产品生命周期曲线预测模型及其在营销决策中的应用

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图 1 产品生命周期曲线图

龚柏兹曲线,是美国统计学家和数学家龚柏兹(Gom鄄pertz)首先提出用作控制人口增长率的一种模型,可以利用它来进行产品生命周期预测。其预测模型为:

式中:——预测值;K——限值或饱和点;参数a决定曲线的位置;参数b决定曲线中间部分的斜率;参数t——时间权数,时间单位为年、季、月、旬、周、日,可通过事先进行市场调查研究后选定。

对求一、二阶导数,有

并令=0,可求得曲线拐点P的位置为(t,)→( ,),00,00。此时,为增函数,即随t的增大而增大。且在点P出现转折,的增长率由逐渐增大变为逐渐减小。拐点P1

是投入期与成长期的转折点P1点下左曲线为投入期,P1点上右方向曲线为成长期,当到达K点(这是因为根据经济学四舍五入原理)则达到成熟期顶点。整个成熟期可分为成熟前期和成熟后期,它是以=K 点所对应的t点值±σi(i=1,2,3),σi的取值应视整个产品生命周期的时间长短而选定。若生命周期短,在1年以下(如几个月),则选σi =1;若周期为中(1年至5年)则应选σi =2;若周期>5年属于长周期,则应选σi =3。当t=0时,=Ka即为P0点,此点为投入期的原点。当t→-∞时,由于b t→∞,→0,有→0;当t→+∞时,由于b t→0,→1,有→K故=0和=K都是它的渐近线。它的图形是一条对称的S形曲线。

为了确定模型中的参数,通常把该预测模型改写为对数形式:

若令=log ,K=logK,a=loga,则上式变为:

=K+abt

此式为一修正指数曲线预测模型,仿此模型求常数的方法,如用三段对数总和法:设r为原始数据观察值n的1/3,若n不能被3整除,则去掉远期的首项和第二项数据即可。

、、分别为观察值总数据三等分后的各部份对数值之和。可得b,loga,logK的计算公式:

对于loga、logK求反对数可得a、K之值。

应当指出,龚柏兹曲线只能预测到成熟期,而对衰退期则无能为力。那么,怎样才能预测衰退期呢?根据经济学原理,产品进入衰退期是产品的销售量或销售额从饱和点K逐渐下降,从=K点向横轴

Ot作垂线KT,以KT为中心轴线将其左边象限的正S型曲线翻转180°到中心轴线KT右方象限中的反向S型曲线就是衰退期曲线了,衰退期曲线与投入期和成长期曲线之值正好大小相等且方向相反,就可以直接读出与之对应的衰退期各个时点的预测值了。

三、案例分析

某地市场某耐用消费品,通过市场调查获得2000年~2005年的实际销售量观察值数据资料如表1所

列。试用产品生命周期曲线预测模型,预测2006年及以后的各年份该产品的市场需求量预测值,并要求求出该产品的生命周期的投入、成长、成熟和衰退期的临界值和不同时期的预测值。

表1 产品生命周期预测计算表

单位:千台

现将预测的方法与分述如下:

第一步,运用三段对数总和法求出a,b,k的值。

设r为原始数据观察值n的1/3,每段的个数,则:

第二步,根据3式可求得参数a的预测值为:

由(4)式可求得极限k的预测值:

把求得的a,b,k的值代入(1)式,即为所求的产品生命周期曲线总预测模型:

第三步,将t=0,1,2,3,……,31,分别代入总预测模型,可求出2006年到2062年各年份该产品销售量(即需求量)预测值,如表1所列,并用对数坐标来表示,如图2所示。

图 2 产品生命周期预测对数坐标图

第四步,确定产品生命周期各阶段的临界值。

当t=0,即在2000年,第一个拐点P(t=0,ka=151.356×0.064=9.687)为产品投入期的原点。

第二个拐点P1(2.303,55.681)为产品投入期与成长期的临界点。因此,该产品的投入期从2000年至2002年4月结束。成长期从2002年4月份开始至2028年结束。

成熟期是接近或达到极限值K点的时期,以K点的t值±σi (因预测值期限>5年故σi =3)为宜,本例当K=151.356(千台),t=31为2031年,t=31-3,则t=28从2028年~2031年为成熟前期,t=31+3,则t=34从2031年~2034年为成熟后期,则整个成熟期,具体年份为从2028年开始到2034年,从2034

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