC '中，BC '=√BM 2+C′M 2=√22+(√3)2=√7， ∵S △BDC '=12BC '•DH =14BD •CM ， ∴√7DH ＝3×√3， ∴DH =3√217， ∵∠DCB ＝∠DBC '， ∴点D 到BC 的距离为3√217， 故选：C ．10．定义在平面直角坐标系xOy 中，若某函数的图象上存在点P （x ，y ），满足y ＝mx +m ，m 为正整数，则称点P 为该函数的“m 倍点”，例如：m ＝2时，点（﹣2，﹣2）即为函数）＝3x +4的“2倍点”．①点（﹣3，﹣2）是函数y =6x的“1倍点”；②若函数y ＝﹣x 2+bx 存在唯一的“3倍点”，则b 的值为3+2√3；③若函数y ＝﹣x +2m +1的“m 倍点”在以点（﹣1，5）为圆心，2m 为半径的圆内，则m 为大于1的所有整数．上述说法正确的有（ ） A ．①B ．①②C ．①③D ．①②③解：①当m ＝1时，∵mx +m ＝﹣3×1+1＝﹣2，﹣3×（﹣2）＝6， ∴点（﹣3，﹣2）是函数y =6x 的“1倍点”； ∴①正确；②当m ＝3时，y ＝3x +3，∵函数y ＝﹣x 2+bx 存在唯一的“3倍点”， ∴3x +3＝﹣x 2+bx ， ∴x 2+（3﹣b ）x +3＝0， ∴Δ＝（3﹣b ）2﹣4×1×3＝0， ∴b ＝3±2√3； ∴②错误；③）∵{y =−x +2m +1y =mx +m ，∴{x =1y =2m， ∴函数y ＝﹣x +2m +1的“m 倍点”为（1，2m ），如图所示，直线x ＝1与⊙A 交于点B ，连接AB ，过点B 作BC ⊥y 轴于C ，∴AC =√(2m)2−22=√4m 2−4， ∴5−√4m 2−4＜2m ， ∴m ＞2920， ∵m 为正整数， ∴m ＞1的所有整数． ∴③正确． 故选：C ．二、填空题（共24分）11．风能是一种清洁能源，我国风能储量很大，仅陆地上风能储量就有253000兆瓦，用科学记数法表示为 2.53×105 兆瓦．解：数字253000用科学记数法可表示为2.53×105． 故答案为：2.53×105．12．因式分解：2x 2﹣2＝ 2（x +1）（x ﹣1） ． 解：原式＝2（x 2﹣1）＝2（x +1）（x ﹣1）． 故答案为：2（x +1）（x ﹣1）．13．圆锥底面圆的半径为3m ，母线长为6m ，则圆锥的侧面积为 18πcm 2 ． 解：圆锥的侧面积＝6×6π÷2＝18πcm 2． 故答案为：18πcm 2．14．命题“如果a ＞b ，则|a |＞|b |”是 假 命题（填“真”或“假”）． 解：当a ＝1，b ＝﹣2时，满足a ＞b ， 但|1|＜|﹣2|，不满足|a |＞|b |，∴命题“如果a ＞b ，则|a |＞|b |”是假命题， 故答案为：假． 15．计算x 2x−1−11−x 的结果是x 2+1x−1 ．解：x 2x−1−11−x =x 2x−1+1x−1=x 2+1x−1；故答案为：x 2+1x−1．16．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝15，BC ＝8，则此Rt △ABC 的重心P 与外心Q 之间的距离为176．解：根据题意可知，C 、P 、Q 三点共线． 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝15，BC ＝8， ∴AB =√AC 2+BC 2=√152+82=17， ∵Rt △ABC 的外心为Q ， ∴Q 为斜边AB 的中点， ∴CQ =12AB =172， ∵Rt △ABC 的重心为P ， ∴PQ =13CQ =176． 故答案为：176．17．如图，正比例函数y ＝﹣2x 与反比例函数y =−8x（x ＜0）的图象有一个交点A ，直线BC ∥OA ，交反比例函数的图象于点B ，交y 轴于点C ，若BC ＝2OA ，则直线BC 的解析式为 y ＝﹣2x ﹣6 ．解：过点C 作直线l 平行于x 轴，分别过点A 、点B 作AE ⊥x 轴，BF ⊥l ，垂足分别为点E 、F ，∵直线BC ∥OA ，∴可设BC 直线为y ＝﹣2x +b ，∵正比例函数y ＝﹣2x 与反比例函数y =−8x （x ＜0）图象有一个交点A ，{y =−2x y =−8x ，解得：{x =2y =−4（x ＝2时，y ＝﹣4，此时的点在第四象限不符合题意舍去）， 或{x =−2y =4∴点A 坐标为（﹣2，4），∵直线BC ∥OA ，BC ＝2OA ，△AEO ∽△BFC ， ∴AO BC=12=AE BF=OE CF，即12=4BF=2FC，∴FC ＝4，BF ＝8，∵点B 在反比例函数y =−8x（x ＜0）的图象上， ∴把点B 的横坐标﹣4代入解析式得y =−8−4=2， ∴点B 的坐标为（﹣4，2）， ∴OC ＝BF ﹣2＝8﹣2＝6， ∴点C 坐标为（0，﹣6），∴代入BC 直线y ＝﹣2x +b ，即﹣6＝b ， ∴直线BC 的解析式为：y ＝﹣2x ﹣6． 故答案为：y ＝﹣2x ﹣6．18．如图，在平面直角坐标系中，已知A （4，0），射线OT 满足tan ∠TOA =12，点P 为射线OT 上的一个动点，过P 作PB ⊥x 轴于B ，过A 作AC ⊥射线OT 交BP 延长线于点C ，连接AP 并延长交OC 于点D ．过D 作DE ∥射线OT 交x 轴于点E ． （1）若OB ＝2，则C 坐标为 （2，4） ； （2）AE 的最大值为 2√5+2 .解：（1）∵PB ⊥x 轴，AC ⊥OT ，∴∠ACB ＝90°﹣∠OAC ，∠TOA ＝90°﹣∠OAC ， ∴∠ACB ＝∠TOA ， ∵tan ∠TOA =12，∴tan ∠ACB =12， ∴AB CB=12，∵A （4，0）， ∴OA ＝4， ∵OB ＝2， ∴CB ＝4，∴点C 坐标为（2，4）， 故答案为：（2，4）；（2）由题意，可知点P 是△OAC 的垂心， ∴AD ⊥OC ，∴点D 在以OA 为直径的圆周上，设此圆为⊙F ，如图，要使AE 最大，只要DE 与⊙F 相切即可， 在Rt △FED 中， ∵DE ∥OT ， ∴∠DEA ＝∠TOA ， ∴tan ∠DEA ＝tan ∠TOA =12， ∴FD DE=12，∵FD =12OA ＝2， ∴DE ＝4，∴EF =√DF 2+DE 2=√22+42=2√5， ∴AE 的最大值为EF +F A ＝2√5+2，故答案为：2√5+2．三、解答题（共96分）19．（8分）计算与化简：（1）（﹣2）﹣1+2cos30°−√9．（2）（a+1）﹣（a﹣2）﹣（a﹣3）2．解：（1）（﹣2）﹣1+2cos30°−√9=−12+2×√32−3＝﹣3.5+√3；（2）（a+1）﹣（a﹣2）﹣（a﹣3）2＝a+1﹣a+2﹣a2+6a﹣9＝﹣a2+6a﹣6．20．（8分）解方程与不等式组：（1）2x2﹣2x﹣1＝0；（2）{3x−(x−2)＞6 2x+13≤x．解：（1）2x2﹣2x﹣1＝0，a＝2，b＝﹣2，c＝﹣1，∵Δ＝4﹣4×2×（﹣1）＝12＞0，∴x=2±√124=1±√32，∴x1=1+√32，x2=1−√32；（2）{3x−(x−2)＞6①2x+13≤x②，解不等式①，得x＞2，解不等式②，得x≥1，∴原不等式组的解集为x＞2．21．（10分）已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，点E，D，B，F在同一条直线上，∠E＝∠F．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若DE＝4，BD＝6．求DF的长．（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC ， ∴∠ADB ＝∠DBC ， 在△ADE 和△CBF 中，{∠E =∠F∠ADE =∠CBF AD =CB， ∴△ADE ≌△CBF （AAS ）； （2）解：∵△ADE ≌△CBF ， ∴DE ＝BF ＝4， 又∵BD ＝6，∴DF ＝BD +BF ＝6+4＝10．22．（10分）为了解中考体育科目训练情况，某校从九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A 级：优秀；B 级：良好；C 级：及格；D 级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：（1）本次抽样测试的学生人数是 40 ；（2）图②中∠α的度数 54° ，并把图①条形统计图补充完整；（3）若该校九年级有学生800名，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数．体育测试各个等级学生人数． 解：（1）12÷30%＝40（人）， 故本次抽样测试的学生人数是40人； 故答案为：40；（2）∠α的度数是360°×640=54°，C 级人数为40﹣6﹣12﹣8＝14（人）， 把条形统计图补充完整，如图所示：故答案为：54°． （3）800×840=160（人）． 故不及格的人数约有160人．23．（10分）今年以来，人工智能概念风靡全球，百度公司在3月16日推出了问答虚拟机器人一一文心一言，它不仅能说会道，还会画画写诗．我校科学小组在研究到它的原理后，给大家出了这样一道题：现要从“白日”、“依山尽”、“黄河”、“入海流”四个词中选出两个不同的词．（若每个词被选中的机会均等）（1）若第一次已选出“白日”，则第二次选出“依山尽”的概率为13；（2）请用列表或树状图的方法，求“白日”和“依山尽”一起被选中的概率． 解：（1）第一次已选出“白日”，则第二次选出“依山尽”的概率为13．故答案为：13；（2）根据题意列表如下：共有12中等可能的情况数，其中“白日”和“依山尽”一起被选中的情况数有2种， 则“白日”和“依山尽”一起被选中的概率是212=16．24．（10分）如图，在⊙O中，AB为直径，BC为弦，点D在BC的延长线上，线段AD交⊙O于点E，过点E作EF∥BC分别交⊙O、AB于点F、G，连接BF．（1）求证：△ABD∽△FGB；（2）当∠D＝45°，AB＝10，AD=8√2时，求FG的长．（1）证明：∵EF∥BC，∴∠AGE＝∠ABD，∠AEG＝∠D，∴△AGE∽△ABD，∵∠AEF＝∠ABF，∠F＝∠BAE，∴△AGE∽△FGB，∴△ABD∽△FGB；（2）解：如图，连接BE，AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠BED＝∠AEB＝90°，∠ACD＝∠ACB＝90°，∵AD＝8√2，∠D＝45°，∴AC＝CD＝AD•sin D＝8√2×√22=8，∴BC=√AB2−AC2=√102−82=6，∴BD＝BC+CD＝14，∴DE＝BD•cos D＝14•cos45°＝7√2，∴AE＝AD﹣DE＝8√2−7√2=√2，由（1）知，△AGE∽△ABD，△ABD∽△FGB；∴EG BD =AG AB =AE AD，BGBD=FG AB，∴EG 14=AG 10=√28√2， ∴EG =74，AG =54，∴BG ＝AB ﹣AG ＝10−54=354， ∴35414=FG10，解得FG =254，即FG 的长为254．25．（10分）已知在△ABC 中，∠A ＞90°．（1）如图，请用无刻度的直尺和圆规作出点O ，使得⊙O 与AB 、BC 所在直线相切，且与BC 的切点为点C ；（不写作法，但保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，已知AB ＝3，BC ＝6，⊙O 的半径为2，则△ABC 的面积为275．解；（1）如图，过C 点作BC 的垂线l ，再作∠ABC 的平分线BP ，BP 交直线l 于O 点，然后以O 点为圆心，OC 为半径作图， 则⊙O 为所作；（2）过O 点作OD ⊥BA 于D 点，CO 的延长线交BA 的延长线于点E ，过A 点作AH ⊥CE 于H 点，如图，∵⊙O 与BA ，与BC 相切于点C ，∴OC ⊥BC ，OC ＝OD ＝2，∵BD =√OB 2−OD 2，BC =√OB 2−OC 2，∴BD ＝BC ＝6，∴AD ＝BD ﹣BA ＝3，∵∠EDO ＝∠ECB ，∠OED ＝∠BEC ，∴△EDO ∽△ECB ，∴ED EC =OE BE =OD BC ，即DE OE+2=OE 6+DE =26=13， 即3DE ＝OE +2且3OE ＝6+DE ，解得OE =52，DE =32，∵AH ∥BC ，∴△EAH ∽△EBC ，∴AH BC =EA EB ，即AH 6=92152，解得AH =185，∴S △ABC ＝S △BCE ﹣S △ACE =12×92×6−12×92×185=275． 故答案为：275．26．（10分）某批发商以24元/箱的进价购进某种蔬菜，销往零售超市，已知这种蔬菜的标价为45元/箱，实际售价不低于标价的八折，且不高于标价．批发商通过分析销售情况，发现这种蔬菜的日销售量y （箱）与当天的售价x （元/箱）满足一次函数关系，下表是其中的两组对应值．（1）直接写出y 与x 的函数关系式： y ＝﹣2x +200 ；（2）若某天该批发商销售这种蔬菜获利1320元，则当天这种蔬菜售价为多少元/箱？（3）批发商搞优惠活动，购买一箱这种蔬菜，赠送成本为6元的土豆，这种蔬菜的售价定为多少元/箱时，可使得日销售利润最大，最大日销售利润是多少元？解：（1）设y 与x 之间的函数关系为y ＝kx +b ，根据题意得：{36k +b =128，解得：{k =−2b =200， ∴y ＝﹣2x +200；故答案为：y ＝﹣2x +200；（2）根据题意得：（﹣2x +200）（x ﹣24）＝1920，解得x 1＝34，x 2＝90，∵这种蔬菜售价不低于45×0.8＝36，且不高于45，∴36≤x ≤45，∴34，90都不满足题意，答：当获利为1320元时，当天这种蔬菜的售价无解；（3）设日获得利润为w 元，则w ＝（﹣2x +200）（x ﹣24﹣6）＝﹣2（x ﹣65）2+2450，∵a ＝﹣2＜0，∴抛物线开口向下，∴当x ＜65时，w 的值随x 值的增大而增大，∵这种蔬菜售价不低于45×0.8＝36，∴36≤x ≤45，∴当x ＝45时，W 最大=−2×(45−65)2+2450=1650（元），答：这种蔬菜的售价为45元，可获得最大日利润为1650元．27．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝﹣x 2+√2cx +c 与x 轴交于点A 和B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C （0，√2）．P 是抛物线上一动点（不与点C 重合），过点C 作平行于x 轴的直线，过点P 作PD ∥y 轴交CD 于点D ．（1）求抛物线的解析式；（2）当△CDP为等腰直角三角形时，求点D的坐标；（3）将△CDP绕点C顺时针旋转45°，得到△CD'P′（点D和P分别对应点D'和P′），若点P′恰好落在坐标轴上，请直接写出此时点P的坐标．解：（1）把点C（0，√2）代入抛物线y＝﹣x2+√2cx+c中得：c=√2，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+√2；（2）设点P的坐标为（x，﹣x2+2x+√2），则CD＝|x|，PD＝|﹣x2+2x+√2−√2|＝|﹣x2+2x|，∴点D的坐标为（x，√2），∵△CDP是等腰直角三角形，∴CD＝PD，∴|﹣x2+2x|＝|x|，∴x＝3或x＝0（舍去）或x＝1，故点D的坐标为（3，√2）或（1，√2）；（3）分两种情况：①当点P'落在y轴的负半轴上时，如图2，此时△CDP是等腰直角三角形，则P（3，√2−3）；②当点P'落在x轴的负半轴上时，如图3，过点P作PH⊥y轴于H，将△PCH绕点C顺时针旋转45°得到△CP'H'，则∠HCH'＝45°，∴△COE是等腰直角三角形，∴OC＝OE=√2，CE＝2，∵∠OEC＝∠P'EH'＝45°，∠H'＝∠CHP＝90°，∴△EP'H'为等腰直角三角形，∴EH'＝P'H'，设P（m，﹣m2+2m+√2），∴EH'＝PH＝﹣m，OH＝m2﹣2m−√2，∵CH'＝CH，∴2﹣m=√2+m2﹣2m−√2，解得：m＝2（舍）或﹣1，∴P（﹣1，√2−3），综上所述，点P的坐标为（3，√2−3）或（﹣1，√2−3）．28．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点M是射线DC上的一个动点，连接AM，过B作BP⊥AM于点P．（1）如图①．当点M为边DC中点时，连接CP并延长交AD于点E．①求证：AE＝EP；②AE的长为94.（直接写出答案）（2）如图②，点Q在AD边上，且DQ＝1，当∠CPQ＝90°时，求DM的长.（1）①证明：延长BC ，AM 交于K ，如图：∵M 是CD 的中点，∴DM ＝CM ，∵∠D ＝∠MCK ＝90°，∠AMD ＝∠KMC ，∴△ADM ≌△KCM （ASA ），∴AD ＝CK ＝BC ，∴C 为BK 中点，∵BP ⊥AM ，∴∠BPK ＝90°，∴PC ＝BC ＝CK =12BK ＝4，∴∠K ＝∠CPK ，∵∠APE ＝∠CPK ，∠K ＝∠EAP ，∴∠APE ＝∠EAP ，∴AE ＝EP ；②解：设AE ＝x ，由①知：AE ＝EP ，CP ＝4，∴EP ＝x ，ED ＝4﹣x ，CE ＝4+x ，在Rt △CDE 中，ED 2+CD 2＝CE 2，∴（4﹣x ）2+62＝（4+x ）2，解得x =94，∴AE =94；故答案为：94；（2）解：分两种情况：①点M 在线段CD 上时，过点P 作GH ∥CD ，交AD 于G ，交BC 于H ，如图：设DM ＝x ，QG ＝a ，则DG ＝CH ＝a +1，BH ＝AG ＝4﹣CH ＝4﹣（a +1）＝3﹣a ， ∵PG ∥DM ，∴△AGP ∽△ADM ，∴PG DM =AG AD ，即PG x =3−a 4，∴PG =34x −14ax ，∵∠CPQ ＝90°，∴∠QPG ＝90°﹣∠CPH ＝∠PCH ，∴tan ∠QPG ＝tan ∠PCH ，即QG PG =PH CH ，∴PH •PG ＝QG •CH ，由∠APB ＝90°，同理可得∠APG ＝∠PBH ，∴tan ∠APG ＝tan ∠PBH ，即AG PG =PH BH ，∴PG •PH ＝AG •BH ＝AG 2，∴AG 2＝QG •CH ，即（3﹣a ）2＝a •（a +1），解得a =97，∴PG =34x −14ax =34x −14×97x =37x ，PH ＝6﹣PG ＝6−37x ，∵PG •PH ＝AG 2，∴37x •（6−37x ）＝（3−97）2，解得x ＝7+√33（舍去）或x ＝7−√33，∴DM ＝7−√33，②当M 在DC 的延长线上时，同理得DM ＝7+√33，综上，DM 的长是7−√33或7+√33．。
