分式及分式的基本性质
分式和分式的基本性质
分式和分式的基本性质（一）一、知识要点1．分式的意义一般地，如果A﹑B表示两个整式，并且B中含有字母，那么代数式AB叫做分式，其中A是分式的分子，B是分式的分母。
说明：（1）分式是两个整式相除的商式，其中分子是被除式，分母是除式，而分数线起着除号和括号的作用。
（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含有字母，但分式的分母中一定要含有字母。
（3）分式的分母不能为0是分式概念的重要组成部分。
2．有理式的概念及分类有理式是整式和分式的统称。
3．分式有意义、无意义、值为零的条件（1）分式AB有意义的条件是：_________________________；（2）分式AB无意义的条件是：_________________________；（3）分式AB值为零的条件是：_________________________。
4．分式的基本性质分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。
用式子表示就是______________________________________________________________________。
5．分式的变号法则分式的分子、分母及分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即A A A AB B B B--==-=---。
6．将分数系数化成整数系数分式的系数化整问题，是利用分式的基本性质，将分子、分母都乘以一个适当的不等于0的数，使分子、分母中的数全都化为整数。
7．分式的约分根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母分别除以它们的公因式叫做分式的约分。
8．分式的通分根据分式的基本性质，把几个不同分母的分式化成同分母的分式叫做分式的通分。
说明：（1）最简公分母的概念：异分母通分时，我们常取各分母的系数的最小公倍数和所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
（2）求最简公分母的步骤与方法①取各分母系数的最小公倍数；②凡在各分母中出现的以字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取；③相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。
分式的概念及分式的基本性质
分式：分母中含字母
例1：下列各有理式中，哪些是整式？哪些是分式？
(1) 1 ; (2) x ; (3) 2xy ; (4) 2x y .
x 2 x y
3
解:属于整式的有（2)、(4)
属于分式的有（1）、（3）
在分式中，分母的值不能是零，此时分式才有意义；
如果分母的值是零，则分式没有意义。
所以,当x ≠－ 3时,分式 2
2xx－＋23有意义.
x取什么值时，下列分式无意义？
(1) x ; 2x 3
(2) x 1 . 5x 10
解：（1）当分母的值为零时，分式没有意义。
由2x-3=0，得x = 3
所以当x =
3
2
时， 分式无意义。
2
（2）当分母的值为零时，分式没有意义。
由5x+10=0，得x = -2
例在如分： 式在m分－9式 nas
中,a≠0；
中,m-n ≠
0,即m≠n.
例2：当x取什么值时，下列分式有意义？
(1)
x x－1
(2)
x－2 2x＋3
分析：要使分式有意义，必须且只须分母不等于零.
解：(1)分母x－1≠0,即x ≠ 1.
所以, 当x ≠ 1时, 分式 x－x 1有意义.
(2)分母2x＋3 ≠0, 即x ≠－ .23
p
的售价是___m__n__元.
第（1）个问题中出现的是 2 分数，
3
（2）和（3）出现的代数式如下，它们有什么
共同特征？它们与整式有什么不同？
s
,
p
a
mn
分母中含有字母
什么叫分式?
形如 (A、B是整式,且B中含有字母,B≠0) A 的 B
分式、分式的基本性质、分式
−b
先化简求 值式，再 2 2 a b a +b a b a b 2 b 把条件方 = − − − =− Q − − b a ab b a b a a 程构造出 求值式的 2b 2b 当a = 时，原式 = − = −3 形式。 2b 2b 3
=2
3
a b a2 + b2 2b − − =− b a ab a
见下面习题
x2 − 1 x2 + x
• ∴与x的值无关，∴x＝2004抄错成x＝2040不影响结果.
