分式整章知识点及练习题
(完整版)初中数学分式章节知识点及典型例题解析
分式的知识点及典型例题分析1、分式的定义：例：下列式子中，y x +15、8a 2b 、-239a 、y x b a --25、4322b a -、2—a 2、m 1、65xy x 1、21、212+x 、πxy 3、y x +3、ma 1+中分式的个数为( ) （A ） 2 （B ） 3 (C ） 4 (D) 5 练习题：（1）下列式子中，是分式的有 .⑴275x x -+； ⑵ 123x -；⑶25a a -；⑷22x x π--；⑸22b b -；⑹222xy x y +。
(2）下列式子,哪些是分式？5a -； 234x +；3y y ; 78x π+;2x xy x y +-；145b-+。
2、分式有，无意义,总有意义:(1）使分式有意义：令分母≠0按解方程的方法去求解； （2）使分式无意义：令分母=0按解方程的方法去求解； 注意：（12+x ≠0）例1：当x 时，分式51-x 有意义； 例2:分式xx -+212中，当____=x 时，分式没有意义 例3：当x 时，分式112-x 有意义. 例4：当x 时，分式12+x x有意义例5：x ,y 满足关系 时，分式x yx y-+无意义; 例6:无论x 取什么数时，总是有意义的分式是（ ）A ．122+x x B 。
12+x x C 。
133+x x D 。
25xx - 例7：使分式2+x x有意义的x 的取值范围为（ ）A ．2≠x B ．2-≠x C ．2->x D ．2<x例8：要是分式)3)(1(2-+-x x x 没有意义，则x 的值为（ ）A. 2 B 。
—1或—3 C 。
-1 D 。
3同步练习题：3、分式的值为零：使分式值为零：令分子=0且分母≠0，注意：当分子等于0使,看看是否使分母=0了,如果使分母=0了，那么要舍去.例1：当x 时,分式121+-a a的值为0 例2：当x 时，分式112+-x x 的值为0例3：如果分式22+-a a 的值为为零，则a 的值为( ) A. 2± B 。
最新初二数学八上分式和分式方程所有知识点总结和常考题型练习题
分式知识点一、分式的定义如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。
二、与分式有关的条件①分式有意义：分母不为0（0B ≠）②分式无意义：分母为0（0B =）③分式值为0：分子为0且分母不为0（⎩⎨⎧≠=00B A ）④分式值为正或大于0：分子分母同号（⎩⎨⎧>>00B A 或⎩⎨⎧<<00B A ）⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（⎩⎨⎧<>00B A 或⎩⎨⎧><00B A ） ⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B ）⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）三、分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
字母表示：C B C ∙∙=A B A ，CB C ÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。
四、分式的约分定义：把分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。
注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。
最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。
五、分式的通分定义：把几个异分母的分式化成同分母分式，叫做分式的通分。
步骤：分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。
最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
确定最简公分母的一般步骤：Ⅰ 取各分母系数的最小公倍数；Ⅱ 单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式；Ⅲ 相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。
Ⅳ 保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。
注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。
分式知识点和典型例习题
第九章分式知识点和典型例习题．第一讲 分式（一）、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义【例1】下列代数式中：,,,21,22yx y x b a b a y x x +-+--π是分式的有： .题型二：考查分式有意义的条件【例2】当x 有何值时，下列分式有意义（1）44+-x x （2）232+x x（3）122-x （4）3||6--x x（5）xx 11-题型三：考查分式的值为0的条件【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0.（1）31+-x x（2）42||2--x x（3）653222----x x x x题型四：考查分式的值为正、负的条件【例4】（1）当x 为何值时，分式x-84为正； （2）当x 为何值时，分式2)1(35-+-x x为负； （3）当x 为何值时，分式32+-x x 为非负数.（二）分式的基本性质及有关题型1．分式的基本性质：M B M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯= 2．分式的变号法则：bab a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1）y x yx 41313221+- （2）ba ba +-04.003.02.0题型二：分数的系数变号【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（1）yx yx --+-（2）ba a---（3）ba---题型三：化简求值题【例3】已知：511=+yx ，求y xy x y xy x +++-2232的值. .【例4】已知：21=-x x ，求221xx +的值.【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求yx 241-的值.