初中数学竞赛辅导资料(50)基本对称式
八年级数学竞赛例题专题讲解：相对相称—对称分析法
八年级数学竞赛例题专题讲解:相对相称—对称分析法阅读与思考当代美国数学家赫尔曼·韦尔指出:对称尽管你可以规定其含义或宽或窄，然而从古到今都是人们用来理解和创造秩序、美妙以及尽善尽美的一种思想. 许多数学问题所涉及的对象具有对称性（不仅包括几何图形中的对称，而且泛指某些对象在某些方面如图形、关系、地位等彼此相对又相称）.对称分析法就是在解题时，充分利用自身条件的某些对称性辅助解题的一种分析方法，初中阶段主要研究下面两种类型的对称:1.代数中的对称式如果把一个多项式的任意两个字母互换后，所得的多项式不变就称这个多项式为对称式，对称式的本质反应的是多元多项式中字母地位相同，任何一个复杂的二元对称式，都可以用最简单对称多项式b a +，ab 表示，一些对称式的代数问题，常用最简对称式表示将问题解决. 2.几何图形的对称几何图形的对称指的是轴对称和中心对称，一些几何问题，如果我们作出图形的对称轴，或者作出已知点关于某线（某点）的对称点，构造出轴对称图形、中心对称图形，那么就能将分散的条件集中起来，容易找到解题途径. 例题与求解【例l 】如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长6和8，点P 是对角线AC 上的一个动点，点M 、N 分别是边AB ，BC 的中点，则PM +PN 的最小值是 . (荆门市中考试题)解题思路:作M 关于AC 的对称点M '，连MN 交AC 于点P ，则PM +PN 的值最小.BC【例2】已知a ，b 均为正数，且2=+b a ，求W =1422+++b a 的最小值.（北京市竞赛试题）解题思路:用代数的方法求W 的最小值较繁，22b a +的几何意义是以a ，b 为边的直角三角形的斜边长，构造图形，运用对称分析法求出W 的最小值.【例3】已知11122=-+-a b b a ，求证:122=+b a （四川省竞赛试题）解题思路:解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是:乘方、配方、换元和引入有理化因式，引入与已知等式地位相对相称的有理化因式，本例可获得简证．【例4】 如图，凸四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于O ，且AC ⊥BD ，已知OA ＞OC ，OB ＞OD ，求证:BC ＋AD ＞AB ＋CD .（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路:解题的关键是将有关线段集中到同一三角形中去，以便运用三角形三边关系定理，以AC 为对称轴，将部分图形翻折．DBC【例5】如图，矩形ABCD 中，AB ＝20厘米，BC ＝10厘米，若在AC 、AB 上各取一点M ，N ，使BM ＋MN 的值最小，求这个最小值. （北京市竞赛试题）解题思路:要使BM ＋MN 的值最小，应该设法将折线BM ＋MN 拉直，不妨从作出B 点关于AC 的对称点入手.A N能力训练1.如图，六边形ABCDEF 是轴对称图形，CF 所在的直线是它的对称轴. 若∠AFC ＋∠BCF ＝0150，则∠AFE ＋∠BCD 的大小是 . (武汉市中考试题)A BO(第1题图) （第2题图） （第3题图） 2.如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝2，点E 在BC 上，且AE ＝EC ，若将纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在AC 上，则AC 的长是 .(济南市中考试题)3. 如图，∠AOB ＝045，P 是∠AOB 内一点，PO ＝10，Q ，P 分别是OA 、OB 上的动点，则△PQR 周长最小值是 .4. 比6)56( 大的最小整数是 . （西安交通大学少年班入学试题）5.如图，已知正方形ABCD 的边长为3，E 在BC 上，且BE ＝2，P 在BD 上，则PE ＋PC 的最小值为（ ）.A ．32B ．13C ．14D ．15 6. 观察下列平面图形，其中是轴对称图形的有( ) .A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(南京市中考试题)7.如图，一个牧童在小河南4英里处牧马，河水向正东方流去，而他正位于他的小屋西8英里北7英里处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他能够完成这件事情所走的最短距离是（ ）.A ．)1854(+英里B ．16英里C ．17英里D ．18英里（美国中学生竞赛试题）BCADPEMP(第5题图) （第7题图） （第8题图） 8.如图，等边△ABC 的边长为2，M 为AB 中点，P 为BC 上的点，设P A ＋PM 的最大值和最小值分别为S 和L ，则22L S -等于（ ）A ．24B ．34C ．23D ．339.一束光线经三块平面镜反射，反射的路线如图所示，图中字母表示相应的度数，已知c =060，求e d +与x 的值. （江苏省竞赛试题）10. 求代数式9)12(422+-++x x 的最小值.（“希望杯”邀请赛试题）11. 在一平直河岸l 同侧有A B ，两个村庄，A B ，到l 的距离分别是3km 和2km ，km AB a =(1)a >．现计划在河岸l 上建一抽水站P ，用输水管向两个村庄供水． 方案设计某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案:图1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为1d ，且1(km)d PB BA =+（其中BP l ⊥于点P ）；图2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为2d ，且2(km)d PA PB =+（其中点A '与点A 关于l 对称，A B '与l 交于点P ）．观察计算（1）在方案一中，1d = km （用含a 的式子表示）；（2）在方案二中，组长小宇为了计算2d 的长，作了如图13-3所示的辅助线，请你按小宇同学图1 图2图3的思路计算，2d = km （用含a 的式子表示）． 探索归纳（1）① 当4a =时，比较大小:12_______d d （填“＞”、“＝”或“＜”）； ② 当6a =时，比较大小:12_______d d （填“＞”、“＝”或“＜”）；（2）对a （当1a >时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？(河北省中考试题)12．如图，已知平面直角坐标系中，A ，B 两点的坐标分别为A （2，－3），B （4，－1） （1）若P （x ，0）是x 轴上的一个动点，当△P AB 的周长最短时，求x 的值；（2）若C （a ，0），D （3+a ，0）是x 轴上的两个动点，当四边形ABDC 的周长最短时，求a 的值；（3）设M ，N 分别为x 轴和y 轴上的动点，问:是否存在这样的点M （m ，0）、N （0，n ），使四边形ABMN 的周长最短？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由．x13.在△ABC 中，∠BAC ＝45°，AD ⊥BC 于D ，将△ABD 沿AB 所在的直线折叠，使点D 落在点E 处；将△ACD 沿AC 所在的直线折叠，使点D 落在点F 处，分别延长EB 、FC 使其交于点M ．（1）判断四边形AEMF的形状，并给予证明；（2）若BD＝1，CD＝2，试求四边形AEMF的面积．CB DA(宁夏中考试题)14. 阅读下列材料:小贝遇到一个有趣的问题:在矩形ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm，现有一动点P按下列方式在矩形内运动:它从A点出发，沿着AB边夹角为45︒的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着与这条边夹角为45︒的方向作直线运动，并且它一直按照这种方式不停地运动，即当P点碰到BC边，沿着BC边夹角为45︒的方向作直线运动，当P点碰到CD边，再沿着与CD边夹角为45︒的方向作直线运动…如图1所示，问P点第一次与D点重合前与边相碰几次，P点第一次与D点重合时所经过的路线的总长是多少？小贝的思考是这样开始的:如图2，将矩形ABCD沿直线CD折叠，得到矩形A1B1CD，由轴对称的知识，发现P2P3＝P2E，P1A＝P1E．请你参考小贝的思路解决下列问题:(1) P点第一次与D点重合前与边相碰次，P点从A点出发到第一次与D点重合时所经过的路径的总长是cm．(2) 进一步探究:改变矩形ABCD中AD、AB的长，且满足AD＞AB，动点P从A点出发，按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形ABCD相邻的两边上．若P点第一次与B点重合前与边相碰7次，则AB:AD的值为．。
