2017届高考数学一轮复习 选考部分 第十四篇 不等式选讲 第2节 证明不等式的基本方法应用能力提升 文
【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第十四章 系列4选讲 14.4 课时2 不等式的证明课件 理
2.几个常用基本不等式 (1)柯西不等式： ①柯西不等式的代数形式：设 a ， b ， c ， d 均为实数，则 (a2 ＋ b2)(c2 ＋
2 2 ( ac ＋ bd ) d )≥
(当且仅当ad＝bc时，等号成立).
②柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α· β| ， 等号当且仅当α，β共线时成立.
解 因为 6＝x＋2y＋3z≤ x2＋y2＋z2· 1＋4＋9，
2 2 2
18 y z 所以 x ＋y ＋z ≥ 7 ，当且仅当 x＝2＝3
3 6 9 18 2 2 2 即 x＝7，y＝7，z＝7时，x ＋y ＋z 有最小值 7 .
思维升华
解析答案
跟踪训练3
x2 y2 已知大于 1 的正数 x， y， z 满足 x＋y＋z＝3 3.求证： ＋ x＋2y＋3z y＋2z＋3x z 3 ＋ ≥2. z＋2x＋3y
所以3(ab＋bc＋ca)≤1，
1 即 ab＋bc＋ca≤3.
解析答案
a2 b2 c2 (2) b ＋ c ＋ a ≥1.
证明 a2 b2 c2 因为 b ＋b≥2a， c ＋c≥2b， a ＋a≥2c，
a2 b2 c2 故 b ＋ c ＋ a ＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，
a b c 即 b ＋ c ＋ a ≥a＋b＋c.
解析答案
1
2
3
4
5
6
1 1 ∴x＋y x＋y min＝4，即－λ≤4，λ≥－4.
1
2
3
解析答案
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题型分类 深度剖析
题型一
用综合法与分析法证明不等式
1 (1)已知 x，y 均为正数，且 x>y，求证：2x＋ 2 2≥2y＋3； x －2xy＋y
大高考2017版高考数学一轮总复习第14章不等式选讲课件理
(4)一般形式的柯西不等式 设 a1，a2，a3，„，an，b1，b2，b3，„，bn 是实数，则(a2 1＋
2 2 2 2 a2 (b2 2＋„＋an)· 1＋b2＋„＋bn)≥(a1b1＋a2b2＋„＋anbn) ，并
且仅当 bi＝0(i＝1， 2， „， n)或存在一个数 k， 使得 ai＝kbi(i ＝1，2，„，n)时，等号成立.
第二关是求最值关，求含绝对值的函数最值时，常用 的方法有三种：①利用绝对值的几何意义；②利用绝 对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a± b|≥||a|－|b||；③利用 零点分区间法.
【例3】 (2016· 贵州4月模拟)已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|.
(1)求不等式f(x)≤6的解集； (2)若关于x的不等式f(x)＜|a－1|的解集非空，求实数a的取值
命题的条件 ( 或已证明的定理、性质、明显成立的事实等 ) 矛
盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种 方法叫作反证法. ②证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小， 简化不等式，从而达到证明的目的，这种方法叫作放缩法.
► 一组重要关系： |a ＋ b| 与|a| －|b| ， |a － b| 与|a| －|b| ，|a| ＋ |b| 之
范围.
解
(1)不等式 f(x)≤6，即|2x＋1|＋|2x－3|≤6.
1 x＜－ ， 2 可化为① 或 －2x－1＋（3－2x）≤6 1 3 3 － ≤x≤ ， x＞ ， 2 2 ② 2 或③ 2x＋1＋（3－2x）≤6 2x＋1＋（2x－3）≤6. 1 解①得－1≤x＜－ ， 2
1 3 3 解②得－2≤x≤2，解③得2＜x≤2. 综上，－1≤x≤2， 即原不等式的解集为{x|－1≤x≤2}. (2)∵f(x) ＝ |2x ＋ 1| ＋ |2x － 3|≥|(2x ＋ 1) － (2x － 3)| ＝ 4.( 当且 1 3 仅当－2≤x≤2时，等号成立). ∴f(x)的最小值为 4. ∴由题意知|a－1|＞4，解得 a＜－3 或 a＞5. 故实数 a 的取值范围为(－∞，－3)∪(5，＋∞).