练习：1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.（1）yx yx 5.008.02.003.0+-（2）b a ba 10141534.0-+2．已知：31=+x x ，求1242++x x x 的值.3．已知：311=-b a ，求aab b b ab a ---+232的值.4．若0106222=+-++b b a a ，求ba ba 532+-的值.5．如果21<<x ，试化简x x --2|2|xx x x |||1|1+---.（三）分式的运算1．确定最简公分母的方法： ①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂. 2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂. 题型一：通分【例1】将下列各式分别通分. （1）cb ac a b ab c 225,3,2--； （2）a b b b a a 22,--； （3）22,21,1222--+--x x x x x x x ； （4）a a -+21,2题型二：约分【例2】约分：（1）322016xyy x -；（3）n m m n --22；（3）6222---+x x x x .题型三：分式的混合运算【例3】计算：（1）42232)()()(abcab c c b a ÷-⋅-；（2）22233)()()3(xy x y y x y x a +-÷-⋅+；（3）mn mn m n m n n m ---+-+22；（4）112---a a a ；（5）874321814121111xx x x x x x x +-+-+-+--；（6）)5)(3(1)3)(1(1)1)(1(1+++++++-x x x x x x ；（7）)12()21444(222+-⋅--+--x xx x x x x题型四：化简求值题【例4】先化简后求值（1）已知：1-=x ，求分子)]121()144[(48122x x x x -÷-+--的值； （2）已知：432zy x ==，求22232z y x xz yz xy ++-+的值；（3）已知：0132=+-a a ，试求)1)(1(22a a a a --的值.题型五：求待定字母的值【例5】若111312-++=--x Nx M x x ，试求N M ,的值.练习：1．计算（1）)1(232)1(21)1(252+-++--++a a a a a a ；（2）ab abb b a a ----222；（3）ba c cb ac b c b a c b a c b a ---++-+---++-232；（4）ba b b a ++-22；（5）)4)(4(ba abb a b a ab b a +-+-+-； （6）2121111x x x ++++-； （7）)2)(1(1)3)(1(2)3)(2(1--+-----x x x x x x .2．先化简后求值（1）1112421222-÷+--⋅+-a a a a a a ，其中a 满足02=-a a .（2）已知3:2:=y x ，求2322])()[()(yxx y x y x xy y x ÷-⋅+÷-的值.3．已知：121)12)(1(45---=---x Bx A x x x ，试求A 、B 的值.4．当a 为何整数时，代数式2805399++a a 的值是整数，并求出这个整数值.第二讲 分式方程（一）分式方程题型分析题型一：用常规方法解分式方程【例1】解下列分式方程 （1）x x 311=-；（2）0132=--x x ；（3）114112=---+x x x ；（4）x x x x -+=++4535题型二：求待定字母的值【例2】若关于x 的分式方程3132--=-x mx 有增根，求m 的值.【例3】若分式方程122-=-+x ax 的解是正数，求a 的取值范围. 练习：1．解下列方程： （1）021211=-++-xxx x ； （2）3423-=--x x x ；（3）22322=--+x x x ； （4）171372222--+=--+x x x x x x（5）2123524245--+=--x x x x（6）41215111+++=+++x x x x（7）6811792--+-+=--+-x x x x x x x x2．如果解关于x 的方程222-=+-x x x k 会产生增根，求k 的值.3．当k 为何值时，关于x 的方程1)2)(1(23++-=++x x kx x 的解为非负数.4．已知关于x 的分式方程a x a =++112无解，试求a 的值.三、分式方程应用题 1．（2007沈阳）甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程，乙队先单独做2天后，再由两队合作10天就能完成全部工程．已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项工程所需天数的45，求甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天？2．（2008咸宁） A、B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运20千克，A型机器人搬运1000千克所用时间与B型机器人搬运800千克所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？3．（2008山西）某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元。
分式知识点及典型例题
分式知识点及典型例题一、分式的定义如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 A/B 就叫做分式。
其中 A 叫做分子，B 叫做分母。
需要注意的是：分式的分母不能为 0，因为分母为 0 时，分式无意义。
例如：1/x ，（x ＋ 1）／（x 2）都是分式，而 1/2 就不是分式，因为它的分母 2 不含字母。
二、分式有意义的条件分式有意义的条件是分母不为 0。
即：对于分式 A/B，B ≠ 0 时，分式有意义。
例如：对于分式 1/（x 1) ，要使其有意义，则x 1 ≠ 0，即x ≠ 1。
三、分式的值为 0 的条件分式的值为 0 时，要同时满足两个条件：1、分子为 0 ，即 A ＝ 0 。
2、分母不为 0 ，即B ≠ 0 。
例如：若分式（x 1）／（x ＋ 2）的值为 0，则 x 1 ＝ 0 且 x ＋2 ≠0 ，解得 x ＝ 1 。