无锡外国语学校九年级数学上册第一单元《一元二次方程》测试卷(包含答案解析)
一、选择题1．某口罩厂六月份的口罩产量为100万只，由于市场需求量减少，八月份的产量减少到81万只，则该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为 （ ）A ．10%B ．29%C ．81%D ．14.5%2．下列方程中，没有实数根的是（ ）A ．2670x x ++=B ．25260x x --=C ．22270x x -=D ．2220x x -+-= 3．某超市今年1月份的营业额为50万元，已知2月至3月营业额的月增长率是1月至2月营业额的月增长率的2倍，3月份的营业额是66万元，设该超市1月至2月营业额的月增长率为x ，根据题意，可列出方程（ ）A ．()50166x +=B ．()250166x +=C ．()2501266x +=D ．()()5011266x x ++=4．关于x 的一元二次方程()25410a x x ---＝有实数根，则a 满足（ ）． A ．5a ≠ B ．1a ≥且5a ≠ C ．1a ≥ D ．1a <且5a ≠ 5．某小区2018年屋顶绿化面积为22000m ，计划2020年屋顶绿化面积要达到22880m ．设该小区2018年至2020年屋顶绿化面积的年平均增长率为x ，则可列方程为（ ）A ．2000(12)2880x +=B ．2000(1)2880x ⨯+=C ．220002000(1)2000(1)2880x x ++++=D ．22000(1)2880x +=6．小刚在解关于x 的方程20(a 0)++=≠ax bx c 时，只抄对了1a =，4b =，解出其中一个根是1x =-．他核对时发现所抄的c 比原方程的c 值小2．则原方程的根的情况是（ ）A ．不存在实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有一个根是xD ．有两个相等的实数根 7．当分式2369x x x --+的值为0时，则x 等于（ ） A ．3 B ．0 C ．3± D ．-38．某中学举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间只比赛1场，共比赛10场，则参加此次比赛的球队数是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．79．为促进消费，重庆市政府开展发放政府补贴消费的“消费券活动”，某超市的月销售额逐步增加；据统计4月份的销售额为200万元，接下来5月，6月的月增长率相同，6月份的销售额为500万元，若设5月、6月每月的增长率为x ，则可列方程为（ ）A ．()2001500x +=B ．()2002001500x ++=C ．()22001500+=xD ．()20012500+=x10．不解方程，判断方程23620x x --=的根的情况是（ ）A ．无实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．以上说法都不正确11．关于x 的一元二次方程（m-2）x 2+3x-1＝0有实数根，那么m 的取值范围是（ ） A ．m≤14 B ．m≥14-且m≠2 C ．m≤14-且m≠﹣2 D ．m≥14- 12．一元二次方程（x ﹣3）2﹣4＝0的解是（ ） A ．x ＝5 B ．x ＝1 C ．x 1＝5，x 2＝﹣5D ．x 1＝1，x 2＝5 二、填空题13．当a =______，b =_______时，多项式22222425a ab b a b -+--+有最小值，这个最小值是_____．14．一元二次方程2210x x -+=的一次项系数为_________．15．某小区2019年的绿化面积为3000m 2，计划2021年的绿化面积为4320m 2，如果每年绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是_________．16．写出有一个根为1的一元二次方程是______．17．若一元二次方程ax 2﹣bx ﹣2016＝0有一根为x ＝﹣1，则a +b ＝_____．18．关于x 的方程2880kx x -+=有两个实数根，则k 的取值范围______________． 19．已知a 为方程210x x -+=的一个根，则代数式2233a a -+的值为_____20．对于任意实数a 、b ，定义：a ◆b ＝a 2+ab +b 2．若方程（x ◆2）﹣5＝0的两根记为m 、n ，则（m +2）（n +2）＝_____．三、解答题21．已知关于x 的方程()2222x kx x k +=--，当k 取何值时，此方程（1）有两个不相等的实数根；（2）没有实数根．22．解下列方程：（1）2410x x --=；（2）(4)123x x x -=-．23．用适当的方法解方程：（l ）2(3)26x x +=+（2）2810x x -+=．24．定义：若关于x 的一元二次方程()200++=≠ax bx c a 的两个实数根1x ，()212x x x <，分别以1x ，2x 为横坐标和纵坐标得到点()12,M x x ，则称点M 为该一元二次方程的衍生点．（1）若关于x 的一元二次方程为()22210x m x m m --+-=．①求证：不论m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根，并求出该方程的衍生点M 的坐标；②由①得到的衍生点M 在直线l ：3y x =-+与坐标轴围成的区域上，求m 的取值范围．（2）是否存在b ，c ，使得不论()0k k ≠为何值，关于x 的方程20x bx c ++=的衍生点M 始终在直线()25y kx k =+-的图象？若有，求出b ，c 的值：若没有，说明理由． 25．小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元：如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买了这种服装x 件．（1）填空：26．解方程：22350x x --= （请用两种方法解方程）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】设该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为x ，根据该厂六月份及八月份的口罩产量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：设该厂七八月份的口罩产量月平均减少率为x ，根据题意得，()2100181x -=，解得10.110%x ==，2 1.9x =（不合题意，舍去）．故选A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．D解析：D【分析】根据判别式的意义对各选项进行判断．【详解】A 、224641780b ac =-=-⨯⨯=>，则方程有两个不相等的实数根，所以A 选项不符合题意；B 、()()224541261290b ac =-=--⨯⨯-=>，则方程有两个不相等的实数根，所以B 选项不符合题意；C 、()224274207290b ac =-=--⨯⨯=>，则方程有两个不相等的实数根，所以C 选项不符合题意；D 、()()224241240b ac =-=-⨯-⨯-=-<，则方程没有实数根，所以D 选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程20ax bx c ++=(0a ≠)的根与24b ac =-有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．3．D解析：D【分析】根据2月份的营业额=1月份的营业额×（1+x ），3月份的营业额=2月份的营业额×（1+2x ），把相关数值代入即可得到相应方程．【详解】解：∵1月份的营业额为50万元，2月份的营业额比1月份增加x ，∴2月份的营业额=50×（1+x ），∴3月份的营业额=50×（1+x ）×（1+2x ），∴可列方程为：50（1+x ）（1+2x ）=66．故选：D ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为a （1±x ）2=b ．注意先求得2月份的营业额．4．B解析：B【分析】由方程有实数根可知根的判别式b 2-4ac≥0，结合二次项的系数非零，可得出关于a 一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．【详解】解：由已知得：()()()25044510a a -≠⎧⎪⎨--⨯-⨯-≥⎪⎩， 解得：a≥1且a≠5．故选：B ．【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于a 的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由根的判别式结合二次项系数非零得出不等式组是关键．5．D解析：D【分析】一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设绿化面积的年平均增长率为x ，根据题意即可列出方程．【详解】解：设平均增长率为x ，根据题意可列出方程为：2000（1+x ）2=2880．故选：D ．【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，即一元二次方程解答有关平均增长率问题．对于平均增长率问题，在理解的基础上，可归结为a （1+x ）2=b （a ＜b ）；平均降低率问题，在理解的基础上，可归结为a （1-x ）2=b （a ＞b ）．6．A解析：A【分析】直接把已知数据代入进而得出c 的值，再利用根的判别式求出答案．【详解】∵小刚在解关于x 的方程20ax bx c ++=(0a ≠)时，只抄对了1a =，4b =，解出其中一个根是1x =-，∴()()21410c -+⨯-+=，解得：3c =，∵核对时发现所抄的c 比原方程的c 值小2，故原方程中5c =，则224441540b ac =-=-⨯⨯=-<，则原方程的根的情况是不存在实数根．故选：A ．【点睛】本题主要考查了根的判别式，正确利用方程的解得出c 的值是解题关键．7．D解析：D【分析】先根据分式的值为0的条件列出关于x 的不等式组，求出x 的值即可．【详解】 依题意得：230690x x x ⎧-⎨-+≠⎩＝， 解得x ＝−3．故选：D【点睛】本题考查的是分式的值为0的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解答此题的关键．8．B解析：B【分析】根据球赛问题模型列出方程即可求解．【详解】解：设参加此次比赛的球队数为x 队，根据题意得：12x （x-1）=10， 化简，得x 2-x-20=0，解得x 1=5，x 2=-4（舍去），∴参加此次比赛的球队数是5队．故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握一元二次方程应用问题中的球赛问题．9．C解析：C【分析】根据“4月份的销售额为200万元，接下来5月，6月的月增长率相同，6月份的销售额为500万元”，可以列出相应的一元二次方程，本题得以解决．【详解】解：由题意可得，200（1+x ）2＝500，故选：C ．【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的增长率问题，是中考常考题．10．C解析：C【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=60＞0，由此即可得出结论．【详解】解：∵在方程23620x x --=中，△=（-6）2-4×3×（2）=60＞0，∴方程23620x x --=有两个不相等的实数根．故选： C【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当△＞0时方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．11．B解析：B【分析】关于x 的一元二次方程（m-2）x 2+3x-1＝0有实数根，由于二次项系数有字母，要考虑二次项系数不为0，再由一元二次方程（m-2）x 2+3x-1＝0有实数根，满足△≥0，取它们的公共部分即可．【详解】关于x 的一元二次方程（m-2）x 2+3x-1＝0有实数根，m-2≠0,m≠2,△=9-4×(-1)×(m-2)≥0, m 1-4≥, 关于x 的一元二次方程（m-2）x 2+3x-1＝0有实数根，m 的取值范围是m 1-4≥且m≠2． 故选：B ．【点睛】本题考查关于x 的一元二次方程（m-2）x 2+3x-1＝0有实数根的问题，关键掌握方程的定义，二次项系数不为0，含x 的最高次项的次数为2，而且是整式的方程，注意判别式使用条件，前提是一元二次方程，还要求一般形式．12．D解析：D【分析】利用直接开平方法求解即可．【详解】解：∵（x ﹣3）2﹣4＝0，∴（x ﹣3）2＝4，则x ﹣3＝2或x ﹣3＝﹣2，解得x 1＝5，x 2＝1，故选：D ．【点睛】本题考查了用直接开平方法解一元二次方程，掌握解法是关键.二、填空题13．4315【分析】利用配方法将多项式转化为然后利用非负数的性质进行解答【详解】解：===∴当a=4b=3时多项式有最小值15故答案为：4315【点睛】此题考查了配方法的应用以及非负数的性质熟练掌握完全解析：4 3 15【分析】利用配方法将多项式22222425a ab b a b -+--+转化为22(1)(3)15a b b --+-+，然后利用非负数的性质进行解答．【详解】解：22222425a ab b a b -+--+=22222691152b a a b b b a b --+-+++++=2222(1)(1)(3)15a a b b b -++-+++=22(1)(3)15a b b --+-+∴当a=4，b=3时，多项式22222425a ab b a b -+--+有最小值15．故答案为：4，3，15．【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 14．-2【分析】根据一元二次方程的一次项系数的定义即可求解【详解】解：一元二次方程x2－2x ＋1＝0一次项系数是：－2故答案为：－2【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式准确掌握一般式中的相关概念是解解析：-2【分析】根据一元二次方程的一次项系数的定义即可求解．【详解】解：一元二次方程x 2 －2x ＋1＝0一次项系数是：－2．故答案为：－2．【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，准确掌握一般式中的相关概念是解题的关键． 15．20【分析】设每年绿化面积的增长率为x 根据该小区2019年及2021年的绿化面积即可得出关于x 的一元二次方程解之取其正值即可得出结论【详解】解：设每年绿化面积的增长率为x 依题意得：3000（1+x ）解析：20%【分析】设每年绿化面积的增长率为x ，根据该小区2019年及2021年的绿化面积，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：设每年绿化面积的增长率为x ，依题意，得：3000（1+x ）2=4320，解得：x 1=0.2=20%，x 2=-2.2（不合题意，舍去）．