排列组合复习课件
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高二数学《排列组合》复习课件
4、（徐州二模）从6人中选4人组成4×100m接 力赛，其中甲跑第一棒，乙不跑最后一棒，有多 少种选法？
分析：（一）直接法
（二）间接法
A A A 2 A A4
3 4 3 5 1 2
2 4
=48
5、（南通一模）一个三位数，其十位上的数字 既小于百位上的数字也小于个位上的数字（如 735，414等），那么这样的三位数有 285 个． 2 2 2 2
排列组合复习课
*
一、复习回顾： (一)、知识结构 排列 基 本 原 理 排列数公式 应 用 问 题
组合数公式
组合
组合数性质
(二)、重点难点 1. 两个基本原理
2. 排列、组合的意义
3. 排列数、组合数计算公式
4. 组合数的两个性质 5. 排列组合应用题
1. 两个基本原理
①分类记数原理（加法原理）：完成一件事，有 n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法， 在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类 办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有 N= m1+ m2 +…..+ mn种不同的方法. ②分步记数原理（乘法原理）：完成一件事需要 n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2 步有m2种不同的方法， ……做第n步有mn种不 同的方法，那么完成这件事共有N= m1× m2 ×.…..× mn种不同的方法.
C C .
5. 排列组合应用题
（1） 正确判断是排列问题，还是组合 问题，还是排列与组合的综合问题。 （2） 解决比较复杂的排列组合问题时， 往往需要既分类又分步。正确分类，不 重不漏；正确分步，连续完整。 （3） 掌握基本方法，并能灵活选择使 用。
(三)、常用解题方法及适用题目类型
大学排列组合ppt课件
排列与组合的综合实例解析
总结词
通过综合实例，理解排列与组合在实际 问题中的应用。
VS
详细描述
通过一个复杂的问题，如安排一场活动或 者组织一次旅行，综合运用排列和组合的 知识来解决实际问题，并强调排列与组合 在解决实际问题中的重要性和关联性。
05
排列组合的解题技巧
解题思路分析
明确问题要求
01
首先需要清楚题目是关于排列还是组合的问题，排列需要考虑
04
排列组合的实例解析
排列实例解析
总结词
通过具体实例，深入理解排列的概念和计算方法。
详细描述
通过实际生活中的例子，如学生选课、物品的排列等，解释排列的概念，并介绍排列的计算公式，以及如何应用 这些公式解决实际问题。
组合实例解析
总结词
通过具体实例，深入理解组合的概念和计算方法。
详细描述
通过实际生活中的例子，如彩票中奖概率、选举代表等，解释组合的概念，并介绍组合的计算公式， 以及如何应用这些公式解决实际问题。
少？
答案解析
答案1
从5个人中选3个人参加会议共有 $C_{5}^{3} = 10$种不同的选法。
答案3
大于2000的三位数，首位数字可以为 2，3或4，共有$A_{3}^{1} times A_{4}^{2} = 36$种。
答案2
将4把椅子排好，共有$A_{5}^{3} = 60$种坐法。
答案4
不同的分法种数为$A_{5}^{4} = 120$种。
常见错误解析与避免方法
混淆排列与组合
遗漏情况
排列和组合是不同的概念，需要明确 题目要求，正确使用公式。
在解题过程中，需要注意不要遗漏某 些情况，例如在排列时需要考虑元素 的顺序，在组合时需要考虑元素的取 法。
11.2排列组合-2021届高三数学(新高考)一轮复习课件(共36张PPT)
题型二 组合问题[自主练透] 1．[2020·山东新高考预测卷]北京园艺博览会期间，安排 6 位志愿 者到 4 个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两 个展区各安排两个人，其中小李和小王不在一起，不同的安排方案共 有( ) A．168 种 B．156 种 C．172 种 D．180 种
类题通法 “至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题目必须 十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏 解．用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，用间 接法求解.
题型三 排列与组合的综合问题[师生共研] [例 1] (1)若由 3 人组成的微信群中有 4 个不同的红包，每个红包 只能被抢一次，且每个人至少抢到 1 个红包，则红包被抢光的方式共 有( ) A．12 种 B．18 种 C．24 种 D．36 种
丙机在甲机之前和丙机在甲机之后的数目相同，则此时有12×C12A44＝24 种不同的着舰方法．则一共有 24＋24＝48 种不同的着舰方法，故选
C.
类题通法 解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进 行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问 题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他 元素(或位置).
6．[2018·全国Ⅰ卷]从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛， 且至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字填写 答案)
答案：16 解析： 解法一 按参加的女生人数分两类，共有 C12C42＋C22C41＝16(种)． 解法二 C63－C43＝20－4＝16(种)．
A．240 种 B．188 种 C．156 种 D．120 种
答案：D 解析：当 E，F 排在前三位时，共有 A22A22A33＝24 种安排方案；当 E，F 排在后三位时，共有 C31A23A22A22＝72 种安排方案；当 E、F 排在 三、四位时，共有 C12A13A22A22＝24 种安排方案，所以不同安排方案共 有 24＋72＋24＝120 种，故选 D.