四、分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为 0 的整式，分式的值不变。
即：A/B ＝（A×C）／（B×C）， A/B ＝（A÷C）／（B÷C）（C ≠ 0 ）例如：将分式 2x/3y 的分子分母同时乘以 2 ，得到 4x/6y ，分式的值不变。
五、约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做约分。
约分的关键是确定分子和分母的公因式。
确定公因式的方法：1、系数：取分子和分母系数的最大公因数。
2、字母：取相同字母的最低次幂。
例如：对分式（6xy）／（9x²y）进行约分，分子分母的系数 6 和 9 的最大公因数是 3 ，字母部分 x 的最低次幂是 1 ，y 的最低次幂是 1 ，所以公因式是 3xy ，约分后得到 2/（3x) 。
六、通分把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做通分。
通分的关键是确定几个分式的最简公分母。
确定最简公分母的方法：1、取各分母系数的最小公倍数。
2、凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式。
分式典型知识点与例题总结
人教版八年级下册分式全章 知识点和典型例习题 知识点回顾知识点一：分式形如 的式子叫做分式 。
知识点二：分式B A 的值1.当 时,分式有意义;2.当 时,分式无意义;3.当 时,分式的值为0;4.当 时,分式的值为1;5.当 时, 分式的值为正;6.当 时,分式的值为负; 知识点三：分式的基本性质用式子表示 知识点四：分式中的符号法则用式子表示 知识点五： 分式的约分 约去分子、分母的最大公因式，使分式变成最简分式或者整式 1.最大公因式= 。
2.当分式的分子和分母为多项式时， 知识点六：分式的通分把异分母分式变成同分母分式的过程。
1.最简公分母= 。
2.当分式的分子和分母为多项式时，知识点七：分式的乘除法法则（用式子表示）乘法法则：用式子表示 除法法则： 用式子表示 知识点八：回顾因式分解总步骤：一提二套三分组1. 提公因式： 套 平方差公式： 2 . 公 完全平方和：式 完全平方差：知识点九：分式的加减法法则 加法法则：减法法则：知识点十：分式的混合运算先 再 最后再 。
知识点十一：整数指数幂七大公式1.同底数幂的乘法2.同底数幂的乘法3.幂的乘方4.积的乘方5.分式的乘方法则6.0指数幂7.负整数指数幂 知识点十二：科学计数法1.绝对值大于1数都可表示成2. 绝对值小于1数都可表示成 其中101<≤a 。
知识点十三：分式方程 1. 概念 2. 解法:①去分母:② ③知识点十四：分式方程解应用题的步骤 、 、 、 、【例题】下列有理式中是分式的有(1)－3x ；(2)yx ；(3)22732xy y x -；(4)x 81-；(5)35+y ； (6)112--x x ；(7)π12--m ； (8)5.023+m ；【练习】1、在下列各式ma m x xb a x xa,),1()3(,43,2,3222--÷++π中，是分式的有 个2.找出下列有理式中是分式的代号(1)－3x ；(2)yx ；(3)22732xyy x -；(4)－x 81；(5) 35+y ； (6)112--x x ；(7) π-12m ； (8)5.023+m .二．分式的值 【例题】 1.当a 时，分式321+-a a 有意义；2.当_____时,分式4312-+x x 无意义；3.若分式33x x --的值为零，则x = ；4.当_______时,分式534-+x x 的值为1；5.当______时,分式51+-x 的值为正；6.当______时分式142+-x 的值为负.【练习】1．①分式36122--x x 有意义，则x ；②当x_____时，分式1x x x-- 有意义；③当x ____时分式x x 2121-+有意义；④当x_____时,分式11x x +-有意义；⑤使分式9x 1x 2-+有意义的x 的取值范围是 ； 2.当x = 3时，分式bx a x +-无意义，则b ______ 3. ①若分式11x x -+的值为零，则x 的值为 ；②若分式)1x )(3x (1|x |=-+-，则x 的值为_________________； ③分式392--x x 当x __________时分式的值为0；④当ｘ= ＿时，分式22943x x x --+的值为0；⑤当a=______时,分式2232a a a -++ 的值为零；4.当x __ 时，分式x -51的值为正.5.当x=_____时,分式232x x --的值为1.6.若分式231-+x x 的值为负数，则x 的取值范围是__________。
分式知识点题型总结
分式知识点题型总结分式是数学中的一个重要概念，在代数运算和实际问题中都有广泛的应用。
下面我们来对分式的相关知识点和常见题型进行总结。
一、分式的定义形如\（＼dfrac{A}｛B}＼）（＼（A\）、＼（B\）是整式，且\（B\）中含有字母）的式子叫做分式。
其中\（A\）叫做分子，＼（B\）叫做分母。
需要注意的是：1、分式的分母不能为零，否则分式无意义。
2、分式的值为零的条件是分子为零且分母不为零。
二、分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变。
即：＼（＼dfrac{A}｛B} ＝＼dfrac{A ＼times M}｛B ＼times M}＼），＼（＼dfrac{A}｛B} ＝＼dfrac{A ＼div M}｛B ＼div M}＼）（＼（M\）为不为零的整式）三、分式的约分与通分1、约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分。
约分的关键是确定分子和分母的公因式。
2、通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
通分的关键是确定几个分式的最简公分母。
四、分式的运算1、分式的乘除乘法法则：＼（＼dfrac{a}｛b} ＼times ＼dfrac{c}｛d} ＝＼dfrac{ac}｛bd}＼）除法法则：＼（＼dfrac{a}｛b} ＼div ＼dfrac{c}｛d} ＝＼dfrac{a}｛b} ＼times ＼dfrac{d}｛c} ＝＼dfrac{ad}｛bc}＼）2、分式的加减同分母分式相加减：＼（＼dfrac{a}｛c} ±＼dfrac{b}｛c} ＝＼dfrac{a ± b}｛c}＼）异分母分式相加减：先通分，化为同分母分式，再按照同分母分式的加减法法则进行计算。