说明：所给代数式的值与字母的取值为什么无关，这是一 个具有思维价值的问题。通过解题反思，结合代数式化简 求值的有关知识，便会解释其结果的合理性。
练习
• 1、请你写一个只含有字母x（数字不限）的分式（要求：（1）x 取任何有理数时，分式有意义；（2）此代数式恒为负） • 2、已知x为整数，且 2 + 2 + 2 x + 18 为整数，则所有符合条件 x + 3 3 − x x2 − 9 的x的值的和是
分式、分式的基本性质、 分式、分式的基本性质、分式 的乘除法、 的乘除法、分式的加减法
2005年1月5日
• 知识结构： 知识结构：
• • • • • 1. 分式的概念： （1）当分式的值为0时，分子等于0而分母不等于0； （2）分式有意义：分母不等于0； 2. 分式的基本性质 b ⑴基本性质： = bm （m≠0）
2
由分子x − 2 = 0得：x = 2
∴ 当x = 2 时，分式 x−2 x +x−2
2
而当x = 2 时，分母 x 2 + x − 2 ≠ 0
的值等于零
（ 2 ）由分母 x 2 − x − 12 = 0得：x 1 = −3，x 2 = 4
新人教版八年下《1分式-分式的基本性质》
(1) 1 c (c 0),分子分母都 ab abc
（2） a2 x a abx b
,分子分母都
（3）(xx2
y)2 y2
x x
y ,分子分母都 y
2.（补充）填空：
（1）a b ( ab
a2b
)
（2）2aab2b b (
a2
)
x2 xy x y
(3)
x2
(
)
x(
)
(4) x2 2x x 2
2a 3(a 1)
分子分母都
(3)（aab（1（)a a1)1)
(a 1) ab
分子分母都
例2（课本P5)填空：
(1)
x2
x 2x
( ) x2
,
Байду номын сангаас3x
2 6x
3xy
2
x y ( )
（2）a b ( ab
) a2b ,
2a a2
b
(
) a2b
观察分子分母如何变化
（1） x
2
x
2x
(
x2
)
（分子分母都除以x）
（2）3x
2 6x
3xy
2
x y
(
)
（分子分母都除以 3x）
例3（补充）判断下列变形是否正确.
（1）
a b
a2 b2
(
)
（2）
b a
bc ac
(c≠0)
(
)
（3） b b 1 ( )
a a 1
（4）
2x 2x 1
x
x 1
(
)
（四）课堂练习
1.（补充）下列等式的右边是怎样从左边 得到的？
分式及分式的基本性质
分式及分式的基本性质
知识要点：
1、分式：形如A/B(A.B是整式，且B中含字母，B不等于0）的式子，其中A叫分子，B 叫分母。
注意：分式A/B中，A.B是整式
分母B中含有字母
2、分式有、无意义的条件：
有意义：分母不等于0 即：B不等于0时，A/B有意义
无意义：分母等于0 即：B=0时A/B 没有意义
3、分式値为0的条件：
4、
分子等于0，分母不等于0 即：在A/B中，当A为零，B不为零时，分式値等于零。
4、分式的基本性质：分式的分子、分母同乘以（或除以）不等于零的整式，分式値不变。
A/B= AM/BM= A*M/B*M (其中A. B.M是整式，B、M不为零）
5、分式的约分：把分子、分母中的公因式约去。
方法：（1）、若分子、分母都是单项式，先找分子、分母系数的最大公约数，在找相同字母的最低次幂。
（2）、若分子、分母有多项式，先因式分解，在找分子、分母的公因式。
6、最简分式：约分后，分子、分母不再有工因式。
约分的结果应是最简分式。
7、最简共分母：
（1）、如各分母都是单项式，则最简共分母就是各系数的追小公倍数、相同字母的最高次幂及所有不同字母的积。
（2）、如各分母是多项式，先分解因式，然后把每个因式当作一个因数（或字母）。
8、通分：把几个异分母的分式化成和原来相等的同分母的分式。
分式的基本概念及性质
分式的概念：当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式．一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式．整式与分式统称为有理式．在理解分式的概念时，注意以下三点：⑴分式的分母中必然含有字母；⑵分式的分母的值不为0；⑶分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开．分式有意义的条件：两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义．如：分式1x，当0x≠时，分式有意义；当0x=时，分式无意义．分式的值为零：分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”．分式的基本性质：分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．上述性质用公式可表示为：a amb bm=，a a mb b m÷=÷(0m≠)．注意：①在运用分式的基本性质时，基于的前提是0m≠；②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式；③分式的基本性质是约分和通分的理论依据．一、分式的基本概念【例1】在下列代数式中，哪些是分式？哪些是整式？1 t ，(2)3xx+，2211x xx-+-，24xx+，52a，2m，21321xx x+--，3πx-，323a aa+【例2】代数式22221131321223x x x a b a b abm n xyx x y+--++++，，，，，，，中分式有（）A.1个B.1个C.1个D.1个分式的基本概念及性质二、分式有意义的条件【例3】求下列分式有意义的条件：⑴1x⑵33x+⑶2a ba b+--⑷21nm+⑸22x yx y++⑹2128x x--⑺293xx-+【例4】x为何值时，分式2141xx++无意义？