排列组合的ppt课件免费
题目2：从7个不同元素 中取出4个元素的组合数 ，其中某特定元素可以 不被取出。
答案1：$A_{7}^{4} A_{6}^{3} = 7 times 6 times 5 times 4 - 6 times 5 times 4 = 336$
答案2：$C_{7}^{4} C_{6}^{3} = frac{7 times 6 times 5 times 4}{4 times 3 times 2 times 1} - frac{6 times 5 times 4}{3 times 2 times 1} = 28$
排列组合问题的变种与拓展
排列组合问题的变种
如“带限制的不同元素的排列组合” 、“重复元素的排列组合”等，需要 进一步拓展学生的思路。
拓展方法
通过变种问题的解析，引导学生深入 思考排列组合问题，并掌握其变化规 律，为解决更复杂的问题打下基础。
04
CATALOGUE
排列组合的数学原理
排列组合的数学原理简介
数学教育的核心
排列组合是数学教育中的 重要内容，对于培养学生 的数学素养和解决问题的 能力具有重要意义。
解决排列组合问题的方法与技能
乘法原理
加法原理
乘法原理是解决排列组合问题的基础，通 过将各个独立事件的产生概率相乘，可以 计算出复合事件的产生概率。
加法原理用于计算具有互斥性的事件的概 率，通过将各个互斥事件的产生概率相加 ，可以得到总的产生概率。
解析方法
通过实例演示和讲授，帮助学生理解排列组合的基本概念和计算方法，同时引导 学生思考如何解决实际问题。
实际问题的排列组合解决方案
实际问题的排列组合
如“安排会议”、“排定演出节目单”、“安排生产计划” 等，需要结合具体情境进行分析。
排列组合经典课件
排列组合的应用领域
概率与统计
探索排列组合在概率与统计中 的应用，如事件发生的可能性 和样本空间的计算。
密码学
了解排列组合在密码学中的重 要作用，如密码生成和加密算 法的设计。
计算机科学
深入研究排列组合在计算机科 学中的广泛应用，如算法设计 和图形处理。
经典问题与高级技巧
1
容斥原理
学习容斥原理及其在排列组合中的应用，解决复杂计数问题。
1 题型分析
2 实例分析
3 总结与归纳
详细剖析不同类型的排列组 合题目，提供解题技巧和思 路。
通过实例分析，展示排列组 合在实际问题中的运用和解 决。
总结常见排列组合问题的解 法，为复杂问题提供简单思 维模式。
沉浸于排列组合的世界
通过掌握高级排列组合知识和技巧，你将能够解决更加复杂的问题，并在实 践中体验数
深入研究生成函数的概念和应用，简化排列组合问题的求解过程。
3
经典问题
掌握解决排列组合中的经典问题，如n皇后问题和哈密顿回路。
枚举算法与随机化算法
枚举算法
深入了解枚举算法在排列组合中的应用，如组合生成和 全排列问题。
随机化算法
探索随机化算法如何在排列组合中产生随机样本和进行 优化。
解题技巧与实践应用
排列组合经典课件
介绍排列组合的基本概念及应用，探索排列与组合的区别与联系，解读排列 组合的计算方法和公式。
排列组合的重要性
1
概念与应用
深入探讨排列组合的基本概念，以及在现实生活和学科领域中的应用。
2
二项式定理
了解二项式定理的概念和重要性，以及其在排列组合中的运用。
3
多重集合排列组合
介绍多重集合下的排列组合问题，扩展你的知识和技能。
高中数学排列组合复习课件1
例2 5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起, 有多少种不同的排法? 分析 此题涉及到的是排队问题,对于女生有特殊的限制, 因此,女生是特殊元素,并且要求她们要相邻,因此可以将 她们看成是一个元素来解决问题.
解 因为女生要排在一起,所以可以将3个女生看成是 一个人,与5个男生作全排列,有 A种66排法,其中女生内部 也有 种A排33 法,根据乘法原理,共有 种A不66 A同33的排法.
少有1人在内的抽法有
种C45.3 C450
结论6 排除法:有些问题,正面直接考虑比较复杂,而它的
反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中排
除.
练习： 有12个人，按照下列要求分配，求不同的分法 种数．
（1）分为两组，一组7人，一组5人； （2）分为甲、乙两组，甲组7人，乙组5人； （3）分为甲、乙两组，一组7人，一组5人； （4）分为甲、乙两组，每组6人； （5）分为两组，每组6人； （6）分为三组，一组5人，一组4人，一组3人； （7）分为甲、乙、丙三组，甲组5人，乙组4人，丙组3
例4 袋中有不同的5分硬币23个,不同的1角硬币10个, 如果从袋中取出2元钱,有多少种取法? 分析 此题是一个组合问题,若是直接考虑取钱的问题 的话,情况比较多,也显得比较凌乱,难以理出头绪来.但 是如果根据组合数性质考虑剩余问题的话,就会很容 易解决问题.
解 把所有的硬币全部取出来,将得到 0.05×23+0.10×10=2.15元,所以比2元多0.15元,所 以剩下0.15元即剩下3个5分或1个5分与1个1角,所以 共有 C233 C21种3 C取110 法.