五、分式方程1、定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
2、解分式方程的步骤：去分母，将分式方程化为整式方程。
解整式方程。
验根，将求得的未知数的值代入原分式方程的分母，若分母不为零，则是原方程的解；若分母为零，则不是原方程的解，应舍去。
分式知识点及例题
分式知识点及例题嘿，咱们今天就来好好聊聊分式这个家伙！分式这家伙，在数学的世界里可是个活跃分子。
先来说说啥是分式，简单说，就是形如 A/B 的式子，其中 B 中含有字母。
比如说，5/x ，这就是个分式。
咱们来看个例子啊，就说小明帮妈妈做蛋糕，妈妈准备了 300 克面粉，要求小明按照面粉和水 3:2 的比例来加水。
那小明就得算啦，设要加 x 克水，那比例式就是 300/x ＝ 3/2 ，这时候 x 就等于 200 克。
这里面 300/x 就是个分式。
分式有它自己的性质，就像人有自己的脾气一样。
分式的分子分母同时乘以（或除以）同一个不为 0 的整式，分式的值不变。
比如说，分式 2/3 ，分子分母同时乘以 2 ，就变成 4/6 ，但它们的值是一样的。
再来讲讲分式的运算。
分式的加减乘除，那可是各有各的门道。
先看加法，比如说（1/x) ＋（2/x) ，分母相同，分子直接相加，结果就是 3/x 。
要是分母不同，像 1/（x ＋ 1) ＋ 1/（x 1) ，这就得先通分，找到它们的最小公倍数，变成（x 1)／（x ＋ 1)（x 1) ＋（x ＋ 1)／（x ＋ 1)（x 1) ，然后分子相加，得到 2x/（x ＋ 1)（x 1) 。
乘法呢，就简单多啦，分子乘分子，分母乘分母。
比如（2/x)×（3/y) ，结果就是 6/（xy) 。
除法，就是把除数倒过来变成乘法。
像（2/x)÷（3/y) ，就变成（2/x)×（y/3) ，结果是 2y/（3x) 。
咱们再看个实际的例子，还是小明做蛋糕。
做好蛋糕坯子后，要给蛋糕表面抹奶油。
小明发现，一罐奶油能抹 5 个蛋糕，现在有 2 罐奶油，一共要做 15 个蛋糕，那还缺几罐奶油？设还缺 x 罐奶油，那式子就是 2×5/（5 ＋ x) ＝ 15 ，算出来 x ＝ 1/3 ，也就是还缺 1/3 罐奶油。
这里面 2×5/（5 ＋ x) 就是个复杂点的分式。
分式知识点总结及例题
分式知识点总结及例题一、分式的概念分式是指以分数的形式表示的数，通常由分子和分母两部分组成，分子表示分数的一部分，分母表示分数的总份额。
分式通常用来表示比例、部分和整体的关系。
二、分式的基本性质1. 分式的分子和分母可以分别约分。
2. 分式的值与分子和分母的乘除有关。
3. 分式的运算可以转化为通分和通分的计算问题。
三、分式的化简分式的化简是指将分式表示的数化为最简形式的操作，主要包括分子分母约分、常数和分式的转化等。
四、分式的加减法分式的加减法是指对分式的分子和分母进行通分后，进行加减运算的操作。
五、分式的乘法和除法分式的乘法是指对分式的分子和分母分别进行乘法运算后，化简为最简形式的操作。
分式的除法是指对分式进行倒数运算，然后化简为最简形式的操作。
六、分式的应用分式在实际问题中有着广泛的应用，如物体的比例尺、物体的比重、长方形的面积和周长等问题都可以用分式进行表示和计算。
七、例题1. 化简分式$\frac{6}{8}$解：分子和分母可以同时除以2，得到$\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$，所以$\frac{6}{8}$的最简形式为$\frac{3}{4}$。
2. 计算$\frac{3}{5}+\frac{2}{3}$解：先将两个分式通分，得到$\frac{3}{5}+\frac{2}{3}=\frac{9}{15}+\frac{10}{15}=\frac{19}{15}$，再化简得$\frac{19}{15}=1 \frac{4}{15}$。
3. 计算$\frac{5}{6} \times \frac{2}{3}$解：将两个分式分别相乘得到$\frac{5}{6} \times \frac{2}{3}=\frac{10}{18}$，再将$\frac{10}{18}$化简为最简形式，得$\frac{10}{18}=\frac{5}{9}$。
4. 计算$\frac{4}{5} \div \frac{2}{3}$解：将两个分式进行倒数运算，得到$\frac{4}{5} \div \frac{2}{3}=\frac{4}{5} \times\frac{3}{2}=\frac{12}{10}=1 \frac{2}{10}=1 \frac{1}{5}$。
八年级数学 分式章节知识点总结及典型例题解析
八年级数学分式章节知识点总结及典型例题解析1.分式的定义：分式是由分子、分母两个整式组成的表达式，分母不能为零。
例：下列式子中，有分式的是：$\frac{2x+1}{3xy^3a^{-b}5a^{-b}159a^{2}15xy^{11}}$、$\frac{8a^2b}{2}$、$\frac{1}{x-y}$、$\frac{4x-3y}{2x+y}$、$\frac{2}{b^2-5a^2}$、$\frac{-x-2xy^2}{x-7}$。
2.分式有意义和无意义：1）使分式有意义：令分母不等于零，解方程求解；2）使分式无意义：令分母等于零，解方程求解；注意：$(x+1)^2 \neq 0$ 有意义。
例如：分式$\frac{x-5}{2-x}$，当$x=2$时，分式无意义；当$x=5$时，分式有意义。
3.分式的值为零：使分式的值为零：令分子等于零且分母不等于零。
注意：当分子等于使分母等于零时，要舍去。
例如：分式$\frac{x^2-11}{x-2a}$，当$x=\sqrt{11}$时，分式的值为零。
4.分式的基本性质的应用：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于零的整式，分式的值不变。
例如：$\frac{A}{B}=\frac{AC}{BC}$，$\frac{A}{B}=\frac{A/C}{B/C}$。
没有明显问题的段落，无需删除或改写。
1.如果成立，那么a的取值范围是什么？2.例2：求出33/(ab)的值。
3.例3：将分式(1-b+c)/(a(b-c))中的a和b扩大10倍后，分式的值会怎样变化？4.例4：将分式10x/(x+y)中的x和y都扩大10倍后，分式的值会怎样变化？5.例5：将分式xy/(x+y)中的x和y都扩大2倍后，分式的值会怎样变化？6.例6：将分式(x-y)/(x+y)中的x和y都扩大2倍后，分式的值会怎样变化？7.例7：将分式(x-y)/xy中的x和y都扩大2倍后，分式的值会怎样变化？8.例8：将分式2x/(x+3y)中的x和y都缩小12倍后，分式的值会怎样变化？9.例9：将分式3x^3/(2y^2)中的x和y都扩大2倍后，分式的值保持不变的是什么？10.根据分式的基本性质，分式(ABC-D)/(a-b)可变形为(a+b)(D-ABC)/(a-b)。