高考数学一轮复习 不等式选讲 第2课时 不等式的证明与柯西不等式课件 理(选修45)
(2)放缩法的注意事项：
①舍去或加上一些项，如(a＋12)2＋34>(a＋12)2；
②将分子或分母放大(缩小)，如
1 k2
<
1 kk－1
，
1 k2
>
1 kk＋1
，
1 k<
2 k＋
k－1
，
1 k>
k＋2 k＋1 (k∈N*，k>1)
等．
③放大或缩小时注意要适当，必须目标明确，合情合
理，恰到好处，且不可放缩过大或过小，谨慎地添或减是放
则M，N的大小关系是( )
A．M<N
B．M>N
C．M＝N • 答案 B
D．不确定
解析 由已知得0<ab<1， 故M－N＝1＋1 a＋1＋1 b－1＋a a－1＋b b ＝11－ ＋aa＋11－ ＋bb＝12＋1a－1a＋bb>0. 故M>N.
3．已知a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝1，则
题型二 三个正数的算术——几何平均不等式问题
• 例2 已知x∈R＋，求函数y＝x(1－x2)的最大值．
【思路】
利用平均值不等式abc≤(
a＋b＋c 3
)3(a>0，
b>0，c>0)求解．
【解析】 ∵y＝x(1－x2)，
∴y2＝x2(1－x2)2＝2x2(1－x2)(1－x2)·12. ∵2x2＋(1－x2)＋(1－x2)＝2， ∴y2≤12(2x2＋1－3x2＋1－x2)3＝247.
5．(2013·湖北)设x，y，z∈R，且满足：x2＋y2＋z2＝1， x＋2y＋3z＝ 14，则x＋y＋z＝________.
答案
3 14 7
解析 由柯西不等式，得(x2＋y2＋z2)(12＋22＋32)≥(x＋
2017版高考数学一轮总复习 第14章 不等式选讲模拟创新题 理
【大高考】2017版高考数学一轮总复习 第14章 不等式选讲模拟创新题 理一、填空题1.(2016·湖南长沙模拟)不等式|x －4|＋|x －3|≤a 有实数解的充要条件是________. 解析 a ≥|x －4|＋|x －3|有解⇔a ≥(|x －4|＋|x －3|)min ＝1.答案 a ≥12.(2015·湖南十三校模拟)设x ，y ，z ∈R ，2x ＋2y ＋z ＋8＝0则(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2的最小值为______.解析 [(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2](22＋22＋12)≥[2(x －1)＋2(y ＋2)＋(z －3)]2＝(2x ＋2y ＋z －1)2＝81.答案 93.(2014·山东实验中学模拟)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a .若不等式f (x )≤6的解集为{x |－2≤x ≤3}，则实数a 的值为________.解析 ∵不等式f (x )≤6的解集为{x |－2≤x ≤3}，即－2，3是方程f (x )＝6的两个根，即|6－a |＋a ＝6，|a ＋4|＋a ＝6，∴|6－a |＝6－a ，|a ＋4|＝6－a ，即|6－a |＝|a ＋4|，解得a ＝1.答案 1 4.(2016·咸阳二模)若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x >|a －2|＋1对于一切非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是________.解析 ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥2， ∴|a －2|＋1<2，即|a －2|<1，解得1<a <3.答案 (1，3)二、解答题5.(2016·石家庄模拟)已知函数f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2.(1)解不等式|g (x )|＜5；(2)若对任意x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数a 的取值范围. 解 (1)由||x －1|＋2|＜5，得－5＜|x －1|＋2＜5，∴－7＜|x －1|＜3，得不等式的解为－2＜x ＜4.(2)因为任意x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，所以{y |y ＝f (x )}⊆{y |y ＝g (x )}，又f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|≥|(2x －a )－(2x ＋3)|＝|a ＋3|， g (x )＝|x －1|＋2≥2，所以|a ＋3|≥2，解得a ≥－1或a ≤－5，所以实数a 的取值范围为a ≥－1或a ≤－5.创新导向题绝对值不等式的求解与求参数取值范围问题6.设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |.(1)若a ＝－1，解不等式f (x )≥3；(2)如果任意x ∈R ，f (x )≥2，求a 的取值范围.解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ＜－1，2，－1≤x ≤1，2x ，x ＞1.作出函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|的图象.由图象可知，不等式f (x )≥3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤－32，或x ≥32.(2)若a ＝1，f (x )＝2|x －1|，不满足题设条件；若a ＜1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋a ＋1，x ≤a ，1－a ，a ＜x ＜1，2x －（a ＋1），x ≥1，f (x )的最小值为1－a ；若a ＞1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋a ＋1，x ≤1，a －1，1＜x ＜a ，2x －（a ＋1），x ≥a ，f (x )的最小值为a －1.∴对于任意x ∈R ，f (x )≥2的充要条件是|a －1|≥2，。
全国版2017版高考数学一轮复习不等式选讲2证明不等式的基本方法课件理选修4_5
,0<cd≤
所以ab+cda≤2 2b2.(a2改为: a+b+c+d=1,证明： a b
b
a
【证明】 a b
b
a
1
4
3x3, x(1,)，
≥ 41 +2+ 2+x 2+, 2+x 2+ 2=16(， 等号 当,且1 仅) 当，
【解题导引】 (1)利用作差比较法证明,注意条件a+b=2的应用. (2)利用作商比较法证明.