排列组合解题技巧综合复习
教学目的 教学过程 课堂练习 课堂小结
1.熟悉解决排列组合问题的基本 方法;
排列组合公式课件
斯特林数、贝尔数等特殊计数方法介绍
1 2 3
第一类斯特林数 表示将n个不同元素分成k个圆排列的方案数，记 作$s(n,k)$。
第二类斯特林数 表示将n个不同元素分成k个集合的方案数，记作 $S(n,k)$。
贝尔数 表示将n个元素分成任意个集合的方案数，记作 $B_n$。
排列组合在计算机科学中应用举例
组合性质
C(n,m)=C(n,n-m)，C(n,0)+C(n,1)+...+C(n,n)=2^n。
组合公式推导过程
推导思路
通过排列数公式A(n,m)与组合数公 式C(n,m)之间的关系，推导出组合 公式C(n,m)=A(n,m)/m!。
推导过程
首先明确排列数公式A(n,m)的定义及 性质，然后利用排列数与组合数之间 的关系，推导出组合公式，并解释公 式中各符号的含义。
典型例题分析与解答
例题选择
选择具有代表性和针对性 的例题，如基础题型、易 错题型等；
解题步骤
详细阐述解题思路和步骤， 包括问题建模、公式应用、 计算过程等；
答案解析
给出最终答案，并对解题 过程进行解析和评价。
PART 03
组合公式详解
组合定义及性质
组合定义
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同取法，记作C(n,m)。
分组竞赛
将学生分成若干小组，每组选一名 代表上台解题，看哪一组解得又快 又准，增强学生的团队协作和竞争 意识。
PART 05
知识拓展与延伸
阶乘、双阶乘等相关概念引入
阶乘
n!=n×(n-1)×...×2×1，0!=1。
双阶乘
n!!，当n为奇数时，n!!=n×(n-2)×...×3×1；当n为偶数时，n!!=n×(n-2)×...×4×2。
排列组合复习课 ppt课件
等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的 项。
ppt课件
30
变式引申：
1、(x y)7的展开式中，系数绝对值最大的项是（ ）
A.第4项 B.第4、5项 C.第5项 D.第3、4项
2含、x若的项(x等3 于x12()n
展开式中的第6项的系数最大，则不 )
A.210 B.120 C.461 D.416
mnmncmn????10??ncmmmnnmaca??mnnmncc????11????????mnmnmnccc从n个丌同元素中取出m个元素按一定的顺序排成一列从n个丌同元素中取出m个元素把它并成一组所有排列的的个数所有组合的个数11mmnnana???先选后排只选丌排
排列组合、二项式定理 复习课
名称 定义
种数 符号 计算 公式 关系
性质
排列
从n个不同元素中取出m个元 素，按一定的顺序排成一列
组合
从n个不同元素中取出m个元 素，把它并成一组
所有排列的的个数
所有组合的个数
Anm
C
m n
Anm
Anm
n(n 1) (n m 1)
n! (n m)!
Ann n!
0! 1
C
m n
C
m n
n(n 1) (n m 1)
分析:由加法原理可知 C61 C62 C66 63
由乘法原理可知 2×2×2×2×2×2-1=63
ppt课件
4
基 础 练习
（1）5名同学报名参加4项活动（每人限报
4 1项），共有 5 种不同的报名方法
（2）5名同学争夺4项竞赛冠军，冠
5 军获得者共有 4 种可能
ppt课件
5
二、排列和组合的区别和联系：
ppt课件
30
变式引申：
1、(x y)7的展开式中，系数绝对值最大的项是（ ）
A.第4项 B.第4、5项 C.第5项 D.第3、4项
2含、x若的项(x等3 于x12()n
展开式中的第6项的系数最大，则不 )
A.210 B.120 C.461 D.416
mnmncmn????10??ncmmmnnmaca??mnnmncc????11????????mnmnmnccc从n个丌同元素中取出m个元素按一定的顺序排成一列从n个丌同元素中取出m个元素把它并成一组所有排列的的个数所有组合的个数11mmnnana???先选后排只选丌排
排列组合、二项式定理 复习课
名称 定义
种数 符号 计算 公式 关系
性质
排列
从n个不同元素中取出m个元 素，按一定的顺序排成一列
组合
从n个不同元素中取出m个元 素，把它并成一组
所有排列的的个数
所有组合的个数
Anm
C
m n
Anm
Anm
n(n 1) (n m 1)
n! (n m)!
Ann n!