第二单元 分式及其运算知识点及单元练习
第二单元 分式及其运算知识点及单元练习知识回顾：1 分母为零时，分式无意义；分母不为零时，分式有意义。
分子为零，分母不为零时，分式的值为零。
2.分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变。
用式子表示为：B A =M B M A ⋅⋅；B A =M B M A ÷÷（其中M 是不为零的整式）。
（1）x 取什么值时，分式3+x x 有意义﹖（2） 3分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个的符号，分式的值不变。
如B A =B A --=-BA -=-B A - 4. 约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子于分母的公因式约去，叫做分式的约分5. 最简分式： 约分后，分子于分母不再有公因式，我们把这样的式子叫做最简分式。
6、分式的通分：把几个异分母分式化成与原来分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
关键是确定几个分式的最简公分母。
各分母所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母。
7. 分式的乘除法：（1）分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做为积的分母。
（2）分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
8. 分式的乘方：是把分子、分母各自乘方。
9、分式的加减法：（1）同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，即：cb ac b c a ±=± （2）异分母分式加减法：先通分变为同分母的分式，然后再加减。
10、分式方程的特征： ① 含分母 ② 分母里含有未知数。
11、解分式方程的基本思路：把分式方程转化为整式方程。
12.分式方程的解法一般步骤：第一步、去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。
第二步、解整式方程。
第三步、验根，把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根。
巩固练习：一．填空题：1 计算： ① a b b b a a 222-+- ② 22222222yx x x y y y x y x ---+-+ 2. x__________时，分式7215--x x 无意义。
分式知识+分式方程专题练习50题,学会了就是送分题
分式知识+分式方程专题练习50题，学会了就是送分题分式知识点关键词：分式、分式的基本性质、分式的约分、分式的通分、分式的运算、整数指数幂、科学计数法、分式方程、最后结果一定时最简形式必须清晰知道的基本概念：分式：1，定义：一般地，如果A和B为两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B就叫做分式，A为分子，B为分母。
请联系前面讲的分数，基本是一样的2，与分式有关的一些知识点：1>分式有意义，要求分母不为0，隐含分母要有字母；2>分式无意义，分母为0；3>分式值为0，分子为0 ，且分母不为0；4>分式值为负或小于0，分子分母异号；5>分式值为正或大于0，分子分母同号；6>分式值为1，分子分母值相等；7>分式值为-1，分子分母值互为相反数；这些知识点看上去非常简单，甚至给人感觉都是废话。
那是因为没有放在具体的题目中，其实你那些没有拿到的分都是从这些很简单的知识里面来的。
比如，一个很复杂的分式，分子分母都很复杂，但是如果能够知道它的值为1，则表示分子和分母是相等的。
这些东西要有谦虚的心态在以后的学习中才能慢慢体会到的。
这里给大家强调三点！1.分母中一定要含有字母的式子才叫分式；也就是分式的分母要满足两个条件的，a>不为0，b>必须含有字母；2.分式与整式的和，也是分式。
3.判断分式有无意义时，一定要讨论原分式，而不能时化简后的分式！举例：问（x2-1）/x2-x-2何时有意义？答案是x≠2和x≠-1；而如果化简后只能得到x≠2这个答案了。
分式的基本知识：1.分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以或除以一个不等于0的数，分式的值不变；2.分式的符号，分式的分子分母和分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；3.分式的约分，就是把一个分式的分子和分母的公因式约去，约至它们再也没有公因式时就是最简分式了。
1.分子分母均为单项式时可以直接约分，即约去它们系数的最大公约数，然后约去分子分母的相同因式的最低次幂；分子分母为多项式时，要先将它们进行因式分解，再约分。
分式知识点及例题
分式知识点一：分式的定义一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子BA叫做分式，A 为分子，B 为分母。
知识点二：与分式有关的条件1、分式有意义：分母不为0〔0B ≠〕2、分式值为0：分子为0且分母不为0〔⎩⎨⎧≠=00B A 〕3、分式无意义：分母为0〔0B =〕4、分式值为正或大于0：分子分母同号〔⎩⎨⎧>>00B A 或⎩⎨⎧<<00B A 〕 5、分式值为负或小于0：分子分母异号〔⎩⎨⎧<>00B A 或⎩⎨⎧><0B A 〕知识点三：分式的基本性质分式的分子和分母同乘〔或除以〕一个不等于0的整式，分式的值不变。
字母表示：C B C ••=A B A ，CB C ÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。
拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即BB A B B --=--=--=AA A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。
知识点四：分式的约分定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。