初中数学竞赛专题选讲 对称式(含答案)
初中数学竞赛专题选讲（初三.5）对称式一、内容提要一.定义1. 在含有多个变量的代数式f (x,y,z)中，如果变量x, y, z 任意交换两个后，代数式的值不变，则称这个代数式为绝对对称式，简称对称式.例如： 代数式x+y ， xy ， x 3+y 3+z 3－3xyz, x 5+y 5+xy, yx 11+， xyzx z xyz z y xyz y x +++++. 都是对称式. 其中x+y 和xy 叫做含两个变量的基本对称式.2. 在含有多个变量的代数式f (x,y,z)中，如果变量x, y, z 循环变换后代数式的值不变，则称这个代数式为轮换对称式，简称轮换式.例如：代数式 a 2(b －c)+b 2(c －a)+c 2(a －b), 2x 2y+2y 2z+2z 2x, abc c b a 1111-++， （xy+yz+zx ）()111z y x ++， 222222222111b a c a c b c b a -++-++-+. 都是轮换式. 显然，对称式一定是轮换式,而轮换式不一定是对称式.二.性质1.含两个变量x 和y 的对称式，一定可用相同变量的基本对称式来表示.这将在下一讲介绍.2. 对称式中，如果含有某种形式的一式，则必含有，该式由两个变量交换后的一切同型式，且系数相等.例如：在含x, y, z 的齐二次对称多项式中，如果含有x 2项，则必同时有y 2, z 2两项；如含有xy 项，则必同时有yz, zx 两项，且它们的系数，都分别相等. 故可以表示为：m(x 2+y 2+z 2)+n(xy+yz+zx) 其中m, n 是常数.3. 轮换式中，如果含有某种形式的一式，则一定含有，该式由变量字母循环变换后所得的一切同型式，且系数相等.例如：轮换式a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)中，有因式a －b 一项, 必有同型式b －c 和 c －a 两项.4. 两个对称式（轮换式）的和，差，积，商（除式不为零），仍然是对称式（轮换式）. 例如：∵x+y, xy 都是对称式，∴x+y ＋xy ， （x+y ）xy ， xyy x +等也都是对称式. ∵xy+yz+zx 和zy x 111++都是轮换式， ∴z y x 111++＋xy+yz+z ， （zy x 111++）（xy+yz+z ）. 也都是轮换式.. 二、例题例1.计算：（xy+yz+zx ）()111z y x ++－xyz()111222zy x ++. 分析：∵（xy+yz+zx ）()111zy x ++是关于x,y,z 的轮换式，由性质2，在乘法展开时，只要用xy 分别乘以x 1，y 1，z1连同它的同型式一齐写下. 解：原式＝（z xy y zx x yz ＋+）＋（z+x ＋y ）+(y+z+x)－(zxy y zx x yz ＋+) ＝2x+2y+2z.例2. 已知：a+b+c=0, abc ≠0.求代数式 222222222111ba c a cbc b a -++-++-+的值 分析：这是含a, b, c 的轮换式，化简第一个分式后，其余的两个分式，可直接写出它的同型式. 解：∵2221c b a -+＝222)(1b a b a ---+＝ab 21-， ∴222222222111b a c a c b c b a -++-++-+＝－ab 21－bc 21－ca 21 ＝ －abc b a c 2++＝0. 例3. 计算：（a+b+c ）3分析：展开式是含字母 a, b, c 的三次齐次的对称式，其同型式的系数相等，可用待定系数法.例4. 解：设（a+b+c ）3＝m(a 3+b 3+c 3)+n(a 2b+a 2c+b 2c+b 2a+c 2a+c 2b)+pabc.（m, n, p 是待定系数）令 a=1,b=0,c=0 . 比较左右两边系数得 m=1；令 a=1,b=1,c=0 比较左右两边系数得 2m+2n=8；令 a=1,b=1,c=1 比较左右两边系数得 3m+6n+p=27.解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=27638221p n m n m m 得⎪⎩⎪⎨⎧===631p n m∴（a+b+c ）3＝a 3+b 3+c 3+3a 2b+3a 2c+3b 2c+3b 2a+3c 2a+3c 2b+6abc.例5. 因式分解：① a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)；② （x+y+z ）5－（y+z －x ）5－（z+x －y ）5－（x+y －z ）5.解：①∵当a=b 时，a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)＝0.∴有因式a －b 及其同型式b －c, c －a.∵原式是四次齐次轮换式，除以三次齐次轮换式（a －b ）(b －c)(c －a)，可得 一次齐次的轮换式a+b+c.用待定系数法：得 a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)＝m(a+b+c)（a －b ）(b －c)(c －a)比较左右两边a 3b 的系数，得m=－1.∴a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)＝－(a+b+c)（a －b ）(b －c)(c －a).② x=0时，（x+y+z ）5－（y+z －x ）5－（z+x －y ）5－（x+y －z ）5＝0∴有因式x ，以及它的同型式y 和z.∵原式是五次齐次轮换式，除以三次轮换式xyz ，其商是二次齐次轮换式.∴用待定系数法：可设（x+y+z ）5－（y+z －x ）5－（z+x －y ）5－（x+y －z ）5＝xyz ［m(x+y+z)+n(xy+yz+zx)］.令 x=1,y=1,z=1 . 比较左右两边系数， 得 80=m+n ；令 x=1,y=1,z=2. 比较左右两边系数， 得 480=6m+n.解方程组⎩⎨⎧=+=+480680n m n m得⎩⎨⎧==080n m . ∴（x+y+z ）5－（y+z －x ）5－（z+x －y ）5－（x+y －z ）5＝80xyz(x+y+z).三、练习1.已知含字母x,y,z 的轮换式的三项x 3+x 2y －2xy 2,试接着写完全代数式＿＿＿＿＿＿ 2. 已知有含字母a,b,c,d 的八项轮换式的前二项是a 3b －(a －b)，试接着写完全代数式_________________________________.3. 利用对称式性质做乘法，直接写出结果：① （x 2y+y 2z+z 2x ）（xy 2+yz 2+zx 2）＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. ② （x+y+z ）（x 2+y 2+z 2－xy －yz －zx ）＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.4. 计算：（x+y ）5.5. 求（x+y ）(y+z)(z+x)+xyz 除以x+y+z 所得的商.6. 因式分解：① ab(a －b)+bc(b －c)+ca(c －a)；② (x+y+z)3－(x 3+y 3+z 3)；③ （ab+bc+ca ）(a+b+c)－abc ；④ a(b －c)3+b(c －a)3+c(a －b)3.7. 已知：abcc b a 1111=++. 求证：a, b, c 三者中，至少有两个是互为相反数.8. 