【例5】x为何值时，分式2132x x-+有意义？【例6】x为何值时，分式211xx-+有意义？【例7】要使分式23xx-有意义，则x须满足的条件为．【例8】x为何值时，分式1111x++有意义？【例9】要使分式241312aaa-++没有意义，求a的值.【例10】x为何值时，分式1122x++有意义？【例11】x为何值时，分式1122xx+-+有意义？【例12】若分式25011250xx-++有意义，则x；若分式25011250x x-++无意义，则x ；【例13】 若33aa-有意义，则33a a -( ).A. 无意义B. 有意义C. 值为0D. 以上答案都不对【例14】 x 为何值时，分式29113x x-++有意义？【例15】 ⑴ 若分式216(3)(4)x x x --+有意义，则x ;⑵ 若分式216(3)(4)x x x --+无意义，则x ;三、分式值为零的条件【例16】 当x 为何值时，下列分式的值为0？⑴1x x+ ⑵211x x -+ ⑶33x x -- ⑷237x x ++ ⑸2231x x x +--⑹2242x x x-+【例17】 当x 为何值时，下列分式的值为0？⑴213x x -+ ⑵223(1)(2)x x x x --++ ⑶2656x x x --- ⑷221634x x x -+-⑸288xx + ⑹2225(5)x x -- ⑺(8)(1)1x x x -+-【例18】 若分式41x x +-的值为0，则x 的值为 ．【例19】 若分241++x x 的值为零，则x 的值为________________________．【例20】 若分式242x x --的值为0，则x 的值为 ．【例21】 若分式 242a a -+ 的值为0，则a 的值为 .【例22】 若分式221x x -+的值为0，则x = ．【例23】 （2级）（2010房山二模）9. 若分式221x xx +-的值为0，则x 的值为 ．【例24】 若分式231x x ++的值为零，则x = ________________.【例25】 （2级）（2010平谷二模）已知分式11x x -+的值是零，那么x 的值是（ ） A ．1 B. 0 C. 1- D. 1±【例26】 若分式2532x x -+的值为0，则x 的值为 ．【例27】 如果分式2321x x x -+-的值是零，那么x 的取值是 ．【例28】 若分式()()321x x x +-+的值不为零，求x 的取值范围．【例29】 若22x x a-+的值为0，则x = .【例30】 x 为何值时，分式29113x x-++分式值为零？【例31】 若22032x xx x +=++，求21(1)x -的值.【例32】 x 为何值时，分式23455x xx x ++-+值为零？【例33】 若分式2160(3)(4)x x x -=-+，则x ；【例34】 若分式233x x x--的值为0，则x = .【巩固】 若分式250011250x x-=++，则x .【例35】 若2(1)(3)032m m m m --=-+，求m 的值.四、分式的基本性质【例36】 填空：（1）()2ab ba = （2）()32x x xy x y =++（3）()2x y x xyxy ++=（4）()222x y x y x xy y +=--+【例37】 若x ，y 的值扩大为原来的3倍，下列分式的值如何变化？⑴x y x y +- ⑵xy x y - ⑶22x y x y -+【例38】 把下列分式中的字母x 和y 都扩大为原来的5倍，分式的值有什么变化？（1）2x y x y ++ （2）22923x x y +【例39】 若x ，y 的值扩大为原来的3倍，下列分式的值如何变化？⑴2222x y x y +-⑵3323x y⑶223x y xy-【例40】 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各项系数都化为整数． ⑴1.030.023.20.5x y x y +- ⑵32431532x yx y -+【例41】 不改变分式的值，把下列各式分子与分母的各项系数都化为整数。
分式
分式二．知识概念1.分式：形如A/B，A、B是整式，B中含有未知数且B不等于0的整式叫做分式(fraction)。
其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。
2.分式有意义的条件：分母不等于03.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分。
4.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分。
分式的基本性质:分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。
用式子表示为：A/B=A*C/B*C A/B=A÷C/B÷C （A,B,C为整式，且C≠0）5.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称为最简分式.约分时,一般将一个分式化为最简分式.6.分式的四则运算：(1.)同分母分式加减法则:同分母的分式相加减,分母不变，把分子相加减.用字母表示为：a/c±b/c=a±b/c(2).异分母分式加减法则:异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为：a/b ±c/d=ad±cb/bd(3.)分式的乘法法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：a/b * c/d=ac/bd (4.)分式的除法法则:(1).两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.a/b÷c/d=ad/bc (2).除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数:a/b÷c/d=a/b*d/c7.分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.8.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).分式和分数有着许多相似点。