【规范解答】(1) 0a1,ab0,(a)a2b1. b2 b
ab
aabb ab 2 .
因为a+b=2，所以
因为a，b都是正实数ab，所以baab≤ a b.
所以
≥0,即
≥1.
于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd
=(c-d)2.
因此|a-b|<|c-d|.
综上，
1 4
是|a-b|<|c-d|的充要条件.
【母题变式】
1.题中条件改为: a+b=c+d=1,证明：ab+cd≤ 1 . 【证明】因为a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d=21，
所以0<ab≤
(2)证 112，11≥2，111，2. 即证 可分别a证b abbc bcca ca
2(1≥1a1)+2b2+2c，. 然a后bc相ab加bc即ca得.
1111 1 1. a b c ab bc ca
【证明】(1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca 得a2+b2+c2≥ab+bc+ca. 由题设得(a+b+c)2=1, 即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1, 所以3(ab+bc+ca)≤1, 即ab+bc+ca≤ .
2017年全国卷高考数学复习专题——不等式选讲
2017年全国卷高考数学复习专题——不等式选讲考点一不等式的性质和绝对值不等式1.(2014广东,9,5分)不等式|x-1|+|x+2|≥5的解集为. 答案{x|x≤-3或x≥2}2.(2014湖南,13,5分)若关于x的不等式|ax-2|<3的解集为x-53<x<13,则a= .答案-33.(2014重庆,16,5分)若不等式|2x-1|+|x+2|≥a2+12a+2对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是.答案-1,124.(2014课标Ⅰ,24,10分)选修4—5:不等式选讲若a>0,b>0,且1a +1b=ab.(1)求a3+b3的最小值;(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.解析(1)由ab=1a +1b≥ab,得ab≥2,且当a=b=2时等号成立.故a3+b3≥23b3≥42,且当a=b=2时等号成立. 所以a3+b3的最小值为4.(2)由(1)知,2a+3b≥2由于43>6,从而不存在a,b,使得2a+3b=6.5.(2014课标Ⅱ,24,10分)选修4—5:不等式选讲设函数f(x)= x+1a+|x-a|(a>0).(1)证明:f(x)≥2;(2)若f(3)<5,求a的取值范围.解析(1)证明:由a>0,得f(x)= x+1a +|x-a|≥ x+1a-(x-a)=1a+a≥2.所以f(x)≥2.(2)f(3)=3+1a+|3-a|.当a>3时,f(3)=a+1a ,由f(3)<5得3<a<5+212.当0<a≤3时,f(3)=6-a+1a ,由f(3)<5得1+52<a≤3.综上,a的取值范围是1+52,5+212.6.(2014福建,21(3),7分)选修4—5:不等式选讲已知定义在R 上的函数f(x)=|x+1|+|x-2|的最小值为a. (1)求a 的值;(2)若p,q,r 是正实数,且满足p+q+r=a,求证:p 2+q 2+r 2≥3. 解析 (1)因为|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3, 当且仅当-1≤x≤2时,等号成立, 所以f(x)的最小值等于3,即a=3.(2)证明:由(1)知p+q+r=3,又因为p,q,r 是正实数, 所以(p 2+q 2+r 2)(12+12+12)≥(p×1+q×1+r×1)2 =(p+q+r)2=9, 即p 2+q 2+r 2≥3.7.