二次函数小测5

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(常考题)北师大版初中数学九年级数学下册第二单元《二次函数》测试卷(有答案解析)(5)

一、选择题1．已知关于x 的一元二次方程()()250x m n x mn m n -++-=<有两个不相等的实数根(),,a b a b <则实数,,,m n a b 的大小关系可能是（）A ．m a b n <<<B ．m a n b <<<C ．a m n b <<<D ．a m b n <<<2．在同一坐标系中，函数y ax b =+与2(0)y ax bx a =+≠的图象可能是（） A ． B ． C ． D ． 3．一次函数y ＝ax +b 与二次函数y ＝ax 2+bx +c 在同一坐标系中的图象可能是（） A ． B ．C ．D ．4．如图，一边靠墙（墙有足够长），其它三边用12m 长的篱笆围成一个矩形（ABCD ）花园，这个花园的最大面积是（）A ．18m 2B ．12 m 2C ．16 m 2D ．22 m 2 5．如图在平面直角坐标系中，点A 在抛物线245y x x =-+上运动.过点A 作AC x ⊥轴于点C ，以AC 为对角线作矩形ABCD ，则对角线BD 的最小值为（）A ．4B ．3C ．2D ．16．下列函数中，当0x >时，y 随x 增大而增大的是（）A ．2y x =B ．22y x =+C ． 1y x =-+D ．22 y x =-- 7．如图，已知ABC 中，,120,3AC BC ACB AB =∠=︒=，点D 为边AB 上一点，过点D 作//DE AC ，交BC 于点E ，过点E 作EF DE ⊥，交AB 于点F ．设,AD x DEF =的面积为y ，则能大致反映y 与x 函数关系的图象是（）A ．B ．C ．D ．8．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，且a ≠0）中的x 与y 的部分对应值如表： x﹣1 0 1 3 y﹣1 3 5 3 则代数式﹣2a （4a +2b +c ）的值为（） A ．92 B ．152 C ．9 D ．159．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数和二次函数的图象大致如图所示，它们的表达式可能分别为（）A ．2,k y y kx x x =-=-+ B ．2,k y y kx x x =-=-- C ．2,k y y kx x x ==-- D ．2,k y y kx x x==-+ 10．如图，二次函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，且0a ≠）的图象与x 轴的一个交点为()3,0A ，对称轴为直线1x =，下列结论：①0abc <；②0a b c -+<；③2b a =-；④80ac +>．其中正确结论的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 11．在平面直角坐标系中，下列二次函数的图象开口向上的是（） A ．22y x = B ．221y x x =-++ C ．22y x x =-+D ．20.5y x x =-+ 12．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于,A B 两点，与y 轴负半轴交于点C ，它的对称轴为直线12x =，则下列选项中正确的是（）A ．0abc <B ．0a b -=C ．40a c ->D ．当2(1x n n =+为实数）时，y c ≤二、填空题13．函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）图像如图所示，过点（﹣1，0），对称轴为x ＝2，下列结论正确的是_____．①4a +b ＝0；②24a +2b +3c <0；③若A （﹣3，y 1），B （﹣0.5，y 2），C （3.5，y 3）三点都在抛物线上，y 1<y 2<y 3； ④当y 1>﹣1时，y 随x 增大而增大．14．如图，在平面直角坐标中，对抛物线222y x x =-+在x 轴上方的部分进行循环反复的轴对称或中心对称变换，若点A 是该抛物线的顶点，则经过第2020次变换后所得的A 点的坐标是_________．15．若点A （﹣12021，y 1）、B （40412021，y 2）都在二次函数y ＝﹣x 2+2x +m 的图像上，则y 1_____y 2．16．将抛物线y ＝3x 2沿y 轴向上平移1个单位，所得的抛物线关系式为_____． 17．将抛物线y ＝2x 2向左平移2个单位，所得抛物线的对称轴是直线_____．18．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，其对称轴为直线1x =-，与x 轴的交点为()()12,0,0x x ，其中201x <<，有下列结论：①240b ac ->；②421a b c -+>-；③132x -<<-；④当m 为任意实数时，2a b am bm -≤+；⑤30a c +<．其中，正确结论的序号是（________）19．抛物线23(2)4=---y x 的顶点坐标是______．20．有五张正面分别标有数字32112---，，，，的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a ，则使关于以x为自变量的二次函数22(1)2y x a x a =-++-的图象不经过点(1,0)的概率是____．三、解答题21．平安路上，多“盔”有你．在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价1元，平均每周可多售出20顶．（1）若该商店希望平均每周获利4000元，则每顶头盔应降价多少？（2）商店降价销售后，决定每销售1顶头盔，就向某慈善机构捐赠m 元（m 为整数，且15m <），帮助做“交通安全”宣传．捐赠后发现，该商店每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，求m 的值．22．已知抛物线239y x kx k =-+-．求证：无论k 为何值，该二次函数的图象与x 轴都有交点．23．如图，已知抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中A （﹣2，0），B （4，0）．（1）求该抛物线的表达式；（2）根据图象，直接写出y ＞0时，x 的取值范围；（3）若要使抛物线与x 轴只有一个交点，则需将抛物线向下平移几个单位？24．平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y x bx c =++经过()21,21m m -++､()20,22m m ++两点，其中m 为常数．（1）求b 的值，并用含m 的代数式表示c ；（2）若抛物线2y x bx c =++与x 轴有公共点，求m 的值；（3）设()1,a y ､()22,a y +是抛物线2y x bx c =++上的两点，请比较2y 与1y 的大小，并说明理由．25．天气寒冷，某百货商场准备销售一种围巾，围巾的进货价格为每条50元，并且每条的售价不低于进货价，经过市场调查，每月的销售量y （条）与每条的售价x （元）之间满足人体所示的函数关系．（1）求每月销售y （条）与售价x （元）的函数关系式；（2）物价部门规定，该围巾的每条利润不允许高于进货价的30%，设这种围巾每月的总利润为w （元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？26．如图1是某校园运动场主席台及遮阳棚，其侧面结构示意图如图2所示．主席台（矩形ABCD ）高2AD = 米，直杆5DE =米，斜拉杆EG ，EH 起稳固作用，点H 处装有一射灯．遮阳棚边缘曲线FHG 可近似看成抛物线的一部分，G 为抛物线的最高点且位于主席台边缘BC 的正上方，若点E ，H ，C 在同一直线上，且1DF =米，4EG =米，60AEG ∠=︒，则射灯H 离地面的高度为______米．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除1．C解析：C【分析】设抛物线解析式为y =x 2-(m +n )x +mn -5，根据题意可得当x =a 或x =b 时，y =0，分别求出当x =n ，x =m 时y 的符号，根据二次函数的性质即可得答案．【详解】设抛物线解析式为y=x 2-(m+n)x+mn-5，∵一元二次方程()()250x m n x mn m n -++-=<有两个不相等的实数根(),a b a b <， ∴当x =a 或x =b 时，y =0，∵1＞0，∴抛物线y =x 2-(m +n )x +mn -5图象的开口向上，与x 的交点坐标为（a ，0），（b ，0）， ∵a ＜b ，∴当a ＜x ＜b 时，y ＜0，当x =m 时，y =m 2-(m +n )m +mn -5=-5＜0，当x =n 时，y=n 2-(m +n )n +mn -5=-5＜0，∵m ＜n ，∴a ＜m ＜n ＜b ，故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数与一元二次方程之间的关系是解题关键．2．A解析：A【分析】根据二次函数的c 值为0，确定二次函数图象经过坐标原点，再根据a 值确定出二次函数的开口方向与一次函数所经过的象限即可得解．【详解】解：2(0)y ax bx a =+≠，0c ，∴二次函数经过坐标原点，故B 、C 选项错误； A 、根据二次函数开口向上0a >，对称轴b x 02a =->，所以，0b <，一次函数经过第一三象限，0a >，与y 轴负半轴相交，所以，0b <，符合，故本选项正确；D 、二次函数图象开口向下，0a <，一次函数经过第一三象限，0a >，矛盾，故本选项错误．【点睛】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，熟练掌握函数解析式的系数与图象的关系是解题的关键．3．B解析：B【分析】先由一次函数y ax b =+的图象得到a 、b 的正负，再与二次函数2y ax bx c =++的图象的开口方向、对称轴位置相比较即可做出判断．【详解】解：A 、由抛物线可知，a ＜0，x ＝﹣2b a ＜0，得b ＜0，由直线可知，a ＞0，b ＞0，故本选项错误；B 、由抛物线可知，a ＜0，x ＝﹣2b a ＜0，得b ＜0，由直线可知，a ＜0，b ＜0，故本选项正确；C 、由抛物线可知，a ＞0，x ＝﹣2b a ＞0，得b ＜0，由直线可知，a ＞0，b ＞0，故本选项错误；D 、由抛物线可知，a ＜0，x ＝﹣2b a＜0，得b ＜0，由直线可知，a ＜0，b ＞0，故本选项错误．故选：B ．【点睛】本题主要考查一次函数的图象、二次函数2y ax bx c =++的图象与性质，熟练掌握两函数图象与解析式的系数的关系是解答的关键． 4．A解析：A【分析】根据题意可以列出相应的函数关系式，然后化为顶点式即可解答本题．【详解】解：设与墙垂直的矩形的边长为xm ，则这个花园的面积是：S=x （12-2x ）=()222122318x x x -+=--+，∴当x=3时，S 取得最大值，此时S=18，故选：A ．【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答．5．D解析：D【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（2，1），再根据矩形的性质得BD ＝AC ，由于AC 的长等于点A 的纵坐标，所以当点A 在抛物线的顶点时，点A 到x 轴的距离最小，最小值为2，从而得到BD 的最小值．【详解】解：∵y ＝x 2﹣4x +5＝（x ﹣2）2+1，∴抛物线的顶点坐标为（2，1），∵四边形ABCD 为矩形，∴BD ＝AC ，而AC ⊥x 轴，∴AC 的长等于点A 的纵坐标，当点A 在抛物线的顶点时，点A 到x 轴的距离最小，最小值为1，∴对角线BD 的最小值为1．故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了矩形的性质．6．B解析：B【分析】根据二次函数、一次函数、反比例函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断．【详解】解：A 、2y x=，反比例函数，k=2＞0，分别在一、三象限，在每一象限内，y 随x 的增大而减小，不符合题意； B 、22y x =+，a=1＞0，开口向上，对称轴为y 轴，故当图象在对称轴右侧，y 随着x 的增大而增大，符合题意；C 、1y x =-+，一次函数，k=-1＜0，故y 随着x 增大而减小，不符合题意；D 、22y x =--，a=-1＜0，开口向下，对称轴为y 轴，故当图象在对称轴右侧，y 随着x 的增大而减小，不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查一次函数，二次函数及反比例函数的增减性，掌握函数图像性质利用数形结合思想解题是本题的解题关键．7．B解析：B【分析】过点C 作CG ⊥AB ，求出CG 、AC ，证明△ACB ∽△DEB ，求出DE ，再根据直角三角形的性质求出EF ，根据三角形面积公式得到y 关于x 的函数表达式，从而判断图像．【详解】解：∵AC=BC ，∠ACB=120°，∴∠A=∠B=30°，过点C 作CG ⊥AB ，则AG=BG=12AB=32，AC=2CG ，则CG=3=32，AC=3， ∵DE ∥AC ，∴△ACB ∽△DEB ，∴AC AB DE BD =，即333x=-，解得：DE=()333x -， ∵∠DEF=90°，∠EDF=∠A=30°，∴EF=3=33x -， ∴y=S △DEF =12DE EF ⨯⨯=()3313233x x --⨯⨯=()23318x -，可得：当0＜x ＜3时，图像为抛物线，y 随x 的增大而减小，选项B 中的图像最合适，故选B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，以及直角三角形的性质，二次函数，解题的关键是通过相似三角形的性质得到线段的长，从而得到二次函数表达式．8．B解析：B【分析】由当x=0和x=3时y 值相等，可得出二次函数图象的对称轴为直线x=32，进而可得出2b a -的值，由x=1时y=5，可得出当x=2时y=5，即4a+2b+c=5，再将2b a -=32及4a+2b+c=5代入2b a -（4a+2b+c ）中即可求出结论．【详解】解：∵当x ＝0和x ＝3时，y 值相等，∴二次函数图象的对称轴为直线x ＝32， ∴3=22b a -． ∵当x ＝1时，y ＝5，∴当x ＝2×32﹣1＝2时，y ＝5， ∴4a +2b +c ＝5． ∴2b a -（4a +2b +c ）＝32×5＝152．故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，找出2b a-和（4a+2b+c ）的值是解题的关键． 9．D解析：D【分析】根据反比例函数图像的位置判断k 的符号，再结合二次函数的图像和性质，逐项判断即可【详解】A 、由反比例函数k y x=-的图像可知，0k >，则二次函数2y kx x =-+的图像开口应向下，与图像不符，故选项错误； B 、由反比例函数k y x=-的图像可知，0k >，则二次函数2y kx x =--的图像开口应向下，与图像不符，故选项错误； C 、由反比例函数k y x=的图像可知，0k <，则二次函数2y kx x =--的图像开口向上，对称轴110222b x a k k-=-=-=->-应位于y 轴的右侧，与图像不符，故选项错误； D 、由反比例函数k y x =的图像可知，0k <，则二次函数2y kx x =-+的图像开口向上，对称轴110222b x a k k=-=-=<-应位于y 轴的左侧，与图像相符，故选项正确；故选：D ．【点睛】本题考查了反比例函数，二次函数图像的性质，解题关键是熟练掌握反比例函数和二次函数的图像和性质．10．B解析：B【分析】利用数形结合思想，从抛物线的开口，与坐标轴的交点，对称轴等方面着手分析判断即可．【详解】∵抛物线的开口向上，对称轴在原点的右边，与y 轴交于负半轴，∴a ＞0， b ＜0，c ＜0，∴abc ＞0，∴结论①错误；∵抛物线的对称轴为x=1， ∴12b a-=， ∴2b a =-； ∴结论③正确；∵二次函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，且0a ≠）的图象与x 轴的一个交点为()3,0A ，对称轴为直线1x =， ∴1312x +=， ∴11x =-，∴二次函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，且0a ≠）的图象与x 轴的另一个交点为（-1,0），∴0a b c -+=；∴结论②错误；∵当x=-2时，y=4a-2b+c ＞0， ∵12b a-=，则b=-2a ∴80a c +>，∴结论④正确；故选B ．【点睛】本题考查了二次函数的图像与系数之间的关系，对称轴的使用，代数式符号的判定，熟练运用数形结合的思想，二次函数的性质是解题的关键．11．A解析：A【分析】二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0），①当a ＞0时，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的开口向上；②当a ＜0时，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的开口向下，据此判断即可．【详解】解：A 、∵a ＞0， ∴2y =的图象开口向上，故本选项符合题意；B 、∵a ＝﹣1＜0，∴y ＝﹣x 2+2x +1的图象开口向下，故本选项不符合题意；C 、∵a ＝﹣2＜0，∴y ＝﹣2x 2+x 的图象开口向下，故本选项不符合题意；D 、∵a ＝﹣0.5＜0，∴y ＝﹣0.5x 2+x 的图象开口向下，故本选项不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．12．D解析：D【分析】根据二次函数的图像和性质，分别对每个选项进行判断，即可得到答案．【详解】解：由图象开口向上，可知a<0，与y 轴的交点在x 轴的下方，可知c<0，又对称轴方程为12x =，所以122b a -=>0，所以b ＞0， ∴abc ＞0，故A 错误； ∵122b a -= ∴=-a b ， ∴0a b +=，故B 错误；当12x =时，则11042y a b c =++>， ∵=-a b ，∴11042a a c -+>， ∴104a c -+>， ∴40a c -<，故C 错误；当21x n =+时，222(1)(1)y a n b n c =++++4222an an a an a c =++--+42an an c =++22(1)an n c =++；∵n 为实数，∴20an ≤，211n +≥，∴22(1)an n c c ++≤，即y c ≤，故D 正确；故选：D ．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系是解题的关键．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．①②③【分析】由抛物线的对称轴可判断①；由①可得出过点（﹣10）代入可得出c ＝﹣5a 代入化简即可判断②；根据二次函数的增减性知抛物线上点离对称轴水平距离越小函数值越大据此可判断③；由抛物线的图像的增解析：①②③【分析】由抛物线的对称轴可判断①；由①可得出=4b a -，过点（﹣1，0），代入可得出c ＝﹣5a ，代入化简即可判断②；根据二次函数的增减性知抛物线上点离对称轴水平距离越小，函数值越大，据此可判断③；由抛物线的图像的增减性直接判断④．【详解】函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴2b x a =-， ∵ 对称轴2x =， ∴=22b a-， ∴=4b a -，∴ 4+=0a b ，故①正确；有图可知，a ＜0，∴=4b a -，∴ 2=8b a -，过点（﹣1，0），∴ a-b+c ＝0，∴ b=a+c ，即a+c=﹣4a ，∴ c ＝﹣5a ，∴24a +2b +3c ＝24a －8a －15a ＝a ＜0，故②正确；当x ＝0时，y ＝c ，∵A （﹣3，y 1），B （﹣0.5，y 2），C （3.5，y 3）三点都在抛物线上，点A 与2x =的水平距离为5，点B 与2x =的水平距离为2.5，点C 与2x =的水平距离为1.5，∵5＞2.5＞1.5，∴ 123y y y <<，故③正确；有图可知，当11y >-，y 随x 增大先增大后减小，故④不正确；综上，正确的有：①②③．故答案为：①②③．【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，要求学生熟悉函数的基本性质，能熟练求解函数与坐标轴的交点及顶点的坐标等．14．【分析】观察图形可知每三次对称为一个循环组依次循环用2020除以3然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A 所在的象限然后解答即可【详解】解：∵∴抛物线的顶点坐标为点A 第一次关于x 轴对称后在第四象限第解析：11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】观察图形可知每三次对称为一个循环组依次循环，用2020除以3，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A 所在的象限，然后解答即可．【详解】解：∵2221122=2()2()22y x x x x x =-+--=--+∴抛物线222y x x =-+的顶点坐标为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭点A 第一次关于x 轴对称后在第四象限，第二次关于原点对称后在第二象限，第三次关于y 轴对称后在第一象限，回到原始位置，所以每3次对称为一个循环组，∵20203=6731÷∴经过第2020次变换后所得的A 点位置第一次变换后的位置相同，在第四象限，坐标为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭故答案为：11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每三次对称为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．15．＜【分析】把AB 两点坐标代入函数关系式再根据已知条件求出的值最后求出答案即可【详解】解：∵点A （﹣y1）B （y2）都在二次函数y ＝﹣x2+2x+m 的图像上∴====∴故答案为：＜【点睛】本题考查了二解析：＜【分析】把A ，B 两点坐标代入函数关系式，再根据已知条件求出21y y -的值，最后求出答案即可．【详解】解：∵点A （﹣12021，y 1）、B （40412021，y 2）都在二次函数y ＝﹣x 2+2x +m 的图像上， ∴21y y -=224041404111()2[()2()]2021202120212021m m -+⨯+---+⨯-+ =2111(2)2(2)()202120212021--+⨯-+-222021+ =22412124()4()20212021202120212021-+-+-++ =402021> ∴12y y <故答案为：＜．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能选择适当的方法求解是解答此题的关键． 16．y ＝3x2+1【分析】根据抛物线平移规律常数项加1即可【详解】解：抛物线y ＝3x2沿y 轴向上平移1个单位所得的抛物线关系式为y ＝3x2+1故答案为：y ＝3x2+1【点睛】本题考查了抛物线平移的变化规解析：y ＝3x 2+1．【分析】根据抛物线平移规律，常数项加1即可．【详解】解：抛物线y ＝3x 2沿y 轴向上平移1个单位，所得的抛物线关系式为y ＝3x 2+1，故答案为：y ＝3x 2+1．【点睛】本题考查了抛物线平移的变化规律，解题关键是准确掌握函数平移的规律，左加右减自变量，上加下减常数项．17．x ＝-2【分析】利用平移可求得平移后的抛物线的解析式可求得其对称轴【详解】解：∵将抛物线y ＝2x2向左平移2个单位长度后抛物线解析式为y ＝2(x+2)2∴所得抛物线的对称轴为直线x ＝-2故答案是：x解析：x ＝-2【分析】利用平移可求得平移后的抛物线的解析式，可求得其对称轴．【详解】解：∵将抛物线y ＝2x 2向左平移2个单位长度后抛物线解析式为y ＝2(x +2)2，∴所得抛物线的对称轴为直线 x ＝-2．故答案是：x ＝-2．【点睛】主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握函数图象平移的规律并准确运用平移规律求函数解析式是解题的关键．18．①③④【分析】根据函数图象与x 轴有两个交点即可判断①正确；根据对称性可得：故③正确；x=0与x=-2时的函数值相等即可判断②错误；根据对称轴为直线得到当x=-1时函数值最小故当x=m 时函数值大于等于解析：①③④【分析】根据函数图象与x 轴有两个交点即可判断①正确；根据对称性可得：132x -<<-，故③正确；x=0与x=-2时的函数值相等，即可判断②错误；根据对称轴为直线1x =-，得到当x=-1时，函数值最小，故当x=m 时，函数值大于等于x=-1时的函数值，即2a b c am bm c -+≤++，即可判断④正确；由对称轴为直线1x =-，得到b=2a ，由图象可得：当x=1时，y>0，故a+b+c>0，代入得到3a+c>0，由此判断⑤错误．【详解】∵函数图象与x 轴的交点为()()12,0,0x x ，∴240b ac ->，故①正确；∵对称轴为直线1x =-，与x 轴的交点为()()12,0,0x x ，其中201x <<，∴132x -<<-，故③正确；根据抛物线的对称性得到：x=0与x=-2时的函数值相等，∵图象与y 轴的交点纵坐标小于-1，∴421a b c -+<-，故②错误；∵对称轴为直线1x =-，∴当x=-1时，函数值最小，故当x=m 时，函数值大于等于x=-1时的函数值，即2a b c am bm c -+≤++， ∴2a b am bm -≤+，故④正确；∵对称轴为直线1x =-， ∴12b a-=-，得b=2a ，由图象可得：当x=1时，y>0，∴a+b+c>0，∴3a+c>0，故⑤错误，故答案为：①③④．【点睛】此题考查二次函数的图象，函数图象与x 轴交点问题，利用图象判断式子的正负，函数最值，根据图象得到相关的信息是解题的关键．19．【分析】根据题目中的抛物线可以写出该抛物线的顶点坐标本题得以解决【详解】解：∵物线∴该抛物线的顶点坐标为（2-4）故答案为：（2-4）【点睛】本题考查了二次函数的性质解题的关键是明确题意利用二次函数解析：(2,4)-【分析】根据题目中的抛物线，可以写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．【详解】解：∵物线23(2)4=---y x ，∴该抛物线的顶点坐标为（2，-4），故答案为：（2，-4）．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 20．【分析】把点的坐标代入解析式转化为a 的一元二次方程确定方程的根从给出的数字中扣除方程的根就是符合题意的a 值计算概率即可【详解】当二次函数的图象经过点时得解得所以符合题意的a 值有-3-12共三个所以二解析：35【分析】把点的坐标代入解析式，转化为a 的一元二次方程，确定方程的根，从给出的数字中扣除方程的根就是符合题意的a 值，计算概率即可.【详解】当二次函数22(1)2y x a x a =-++-的图象经过点(1,0)时，得 220a a +-=，解得 122,1a a =-=，所以符合题意的a 值有-3，-1,2，共三个，所以二次函数22(1)2y x a x a =-++-的图象不经过点(1,0)的概率是35，故答案为：35. 【点睛】本题考查了简单事件的概率计算、二次函数，利用二次函数的图象过点的意义，判定符合题意的a 值是解题的关键．三、解答题21．（1）20元；（2）3或4【分析】（1）设每顶头盔应降价x 元，根据题意列出方程求解即可；（2）设每周扣除捐赠后可获得利润为w 元，每顶头盔售价a 元，根据题意列出函数求解即可；【详解】解：（1）设每顶头盔应降价x 元．根据题意，得(10020)(6840)4000x x +--=．解得123,20x x ==．当3x =时，68365-=；当20x 时，682048-=；每顶售价不高于58元，∴每顶头盔应降价20元．（2）设每周扣除捐赠后可获得利润为w 元，每顶头盔售价a 元，根据题意，得[10020(68)](40)w a a m =+---220(202260)1460(40)a m a m =-++-+ 抛物线对称轴为直线1132m a +=，开口向下，当58a 时，利润仍随售价的增大而增大，113582m +∴，解得3m ． 15,35m m <∴<． m 为整数，3m ∴=或4．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，结合一元二次方程的求解是解题的关键．22．证明见详解．【分析】令y=0，构造一元二次方程239=0x kx k -+-，由1,,39a b k c k ==-=-，判别式()22123660k k k ∆=-+=-≥即可．【详解】解：令y=0，239=0x kx k -+-，∵1,,39a b k c k ==-=-， ()()()222=4139123660k k k k k ∴∆--⨯⨯-=-+=-≥，∴二次函数的图象与x 轴都有交点．【点睛】本题考查二次函数与x 轴的交点问题，掌握二次函数与x 轴交点问题转化为y=0时，一元二次方程有实根问题，理解二次函数和一元二次方程之间的关系式解此题的关键，此题是一个比较典型的题目．23．（1）y ＝﹣x 2+2x +8；（2）当﹣2＜x ＜4时，y ＞0；（3）把抛物线y ＝﹣x 2+2x +8向下平移9个单位，抛物线与x 轴只有一个交点．【分析】（1）把A 点和B 点坐标分别代入y=-x 2+bx+c 得到关于b 、c 的方程组，然后解方程组即可；（2）根据函数图象直接得到答案；（3）先利用配方法得到抛物线的顶点坐标，然后把抛物线的平移问题转化为点的平移问题；【详解】解：（1）把A(﹣2，0)，B(4，0)代入y ＝﹣x 2+bx+c ，得 4201640b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得28b c =⎧⎨=⎩，抛物线解析式为y ＝﹣x 2+2x+8；（2）∵A(﹣2，0)，B(4，0)∴由图象知，当﹣2＜x ＜4时，y ＞0；（3）∵y ＝﹣x 2+2x+8＝﹣（x ﹣1）2+9，∴抛物线的顶点坐标为(1，9)，∴把抛物线y ＝﹣x 2+2x+8向下平移9个单位，抛物线与x 轴只有一个交点．【点睛】本题主要考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数图象与几何变换，待定系数法确定函数关系式等知识点，注意“数形结合”数学思想的应用；24．（1）b =2，c =m 2+2m +2；（2）m =-1；（3）见解析【分析】（1）由抛物线上两点代入抛物线解析式中即可求出b 和c ；（2）令y =0，抛物线和x 轴有公共点，即△≥0，再结合非负数的性质确定出m 的值，（3）将两点代入抛物线解析式中，表示出y 1，y 2，求出y 2-y 1分情况讨论即可【详解】解：（1）∵抛物线y =x 2+bx +c 经过（-1，m 2+2m +1）、（0，m 2+2m +2）两点， ∴2212122b c m m c m m ⎧-+=++⎨=++⎩， ∴2222b c m m =⎧⎨=++⎩，即：b =2，c =m 2+2m +2；（2）由（1）得y =x 2+2x +m 2+2m +2，令y =0，得x 2+2x +m 2+2m +2=0，∵抛物线与x 轴有公共点，∴△=4-4（m 2+2m +2）≥0，∴（m +1）2≤0，∵（m +1）2≥0，∴m +1=0，∴m =-1；（3）由（1）得，y =x 2+2x +m 2+2m +2，∵（a ，y 1）、（a +2，y 2）是抛物线的图象上的两点，∴y 1=a 2+2a +m 2+2m +2，y 2=（a +2）2+2（a +2）+m 2+2m +2，∴y 2-y 1=[（a +2）2+2（a +2）+m 2+2m +2]-[a 2+2a +m 2+2m +2]=4（a +2）当a +2≥0，即a ≥-2时，y 2-y 1≥0，即y 2≥y 1，当a +2＜0，即a ＜-2时，y 2-y 1＜0，即y 2<y 1．【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，抛物线与x 轴的交点，比较代数式的大小，解本题的关键是求出b ，用m 表示出抛物线解析式，难点是分类讨论．25．（1）y 101200x =-+（x≥50）；（2）售价定为65元可获得最大利润，最大利润8250元．【分析】（1）设一次函数解析式y kx b =+ （x≥50），利用待定系数法将（60,600），（80,400）代入即得解得解析式；（2）根据题意列出函数关系式，再利用二次函数的性质求最大利润即可，注意考虑自变量的范围，围巾的每条利润不允许高于进货价的30%．【详解】解：（1）设一次函数解析式y kx b =+ （x≥50）．由函数图像可知（60,600），（80,400）在函数图像上，代入即得：6006040080k b k b =+⎧⎨=+⎩解得：101200k b =-⎧⎨=⎩．所以，每月销售y （条）与售价x （元）的函数关系式：y 101200x =-+（x≥50）．（2）由题意得：()()=10120050w x x -+-化简得：2=10170060000w x x -+-由函数解析式可知对称轴是x=85时，x≤85时，w 随x 的增加而增大．因为，围巾的每条利润不允许高于进货价的30%，那么 x ≤50×（1+30%），即x≤65. 所以，当x=65时，w 取到最大值：2=106517006560000=8250w -⨯+⨯-．所以，售价定为65元可获得最大利润，最大利润8250元．【点睛】本题考查了一次函数与二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．26．5【分析】首先建立以AB 为x 轴，以AD 为y 轴的直角坐标系，过点G 作GQ ⊥AD 交AE 于Q ，再得出抛物线的解析式为y= -16+5及直线EC 解析式为y= -56x+7，最后求出H 的纵坐标即可得解．【详解】解：如图所示，建立以AB 为x 轴，以AD 为y 轴的直角坐标系，过点G 作GQ ⊥AD 交AE于Q，∵AD=2，DE=5，DF=1，∴D(0，2)，E(0,7)，F(0,3)，∵GQ⊥AD,EG=4，∠AEG=60°，∴GQ=sin60°×EG=34232=∴2216122EG GQ-=-=，∴AQ=AE-EQ=7-2=5,∴35)，3，0)，32)，∵35)为抛物线顶点，∴设抛物线的解析式为：3，将点F(0,3)代入解析式得3)²+5，即12a+5=3，解得a= -16，故抛物线解析式为：y= -163+5，设直线EC解析式为：y=kx+b(k≠0)，将E(0，7)，32)代入解析式联立，得：7223bk b=⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得：7536bk=⎧⎪⎨=⎪⎩直线解析式为：y= -563，∴H同时在抛物线与直线EC上联立得(21567y x y ⎧=--+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得：(舍去）即Hy=7+，得H的纵坐标为：7=4.5，故射灯离地面高度4.5米．故答案为：4.5．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确的构造直角三角形并选择正确的边角关系解直角三角形．。

人教版数学九年级上册第二十二章二次函数达标测试卷(含答案)