分式的基本性质-初中数学知识点
分式的基本性质
1．分式的基本性质
（1）分式的基本性质：
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
（2）分式中的符号法则：
分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．
【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题
1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数．
2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号．
3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的．
1 / 1。
5.1.2分式的基本性质(教案)
-在分式约分教学中，详细讲解公因式的概念，并通过多个例题展示如何寻找公因式及约分的过程。
-分式的乘除运算中，通过对比整数乘除运算，突出分式乘除的法则，并配合典型例题进行讲解。
举例解释：
-对于分式的概念抽象，教师需要通过丰富的教学资源和实际例题，帮助学生形象化理解分式的含义。
-在分式约分中，教师应着重讲解如何快速准确地找到公因式，并通过练习让学生熟悉约分的步骤。
-对于分式乘除运算，教师应设计不同难度的题目，逐步引导学生掌握运算规则，特别是分子、分母交叉相乘的步骤。
-在分式乘方运算中，教师应特别强调负指数的意义和运算规则，通过具体例题和练习，帮助学生克服这一难点。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是“5.1.2分式的基本性质”这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要分割整体或比较比例的情况？”（如：分蛋糕、计算速度等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索分式的奥秘。
5.1.2分式的基本性质（教案）
一、教学内容
本节课选自教材第五章第一节第二部分“5.1.2分式的基本性质”。主要内容为：
1.分式的定义：引入分式的概念，通过具体例子让学生理解分式的组成和意义。
2.分式的性质：
（1）分式的分子、分母同乘（除）一个非零数，分式的值不变；
（2）分式的分子、分母同时乘（除）以同一个整式，分式的值不变；
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
分式分式的基本性质
2023-11-04CATALOGUE目录•分式的定义与概念•分式的基本性质•分式的运算•分式方程•分式的简化与化简•分式在实际生活中的应用01分式的定义与概念分式的定义分子在分式$\frac{A}{B}$中，A叫做分式的分子。
分母在分式$\frac{A}{B}$中，B叫做分式的分母。
定义如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子$\frac{A}{B}$叫做分式。
分式值为0的条件当分母为0，而分子不为0时，分式的值无意义。
分式通分将异分母的分式化为同分母的分式的过程。
分式约分将分子和分母同时除以它们的公因式，将分式化简。
分式的基本概念分式的重要性分式是数学中一个重要的概念，是连接整式与分数的桥梁。
分式的运算是数学中的基本运算之一，掌握好分式的性质和运算法则是学习数学的基础。
02分式的基本性质03约分后结果约分后的结果是分子、分母没有公因式的分式或整式。
分式的约分01约分定义约分是分式的一种恒等变形，其目的是将一个分式化简成最简分式或整式。
02约分步骤首先将分子、分母的公因式提取出来，然后约去分子、分母的公因式。
分式的通分通分定义通分是将几个异分母的分式化为同分母的分式的一种恒等变形。
通分步骤首先确定每个分式的最简公分母，然后将每个分式的分子、分母同时乘以同一个不等于零的整式，化为同分母的分式。
通分后结果通分后的结果是同分母的分式。
分式的相等与不相等分式相等如果两个分式的值相等，那么这两个分式是相等的。
分式不相等如果两个分式的值不相等，那么这两个分式是不相等的。
03分式的运算1分式的加减法23将异分母分式转化为同分母分式，然后进行加减运算。
异分母分式相加减通过通分，将异分母分式转化为同分母分式。
通分分母不变，分子相加减得到结果。
分母不变，分子相加减将分子和分母进行因式分解，找到公因式并约分。
约分将分子和分母同时乘以一个不为零的数或式子，使得分母相同。
通分按照分数的乘除法规则进行计算。
分式的乘除法分式的乘除法按照运算顺序进行先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。
分式的基本性质及运算