0! 1
C
m n
C
m n
n(n 1) (n m 1)
分析:由加法原理可知 C61 C62 C66 63
由乘法原理可知 2×2×2×2×2×2-1=63
ppt课件
4
基 础 练习
（1）5名同学报名参加4项活动（每人限报
4 1项），共有 5 种不同的报名方法
（2）5名同学争夺4项竞赛冠军，冠
5 军获得者共有 4 种可能
ppt课件
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二、排列和组合的区别和联系：
排列组合复习课解排列组合问题的常用技巧课件
交通安排
在城市中选择最佳的交通 路径，涉及排列组合中的 排列问题。
彩票中奖
计算彩票中奖的概率，涉 及排列组合中的组合问题。
排列组合在计算机科学中的应用
算法设计
计算机程序设计中，算法 的复杂度分析涉及排列组 合中的计算。
数据结构
在数据结构中，对数据的 排列和组合涉及排列组合 中的相关知识。
加密算法
密码的生成和破解，涉及 排列组合中的排列和组合 问题。
2023
REPORTING
排列组合复习课：解 排列组合问题的常用 技巧
• 排列组合基本概念 • 排列组合问题的常用解题技巧 • 排列组合问题中的计数原理 • 排列组合问题中的实际应用 • 排列组合问题的模拟试题与解析
2023
PART 01
排列组合基本概念
REPORTING
排列的定义与计算公式
排列的定义
反面思考法
总结词
在解决排列组合问题时，有时候从正面思考比较困难，可以采用反面思考法来解决问题。
详细描述
反面思考法是一种常用的解题技巧，它主要用于解决从正面思考比较困难的问题。具体来说，反面思考法是通过 考虑问题的反面情况来解决问题。这种方法特别适用于涉及对立事件或不可能事件的问题，它可以简化计算过程 并提高准确性。
分步乘法计数原理
要点一
总结词
分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基本方法之一， 其核心思想是将问题按照不同的步骤分为若干个小的步骤， 然后分别计算每个步骤的数量，最后将各个步骤的数量相 乘得到总数量。
要点二
详细描述
分步乘法计数原理的步骤是首先确定问题的不同步骤，然 后对每一步进行计数，最后将各个步骤的计数结果相乘。 这个原理在排列组合问题中广泛应用，例如在解决排列问 题、组合问题以及概率问题时非常有效。
排列组合ppt课件高中
10$
进阶练习题
题目：在数字"202X"中，各位数字相加和为10，称该 数为"如意四位数"，用数字0，1，2，3，4，5组成的
无重复数字且大于202X的"如意四位数"有____个．
输标02入题
01
答案：12
03
答案：10
04
题目：在数字``202X''中，各位数字相加和为10，称该数 为``如意四位数''，用数字0，1，2，3，4，5组成的无重 复数字且大于202X的``如意四位数''有____个．
确定元素
确定题目中涉及的元素，并理 解元素之间的关系。
确定限制条件
理解题目中的限制条件，如是 否可以重复、是否需要排序等
。
建立数学模型
根据问题类型、元素和限制条 件，建立相应的数学模型。
常见题型解析
排列问题
如“5个人排成一排，有多少种不同的排法？”这类问题需要斟酌到顺序，使用排列公式 $A_n^m = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$进行计算。
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（ 0<m≤n），依照一定的顺序排成 一列，叫做从n个元素中取出m个
元素的一个排列。
排列的计算公式
P(n, m) = n! / (n-m)!，其中"!"表 示阶乘。
排列的特性
排列与取出元素的顺序有关，元素 相同但顺序不同是不同的排列。
组合的定义
01
02
03
组合的定义
从n个不同元素中取出m个元素（不放回） 进行排列，得到的排列数记为$A_{n}^{m}$ 。
组合数定义
进阶练习题
题目：在数字"202X"中，各位数字相加和为10，称该 数为"如意四位数"，用数字0，1，2，3，4，5组成的
无重复数字且大于202X的"如意四位数"有____个．
输标02入题
01
答案：12
03
答案：10
04
题目：在数字``202X''中，各位数字相加和为10，称该数 为``如意四位数''，用数字0，1，2，3，4，5组成的无重 复数字且大于202X的``如意四位数''有____个．
确定元素
确定题目中涉及的元素，并理 解元素之间的关系。
确定限制条件
理解题目中的限制条件，如是 否可以重复、是否需要排序等
。
建立数学模型
根据问题类型、元素和限制条 件，建立相应的数学模型。
常见题型解析
排列问题
如“5个人排成一排，有多少种不同的排法？”这类问题需要斟酌到顺序，使用排列公式 $A_n^m = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$进行计算。
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（ 0<m≤n），依照一定的顺序排成 一列，叫做从n个元素中取出m个
元素的一个排列。
排列的计算公式
P(n, m) = n! / (n-m)!，其中"!"表 示阶乘。
排列的特性
排列与取出元素的顺序有关，元素 相同但顺序不同是不同的排列。
组合的定义
01
02
03
组合的定义
从n个不同元素中取出m个元素（不放回） 进行排列，得到的排列数记为$A_{n}^{m}$ 。
组合数定义
排列组合ppt课件
排列组合基本公式 • 排列组合的应用 • 排列组合的扩展知识 • 练习题与答案解析
01
排列组合基本概念
排列的定义
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（ m≤n），按照一定的顺序排成一列， 称为从n个不同元素中取出m个元素的 排列。
组合公式推导
根据乘法原理，组合数等 于从n个不同元素中取出m 个元素的排列数除以这m 个元素的全排列数。
组合公式证明
通过数学归纳法证明组合 公式。
排列组合公式的推导与证明
排列组合公式的推导
通过数学归纳法和乘法原理，逐步推导出排列和组合的公式。
排列组合公式的证明
通过数学归纳法和反证法，证明排列和组合公式的正确性。
机器学习
03
在机器学习中，排列组合用于描述样本空间和事件发生的可能
性，例如在朴素贝叶斯分类器中。
在统计学中的应用
概率分布