(2014辽宁,24,10分)选修4—5:不等式选讲设函数f(x)=2|x-1|+x-1,g(x)=16x 2-8x+1,记f(x)≤1的解集为M,g(x)≤4的解集为N. (1)求M;(2)当x∈M∩N 时,证明:x 2f(x)+x[f(x)]2≤14. 解析 (1)f(x)=3x -3,x ∈[1,+∞),1-x ,x ∈(-∞,1).当x≥1时,由f(x)=3x-3≤1得x≤43,故1≤x≤43; 当x<1时,由f(x)=1-x≤1得x≥0,故0≤x<1. 所以f(x)≤1的解集为M= x |0≤x ≤43 . (2)证明:由g(x)=16x 2-8x+1≤4得16 x -14 2≤4,解得-14≤x≤34.因此N= x |-14≤x ≤34 ,故M∩N= x |0≤x ≤34 . 当x∈M∩N 时, f(x)=1-x,于是x 2f(x)+x·[f(x)]2 =xf(x)[x+f(x)]=x·f(x)=x(1-x)=14- x -12 2≤14.考点二 不等式的证明8.(2014江苏,21D,10分)选修4—5:不等式选讲 已知x>0,y>0,证明:(1+x+y 2)(1+x 2+y)≥9xy. 证明 因为x>0,y>0, 所以1+x+y 2≥3 xy 23>0, 1+x 2+y≥3 x 2y 3>0,故(1+x+y 2)(1+x 2+y)≥3 xy 23·3 x 2y 3=9xy.9.(2014天津,19,14分)已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合M={0,1,2,…,q-1},集合A={x|x=x1+x2q+…+xnq n-1,xi∈M,i=1,2,…,n}.(1)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A;(2)设s,t∈A,s=a1+a2q+…+anq n-1,t=b1+b2q+…+bnq n-1,其中ai,bi∈M,i=1,2,…,n.证明:若an<bn,则s<t.解析(1)当q=2,n=3时,M={0,1},A={x|x=x1+x2·2+x3·22,xi∈M,i=1,2,3}.可得,A={0,1,2,3,4,5,6,7}.(2)证明:由s,t∈A,s=a1+a2q+…+anq n-1,t=b1+b2q+…+bnq n-1,ai,bi∈M,i=1,2,…,n及an<bn,可得s-t=(a1-b1)+(a2-b2)q+…+(an-1-bn-1)q n-2+(an-bn)q n-1≤(q-1)+(q-1)q+…+(q-1)q n-2-q n-1=(q-1)(1-q n-1)1-q-q n-1=-1<0. 所以s<t.。
2023年高考数学(理科)一轮复习——不等式选讲 第二课时 不等式的证明
(2)用 max{a，b，c}表示 a，b，c 中的最大值，证明：max{a，b，c}≥3 4. 证明 不妨设max{a，b，c}＝a. 因为abc＝1，a＝－(b＋c)， 所以a>0，b<0，c<0. 由 bc≤（b＋4 c）2，可得 abc≤a43， 当且仅当 b＝c＝－2a时取等号， 故 a≥3 4，所以 max{a，b，c}≥3 4.
索引
感悟提升
1.比较法证明不等式的方法与步骤 (1)作差比较法：作差、变形、判号、下结论. (2)作商比较法：作商、变形、 判断、下结论. 2.利用放缩法证明不等式时要目标明确，通过添、拆项后，适当放缩.
索引
训练1 (1)已知a≥b＞0，M＝2a3－b3，N＝2ab2－a2b，则M，N的大小关系为 __M_≥__N___. 解析 M－N＝2a3－b3－(2ab2－a2b) ＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b) ＝(a－b)(a＋b)(2a＋b). 因为a≥b＞0， 所以a－b≥0，a＋b＞0，2a＋b＞0， 从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0， 故2a3－b3≥2ab2－a2b，即M≥N.