分式的基本性质及运算一、知识提要1. 分式的定义一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有分母，那么式子AB叫做分式.2. 分式有意义分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式A B才有意义.3. 分式的基本性质分式的分子与分母同乘（或除以）一个不为0的整式，分式的值不变.4. 约分利用分式的基本性质，约去分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.5. 最简分式分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式.6. 通分利用分式的基本性质，将不同分母的几个分式化成分母相同的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.7. 最简公分母取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母.8. 分式的乘除乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.分式乘方要把分子、分母分别乘方.9. 分式的加减同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.二、精讲讲练1. 在下列各式23a π，22x x ，34a b +，(3)(1)x x +÷-，2m -，a m中是分式的有____个. 2. ①（2011浙江）当x ________时，分式x -31有意义；②若代数式1324x x x x ++÷++有意义，则x 的取值范围是 ．3. ①（2011天津）若分式211x x -+的值为0，则x 的值等于________.②若分式2(2)(3)a a a --+的值为0，则a =_______.4. 填空：①())0(,10 53≠=a axy xy a②() 1422=-+a a ③25_________20aba b =—④229_________69x x x -=-+5. 分式:①223a a ++，②22a ba b --，③412()a a b -，④12x -中，最简分式有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个6. 分式26xab ，29y a bc 的最简公分母是__________； 分式2121a a a -++，261a -的最简公分母是___________．7. 分式计算（1）222536x y y x ⋅ （2）3921243a a b b b a ⎛⎫÷÷⋅ ⎪⎝⎭（3）222441214a a a a a a -+-⋅-+- （4）3223322a a c cd d a ⎛⎫⎛⎫÷ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭（5）2222532x y xx y x y +--- （6）112323p q p q ++-8. （2011浙江）计算111a a a ---的结果为( ) A ．11a a +- B. 1a a -- C. －1 D. 1-a 9. 一件工作，甲独做a 小时完成，乙独做b 小时完成，则甲、乙两人合作完成需要( )小时. A.11a b + B.1ab C.1a b+ D.ab a b + 10. 如果21(3)(4)34x A B x x x x +=+-+-+，则A =______；B =______. 11. 甲乙两地相距S 千米，汽车从甲地到乙地按每小时v 千米的速度行驶，可按时到达；若每小时多行驶a 千米，则可提前________小时到达(保留最简结果).12. 若把分式xyy x 2+中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值（ ） A.扩大3倍 B.不变C.缩小为原来的三分之一D.缩小为原来的六分之一13. （2011江苏）已知1112a b -=，则ab a b -的值是（ ） A ．12 B ．12- C ．2 D ．－214. （2011山东）当x =2211x x x---=________. 15. （2011山东）化简：2222222a b a b a ab b a b--÷+++=__________. 16. （2011河南）先化简2144(1)11x x x x -+-÷--，然后从-2≤x ≤2的范围内选取一个合适的整数作为x 的值代入求值.17. 若实数x 、y 满足|21|0x y -++，求代数式22221244x y x y x y x xy y ---÷--+的值.18. （2011江苏）先化简，再求值22(1)(1)1a a a -+÷++，其中1a =．三、测试提高【板块一】分式的意义1. 当x 满足下列选项中的哪个时，分式25x -有意义（ ） A ．5x = B ．5x ≠ C ．5x =± D ．5x ≠±2. 已知当x =-2时，分式x b x a--无意义，x =4时，此分式的值为0，则a +b 的值为（ ） A ．6 B ．2 C ．-2 D ．-6【板块二】分式的运算3. A 、B 两地相距s 千米，小明从A 地到B 地每小时走a 千米，从B 地到A 地每小时走b千米，则他往返的平均速度是（ ） A.2b a + B.b a s +2 C.b a ab +2 D.ba ab + 4. 计算：1111x x+-+=（ ） A ．221x x - B ．0 C ．221x x + D ．21x x - 5. 下列各式计算正确的是( ) A. ba b a +=+111 B.ab m b m a m 2=+ C. aa b a b 11=+- D. 011=-+-a b b a四、课后作业1. （2011四川）当分式12x x -+的值为0时，x 的值是( ). A.0 B.1 C.-1 D.-22. （2011浙江）已知分式ax x x +--532，当x =2时，分式无意义，则a =________；3. （2011有意义，则a 的取值范围为________.4. 下列判断中，正确的是（ ）.A ．分式的分子中一定含有字母B ．当B =0时，分式A B无意义 C ．