运筹学精品课件(8)
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运筹学课件 第8章 网络计划
• 美国海军武器局—计划评审技术PERT：类似流程 图的箭线图，它描绘出项目包含的各种活动的先 后顺序，表明每项活动的时间或相关的成本。主 要用于研究与开发项目。
基本概念
• 网络图（赋权有向图）：由箭线和节点构成，用 来表示工作流程的有向、有序的网状图形。它反 映整个工程任务的分解和合成。
5
1
2
a
网络计划
网络图 时间参数的计算 网络计划的优化和实施管理 图解评审法简介
基本概念
• 网络计划是通过网络图的制作，进行计划的优化， 通过其关键路线，实现管理者对工程项目的进度 控制。简单说，就是用网络分析的方法进行工程 项目计划和控制的一项管理技术。
• 杜邦公司—关键路线法CPM：是一个动态系统， 会随着项目的进度不断更新。主要用于以往在类 似工程中已取得一定经验的承包工程。
还要注意以下规则：
（1）网络图只能有一个总起点事项，一个总终 点事项
3
4
1
6
7
9
2
5
8
（2）网络图是有向图，不允许有回路
3
5
1
2
6
7
4
（3）节点i、j之间不允许有两个或两个以上的工 作
b
1
2
a
（4）虚工序的运用
3
4
7
1
6
9
2
5
8
（5）必须正确表示工作之间的前行、后继关系
b a
c
a c
b
1a
c4
• 路线的长度：完成该路线上的各项工序持续时间 的长度之和。
• 关键路线：网路中花费时间最长的时间和活动的 序列
• 次关键路线：花费时间次长的时间和活动的序列 • 关键工序：关键路线上的工序 • 工序时间（权），完成工序的时间消耗
基本概念
• 网络图（赋权有向图）：由箭线和节点构成，用 来表示工作流程的有向、有序的网状图形。它反 映整个工程任务的分解和合成。
5
1
2
a
网络计划
网络图 时间参数的计算 网络计划的优化和实施管理 图解评审法简介
基本概念
• 网络计划是通过网络图的制作，进行计划的优化， 通过其关键路线，实现管理者对工程项目的进度 控制。简单说，就是用网络分析的方法进行工程 项目计划和控制的一项管理技术。
• 杜邦公司—关键路线法CPM：是一个动态系统， 会随着项目的进度不断更新。主要用于以往在类 似工程中已取得一定经验的承包工程。
还要注意以下规则：
（1）网络图只能有一个总起点事项，一个总终 点事项
3
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（2）网络图是有向图，不允许有回路
3
5
1
2
6
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4
（3）节点i、j之间不允许有两个或两个以上的工 作
b
1
2
a
（4）虚工序的运用
3
4
7
1
6
9
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5
8
（5）必须正确表示工作之间的前行、后继关系
b a
c
a c
b
1a
c4
• 路线的长度：完成该路线上的各项工序持续时间 的长度之和。
• 关键路线：网路中花费时间最长的时间和活动的 序列
• 次关键路线：花费时间次长的时间和活动的序列 • 关键工序：关键路线上的工序 • 工序时间（权），完成工序的时间消耗
运筹学课件PPT课件
整数规划的解法
总结词
整数规划的解法可以分为精确解法和近似解法两大类。
详细描述
整数规划的解法可以分为两大类，一类是精确解法，另一类是近似解法。精确解法包括割平面法、分支定界法等， 这些方法可以找到整数规划的精确最优解。而近似解法包括启发式算法、元启发式算法等，这些方法可以找到整 数规划的近似最优解，但不一定能保证找到最优解。
模拟退火算法采用Metropolis准则来 判断是否接受一个较差解，即如果新 解的能量比当前解的能量低，或者新 解的能量虽然较高但接受的概率足够 小，则接受新解。
模拟退火算法的应用
01
模拟退火算法在旅行商问题中得到了广泛应用。通过模拟退火算 法，可以求解旅行商问题的最优解，即在给定一组城市和每对城 市之间的距离后，求解访问每个城市恰好一次并返回出发城市的 最短路径。
动态规划的解法
确定问题的阶段和状态
首先需要确定问题的阶段和状态，以便将问 题分解为子问题。
建立状态转移方程
根据问题的特性，建立状态转移方程，描述 状态之间的转移关系。
求解子问题
求解每个子问题，并存储其解以供将来使用。
递推求解
