2016高三第一轮复习函数的图像学生版
第四讲 正弦、余弦、正切函数的图象与性质(学生版)
第四讲 正弦、余弦和正切函数的图像与性质1． 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是： 、 、 、 、 。
余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是： 、 、 、 、 。
※ 学习评价1、判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)常数函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期． ( ) (2)y ＝cos x 在第一、二象限上是减函数． ( ) (3)y ＝tan x 在整个定义域上是增函数． ( ) (4)y ＝k sin x ＋1(x ∈R )，则y max ＝k ＋1.( )2、函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π23、若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω等于( )A ．23B ．32C ．2D ．3例1 求函数y ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4，x ∈[－4π，4π]的单调减区间．变式：（1）已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值范围是( )A ．[12，54]B ．[12，34]C ．(0，12]D ．(0,2]（2）已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有f (x ＋π4)＝f (－x )成立，且f (π8)＝1，则实数b 的值为( )A ．－1B ．3C ．－1或3D ．－3例2 求函数f (x )＝lg sin x ＋16－x 2的定义域．例3 求下列函数的周期．(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 (x ∈R)； (2)y ＝cos(1－πx )(x ∈R)； (3)y ＝|sin x | (x ∈R)．例4 (1) 求函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的值域. (2) 求函数y ＝sin 2x －sin x ＋1，x ∈R 的值域．※夯实基础1．下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin(2x ＋π2)B ．y ＝cos(2x ＋π2)C ．y ＝sin(x ＋π2)D ．y ＝cos(x ＋π2)2、函数y ＝2sin(2x ＋π3)(－π6≤x ≤π6)的值域是________．3、求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3x ＋π4的定义域、周期、单调区间和对称中心．4. 设|x |≤π4，求函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值．5. 已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．※能力提高6、将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，则ω的最小值是 ( )A.13B ．1C.53D ．2 7、函数y ＝|sin x ＋cos x |－1的定义域是( ) A ．[k π，k π＋π2](k ∈Z )B ．[2k π，2k π＋π2](k ∈Z )C ．[－π2＋k π，k π](k ∈Z )D ．[－π2＋2k π，2k π](k ∈Z )8、已知函数)2sin()(ϕ+=x x f ，其中ϕ为实数，若|)6(|)(πf x f ≤对R x ∈恒成立，且)()2(ππf f >，则)(x f 的单调递增区间是 ( ) (A) )(6,3Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ (B) )(2,Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+πππ(C) )(32,6Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ (D) )(,2Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-πππ 9、已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图，则f (π24)＝________.10．已知函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝－)(1x f (f (x )≠0)． (1)求证：函数f (x )是周期函数． (2)若f (1)＝－5，求f (f (5))的值．。
【高考调研】2016届高考数学一轮复习 第二章 第10课时 函数与方程课件 理
f(a)·f(b)<0，如图所示．
所以 f(a)·f(b)<0 是 y ＝ f(x) 在闭区间 [a ， b] 上有零点的充分 不必要条件．
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题组层级快练
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1．函数零点的概念
零点不是点！
(1)从“数”的角度看：即是使f(x)＝0的实数x； (2) 从“形”的角度看：即是函数 f(x) 的图像与 x 轴交点的 横坐标． 2．函数零点与方程根的关系
似解(精确度0.001)时，若我们选取初始区间是[1.4,1.5]，则要 达到精确度要求至少需要计算的次数是________．
【解析】
1.5－1.4 设至少需要计算 n 次，由题意知 2n
<0.001，即 2n>100.由 26＝64,27＝128，知 n＝7.
【答案】 7
1．函数零点的性质： (1) 若函数f(x) 的图像在 x ＝x0 处与x 轴相切，则零点x0 通常 称为不变号零点； (2) 若函数f(x) 的图像在 x ＝x0 处与x 轴相交，则零点x0 通常
称为变号零点．
2．函数零点的求法： 求函数y＝f(x)的零点： (1)( 代数法)求方程f(x)＝ 0 的实数根( 常用公式法、因式分
解、直接求解等)；
(2)( 几何法 ) 对于不能用求根公式的方程，可以将它与函 数y＝f(x)的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点； (3)二分法(主要用于求函数零点的近似值，所求零点都是 指此类题的解法是将f(x) ＝ 0 ，拆成 f(x) ＝ g(x) － h(x)
＝ 0 ，画出 h(x) 与 g(x) 的图像，从而确定方程 g(x) ＝ h(x) 的根所
思考题2 在的区间为( )
函数图像 高三数学一轮复习
的对称轴是直线 x＝ 13 ______．
2
考题讲练1（10分钟）
考向一
例1
画函数图象
作出下列函数的图象：
(x＋2)；
(1)y＝|x－2|·
(2)y＝|log2(x＋1)|；
2x－1
；
(3)y＝
x－1
(4)y＝x2－2|x|－1.
函数图象的识别
角度1.由解析式判断函数图象
例2 函数f
A.
x =
上f x < 0，在 −2,0 上f x > 0；y = g x 是奇函数，由图象及奇函数对称性
知，在 −3, −1 上g x < 0，在 −1,0 上g x > 0；
f x > 0,
f x < 0,
< 0时，有
或
∴ 所求不等式的解集是
g x <0
g x > 0,
{x| − 2 < x < −1或0 < x < 1或2 < x < 3}.
单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值
点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．
f(x)＋k
2.利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
f(x＋h)
f(x－换
(3)翻折变换
保留x轴上方图象
①y＝f(x)――――――――――――――――――→y＝ |f(x)| .
将x轴下方图象翻折上去
保留y轴右侧图象，并作其
②y＝f(x)―――――――――――――――――――――→y＝ f(|x|) .
关于y轴对称的图象
(4)对称变换
①函数 y＝f(x)和函数 y＝ 09 _________的图象关于
高三第一轮复习 函数的图象
函数的图象 函数的图象【提纲挈领】（请阅读下面文字，并在关键词下面记着重号）主干知识归纳 1、描点法作图其基本步骤是列表、描点、连线，具体为：(1) ① 确定函数的定义域；② 化简函数的解析式；③ 讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(2) 列表（注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点）； (3) 描点、连线，画出函数的图象. 2、图象变换 (1)平移变换(2)对称变换 ① y ＝f (x )的图象 −−−−−→−轴对称关于x y ＝－f (x )的图象； ② y ＝f (x )的图象 −−−−−→−轴对称关于y y ＝f (－x )的图象； ③ y ＝f (x )的图象−−−−→−对称原点关于y ＝－f (－x )的图象；④ y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象 −−−−−−→←=轴对称关于x y y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象． (3)伸缩变换① y ＝f (x )的图象 y ＝f (ax )的图象．② y ＝f (x )的图象 y ＝af (x )的图象．3、翻转变换 ⑤ y ＝f (x )的图象 −−−−−−−−−−−−−→−轴下方图象翻折上去轴上方图象，将保留x x y ＝|f (x )| 的图象. ⑥ y ＝f (x )的图象 −−−−−−−−−−−−−→−对称的图象于轴右边图象，并作其关保留y y y ＝f (|x |) 的图象．方法规律总结1、(1) 常见的几种函数图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y ＝x ＋mx (m>0)的函数是图象变换的基础，需要严格掌握；(2) 掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻转变换等常用方法技巧，可以帮助我们简化作图过程． 2、识图、作图常用的方法如下．(1) 定性分析法：通过对问题进行定性分析，结合函数的单调性、对称性等解决问题． (2) 定量计算法：通过定量(如特殊点、特殊值)的计算，来分析解决问题．(3) 函数模型法：由所提供的图象特征，结合实际问题的含义以及相关函数模型分析解决问题． 1>a ，横坐标缩短为原来的a 1倍，纵坐标不变10<<a ，横坐标伸长为原来的a 1倍，纵坐标不变 1>a ，纵坐标伸长为原来的a 1倍，横坐标不变 10<<a ，纵坐标缩短为原来的a1倍，横坐标不变3、(1) 函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．(2) 有关方程解的个数或函数零点个数的问题常常转化为两个熟悉的函数的图象交点个数． (3) 在运用函数图象处理问题时要保证函数图象的准确性.【指点迷津】【类型一】作函数图象【例1】：作出下列函数的图象：(1) y ＝2－x x ＋1； (2) y ＝|1|)21(+x ； (3) y ＝|log 2x －1|. 【解析】：(1)易知函数的定义域为{x ∈R |x ≠－1}．y ＝2－x x ＋1＝－1＋3x ＋1，因此由y ＝3x 的图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度即可得到函数y ＝2－xx ＋1的图象，如图①所示． (2)先作出y ＝(12)x ，x ∈[0，＋∞)的图象，然后作其关于y 轴的对称图象，再将整个图象向左平移1个单位长度，即得到y ＝(12)|x ＋1|的图象，如图②所示．(3)先作出y ＝log 2x 的图象，再将图象向下平移1个单位长度，保留x 轴上方的部分，将x 轴下方的图象翻折到x 轴上方来，即得到y ＝|log 2x －1|的图象，如图③所示．答案：【例2】：作出下列函数的图象：(1)）（1|2|+-=x x y ； (2) ⎩⎨⎧<+≥+=0,10,123x x x x y . 【解析】：(1)⎩⎨⎧<+-≥+-=+-=2),1)(2(2),1)(2(1|2|x x x x x x x x y ）（，可作图①；(2) ⎩⎨⎧<+≥+=0,10,123x x x x y ，可作图②.① ② 答案：（1）（2）【类型二】识图与辨图【例1】：函数y ＝1－1x －1的图象是( )．【解析】：将y ＝－1x 的图象向右平移1个单位，再向上平移一个单位，即可得到函数y ＝1－1x －1的图象． 答案：B【例2】：已知图①中的图象对应的函数为y ＝f (x )，则图②的图象对应的函数为( )．A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝|f (x )|C ．y ＝f (－|x |)D ．y ＝－f (|x |)【解析】：y ＝f (－|x |)＝⎩⎨⎧f (－x )，x ≥0，f (x )，x ＜0.答案：C【例3】：现有四个函数：① x x y sin =，② x x y cos =，③ |cos |x x y =，④xx y 2⋅=的图象（部分）如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组为 （ ）A ．④①②③B ．①④③②C ．③④②①D ．①④②③ 【解析】：x x y sin =为偶函数，对应第一个图象；x x y cos =为奇函数，且当π=x 时， 0<y ，对应第三个图象；|cos |x x y =为奇函数，对应第四个图象；xx y 2⋅=为非奇非偶函数，对应第二个图象.答案：D【类型三】函数图象的应用【例1】：如图所示，下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部的一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象表示该容器中水面高度h 和时间t 之间的关系，其中不正确的个数为( )A ．1 B．2C ．3D ．4【解析】：①中应该是匀速的，故对应的图象不正确；②中的变化率应该是越来越慢的，故对应的图象正确；③中的变化规律是先快后慢再快，故对应的图象正确；④中的变化规律是先慢后快再慢，故对应的图象正确． 答案：A【例2】：函数f (x )是定义在区间[－4，4]上的偶函数，其在区间[0，4]上的 图象如图所示，则不等式f （x ）cos x<0的解集为________．【解析】：在区间(0，π2)上，y ＝cos x >0，在区间(π2，4)上，y ＝cos x <0.由f (x )的图象知，在区间(1，π2)上，f (x )<0，所以f （x ）cos x <0.因为f (x )为偶函数，y ＝cos x 也是偶函数，所以y ＝f （x ）cos x 为偶函数，所以f （x ）cos x <0的解集为(－π2，－1)∪(1，π2). 答案：解集为(－π2，－1)∪(1，π2).【例3】：某种新药服用x 小时后血液中的残留量为y 毫克,如图所示为函数)(x f y =的图象,当血液中药物残留量不小于240毫克时,治疗有效.设某人上午8:00第一次服药,为保证疗效,则第二次服药最迟的时间应为A ．上午10:00B ．中午12:00C ．下午4:00D ．下午6:00【解析】：由图可得⎩⎨⎧≤<-≤≤=204,20400,40,80)(x x x x x f ，由≥)(x f 240，可解得83≤≤x ,故选C ．答案：C.【同步训练】【一级目标】基础巩固组 一、选择题1．函数y ＝log 2(|x |＋1)的大致图象是 ( )A B C D【解析】：首先判断函数的定义域为R ，又=)-(x f )(x f ，所以y ＝log 2(|x |＋1)为偶函数， 当>x 0时，y ＝log 2(x ＋1)．结合选项知选B.答案：B ．2．函数133-=x x y 的图象大致是( )【解析】：函数的定义域是{x ∈R |x ≠0}，排除选项A ；当x <0时，x 3<0，x 3－1<0，故y >0，排除选项B ；当x →＋∞时，y >0且y →0，故为选项C 中的图象． 答案：C.3．函数f (x )＝x ln |x ||x |的图象可能是( )A B C D 【解析】：易知函数f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝ln x . 答案：B ．4．函数y ＝|x |a xx(a >1)的图象的大致形状是 ( )A B C D【解析】：由题意知，y ＝|x |a x x ⎪⎩⎪⎨⎧<->=0,0,x a x a x x ，又a >1，所以由 y ＝x a 的图象可知，B 选项符合题意 答案：B ．5．若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )【解析】：由函数y ＝log a x 的图象过点(3，1)，得a ＝3.选项A 中函数为y ＝x)31(，则其函数图象不正确；选项B 中函数为y ＝x 3，则其函数图象正确；选项C 中函数为y ＝(－x )3，则其函数图象不正确；选项D 中函数为y ＝log 3(－x )，则其函数图象不正确． 答案：B.6．如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线1l ，2l 之间，1l ∥2l ，l 与半圆相交于F ，G 两点，与三角形ABC 两边相交于E ，D 两点．设弧FG 的长为x (0<x <π)，y ＝EB ＋BC ＋CD ，若l 从1l 平行移动到2l ，则函数y ＝f (x )的图象大致是()【解析】：设l 、2l 距离为t ，cos x ＝2t 2－1，得t ＝21cos +x .△ABC 的边长为23，BE 23＝11t-，得BE ＝23(1－t )，则y ＝2BE ＋BC ＝2×23(1－t )＋23＝23－43321cos +x ，当x ∈(0，π)时，非线性单调递增，排除A ，B ，求证x ＝π2的情况可知选D.答案：D. 二、填空题7．已知函数f (x )＝x 2＋e x －12(x <0)与g (x )＝x 2＋ln(x ＋a )的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是__________________.【解析】：依题意，设存在P (－m ，n )在f (x )的图象上，则Q (m ，n )在g (x )的图象上，则有m 2＋e －m －12＝m 2＋ln(m ＋a )，解得m ＋a ＝ee －m －12，即a ＝ee －m －12－m (m ＞0)，可得a ∈(－∞，e)． 答案：a ∈(－∞，e)．8．函数f (x )＝⎩⎨⎧log 3x ，x >0，cos πx ，x <0的图象上关于y 轴对称的点共有________________.