二次函数自我评估（本试卷满分120分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列函数中，属于二次函数的是（） A. y =2x ＋lB. y =（x ﹣l ）2﹣x 2C. y =5x 2D. y =22x 2. 在平面直角坐标系中，将二次函数y =x 2的图象先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得新抛物线的解析式为（） A. y =（x +3）2+1B. y =（x ﹣3）2﹣1C. y =（x +3）2﹣1D. y =（x ﹣3）2+13. 某抛物线的形状、开口方向与y =12x 2﹣4x +3相同，顶点坐标为（﹣2，1），则该抛物线的解析式为（） A ．y =12（x ﹣2）2+1 B ．y =12（x +2）2﹣1C ．y =12（x +2）2+1D ．y =-12（x +2）2+14. 二次函数y =ax 2+bx +c 的部分图象如图所示，可知关于x 的方程ax 2+bx +c =0的所有根的积为（） A ．﹣4 B ．4 C ．﹣5 D ．5第4题图第8题图第9题图第10题图 5. 关于二次函数y =3（x +1）2﹣7的图象及性质，下列说法正确的是（） A. 对称轴是x =1 B. 当x =﹣1时，y 取得最小值，且最小值为﹣7 C. 顶点坐标为（﹣1，7） D. 当x <﹣1时，y 随x 的增大而增大6. 某种商品每件的进价为30元，在某时间段内若以每件x 元出售，可卖出（100﹣x ）件．若想获得最大利润，则售价x 应定为（）A ．35元B ．45元C ．55元D ．65元7. 一次函数y =bx +a （b ≠0）与二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A B C D8. 板球是以击球、投球和接球为主的运动，该项目主要锻炼手眼的协调能力，集上肢动作控制能力、技巧与力量为一体的综合性运动.如图是运动员击球过程中板球运动的轨迹示意图，板球在点A 处击出，落地前的点B 处被对方接住，已知板球经过的路线是抛物线，其解析式为y =132x 2+14x +1，则板球运行中离地面的最大高度为（）A. 1B.32C.83D. 49. 如图，在△ABC 中，∠B =90°，AB =4 cm ，BC =8 cm ，动点P 从点A 出发，沿边AB 向点B 以1 cm/s 的速度移动（不与点B 重合），同时动点Q 从点B 出发，沿边BC 向点C 以2 cm/s 的速度移动（不与点C 重合）.当四边形APQC 的面积最小时，经过的时间为（） A. 1 s B. 2 s C. 3 s D. 4 s 10. 已知抛物线y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的顶点坐标是（﹣1，m ），与x 轴的一个交点在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图所示，有下列结论：①abc >0；②关于x 的方程ax 2+bx +c ﹣m =2没有实数根；③3a +c ＞0.其中正确的个数是（） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 抛物线y =x 2+2x +c 的对称轴是 . 12. 当a = 时，函数y =（a ﹣1）21a x＋x ﹣3是二次函数.13. 若二次函数y =x 2﹣4x +n 的图象与x 轴只有一个公共点，则实数n = .14. 点P 1（1，y 1），P 2（3，y 2），P 3（5，y 3）均在二次函数y =﹣x 2+2x +c 的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是 .15. 如图，将抛物线y 1=（x +1）2﹣3向右平移2个单位长度得到抛物线y 2，则阴影部分的面积为 .第15题图第16题图16. 圆形喷水池中心O 处有一雕塑OA ，从点A 向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同.如图，以水平方向为x 轴，O 为原点建立平面直角坐标系，点A 在y 轴上，x 轴上的C ，D 为水柱的落水点.已知雕塑OA 的高为116米，水柱最高点与OA 的水平距离为5米，落水点C ，D 之间的距离为22米，则喷出水柱的最大高度为米．三、解答题（本大题共8小题，共66分）17.（6分）已知二次函数y =x 2﹣4x +c 的图象经过点（3，0）．（1）求该二次函数的解析式；（2）点P （4，n ）向上平移2个单位长度得到点P '，若点P ′落在该二次函数的图象上，求n 的值． 18.（6分）已知二次函数y =x 2-4mx +3m 2（m ≠0）．（1）求证：该二次函数的图象与x 轴总有两个公共点；（2）若m>0，且两交点间的距离为2，求m 的值．19.（8分）购进一款防护PM 2.5的口罩，每件成本是5元，为了合理定价，投放市场试销，经调查可知，销售单价是10元时，每天的销量是50件，而销售单价每降低0.1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）求出每天的销售利润y （元）与销售单价x （元）之间的函数解析式；（2）求出销售单价定为多少元时，每天的利润最大，并求出最大利润. 20.（8分）如图，抛物线y =2x 2+bx ﹣2过点A （﹣1，m ）和B （5，m ）．（1）求b 和m 的值；（2）若抛物线与y 轴交于点C ，求△ABC 的面积．第20题图第21题图 21.（8分）如图，已知抛物线L 1：y 1=34x 2，将抛物线平移后经过点A （﹣1，0），B （4，0）得到抛物线L 2，与y轴交于点C．（1）求抛物线L2的解析式；（2）已知P为抛物线L2上的动点，过点P作PD⊥x轴，与抛物线L1交于点D，是否存在PD=2OC，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．22.（8分）已知抛物线y=﹣x2+bx+c的顶点坐标为（2，7）．（1）求b，c的值；（2）已知点A，B落在抛物线上，点A在第二象限，点B在第一象限.若点B的纵坐标比点A的纵坐标大3，设点B的横坐标为m，求m的取值范围．23.（10分）图①是一座抛物线形拱桥侧面示意图，水面宽AB与桥长CD均为24 m，在到点D的距离为6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5 m.以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．（1）求桥拱顶部O离水面的距离；（2）如图②，桥面上方有3根高度均为4 m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1 m．①求出其中一条钢缆抛物线的解析式；②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．①②①②第23题图第24题图24.（12分）如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B两点，顶点为C（1，﹣1），E为对称轴上一点，D，F为抛物线上的点（点D位于对称轴左侧），且四边形CDEF为正方形．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图①，求正方形CDEF的面积；（3）如图②，连接DF，与CE交于点M，与y轴交于点N.若P为抛物线上一点，Q为直线BN上一点，且P，Q两点均位于直线DF下方，当△MPQ是以点M为直角顶点的等腰直角三角形时，求点P的坐标．题报第②期二次函数自我评估参考答案答案详解三、17. 解：（1）将（3，0）代入y =x 2﹣4x +c ，得9﹣12+c =0，解得c =3. 所以该二次函数的解析式为y =x 2﹣4x +3.（2）点P （4，n ）向上平移2个单位长度得到点P '（4，n +2）. 将P ′（4，n +2）代入y =x 2﹣4x +3，得16﹣16+3= n +2，解得n =1．18.（1）证明：令y =0，则x 2-4mx +3m 2=0（m ≠0）.因为Δ=（-4m ）2﹣4×3m 2=4m 2>0，所以方程x 2-4mx +3m 2=0（m≠0）有两个不等的实数根.所以无论m 取何值，该函数的图象与x 轴总有两个公共点. （2）解：解方程x 2-4mx +3m 2=0，得x 1=m ，x 2=3m .所以函数y =x 2-4mx +3m 2的图象与x 轴两个交点的坐标为（m ，0），（3m ，0）.因为m >0，两交点间距离为2，所以3m-m =2，解得m =1． 19. 解：（1）根据题意，得y =（x ﹣5）105050.1x -⎛⎫+⨯⎪⎝⎭=﹣50x 2+800x ﹣2750（5≤x ≤10）.所以每天的销售利润y （元）与销售单价x （元）之间的函数解析式是y =﹣50x 2+800x ﹣2750（5≤x ≤10）. （2）由（1），知y =﹣50x 2+800x ﹣2750=﹣50（x ﹣8）2+450.因为﹣50<0，5≤x ≤10，所以当x =8时，y 有最大值，最大值为450. 所以销售单价定为8元时，每天的利润最大，最大利润是450元．20. 解：（1）因为A （﹣1，m ），B （5，m ）是抛物线y =2x 2+bx ﹣2上的两点，所以对称轴为x=15222b -+-=⨯，得b =﹣8.所以抛物线的解析式为y =2x 2﹣8x ﹣2.将A （﹣1，m ）代入y =2x 2﹣8x ﹣2，得m =2+8﹣2=8.（2）令x=0，得y =﹣2，所以点C 的坐标为（0，﹣2）.所以OC =2. 因为A （﹣1，8），B （5，8），所以AB =6.所以S △ABC =12×6×（2+8）=30． 21. 解：（1）设抛物线L 2的解析式为y=34x 2+bx+c. 将A （﹣1，0），B （4，0）代入，得3041240b c b c ⎧-+=⎪⎨⎪++=⎩，，解得943.b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，所以抛物线L 2的解析式为y=34x 294-x-3.（2）存在PD =2OC ．理由：设P 239344a a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，D 234a a ⎛⎫⎪⎝⎭，，所以PD=223933444a a a ---=934a +，OC=3．由934a +=2OC=6，解得a=43或a=-4.所以点P 的坐标为41433⎛⎫ ⎪⎝⎭，-或（﹣4，18）． 22. 解：（1）因为抛物线y =﹣x 2+bx +c 的顶点坐标为（2，7），所以对称轴为x=()21b-⨯-=2，解得b =4.所以y =﹣x 2+4x +c.将（2，7）代入y =﹣x 2+4x +c ，得﹣4+8+c =7，解得c =3.所以b 的值是4，c 的值是3. （2）因为y =﹣x 2+4x +3的顶点坐标为（2，7），所以抛物线开口向下，对称轴为x =2.令x =0，得y =3，所以抛物线与y 轴的交点坐标为（0，3）.所以点（0，3）关于对称轴的对称点为（4，3）. 因为点A ，B 落在抛物线上，点A 在第二象限，点B 在第一象限，点B 的纵坐标比点A 的纵坐标大3，所以将y =6代入y =﹣x 2+4x +3，得﹣x 2+4x +3=6，解得x =1或x =3.所以m 的取值范围是0<m <1或3<m <4.第22题图（共享2021-2022学年第二学期答案页第8期大报第20期“专项五”3题答案） 23. 解：（1）由题意，得F （6，-1.5）. 设抛物线的解析式为y 1=a 1x 2.将F （6，-1.5）代入，得62·a 1=-1.5，解得a 1=124-. 所以抛物线的解析式为y 1=124-x 2.当12x =时，y 1=-6，所以桥拱顶部离水面的距离为6 m ．（2）①由题意，得右侧抛物线的顶点为（6，1）.设右侧抛物线的解析式为y 2=a 2（x-6）2+1.将H （0，4）代入，得a 2（0-6）2+1=4，解得a 2=112. 所以右侧抛物线的解析式为y 2=112（x-6）2+1. ②设彩带的长度为h m ，则h =y 2-y 1=112（x-6）2+1-2124x ⎛⎫-⎪⎝⎭=18x 2–x+4=18（x–4）2+2. 因为18>0，所以h 有最小值.当x=4时，h 取得最小值，为2.所以彩带长度的最小值是2 m ．24. 解：（1）设抛物线的解析式为y =a （x ﹣1）2﹣1.将A （﹣1，0）代入，得a =14，所以y =14x 2-12x -34.（2）如图①，过点F 作FR ⊥EC 于点R . 设F 2113424t t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，则R 2113424t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭1，，所以RC =2111424t t -+，RF =t ﹣1. 因为四边形CDEF 是正方形，所以RF =RC .所以2111424t t -+=t ﹣1.所以t =1（舍去）或t =5.所以F （5，3）.所以RF =4.所以CF 2=32.所以正方形CDEF 的面积是32. （3）令y=0，则14x 2-12x -34=0，解得x=-1或x=3.所以B （3，0）. 由（2）可得N （0，3），M （1，3），所以直线BN 的解析式为y =﹣x +3.设Q （m ，3﹣m ），如图②，过点Q 作QG ⊥DF 于点G ，作PT ⊥DF 于点T .因为△MPQ 是以M 为直角顶点的等腰直角三角形，所以MP =QM ，∠TMP +∠GMQ =90°，∠TMP +∠TPM =90°.所以∠TPM =∠GMQ .所以△MTP ≌△QGM .所以PT =MG ，MT =QG .所以PT =MG =m ﹣1，MT =QG =m.所以P （1﹣m ，4﹣m ）.因为点P 在抛物线上，所以4﹣m =14（1﹣m ）2-12（1﹣m ）-34，解得m =﹣2±因为m ＞0，所以m =﹣2+所以P (3--.所以当△MPQ 是以M 为直角顶点的等腰直角三角形时，点P 的坐标为(3--．① ② 第24题图。

2023年春学期苏科版九年级数学下册第五章【二次函数】检测卷附答案解析

2023年春学期九年级数学下册第五章【二次函数】检测卷一、单选题1．抛物线y ＝﹣2（x ﹣3）2﹣4的顶点坐标是（）A ．（﹣3，4）B ．（﹣3，﹣4）C ．（3，﹣4）D ．（3，4）2．下列二次函数的图象经过原点的是（）A ．y=x 2+1B ．y=x 2+xC ．y=（x+1）2D ．y=x 2-2x+13．用绳子围成周长为10（m ）的矩形，记矩形的一边长为x （m ），面积为S （m 2）．当x 在一定范围内变化时，S 随x 的变化而变化，则S 与x 满足的函数关系是（）A ．一次函数关系B ．二次函数关系C ．反比例函数关系D ．正比例函数关系4．把抛物线y=2x 2向下平移1个单位，则平移后抛物线的解析式为（）A ．y=2x 2+1B ．y=2x 2-1C ．y=()22x 1+D ．y=()22x 1-5．若A （﹣3，y 1），21B ,y 2⎛⎫⎪⎝⎭，C （2，y 3）在二次函数y ＝x 2+2x+c 的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（）A ．y 2＜y 1＜y 3B ．y 1＜y 3＜y 2C ．y 1＜y 2＜y 3D ．y 3＜y 2＜y 16．下列函数：①y=-x ；②y=2x ；③1y x=-；④y=x 2.当x<0时，y 随x 的增大而减小的函数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．若将抛物线y=x 2平移，得到新抛物线2(3)y x =+，则下列平移方法中，正确的是（）A ．向左平移3个单位B ．向右平移3个单位C ．向上平移3个单位D ．向下平移3个单位8．一次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x=1．下列结论：①abc>0；②若(−3，y 1)，(4，y 2)在抛物线上，则y 1<y 2；③当−1<x<3时，y<0时；④8a+c>0．其中正确的有（）A ．①②B ．①④C ．①③④D ．②④9．已知：抛物线y 1=x 2+2x-3与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），抛物线y 2=x 2-2ax-1（a>0）与x 轴交于C 、D 两点（点C 在点D 的左侧），在使y 1>0且y 2≤0的x 的取值范围内恰好只有一个整数时，a 的取值范围是（）A ．0<a≤34B ．a≥34C ．34≤a ＜43D ．34<a≤4310．对于函数y==ax 2-（a+1）x+1，甲和乙分别得出一个结论：甲：若该函数图象与x 轴只有一个交点，则a=1；乙：方程ax 2-（a+1）x+1=0至少有一个整数根．甲和乙所得结论的正确性应是（）A ．只有甲正确B ．只有乙正确C ．甲乙都正确D ．甲乙都不正确二、填空题11．校运动会铅球比赛时，小林推出的铅球行进的高度y （米）与水平距离x （米）满足关系式21251233y x x =-++，则小林这次铅球推出的距离是米.12．在二次函数y=-x 2+bx+c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表．x -3-2-112345y-14-7-22mn-7-14则m-n 的值为．13．如图，已知二次函数21(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点A（－2，6）和B （8，3），则能使y 1＜y2成立的x的取值范围．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线21:2C y x =-+和抛物线22:2C y x x =+相交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），P 是抛物线22:2C y x x =+上AB 段的一点（点P 不与A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线交抛物线21:2C y x =-+于点Q ，以PQ 为边向右侧作正方形PQMN ．设点P 的横坐标为m ，当正方形的四个顶点分别落在四个不同象限时，m 的取值范围是．三、计算题15．已知抛物线y＝（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1与x轴相交于A、B两点，且AB＝2，求m的值．16．求二次函数y=x2+4x﹣5的最小值．四、作图题17．在同一平面内画出函数y=2x2与y=2x2+1的图象．五、解答题18．如图，等腰梯形的周长为60，底角为30°，腰长为x，面积为y，试写出y与x的函数表达式．19．如图，用50m长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积y（m2）与它与墙平行的边的长x（m）之间的函数．20．已知二次函数y＝﹣x2+mx+n与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），其中点A的坐标为（﹣1，0），AB＝4.求该二次函数的表达式.21．如图，用50m长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积y（m2）与它与墙平行的边的长x（m）之间的函数．六、综合题22．据环保中心观察和预测：发生于甲地的河流污染一直向下游方向移动，其移动速度v（千米/小时）与时间t（小时）的函数图象如图所示，过线段OC上一点T（t，0）作横轴的垂线l，根据物理知识：梯形OABC在直线l左侧部分的面积表示的实际意义为t（小时）内污染所经过的路程S（千米），其中0≤t≤30．（1）当t＝3时，则S的值为；（2）求S与t的函数表达式；（3）若乙城位于甲地的下游，且距甲地171千米，试判断这河流污染是否会侵袭到乙城？若会，求河流污染发生后多长时间它将侵袭到乙城；若不会，请说明理由．23．某商场经营某种品牌童装，进货时的单价是40元，根据市场调查，当销售单价是60元时，每天销售量是200件，销售单价每降低0.5元，就可多售出10件.（1）当销售单价为58元时，每天销售量是件.（2）求销售该品牌童装获得的利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（3）若商场规定该品牌童装的销售单价不低于57元且不高于60元，则销售该品牌童装获得的最大利润是多少？答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：由抛物线的顶点式y=-2（x-3）2-4可得：该抛物线的顶点坐标为（3，-4），故答案为：C.【分析】二次函数y=a(x-k)2+h（a≠0）的图象的顶点是（k，h），依此解答即可.2．【答案】B【解析】【解答】解：A、当x=0时，y=x2+1=1，则此二次函数的图象不经过原点，A不符合题意；B、当x=0时，y=x2+x=0，则此二次函数的图象经过原点，B符合题意；C、当x=0时，y=（x+1）2=1，则此二次函数的图象不经过原点，C不符合题意；D、当x=0时，y=x2-2x+1=1，则此二次函数的图象不经过原点，D不符合题意.故答案为：B.【分析】二次函数图象过原点，即（0，0）在函数图象上，因此把x=0代入选项四个解析式求出对应的函数值，若y=0，则可判断这个二次函数图象经过原点.3．【答案】B【解析】【解答】解：∵矩形周长为10m，一边长为x m，∴另一边长为：（10-2x）÷2=5-x（m），∴S=x（5-x）=-x2+5x.故答案为：B.【分析】结合矩形对边相等，将另一边长表示出来，再根据面积=长×宽，建立出S与x的关系式，即可判断.4．【答案】B【解析】【解答】解：∵抛物线y=2x2向下平移1个单位，∴y=2x2-1.故答案为：B.【分析】对于二次函数y=a(x+h)2+k，根据抛物线的平移规律：即左右平移在h后左加右减，上下平移在k后上加下减即可求出结果.5．【答案】A【解析】【解答】解：对称轴为直线x＝﹣221 ＝﹣1，∵a＝1＞0，∴x＜﹣1时，y随x的增大而减小，x＞﹣1时，y随x的增大而增大，∴y2＜y1＜y3．故答案为：A．【分析】求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性判断即可．6．【答案】B【解析】【解答】解：一次函数y ＝－x 中k ＜0，∴y 随x 的增大而减小，故本选项正确；∵正比例函数y ＝2x 中，k ＝2，∴当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，故本选项错误；∵反比例函数1y x＝中，k ＝－1＜0，∴当x ＜0时函数的图象在第二象限，此时y 随x 的增大而增大，故本选项错误；∵二次函数y ＝x 2，中a ＝1＞0，∴此抛物线开口向上，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，故本选项正确.故答案为：B.【分析】一次函数的比例系数k ＜0的时候，y 随x 的增大而减小，当比例系数k ＞0的时候，y 随x 的增大而增大，从而即可判断①、②；反比例函数的比例系数k ＜0的时候，图象的两支分别位于第二、四象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而增大，比例系数k ＞0的时候，图象的两支分别位于第一、三象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小；函数y=x 2的二次项系数大于0对称轴是y 轴，图象开口向上，在对称轴左侧，即当x<0时y 随x 的增大而减小，从而即可一一判断得出答案.7．【答案】A【解析】【解答】解：抛物线y=x 2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=（x+3）2的顶点坐标为（-3，0），因为点（0，0）向左平移3个单位长度后得到（-3，0），所以把抛物线y=x 2向左平移3个单位得到抛物线y=（x+3）2.故答案为：A.【分析】先确定抛物线y=x 2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=（x+3）2的顶点坐标为（-3，0），然后利用顶点的平移情况确定抛物线的平移情况.8．【答案】B【解析】【解答】解：①抛物线开口向上，则a ＞0，抛物线与y 交于负半轴，则c ＜0，x=-2ba=1，即b=-2a ，则b ＜0，∴abc ＞0，故①符合题意；②∵（-3，y 1）离对称直线x=1的距离为1-（-3）=4，（4，y 2）离对称直线x=1的距离为4-1=3，∴点（-3，y 1）离对称轴要比点（4，y 2）离对称轴要远，又∵抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大，4＞3，∴y 1＞y 2，故②不符合题意；③观察图象，抛物线与x 轴的一个交点为−1<x<0，∴当−1<x<3时，y 不一定小于0；故③不符合题意；④当x=-2时，y ＞0，则4a-2b+c ＞0，∵b=-2a ，∴8a+c ＞0，所以④符合题意；综上，正确的有①④，故答案为：B ．【分析】①抛物线开口向上，则a ＞0，抛物线与y 交于负半轴，则c ＜0，对称轴为x=-2ba=1，即b=-2a ，则b ＜0，可得abc ＞0，故正确；②由抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大，故②错误；③根据抛物线的对称性及与x 轴的一个交点为−1<x<0，可知当−1<x<3时，y 不一定小于0；④当x=-2时，y=4a-2b+c ＞0，由b=-2a 可得8a+c ＞0，故正确.9．【答案】C【解析】【解答】由题意可知()22210y x ax a =-->的对称轴为(0)x a a =>可知对称轴再y 轴的右侧，由2123y x x =+-与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧）可知当10y >时可求得31x x -或使1200y y >≤且的x 的取值范围内恰好只有一个整数时∴只要符合将2x =代入()22210y x ax a =-->中，使得20y ≤，且将3x =代入()22210y x ax a =-->中使得20y >即22−4−1≤09−6−1>0求得解集为：3443x ≤<故答案为：C【分析】利用抛物线y 2=x 2-2ax-1可求出其对称轴为直线x=a ，利用a 的取值范围可知对称轴再y 轴的右侧；同时可知当x ＜-3和x ＞1时y 1＞0；再根据y 1>0且y 2≤0的x 的取值范围内恰好只有一个整数，可得到x=2时y 2≤0，当x=3时y 2＞0，分别将其代入y 2的函数解析式，可得到关于a 的不等式组，然后求出不等式组的解集.10．【答案】B【解析】【解答】解：甲：当a=0时，y=-x+1，∴当y=0时，x=1，即函数图象与x 轴交于点（1，0），∴甲结论不正确，乙：当a=0时，-x+1=0，∴x=1；当a≠0时，ax 2-（a+1）x+1=（x-1）（ax-1）=0，解得x=1或x=1a，∴方程ax 2-（a+1）x+1=0至少有一个整数根.故答案为：B.【分析】甲：当a=0时，函数y=-x+1，此时函数图象与x 轴只有一个交点为（1，0），即可判断甲的结论；乙：当a=0时，-x+1=0，解得根为1，当a≠0时，ax 2-（a+1）x+1=（x-1）（ax-1）=0，解得根为1或1a，据此即可判断乙结论.11．【答案】10【解析】【解答】解：令y=0∴21251233x x -++=0∴x 2−8x−20=0解得：x 1=10，x 2=−2(舍去)∴小林这次铅球推出的距离是10米.故答案为：10.【分析】令y=0，求出x 的值，进而可得小林这次铅球推出的距离.12．【答案】3【解析】【解答】解：由表可得，（-1，-2）和（1，2）在二次函数y=-x 2+bx+c 图象上，∴1212b c b c --+=-⎧⎨-++=⎩，整理，解得21b c =⎧⎨=⎩，∴二次函数解析式为y=-x 2+2x+1，∴当x=2时，m=-4+4+1，解得m=1，当x=3时，n=-9+6+1，解得n=-2，∴m-n=1-（-2）=3.故答案为：3.【分析】由表可得，（-1，-2）和（1，2）在函数图象上，先利用待定系数法求出二次函数解析式，再将x=2和x=3分别代入即可计算出m 和n 的值，从而求出m-n 的值.13．【答案】−2＜x ＜8<8<p=""><8<>【解析】【解答】解：∵二次函数y 1＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）与一次函数y 2＝kx ＋m （k≠0）的图象相交于点A （−2，6），B （8，3），∴结合图象，能使y 1＜y 2成立的x 的取值范围是：−2＜x ＜8，故答案为：−2＜x ＜8，【分析】根据两函数交点坐标得出，能使y 1＜y 2成立的x 的取值范围即是图象y 2在图象y 1上面是x 的取值范围，即可得出答案．14．【答案】11704m +-<<【解析】【解答】解：若正方形的四个顶点分别落在四个不同象限，则P 点在第三象限，Q 点在第二象限，M 点在第一象限，N 点在第四象限，∵点P 的横坐标为m ，P 是抛物线22:2C y x x =+上AB 段的一点∴2(,2)P m m m +，0m <，由题意可知Q 点和P 点横坐标相同，∴2(,2)Q m m -+，若Q 在Q 点在第二象限，则220m -+>，解得02m <<，或02m <<（舍），∴()22222222PQ m m m m m =-+-+=--+，即2222QM PN PQ m m ===--+，∴M 、N 的横坐标都为()2222222m m m m m +--+=--+，∵M 点在第一象限，N 点在第四象限，∴2220m m --+>，当2220m m --+=时，解得11174m -=-，21174m =-，因此11711744m +--<<-时2220m m --+>，又∵0m <，∴11704m -<<，故答案为：11704m +-<<．【分析】若正方形的四个顶点分别落在四个不同象限，则P 点在第三象限，Q 点在第二象限，M 点在第一象限，N 点在第四象限，由点P 的横坐标为m ，通过解析式可表示点P 、Q 的坐标，即可表示PQ 的长，通过正方形的边长相等可表示N 点的横坐标，通过象限内点的坐标特点求解即可．15．【答案】解:令0y =,则()()2121=0m x m x -+--解关于x 的方程得11x =-，211x m =-设()10A -，,1(01B m -）∵2AB =∴(10B ，）或(30B -，）∴111m =-或131m =--解得12m =,223m =,经检验12m =,223m =是分式方程的根.∴m 的值为2或23.【解析】【分析】令y=0，求关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+（m-2）x-1=0的解，即为点A 、B 的横坐标，再根据AB=2求得m 的值即可．16．【答案】解：y=x 2+4x ﹣5=（x+2）2﹣9，则二次函数y=x 2+4x ﹣5的最小值为﹣9【解析】【分析】直接利用配方法得出二次函数顶点式，进而得出二次函数最值．17．【答案】解：列表得：x ﹣2-1012y=2x 282028y=2x 2+193139【解析】【分析】利用二次函数的对称性先列表，再描点，然后用圆滑的曲线连接即可。

二次函数测试题(附答案)

二元一次函数测试题（附答案）一、选择题:1. 抛物线y=(x-2)2+3的对称轴是( ).A.直线x=-3B.直线x=3C.直线x=-2D.直线x=22. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,则点M(b, )在( ).A.第一象限;B.第二象限;C. 第三象限;D.第四象限3、已知二次函数y=ax2+bx+c,且a<0,a-b+c>0,则一定有( ).A.b2-4ac>0B.b2-4ac=0C. b2-4ac<0D. b2-4ac≤04、把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式是y=x2-3x+5,则有( ).A.b=3,c=7B.b=-9, c=-15 C .b=3,c=3 D.b=-9,c=215、在同一直角坐标系中,一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为( ).6、已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点P的横坐标是4,•图象交x轴于点A(m,0)和点B,且m>4,那么AB的长是( ).A.4+mB.mC.2m-8D.8-2m二、填空题1.若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式,则y=_______.2.请你写出函数y=(x+1)2与y=x2+1具有的一个共同性质_______.3.已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2,且经过点(1,4)和点(5,0),则该抛物线的解析式为_________.4.已知二次函数的图象开口向下,且与y轴的正半轴相交,请你写出一个满足条件的二次函数的解析式:_________.5.已知抛物线y=ax2+x+c与x轴交点的横坐标为-1,则a+c=_____.6.有一个二次函数的图象,三位学生分别说出了它的一些特点: 甲:对称轴是直线x=4; 乙:与x轴两个交点的横坐标都是整数; 丙:与y轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个交点为顶点的三角形面积为3.三、解答题1.已知函数y=x2+bx-1的图象经过点(3,2). (1)求这个函数的解析式; (2)画出它的图象,并指出图象的顶点坐标; (3)当x>0时,求使y≥2的x取值范围.2.已知抛物线y=- x2+(6- )x+m-3与x轴有A、B两个交点,且A、B两点关于y轴对称.(1)求m的值;(2)写出抛物线解析式及顶点坐标;(3)根据二次函数与一元二次方程的关系将此题的条件换一种说法写出来.3.在平面直角坐标系中,给定以下五点A(-2,0),B(1,0),C(4,0),D(-2, ),E(0,-6),从这五点中选取三点,使经过这三点的抛物线满足以平行于y•轴的直线为对称轴.我们约定:把经过三点A、E、B的抛物线表示为抛物线AEB(如图所示).(1)问符号条件的抛物线还有哪几条?不求解析式,•请用约定的方法一一表示出来;(2)在(1)中是否存在这样的一条抛物线,它与余下的两点所确定的直线不相交?如果存在,试求出解析式及直线的解析式;如果不存在,请说明理由.四、综合题1.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于B、C两点,•与y轴交于A点. (1)根据图象确定a、b、c的符号,并说明理由; (2)如果点A的坐标为(0,-3),∠ABC=45°,∠ACB=60°,•求这个二次函数的解析式.2.•某市近年来经济发展速度很快,•根据统计:•该市国内生产总值1990年为8.6亿元人民币,1995年为10.4亿元人民币,2000年为12.9亿元人民币. 经论证,上述数据适合一个二次函数关系,请你根据这个函数关系,预测2005•年该市国内生产总值将达到多少?3.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,•公司经历了从亏损到盈利的过程.下面的二次函数图象(部分)•刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和s与t之间的关系). 根据图象(图)提供的信息,解答下列问题:(1)由已知图象上的三点坐标,求累积利润s(万元)与时间t(月)之间的函数关系式;(2)求截止到几月末公司累积利润可达到30万元;(3)求第8个月公司所获利润是多少万元?4.如图,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面AB•的宽为20m,如果水位上升3m时,水面CD的宽是10m. (1)建立如图所示的直角坐标系,求此抛物线的解析式; (2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地,已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计).货车正以每小时40km的速度开往乙地,当行驶1小时时,•忽然接到紧急通知:前方连降暴雨,造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处,当水位达到桥拱最高点O时,禁止车辆通行),试问:如果货车按原来速度行驶,能否完全通过此桥?若能,请说明理由;若不能,•要使货车安全通过此桥,速度应超过每小时多少千米? 三、开放探索题5. •某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时,发现了两个重要的结论.一是发现抛物线y=ax2+2x+3(a≠0),当实数a变化时,它的顶点都在某条直线上;二是发现当实数a变化时,若把抛物线y=ax2+2x+3的顶点的横坐标减少,纵坐标增加,得到A点的坐标;若把顶点的横坐标增加,纵坐标增加,得到B点的坐标,则A、B两点一定仍在抛物线y=ax2+2x+3上.(1)请你协助探求出当实数a变化时,抛物线y=ax2+2x+3的顶点所在直线的解析式;(2)问题(1)中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点,你能找出它来吗?并说明理由;(3)在他们第二个发现的启发下,运用“一般——特殊——一般”的思想,•你还能发现什么?你能用数学语言将你的猜想表述出来吗?你的猜想能成立吗?若能成立,请说明理由.6.如图,在直角坐标系中,正方形ABCD的边长为a,O为原点,•点B在x轴的负半轴上,点D在y轴的正半轴上.直线OE的解析式为y=2x,直线CF过x轴上一点C(- a,0)且与OE平行.现正方形以每秒的速度匀速沿x轴正方向平行移动,•设运动时间为t秒,正方形被夹在直线OE和CF间的部分的面积为S.(1)当0≤t<4时,写出S与t的函数关系;(2)当4≤t≤5时,写出S与t的函数关系,在这个范围内S有无最大值?若有,•请求出最大值;若没有,请说明理由.答案: 基础达标验收卷一、1.D 2.D 3.A 4.A 5.B 6.C二、1.(x-1)2+2 2.图象都是抛物线或开口向上或都具有最低点(最小值) 3.y=- x2+2x+ 4.如y=-x2+1 5.16.y= x2- x+3或y=- x2+ x-3或y=- x2- x+1或y=- x2+ x-1三、1.解:(1)∵函数y=x2+bx-1的图象经过点(3,2), ∴9+3b-1=2,解得b=-2. ∴函数解析式为y=x2-2x-1.(2)y=x2-2x-1=(x-1)2-2. 图象略. 图象的顶点坐标为(1,-2). (3)当x=3时,y=2,根据图象知,当x≥3时,y≥2. ∴当x>0时,使y≥2的x的取值范围是x≥3.2.(1)设A(x1,0) B(x2,0). ∵A、B两点关于y轴对称. ∴∴解得m=6. (2)求得y=- x2+3.顶点坐标是(0,3)(3)方程- x2+(6- )x+m-3=0的两根互为相反数(或两根之和为零等).3.解:(1)符合条件的抛物线还有5条,分别如下: ①抛物线AEC; ②抛物线CBE; ③抛物线DEB; ④抛物线DEC; ⑤抛物线DBC. (2)在(1)中存在抛物线DBC,它与直线AE不相交. 设抛物线DBC的解析式为y=ax2+bx+c. 将D(-2, ),B(1,0),C(4,0)三点坐标分别代入,得解这个方程组,得a= ,b=- ,c=1. ∴抛物线DBC的解析式为y= x2- x+1.解法二:设抛物线为y=a(x-1)(x-4),代入D(-2, ),得a= 也可.】又将直线AE的解析式为y=mx+n. 将A(-2,0),E(0,-6)两点坐标分别代入,得解这个方程组,得m=-3,n=-6. ∴直线AE的解析式为y=-3x-6.能力提高练习一、1.解:(1)∵抛物线开口向上,∴a>0. 又∵对称轴在y轴的左侧, ∴- <0,∴b>0. 又∵抛物线交于y轴的负半轴. ∴c<0. (2)如图,连结AB、AC. ∵在Rt△AOB中,∠ABO=45°, ∴∠OAB=45°.∴OB=OA.∴B(-3,0). 又∵在Rt△ACO中,∠ACO=60°, ∴OC=OA•cot60°= ,∴C( ,0). 设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0). 由题意∴所求二次函数的解析式为y= x2+ ( -1)x-3.2.依题意,可以把三组数据看成三个点: A(0,8.6),B(5,10.4),C(10,12.9) 设y=ax2+bx+c. 把A、B、C三点坐标代入上式,得解得a=0.014,b=0.29,c=8.6. 即所求二次函数为y=0.014x2+0.29x+8.6. 令x=15,代入二次函数,得y=16.1. 所以,2005年该市国内生产总值将达到16.1亿元人民币.3.解:(1)设s与t的函数关系式为s=at2+bt+c 由题意得或解得∴s= t2-2t.(2)把s=30代入s= t2-2t, 得30= t2-2t. 解得t1=0,t2=-6(舍). 答:累积利润可达到30万元.(3)把t=7代入,得s= ×72-2×7= =10.5; 把t=8代入,得s= ×82-2×8=16. 16-10.5=5.5. 答:公司获利润5.5万元.4.解:(1)设抛物线的解析式为y=ax2,桥拱最高点O到水面CD的距离为hm, 则D(5,-h),B(10,-h-3). ∴解得抛物线的解析式为y=- x2.(2)水位由CD处涨到点O的时间为:1÷0.25=4(小时). 货车按原来速度行驶的路程为:40×1+40×4=200<280, ∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥. 设货车速度提高到xkm/h.当4x+40×1=280时,x=60. ∴要使货车完全通过此桥,货车的速度应超过60km/h.5.略。