A.1
B.2
C.3
D.4
解析 logx10＋lg x＝lg1x＋lg x≥2(x>1)，①正确； ab≤0 时，|a－b|＝|a|＋|b|，②不正确； 因为 ab≠0，ab与ba同号， 所以ba＋ab＝ba＋ab≥2，③正确； 由|x－1|＋|x－2|的几何意义知， |x－1|＋|x－2|≥1恒成立，④也正确， 综上①③④正确.
索引
(2) bac＋ abc＋ acb≥ 3( a＋ b＋ c).
证明
bac＋ abc＋ acb＝a＋abb＋c c.
高考一轮复习不等式质及证明
不等式性质及证明1．不等式的性质比较两实数大小的方法——求差比较法0a b a b >⇔->；0a b a b =⇔-=；0a b a b <⇔-<。
定理1：若a b >，则b a <；若b a <，则a b >．即a b >⇔b a <。
说明：把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向，称为不等式的对称性。
定理2：若a b >，且b c >，则a c >。
说明：此定理证明的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数；定理2称不等式的传递性。
定理3：若a b >，则a c b c +>+。
说明：（1）不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向；（2）定理3的证明相当于比较a c +与b c +的大小，采用的是求差比较法；（3）定理3的逆命题也成立；（4）不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边。
定理3推论：若,,a b c d a c b d >>+>+且则。
说明：（1）推论的证明连续两次运用定理3然后由定理2证出；（2）这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向；（3）同向不等式：两个不等号方向相同的不等式；异向不等式：两个不等号方向相反的不等式定理4．如果b a >且0>c ，那么bc ac >；如果b a >且0<c ，那么bc ac <。
推论1：如果0>>b a 且0>>d c ，那么bd ac >。
说明：（1）不等式两端乘以同一个正数，不等号方向不变；乘以同一个负数，不等号方向改变；（2）两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向；（3）推论1可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘。
2017年直击新课标高考数学(文科)14.第十四章选考内容(2)不等式选讲
第十四章选考内容不等式选讲一、2017年考试大纲(6)会用数学归纳法证明贝努利不等式nx x n +>+11）（ （x 〉—1,x ≠0，n 为大于1的正整数)，了解当n 为大于1的实数时贝努利不等式也成立。
(7）会用上述不等式证明一些简单问题，能够利用平均值不等式，柯西不等式求一些特定函数的极值。
（8）了解证明不等式的基本方法：比较法，综合法，分析法，反证法,放缩法。
二、真题汇编1。
【2016课标Ⅰ理24】已知函数f （x ）=｜x+1｜﹣｜2x ﹣3|． (Ⅰ）在图中画出y=f(x ）的图象；（Ⅱ）求不等式|f （x)|＞1的解集．2. 【2016课标Ⅱ理24】已知函数|21||21|)(++-=x x x f ，M 为不等式f （x ）＜2的解集．（Ⅰ)求M ； （Ⅱ）证明：当a ，b∈M 时，|a+b|＜|1+ab ｜．3。
【2016课标Ⅲ理24】已知函数f （x ）=|2x ﹣a|+a ．（Ⅰ）当a=2时,求不等式f （x ）≤6的解集;（Ⅱ)设函数g （x ）=|2x ﹣1|，当x∈R 时，f （x)+g(x)≥3，求a 的取值范围．4。
【2015课标Ⅰ理24】 已知函数f(x ）=|x+1|﹣2|x ﹣a|，a ＞0．(Ⅰ)当a=1时,求不等式f（x）＞1的解集;（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．5. 【2015课标Ⅱ理24】设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；(2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d｜的充要条件．6。
【2014课标I理24】若a＞0，b＞0,且+=．(Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6?并说明理由．7.【2014课标Ⅱ理24】设函数f(x)=|x+|+｜x﹣a｜（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；(Ⅱ）若f（3）＜5,求a的取值范围．8.【2013课标Ⅰ理24】已知函数f（x）=｜2x﹣1|+｜2x+a｜，g（x）=x+3．(Ⅰ)当a=﹣2时，求不等式f(x)＜g（x)的解集;（Ⅱ）设a＞﹣1，且当时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．9．【2013课标Ⅱ理24】设a，b，c均为正数，且a+b+c=1,证明：(Ⅰ）（Ⅱ）．10。