当A =0时，分式A B的值为0（A 、B 为整式） D ．分数一定是分式5. x 的2倍除以x 与y 的平方差，用分式表示是___________.6. 已知11y x y +=-，用x 的代数式表示y 为_________. 7. 下列式子正确的是（ ）. A.133m m m =++ B.122x y y x +=-- C.936321b b a a =++ D.()()yx a b y b a x =-- 8. 下列正确的是（ ）. A. 11a x a b x b ++=++ B. 22y y x x= C.(),0n na a m ma =≠ D. n n a m m a-=- 9. 下面的计算中，正确的是( ).A ．21111=-----x x x xB ．2324222242a a a a a b b b b b b a÷⋅=÷= C ．23231m m m m mm m m m m a a a b a b b b a b ÷⋅=⋅=D ．66660(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x +=-=----10. （2011山东）计算()21111m m m+÷⋅--的结果（ ）. A.－m 2－2m －1 B.－m 2＋2m －1C. m 2－2m －1D.m 2－111. （2011山东）化简：2222222a b a b a ab b a b--÷+++=__________. 12. 不改变分式52223x y x y -+的值,把分子、分母中各项系数化为整数,结果是( ). A. 2154x y x y -+ B. 4523x y x y -+ C. 61542x y x y-+ D. 121546x y x y -+ 13. （2011安徽）先化简，再求值：21211x x ---，其中x =-2.。
分式分式及其基本性质分式的基本性质
分式中的符号和数字可以表示各种数学关系和 运算。
3
定义域与值域
分式的定义域是指使分式有意义的自变量或实 数的取值范围，值域是指函数值的取值范围。
分式的基本性质
分子与分母的变换
分式的分子和分母可以同时乘 以或除以同一个非零实数，分
式的值不变。
符号的变换
分式的符号可以改变，但分式的 值不变。
电磁学
在电磁学中，分式用于描述电磁场、电容器电容等物理量，以及 用于计算这些物理量的变化。
光学
在光学中，分式用于描述光的折射、反射等规律，以及用于计算 这些现象的效应。
在化学中的应用
化学反应速率
化学反应的速率可以使用分式来表示，其中分子表示反应物 ，分母表示产物。这种表示方法可以清晰地展示化学反应的 过程和速率。
多元分式方程的解法
移项
消元法
将方程中的常数移到方程的一侧，使方程的 另一侧只剩下未知数的项。
通过消元法将多元方程转化为多个一元方程 ，从而更容易求解。
替换法
求解
通过替换法将多元方程转化为一个单变量方 程，从而更容易求解。
通过求解得到未知数的值。
05
分式在实际生活中的应用
在物理中的应用
热力学
在热力学中，我们经常使用分式来表示热力学方程以及相关的物 理量，如热量转移、能量转换等。
在中国，古代数学家已经使用分数来解决实际问题，如《九章 算术》中的分数算法和表示方法。
02
在印度，阿拉伯数学家将分数的概念和方法传入印度，并被印
度数学家进一步发展。
在欧洲，文艺复兴时期的数学家开始对分数进行更深入的研究
03
，并发展了现代的分数运算和性质。
分式在数学竞赛中的应用
分式的意义及分式的基本性质
A．分式的值为零
B.分式无意义 C. 若 a 1 时,分式的值为零 D. 若 a 1 时,分式的值为零
3
3
5. 若分式 x 无意义,则 x 的值是------------------------------------------------------(
)
x 1
A. 0
B. 1
C. -1
D. 1
分式的意义及分式的基本性质
从分数到分式 知识领航：一般地，如果 A，B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 A 叫做分式．对 B
分式的概念的理解要注意以下两点：（1）分母中应含有字母；（2）分母的值不能为零．分式的分母表示除数，由
于除数不能为 0，所以分式的分母不能为 0，即当 B 0 时，分式 A 才有意义；当 B=0 时，分式 A 无意义.由于
)
(x y)2
x y
A.2 个
B.3 个
C.4 个
D.5 个
16.下列各分式正确的是-----------------------------------------------------------------( )
A. b b2 a a2
B. a2 b2 a b ab
C. a2 2a 1 1 a 1 a
B. a b =0 ab
C. ab 1 b 1 ac 1 c 1
D. x y 1 x2 y2 x y
15.下列约分:① x = 1 3x2 3x
②am=a bm b
③ 2 =1 2 a 1 a
④ 2 xy =1 xy 2
⑤ a 2 1 =a－1 a 1
⑥ (x y) =－ 1 其中正确的有----------------------------------------------------(
七年级数学下册分式的基本性质及其运算
Ⅳ、保证凡出现的字母（或含有字母的式子)为底的幂的因式都要取。
注意：分式的分母为多项式时,一般应先因式分解。
知识点六分式的四则运算与分式的乘方
①分式的乘除法法则:
分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母。式子表示为：
分式除以分式:把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘。式子表示为
４.若 则 。
5．已知 ，则 的值是（)A． B. C.1D.