2023-2024学年苏科版九年级数学下册第5章《二次函数》检测卷(含解析)

2023-2024学年九年级数学下册检测卷第5章《二次函数》姓名：_________ 班级：_________ 学号：_________注意事项：本试卷满分130分，考试时间120分钟，试题共28题。

答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置。

一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）A ．B <2x -A ．B ．C ．8．（2023秋·江苏苏州·九年级阶段练习）函数的图象则下列结论正确的是（）①；②；③；④将图象向上平移A ．①②B ．①③9．（2023·江苏泰州·统考二模）已知点其中．若A ．B ．()23，34582525⎛⎫ ⎪⎝⎭，36482525⎛⎫⎪⎝⎭，()220,40y ax bx c a b ac =++>->20a b +=3c =0abc >20am b +=31y y y <<13m -<<m >二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）16．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）已知二次函数两点，且满足：17．（2023秋·江苏南通三、解答题（10小题，共76分）19．（2023春·江苏盐城·八年级校考期中）已知抛物线y= x 2+(m-1)x+m-3（m 为常数），求证：无论m 为何值，抛物线与x 轴总有两个公共点．(,0),(,0)A a B b20．（2023秋·江苏南通·九年级校考阶段练习）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，经过（﹣1，0）、（3，0）、（0，﹣3）。

（1）求二次函数的解析式；（2）不等式ax2+bx+c＞0的解集为_______；（3）方程ax2+bx+c＝m有两个实数根，m的取值范围为_______．21．（2023春·江苏盐城·八年级校考期中）已知二次函数y=x2+bx+c的图像经过A（0,2），B（1,-3）两点．（1）求b和c的值；（2）试判断点P（-1,4）是否在此函数图像上？22．（2023春·江苏盐城·八年级校考期中）某商店销售某种特产商品，以每千克12元购进，按每千克16元销售时，每天可售出100千克，经市场调查发现，单价每涨1元，每天的销售量就减少10千克．（1）若该商店销售这种特产商品想要每天获利480元，并且尽可能让利于顾客，那么每千克特产商品的售价应为多少元？（2）通过计算说明，每千克特产商品售价为多少元时，每天销售这种特产商品获利最大，最大利润是多少元？23．（2023秋·江苏南通·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-4ax-5交x（1）求点B 的坐标和抛物线的表达式．（2）将抛物线顶点向上平移，求m 的值．（1）求点A 、B 、D 的坐标，并在下面直角坐标系中画出该二次函数的大致图像；（2）设一次函数y 2=kx+b(k ≠0)的图像经过25．（2023春·江苏淮安·九年级校考阶段练习）某公司生产的某种时令商品每件成本为场调研发现：①这种商品在未来40天内的日销售量m （件）与时间56CD AB请结合上述信息解决下列问题：（1）经计算得，当0＜t≤20时，y关于函数关系式为_____．观察表格，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的刻画请写出m关于t的函数关系式为_____（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？（1）求抛物线的解析式；（2）点P为线段AC上方的抛物线上一动点，过以及PF的最大值．x＞0时，抛物线最高点的纵坐标值为4，当x≤0时，抛物线最高点的纵坐标值为3．（1）求a、b的关系式（用含b的代数式表示a）；（2）若OA=OB，求该抛物线的函数表达式；（3）在（2）的条件下，连接AB，M为抛物线对称轴上一点，过点M作直线CD∥AB，交抛物线于C、D两点，若线段CD满足3≤CD≤6，求M点纵坐标的取值范围．28．（2023秋·江苏苏州·九年级阶段练习）已知如图，抛物线y=-x2+2mx+2m+1（m是常数，且m＞0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC 交于点E，与x轴交于点F．连接OE，CD．（1）填空：∠OBC=_______°；（2）设h=OC-DE，请写出h关于m的函数表达式，并求出h的最大值；（3）将△OCE沿点C到点D的方向平移，使得点C与点D重合．设点E的对应点为点E’’，问点E’’能否落在二次函数y=-x2+2mx+2m+1的图象上？若能，请求出此时m的值；若不能，请说明理由．参考答案一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）1．B【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可．【详解】解：A ．函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；B ．函数是二次函数，故本选项符合题意；C ．，函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；D ．函数不是二次函数，故本选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，形如（、、为常数，）的函数，叫二次函数．2．B【分析】根据二次函数图象的平移“左加右减，上加下减”可进行求解．【详解】解：由二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为；故选B ．【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键．3．C【分析】利用表中数据得到时，，时，，则可判断时，有一个根满足．【详解】解：时，，时，，∴时，有一个根满足，即方程必有一个解x 满足．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．4．D【分析】先求出抛物线（b 为常数）的顶点为，求出顶点22(1)21y x x x =+-=+2y ax bx c =++a b c 0a ≠2(1)3y x =++2(1)2y x =-+1.1x =212150.59<0x x +-=- 1.2x =212150.84>0x x +-=212150x x +-= 1.1<<1.2x 1.1x = 212150.59<0x x +-=-1.2x =212150.84>0x x +-=1.1<<1.2x 212150x x +-=212150x x +-= 1.1<<1.2x 22221y x bx b b =-+-+(),21b b -+(),21b b -+在上时，c 的取值范围，即可得到顶点不在抛物线（c 为常数）上时c 的取值范围．【详解】解：由知，抛物线（b 为常数）的顶点为，当顶点在上时，则，则，∴抛物线（b 为常数）的顶点不在抛物线（c 为常数）上时，则c 应满足．故选：D【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，求出抛物线的顶点和准确计算是解题的关键．5．D【分析】由抛物线与x 轴的交点坐标，结合图象即可解决问题．【详解】解：∵二次函数的图象与轴相交于和两点，函数开口向下，∴函数值时，自变量x 的取值范围是或，故选：D ．【点睛】本题考查的是抛物线与x 轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，以及这些点代表的意义及函数特征．6．C【分析】将，代入方程，求得，的值，得到二次函数解析式，进而求得点和点的坐标，即可求得答案．【详解】解：将，代入方程，得解得二次函数解析式为．点坐标为．将代入二次函数，得2y x c =+2y x c =+()22222121y x bx b b x b b =-+-+=--+22221y x bx b b =-+-+(),21b b -+(),21b b -+2y x c =+221b b c -+=+()2221122c b b b =--+=-++≤22221y x bx b b =-+-+2y x c =+2c >2y ax bx c =++x ()20-，()40，0y <<2x -4x >11x =-23x =20x bx c +-=b c A B 11x =-23x =20x bx c +-=10930b c b c --=⎧⎨+-=⎩23b c =-⎧⎨=⎩∴223y x x =-+∴A ()0,33y =，解得，．点坐标为．的长为．故选：C ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系，以及二次函数的图象和性质，牢记一元二次方程及二次函数的有关知识是解题的关键．7．C【分析】设点的坐标为，则，，根据勾股定理表示出的长度，通过配方可以求出当最小时，的值，据此即可求解．【详解】解：设点的坐标为，，，，，∴当时，最短，此时点的坐标为，故选：C ．【点睛】本题考查了一次函数点的特征，勾股定理，二次函数的性质，表示出的长度是解题的关键．8．B【分析】根据函数图象与x 轴交点的横坐标求出对称轴为，进而可得，故①正确；由函数图象与y 轴的交点坐标为，的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成可知，故②错误；根据对称轴求出，进而可得，故③正确；求出翻折前的二次函数的顶点坐标，然后根据平移的性质可得④错误．【详解】解：由函数图象可得：与x 轴交点的横坐标为和3，∴对称轴为，即，2233x x -+=10x =22x =∴B ()2,3∴AB 2C ()33044m m m ⎛⎫-+≤≤ ⎪⎝⎭，OE m =334OD m =-+DE DE m C ()33044m m m ⎛⎫-+≤≤ ⎪⎝⎭，OE m ∴=334OD m =-+DE ∴===2225925361449162162525m m m ⎛⎫-+=-+⎪⎝⎭ 3625m =DE C 36482525⎛⎫⎪⎝⎭，DE 12ba-=20a b +=()03，()220,40y ax bx c a b ac =++>->x x 3c =-0b <0abc >2y ax bx c =++1-1312x -+==12ba -=∴整理得：，故①正确；∵与y 轴的交点坐标为，可知，开口向上，图中函数图象是由原函数下方部分沿轴向上翻折而成，∴，故②错误；∵中，，∴，又∵，∴，故③正确；设抛物线的解析式为，代入得：，解得：，∴，∴顶点坐标为，∵点向上平移1个单位后的坐标为，∴将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点，故④错误；故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的对称轴公式，顶点坐标的求法是解题的关键．9．C【分析】先证得点是该抛物线的顶点，根据点，均在抛物线上，，可知该抛物线开口向上，对称轴是直线，然后分再分类讨论，分，，，讨论，从而可以求得的取值范围，本题得以解决．【详解】解：由得，直线是抛物线的对称轴，且此时，且，为抛物线的顶点，且抛物线开口向上，当时，到对称轴的距离大于到对称轴的距离，，不符合题意，20a b +=()220,40y ax bx c a b ac =++>->()03，()20y ax bx c a =++>x 3c =-()220,40y ax bx c a b ac =++>->0a >12ba-=0b <30c =-<0abc >2y ax bx c =++()()13y a x x =+-()03，33a =-1a =-()()()22132314y x x x x x =-+-=-++=--+()14，()14，()15，5y =()3,M m y ()11,P y -()23,Q y 2y ax bx c =++312y y y <<x m =1m >1m =11m -<<1m <-m 20am b +=2bm a=-x m =2y ax bx c =++3y y =312y y y <<()3,M m y ∴1m >()11,P y -()23,Q y 321y y y <<当时，，关于直线对称，此时，不符合题意，故；当时，点，重合，不符合题意，故；当时，到对称轴的距离小于到对称轴的距离，，符合题意，当时，到对称轴的距离小于到对称轴的距离，，符合题意，综上所述：且．故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是分类讨论的思想方法．10．D【分析】作轴，交x 轴于点D ，设A 、B 两点横坐标为x 1和x 2，设点，根据勾股定理进行线段之间的转换，列出方程，再根据韦达定理，即可解答．【详解】解：如图，作轴，设A 、B 两点横坐标为x 1和x 2，设点，轴，，，，，，整理得，，二次函数的图象与x 轴相交于A ，B 两点，是的解，1312m -+==()11,P y -()23,Q y x m =12y y =1m ≠1m =-()11,P y -()3,M m y 1m ≠-11m -<<()11,P y -()23,Q y 312y y y <<1m <-()11,P y -()23,Q y 312y y y <<1m <1m ≠-CD x ⊥()4C m -，CD x ⊥()4C m -，CD x ⊥ 222222AD CD AC BD CD BC ∴+=+=，90ACB ∠=︒ 222AC BC AB ∴+=22222AD CD BD CD AB ∴+++=()()()22222121244m x x m x x ∴-++-+=-()21212160m m x x x x -+++= ()2=++0y ax bx c a >12,x x ∴20ax bx c =++，，，∵点在抛物线上，，．故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的关系式与系数的关系，结合题意绘图解答是解题的关键．二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）11．9【分析】根据二次函数的顶点式确定二次函数的最大值．【详解】解：∵二次函数的表达式为，∴当时，二次函数取得最大值，为．故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键．12．【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据，，三点到对称轴的距离大小求解．【详解】解：∵，∴抛物线开口向下，对称轴为直线，∴距离对称轴越近的点的纵坐标越大，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质．13．【分析】根据二次函数的顶点坐标公式结合y 轴上点的横坐标为0求解即可．1212,b cx x x x a a ∴+=-=2160b cm m a a∴+++=216am bm c a ∴++=-()4C m -，164a ∴-=-14a ∴=229y x =-+0x =99231y y y <<A B C ()240y mx mx n m =-+<422-=-=mx m32202(2)-<-<--231y y y <<231y y y <<2-【详解】解：∵二次函数的顶点在y 轴上，∴，解得，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的顶点坐标公式和y 轴上点的坐标特点，熟记二次函数的顶点坐标公式是解题的关键．14．【分析】将抛物线整理成的形式，可得当时，无论m 取何值，函数图象恒过定点，据此求解．【详解】解：∵，∴当时，无论m 取何值，函数图象恒过定点，此时，，即定点A 的坐标为；故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，掌握求解的方法是关键．15．50【分析】设，求出的长度关系，然后求出四边形的面积关系式，利用二次函数的性质即可求解．【详解】解：设，则，所以四边形的面积为，∵，开口向下，∴当时，S 取得最大值为3750平方米，故答案为：50．【点睛】本题考查了二次函数函数的实际应用，涉及到二次函数的性质，属于基础题．16．【分析】首先确定该函数的对称轴为直线为，结合可得，故当时，该函数的最大值为其顶点的纵坐标，即可获得答案．【详解】解：∵二次函数的图象与轴交于两点，()22y x b x b =-++202b +=2b =-2-()1,0-()()2211y x m x m m x x x =-+-+=+--10x +=()()2211y x m x m m x x x =-+-+=+--10x +==1x -0y =()1,0-()1,0-m AB x =BC ABCD m AB x =3003m 2xBC -=ABCD ()23003350375022x S AB BC x x -=⋅=⋅=--+302-<50x =31H m =+2a b x +=46a b ≤+≤232a b+≤≤13x ≤≤22y x mx m =++x (,0),(,0)A a B b∴该函数的对称轴为直线，∵，∴，∴当时，该函数的最大值是时．故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据确定二次函数对称轴的位置是解题的关键．17．【分析】由完美点的概念可得：，即，由只有一个完美点可得判别式，得方程根为2，从而求得，所以得出函数解析式，由此解析式可求得此抛物线的顶点坐标以及与坐标轴的交点坐标，根据函数值，可求得x 的取值范围．【详解】由题意可得，，即图象上有且只有一个完美点，，则，方程根为函数该二次函数顶点坐标为，与y 轴交点为，根据对称规律，点也是该二次函数图象上的点，在左侧，随的增大而增大;在右侧，随的增大而减小;且当时，函数的最小值为，最大值为1，则故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的性质以及根的判别式的知识，利用数形结合和分类讨论是解题关键．2a bx +=46a b ≤+≤232a b+≤≤13x ≤≤1x =1231H m m m =++=+31H m =+552m ≤≤25ax x c x ++=240ax x c ++=1640ac =-= 1,4a c =-=-25ax x c x ++=240ax x c ++= 1640ac ∴=-= 416ac =∴422b x a a==-=-422a∴-=1,4a c ∴=-=-∴225554421=++-=-+-y ax x c x x 5()21，(04)21，-(54)21，-52x =y x 52x =y x 0x m ≤≤22154y x x =-+-214-552m ≤≤552m ≤≤18．【分析】根据抛物线过点，两点，得轴，且m 、n 是方程的两根，所以，，又根据线段AB 的长不大于4，得，从而得，解得，再根据当时，的值随a 的增大而增大，当时，的值最小，最小值．【详解】解：又∵抛物线过点，两点，∴轴，且m 、n 是方程的两根，∴，，∴，∵线段AB 的长不大于4，∴，∴，∴，∴，∵，∴当时，的值随a 的增大而增大，∴当时，的值最小，最小值．故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的性质，抛物线与一元二次方程的联系，一元二次方程根与系数的关系，根据题意求得是解题的关键．三、解答题（10小题，共76分）19．见解析74()3A m ，()3B n ，AB x ∥24413ax ax a +++=4m n +=-42a mn a-=4m n -≤8016a ≤≤12a ≥2213124a a a ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭12a ≥-21a a ++12a =21a a ++21171224⎛⎫=++= ⎪⎝⎭()3A m ，()3B n ，AB x ∥24413ax ax a +++=4m n +=-42a mn a-=()()()222168844a m n m n mn a a--=+-=--=4m n -≤()2016m n ≤-≤8016a ≤≤12a ≥2213124a a a ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭12a ≥-21a a ++12a =21a a ++21171224⎛⎫=++= ⎪⎝⎭7412a ≥【分析】求得判别式并分解得到平方与正数的和，得到判别式大于0即可证明．【详解】证明：∵，∴无论为何值，抛物线与轴总有两个公共点．【点睛】本题主要考查了抛物线与x 轴的交点问题，把抛物线与x 轴的交点问题转化为一元二次方程的问题是解题的关键．20．（1）y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）x ＜﹣1或x ＞3；（3）m ≥﹣4．【分析】（1）把（﹣1，0）、（3，0）、（0，﹣3）代入y ＝ax 2+bx +c 解方程组即可得到结论；（2）根据图象即可得到结论；（3）设y ＝ax 2+bx +c 和y ＝m ，方程ax 2+bx +c ＝m 有两个实数根，即二次函数图象与直线y ＝m 有两个交点或一个交点，结合一元二次方程根的判别式即可求出m 的取值范围．【详解】解：（1）把（﹣1，0）、（3，0）、（0，﹣3）代入y ＝ax 2+bx +c 得，解得：，∴二次函数的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）由函数图象可知抛物线和x 轴的两个交点横坐标为﹣1，3，所以不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为x ＜﹣1或x ＞3；（3）设y ＝ax 2+bx +c 和y ＝m ，方程ax 2+bx +c ＝m 有两个实数根，则二次函数图象与直线y ＝m 有两个交点或一个交点，即有两个实数根，∴，即，解得m ≥﹣4．【点睛】本题考查二次函数与不等式，抛物线与x 轴的交点问题，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此，同学们要引起重视．21．（1）；（2）不在【分析】（1）已知了抛物线上两点的坐标，可将其代入抛物线中，通过联立方程组求得、的值；（2）将点坐标代入抛物线的解析式中，即可判断出点是否在抛物线的图象上．【详解】（1）解：把，两点代入二次函数得()()()222143613340m m m m m ∆=---=-+=-+>m x 09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩223x x m --=0∆≥()()224130m --⨯⨯--≥6,2b c =-=b c P P (0,2)A (1,3)B -2y x bx c =++，解得，；（2）解：由（1）得，把代入，得，点在不在此函数图象上．【点睛】本题考查了用待定系数法求函数表达式的方法，掌握待定系数法求函数解析式的方法与步骤是解决问题的关键．22．（1）18元（2）销售价格定为19时，才能使平均每天获得的利润最大，最大利润是490元【分析】（1）设每千克水果应涨价x 元，根据题意列出一元二次方程即可求出结果；（2）设销售价格为x ，用含x 的式子表示所获利润，然后配方，利用平方的非负性即可求出最值．【详解】（1）解：设每千克水果应涨价x 元，根据题意，得：，解得：，，∵要尽可能让利于顾客，只能取，∴售价应为（元），答：每千克特产商品的售价应为18元；（2）解：设每天获得的利润为W ，销售价格为x ，则∴销售价格定为19时，才能使平均每天获得的利润最大，最大利润是490元．【点睛】本题考查一元二次方程和配方法的应用，掌握实际问题中的等量关系和配方法是解题的关键．23．（1）点坐标为；抛物线解析式为；（2）【分析】（1）把点坐标代入中求出得到抛物线解析式；解方程得213c b c =⎧⎨++=-⎩6b =-2c =262y x x =-+1x =262y x x =-+16294y =++=≠P ()1,4-()()161210010480x x +--=12x =24x =2x =16218+=()()121001016W x x ⎡⎤=---⎣⎦()()1210260x x =--+2103803120x x =-+-()21019490x =--+B (5,0)245y x x =--254m =A 245y ax ax =--a 2450x x --=B点坐标；（2）利用配方法得到，则抛物线的顶点坐标为，则，利用和抛物线的对称性得到点坐标为，然后把代入得，最后解关于的方程即可．【详解】（1）把代入得，解得，抛物线解析式为，当时，，解得，，点坐标为；（2），抛物线的顶点坐标为，抛物线顶点向上平移个单位得点，，，而点与点关于直线对称，点坐标为，，即，把代入得，解得．【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和最短路径问题．24．（1），图见解析；（2）【分析】（1）根据二次函数与坐标轴有交点的计算方法，将二次函数一般式变为顶点式即可求解；（2）根据题意分别求出点的坐标，运用待定系数法可求出一次函数解析式，再与二次函数联立方程组求解，可得交点坐标，并绘图，根据图示即可求解．【详解】（1）解：根据题意，令时，则有，解得，，，∴，由二次函数可得顶点式为，2(2)9y x =--(2,9)-(2,9)P m -556CD AB ==D 9(,9)2m -9(,9)2D m -245y x x =--81945942m -⨯-=-m (1,0)A -245y ax ax =--450a a +-=1a =∴245y x x =--0y =2450x x --=11x =-25x =B ∴(5,0)2245(2)9y x x x =--=-- ∴(2,9)- m P (2,9)P m ∴-556566CD AB ==⨯= C D 2x =D ∴5(2,9)2m +-9(,9)2m -9(,9)2D m -245y x x =--81945942m -⨯-=-254m =x 2(y ax bx c a =++b c 0)a ≠x x (10)(30)(14)A B D --，,，,，03x <<,B C 0y =2023x x -=-11x =-23x =(10)(30)A B -，,，2123y x x =--21(1)4y x =--∴，图像如图所示：（2）解：由（1）可知，∵二次函数与轴交于点，∴，∵一次函数的图像经过两点，∴，解得，，∴一次函数解析式为，∴一次函数与二次函数联立方程组，，解得，或，∴一次函数与二次函数的交点坐标为，，∴由题意画出直线的图像，如图所示，(14)D -，(3,0)B 2123y x x =--y C (0,3)C -()20y kx b k =+≠B C 、303k b b +=⎧⎨=-⎩13k b =⎧⎨=-⎩23y x =-3y x =-2=23y x x --2323y x y x x =-⎧⎨=--⎩03x y =⎧⎨=-⎩3x y =⎧⎨=⎩(0,3)-(3,0)23y x =-∴由图像可得，当时，．【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数的综合，掌握待定系数求解析式，联立方程组求交点坐标，根据交点坐标求不等式的解集是解题的关键．25．（1）；；（2）第14天利润最大，最大利润为578元【分析】（1）当时，y 是t 的一次函数，先设出函数解析式，再用待定系数法求解即可；通过表中数据知，m 与t 成一次函数关系，先设出函数解析式，再用待定系数法求解即可；（2）前20天的销售利润为元，后20天的销售利润为元，根据利润=单件利润×销售量，列出函数关系式，再根据函数的性质分别求出最大值，然后比较求最大值时的t 的值即可．【详解】（1）当时，y 关于t 的函数关系式为，则，解得：，∴y 关于t 的函数关系式为；通过表中数据知，m 与t 成一次函数关系，设,将代入，得：，解得：，∴m 与t 的函数关系为．故答案为：；；（2）前20天的日销售利润为元，后20天的日销售利润为元，则，∵，∴当时，有最大值，为元；12y y <03x <<1402y t =-+296m t =-+2040t <≤1P 2P 2040t <≤y at b =+203040=20a b a b +=⎧⎨+⎩1=2=40a b ⎧-⎪⎨⎪⎩1402y t =-+m kt c =+194390t m t m ====，，，94=90=3k c k c +⎧⎨+⎩296k c =-⎧⎨=⎩296m t =-+1402y t =-+296m t =-+1P 2P ()()211129625201457842P t t t ⎛⎫=-++-=--+ ⎪⎝⎭102-<14t =1P 578()2129640202P t t ⎛⎫=-+-+- ⎪⎝⎭，∵，∴当时，随t 的增大而减小，∴当时，最大，为513元，∴第14天利润最大，最大利润为578元．【点睛】本题考查二次函数的应用以及待定系数法求函数解析式，关键是根据题意分两种情况列出函数关系式．26．（1）抛物线的解析式为；（2）当时，P 的坐标为．【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）过P 点作轴交于于E 点，直线的解析式为，设，则，可得【详解】（1）解：∵抛物线交x 轴于、两点，∴，解得：，∴该抛物线的解析式为；（2）过点P 作轴，交于点E ，如图，∵抛物线交y 轴于点C ，2881920t t =-+()24416t =--10>2140t ≤≤2P 21t =2P 2142y x x =--+2m =-PF ()2,4-PE y ∥AC AC 4y x =+21,42P m m m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭(),4E m m +)22PF m =+24y ax bx =++()4,0A -()2,0B 164404240a b a b -+=⎧⎨++=⎩121a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩2142y x x =--+PE y ∥AC 2142y x x =--+∴，设直线的解析式为，则，解得：，∴直线的解析式为，设，则，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵轴，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴当时，，此时点P 的坐标为．【点睛】本题考查了待定系数法，二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．27．（1）；（2）；（3）【分析】（1）由题意得：，，整理即可求解；（2）由待定系数法即可求解；（3）由，得到，即可求解．【详解】（1）解：∵抛物线最高点的纵坐标值为4，∴，∵当时，抛物线最高点的纵坐标值为3，()0,4C AC y kx n =+404k n n -+=⎧⎨=⎩14k n =⎧⎨=⎩AC 4y x =+21,42P m m m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭(),4E m m +221144222PE m m m m m =--+--=--4OA OC ==ACO △45ACO ∠=︒PE y ∥45PEF ACO ∠=∠=︒PF AC ⊥PEF !)221222PF m m m ⎫==--=+⎪⎭0<2m =-PF ()2,4-214a b =-223y x x =-++12548m -≤≤3c =2444ac b a-=36CD ≤≤3()6t s -≤2444ac b a-=0x ≤即抛物线与y 轴交点的纵坐标为3，∴，整理得：；（2）由（1）知，抛物线的表达式为：，，则点，将点的坐标代入抛物线表达式得：，解得：或（舍去），故抛物线的表达式为：①；（3）由点、的坐标知，直线和轴负半轴的夹角为，，则直线和轴负半轴的夹角为，设点，则直线的表达式为：②，联立①②并整理得：，设点、的横坐标分别为：，，则，，则，，则，即，解得：，即点纵坐标的取值范围为：．3c =214a b =-22134y b x bx =-++3OA OB == (3,0)A A 2109334b b =-⨯++2b =23-223y x x =-++A B AB x 45︒CD AB ∥ CD x 45︒(1,)M m CD (1)y x m =--+2320x x m -+-=C D s t 3s t +=2st m =-22()()494(2)174s t s t st m m -=+-=--=-36CD ≤≤ 3()6t s -≤9174182m ≤-≤12548m -≤≤M 12548m -≤≤【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了求二次函数的解析式，求一次函数的解析式等知识，解决问题的关键是设点的坐标，表示出有关线段的长．28．（1）45；（2），的最大值为；（3）【分析】（1）先求出点的坐标，得出，根据，即可得到答案；（2）先求出顶点的坐标，然后求出直线的解析式，求出点的坐标，根据，得出，并求出的最大值即可；（3）根据平移求出点的坐标，把点代入抛物线，得出关于的方程，解方程即可得出答案．【详解】（1）解：把代入得：，解得：，，，，，点在点的左侧，点的坐标为，点的坐标为，，把代入得：，点的坐标为，，，，为等腰直角三角形，，故答案为：45；（2）解：抛物线解析式为，抛物线的对称轴为直线，把代入，21524h m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭h 541m =B C 、OB OC =90BOC ∠=︒D BC E h OC DE =-21h m m =-++h E '()221m m m ++，E '()221m m m ++，m 0y =2221y x mx m =-+++22210x mx m -+++=11x =-221x m =+0m > 210m ∴+>21x x ∴> A B ∴A ()10-，B ()210m +，21OB m ∴=+0x =2221y x mx m =-+++21=+y m ∴C ()021m +，21OC m ∴=+OB OC ∴=90BOC ∠=︒ OBC ∴ 45OBC ∴∠=︒ 2221y x mx m =-+++∴22m x m =-=-x m =2221y x mx m =-+++得，，设直线的解析式为：，把，代入得：，解得：，直线的解析式为，把代入得：，，，，，当时，有最大值，且最大值为；（3）解：，，点向右平移个单位长度，向上平移个单位长度，可以得到点，，根据平移可知，点的横坐标为，点的纵坐标为，，当在抛物线上时，，解得：或（舍去）．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求一次函数的解析式，平移的性质，等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，求出二次函数与轴、轴的交点及定点坐标。

小专题(五) 二次函数的图象和性质

小专题(五) 二次函数的图象和性质1．对称轴是直线x ＝－2的抛物线是(C )A ．y ＝－x 2＋2B ．y ＝x 2＋2C ．y ＝12(x ＋2)2 D ．y ＝4(x －2)2 2．将抛物线y ＝x 2＋1先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得抛物线的函数解析式是(B )A ．y ＝(x ＋2)2＋2B ．y ＝(x ＋2)2－2C ．y ＝(x －2)2＋2D ．y ＝(x －2)2－23．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(c ≠0)的图象如图所示，下列说法错误的是(D )A ．图象关于直线x ＝1对称B ．函数y ＝ax 2＋bx ＋c(c ≠0)的最小值是－4C ．函数与x 轴的交点坐标为(－1，0)、(3，0)D ．当x<1时，y 随x 的增大而增大4．二次函数y ＝2x 2－4x ＋5，当x ＝1时，y 有最小值为3；若y 随x 的增大而减小，则x 的范围为x ≤1．5．(河南中考)已知A(0，3)，B(2，3)是抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 上两点，该抛物线的顶点坐标是(1，4)．6．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋a 2－2(a 、b 为常数)的图象如图所示，则a7．(牡丹江中考)如图，抛物线y ＝ax 2＋2x ＋c 经过点A(0，3)，B(－1，0)，请回答下列问题：(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的顶点为D ，对称轴与x 轴交于点E ，连接BD ，求BD 的长．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋2x ＋c 经过点A(0，3)，B(－1，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3，0＝a －2＋c.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，c ＝3. ∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3.(2)∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴抛物线的顶点坐标为(1，4)．∴BE ＝2，DE ＝4.∴BD ＝BE 2＋DE 2＝2 5.8．如图，直线y ＝x ＋m 和抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 都经过点A(1，0)，B(3，2)．(1)求m 的值和抛物线的解析式；(2)若M(a ，y 1)，N(a ＋1，y 2)两点都在抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 上，试比较y 1与y 2的大小．解：(1)∵直线y ＝x ＋m 经过点A(1，0)，∴0＝1＋m.∴m ＝－1.∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A(1，0)，B(3，2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝1＋b ＋c ，2＝9＋3b ＋c.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3，c ＝2. ∴抛物线的解析式为y ＝x 2－3x ＋2.(2)∵M(a ，y 1)，N(a ＋1，y 2)两点都在函数y ＝x 2－3x ＋2的图象上，∴y 1＝a 2－3a ＋2，y 2＝(a ＋1)2－3(a ＋1)＋2＝a 2－a.y 2－y 1＝(a 2－a)－(a 2－3a ＋2)＝2a －2.∴当2a －2<0，即a<1时，y 1>y 2；当2a －2＝0，即a ＝1时，y 1＝y 2；当2a －2>0，即a>1时，y 1<y 2.9．(杭州中考)设函数y ＝(x －1)[(k －1)x ＋(k －3)](k 是常数)．(1)当k 取1和2时的函数y 1和y 2的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k 取0时函数的图象；(2)根据图象，写出你发现的一条结论；(3)将函数y 2的图象向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到函数y 3的图象，求函数y 3的最小值．解：(1)当k ＝0时，y ＝－(x －1)(x ＋3)，所画函数图象如图．(2)①三个图象都过点(1，0)和点(－1，4)；②图象总交x 轴于点(1，0)；③k 取0和2时的函数图象关于点(0，2)中心对称；④函数y ＝(x －1)[(k －1)x ＋(x －3)]的图象都经过点(1，0)和点(－1，4)；等等．(其他正确结论也行)(3)将函数y 2＝(x －1)2长度的图象向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到函数y 3＝(x ＋3)2－2， ∴当x ＝－3时，函数y 3取最小值，等于－2.。