故答案为：20%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 16．（答案不唯一）【分析】有一个根是1的一元二次方程有无数个只要含有因式x1的一元二次方程都有一个根是1【详解】可以用因式分解法写出原始方程然后化为一般形式即可如化为一般形式为：故答案为：【点睛】本题考 解析：20x x -=（答案不唯一）【分析】有一个根是1的一元二次方程有无数个，只要含有因式x -1的一元二次方程都有一个根是1．【详解】可以用因式分解法写出原始方程，然后化为一般形式即可，如()10x x -=，化为一般形式为：20x x -=故答案为：20x x -=．【点睛】本题考查的是一元二次方程的根，有一个根是1的一元二次方程有无数个，写出一个方程就行．17．2016【分析】将x=-1代入ax2﹣bx ﹣2016＝0得到a+b ﹣2016＝0然后将a+b 当作一个整体解答即可【详解】解：把x ＝﹣1代入一元二次方程ax2﹣bx ﹣2016＝0得：a+b ﹣2016＝解析：2016．【分析】将x=-1代入ax 2﹣bx ﹣2016＝0得到a +b ﹣2016＝0，然后将a+b 当作一个整体解答即可．【详解】解：把x ＝﹣1代入一元二次方程ax 2﹣bx ﹣2016＝0得：a +b ﹣2016＝0，即a +b ＝2016．故答案是2016．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，理解一元二次方程的解的概念是解答本题的关键． 18．且【分析】利用根的判别式b2-4ac 由于原方程有实数根那么判别式大于或等于零【详解】解：∵关于x 的方程有两个实数根且解得：且故答案为且【点睛】关于x 的方程有两个实数根（1）说明这是一个一元二次方程故 解析：k 2≤且0k ≠【分析】利用根的判别式b 2-4ac .由于原方程有实数根，那么判别式大于或等于零.【详解】解：∵关于x 的方程2880kx x -+=有两个实数根，2(8)480k ∆=--⋅⋅≥，且0k ≠，解得：k 2≤且0k ≠，故答案为k 2≤且0k ≠，．【点睛】关于x 的方程有两个实数根，（1）说明这是一个一元二次方程，故“二次项系数不能为0”；（2）“根的判别式△的值要大于或等于0”；这两个条件要同时满足，解题时不要忽略了第一个条件.19．【分析】把代入已知方程求得然后将其整体代入所求的代数式求值【详解】由题意得：则所以故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义解题时注意整体代入数学思想的应用解析：5【分析】把x a =代入已知方程，求得21a a =-，然后将其整体代入所求的代数式求值．【详解】由题意，得：210a a -+=，则21a a =-，所以，()2233231323335a a a a a a -+=--+=-++=． 故答案为：5．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．解题时，注意“整体代入”数学思想的应用．20．-1【分析】根据新定义可得出mn 为方程x2＋2x−1＝0的两个根利用根与系数的关系可得出m ＋n ＝−2mn ＝−1变形（m ＋2）（n ＋2）得到mn ＋2（m ＋n ）＋4然后利用整体代入得方法进行计算【详解】解析：-1【分析】根据新定义可得出m 、n 为方程x 2＋2x−1＝0的两个根，利用根与系数的关系可得出m ＋n ＝−2、mn ＝−1，变形（m ＋2）（n ＋2）得到mn ＋2（m ＋n ）＋4然后利用整体代入得方法进行计算．【详解】解：∵（x ◆2）﹣5＝x 2+2x +4﹣5，∴m 、n 为方程x 2+2x ﹣1＝0的两个根，∴m +n ＝﹣2，mn ＝﹣1，∴（m +2）（n +2）＝mn +2（m +n ）+4＝﹣1+2×（﹣2）+4＝﹣1．故答案为﹣1．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝b a -，x 1•x 2＝c a． 三、解答题21．（1）54k >； （2）54k <． 【分析】先化方程为一般形式，它是关于x 一元二次方程，据一元二次方程判别式和根的情况列出关于k 的不等式求解．【详解】方程化为：22(21)(2)0x k x k +-+-=， ∴∆22(21)4(2)1215k k k =--⨯-=-．（1）当12150k ->，54k >时，方程有两个不相等的实数根； （2）当12150k -<，54k <时，方程没有实数根． 【点睛】此题考查一元二次方程的判别式，其关键是撑握判别式与一元二次方程根情况的关系，并据此和题意列出不等式．22．（1）12x =22x =2）x 4=或x 3=-【分析】（1）利用配方法解方程；（2）利用因式分解法解方程.【详解】（1）2410x x --=2445x x +=-2(2)5x -=则2x -=解得12x =22x =（2）解：(4)3(4)0x x x -+-=，(4)(3)0x x -+=，则40x -=或30x +=，解得x 4=或x 3=-.【点睛】此题考查解一元二次方程：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，根据一元二次方程的特点选择恰当的解法是解题的关键.23．（1）13x =-，21x =-；（2）1x =，24x =【分析】（1）用因式分解法求解可得；（2）用配方法求解即可．【详解】解：（1）∵（x+3）2-2（x+3）=0，∴（x+3）（x+1）=0，∴x+3=0或x+1=0，解得：x=-3或x=-1；（2）2810x x -+=281x x -=-28+1615x x -=2(4)15x -=4x -=∴1x =，24x =【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．24．（1）①见解析，()1,M m m -；②12m ≤≤；（2）存在，12b =-，20c =【分析】（1）①根据根的判别式和衍生点的定义，即可得出结论；②先确定点出点M 在在直线y=x+1上，借助图象即可得出结论；（2）求出定点，利用根与系数的关系解决问题即可．【详解】解：（1）①()22210x m x m m --+-=，∵()()2221410m m m ⎡⎤∆=----=>⎣⎦， ∴不论x 为何值，该方程总有两个不相等的实数根，()22210x m x m m --+-=，解得：11x m =-，2x m =，方程()22210x m x m m --+-=的衍生点为()1,M m m -．②由①得，()1,M m m -，令1-=m x ，m y =，∴1y x =+，∴点M 在在直线1y x =+上，与y 轴交于A 点，当x=0时，y=1，∴()0,1A ，∵直线1l ：3y x =-+与直线1y x =+交于B 点，解31y x y x =-+⎧⎨=+⎩， 解得12x y =⎧⎨=⎩， ∴()1,2B ，∵点M 的在直线l ：3y x =-+与坐标轴围成的区域上∴12m ≤≤；（2）存在．直线()()25210y kx k k x =+-=-+，过定点()2,10M ，∴20x bx c ++=两个根为12x =，210x =，∴210b +=-，210c ⨯=，∴12b =-，20c =．【点睛】本题考查了新定义，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，两条直线相交问题，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题．25．（1）①80；②74；③25x ≥（2）20件【分析】（1）①如果一次性购买不超过10件，单价为80元；②用单价80元减去（13－10）×2，得出答案即可；③求出单价恰好是50元时的购买件数，即可分析得到；（2）根据一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，表示出每件服装的单价，进而得出等式方程求出即可．【详解】解：（1）①∵如果一次性购买不超过10件，单价为80元，故填：80；②80－（13－10）×2＝74，故填：74；③设购买a 件时，单价恰好是50元，80－（a －10）×2＝50，解得：a ＝25，而题目中“单价不得低于50元”，∴25x ≥时，单价是50元，故填：25x ≥；（2）因为1200＞800，所以一定超过了10件，设购买了x 件这种服装且多于10件，根据题意得出：[80－2（x －10）]x ＝1200，解得：x 1＝20，x 2＝30，当x ＝20时，80－2（20－10）＝60元＞50元，符合题意；当x ＝30时，80－2（30－10）＝40元＜50元，不合题意，舍去；答：购买了20件这种服装．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据已知得出每件服装的单价是解题关键． 26．152x =，21x =- 【分析】采用公式法和因式分解法求解即可．【详解】解：方法1：∵a =2，b =-3，c =-5，∴2449b ac ∆=-=，∴34x ±=， ∴152x =，21x =-；方法2：()()2510x x -+=∴ 152x =，21x =-． 【点睛】 本题考查解一元二次方程，根据方程的特点选择合适的求解方法是解题的关键．。
无锡外国语学校九年级上册压轴题数学模拟试卷及答案(1)
无锡外国语学校九年级上册压轴题数学模拟试卷及答案(1)一、压轴题1．如图，已知点A （3，0），以A 为圆心作⊙A 与Y 轴切于原点，与x 轴的另一个交点为B ，过B 作⊙A 的切线l ．（1）以直线l 为对称轴的抛物线过点A 及点C （0，9），求此抛物线的解析式； （2）抛物线与x 轴的另一个交点为D ，过D 作⊙A 的切线DE ，E 为切点，求此切线长； （3）点F 是切线DE 上的一个动点，当△BFD 与△EAD 相似时，求出BF 的长．2．已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -，点(3,0)B ，与y 轴交于点(0,3)C ，顶点为点D ．（1）求抛物线的解析式；（2）若过点C 的直线交线段AB 于点E ，且:3:5ACECEBS S=，求直线CE 的解析式（3）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点D 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形时，求点P 的坐标； （4）已知点450,,(2,0)8H G ⎛⎫⎪⎝⎭，在抛物线对称轴上找一点F ，使HF AF +的值最小此时，在抛物线上是否存在一点K ，使KF KG +的值最小，若存在，求出点K 的坐标；若不存在，请说明理由．3．已知函数1221,(21)1y x m y m x =+-=++均为一次函数，m 为常数．（1）如图1，将直线AO 绕点()1,0A -逆时针旋转45°得到直线l ，直线l 交y 轴于点B ．若直线l 恰好是1221,(21)1y x m y m x =+-=++中某个函数的图象，请直接写出点B 坐标以及m 可能的值；（2）若存在实数b ，使得||(1)10m b b ---=成立，求函数1221,(21)1y x m y m x =+-=++图象间的距离；（3）当1m 时，函数121y x m =+-图象分别交x 轴，y 轴于C ，E 两点，(21)1y m x =++图象交x 轴于D 点，将函数11y y y =的图象最低点F 向上平移5621m +个单位后刚好落在一次函数121y x m =+-图象上，设12y y y =的图象，线段OD ，线段OE 围成的图形面积为S ，试利用初中知识，探究S 的一个近似取值范围．（要求：说出一种得到S 的更精确的近似值的探究办法，写出探究过程，得出探究结果，结果的取值范围两端的数值差不超过0.01．） 4．二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>的图象交y 轴于点A ，顶点为P ，直线PA 与x 轴交于点B ．（1）当m =1时，求顶点P 的坐标； （2）若点Q （a ，b ）在二次函数22(0)63m my x x m m =-+>的图象上，且0b m ->，试求a 的取值范围；（3）在第一象限内，以AB 为边作正方形ABCD ． ①求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；②若该二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，请直接写出符合条件的整数m 的值．5．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3过点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C，顶点为点D．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为直线CD上的一个动点，连接BC；①如图1，是否存在点P，使∠PBC＝∠BCO？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；②如图2，点P在x轴上方，连接PA交抛物线于点N，∠PAB＝∠BCO，点M在第三象限抛物线上，连接MN，当∠ANM＝45°时，请直接写出点M的坐标．6．如图，过原点的抛物线y=﹣12x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），B为抛物线的顶点，连接OB，点P是线段OA上的一个动点，过点P作PC⊥OB，垂足为点C．（1）求抛物线的解析式，并确定顶点B的坐标；（2）设点P的横坐标为m，将△POC绕着点P按顺利针方向旋转90°，得△PO′C′，当点O′和点C′分别落在抛物线上时，求相应的m的值；（3）当（2）中的点C′落在抛物线上时，将抛物线向左或向右平移n（0＜n＜2）个单位，点B、C′平移后对应的点分别记为B′、C″，是否存在n，使得四边形OB′C″A的周长最短？若存在，请直接写出n的值和抛物线平移的方向，若不存在，请说明理由．7．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点，A 点坐标为(2,0)-，与y 轴交于点(0,4)C ，直线12y x m =-+与抛物线交于B ，D 两点．（1）求抛物线的函数表达式； （2）求m 的值和D 点坐标；（3）点P 是直线BD 上方抛物线上的动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为H ，交直线BD 于点F ，过点D 作x 轴的平行线，交PH 于点N ，当N 是线段PF 的三等分点时，求P 点坐标；（4）如图2，Q 是x 轴上一点，其坐标为4,05⎛⎫-⎪⎝⎭，动点M 从A 出发，沿x 轴正方向以每秒5个单位的速度运动，设M 的运动时间为t （0t >），连接AD ，过M 作MG AD ⊥于点G ，以MG 所在直线为对称轴，线段AQ 经轴对称变换后的图形为A Q ''，点M 在运动过程中，线段A Q ''的位置也随之变化，请直接写出运动过程中线段A Q ''与抛物线有公共点时t 的取值范围．8．四边形ABCF 中，AF ∥BC ，∠AFC =90°，△ABC 的外接圆⊙O 交CF 于E ，与AF 相切于点A ，过C 作CD ⊥AB 于D ，交BE 于G ． （1）求证：AB =AC ； （2）①证明：GE =EC ； ②若BC =8，OG =1，求EF 的长．9．将抛物线2:(2)C y x =-向下平移6个单位长度得到抛物线1C ，再将抛物线1C 向左平移2个单位长度得到抛物线2C ．（1）直接写出抛物线1C ，2C 的解析式；（2）如图（1），点A 在抛物线1C 对称轴l 右侧上，点B 在对称轴l 上，OAB 是以OB 为斜边的等腰直角三角形，求点A 的坐标；（3）如图（2），直线y kx =（0k ≠，k 为常数）与抛物线2C 交于E ，F 两点，M 为线段EF 的中点；直线4y x k=-与抛物线2C 交于G ，H 两点，N 为线段GH 的中点．求证：直线MN 经过一个定点．10．⊙O 是四边形ABCD 的外接圆，OB AC ⊥，OB 与AC 相交于点H ，21012BC AC CD ===，．（1）求⊙O的半径；（2）求AD的长；（3）若E为弦CD上的一个动点，过点E作EF//AC，EG//AD． EF与AD相交于点F，EG与AC相交于点G．试问四边形AGEF的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由．11．