【解析】：因为y ＝cos x π是偶函数，图象关于y 轴对称，所以本题可转化成求函数x y 3log =与y ＝cos x π的图象的交点个数．作函数图象如图所示，可知有三个交点，即函数f (x )的图象上关于y 轴对称的点共有3对．答案：3对． 三、解答题9．分别画出下列函数的图象：(1) y ＝x 2－2|x |－1； (2) y ＝x ＋2x －1； (3) f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+,0),1(log ,0,3311x x x x .【解析】：(1) y ＝⎪⎩⎪⎨⎧<-+≥--)0(,12)0(,1222x x x x x x . 图象如图①.(2) 因y ＝1＋3x －1，先作出y ＝3x 的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y＝x ＋2x －1的图象，如图②. (3) 作出f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧>≤,1,log ,1,331x x x x ⎩⎨⎧3x，x ≤1，log 13x ，x >1的图象如图所示，再把f (x )的图象向左平移一个单位长度，可得到函数y ＝f (x ＋1)的图象．如图③.① ② ③ 答案：① ② ③【二级目标】能力提升题组一、选择题 1．函数xx xy --=226cos 的图象大致为（ ）【解析】：可知，函数)(x f 为奇函数，又因为当)61,0(时，06cos >x ，022>--x x ，即0)(>x f ，D 正确. 答案：D2．已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx ，若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A、）（21,0 B 、）（1,21C 、）（2,1D 、）（+∞,2 2-2【解析】：画出函数f (x )的图象，如图所示．若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实数，则函数f (x )，g (x )有两个交点，则k ＞12，且k ＜1.故选B.答案：B 二、填空题3.已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R .若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________________． 【解析】：在同一坐标系内分别作出y ＝f (x )与y ＝a |x －1|的图象如图所示．当y ＝a |x －1|与y ＝f (x )的图象相切时， 由⎩⎨⎧－ax ＋a ＝－x 2－3x ，a >0，整理得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0， 则Δ＝(3－a )2－4a ＝a 2－10a ＋9＝0，解得a ＝1或a ＝9. 故当y ＝a |x －1|与y ＝f (x )的图象有四个交点时，0<a <1或a >9. 答案：(0，1)∪(9，＋∞). 三、解答题4. 已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f (x )＝||x 2－2x ＋12.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，求实数a 的取值范围．【解析】：先画出y ＝x 2－2x ＋12在区间[0，3)上的图象，再将x 轴下方的图象对称到x 轴上方，利用周期为3，将图象平移至区间[－3，4]内，即得f (x )在区间[－3，4]上的图象如图所示，其中f (－3)＝f (0)＝f (3)＝0.5，f (－2)＝f (1)＝f (4)＝0.5. 函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)等价于y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 有10个不同的交点，由图象可得a ∈（0， 12）.答案：a ∈（0， 12）.【高考链接】1. （2016年全国I 卷理科第7题）函数xe x y -=22在[2,2-]的图象大致为 （ ）A BC D【解析】：08.288)2(22>->-=e f ,排除A ；17.288)2(22<-<-=e f ,排除B ；0>x 时，x e x x f -=22)(，x e x x f -='4)(，当)41,0(∈x 时，0441)(0=-⨯<'e x f ， 因此)(x f 在)41,0(单调递减，排除C ；故选D. 答案：D.2.（2013年湖北卷省理科第10题）小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是( )【解析】：由题意可知函数图象最开始为“斜率为负的线段”，接着为“与x 轴平行的线段”，最后为“斜率为负值，且小于之前斜率的线段”．观察选项中图象可知，C 项符合． 答案：C ．3.（2014年湖北卷省理科第10题）已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝12(|x －a 2|＋|x－2a 2|－3a 2)．若∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为( )A.]61,61[-B.]66,66[-C.]31,31[-D.]33,33[- 【解析】：因为当x ≥0时，f (x )＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)，所以当0≤x ≤a 2时，f (x )＝12()a 2－x ＋2a 2－x －3a 2＝－x ；当a 2<x <2a 2时，f (x )＝12()x －a 2＋2a 2－x －3a 2＝－a 2；当x ≥2a 2时，f (x )＝12()x －a 2＋x －2a 2－3a 2＝x －3a 2.综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，0≤x ≤a 2，－a 2，a 2<x <2a 2，x －3a 2，x ≥2a 2.观察图象可知，要使∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则需满足2a 2－(－4a 2)≤1，解得－66≤a ≤66.故选B. 答案：B.。
高三数学一轮复习知识点专题2-7函数的图象及其应用
高三数学一轮复习知识点专题专题专题2-7函数的图象及其应用【核心素养分析】1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.3.培养学生逻辑推理、直观想象、数学运算的素养。
【重点知识梳理】知识点一 利用描点法作函数的图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.知识点二 利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换(2)对称变换y ＝f (x )的图象――→关于x 轴对称y ＝－f (x )的图象； y ＝f (x )的图象――→关于y 轴对称y ＝f (－x )的图象； y ＝f (x )的图象――→关于原点对称y ＝－f (－x )的图象；y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象――——————————→关于直线y ＝x 对称y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象. (3)伸缩变换y ＝f (x )―——————————————————―→纵坐标不变各点横坐标变为原来的1a（a >0）倍y ＝f (ax ).y ＝f (x )―——————————————————―→横坐标不变各点纵坐标变为原来的A (A >0)倍y ＝Af (x ).(4)翻折变换y ＝f (x )的图象―————————————————―→x 轴下方部分翻折到上方x 轴及上方部分不变y ＝|f (x )|的图象；y ＝f (x )的图象―————————————————―→y 轴右侧部分翻折到左侧原y 轴左侧部分去掉，右侧不变y ＝f (|x |)的图象.【特别提醒】记住几个重要结论(1)函数y ＝f (x )与y ＝f (2a －x )的图象关于直线x ＝a 对称. (2)函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (2a －x )的图象关于点(a ，b )中心对称.(3)若函数y ＝f (x )对定义域内任意自变量x 满足：f (a ＋x )＝f (a －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称.【典型题分析】高频考点一 由函数式判断图像 例1．【2020·天津卷】函数241xy x =+的图象大致为 （ ）A BC D 【答案】A【解析】由函数的解析式可得：()()241xf x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误；当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误，故选A 。
高一数学正切函数和余切函数的图像与性质1(学生版)
（2）
例2、求函数 的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性。
变式练习1：讨论函数 的性质
变式练习2： 的单调区间怎么求？
例3、观察正切曲线写出满足tanx＞0的x的值的范围：
变式练习：方法同上，求出分别满足下列条件的x的值的范围
（1）
（2）
例4、求下列函数的定义域
（1）y＝tan2x
例5、求学下列函数的最小正周期和单调区间
（1） ；
（2）
【课堂小练】
1、函数y＝tan（ax＋ ）（a≠0）的最小正周期为( )
2、以下函数中，不是奇函数的是( )
A y＝sinx＋tanxＢ．y＝xtanx－1Ｃ．y＝ Ｄ．y＝lg
3、下列命题中正确的是( )
A．y＝cosx在第二象限是减函数Ｂ．y＝tanx在定义域内是增函数
Ｃ．y＝｜cos（2x＋ ）｜的周期是 Ｄ．y＝sin｜x｜是周期为2π的偶函数
4、函数y＝ ＋ 的定义域是( )
A (2k＋1)π≤x≤(2k＋1)π＋ ，k∈Z
B (2k＋1)π＜x＜(2k＋1)π＋ ，k∈Z
C (2k＋1)π≤x＜(2k＋1)π＋ ，k∈Z
D (2k＋1)π＜x＜(2k＋1)π＋ 或x＝kπ，k∈Z
5、已知y＝tan2x－2tanx＋3，求它的最小值
6、求适合下列条件的 的集合：
6．单调性：在开区间 内，函数单调递增
余切函数y=cotx的图象及其性质（要求学生了解）：
——即将 的图象，向左平移 个单位，
再以x轴为对称轴上下翻折，即得 的图象
定义域：
值域：R，
当 时 ，当 时
周期：
奇偶性：奇函数
单调性：在区间 上函数单调递减
高中数学《函数的图像》高考一轮复习
高考数学一轮复习第10讲：函数的图像学习目标:1.会运用函数图像理解和研究函数的性质.2.熟记基本初等函数的图像，掌握函数作图的基本方法及函数图像的基本变换，能结合图像研究函数的性质学习方法：观察归纳；类比，转化教学重点：会运用函数图像理解和研究函数的性质.教学难点：应用函数图像求参数范围课前准备:1.教师准备：三角板、多媒体课件2.学生自备：笔、三角板考情分析：函数的图像作为函数性质的研究工具，频频在高考题中出现．主要考点及考查方向如下表：教学过程知识聚焦：（自主学习以下知识点）1．作图方法：描点法和利用基本函数图象变换作图；作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；④描点连线，画出函数的图象2．三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等3．识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面．4．平移变换：（1）水平平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向左或向右平移个单位即可得到；（2）竖直平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向上或向下平移个单位即可得到．① y=f(x)y=f(x+h); ② y=f(x) y=f(x -h);③y=f(x) y=f(x)+h; ④y=f(x) y=f(x)-h.5．对称变换：（1）函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；（2）函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；（3）函数的图像可以将函数的图像关于原点对称即可得到； 6．翻折变换：（1）函数的图像可以将函数的图像的轴下方部分沿轴翻折到轴上方，去掉原轴下方部分，并保留的轴上方部分即可得到；（2）函数的图像可以将函数的图像右边沿轴翻折到轴左边替代原轴左边部分并保留在轴右边部分即可得到．7．伸缩变换：（1）函数的图像可以将函数的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长或压缩（）为原来的倍得到；()y f x a =+()y f x =x (0)a >(0)a <||a ()y f x a =+()y f x =x (0)a >(0)a <||a h 左移→h 右移→h 上移→h 下移→()y f x =-()y f x =y ()y f x =-()y f x =x ()y f x =--()y f x =|()|y f x =()y f x =x x x x ()y f x =x (||)y f x =()y f x =y y y ()y f x =y ()y af x =(0)a >()y f x =(1)a >01a <<a（2）函数的图像可以将函数的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长或压缩（）为原来的倍得到． ①y=f(x)y=f();②y=f(x)y=ωf(x). 链接教材：（学生自主回答）例题教学：考点一 函数图象的辨识【例1】函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )．规律方法 函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．【练习1】 (1)函数y ＝x sin x 在[－π，π]上的图象是( )．(2)函数y ＝x ＋cos x 的大致图象是( )．考点二 函数图象的变换【例2】函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x (x ≤1)，log 13x (x ＞1)，则y ＝f (1－x )的图象是( )． ()y f ax =(0)a >()y f x =(1)a >01a <<1a ω⨯→x ωxω⨯→y规律方法 作图象平移时，要注意不要弄错平移的方向，必要时，取特殊点进行验证；平移变换只改变图象的位置，不改变图象的形状．【练习2】设函数f(x)的定义域为R ，则函数y=f(x-1)与y=f(1-x)的图像关系为（ ）A ．直线y=0对称B ．直线x=0对称C ．直线y=1对称D ．直线x=1对称 考点三 函数图象的应用【例3】已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有( )．A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个练习3：设f(x)是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，f （2-x ）=f （x+2）且当x ∈[-2,0]时，f(x)=x )21(-1，若关于x 的方程f(x)-log a (x+2)=0（a>1）在区间(-2,6]内恰有三个不同的实根，则实数a 的取值范围是【例4】已知不等式x 2－log a x ＜0，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时恒成立，求实数a 的取值范围． 练习4：设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________ . 规律方法 (1)利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题，如判断方程是否有解，有多少个解．数形结合是常用的思想方法．(2)利用图象，可观察函数的对称性、单调性、定义域、值域、最值等性质.课堂小结1．掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．2．识图的要点：重点根据图象看函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、特殊点(与x 、y 轴的交点，最高、最低点等)．3．识图的方法(1)定性分析法：对函数进行定性分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决；(3)排除法：利用本身的性能或特殊点进行排除验证．4．研究函数性质时一般要借助于函数图象，体现了数形结合思想；5．方程解的问题常转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题来解决．。
届高三数学一轮复习-函数的图像及其应用(共58张PPT)
考点贯通
抓高考命题的“形”与“神”
作函数的图象
[例 1] 作出下列函数的图象： (1)y＝12|x|； [解] 作出 y＝12x 的图象，保留 y＝12x 图 象中 x≥0 的部分，加上 y＝12x 的图象中 x>0 部 分关于 y 轴的对称部分，即得 y＝12|x|的图象， 如图中实线部分．
(2)y＝|log2(x＋1)|； (3)y＝2xx－－11； [解] (2)将函数 y＝log2x 的图象向左平移 1 个 单位，再将 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折上去，即可 得到函数 y＝|log2(x＋1)|的图象，如图． (3)因为 y＝2xx－－11＝2＋x－1 1，故函数图象可 由 y＝1x的图象向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位而得，如图．
(2)伸缩变换：
f(ωx) ． y＝f(x)―0―<AA>―<1―，1，―横横―坐坐―标―标不―不变―变，―，纵―纵―坐坐―标标―伸缩―长―短为―为原―原来―来的―的―AA倍―倍→ y＝ Af(x) ．
(3)对称变换： y＝f(x)―关―于―x―轴―对―称→y＝－f(x) ； y＝f(x)―关―于―y―轴―对―称→y＝ f(－x)； y＝f(x)―关―于―原――点―对―称→y＝ －f(－x) ． (4)翻折变换： y＝f(x)―去将―掉―y轴y―轴右―左边―边的―图―图， ―象―保翻―留折―y到轴―左―右边―边―去图→y＝ f(|x|) ； y＝f(x)―将―x―轴―下―方保―的 留―图x―轴象―上翻―方―折图―到―上―方―去→y＝ |f(x)| .