苏教版2020九年级数学下册第5章《二次函数》检测试题

【文库独家】第5章《二次函数》检测试题一、选择题（每题3分，共30分）1，二次函数y ＝(x －1)2+2的最小值是（）A.－2B.2C.－1D.12，已知抛物线的解析式为y ＝(x －2)2＋1，则抛物线的顶点坐标是（） A.(－2,1) B.(2，1) C.(2，－1) D.(1，2)3，（2008年芜湖市）函数2y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是（）4，在一定条件下，若物体运动的路程s （米）与时间t （秒）的关系式为s ＝5t 2+2t ，则当t ＝4时，该物体所经过的路程为（）A.28米B.48米C.68米D.88米5，已知二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图2所示，给出以下结论：① a +b +c ＜0；② a －b +c ＜0；③ b +2a ＜0；④ abc ＞0 .其中所有正确结论的序号是（）A. ③④B. ②③C. ①④D. ①②③6，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图3所示，若M ＝4a +2b +c ，N ＝a －b +c ，P ＝4a +2b ，则（） A.M ＞0，N ＞0，P ＞0 B. M ＞0，N ＜0，P ＞0 C. M ＜0，N ＞0，P ＞0 D. M ＜0，N ＞0，P ＜0 7，如果反比例函数y ＝kx的图象如图4所示，那么二次函数y ＝kx 2－k 2x －1的图象大致为（）8，用列表法画二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象时先列一个表，当表中对自变量x 的值以相等间隔的值增加时，函数y 所对应的函数值依次为：20，56，110，182，274，380，506，650.其中有一个值不正确，这图3图4A ．B ．图5图1个不正确的值是( )A. 506B.380C.274D.189，二次函数y ＝x 2的图象向上平移2个单位，得到新的图象的二次函数表达式是（） A. y ＝x 2－2 B. y ＝(x －2)2 C. y ＝x 2+2 D. y ＝(x +2)210，如图6，小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数h ＝3.5t －4.9t 2（t 的单位：s ，h 的单位：m ）可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是（）A.0.71sB.0.70sC.0.63sD.0.36s二、填空题（每题3分，共24分）11，形如y ＝＿＿＿ (其中a ＿＿＿，b 、c 是_______ )的函数，叫做二次函数. 12，抛物线y ＝(x –1)2–7的对称轴是直线 .13，如果将二次函数y ＝2x 2的图象沿y 轴向上平移1个单位，那么所得图象的函数解析式是 . 14，平移抛物线y ＝x 2+2x －8，使它经过原点，写出平移后抛物线的一个解析式______ .15，若二次函数y ＝x 2－4x ＋c 的图象与x 轴没有交点，其中c 为整数，则c ＝____(只要求写出一个). 16，现有A 、B 两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）.用小莉掷A 立方体朝上的数字为x 、小明掷B 立方体朝上的数字为y 来确定点P （x ，y ），那么它们各掷一次所确定的点P 落在已知抛物线y ＝－x 2+4x 上的概率为＿＿＿.17，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图像如图7所示，则点A (a ，b )在第＿＿＿象限.18，已知抛物线y ＝x 2－6x +5的部分图象如图8，则抛物线的对称轴为直线x ＝，满足y ＜0的x 的取值范围是 .三、解答题（共66分）19，已知抛物线y ＝ax 2经过点(1，3)，求当y ＝4时，x 的值.20，已知一抛物线与x 轴的交点是)0,2( A 、B （1，0），且经过点C （2，8）。

二次函数的图像和性质单元检测5

第22章二次函数的图像和性质单元测试二时间：120分钟满分：120分一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列函数中，不是二次函数的是( )A ．y ＝1－2x 2B ．y ＝2(x －1)2＋4C ．y ＝12(x －1)(x ＋4) D ．y ＝(x －2)2－x 22．(2016·衢州)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)图象上部分点的坐标(x ，y)对应值列表如下：则该函数图象的对称轴是( )A ．直线x ＝－3B ．直线x ＝－2C ．直线x ＝－1D ．直线x ＝03．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过(1，－1)，(2，－4)和(0，4)三点，那么a ，b ，c 的值分别是( )A ．a ＝－1，b ＝－6，c ＝4B ．a ＝1，b ＝－6，c ＝－4C ．a ＝－1，b ＝－6，c ＝－4D ．a ＝1，b ＝－6，c ＝44．若二次函数y ＝x 2＋bx 的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程x 2＋bx ＝5的解为( )A ．x 1＝0，x 2＝4B ．x 1＝1，x 2＝5C ．x 1＝1，x 2＝－5D ．x 1＝－1，x 2＝55．(2016·牡丹江)将抛物线y ＝x 2－1向下平移8个单位长度后与x 轴的两个交点之间的距离为( )A ．4B ．6C ．8D ．106．(2016·宁波)已知函数y ＝ax 2－2ax －1(a 是常数，a ≠0)，下列结论正确的是( ) A ．当a ＝1时，函数图象过点(－1，1) B ．当a ＝－2时，函数图象与x 轴没有交点 C ．若a ＞0，则当x ≥1时，y 随x 的增大而减小 D ．若a ＜0，则当x ≤1时，y 随x 的增大而增大7．某海滨浴场有100个遮阳伞，每个每天收费10元时，可全部租出；若每个每天提高2元，则减少10个伞租出，若每个每天收费再提高2元，则再减少10个伞租出，…，为了投资少而获利大，每个每天应提高( )A ．4元或6元B ．4元C ．6元D ．8元8．在同一平面直角坐标系中，一次函数y ＝ax ＋b 和二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能为( )9．图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为点O ，点B ，以点O 为原点，水平直线OB 为x 轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y ＝－1400(x －80)2＋16，桥拱与桥墩AC 的交点C 恰好在水面，有AC ⊥x 轴，若OA ＝10米，则桥面离水面的高度AC 为( )A ．16940米 B .174米 C ．16740米 D .154米10．(2016·达州)如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象与x 轴交于点A(－1，0)，与y 轴的交点B 在(0，－2)和(0，－1)之间(不包括这两点)，对称轴为直线x ＝1.下列结论：①abc ＞0；②4a ＋2b ＋c ＞0；③4ac －b 2＜8a ；④13＜a ＜23；⑤b ＞c.其中含所有正确结论的选项是( )A ．①③B ．①③④C ．②④⑤D ．①③④⑤二、填空题(每小题3分，共24分)11．(2016·哈尔滨)二次函数y ＝2(x －3)2－4的最小值为________．12．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，则一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解是____________．第12题图第16题图第17题图13．(2016·徐州)若二次函数y ＝x 2＋2x ＋m 的图象与x 轴没有公共点，则m 的取值范围是________．14．已知二次函数y ＝－12x 2－7x ＋152，若自变量x 分别取x 1，x 2，x 3，且0＜x 1＜x 2＜x 3，则对应的函数值y 1，y 2，y 3的大小关系是________________． 15．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A(－3，0)，对称轴是直线x ＝－1，则a ＋b ＋c ＝________．16．(2016·泰州)二次函数y ＝x 2－2x －3的图象如图所示，若线段AB 在x 轴上，且AB 为23个单位长度，以AB 为边作等边△ABC ，使点C 落在该函数y 轴右侧的图象上，则点C 的坐标为______________．17．(2016·内江)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，且P ＝|2a ＋b|＋|3b －2c|，Q ＝|2a －b|－|3b ＋2c|，则P ，Q 的大小关系是__________．18．(2016·台州)竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数，小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度，第一个小球抛出后t 秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t ＝________．三、解答题(共66分)19．(6分)已知：二次函数y ＝－2x 2＋(3k ＋2)x －3k.(1)若二次函数的图象过点A(3，0)，求此二次函数图象的对称轴； (2)若二次函数的图象与x 轴只有一个交点，求此时k 的值．20．(8分)(2016·牡丹江)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(－1，8)并与x轴交于A，B两点，且点B坐标为(3，0)．(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线与y轴交于点C，顶点为点P，求△CPB的面积．21．(8分)如图，二次函数y＝(x－2)2＋m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点A(1，0)及点B.(1)求二次函数与一次函数的解析式；(2)根据图象，写出满足kx＋b≥(x－2)2＋m的x的取值范围．22. (8分)已知P(－3，m)和Q(1，m)是抛物线y＝2x2＋bx＋1上的两点．(1)求b的值；(2)若A(－2，y1)，B(5，y2)是抛物线y＝2x2＋bx＋1上的两点，试比较y1与y2的大小关系；(3)将抛物线y＝2x2＋bx＋1的图象向上平移k(k是正整数)个单位，使平移后的图象与x轴无交点，求k的最小值．23．(8分)(2016·青岛)如图，需在一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案．按照图中的直角坐标系，最左边的抛物线可以用y ＝ax 2＋bx(a ≠0)表示．已知抛物线上B ，C 两点到地面的距离均为34m ，到墙边OA 的距离分别为12m ，32m .(1)求该拋物线的函数关系式，并求图案最高点到地面的距离；(2)若该墙的长度为10 m ，则最多可以连续绘制几个这样的拋物线型图案？24．(9分)把抛物线y ＝12x 2平移得到抛物线m ，抛物线m 经过点A(－6，0)和原点O(0，0)，它的顶点为P ，它的对称轴与抛物线y ＝12x 2交于点Q.(1)求顶点P 的坐标； (2)写出平移过程；(3)求图中阴影部分的面积．25．(9分)(2016·天水)天水市某企业接到一批粽子生产任务，按要求在19天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只4元，为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李红第x 天生产的粽子数量为y 只，y 与x 满足如下关系：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧32x （0≤x ≤5），20x ＋60（5<x ≤19）.(1)李红第几天生产的粽子数量为260只？(2)如图，设第x 天生产的每只粽子的成本是p 元，p 与x 之间的关系可用图中的函数图象来刻画，若李红第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？(利润＝出厂价－成本)26．(10分)(2016·眉山)已知如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C分别为坐标轴上的三个点，且OA＝1，OB＝3，OC＝4，(1)求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；(2)在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以点A，B，C，P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点M为该抛物线上一动点，在(2)的条件下，请求出当|PM－AM|的最大值时点M 的坐标，并直接写出|PM－AM|的最大值．。

九年级数学二次函数测试题含答案(精选5套)

九年级数学二次函数单元试卷（一）时间90分钟满分：100分一、选择题（本大题共10小题，每小题３分，共30分） 1．下列函数不属于二次函数的是（）A.y=(x －1)(x+2)B.y=21(x+1)2C. y=1－3x 2D. y=2(x+3)2－2x 22. 函数y=-x 2-4x+3图象顶点坐标是（）A.（2，-1）B.（-2，1）C.（-2，-1）D.（2， 1）3. 抛物线()12212++=x y 的顶点坐标是（） A ．（2，1） B ．（-2，1） C ．（2，-1） D ．（-2，-1）4. y=(x －1)2＋2的对称轴是直线（） A ．x=－1 B ．x=1 C ．y=－1 D ．y=15．已知二次函数)2(2-++=m m x mx y 的图象经过原点，则m 的值为（） A ． 0或2 B ． 0 C ． 2 D ．无法确定6. 二次函数y ＝x 2的图象向右平移3个单位，得到新的图象的函数表达式是（）A. y ＝x 2＋3B. y ＝x 2－3C. y ＝(x ＋3)2D. y ＝(x －3)27．函数y=2x 2-3x+4经过的象限是（）A.一、二、三象限B.一、二象限C.三、四象限D.一、二、四象限 8．下列说法错误的是（）A ．二次函数y=3x 2中，当x>0时，y 随x 的增大而增大B ．二次函数y=－6x 2中，当x=0时，y 有最大值0 C ．a 越大图象开口越小，a 越小图象开口越大D ．不论a 是正数还是负数，抛物线y=ax 2(a ≠0)的顶点一定是坐标原点9．如图，小芳在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y ＝－15x 2＋3.5的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l 是（）A ．3.5mB ．4mC ．4.5mD ．4.6m10．二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，下列结论错误的是（） A ．a ＞0． B ．b ＞0． C ．c ＜0． D ．abc ＞0．(第9题) (第10题)3.05m yx y o二、填空题（本大题共4小题，每小题３分，共12分）11．一个正方形的面积为16cm 2，当把边长增加x cm 时，正方形面积为y cm 2，则y 关于x 的函数为。

2019九年级数学二次函数的图象与性质基础达标测试题5(附答案)

2019九年级数学二次函数的图象与性质基础达标测试题5（附答案）1．二次函数22y x =-的图象的顶点是（）A.(2, -2)B.(-1, 0)C.(1, 9)D.(0, -2)2．抛物线y=﹣3x 2+2x ﹣1与坐标轴的交点个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．抛物线212y x =向左平移8个单位，再向下平移9个单位后，所得抛物线关系式是（） A.21(8)2y x =+-9 B.21(8)2y x =-+9 C.21(8)2y x =--9 D.21(8)2y x =++9 4．与抛物线y ＝－45x 2－1顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线所对应的函数解析式是( )A.y ＝－45x 2－1 B.y ＝45x 2－1 C.y ＝－45x 2＋1 D.y ＝45x 2＋1 5．如图是某二次函数的图象，将其向左平移2个单位后的图象的函数解析式为()20y ax bx c a =++≠，则下列结论中正确的有（）()10a >；()20c <；()320a b -=；()40a b c ++>．A.1个B.2个C.3个D.4个6．已知抛物线y=ax 2﹣（2a+1）x+a ﹣1与x 轴交于A （x 1，0），B （x 2，0）两点，若x 1＜1，x 2＞2，则a 的取值范围是（）A.a ＜3B.0＜a ＜3C.a ＞﹣3D.﹣3＜a ＜07．如图，已知矩形ABCD 的长AB 为5，宽BC 为4，E 是BC 边上的一个动点，AE ⊥EF ，EF 交CD 于点F ，设BE=x ，FC=y ，则点E 从点B 运动到点C 时，能表示y 关于x 的函数关系的大致图象是A ．B ．C ．D ． 8．抛物线y ＝－(x －1)2＋2的顶点坐标是（）A ．(－1，2)B ．(－1，－2)C ．(1，－2)D ．(1，2)9．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ＞0）经过点M （﹣1，2）和点N （1，﹣2），交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C ．则：①b=﹣2；②该二次函数图象与y 轴交于负半轴；③存在这样一个a ，使得M 、A 、C 三点在同一条直线上；④若a=1，则OA•OB=OC 2 ．以上说法正确的有（）A.①②③④B.②③④C.①②④D.①②③10．平面上，经过点()2,0A ，()0,1B -的抛物线有无数条，请写出其中一条确定的抛物线的解析式（不含字母系数）：________（写成一般式）．11．已知抛物线的对称轴为1x =，且经过点()0,2和()4,0，则抛物线的解析式为________．12．已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象如图所示，且OC ＝OB ，则b ＋c ＝________．13．在抛物线y ＝mx 2与抛物线y ＝nx 2中，若－m ＞n ＞0，则开口向上的抛物线是________，开口较大的抛物线是________．14．抛物线y=﹣x 2+4x ﹣1的顶点坐标为．15．函数y=x 2+bx+c 与y=x 的图象如图所示，有以下结论：①b 2﹣4c ＞0；②3b+c+6=0；③当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）x+c ＜0= 准确的有．16．已知点P （x ，y ）在二次函数y ＝2（x+1）2﹣3的图象上，当﹣2＜x≤1时，y 的取值范围是_____．17．填表．18．已知二次函数2y x 4x 5=-++，用配方法化成2y a(x h)k =++的形式为____． 19．已知二次函数()()2212211y k x k x =+--+．（1）若二次函数图象经过点()1,1-，则k 的值为__________；（2）若二次函数图象不经过第三象限，则k 的取值范围为__________．20．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过(－3，0)，(1，0)两点，与y 轴的交点为(0，4)，求抛物线的解析式．21．平面直角坐标系xOy 中，对称轴平行于y 轴的抛物线过点A （1，0）、B （3，0）和C （4，6）；（1）求抛物线的表达式；（2）现将此抛物线先沿x 轴方向向右平移6个单位，再沿y 轴方向平移k 个单位，若所得抛物线与x 轴交于点D 、E （点D 在点E 的左边），且使△ACD ∽△AEC （顶点A 、C 、D 依次对应顶点A 、E 、C ），试求k 的值，并注明方向．22．已知二次函数图象的顶点横坐标是2，与x 轴交于A （x 1，0）、B （x 2，0），x 1﹤0﹤x 2，与y 轴交于点C ，O 为坐标原点，．（1）求证：；（2）求m 、n 的值；（3）当p ﹥0且二次函数图象与直线仅有一个交点时，求二次函数的最大值． 23．已知二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象经过点A 和点B(1)求该二次函数的解析式；(2)写出该抛物线的对称轴及顶点坐标．24．如图，抛物线2144y x bx =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且()2,0B .（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）判断ABC ∆的形状，证明你的结论；（3）点()0,M m 是y 轴上的一个动点，当AM DM +的值最小时，求m 的值.25．如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，A (1,0)，B (0,2)，抛物线y ＝12x 2＋bx －2的图象过点C .求抛物线的解析式．26．（6分）（2015•牡丹江）如图，抛物线y=x 2+bx+c 经过点A （﹣1，0），B （3，0）．请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）点E （2，m ）在抛物线上，抛物线的对称轴与x 轴交于点H ，点F 是AE 中点，连接FH ，求线段FH 的长．注：抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的对称轴是x=﹣．27．已知：如图①,在Rt △ACB 中,∠C ＝90º,AC ＝6cm,BC ＝8cm,点P 由B 出发沿BC 方向向点C 匀速运动,速度为2cm/s ；点Q 由A 出发沿AB 方向向点B 匀速运动,速度为1cm/s ；连接PQ ．若设运动的时间为t(s)（0＜t ＜4）,解答下列问题：（1）当t为何值时,PQ的垂直平分线经过点B？（2）如图②,连接CQ．设△PQC的面积为y（cm2）,求y与t之间的函数关系式；（3）如图②,是否存在某一时刻t,使线段C Q恰好把四边形ACPQ的面积分成1：2的两部分？若存在,求出此时t的值；若不存在,说明理由.参考答案1．D【解析】【分析】根据顶点式解析式写出顶点坐标即可．【详解】解：二次函数y=x2-2的图象的顶点坐标是（0，-2）．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握顶点式解析式是解题的关键．2．B【解析】试题分析：△=22-4×（-3）×（-1）=-8＜0，所以抛物线与X轴没有交点，因此与坐标轴的交点个数为1个；故选B考点：抛物线与坐标轴的交点3．A【解析】抛物线y=12x2向左平移8个单位，所得抛物线解析式为y=12（x+8）2，再向下平移9个单位后，所得抛物线解析式为y=12（x+8）2－9.故选A.点睛：抛物线如果上下平移一定单位，那么直接在解析式后面加减对应单位，上加下减；抛物线若左右平移一定单位，那么首先将抛物线解析式写成顶点式，再在括号里面加减对应单位，左加右减.4．B【解析】【分析】与抛物线y＝－45x2－1顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线，则只有二次项系数不同，即可得到答案.【详解】解：∵与抛物线y ＝－45x 2－1顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线，则与抛物线y ＝－45x 2－1只有二次项系数互为相反数， ∴y ＝45x 2－1；故选择：B.【点睛】考查了二次函数的性质，二次函数的解析式中，二次项系数确定函数开口方向．5．D【解析】【分析】如图是y=ax 2+bx+c 的图象，根据开口方向向上知道a ＞0，又由与y 轴的交点为在y 轴的负半轴上得到c ＜0，由对称轴x=−2b a=-1，可以得到2a-b=0，又当x=1时，可以判断a+b+c 的值．由此可以判定所有结论正确与否．【详解】如图，（1）∵将其向左平移2个单位后的图象的函数解析式为y=ax 2+bx+c （a≠0）（如虚线部分），∴y=ax 2+bx+c 的对称轴为：直线x=-1；∵开口方向向上，∴a ＞0，故①正确；（2）∵与y 轴的交点为在y 轴的负半轴上∴c ＜0，故②正确；（3）∵对称轴x=−2b a=-1， ∴2a-b=0，故③正确；（4）当x=1时，y=a+b+c ＞0，故④正确．故选D ．【点睛】考查二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号的确定．6．B【解析】由已知抛物线2(21)1y ax a x a =-++-求出对称轴212a x a+=+，解：抛物线：2(21)1y ax a x a =-++-，对称轴212a x a +=+，由判别式得出a 的取值范围．11<x ，22x >， ∴21122a a+<<， ①2(21)4(1)0a a a ∆=+-->，18a ≥-．②由①②得0<<3a ．故选B ．7．A【解析】【分析】利用三角形相似求出y 关于x 的函数关系式，根据函数关系式进行分析求解．【详解】解：∵BC=4，BE=x ，∴CE=4﹣x ．∵AE ⊥EF ，∴∠AEB+∠CEF=90°，∵∠CEF+∠CFE=90°，∴∠AEB=∠CFE ．又∵∠B=∠C=90°，∴Rt△AEB∽Rt△EFC，∴，即，整理得：y=（4x﹣x2）=﹣（x﹣2）2+∴y与x的函数关系式为：y=﹣（x﹣2）2+（0≤x≤4）由关系式可知，函数图象为一段抛物线，开口向下，顶点坐标为（2，），对称轴为直线x=2．故选：A．【点睛】点评：本题考查了动点问题的函数图象问题，根据题意求出函数关系式是解题关键．8．D【解析】【分析】直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标．【详解】∵顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），∴抛物线y=（x-1）2+2的顶点坐标是（1，2）．故选D．【点睛】主要考查了求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法．熟记二次函数的顶点式的形式是解题的关键．9．C【解析】①∵二次函数y=ax2+bx+c(a>0)经过点M(−1,2)和点N(1,−2)，∴22a b ca b c=-+⎧⎨-=++⎩，解得b=−2.故该选项正确；②由①可得b=−2，a+c=0，即c=−a<0，所以二次函数图象与y轴交于负半轴.故该选项正确；③根据抛物线图象的特点，M 、A. C 三点不可能在同一条直线上.故该选项错误； ④当a=1时，c=−1，∴该抛物线的解析式为y=x 2−2x−1当y=0时，0=x 2−2x+c ，利用根与系数的关系可得x 1⋅x 2=c ，即OA ⋅OB=|c|，当x=0时，y=c ，即OC=|c|=1=OC 2 ∴若a=1，则OA ⋅OB=OC 2，故该选项正确. 总上所述①②④正确. 故选：C.点睛：本题是二次函数综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的图象性质及特点、一元二次方程根与系数的关系、直线解析式的确定. 10．2312y x x =--答案不唯一【解析】【分析】在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般式：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）．【详解】设抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c把A(2,0),B(0,−1)代入得4a+2b+c=0 ，c=−1 故答案不唯一,如2312y x x =--. 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是先设出解析式再代入求解. 11．219(1)44y x =--+ 【解析】【分析】根据对称轴可设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+k ，把（0，2）（4，0）两点代入求出a 、k的值即可.【详解】∵对称轴为x 1=，∴设抛物线解析式为：y=a(x-1)2+k ， ∵抛物线经过点()0,2和()4,0，∴209a k a k =+⎧⎨=+⎩，解得：1494a k ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的解析式为：y=14-（x-1）2+94，故答案为：y=14-（x-1）2+94，【点睛】本题考查求二次函数解析式，选用适当的二次函数解析式的表示形式是解题关键. 12．-1 【解析】【分析】先确定抛物线与y 轴交点C 的坐标为（0，c ），利用OB =OC 可确定B 点坐标为（c ，0），然后根据二次函数图象上点的坐标特征把B （c ，0）代入y =x 2+bx +c 后经过变形即可得到b +c的值．【详解】解：当x =0时，y =c ，则C 点坐标为（0，c ）， ∵OC =OB ，∴B 点坐标为（c ，0），把B （c ，0）代入y =x 2+bx +c 得c 2+bc +c =0，∴b +c =-1．故答案为：-1．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上的点的坐标必满足函数的解析式，先求出C点的坐标，然后根据OC=OB得出B点的坐标是解决此题的关键．13．y＝nx2；y＝nx2【解析】【分析】根据y＝ax2的图像可知，a>0，可判断开口方向;y＝ax2中a的绝对值越大，开口越大即可判断.【详解】根据－m>n>0知n>0，则抛物线y＝nx2开口向上，且m n>,故开口较大的抛物线是y ＝nx2.【点睛】此题主要考查二次函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键.14．（2，3）【解析】试题分析：利用配方法将抛物线的解析式y=﹣x2+4x﹣1转化为顶点式解析式y=﹣（x﹣2）2+3，然后求其顶点坐标为：（2，3）．考点：二次函数的性质15．②③④【解析】试题分析：∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点，∴b2﹣4ac＜0；故①错误；∵当x=3时，y=9+3b+c=3，∴3b+c+6=0；②正确；∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，∴x2+bx+c＜x，∴x2+（b﹣1）x+c＜0．故③正确当x=1时，y=1+b+c=1，∴b+c=0；当x=3时，y=9+3b+c=3；∴3b+c=-6∴b=-3;c=3,则()23332222=+-=+cb；故④正确；考点: 二次函数图象与系数的关系16．﹣3≤y≤5【解析】【分析】先根据二次函数的性质得顶点坐标为（-1，-3），所以当-2＜x≤1时，x=-1时，y的最小值；x=1时，y的最大值，从而得到y的取值范围．【详解】抛物线的顶点坐标为（-1，-3），抛物线的对称轴为直线x=-1，当x=-1时，函数有最小值为-3，因为当-3＜x≤2时，x=-1时，y的最小值为-3；x=1时，y有最大值=2×22-3=5，所以y的取值范围为-3≤y≤5．故答案为-3≤y≤5．【点睛】本题考查的是二次函数，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.17．答案见解析.【解析】试题分析：根据二次项系数的符号判断开口方向，利用配方法或顶点式的特点确定顶点坐标及对称轴，由开口方向及顶点坐标确定函数的最大（小）值．试题解析：解：填表如下：点睛：本题考查了二次函数的顶点式与顶点坐标，对称轴的关系．顶点式y=（x﹣h）2+k，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h．18．2y (x 2)9=--+ 【解析】【分析】先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【详解】y =−x 2+4x +5=−(x 2−4x +4)+4+5=−(x −2)2+9，即y =−(x −2)2+9.故答案为：y =−(x −2)2+9．【点睛】二次函数的三种形式．19．（1）2-；（2）12k >. 【解析】试题解析：(1)由于210,k +≠ 将点(−1,1)代入二次函数解析式得：()()2112211k k =++-+，解得：1222k k =-=- (2)()()2212211y k x k x =+--+的图象不经过第三象限，而二次项系数()21010a k c =+>=>，，∴抛物线开口方向向上，抛物线与y 轴的正半轴相交， ∴抛物线是对称轴在y 轴的右侧，()2210k ∴--<，1.2k ∴>故答案为：(1)2-; (2) 1.2k > 20．y =−43x²−83x +4【解析】【分析】把三个点的坐标代入抛物线2y ax bx c =++，利用待定系数法即可求得求二次函数解析式. 【详解】∵抛物线y =ax 2+bx +c 过(−3,0),(1,0)两点,与y 轴的交点为(0,4)，∴93004a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得,43834a b c ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，所以,抛物线的解析式为：y =−43x²−83x +4；【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，掌握方程组的解法等知识是解决本题的关键.21．（1）y=2x 2﹣8x+6；（2）向下平移6个单位．【解析】试题分析：（1）利用待定系数法直接求出抛物线的解析式；（2）设出D ，E 坐标，根据平移，用k 表示出平移后的抛物线解析式，利用坐标轴上点的特点得出m +n =16，mn =63﹣2k，进而利用相似三角形得出比例式建立方程即可求出k ．试题解析：解：（1）∵抛物线过点A （1，0）、B （3，0），∴设抛物线的解析式为y =a （x ﹣1）（x ﹣3）。