从最后一个阶段开始，通过递推方式向前求 解每个阶段的最优解。
动态规划的应用
线性规划的解法
单纯形法
01
单纯形法是求解线性规划问题的经典方法，通过迭代过程逐步
找到最优解。
对偶理论
02
对偶理论是线性规划的一个重要概念，它通过引入对偶问题来
简化求解过程。
分解算法
03
分解算法是将大规模线性规划问题分解为若干个小问题，分别
求解后再综合得到最优解。
线性规划的应用
生产计划
线性规划可以用于生产计划问题， 通过优化资源配置和生产流程， 提高生产效率和利润。
第8章 动态规划《管理运筹学》PPT课件
Vk,n (sk , uk , , sn1) fk [sk , uk ,Vk 1,n (sk 1, uk 1, , 1)] ③函数 fk (sk , uk ,Vk 1,n ) 对于变量 Vk1,n 要严格单调。
8.2 动态规划模型建立
下面以投资问题为例介绍动态规划的建模条件。
【例8-2】 某公司现有资金20万元，若投资于三个
8.1 动态规划基础知识
（5）状态转移方程：状态转移方程是确定过程由一
个状态转移到另一个状态的演变过程。动态规划中某一状
态以及该状态下的决策，与下一状态之间具有一定的函数
关系，称这种函数关系的表达式为状态转移方程。如果第
k段的状态为 sk ，该阶段的决策为
的状态就可以用下式来表示：
uk
sk
，则第k+1段
阶段的指标函数，是该阶段最优的指标函数。
8.2 动态规划模型建立
建立动态规划模型，就是在分析实际问题的基础上建 立该问题的动态规划基本方程。成功地应用动态规划方法 的关键，在于识别问题的多阶段特征，将问题分解成为可 用递推关系式联系起来的若干子问题，或者说正确地建立 具体问题的基本方程，这需要经验与技巧。而正确建立基 本递推关系方程的关键又在于正确选择状态变量，保证各 阶段的状态变量具有递推的状态转移关系。
第8章 动态规划
动态规划(DYnamic Programming，缩写为DP)方法 ，是本世纪50年代初期由美国数学家贝尔曼(Richard E ，Bellman)等人提出，后来逐渐发展起来的数学分支， 它是一种解决多阶段决策过程最优化问题的数学规划法 。动态规划的数学模型和求解方法比较灵活，对于连续 的或离散的，线性的或非线性的，确定性的或随机性的 模型，只要能构成多阶段决策过程，便可用动态规划方 法求其最优解。因而在自然科学、社会科学、工程技术 等许多领域具有广泛的用途，甚至一定程度上比线性规 划（LP）、非线性规划（NLP）有成效，特别是对于某 些离散型问题，解析数学无法适用，动态规划方法就成 为非常有用的求解工具。
8.2 动态规划模型建立
下面以投资问题为例介绍动态规划的建模条件。
【例8-2】 某公司现有资金20万元，若投资于三个
8.1 动态规划基础知识
（5）状态转移方程：状态转移方程是确定过程由一
个状态转移到另一个状态的演变过程。动态规划中某一状
态以及该状态下的决策，与下一状态之间具有一定的函数
关系，称这种函数关系的表达式为状态转移方程。如果第
k段的状态为 sk ，该阶段的决策为
的状态就可以用下式来表示：
uk
sk
，则第k+1段
阶段的指标函数，是该阶段最优的指标函数。
8.2 动态规划模型建立
建立动态规划模型，就是在分析实际问题的基础上建 立该问题的动态规划基本方程。成功地应用动态规划方法 的关键，在于识别问题的多阶段特征，将问题分解成为可 用递推关系式联系起来的若干子问题，或者说正确地建立 具体问题的基本方程，这需要经验与技巧。而正确建立基 本递推关系方程的关键又在于正确选择状态变量，保证各 阶段的状态变量具有递推的状态转移关系。
第8章 动态规划
动态规划(DYnamic Programming，缩写为DP)方法 ，是本世纪50年代初期由美国数学家贝尔曼(Richard E ，Bellman)等人提出，后来逐渐发展起来的数学分支， 它是一种解决多阶段决策过程最优化问题的数学规划法 。动态规划的数学模型和求解方法比较灵活，对于连续 的或离散的，线性的或非线性的，确定性的或随机性的 模型，只要能构成多阶段决策过程，便可用动态规划方 法求其最优解。因而在自然科学、社会科学、工程技术 等许多领域具有广泛的用途，甚至一定程度上比线性规 划（LP）、非线性规划（NLP）有成效，特别是对于某 些离散型问题，解析数学无法适用，动态规划方法就成 为非常有用的求解工具。
运筹学课件8_单纯形法特殊形式
Algebraic Tabular
Why is the standard form the standard form?