⊥AB交AB于E，当l从左至右移动(与线段
AB有公共点)时，把四边形ABCD分成两部分，设AE＝x，
左侧部分的面积为y，则y关于x的图象大致是
高三数学一轮复习讲义： 三角函数的图像与性质
三角函数的图象与性质基础梳理 1．“五点法”描图(1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0) ⎝⎛⎭⎫π2，1 (π，0) ⎝⎛⎭⎫32π，－1 (2π，0) (2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1) 2.三角函数的图象和性质函数 性质 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x 定义域RR{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }图象值域[－1,1][－1,1]R对称性对称轴：__ x ＝k π＋π2(k ∈Z )__ _； 对称中心： _ (k π，0)(k ∈Z )__ _对称轴：x ＝k π(k ∈Z )___； 对称中心：_(k π＋π2，0) (k ∈Z )__对称中心：_⎝⎛⎭⎫k π2，0 (k ∈Z ) __ 周期2π_2ππ单调性单调增区间_[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )___； 单调减区间[2k π＋π2，2k π＋3π2] (k ∈Z ) __单调增区间[2k π－π，2k π] (k ∈Z ) ____； 单调减区间[2k π，2k π＋π](k ∈Z )______单调增区间_(k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z )___奇偶性 奇函数偶函数奇函数3.有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期)对函数周期性概念的理解周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义域范围的每一个x 值都满足f (x ＋T )＝f (x )，其中T 是不为零的常数.如果只有个别的x 值满足f (x ＋T )＝f (x )，或找到哪怕只有一个x 值不满足f (x ＋T )＝f (x )，都不能说T 是函数f (x )的周期.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为 2π|ω|， y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为 π|ω|.4.求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x 、cos x 的有界性； 关于正、余弦函数的有界性由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于∀x ∈R ，恒有－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1，所以1叫做y ＝sin x ，y ＝cos x 的上确界，－1叫做y ＝sin x ，y ＝cos x 的下确界.(2)形式复杂的函数应化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题． 利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：y ＝sin 2x －4sin x ＋5，令t ＝sin x (|t |≤1)，则y ＝(t －2)2＋1≥1，解法错误.5.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如y ＝A sin(ωx ＋φ) (ω>0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x 所在的区间.应特别注意，应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单调增区间不同;利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x 系数的正负号) (1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4；(2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x . 热身练习:1．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈R ( )． A ．是奇函数 B ．既不是奇函数也不是偶函数C ．是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数 2．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－x 的定义域为( )．A .⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π－π4，k ∈Z B .⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠2k π－π4，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π＋π4，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠2k π＋π4，k ∈Z 3．函数y ＝sin(2x ＋π3)的图象的对称轴方程可能是( )A ．x ＝－π6B ．x ＝－π12C ．x ＝π6D ．x ＝π12【解析】令2x ＋π3＝k π＋π2，则x ＝k π2＋π12(k ∈Z )∴当k ＝0时，x ＝π12，选D.4．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一个对称中心是( )． A ．(－π，0)B .⎝⎛⎭⎫－3π4，0 C.⎝⎛⎭⎫3π2，0D.⎝⎛⎭⎫π2，0解析 ∵y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)(k ∈Z )，∴令x －π4＝k π(k ∈Z )，x ＝k π＋π4(k ∈Z )，由k ＝－1，x ＝－34π得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫－3π4，0. 答案 B5．下列区间是函数y ＝2|cos x |的单调递减区间的是( )A.(0，π)B.⎝⎛⎭⎫－π2，0C.⎝⎛⎭⎫3π2，2π D .⎝⎛⎭⎫－π，－π2 6．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤|f (π6)|对任意x ∈R 恒成立，且f (π2)>f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )A ．[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )B ．[k π，k π＋π2](k ∈Z )C ．[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )D ．[k π－π2，k π](k ∈Z )【解析】当x ∈R 时，f (x )≤|f (π6)|恒成立，∴f (π6)＝sin(π3＋φ)＝±1可得φ＝2k π＋π6或φ＝2k π－5π6，k ∈Z∵f (π2)＝sin(π＋φ)＝－sin φ>f (π)＝sin(2π＋φ)＝sin φ∴sin φ<0 ∴φ＝2k π－5π6由－π2＋2k π≤2x －5π6≤π2＋2k π 得x ∈[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )，选C.7.函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π4x ∈R 的最小正周期为___4π_____． 8..y ＝2－3cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为___5_____，此时x ＝_____34π＋2k π，k ∈Z _________. 9．函数y ＝(sin x －a )2＋1，当sin x ＝1时，y 取最大值；当sin x ＝a 时，y 取最小值，则实数－1≤a ≤0.10．函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间[π4，π2]上的最大值是 .【解析】∵f (x )＝1－cos2x 2＋32sin2x ＝32sin2x －12cos2x ＋12＝sin(2x －π6)＋12，又π4≤x ≤π2，∴π3≤2x －π6≤5π6. ∴当2x －π6＝π2即x ＝π3时，f (x )取最大值32.题型一 与三角函数有关的函数定义域问题 例1 求下列函数的定义域：(1)y ＝lgsin(cos x )； (2)y ＝sin x －cos x .解 (1)要使函数有意义，必须使sin(cos x )>0. ∵－1≤cos x ≤1，∴0<cos x ≤1.利用单位圆中的余弦线OM ，依题意知0<OM ≤1， ∴OM 只能在x 轴的正半轴上，∴其定义域为 {x |－π2＋2k π<x <π2＋2k π，k ∈Z}.(2)要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象.在同一坐标系中画出[0,2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示. 在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4＋2k π≤x ≤5π4＋2k π，k ∈Z .变式训练1 (1)求函数y lg(2sin 1)tan 1cos()28x x π-+--=+的定义域；解 (1)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧2sin x －1>0－tan x －1≥0cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π8≠0⇒⎩⎨⎧sin x >12，tan x ≤－1，x 2＋π8≠k π＋π2.图①如图①利用单位圆得：⎩⎪⎨⎪⎧2k π＋π6<x <2k π＋5π6，k π＋π2<x ≤k π＋3π4，x ≠2k π＋3π4(k ∈Z ).∴函数的定义域为{x |2k π＋π2<x <2k π＋3π4，k ∈Z }.(2)求函数y 122log tan x x =++的定义域.要使函数有意义则⎩⎪⎨⎪⎧2＋log 12x ≥0，x >0，tan x ≥0，x ≠k π＋π2，k ∈Z⇒⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤4，k π≤x <k π＋π2 (k ∈Z ).利用数轴可得图②图②∴函数的定义域是{x |0<x <π2或π≤x ≤4}.题型二、三角函数的五点法作图及图象变换例2已知函数f (x )＝4cos x sin(x ＋π6)－1.(1)用五点法作出f (x )在一个周期内的简图；(2)该函数图象可由y ＝sin x (x ∈R )的图象经过怎样的平移变换与伸缩变换得到？【解析】(1)y ＝f (x )＝4cos x sin(x ＋π6)－1＝4cos x (32sin x ＋12cos x )－1＝3sin2x ＋2cos 2x －1＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π6)2x ＋π60 π2 π 3π2 2π x－π122π12 5π12 8π12 11π12 y 02－2∴函数y ＝f (x )在[－π12，11π12]上的图象如图所示．【点评】“五点法作图”应抓住四条：①化为y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的形式；②求出周期T ＝2πω；③求出振幅A ；④列出一个周期内的五个特殊点．当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间的特殊点．题型三 三角函数图象与解析式的相互转化例3函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，A >0，ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示．(1)求f (x )的解析式；(2)设g (x )＝[f (x －π12)]2，求函数g (x )在x ∈[－π6，π3]上的最大值，并确定此时x 的值．【解析】(1)由图可知A ＝2，T 4＝π3，则2πω＝4×π3 ∴ω＝32.又f (－π6)＝2sin[32×(－π6)＋φ]＝2sin(－π4＋φ)＝0∴sin(φ－π4)＝0∵0<φ<π2，∴－π4<φ－π4<π4∴φ－π4＝0，即φ＝π4∴f (x )＝2sin(32x ＋π4)．(2)由(1)可得f (x －π12)＝2sin[32(x －π12)＋π4]＝2sin(32x ＋π8)∴g (x )＝[f (x －π12)]2＝4×1－cos 3x ＋π42＝2－2cos(3x ＋π4)∵x ∈[－π6，π3] ∴－π4≤3x ＋π4≤5π4，∴当3x ＋π4＝π，即x ＝π4时，g (x )max ＝4.【点评】根据y ＝A sin(ωx ＋φ)＋K 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：①A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最高点－最低点2；②K 的确定：根据图象的最高点和最低点，即K ＝最高点＋最低点2；③ω的确定：结合图象，先求出周期，然后由T ＝2πω(ω>0)来确定ω；④φ的确定：由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋K 最开始与x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－φω(即令ωx ＋φ＝0，x ＝－φω)确定φ.例4若方程3sin x ＋cos x ＝a 在[0,2π]上有两个不同的实数根x 1，x 2，求a 的取值范围，并求此时x 1＋x 2的值．【解析】∵3sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π6)，x ∈[0,2π]，作出y ＝2sin(x ＋π6)在[0,2π]内的图象如图．由图象可知，当1＜a ＜2或－2＜a ＜1时，直线y ＝a 与y ＝2sin(x ＋π6)有两个交点，故a 的取值范围为a ∈(－2,1)∪(1,2)．当1＜a ＜2时，x 1＋π6＋x 2＋π6＝π.∴x 1＋x 2＝2π3.当－2＜a ＜1时，x 1＋π6＋x 2＋π6＝3π，∴x 1＋x 2＝8π3.【点评】利用三角函数图象形象直观，可使有些问题得到顺利、简捷的解决，因此我们必须准确把握三角函数“形”的特征．例4已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M (2π3，－2)．(1)求f (x )的解析式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π12个单位后，再将所得图象上各点的横坐标缩小到原来的12，纵坐标不变，得到y ＝g (x )的图象，求函数y ＝g (x )的解析式，并求满足g (x )≥2且x ∈[0，π]的实数x 的取值范围．【解析】(1)由函数图象的最低点为M (2π3，－2)，得A ＝2，由x 轴上相邻两个交点间的距离为π2，得T 2＝π2，即T ＝π，∴ω＝2ππ＝2.又点M (2π3，－2)在图象上，得2sin(2×2π3＋φ)＝－2，即sin(4π3＋φ)＝－1，故4π3＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－11π6， 又φ∈(0，π2)，∴φ＝π6.综上可得f (x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)将f (x )＝2sin(2x ＋π6)的图象向右平移π12个单位，得到f 1(x )＝2sin[2(x －π12)＋π6]，即f 1(x )＝2sin2x 的图象，然后将f 1(x )＝2sin2x 的图象上各点的横坐标缩小到原来的12，纵坐标不变，得到g (x )＝2sin(2·2x )，即g (x )＝2sin4x .由⎩⎨⎧0≤x ≤πg x ＝2sin4x ≥2得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤πsin4x ≥22.则⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤π2k π＋π4≤4x ≤2k π＋3π4k ∈Z 即⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤πk π2＋π16≤x ≤k π2＋3π16k ∈Z .故π16≤x ≤3π16 或 9π16≤x ≤11π16. 题型四 、三角函数的奇偶性与周期性及应用 例1已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)，其中ω＞0，|φ|＜π2.(1)若cos π4cos φ－sin 3π4sin φ＝0，求φ的值；(2)在(1)的条件下，若函数f (x )的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3，求函数f (x )的解析式；并求最小正实数m ，使得函数f (x )的图象向左平移m 个单位后所对应的函数是偶函数．【解析】(1)由cos π4cos φ－sin 3π4sin φ＝0 得cos(π4＋φ)＝0.∵|φ|<π2，∴φ＝π4.(2)由已知得T 2＝π3，∴T ＝2π3，ω＝3 ∴f (x )＝sin(3x ＋π4)．设函数f (x )的图象向左平移m 个单位后所对应的函数为g (x )，则g (x )＝sin[3(x ＋m )＋π4]＝sin(3x ＋3m ＋π4)g (x )是偶函数当且仅当3m ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )即m ＝k π3＋π12(k ∈Z ) ∴最小正实数m ＝π12.题型五 三角函数的单调性与周期性 例2 写出下列函数的单调区间及周期： (1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3；(2)y ＝|tan x |. 解 (1)y ＝-sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 它的增区间是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的减区间，它的减区间是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的增区间. 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12，k ∈Z .故所给函数的减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ； 增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z .最小正周期T ＝2π2＝π. (2)观察图象可知，y ＝|tan x |的增区间是⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，减区间是⎝⎛⎦⎤k π－π2，k π，k ∈Z .最小正周期：T ＝π.探究提高 (1)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ) (其中A ≠0，ω>0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答.列不等式的原则是：①把“ωx ＋φ (ω>0)”视为一个“整体”；②A >0 (A <0)时，所列不等式的方向与y ＝sin x (x ∈R )，y ＝cos x (x ∈R )的单调区间对应的不等式方向相同(反). (2)对于y ＝A tan(ωx ＋φ) (A 、ω、φ为常数)，其周期T ＝π|ω|，单调区间利用ωx ＋φ∈⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2，解出x 的取值范围，即为其单调区间. (3)求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定. 变式训练2 (1)求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＋cos ⎝⎛⎭⎫4x －π6的周期、单调区间及最大、最小值； (2)已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1. ①求f (x )的最小正周期； ②求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上的最大值和最小值. 解: y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＋cos ⎝⎛⎭⎫4x －π631314sin 44sin 422x x x x =+++ sin 4342sin(4)3x x x π==+ (1)周期为T=π2 242,232k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈函数的递增区间为⎣⎡⎦⎤－5π24＋k π2，π24＋k π2 (k ∈Z )； 3242,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈函数的递减区间为⎣⎡⎦⎤π24＋k π2，7π24＋k π2(k ∈Z ) y max ＝2； y min ＝－2 (2) f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1314cos (cos )12x x x =+-223cos 2cos 1x x x =+-2cos 22sin(26)x x x π=+=+x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π4,22[,]663x πππ+∈- 最大值为2；最小值为－1题型六、三角函数的对称性与单调性及应用例2已知向量m u r ＝(3sin2x －1，cos x )， n r ＝(1,2cos x )，设函数f (x )＝m n ⋅u r r，x ∈R.(1)求函数f (x )图象的对称轴方程； (2)求函数f (x )的单调递增区间．【解析】(1)f (x )＝m ·n ＝3sin2x －1＋2cos 2x ＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π6)∴对称轴方程为：2x ＋π6＝k π＋π2，即x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．(2)由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π得－π3＋k π≤x ≤k π＋π6∴f (x )的单调递增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )．【点评】对于f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)：①若求y ＝f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，求出x ；若求y ＝f (x )的对称中心的横坐标，只零令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求出x ；②若求y ＝f (x )的单调增区间，只需令2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2，求出x ；若求y ＝f (x )的单调减区间，只需令2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋3π2，求出x .题型七 三角函数的对称性与奇偶性例3 (1)已知f (x )＝sin x ＋3cos x (x ∈R )，函数y ＝f (x ＋φ) ⎝⎛⎭⎫|φ|≤π2的图象关于直线x ＝0对称，则φ的值为________.(2)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A . π6B.π4C.π3D.π2(1)π6f (x )＝2sin π()3x +， y ＝f (x ＋φ)＝2sin ()3x πϕ++图象关于x ＝0对称，即f (x ＋φ)为偶函数．∴π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝k π＋π6，k ∈Z ，所以当k ＝0时，φ＝π6.(2)A3cos 4(2)3πϕ⨯+＝3cos 2π(2π)3ϕ++＝3cos 2()0,3πϕ+=∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π－π6，k ∈Z ，取k ＝0，得|φ|的最小值为π6.故选探究提高 若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值.若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0. 如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π (k ∈Z )，求x .如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π (k ∈Z )即可.变式训练3 (1)已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象的一条对称轴是x ＝5π3，则函数g (x )＝a sinx ＋cos x 的最大值是 ( )A.223B.233C.43D.263由题意得f (0)＝f 10()3π，∴a ＝－32－a2.∴a ＝－33, g (x )＝－33sin x ＋cos x ＝233sin 2()3x π+， ∴g (x )max ＝233.(2)若函数f (x )＝a sin ωx ＋b cos ωx (0<ω<5，ab ≠0)的图象的一条对称轴方程是x ＝π4ω，函数f ′(x )的图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π8，0，则f (x )的最小正周期是________.(1)B (2)π由题设，有π()4f ω＝±a 2＋b 2，即22(a ＋b )＝±a 2＋b 2，由此得到a ＝b .又()08f π'=，所以a ω(cos sin )88πωπω-＝0，从而tanωπ8＝1，ωπ8＝k π＋π4，k ∈Z ，即ω＝8k ＋2，k ∈Z ，而0<ω<5，所以ω＝2， 于是f (x )＝a (sin 2x ＋cos 2x )＝2a sin (2)4x π+故f(x)的最小正周期是π.题型八 三角函数的值域与最值的求法及应用例3(1)求函数y ＝2sin x cos 2x1＋sin x的值域；(2)求函数y ＝sin x cos x ＋sin x ＋cos x 的最值；(3)若函数f (x )＝1cos 24sin()2x x π++－a sin x 2·cos(π－x2)的最大值为2，试确定常数a 的值．【解析】22sin (1sin )11sin x x x-+（）y=＝2sin x (1－sin x )＝2sin x －2sin 2x ＝－2(sin x －12)2＋12.∵1＋sin x ≠0，∴－1＜sin x ≤1.∴－4＜y ≤12.故函数y ＝2sin x cos 2x 1＋sin x的值域为(－4，12]．(2)令t ＝sin x ＋cos x ，则sin x cos x ＝t 2－12，且|t |≤ 2.∴y ＝12(t 2－1)＋t ＝12(t ＋1)2－1，∴当t ＝－1时，y min ＝－1；当t ＝2时，y max ＝2＋12.(3)f (x )＝2cos 2x 4cos x ＋a sin x 2cos x 2＝12cos x ＋a2sin x＝14＋a 24sin(x ＋φ)，(其中tan φ＝1a)由已知得14＋a 24＝2，解得a ＝±15.【点评】求三角函数的最值问题，主要有以下几种题型及对应解法． (1)y ＝a sin x ＋b cos x 型，可引用辅角化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中tan φ＝ba)．(2)y ＝a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 型，可通过降次整理化为y ＝A sin2x ＋B cos2x ＋C . (3)y ＝a sin 2x ＋b cos x ＋c 型，可换元转化为二次函数． (4)sin x cos x 与sin x ±cos x 同时存在型，可换元转化．(5)y ＝a sin x ＋b c sin x ＋d (或y ＝a cos x ＋b c cos x ＋d )型，可用分离常数法或由|sin x |≤1(或|cos x |≤1)来解决，也可化为真分式去求解．(6)y ＝a sin x ＋bc cos x ＋d型，可用斜率公式来解决． 例4已知函数f (x )＝sin2x ＋a cos 2x (a ∈R ，a 为常数)，且π4是函数y ＝f (x )的一个零点．(1)求a 的值，并求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈[0，π2]时，求函数f (x )的最大值和最小值及相应的x 的值．【解析】(1)由π4是y ＝f (x )的零点得 f (π4)＝sin π2＋a cos 2π4＝0，求解a ＝－2，则f (x )＝sin2x －2cos 2x ＝sin2x －cos2x －1＝2sin(2x －π4)－1，故f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)由x ∈[0，π2]得2x －π4∈[－π4，3π4]，则－22≤sin(2x －π4)≤1，因此－2≤2sin(2x －π4)－1≤2－1，故当x ＝0时，f (x )取最小值－2，当x ＝3π8时，f (x )取最大值2－1.设a ∈R ，f (x )＝cos x (a sin x －cos x )＋cos 2(π2－x )满足f (－π3)＝f (0)，求函数f (x )在[π4，11π24]上的最大值和最小值．【解析】f (x )＝a sin x cos x －cos 2x ＋sin 2x ＝a2sin2x －cos2x由f (－π3)＝f (0)得－32·a 2＋12＝－1，解得a ＝2 3.