2023年中考数学专题练——5二次函数

2023年中考数学专题练——5二次函数一．选择题（共7小题）1．（2022•丰县二模）向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的函数表达式为y＝ax2+bx+c（a≠0），若此炮弹在第6秒与第13秒时的高度相等，则下列时间中炮弹所在高度最高的是（）A．第7秒B．第9秒C．第11秒D．第13秒2．（2022•徐州一模）北京冬奥会跳台滑雪项目比赛其标准台高度是90m．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（）A．10m B．15m C．20m D．22.5m 3．（2022•鼓楼区校级一模）将抛物线y＝2x2﹣1向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（）A．y＝2（x﹣1）2+1B．y＝2（x+1）2﹣3C．y＝2（x﹣1）2﹣3D．y＝2（x+1）2+14．（2021•邳州市模拟）将二次函数y＝（x+1）2﹣3的图象向上平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为（）A．y＝（x+3）2﹣3B．y＝（x﹣1）2﹣3C．y＝（x+1）2﹣5D．y＝（x+1）2﹣1 5．（2021•徐州模拟）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，下列结论：①ac＜0；②当x≥1时，y随x的增大而减小；③2a+b＝0；④b2﹣4ac＜0；⑤4a﹣2b+c＞0；其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4 6．（2021•徐州二模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c图象对称轴是直线x＝1，下列说法正确的是（）A．a＞0B．2a+b＝0C．b2﹣4ac＜0D．a+b+c＜0 7．（2021•徐州模拟）如图，将抛物线y＝﹣x2+x+8图象中x轴上方的部分沿x轴翻折到x 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，则新图象与直线y＝﹣8的交点个数是（）A．1B．2C．3D．4二．填空题（共7小题）8．（2022•泉山区校级三模）将抛物线y＝x2向右移动3个单位长度，再向上移动4个单位长度所得抛物线的解析式为．9．（2022•鼓楼区校级三模）在函数y＝（x﹣1）2+1中，当x＞1时，y随x的增大而．（填“增大”或“减小”）10．（2022•贾汪区二模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x ＝2若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，且x1＜x2，﹣1＜x1＜0，则x2的取值范围是．11．（2022•睢宁县模拟）当x取任意实数时，二次函数y＝x2﹣（2m+1）x+m2的值始终为正数，则m的取值范围是．12．（2022•鼓楼区校级二模）写出一个二次函数，其图象满足：①开口向下；②与y轴交于点（0，﹣3），这个二次函数的解析式可以是．13．（2021•丰县校级模拟）若把函数y＝（x﹣3）2﹣2的图象向左平移a个单位，再向上平移b个单位，所得图象的函数表达式是y＝（x+3）2+2，则a＝，b＝．14．（2021•徐州模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A、B，顶点为C，对称轴为直线x＝1，给出下列结论：①abc＜0；②若点C的坐标为（1，4），则△ABC 的面积可以等于4；③M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点（x1＜x2），若x1+x2＞2，则y1＜y2；④若抛物线经过点（3，﹣1），则方程ax2+bx+c+1＝0的两根为﹣1，3．其中正确结论的序号为．三．解答题（共12小题）15．（2022•泉山区校级三模）某公司开发出一种产品，生产成本为5元/件，规定售价不超过15元/件，受产能限制，按订单生产该产品（销量＝产量），年销量不超过30万件．年销量y（万件）与售价x（元/件）之间的函数关系如图①所示；为提高该产品竞争力，投入研发费用P万元（计入成本），P与x之间的函数关系如图②所示，AB是一条线段，BC是抛物线P=14x2−4x+m的一部分．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）当售价为多少元时年利润最大，最大利润是多少万元？16．（2022•鼓楼区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，其顶点为D，已知AB＝4，∠ABC＝45°，OA：OB＝1：3．（1）求二次函数的表达式及其顶点D的坐标；（2）点M是线段BC上方抛物线上的一个动点，点N是线段BC上一点，当△MBC的面积最大时，求：①点M的坐标，说明理由；②MN+√22BN的最小值；（3）在二次函数的图象上是否存在点P，使得以点P、A、C为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．17．（2022•徐州二模）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点（0，2）．（1）求此二次函数的表达式；（2）点Q在以BC为直径的圆上（点Q与点O，点B，点C均不重合），试探究QO，QB，QC的数量关系，并说明理由．（3）E点为该图象在第一象限内的一动点，过点E作直线BC的平行线，交x轴于点F．若点E从点C出发，沿着抛物线运动到点B，则点F经过的路程为．18．（2022•丰县二模）如图①，抛物线y=−12x2+2x+b（b≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，连接AC、BC，tan∠CBO＝3．（1）求b的值；（2）如图②，点P是直线AC上方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于点D．抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线AC交于点N．当点D在对称轴的右侧，且S△DMN＝S△AOC时，请求出点D的坐标.19．（2022•贾汪区二模）如图，二次函数y＝﹣x2+bx的图象与x轴负半轴交于点E，平行于x轴的直线l与该抛物线交于A、B两点（点A位于点B左侧），与抛物线对称轴交于点F(−32，−4)．（1）求b的值；（2）设C、D是x轴上的点（点D位于点C左侧），四边形ABCD为平行四边形，过点C、D分别作x轴的垂线，与抛物线交于C'（m，n）、D'（p，q）．①若n+q＝﹣16，求m的值；②当n+q值最大时，四边形CC'D'D的面积为．20．（2022•徐州二模）如图，四边形ABCD中，已知AB∥CD，动点P从A点出发，沿边AB运动到点B，动点Q同时由A点出发，沿折线AD﹣DC﹣CB运动点B停止，在移动过程中始终保持PQ⊥AB，已知点P的移动速度为每秒1个单位长度，设点P的移动时间为x秒，△APQ的面积为y，已知y与x之间函数关系如图②，其中MN为线段，曲线OM，NK为抛物线的一部分，根据图中信息，解答下列问题：（1）图①AB＝，BC＝；（2）分别求线段MN，曲线NK所对应的函数表达式；（3）当x为何值，△APQ的面积为6？21．（2022•睢宁县模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴相交于A、B（点A在点B的左边），与y轴相交于C．（1）求直线BC的表达式；（2）垂直于y轴的直线l与抛物线相交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），与直线BC交于点M （x 3，y 3），且x 3＜x 2＜x 1，请结合函数图象，求x 1+x 2+x 3的取值范围；（3）若直线l ′∥BC ，当点B 关于l ′的对称点B '落在抛物线上时，求直线′的解析式．22．（2022•鼓楼区校级二模）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝x 2﹣4x +3与x 轴相交于点A ，B （A 在B 的左边），与y 轴相交于点C ．M （0，m ）是y 轴上动点，过点M 的直线l 垂直于y 轴，与抛物线相交于两点P 、Q （P 在Q 的左边），与直线BC 交于点N ．（1）求直线BC 的函数表达式；（2）如图2，四边形PMGH 是正方形，连接CP ．△PNC 的面积为S 1，正方形PMGH 的面积为S 2，若m ＜3，求S 1S 2的取值范围．23．（2022•徐州一模）如图，以AB 为直径的⊙D 与抛物线y ＝ax 2bx +c 交于点A 、B 、C ，与y 轴交于点E ，点A 、C 的坐标分别是（﹣3，0）、（0，﹣3），过点B 作y 轴的垂线垂足为F（0，﹣4）．（1）求线段CE的长；（2）求抛物线的函数表达式；（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使⊙P与直线AB和x轴都相切？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．24．（2022•邳州市一模）抛物线y=43x2+bx+c经过点C（0，﹣4），且OB=34OC．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点D、E是抛物线对称轴上的两个动点，且DE＝1，点D在点E的下方，求四边形ACDE的周长的最小值；（3）如图2，点N为抛物线上一点，连接CN，直线CN把四边形CBNA的面积分为3：1两部分，直接写出点N的坐标．25．（2021•徐州模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（4，0），C（﹣1，0）两点，与y轴交于点B，P为第一象限抛物线上的动点，连接AB，BC，P A，PC，PC与AB相交于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）设△APQ的面积为S1，△BCQ的面积为S2，当S1﹣S2＝5时，求点P的坐标；（3）是否存在点P，使△P AQ为直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．26．（2021•徐州模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的三个顶点B（4，0），C （8，0），D（8，﹣8），抛物线y＝ax2+bx经过A，C两点．动点P从点A出发，沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动，运动速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，过点P作PE⊥AB交AC于点E．（1）求点A的坐标及抛物线的函数表达式；（2）过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．当t为何值时，线段EG的长有最大值？最大值是多少？（3）连接EQ，是否存在t的值使△ECQ为等腰三角形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．2023年江苏省徐州市中考数学专题练——5二次函数参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．（2022•丰县二模）向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的函数表达式为y＝ax2+bx+c（a≠0），若此炮弹在第6秒与第13秒时的高度相等，则下列时间中炮弹所在高度最高的是（）A．第7秒B．第9秒C．第11秒D．第13秒【解答】解：∵此炮弹在第6与第13秒时的高度相等，∴抛物线的对称轴是：x=6+132=9.5，∴炮弹所在高度最高是9.5秒，∴在四个选项中炮弹所在高度最高的是9秒．故选：B．2．（2022•徐州一模）北京冬奥会跳台滑雪项目比赛其标准台高度是90m．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（）A．10m B．15m C．20m D．22.5m【解答】解：根据题意知，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（0，90.0）、（20，93.9）、（40，82.2），则{c=90.0400a+20b+c=93.9 1600a+40b+c=82.2，解得：{a=−0.0195 b=0.585c=90，所以x=−b2a=−0.5852×(−0.0195)=15（m）．故选：B．3．（2022•鼓楼区校级一模）将抛物线y＝2x2﹣1向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（）A．y＝2（x﹣1）2+1B．y＝2（x+1）2﹣3C．y＝2（x﹣1）2﹣3D．y＝2（x+1）2+1【解答】解：按照“左加右减，上加下减”的规律，y将抛物线y＝2x2﹣1向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为y＝2（x+1）2﹣1﹣2，即y＝2（x+1）2﹣3，故选：B．4．（2021•邳州市模拟）将二次函数y＝（x+1）2﹣3的图象向上平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为（）A．y＝（x+3）2﹣3B．y＝（x﹣1）2﹣3C．y＝（x+1）2﹣5D．y＝（x+1）2﹣1【解答】解：抛物线y＝﹣（x+1）2﹣3的顶点坐标为（﹣1，﹣3），把点（﹣1，﹣3）向上平移2个单位得到对应点的坐标为（﹣1，﹣1），所以平移后的抛物线解析式为y＝（x+1）2﹣1，故选：D．5．（2021•徐州模拟）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，下列结论：①ac＜0；②当x≥1时，y随x的增大而减小；③2a+b＝0；④b2﹣4ac＜0；⑤4a﹣2b+c＞0；其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴，∴a＞0，c＜0，∴ac＜0，结论①正确；∵抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线x＝1，∴当x≥1时，y随x的增大而增大，结论②错误；∵抛物线对称轴为直线x＝1，∴−b2a=1，∴b＝﹣2a，∴2a+b＝0，结论③正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，结论④错误；∵当x＝﹣2时，y＞0，∴4a﹣2b+c＞0，结论⑤正确．故选：C．6．（2021•徐州二模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c图象对称轴是直线x＝1，下列说法正确的是（）A．a＞0B．2a+b＝0C．b2﹣4ac＜0D．a+b+c＜0【解答】解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0．故A错误；∵x=−b2a=1，∴2a+b＝0，故B正确．∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故C错误；当x＝1时，y＞0，即a+b+c＞0，故D错误；故选：B．7．（2021•徐州模拟）如图，将抛物线y＝﹣x2+x+8图象中x轴上方的部分沿x轴翻折到x 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，则新图象与直线y＝﹣8的交点个数是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：如图，∵y＝﹣x2+x+8中，当x＝0时，y＝8，∴抛物线y＝﹣x2+x+8与y轴的交点为（0，8），∵将抛物线y＝﹣x2+x+8图象中x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，∴新图象与y轴的交点坐标为（0，﹣8），∴新图象与直线y＝﹣8的交点个数是4个，故选：D．二．填空题（共7小题）8．（2022•泉山区校级三模）将抛物线y＝x2向右移动3个单位长度，再向上移动4个单位长度所得抛物线的解析式为y＝（x﹣3）2+4．【解答】解：将抛物线y＝x2向右移动3个单位长度，再向上移动4个单位长度所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣3）2+4，故答案为：y＝（x﹣3）2+4．9．（2022•鼓楼区校级三模）在函数y ＝（x ﹣1）2+1中，当x ＞1时，y 随x 的增大而增大．（填“增大”或“减小”）【解答】解：∵函数y ＝（x ﹣1）2+1，∴a ＝1＞0，抛物线开口向上，对称轴为直线x ＝1，∴当x ＞1时，y 随x 的增大而增大．故答案为：增大．10．（2022•贾汪区二模）二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x ＝2若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两个根，且x 1＜x 2，﹣1＜x 1＜0，则x 2的取值范围是 4＜x 2＜5 ．【解答】解：∵抛物线对称轴为直线x ＝2，∴x 1+x 22=2，∴x 2＝4﹣x 1，∵﹣1＜x 1＜0，∴4＜x 2＜5，故答案为：4＜x 2＜5．11．（2022•睢宁县模拟）当x 取任意实数时，二次函数y ＝x 2﹣（2m +1）x +m 2的值始终为正数，则m 的取值范围是 m ＜−14 ．【解答】解：b 2﹣4ac ＝[﹣（2m +1）]2﹣4m 2＜0，解得：m ＜−14．故答案为：m ＜−14．12．（2022•鼓楼区校级二模）写出一个二次函数，其图象满足：①开口向下；②与y 轴交于点（0，﹣3），这个二次函数的解析式可以是 y ＝﹣x 2﹣3（答案不唯一）．【解答】解：设二次函数的解析式为y ＝ax 2+bx +c ．∵抛物线开口向下，∴a ＜0．∵抛物线与y 轴的交点坐标为（0，﹣3），∴c ＝﹣3．取a ＝﹣1，b ＝0时，二次函数的解析式为y ＝﹣x 2﹣3．故答案为：y ＝﹣x 2﹣3（答案不唯一）．13．（2021•丰县校级模拟）若把函数y ＝（x ﹣3）2﹣2的图象向左平移a 个单位，再向上平移b 个单位，所得图象的函数表达式是y ＝（x +3）2+2，则a ＝ 6 ，b ＝ 4 ．【解答】解：∵把函数y ＝（x ﹣3）2﹣2的图象向左平移a 个单位，再向上平移b 个单位，所得图象的函数表达式是y ＝（x +3）2+2，∴y ＝（x ﹣3+a ）2﹣2+b ＝（x +3）2+2，则﹣3+a ＝3，﹣2+b ＝2，解得：a ＝6，b ＝4，故答案为：6，4．14．（2021•徐州模拟）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A 、B ，顶点为C ，对称轴为直线x ＝1，给出下列结论：①abc ＜0；②若点C 的坐标为（1，4），则△ABC 的面积可以等于4；③M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）是抛物线上两点（x 1＜x 2），若x 1+x 2＞2，则y 1＜y 2；④若抛物线经过点（3，﹣1），则方程ax 2+bx +c +1＝0的两根为﹣1，3．其中正确结论的序号为 ①④ ．【解答】解：①抛物线的对称轴在y 轴右侧，则ab ＜0，而c ＞0，故abc ＜0，故①正确； ②△ABC 的面积=12AB •y C =12×AB ×4＝4，解得：AB ＝2，则点A （0，0），即c ＝0与图象不符，故②错误；③函数的对称轴为x ＝1，若x 1+x 2＞2，则12（x 1+x 2）＞1，则点N 离函数对称轴远，故y 1＞y 2，故③错误；④抛物线经过点（3，﹣1），则y ′＝ax 2+bx +c +1过点（3，0），根据函数的对称轴该抛物线也过点（﹣1，0），故方程ax 2+bx +c +1＝0的两根为﹣1，3，故④正确；故答案为：①④．三．解答题（共12小题）15．（2022•泉山区校级三模）某公司开发出一种产品，生产成本为5元/件，规定售价不超过15元/件，受产能限制，按订单生产该产品（销量＝产量），年销量不超过30万件．年销量y （万件）与售价x （元/件）之间的函数关系如图①所示；为提高该产品竞争力，投入研发费用P 万元（计入成本），P 与x 之间的函数关系如图②所示，AB 是一条线段，BC 是抛物线P =14x 2−4x +m 的一部分．（1）求y 与x 之间的函数表达式；（2）当售价为多少元时年利润最大，最大利润是多少万元？【解答】解：（1）设y 与x 之间的函数关系式y ＝kx +b ，把x ＝5时，y ＝30，x ＝15时，y ＝10代入，得{5k +b =3015k +b =10，解得：{k =−2b =40， ∴y 与x 之间的函数关系式y ＝﹣2x +40（5≤z ≤15）；（2）由题意知，当5≤x ≤10时，P ＝60，∴W ＝（x ﹣5）y ﹣P ＝（x ﹣5）（﹣2x +40）﹣60＝﹣2x 2+50x ﹣26＝﹣2（x −252）2+1052， ∵﹣2＜0，5≤x ≤10，∴在5≤x ≤10内，W 随x 的增大而增大，∴当x ＝10时，W 增大，最大值为40；当10≤x ≤15时，P =14x 2﹣4x +m ．把x ＝10时，P ＝60代入P =14x 2﹣4x +m 得，60=14×102﹣4×10+m ，解得：m ＝75，∴P =14x 2﹣4x +75，∴W ＝（x ﹣5）y ﹣P ＝（x ﹣5）（﹣2x +40）﹣（14x 2﹣4x +75）=−94x 2+54x ﹣275=−94（x ﹣12）2+49，∵−94＜0，10≤x ≤15，∴当x ＝12时，W 有最大值，最大值为49；综上可得：当x ＝12时，年利润W 最大，最大值为49．16．（2022•鼓楼区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象交x 轴于点A 、B ，交y 轴于点C ，其顶点为D ，已知AB ＝4，∠ABC ＝45°，OA ：OB ＝1：3．（1）求二次函数的表达式及其顶点D 的坐标；（2）点M 是线段BC 上方抛物线上的一个动点，点N 是线段BC 上一点，当△MBC 的面积最大时，求：①点M 的坐标，说明理由；②MN +√22BN 的最小值 154；（3）在二次函数的图象上是否存在点P ，使得以点P 、A 、C 为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵∠ABC ＝45°，∴OB ＝OC ，∵OA ：OB ＝1：3，AB ＝4，∴OA ＝1，OB ＝3，∴OC ＝3，∴A （﹣1，0），B （3，0），C （0，3），将A 、B 、C 代入y ＝ax 2+bx +c 中，∴{a −b +c =09a +3b +c =0c =3，解得{a =−1b =2c =3，∴y ＝﹣x 2+2x +3，∵y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4，∴D （1，4）；（2）①设BC 的解析式为y ＝kx +b ，∴{3k +b =0b =3，解得{k =−1b =3， ∴y ＝﹣x +3，过点M 作MG ∥y 轴交BC 于点G ，设M （t ，﹣t 2+2t +3），则G （t ，﹣t +3），∴PG ＝﹣t 2+2t +3+t ﹣3＝﹣t 2+3t ，∴S △MBC =12×3×（﹣t 2+3t ）=−32（t −32）2+278，∵0＜t ＜3，∴当t =32时，S △MBC 有最大值278，此时M （32，154）；②过点M 作MH ⊥x 轴交于H ，交BC 于N ，∵∠OBC ＝45°，∴NH =√22BN ，∴MN +√22BN ＝MN +NH ≥MH ， ∵M （32，154）， ∴MH =154， ∴MN +√22BN 的最小值为154，故答案为：154；（3）存在点P ，使得以点P 、A 、C 为顶点的三角形为直角三角形，理由如下：设P （m ，﹣m 2+2m +3），如图2，当∠ACP ＝90°时，过点C 作EF ∥x 轴，过点A 作AE ⊥EF 交于E ，过点P 作PF ⊥EF 交于F ，∴∠ECA +∠FCP ＝90°，∵∠ACE +∠EAC ＝90°，∴∠FCP ＝∠EAC ，∴△ACE ∽△CPF ，∴AE CF =EC PF ， ∴3m =13+m 2−2m−3，解得m ＝0（舍）或m =73，∴P （73，209）；如图3，当∠CAP ＝90°时，过点A 作MN ⊥x 轴，过点C 作CM ⊥MN 交于M ，过点P 作PN ⊥MN 交于N ，∵∠MAC +∠NAP ＝90°，∠MAC +∠MCA ＝90°，∴∠NAP ＝∠MCA ，∴△ACM ∽△P AN ，∴AM NP =CM AN ， ∴3m+1=1m 2−2m−3，解得m ＝﹣1（舍）或m =103，∴P （103，−139）；综上所述：P 点坐标为（73，209）或（103，−139）．17．（2022•徐州二模）如图，已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A （﹣1，0），B （2，0）两点，与y 轴交于点（0，2）．（1）求此二次函数的表达式；（2）点Q 在以BC 为直径的圆上（点Q 与点O ，点B ，点C 均不重合），试探究QO ，QB ，QC 的数量关系，并说明理由．（3）E 点为该图象在第一象限内的一动点，过点E 作直线BC 的平行线，交x 轴于点F ．若点E 从点C 出发，沿着抛物线运动到点B ，则点F 经过的路程为 2 ．【解答】解：（1）将A （﹣1，0），B （2，0），（0，2）代入y ＝ax 2+bx +c ，得：{0=a −b +c0=4a +2b +c 2=c，解得：{a =−1b =1c =2，∴二次函数的表达式为：y ＝﹣x 2+x +2；（2）QB +QC =√2QO 或QC ﹣QB =√2QO 或QB ﹣QC =√2QO ，理由：∵Q 在以BC 为直径圆上，∴∠BOC ＝∠BQC ＝90°，∵B （2，0），C （0，2），∴OB ＝OC ＝2，∠BOC ＝90°，∴△BOC 为等腰直角三角形，∴∠OCB ＝∠OBC ＝45°，①当点Q 在半圆BOC 相对的半圆上时，如图，连接QC ，BQ ，OQ ，把△OBQ 绕点O 逆时针旋转90°，得到△OCQ ′，∵四边形OBQC 是圆内接四边形，∴∠OBQ +∠OCQ ＝180°，由旋转知：∠QOQ ′＝90°，∠OCQ ′＝∠OBQ ，CQ ′＝BQ ，OQ ′＝OQ ，∴∠OCQ ′+∠OCQ ＝180°，∴Q 、C 、Q ′三点在同一条直线上，CQ ′+CQ ＝QQ ′，∴QB +QC ＝QQ ′，∵△OQQ ′是等腰直角三角形，∴QQ ′=√2QO ，∴QB +QC =√2QO ；②当点Q 在劣弧OB̂上时，如图，连接QB 、QC ，在CQ 上截取CQ ′＝QB ，连接OQ ′，∵OQ̂=OQ ̂， ∴∠OCQ ＝∠OBQ ，在△OCQ ′和△OBQ 中，{OC =OB∠OCQ′=∠OBQ CQ′=BQ，∴△OCQ ′≌△OBQ （SAS ），∴∠COQ ′＝∠BOQ ，OQ ′＝OQ ，∵∠COQ ′+∠BOQ ′＝90°，∴∠BOQ +∠BOQ ′＝90°，即∠QOQ ′＝90°，∴△OQQ ′是等腰直角三角形，∴QQ ′=√2QO ，∵QQ ′＝QC ﹣CQ ′＝QC ﹣QB ，∴QC ﹣QB =√2QO ；③当点Q 在劣弧OC ̂上时，如图，连接QB 、QC ，在BQ 上截取BQ ′＝QC ，连接OQ ′，同理可得：QB ﹣QC =√2QO ，综上所述，QB +QC =√2QO 或QC ﹣QB =√2QO 或QB ﹣QC =√2QO ；（3）设直线BC ：y ＝kx +m把点B 、点C 代入得{2k +b =0b =2，解得：k ＝﹣1，m ＝2，∴y ＝﹣x +2，又∵EF ∥BC ，点E 在抛物线上，设E （n ，﹣n 2+n +2），设直线EF 解析式为y ＝﹣x +b 1，把E 代入得：﹣n 2+n +2＝﹣n +b 1，∴b 1＝﹣n 2+2n +2，∴y ＝﹣x ﹣n 2+2n +2，联立{y =−x −n 2+2n +2y =−x 2+x +2， ∴﹣x ﹣n 2+2n +2＝﹣x 2+x +2，得x 2﹣2x ﹣n 2+2n ＝0∵Δ＝4﹣4（﹣n 2+2n ）＝4+4n 2﹣8n ＝4（n ﹣1）2＝0，∴只有一个交点，∴n ＝1，b 1＝﹣1+2+2＝3，∴y ＝﹣x +3，当y ＝0时x ＝3，∴F 横坐标最大为3，∴F 经过路程为：（3﹣2）×2＝2，故答案为：2．18．（2022•丰县二模）如图①，抛物线y=−12x2+2x+b（b≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，连接AC、BC，tan∠CBO＝3．（1）求b的值；（2）如图②，点P是直线AC上方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于点D．抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线AC交于点N．当点D在对称轴的右侧，且S△DMN＝S△AOC时，请求出点D的坐标.【解答】解：（1）令x＝0，则y＝b，∴C（0，b）．由题意：b＞0，∴OC＝b．在Rt△BOC中，∵tan∠CBO=OCOB=3，∴OB=13b，∴B（−13b，0）．∴−12×(−13b)2+2×13b+b＝0，解得：b＝6或b＝0（不合题意，舍去），∴b＝6；（2）∵b＝6，∴抛物线的解析式为y=−12x2+2x+6，C（0，6）．∴OC＝6．令y＝0，则−12x2+2x+6＝0，解得：x ＝﹣2或6，∴B （﹣2，0），A （6，0），∴OA ＝6，OB ＝2．设直线AC 的解析式为y ＝ax +c ，∴{6a +c =0c =6，解得：{a =−1c =6， ∴直线AC 的解析式为y ＝﹣x +6．设直线BC 的解析式为y ＝kx +n ．∴{−2k +n =0n =6，解得：{k =3n =6， ∴直线BC 的解析式为y ＝3x +6，∵点D 为直线AC 上一点，∴设D （m ，﹣m +6），其中0＜m ＜6，∵直线l ∥BC ，∴设直线l 的解析式为y ＝3x +d ，∵点D 在直线l 上，∴﹣m +6＝3m +d ，∴d ＝﹣4m +6．∴直线l 的解析式为y ＝3x ﹣4m +6．∵y =−12x 2+2x +6=−12(x −2)2+8，∴抛物线的对称轴为直线x ＝2，当x ＝2时，y ＝3×2﹣4m +6＝12﹣﹣4m ，∴M （2，12﹣4m ）．当x ＝2时，y ＝﹣2+6＝4，∴N （2，4）．∵点D 在对称轴的右侧，∴点N 在点M 的上方，∴MN ＝4﹣（12﹣4m ）＝4m ﹣8．∵S △DMN ＝S △AOC ，∴12（4m ﹣8）（m ﹣2）=12×6×6， ∴m 2﹣4m ﹣5＝0．解得：m ＝5或﹣1（负数不合题意，舍去），∴m ＝5，∴﹣m +6＝1，∴D （5，1）．19．（2022•贾汪区二模）如图，二次函数y ＝﹣x 2+bx 的图象与x 轴负半轴交于点E ，平行于x 轴的直线l 与该抛物线交于A 、B 两点（点A 位于点B 左侧），与抛物线对称轴交于点F(−32，−4)．（1）求b 的值；（2）设C 、D 是x 轴上的点（点D 位于点C 左侧），四边形ABCD 为平行四边形，过点C 、D 分别作x 轴的垂线，与抛物线交于C '（m ，n ）、D '（p ，q ）．①若n +q ＝﹣16，求m 的值；②当n +q 值最大时，四边形CC 'D 'D 的面积为 20 ．【解答】解：（1）平行于x 轴的直线l 与抛物线对称轴交于点F(−32，−4)，∴抛物线对称轴为直线x =−32，∴−b 2×(−1)=−32，解得：b ＝﹣3，故b 的值为﹣3；（2）把y ＝﹣4代入y ＝﹣x 2﹣3x ，得﹣x 2﹣3x ＝﹣4，解得：x1＝﹣4，x2＝1，∴A（﹣4，﹣4），B（1，﹣4），∴AB＝1﹣（﹣4）＝5，∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD＝AB＝5，∴m﹣p＝5，∴p＝m﹣5，过点C、D分别作x轴的垂线，与抛物线交于C'（m，n）、D'（p，q），∴n＝﹣m2﹣3m，q＝﹣p2﹣3p＝﹣（m﹣5）2﹣3（m﹣5）＝﹣m2+10m﹣25﹣3m+15＝﹣m2+7m﹣10；①若n+q＝﹣16，则（﹣m2﹣3m）+（﹣m2+7m﹣10）＝﹣16，解得：m＝﹣1或m＝3，故m的值为﹣1或3；②由①得：n+q＝（﹣m2﹣3m）+（﹣m2+7m﹣10）＝﹣2（m﹣1）2﹣8，∵﹣2＜0，∴当m＝1时，n+q的最大值为﹣8，此时，C′（1，﹣4），D′（﹣4，﹣4），C（1，0），D（﹣4，0），∴CC′＝4，DD′＝4，CD＝1﹣（﹣4）＝5，∵CC′∥y轴，DD′∥y轴，∴CC′∥DD′，∴四边形CC'D'D是平行四边形，∵CC′⊥CD，∴四边形CC'D'D是矩形，∴S四边形CC′D′D＝CC′•CD＝4×5＝20，故答案为：20．20．（2022•徐州二模）如图，四边形ABCD中，已知AB∥CD，动点P从A点出发，沿边AB运动到点B，动点Q同时由A点出发，沿折线AD﹣DC﹣CB运动点B停止，在移动过程中始终保持PQ⊥AB，已知点P的移动速度为每秒1个单位长度，设点P的移动时间为x秒，△APQ的面积为y，已知y与x之间函数关系如图②，其中MN为线段，曲线OM，NK为抛物线的一部分，根据图中信息，解答下列问题：（1）图①AB＝10，BC＝5；（2）分别求线段MN，曲线NK所对应的函数表达式；（3）当x为何值，△APQ的面积为6？【解答】解：（1）如图①，过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F，由图②可知：AB＝10，AE＝4，AF＝7，CD＝EF＝3，S△ADE＝8，∴BF＝AB﹣AF＝10﹣7＝3，∵S△ADE=12AE•DE=12×4DE＝2DE，∴2DE＝8，∴DE＝4，∵AB∥CD，∠DEF＝∠CFE＝90°，∴∠CDE＝180°﹣∠DEF＝90°，∴∠DEF＝∠CFE＝∠CDE＝90°，∴四边形CDEF是矩形，∴CF＝DE＝4，在Rt△BCF中，BC=√BF2+CF2=√32+42=5，故答案为：10，5；（2）如图①，连接AC，则S△ACF=12AF•CF=12×7×4＝14，∴N（7，14），设直线MN的解析式为y＝kx+b，把M（4，8），N（7，14）代入得：{4k+b=87k+b=14，解得：{k =2b =0， ∴线段MN 所在直线的解析式为y ＝2x ；设曲线NK 所对应的函数表达式为y ＝a （x ﹣7）2+14，把B （10，0）代入得： a ×（10﹣7）2+14＝0，解得：a =−149，∴曲线NK 所对应的函数表达式为y =−149（x ﹣7）2+14；（3）如图①，∵AE ＝DE ＝4，∠AED ＝90°，∴∠DAE ＝45°，当0＜x ≤4时，∵PQ ⊥AB ，∴PQ ＝AP •tan ∠DAE ＝x •tan45°＝x ，∴y =12x 2＝6，∵x ＞0，∴x ＝2√3，当4＜x ≤7时，点Q 在线段CD 上，此时S △APQ ＞8；当7＜x ≤10时，令y ＝6，则−149（x ﹣7）2+14＝6，解得：x ＝7−6√77（舍去）或x ＝7+6√77，综上所述，当x 为2√3或7+6√77时，△APQ 的面积为6．21．（2022•睢宁县模拟）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝x 2﹣4x +3与x 轴相交于 A 、B （点A 在点B 的左边），与y 轴相交于 C ．（1）求直线BC 的表达式；（2）垂直于y 轴的直线l 与抛物线相交于点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），与直线BC 交于点M （x 3，y 3），且x 3＜x 2＜x 1，请结合函数图象，求x 1+x 2+x 3的取值范围；（3）若直线l ′∥BC ，当点B 关于l ′的对称点B '落在抛物线上时，求直线′的解析式．【解答】解：（1）由y ＝x 2﹣4x +3得到：y ＝（x ﹣3）（x ﹣1），C （0，3）．所以A （1，0），B （3，0），设直线BC 的表达式为：y ＝kx +b （k ≠0），则{b =33k +b =0，解得{k =−1b =3，所以直线BC 的表达式为y ＝﹣x +3；（2）由y ＝x 2﹣4x +3得到：y ＝（x ﹣2）2﹣1，所以抛物线y ＝x 2﹣4x +3的对称轴是直线x ＝2，顶点坐标是（2，﹣1）．∵y 1＝y 2，∴x 1+x 2＝4．∵x 3＜x 2＜x 1，∴x 3＜0，∴x 1+x 2+x 3＜4．（3）设直线BB ′的解析式为y ＝x +n ，把B （3，0）代入得，0＝3+n ，解得n ＝﹣3，∴直线BB ′的解析式为y ＝x ﹣3，令x 2﹣4x +3＝x ﹣3，整理得x 2﹣5x +6＝0，解得x 1＝2，x 2＝3，当x ＝2时，y ＝x ﹣3＝﹣1，∴B ′（2，﹣1），∴BB ′的中点为（52，−12），设直线l ′为y ＝﹣x +m ，∴−12=−52+m ，解得m ＝2，∴直线l ′为y ＝﹣x +2．22．（2022•鼓楼区校级二模）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝x 2﹣4x +3与x 轴相交于点A ，B （A 在B 的左边），与y 轴相交于点C ．M （0，m ）是y 轴上动点，过点M 的直线l 垂直于y 轴，与抛物线相交于两点P 、Q （P 在Q 的左边），与直线BC 交于点N ．（1）求直线BC 的函数表达式；（2）如图2，四边形PMGH 是正方形，连接CP ．△PNC 的面积为S 1，正方形PMGH 的面积为S 2，若m ＜3，求S 1S 2的取值范围．【解答】解：（1）令y ＝0，则x 2﹣4x +3．解得：x ＝1或3．∵点A 在点B 的左边，∴A （1，0），B （3，0）．令x ＝0，则y ＝3．∴C （0，3）．设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ，∴{3k +b =0b =3．解得：{k =−1b =3．∴直线BC 的解析式为y ＝﹣x +3．（2）∵M （0，m ），MN ∥x 轴，∴N （3﹣m ，m ），∴MN ＝3﹣m ．设点P （t ，t 2﹣4t +3），则t 2﹣4t +3＝m ．∴PM ＝t ，PN ＝MN ﹣PM ＝3﹣m ﹣t ＝﹣t 2+3t ，CM ＝3﹣m ＝﹣t 2+4t ．∴S 1=12×PN •CM =12（﹣t 2+3t ）（﹣t 2+4t ），S 2=PM 2=t 2．∴S 1S 2=12（t 2﹣7t +12）=12(t −72)2−18． ∵y ＝x 2﹣4x +3＝（x +2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）．∵m ＜3，∴﹣1＜m ＜3．∴0＜t ＜2．∵12＞0， ∴当t ＜72时，S 1S 2的值随t 的增大而减小． ∴当t ＝0时，S 1S 2的值最大＝6，当t ＝2时，S 1S 2的值最小＝1． ∴S 1S 2的取值范围为1＜S1S 2＜6． 23．（2022•徐州一模）如图，以AB 为直径的⊙D 与抛物线y ＝ax 2bx +c 交于点A 、B 、C ，与y 轴交于点E ，点A 、C 的坐标分别是（﹣3，0）、（0，﹣3），过点B 作y 轴的垂线垂足为F （0，﹣4）．（1）求线段CE 的长；（2）求抛物线的函数表达式；（3）抛物线对称轴上是否存在点P ，使⊙P 与直线AB 和x 轴都相切？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）过点D 作OF 的垂线，垂足为H ，∵BF ⊥y 轴，∴BF ∥DH ∥AO ，∴OH HF =AD DB =1，∵OF ＝4，∴OH ＝2，∵OC ＝3，∴CH ＝OC ﹣OH ＝1，∵DH ⊥EC ，∴CE ＝2CH ＝2；（2）连接AC 、BC ，∵OA ＝OC ，∠AOC ＝90°，∴∠ACO ＝45°，∵AB 是⊙D 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠BFC ＝45°，∴BF ＝CF ＝FO ﹣CO ＝1，∴点B 的坐标是（﹣1，﹣4），将A （﹣3，0）、B （﹣1，﹣4）、C （0，﹣3）代入得{9a −3b +c =0a −b +c =−4c =−3，∴{a =1b =2c =−3，∴y ＝x 2+2x ﹣3；（3）存在点P ，使⊙P 与直线AB 和x 轴都相切，理由如下：∵y ＝x 2+2x ﹣3＝（x +1）2﹣4，设存在点P （﹣1，m ），∴BP ＝m +4，过点P 作x 轴的垂线，垂足为G ，PN ＝PG ＝|m |，∵AG ＝2，BG ＝4，∴AB =2√5，∵⊙P与直线AB和x轴都相切，∴sin∠ABP=PNBP=AGAB，即|m|m+4=2√5，∴m=±√5+1，∴存在点P(−1，√5+1)或(−1，−√5+1)．24．（2022•邳州市一模）抛物线y=43x2+bx+c经过点C（0，﹣4），且OB=34OC．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点D、E是抛物线对称轴上的两个动点，且DE＝1，点D在点E的下方，求四边形ACDE的周长的最小值；（3）如图2，点N为抛物线上一点，连接CN，直线CN把四边形CBNA的面积分为3：1两部分，直接写出点N的坐标．【解答】解：（1）∵点C（0，﹣4），∴OC＝4，∵OB=34OC∴OB＝3，∴点B （3，0），∵抛物线y =43x 2+bx +c 经过点C （0，﹣4），点B （3，0），∴{12+3b +c =0c =−4，解得{b =−83c =−4， ∴抛物线的表达式为：y =43x 2−83x ﹣4；（2）把C 向上移1个单位得点C ′，再作C ′关于抛物线的对称轴的对称点C ″，连接AC ″，与对称轴交于点E ，再在对称轴上E 点下方取点D ，使得DE ＝1，连接CD ，则CD ＝C ′E ＝C ″E ，此时四边形ACDE 的周长最小，∵C （0，﹣4），∴C ′（0，﹣3），∵y =43x 2−83x ﹣4的对称轴是直线x =−−832×43=1， ∴C ″（2，﹣3），A （﹣1，0），∴AC =√12+42=√17，AC ″=√(2+1)2+32=3√2，∴AE +DE +CD +AC ＝AE +1+C ″E +√17=1+√17+AE +C ″E ＝1+√17+AC ″＝1+√17+3√2的值最小，∴四边形ACDE 的周长的最小值为1+√17+3√2；（3）如图，设直线CN 交x 轴于点E ，直线CN 把四边形CBNA 的面积分为3：1两部分，又∵S △NCB ：S △NCA =12EB ×（y N ﹣y C ）：12AE ×（y N ﹣y C ）＝BE ：AE ，则BE ：AE ＝1：3或3：1，∵A （﹣1，0），B （3，0），∴AB ＝4，则AE ＝3或1，即：点E 的坐标为（2，0）或（0，0），∵当点E 的坐标为（0，0）时，直线CE 与抛物线不可能交于点N ，故不合题意，舍去，当点E 的坐标为（2，0）时，设直线CN 的表达式：y ＝kx ﹣4，∴2k ﹣4＝0，解得k ＝2，∴直线CN 的表达式：y ＝2x ﹣4，联立y =43x 2−83x ﹣4并解得：x =72或0（不合题意，舍去），故点N 的坐标为（72，3）． 25．（2021•徐州模拟）如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过A （4，0），C （﹣1，0）两点，与y 轴交于点B ，P 为第一象限抛物线上的动点，连接AB ，BC ，P A ，PC ，PC 与AB 相交于点Q ．（1）求抛物线的解析式；（2）设△APQ 的面积为S 1，△BCQ 的面积为S 2，当S 1﹣S 2＝5时，求点P 的坐标；（3）是否存在点P ，使△P AQ 为直角三角形，若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过A （4，0），C （﹣1，0）两点， ∴{−16+4b +c =0−1−b +c =0．解得{b =3c =4． ∴抛物线的解析式是y ＝﹣x 2+3x +4；（2）设P （x ，y ），对于抛物线y ＝﹣x 2+3x +4．令x ＝0，则y ＝4， ∴B （0，4）．∵S 1﹣S 2＝5，∴S 1＝S 2+5．∴S 1+S △AQC ＝S 2+S △AQC +5，即S △APC ＝S △ABC +5．∴12×5×y =12×5×4+5．∴y ＝6．∴﹣x 2+3x +4＝6．解得x 1＝1，x 2＝2．∴点P 的坐标是（1，6）或（2，6）．（3）存在，点P 的坐标是（3，4）或（3+√212，1）．理由：若∠AQP ＝90°时，即AB ⊥CP ．由A （4，0），B （0，4）知，OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA ＝45°．∴∠PCA ＝45°．∴设直线PC 解析式为：y ＝x +t ．把C （﹣1，0）代入，得﹣1+t ＝0．解得t ＝1．故直线PC 的解析式为y ＝x +1．联立{y =x +1y =−x 2+3x +4，解得{x =−1y =0（舍去）或{x =3y =4． ∴P （3，4）；若∠APQ ＝90°时，△APC 是直角三角形，设P （m ，n ），则n ＝﹣m 2+3m +4．则由AP 2+CP 2＝AC 2，即（m +1）2+n 2+（m ﹣4）2+n 2＝（4+1）2．整理，得m 2﹣3m ﹣4+n 2＝0．∴﹣n +n 2＝0．解得n 1＝0，n 2＝1．当n ＝0时，﹣m 2+3m +4＝0，即（m ﹣4）（m +1）＝0．解得m 1＝﹣1，m 2＝4．当n ＝1时，﹣m 2+3m +4＝1，即m 2﹣3m ﹣3＝0，解得m 1=3+√212，m 2=3−√212（舍去）．此时点P 的坐标分别是（﹣1，0）（舍去），（4，0）（舍去），（3+√212，1）．若∠QAP ＝90°时，该种情况不存在．综上所述，符合条件的点P 的坐标是（3，4）或（3+√212，1）．26．（2021•徐州模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的三个顶点B （4，0），C（8，0），D （8，﹣8），抛物线y ＝ax 2+bx 经过A ，C 两点．动点P 从点A 出发，沿线段AB 向终点B 运动，同时点Q 从点C 出发，沿线段CD 向终点D 运动，运动速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒，过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E ．（1）求点A 的坐标及抛物线的函数表达式；（2）过点E 作EF ⊥AD 于点F ，交抛物线于点G ．当t 为何值时，线段EG 的长有最大值？最大值是多少？（3）连接EQ ，是否存在t 的值使△ECQ 为等腰三角形？若存在，请求出t 值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵矩形ABCD 的三个顶点B （4，0），C （8，0），D （8，﹣8）， ∴AD ∥x 轴，AB ∥y 轴，点A 的坐标为（4，﹣8），将A （4，﹣8）、C （8，0）两点坐标分别代入y ＝ax 2+bx 得：{16a +4b =−864a +8b =0，解得：{a =12b =−4，故抛物线的解析式为：y =12x 2﹣4x ；（2）如图1，由题意得：AP ＝t ，∴PB ＝8﹣t ，设直线AC 的解析式为：y ＝kx +n ，则{8k +n =04k +n =−8，解得：{k =2n =−16， ∴直线AC 的解析式为：y ＝2x ﹣16，∵PE ∥BC ，∴△APE ∽△ABC ，∴PE BC =AP AB ，即PE 4=t 8， ∴PE =12t ，当x ＝4+12t 时，y ＝2（4+12t ）﹣16＝t ﹣8，∴E （4+12t ，t ﹣8），G （4+12t ，18t 2−8）， ∴EG ＝t ﹣8﹣（18t 2﹣8）=−18t 2+t =−18（t ﹣4）2+2， ∵−18＜0，∴当t ＝4时，EG 有最大值是2；（3）有三种情况：①当EQ ＝QC 时，∵Q （8，﹣t ），E （4+12t ，t ﹣8），QC ＝t ，∴根据两点间距离公式，得：（4+12t ﹣8）2+（t ﹣8+t ）2＝t 2．整理得13t 2﹣144t +320＝0，（t ﹣8）（13t ﹣40）＝0，解得t =4013或t ＝8（此时E 、C 重合，不能构成三角形，舍去）；②当EC ＝CQ 时，∵E （4+12t ，t ﹣8），C （8，0），QC ＝t ，∴根据两点间距离公式，得：（4+12t ﹣8）2+（t ﹣8）2＝t 2，整理得t 2﹣80t +320＝0，解得：t 1＝40﹣16√5，t 2＝40+16√5＞8（此时Q 不在矩形的边上，舍去）； ③当EQ ＝EC 时，∵Q （8，﹣t ），E （4+12t ，t ﹣8），C （8，0），∴根据两点间距离公式，得：（4+12t ﹣8）2+（t ﹣8+t ）2＝（4+12t ﹣8）2+（t ﹣8）2，解得t ＝0（此时Q 、C 重合，不能构成三角形，舍去）或t =163．综上，t 的值是4013或40﹣16√5或163．。