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E，F分别在边BC，AB上，AF＝BE＝2，连结DE，DF，动点M在EF上从点E向终点F匀速运动，同时，动点N在射线CD上从点C沿CD方向匀速运动，当点M运动到EF的中点时，点N恰好与点D重合，点M到达终点时，M，N同时停止运动．（1）求EF的长．（2）设CN＝x，EM＝y，求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．（3）连结MN，当MN与△DEF的一边平行时，求CN的长．12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，的解析式为，若将抛物线平移，使平移后的抛物线经过点，对称轴为直线，抛物线与轴的另一个交点是，顶点是，连结.（1）求抛物线的解析式； （2）求证：∽（3）半径为的⊙的圆心沿着直线从点运动到，运动速度为1单位/秒，运动时间为秒，⊙绕着点顺时针旋转得⊙，随着⊙的运动，求的运动路径长以及当⊙与轴相切的时候的值.13．如图所示，在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，43BC =，30C ∠=︒，点D 从点C 出发沿CA 方向以每秒2个单位长度的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以每秒1个单位长度的速度向点B 匀速运动，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D 、E 运动的时间是t 秒(0)t >，过点D 作DF BC ⊥于点F ，连接DE 、EF .（1）求证：AE DF =；（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由； （3）当t =________时，DEF ∆为直角三角形.14．如图，抛物线y ＝mx 2﹣4mx+2m+1与x 轴交于A （x 1，0），B （x 2，0）两点，与y 轴交于点C ，且x 2﹣x 1＝2．（1）求抛物线的解析式；（2）E 是抛物线上一点，∠EAB ＝2∠OCA ，求点E 的坐标；（3）设抛物线的顶点为D ，动点P 从点B 出发，沿抛物线向上运动，连接PD ，过点P 做PQ ⊥PD ，交抛物线的对称轴于点Q ，以QD 为对角线作矩形PQMD ，当点P 运动至点（5，t ）时，求线段DM 扫过的图形面积．15．如图，在直角ABC ∆中，90C ∠=︒，5AB =，作ABC ∠的平分线交AC 于点D ，在AB 上取点O ，以点O 为圆心经过B 、D 两点画圆分别与AB 、BC 相交于点E 、F （异于点B ）．（1）求证：AC 是O 的切线；（2）若点E 恰好是AO 的中点，求BF 的长； （3）若CF 的长为34． ①求O 的半径长；②点F 关于BD 轴对称后得到点F '，求BFF '∆与DEF '∆的面积之比．16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()20y ax bx c a =++>与x 轴交于点()1,0A -和点()3,0B ，与y 轴交于点C ，且30OBC ∠=︒．点E 在第四象限且在抛物线上．（1）如（图1），当四边形OCEB 面积最大时，在线段BC 上找一点M ，使得12EM BM +最小，并求出此时点E 的坐标及12EM BM +的最小值； （2）如（图2），将AOC △沿x 轴向右平移2单位长度得到111AO C △，再将111AO C △绕点1A 逆时针旋转α度得到122AO C △，且使经过1A 、2C 的直线l 与直线BC 平行（其中0180α︒<<︒），直线l 与抛物线交于K 、H 两点，点N 在抛物线上．在线段KH 上是否存在点P ，使以点B 、C 、P 、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，已知抛物线y=﹣x 2+bx+c 经过A （3，0），B （0，3）两点． （1）求此抛物线的解析式和直线AB 的解析式；（2）如图①，动点E 从O 点出发，沿着OA 方 向 以1个单位/秒的速度向终点A 匀速运动，同时， 动点F 从A 点出发，沿着AB 方向以2个单位/ 秒的速度向终点B 匀速运动，当E ，F 中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动，连接EF ，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，△AEF 为直角三角形？（3）如图②，取一根橡皮筋，两端点分别固定在A ，B 处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P 在直线AB 上方的抛物线上移动，动点P 与A ，B 两点构成无数个三角形，在这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时点P 的坐标；如果不存在，请简要说明理由．18．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 的顶点A 、B 在函数(0)my x x=>的图象上，顶点C 、D 在函数(0)ny x x=>的图象上，其中0m n <<，对角线//BD y 轴，且BD AC ⊥于点P ．已知点B 的横坐标为4．（1）当4m =，20n =时，①点B 的坐标为________，点D 的坐标为________，BD 的长为________． ②若点P 的纵坐标为2，求四边形ABCD 的面积． ③若点P 是BD 的中点，请说明四边形ABCD 是菱形．（2）当四边形ABCD 为正方形时，直接写出m 、n 之间的数量关系．19．已知四边形ABCD 是矩形．（1）如图1，E F 、分别是AB CD 、上的点，CE 垂直平分BF ，垂足为G ，连接DG ．①求证：DG CG =；②若2BC AB =，求DGC ∠的大小；（2）如图2，6AB BC ==，M N P 、、分别是AB CD AD 、、上的点，MN 垂直平分BP ，点Q 是CD 的中点，连接,MP PQ ，若PQ MP ⊥，直接写出CN 的长．20．在平面直角坐标系xOy 中，函数1F 和2F 的图象关于y 轴对称，它们与直线(0)x t t =>分别相交于点,P Q ．（1）如图，函数1F 为1y x =+，当2t =时，PQ 的长为_____； （2）函数1F 为3y x=，当6PQ =时，t 的值为______； （3）函数1F 为2(0)y ax bx c a =++≠，①当bt b=时，求OPQ △的面积； ②若0c >，函数1F 和2F 的图象与x 轴正半轴分别交于点(5,0),(1,0)A B ，当1c x c ≤≤+时，设函数1F 的最大值和函数2F 的最小值的差为h ，求h 关于c 的函数解析式，并直接写出自变量c 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．（1）21(6)33y x =--；（2）333）323 【解析】试题分析：（1）已知了抛物线的顶点坐标，可将抛物线的解析式设为顶点坐标式，然后将C 点坐标代入求解即可．（2）由于DE 是⊙A 的切线，连接AE ，那么根据切线的性质知AE ⊥DE ，在Rt △AED 中，AE 、AB 是圆的半径，即AE=OA=AB=3，而A 、D 关于抛物线的对称轴对称，即AB=BD=3，由此可得到AD 的长，进而可利用勾股定理求得切线DE 的长．（3）若△BFD 与EAD △相似，则有两种情况需要考虑：①△AED ∽△BFD ，②△AED ∽△FBD ，根据不同的相似三角形所得不同的比例线段即可求得BF 的长． 试题解析：（1）设抛物线的解析式为y=a （x-6）2+k ；∵抛物线经过点A （3，0）和C （0，9）， ∴90{369a k a k +=+=， 解得：1 {33a k ==-∴y=13（x-6）2-3． （2）连接AE ；∵DE 是⊙A 的切线，∴∠AED=90°，AE=3，∵直线l 是抛物线的对称轴，点A ，D 是抛物线与x 轴的交点，∴AB=BD=3，∴AD=6；在Rt △ADE 中，DE 2=AD 2-AE 2=62-32=27，∴DE=33． （3）当BF ⊥ED 时； ∵∠AED=∠BFD=90°，∠ADE=∠BDF ，∴△AED ∽△BFD ，∴AE AD BF BD =， 即363BF =， ∴BF=32； 当FB ⊥AD 时，∵∠AED=∠FBD=90°，∠ADE=∠FDB ，∴△AED ∽△FBD ，∴AE ED BF BD=， 即BF=33333⨯=； ∴BF 的长为32或3．考点：二次函数综合题．2．（1）2y x 2x 3=-++；（2）63y x =-+；（3）点P 的坐标为(15,1),(13,1)-；（4）存在，点K 的坐标为(2,3)【解析】【分析】（1）由于点A 、B 为抛物线与x 轴的交点，可设两点式求解；也可将A 、B 、C 的坐标直接代入解析式中利用待定系数法求解即可；（2）根据两个三角形的高相等，则由面积比得出:3:5AE EB =，求出AE,根据点A 坐标可解得点E 坐标,进而求得直线CE 的解析式；（3）分两种情况讨论①当四边形DCPQ 为平行四边形时；②当四边形DCQP 为平行四边形时，根据平行四边形的性质和点的坐标位置关系得出纵坐标的关系式，分别代入坐标数值，解方程即可解答；（4）根据抛物线的对称性，AF=BF ，则HF+AF=HF+BF ，当H 、F 、B 共线时，HF+AF 值最小，求出此时点F 的坐标，设()00,K x y ，由勾股定理和抛物线方程得0174KF y =-，过点K 作直线SK ，使//SK y 轴，且点S 的纵坐标为174，则点S 的坐标为017,4x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，此时，0174KS y =-,∴KF+KG=KS+KG,当S 、K 、G 共线且平行y 轴时，KF+KG 值最小，由点G 坐标解得0x ，代入抛物线方程中解得0y ，即为所求K 的坐标．【详解】解：（1）方法1：设抛物线的解析式为(3)(1)y a x x将点(0,3)C 代入解析式中，则有1(03)31a a ⨯-=∴=-．∴抛物线的解析式为()222323y x x x x =---=-++． 方法二：∵经过,,A B C 三点抛物线的解析式为2y ax bx c =++，将(1,0),(3,0),(0,3)A B C -代入解析式中，则有30930c a b c a b c =⎧⎪∴-+=⎨⎪++=⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++．（2）:3:5ACE CEB S S ∆∆=，132152AE CO EB CO ⋅∴=⋅． :3:5AE EB ∴=．3334882AE AB ∴==⨯=． 31122E x ∴=-+=． E ∴的坐标为1,02⎛⎫⎪⎝⎭． 又C 点的坐标为(0,3)． ∴直线CE 的解析式为63y x =-+．（3）2223(1)4y x x x =-++=--+．∴顶点D 的坐标为(1,4)．①当四边形DCPQ 为平行四边形时，由DQ ∥CP ，DQ=CP 得：D Q C P y y y y -=-，即403P y -=-．1p y ∴=-．令1y =-，则2231x x -++=-．1x ∴=∴点P 的坐标为(11)-．②当四边形DCQP 为平行四边形时，由CQ ∥DP ，CQ=DP 得：c Q D p y y y y -=-，即304P y -=-1p y ∴=．令1y =，则2231x x -++=．1x ∴=∴点P 的坐标为(1．∴综合得：点P 的坐标为(11),(1)-（4）∵点A 或点B 关于对称轴1x =对称∴连接BH 与直线1x =交点即为F 点．∵点H 的坐标为450,8⎛⎫ ⎪⎝⎭，点B 的坐标为(3,0)， ∴直线BH 的解析式为：154588y x =-+． 令1x =，则154y =． 当点F 的坐标为151,4⎛⎫ ⎪⎝⎭时，HF AF +的值最小．11分 设抛物线上存在一点()00,K x y ，使得FK FG +的值最小．则由勾股定理可得：()222001514KF x y ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭． 又∵点K 在抛物线上， ()20014y x ∴=--+()20014x y ∴-=-代入上式中， ()2220001517444KF y y y ⎛⎫⎛⎫∴=-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 0174KF y ∴=-． 如图，过点K 作直线SK ，使//SK y 轴，且点S 的纵坐标为174．∴点S 的坐标为017,4x ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 则0174SK y =-． 000171717,444y y y ⎛⎫<∴-=- ⎪⎝⎭（两处绝对值化简或者不化简者正确．）KF SK ∴=．KF KG SK KG ∴+=+当且仅当,,S K G 三点在一条直线上，且该直线干行于y 轴，FK FG +的值最小． 又∵点G 的坐标为(2,0)，02x ∴=，将其代入抛物线解析式中可得：03y =．∴当点K 的坐标为(2,3)时，KF KG +最小．【点睛】本题主要考查了二次函数与几何图形的综合，涉及待定系数法、平行四边形的性质、、三角形面积、求线段和的最小值（即将军饮马模型）等知识，解答的关键是认真审题，找出相关条件，运用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，对相关信息进行推理、探究、发现和计算．3．（1）（0,1）；1或0 （22（3）348131200010S << 【解析】【分析】（1）由题意，可得点B 坐标，进而求得直线l 的解析式，再分情况讨论即可解的m 值； （2）由非负性解得m 和b 的值，进而得到两个函数解析式，设1y 与x 轴、y 轴交于T ，P ，2y 分别与x 轴、y 轴交于G ，H ，连接GP ，TH ，证得四边形GPTH 是正方形，求出GP 即为距离；（3）先根据解析式，用m 表示出点C 、E 、D 的坐标以及y 关于x 的表达式为()221221421y y y m x m x m =⋅+++-=，得知y 是关于x 的二次函数且开口向上、最低点为其顶点()222212,2121m m F m m ⎛⎫- ⎪-- ⎪++⎝⎭,根据坐标平移规则，得到关于m 的方程，解出m 值，即可得知点D 、E 的坐标且抛物线过D 、E 点，观察图象，即可得出S 的大体范围，如：ODE S S<，较小的可为平行于DE 且与抛物线相切时围成的图形面积． 【详解】解：（1）由题意可得点B 坐标为（0,1），设直线l 的表达式为y=kx+1，将点A （-1,0）代入得：k=1，所以直线l 的表达式为：y=x+1, 若直线l 恰好是121y x m =+-的图象，则2m-1=1,解得：m=1，若直线l 恰好是2(21)1y m x =++的图象，则2m+1=1,解得：m=0，综上，()0,1B ，1m =或者0m =（2）如图，()110m b b ---=()110m b b ∴+--=0m ≥，10b -≥0m ∴=，10b -=0m ∴=11y x ∴=-，21y x =+设1y 与x 轴、y 轴交于T ，P ，2y 分别与x 轴、y 轴交于G ，H ，连接GP ，TH1OG OH OP OT ====，PH GT ⊥∴四边形GPTH 是正方形//GH PT ∴，90HGP ∠=︒，即HG GP ⊥2HP =2GP ∴=（3）121y x m =+-，()2211y m x =++121y x m =+-分别交x 轴，y 轴于C ，E 两点()12,0C m ∴-，()0,21E m -()2211y m x =++图象交x 轴于D 点1,021D m -∴+⎛⎫ ⎪⎝⎭()()()22122121121421y y y x m m x m x m x m =⋅=+-++=+++-⎡⎤⎣⎦1m >210m ∴+>∴二次函数()2221421y m x m x m =+++-开口向上，它的图象最低点在顶点∴顶点()222212,2121m m F m m ⎛⎫- ⎪-- ⎪++⎝⎭ 抛物线顶点F 向上平移5621m +,刚好在一次函数121y x m =+-图象上 ()()2222156221212121m m m m m m -∴-+=-+-+++且1m2m ∴=2125163(3)(51)y y y x x x x =⋅=+=∴+++，∴13y x =+，251y x =+∴由13y x =+，251y x =+得到1,05D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,3E ， 由25163y x x =++得到与x 轴，y 轴交点是()3,0-，1,05⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,3， ∴抛物线经过1,05D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,3E 两点 12y y y ∴=⋅的图象，线段OD ，线段OE 围成的图形是封闭图形，则S 即为该封闭图形的面积探究办法：利用规则图形面积来估算不规则图形的面积．