∴f (x )＝3sin2x －cos2x ＝2sin(2x －π6)当x ∈[π4，π3]时，2x －π6∈[π3，π2]，f (x )为增函数．当x ∈[π3，11π24]时，2x －π6∈[π2，3π4]，f (x )为减函数．∴f (x )在[π4，11π24]上的最大值为f (π3)＝2 又∵f (π4)＝3，f (11π24)＝ 2∴f (x )在[π4，11π24]上的最小值为f (11π24)＝ 2.题型九 分类讨论及方程思想在三角函数中的应用例题：已知函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b 的定义域为⎣⎡⎦⎤0，π2，函数的最大值为1，最小值为－5，(1)求a 和b 的值.(2)若 a ＞0，设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )＞0，求g (x )的单调区间． 点评 ①求出2x ＋π6的范围，求出sin(2x ＋π6)的值域.②系数a 的正、负影响着f (x )的值，因而要分a >0，a <0两类讨论.③根据a >0或a <0求f (x )的最值，列方程组求解. 解 (1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6.∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]．∴f (x )∈[b,3a ＋b ]， 又∵－5≤f (x )≤1，∴b ＝－5,3a ＋b ＝1， 因此a ＝2，b ＝－5.(2)由(1)得a ＝2，b ＝－5，∴f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )＞0得g (x )＞1，∴4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1＞1， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＞12，∴2k π＋π6＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z ， 其中当2k π＋π6＜2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π＜x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π6，k ∈Z . 又∵当2k π＋π2＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6＜x ＜k π＋π3，k ∈Z .三角函数的图象与性质练习一一、选择题1．对于函数f (x )＝2sin x cos x ，下列选项正确的是( ) A ．f (x )在(π4，π2)上是递增的 B ．f (x )的图象关于原点对称C ．f (x )的最小正周期为2πD ．f (x )的最大值为2【解析】f (x )＝sin2xf (x )在(π4，π2)上是递减的，A 错； f (x )的最小正周期为π，C 错；f (x )的最大值为1，D 错；选B.2．若α、β∈(－π2，π2)，那么“α＜β”是“tan α＜tan β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【解析】α、β∈(－π2，π2)，tan x 在此区间上单调递增．当α＜β时，tan α＜tan β；当tan α＜tan β时，α＜β.故选C.3．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为π，将该函数的图象向左平移π6个单位后，得到的图象对应的函数为奇函数，则f (x )的图象( )A ．关于点(π12，0)对称B ．关于直线x ＝5π12对称C ．关于点(5π12，0)对称D ．关于直线x ＝π12对称【解析】由已知得ω＝2，则f (x )＝sin(2x ＋φ)设平移后的函数为g (x )，则g (x )＝sin(2x ＋π3＋φ)(|φ|<π2)且为奇函数∴φ＝－π3，f (x )＝sin(2x －π3)∴图象关于直线x ＝5π12对称，选B.4．已知f (x )＝sin x ，x ∈R ，g (x )的图象与f (x )的图象关于点(π4，0)对称，则在区间[0,2π]上满足f (x )≤g (x )的x 的取值范围是( )A ．[π4，3π4]B ．[3π4，7π4]C ．[π2，3π2]D ．[3π4，3π2]【解析】设(x ，y )为g (x )的图象上任意一点，则其关于点(π4，0)对称的点为(π2－x ，－y )，由题意知该点必在f (x )的图象上．∴－y ＝sin(π2－x )，即g (x )＝－sin(π2－x )＝－cos x ，由已知得sin x ≤－cos x ⇒sin x ＋cos x＝2sin(x ＋π4)≤0又x ∈[0,2π] ∴3π4≤x ≤7π4.5．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)，g (x )＝3cos(ωx ＋φ)，若对任意x ∈R ，都有f (π3＋x )＝f (π3－x )，则g (π3)＝____. 【解析】由f (π3＋x )＝f (π3－x )，知y ＝f (x )关于直线x ＝π3对称，∴sin(ω·π3＋φ)＝±1.∴g (π3)＝3cos(ω·π3＋φ)＝31－sin 2ω·π3＋φ＝0.6．设函数f (x )＝2sin(πx 2＋π5)，若对任意x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)恒成立，则|x 2－x 1|的最小值为____.【解析】由“f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)恒成立”，可得f (x 1)、f (x 2)分别是f (x )的最小值、最大值．∴|x 2－x 1|的最小值为函数f (x )的半周期，又T ＝2ππ2＝4.∴|x 2－x 1|min ＝2.7．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，f ′(x )是f (x )的导函数． (1)求f ′(x )及函数y ＝f ′(x )的最小正周期；(2)当x ∈[0，π2]时，求函数F (x )＝f (x )f ′(x )＋f 2(x )的值域．【解析】(1)f ′(x )＝cos x －sin x ＝－2sin(x －π4)∴y ＝f ′(x )的最小正周期为T ＝2π.(2)F (x )＝cos 2x －sin 2x ＋1＋2sin x cos x＝1＋sin2x ＋cos2x ＝1＋2sin(2x ＋π4)∵x ∈[0，π2]，∴2x ＋π4∈[π4，5π4] ∴sin(2x ＋π4)∈[－22，1]，∴函数F (x )的值域为[0,1＋2]．8．设函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )－1，将函数f (x )的图象向左平移α个单位，得到函数y ＝g (x )的图象．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若0＜α＜π2，且g (x )是偶函数，求α的值．【解析】(1)∵f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x －1＝sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π4)，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)g (x )＝f (x ＋α)＝2sin[2(x ＋α)＋π4]＝2sin(2x ＋2α＋π4)，g (x )是偶函数，则g (0)＝±2＝2sin(2α＋π4)，∴2α＋π4＝k π＋π2，k ∈Z .α＝k π2＋π8(k ∈Z )，∵ 0＜α＜π2，∴α＝π8.三角函数的图象与性质练习二1.函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3图象的对称轴方程可以为 ( )A.x ＝5π12B.x ＝π3C.x ＝π6D .x ＝π12解析 令2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π12(k ∈Z )，令k ＝0得该函数的一条对称轴为x ＝π12.本题也可用代入验证法来解．答案 D 2.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一个对称中心是( ) A.(－π，0)B.⎝⎛⎭⎫－3π4，0C.⎝⎛⎭⎫3π2，0D.⎝⎛⎭⎫π2，03.函数y ＝3cos(x ＋φ)＋2的图象关于直线x ＝π4对称，则φ的可能取值是( )A.3π4B.－3π4C.π4D.π2二、填空题 4.函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为____(2k ,2k ]3πππ+(k ∈Z )_________.5.已知函数f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同.若x ∈[0，π2]，则f (x )的取值范围是____32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，3___________. 4．函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，那么ω等于________．解析 因为f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，所以2sin π4ω＝3，且0＜π4ω＜π2，因此ω＝43. 答案 436.关于函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 (x ∈R )，有下列命题： ①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2必是π的整数倍；②y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6； ③y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π6，0对称；④y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称.其中正确命题的序号是___________.②③解析 函数f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期T ＝π，由相邻两个零点的横坐标间的距离是T 2＝π2知①错．利用诱导公式得f (x )＝4cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝ 4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，知②正确．由于曲线f (x )与x 轴的每个交点都是它的对称中心，将x ＝－π6代入得f (x )＝4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝⎛⎭⎪⎫－π6＋π3＝4sin 0＝0， 因此点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0是f (x )图象的一个对称中心，故命题③正确．曲线f (x )的对称轴必经过图象的最高点或最低点，且与y 轴平行，而x ＝－π6时y ＝0，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0不是最高点也不是最低点，故直线x ＝－π6不是图象的对称轴，因此命题④不正确． 答案 ②③三、解答题7.设函数f (x )＝sin ()2x ＋φ (－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间. 解 (1)－3π4(2)由(1)得：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4， 令－π2＋2k π≤2x －3π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，可解得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ，因此y ＝f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z .8.(1)求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 (－π6<x <π6)的值域； (2)求函数y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域.解 (1)∵－π6<x <π6，∴0<2x ＋π3<2π3，∴0<sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1， ∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的值域为(0,2]. (2)y ＝2cos 2x ＋5sin x －4＝2(1－sin 2x )＋5sin x －4＝－2sin 2x ＋5sin x －2 ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －542＋98. ∴当sin x ＝1时，y max ＝1，当sin x ＝－1时，y min ＝－9， ∴y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为[－9,1].三角函数的图象与性质练习三一、选择题1.定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2 时，f (x )＝sin x ，则 f ⎝⎛⎭⎫5π3的值为 ( ) A.－12B.12C.－32D.322.已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23B .32C.2D.3 3.函数f (x )＝cos 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋x 是( )A.非奇非偶函数B.仅有最小值的奇函数C.仅有最大值的偶函数D.有最大值又有最小值的偶函数 二、填空题4.设定义在区间(0，π2)上的函数y ＝6cos x 的图象与y ＝5tan x 的图象交于点P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为P 1，直线PP 1与函数y ＝sin x 的图象交于点P 2，则线段P 1P 2的长为____23_______.5.函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π4上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，那么ω＝____43_______.解析 因为f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在⎣⎡⎦⎤0，π4上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，所以2sin π4ω＝3，且0＜π4ω＜π2，因此ω＝43.答案 436.给出下列命题：①函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫23x ＋π2是奇函数； ②存在实数α，使得sin α＋cos α＝32； ③若α、β是第一象限角且α<β，则tan α<tan β；④x ＝π8是函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π4的一条对称轴； ⑤函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象关于点⎝⎛⎭⎫π12，0成中心对称图形. 其中正确的序号为___________. 三、解答题7.若函数f (x )＝sin 2ax －sin ax ·cos ax (a >0)的图象与直线y ＝m 相切，并且切点的横坐标依次成公差为π2的等差数列. (1)求m 的值；(2)若点A (x 0，y 0)是y ＝f (x )图象的对称中心，且x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，求点A 的坐标. 7.解 (1)f (x )＝12(1－cos 2ax )－12sin 2ax＝－12(sin 2ax ＋cos 2ax )＋12＝－22sin ⎝⎛⎭⎫2ax ＋π4＋12. ∵y ＝f (x )的图象与y ＝m 相切， ∴m 为f (x )的最大值或最小值， 即m ＝1＋22或m ＝1－22.(2)∵切点的横坐标依次成公差为π2的等差数列，∴f (x )的最小正周期为π2.T ＝2π|2a |＝π2，a >0，∴a ＝2，即f (x )＝－22sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4＋12. 由题意知sin ⎝⎛⎭⎫4x 0＋π4＝0，则4x 0＋π4＝k π (k ∈Z )，∴x 0＝k π4－π16 (k ∈Z ). 由0≤k π4－π16≤π2(k ∈Z )得k ＝1或2，因此点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫316π，12，⎝⎛⎭⎫716π，12. 三角函数的图象与性质练习四一、选择题1．函数f (x )＝2sin x cos x 是( )．A ．最小正周期为2 π的奇函数B ．最小正周期为2 π的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数 解析 f (x )＝2sin x cos x ＝sin 2x .∴f (x )是最小正周期为π的奇函数． 答案 C2．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )．A ．[－1,1] B.⎣⎡⎦⎤－54，－1 C.⎣⎡⎦⎤－54，1 D.⎣⎡⎦⎤－1，54 解析 (数形结合法)y ＝sin 2x ＋sin x －1，令sin x ＝t ，则有y ＝t 2＋t －1，t ∈[－1,1]，画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当t ＝－12及t ＝1时，函数取最值，代入y ＝t 2＋t －1可得y ∈⎣⎡⎦⎤－54，1. 答案 C3．若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝( )． A.23 B.32C ．2D ．3 解析 由题意知f (x )的一条对称轴为x ＝π3，和它相邻的一个对称中心为原点，则f (x )的周期T ＝4π3，从而ω＝32. 答案 B4．函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x 的最小正周期为( )． A ．2π B.3π2 C ．π D.π2解析 依题意，得f (x )＝cos x ＋3sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6.故最小正周期为2π. 答案 A5．下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数的是( )．A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 解析 (筛选法)∵函数的周期为π.∴排除C 、D ，∵函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上是减函数，∴排除B. 答案 A【点评】 本题采用了筛选法，体现了筛选法的方便、快捷、准确性，在解选择题时应注意应用.6．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2(x ∈R )，下面结论错误的是( )． A ．函数f (x )的最小正周期为2π B ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称 D ．函数f (x )是奇函数解析 ∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos x ，∴T ＝2π，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，图象关于y 轴对称，为偶函数． 答案 D二、 填空题 7.y =－|sin （x +4π）|的单调增区间为___［k π+π4，k π+3π4］（k ∈Z ）_____. 8.要得到⎪⎭⎫⎝⎛-=42cos 3πx y 的图象，可以将函数y = 3 sin2 x 的图象向左平移_8π__单位. 9.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为____. 10函数f(x)02x π≤≤) 的值域是_____[-1,0]___ __.11.已知()sin (0)363f x x f f ωωπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，且()f x 在区间63ππ⎛⎫⎪⎝⎭，有最小值，无最大值，则ω＝__________．14312、给出下面的3个命题：（1）函数|)32sin(|π+=x y 的最小正周期是2π；（2）函数)23sin(π-=x y 在区间)23,[ππ上单调递增；（3）45π=x 是函数)252sin(π+=x y 的图象的一条对称轴.其中正确命题的序号是 ．13．若函数f (x )＝cos ωx cos ⎝⎛⎭⎫π2－ωx (ω＞0)的最小正周期为π，则ω的值为________．解析 f (x )＝cos ωx cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－ωx ＝cos ωx sin ωx ＝12sin 2ωx ，∴T ＝2π2ω＝π.∴ω＝1. 答案 114．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是______． 解析 由2x ＋π4＝k π，k ∈Z ，得：x ＝k π2－π8，k ∈Z ， 故交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z )． 答案⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z ) 15．已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋3cos(x ＋θ)⎝⎛⎭⎫θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2是偶函数，则θ的值为________． 解析 (回顾检验法)据已知可得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋θ＋π3，若函数为偶函数，则必有θ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，又由于θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，故有θ＋π3＝π2，解得θ＝π6，经代入检验符合题意．答案 π6三、解答题16．已知f (x )＝sin x ＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－x . (1)若α∈[0，π]，且sin 2α＝13，求f (α)的值； (2)若x ∈[0，π]，求f (x )的单调递增区间． 解 (1)由题设知f (α)＝sin α＋cos α.∵sin 2α＝13＝2sin α·cos α＞0，α∈[0，π]，∴α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＋cos α＞0. 由(sin α＋cos α)2＝1＋2sin α·cos α＝43，得sin α＋cos α＝233，∴f (α)＝23 3.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，又0≤x ≤π，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π4. 17．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ； (2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．解 (1)令2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π＋π4，k ∈Z ，又－π＜φ＜0，则－54＜k ＜－14，k ∈Z ，∴k ＝－1，则φ＝－3π4.(2)由(1)得：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4， 令－π2＋2k π≤2x －3π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，可解得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ，因此y ＝f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z . 18、设函数2()sin()2cos 1468x xf x πππ=--+．（1）求()f x 的最小正周期． （2）若函数()y g x =与()y f x =的图像关于直线1x =对称，求当4[0,]3x ∈时()y g x =的最大值．解：（Ⅰ）()f x =sincoscossincos46464x x x πππππ--3cos 424x x ππ- sin()43x ππ- 故()f x 的最小正周期为T =24ππ=8(Ⅱ)解法一：在()y g x =的图象上任取一点(,())x g x ，它关于1x =的对称点(2,())x g x - . 由题设条件，点(2,())x g x -在()y f x =的图象上，从而()(2)sin[(2)]43g x f x x ππ=-=--sin[]243x πππ--)43x ππ+ 当304x ≤≤时，23433x ππππ≤+≤，因此()y g x =在区间4[0,]3上的最大值为max 32g π==解法二：因区间4[0,]3关于x = 1的对称区间为2[,2]3，且()y g x =与()y f x =的图象关于 x = 1对称，故()y g x =在4[0,]3上的最大值为()y f x =在2[,2]3上的最大值 由（Ⅰ）知()f xsin()43x ππ-当223x ≤≤时，6436ππππ-≤-≤因此()y g x =在4[0,]3上的最大值为max 6g π==. 19、设函数()f x =·a b ，其中向量(cos2)m x =，a ，(1sin 21)x =+，b ，x ∈R ，且()y f x =的图象经过点π24⎛⎫ ⎪⎝⎭，．（1）求实数m 的值； （2）求函数()f x 的最小值及此时x 值的集合． (3)求函数的单调区间； (4)函数图象沿向量平移得到x y 2sin 2=的图象,求向量。
高考数学一轮复习 3.4 函数的图像与图像变换教案 新课标
高考数学一轮复习 3.4 函数的图像与图像变换教案 新课标教学目标：1．熟练掌握基本函数的图象；2．能正确地从函数的图象特征去讨论函数的主要性质； 3．能够正确运用数形结合的思想方法解题．（一）主要知识：1．作图方法：描点法和利用基本函数图象变换作图； 2．三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等； 3．识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面． （二）主要方法： 1．平移变换：（1）水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；（2）竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到．2．对称变换：（1）函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到；（2）函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到；（3）函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到；（4）函数1()y fx -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到．3．翻折变换：（1）函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；（2）函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到．4．伸缩变换：（1）函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到； （2）函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的1a倍得到． 5.函数图象的对称性：对于函数)(x f y =，若对定义域内的任意x 都有①)()(x a f x a f +=-（或))2()(x a f x f -=，则)(x f 的图象关于直线a x =对称； ②b x a f x a f 2)()(=++-（或)2)2()(b x a f x f =-+，，则)(x f 的图象关于点),(b a P 对称.（三）例题分析：题型一 函数图象的判断例1(1).当a ≠0时，y =ax +b 和y =b ax的图象只可能是( )解析：∵y =b ax=(b a )x,∴这是以b a为底的指数函数.仔细观察题目中的直线方程可知：在选择支B 中a >0,b >1,∴b a >1,C 中a ＜0,b >1,∴0＜b a ＜1,D 中a ＜0,0＜b ＜1,∴b a>1.故选择支B 、C 、D 均与指数函数y =(b a )x的图象不符合.答案：A(2)函数()y f x =与()y g x =的图像如下图：则函数()()y f x g x =⋅的图像可能是（ A ）例2(1)函数y =1－11-x 的图象是（ ）解析一：该题考查对f （x ）=x 1图象以及对坐标平移公式的理解，将函数y =x1的图形变形到y =11-x ，即向右平移一个单位，再变形到y =－11-x 即将前面图形沿x 轴翻转，再变形到y =－11-x +1，从而得到答案B 。
高考数学一轮总复习 第3章 第4节 三角函数的图像与性
ω
ω
拓展延伸
1. 三角函数的周期 （1）若T是函数y＝f（x）的周期，则必须是对于定义域内的每一个x值
都具有f（x＋T）＝f（x）（T≠0）. （2）周期和最小正周期的区别：周期函数不一定有最小正周期（如y＝
c（c为常数），任何非零实数都是它的周期，显然无最小正周期）， 而三角函数的周期一般指最小正周期.