全国近年高考数学一轮复习不等式选讲第2讲不等式的证明增分练(2021年整理)
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第2讲不等式的证明板块三模拟演练·提能增分［A级基础达标］1．已知a，b，c，d均为正数，S＝错误!＋错误!＋错误!＋错误!，则一定有（）A．0<S<1 B．1<S〈2C．2<S〈3 D．3〈S〈4答案B解析S〉错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝1，S<错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝2,∴1〈S〈2。
故选B。
2．[2018·驻马店期末］若x1，x2,x3∈(0，＋∞），则3个数错误!，错误!，错误!的值（) A．至多有一个不大于1 B．至少有一个不大于1C．都大于1 D．都小于1答案B解析解法一：设x1≤x2≤x3，则错误!≤1，错误!≤1，错误!≥1。
故选B.解法二：设错误!〉1，错误!〉1，错误!>1,∴错误!·错误!·错误!〉1与错误!·错误!·错误!＝1矛盾，∴至少有一个不大于1.3．设x>0，y>0，M＝错误!，N＝错误!＋错误!，则M、N的大小关系为________．答案M〈N解析N＝错误!＋错误!〉错误!＋错误!＝错误!＝M。
4．已知a,b∈R，a2＋b2＝4，则3a＋2b的取值范围是________．答案［－2错误!，2错误!］解析根据柯西不等式(ac＋bd）2≤（a2＋b2）·（c2＋d2），可得(3a＋2b)2≤(a2＋b2)·（32＋22)∴－2错误!≤3a＋2b≤2错误!.3a＋2b∈［－2错误!，2错误!］．[B级能力达标］5．求证:错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!〈错误!（n∈N*）．证明∵错误!＝错误!错误!∴左边＝错误!错误!＝错误!错误!<错误!.6．［2018·泸州模拟］设函数f（x）＝错误!＋｜x＋a|（a〉0)．（1）证明：f（x)≥4；（2）若f(2）〈5，求a的取值范围．解（1）证明：错误!＋｜x＋a|≥错误!＝a＋错误!≥4；当且仅当a＝2时取等号．(2)f(2)＝错误!＋|a＋2|.①当a＝2时，错误!＋|2＋a｜<5显然满足;②当 0<a≤2时，不等式变成a＋错误!<5，即a2－5a＋4〈0⇒1<a<4，联立求解得1〈a≤2;③当a>2时，不等式变成a2－a－4<0，∴错误!<a〈错误!,联立求解得2<a〈错误!.综上，a的取值范围为1<a〈错误!。
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第2节证明不等式的基本方法
【选题明细表】
1.设a>b>0,求证:>.
证明:法一-==
=,
因为a>b>0,
所以a-b>0,ab>0,a2+b2>0,a+b>0.
所以->0,
所以>.
法二因为a>b>0,
所以a+b>0,a-b>0.
所以=·
=
=
=1+>1.
所以>.
2.设x≥1,y≥1,求证x+y+≤++xy.
证明:由于x≥1,y≥1,
要证x+y+≤++xy,
只需证xy(x+y)+1≤y+x+(xy)2.
因为[y+x+(xy)2]-[xy(x+y)+1]
=[(xy)2-1]-[xy(x+y)-(x+y)]
=(xy+1)(xy-1)-(x+y)(xy-1)
=(xy-1)(xy-x-y+1)
=(xy-1)(x-1)(y-1),
由条件x≥1,y≥1,
所以(xy-1)(x-1)(y-1)≥0,
从而所要证明的不等式成立.
3.(2015高考湖南卷)设a>0,b>0,且a+b=+.证明:
(1)a+b≥2;
(2)a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.
证明:由a+b=+=,a>0,b>0,
得ab=1.
(1)由基本不等式及ab=1,
有a+b≥2=2,
即a+b≥2.
(2)假设a2+a<2与b2+b<2同时成立,
则由a2+a<2及a>0得0<a<1;
同理,0<b<1,从而ab<1,这与ab=1矛盾.
故a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.
4.设a>0,b>0,c>0,求证:++≥.
证明:要证++≥,
只需证+1++1++1≥,
只需证++≥,
只需证(a+b+c)(++)≥.
因为(a+b+c)(++)
=[(b+c)+(a+c)+(a+b)]·(++)≥×3×3×=,当且仅当
a=b=c时“=”成立,
故原不等式成立.。