在统计学中，排列组合用于描述概率分布和随机事件的组合数量 ，例如在二项分布、多项分布等概率分布中。
统计推断
在统计推断中，排列组合用于计算样本数据的可能性和置信区间 ，例如在贝叶斯推断和参数估计中。
从n个不同元素中取出m个元素的所有组合方式。
排列组合在概率论中的应用
总结词
排列组合在概率论中有广泛的应用，它们是概率论中的基本概念之一。
详细描述
在概率论中，排列组合被广泛应用于各种概率模型和随机事件的计算中。例如，在计算随机事件的概率时，可以 使用排列组合来计算样本空间的大小和基本事件的数量。在计算条件概率时，可以使用排列组合来计算条件事件 的基本事件的数量。此外，在概率分布的计算中，排列组合也起着重要的作用。
3
组合的特性
组合无方向性，即顺序不影响组合的唯一性。
01
排列组合基本概念
排列的定义
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（ m≤n），按照一定的顺序排成一列， 称为从n个不同元素中取出m个元素的 排列。
组合公式推导
根据乘法原理，组合数等 于从n个不同元素中取出m 个元素的排列数除以这m 个元素的全排列数。
组合公式证明
通过数学归纳法证明组合 公式。
排列组合公式的推导与证明
排列组合公式的推导
通过数学归纳法和乘法原理，逐步推导出排列和组合的公式。
排列组合公式的证明
通过数学归纳法和反证法，证明排列和组合公式的正确性。
机器学习
03
在机器学习中，排列组合用于描述样本空间和事件发生的可能
性，例如在朴素贝叶斯分类器中。
在统计学中的应用
概率分布
在统计学中，排列组合用于描述概率分布和随机事件的组合数量 ，例如在二项分布、多项分布等概率分布中。
统计推断
在统计推断中，排列组合用于计算样本数据的可能性和置信区间 ，例如在贝叶斯推断和参数估计中。
从n个不同元素中取出m个元素的所有组合方式。
排列组合在概率论中的应用
总结词
排列组合在概率论中有广泛的应用，它们是概率论中的基本概念之一。
详细描述
在概率论中，排列组合被广泛应用于各种概率模型和随机事件的计算中。例如，在计算随机事件的概率时，可以 使用排列组合来计算样本空间的大小和基本事件的数量。在计算条件概率时，可以使用排列组合来计算条件事件 的基本事件的数量。此外，在概率分布的计算中，排列组合也起着重要的作用。
3
组合的特性
组合无方向性，即顺序不影响组合的唯一性。
07排列组合复习课件
3 C32 × A3 = 18 ；若 分类讨论：若有2人从事司机工作，则方案有
1 有1人从事司机工作，则方案有C3 × C42 × A33 = 108 种，所以共有 1 18+108=126种，故B正确
将甲、 丁四名学生分到三个不同的班， 例 6.将甲 、 乙 、 丙 、 丁四名学生分到三个不同的班 ， 每个 将甲 班至少分到一名学生，且甲、 班至少分到一名学生 ， 且甲 、 乙两名学生不能分到同一个 则不同分法的种数为（ 班，则不同分法的种数为（ ） A 18 B 24 C 30 D 36
A A A
4 6
2 4
4 4
CC A
1 6
1 4
4 4
现安排甲、 例5.现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿 现安排甲 名同学参加上海世博会志愿 者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、 者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之 每项工作至少有一人参加。 一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其 他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作， 他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的 种数是（ 种数是（ ） A．152 B.126 C.90 D.54 ．
个不同元素中取出m个元 从n个不同元素中取出 个元 个不同元素中取出 把它并成一组 素，把它并成一组
所有排列的的个数
所有组合的个数
m Cn
m Cn =
A
m n
m An = n(n −1) ⋅⋅⋅ (n − m + 1)
n! n An = n! (n − m)!
m 0! = 1 Cn
n(n − 1) ⋅ ⋅ ⋅ (n − m + 1) n! m! 0 源自 Cn = 1 m!(n − m)!
1 有1人从事司机工作，则方案有C3 × C42 × A33 = 108 种，所以共有 1 18+108=126种，故B正确
将甲、 丁四名学生分到三个不同的班， 例 6.将甲 、 乙 、 丙 、 丁四名学生分到三个不同的班 ， 每个 将甲 班至少分到一名学生，且甲、 班至少分到一名学生 ， 且甲 、 乙两名学生不能分到同一个 则不同分法的种数为（ 班，则不同分法的种数为（ ） A 18 B 24 C 30 D 36
A A A
4 6
2 4
4 4
CC A
1 6
1 4
4 4
现安排甲、 例5.现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿 现安排甲 名同学参加上海世博会志愿 者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、 者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之 每项工作至少有一人参加。 一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其 他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作， 他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的 种数是（ 种数是（ ） A．152 B.126 C.90 D.54 ．
个不同元素中取出m个元 从n个不同元素中取出 个元 个不同元素中取出 把它并成一组 素，把它并成一组
所有排列的的个数
所有组合的个数
m Cn
m Cn =
A
m n
m An = n(n −1) ⋅⋅⋅ (n − m + 1)
n! n An = n! (n − m)!
m 0! = 1 Cn
n(n − 1) ⋅ ⋅ ⋅ (n − m + 1) n! m! 0 源自 Cn = 1 m!(n − m)!