选 B.
3. 已知函数 f（x）＝sinx－π2（x∈R），下面结论错误的是（
）
A. 函数 f（x）的最小正周期为 2π
B. 函数 f（x）在区间0，π2上是增函数
C. 函数 f（x）的图像关于直线 x＝0 对称 D. 函数 f（x）是奇函数
解析： ∵y＝sinx－π2＝－cos x，∴T＝2π，在0，π2上是增函数，图 像关于 y 轴对称，为偶函数.选 D
解析： （1）错误.正弦函数y＝sin x在 2kπ－π2，2kπ＋π2（k∈Z）内单调 递增，并不是在第一、四象限内递增.
（2）错误.如常数函数是周期函数但无最小正周期.
（3）正确.由cos（－x）＝cos x可知余弦函数在定义域内是偶函数. π
（4）错误.由y＝sin x的图像可知，当x＝2kπ＋ 2 ，k∈Z时 y＝sin x取 得最大值.
最新考纲
基础梳理
第
自主测评
Байду номын сангаас
四
节
典例研析
特色栏目
备课优选
基础梳理
1. “五点法”作图原理
在确定正弦函数y＝sinx在[0，2π]上的图像的形状时，起关键作用的五个 点是（0，0）、 π2，1 、（π， 0 ）、32π，－1 、（2π，0）. 在确定
余弦函数 y＝cosx在[0，2π]上的图像的形状时，起关键作用的五个点是
高考数学冲刺—05—函数的对称性周期性及图像—学生版
一、函数的对称性1．一个函数)(x f y =图象本身的对称性：①轴对称：()()()f a x f b x f x +=-⇔的图象关于直线()()22a x b x a bx ++-+==对称． ②中心对称：()()2()f a x f b x c f x ++-=⇔的图象关于点(,)2a bc +对称．注：记忆窍门：相加无x 为对称，相加的结果除以2．2．两个函数的图象对称性：函数()y f a x =+与()y f b x =-图象关于直线2b ax -=对称． 注：记忆窍门：通过作图一个特殊函数图像观察得到，比如f (x )=x ．3．函数的对称性常见的结论(1)函数y ＝f (x )关于x ＝a ＋b2对称⇔f (a ＋x )＝f (b －x )⇔f (x )＝f (b ＋a －x )．特殊：函数y ＝f (x )关于x ＝a 对称⇔f (a ＋x )＝f (a －x )⇔f (x )＝f (2a －x )； 函数y ＝f (x )关于x ＝0对称⇔f (x )＝f (－x )(即为偶函数)．(2)函数y ＝f (x )关于点(a ，b )对称⇔f (a ＋x )＋f (a －x )＝2b ⇔f (2a ＋x )＋f (－x )＝2b . 特殊：函数y ＝f (x )关于点(a ，0)对称⇔f (a ＋x )＋f (a －x )＝0⇔f (2a ＋x )＋f (－x )＝0； 函数y ＝f (x )关于(0，0)对称⇔f (x )＋f (－x )＝0(即为奇函数)． (3)y ＝f (x ＋a )是偶函数⇔函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称； y ＝f (x ＋a )是奇函数⇔函数y ＝f (x )关于点(a ，0)对称．二、函数的周期性1．周期函数的定义对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝函数的对称性周期性及图像知识梳理(－a ，0) y=f (x+a )y=f (b －x )y=f (x ) 2b a x -=(b ，0)f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．2．常见的几个结论周期函数y＝f(x)满足：(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2a；(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a；(3)若f(x＋a)＝－1f（x），则函数的周期为2a；(4)函数f(x)关于直线x＝a与x＝b对称，那么函数f(x)的周期为2|b－a|；(5)若函数f(x)关于点(a，0)对称，又关于点(b，0)对称，则函数f(x)的周期是2|b－a|；(6)若函数f(x)关于直线x＝a对称，又关于点(b，0)对称，函数f(x)的周期是4|b－a|；(7)若函数f(x)是偶函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为2a；(8)若函数f(x)是奇函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为4a.三、函数的图像1．图象的变换(1)平移变换①y＝f(x±a)(a>0)的图象，可由y＝f(x)的图象沿x轴方向向左(＋a)或向右(－a)平移a个单位得到；②y＝f(x)±b(b>0)的图象，可由y＝f(x)的图象沿y轴方向向上(＋b)或向下(－b)平移b个单位得到．(2)对称变换①y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称；②y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于x轴对称；③y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．(3)伸缩变换①y＝kf(x)(k>0)的图象，可由y＝f(x)的图象上每一个点的纵坐标伸长(k>1)或缩短(0<k<1)为原来的k倍而得到；②y＝f(kx)(k>0)的图象，可由y＝f(x)的图象上每一个点的横坐标伸长(0<k<1)或缩短(k>1)为原来的1k而得到．(4)翻折变换①要得到y＝|f(x)|的图象，可先画出y＝f(x)的图象，然后“上不动，下翻上”即可得到；②由于y＝f(|x|)是偶函数，要得到y＝f(|x|)的图象，可先画出y＝f(x)的图象，然后“右不动，左去掉，右翻左”即可得到．2．辨识函数图象的两种方法(1)直接根据函数解析式作出函数图象，或者是根据图象变换作出函数的图象；(2)利用间接法，排除、筛选错误与正确的选项，可以从如下几个方面入手：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从函数的奇偶性，判断图象的对称性：如奇函数在对称的区间上单调性一致，偶函数在对称的区间上单调性相反；④从函数的周期性，判断图象的循环往复； ⑤从特殊点出发，排除不符合要求的选项． 灵活应用上述方法，可以很快判断出函数的图象．一、函数的对称性【例1】1≤x ，1)(2-=x x f ，且函数)(x f 的图像关于)0,1(对称，则)(x f 的解析式为_____．【例2】1≤x ，1)(2-=x x f ，且函数)(x f 的图像关于1=x 对称，则)(x f 的解析式为_____．【例3】1)(2-=x x f ，)(x g 与)(x f 关于2=x 对称，则)(x g 解析式为_____．【例4】1)(2-=x x f ，)(x g 与)(x f 关于)4,3(对称，则)(x g 解析式为_______．【例5】【2012年闸北区一模文理第5题】若函数的图像与对数函数的图像关于直线对称，则的解析式为_____．【例6】（闵行区2016届高三上学期期末10）若函数()2x af x -=()a ∈R 满足，且在上单调递增，则实数的最小值等于_____．)(x f x y 4log =0=+y x )(x f =)(x f (1)(1)f x f x +=-()f x [,)m +∞m 例题解析【例7】设函数的定义域为，若对于任意、，当时，恒有，则称点为函数图像的对称中心．研究函数的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【例8】（2010一模卢湾区22）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．将奇函数的图像关于原点（即(0,0)）对称这一性质进行拓广，有下面的结论：①函数()y f x =满足()()2f a x f a x b ++-=的充要条件是()y f x =的图像关于点(,)a b 成中心对称．②函数()y f x =满足()()()F x f x a f a =+-为奇函数的充要条件是()y f x =的图像关于点(,())a f a 成中心对称（注：若a 不属于x 的定义域时，则()f a 不存在）． 利用上述结论完成下列各题：（1）写出函数()tan f x x =的图像的对称中心的坐标，并加以证明．（2）已知m （1m ≠-）为实数，试问函数()1x mf x x +=-的图像是否关于某一点成中心对称？若是，求出对称中心的坐标并说明理由；若不是，请说明理由．（3）若函数()2()|||3|43f x x x t x ⎛⎫=-++-- ⎪⎝⎭的图像关于点22,33f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成中心对称，求t 的值．【巩固训练】1．若函数()y f x =的图像与1y x x=+的图像关于1x =轴对称，则()f x =________．2．已知()1a xf x x a -=--图像的对称中心是（3，－1），则实数a 等于 ．3．（1）函数()y f k x =-和函数()y f x k =-的图象关于直线对称； （2）函数()y f k x =-和函数()y f k x =+的图象关于直线对称．)(x f y =D 1x D x ∈2a x x 221=+b x f x f 2)()(21=+),(b a )(x f y =3sin )(-+=x x x f π⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛20144027201440262014220141f f f f Λ40274027-80548054-4．已知函数)(x f 定义域为R ，下列命题正确的是_____． （1）)(x f y =为偶函数，则)2(+=x f y 的图像关于y 轴对称； （2）)2(+=x f y 为偶函数，则)(x f y =的图像关于直线2=x 对称； （3）)2()2(x f x f -=-，则)(x f y =关于直线2=x 对称； （4）)2(-=x f y 和)2(x f y -=的图像关于直线2=x 对称．5．【2012年静安区一模文科第13题】已知函数的图像关于直线对称，则的值是_____．6．（2011一模嘉定理23）设1>a ，函数)(x f 的图像与函数2|2|24--⋅--=x x a ay 的图像关于点)2,1(A 对称．（1）求函数)(x f 的解析式；（2）若关于x 的方程m x f =)(有两个不同的正数解，求实数m 的取值范围；（3）设函数)()(x f x g -=，),2[∞+-∈x ，)(x g 满足如下性质：若存在最大（小）值，则最大（小）值与a 无关．试求a 的取值范围．二、函数的周期性【例9】已知奇函数)(x f 满足条件)()3(x f x f =+，当)1,0(∈x 时，13)(-=xx f ，则)36(log 31f ＝_____．【例10】)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)(x f 关于21=x 对称，则=+++)100()1()0(f f f Λ_____．【例11】若)2(x f y =的图像关于直线2a x =和)(2a b bx >=对称，则)(x f 的一个周期为（ ）a x x x f -++=1)(1=x aA ．2b a +B ．2()b a +C ．2ab - D ．)(4a b -【例12】定义在R 上的函数)(x f 满足⎩⎨⎧>---≤-=0),2()1(0),1(log )(2x x f x f x x x f ，则)2014(f 的值为____．【例13】设f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有f (x －2)＝f (x ＋2)，且当x ∈[－2，0]时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－1.若在区间(－2，6]内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >1)恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(2，＋∞)C ．(1，34)D ．(34，2)【例14】【2012年长宁区区一模文理第13题】已知函数的定义域为，且对任意，都有．若，则______．【例15】（嘉定区2013届高三一模理科18）设函数)(x f y =是定义在R 上以1为周期的函数，若函数x x f x g 2)()(-=在区间]3,2[上的值域为]6,2[-，则)(x g 在区间]12,12[-上的值域为（ ）A ．]6,2[-B ．]28,24[-C ．]32,22[-D ．]34,20[-【例16】对于函数()y f x =，有下列五个命题：①若()y f x =存在反函数，且与反函数图象有公共点，则公共点一定在直线y x =上； ②若()y f x =在R 上有定义，则(||)y f x =一定是偶函数； ③若()y f x =是偶函数，且()0f x =有解，则解的个数一定是偶数；④若(0)T T ≠是函数()y f x =的周期，则()nT n N ∈，也是函数()y f x =的周期； ⑤(0)0f =是函数()y f x =为奇函数的充分不必要条件． 从中任意抽取一个，恰好是真命题的概率为（）A ．15 B ．25 C ．35 D ．45【例17】已知实数0,0a b >>，对于定义在R 上的函数)(x f ，有下述命题：①“)(x f 是奇函数”的充要条件是“函数()f x a -的图像关于点(,0)A a 对称”；()f x R x Z ∈()()()11f x f x f x =-++()()12,13f f -==()()20122012f f +-=②“)(x f 是偶函数”的充要条件是“函数()f x a -的图像关于直线x a =对称”； ③“2a 是()f x 的一个周期”的充要条件是“对任意的R x ∈，都有()()f x a f x -=-”； ④ “函数()y f x a =-与()y f b x =-的图像关于y 轴对称”的充要条件是“a b =”． 其中正确命题的序号是（ ） A ．①② B ．①②③C ．①②④D ．①②③④【例18】【2012年青浦区一模文理第22题】(本题满分16分) 本题共有2个小题，第1小题满分10分，第2小题满分6分．定义在R 上的奇函数有最小正周期4，且时，．（1）判断并证明在上的单调性，并求在上的解析式； （2）当为何值时，关于的方程在上有实数解？【巩固训练】1．（奉贤区2013届高三一模理9）已知函数sin ,0,()(1),0,x x f x f x x π≤⎧=⎨->⎩那么)65(f 的值为_____．2．【2010一模崇明县10】定义在R 上的函数)(x f 满足⎩⎨⎧---=+)1()()4(log )1(2x f x f x x f 0,0,>≤x x ，计算)2010(f 的值等于_____．3．【2012年宝山区一模文理第11题】设是定义在R 上的奇函数，且满足，，则实数的取值范围是____．4．【2010一模宝山区12】已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，又是周期为2的周期函数，当)1,0[∈x 时，12)(-=x x f ，则0.5f (log 6)的值为_____．()f x ()0,2x ∈142)(+=x x x f ()f x ()0,2()f x []2,2-λx ()f x λ=[]6,2()f x ()()3f x f x +=()()2311,21m f f m ->=+m5．（2014届高三1月一模文13)已知定义在R 上的函数对任意的都满足()()x f x f -=+2，当11x -≤<时，，则[]4,2∈x 时的解析式是____．6．若函数()y f x =满足：对于任意的x ∈R 有(1)()f x f x +=-成立，且当[)1,2x ∈时，()21f x x =-，则(1)(2)(3)(2006)f f f f ++++=L _____．7．（11·上海理13）设()g x 是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数()()f x x g x =+在区间[3,4]上的值域为[2,5]-，则()f x 在区间[10,10]-上的值域为____．8．（普陀区2014届高三1月一模理14）已知函数⎩⎨⎧<+≥-=0),1(0,2)(x x f x a x f x ，若方程0)(=+x x f 有且仅有两个解，则实数a 的取值范围是_____．9．（青浦区2013届高三一模23）(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.我们把定义在R 上，且满足)()(x af T x f =+（其中常数T a ,满足0,0,1≠≠≠T a a ）的函数叫做似周期函数．（1）若某个似周期函数)(x f y =满足1=T 且图像关于直线1=x 对称．求证：函数)(x f 是偶函数； （2）当2,1==a T 时，某个似周期函数在10<≤x 时的解析式为)1()(x x x f -=，求函数)(x f y =，[)Z n n n x ∈+∈,1,的解析式；（3）对于确定的T x T ≤<>00且时，xx f 3)(=，试研究似周期函数函数)(x f y =在区间),0(+∞上是否可能是单调函数？若可能，求出a 的取值范围；若不可能，请说明理由．()y f x =x 3()f x x =()y f x =三、函数的图像（一）基本函数图像及应用【例19】分别画出以下函数的图像：（1）2||y x x =-；（2）2||y x x =-；（3）2|2|3y x x =+-；（4）lg |1|y x =-；（5）2(1)3y x -=-+；（6）()2lg 2y x =-．【例20】（2015崇明一模理16文16）已知圆221x y +=及以下三个函数：①3()f x x =；②()cos f x x x =；③()tan f x x =．其中图像能等分圆的面积的函数个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0【例21】(1)若直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围是__________； (2)关于x 的方程22||90x a x a ++-=()a R ∈有唯一的实数根，则a =_____．【例22】若二次函数()y f x =对一切R x ∈恒有2224()245x x f x x x -+≤≤-+成立，且(5)27f =，则(11)f =____．【例23】（2010一模长宁区12）设56)(|,1|)(221-+-=-=x x x f x x f ,函数⎩⎨⎧<≥=)()(),()()(),()(212211x f x f x f x f x f x f x g ,若方程a x g =)(有四个不同的实数解,则实数a 的取值范围是_____．【例24】（2010一模普陀区13）对任意的120x x <<，若函数12()f x a x x b x x =-+-的大致图像为如图所示的一条折线（两侧的射线均平行于x 轴），试写出a 、b 应满足的条件为_____．【例25】（2015奉贤一模理18文18）设),(b a P 是函数3)(x x f =图像上任意一点，则下列各点中一定．．在该图像上的是（ ）A ．),(1b a P -B ．),(2b a P --C ．),(3b a P -D ．),(4b a P -【例26】（长宁区2013届高三一模理18）函数sin xy x=，(,0)(0,)x ππ∈-U 的图象可能是下列图象中的（）【例27】（虹口区2016届高三上学期期末18）设函数22,0,(),0,x x f x log x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程()f x a =有四个不同的解1234,,,,x x x x 且1234,x x x x <<<则3122341()x x x x x ++的取值范围是（ ）A ．()3,-+∞B ．(),3-∞C ．[)3,3- D ．(]3,3-【例28】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥，2221()(23)2f x x a x a a =-+--.若对任意x R ∈，(1)()f x f x -≤，则实数a 的取值范围（ ）A ．