计算：bc ac ab a a +--22＋ca ba bc b b +--22＋abcb ca c c +--22. 9. 已知：S ＝21（a+b+c ）. 求证：16)(416)(416)(4222222222222222b a c a c a c b c b c b a b a -+-+-+-+-+- ＝3S （S －a ）(S －b)(S －c).10. 若x,y 满足等式 x=1+y 1和y=1+x1且xy ≠0，那么y 的值是（ ） （A ）x －1. （B ）1－x. （C ）x. （D ）1+x.参考答案1. y 3+z 3+y 2z+z 2x －2y 2z －2z 2x2. b 3c+c 3d+d 3a －(b －c)－(c －d)－(d －a)3. ②x 3+y 3+z 3－3xyz4. 设(x+y)5=a(x 5+y 5)+b(x 4y+xy 4)+c(x 3y 2+x 2y 3), a=1, b=5, c=10.5. 设原式＝（x+y+z ）［a(x 2+y 2+z 2)+b(xy+yz+zx)］, a=0, b=1.6 .③当a=－b 时，原式＝0， 原式＝m(a+b)(b+c)(c+a) m=17. 由已知等式去分母后，使右边为0， 因式分解8. 19. 一个分式化为S （S －a ）(S －b)(S －c)10. 选 C。
初中数学竞赛__轮换式和对称式
第2讲 轮换式和对称式知识总结归纳一．基本轮换式：（1）x y z ++（2）222x y z ++（3）xy yz zx ++（4）333x y z ++（5）222x y y z z x ++（6）222xy yz zx ++（7）xyz二．齐次轮换式：（1）一次齐次轮换式：()l x y z ++（2）二次齐次轮换式：222()()l x y z m xy yz zx +++++（3）三次齐次轮换式：333222222()()()l x y z m x y y z z x n xy yz zx kxyz +++++++++以上l m n k 、、、都是待定的常数二．轮换式与对称式的分解的一般方法：首先，把它看成一个字母的多项式，用试根法，找出一些因式；然后，根据轮换式的特点，导出更多的因式；最后，用待定系数法求出其余的因式.非齐次轮换式可以先按照次数分为几个齐次轮换式的和，对每个齐次轮换式进行分解，再相加进行分解。
特殊的轮换式可能有更简单的方法，不一定非用一般的方法去分解.对于x y 、的多项式223322,,,,,x y xy x y x y x y xy ++++在字母x 与y 互换时，保持不变，这样的多项式称为x y 、的对称式。
类似的，关于x y z 、、的多项式 222333222222,,,,,,,x y z xy x y z xy yz zx x y z xyz x y x z y z y x z x z y +++++++++++++在字母x y z 、、中任意两字互换时，保持不变.这样的多项式称为x y z 、、的对称式.关于x y z 、、的多项式222333222,,,,,,,x y z xy x y z xy yz zx x y z xyz x y y z z x ++++++++++在将字母x y z 、、轮换（即将x 换成y ，y 换成z ，z 换成x ）时，保持不变.这样的多项式称为x y z 、、的轮换式。
初中数学竞赛精品标准教程及练习50基本对称式
初中数学竞赛精品标准教程及练习50基本对称式初中数学竞赛是学生在学习数学的过程中，通过参与竞赛提高数学解题能力和思维能力的一种途径。
数学竞赛涉及的内容广泛，其中包括了对称式的研究和应用。
下面是一份关于初中数学竞赛精品标准教程及练习，主要包括了50个基本对称式的内容，希望能够对大家的学习有所帮助。
一、基本概念在初中数学竞赛中，对称式是经常出现的问题类型之一、对称式指的是多项式在变量的置换下保持不变的表达式。
对称式在解题过程中具有简洁性和易于分析的特点，因此对称式在数学竞赛中有着重要的应用价值。
二、基本性质1.对称式具有对称性，即在变量的置换下保持不变。
2.对称式的系数可以是实数也可以是复数。
3.对称式可以通过系数相乘、相加等运算进行组合，得到新的对称式。
4.对称式的次数等于它所包含变量的最高次数。
三、基本类型1.对称多项式：这是最常见的对称式形式，指的是多项式在变量的置换下保持不变。
例如：* $xy+yz+zx$*$x^2+y^2+z^2$2.对称和与对称积：对称和指的是对称多项式相加得到的新的对称多项式，对称积指的是对称多项式相乘得到的新的对称多项式。
例如：*$a_1+a_2+a_3+...+a_n$*$a_1a_2+a_1a_3+a_2a_3+...+a_{n-1}a_n$*$(x+y+z)(y+z+w)$3.对称因子与轮换对称因子：对称因子指的是对称多项式中每一项的因子都是对称的，而轮换对称因子指的是对称多项式中每一项的因子经过变量的置换后仍然是对称的。
4.对称和与对称积的运算法则：对称多项式的和与积都具有交换律和结合律。
四、基本性质与定理1.对称多项式可以通过对称元素的传递性进行分解和合并。
2.对称多项式中可以把含有部分变量的项提取出来，形成新的对称多项式。
3.如果一个对称多项式的每一项次数都是k的倍数，那么这个对称多项式可以表示为若干个对称和乘以小项。
五、基本方法与技巧1.利用对称和与对称积的运算法则简化多项式。
对称式与轮换对称式
竞赛专题-------对称式与轮换对称式1．基本概念 【定义1】一个n 元代数式12()n f x x x ，，，，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，即对于任意的i j ，（1i j n ≤<≤），都有那么，就称这个代数式为n 元对称式，简称对称式。
例如，222x y x y xy x y z xy yz zx xy++++++，，，，都是对称式。
如果n 元对称式是一个多项式，那么称这个代数式为n 元对称多项式。
由定义1知，在对称式中，必包含任意交换两个字母所得的一切项，例如，在对称多项式()f x y z ，，中，若有3ax 项，则必有33ay az ，项；若有2bx y 项，则必有2bx z ，2222by z by x bz x bz y ，，，项，这些项叫做对称式的同形项，同形项的系数都相同。
根据对称多项式的定义，可以写出含n 个字母的对称多项式的一般形式，例如，含有三个字母x y z ，，的二次对称多项式的般形式是：【定义2】如果一个n 元多项式的各项的次数均等于同一个常数r ，那么称这个多项式为n 元r 次齐次多项式。
由定义2知，n 元多项式12()n f x x x ，，，是r 次齐次多项式，当且仅当对任意实数t 有 1212()()r n n f tx tx tx t f x x x =，，，，，，。
例如，含三个字母的三元三次齐对称式为：333222222()()a x y z b x y x z y x y z z x z y cxyz +++++++++。
【定义3】一个n 元代数式12()n f x x x ，，，，如果交换任意两个字母的位置后，代数式均改变符号，即对于任意的i j ，()1i j n ≤<≤，都有那么就称这个代数式为n 元交代式。
例如，()()()x y x y x y y z z x x y-----+，，均是交代式。
【定义4】如果一个n 交代数式12()n f x x x ，，，，如果将字母12n x x x ，，，以2x 代1x ，3x 代2n x x ，，代11n x x -，代n x 后代数式不变，即那么称这个代数式为n 元轮换对称式，简称轮换式。
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第二讲 讲对称式和轮换对称式(含答案)