8
4.6 ADAPTING TO OTHER MODEL FORMS
Maximize Z
The simplex method uses one criteria to choose entering basic variables
Tie for the leaving basic variable
Two or more basic variables reach zero simultaneously as the entering basic variable is increased in value
A basic variable is zero in a BFS
4.5 TIE BREAKING IN THE SIMPLEX METHOD
Different Situations Encountered with the Simplex Method
So far all examples have started in the standard form and have had a single optimal solution Other possibilities
<= constraints, Non-negativity constraints
Starting the Simplex method with an initial basic feasible solution is easy – What is this initial BFS?
9
What Constitutes Non-standard Form?
Why is the standard form the standard form?
8
4.6 ADAPTING TO OTHER MODEL FORMS
Maximize Z
The simplex method uses one criteria to choose entering basic variables
Tie for the leaving basic variable
Two or more basic variables reach zero simultaneously as the entering basic variable is increased in value
A basic variable is zero in a BFS
4.5 TIE BREAKING IN THE SIMPLEX METHOD
Different Situations Encountered with the Simplex Method
So far all examples have started in the standard form and have had a single optimal solution Other possibilities
<= constraints, Non-negativity constraints
Starting the Simplex method with an initial basic feasible solution is easy – What is this initial BFS?
9
What Constitutes Non-standard Form?
运筹学-最短路问题[课件参考]
![运筹学-最短路问题[课件参考]](https://img.taocdn.com/s3/m/199eaa4c5727a5e9846a6140.png)
Page 10
1、最短路算法基于以下原理：
一个最优策略的任一子策略也是最优策略.
若P是从vs到vt间的最短路, vi是P中的一个点,则vs到vi的最
短路就是从vs 沿P到vi的那条路。 v2
v4
v1
v3
v5
v1 →v2 →v3一定是v1 →v3的最短路，
v2 →v3 →v4也一定是v2 →v4的最短路。
2.设节点 vi 为刚得到P标号的点，考虑点vj，其中 (vi , v j ) E ，且vj为T标号。对vj的T标号进行如下修改：
T (v j ) min[T (v j ) , P(vi ) wi j ]
3.比较与vi相邻的所有具有T标号的节点，把最小者改为P 标号，即： P(vk ) min[T (vi )]
精选课件
Chapter8 图与网络优化
本章主要内容：
§8.1 图的基本概念 §8.2 树 §8.3 最短路问题 §8.4 网络最大流问题 §8.5 最小费用最大流问题 §8.6 中国邮递员问题
精选课件
Page 3
§8.3 最短路问题
The Shortest-Path Problem
精选课件
§8.3 最短路问题
Page 17
解 :(1)首先给v1以P标号，给其余所有点T 标号。
P(v1) 0,T (vi ) (i 2, 3, , 8)，(v1) 0;