探究过程：①观察大于S 的情况．很容易发现ODE S S < 1,05D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,3E 11332510ODE S =⨯⨯=，310S ∴< （若有S 小于其他值情况，只要合理，参照赋分．）②观察小于S 的情况．选取小于S 的几个特殊值来估计更精确的S 的近似值，取值会因人而不同，下面推荐一种方法，选取以下三种特殊位置：位置一：如图当直线MN 与DE 平行且与抛物线有唯一交点时，设直线MN 与x ，y 轴分别交于M ，N 1,05D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,3E ∴直线:153DE y x =+ 设直线1:15MN y x b =+25163y x x =++21530x x b ∴++-=()1430b ∴∆=-⨯-=，15920b =∴直线59:1520MN y x =+∴点59,0300M ⎛⎫- ⎪⎝⎭15959348122030012000OMN S =⨯⨯=∴，348112000S ∴> 位置二：如图当直线DR 与抛物线有唯一交点时，直线DR 与y 轴交于点R设直线2:DR y kx b =+，1,05D ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴直线1:5DR y kx k =+ 25163y x x =++()21516305x k x k +-∴+-= ()211645305k k ⎛⎫∴∆=--⨯⨯-= ⎪⎝⎭，14k =∴直线14:145DR y x =+∴点140,5R ⎛⎫ ⎪⎝⎭1141725525ODR S ∴=⨯⨯=，725S ∴> 位置三：如图当直线EQ 与抛物线有唯一交点时，直线EQ 与x 轴交于点Q设直线:3EQ y tx =+ 25163y x x =++()25160x t x +∴-=()2160t ∴∆=-=，16t = ∴直线:163EQ y x =+∴点3,016Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 139321632OEQ S =⨯⨯=∴，932S ∴> 348197120003225>> 我们发现：在曲线DE 两端位置时的三角形的面积远离S 的值，由此估计在曲线DE 靠近中间部分时取值越接近S 的值探究的结论：按上述方法可得一个取值范围348131200010S << （备注：不同的探究方法会有不同的结论，因而会有不同的答案．只要来龙去脉清晰、合理，即可参照赋分，但若直接写出一个范围或者范围两端数值的差不在0.01之间不得分．）【点睛】本题是一道综合性很强的代数与几何相结合的压轴题，知识面广，涉及有旋转的性质、坐标平移规则、非负数的性质、一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、一元二次方程、不规则图形面积的估计等知识，解答的关键是认真审题，找出相关信息，利用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，利用相关信息进行推理、探究、发现和计算．4．（1）P （2，13）；（2）a 的取值范围为：a ＜0或a ＞4；（3）①D （m ，m +3）； ②2，3，4．【解析】【分析】 （1）把m =1代入二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>解析式中，进而求顶点P 的坐标即可； （2）把点Q （a ，b ）代入二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>解析式中，根据0b m ->得到关于a 的一元二次不等式即一元一次不等式组，解出a 的取值范围即可； （3）①过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点A 作AF ⊥DE 于点F ，求出二次函数与y 轴的交点A 的坐标，得到OA 的长，再根据待定系数法求出直线AP 的解析式，进而求出与x 轴的交点B 的坐标，得到OB 的长；通过证明△ADF ≌△ABO ，得到AF=OA=m ，DF=OB=3，DE=DF+EF= DF+OA=m+3，求出点D 的坐标；②因为二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，由①同理可得：C （m+3，3），分当x 等于点D 的横坐标时与当x 等于点C 的横坐标两种情况，进行讨论m 可能取的整数值即可．【详解】解：（1）当m =1时，二次函数为212163y x x =-+， ∴顶点P 的坐标为（2，13）； （2）∵点Q （a ，b ）在二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>的图象上， ∴2263m m b a a m =-+， 即：2263m m b m a a -=- ∵0b m ->， ∴2263m m a a -＞0， ∵m ＞0，∴2263a a -＞0， 解得：a ＜0或a ＞4，∴a 的取值范围为：a ＜0或a ＞4；（3）①如下图，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点A 作AF ⊥DE 于点F ，∵二次函数的解析式为2263m m y x x m =-+， ∴顶点P （2，3m）， 当x=0时，y=m ， ∴点A （0，m ）， ∴OA=m ；设直线AP 的解析式为y=kx+b(k≠0)， 把点A （0，m ），点P （2，3m）代入，得： 23m b mk b =⎧⎪⎨=+⎪⎩， 解得：3m k b m⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AP 的解析式为y=3m-x+m ， 当y=0时，x=3， ∴点B （3，0）； ∴OB=3；∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD=AB ，∠DAF+∠FAB=90°， 且∠OAB+∠FAB =90°， ∴∠DAF=∠OAB ， 在△ADF 和△ABO 中，DAF OAB AFD AOB AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADF ≌△ABO （AAS ），∴AF=OA=m ，DF=OB=3，DE=DF+EF= DF+OA=m+3， ∴点D 的坐标为：（m ，m+3）； ②由①同理可得：C （m+3，3），∵二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，∴当x =m 时，3y m ≤+，可得322363m mm m -+≤+，化简得：32418m m -≤．∵0m >，∴2184m m m -≤，∴218(2)4m m--≤，显然：m =1，2，3，4是上述不等式的解，当5m ≥时，2(2)45m --≥，18 3.6m ≤，此时，218(2)4m m-->， ∴符合条件的正整数m =1，2，3，4；当x = m +3时，y ≥3，可得2(3)2(3)363m m m m m ++-+≥，∵0m >，∴21823m m m ++≥，即218(1)2m m++≥，显然：m =1不是上述不等式的解，当2m ≥时，2(1)211m ++≥，189m ≤，此时，218(1)2m m++>恒成立， ∴符合条件的正整数m =2，3，4；综上：符合条件的整数m 的值为2，3，4． 【点睛】本题考查二次函数与几何问题的综合运用，熟练掌握二次函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、正方形的性质是解题的关键．5．（1）y ＝x 2+2x ﹣3；（2）①存在，点P 的坐标为（1，﹣2）或（﹣5，﹣8）；②点M （﹣43，﹣359） 【解析】 【分析】（1）y ＝ax 2+bx ﹣3＝a （x +3）（x ﹣1），即可求解；（2）①分点P （P ′）在点C 的右侧、点P 在点C 的左侧两种情况，分别求解即可； ②证明△AGR ≌△RHM （AAS ），则点M （m +n ，n ﹣m ﹣3），利用点M 在抛物线上和AR ＝NR ，列出等式即可求解． 【详解】解：（1）y ＝ax 2+bx ﹣3＝a （x +3）（x ﹣1）， 解得：a ＝1，故抛物线的表达式为：y ＝x 2+2x ﹣3①；（2）由抛物线的表达式知，点C 、D 的坐标分别为（0，﹣3）、（﹣1，﹣4）， 由点C 、D 的坐标知，直线CD 的表达式为：y ＝x ﹣3；tan∠BCO＝13，则cos∠BCO＝310；①当点P（P′）在点C的右侧时，∵∠P′AB＝∠BCO，故P′B∥y轴，则点P′（1，﹣2）；当点P在点C的左侧时，设直线PB交y轴于点H，过点H作HN⊥BC于点N，∵∠PBC＝∠BCO，∴△BCH为等腰三角形，则BC＝2CH•cos∠BCO＝2×CH1022 3110 +解得：CH＝53，则OH＝3﹣CH＝43，故点H（0，﹣43），由点B、H的坐标得，直线BH的表达式为：y＝43x﹣43②，联立①②并解得：58 xy=-⎧⎨=-⎩，故点P的坐标为（1，﹣2）或（﹣5，﹣8）；②∵∠PAB＝∠BCO，而tan∠BCO＝13，故设直线AP的表达式为：y＝13x s+，将点A的坐标代入上式并解得：s＝1，故直线AP的表达式为：y＝13x+1，联立①③并解得：43139xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故点N（43，139）；设△AMN 的外接圆为圆R ，当∠ANM ＝45°时，则∠ARM ＝90°，设圆心R 的坐标为（m ，n ）， ∵∠GRA +∠MRH ＝90°，∠MRH +∠RMH ＝90°， ∴∠RMH ＝∠GAR ，∵AR ＝MR ，∠AGR ＝∠RHM ＝90°， ∴△AGR ≌△RHM （AAS ）， ∴AG ＝m +3＝RH ，RG ＝﹣n ＝MH ， ∴点M （m +n ，n ﹣m ﹣3），将点M 的坐标代入抛物线表达式得：n ﹣m ﹣3＝（m +n ）2+2（m +n ）﹣3③， 由题意得：AR ＝NR ，即（m +3）2＝（m ﹣43）2+（139）2④， 联立③④并解得：29109m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故点M （﹣43，﹣359）． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形全等、圆的基本知识等，其中（2）①，要注意分类求解，避免遗漏． 6．（1）2122y x x =-+，点B （2，2）；（2）m=2或209m =；（3）存在；n=27时，抛物线向左平移． 【解析】 【分析】（1）将点A 和点O 的坐标代入解析式，利用待定系数法即可求得二次函数的解析式，然后利用配方法可求得点B 的坐标；（2）由点A 、点B 、点C 的坐标以及旋转的性质可知△△PDC 为等腰直角三角形，从而可得到点O′坐标为：（m ，m ），点C′坐标为：（32m ，2m），然后根据点在抛物线上，列出关于m 的方程，从而可解得m 的值；（3）如图，将AC′沿C′B 平移，使得C′与B 重合，点A 落在A′处，以过点B 的直线y=2为对称轴，作A′的对称点A″，连接OA″，由线段的性质可知当B′为OA″与直线y=2的交点时，四边形OB′C″A 的周长最短，先求得点B′的坐标，根据点B 移动的方向和距离从而可得出点抛物线移动的方向和距离． 【详解】解：（1）把原点O （0，0），和点A （4，0）代入y=12-x 2+bx+c ． 得040c b b c =⎧⎨-++=⎩，∴02c b =⎧⎨=⎩．∴22112(2)222y x x x =-+=--+． ∴点B 的坐标为（2，2）． （2）∵点B 坐标为（2，2）． ∴∠BOA=45°．∴△PDC 为等腰直角三角形． 如图，过C′作C′D ⊥O′P 于D ．∵O′P=OP=m ． ∴C′D=12O′P=12m ． ∴点O′坐标为：（m ，m ），点C′坐标为：（32m ，2m ）．当点O′在y=12-x 2+2x 上． 则−12m 2+2m ＝m ． 解得：12m =，20m =（舍去）． ∴m=2．当点C′在y=12-x2+2x上，则12-×(32m)2+2×32m＝12m，解得：120 9m=，20m=（舍去）．∴m=20 9（3）存在n=27，抛物线向左平移．当m=209时，点C′的坐标为（103，109）．如图，将AC′沿C′B平移，使得C′与B重合，点A落在A′处．以过点B的直线y=2为对称轴，作A′的对称点A″，连接OA″．当B′为OA″与直线y=2的交点时，四边形OB′C″A的周长最短．∵BA′∥AC′，且BA′=AC′，点A（4，0），点C′（103，109），点B（2，2）．∴点A′（83，89）．∴点A″的坐标为（83，289）．设直线OA″的解析式为y=kx，将点A″代入得：828 39k=，解得：k=76．∴直线OA″的解析式为y=76 x．将y=2代入得：76x=2，解得：x=127，∴点B′得坐标为（127，2）．∴n=212277-=． ∴存在n=27，抛物线向左平移． 【点睛】本题主要考查的是二次函数、旋转的性质、平移的性质、路径最短等知识点，由旋转的性质和平移的性质求得点点O′坐标为：（m ，m ），点C′坐标为：（32m ，2m）以及点B′的坐标是解题的关键．7．（1）21y=x +x+42﹣；（2）m=2，D(﹣1，52)；（3）P （52，278 ）或P(1，92)； （4）0＜t≤261200． 【解析】 【分析】(1)根据A ，C 两点坐标，代入抛物线解析式，利用待定系数法即可求解． (2)通过(1)中的二次函数解析式求出B 点坐标，代入一次函数12y x m =-+,即可求出m 的值，联立二次函数与一次函数可求出D 点坐标．(3)设出P 点坐标，通过P 点坐标表示出N ，F 坐标，再分类讨论PN=2NF ，NF=2PN ，即可求出P 点(4)由A ，D 两点坐标求出AD 的函数关系式，因为以MG 所在直线为对称轴，线段AQ 经轴对称变换后的图形为A Q ''，所以QQ '∥AD ，即可求出QQ '的函数关系式，设直线QQ '与抛物线交于第一象限P 点，所以当Q '与P 重合时，t 有最大值，利用中点坐标公式求出PQ 中点H 点坐标,进而求出MH 的函数关系式，令y=0求出函数与x 轴交点坐标，从而可求出t 的值,求出t 的取值范围． 【详解】解：(1)∵A (2,0)-，(0,4)C 把A,C 代入抛物线212y x bx c =-++， 得：142b+c=02c=4⎧⨯⎪⎨⎪⎩﹣－ 解得b=1c=4⎧⎨⎩∴21y=x +x+42﹣．（2）令y=0即21x +x+4=02﹣，解得1x =2﹣，2x =4 ∴B （4,0） 把B （4,0）代入12y x m =-+ 得1042m =-⨯+ m=2122y x =-+， ∴21y=x +x+42122y x ⎧⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩﹣ 得11x =15y =2⎧⎪⎨⎪⎩﹣ 或22x =4y =0⎧⎨⎩ ∴B(4,0),D(﹣1，52) ∴,m=2，D(﹣1，52)． （3）设P （a ，21a +a+42﹣），则F （a ，1a 22-+）， ∵DN ⊥PH ，∴N 点纵坐标等于D 点的纵坐标 ∴N(a ，52) FN=52－（1a 22-+）=11a 22+，PN=21a +a+42﹣－52=213a +a+22﹣， ∵N 是线段PF 的三等分点， ∴①当FN=2PN 时，11a 22+=2（213a +a+22﹣）， 解得：a=52或a=﹣1（舍去）， ∴P （52，278）． ②当2FN=PN 时， 2（11a 22+）=（213a +a+22﹣）， 得a=1或a=﹣1（舍去）， ∴P(1,92)，综上P 点坐标为P （52，278 ）或P(1,92)， (4)由（2）问得D(﹣1，52)，又A (2,0)-， 设AD ：y=kx+b ，5k+b=22k 0b ⎧⎪⎨⎪+=⎩﹣﹣ ， ∴5k=2b=5⎧⎪⎨⎪⎩ ， ∴AD ：y=52x+5， 又GM ⊥AD ，∴可设GM ： y=25﹣x+p ， 以MG 所在直线为对称轴，线段AQ 经轴对称变换后的图形为A Q ''， ∴QQ '∥AD ， 可设QQ '：y=52x+q ，又Q 4,05⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入QQ '， 得：52×45⎛⎫-⎪⎝⎭+q=0， q=2， ∴QQ '：y=52x+2， 设直线QQ '与抛物线交于第一象限N 点,,所以当Q '与N 点重合时,t 有最大值，∴25+221y=x +x+42y x ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩﹣ ， 解得：11x =19y =2⎧⎪⎨⎪⎩或22x =4y =8⎧⎨⎩﹣﹣ ， ∴N(1,92)又Q 4,05⎛⎫- ⎪⎝⎭， 设H 为N,Q 中点， 则H （110，94），又∵H在直线GM上，∴把H代入GM y=2 5﹣x+p ，得：921=+p 4510﹣，P=229 100，∴y=2 5﹣x+229 100，令y=0得：0=2 5﹣x+229 100，∴x=229 40，即QM=22940+45=26140，∵M的速度为5，∴t=26140÷5=261200，∴0＜t≤261 200．