九年级数学二次函数测试题含答案(精选5套)

1、抛物线y =x 2-2x +1的对称轴是( )(A )直线x =1 (B )直线x =-1(C )直线x =2 (D )直线x =-22、对于2)3(22+-=x y 的图象下列叙述正确的是（）A 、顶点坐标为(－3，2) B 、对称轴为y=3C 、当3≥x 时y 随x 增大而增大D 、当3≥x 时y 随x 增大而减小3、函数y =ax 2(a ≠0)的图象经过点(a ，8)，则a 的值为（）A.±2 B.－2 C.2 D.3 4、自由落体公式h =21gt 2(g 为常量)，h 与t 之间的关系是（） A.正比例函数 B.一次函数C.二次函数 D.以上答案都不对 5、对于任意实数m ，下列函数一定是二次函数的是（）A ．22)1(x m y -=B ．22)1(x m y +=C ．22)1(x m y +=D ．22)1(x m y -= 6、二次函数y=x 2图象向右平移3个单位，得到新图象的函数表达式是（）Ａ.y=x 2+3 Ｂ.y=x 2-3Ｃ.y=（x+3）2Ｄ.y=（x-3）27、某工厂第一年的利润是20万元，第三年的利润是y 万元，与平均年增长率x 之间的函数关系式是＿＿＿＿＿。

8、某学校去年对实验器材投资为2万元，预计今明两年的投资总额为y 万元，年平均增长率为x 。

则y 与x 的函数解析式＿＿＿＿＿。

9、m 取＿＿＿时，函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的二次函数. 10、已知二次函数y=－41x 2+x+2指出 (1)函数图像的对称轴和顶点坐标；(2)把这个函数的图像向左、向下平移2个单位，得到哪一个函数的图像？1、抛物线y=x2-2x+1的对称轴是( )(A)直线x=1 (B)直线x=-1(C)直线x=2 (D)直线x=-22、对于2)3(22+-=x y 的图象下列叙述正确的是（）A 、顶点坐标为(－3，2) B 、对称轴为y=3C 、当3≥x 时y 随x 增大而增大D 、当3≥x 时y 随x 增大而减小3、函数y =ax 2(a ≠0)的图象经过点(a ，8)，则a 的值为（）A.±2 B.－2 C.2 D.3 4、自由落体公式h =21gt 2(g 为常量)，h 与t 之间的关系是（） A.正比例函数 B.一次函数C.二次函数 D.以上答案都不对 5、对于任意实数m ，下列函数一定是二次函数的是（）A ．22)1(x m y -=B ．22)1(x m y +=C ．22)1(x m y +=D ．22)1(x m y -= 6、二次函数y=x 2图象向右平移3个单位，得到新图象的函数表达式是（）Ａ.y=x 2+3 Ｂ.y=x 2-3Ｃ.y=（x+3）2Ｄ.y=（x-3）27、某工厂第一年的利润是20万元，第三年的利润是y 万元，与平均年增长率x 之间的函数关系式是＿＿＿＿＿。

第二章二次函数检测题及答案解析

第二章二次函数检测题【本检测题满分:120分，时间:120分钟】一、选择题（每小题3分，共30分）1.（兰州中考）已知二次函数y=a(x+1)2b(a≠0)有最小值1，则a、b的大小关系为（）A.a>bB.a<bC.a=bD.不能确定2.已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.3. （河南中考）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x24先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的表达式是（）A.y=(x+2)2+2B.y=(x2)2 2C.y=(x2)2+2D.y=(x+2)2 24.一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）5.已知抛物线的顶点坐标是，则和的值分别是（）A.2，4B.C.2，D.，06.对于函数，使得随的增大而增大的的取值范围是（）A. B. C. D.7.对于任意实数，抛物线总经过一个固定的点，这个点是（）A.（1，0）B.（，0）C.（，3）D. （1，3）8.已知抛物线经过原点和第一、二、三象限，那么（）A.B.C.D.9. （呼和浩特中考）已知M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线y=上，点N在直线y=x+3上，设点M的坐标为（a,b），则二次函数y=abx2+（a+b）x）（）A.有最大值，最大值为B.有最大值，最大值为C.有最小值，最小值为D.有最小值，最小值为10. （重庆中考）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x=.下列结论中，正确的是（）A.abc>0B.a+b=0C.2b+c>0D.4a+c<2b二、填空题（每小题3分，共24分）11. （苏州中考）已知点A（x 1,y1）、B（x2,y2）在二次函数y=(x1)2+1的图象上，若x1>x2>1，则y1 y2（填“>”“=”或“<”）.12.如果二次函数(a≠0)的图象顶点的横坐标为1，则的值为.13.对于二次函数，已知当由1增加到2时，函数值减少3，则常数的值是 .14.将抛物线3)3(22+-=x y 向右平移2个单位后，再向下平移5个单位，所得抛物线的顶点坐标为_______.15. （湖北襄阳中考）某一型号飞机着陆后滑行的距离y （单位：m ）与滑行时间x （单位：s ）之间的函数表达式是y =60x 1.5x 2，该型号飞机着陆后需滑行 m 才能停下来. 16.设三点依次分别是抛物线与轴的交点以及与轴的两个交点，则△的面积是 .17.函数写成的形式是________，其图象的顶点坐标是_______，对称轴是__________．18.有一个二次函数的图象，三位同学分别说出了它的一些特点：甲：对称轴为直线;乙：与轴两个交点的横坐标都是整数; 丙：与轴交点的纵坐标也是整数.请你写出满足上述全部特点的一个二次函数表达式__________________．三、解答题（共66分）19.（8分）（·杭州中考）当k 分别取1，1，2时，函数y =（k 1）x 24x +5k 都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值． 20.（8分）把抛物线向左平移2个单位，同时向下平移1个单位后，恰好与抛物线重合．请求出的值，并画出函数的示意图．21.（8分）炮弹的运行轨道若不计空气阻力是一条抛物线．现测得我大炮A 与射击目标B 的水平距离为600 m ，炮弹运行的最大高度为1 200 m. （1）求此抛物线的表达式．（2）若在A 、B 之间距离A 点500 m 处有一高350 m 的障碍物，计算炮弹能否越过障碍物. 22.（8分）某商店进行促销活动，如果将进价为8元/件的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品的单价每涨1元，其销售量就要减少10件，问将售价定为多少元/件时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润．23.（8分）（·北京中考节选）已知二次函数y=(t+1)x2+2(t+2)x+在x=0和x=2时的函数值相等.（1）求二次函数的表达式；（2）若一次函数y=kx+6(k≠0)的图象与二次函数的图象都经过点A（3,m），求m和k 的值.24．（8分）（哈尔滨中考）小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x(单位：cm)的边与这条边上的高之和为40 cm，这个三角形的面积S(单位：cm2)随x(单位：cm)的变化而变化．(1)请直接写出S与x之间的函数表达式(不要求写出自变量x的取值范围).(2)当x是多少时，这个三角形面积S最大?最大面积是多少?(参考公式：当x=时，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）有最小（大）值25.（8分）（·武汉中考）如图所示，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE、ED、DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE＝8米，抛物线的顶点C到ED的距离是11米，以ED所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系.（1）求抛物线的表达式；（2）已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h(单位：米)随时间t(单位：时）的变化满足函数关系h=9)2+8(0≤t≤40)，且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？26.（10分）已知抛物线与轴有两个不同的交点．(1)求的取值范围；(2)抛物线与轴的两交点间的距离为2，求的值.第二章二次函数检测题参考答案一、选择题1. A 解析:∵二次函数y=a(x+1)2b(a≠0)有最小值1,∴a>0且x=1时，b=1.∴a>0,b= 1.∴a>b.2.C 解析:由函数图象可知，所以.3.B 解析:根据平移规律“左加右减”“上加下减”，将抛物线y=x2-4先向右平移2个单位，得y=(x-2)2-4，再向上平移2个单位，得y=(x-2)2-4+2=(x-2)2-2.4.C 解析:当时，二次函数图象开口向下，一次函数图象经过第二、四象限，此时C，D符合.又由二次函数图象的对称轴在轴左侧，所以，即，只有C符合.同理可讨论当时的情况.各选项均不符合.5.B 解析: 抛物线的顶点坐标是（），所以，解得.6.D 解析:由于函数图象开口向下，所以在对称轴左侧随的增大而增大，由对称轴为直线，知的取值范围是.7.D 解析:当时，，故抛物线经过固定点（1，3）.8.D 解析:画出抛物线简图可以看出，所以.9. B 解析:∵点M的坐标为（a,b）,∴点N的坐标为（a,b）.∵点M在双曲线y=上，∴ab=.∵点N（a,b）在直线y=x+3上,∴a+3=b.∴a+b=3.∴二次函数y=abx2+（a+b）x=x2+3x=（x3）2+.∴二次函数y=abx2+(a+b)x有最大值,最大值是.10. D 解析:由图象知a ＞0,c ＜0,又对称轴x ==＜0,∴ b ＞0,∴ abc ＜0.又＝，∴ a ＝b ，a +b ≠0.∵ a =b ,∴ y =ax 2+bx +c =bx 2+bx +c . 由图象知,当x ＝1时，y ＝2b +c ＜0，故选项A,B,C 均错误.∵ 2b +c ＜0， ∴ 4a 2b +c ＜0.∴ 4a +c ＜2b ,D 选项正确.二、填空题11. ＞解析:∵ a ＝1＞0，对称轴为直线x =1，∴ 当x ＞1时，y 随x 的增大而增大.故由x 1＞x 2＞1可得y 1＞y 2. 12.13.解析:因为当时，，当时，，所以.14.(5,-2)15. 600 解析:y =60x 1.5x 2= 1.5（x 20）2+600,当x =20时,y 最大值=600，则该型号飞机着陆时需滑行600 m 才能停下来. 16. 解析:令，令，得，所以，所以△的面积是.17.18.本题答案不唯一，只要符合题意即可，如2218181 1.7777y x x y x x =-+=-+-或三、解答题19. 分析：先求出当k 分别取1，1，2时对应的函数，再根据函数的性质讨论最大值. 解：（1）当k =1时，函数y =4x +4为一次函数，无最值.（2）当k =2时，函数y =x 24x +3为二次函数且图象开口向上，无最大值. （3）当k =1时，函数y =2x 24x +6=(x +1)2+8为二次函数且图象开口向下，对称轴为直线x =1，顶点坐标为（，8），所以当x =1时，y 最大值=8.综上所述，只有当k=1时，函数y=(1)x24x+5k有最大值，且最大值为8.点拨：本题考查一次函数和二次函数的基本性质，熟知函数的性质是求最值的关键.20.解:将整理得.因为抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位得，所以将向右平移2个单位，再向上平移1个单位即得，故，所以.示意图如图所示.21.解:（1）建立平面直角坐标系，设点A为原点，则抛物线过点（0，0），（600，0），从而抛物线的对称轴为直线.又抛物线的最高点的纵坐标为1 200，则其顶点坐标为（300，1 200），所以设抛物线的表达式为，将（0，0）代入所设表达式得，所以抛物线的表达式为.（2）将代入表达式，得，所以炮弹能越过障碍物.22.分析：日利润=销售量×每件利润，每件利润为元，销售量为[件，据此得关系式．解：设售价定为元/件.由题意得，，∵，∴当时，有最大值360.答：将售价定为14元/件时，才能使每天所赚的利润最大，最大利润是360元．23. 分析：（1）根据抛物线的对称轴为直线x==1,列方程求t的值，确定二次函数表达式.（2）把x=3,y=m代入二次函数表达式中求出m的值，再代入y=kx+求出k的值.解：（1）由题意可知二次函数图象的对称轴为直线x＝1，则=1，∴t=.∴y=x2+x+.(2)∵二次函数图象必经过A点，∴m=×()2+(3)+= 6.又一次函数y=kx+6的图象经过A点，∴3k+6=6,∴k=4.24. 分析：（1）由三角形面积公式S=得S与x之间的表达式为S=·x（40x）=x2+20x.（2）利用二次函数的性质求三角形面积的最大值.解：（1）S=x2+20x.（2）方法1：∵a=＜0,∴S有最大值.∴当x===20时，S有最大值为==200.∴当x为20 cm时,三角形面积最大，最大面积是200 cm2.方法2：∵a=＜0,∴S有最大值.∴当x===20时，S有最大值为S=×202+20×20=200.∴当x为20 cm时，三角形面积最大，最大面积是200 cm2..点拨：最值问题往往转化为求二次函数的最值.25. 分析：（1）设抛物线的表达式为y=ax2+b(a≠0),将(0,11)和（8，8）代入即可求出a,b; (2)令h=6,解方程（t19）2+8=6得t 1,t2，所以当h≥6时，禁止船只通行的时间为｜t2-t1｜.解：(1)依题意可得顶点C的坐标为（0，11），设抛物线表达式为y=ax2+11.由抛物线的对称性可得B(8,8),∴8=64a+11，解得a=,抛物线表达式为y=x2+11.(2)画出h=(t-19)2+8(0≤t≤40)的图象如图所示.当水面到顶点C的距离不大于5米时，h≥6,当h=6时，解得t1=3,t2=35.由图象的变化趋势得，禁止船只通行的时间为｜t2-t1｜=32(小时）.答：禁止船只通行的时间为32小时.点拨：（2）中求出符合题意的h的取值范围是解题的关键，本题考查了二次函数在实际问题中的应用.26.解：（1）∵抛物线与轴有两个不同的交点，∴＞0，即解得c＜.(2)设抛物线与轴的两交点的横坐标为，∵两交点间的距离为2，∴.由题意，得,解得,∴，.。

小专题5 二次函数与几何图形综合-线段相关问题-2020秋人教版九年级数学全一册习题课件(共12张PPT)

解：令y＝－12x2＋12x＋3＝0，解得x1＝3，x2＝－2. ∴A点坐标为(－2，0)．连接AD，交对称轴于点P，则P为所求的点．设直线AD的解析式为y＝kx＋t.将点A，D坐标代入，得－ 2k2＋k＋t＝t＝2. 0，解得tk＝＝112.，
∴直线AD的解析式为y＝12x＋1. ∵抛物线对称轴为直线x＝－2ba＝12，将x＝12代入y＝12x＋1，得y＝54， ∴点P的坐标为(12，54)．
(1)求直线 AD 及抛物线的解析式； (2)过点 P 的直线垂直于 x 轴，交抛物线于点 Q，求线段 PQ 的长度 l 与 m 的关系式，m 为何值时，PQ 最长？
解：(1)把(1，0)，(－3，0)代入y＝ax2＋bx－3，得 a＋b－3＝0， 9a－3b－3＝0. 解得ab＝＝12，. ∴抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3. 当x＝－2时，y＝(－2)2＋2×(－2)－3＝－3，
2．如图，抛物线 y＝－x2＋4x＋5 与 x 轴交于点 A(－1，0)，B(5， 0)，直线 y＝－34x＋3 与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点 D.点 P 是 x 轴上方的抛物线上一动点，过点 P 作 PF⊥x 轴于点 F，交直线 CD 于点 E. 设点 P 的横坐标为 m.若 PE＝5EF，求 m 的值．
解：∵点 P 的横坐标为 m，∴P(m，－m2＋4m＋5)， E(m，－34m＋3)，F(m，0)． ∵点 P 在 x 轴上方，要使 PE＝5EF，点 P 应在 y 轴右侧，∴0<m<5. ∴PE＝－m2＋4m＋5－(－34m＋3)＝－m2＋149m＋2.
分两种情况讨论： ①当点 E 在点 F 上方时，EF＝－34m＋3. ∵PE＝5EF，∴－m2＋149m＋2＝5(－34m＋3)．即 2m2－17m＋26＝0. 解得 m1＝2，m2＝123(舍去)；

第五章《二次函数》单元测试题A(含答案)

第五章《二次函数》单元测试题A一．选择题（共10小题）1．下列函数中，二次函数是（）A ．y ＝﹣4x +5；B ．y ＝x （2x ﹣3）；C ．y ＝（x +4）2﹣x 2；D ．y ＝2．抛物线y ＝x 2+1的对称轴是（） A ．直线x ＝﹣1 B ．直线x ＝1 C ．直线x ＝0 D ．直线y ＝1 3．二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下：x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y…﹣3﹣2﹣3﹣6﹣11…则该函数图象的对称轴是（） A ．x ＝﹣3 B ．x ＝﹣2 C ．x ＝﹣1 D ．x ＝04．将抛物线y ＝x 2+2x ﹣3的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式是（）A ．y ＝（x ﹣1）2﹣1B ．y ＝（x +3）2﹣1C ．y ＝（x ﹣1）2﹣7D ．y ＝（x +3）2﹣7 5．已知二次函数y ＝x 2﹣5x +m 的图象与x 轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为（1，0），则另一个交点的坐标为（） A ．（﹣1，0） B ．（4，0） C ．（5，0） D ．（﹣6，0） 6．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝a ，BC ＝b ，≤a ≤3b ，AE ＝AH ＝CF ＝CG ，则四边形EFGH 的面积的最大值是（） A ．B ．C ．D ．第6题第8题7．已知二次函数y ＝（2﹣a ），在其图象对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，则a的值为（）A ． B ．±C ．﹣D ．0 8．如图，抛物线y ＝﹣2x 2+4x 与x 轴交于点O 、A ，把抛物线在x 轴及其上方的部分记为C 1，将C 1以y 铀为对称轴作轴对称得到C 2，C 2与x 轴交于点B ，若直线y ＝x +m 与C 1，C 2共有3个不同的交点，则m 的取值范围是（） A ．0＜m；B ．＜m ＜；C ．0＜m ＜；D ．m ＜或m ＜9．已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h （m ）与飞行时间t （s ）满足函数表达式h ＝﹣t 2+24t +1．则下列说法中正确的是（）学校班级姓考试-----------------------------------------------------------密---------------------------------封----------------------------------线--------------------------------------A．点火后9s和点火后13s的升空高度相同；B．点火后24s火箭落于地面C．点火后10s的升空高度为139m；D．火箭升空的最大高度为145m10．当a﹣1≤x≤a时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为（）A．1 B．2 C．1或2 D．0或3二．填空题（共8小题）11．将二次函数y＝x2+3x﹣化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，其结果是．12．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（1，0）……，求证：这个二次函数的图象关于直线x+2对称，根据现有信息，得出有关这个二次函数的下列结论：①过点（3，0）；②顶点（2，2）；③在x轴上截得的线段的长是2；④与y轴的交点是（0，3），其中正确的是（填序号）．13．如图，这是二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象，根据图象可知，函数值小于0时x的取值范围为．第13题第16题14．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为．15．二次函数y＝x2﹣8x的最低点的坐标是．16．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b＞0；④其顶点坐标为（，﹣2）；⑤当x＜时，y随x的增大而减小；⑥a+b+c＞0中，正确的有．（只填序号）17．已知二次函数y＝2x2+2018，当x分别取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x取2x1+2x2时，函数值为．18．函数y＝ax2﹣2ax+m（a＞0）的图象过点（2，0），那么使函数值y＜0成立的x的取值范围是．1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011. ；12. ；13. ；14. ；15. ；16. ；17. ；18. ；三．解答题（共7小题）19．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x…﹣1 0 1 2 4 …y…10 1 ﹣2 1 25 …（1）求这个二次函数的解析式；（2）写出这个二次函数图象的顶点坐标．20．当k分别取0，1时，函数y＝（1﹣k）x2﹣4x+5﹣k都有最小值吗？写出你的判断，并说明理由．21．抛物线y＝ax2+2ax+c与x轴交于点A，B（点A在点B右边），且ab＝4，求点A、B 的坐标．22．已知抛物线的顶点为（0，4），与x轴交于点（﹣2，0），求抛物线的解析式．23．某超市销售一种水果，迸价为每箱40元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱72元，每月可销售60箱．经市场调查发现：若这种牛奶的售价每降低2元，则每月的销量将增加10箱，设每箱水果降价x元（x为偶数），每月的销量为y箱．（1）写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围．（2）若该超市在销售过程中每月需支出其他费用500元，则如何定价才能使每月销售水果的利润最大？最大利润是多少元？24．晨光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．（1）若平行于墙的一边长为y米，直接写出y与x的函数关系式及其自变量x的取值范围；（2）设这个苗圃园的面积为S，求S与x之间的函数关系．25．某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A处安装一个喷头向外喷水．连喷头在内，柱高0.8m．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图（1）所示．根据设计图纸已知：如图（2）中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y（m）与水平距离x （m）之间的函数关系式是y＝﹣x2+2x+．（1）喷出的水流距水平面的最大高度是多少？（2）如果不计其他因素，那么水池半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列函数中，二次函数是（）A．y＝﹣4x+5 B．y＝x（2x﹣3）C．y＝（x+4）2﹣x2D．y＝【分析】根据二次函数的定义，逐一分析四个选项即可得出结论．【解答】解：A、y＝﹣4x+5为一次函数；B、y＝x（2x﹣3）＝2x2﹣3x为二次函数；C、y＝（x+4）2﹣x2＝8x+16为一次函数；D、y＝不是二次函数．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的定义，牢记二次函数的定义是解题的关键．2．抛物线y＝x2+1的对称轴是（）A．直线x＝﹣1 B．直线x＝1 C．直线x＝0 D．直线y＝1【分析】由抛物线解析式可直接求得答案．【解答】解：∵抛物线y＝x2+1，∴抛物线对称轴为直线x＝0，即y轴，故选：C．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a （x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．3．二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下：x…﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …y…﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 …则该函数图象的对称轴是（）A．x＝﹣3 B．x＝﹣2 C．x＝﹣1 D．x＝0【分析】由当x＝﹣3与x＝﹣1时y值相等，利用二次函数图象的对称性即可求出二次函数图象的对称轴为直线x＝﹣2，此题得解．【解答】解：∵当x＝﹣3与x＝﹣1时，y值相等，∴二次函数图象的对称轴为直线x＝＝﹣2．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数图象的对称性找出其对称轴是解题的关键．4．将抛物线y＝x2+2x﹣3的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式是（）A．y＝（x﹣1）2﹣1 B．y＝（x+3）2﹣1 C．y＝（x﹣1）2﹣7 D．y＝（x+3）2﹣7 【分析】根据图象平移规律，可得答案．【解答】解：函数化为一般式为y＝（x+1）2﹣4，y＝x2+2x﹣3的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得y＝（x+3）2﹣1，故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用平移规律：左加右减，上加下减是解题关键．5．已知二次函数y＝x2﹣5x+m的图象与x轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为（1，0），则另一个交点的坐标为（）A．（﹣1，0）B．（4，0）C．（5，0）D．（﹣6，0）【分析】根据二次函数的解析式结合二次函数的性质可找出二次函数图象的对称轴，再利用二次函数图象与x轴的两交点关于对称轴对称，即可求出抛物线与x轴的另一交点坐标，此题得解．【解答】解：二次函数y＝x2﹣5x+m的图象的对称轴为直线x＝．∵该二次函数图象与x轴的一个交点坐标为（1，0），∴另一交点坐标为（×2﹣1，0），即（4，0）．故选：B．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，牢记抛物线与x轴的两交点关于对称轴对称是解题的关键．6．如图，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，≤a≤3b，AE＝AH＝CF＝CG，则四边形EFGH的面积的最大值是（）A．B．C．D．【分析】先根据题意列出二次函数关系式，再根据求二次函数最值的方法求解即可．【解答】解：设AE＝AH＝CF＝CG＝x，则BE＝DG＝a﹣x，BF＝DH＝b﹣x，设四边形EFGH的面积为y，依题意，得y＝ab﹣x2﹣（a﹣x）（b﹣x），即：y＝﹣2x2+（a+b）x，∵﹣2＜0，抛物线开口向下，∴x＝时，有最大值，∵，∴0＜x≤a，∴函数有最大值为＝（a+b）2．故选：B．【点评】根据面积的和差关系，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．7．已知二次函数y＝（2﹣a），在其图象对称轴的左侧，y随x的增大而减小，则a的值为（）A．B．±C．﹣D．0【分析】根据二次函数的定义条件列出方程求解则可．其图象对称轴的左侧，y随x的增大而减小就说明图象开口向上，2﹣a＞0．【解答】解：由二次函数定义可知a2﹣3＝2且2﹣a＞0，解得a＝﹣．故选：C．【点评】本题考查二次函数的定义及图象．8．如图，抛物线y＝﹣2x2+4x与x轴交于点O、A，把抛物线在x轴及其上方的部分记为C1，将C1以y铀为对称轴作轴对称得到C2，C2与x轴交于点B，若直线y＝x+m与C1，C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（）A．0＜m；B．＜m＜；C．0＜m＜；D．m＜或m＜题图答图【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出C2解析式，分别求出直线y＝x+m与抛物线C2相切时m的值以及直线y＝x+m过原点时m的值，结合图形即可得到答案．【解答】解：令y＝﹣2x2+4x＝0，解得：x＝0或x＝2，则点A（2，0），B（﹣2，0），∵C1与C2关于y铀对称，C1：y＝﹣2x2+4x＝﹣2（x﹣1）2+2，∴C2解析式为y＝﹣2（x+1）2+2＝﹣2x2﹣4x（﹣2≤x≤0），当y＝x+m与C2相切时，如图所示：令y＝x+m＝y＝﹣2x2+4x，即2x2﹣3x+m＝0，△＝﹣8m+9＝0，解得：m＝，当y＝x+m过原点时，m＝0，∴当0＜m＜时直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，故选：A．【点评】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度．9．已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h ＝﹣t2+24t+1．则下列说法中正确的是（）A．点火后9s和点火后13s的升空高度相同B．点火后24s火箭落于地面C．点火后10s的升空高度为139mD．火箭升空的最大高度为145m【分析】分别求出t＝9、13、24、10时h的值可判断A、B、C三个选项，将解析式配方成顶点式可判断D选项．【解答】解：A、当t＝9时，h＝136；当t＝13时，h＝144；所以点火后9s和点火后13s的升空高度不相同，此选项错误；B、当t＝24时h＝1≠0，所以点火后24s火箭离地面的高度为1m，此选项错误；C、当t＝10时h＝141m，此选项错误；D、由h＝﹣t2+24t+1＝﹣（t﹣12）2+145知火箭升空的最大高度为145m，此选项正确；故选：D．【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．10．当a﹣1≤x≤a时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为（）A．1 B．2 C．1或2 D．0或3【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y＝1时x的值，结合当a﹣1≤x≤a时函数有最小值1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论【解答】解：当y＝1时，有x2﹣2x+1＝1，解得：x1＝0，x2＝2．∵当a﹣1≤x≤a时，函数有最小值1，∴a﹣1＝2或a＝0，∴a＝3或a＝0，故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y＝1时x的值是解题的关键．二．填空题（共8小题）11．将二次函数y＝x2+3x﹣化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，其结果是y＝（x+3）2﹣7．【分析】直接利用配方法表示出二次函数的顶点坐标进而得出答案．【解答】解：y＝x2+3x﹣＝（x2+6x）﹣＝（x+3）2﹣﹣＝（x+3）2﹣7．故答案为：y＝（x+3）2﹣7．【点评】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确运用配方法是解题关键．12．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（1，0）……，求证：这个二次函数的图象关于直线x+2对称，根据现有信息，得出有关这个二次函数的下列结论：①过点（3，0）；②顶点（2，2）；③在x轴上截得的线段的长是2；④与y轴的交点是（0，3），其中正确的是①③（填序号）．【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），从而得到抛物线在x轴上截得的线段的长，利用（1，0）和对称轴方程不能确定顶点的纵坐标和c 的值．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（1，0），对称轴为直线x＝2，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），∴抛物线在x轴上截得的线段的长是2．故答案为①③．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a ≠0）与x轴的交点坐标问题转化解．关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标13．如图，这是二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象，根据图象可知，函数值小于0时x的取值范围为﹣1＜x＜3．【分析】根据函数图象和二次函数的性质可以直接写出函数值小于0时x的取值范围．【解答】解：由图象可知，抛物线与x轴的两个交点时（﹣1，0），（3，0），抛物线开口向上，∴函数值小于0时x的取值范围为﹣1＜x＜3，故答案为：﹣1＜x＜3．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．14．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为y＝（60﹣x）（300+20x）．【分析】根据题意可以列出相应的函数关系式，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，y＝（60﹣x）（300+20x），故答案为：y＝（60﹣x）（300+20x）．【点评】本题考查由实际问题列二次函数关系式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式．15．二次函数y＝x2﹣8x的最低点的坐标是（4，﹣16）．【分析】利用配方法将二次函数解析式由一般式变形为顶点式，由此即可找出该函数图象的最低点的坐标．【解答】解：y＝x2﹣8x＝（x﹣4）2﹣16，∵a＝1＞0，∴二次函数图象开口向上，二次函数y＝x2﹣8x的最低点的坐标是（4，﹣16）．故答案为：（4，﹣16）．【点评】本题考查了二次函数的最值，利用配方法将二次函数解析式由一般式变形为顶点式是解题的关键．16．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b＞0；④其顶点坐标为（，﹣2）；⑤当x＜时，y随x的增大而减小；⑥a+b+c＞0中，正确的有①②③⑤．（只填序号）【分析】根据图象可判断①②③④⑤，由x＝1时，y＜0，可判断⑥【解答】解由图象可得，a＞0，c＜0，b＜0，△＝b2﹣4ac＞0，对称轴为x＝∴abc＞0，4ac＜b2，当x＜时，y随x的增大而减小．故①②⑤正确∵﹣＝＜1∴2a+b＞0故③正确由图象可得顶点纵坐标小于﹣2，则④错误当x＝1时，y＝a+b+c＜0故⑥错误。