《排列组合公式》课件
便确定排列或组合的基数。
区分排列与组合
02 排列组合公式包括排列公式和组合公式，使用时应明
确所需的是排列还是组合，并选择相应的公式。
考虑顺序
03
排列公式需要考虑元素的顺序，而组合公式则不考虑
元素的顺序。
公式应用范围的限制
元素互异
排列组合公式的应用前提是所涉及的 元素必须互不相同，否则公式不适用 。
组合公式的推导过程
组合公式的基本形式
C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)
推导过程
通过排列与组合的数学关系，利用阶乘的性质进行推 导，最终得到组合公式的形式。
组合公式的数学证明
可以通过数学归纳法或组合恒等式进行证明，确保公 式的正确性。
组合公式的应用实例
概率计算
在概率论中，组合公式常用于计 算事件发生的可能性，如组合概 率和条件概率。
无限制条件
对于某些特定问题，可能需要添加额 外的限制条件，如去除重复、特定顺 序等，此时公式应用范围需相应调整 。
避免常见的计算错误
基数不为零
01
排列组合公式的基数不能为零，否则会导致计算错误。
重复计算
02
在使用排列组合公式时，应避免重复计算相同的情况，确保每
种情况只计算一次。
正确使用括号
03
在应用排列组合公式时，应正确使用括号，以确保计算的准确
排列公式的扩展形式
排列组合混合公式
除了单纯的排列公式外，还有排列组合混合公式， 可以用来计算同时涉及排列和组合的问题。
有限制条件的排列公式
在一些特定的问题中，可能需要对元素进行限制， 此时需要使用有限制条件的排列公式。
高阶排列公式
对于较大规模的排列问题，需要使用高阶排列公式 来计算。
第二节排列组合-PPT课件
1 4 2 3 3 2 4 1 ( 种 ) ……………… C C C C C C C C 2 6 4 ..6′ 4 6 46 4 6 46
方法二：“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”,故可 用间接法求解.
分析 （1）分步.（2）可分类也可用间接法.（3）可分类也可
用间接法.（4）分类. 解 （1）第一步：选3名男运动员，有 C 63 种选法. 第二步：选2名女运动员，有 C 42种选法. 共有 C 3 =120( 种)选法………………………………3′ C4
6 6
（2）方法一：“至少有1名女运动员”包括以下几种情况： 1女4男，2女3男，3女2男，4女1男…………………….4′ 由分类加法计数原理可得总选法数为：
参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共
有种.
解析： 星期五有2人参加，则从5人中选2人的组合数为C 5 2 ，星 期六和星期天从剩余的3人中选2人进行排列，有
2 ). 2 =60(C 种 A 5 3
种，则共有 A 32
答案： 60 题型四 基本组合问题 【例4】（14分）有男运动员6名，女运动员4名，其中男女队 长各1名.选派5名外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？ （1）男运动员3名，女运动员2名； （2）至少有1名女运动员； （3）队长中至少有1名参加； （4）既要有队长，又要有女运动员.
=2 880A（种 )排法. 4
A 44 A 55
学后反思 本题集排列的多种类型于一题，充分体现了元素分析 法（优先考虑特殊元素）、位置分析法（优先考虑特殊位置）、 直接法、间接法（排除法）、捆绑法、等机会法、插空法等常 见的解题思路.
举一反三
3. (2019· 全国改编)从5位同学中选派4位同学在星期五、星 期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人
方法二：“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”,故可 用间接法求解.
分析 （1）分步.（2）可分类也可用间接法.（3）可分类也可
用间接法.（4）分类. 解 （1）第一步：选3名男运动员，有 C 63 种选法. 第二步：选2名女运动员，有 C 42种选法. 共有 C 3 =120( 种)选法………………………………3′ C4
6 6
（2）方法一：“至少有1名女运动员”包括以下几种情况： 1女4男，2女3男，3女2男，4女1男…………………….4′ 由分类加法计数原理可得总选法数为：
参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共
有种.
解析： 星期五有2人参加，则从5人中选2人的组合数为C 5 2 ，星 期六和星期天从剩余的3人中选2人进行排列，有
2 ). 2 =60(C 种 A 5 3
种，则共有 A 32
答案： 60 题型四 基本组合问题 【例4】（14分）有男运动员6名，女运动员4名，其中男女队 长各1名.选派5名外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？ （1）男运动员3名，女运动员2名； （2）至少有1名女运动员； （3）队长中至少有1名参加； （4）既要有队长，又要有女运动员.
=2 880A（种 )排法. 4
A 44 A 55
学后反思 本题集排列的多种类型于一题，充分体现了元素分析 法（优先考虑特殊元素）、位置分析法（优先考虑特殊位置）、 直接法、间接法（排除法）、捆绑法、等机会法、插空法等常 见的解题思路.