【点睛】本题考查的是二次函数与一次函数的综合，属于压轴题，涉及到的知识点有，一次函数图像与性质，二次函数图像与性质，二次函数解析式的求法，二次函数与一次函数结合的坐标求法，翻折问题等，解题关键在于正确理解题意，仔细分析题目，通过相关条件得出等量关系求出结论．8．（1）见详解；（2）①见详解；②EF=2．【解析】【分析】（1）连接OC，则OA=OB=OC，先证明OA∥FC，则有∠ACE=∠CAO，由∠ABE=∠ACE，然后得到∠AOB=∠AOC ，即可得到结论成立；（2）①先证明BE 是直径，则先证明∠ACD=∠EBC ，由∠ABC=∠ACB ，则∠BCD=∠ABG=∠ACE ，则得到∠EGC=∠ECG ，即可得到GE=EC ；②由①可知，GE=EC=r+1，在直角三角形BCE 中，由勾股定理得222(2)8(1)r r =++，得到半径，然后得到EC 的长度；作OM ⊥CE 于点M ，则EM=3，即可求出EF 的长度．【详解】解：（1）连接OC ，则OA=OB=OC ，∴∠ABO=∠BAO ，∠ACO=∠CAO ，∵AF 是切线，∴∠FAO=90°=∠AFC ，∴OA ∥FC ，∴∠CAO=∠ACE=∠ABO ，∴∠ABO=∠BAO=∠ACO=∠CAO ，∴∠AOB=∠AOC ，∴AB=AC ；（2）①∵AF ∥BC ，∠AFC=90°，∴∠BCE=90°，∴BE 是直径，∵CD ⊥AB ，∴∠DAC+∠ACD=∠BEC+∠EBC ，∵∠DAC=∠BEC ，∴∠ACD=∠EBC ，∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ，∴∠ABO+∠EBC=∠ACD+∠BCD ，∴∠ABO=∠BCD=∠ACE ，∴∠EBC+∠BCD=∠ACD+∠ACE ，∴∠EGC=∠ECG ，∴EG=EC ；②作OM ⊥CE 于点M ，如图：则四边形AOMF 是矩形，∴AO=FM ，∵OG=1，设GE=EC=r+1，在Rt △BCE 中，由勾股定理得222BE BC CE =+，∴222(2)8(1)r r =++，解得：=5r （负值已舍去），∴AO=FM=5，EC=6，∵OM ⊥EC ，OM 是半径，EC 是弦， ∴116322EM EC ==⨯=， ∴532EF FM EM =-=-=．【点睛】本题考查了圆的综合问题，切线的性质定理，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，以及矩形的性质，同角的余角相等，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题，注意正确作出辅助线，运用数形结合的思想进行分析．9．（1）抛物线1C 的解析式为： y=x 2-4x-2；抛物线2C 的解析式为：y=x 2-6；（2）点A 的坐标为（5，3）或（4，-2）；（3）直线MN 经过定点（0，2）【解析】【分析】（1）根据函数图象上下平移：函数值上加下减；左右平移：自变量左加右减写出函数解析式并化简即可；（2）先判断出点A 、B 、O 、D 四点共圆，再根据同弧所对的圆周角相等得到∠BDA=∠BOA=45°，从而证出DAC △是等腰直角三角形．设点A 的坐标为（x ，x 2-4x-2），把DC 和AC 用含x 的代数式表示出来，利用DC=AC 列方程求解即可，注意有两种情况；（3）根据直线y kx =（0k ≠，k 为常数）与抛物线2C 交于E ，F 两点，联立两个解析式，得到关于x 的一元二次方程，根据根与系数的关系求出点M 的横坐标，进而求出纵坐标，同理求出点N 的坐标，再用待定系数法求出直线MN 的解析式，从而判断直线MN 经过的定点即可．【详解】解：（1）∵抛物线2:(2)C y x =-向下平移6个单位长度得到抛物线1C ，再将抛物线1C 向左平移2个单位长度得到抛物线2C ，∴抛物线1C 的解析式为：y=(x-2)2-6，即y=x 2-4x-2，抛物线2C 的解析式为：y=(x-2+2)2-6，即y=x 2-6．（2）如下图，过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，连接AD ，∵OAB 是等腰直角三角形，∴∠BOA =45°，又∵∠BDO=∠BAO=90°，∴点A 、B 、O 、D 四点共圆，∴∠BDA=∠BOA=45°，∴∠ADC=90°-∠BDA=45°，∴DAC △是等腰直角三角形，∴DC=AC ．∵点A 在抛物线1C 对称轴l 右侧上，点B 在对称轴l 上，∴抛物线1C 的对称轴为x=2，设点A 的坐标为（x ，x 2-4x-2），∴DC=x-2，AC= x 2-4x-2，∴x-2= x 2-4x-2，解得：x=5或x=0（舍去），∴点A 的坐标为（5，3）；同理，当点B 、点A 在x 轴的下方时，x-2= -(x 2-4x-2)，x=4或x=-1（舍去），∴点A 的坐标为（4，-2），综上，点A 的坐标为（5，3）或（4，-2）．（3）∵直线y kx =（0k ≠，k 为常数）与抛物线2C 交于E ，F 两点，。
无锡市九年级一模数学试题
定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．
（1）如图，损矩形 中， ，则该损矩形的直径是线段_________．
（2）探究：
①在损矩形 内，是否存在点 ，使 四个点都在以 为圆心的同一圆上，若存在，请指出点 的具体位置，并说明理由．
致是（）
三、认真答一答
20、（共2小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，共10分）
（1）计算
（2）解不等式组 ，并把它的解集在数轴上表示出来．
21、（本小题满分4分）
如图，在□ABCD中， 分别是 的中点，连结 交 于点 ，求证： ．
22、（本题满分6分）
如图，已知 是 的直径， 切 于点 ， 交 于点 ， ，求 和 的长．
17、已知，如图，下列条件中，不能判断直线 的是（）来自A． B． C． D．
18、正方形 的边长是2cm，以直线 为轴旋转一周，所得到的圆柱的侧面积为（）
A． cm2B． cm2C． cm2D．4cm2
19、某兴趣小组做实验，将一个装满水的啤酒瓶倒置（如图），并设法使瓶里的水从
瓶口匀速流出，那么该倒置啤酒瓶内水面高度h随水流出的时间t变化的图象大
（4）若抛物线 与 轴交于点 ， 两点， ，它的伴随抛物线与 轴交于 两点，且 ，请求出 应满足的条件．
29、（本题满分10分）
如图，在平面直角坐标系中，两个函数 的图象交于点 ，动点 从点 开始沿 方向以每秒1个单位的速度运动，作 交直线 于点 ，以 为一边向下作正方形 ，设它与 重叠部分的面积为 ，
②直接写出你所探究的损矩形 所具有的三条性质（不能再添加任何线段或点）．
（3）实践：已知如图三条线段 ，求作相邻三边长顺
【3套试卷】无锡市中考第一次模拟考试数学试题含答案
中考模拟考试数学试卷一、选择题（每小题3分，共9小题，共27分）1.已知x ＝－1是一元二次方程x 2－m ＝0的一个解，则m 的值是（ ）A .1B .－2C .2D .－12.下列图形中，是中心对称图形但不是．．轴对称图形的是（ ）3.下列说法正确的是( )A .哥哥的身高比弟弟高是必然事件B .2017年元旦武汉下雨是随机事件C .随机掷一枚均匀的硬币两次，都是正面朝上是不可能事件D .“彩票中奖的概率为15”表示买5张彩票肯定会中奖4.抛物线y ＝－3(x ＋1)2－2的项点坐标是（ ）A .(－1,－2)B .(－1,2)C .(1,－2)）D .(1,2)5.小军的旅行箱的密码是一个六位数，由于他忘记了密码的末位数字，则小军能一次打开旅行箱的概率是（ ）A .110 B .19 C .16 D .15 6.如图，PA ，PB 是⊙O 的两条切线，A ，B 为切点，AC 为⊙O 的直径，∠P ＝70°，则∠PBC的度数是（ ）A .110°B .120°C .135°D .145°第 6 题图PO第 6 题图OCBAP7.如图，P 为∠AOB 边OA 上ー点，∠AOB ＝45°，OP ＝4cm ，以P 为圆心，2cm 长为半径的圆与直线OB 的位置关系是（ ）A .相离B .相交C .相切D .无法确定8.如图，扇形AOB 的半径为6cm ，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的底面积为（ ）A .9π cm 2B .6π cm 2C .4π cm 2D .12π cm 2120°O AB9.函数y ＝kx 2－6x ＋3的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ）A .k <3B .k ＜3且k ≠0C .k ≤3D .k ≤3且k ≠0 二、填空题（每小题3分，共4小题，共12分）11.如图，在平面直角坐标系中，若△ABC 与△A 1B 1C 1关于E 点成中心对称，则对称中心E 点的坐标是 .12.如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A 和B ，在余下的7个点中任取一个点C ，使△ABC 为等腰三角形的概率是 .第 12 题图AB13.武汉某区的消费品月零售总额持续增长，十月份为1.2亿元，十一月，十二月两个月一共为28亿元.设九月份到十一月份平均每月增长的百分率为x ，则可列方程 . 14.把抛物线向下平移1个单位，再向左平移3个单位后得到抛物线y ＝2x 2，则平移前的抛物线解析式为 . 三、解答题(共8题，共61分）17.（本题8分）已知关于x 的方程x 2＋ax －2＝0. （1）当该方程的一个根为1时，求a 的值；（2）求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.18.（本题8分）已知，点P 是半径为1的⊙O 外的一点，PA 与⊙O 相切于点A ，且PA ＝1，AB 是⊙O 的弦.（1）如图，若PB ＝1，求弦AB 的长； （2）若AB 2，求PB 的长.PBO19.（本题8分）甲、乙两校分别有一男一女共4名教师报名到农村中学支教.（1）若从甲、乙两校报名的教师中分别随机选1名，则所选的2名教师性别相同的概率是 ；（2）若从报名的4名教师中随机选2名，用列表或画树状图的方法求出这2名教师来自同一所学校的概率．20.（本题9分）如图，正方形ABCD 中，P 是BC 边上一点，将△ABP 绕点A 逆时针旋转90°，点P 旋转后的对应点为P ＇. （1）画出旋转后的三角形；（2）连接PP ＇，若正方形边长为1，∠BAP ＝15°，求PP ＇的长.DCPBA21.（本题10分）如图1，AB 为⊙O 的直径，BD 为⊙O 的弦，C 为⊙O 上一点，过C 作⊙O 的切线交直线BD 于点M ，且CM ⊥DM ． （1）求证：AC ＝DC .C图 2图 1C22.（本题10分）某商场销售的某种商品每件的标价是80元，若按标价的八折销售，仍可盈利60%，此时该种商品每星期可卖出220件，市场调查发现：在八折销售的基础上，该种商品每降价1元，每星期可多卖20件．设每件商品降价x 元（x 为整数），每星期的利润为y 元.（1）求该种商品每件的进价为多少元； （2）当售价为多少时，每星期的利润最大？（3）若要求该种商品每星期的售价均为每件m 元，且该周的利润要超过6000元，请直接写出的m 的取值范围．23.（1）（本题4分）如图，已知△ABC 是等边三角形，点E 在线段AB 上，点D 在直线BC 上，且DE ＝EC ，△BCE 绕点E 顺时针旋转至△ACF ，连接EF ．求证：AB ＝DB ＋AF .FEA BCD24.（1）（本题4分）如图，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于点A，B，经过点A的直线y＝ax＋a与抛物线交于点C，求C点的坐标（用含a的式子表示）.参考答案一、选择题1.A2.A3.B4.A5.A6.D7.A8.C9.C 二、填空题11.（3，－1） 12.5713.1.2(1+x )+1.2(1+x )2＝2.8 14.y ＝2(x －3)2+1三、解答题 17.（1）a ＝1；（2）△＝a 2＝－4×1×(－2)＝a 2+8>0.18.（1）连接OA ，OB ，证四边形OAPB 是正方形，∵AB（2）（如图），AB ，∴OA 2＋OB 2＝AB 2，∴∠AOB ＝90°， ①当B ，P 在OA 的同侧时，易证四边形OAPB 是正方形，∴PB ＝OA ＝1；②当B ，P 在OA 的异侧时，则B ＇，O ，B 三点共线，PB∴PB ＝1.B BP19.（1）12； （2）列表略，P =41=123. 20.（1）略；（2）由旋转可得，AP ＝AP ＇，∠PAP ＇＝90°，BP ＝DP ＇，△APP ＇是等腰直角三角形，∴∠APP ＇＝45°，又∵∠BAP ＝15°，∠APB ＝75°，∠CPP ＇＝60°，∴Rt △PCP ＇中，∠CP ＇P ＝30°，设CP ＝x ，则BP ＝DP ＇＝1－x ，PP ＇＝2x ，∴CP 2＋P ＇C 2＝P ＇P 2，∴x 2＋（2－x ）2＝（2x ）2，解得x 1，（负值舍去），∴CP 1，PP ＇＝2.21.解：（1）连AD ，延长CO 交AD 于H ，证四边形CMDH 为矩形，∴CH ⊥AD ，又CH过⊙O 的圆心O ，由垂径定理得»C A ＝»CD ． （2）由»C A ＝»C D ，»AE ＝»ED可得CE 为直径，连CD ，过O 作OH ⊥BD 于H ，则OC ＝MH ＝5，又OB ＝OC ＝5，∴OH ＝4，∴CM ＝4，CD CE ＝20C ＝10，∴DE图2C图1C22.解：（1）设或本为n元，80×0.8－a＝0.6a，∴a＝40.（2）y＝(80×0.8－x－40)(220＋20x)＝－20x2＋260x＋5280＝－20(x－6.5)2＋6125．又∵x为整数，∴x1＝7，x2＝6时，y最大＝6120，∴当x＝6或7时，80×0.8－6＝58（元），80×0.8－7＝57（元），即售价为57元或58元时，每星期利润最大；（3）55<m<60.23.解：作EG∥BC交AC于G，证△EDB≌△CEC．△AEG是等边三角形，BD＝EG＝AE，则AB＝AE＋BE＝D B+AF.24.解：联立223y ax ax ay ax a⎧=--⎨=+⎩，可求C（4，5a）.中考模拟考试数学试题含答案一．选择题（满分48分，每小题4分）1．下列说法正确的是（）A．负数没有倒数B．正数的倒数比自身小C．任何有理数都有倒数D．﹣1的倒数是﹣12．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．下列运算正确的是（）A．a+a＝a2B．a3÷a＝a3C．a2•a＝a3D．（a2）3＝a54．如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB＝90°，若∠1+∠B＝65°，则∠2的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°5．已知点P（a，3+a）在第二象限，则a的取值范围是（）A．a＜0 B．a＞﹣3 C．﹣3＜a＜0 D．a＜﹣36．如图，八个大小相同的小矩形可拼成下面两个大矩形，拼成图2时，中间留下了一个边长为1的小正方形，则每个小矩形的面积是（）A．12 B．14 C．15 D．167．某中学篮球队12名队员的年龄情况如下表：年龄/岁12 13 14 15 16人数 1 3 4 2 2关于这12名队员的年龄，下列说法中正确的是（）A．众数为14 B．极差为3 C．中位数为13 D．平均数为14 8．在关于x的函数y＝+（x﹣1）0中，自变量x的取值范图是（）A．x≥﹣2 B．x≥﹣2且x≠0 C．x≥﹣2且x≠1 D．x≥19．如图，正方形ABCD的边长为4，动点M、N同时从A点出发，点M沿AB以每秒1个单位长度的速度向中点B运动，点N沿折现ADC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，设运动时间为t秒，则△CMN的面积为S关于t函数的图象大致是（）A．B．C．D．