(2) T (v2 ) min{T (v2 ), P(v1 ) w12 } min{ , 0 3} 3
T (v4 ) min{T (v4 ), P(v1 ) w14 } min{ , 0 7} 7
精选课件
§8.3 最短路问题
运筹学课件ppt下载
通过具体案例展示线性规划问题 的建模过程，如生产计划、资源 分配等问题。
单纯形法求解过程
单纯形法原理
介绍单纯形法的基本思想、算法步骤和求解 过程。
迭代过程
详细阐述单纯形法的迭代过程，包括入基、 出基、检验数计算等操作。
初始可行解
讲解如何找到一个初始可行解作为算法的起 点。
终止条件
说明单纯形法的终止条件及如何判断最优解 。
存储模型要素
需求、补充、成本、存储策略等。
常见存储模型
经典EOQ模型、动态规划模型、随机存储模 型等。
存储论求解方法及实例分析
求解方法
数学解析法、数值计算法、仿真模拟 法等。
实例分析
以某企业为例，运用存储论优化其库 存管理策略，降低库存成本。
排队论基本概念及模型构建
排队论定义
研究等待线（队列）的数学理论和方法，又称随机服务系统理论。
最短路径问题
通过实例分析最短路径问题 的动态规划解法，如
Dijkstra算法、Floyd算法等 。
1
背包问题
针对不同类型的背包问题， 探讨其动态规划解法及应用
场景。
资源分配问题
研究资源分配问题的动态规 划模型及求解方法，如多阶 段资源分配问题等。
生产与存储问题
分析生产与存储问题的动态 规划解法，讨论其在企业生 产管理中的应用。
整数约束
决策变量需满足整数约束条件，如人员数量、设备台 数等。
目标函数选择
根据问题类型，选择合适的目标函数，如成本最小化 、利润最大化等。
分支定界法求解过程
初始可行解
通过松弛整数约束，得到一个初始可 行解。
分支过程
根据初始可行解，将问题分解为若干 个子问题，分别求解。
《高等运筹学》课件
动态规划的应用案例
总结词
列举几个动态规划在实际问题中的应用案例，包括生产与存储问题、背包问题、排程问 题等。
详细描述
动态规划的应用案例包括生产与存储问题，通过动态规划方法确定最佳的生产和存储策 略，以最小化总成本；背包问题，通过动态规划求解给定重量限制和价值总和最大的物 品组合；排程问题，通过动态规划安排任务或活动的最佳顺序，以最小化总完成时间。
详细描述
整数规划的数学模型可以表示为 在满足一系列约束条件下，最小 化或最大化一个目标函数，其中 决策变量是整数。约束条件可以 是等式或不等式，并且可以包含 其他决策变量。
整数规划的求解方法
总结词
整数规划的求解方法可以分为精确求解和近似求解两大类。
详细描述
精确求解方法包括分支定界法、割平面法等，这些方法可以找到整数规划问题的最优解，但计算复杂度较高，对 于大规模问题难以求解。近似求解方法包括启发式算法、元启发式算法等，这些方法可以在较短的时间内找到近 似最优解，但解的质量与问题的规模和约束条件有关。
整数规划的应用案例
总结词
整数规划在金融领域也有广泛应用， 如投资组合优化、风险管理等。
详细描述
在投资组合优化中，整数规划可以用 于确定最优的投资组合方案，实现风 险和收益的平衡。在风险管理中，整 数规划可以用于确定最优的风险控制 策略，降低风险损失。
04
非线性规划
非线性规划的定义与模型
总结词
非线性规划是一种数学优化方法，用于解决 目标函数和约束条件均为非线性函数的问题 。
06
动态规划
动态规划的定义与模型
总结词
详述动态规划的基本定义，包括其核心思想、特点以 及在优化问题中的应用。
详细描述
《运筹学》全套课件(完整版)
负指数分布、几何分布、爱尔朗分布等。
服务时间分布
负指数分布、确定型分布、一般分布等。
顾客到达和服务时间的独立性
假设顾客到达和服务时间是相互独立的。
单服务台排队系统
M/M/1排队系统
顾客到达服从泊松分布，服务时间服从负指 数分布，单服务台。
M/D/1排队系统
顾客到达服从泊松分布，服务时间服从确定 型分布，单服务台。
投资组合优化
确定投资组合中各种资产的最 优配置比例，以最大化收益或
最小化风险。
03
整数规划
整数规划问题的数学模型
01
整数规划问题的定 义
整数规划是数学规划的一个分支 ，研究决策变量取整数值的规划 问题。
02
整数规划问题的数 学模型
包括目标函数、约束条件和决策 变量，其中决策变量要求取整数 值。
03
Edmonds-Karp算法
介绍Edmonds-Karp算法的原理、步骤和实现方法，以及其与FordFulkerson算法的比较。
网络最大流问题的应用
列举网络最大流问题在资源分配、任务调度等领域的应用案例。
最小费用流问题
最小费用流问题的基本概 念
介绍最小费用流问题的定义、 分类和应用背景。
Bellman-Ford算法
优点是可以求解较大规模的整数规划问题，缺点是计算量较大，需 要较高的计算精度。
割平面法
割平面法的基本思想