举一反三
3. (2019· 全国改编)从5位同学中选派4位同学在星期五、星 期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人
排列组合基本原理.课件
排列和组合之间可以 通过组合数公式进行 转换。
排列和组合都是从n 个不同元素中取出m 个元素进行操作，计 算公式不同。
02
排列组合基本原理
伯努利原理
01
02
03
伯努利原理的内容
在n个独立事件中，每个 事件发生的概率为p，则 至少有一个事件发生的概 率为1-（1-p）^n。
应用
在保险业中，伯努利原理 常被用于计算保险概率， 例如汽车保险、健康保险 等。
03
排列的应用
排列的常见应用场景
01
彩票中奖概率计算
02
03
04
计算机科学中的排列算法
统计学中的样本排列
金融领域中的投资组合优化
排列在组合物件中的运用
密码学中的排列组合 计算机程序中的随机数生成
组合物件中的排列问题，如拼图、魔方等
排列在解决其他问题中的运用
数学竞赛中的排列题目 密码破译中的排列分析
计算机程序中的算法优化问题
04
组合的应用
组合的常见应用场景
彩票中奖概率计算
在计算彩票中奖概率时，通常需要考虑从数百万个彩票号 码中选取特定组合的情况，这时就需要使用组合的原理来 计算。
投资组合风险与收益评估
在投资领域，投资者需要根据不同资产的风险和收益特性 构建投资组合，以实现风险分散和资产保值增值，这里的 投资组合构建就需要用到组合的原理。
注意事项
伯努利原理在独立事件的 情况下适用，如果事件之 间存在依赖关系，则该原 理可能不成立。
容斥原理
Hale Waihona Puke 01容斥原理的内容
在计算多个集合的并集时，需要考虑重复计算的问题。通过将各个集合
单独求和，再减去重复计算的集合，即可得到正确的并集结果。
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10.(2012 年高考辽宁卷理科 5)一排 9 个座位坐了 3 个三口之 家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（ (A)3× 3！ [来源:] 【答案】C 【解析】此排列可分两步进行，先把三个家庭分别排列，每个 家庭有 3!种排法，三个家庭共有 3! 3! 3! (3!) 种排法；再把三个家
解析：不相邻问题用“插空法”．第一步先将“＋”，“－”排列有A种， 第二步将7,8,9插入到由“＋”，“－”排列所产生的三个空中，有A种，∴
共有A· A＝12(种)．
答案：12
3. 由1,2,3，„，8组成无重复数字的八位数，要求1与2相邻，3 与4相邻，7与8相邻，5与6不相邻，共有________种排法．
9.(2012 年高考新课标全国卷理科 2)将 2 名教师， 4 名学生分成 2 个小 组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由
1 名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有（
）
( A) 12 种 (C ) 种 ( D) 种
( B ) 10 种
【答案 】A
1 2 C 【解析】甲地由 1 名教师和 2 名学生： 2C4 12 种.
解析：捆绑与插空相结合，相邻元素捆绑，形成3个大元素，每 一个大元素中两个小元素均能排列，故第一步先排3个大元素， 有 A·2·2·2 种，第二步不相邻元素插空，由 3 个大元素形成四 个空，将5,6插入有A种．∴共有A×2×2×2×A＝576(种)． 答案：576
4. 从4男3女中选三人从事不同的工作，若三人中至少有 一名女生，则有________种选法．
解析：正难则反，从7人中选3人从事不同的工作，有A种选法， 减去全为男生的选法A，∴共有A－A＝186(种)． 答案：186
5. 5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从 中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛，则入选的 3名队员中至少有一名老队员，且1、2号中至少有1名新 队员的排法有______种(以数字作答)．
考点二 插空法问题 【例2】 (2010· 北京) 8名学生和2位老师站在一处留影, 2位老师不相邻的排法种数有( A ). A. A88A92 B. A88C92 C. A88A72 D. A88C72 变式2：马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯, 现 要关掉其中的3盏, 但不能关掉相邻的2盏或3盏, 也不能 关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？10 某排共有10个座位, 若4人就坐, 每人左右两边都有空位, 那么不同的坐法有多少种？ 120 点拨: 对于不相邻问题, 先考虑不受限制的元素的排列, 再将不相邻的元素插在前面元素排列所形成的空 档中.
(2012 年高考浙江卷理科 6)若从 1，2，2，„，9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数，其和为偶数， 则不同的取法共有（ ） A．60 种 B．63 种 C．65 种 D．66 种
练习巩固 1.10 个人排成一排，其中甲、乙两人至少 有一人在两端的排法种数有( )
2. 在7,8,9三个数字及“＋”，“－”两符号的 全排列中，任意两数字均不相邻的全排列有 ________种．
A
9 2 2
点拨: 先不考虑定序的条件, 排好后再除以要求定序的 元素的全排列数.
考点五 涂色问题 【例5】用5种不同的颜色给图中A、B、C、D四个区域 涂色, 规定每个区域只涂一种颜色, 相邻区域的颜色不 同, 求有多少种不同的涂色方法.
A B C D B A D C
320
图3
180
320
变式五 (2010· 天津)如图, 用四种不同颜色给图中的A、 B、C、D、E、F 六个点涂色, 要求每个点涂一种颜色, 且图中每条线段的两个端点涂不同颜色, 则不同的涂色 方法共有( B ) A. 288种 B. 264种 C. 240种 D. 168种
3
） (D) 9！
(B) 3× (3！ )3
(C)(3！ )4
庭进行全排列有 3!种排法。 因此不同的坐法种数为 (3!) ， 答案为
4
C
11 (2010·浙江)有4位同学在同一天的上、下午参加“身
高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、
“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一
个项目，且不重复．若上午不测“握力”项目，下午不
考点六 数字排序问题查字典策略 【例6】由0, 1, 2, 3, 4, 5 六个数字可以组成多少个没有 重复的比 324105 大的数？
5 4 3 2 1 N 2 A5 2 A4 A3 A2 A1 297
变式6 用 0, 1, 2, 3, 4, 5 这六个数字组成没有重复的四 位偶数, 将这些数字从小到大排列起来, 第71个 3140 数是 .