10．下列说法错误的是（）A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形11．我们可以只用直尺和圆规作出圆的部分内接正多边形．在我们目前所学知识的范围内，下列圆的内接正多边形不可以用尺规作图作出的是（）A．正三角形B．正四边形C．正六边形D．正七边形12．如图①，分别沿长方形纸片ABCD和正方形纸片EFGH的对角线BD，FH剪开，拼成如图②所示的四边形KLMN，若中间空白部分四边形OPQR恰好是正方形，且四边形KLMN的面积为52，则正方形EFGH的面积是（）A．24 B．25 C．26 D．27二．填空题（满分16分，每小题4分）13．袋中装有6个黑球和n个白球，经过若干次试验，发现“若从袋中任摸出一个球，恰是黑球的概率为”，则这个袋中白球大约有个．14．（x﹣3y）（x+3y）＝．15．如图，AB是半圆O的直径，点C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC，，AD＝3．给出下＝5，其中正确的是列结论：①AC平分∠BAD；②△ABC∽△ACE；③AB＝3PB；④S△ABC（写出所有正确结论的序号）．16．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB：BC＝3：2，点A（﹣3，0），B（0，6）分别在x轴，y轴上，反比例函数的图象经过点D，且与边BC交于点E，则点E的坐标为．三．解答题17．（8分）计算：4sin60°﹣|﹣1|+（﹣1）0+18．（8分）先化简，再求值：（x﹣2+）÷，其中x＝﹣．19．（8分）黄岩岛自古以来就是中国的领土，如图，为维护海洋利益，三沙市一艘海监船在黄岩岛附近海域巡航，某一时刻海监船在A处测得该岛上某一目标C在它的北偏东45°方向，海监船沿北偏西30°方向航行60海里后到达B处，此时测得该目标C在它的南偏东75方向，求此时该船与目标C之间的距离CB的长度，（结果保留根号）20．（12分）现今“微信运动”被越来越多的人关注和喜爱，某数学兴趣小组随机调查了我市50名教师某日“微信运动”中的步数情况进行统计整理，绘制了如下的统计图表（不完整）：步数频数频率0≤x＜4000 8 a4000≤x＜8000 15 0.38000≤x＜12000 12 b12000≤x＜16000 c0.216000≤x＜20000 3 0.0620000≤x＜24000 d0.04 请根据以上信息，解答下列问题：（1）写出a，b，c，d的值并补全频数分布直方图；（2）我市约有5000名教师，用调查的样本数据估计日行走步数超过12000步（包含12000步）的教师有多少名？（3）若在50名被调查的教师中，选取日行走步数超过16000步（包含16000步的两名教师与大家分享心得，用树形图或列表法求被选取的两名教师恰好都在20000步（包含20000步）以上的概率．21．（12分）如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画圆，P是⊙O 上一动点且在第一象限内，过点P作⊙O的切线，与x、y轴分别交于点A、B．（1）求证：△OBP与△OPA相似；（2）当点P为AB中点时，求出P点坐标；（3）在⊙O上是否存在一点Q，使得以Q，O，A、P为顶点的四边形是平行四边形．若存在，试求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．22．（12分）某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．①求y关于x的函数关系式；②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？23．（12分）如图，已知直线y＝kx﹣6与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，﹣4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使△POB与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．24．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x+8的图象与x轴，y轴分别交于点A，点C，过点A作AB⊥x轴，垂足为点A，过点C作CB⊥y轴，垂足为点C，两条垂线相交于点B．（1）线段AB，BC，AC的长分别为AB＝，BC＝，AC＝；（2）折叠图1中的△ABC，使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕DE交AB 于点D，交AC于点E，连接CD，如图2．请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择题．A：①求线段AD的长；②在y轴上，是否存在点P，使得△APD为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．B：①求线段DE的长；②在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得以点A，P，C为顶点的三角形与△ABC 全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题1．解：A、负数有倒数，例如﹣1的倒数是﹣1，选项错误；B、正数的倒数不一定比自身小，例如0.5的倒数是2，选项错误；C、0没有倒数，选项错误；D、﹣1的倒数是﹣1，正确．故选：D．2．解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；D、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误．故选：C．3．解：A、a+a＝2a，此选项计算错误；B、a3÷a＝a2，此选项计算错误；C、a2•a＝a3，此选项计算正确；D、（a2）3＝a6，此选项计算错误；故选：C．4．解：由三角形的外角性质可得，∠3＝∠1+∠B＝65°，∵a∥b，∠DCB＝90°，∴∠2＝180°﹣∠3﹣90°＝180°﹣65°﹣90°＝25°．故选：B．5．解：∵点P（a，3+a）在第二象限，∴，解得﹣3＜a ＜0．故选：C ．6．解：设小矩形的长为x ，宽为y ， 根据题意得：， 解得：， ∴xy ＝5×3＝15．故选：C ．7．解：A 、这12个数据的众数为14，正确；B 、极差为16﹣12＝4，错误；C 、中位数为＝14，错误； D 、平均数为＝，错误； 故选：A ．8．解：根据题意得：x +2≥0且x ﹣1≠0，解得：x ≥﹣2且x ≠1．故选：C ．9．解：当0≤t ≤2时，AM ＝t ，AN ＝2t ，所以S ＝S 正方形ABCD ﹣S △AMN ﹣S △BCM ﹣S △CDN ＝4×4﹣•t •2t ﹣•4•（4﹣t ）﹣•4•（4﹣2t ）＝﹣t 2+6t ；当2＜t ≤4时，CN ＝8﹣2t ，S ＝•（8﹣2t ）•4＝﹣4t +16，即当0≤t ≤2时，S 关于t 函数的图象为开口向下的抛物线的一部分，当2＜t ≤4时，S 关于t 函数的图象为一次函数图象的一部分．故选：D ．10．解：由平行四边形的判定方法可知：两组对边分别平行、两组对边分别相等、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故A 、B 、D 说法正确，当一组对边平行，另一组对边相等时，该四边形可能为等腰梯形，故C 是说法错误的， 故选：C ．11．解：取圆上一点为圆心，相同的长度为半径画弧，重复此种作法可得到圆的六等分点，据此可得圆的内接正六边形；在以上所得六等分点中，间隔取点，首尾连接可得圆的内接正三角形；由于圆的直径可以将圆二等分、两条互相垂直的直径可以将圆四等分，据此可作出圆的内接正四边形；综上可知，不可以用尺规作图作出的是圆的内接正七边形，故选：D．12．解：如图，设PM＝PL＝N R＝KR＝a，正方形ORQP的边长为b．由题意：a2+b2+（a+b）（a﹣b）＝52，∴a2＝26，∴正方形EFGH的面积＝a2＝26，故选：C．二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．解：∵袋中装有6个黑球和n个白球，∴袋中一共有球（6+n）个，∵从中任摸一个球，恰好是黑球的概率为，∴＝，解得：n＝2．故答案为：2．14．解：（x﹣3y）（x+3y）＝x2﹣9y2．15．解：连接OC，∵PE是⊙O的切线，∴OC⊥PE，∵AE⊥PE，∴OC∥AE，∴∠DAC＝∠OCA，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠DAC＝∠OAC，∴AC平分∠BAD；故①正确，∵AB是直径，∴∠ACB＝∠AEC＝90°，∵∠CAE＝∠CAB，∴△AEC∽△ACB，故②正确，∵∠BAC+∠ABC＝90°，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠ABC，∵∠PCB+∠OCB＝90°，∴∠PCB＝∠PAC，∵∠P是公共角，∴△PCB∽△PAC，∴＝，∴PC2＝PB•PA，∵PB：PC＝1：2，∴PC＝2PB，∴PA＝4PB，∴AB＝3PB；故③正确过点O作OH⊥AD于点H，则AH＝AD＝，四边形OCEH是矩形，∴OC＝HE，∴AE＝+OC，∵OC∥AE，∴△PCO∽△PEA，∴＝，∵AB＝3PB，AB＝2OB，∴OB＝PB，∴＝＝＝∴OC＝，∴AB＝5，∵△PBC∽△PCA，∴＝＝，∴AC＝2BC，在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，∴（2BC）2+BC2＝52，∴BC＝，∴AC＝2，＝AC•BC＝5．故④正确．∴S△ABC故答案为①②③④．16．解：过点D作DF⊥x轴于点F，则∠AOB＝∠DFA＝90°，∴∠OAB+∠ABO＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，AD＝BC，∴∠OAB+∠DAF＝90°，∴∠ABO＝∠DAF，∴△AOB∽△DFA，∴OA：DF＝OB：AF＝AB：AD，∵AB：BC＝3：2，点A（﹣3，0），B（0，6），∴AB：AD＝3：2，OA＝3，OB＝6，∴DF＝2，AF＝4，∴OF＝OA+AF＝7，∴点D的坐标为：（﹣7，2），∴反比例函数的解析式为：y＝﹣①，点C的坐标为：（﹣4，8）．设直线BC的解析式为：y＝kx+b，则，解得：，∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+6②，联立①②得：或（舍去），∴点E的坐标为：（﹣2，7）．故答案为：（﹣2，7）．三．解答题17．解：原式＝4×﹣1+1+4＝2+4＝6．18．解：原式＝（+）•＝•＝2（x+2）＝2x+4，当x＝﹣时，原式＝2×（﹣）+4＝﹣1+4＝3．19．解：由题意得：∠EBA＝∠FAB＝30°，∴∠ABC＝∠EBC﹣∠EBA＝75°﹣30°＝45°，∴∠C＝180°﹣45°﹣75°＝60°；过A作AD⊥BC于D，则BD＝AD＝AB•sin∠ABD＝2×30×＝30，CD＝，∴CB＝BD+CD＝（30+10）海里．答：该船与岛上目标C之间的距离即CB的长度为（30+10）海里．20．解：（1）a＝＝0.16；b＝＝0.24；c＝50×0.2＝10；d＝50×0.04＝2；如图，（2）5000×（0.2+0.06+0.04）＝1500，所以估计日行走步数超过12000步（包含12000步）的教师有1500名；（3）步数超过16000步（包含16000步）的三名教师用A、B、C表示，步数超过20000步（包含20000步）的两名教师用a、b表示，画树状图为：共有20种等可能的结果数，其中被选取的两名教师恰好都在20000步（包含20000步）以上的结果数为2，所以被选取的两名教师恰好都在20000步（包含20000步）以上的概率＝＝．21．解：（1）证明：∵AB是过点P的切线，∴AB⊥OP，∴∠OPB＝∠OPA＝90°；（1分）∴在Rt△OPB中，∠1+∠3＝90°，又∵∠BOA＝90°∴∠1+∠2＝90°，∴∠2＝∠3；（1分）在△OPB中△APO中，∴△OPB∽△APO．（2分）（2）∵OP⊥AB，且PA＝PB，∴OA＝OB，∴△AOB是等腰三角形，∴OP是∠AOB的平分线，∴点P到x、y轴的距离相等；（1分）又∵点P在第一象限，∴设点P（x，x）（x＞0），∵圆的半径为2，∴OP＝，解得x＝或x＝﹣（舍去），（2分）∴P点坐标是（，）．（1分）（3）存在；①如图设OAPQ为平行四边形，∴PQ∥OA，OQ∥PA；∵AB⊥OP，∴OQ⊥OP，PQ⊥OB，∴∠POQ＝90°，∵OP＝OQ，∴△POQ是等腰直角三角形，∴O B是∠POQ的平分线且是边PQ上的中垂线，∴∠BOQ＝∠BOP＝45°，∴∠AOP＝45°，设P（x，x）、Q（﹣x，x）（x＞0），（2分）∵OP＝2代入得，解得x＝，∴Q点坐标是（﹣，）；（1分）②如图示OPAQ为平行四边形，同理可得Q点坐标是（，﹣）．（1分）22．解：（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；根据题意得，解得．答：每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元；（2）①根据题意得，y＝100x+150（100﹣x），即y＝﹣50x+15000；②据题意得，100﹣x≤2x，解得x≥33，∵y＝﹣50x+15000，∴y随x的增大而减小，∵x为正整数，∴当x＝34时，y取最大值，则100﹣x＝66，此时最大利润是y＝﹣50×34+15000＝13300．即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大，最大利润是13300元．23．解：（1）把A（1，﹣4）代入y＝kx﹣6，得k＝2，∴y＝2x﹣6，令y＝0，解得：x＝3，∴B的坐标是（3，0）．∵A为顶点，∴设抛物线的解析为y＝a（x﹣1）2﹣4，把B（3，0）代入得：4a﹣4＝0，解得a ＝1，∴y ＝（x ﹣1）2﹣4＝x 2﹣2x ﹣3．（2）存在．∵OB ＝OC ＝3，OP ＝OP ，∴当∠POB ＝∠POC 时，△POB ≌△POC ，此时PO 平分第二象限，即PO 的解析式为y ＝﹣x ．设P （m ，﹣m ），则﹣m ＝m 2﹣2m ﹣3，解得m ＝（m ＝＞0，舍），∴P （，）． （3）①如图，当∠Q 1AB ＝90°时，△DAQ 1∽△DOB ， ∴＝，即＝，∴DQ 1＝，∴OQ 1＝，即Q 1（0，）；②如图，当∠Q 2BA ＝90°时，△BOQ 2∽△DOB ， ∴＝，即＝，∴OQ 2＝，即Q 2（0，）；③如图，当∠AQ 3B ＝90°时，作AE ⊥y 轴于E ，则△BOQ 3∽△Q 3EA ， ∴＝，即＝，∴OQ 32﹣4OQ 3+3＝0，∴OQ 3＝1或3，即Q 3（0，﹣1），Q 4（0，﹣3）．综上，Q 点坐标为（0，）或（0，）或（0，﹣1）或（0，﹣3）．24．解：（1）∵一次函数y ＝﹣2x +8的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，点C ，∴A （4，0），C （0，8），∴OA＝4，OC＝8，∵AB⊥x轴，CB⊥y轴，∠AOC＝90°，∴四边形OABC是矩形，∴AB＝OC＝8，BC＝OA＝4，在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AC＝＝4，故答案为：8，4，4；（2）A、①由（1）知，BC＝4，AB＝8，由折叠知，CD＝AD，在Rt△BCD中，BD＝AB﹣AD＝8﹣AD，根据勾股定理得，CD2＝BC2+BD2，即：AD2＝16+（8﹣AD）2，∴AD＝5，②由①知，D（4，5），设P（0，y），∵A（4，0），∴AP2＝16+y2，DP2＝16+（y﹣5）2，∵△APD为等腰三角形，∴Ⅰ、AP＝AD，∴16+y2＝25，∴y＝±3，∴P（0，3）或（0，﹣3）Ⅱ、AP＝DP，∴16+y2＝16+（y﹣5）2，∴y＝，∴P（0，），Ⅲ、AD＝DP，25＝16+（y﹣5）2，∴y＝2或8，∴P（0，2）或（0，8）．B、①、由A①知，AD＝5，由折叠知，AE＝AC＝2，DE⊥AC于E，在Rt△ADE中，DE＝＝，②、∵以点A，P，C为顶点的三角形与△ABC全等，∴△APC≌△ABC，或△CPA≌△ABC，∴∠APC＝∠ABC＝90°，∵四边形OABC是矩形，∴△ACO≌△CAB，此时，符合条件，点P和点O重合，即：P（0，0），如图3，过点O作ON⊥AC于N，易证，△AON∽△ACO，∴，∴，∴AN＝，过点N作NH⊥OA，∴NH∥OA，∴△ANH∽△ACO，∴，∴，∴NH＝，AH＝，∴OH＝，∴N（，），而点P2与点O关于AC对称，∴P2（，），同理：点B关于AC的对称点P1，同上的方法得，P1（﹣，），即：满足条件的点P的坐标为：（0，0），（，），（﹣，）．