11,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B．66⎡-⎢⎣⎦ C ．11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D．33⎡-⎢⎣⎦【巩固训练】1．（2013一模宝山区7）将函数sin ()cos xf x x=的图像按向量n (a,0)=-r （0a >）平移，所得图像对应的函数为偶函数，则a 的最小值为_____．2．【2012年闸北区一模文理第7题】在平面直角坐标系中，我们称横、纵坐标都为整数的点为整点，则方程所表示的曲线上整点的个数为_____．3．（2011一模徐汇理13）设,a b R ∈且1b ≠．若函数1y a x b =-+的图像与直线y x =恒有公共点，则,a b 应满足的条件是____．4．【2012年青浦区一模文理第13题】已知平面区域，则平面区域的面积为_____．5．定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：①当[1,3)x ∈时，1,12,()3,23,x x f x x x -≤≤⎧=⎨-<<⎩②(3)3()f x f x =，设关于x 的函数()()1F x f x =-的零点从小到大依次记为31542,x ,,,,x x x x ⋅⋅⋅，则12345x x x x x ++++=______．6．已知函数若方程有四个不同的实数根,,,,则的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．7．【2012年青浦区一模文理第18题】已知椭圆及以下３个函数：①；②；③，其中函数图像能等分该椭圆面积的函数个数有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个8．已知函数()f x 满足：①对任意(0,)x ∈+∞，恒有(2)2()f x f x =成立；②当(1,2]x ∈时，()2f x x =-．若()(2020)f a f =，则满足条件的最小的正实数a 是 ．18222=+y x |)||(|4:221y x y x C +≤+1C 191622=+y x x x f =)(x x f sin )(=x x x f sin )(=9．已知函数11()||||f x x x x x =+--． （Ⅰ）指出11()||||f x x x x x =+--的基本性质（结论不要求证明）并作出函数()f x 的图像；（Ⅱ）关于x 的不等式2()2()6(7)0kf x kf x k -+->恒成立，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）关于x 的方程2()()0f x m f x n ++=（,m n R ∈）恰有6个不同的实数解，求n 的取值范围．（二）复合函数方程求根问题【例29】设定义域为函数，则关于的方程有7个不同实数解的充要条件是_________．【例30】（2015普陀一模理13）设a 为大于1的常数，函数⎩⎨⎧≤>=+00log )(1x ax x x f x a ，若关于x 的方程0)()(2=⋅-x f b x f 恰有三个不同的实数解，则实数b 的取值范围是_____．【例31】设函数2()2f x x x a =++，若函数(())y f f x =有且只有两个不同的零点，求实数a 的取值范围？【例32】已知函数y ＝f (x )和y ＝g (x )在[－2，2]的图像如下图所示，给出下列四个命题： ①方程f [g (x )]＝0有且仅有6个根； ②方程g [f (x )]＝0有且仅有3个根； ③方程f [f (x )]＝0有且仅有5个根； ④方程g [g (x )]＝0有且仅有4个根． 其中正确的命题个数是_____．R ⎩⎨⎧=≠-=101 1lg )(x x x x f x 0)()(2=++c x bf x f【例33】（2010一模崇明县14）已知函数1)(-=x x f ，关于x 的方程0)()(2=+-k x f x f ，给出下列四个命题：①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根. 其中真命题的序号为_____．【巩固训练】1．函数若关于的方程有五个不同的实数解,则的取值范围是________．2．已知函数是定义域为的偶函数. 当时，若关于的方程有且只有7个不同实数根，则实数的取值范围是_____．3．（普陀区2016届高三上学期期末18）若函数()()lg 1,1sin ,12x x f x a x x π⎧->⎪=⎨⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，关于x 的方程 ()()()210f x a f x a -++=，给出下列结论：①存在这样的实数a ，使得方程由3个不同的实根；②不存在这样的实数a ，使得方程由4个不同的实根；③存在这样的实数a ，使得方程由5个不同的实数根；④不存在这样的实数a ，使得方程由6个不同的实数根． 其中正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个（三）函数的零点【例34】（黄浦区2013届高三一模理科9）已知函数，且函数()()F x f x x a =+-有且仅有两个零点，则实数的取值范围是_____．)(x f y =R 0≥x ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤⎪⎭⎫ ⎝⎛=2log 20,21)(16x x x x f x．x 2[()]()0f x a f x b +⋅+=(R)a b ∈、a ⎩⎨⎧=x x x f 3log )(2)0()0(≤>x x a【例35】（2015奉贤一模理12文12）定义函数348122()1()222x x f x x f x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，则函数()()6g x xf x =-在区间[]8,1内的所有零点的和为 ．【例36】（虹口区2013届高三一模13）设定义在R 上的函数)(x f 是最小正周期为π2的偶函数，当[]0,x π∈时，1)(0<<x f ，且在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则函数x x f y sin )(-=在[10,10]ππ-上的零点个数为_____．【例37】（2015长宁一模理14）已知52x ⎛ ⎝的展开式中的常数项为T ，()f x 是以T 为周期的偶函数，且当[0,1]x ∈时，()f x x =，若在区间[1,3]-内，函数()()g x f x kx k =--有4个零点，则实数k 的取值范围是_____．【巩固训练】1．【2011一模长宁10】设函数[)()222,1,()2,,1x x f x x x x ⎧-∈+∞⎪=⎨-∈-∞⎪⎩，则函数)(x f y =的零点是_____．2．【2012年奉贤区一模文理第17题】下列函数中不能用二分法求零点的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．【2012年静安区一模理科第13题】记，已知函数是偶函数（为实常数），则函数的零点为_____．（写出所有零点）()13-=x x f ()3x x f =()x x f =()x x f ln ={}⎩⎨⎧>≤=时当时当b a b b a a b a ,,,min {}34,12m in )(222+--++=x x t tx x x f t )(x f y =4．（2015徐汇一模理13）在平面直角坐标系中，对于函数()y f x =的图像上不重合的两点,A B ，若,A B 关于原点对称，则称点对(),A B 是函数()y f x =的一组“奇点对”（规定(),A B 与(),B A 是相同的“奇点对”）．函数()()()1lg 01sin 02x x f x x x ⎧>⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩的“奇点对”的组数是_____．5．（2011一模黄浦理14）若关于x 的方程2||3x kx x =-有四个不同的实数根，则实数k 的取值范围是 ．6．（2015虹口一模理18文18）若直线1y kx =+与曲线11y x x x x=+--有四个不同交点， 则实数k 的取值范围是（ ）A ．11,0,88⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ B ．11,88⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ C ．11,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．11,88⎛⎫- ⎪⎝⎭四、函数性质与图像综合应用【例38】已知()f x 是单调减函数，若将方程()f x x =与1()()f x f x -=的解分别称为函数()f x 的不动点与稳定点．则“x 是()f x 的不动点”是“x 是()f x 的稳定点”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【例39】已知集合M 是满足下列两个条件的函数)(x f 的全体：①)(x f 在定义域上是单调函数；②在)(x f 的定义域内存在闭区间],[b a ，使)(x f 在],[b a 上的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,2b a ．若函数m x x g +-=1)(，M x g ∈)(，则实数m 的取值范围是________________．【例40】（奉贤区2013届高三一模18）定义域是一切实数的函数()x f y =，其图像是连续不断的，且存在常数λ(R λ∈)使得()()0f x f x λλ++=对任意实数x 都成立，则称()f x 是一个“λ—伴随函数”．有下列关于“λ—伴随函数”的结论：①()0f x =是常数函数中唯一一个“λ—伴随函数”；②“12—伴随函数”至少有一个零点．；③2()f x x =是一个“λ—伴随函数”；其中正确结论的个数是（ ）A ．1个；B ．2个；C ．3个；D ．0个；【例41】（2011一模浦东）23．（本题满分18分，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知函数)(x f ，如果存在给定的实数对（b a ,），使得b x a f x a f =-⋅+)()(恒成立，则称)(x f 为“S-函数”.（1）判断函数xx f x x f 3)(,)(21==是否是“S-函数”；（2）若x x f tan )(3=是一个“S-函数”，求出所有满足条件的有序实数对),(b a ；（3）若定义域为R 的函数)(x f 是“S-函数”，且存在满足条件的有序实数对)1,0(和)4,1(，当]1,0[∈x 时，)(x f 的值域为]2,1[，求当]2012,2012[-∈x 时函数)(x f 的值域．【巩固训练】1．【2012年闵行区一模文理第12题】若偶函数满足，且当时，，则函数的零点个数为_____个．2．若是定义在上的奇函数，且对任意的实数，总有正常数，使得成立，则称具有“性质”，已知函数具有“性质”，且在上，；若当时，函数恰有8个零点，则实数__________．3．（杨浦区2016届高三上学期期末14）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当01x ≤≤时，()2f x x =，当0x >时，()()()11f x f x f +=+，若直线y kx =与函数()y f x =的图象恰有11()y f x =()x ∈R (1)(1)f x f x +=-[1,0]x ∈-2()f x x =()()lg g x f x x =-个不同的公共点，则实数k 的取值范围为____________．4．（黄浦区2013届高三一模理科23）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分．对于函数()y f x =与常数,a b ，若(2)()f x af x b =+恒成立，则称(,)a b 为函数)(x f 的一个“P 数对”；若(2)()f x af x b ≥+恒成立，则称(,)a b 为函数)(x f 的一个“类P 数对”．设函数)(x f 的定义域为R +，且(1)3f =．（1）若(1,1)是()f x 的一个“P 数对”，求(2)(*)N n f n ∈；（2）若(2,0)-是()f x 的一个“P 数对”，且当[1,2)x ∈时()f x =23k x --，求()f x 在区间[1,2)n (*)N n ∈上的最大值与最小值；（3）若()f x 是增函数，且(2,2)-是()f x 的一个“类P 数对”，试比较下列各组中两个式子的大小，并说明理由．①(2)n f -与2n -+2(*)N n ∈；②()f x 与22x +((0,1])x ∈．1、1．在函数性质应用时必须首先考虑定义域，这也是学生解决问题时容易忽略的地方．（1）具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域关于原点对称，为此确定函数的奇偶性时，务必先判断函数定义域是否关于原点对称．（2）讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集．（3）讨论函数的周期性，一般情况下定义域是无限集，所以判断函数是否为周期函数要在整个定义域上观察函数的图像．2．初等函数的单调性如：一次函数的单调性取决于一次项系数的符号，二次函数的单调性决定于二次项系数的符号及对称轴的位置，指数函数、对数函数的单调性决定于其底数的范围．特别在解决涉及指、对复合函数的单调性问题时要树立分类讨论的数学思想． 3．对称性问题和奇偶性问题：（1）若函数)(x f 在其定义域上满足)()(x b f a x f -=+，则函数)(x f 的图像关于直线2ba x +=对称．（2）奇偶性问题的判定方法：先特殊判定，后定义证明；是对数函数的，先考虑真数，后证明结论． 4．周期性问题推广：若T 是函数)(x f 的一个周期，则)(),()(Z k x f kT x f ∈=+． 5．函数图像是高考的必考内容，其中包括作图、识图、用图．作图一般有两种方法：描点法、图像变换法．图像变换法中，有平移变换、对称变换和伸缩变换，要记住它们的变换规律．利用描点法作函数图像其基本步骤是①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)；④列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点)；⑤描点，连线．识图时，要留意它们的变化趋势，以及坐标轴的交点及一些特殊点.特别是对称性、周期性等图形特点，应引起足够的重视． 用图，主要是数形结合思想的应用．1．若关于x 的不等式2－x 2＞|x －a |至少有一个负数解，则实数a 的取值范围是________．课后练习反思总结2．（宝山区2013届期末8）设函数)(x f 是定义在R 上周期为3的奇函数，且2)1(=-f ，则(2011)(2012)f f +=____．3．（2015崇明一模理11文11）设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[]1,1-上，0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，．若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a b +的值为 ．4．设)(x f 是定义在R 上的函数，若81)0(=f ，且对任意的R x ∈，满足 x x x f x f x f x f 310)()4(,3)()2(⨯≥-+≤-+，则=)2014(f _____．5．给出定义：若（其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作 ，在此基础上给出下列关于函数的四个命题：①函数的定义域为，值域为；②函数在上是增函数；③函数是周期函数，最小正周期为1；④函数的图像关于直线对称．其中正确命题的序号是_____．6．已知函数02,()1(2),2,2x f x f x x ≤<=-≥⎪⎩若对于正数n k （*N ∈n ），直线x k y n ⋅=与函数)(x f y =的图像恰有12+n 个不同交点，则2nk =_____．7．（2015虹口二模理14）若()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意的实数0x ≥，总有正常数T ，使得()()f x T f x T +=+成立，则称()f x 具有“性质p ”，已知函数()g x 具有“性质p ”，且在[]0,T 上，()2g x x =；若当[],4x T T ∈-时，函数()y g x kx =-恰有8个零点，则实数k =___．8．【2012年长宁区区一模文理第13题】已知函数的定义域为，且对任意，都有．若，则_______．1122m x m -<+≤{}x m =(){}f x x x =-()y f x =R 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦()y f x =11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()y f x =()y f x =2kx =()k Z ∈()f x R x Z ∈()()()11f x f x f x =-++()()12,13f f -==()()20122012f f +-=9．【2010一模卢湾区14】方程2cos 0x x -=的解可视为函数cos y x =的图像与函数2y x =的图像交点的横坐标．方程210sin 102xx x π-+=实数解的个数为_____．10．方程有3个或者3个以上解，则常数的取值范围是_____．11．已知)(x f 是定义在R 上的且以2为周期的偶函数，当10≤≤x 时，2)(x x f =，如果直线a x y +=与曲线)(x f y =恰有两个交点，则实数a 的值是 ( )A ．0B ．)(2Z k k ∈C ．k 2或)(412Z k k ∈-D ．k 2或)(412Z k k ∈+12．对实数a 和b ，定义运算“□”：a □b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)□(x －1)，x ∈R .若函数y＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )A ．(－1，1]∪(2，＋∞)B ．(－2，－1]∪(1，2]C ．(－∞，－2)∪(1，2]D ．[－2，－1]13．（2015浦东一模理19文19）函数1, 0()=2ln , >0x x f x xx x ⎧-<⎪⎨⎪-+⎩的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．314．【2012年嘉定区一模理科第17题】设，则函数的图像大致形状是（ ）k x x x +=--2322k b a <<0)(||b x a x y --=yb xx15．（2011一模嘉定17）方程22xx=的实数解的个数是（）A．0B．1C．2D．316．（2015嘉定一模理17文17）定义在区间),1[∞+上的函数)(xf满足：①)(2)2(xfxf=；②当42≤≤x时，|3|1)(--=xxf，则集合)}34()({fxfxS==中的最小元素是（）A．2B．4C．6D．817．【2012年卢湾区一模文理第18题】已知函数，若，且，则（）A．（）B．）C．（）D．（）18．（宝山区2013届期末18）已知21,[1,0),()1,[0,1],x xf xx x+∈-⎧=⎨+∈⎩则下列函数的图像错误的是（）A．)1(-xf的图像B．)(xf-的图像C．|)(|xf的图像D．|)(|xf的图像19．（2010一模黄浦区18）已知函数)()()1(1)1(|1|1)(2=++⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=cxbfxfxxxxxf的方程，若关于有且仅有3个实数根=++232221321xxxxxx，则、、( )A．5 B．2222bb+C．3 D．2222cc+20．