【初三数学】广州市九年级数学上(人教版)第22章二次函数单元检测试题(含答案解析)

人教版九年级上册第二十二章二次函数单元检测（含答案）(5)一．选择题（30分）1．已知二次函数2y x bx c =++的图象上有38-（，）和58--（，）两点，则此抛物线的对称轴是（）A ．直线4x =B ．直线3x =C ．1x =-D ．x =-2．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则abc ，24b ac -， 2a b +，a b c ++这四个式子中，值为正数的有（A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个3．以知二次函数()20y ax c a =+≠，当x 取1212x x x x ≠，（）时，函数值相等，则当x 取12x x +时，函数值为（）A ．a c +B ．a c -C ．c -D ．c 4．函数2y ax bx c =-+，的图象经过10-（，）则a b cb c c a a b+++++ 的值是（） A ．3- B ．3 C ．12 D ．12- 5．把二次函数253212++=x x y 的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，所得的函数图象顶点是( ) A ．(－5，1) B ．(1，－5) C ．(－1，1) D ．(－1，3) 6．若点(2，5)，(4，5)在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上，则它的对称轴是直线( )A ．ab x -= B ．x ＝1 C ．x ＝2 D ．x ＝37．已知函数4212--=x x y ，当函数值y 随x 的增大而减小时，x 的取值范围是( ) A ．x ＜1 B ．x ＞1 C ．x ＞－2 D ．－2＜x ＜48．二次函数y ＝a(x ＋k)2＋k ，当k 取不同的实数值时，图象顶点所在的直线是( )A ．y ＝xB ．x 轴C ．y ＝－xD ．y 轴9．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，有下列结论：①abc ＞0；②a ＋b ＋c ＝2；21>a ③；④b ＜1．其中正确的结论是( )A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④ 10．下列命题中，正确的是( ) ①若a ＋b ＋c ＝0，则b 2－4ac ＜0；②若b ＝2a ＋3c ，则一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实数根； ③若b 2－4ac ＞0，则二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3；④若b ＞a ＋c ，则一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实数根．A ．②④B ．①③C ．②③D ．③④二．填空题11．抛物线y ＝－x 2＋15有最______点，其坐标是______．12．若抛物线y ＝x 2－2x －2的顶点为A ，与y 轴的交点为B ，则过A ，B 两点的直线的解析式为____________．13．若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象与抛物线y ＝x 2－4x ＋3的图象关于y 轴对称，则函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式为______．14．若抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与y 轴交于点A ，与x 轴正半轴交于B ，C 两点，且BC ＝2，S △ABC＝3，则b ＝______．15．二次函数y ＝x 2－6x ＋c 的图象的顶点与原点的距离为5，则c ＝______． 16．二次函数22212--=x x y 的图象在坐标平面内绕顶点旋转180°，再向左平移3个单位，向上平移5个单位后图象对应的二次函数解析式为___________． 17．抛物线22y x x m =--+，若其顶点在x 轴上，则m=___________．18．顶点为25-（-，）且过点114（，-）的抛物线的解析式为 ___________．三．解答题 19．把二次函数43212+-=x x y 配方成y ＝a(x+m)2＋k 的形式，并求出它的图象的顶点坐标．对称轴方程，y ＜0时x 的取值范围，并画出图象．20．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象经过一次函数323+-=x y 的图象与x 轴．y 轴的交点，并也经过(1，1)点．求这个二次函数解析式，并求x 为何值时，有最大(最小)值，这个值是什么?21．已知二次函数223y ax ax =-+的图象与x 轴交于点A ，点B ，与y 轴交于点C ，其顶点为D ，直线DC 的函数关系式为3y kx =+，又45CBO ∠=︒（1）求二次函数的解析式和直线DC 的函数关系式（2）求的面积22．已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴的两个交点分别为A (m ，0)，B (n ，0)，且4=+n m ，⋅=31n m 人教新版九年级上学期第22章《二次函数》单元测试卷（含答案）(1)一、选择题(本大题有16个小题，共42分.1～10小题各3分，11～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列函数中，是反比例函数的是( )A ．y ＝3x －1B ．y ＝0.1xC ．y ＝－13 D.yx ＝22．反比例函数y ＝22x的图像在( ) A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第二、三象限 D ．第二、四象限 3．若点A(a ，b)在反比例函数y ＝2x 的图像上，则代数式ab －4的值为( )A ．－2B ．0C ．2D ．－6 4．下列函数中，y 随x 的增大而减小的函数是( )A ．y ＝－1xB ．y ＝1xC ．y ＝－1x (x ＞0)D ．y ＝1x(x ＜0)5．某学校要种植一块面积为100 m 2的长方形草坪，要求两边长均不小于5 m ，则草坪的一边长y(单位：m)随另一边长x(单位：m)的变化而变化的图像可能是( )6．如图，在平面直角坐标系中，点A 是双曲线y ＝1x (x ＞0)上的一个动点，过点A 作x 轴的垂线，交x 轴于点B ，点A 运动过程中△AOB 的面积将会( )A B C△A ．保持不变B ．逐渐变小C ．逐渐增大D ．先增大后减小7．对于反比例函数y ＝k 2＋1x，下列说法正确的是( )A ．y 随x 的增大而减小B ．图像是中心对称图形C ．图像位于第二、四象限D ．当x ＜0时，y 随x 的增大而增大 8．已知反比例函数y ＝－9x，当1＜x ＜3时，y 的最大整数值是( )A ．－6B ．－3C ．－4D ．－19．一次函数y ＝ax －a 与反比例函数y ＝ax (a ≠0)在同一平面直角坐标系中的图像可能是( )10．已知A(－1，y 1)，B(2，y 2)两点在双曲线y ＝3＋2mx上，且y 1＞y 2，则m 的取值范围是( )A ．m ＞0B ．m ＜0C ．m ＞－32D ．m ＜－3211．一次函数y 1＝ax ＋b 与反比例函数y 2＝kx 的图像如图所示，当y 1＜y 2时，x 的取值范围是( )A ．x ＜2B ．x ＞5C ．2＜x ＜5D ．0＜x ＜2或x ＞512．在平面直角坐标系中，直线y ＝x ＋b 与双曲线y ＝－1x 只有一个公共点，则b 的值是( )A ．1B ．±1C ．±2D ．213．如图，已知双曲线y ＝kx (x ＞0)经过矩形OABC 的边AB ，BC 的中点F ，E ，且四边形OEBF的面积为2，则k 的值为( )A ．2B ．4C ．3D ．114．反比例函数y ＝mx的图像如图所示，以下结论：①常数m ＜－1；②在每个象限内，y 随x 的增大而增大；③若点A(－1，h)，B(2，k)在图像上，则h ＜k ；④若点P(x ，y)在图像上，则点P ′(－x ，－y)也在图像上．其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．415．如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形AOBC 的一个顶点O 在坐标原点，一边OB 在x 轴的正半轴上，sin ∠AOB ＝45，反比例函数y ＝48x 在第一象限内的图像经过点A ，与BC 交于点F ，则△AOF 的面积等于( )A ．30B ．40C ．60D ．8016．定义新运算：a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a b （b ＞0），－ab （b ＜0）.例如：4⊕5＝45，4⊕(－5)＝45，则函数y ＝2⊕x(x≠0)的图像大致是( )A B C D二、填空题(本大题有3个小题，共12分.17～18小题各3分；19小题有2个空，每空3分．把答案写在题中横线上)17．如图，矩形ABCD 在第一象限，AB 在x 轴的正半轴上，AB ＝3，BC ＝1，直线y ＝12x －1经过点C 交x 轴于点E ，双曲线y ＝kx经过点D ，则k 的值为．18．如图，过点C(2，1)作AC ∥x 轴，BC ∥y 轴，点A ，B 都在直线y ＝－x ＋6上．若双曲线y ＝kx(x ＞0)与△ABC 总有公共点，则k 的取值范围是．19．如图，在函数y ＝8x (x ＞0)的图像上有点P 1，P 2，P 3，…，P n ，P n ＋1，点P 1的横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点P 1，P 2，P 3，…，P n ，P n ＋1分别作x 轴、y 轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S 1，S 2，S 3，…，S n ，则S 1＝，S n ＝ (用含n 的代数式表示)．三、解答题(本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 20．(本小题满分8分)已知反比例函数的图像过点A(－2，2)．(1)求函数的表达式；(2)y 随x 的增大而如何变化？(3)点B(－4，2)，点C(3，－43)和点D(22，－2)哪些点在图像上？21．(本小题满分9分)已知反比例函数y ＝k －1x的图像的两个分支分别位于第一、三象限． (1)求k 的取值范围；(2)若一次函数y ＝2x ＋k 的图像与该反比例函数的图像有一个交点的纵坐标是4，试确定一次函数与反比例函数的表达式，并求当x ＝－6时，反比例函数y 的值．22．(本小题满分9分)如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图像与坐标轴分别交于A ，B 两点，与反比例函数y ＝nx 的图像在第一象限的交点为C ，CD ⊥x 轴，垂足为D.若OB ＝3，OD ＝6，△AOB的面积为3.(1)求一次函数与反比例函数的表达式；(2)直接写出当x ＞0时，kx ＋b －nx＜0的解集．解：23．(本小题满分9分)一般情况下，中学生完成数学家庭作业时，注意力指数随时间x(分钟)的变化规律如图所示(其中AB ，BC 为线段，CD 为曲线的一部分)．(1)分别求出线段AB 和曲线CD 的函数表达式；(2)若学生的注意力指数不低于40为高效时间，根据图中信息，求出一般情况下，完成一份数学家庭作业的高效时间是多少分钟？解：24．(本小题满分10分)如图，四边形ABCD 是平行四边形，点A(1，0)，B(3，1)，C(3，3)．反比例函数y ＝mx (x ＞0)的图像经过点D ，点P 是一次函数y ＝kx ＋3－3k(k ≠0)的图像与该反比例函数图像的一个公共点．(1)直接写出D 点的坐标，并求反比例函数的表达式；(2)连接人教新版九年级上学期第22章《二次函数》单元测试卷（含答案）(1)一、选择题(本大题有16个小题，共42分.1～10小题各3分，11～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列函数中，是反比例函数的是( )A ．y ＝3x －1B ．y ＝0.1xC ．y ＝－13 D.yx ＝22．反比例函数y ＝22x的图像在( ) A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第二、三象限 D ．第二、四象限3．若点A(a ，b)在反比例函数y ＝2x 的图像上，则代数式ab －4的值为( )A ．－2B ．0C ．2D ．－6 4．下列函数中，y 随x 的增大而减小的函数是( )A ．y ＝－1xB ．y ＝1xC ．y ＝－1x (x ＞0)D ．y ＝1x(x ＜0)5．某学校要种植一块面积为100 m 2的长方形草坪，要求两边长均不小于5 m ，则草坪的一边长y(单位：m)随另一边长x(单位：m)的变化而变化的图像可能是( )6．如图，在平面直角坐标系中，点A 是双曲线y ＝1x (x ＞0)上的一个动点，过点A 作x 轴的垂线，交x 轴于点B ，点A 运动过程中△AOB 的面积将会( )A ．保持不变B ．逐渐变小C ．逐渐增大D ．先增大后减小7．对于反比例函数y ＝k 2＋1x，下列说法正确的是( )A ．y 随x 的增大而减小B ．图像是中心对称图形C ．图像位于第二、四象限D ．当x ＜0时，y 随x 的增大而增大 8．已知反比例函数y ＝－9x，当1＜x ＜3时，y 的最大整数值是( )A ．－6B ．－3C ．－4D ．－19．一次函数y ＝ax －a 与反比例函数y ＝ax (a ≠0)在同一平面直角坐标系中的图像可能是( )10．已知A(－1，y 1)，B(2，y 2)两点在双曲线y ＝3＋2mx上，且y 1＞y 2，则m 的取值范围是( )A ．m ＞0B ．m ＜0C ．m ＞－32D ．m ＜－3211．一次函数y 1＝ax ＋b 与反比例函数y 2＝kx 的图像如图所示，当y 1＜y 2时，x 的取值范围是( )A ．x ＜2B ．x ＞5C ．2＜x ＜5D ．0＜x ＜2或x ＞512．在平面直角坐标系中，直线y ＝x ＋b 与双曲线y ＝－1x 只有一个公共点，则b 的值是( )A ．1B ．±1C ．±2D ．213．如图，已知双曲线y ＝kx (x ＞0)经过矩形OABC 的边AB ，BC 的中点F ，E ，且四边形OEBF的面积为2，则k 的值为( )A ．2B ．4C ．3D ．114．反比例函数y ＝mx的图像如图所示，以下结论：①常数m ＜－1；②在每个象限内，y 随x 的增大而增大；③若点A(－1，h)，B(2，k)在图像上，则h ＜k ；④若点P(x ，y)在图像上，则点P ′(－x ，－y)也在图像上．其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．415．如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形AOBC 的一个顶点O 在坐标原点，一边OB 在x 轴的正半轴上，sin ∠AOB ＝45，反比例函数y ＝48x 在第一象限内的图像经过点A ，与BC 交于点F ，则△AOF 的面积等于( )A ．30B ．40C ．60D ．8016．定义新运算：a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a b （b ＞0），－ab （b ＜0）.例如：4⊕5＝45，4⊕(－5)＝45，则函数y ＝2⊕x(x≠0)的图像大致是( )A B C D二、填空题(本大题有3个小题，共12分.17～18小题各3分；19小题有2个空，每空3分．把答案写在题中横线上)17．如图，矩形ABCD 在第一象限，AB 在x 轴的正半轴上，AB ＝3，BC ＝1，直线y ＝12x －1经过点C 交x 轴于点E ，双曲线y ＝kx经过点D ，则k 的值为．18．如图，过点C(2，1)作AC ∥x 轴，BC ∥y 轴，点A ，B 都在直线y ＝－x ＋6上．若双曲线y ＝kx(x ＞0)与△ABC 总有公共点，则k 的取值范围是．19．如图，在函数y ＝8x (x ＞0)的图像上有点P 1，P 2，P 3，…，P n ，P n ＋1，点P 1的横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点P 1，P 2，P 3，…，P n ，P n ＋1分别作x 轴、y 轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S 1，S 2，S 3，…，S n ，则S 1＝，S n ＝ (用含n 的代数式表示)．三、解答题(本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 20．(本小题满分8分)已知反比例函数的图像过点A(－2，2)．(1)求函数的表达式；(2)y 随x 的增大而如何变化？(3)点B(－4，2)，点C(3，－43)和点D(22，－2)哪些点在图像上？21．(本小题满分9分)已知反比例函数y ＝k －1x的图像的两个分支分别位于第一、三象限． (1)求k 的取值范围；(2)若一次函数y ＝2x ＋k 的图像与该反比例函数的图像有一个交点的纵坐标是4，试确定一次函数与反比例函数的表达式，并求当x ＝－6时，反比例函数y 的值．22．(本小题满分9分)如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图像与坐标轴分别交于A ，B 两点，与反比例函数y ＝nx 的图像在第一象限的交点为C ，CD ⊥x 轴，垂足为D.若OB ＝3，OD ＝6，△AOB的面积为3.(1)求一次函数与反比例函数的表达式；(2)直接写出当x ＞0时，kx ＋b －nx＜0的解集．解：23．(本小题满分9分)一般情况下，中学生完成数学家庭作业时，注意力指数随时间x(分钟)的变化规律如图所示(其中AB ，BC 为线段，CD 为曲线的一部分)．(1)分别求出线段AB 和曲线CD 的函数表达式；(2)若学生的注意力指数不低于40为高效时间，根据图中信息，求出一般情况下，完成一份数学家庭作业的高效时间是多少分钟？解：24．(本小题满分10分)如图，四边形ABCD 是平行四边形，点A(1，0)，B(3，1)，C(3，3)．反比例函数y ＝mx (x ＞0)的图像经过点D ，点P 是一次函数y ＝kx ＋3－3k(k ≠0)的图像与该反比例函数图像的一个公共点．(1)直接写出D 点的坐标，并求反比例函数的表达式；(2)连接人教版九年级数学上册第二十二章二次函数单元练习（含答案）一、单选题1．下列函数中，属于二次函数的是( ) A ．y ＝2x ﹣1B ．y ＝x 2+1xC ．y ＝x 2(x +3)D ．y ＝x (x +1)2．若关于x 的函数y=（3-a ）x 2-x 是二次函数，则a 的取值范围( ) A ．a≠0B ．a≠3C ．a ＜3D ．a ＞33．若函数()22122m y m x x -=--+是关于x 的二次函数，且抛物线的开口向上，则m 的值为（） A ．-2B ．1C ．2D ．-14．抛物线y ＝（x +3）2﹣4的对称轴为（） A ．直线x ＝3B ．直线x ＝﹣3C ．直线x ＝4D ．直线x ＝﹣45．将二次函数223y x x =-+化为()2+y x m h =+的形式，结果为（） A ．()214y x =-+ B ．()212y x =-+ C ．()214y x =++D ．()212y x =++6．若抛物线y =x 2-x -2经过点A （3，a ），则a 的值是（） A ．2B ．4C ．6D ．87．已知二次函数22()y x a b =++的顶点坐标为（2，－3），则a ，b 的值分别为（）A ．2，-3B ．-2，-3C ．2，3D ．-2，38．顶点是（－3，0），开口方向、形状与函数213y x =的图象相同的抛物线为 ( ) A ．21(3)3y x =- B ．21(3)3y x =+C ．21(3)3y x =-+D ．21(3)3y x =--9．已知点()11,A y ，()22,B y 在抛物线2(1)2y x =-++上，则下列结论正确的是（）A ．122y y ＞＞B ．212y y <<C ．122y y <<D ．212y y <<10．已知抛物线y ＝－(x －1)2＋4，下列说法错误的是（） A ．开口方向向下 B ．形状与y ＝x 2相同 C ．顶点(－1，4)D ．对称轴是直线x ＝111．在平面直角坐标系中，抛物线y=x 2+2x-3经变换后得到抛物线y=x 2-2x-3，这个变换可以是（）A ．向左平移2个单位B ．向右平移2个单位C ．向左平移4个单位D ．向右平移4个单位12．如图，二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OA =OC ；则下列结论：①abc ＜0；②244b aca-＞0；③ac -b +1=0；④OA •OB =-c a ．其中正确的结论（）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④二、填空题13．已知二次函数2(21)3y x m x m =-+-（1）若m=-3，则函数图像的对称轴是_________.（2）对于此函数，在-1≤x≤1的范围内至少有x 值使得y≥0，则m 的取值范围是_______.14．已知抛物线22y x x =+经过点1(4,)y -，2(1,)y ，则1y ______2y （填“>”，“=”，或“<”）. 15．如图，抛物线212y x =经过平移得到抛物线2122y x x =-，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为____.16．二次函数223y x x k =-+的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是________．三、解答题17．已知抛物线y ＝ax 2经过点A(2，1)． (1)求这个函数的解析式；(2)画出函数的图像，写出抛物线上点A 关于y 轴的对称点B 的坐标；(3)抛物线上是否存在点C ，使△ABC 的面积等于△OAB 面积的一半，若存在，求出C 点的坐标；若不存在，请说明理由．18．已知y 关于 x 的函数y =（m 2+2m ）x 2+mx +m +1. （1）当m 为何值时，此函数是一次函数？（2）当m 为何值时，此函数是二次函数？19．已知：二次函数2(0)y ax bx c a =++≠中的x 和y 满足下表：（1）请直接写出m 的值为_________．（2）求出这个二次函数的解析式．（3）当03x <<时，则y 的取值范围为______________________________．20．俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元．（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；（2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？（3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？21．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）经过A（－1，0），B（3，0），C（0，－3）三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数解析式；(2)设点M是直线l上的一个动点，当点M到点A，点C的距离之和最短时，求点M的坐标；(3)在抛物线上是否存在点N，使S⊿ABN=43S⊿ABC，若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由.22．学以致用：问题1：怎样用长为20cm的铁丝围成一个面积最大的矩形？小学时我们就知道结论：围成正方形时面积最大，即围成边长为5cm的正方形时面积最大为225cm．请用你所学的二次函数的知识解释原因．思考验证：问题2：怎样用铁丝围一个面积为225m且周长最小的矩形？小明猜测：围成正方形时周长最小．为了说明其中的道理，小明翻阅书籍，找到下面的结论：在a b a…、b均为正实数）中，若ab为定值p人教版九年级数学单元测试（含答案）——第22章二次函数培优测试一．选择题1.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax＋b的图象大致( )2．在下列4个不同的情境中，两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有（） ①设正方形的边长为x 面积为y ，则y 与x 有函数关系；②x 个球队参加比赛，每两个队之间比赛一场，则比赛的场次数y 与x 之间有函数关系； ③设正方体的棱长为x ，表面积为y ，则y 与x 有函数关系； ④若一辆汽车以120km/h 的速度匀速行驶，那么汽车行驶的里程y （km ）与行驶时间x （h ）有函数关系． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3．将函数y=kx 2与y=kx+k 的图象画在同一个直角坐标系中，可能的是（）A ．B ．C ．D ．4．抛物线y ＝(x ＋3)2－4向左平移1个单位，再向下平移2个单位后所得抛物线的表达式为( )A ．y ＝(x ＋4)2－6B ．y ＝(x ＋2)2－6C ．y ＝(x ＋6)2－2D ．y ＝(x ＋2)2－25．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD （篱笆只围AB ，BC 两边），设AB=m ．若在P 处有一棵树与墙CD ，AD 的距离分别是15m 和6m ，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园面积S 的最大值为（）A ．193B ．194C ．195D ．1966．若a 、b 、c 是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边，抛物线y=x 2﹣2ax+b 2交x 轴于M （a+c ，0），则△ABC 是（） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．不确定7. 若A(－134，y 1)，B(－54，y 2)，C(14，y 3)为二次函数y ＝x 2＋4x －5的图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为( )A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 1＜y 3C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 1＜y 3＜y 28．将抛物线y=x 2﹣4x+3向上平移至顶点落在x 轴上，如图所示，则两条抛物线、对称轴和y 轴围成的图形的面积S （图中阴影部分）是（）A ．1B ．2C ．3D ．49．如图，在二次函数y=ax 2+bx+c 的图象中，小林观察得出下面六条信息：①ab ＞0；②c ＜0；③2a+3b=0；④4a+2b+c ＜0，⑤一元二次方程ax 2+bx+c=4有两个不相等实根．你认为其中正确信息的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为直线x ＝－1，给出四个结论：①c ＞0；②若点B(－32，y 1)，C(－52，y 2)为函数图象上的两点，则y 1＜y 2；③2a －b ＝0；④4ac －b24a＜0，其中，正确结论的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结论正确的是（） ①b ＜1；②2a+b ＞0；③a+c+1＞0；④a ﹣b+c ＜0；⑤最大值为3．A ．②③④⑤B ．②③④C ．②③D ．①②④二．填空题12．已知抛物线y=﹣3x2+6x+c经过点（﹣2，0），则与x轴的另一个交点坐标为．13．抛物线y＝2(x－2)2－7的顶点为C，若函数y＝－kx－3的图象经过点C，则它与两坐标轴所围成的三角形的面积为___．14．教练对小明推铅球的录像进行技术分析（如图），发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y=﹣x2+x+，由此可知小明铅球推出的距离是m．15．抛物线y=ax2+bx+3经过点（2，4），则代数式4a+2b的值为．16．已知二次函数y＝x2＋2mx＋2，当x＞2时，y的值随x的增大而增大，则实数m的取值范围是．三．解答题17．已知二次函数的图象经过点（3，0），对称轴是直线x=﹣2，与y轴的交点（0，﹣3）．（1）求抛物线与x轴的另一个交点坐标；（2）求抛物线的解析式．18. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1)写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根；(2)写出满足不等式ax2＋bx＋c＞0时，x的取值范围；(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；(4)若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．19．某超市销售一种成本为每台20元的台灯，规定销售单价不低于成本价，又不高于每台32元．销售中平均每月销售量y（台）与销售单价x（元）的关系可以近似地看做一次函数，（2）为了实现平均每月375元的台灯销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时每月应购进台灯多少个？（3）设超市每月台灯销售利润为ω（元），求ω与x之间的函数关系式，当x取何值时，ω的值最大？最大值是多少？20．已知二次函数y=x2﹣2x﹣3（1）请你把已知的二次函数化成y=（x﹣h）2+k的形式，并在平面直角坐标系中画出它的图象；（2）如果A（x1，y1）、B（x2，y2）是（1）中像上的两点，且x1＜x2＜1，请直接写出y1、y2的大小关系为．（3）利用（1）中的图象表示出方程x2﹣2x﹣1=0的根，画在（1）的图象上即可，要求保留画图痕迹．21．如图，顶点为D的抛物线y=x2+bx﹣3与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，连接BC，已知△BOC是等腰三角形．（1）求点B的坐标及抛物线y=x2+bx﹣3的解析式；（2）求四边形ACDB的面积；（3）若点E（x，y）是y轴右侧的抛物线上不同于点B的任意一点，设以A，B，C，E为顶点的四边形的面积为S．①求S与x之间的函数关系式．②若以A，B，C，E为顶点的四边形与四边形ACDB的面积相等，求点E的坐标．22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的一边AB在x轴上，∠ABC=90°，点C（4，8）在第一象限内，AC与y轴交于点E，抛物线y=+bx+c经过A、B两点，与y轴交于点D （0，﹣6）．（1）请直接写出抛物线的表达式；（2）求ED的长；（3）点P是x轴下方抛物线上一动点，设点P的横坐标为m，△PAC的面积为S，试求出S 与m的函数关系式；（4）若点M是x轴上一点（不与点A重合），抛物线上是否存在点N，使∠CAN=∠MAN．若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．第22章二次函数培优测试1. A2． C．3． C．4． A5． C．6． C．7. B8． B．9． C．10． B11． B ．12．（4，0）．13． _9414． 10．15． 1． 16． m ≥－217．（1）∵抛物线与x 轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴是直线x=﹣2， ∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（﹣7，0）；（2）设抛物线解析式为y=a （x+7）（x ﹣3），把（0，﹣3）代入得a （0+7）（0﹣3）=﹣3，解得a=，∴抛物线解析式为y=（x+7）（x ﹣3），即y=x 2+x ﹣3．18. (1)x 1＝1，x 2＝3(2)1＜x ＜3(3)x ＞2(4)k ＜219．解：（1）设y 与x 之间的函数关系式是y=kx+b ，，得，即y 与x 之间的函数关系式是y=﹣5x+200；（2）由题意可得，（x ﹣20）（﹣5x+200）=375，解得，x 1=25，x 2=35（舍去），y=﹣5×25+200=75，答：这种台灯的售价应定25元，这时每月应购进台灯75个；（3）由题意可得，ω=（x ﹣20）（﹣5x+200）=﹣5（x ﹣30）2+500，∵20≤x ≤32，∴当x=30时，ω取得最大值，最大值是500．20．解：（1）y=x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣1）2﹣4，抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），当x=0时，y=x 2﹣2x ﹣3=﹣3，则抛物线与y 轴的交点坐标为（0，﹣3），当y=0时，x 2﹣2x ﹣3=0，解得x 1=﹣1，x 2=3，抛物线与x 轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），如图，（2）抛物线的对称轴为直线x=1，∵x1＜x2＜1，请∴y1＞y2；故答案为y1＞y2；（3）如图，x1、x2为方程x2﹣2x﹣1=0的两根．21．解：（1）B（3，0），∴9+3b﹣3=0∴b=﹣2∴y=x2﹣2x﹣3（2）∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4∴点D的坐标为（1，﹣4），对称轴为x=1∴点A的坐标为（﹣1，0）过点D作X轴的垂线，垂足为F∴S△AOC=，S△BDF=2×4÷2=4，S梯形OCDF=（3+4）×1÷2=3.5∴四边形ACDB的面积为1.5+4+3.5=9．（3）①当E在第四象限，S=﹣x2+x+6（0＜x＜3），当E在第一象限，S=2x2﹣4x（x＞3）．②存在．当E在第四象限，S=﹣x2+x+6=9，解得：x1=1，x2=2，∴点E的坐标为（1，﹣4）或（2，﹣3）；当E在第一象限，S=2x2﹣4x=9，解得：x 1=1﹣（舍去），x2=1+，∴点E的坐标为；∴点E的坐标为（1，﹣4）或（2，﹣3）或．22．解：（1）∵BC⊥x轴，点C（4，8），∴B（4，0），把B（4，0），C（0，﹣6）代入y=+bx+c得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x﹣6；（2）设直线AC的解析式为y=px+q，把A（﹣2，0），C（4，8）代入得，解得，∴直线AC的解析式为y=x+，当x=0时，y=x+=，则E（0，），∴DE=+6=；（3）如图1，作PQ∥y轴交AC于Q，设P（m， m2﹣m﹣6），则Q（m， m+），∴PQ=m+﹣（m2﹣m﹣6）=﹣m2+m+，∴S=S△PAQ+S△PCQ=•6•PQ=﹣m2+m+26（﹣2＜m＜4）；（4）如图2，当点M在x的正半轴，AN交BC于F。

人教版九年级数学上册第二十二章《二次函数》基础评测试题(含解析)