中考一模数学试卷及答案时间:60分钟 满分100分一．选择题（每小题3分，共9小题，共27分）1．方程2x 2+3x=3的一次项系数、常数项分别为（ ）A ．3和-3B ．3和3C ．-3和2D ．3和22．在下列四个图案中，不是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．下列说法正确的是（ ）A ．随机抛掷一枚均匀的硬币，落地后反面一定朝上B ．某彩票中奖率为36%，说明买100张彩票，一定有36张中奖C ．从1、2、3、4、5中随机取一个数，取得奇数的可能性较大D ．打开电视，中央一套正在播放新闻联播4．抛物线y=2(x+3)2+5的对称轴和顶点坐标分别为（ ）A ．x=3B ．x=-5C ．x=5D ．x=-35．在一个不透明的袋子中装有除颜色外其它均相同的3个红球和2个白球，从中任意摸出一个球，则摸出白球的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图，在⊙O 中，直径AB ⊥CD ，垂足为E ，∠BOD=48°，则∠BAC 的大小是（ ）A ．60°B ．48°C ．30°D ．24°7．圆的直径为12cm ，如果圆心与直线的距离是d ，则（ ）A ．当d=8cm 时，直线与圆相交B ．当d=4.5cm 时，直线与圆相离C ．当d=6cm 时，直线与圆相切D ．当d=10cm 时，直线与圆相切8．一个凸多边形共有20条对角线，则这个多边形的边数是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．99．关于x 的一元二次方程22210kx k x -+=+有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（）A．-1≤k＜1B．K＞-1且k≠0C．K＜1且k≠0D．-1≤k＜1且k≠0且k≠0二．填空题（共5小题,每小题3分,共15分）11．平面直角坐标系内与点P（2，-1）关于原点的对称点的坐标是．12．一个学习兴趣小组有4名女生，6名男生，现要从这10名学生中选出一人担任组长，则女生当选组长的概率是．13．某村种的水稻前年平均每公顷产7300千克，今年平均每公顷产8500千克，设这两年该村每公顷产量的年平均增长率为x，根据题意，所列方程为14．在平面直角坐标系中，将抛物线y=-2x2先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是．15．半径为6cm的圆内接正八边形的面积为．三．解答题（共9小题）17．已知2是关于x的方程x2-3x+a=0的一个根，求a的值及方程的另一根．18．不透明的袋子中装有红色小球1个、绿色小球2个，除颜色外无其他差别．（1）随机摸出两个小球，直接写出用列表或画村状图的方法求出”两球颜色不一样”的概率．（2）随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，直接写出“两球都是绿色”的概率；19．已知△ABC的外心为O,△ABC的内心为I.（1）如图所示，若B、O、I、C四点在同一个圆上，求∠BIC的度数；（2）若∠BOC=110°，求∠BIC的度数．20．如图，已知正方形ABCD中，E、F分别是AD、DC边上的点，且AE=DF，△ADF可看作是由△BAE绕着某一点旋转而来的．（1）请画出旋转中心，并简要说明理由；（2）设AF与BE交于点K，连接CK，若AE=2，AB=6，求CK的长．21（本题8分）已知PA、PB分别与相切于A、B，连接OP.（1）如图1，AB交OP与点C，D为PB的中点，求证：CD∥PA，1CD=PA2；（2）如图1，OP交圆O与点E，EF⊥PB于点F，若PA=45，圆O的半径为25，求EF的长。
江苏省无锡市中考一模试卷(数学)
江苏省无锡市中考一模试卷一．填空题：（本大题共13题，每小题3分，共39分）1．-6的绝对值是 ；8的平方根是 ；-1的相反数是 。
2．“世界银行全球扶贫大会”于2004年5月26日在上海开幕.从会上获知，我国国民生产总值达到11.69万亿元，人民生活总体上达到小康水平，其中11.69万亿用科学记数法表示应为 亿元。
3．分解因式：=-x x 823。
4．函数xy +=51中，自变量x 的取值范围是 。
5．一个口袋中装有4个白球，1个红球，7个黄球，搅匀后随机从袋中摸出1个球是白球的概率是__________ 。
6．二次函数562-+-=x x y ，对称轴是__________________。
7．如图，正方形的面积是144，则阴影部分面积的小正方形边长是 。
8. 已知点P （－3，2），点A 与点P 关于y 轴对称，则点A 的坐标是_________。
9．某班初二年级甲、乙两班举行电脑汉字输入速度比赛，两个班参加比赛的学生每分钟输入汉字的个数，经统计和计算后结果如下表：有一位同学根据上表得出如下结论：①甲、乙两班学生的平均水平相同；②乙班优秀的人数比甲班优秀的人数多（每分钟输入汉字达150个以上为优秀）确的是__________________（填序号）。
10．如右图：AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ， 如果AB ＝12cm ，CD ＝8cm ，那么AE 的长为 cm ； 11. 函数111x k y =的图象通过P （2，3）点，且与函数222x k y =的图象关于y 轴对称，那么它们的解析式y 1= ,y 212. 右图描述的是李平同学放学回家过程中，离校的路程与所用时间之间的函数关系。
请你设计一个问题，让其他同学通过观察图象能回答你所提的问题。
（注意：提出的问题要尽量贴近生活：不需要在图中添加数字或其余字母）你设计的问题是 。
O 时间13．把立方体的六个面分别涂上六种不同的颜色，并画上朵数不同的花， 各面上的颜色与花的朵数如下表：现将上述大小相同，颜色、花朵分布完全一样的四个立方体拼成一个(如图)水平放置的长方体，那么长方体的下底面共有 朵花； 二．选择题（每小题3分，共24分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请把所选答案前的字母填写在下表中。
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2014—2015学年度中考模拟考试（一）初三数学试卷 2015.4一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）1．23-的绝对值是 （ ▲ ） A . 23- B . 23 C . 32- D . 322．函数1xy x =-中自变量x 的取值范围是 （ ▲ ）A ．x ＞1B ．x ＞0C ．x ≠0D ．x ≠13．下列运算中，正确的是 （ ▲ ）A ．(a 3)2＝a 5B ．(－2x 2)3＝－8x 6C ．a 3·(－a )2＝－a 5D ． (－x )2÷x ＝－x4．我们从不同的方向观察同一物体时，可能看到不同的图形,则从正面、左面、上面观察都不可能看到矩形的是 （ ▲ ） 5.三张卡片上分别画有直角三角形、等边三角形和正六边形，从这三张卡片中随机抽取一张，则取到的卡片上的图形是中心对称图形的概率是 （ ▲ ）A ．13B ．23C ．12D ．16则该日这6个时刻的PM2.5的众数和中位数分别是 （ ▲ ） A . 0.032, 0.0295 B . 0.026, 0.0295 C . 0.026, 0.032 D . 0.032, 0.0277. 如图，AB ∥CD ，点E 在AB 上，点F 在CD 上，且∠FEG =90°，∠EFD =55°，则∠AEG 的度数是 （ ▲ ）A ．25°B ．35°C ．45°D ．55 °8.如图，矩形ABCD 中，以A 为圆心，AD 长为半径画弧，交AB 于E 点，取F 作一直线与AB平行，且交D E 于G 点，则∠AGF 的度数为 （ ▲ ） A .110︒ B . 120︒ C .135︒ D .150︒ 9.如图，半径均为整数．．的同心圆组成的“圆环带”，若大圆的弦AB 与小圆相切于点P ，且弦AB 的长度为定值则满足条件的不全等的“圆环带”有 （ ▲ ） A .1个 B . 2个 C . 3个 D .无数个 10．如图，点M （-3，4），点P 从O 点出发，沿射线OM 方向1个单位/秒匀速运动，运动的过程中以P 为对称中心，O 为一个顶点作正方形OABC ，当正方形面积为128时，点A 坐标（ ▲ ）A ．B ．C ．D ．（第7题） （第8题） GEFD C BA （第9题）（第16题）（第18题）lA . 365(,)26B .C . (2,D . 856(,)55二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）11．无锡大剧院演出歌剧时，信号经电波转送，收音机前的北京观众经过0.005秒以听到，这个数据用科学计数法可以表示为 ▲ 秒. 12. 不等式22x x +＞的解集是 ▲ . 13．若反比例函数xky =的图像经过点（-3，-4），则在每个象限内y 随x 的增大而 ▲ . 14．用一个半径为10cm 半圆纸片围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥的高为 ▲ cm ．15．如图，△ABC 中，AB=AC ，以AC 为斜边作Rt △ADC ，使∠ADC=90°，∠CAD=∠CAB=26°，E 、F 分别是BC 、AC 的中点，则∠EDF 等于 ▲ °．16．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，将四边形ABCD 沿CE 折叠，使点D 落在AB 上的F 点，若AB=BC=6,EF=5,∠FCD=90°，则AF 长度为 ▲ ． 17．如图，将直线y =向上平移2个单位交坐标轴于点A 、D ，然后绕AD 中点B 逆时针旋转60°，三条直线与y 轴围成四边形ABCO ，若四边形始终覆盖着二次函数y=x 2－2mx ＋m 2-1图象的一部分，则满足条件的实数m 的取值范围为 ▲ ．18.穿过草原，公路边有一消防站A ，距离公路5千米的地方有一居民点B ，A 、B 的直线距离是13千米.一天，居民点B 着火，消防员受命欲前往救火，若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经过 ▲ 小时可到达居民点B .(友情提醒：消防车可从公路的任意位置进入草地行驶.)三、解答题（本大题共10小题，共84分.） 19．（本题满分8分）计算：（1） (－2)2＋(3－π)0＋||1－2sin60°； （2）(x －2)2 －(x ＋1)(x －1). 20．（本题满分8分）（1）解方程：x 2－4x －12＝0；（2）先化简⎝⎛⎭⎫1x ＋2－12－x ÷ xx ＋2，然后从2，－2，0，3这4个数中选取一个你认为合适的数作为x 的值代入求值．（第15题）21. （本题满分6分）耩(jiǎng )子是一种传统农用播种的工具，大小款式不一，图（1）是改良后有轮子的一种，图（2）是其示意图，现测得AC=40cm ，∠C=30°，∠BAC=45°.为了使耩子更牢固，AB 处常用粗钢筋制成，则制作此耩子时需要准备多长的粗钢筋？（结果保留根号）22．（本题满分8分）已知：如图，□ABCD 中， CD=CB=2，∠C=60°，点E 是CD 边上自D 向C 的动点（点E 运动到点C 停止运动），连结AE ,以AE 为一边作等边△AEP ，连结DP . （1）求证：△ABE ≌△ADP ；（2）点P 随点E 的运动而运动，请直接写出点P 的运动路径长 ▲ .23．（本题满分6分）为了让更多的失学儿童重返校园，某社区组织“献爱心手拉手”捐款活动. 对社区部分捐款户数进行调查和分组统计后，将数据整理成如图所示的统计图（图中信息不完整）. 已知A 、B 两组捐款户数的比为1 : 5.请结合以上信息解答下列问题.(1) a= ▲ ，本次调查样本的容量是 ▲ ；(2)补全“捐款户数分组统计图1”，“捐款户数分组统计图2”中B 组扇形圆心角度数为 ▲ ；(3)若该社区有500户住户，请根据以上信息，估计全社区捐款不少于300元的户数 ▲ ． 24．（本题满分10分）在数学上，对于两个正数p 和q 有三种平均数，即算术平均数．．．．．A 、几何平均数．．．．．G 、调和平均．．．．数．H ，其中2p qA +=，G pq =，而调和平均数H 满足1111p H H q-=-．我们把A 、G 、H 称为p 、q 的平均数组．．．．. ① 若p =2，q =6，则A = ▲ ，G = ▲ ,H= ▲ ．② 根据上述关系，可以推导出A 、G 、H 三者的等量关系 ▲ ．③现在小明手里有一张卡片，上面标有数字325，另外在一个不透明的布袋中有三个小球，表面分别标有10，8，1，这三个球除了标的数不同外，其余均相同．若从布袋中任意摸出两个小球，求摸出的两个数字与卡片上数字恰好构捐款户数分组统计表 组别 捐款额（x ）元 户数 A 1≤x <100 a B 100≤x <200 10 C 200≤x <300 D 300≤x <400 Ex ≥400捐款户数分组统计图1捐款户数分组统计图2PBAD CE(图1) （图2）成平均数组．．．．的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法给出分析过程，并求出结果） 25．（本题满分8分）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，△ABO 和△CDO 均为等腰直角三角形, ∠AOB =∠COD =90︒．若△BOC的面积为1， 试求以AD 、BC 、OC+OD 的长度为三边长的三角形的面积．图1 图2小明是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他利用图形变换解决了这个问题，其解题思路是延长CO 到E , 使得OE =CO , 连接BE , 可证△OBE ≌△OAD , 从而得到的△BCE 即是以AD 、BC 、OC+OD 的长度为三边长的三角形（如图2）．请你回答：图2中△BCE 的面积等于 ▲ ,图1中△BOC 与△AOD 的面积关系为 ▲ .请你尝试用选择平移、旋转或翻折的方法，解决下列问题： 如图3，已知△ABC , 分别以AB 、AC 、BC 为边向外作正方形 ABDE 、AGFC 、BCHI , 连接EG 、FH 、ID ．（1）在图3中利用图形变换画出并指明以EG 、FH 、ID 的长度为三边长的一个三角形 ▲ ； （2）若△ABC 的面积为1，则以EG 、FH 、ID 的长度为三边长的三角形的面积等于 ▲ ．26. （本题10分）在我校一年一度的校园文化艺术节中，数学组的传统项目是设计轴对称图案和七巧板创意拼图.初二年级将52位报名的同学分成A 、B 两组进行现场设计，学校要求A 组完成150份轴对称图案，B 组完成200份七巧板拼图.（假定A 、B 组同时进行，整个过程不休息.一副作品可由一人独做也可多人合做或他人续做，且每幅作品制作过程是连续的.）（1）根据历年数据统计，一人设计一副轴对称图案约用时25h ，一副七巧板拼图约用时12h ，应如何分配A 、B 两组的人数，使活动持续时间最短？（2）在按（1）分配的人数开始1h 后发现，设计一副轴对称图案用时仍为25h ，而设计一副七巧板实际用时23h ，于是从A 组抽调6名同学加入B 组继续设计，求整个活动实际所持续的时间．27．（本题满分10分）如图1，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AB =3，BC =4．动点P 从点A 出发沿AC 向终点C 运动，同时动点Q 从点B 出发沿BA 向点A 运动，到达A 点后立刻以原来的速度沿AB 返回．点P ，Q 运动速度均为每秒1个单位长度，当点P 到达点C 时停止运动，点Q 也同时停止．连结PQ ，以PQ 为直径作⊙O ，设运动时间为t （t >0）秒．（1）在点Q 从B 到A 的运动过程中，当t = ▲ 时，⊙O 与△ABC 某条边相切.O D A I HGFAB CDE图3（2）伴随着P 、Q 两点的运动，过O 作直径PQ 的垂线l ,在整个过程中: ①直线l ▲ 次过C 点；②如图2，当l 过点A 时，过A 作BC 的平行线AE ， 交射线QP 于点E ，求△AQE 的面积； ③当l 经过点B 时，求t 的值．28．（本题满分10分）平面直角坐标系xOy 中，抛物线244y ax ax a c =-++(a >0)与x 轴交于点A 、B ，与y 轴的正半轴交于点C ，点 A 的坐标为(1, 0)，OB =OC ，抛物线的顶点为D ． (1) 求此抛物线的解析式；(2) 若此抛物线的对称轴上的点P 满足∠APB =∠ACB ，求点P 的坐标；(3) Q 为线段BD 上一点，点A 关于∠AQB 的平分线的对称点为A '，若2=-QB QA ，求点Q 的坐标和此时△QAA '的面积．（图1）（备用图1）（备用图2）（图2）。