通过添加新的约束条件（割平面）来缩小可行域的范围，从而逼 近最优解。
割平面法的步骤
包括构造割平面、求解子问题和更新割平面三个步骤，通过不断 迭代找到最优解。
割平面法的优缺点
优点是可以处理较复杂的整数规划问题，缺点是构造割平面的难 度较大，需要较高的数学技巧。
服务时间分布
负指数分布、确定型分布、一般分布等。
顾客到达和服务时间的独立性
假设顾客到达和服务时间是相互独立的。
单服务台排队系统
M/M/1排队系统
顾客到达服从泊松分布，服务时间服从负指 数分布，单服务台。
M/D/1排队系统
顾客到达服从泊松分布，服务时间服从确定 型分布，单服务台。
投资组合优化
确定投资组合中各种资产的最 优配置比例，以最大化收益或
最小化风险。
03
整数规划
整数规划问题的数学模型
01
整数规划问题的定 义
整数规划是数学规划的一个分支 ，研究决策变量取整数值的规划 问题。
02
整数规划问题的数 学模型
包括目标函数、约束条件和决策 变量，其中决策变量要求取整数 值。
03
Edmonds-Karp算法
介绍Edmonds-Karp算法的原理、步骤和实现方法，以及其与FordFulkerson算法的比较。
网络最大流问题的应用
列举网络最大流问题在资源分配、任务调度等领域的应用案例。
最小费用流问题
最小费用流问题的基本概 念
介绍最小费用流问题的定义、 分类和应用背景。
Bellman-Ford算法
优点是可以求解较大规模的整数规划问题，缺点是计算量较大，需 要较高的计算精度。
割平面法
割平面法的基本思想
通过添加新的约束条件（割平面）来缩小可行域的范围，从而逼 近最优解。
割平面法的步骤
包括构造割平面、求解子问题和更新割平面三个步骤，通过不断 迭代找到最优解。
割平面法的优缺点
优点是可以处理较复杂的整数规划问题，缺点是构造割平面的难 度较大，需要较高的数学技巧。
运筹学课件 08运输问题
销 产 A1 A2 ┇ Am 销量 B1 x11 x21 ┇ xm1 b1 B2 x12 x22 ┇ xm2 b1 … ┇ … Bn x1n x2n ┇ xmn bn 产量 a1 a2 ┇ am
min z cij xij
i 1 j 1
m
n
ui
vj
n x a m个 ( i 1 , , m ) ij i j 1 m xij b j ( j 1, , n ) i 1 xij 0 ( i 1 , , m ; j 1 , , n ) n个
例 某货物，其产地A1的产量为10单位，A2的产量为 2单位，销地A3、A4、A5的销量分别为3单位、1单位 和8单位，其中产地A2、销A4又可作为中转站。同时 ，货物可通过纯中转站A6进行运输。各产地、销地及 中转站之间的单位物资运价如表所示，试求一个使总 运费最省的调运方案。
设ui,vj为对偶变量，对偶问题模型为
max w a i u i b j v j
m
n
ui v j cij
i 1
ji
ui‚vj无约束 （i=1,2, …,m;j=1,2, …,n)
§2
计算步骤：
表上作业法
(1) 找出初始调运方案。即在(m×n)产销平衡表 上给出m+n-1个数字格。(最小元素法或差值法） 确定m+n-1个基变量 (2) 求检验数。（闭回路法或位势法） 判别是否 达到最优解。如已是最优解，则停止计算，否则 转到下一步。 空格 (3) 对方案进行改善，找出新的调运方案。（表上 闭回路法调整） (4) 重复（2）、（3），直到求得最优调运方案。
§4
运输问题的扩展
供不应求 供过于求
本 节 重 点
min z cij xij
i 1 j 1
m
n
ui
vj
n x a m个 ( i 1 , , m ) ij i j 1 m xij b j ( j 1, , n ) i 1 xij 0 ( i 1 , , m ; j 1 , , n ) n个
例 某货物，其产地A1的产量为10单位，A2的产量为 2单位，销地A3、A4、A5的销量分别为3单位、1单位 和8单位，其中产地A2、销A4又可作为中转站。同时 ，货物可通过纯中转站A6进行运输。各产地、销地及 中转站之间的单位物资运价如表所示，试求一个使总 运费最省的调运方案。
设ui,vj为对偶变量，对偶问题模型为
max w a i u i b j v j
m
n
ui v j cij
i 1
ji
ui‚vj无约束 （i=1,2, …,m;j=1,2, …,n)
§2
计算步骤：
表上作业法
(1) 找出初始调运方案。即在(m×n)产销平衡表 上给出m+n-1个数字格。(最小元素法或差值法） 确定m+n-1个基变量 (2) 求检验数。（闭回路法或位势法） 判别是否 达到最优解。如已是最优解，则停止计算，否则 转到下一步。 空格 (3) 对方案进行改善，找出新的调运方案。（表上 闭回路法调整） (4) 重复（2）、（3），直到求得最优调运方案。
§4
运输问题的扩展
供不应求 供过于求
本 节 重 点