第二讲 讲对称式和轮换对称式趣题引路】若正数123456,,,,,x x x x x x ．同时满足2345611x x x x x x =，3456122x x x x x x =，4561233x x x x xx =，5612344x x x x x x =，6123456x x x x x x =，1234569x x x x xx =，则123456x x x x x x +++++的值是多少？ 若将六式左右分别相乘得44123456()6x x x x x x =，因此1234566x x x x x x =，将已知式分别代入上式可得61=x ，32=x ，23=x ，264=x ，15=x ，366=x ．所以6611321654321+++=+++++x x x x x x 视六数之积为整体，可巧妙地消元求解！对于具备特殊结构的代数式或方程，我们也要学会运用特殊的解题策略.知识拓展】 1.对称多项式观察a b c ++，ab bc ca ++，333333a b c ab bc ca ++---，222222a b b c c a ab bc ca +++++等多项式，如果任意互换两个元的位置，所得的多项式与原式恒等，像这样的多项式叫做对称多项式（简称对称式）.上述四个式子也可分别称为三元对称多项式，又如444()x x y y +++是二元对称多项式． 2.轮换对称多项式一个关于x 、y 、z…、w 的多元多项式，若依某种顺序把字母进行轮换（如把x 换成y ，y 换成z ，w 换成x ），多项式不变，这种多项式叫做轮换对称多项式（简称轮换式）.例如222x y y z z x ++，(a －b ＋c )( b －c ＋a )( c －a ＋b )都是三元轮换对称式.显然，对称多项式都是轮换对称多项式，而轮换对称多项式则不一定是对称多项式，如：222x y y z z x ++是轮换式，但因互换x 、y 得到的是222y x x z z y ++已不是原式，所以原式不是对称式．同样对(b －c )(c －a )(a －b )也是如此，即该式是轮换对称式而不是对称式．但只含有两个字母的轮换对称式都是对称式． 3.对称式的性质（1）关于x 、y 的对称式总可以用x ＋y 和xy 来表示． （2）两个对称式的和、差、积、商也是对称式 （3）齐次对称多项式的积、幂仍是齐次对称多项式．4.对称多项式和轮换多项式的因式分解：运用因式分解定理和待定系数法．一、对称式、轮换对称式的求值技巧例1 已知4xy x y --=，则22222(1)22622xy x y xy x y xy x y ---+++--的值等于 . 解析 可引导学生观察已知等式和所求式的特点，易见，它们都是关于x 、y 的对称式，根据对称式的性质，所求式可用x ＋y 和xy 来表示，先化简后再求值. 解 设x ＋y ＝u ，xy ＝v ，由题设得v －u ＝4，则原式＝22(1)2()()262()xy xy x y x y xy xy x y ⎡⎤--+++-+-+⎣⎦＝(v －1)2－2vu ＋u 2－2v ＋6v －2u ＝v 2－2vu ＋u 2＋2v －2u ＋1 ＝(v －u ＋1)2＝25．点评：对称换元有利于简化解题过程．例2 计算：(x ＋y ＋z )(xy ＋yz ＋zx )．解析 因为x ＋y ＋z 和xy ＋yz ＋zx 都是轮换对称式，所以它们的积也是轮换对称式．因此，做这种乘法运算时可只把第一个因式的第一个字母乘以第二个因式各项，然后根据轮换对称性写出其余各项．解：∵x (xy ＋yz ＋zx )＝x 2y ＋xyz ＋zx 2，∴原式＝x 2y ＋xyz ＋zx 2＋y 2z ＋yzx ＋xy 2＋z 2x ＋zxy ＋yz 2＝x 2y ＋y 2z ＋z 2x ＋xy 2＋yz 2＋zx 2＋3xyz ．点评：由已知代数式的对称性，可知其展开式亦是对称的，从而可由一项写出对称的其他，这样解题就会既简明又准确．二、对称式的因式分解例3 分解因式：x 3(y －z )＋y 3(z －x )＋z 3(x －y )．解析 这是一个关于x 、y 、z 的四次齐次轮换对称式，当x ＝y 时，原式的值为零，根据余式定理知x －y 是它的一个因式．由轮换对称的性质知y －z 和z －x 也是它的因式．因为(x －y )(y －z )(z －x )是三次轮换对称式，所以原式还应有一个一次齐次轮换对称的因式，不妨设为k (x ＋y ＋z )，从而有x 3(y －z )＋y 3(z －x )＋z 3(x －y ) ＝k (x ＋y ＋z )(x －y )(y －x )(z －x )． 取x ＝2，y ＝1，z ＝0，得k ＝－1． ∴x 3(y －z )＋y 3(z －x )＋z 3(x －y ) ＝－(x ＋y ＋z )(x －y )(y －z )(z －x ) ．点评：由对称性来探究可能分解出的因式，这是因式分解的一种十分有趣的方法．例4 把x 4＋(x ＋y )4＋y 4分解因式．解析这是一个二元对称多项式，分解因式时一般将原式用x＋y、xy表示出来再进行分解．解：x4＋(x＋y)4＋y4＝(x4＋y4)＋(x＋y)4＝(x2＋y2)2－2x2y2＋(x＋y)4＝[(x＋y)2－2xy]2－2x2y2＋(x＋y)4＝2(x＋y)4－4xy(x＋y)2＋2x2y2＝2[(x＋y)2－xy]2＝2(x2＋xy＋y2)2．点评：实际上任何一个二元对称式都可以用x＋y、xy表示出来，对于给定的对称式，往往是寻求这种具体表示方法．在解决本题时；实际可以直接由(x＋y)4的展开形式，直接将x4＋y4用x＋y、xy来表示，即x4＋y4＝(x＋y)4－4x3y－6x2y2－4xy3＝(x＋y)4－4xy(x＋y)2＋2(xy)2．例5分解因式：(x－y)5＋(y－x)5＋(z－x)5．解析这是一个5次轮换对称多项式，只要找到它的一个因式就能找到与它同类型的另两个因式，若在原多项式中令x＝y，则原式＝(x－z)5＋(z－x)5＝0．根据因式定理，则x－y是原式的一个因式，于是y －z、z－x也是它的因式．解：因为当x＝y时，(x－y)5＋(y－x)5＋(z－x)5＝0，所以原多项式有因式(x－y)(y－z)(z－x)．由于原多项式是5次轮换对称式，根据其特点可设(x－y)5＋(y－z)5＋(z－x)5＝(x－y)(y－z)(z－x)[a(x2＋y2＋z2)＋b(xy＋yx＋zx)] ①其中a、b是待定系数．取x＝1，y＝－1，z＝0代入①式得2a－b＝15．②取x＝2，y＝1，z＝0代人①式得5a＋2b＝15．③将②、③两式联立解得a＝5，b＝－5．所以(x－y)5＋(y－z)5＋(z－x)5＝5(x－y)(y－z)(z－x)(x2＋y2＋z2－xy－yx－zx)．点评：在解本题的过程中，设了一个因式为a(x2＋y2＋z2)＋b(xy＋yx＋zx)，若不是这种形式，不妨设为x²－y2＋z2，由轮换式，就会有另两个因式y²－z2＋x2及z²－x2＋y2，这样原式就至少为9次，从而由对称式的特点只能设另一个因式为a(x2＋y2＋z2)＋b(xy＋yz＋zx)．也就是说三个字母的轮换对称多项式若次数＜3，则也一定为对称多项式．三、综合应用例6已知a＋b＞c，b＋c＞a，a＋c＞b，求证：a3＋b3＋c3－a(b－c)2－b(c－a)2－c(a－b)2－4abc＜0．解析 要证明多项式的值小于0，可先将它分解因式，只要判定各个因式的符号就能对原多项式的符号作出判定．证明：设T ＝a 3＋b 3＋c 3－a (b －c )2－b (c －a )2－c (a －b )2－4abc ． 把该多项式看作是关于a 的3次多项式，令a ＝b ＋c ， 则T ＝(b ＋c )3＋b 3＋c 3－(b ＋c )(b －c )2－b 3－c 3－4(b ＋c )bc ＝2(b 3＋c 3)＋3b 2c ＋3bc 2－2(b 3＋c 3)＋b 2c ＋bc 2－4b 2c －4bc 2 ＝0．由因式定理知，a －(b ＋c )是T 的一个因式．又由于T 是一个轮换对称式，于是b －(c ＋a )，c －(a ＋b )也是T 的因式，因为T 是关于a 、b 、c 的3次式，所以可设T ＝k (a －b －c )(b －c －a )(c －a －b )．比较两边a 3的系数可得k ＝1． 故T ＝(a －b －c )(b －c －a )(c －a －b )． 根据题意 a ＋b ＞c ，b ＋c ＞a ，a ＋c ＞b ． 则有c －a －b ＜0，a －b －c ＜0，b －a －c ＜0． 所以T ＜0．即原不等式成立．例7 设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，且1a b ab -+＋1b c bc -+＋1c aca-+＝0，试判断△ABC 的形状． 解析 已知等式去分母，得(a －b )(1＋bc )(1＋ca )＋(b －c )(1＋ca )(1＋ab )＋(c －a )(1＋ab )(1＋bc )＝0．上式的左边是关于a 、b 、c 的轮换对称式，把(a －b )(1＋bc )(1＋ca )展开、整理，得a －b －b 2c ＋ca 2＋a 2bc 2－ab 2c 2．