（2015青浦一模理18文18）设函数*()1,[,1),f x n x n n n N=-∈+∈，函数2()logg x x=，则方程()()f xg x=实数根的个数是（）2()|1|f x x=-0x y<<()()f x f y=24y x-02x<<24y x=-02x<<22y x-02x<<22y x=-01x<<A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个21．（2011一模黄浦文18）若函数4||y y x a x==-和的图像有三个不同的公共点，则实数a 的取值范围是（）A ．4a >-．B ．4a ≤-．C ．4a ≤．D ．4a >22．（嘉定区2013届高三一模理科18）设函数)(x f y =是定义在R 上以1为周期的函数，若函数x x f x g 2)()(-=在区间]3,2[上的值域为]6,2[-，则)(x g 在区间]12,12[-上的值域为（ ）A ．]6,2[-B ．]28,24[-C ．]32,22[-D ．]34,20[-24．对于函数)(x f ，D x ∈，若存在D x x ∈21、，对任意的D x ∈，都有)()()(21x f x f x f ≤≤，则称)(x f 为“幅度函数”，其中)()(12x f x f -称为)(x f 在D 上的“幅度”．（1）判断函数223)(x x x f --=是否为“幅度函数”，如果是，写出其“幅度”；（2）已知022)1(1=+---n n y y x n Z x ,(∈为正整数)，记y 关于x 的函数的“幅度”为n b ，求数列}{n b 的前n 项和n S ；（3）在(2)的条件下，试比较n n n b b b 2212lg2lg2lg+++++Λ与21lg 2n 的大小，并说明理由．25．已知：函数b ax ax x g ++-=12)(2)1,0(<≠b a ，在区间]3,2[上有最大值4，最小值1，设函数x x g x f )()(=． （1）求a 、b 的值及函数)(x f 的解析式；（2）若不等式02)2(≥⋅-x x k f 在]1,1[-∈x 时恒成立，求实数k 的取值范围； （3）如果关于x 的方程0)3124()12(=--⋅+-xx t f 有三个相异的实数根，求实数t 的取值范围．26．【2012年青浦区一模文理第22题】(本题满分16分) 本题共有2个小题，第1小题满分10分，第2小题满分6分．定义在R 上的奇函数有最小正周期4，且时，（1）判断并证明在上的单调性，并求在上的解析式； （2）当为何值时，关于的方程在上有实数解？27．（虹口区2013届高三一模23）（本题满分18分）如果函数)(x f y =的定义域为R ，对于定义域内的任意x ，存在实数a 使得)()(x f a x f -=+成立，则称此函数具有“)(a P 性质”．（1）判断函数x y sin =是否具有“)(a P 性质”，若具有“)(a P 性质”求出所有a 的值；若不具有“)(a P 性质”，请说明理由．（2）已知)(x f y =具有“)0(P 性质”，且当0≤x 时2)()(m x x f +=，求)(x f y =在]1,0[上的最大值；（3）设函数)(x g y =具有“)1(±P 性质”，且当2121≤≤-x 时，x x g =)(．若)(x g y =与mx y =交点个数为2013个，求m 的值．()f x ()0,2x ∈142)(+=x xx f ()f x ()0,2()f x []2,2-λx ()f x λ=[]6,228．【2012年浦东新区一模理科第23题】（本大题满分18分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满6分，第3小题满8分.如图所示，在平面直角坐标系上放置一个边长为的正方形，此正方形沿轴滚动(向左或向右均可)，滚动开始时，点位于原点处,设顶点的纵坐标与横坐标的函数关系是，该函数相邻两个零点之间的距离为.（1）写出的值并求出当时，点运动路径的长度； （2）写出函数的表达式；研究该函数的性质并填写下面表格：（3）试讨论方程在区间上根的个数及相应实数的取值范围.xOy 1PABC PABC x P ()y x P ,()y f x =(),R y f x x =∈m m 0x m ≤≤P l [](),42,42,y f x x k k k Z =∈-+∈()f x a x =[]8,8-a。
高考数学一轮复习专题训练—函数的图象
第7节 函数的图象考纲要求 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.知识梳理1.利用描点法作函数的图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.2.利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换(2)对称变换y ＝f (x )的图象―――――――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )的图象； y ＝f (x )的图象――――――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )的图象； y ＝f (x )的图象―――――――――→关于原点对称y ＝－f (－x )的图象；y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象―――――――――→关于直线y ＝x 对称y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象. (3)伸缩变换y ＝f (x )―――――――――――――――――→纵坐标不变各点横坐标变为原来的1a （a >0）倍y ＝f (ax ).y ＝f (x )――――――――――――――――→横坐标不变各点纵坐标变为原来的A (A >0)倍y ＝Af (x ).(4)翻折变换y ＝f (x )的图象――――――――――――――――→x 轴下方部分翻折到上方x 轴及上方部分不变y ＝|f (x )|的图象；y ＝f (x )的图象―――――――――――――――→y 轴右侧部分翻折到左侧原y 轴左侧部分去掉，右侧不变y ＝f (|x |)的图象.1.记住几个重要结论(1)函数y ＝f (x )与y ＝f (2a －x )的图象关于直线x ＝a 对称. (2)函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (2a －x )的图象关于点(a ，b )中心对称.(3)若函数y ＝f (x )对定义域内任意自变量x 满足：f (a ＋x )＝f (a －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称.2.图象的左右平移仅仅是相对于．．．x ．而言，如果x 的系数不是1，常需把系数提出来，再进行变换.3.图象的上下平移仅仅是相对于．．．y ．而言的，利用“上加下减”进行. 诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝|f (x )|与y ＝f (|x |)的图象相同.( ) (2)函数y ＝af (x )与y ＝f (ax )(a >0且a ≠1)的图象相同.( ) (3)函数y ＝f (x )与y ＝－f (x )的图象关于原点对称.( )(4)若函数y ＝f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称.( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√解析 (1)令f (x )＝－x ，当x ∈(0，＋∞)时，y ＝|f (x )|＝x ，y ＝f (|x |)＝－x ，两者图象不同，(1)错误.(2)中两函数当a ≠1时，y ＝af (x )与y ＝f (ax )是由y ＝f (x )分别进行横坐标与纵坐标伸缩变换得到，两图象不同，(2)错误.(3)y ＝f (x )与y ＝－f (x )的图象关于x 轴对称，(3)错误.2.下列图象是函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <0，x －1，x ≥0的图象的是( )答案 C解析 其图象是由y ＝x 2图象中x <0的部分和y ＝x －1图象中x ≥0的部分组成.3.在2 h 内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，能反映血液中药物含量Q 随时间t 变化的图象是( )答案 B解析依题意知，在2 h内血液中药物含量Q持续增加，停止注射后，Q呈指数衰减，图象B适合.4.(2019·全国Ⅰ卷)函数f(x)＝sin x＋xcos x＋x2在[－π，π]的图象大致为()答案 D解析∵f(－x)＝sin（－x）－xcos（－x）＋（－x）2＝－f(x)，且x∈[－π，π]，∴f(x)为奇函数，排除A.当x＝π时，f(π)＝π－1＋π2>0，排除B，C，只有D满足.5.(2021·昆明质检)已知图①中的图象对应的函数为y＝f(x)，则图②中的图象对应的函数为()A.y＝f(|x|)B.y＝f(－|x|)C.y＝|f(x)|D.y＝－|f(x)|答案 B解析观察函数图象可得，②是由①保留y轴左侧及y轴上的图象，然后将y轴左侧图象翻折到右侧所得，结合函数图象的对称变换可得变换后的函数的解析式为y＝f(－|x|).6.(2020·兰州联考)已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝log2f(x)的定义域是________.答案 (2，8]解析 当f (x )>0时，函数g (x )＝log 2f (x )有意义，由函数f (x )的图象知满足f (x )>0时，x ∈(2，8].考点一 作函数的图象【例1】 作出下列函数的图象： (1)y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |；(2)y ＝|log 2(x ＋1)|； (3)y ＝x 2－2|x |－1.解 (1)先作出y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象，保留y ＝⎝⎛⎭⎫12x图象中x ≥0的部分，再作出y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象中x >0部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |的图象，如图①实线部分.(2)将函数y ＝log 2x 的图象向左平移一个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图②.(3)∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x <0，且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图③.感悟升华 1.描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.2.图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响. 【训练1】 分别作出下列函数的图象： (1)y ＝sin |x |；(2)y ＝2x －1x －1. 解 (1)当x ≥0时，y ＝sin|x |与y ＝sin x 的图象完全相同，又y ＝sin|x |为偶函数，图象关于y 轴对称，其图象如图①.(2)y ＝2x －1x －1＝2＋1x －1，故函数的图象可由y ＝1x 的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图②所示. 考点二 函数图象的辨识1.(2020·浙江卷)函数y ＝x cos x ＋sin x 在区间[－π，π]的图象大致为( )答案 A解析 因为f (x )＝x cos x ＋sin x ，则f (－x )＝－x cos x －sin x ＝－f (x )，又x ∈[－π，π]，所以f (x )为奇函数，其图象关于坐标原点对称，则C ，D 错误.且x ＝π时， y ＝πcos π＋sin π＝－π<0，知B 错误；只有A 满足.2.(2021·成都诊断)函数f (x )＝x cos ⎝⎛⎭⎫x －π2的图象大致为( )答案 A解析 根据题意，f (x )＝x cos ⎝⎛⎭⎫x －π2＝x sin x ，定义域为R ，关于原点对称.有f (－x ) ＝(－x )sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，即函数y ＝f (x )为偶函数，排除B ，D. 当x ∈(0，π)时，x >0，sin x >0，有f (x )>0，排除C.只有A 适合. 3.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤1，log 13x ，x >1，则函数y ＝f (1－x )的大致图象是( )答案 D解析 法一 先画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤1，log 13x ，x >1的草图，令函数f (x )的图象关于y 轴对称，得函数f (－x )的图象，再把所得的函数f (－x )的图象，向右平移1个单位，得到函数y ＝f (1－x )的图象(图略)，故选D.法二 由已知函数f (x )的解析式，得y ＝f (1－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧31－x，x ≥0，log 13（1－x ），x <0，故该函数过点(0，3)，排除A ；过点(1，1)，排除B ；在(－∞，0)上单调递增，排除C.选D. 4.函数f (x )的部分图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( )A.f (x )＝x ＋sin xB.f (x )＝cos xxC.f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫x －π2⎝⎛⎭⎫x －3π2 D.f (x )＝x cos x 答案 D解析 从图象看，y ＝f (x )应为奇函数，排除C ； 又f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，知f (x )＝x ＋sin x 不正确； 对于B ，f (x )＝cos x x ，得f ′(x )＝－x sin x －cos x x 2，当0<x <π2时，f ′(x )<0，所以f (x )＝cos x x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上递减，B 不正确；只有f (x )＝x cos x 满足图象的特征.感悟升华 1.抓住函数的性质，定性分析：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从周期性，判断图象的循环往复；(4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性.2.抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题. 考点三 函数图象的应用角度1 研究函数的性质【例2】 已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A.f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B.f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C.f (x )是奇函数，递减区间是(－1，1) D.f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)解析 将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1，1)上是递减的. 角度2 函数图象在不等式中的应用【例3】 (1)若函数f (x )＝log 2(x ＋1)，且a >b >c >0，则f （a ）a ，f （b ）b ，f （c ）c 的大小关系是( )A.f （a ）a >f （b ）b >f （c ）cB.f （c ）c >f （b ）b >f （a ）aC.f （b ）b >f （a ）a >f （c ）cD.f （a ）a >f （c ）c >f （b ）b(2)(2020·北京卷)已知函数f (x )＝2x －x －1，则不等式f (x )＞0的解集是( ) A.(－1，1) B.(－∞，－1)∪(1，＋∞) C.(0，1)D.(－∞，0)∪(1，＋∞)答案 (1)B (2)D解析 (1)由题意可得，f （a ）a ，f （b ）b ，f （c ）c 分别看作函数f (x )＝log 2(x ＋1)图象上的点(a ，f (a ))，(b ，f (b ))，(c ，f (c ))与原点连线的斜率.结合图象可知，当a >b >c >0时，f （a ）a <f （b ）b <f （c ）c.(2)在同一平面直角坐标系中画出h (x )＝2x ，g (x )＝x ＋1的图象如图.由图象得交点坐标为(0，又f (x )＞0等价于2x ＞x ＋1， 结合图象，可得x ＜0或x ＞1.故f (x )＞0的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞).故选D.角度3 求参数的取值范围【例4】 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥2，（x －1）3，x <2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________.(2)(2020·唐山月考)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是________. 答案 (1)(0，1) (2)⎝⎛⎭⎫12，1解析 (1)画出分段函数f (x )的图象如图所示，结合图象可以看出，若f (x )＝k 有两个不同的实根，也即函数y ＝f (x )的图象与y ＝k 有两个不同的交点，k 的取值范围为(0，1).(2)先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与射线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，1.感悟升华 1.利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.2.利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题，方程f (x )＝g (x )的根就是函数f (x )与g (x )图象交点的横坐标；不等式f (x )<g (x )的解集是函数f (x )的图象位于g (x )图象下方的点的横坐标的集合，体现了数形结合思想.【训练2】 (1)设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________.(2)(2021·合肥调研)已知奇函数f (x )在x ≥0时的图象如图所示，则不等式xf (x )<0的解集为________.(3)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数是________.答案 (1)[－1，＋∞) (2)(－2，－1)∪(1，2) (3)5解析 (1)如图作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图象，观察图象可知，当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞).(2)∵xf (x )<0，∴x 和f (x )异号，由于f (x )为奇函数，补齐函数的图象如图.当x ∈(－2，－1)∪(0，1)∪(2，＋∞)时，f (x )>0， 当x ∈(－∞，－2)∪(－1，0)∪(1，2)时，f (x )<0， ∴不等式xf (x )<0的解集为(－2，－1)∪(1，2). (3)方程2f 2(x )－3f (x )＋1＝0的解为f (x )＝12或1.作出y ＝f (x )的图象，由图象知零点的个数为5.函数图象的活用直观想象是发现和提出问题，分析和解决问题的重要手段，在数学研究的探索中，通过直观手段的运用以及借助直观展开想象，从而发现问题、解决问题的例子比比皆是，并贯穿于数学研究过程的始终，而数形结合思想是典型的直观想象范例. 