注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。
②分子分母假设为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。
知识点四：最简分式的定义一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。
知识点五：分式的通分① 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
② 分式的通分最主要的步骤是最简公分母确实定。
最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
确定最简公分母的一般步骤： Ⅰ 取各分母系数的最小公倍数；Ⅱ 单独出现的字母〔或含有字母的式子〕的幂的因式连同它的指数作为一个因式； Ⅲ 相同字母〔或含有字母的式子〕的幂的因式取指数最大的。
第1部分 第1章 第4节 分式
第四节分式知识点考点分值考频等级考查难度常见题型分式分式的有关概念3～4分☆☆☆易选择题、填空题分式有意义、无意义的条件3～4分☆☆☆☆☆易选择题、填空题分式的基本性质3～4分☆☆☆易选择题、填空题分式的有关运算3～6分☆☆☆☆☆易、中选择题、填空题、解答题考点一：分式的有关概念核心点拨1．分式定义：一般地，形如AB(A，B是整式，且B中含有字母)的式子叫做分式．其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母．判断分式的关键：看分母是否有字母．考点二：分式有意义、无意义的条件核心点拨2．分式有无意义的条件(1)分式有意义的条件：分母不等于0．分式是否有意义，关键是看分母：分母为0，则无意义，反之有意义．(2)分式无意义的条件：分母等于0．(3)分式值等于0的条件：①分子等于0，②分母不等于0．分式是否有意义，关键是看分母：分母为0，则无意义，反之有意义．考点三：分式的基本性质核心点拨3．分式的基本性质(1)基本性①语言叙述：分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于分式的基本性质是分式约分和通分的理论基础．示：a b ±c b ＝a ±cb ．②异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．用式子表示：a b ±d c ＝ac bc ±bdbc ＝ac ±bd bc ．1 分式有意义及分式的值为0的条件 基础点考向1| 分式有意义的条件(2022·新泰月考)要使分式1x ＋2有意义，x 的取值应满足( ) A ．x ≠0 B ．x ≠－2 C ．x ≥－2D ．x >－2根据分母不等于0，求x 的取值范围． B 解析：∵ 分式1x ＋2有意义， ∴ x ＋2≠0． ∴ x ≠－2．故选B ．1－1 (2022·泰山区模拟)若分式13－x有意义，则x 的取值范围是________． x ≠3 解析：∵ 3－x ≠0， ∴ x ≠3．故答案为x ≠3．考向2| 若分式的值为0的条件若分式x 2－4x ＋2的值为0，则( )A ．x ＝－2B ．x ＝±2C ．x ＝2D ．x ＝0分子等于0，且分母不等于0．C 解析：x 2－4x ＋2＝0，即x 2－4＝0且x ＋2≠0，得x ＝±2，且x ≠－2，所以x＝2．故选C ．2－1 (2022·北部湾经济区)当x ＝________时，分式2xx ＋2的值为零．0 解析：由题意得2x ＝0，且x ＋2≠0，解得x ＝0． 故答案为0．2 最简分式 基础点 下列分式中，最简分式是( )A ．x 2－1x 2＋1B ．x ＋1x 2－1C ．x 2－2xy ＋y 2x 2－xyD ．x 2－362x ＋12(1)分子、分母能因式分解的先因式分解； (2)观察分子、分母是否有公因式．A 解析：A ．x 2－1x 2＋1是最简分式，符合题意．B ．x ＋1x 2－1＝x ＋1(x ＋1)(x －1)＝1x －1，此项不是最简分式，不符题意． C ．x 2－2xy ＋y 2x 2－xy ＝(x －y )2x (x －y )＝x －yx ，此项不是最简分式，不符题意． D ．x 2－362x ＋12＝(x ＋6)(x －6)2(x ＋6)＝x －62，此项不是最简分式，不符题意．故选A ．3－1 (2022·岱岳区月考)下列分式属于最简分式的是( ) A ．6xy5x 2 B ．x －yy －xC ．x 2＋y 2x ＋yD ．x 2－9y 2x ＋3yC 解析：A ．原式＝6xy 5x 2＝6y5x ，不符合题意； B ．原式＝－1，不符合题意； C ．符合题意；D ．x 2－9y 2x ＋3y＝x －3y ，不符合题意．故选C ．3 分式的运算 能力点考向1| 分式的乘除(2022·宁阳检测)化简⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a －1÷a 2a 2－1的结果是( )A ．a ＋1B ．a ＋1aC ．a －1aD ．a ＋1a 2(1)先通分再因式分解，变除法为乘法；(2)分子、分母约分．B解析：原式＝a－1＋1a－1·(a＋1)(a－1)a2＝aa－1·(a＋1)(a－1)a2＝a＋1a．故选B．4－1(2022·东平月考)化简x2－1x÷(1－1x)的结果为()A．x＋1 B．x－1 xC．x D．1 xA解析：原式＝(x＋1)(x－1)x÷x－1x＝(x＋1)(x－1)x·xx－1＝x＋1．故选A．考向2| 分式的加减(2022·新泰模拟)化简a2a－1－a－1的结果是( )A．1a－1B．－1a－1C．2a－1a－1D．－2a－1a－1(1)把－a－1看成－a＋11，再通分；(2)按照同分母分式的减法法则运算．A 解析：a 2a －1－a －1＝a 2－a 2＋1a －1＝1a －1．故选A ．5－1 (2022·山西)化简1a －3－6a 2－9的结果是( ) A ．1a ＋3B ．a －3C ．a ＋3D ．1a －3A 解析：1a －3－6a 2－9＝a ＋3(a ＋3)(a －3)－6(a ＋3)(a －3)＝a ＋3－6(a ＋3)(a －3)＝a －3(a ＋3)(a －3)＝1a ＋3．故选A ． 5－2 (2022·怀化)计算x ＋5x ＋2－3x ＋2＝__________．1 解析：x ＋5x ＋2－3x ＋2＝x ＋5－3x ＋2＝x ＋2x ＋2＝1． 故答案为1．考向3| 分式的混合运算(2021·滨州)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2－4x ＋4－x ＋2x 2－2x ÷x －4x －2．