根据轮换对称式的性质，可直接写出其余各项．由此，上式可写为a －b －b 2c ＋ca 2＋a 2bc 2－ab 2c 2＋b －c －c 2a ＋ab 2＋b 2ca 2－bc 2a 2＋c －a －a 2b ＋bc 2＋c 2ab 2－ca 2b 2＝0． 整理，得ab 2＋bc 2＋ca 2－a 2b －b 2c －c 2a ＝0． 设M ＝ab 2＋bc 2＋ca 2－a 2b －b 2c －c 2a ．当a ＝b 时，M ＝0，由因式定理知a －b 是M 的一个因式．而M 是关于a 、b 、c 的三次齐次轮换对称式，故M 含有因式(a －b )(b －c )(c －a )．又(a －b )(b －c )(c －a )也是三次齐次轮换对称式，则M 还应有一个常因子，于是可设ab 2＋bc 2＋ca 2－a 2b －b 2c －c 2a ＝k (a －b )(b －c )(c －a )． 取a ＝2，b ＝1，c ＝0，得k ＝1． ∴M ＝(a －b )(b －c )(c －a )＝0．∴a ＝b 或b ＝c 或c ＝a ，即a 、b 、c 中至少有两个相等． 故△ABC 必为等腰三角形． 好题妙解】佳题新题品味例分解因式x3(x＋1)(y－z)＋y3(y＋1)(z－x)＋z3(z＋1)(x－y)．解析由于原式是x，y，z的轮换式但不是齐次式，所以当求得(y－z)(z－x)(x－y)的因式后，剩下的因式是A(x2＋y2＋z2)＋B(yz＋zx＋xy)＋C(x＋y＋z)＋D．解：当y＝z时，原式＝0．∴y－z是原式的一个因式．设原式＝(y－z)(z－x)(x－y)[ A(x2＋y2＋z2)＋B(yz＋zx＋xy)＋C(x＋y＋z)＋D]．由于原式最低为四次项，∴D＝0．∴原式＝(y－z)(z－x)(x－y)[ A(x2＋y2＋z2)＋B(yz＋zx＋xy)＋C(x＋y＋z)]．令x＝l，y＝－1，z＝0得2A－B＝－1；①令x＝－1，y＝0，z＝2得5A－2B＋C＝－4；②令x＝1；y＝－1，z＝2得6A－B＋2C＝－7．③解①，②，③组成的方程组，得A＝B＝C＝－1．故原式＝－(y－z)(z－x)(x－y)(x2＋y2＋z2＋yz＋zx＋xy＋x＋y＋z)．中考真题欣赏例(陕西省中考题)分解因式：6x－6y－9x2＋18xy－9y2－1．解析关于x，y的对称式可用含x＋y，x－y，xy的式子表示，考虑分组．解：6x－6y－9x2＋18xy－9y2－1＝－(9x2－18xy＋9y2)＋(6x－6y)－1＝－[9(x2－2xy＋y2)－6(x－y)＋1]＝－[9(x－y)2－2×3(x－y)＋1]＝－[3(x－y)－1]2＝－(3x－3y－1)2．竞赛样题展示例分解因式(a＋b＋c)5－a5－b5－c5．解析这是一个五次对称多项式，只要找到它的一个因式，就能找出与它同类型的另两个因式．如果在多项式中令a＝－b，则原式＝c5－c5＝0，根据因式定理，则a＋b是原式的一个因式，于是(b＋c)、(c ＋a)也是它的因式．解：因为当a＝－b时，(a＋b＋c)5－a5－b5－c5＝0，所以原式有因式(a＋b)(b＋c)(c＋a)．由于原式是5次对称多项式，根据其特点，可设(a＋b＋c)5－a5－b5－c5＝(a＋b)(b＋c)(c＋a)[k(a2＋b2＋c2)＋m(ab＋bc＋ca)]．①其中k、m是有待确定的系数．令a＝1，b＝1，c＝0，代人①式得30＝2(2k＋m)，即2k＋m＝15．又令a＝0，b＝1，c＝2，代人①式得210＝6(5k＋2m)，即5k＋2m＝35．由此解得k＝5，m＝5．所以(a＋b＋c)5－a5－b5－c5＝5(a＋b)(b＋c)(c＋a)(a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca)点评：先找出一个因式，再利用对称式的性质得出同型的另外一些因式，再运用待定系数法确定剩下的其他因式．过关检测】A级1．在下列四个式子中，是轮换多项式的有( )①3x＋2y＋z②x2＋y3＋z4＋x4y3z2③xy2＋y2z3＋z3x④x3＋y3＋z3－x2－y2－z2A．0个B．1个C．2个D．3个2．若x2y＋xy2＋y2z＋yz2＋z2x＋zx2＋3xyz＝k(x＋y＋z)(xy＋yz＋zx)，则k的值是( )A．12B．1 C．3 D．－13．设α＝x1＋x2＋x3，β＝x1x2＋x2x3＋x3x1，γ＝x1x2x3，用α、β、γ表示出x13＋x23＋x33的结果是( ) A．3α－3αβ＋3γB．3β－3αγ＋3γC．3α＋3αβ－3γD．3β－3αβ＋3γ4．分解因式：xy(x2－y2)＋yz(y2－z2)＋zx(z2－x2)．5．分解因式：x2(y＋z)＋y2(z＋x)＋z2(x＋y)－(x3＋y3＋z3)－2xyz．6．化简：a(b＋c－a)2＋b(c＋a－b)2＋c(a＋b－c)2＋(b＋c－a)(c＋a－b)(a＋b－c)．7．已知a＋b＋c＋d＝0，a3＋b3＋c3＋d3＝3．(1)求证：(a＋b)3＋(c＋d)3＝0；(2)求证：ab(c＋d)＋cd(a＋b)＝1．B 级1．若()()xyx z y z ++＋()()yz y x z x ++＋()()zx z y x y ++＝1，则x 、y 、x 的取值情况是( )A ．全为零B ．只有两个为零C ．只有一个为零D ．全不为零 2．已知a 、b 、c 均为正数，设p ＝a ＋b ＋c ，q ＝bc a ＋ca b ＋abc，则p 与q 的大小关系是( ) A ．p ＞q B ．p ＜q C ．p ≥q D ．p ≤q 3．已知x ＋y ＝3，x 2＋y 2－xy ＝4，则x 4＋y 4＋x 3y ＋xy 3的值等于 ．4．如图2-1，正方体的每一个面上都有一个正整数，已知相对的两个面上二数之和都相等．如果13、9、3的对面的数分别是a 、b 、c ，试求a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca 的值，3913图2-15．分解因式：(x ＋y )(y ＋z )(z ＋x )＋xyz ．6．分解因式：a 3(a ＋1)(b －c )＋b 3(b ＋1)(c －a )＋c 3(c ＋1)(a －b )．。
轮换对称式与多项式和应用(初中数学竞赛)
x x
z y
y z
c xyz 1c x y z
所以
a b c x y z 1 1 a 1b 1c x y z
本题具有轮换对称式的特征，所以只需对其中一个式 子化简，就可以得出相同规律.
1
例４设 a
11 bc
1 abc
，证明
(1)a、b、c三数中必有两个数之和为零；
=(b+c) (a2+bc+ca+ab) =(a+b)(b+c)(c+a)
∴(a+b)(b+c)(c+a)=0，这就是说，在a+b、b+c、c+a 中至 少有一个为零，即a、b、c三数中必有两个数之和为零。
例４
111 1 a b c abc
，证明(2)对任何奇数n，有
111
1
an bn cn an bn cn
xz yz z 2 z ③
yz zx xy
由①+②+③ 得
x2 y 2 z 2 ( xy xz ) ( xy yz ) ( xz yz ) yz zx xy yz yz zx zx xy xy
x y z
所以
x2 y2 z2 x y z x y z yz zx xy
c)(c c)(c
a) a)
1
例７.
已知x、y、z满足关系式
y
x
z
y z
x
z z zx xy
证明：将已知等式分别乘以x、y、z得
x2 xy xz x ①
对称式和轮换对称式的性质及其应用
性质 2 对称式的和 、 差、 积、 商也是对称 式. 性质 3 轮换对称式的和 、 差、 积、 商也是 轮换对称式 . 性质 4 齐次轮换对称式的和 、 差、 积、 商 也是齐次轮换对称式 . 性质 5 一个 m 次对称式乘以一个 n 次对 称式 , 其积必为一个 m + n 次对称式 .
c3 d3 + = 49 B - 68 . d+ a+ b a+ b+ c
2. 5 解对称方程组
解对称方程组时 , 可以通过对称替换把原 方程组化简 . 例 8 求方程组 数解 .
由于 f 和 g 都是三次齐次轮换对称式 , 故 f 和 g 之间只差一个非零常数因子 , 即
f = k ( a - b) ( b - c) ( c - a) = 0 .
把 x 2 + y 2 + z2 = 16 代入得
xy + yz + zx = - 6 .