【练习】１.已知 ,则分.已知a2-６a+９与│b-1│互为相反数,则式子( )÷（a+b)的值为__＿_.
5.已知实数a，b满足ａb-a-2b＋２＝0,那么 的值等于( ）.
十．化简、求值
②分式的乘方:把分子、分母分别乘方。式子
③分式的加减法则：
同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为
异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式,然后再加减。式子表示为
整式与分式加减法:可以把整式当作一个整数,整式前面是负号，要加括号,看作是分母为1的分式,再通分。
④分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序
知识点二:与分式有关的条件
分式有意义：分母不为０( ）
分式无意义:分母为0（ )
分式值为0：分子为0且分母不为0（ )
④分式值为正或大于0：分子分母同号( 或 )
分式值为负或小于0：分子分母异号（ 或 ）
分式值为1:分子分母值相等(A=B）
分式值为-１:分子分母值互为相反数（A+Ｂ＝0）
知识点三：分式的基本性质
二．分式的值
【例题】
1.当ａ时，分式 有意义；２.当_____时,分式 无意义;
初中数学《分式的基本性质》教案
初中数学《分式的基本性质》教案一、教学内容本节课我们将学习人教版初中数学教材八年级上册第十二章《分式》第一节“分式的基本性质”。
具体内容包括分式的概念、分式的基本性质以及分式的约分。
二、教学目标1. 理解并掌握分式的概念，能够正确书写分式。
2. 掌握分式的基本性质，能够运用这些性质进行分式的简化。
3. 学会分式的约分方法，能够熟练地进行分式的约分。
三、教学难点与重点教学难点：分式的基本性质以及运用这些性质进行分式的简化。
教学重点：分式的概念、分式的约分。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、教学PPT。
2. 学具：练习本、铅笔。
五、教学过程1. 实践情景引入：通过实际生活中的例子，如分数表示的巧克力分享问题，引出分式的概念。
2. 教学新课：（1）讲解分式的定义，让学生理解分式的意义。
（2）通过例题讲解分式的基本性质，如分子分母同乘（除）一个不等于0的整式，分式的值不变。
（3）进行随堂练习，让学生运用分式的基本性质进行分式的简化。
3. 知识巩固：讲解分式的约分方法，让学生通过练习掌握约分技巧。
六、板书设计1. 分式的定义2. 分式的基本性质3. 分式的简化方法4. 分式的约分方法七、作业设计1. 作业题目：（1）化简分式：$\frac{3x^2}{6x}$。
（2）已知分式$\frac{2x4}{3x6}$的值与分式$\frac{x2}{x3}$的值相等，求$x$的值。
2. 答案：（1）$\frac{x}{2}$（2）$x=1$八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对分式的概念和基本性质掌握情况良好，但对分式的约分方法掌握不够熟练，需要在课后加强练习。
2. 拓展延伸：研究分式的乘除运算，为下一节课的学习打下基础。
重点和难点解析需要重点关注的细节包括：1. 分式基本性质的理解与应用2. 分式约分方法的掌握3. 实践情景引入的有效性4. 作业设计的针对性与难度一、分式基本性质的理解与应用1. 分式的分子和分母同乘（除）一个不等于0的整式，分式的值不变。
分式及分式的基本性质
中小学1对1课外辅导专家武汉龙文教育学科辅导讲义授课对象 授课教师授课时间 授课题目 分式及分式的基本性质课 型 新课使用教具讲义 纸 笔教学目标 主要学习分式的概念，分式的基本性质及应用 教学重难点主要学习分式的概念，分式的基本性质及应用教学流程及授课详案知识归纳 一、基本概念①表示两个数相除，且除式中含有字母，像这样的代数式就叫做分式。
分式中字母的取值不能使分母为零。
当分母的值为零时，分式就没有意义。
②分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变。
分式的基本性质是进行分式化简的运算和依据。
把分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
二、基本性质 1．分式的基本性质：MB M A MB M A B A÷÷=⨯⨯=2．分式的变号法则：ba ba ba ba =--=+--=--典型例题（一）分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义【例1】下列代数式中：yx y x yx yxba b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有： .题型二：考查分式有意义的条件【例2】当x 有何值时，下列分式有意义（1）44+-x x （2）232+xx （3）122-x（4）3||6--x x （5）xx 11-题型三：考查分式的值为0的条件【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0.（1）31+-x x （2）42||2--xx （3）653222----x xx x（二）分式的基本性质及有关题型题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1）yx yx 41313221+-（2）ba b a +-04.003.02.0题型二：分数的系数变号【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（1）yx y x --+- （2）ba a ---（3）ba ---题型三：化简求值题 【例3】已知：511=+y x ，求yxy x y xy x +++-2232的值. 提示：整体代入，①xyy x 3=+，②转化出yx 11+.【例4】已知：21=-xx ，求221xx +的值.【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求yx 241-的值.巩固训练1．