产品生命周期曲线预测模型及其在营销决策中的应用

图 1 产品生命周期曲线图

龚柏兹曲线，是美国统计学家和数学家龚柏兹(Gom鄄pertz)首先提出用作控制人口增长率的一种模型，可以利用它来进行产品生命周期预测。其预测模型为：

式中：——预测值；K——限值或饱和点；参数a决定曲线的位置；参数b决定曲线中间部分的斜率；参数t——时间权数，时间单位为年、季、月、旬、周、日，可通过事先进行市场调查研究后选定。

对求一、二阶导数，有

并令=0，可求得曲线拐点P的位置为(t，)→( ，)，00，00。此时，为增函数，即随t的增大而增大。且在点P出现转折，的增长率由逐渐增大变为逐渐减小。拐点P1

是投入期与成长期的转折点P1点下左曲线为投入期，P1点上右方向曲线为成长期，当到达K点(这是因为根据经济学四舍五入原理)则达到成熟期顶点。整个成熟期可分为成熟前期和成熟后期，它是以=K 点所对应的t点值±σi（i=1，2，3），σi的取值应视整个产品生命周期的时间长短而选定。若生命周期短，在1年以下(如几个月)，则选σi =1；若周期为中(1年至5年)则应选σi =2；若周期>5年属于长周期，则应选σi =3。当t=0时，=Ka即为P0点,此点为投入期的原点。当t→－∞时，由于b t→∞，→0，有→0；当t→＋∞时，由于b t→0，→1，有→K故=0和=K都是它的渐近线。它的图形是一条对称的S形曲线。

为了确定模型中的参数，通常把该预测模型改写为对数形式：

若令=log ，K=logK，a=loga，则上式变为：

=K+abt

此式为一修正指数曲线预测模型，仿此模型求常数的方法，如用三段对数总和法：设r为原始数据观察值n的1/3，若n不能被3整除，则去掉远期的首项和第二项数据即可。

、、分别为观察值总数据三等分后的各部份对数值之和。可得b，loga，logK的计算公式：

对于loga、logK求反对数可得a、K之值。

应当指出，龚柏兹曲线只能预测到成熟期，而对衰退期则无能为力。那么，怎样才能预测衰退期呢？根据经济学原理，产品进入衰退期是产品的销售量或销售额从饱和点K逐渐下降，从=K点向横轴

Ot作垂线KT，以KT为中心轴线将其左边象限的正S型曲线翻转180°到中心轴线KT右方象限中的反向S型曲线就是衰退期曲线了，衰退期曲线与投入期和成长期曲线之值正好大小相等且方向相反，就可以直接读出与之对应的衰退期各个时点的预测值了。

三、案例分析

某地市场某耐用消费品，通过市场调查获得2000年～2005年的实际销售量观察值数据资料如表1所

列。试用产品生命周期曲线预测模型，预测2006年及以后的各年份该产品的市场需求量预测值，并要求求出该产品的生命周期的投入、成长、成熟和衰退期的临界值和不同时期的预测值。

表1 产品生命周期预测计算表

单位：千台

现将预测的方法与分述如下：

第一步，运用三段对数总和法求出a，b，k的值。

设r为原始数据观察值n的1/3，每段的个数，则：

第二步，根据3式可求得参数a的预测值为：

由(4)式可求得极限k的预测值：

把求得的a，b，k的值代入(1)式，即为所求的产品生命周期曲线总预测模型：

第三步，将t=0，1，2，3，……，31，分别代入总预测模型，可求出2006年到2062年各年份该产品销售量(即需求量)预测值，如表1所列，并用对数坐标来表示，如图2所示。

图 2 产品生命周期预测对数坐标图

第四步，确定产品生命周期各阶段的临界值。

当t=0，即在2000年，第一个拐点P(t=0，ka=151.356×0.064=9.687)为产品投入期的原点。

第二个拐点P1(2.303，55.681)为产品投入期与成长期的临界点。因此，该产品的投入期从2000年至2002年4月结束。成长期从2002年4月份开始至2028年结束。

成熟期是接近或达到极限值K点的时期，以K点的t值±σi (因预测值期限>5年故σi =3)为宜，本例当K=151.356(千台)，t=31为2031年，t=31－3，则t=28从2028年～2031年为成熟前期，t=31＋3，则t=34从2031年～2034年为成熟后期，则整个成熟期，具体年份为从2028年开始到2034年，从2034