由 x + y + z = 2 , 得 z = 2 - x - y . 所以 ,
y + z = 16 . 则 . ( 2003 , 北 京 市 中 学 生 数 学 竞 赛 ( 初 二 决
2 2
分析 :因为已知等式是关于 a 、 b、 c 的轮换 对称式 , 可考虑先去分母 , 再通过分解因式来确 定 a、 b、 c 的关系 . 解 :将原式去分母 , 并设其为 f , 得
(1 + f = ( a - b) (1 + bc) (1 + ca) + ( b - c) ( 1 + ab) ・ ca) + ( c - a) ( 1 + bc) ( 1 + ab)
初中数学竞赛——轮换式和对称式
第2讲轮换式和对称式知识总结归纳一．基本轮换式：（1）x y z++（2）222++x y z（3）xy yz zx++（4）333++x y z（5）222++x y y z z x（6）222++xy yz zx（7）xyz二．齐次轮换式：（1）一次齐次轮换式：()l x y z++（2）二次齐次轮换式：222+++++()()l x y z m xy yz zx（3）三次齐次轮换式：333222222+++++++++()()()l x y z m x y y z z x n xy yz zx kxyz 以上l m n k、、、都是待定的常数二．轮换式与对称式的分解的一般方法：首先，把它看成一个字母的多项式，用试根法，找出一些因式；然后，根据轮换式的特点，导出更多的因式；最后，用待定系数法求出其余的因式.非齐次轮换式可以先按照次数分为几个齐次轮换式的和，对每个齐次轮换式进行分解，再相加进行分解。
特殊的轮换式可能有更简单的方法，不一定非用一般的方法去分解.、的多项式对于x y223322++++,,,,,x y xy x y x y x y xy、的对称式。
在字母x与y互换时，保持不变，这样的多项式称为x y、、的多项式类似的，关于x y z在字母x y z 、、中任意两字互换时，保持不变.这样的多项式称为x y z 、、的对称式.关于x y z 、、的多项式222333222,,,,,,,x y z xy x y z xy yz zx x y z xyz x y y z z x ++++++++++在将字母x y z 、、轮换（即将x 换成y ，y 换成z ，z 换成x ）时，保持不变.这样的多项式称为x y z 、、的轮换式。
显然，关于x y z 、、的对称式一定是x y z 、、的轮换式.但是，关于x y z 、、的轮换式不一定是x y z 、、的对称式.例如222x y y z z x ++就不是对称式.两个轮换式(对称式)的和、差、积、商（假定被除式能被除式整除）仍然是轮换式（对称式）。
八年级下册数学对称知识点
八年级下册数学对称知识点对称在数学中是一个重要且广泛运用的概念，是指在某个操作下，物体或者图形能够保持不变，即具有某种不变性。
本文将介绍八年级下册数学中对称的相关知识点，包括对称轴、中心对称和轴对称等。
一、对称轴对称轴是指一条直线，将图形分成两个完全相同的部分，且图形上的每一点与其对称点关于对称轴对称。
八年级数学中的对称轴分为两种，即横轴和纵轴。
横轴对称是指图形以水平轴为对称轴，则图形上的每个点关于水平轴对称，如下图：（图1）纵轴对称则是指图形以竖直轴为对称轴，图形上的每个点关于竖轴对称，如下图：（图2）二、中心对称中心对称是指图形中存在一个点，使得图形中所有的点关于该点对称。
在中心对称中，对称中心是图形的一个重要概念，对称中心的位置影响着对称的方向和效果。
三、轴对称轴对称是指图形中存在一条轴线，使得轴线两侧的图形完全相同，且轴线上每个点将图形分成两个对称的部分。
在八年级下册数学中，轴对称的图形有各种形状，如正方形、长方形、五边形等等，轴对称在图像的制作以及设计中都有广泛的应用。
四、对称性质对称具有很多重要的性质和应用，比如在计算面积或体积时，能够利用对称性质达到简化计算的目的。
同时，在对称性的应用中，也能看出对称与等量化之间的联系。
如果一个形状在对称的前提下能够完全重合，那么这两个形状就是等量的。
同时，在做题时，也需注意对称的特征，能够准确找到对称轴和对称中心，更好地解决问题。
结语：对称作为数学的一个重要概念，在八年级下册数学中扮演着重要角色，在学习对称的时候需要注意对称的特征、性质以及应用。
通过学习对称，能够更好地理解图形的特征，培养学生的空间想象能力，为以后学习高级数学打下基础。
初中数学竞赛精品标准教程及练习49对称式
初中数学竞赛精品标准教程及练习49对称式对称式是指具有对称性质的数学表达式或等式。
在初中数学竞赛中，对称式经常出现在各类题型中，如代数运算、方程求解、函数图像等。
理解并掌握对称式的特点和性质，能够帮助我们更好地解题，提高数学竞赛的成绩。
一、对称式的定义和概念对称式是指在变量交换下保持不变的表达式或等式。
具体来说，一个对称式应满足以下两个条件：1.变量交换：对称式中的变量可以互相交换位置，而表达式整体不受影响。
2.不变性：对称式中的每一项与其在原位置的对应项相等。
例如，对于一个二次方程ax^2+bx+c=0，如果它满足b^2-4ac=0，则可以称为对称式。
因为在这个等式中，交换b和c的位置，将不影响等式的成立，且交换a和c的位置也不影响等式的成立。
二、对称式的特点和性质1.对称式的交换律：对称式中的各项可以互相交换位置，而保持整体不变。
这可以帮助我们在计算过程中简化运算，找到更好的解题思路。
2. 对称式的简化法：对称式中可能存在的同类项可以进行合并简化。
例如，x^3+3x^2y+3xy^2+y^3可以合并简化为(x+y)^33.对称式的分解和因式分解：对称式可以利用分解法或因式分解法将其分解成更简单的形式。
例如，x^2+y^2可以分解为(x+y)(x-y)。
4.对称式的对称性：对称式具有对称性质，即每一项与其在原位置的对应项相等。
这一特点可以帮助我们找到方程的解，或在绘制函数图像时更好地理解其特性。
三、对称式的应用举例1. 计算运算结果：对称式的交换律可以帮助我们简化计算过程，找到更好的解题方法。
例如，计算a^3+b^3+c^3-3abc时，可以利用对称式交换法将其变形为(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)。
2.解方程：对称式的对称性质可以帮助我们在解方程时找到方程的根。
例如，当方程x^3-3x^2+3x-1=0时，可以利用对称式的对称性质，将其变形为(x-1)^3=0，从而得到解x=13.绘制函数图像：对称式的对称性质可以帮助我们更好地理解函数图像的形态。
对称式和轮换对称式的性质及其应用
- ( b - c) a4 - ( c ( a - b) ( b 2 = k ( a + b2 + c2 ) +
4 4 a) b - ( a - b) c c) ( c - a)
故
a b c + + + b+ c+ d c+ d+ a d+ a+ b d a+ b+ c
2
2
2
2
p ( ab + bc + ca) .
c3 d3 + = 49 B - 68 . d+ a+ b a+ b+ c
2. 5 解对称方程组
解对称方程组时 , 可以通过对称替换把原 方程组化简 . 例 8 求方程组 数解 .