(1)将括号内的式子通分；(2)将括号外的除法转化为乘法，再约分． 答案：－1x 2－2x解析：原式＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x －1(x －2)2－x ＋2x (x －2)·x －2x －4＝x 2－x －x 2＋4x (x －2)2·x －2x －4＝－(x －4)x (x －2)·1x －4＝－1x 2－2x．6－1 (2021·济宁)计算a 2－4a ÷⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1－5a －4a 的结果是( ) A ．a ＋2a －2B ．a －2a ＋2C ．(a －2)(a ＋2)a D ．a ＋2aA 解析：原式＝a 2－4a ÷[a (a ＋1)－(5a －4)a ]＝(a ＋2)(a －2)a ÷a 2＋a －5a ＋4a＝(a ＋2)(a －2)a ·a(a －2)2 ＝a ＋2a －2．故选A ．1．分数线除了具有除法的作用，还具有括号的作用．进行分式的加减时，通分后，要把每个分式的分子添上括号，再进行加减，这样可避免出现符号错误．2．分式与整式加减时，可把整式看作是分母是1的式子． 3．最后的结果要化成最简分式，并且不带括号．4 分式的化简求值 综合点例 7 (2021·威海)先化简⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－1a －3－a －1÷a ＋1a 2－6a ＋9，然后从－1,0,1,3中选一个合适的数作为a 的值代入求值．(1)小括号内进行通分，对多项式进行因式分解； (2)除法转化为乘法，化简约分；(3)由分式有意义的条件得到a 的取值，代入求值． 答案：2a －6 －4或－6解析：原式＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 2－1a －3－(a ＋1)÷a ＋1(a －3)2 ＝a 2－1－(a ＋1)(a －3)a －3·(a －3)2a ＋1＝2(a ＋1)a －3·(a －3)2a ＋1＝2(a －3)＝2a －6．∵ a ＝－1或3时，原式无意义，∴ a 只能取1或0． 当a ＝1时，原式＝2－6＝－4； 当a ＝0时，原式＝0－6＝－6．7－1 (2022·肥城模拟)先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1－3a －1÷a 2＋4a ＋4a －1，其中a＝tan 45°＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1－π0．答案：a －2a ＋20 解析：(a ＋1－3a －1)÷a 2＋4a ＋4a －1＝(a 2－1a －1－3a －1)÷(a ＋2)2a －1＝a 2－4a －1÷(a ＋2)2a －1 ＝(a ＋2)(a －2)a －1·a －1(a ＋2)2＝a －2a ＋2．∵ a ＝tan 45°＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1－π0＝1＋2－1＝2， ∴ 原式＝a －2a ＋2＝2－22＋2＝0．分式命题点1| 分式的相关概念1．(2022·怀化)代数式25x ，1π，2x 2＋4，x 2－23，1x ，x ＋1x ＋2中，属于分式的有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个B 解析：分母中含有字母的是2x 2＋4，1x ，x ＋1x ＋2，∴ 分式有3个．故选B ．2．(2022·肥城检测)要使分式1x ＋2有意义，x 的取值应满足( ) A ．x ≠0 B ．x ≠－2 C ．x ≥－2 D ．x ＞－2B 解析：要使分式1x ＋2有意义， 则x ＋2≠0．解得x ≠－2．故选B ． 3．(2021·桂林)若分式x －2x ＋3的值等于0，则x 的值是( ) A ．2B ．－2C．3D．－3A解析：∵x－2x＋3＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x－2＝0，x＋3≠0.解得x＝2．故选A．4．若ab＝13，则分式ab－a的值为______．12解析：∵ab＝13，∴b＝3a．∴ab－a＝a3a－a＝a2a＝12．故答案为12．命题点2| 分式的基本性质1．(2022·北京)若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是()A．2＋xx－yB．2xx－yC．2＋xxy D．x2x＋yB解析：A．2＋3x3x－3y≠2＋xx－y，不符合题意．B．2×3x3x－3y＝2xx－y，符合题意．C．2＋3x3x×3y≠2＋xxy，不符合题意．D．(3x)23x＋3y≠x2x＋y，不符合题意．故选B．2．(2022·东平模拟)将分式5m2x210mx2约分时，分子分母同时除以()A．5m B．5mxC．mx D．5mx2D解析：5m2x2和10mx2的公因式为5mx2．故选D．3．(2022·宁阳检测)化简1－xx2－1的结果是()A．－1x＋1B．1x－1C．1x＋1D．11－xA解析：1－xx2－1＝－(x－1)(x＋1)(x－1)＝－1x＋1．故选A．4．下列分式中是最简分式的是()A．a2－b2a＋bB．1510xC．4ab10a2D．xx＋yD解析：A．a2－b2a＋b＝(a＋b)(a－b)a＋b＝a－b，故此选项不是最简分式；B．1510x＝32x，故此选项不是最简分式；C．4ab10a2＝2b5a，故此选项不是最简分式；D．xx＋y的分子与分母没有公因式，故此选项是最简分式．故选D．命题点3| 分式的有关运算1．(2021·贵阳)计算xx＋1＋1x＋1的结果是()A．xx＋1B．1x＋1C．1D．－1C解析：xx＋1＋1x＋1＝x＋1x＋1＝1．故选C．2．(2022·山西)化简1a－3－6a2－9的结果是()A ．1a ＋3B ．a －3C ．a ＋3D ．1a －3 A 解析：1a －3－6a 2－9 ＝a ＋3(a ＋3)(a －3)－6(a ＋3)(a －3) ＝a ＋3－6(a ＋3)(a －3)＝a －3(a ＋3)(a －3) ＝1a ＋3．故选A ． 3．(2022·新泰检测)计算(a －1b )÷(1a －b )的结果是( )A ．－a bB ．a bC ．－b aD ．b aA 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1b ÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＝ab －1b ÷1－ab a ＝ab －1b ·a －(ab －1)＝－a b ．