一、根据函数图象确定函数解析式【例1】 (2021·长沙雅礼中学检测)已知某函数的图象如图所示，则下列函数中，与图象最契合的是( )A.y ＝sin(e x ＋e －x )B.y ＝sin(e x －e －x )C.y ＝cos(e x －e －x ) D.y ＝cos(e x ＋e －x )答案 D解析 由函数图象知，函数图象关于y 轴对称，∵y ＝sin(e x －e －x )为奇函数，图象关于原点对称，B 不正确； 又－1<f (0)<0，但sin 2>0，cos 0＝1，故A ，C 不正确； 只有y ＝cos(e x ＋e －x )满足图象特征.故选D.素养升华 函数解析式与函数图象是函数的两种重要表示法，图象形象直观，解析式易于研究函数性质，可根据需要，相互转化. 二、由图象特征研究函数性质求参数【例2】 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4，若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，1] B.[1，4]C.[4，＋∞)D.(－∞，1]∪[4，＋∞)答案 D解析 作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可知，要使f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增， 需满足a ≥4或a ＋1≤2. 因此a ≥4或a ≤1.素养升华 1.运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.2.图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究.A 级 基础巩固一、选择题1.(2020·天津卷)函数y ＝4xx 2＋1的图象大致为( )答案 A 解析 令f (x )＝4xx 2＋1，则f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝－4xx 2＋1＝－f (x )，因此，函数为奇函数，排除C ，D.当x ＝1时，f (1)＝42＝2>0，排除B.故选A.2.(2019·全国Ⅲ卷)函数y ＝2x 32x ＋2－x在[－6，6]的图象大致为( )答案 B解析 因为y ＝f (x )＝2x 32x ＋2－x ，x ∈[－6，6]，所以f (－x )＝2（－x ）32－x ＋2x ＝－2x 32－x ＋2x ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，排除选项C.当x ＝4时，y ＝2×4324＋2－4＝12816＋116∈(7，8)，排除A ，D 项，B 正确.3.(2021·西安调研)函数y ＝xa x|x |(0<a <1)的图象大致为( )答案 D解析 当x >0时，|x |＝x ，此时y ＝a x (0<a <1)； 当x <0时，|x |＝－x ，此时y ＝－a x (0<a <1). 则函数y ＝xa x|x |(0<a <1)的大致图象如图所示.4.下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( ) A.y ＝ln(1－x ) B.y ＝ln(2－x )C.y ＝ln(1＋x )D.y ＝ln(2＋x )答案 B解析 法一 设所求函数图象上任一点的坐标为(x ，y )，则其关于直线x ＝1的对称点的坐标为(2－x ，y )，由对称性知点(2－x ，y )在函数f (x )＝ln x 的图象上，所以y ＝ln(2－x ). 法二 由题意知，对称轴上的点(1，0)在函数y ＝ln x 的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A ，C ，D ，选B.5.(2020·豫北名校联考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝3－2x ，则不等式f (x )>0的解集为( ) A.⎝⎛⎭⎫－32，32B.⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫0，32 D.⎝⎛⎭⎫－32，0∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞ 答案 C解析 根据题意，f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝3－2x ，可得其图象如图，且f (0)＝0，f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝0，则不等式f (x )>0的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫0，32.6.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <－1，ln （x ＋a ），x ≥－1的图象如图所示，则f (－3)＝( )A.－12B.－54C.－1D.－2答案 C解析 由图象知⎩⎪⎨⎪⎧ln （a －1）＝0，b －a ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝5.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5，x <－1，ln （x ＋2），x ≥－1.故f (－3)＝5－6＝－1.7.函数y ＝2|x |·sin 2x 的图象可能是( )答案 D解析 设f (x )＝2|x |sin 2x ，其定义域为R ，又f (－x )＝2|－x |·sin(－2x )＝－f (x )，所以y ＝f (x )是奇函数，故排除A ，B.令f (x )＝0，得sin 2x ＝0，∴2x ＝k π(k ∈Z )，即x ＝k π2(k ∈Z )，排除C ，D正确.8.若函数y ＝f (x )的图象的一部分如图(1)所示，则图(2)中的图象所对应的函数解析式可以是( )A.y ＝f ⎝⎛⎭⎫2x －12B.y ＝f (2x －1)C.y ＝f ⎝⎛⎭⎫12x －12D.y ＝f ⎝⎛⎭⎫12x －1答案 B解析 函数f (x )的图象先整体往右平移1个单位，得到y ＝f (x －1)的图象，再将所有点的横坐标变为原来的12，得到y ＝f (2x －1)的图象.二、填空题9.若函数y ＝f (x )的图象过点(1，1)，则函数y ＝f (4－x )的图象一定经过点________. 答案 (3，1)解析 由于函数y ＝f (4－x )的图象可以看作y ＝f (x )的图象先关于y 轴对称，再向右平移4个单位长度得到.点(1，1)关于y 轴对称的点为(－1，1)，再将此点向右平移4个单位长度为(3，1).所以函数y ＝f (4－x )的图象过定点(3，1).10.在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，则a 的值为________. 答案 －12解析 函数y ＝|x －a |－1的大致图象如图所示，∴若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点， 只需2a ＝－1，可得a ＝－12.11.使log 2(－x )＜x ＋1成立的x 的取值范围是________. 答案 (－1，0)解析 在同一直角坐标系内作出y ＝log 2(－x )，y ＝x ＋1的图象，知满足条件的x ∈(－1，0).12.已知函数f (x )在R 上单调且其部分图象如图所示，若不等式－2<f (x ＋t )<4的解集为(－1，2)，则实数t 的值为________.答案 1解析 由图象可知不等式－2<f (x ＋t )<4， 即f (3)<f (x ＋t )<f (0).又y ＝f (x )在R 上单调递减，∴0<x ＋t <3，不等式解集为(－t ，3－t ). 依题意，得t ＝1.B 级 能力提升13.若直角坐标系内A ，B 两点满足：(1)点A ，B 都在f (x )的图象上；(2)点A ，B 关于原点对称，则称点对(A ，B )是函数f (x )的一个“和谐点对”，(A ，B )与(B ，A )可看作一个“和谐点对”.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x （x <0），2e x （x ≥0），则f (x )的“和谐点对”有( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案 B解析 作出函数y ＝x 2＋2x (x <0)的图象关于原点对称的图象(如图中的虚线部分)，看它与函数y ＝2e x (x ≥0)的图象的交点个数即可，观察图象可得交点个数为2，即f (x )的“和谐点对”有2个.14.(2020·成都质检)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，f (x ＋2)＝f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2.若直线y ＝x ＋a 与函数f (x )的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值是( ) A.0 B.0或－12C.－14或12D.0或－14答案 D解析 因为f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为2，如图所示：由图知，直线y ＝x ＋a 与函数f (x )的图象在区间[0，2]内恰有两个不同的公共点时，直线y ＝x ＋a 经过点(1，1)或与曲线f (x )＝x 2(0≤x ≤1)相切于点A ，则1＝1＋a ，或方程x 2＝x ＋a 只有一个实数根.所以a ＝0或Δ＝1＋4a ＝0，即a ＝0或a ＝－14.15.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，0≤x ≤1，log 2 021x ，x >1，若实数a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b＋c 的取值范围是________. 答案 (2，2 022)解析 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，0≤x ≤1，log 2 021x ，x >1的图象如图所示，不妨令a <b <c ，由正弦曲线的对称性可知a ＋b ＝1，而1<c <2 021， 所以2<a ＋b ＋c <2 022.16.已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm ＝________.答案 9解析 如图，作出函数f (x )＝|log 3x |的图象，观察可知0<m <1<n 且mn ＝1. 若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2， 从图象分析应有f (m 2)＝2，∴log 3m 2＝－2，∴m 2＝19.从而m ＝13，n ＝3，故nm＝9.。
第一轮复习10----函数的图像
图像应用
函数y | lg x | 的图像的交点共有（ ）个.
A.10
B.9
C.8
D.1
图像应用
| x 1 | 已知函数y 的图像与函数 y kx 2的图 x 1 像恰有两个交点，则实 数k的取值范围是____
2
0,1 1,4
2
D. y x 1 1
2
图像应用
2, x m 已知函数f x 2 的图像与直线 x 4 x 2, x m y x恰有三个公共点 , 则实数m的取值范围为（）
A. ,1
B.1,2C.1,2Fra bibliotekD.2,
图像应用
函数f x 2 ln x的图像与函数 g x x 4 x 5
1，平移变换 f x f x a ; f x f x a ; f x f x a; f x f x a; 2，对称变换 f x f x ; f x f x ; f x f x ; f x f 1 x ; 3，伸缩变换 f x f ax; f x f ax; f x Af x ; f x Af x ; 4，翻折变换 f x f | x |; f x | f x |;
2
的图像的交点个数为（ ）
A.3
B.2
C.1
D.0
图像应用
直线y 1与曲线y x 2 | x | a有4个交点，则 a的取值范围是__________ _______
已知函数y f x 的周期为2，当x 1,1 时，f x x , 那么函数y f x 的图像与
x 1
C.e
x 1
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学案10 函数的图象
自主梳理
1．应掌握的基本函数的图象有：一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数等．
2．利用描点法作图：①确定函数的定义域；②化简函数的分析式；③讨论函数的性质(__________、__________、__________)；④画出函数的图象．
3．利用基本函数图象的变换作图：
(1)平移变换：函数y ＝f (x ＋a )的图象可由y ＝f (x )的图象向____(a >0)或向____(a <0)平移____个单位得到；函数y ＝f (x )＋a 的图象可由函数y ＝f (x )的图象向____(a >0)或向____(a <0)平移____个单位得到．
(2)伸缩变换：函数y ＝f (ax ) (a >0)的图象可由y ＝f (x )的图象沿x 轴伸长(0<a <1)或缩短
(____)到原来的1a
倍得到；函数y ＝af (x ) (a >0)的图象可由函数y ＝f (x )的图象沿y 轴伸长(____)或缩短(________)为原来的____倍得到．(可以结合三角函数中的图象变换加以理解)
(3)对称变换：①奇函数的图象关于________对称；偶函数的图象关于____轴对称； ②f (x )和f (－x )的图象关于____轴对称；
③f (x )和－f (x )的图象关于____轴对称；
④f (x )和－f (－x )的图象关于________对称；
⑤f (x )和f (2a －x )的图象关于直线________对称；
⑥曲线f (x ，y )＝0和曲线f (2a －x,2b －y )＝0关于点________对称；
⑦|f (x )|的图象先保留f (x )原来在x 轴________的图象，作出x 轴下方的图象关于x 轴的对称图形，然后擦去x 轴下方的图象得到；
⑧f (|x |)的图象先保留f (x )在y 轴________的图象，擦去y 轴左方的图象，然后作出y 轴右方的图象关于y 轴的对称图形得到．
自我检测
1．(2009·北京)为了得到函数y ＝lg x ＋310
的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点( ) A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
2．(2011·烟台模拟)已知图1是函数y ＝f (x )的图象，则图2中的图象对应的函数可能是（ ）
A ．y ＝f (|x |)
B ．y ＝|f (x )|
C ．y ＝f (－|x |)
D ．y ＝－f (－|x |)
3．函数f (x )＝1x
－x 的图象关于 ( ) A ．y 轴对称 B ．直线y ＝－x 对称 C ．坐标原点对称 D ．直线y ＝x 对称
4．使log 2(－x )<x ＋1成立的x 的取值范围是 ( )
A ．(－1,0)
B ．[－1,0)
C ．(－2,0)
D ．[－2,0)
5．(2011·潍坊模拟)已知f (x )＝a x －2，g (x )＝log a |x |(a >0且a ≠1)，若f (4)·g (－4)<0，则y ＝f (x )，
y ＝g (x )在同一坐标系内的大致图象是 ( )
探究点一 作图
例1 (1)作函数y ＝|x －x 2|的图象；
(2)作函数y ＝x 2－|x |的图象；
(3)作函数x y )21( 的图象．
变式迁移1 作函数y ＝1|x |－1
的图象． 探究点二 识图
例2 (1)函数y ＝f (x )和函数y ＝g (x )的图象如图，
则函数y ＝f (x )·g (x )的图象可能是 ( )
(2)已知y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f (1－x )的图象为 ( )
变式迁移2 (1)(2010·山东)函数y ＝2x －x 2的图象大致是 ( )
(2)函数f (x )的部分图象如图所示，则函数f (x )的分析式是 ( )
A ．f (x )＝x ＋sin x
B ．f (x )＝cos x x
C ．f (x )＝x cos x
D ．f (x )＝x ·(x －π2)·(x －3π2
) 探究点三 图象的使用
例3 若关于x 的方程|x 2－4x ＋3|－a ＝x 至少有三个不相等的实数根，试求实数a 的取值范围．
变式迁移3 (2010·全国Ⅰ)直线y ＝1和曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围是________．
数形结合思想的使用
例 (5分)(2010·北京东城区一模)定义在R 上的函数y ＝f (x )是减函数，且函数y ＝f (x －1)的图象关于(1,0)成中心对称，若s ，t 满足不等式f (s 2－2s )≤－f (2t －t 2)．则当1≤s ≤4
时，t s
的取值范围是 ( )
A.⎣⎡⎭⎫－14，1
B.⎣⎡⎦⎤－14，1
C.⎣⎡⎭⎫－12，1
D.⎣⎡⎦
⎤－12，1
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2010·重庆)函数f (x )＝4x ＋12
x 的图象 ( ) A ．关于原点对称 B ．关于直线y ＝x 对称
C ．关于x 轴对称
D ．关于y 轴对称
2．(2010·湖南)用min{a ，b }表示a ，b 两数中的最小值．若函数f (x )＝min{|x |，|x ＋t |}
的图象关于直线x ＝－12
对称，则t 的值为 ( ) A ．－2 B ．2
C ．－1
D ．1
3．(2011·北京海淀区模拟)在同一坐标系中画出函数y ＝log a x ，y ＝a x ，y ＝x ＋a 的图象，可能正确的是 ( )
4．(2011·深圳模拟)若函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝－f (x ＋1)的图象大致为
( )
5．设b >0，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋a 2－1的图象为下列之一，则a 的值为 ( )
A ．1
B ．－1 C.－1－52 D.－1＋52
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．为了得到函数y ＝3×(13)x 的图象，可以把函数y ＝(13
)x 的图象向________平移________个单位长度．
7．(2011·黄山月考)函数f (x )＝2x －1x ＋1
的图象对称中心是________． 8．(2011·沈阳调研)如下图所示，向高为H 的水瓶A 、B 、C 、D 同时以等速注水，注满为止．
(1)若水量V 和水深h 函数图象是下图的(a)，则水瓶的形状是________；
(2)若水深h 和注水时间t 的函数图象是下图的(b)，则水瓶的形状是________．
(3)若注水时间t 和水深h 的函数图象是下图的(c)，则水瓶的形状是________；
(4)若水深h 和注水时间t 的函数的图象是图中的(d)，则水瓶的形状是________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0.
(1)求实数m 的值；(2)作出函数f (x )的图象； (3)根据图象指出f (x )的单调递减区间；
(4)根据图象写出不等式f (x )>0的解集； (5)求当x ∈[1,5)时函数的值域．
10．(12分)(2011·三明模拟)当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，求a 的取值范围．
11．(14分)已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x
(x >0)． (1)若g (x )＝m 有根，求m 的取值范围；
(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．。