故
1
xy + 2 z
+
1
yz + 2 x
+
1
zx + 2 y
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4
中 等 数 学
=
1
( x - 2) ( y - 2) ( y - 2) ( z - 2) ( z - 2) ( x - 2) z- 2+ x- 2+ y- 2 = ( x - 2) ( y - 2) ( z - 2 ) x+y+z- 6 = xyz - 2 ( xy + yz + zx ) + 4 ( x + y + z) - 8
对称相关数学知识点总结
对称相关数学知识点总结一、几何中的对称在几何中，对称是一个非常基本的概念。
对称主要包括轴对称和中心对称两种类型。
1.轴对称轴对称是指如果图形绕某条直线旋转180度后仍能重合，那么就称这个图形具有轴对称性。
轴对称的特点是对称轴两边的图形完全相同。
常见的轴对称图形包括正方形、长方形、圆等。
在轴对称的图形中，我们可以找到一条或多条轴对称轴。
轴对称的性质：①.图形的轴对称轴上的每个点和对称轴上对应的点互为对称点，他们与对称轴的距离相等。
②.图形的轴对称轴将图形分成两部分，这两部分中的每个点关于轴对称轴都互为对称点。
2.中心对称中心对称是指如果图形绕一个点旋转180度后仍能重合，那么就称这个图形具有中心对称性。
中心对称的特点是图形中心与对称中心的每个点互为对称点。
中心对称的性质：①.图形的中心对称中心上的每个点和对称中心上对应的点互为对称点，他们与对称中心的距离相等。
②.对于中心对称的图形，我们可以找到中心对称中心，使得图形中的每个点都关于中心对称中心对称。
几何中的对称性在很多图形的研究中都有着重要的应用。
比如在研究正多边形时，就要探讨其轴对称和中心对称的性质；在研究对称图形的面积时，要考虑对称性对面积的影响等。
二、代数中的对称在代数中，对称性主要体现在函数、方程、矩阵等方面。
1.函数的对称在函数中，常见的对称形式有偶函数和奇函数。
对于函数f(x)，如果对于任意的x，有f(x)= f(–x)，那么就称f(x)为偶函数；如果对于任意的x，有f(x)=–f(–x)，那么就称f(x)为奇函数。
偶函数的特点是其图象关于y轴对称，奇函数的特点是其图象关于原点对称。
在实际问题中，偶函数和奇函数的对称性质经常用来简化计算，研究函数的性质等。
2.方程的对称在方程中，一些特殊形式的方程也有对称性。
比如，关于x、y的二次齐次方程ax^2 +by^2 = 0，如果交换x和y的位置方程不变，那么就称此方程具有对称性。
另外，有一些特殊形式的方程也具有对称性，比如关于x、y、z的二次齐次方程ax^2 +by^2 + cz^2 = 0，可以根据其对称性来研究解的性质。
初中数学知识点整理：对称
对称（1）、知识框架（2）、知识概念1.对称轴：如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；这条直线叫做对称轴。
2.性质：（1）轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
（2）角平分线上的点到角两边距离相等。
（3）线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。
（4）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
（5）轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。
（6）角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合（7）到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上3.等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，（等边对等角）4.等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称为“三线合一”。
5.等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）6.等边三角形角的特点：三个内角相等，等于60°，7.等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等腰三角形。
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形有两个角是60°的三角形是等边三角形。
8.直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
9．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
10.定理①线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上②关于某条直线对称的两个图形是全等形③线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合④两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上⑤如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线逆定理若两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分则这两个图形关于这条直线对称。
初中数学竞赛辅导资料两种对称
初中数学比赛指导资料〔35〕两种对称甲内容概要1.轴对称和中心对称定义把一个图形沿着某一条直线折叠，假如它可以和另一个图形重合，那么这两个图形对于这条直线对称。
这条直线叫做对称轴把一个图形绕着某一点旋转 180，假如它可以和另一个图形重合，那么这两个图形对于这点对称，这点叫做对称中心2.轴对称图形和中心对称图形的定义：假如一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的局部可以相互重合，那么这个图形中叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴一个图形绕着某一点旋转 180，假如旋转后的图形可以和本来的图形相互重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。
3.性质：①成轴对称或中心对称的两个图形是全等形②对称轴是对称点连线的中垂线；对称中心是对称点连线的中点③两个图形对于某条直线对称，假如它们的对应线段或延伸线相交，那么交点在对称轴上4.常有的轴对称图形有：线段，角，等腰三角形，等腰梯形，矩形，菱形，正多边形，圆等；中心对称图形有：线段，平行四边形，边数为偶数的正多边形，圆等乙例题例 1.求证：假定等腰梯形的两条对角线相互垂直，那么它的中位线与高相等证明：∵等腰梯形是轴对称图形，底边的中垂线应线段 AC 和 BD 的交点 O，在对称轴MN 上∵AC ⊥BD∴△ AOB 和△ COD 都是等腰直角三角形，DMNN是它的对称轴，对COM 和 ON 是它们的斜边中线∴ OM ＝AB ， ON ＝CD∴MN ＝〔 AB ＋CD〕∴梯形中位线与高相等A MOB例 2.矩形ABCD的边AB＝6，BC＝8，将矩形折叠，使点C和点A重合，求折痕 EF 的长解：∵折痕EF 是对称点连线AC 的中垂线连接 AE ，AE ＝CE，设 AE ＝x,那么 BE ＝ 8－ x在 R△ ABE 中， x2=(8-x) 2+62解得 x= ，即 AE ＝在 Rt△ AOE 中， OE＝＝EF＝ 2OE＝例 3.：△ ABC中， AB ＝ AC,过点 A 的直线 MN ∥BC，点 P 是 MN 上的随意点求证： PB＋ PC≥ 2AB证明：当点 P 在 MN 上与点 A 重合时，PB ＋PC＝AB ＋ AC ，即 PB ＋PC＝ 2AB当 P不与 A 重合时作点 C 对于直线 MN 的对称点 C，那么 PC，＝PC，AC ，＝AC ＝ AB∠ PAC ，＝∠ PAC＝∠ ACB∴∠ PAC，＋∠ PAC＋∠ BAC ＝ 180∴ B ，A ， C，三点在同向来线上，，∵ PB＋ PC＞ BC ，即 PB＋ PC＞ 2AB∴PB＋ PC≥2AB例 4.：平行四边形ABCD外一点P0，点P0对于点A的对称点P1，P1对于点 B 的对称点P2， P2对于点 C 的对称点P3， P3对于点 D 的对称点 P4求证： P4与 P0重合证明：〔用同一法〕按序连接P0， P1， P2， P3， P4，依据中心对称图形性质，点 A ， B， C， D 分别为 P0P1， P1P2， P2P3， P3P4的中点AB ∥ P0P2∥ CD，连接 P0P3，取 P0P3的中点 D ，，，连接 D C，那么 D C∥P0P2，∴CD 和 CD重合，∴P4和 P0重合例 5. 正方形 ABCD 的边长为 a 解：∵正方形 ABCD 和等边三角形求内接正三角形AEF 的边长AEF 都是轴对称图形，直线AC是它的公共对称轴，可知△ ABE ≌△ ADF∴BE＝ DF ，CE＝ CF设等边三角形AEF 边长为 x ，依据勾股定理得CE 2＋ CF2＝ x2,CE=,BE=a －在 Rt△ ABE 中， x2=( a－ )2+a2x2+2ax－ 4a2=0由根公式舍去负根，得x=() a答：等边△ AEF 的边长是 ()a丙练习 351.以下列图形属轴对称而不是中心对称图形的有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿属中心对称而不是轴对称图形的有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿既是轴对称又是中心对称的图形有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿①线段②角③等腰三角形④等腰梯形⑤矩形⑥菱形⑦平行四边形⑧正三角形⑨正方形⑩圆2.坐标平面内，点 A 的坐标是〔 x＋a， y－ b〕那么①点 A 对于横轴的对称点 B 的坐标是〔〕②点 A 对于纵轴的对称点 C 的坐标是〔〕③点 A 对于原点的对称点 D 的坐标是〔〕3.