在2221123,0,,13,,,,323x y xxx x x x y π+--中，整式和分式的个数分别为（ ）A ．5，3B ．7，1C ．6，2D ．5，2 2．若分式221x x x --+的值为0，则x 的值为（ ）A ．x =－1或x=2B 、x =0C ．x =2D ．x =－1 3．计算11()x x xx-÷-所得正确结果为（）11..1 ..111A B C D x x -+-4．若将分式a+bab (a 、b 均为正数）中的字母a 、b 的值分别扩大为原来的2倍，则分式的值为（ ）A ．扩大为原来的2倍B ．缩小为原来的12C ．不变D ．缩小为原来的145．如果分式2||55x x x-+的值为0，那么x 的值是（ ）A ．0B ．5C ．－5D ．±5 6．把分式22x y x y+-中的x ，y 都扩大2倍，则分式的值（ ）A ．不变B ．扩大2倍C ．扩大4倍D ．缩小2倍 7．下列分式中322222222222212,,,,312ax y m nm a ab bx x y m n m a ab b-++-++----,最简分式有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 8．使分式224x x +-等于0的x 值为（ ）A ．2B ．－2C ．±2D ．不存在 9．下列各式中正确的是（ ）....a b a b a b a b A B a b a b a b a b a b a b a ba b C D a ba ba bb a-++--==-----++--+-+-==-+-+-10．下列计算结果正确的是（ ）22222211..()223..()955ba ab A B a ab a b ab a am n n xy xy C D xy x x maa--=-÷-=-÷=÷=11. 某种长途电话的收费方式如下：接通电话的第一分钟收费元，之后的每一分钟收费元．如果某人打该长途电话被收费8元钱，则此人打长途电话的时间是（ ）A ．分钟B ．分钟C ．分钟D ．分钟二、填空题 1．若分式||55y y--的值等于0，则y= __________ ．2．在比例式9:5=4:3x 中，x=_________________ ． 3．当x> __________时，分式213x--的值为正数．4．已知x+1x=3，则x 2+21x= ________ ．5．已知分式212x x +-:当x= _ 时，分式没有意义；当x= _______时，分式的值为0；当x=－2时，分式的值为_______．6．一辆汽车往返于相距akm 的甲、乙两地，去时每小时行mkm ，•返回时每小时行nkm ，则往返一次所用的时间是_____________． 7. x 时，分式4122-+x x 有意义； 当x= 时，分式的值为零。
初中数学分式的基本性质及约分
初中数学分式的基本性质及约分
一、分式的基本性质
分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
字母表示：C B C ••=A B A ，C
B C ÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。
拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变， 即：B
B A B B --=--=--=A A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意
C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。
二、分式的约分
1．定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
2．步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。
3．注意：①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。
4．最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。
◆约分时。
分子分母公因式的确定方法：
1)系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数.
2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式.
3)如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式.。
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2、分式有意义的条件：当B≠0时，分式有意义）。
3、分式的值为零的条件：当A=0，B≠0时，分式值为0。
4、有理式：整式和分式统称为有理式。
5、分式的基本性质：分式的分子、分母同乘以或除以一个不为0的整式，分式的值不变。
注：（1）约分和通分的依据都是分式的基本性质
（2）分式的约分和通分都是互逆运算过程。
①约分——最简分式②通分——最简公分母
6、分式的约分步骤：
（1）如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去。
（2）分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。
注：公因式的提取方法：系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数，即为它们的公因式。
7、最简分式：一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式。约分时，一般将一个分式化为最简分式。
8、分式的通分步骤：
先求出所有分式分母的最简公分母，再将所有分式的分母变为最简公分母。同时各分式按照分母所扩大的倍数，相应扩大各自的分子。
注：最简公分母的确定方法：
系数取各因式系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂及单独字母的幂的乘积。