排列组合
考点一 平均分组问题 【例1】将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信 封中, 若每个信封放2张, 其中标号为1,2 的卡片放入同 一信封中, 则不同的放法种数为( B ) A. 12 B. 18 C. 36 D. 54 变式1 将5名实习教师分配到某年级的3个班实习, 每班 至少一名, 至多两名, 则不同的分配方案有( B ) A. 30种 B. 90种 C. 180种 D. 270种 点拨：均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组 是组合问题的常见题型.解决此类问题的关键是正确判 断分组是均匀分组还是不均匀分组, 无序均匀分组要除 以均匀组数的全排列数; 有序分组要在无序分组的基础 上乘以分组数的全排列数.
1. 从4男3女中选三人从事不同的工作, 若三人中至少有 一名女生, 则有________ 186 种选法． 2. 由 1, 2, 3, …, 8 组成无重复数字的八位数, 要求1与2 576 相邻, 3与4相邻, 7与8相邻, 5与6不相邻, 共有______ 种排法.
(2012浙江理6) 若从1, 2, 3, …, 9 这 9 个整数中同时取 4个不同的数, 其和为偶数, 则不同的取法共有( D ) A．60种 B．63种 C．65种 D．66种
考点七 化归策略 【例7】 25人排成5×5方阵, 现从中选3人, 要求3人不在 同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？
3 3 1 1 1 C5 C5 C3C2C1
变式7 某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实 线表示马路, 从A走到B的最短路径有多少种?
3 C7 35
B
A
考点八 特殊元素(或特殊位置)优先考虑 【例8】某单位安排7位员工在10月1日至7日值班, 每天 1人, 每人值班1天, 若7位员工中的甲、乙排在相邻两 天, 丙不排在10月1日, 丁不排在10月7日, 则不同的安 排方案共有( C ) A. 504种 B. 960种 C. 1008种 D. 1 108种 变式8 (2010· 四川)由1、2、3、4、5、6组成没有重复数 字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是( C ) A. 72 B. 96 C. 108 D. 144 点拨：特殊元素（或位置）优先安排的方法, 即先安排 特殊元素（或特殊位置）. 特殊元素（或特殊位置）往 往是解决问题的突破口和切入点, 因此, 在解决排列组 合问题时应坚持特殊元素（或特殊位置）优先安排的原 则.
考点三 捆绑法问题 【例3】用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰 有两个偶数夹在1,５两个奇数之间,这样的五位数有 8 多少个？ 变式三 有4个男生和3个女生排成一排, 全体站成一排, 甲乙必须相邻、但和丙不能相邻, 有多少种不 同排法. 960
某人射击8枪, 命中4枪, 4枪命中恰好有3枪连在一起的 情形的不同种数为 20 .
解析：两老一新， 有C×CA＝12(种)排法； 两新一老， 有CC×A＝36(种)排法，即共有48种排法． 答案：48
6.将5名实习教师分配到某年级的 3个班实习，每班
至少一名，至多两名，则不同的分配方案有(
A. 30种 B. 90种 C. 180种
)
D.
270种
解析：先将 5 名教师分成 3 组，再当成大元素分配，由每班至少一名，至多两名， C2 C2 C2 C2 5· 3 5· 3 3 3 知分配名额为 1,2,2.故先分成三组，有 2 种，再排列有 A3种，共 2 A3＝90 种． A2 A2 答案：B
7.高三某班需要排4个音乐节目，2个舞蹈节目，要求2个
舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是(
A. A·A B. A·A C. A·C
)
D. A·C
解析：据题意，先让4 个音乐节目排列有 A种．再让2个舞蹈节目插在由 4
个音乐节目形成的5个空中，有A种，∴共有A·A种．
答案：B
8.(2012 年高考山东卷理科 11)现有 16 张不同的卡片，其中红色、黄 色、蓝色、绿色卡片各 4 张，从中任取 3 张，要求这些卡片不能是同 一种颜色，且红色卡片至多 1 张，不同取法的种数为 （ （A）232 (B)252 (C)472 (D)484[ 来源:Z+xx+] ）
同学选1 人测试“握力”有C种方法，其余两位只有一
种方法，则共有C·C＝9种，因此测试方法共有A·(2＋
点拨: 把相邻元素看作一个整体, 再和其他元素一起排 列的方法称为“捆绑法”, 用“捆绑法”时注意捆绑元 素 内部的排列.
考点四 定序问题消序(定序元素后排)策略 【例4】 7人排队, 其中甲乙丙 3 人顺序一定共有多少不 4 同的排法？A7 变式4 10人身高各不相等, 排成前后排, 每排5人, 要求 5 从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ C10 用 1,2,3,4,5,6,7,8,9 组成没有重复数字的十位数字小于 个位数字的五位数共有多少个？ A 5
A. 30种
C. 180种
B. 90种
D. 270种
7．某人射出8发子弹，命中4发，若命中的4 发中恰有3发是连在一起的，那么该人射出 的8发，不同的结果有（ ） A．720种 B．480种 排成三排，每排3人，其中甲 不站在前排，乙不站在后排，这样的排 法种数共有 种。