第二十二章《二次函数》基础评测试题一．选择题1．关于二次函数y＝﹣3的图象，下列说法错误的是（）A．开口向上B．对称轴为x＝﹣1C．当x＜﹣1时，y随x的增大而减小D．当x＝﹣1时，有最大值y＝﹣32．把y＝x2先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，则平移后的解析式为（）A．y＝（x﹣3）2+2B．y＝（x﹣3）2﹣2C．y＝（x+3）2+2D．y＝（x+3）2﹣2 3．已知二次函数y＝x2﹣2x+m（m为常数）的图象与x轴的一个点为（3，0），则关于x 的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两个实数根是（）A．x1＝﹣1，x2＝3B．x1＝1，x2＝3C．x1＝﹣1，x2＝1D．x1＝3，x2＝﹣5 4．已知三点（3，y1）、（1.5，y2）、（0，y3）在抛物线y＝﹣2（x﹣2）2+m上，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（）A．y3＜y2＜y1B．y3＜y1＜y2C．y2＜y1＜y3D．y1＜y2＜y35．某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（）A．y＝a（1﹣x）2B．y＝a（1+x）2C．y＝ax2D．y＝x2+a6．函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的解析式满足如右图，那么直线y＝acx+b的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．小明乘坐摩天轮转一圈，他离地面的高度y（米）与旋转时间x（分）之间的关系可以近似地用二次函数来刻画．经测试得出部分数据如下表：下列选项中，最接近摩天轮转一圈的时间的是（）A．8分B．7分C．6分D．5分8．飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t﹣t2，飞机着陆至停下来共滑行（）A．25米B．50米C．625米D．750米9．中国贵州省内的射电望远镜（F AST）是目前世界上口径最大，精度最高的望远镜．根据有关资料显示，该望远镜的轴截面呈抛物线状，口径AB为500米，最低点O到口径面AB的距离是100米，若按如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是（）A．y＝x2﹣100B．y＝﹣x2﹣100C．y＝x2D．y＝﹣x210．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，分析下列四个结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③2a﹣b＝0；④a+b+c＜0．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题11．函数y＝﹣x2+2x+m，已知A（﹣2，a），B（1，b），C（3，c）是函数图象上三点，则a，b，c的大小关系是．12．已知函数y＝3x2﹣6x+k（k为常数）的图象经过点A（0.85，y1），B（1.1，y2），C（，y3），请用“＜”连接y1、y2、y3的结果为．13．如图，抛物线y＝x2经过平移得到抛物线y＝x2﹣4x，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为．14．抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，关于x的方程ax2+bx+c＝2的解是．15．飞机着陆后滑行的距离s（米）关于滑行的时间t（秒）的函数表达式是s＝60t﹣1.5t2，则飞机着陆后滑行直到停下来滑行了米．16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c ＝0的解为．17．如图，直线y1＝kx+n（k≠0）与抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）分别交于A（﹣1，0，B （2，﹣3）两点，则关于x的方程kx+n＝ax2+bx+c的解为．三．解答题18．已知一个二次函数的图象经过A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，﹣8）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的对称轴和顶点P的坐标；（3）直接写出△ABP的面积．19．如图，有一个抛物线的水泥门洞，门洞的地面宽度为8m，两侧距地面3m高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为5m，求这个门洞最高处的高度．20．某商场将进价为20元的玩具以单价30元卖出，可以卖出300套；经调查发现，若每涨价1元，则玩具少卖出10件．（1）如果利润为3510元，则应涨价多少元？（2）求涨价多少元时，商场获得利润最大，并求出最大值．21．已知二次函数y＝ax2﹣（2a+1）x+c（a＞0）的图象经过坐标原点O，一次函数y＝x﹣4与x轴、y轴分别交于点A、B．（1）c＝，点A的坐标为．（2）若二次函数y＝a2﹣（2a+1）x+c的图象经过点A，求a的值．（3）若二次函数y＝a2﹣（2a+1）x+c的图象与△AOB只有一个公共点，直接写出a的取值范围．22．如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段MN，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD （围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌40m长的墙的材料．（1）试设计一种砌法，使矩形花园的面积为150m2（2）能否围成矩形花园面积为210m2，为什么？（3）当AB的长为多少时，矩形花园的面积最大，最大面积是多少？23．二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点A（﹣1，0），点B（4，0）两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x 轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；（2）连接BD，当t＝时，求△DNB的面积；（3）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标．参考答案一．选择题1．解：∵二次函数y＝﹣3，∴a＝＞0，函数的图象开口向上，故选项A正确；对称轴是直线x＝﹣1，故选项B正确；当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故选项C正确；当x＝﹣1时，有最小值y＝﹣3，故选项D错误；故选：D．2．解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），点（0，0）向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到对应点的坐标为（3，2），所以平移后的抛物线的解析式为y＝（x﹣3）2+2．故选：A．3．解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，而抛物线与x轴的一个点为（3，0），∴抛物线与x轴的另一个点为（﹣1，0），∴关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两个实数根是x1＝﹣1，x2＝3．故选：A．4．解：抛物线y＝﹣2（x﹣2）2+m的开口向下，对称轴是直线x＝2，当x＜2时，y随x的增大而增大，∵点（3，y1）、（1.5，y2）、（0，y3）是抛物线y＝﹣2（x﹣2）2+m上的三点，∴点（3，y1）关于对称轴x＝2的对称点是（1，y1），∵0＜1＜1.5，∴y2＞y1＞y3，故选：B．5．解：设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，依题意得第三个月第三个月投放单车a（1+x）2辆，则y＝a（1+x）2．故选：B．6．解：由图象开口向上可知a＞0，对称轴x＝﹣＞0，得b＜0．又知当x＝0时，y＝c＞0，所以一次函数y＝acx+b的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限．故选：B．7．解：最值在自变量大于2.66小于3.23之间，所以最接近摩天轮转一圈的时间的是6分钟．故选：C．8．解：∵y＝60t﹣t2＝﹣（t﹣25）2+750，∴当t＝25时，y取得最大值750，即飞机着陆后滑行750米才能停下来，故选：D．9．解：由题意可得：A（﹣250，0），O（0，﹣100），设抛物线解析式为：y＝ax2﹣100，则0＝62500a﹣100，解得：a＝，故抛物线解析式为：y＝x2﹣100．故选：A．10．解：①∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，与y轴交于正半轴，∴a＜0，﹣＜0，c＞0，∴b＜0，∴abc＞0，结论①错误；②∵二次函数图象与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，结论②正确；③∵﹣＞﹣1，a＜0，∴b＞2a，∴2a﹣b＜0，结论③错误；④∵当x＝1时，y＜0；∴a+b+c＜0，结论④正确．故选：B．二．填空题（共7小题）11．解：函数y＝﹣x2+2x+m＝﹣（x﹣1）2+m+1，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，并且开口向下，而A（﹣2，a），B（1，b），C（3，c），∴A点离对称轴最远，B点在对称轴上，∴a＜c＜b．故答案为a＜c＜b．12．解：∵y＝3x2﹣6x+k＝3（x﹣1）2﹣3+k，∴开口向上，二次函数的对称轴为直线x＝1，距离对称轴越远，函数值越大，∵点A（0.85，y1），B（1.1，y2），C（，y3），∴C点离对称轴最远，B点离对称轴最近，∴y2＜y1＜y3．故答案为y2＜y1＜y3．13．解：如图，∵y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，∴平移后抛物线的顶点坐标为（2，﹣4），对称轴为直线x＝2，当x＝2时，y＝x2＝22＝4，∴平移后阴影部分的面积等于如图三角形的面积，×（4+4）×2＝8．故答案为：8．14．解：∵根据图示知，抛物线与x轴的一个交点是（﹣1，0）对称轴为x＝1，∴根据对称性，抛物线与x轴的另一交点为（3，0），∴令y＝0，即ax2+bx+c＝0，∴方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣1，x2＝3．故答案是：x1＝﹣1，x2＝3．15．解：s＝60t﹣1.5t2＝﹣1.5（t﹣20）2+600，则当t＝20时，s取得最大值，此时s＝600，故飞机着陆后滑行到停下来滑行的距离为：600m．故答案为：600．16．解：根据图象知，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点是（﹣1，0），对称轴是x＝1．设该抛物线与x轴的另一个交点是（x，0）．则＝1，解得，x＝3，即该抛物线与x轴的另一个交点是（3，0）．所以关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根为x1＝﹣1，x2＝3．故答案是：x1＝﹣1，x2＝3．17．解：∵直线y1＝kx+n（k≠0）与抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）分别交于A（﹣1，0），B （2，﹣3），当y1＝y2时，即kx+n＝ax2+bx+c，x的值是x＝﹣1或x＝2．∴关于x的方程kx+n＝ax2+bx+c的解为x1＝﹣1，x2＝2，故答案为：x1＝﹣1，x2＝2．三．解答题（共6小题）18．解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），将点C（0，﹣8）代入得：﹣8＝﹣8a．解得：a＝1，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣8．（2）∵y＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9，∴该抛物线的对称轴为x＝1，顶点为（1，﹣9）．＝6×9＝27．（3）S△ABP19．解：以地面为x轴，大门左边与地面的交点为原点建立平面直角坐标系，则抛物线过A（0，0）、B（8，0）、C（1、3）、D（7、3）四点，设该抛物线解析式为：y＝ax2+bx+c，，解得：，．函数解析式为：y＝﹣x2+x．当x＝4时，可得y＝﹣≈6.9米．故答案为：6.9 m．20．解：（1）设每件玩具涨价x元，则（30﹣20+x）（300﹣10x）＝3510，解得x1＝17，x2＝3，经检验x1＝17，x2＝3是原方程的解，答：如果利润为3510元，则应涨价17或3元；（2）设每件衬衫降价x元，商场平均每天盈利y元，∵y＝（30﹣20+x）（300﹣10x）＝﹣（x﹣10）2+400，∴当x＝10时，y的最大值为400．答：当涨价10元时，商场获得利润最大，最大值400元．21．解：（1）∵二次函数y＝ax2﹣（2a+1）x+c（a＞0）的图象经过坐标原点O，∴当x＝0时，c＝0，将y＝0代入y＝x﹣4，得x＝4，即点A的坐标为（4，0），故答案为：0，（4，0）；（2）∵二次函数y＝ax2﹣（2a+1）x+c的图象经过点A，点A的坐标为（4，0），∴0＝a×42﹣（2a+1）×4，解得，a＝；（3）∵y＝ax2﹣（2a+1）x＝x[ax﹣（2a+1）]，∴函数y＝ax2﹣（2a+1）x过点（0，0）和（，0），∵点A（4，0），点O的坐标为（0，0），二次函数y＝ax2+（2a+1）x（a＞0）的图象与△AOB只有一个公共点，∴＞，a＞0，解得，0＜a＜，即a的取值范围是0＜a＜．22．解：（1）设BC＝x，则AB＝CD＝（40﹣x），x≤25，则（40﹣x）x＝150，解得：x＝10或30（舍去30），故x＝10；（2）由题意得：则（40﹣x）x＝210，化简得：x2﹣40x+420＝0，△＝1600﹣4×420＜0，故不能围成矩形花园面积为210m2；（3）设BC＝x，则AB＝CD＝（40﹣x），x≤25，矩形花园的面积S＝（40﹣x）x＝﹣x（x﹣40）（x≤25），∵﹣1＜0，故S有最大值，当x＝20时，其最大值为：200，此时AB＝10，答：当AB的长为20时，矩形花园的面积最大，最大面积是200．23．解：（1）将点（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2，∴a＝﹣，b＝，∴y＝﹣x2+x+2；（2）C（0，2），∴BC的直线解析式为y＝﹣x+2，当t＝时，AM＝3，∵AB＝5，∴MB＝2，∴M（2，0），N（2，1），D（2，3），∴△DNB的面积＝△DMB的面积﹣△MNB的面积＝MB×DM﹣MB×MN＝×2×2＝2；（3）∵BM＝5﹣2t，∴M（2t﹣1，0），设P（2t﹣1，m），∵PC2＝（2t﹣1）2+（m﹣2）2，PB2＝（2t﹣5）2+m2，∵PB＝PC，∴（2t﹣1）2+（m﹣2）2＝（2t﹣5）2+m2，∴m＝4t﹣5，∴P（2t﹣1，4t﹣5），∵PC⊥PB，∴＝＝﹣1∴t＝1或t＝2，∴M（1，0）或M（3，0），∴D（1，3）或D（3，2）．。

专练5 二次函数与一元二次不等式

专练5 二次函数与一元二次不等式[基础强化]一、选择题1．如果函数f (x )＝12(2－m )x 2＋(n －8)x ＋1(m >2)在区间[－2，－1]上单调递减，那么mn 的最大值为( )A ．16B ．18C ．25D ．302．不等式x 2＋3x －4>0的解集是( )A ．{x |x >1或x <－4}B ．{x |x >－1或x <－4}C ．{x |－4<x <1}D ．{x |x <－1或x >4}3．关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －2)<0的解集是( )A ．(－∞，1)∪(2，＋∞)B ．(－1，2)C ．(1，2)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)4．已知不等式x 2＋ax ＋4<0的解集为空集，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |－4≤a ≤4}B ．{a |－4<a <4}C ．{a |a ≤－4或a ≥4}D ．{a |a <－4或a >4}5．已知函数f (x )＝x 2－4x ＋5在区间[0，m ]上的最大值是5，最小值是1，则实数m 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．[2，4]C ．(－∞，2]D ．[0，2]6．若产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0<x <240).每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台7．(多选)若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1，5]上有解，则a 的值可以为( )A ．－6B ．－5C ．－4D ．08．当x ∈[0，1]时，下列关于函数y ＝(mx －1)2的图象与y ＝x ＋m 的图象交点个数说法正确的是( )A ．当m ∈[0，1]时，有两个交点B ．当m ∈(1，2]时，没有交点C ．当m ∈(2，3]时，有且只有一个交点D ．当m ∈(3，＋∞)时，有两个交点9．(多选)下列四个解不等式，正确的有( )A ．不等式2x 2－x －1>0的解集是{x |x >2或x <1}B ．不等式－6x 2－x ＋2≤0的解集是{x ⎪⎪x ≤－23 或x ≥12} C ．若不等式ax 2＋8ax ＋21<0的解集是{x |－7<x <－1}，那么a 的值是3D ．关于x 的不等式x 2＋px －2<0的解集是(q ，1)，则p ＋q 的值为－1二、填空题10．若0<a <1，则不等式(x －a )⎝⎛⎭⎫x －1a >0的解集是________． 11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x >0，则不等式f (x )≥x 2的解集为________． 12．已知一元二次不等式(m －2)x 2＋2(m －2)x ＋4>0的解集为R ，则实数m 的取值范围是________．[能力提升]13．(多选)对于给定的实数a ，关于实数x 的一元二次不等式a (x －a )(x ＋1)>0的解集可能为( )A ．∅B ．(－1，a )C ．(a ，－1)D ．(－∞，－1)∪(a ，＋∞)14．(多选)已知关于x 的不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0)，则下列说法正确的是( )A ．若不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}，则k ＝－25B ．若不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R ，x ≠1k ，则k ＝66 C ．若不等式的解集为R ，则k <－66D ．若不等式的解集为∅，则k ≥6615．[2020·浙江卷]已知a ，b ∈R 且ab ≠0，对于任意x ≥0均有(x －a )(x －b )(x －2a －b )≥0，则( )A ．a <0B ．a >0C ．b <0D ．b >016．[2022·山东省实验中学模拟]某辆汽车以x km/h 的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全，要求60≤x ≤120)时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为15⎝⎛⎭⎫x －k ＋4 500x L ，其中k 为常数．若汽车以120 km/h 的速度行驶时，每小时的油耗为11.5 L ，则k ＝________，欲使每小时的油耗不超过9 L ，则速度x 的取值范围为________．。

2024九年级数学下册第5章二次函数综合素质评价【含答案】

第5章综合素质评价一、选择题(每题3分，共24分)1．下列函数是二次函数的是()A．y ＝3x 2＋9B．y ＝2x －3C．y ＝2x 2＋1x －2D．y ＝4x22．【2023·盐城景山中学期中】若二次函数y ＝ax 2的图像经过点(1，－2)，则它也经过()A．(－1，－2)B．(－1，2)C．(1，2)D．(2，1)3．【2022·兰州】已知二次函数y ＝2x 2－4x ＋5，当函数值y 随x 值的增大而增大时，x 的取值范围是()A．x ＜1B．x ＞1C．x ＜2D．x ＞24．【母题：教材P 25例题】二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图所示，下面关于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的情况，说法正确的是()A．方程有两个相等的实数根B．方程的两个实数根的积为负数C．方程有两个正的实数根D．方程没有实数根 5.若k ≠0，函数y ＝k x与y ＝－kx 2＋k 2在同一平面直角坐标系中的图像可能是()6．【2023·泸州】已知二次函数y ＝ax 2－2ax ＋3(其中x 是自变量)，当0＜x ＜3时对应的函数值y 均为正数，则a 的取值范围为()A．0＜a ＜1B．a ＜－1或a ＞3C．－3＜a ＜0或0＜a ＜3D．－1≤a ＜0或0＜a ＜37．【2023·西安高新唐南中学模拟】在同一平面直角坐标系中，若抛物线w 1：y ＝x 2＋(2m－1)x ＋2m －4与抛物线w 2：y ＝x 2－(3m ＋n )x ＋n 关于直线x ＝－1对称，则抛物线w 1上的点A (0，y )在抛物线w 2上的对应点A ′的坐标是()A．(－2，8)B．(－2，10)C．(－2，12)D．(－2，4)8．【2023·枣庄】二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图像如图所示，对称轴是直线x ＝1，下列结论：①abc ＜0；②方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)必有一个根大于2且小于3；③若(0，y 1y 1＜y 2；④11a ＋2c ＞0；⑤对于任意实数m ，都有m (am ＋b )≥a ＋b .其中正确结论的个数是()A．5B．4C．3D．2二、填空题(每题3分，共30分)9．【2023·泰安】二次函数y ＝－x 2－3x ＋4的最大值是________．10．若抛物线y ＝x 2＋(a －2)x ＋c 的顶点在y 轴上，则a 的值是________．11．【2023·上海】一个二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点在y 轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的表达式可以是____________．12．已知点A (4，y 1)，B (1，y 2)，C (－3，y 3)在函数y ＝－3(x －2)2＋m (m 为常数)的图像上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是____________(由小到大排列)．13．【2023·常州二十四中调研试题】将抛物线y ＝ax 2＋bx 向下平移2个单位长度后，经过点(－1，1)，则2a －2b －3的值是________．14.抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与直线y ＝mx ＋c 相交于如图所示的A ，B 两点，则不等式ax 2＋bx ≤mx 的解集为________．15．【母题：教材P 25练习】在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线y ＝x 2＋2x ＋k 与x 轴只有一个交点，则k ＝________.16．【2023·扬州仪征市三中月考】在平面直角坐标系中，若点P 的横坐标与纵坐标的和为零，则称点P 为“零和点”．已知二次函数y ＝x 2＋3x ＋m 的图像上有且只有一个“零和点”，则m ＝________.17．【2023·苏州景范中学月考】如图是一座截面为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面3米高时，水面宽为6米，则当水面下降3米时，水面宽度为________米．(结果保留根号)18．【2023·衡水泰华中学月考】我们每个人都要做到讲卫生，勤洗手，科学消毒．如图是一瓶消毒洗手液的示意图，当手按住顶部A下压时，洗手液瞬间从喷口B流出，路线呈抛物线且该路线所在的抛物线经过C，E两点．瓶子轴截面的上部分由弧CE 和弧FD组成，其圆心分别为D，C，下部分是矩形CGHD，CG＝8cm，GH＝10cm，点E到台面GH的距离为14cm，点B到台面的距离为20cm，且B，D，H三点共线．若手心距DH的水平距离为2cm时刚好接到洗手液，此时手心距台面的高度为________cm.三、解答题(19～25题每题8分，26题10分，共66分)19．已知二次函数的图像经过点(0，－4)，且当x＝2时，y有最大值－2.求该二次函数的表达式．20．【母题：教材P37复习题T14】已知二次函数y＝x2＋2x－3.(1)求该二次函数图像的顶点坐标；(2)若该抛物线向上平移2个单位长度后得到新抛物线，判断点(－1，2)是否在新抛物线上．21．如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图像与二次函数y ＝ax 2的图像交于点A (1，m )和点B (－2，4)，与y 轴交于点C .(1)求k ，b ，a 的值；(2)求△AOB 的面积．22．在平面直角坐标系xOy 中，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)上任意两点，其中x 1＜x 2.(1)若抛物线的对称轴为直线x ＝1，当x 1，x 2为何值时，y 1＝y 2＝c ?(2)设抛物线的对称轴为直线x ＝t ，若对于x 1＋x 2＞3，都有y 1＜y 2，求t 的取值范围．23．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)经过点A(1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C.(1)求此抛物线的表达式．(2)若点T为对称轴x＝2上一点，则TC－TB的最大值为多少？24.第31届世界大学生夏季运动会在成都举办，这是继北京、深圳之后，中国大陆第三次举办世界大学生夏季运动会，某超市购进了一批以大运会为主题的纪念品进行销售，购进价为7元/个，为了调查这种纪念品的销路，该超市进行了试销售，得知该产品每天的销售量y(个)与每个的销售价x(元)之间满足一次函数关系，其图像如图所示．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)该超市规定这种纪念品每个的售价不得低于8元，且不超过15元，设该超市每天销售这种纪念品能获得的利润为w元，当销售单价为多少元时，该超市可获得最大利润？最大利润是多少元？25.乒乓球被誉为中国国球.2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度OA为28.75cm的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．乒乓球到球台的竖直高度记为y(单位：cm)，兵乓球运行的水平距离记为x(单位：cm)，测得如下数据：水平距离x/cm0105090130170230竖直高度y/cm28.7533454945330(1)在平面直角坐标系xOy中，描出表格中各组数值所对应的点(x，y)，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图像．(2)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是________cm，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是________cm；②求满足条件的抛物线表达式．(3)技术分析：如果只上下调整击球高度OA，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出OA的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②，乒乓球台长OB为274cm，球网高CD为15.25cm.现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度OA的值约为1.27cm.请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度OA的值(乒乓球大小忽略不计)．26．【2022·连云港】已知二次函数y＝x2＋(m－2)x＋m－4，其中m>2.(1)若该函数的图像经过原点O(0，0)，求此时函数图像的顶点A的坐标；(2)求证：二次函数y＝x2＋(m－2)x＋m－4的顶点在第三象限；(3)如图，在(1)的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线y＝－x－2上运动，平移后所得函数的图像与y轴的负半轴的交点为B，求△AOB面积的最大值．答案一、1.A 2.A 3.B4．B 【点拨】二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像与x 轴的交点的横坐标即为方程ax 2＋bx＋c ＝0的根，由图像可知B 正确．5．A 【点拨】先．确定一个基础函数图像，再．根据这个基础函数图像的位置确定待定系数的取值范围，然后．．再看求出的待定系数的范围是否满足另一个函数图像．6．D 【点拨】当a ＞0，Δ＜0时，满足当0＜x ＜3时对应的函数值y 均为正数，∴Δ＝(－2a )2－4·a ×3＜0，解得0＜a ＜3；当a ＜0时，令x ＝0，则y ＝3，∴二次函数的图像与y 轴的交点坐标为(0，3)，∵二次函数图像的对称轴是直线x ＝－－2a2a＝1，∴当x ＝3时，y ≥0即可满足条件，即9a －6a ＋3≥0，解得a ≥－1，∴－1≤a ＜0.综上，a 的取值范围为－1≤a ＜0或0＜a ＜3.故选D.7．B 【点拨】∵抛物线w 1：y ＝x 2＋(2m －1)x ＋2m －4，∴抛物线w 1过(0，2m －4)，(1，4m －4)．∵抛物线w 1：y ＝x 2＋(2m －1)x ＋2m －4与抛物线w 2：y ＝x 2－(3m ＋n )x ＋n 关于直线x ＝－1对称，∴抛物线w 2：y ＝x 2－(3m ＋n )x ＋n 过(－2，2m －4)，(－3，4m －4)，m －4＝4＋2(3m ＋n )＋n ，m －4＝9＋3(3m ＋n )＋n ，＝7，＝－12.∴点A (0，10)．∴抛物线w 1上的点A (0，10)在抛物线w 2上的对应点A ′的坐标是(－2，10)．故选B.8．C 【点拨】①根据图像可知，a ＞0，c ＜0，∵对称轴是直线x ＝1，∴－b2a＝1，即b ＝－2a .∴b ＜0，∴abc ＞0.故①错误．②方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根即为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)图像与x 轴的交点的横坐标，根据图像已知－1＜x 1＜0，由抛物线的对称性可知2＜x 2＜3.故②正确．③∵对称轴是直线x ＝1，|0－1|＞|32－1|y 1＞y 2，故③错误．④∵x ＝－1时，y ＞0，∴a －b ＋c ＞0.∵b ＝－2a ，∴a ＋2a ＋c ＝3a ＋c ＞0，∴6a ＋2c ＞0.∵a ＞0，∴11a ＋2c ＞0，故④正确．⑤由图像知，当x ＝1时，y 有最小值．∴对于任意实数m ，都有am 2＋bm ＋c ≥a ＋b ＋c ，即m (am ＋b )≥a ＋b ，故⑤正确．综上，②④⑤正确，故选C.二、9.254【点拨】y ＝－x 2－3x ＋254，∵a ＝－1＜0，∴当x ＝－32时，y 取最大值，最大值为254.10．2【点拨】由题意可知对称轴为y 轴．∴－a －22＝0，∴a ＝2.11．y ＝－x 2＋1(答案不唯一)12．y 3<y 1<y 2【点拨】本题考查了二次函数的增减性和对称性，解题的关键是利用二次函数的对称性将对称轴两侧的函数值大小比较问题转化为同侧的函数值大小比较问题．13．3【点拨】将抛物线y ＝ax 2＋bx 向下平移2个单位长度后，表达式为y ＝ax 2＋bx－2.∵平移后的抛物线过点(－1，1)，∴将(－1，1)代入y ＝ax 2＋bx －2，得a －b －2＝1，即a －b ＝3，∴2a －2b －3＝2(a －b )－3＝2×3－3＝3.14．0≤x ≤3【点拨】∵可将ax 2＋bx ≤mx 转化为ax 2＋bx ＋c ≤mx ＋c ，且抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与直线y ＝mx ＋c 相交于A ，B 两点，∴ax 2＋bx ＋c ≤mx ＋c 的解集，从图像上来看，就是抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 在直线y ＝mx ＋c 下方部分所对应的自变量x 的范围，∴由抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与直线y ＝mx ＋c 相交于A 的横坐标为0，B 的横坐标为3可得0≤x ≤3.15．1【点拨】抛物线与x 轴只有一个交点等价于抛物线对应的一元二次方程有两个相等的实数根．16．4【点拨】设二次函数图像上的“零和点”坐标为(a ，－a )，将(a ，－a )代入y＝x 2＋3x ＋m ，得a 2＋3a ＋m ＝－a ，即a 2＋4a ＋m ＝0.∵二次函数y ＝x 2＋3x ＋m 的图像上有且只有一个“零和点”，∴42－4×1×m ＝0，解得m ＝4.17．62【点拨】建立平面直角坐标系如图．则抛物线顶点C 的坐标为(0，3)．设抛物线的表达式为y ＝ax 2＋3，将点A 的坐标(－3，0)代入，可得0＝9a ＋3，解得a ＝－13，故抛物线的表达式为y ＝－13x 2＋3.当水面下降3米时，水面的宽度通过抛物线在图上的观察可转化为，当y ＝－3时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y ＝－3与抛物线相交的两点之间的距离．将y ＝－3代入抛物线的表达式得出－3＝－13x 2＋3，解得x ＝±32，所以水面宽度为62米．18．17【点拨】以GH 为x 轴，GH 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，根据题意得出各点的坐标，利用待定系数法求抛物线表达式进而求解．三、19.【解】∵当x ＝2时，y 有最大值－2，∴设所求的二次函数的表达式为y ＝a (x －2)2－2(a ≠0)．∵二次函数的图像经过点(0，－4)，∴－4＝a (0－2)2－2，解得a ＝－12.∴y ＝－12(x －2)2－2.20．【解】(1)∵y ＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4，∴二次函数图像的顶点坐标为(－1，－4)．(2)该抛物线向上平移2个单位长度后得到新抛物线为y ＝(x ＋1)2－4＋2＝(x ＋1)2－2，把x ＝－1代入，得y ＝－2，∴点(－1，2)不在新抛物线上．21．【解】(1)把点B (－2，4)的坐标代入y ＝ax 2中，得4＝4a ，∴a ＝1.∴二次函数的表达式是y ＝x 2.把点A (1，m )的坐标代入y ＝x 2中，得m ＝1，∴A (1，1)．把点A (1，1)和点B (－2，4)的坐标分别代入y ＝kx ＋b 中，＋b ＝1，k ＋b ＝4，解＝－1，＝2.∴a ＝1，k ＝－1，b ＝2.(2)令y ＝－x ＋2中的x ＝0，则y ＝2，∴C (0，2)．∴OC ＝2.∵S △AOC ＝12OC ·|1|＝12×2×1＝1，S △BOC ＝12OC ·|－2|＝12×2×2＝2，∴S △AOB ＝S △AOC ＋S △BOC ＝1＋2＝3.22．【解】(1)∵y 1＝y 2＝c ，∴M 和N 的坐标中有一个为(0，c )．1111∵抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴M ，N 关于直线x ＝1对称．又∵x 1＜x 2，∴x 1＝0，x 2＝2.∴当x 1＝0，x 2＝2时，y 1＝y 2＝c .(2)∵y 1＜y 2，∴ax 12＋bx 1＋c ＜ax 22＋bx 2＋c .∴a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＜－b (x 1－x 2)．∵x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0.∴a (x 1＋x 2)＞－b .∵a ＞0，∴x 1＋x 2＞－b a＝2t .∵x 1＋x 2＞3，∴2t ≤3.∴t ≤32.23．【解】(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)经过点A (1，0)和点B (3，0)，＋b ＋3＝0，a ＋3b ＋3＝0，＝1，＝－4.故抛物线的表达式为y ＝x 2－4x＋3.(2)如图，连接CA 并延长交对称轴于点T ，连接TB ，此时TC －TB 取得最大值为AC 的长，∵y ＝x 2－4x ＋3，当x ＝0时，y ＝3，∴TC －TB 的最大值为AC ＝12＋32＝10.24．【解】(1)设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b ，将点(10，30)，(20，10)的坐标代入得，k ＋b ＝30，k ＋b ＝10，＝－2，＝50，∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝－2x ＋50.(2)依题意，得w ＝(x －7)y ＝(x －7)(－2x ＋50)＝－2x 2＋64x －350＝－2(x －16)2＋162，∴x ＜16时，y 随x 的增大而增大．∵纪念品每个的售价不得低于8元，且不超过15元，∴8≤x ≤15.∴当x ＝15时，该超市获得最大利润，1212最大利润为－2×(15－16)2＋162＝160(元)．∴当销售单价为15元时，该超市可获得最大利润，最大利润是160元．25．【解】(1)描出各点，画出图像如下：(2)①观察表格数据，可知当x ＝50和x ＝130时，函数值相等，∴对称轴为直线x ＝50＋1302＝90，顶点坐标为(90，49)．∵抛物线开口向下，∴最高点时，乒乓球与球台之间的距离是49cm.当y ＝0时，x ＝230，∴乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是230cm.故答案为49；230.②设抛物线表达式为y ＝a (x －90)2＋49.将(230，0)代入，得0＝a (230－90)2＋49，解得a ＝－0.0025，∴抛物线表达式为y ＝－0.0025(x －90)2＋49.(3)当0A ＝28.75时，抛物线的表达式为y ＝－0.0025(x －90)2＋49，设乒乓球恰好落在对面球台边缘点B 处时，击球高度OA 的值为h cm，则平移距离为(h －28.75)cm，∴平移后的抛物线的表达式为y ＝－0.0025(x －90)2＋49＋h －28.75，当x ＝274时，y ＝0，∴－0.0025(274－90)2＋49＋h －28.75＝0，解得h ＝64.39.答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B 处时，击球高度OA 的值为64.39cm.26．(1)【解】将(0，0)代入y ＝x 2＋(m －2)x ＋m －4，解得m ＝4.∴y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1.∴A (－1，－1)．∵m >2，∴2－m <0.∴2－m 2<0.∵－m 2＋8m －204＝－14(m －4)2－1≤－1<0，∴二次函数y ＝x 2＋(m －2)x ＋m －4的顶点在第三象限．1313(3)【解】设平移后图像对应的二次函数表达式为y ＝x 2＋bx ＋c －b 2，当x ＝0时，y ＝c ，∴B (0，c )．－b 2，y ＝－x －2，可得c ＝b 2＋2b －84.∵B (0，c )在y 轴的负半轴上，∴c <0.∴OB ＝－c ＝－b 2＋2b －84.如图，过点A 作AH ⊥OB ，垂足为H .∵A (－1，－1)，∴AH ＝1.在△AOB 中，S △AOB ＝12OB ·AH ＝12×＝－18b 2－14b ＋1＝－18(b ＋1)2＋98.∴当b ＝－1时，△AOB 面积有最大值，最大值为98.。

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