坐标平面内，点 M 〔 a,－ b〕与点 N 〔－ a,b〕是对于＿＿＿的对称点点 P〔 m－ 3,n〕与点 Q〔3－ m,n〕是对于＿＿＿的对称点4. ：直线m 的同一侧有两个点 A 和 B求作：在m 上一点 P，使 PA＋PB 为最小5.：等边△ ABC求作：点P，使△ PAB ，△ PBC，△ PAC 都是等腰三角形〔本题有10 个解，起码作出 4 个点 P〕6.求证：等腰梯形两腰的延伸线的交点，对角线的交点，两底中点，这四点在同向来线上〔用轴对称性质〕AD ，点E 是7.：△ ABC 中， BC＞ AC ，从点 A 作∠ C 均分线的垂线段AB 的中点求证： DE＝〔 BC－ AC 〕〔1991年德化县初中数学比赛题〕8.：△ ABC 中， AB ＝ AC ，BD 是角均分线，BC＝ AB ＋AD求：∠ C 的度数〔90年泉州市双基赛题〕9.：正方形ABCD 中， AB ＝ 12，P 在 BC 上，且 BP＝ 5，把正方形折叠使点 A和点 P重合，求：折痕EF 的长10.平行四边形ABCD 的周长是18cm,∠ A 和∠ B 的均分线订交于M ，点O 是对称中心，OM ＝ 1cm，求各边长11.△ ABC 中，∠ B＝ 2∠ C， AD 是角均分线， E 是 BC 的中点， EF⊥ AD 和AB 的延伸线交于点 F 求证 BD ＝ 2BF〔创办轴对称图形，过点 C 作 CG∥BC 交 AB 延伸线于 G〕12.正方形 ABCD 的边长为 a,形内一点 P， P 到 AB 两头及边 BC 的距离都相等，求这个距离。
初三数学基本图形的对称性复习
图形的对称性复习一、题型特点1、涉及主要知识点涉及到的几何变换：轴对称、中心对称。
轴对称基本知识点：1）主要概念(1) 轴对称：两个图形沿着一条直线折叠后能够互相重合，我们就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段叫做对称线段．(2) 轴对称图形：如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．（3）两者的区别是：轴对称图形是一个具有特殊性质的图形，而轴对称是说两个图形之间的位置关系．2）主要性质轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那以对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段被对称轴垂直平分．3) 简单的轴对称图形：线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、正多边形及圆等都是常见的轴对称图形①线段：有两条对称轴：线段所在直线和线段中垂线．②角：有一条对称轴：该角的平分线所在的直线③等腰(非等边）三角形是轴对称图形：有一条对称轴，底边中垂线．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴．等腰三角形的两个底角相等．④等边三角形是轴对称图形：有三条对称轴：每条边的中垂线中心对称基本知识点1）主要概念（1）中心对称图形定义：在平面内，一个图形绕某个点旋转180○，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．（2）中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转 180○，如果它能够与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这个点是对称的，这个点叫做对称中心．2）主要性质（1）性质：中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都经过对称中心，并 且被对称中心平分．（2）中心对称与旋转对称的关系：中心对称是旋转角是180o的旋转对称． （3）点),(y x P 关于原点的对称点1P 为 . 3) 简单的中心对称图形：线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆等都是常见的中心对称图形 2、主要考点考点1、判断轴对称图形、中心对称很图形 考点2、折叠问题考点3、做轴对称图形、中心对称图形考点4、利用图形的对称性解决简单的实际问题 3、考试说明的要求 ①轴对称中考要求A 、了解图形的轴对称和轴对称图形，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质。
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初中数学竞赛辅导资料（50）基本对称式
甲内容提要
1. 上一讲介紹了对称式和轮换式的定义和性质. 形如x+y 和xy 是两个变量x, y 的基本
对称式.
2. 含两个变量的所有对称式，都可以用相同变量的基本对称式来表示.
例如x 2+y 2, x 3+y 3, (2x －5)(2y －5), －y
x 3232-， y x x y +……都是含两个变量的对称式，它们都可以用相同变量x,y 的基本对称式来表示：
x 2+y 2＝（x+y ）2－2xy ， x 3+y 3＝（x+y ）3－3xy(x+y)，
(2x －5)(2y －5)＝4xy －10(x+y)+25, －y x 3232-=－xy
y x 3)2+（, y x x y +=xy x y 22+=xy
xy y x 2)(2-+. 3. 设x+y=m, xy=n.
则x 2+y 2＝（x+y ）2－2xy ＝m 2－2n ；
x 3+y 3＝（x+y ）3－3xy(x+y)=m 3－3mn ；
x 4+y 4＝（x 2+y 2）2－2x 2y 2＝m 4－4m 2n+2n 2；
x 5+y 5＝（x 2+y 2）(x 3+y 3)－x 2y 2(x+y)=m 5－5m 3n+5mn 2；
………
一般地，x n +y n (n 为正整数)用基本对称式表示可建立递推公式：
x k+1+y k+1=( x k +y k )(x+y)－xy(x k －1+y k －1) (k 为正整数).
4. 含x, y 的对称式，x+y, xy 这三个代数式之间，任意知道两式，可求第三式. 乙例题
例1. 已知x=
21(3+1), y=）－（1321 求下列代数式的值： ①x 3+x 2y+xy 2+y 3 ； ②x 2 (2y+3)+y 2(2x+3).
解：∵含两个变量的对称式都可以用相同变量的基本对称式来表示.
∴先求出 x+y=3, xy=
21. ① x 3+x 2y+xy 2+y 3 ＝（x+y ）3
－2xy(x+y) =(3)3－2×
321 =23；
② x 2 (2y+3)+y 2(2x+3)＝2x 2y+3x 2+2xy 2+3y 2
=3(x 2+y 2)+2xy(x+y)
=3［（x+y ）2－2xy ］+2xy(x+y)
=3［（21232⨯
－））2×213 ＝3－6.
例2. 解方程组⎩⎨⎧=+=+②
①53533y x y x
分析：可由 x 3+y 3, x+y 求出xy ，再由基本对称式，求两个变量x 和y.
解：∵x 3+y 3,＝（x+y ）3－3xy(x+y) ③
把①和②代入③，得
35＝53－15xy.
∴xy=6.
解方程组⎩⎨⎧==+6
5xy y x
得⎩⎨⎧==32y x 或⎩
⎨⎧==23y x . 例3. 化简 321420+＋321420-. 解：设321420+＝x,
321420-=y. 那么 x 3+y 3=40, xy=32196400⨯－=2.
∵x 3+y 3＝（x+y ）3－3xy(x+y)，
∴ 40＝（x+y ）3－6（x ＋y ）.
设x+y=u,
得 u 3－6u －40=0 . (u －4)(u 2+4u+10)=0.
∵u 2+4u+10=0 没有实数根，
∴u －4＝0, u ＝4 .
∴x+y=4.
即 321420+＋321420-＝4.
例4. a 取什么值时，方程x 2－ax+a －2=0 的两根差的绝对值最小？其最小值是什
么？
解：设方程两根为x 1, x 2 . 根据韦达定理，
得 ⎩⎨⎧-==+22
121a x x a x x ∵22121)(x x x x -=-＝212214)x x x x -+（＝842+-a a ＝4)2(2+-a ，
∴当a=2时，21x x - 有最小值是2.
丙练习50
1. 已知 x －y=a, xy=b. 则x 2+y 2=______ ； x 3－y 3=______.
2. 若x+y=1, x 2+y 2=2. 则 x 3+y 3=_______； x 5+y 5=______.
3. 如果 x+y=－2k, xy=4, 3=+x
y y x . 则 k=_____. 4. 已知x+
x 1=4, 那么x －x 1=____ ， 221x x +=＿＿＿. 5. 若x x 1
+.＝a, 那么x+x 1=______, 221x
x +=＿＿＿. 6. 已知：a=321－, b=321+.
求： ①7a 2+11ab+7b 2 ；
②a 3+b 3－a 2－b 2－3ab+1. 7. 已知x x 1+
＝8，则x x 12+＝＿＿＿＿.（1990年全国初中数学联赛题） 8. 已知 a 2+a －1=0 则a 3－31a
=＿＿＿＿＿.(1987年泉州市初二数学双基赛) 9. 已知一元二次方程的两个根的平方和等于5，两根积是2，则这个方程可写成为：
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. （1990年泉州市初二数学双基赛）
10. 化简： ①335252－＋＋； ②33725725－－＋.
11. 已知：α，β是方程ax 2
+bx+c=0(a ≠0) 的两个根. 求证：α2（b β+c ）+β2
(b α+c)=－a c 2
2. 1. a 2+2b, a 3
+3ab 2. 2.5, 4.75 3. ±5 4. 23或－23， 14， 52 5. a 2－2, a 4－4a 2
+2 6. 109,36 7. 62 8. –4
9. x 2 ±3x ＋2＝0 10. ①1， ②2
运用韦达定理，把左边式子化为基本对称式表示。