故选A ． 4．(2022·自贡)化简：a －3a 2＋4a ＋4·a 2－4a －3＋2a ＋2＝________． a a ＋2 解析：a －3a 2＋4a ＋4·a 2－4a －3＋2a ＋2＝a －3(a ＋2)2·(a ＋2)(a －2)a －3＋2a ＋2＝a －2a ＋2＋2a ＋2＝a a ＋2．故答案为aa＋2．5．(2021·沈阳)化简：(1x－4－8x2－16)·(x＋4)＝________．1解析：(1x－4－8x2－16)·(x＋4)＝[x＋4(x＋4)(x－4)－8(x＋4)(x－4)]·(x＋4)＝x－4(x＋4)(x－4)·(x＋4)＝1．故答案为1．6．(2021·包头)化简：(2mm2－4＋12－m)÷1m＋2＝______．1解析：(2mm2－4＋12－m)÷1m＋2＝[2m(m＋2)(m－2)－m＋2(m＋2)(m－2)]÷1m＋2＝1m＋2·(m＋2)＝1．故答案为1．。
分式 知识点及典型例题
分式知识点及典型例题正文：分式，又称有理数，是数学中的一个重要概念，它由分子和分母组成，表示两个数的比值关系。
在分式的运算中，我们需要了解一些基本知识点，并且通过典型的例题来加深理解。
一、分式的定义和基本性质分式可以用“a/b”的形式表示，其中a为分子，b为分母。
分子和分母都可以是整数、小数或者其他分式。
分式也可以是正数、负数或者零。
分式的基本性质有：1. 当分子为0时，分式的值为0，即0/b=0。
2. 当分母为1时，分式的值等于分子本身，即a/1=a。
3. 当分子和分母互为相反数时，分式的值为-1，即（-a）/a=-1。
二、分式的运算1. 分式的加减运算分式的加减运算遵循相同分母则分子相加减的原则。
具体步骤如下：（1）将两个分式的分母化为相同的分母；（2）将两个分式的分子按照相同分母相加减；（3）将结果化简为最简形式。
例如：计算1/3 + 1/4 - 1/6。
解：首先将三个分式的分母化为12，得到4/12 + 3/12 - 2/12，再将分子相加减，得到5/12。
2. 分式的乘除运算分式的乘除运算遵循分子相乘除，分母相乘除的原则。
具体步骤如下：（1）将两个分式的分子相乘或相除；（2）将两个分式的分母相乘或相除；（3）将结果化简为最简形式。
例如：计算2/3 × 5/8 ÷ 4/5。
解：根据乘除法的原则，分子相乘得到10，分母相乘得到24，再将结果化简为最简形式，得到5/12。
三、分式的简化分式的简化是将分子和分母的公因式约去，使其达到最简形式。
具体步骤如下：（1）求分子和分母的最大公因数；（2）将分子和分母分别除以最大公因数。
例如：将12/18简化为最简分式。
解：求12和18的最大公因数为6，将分子和分母都除以6，得到最简分式2/3。
四、分式的应用举例1. 问题：小明爸爸买了一块布长3米，要均分给他和他妹妹，他分到几分之几的布？解：设小明分到的布的长度为x米，他妹妹分到的布的长度为y米，则由题意可得分式x/y=3/2。
分式章节知识点总结
分式章节知识点总结一、分式的定义分式是指两个整数或者多项式，中间用横线隔开的表达形式，例如a/b（a、b为整数，b不等于0），a称为分子，b称为分母。
二、分式的类型1. 简单分式：分子、分母都是整数的分式。
例如3/4、5/6等。
2. 复合分式：分子或分母中包含有代数式的分式。
例如2/(x+1)、(x-1)/(x+2)等。
3. 多项式分式：分子或分母中包含有多项式的分式。
例如(x^2+3)/(x-4)、2x/(x^2+1)等。
三、分式的性质1. 分式的值：分式的值是指分子除以分母的结果，也可以看作带有未知数的一种式子。
2. 分式的约分：分式可以进行约分，即将分子和分母同时除以一个数，得到一个新的分式，值不变。
3. 分式的通分：分式可以进行通分，即寻找一个公共分母，使得分式的分母相同，然后进行运算。
四、分式的运算1. 分式的加减法：分式的加减法是将分式化成相同分母的形式，然后分别对分子进行加减运算，最后将结果化简。
2. 分式的乘法：分式的乘法是将分子分别相乘，分母分别相乘，然后化简得到最简分式。
3. 分式的除法：分式的除法是将除数的分子、分母对调位置，再乘上被除数的倒数，然后化简得到最简分式。
五、分式的应用1. 分式在方程中的应用：分式通常出现在方程的解中，需要对分式进行加减和乘除等运算，找到未知数的值。
2. 分式在不等式中的应用：分式在不等式的求解中应用广泛，通过对分式进行化简和变形，找到不等式的解集。
3. 分式在函数中的应用：分式常常用来表示函数的定义域、值域和零点等性质，在函数的运算和变形中起着重要作用。
分式作为代数中重要的一部分，需要掌握其定义、类型、性质和运算方法，灵活运用于方程、不等式和函数等各种问题的求解中。
同时，分式的深入研究还可以延伸到多项式、变量和函数的理论及实际应用中，是代数学习中的重要内容之一。
分式、因式分解整式乘除综合知识点及练习
整式的乘除法。
因式分解和分式复习基本概念一．整式的除乘法 1。
同底数幂的乘法：mn m n a a a +=,（m,n 都是正整数),即同底数幂相乘,底数不变，指数相加。
2。
幂的乘方：()m nmna a=,(m ，n 都是正整数)，即幂的乘方，底数不变，指数相乘.3.积的乘方：()n n nab a b =，（n 为正整数），即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘。
4。
整式的乘法：(1）单项式的乘法法则：一般地，单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．（2）单项式乘多项式法则：单项式与多项式相乘，就是根据乘法分配律,用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加．可用下式表示:m （a +b +c )=ma +mb +mc (a 、b 、c 都表示单项式）（3)多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．5.乘法公式：（1）平方差公式：平方差公式可以用语言叙述为“两个数的和与这两个的差积等于这两个数的平方差"，即用字母表示为：（a +b )(a －b )=a 2－b 2;其结构特征是：公式的左边是两个一次二项式的乘积，并且这两个二项式中有一项是完全相同的，另一项则是互为相反数，右边是乘式中两项的平方差.（2）完全平方公式:完全平方公式可以用语言叙述为“两个数和（或差)的平方，等于第一数的平方加上（或减去）第一数与第二数乘积的2倍，加上第二数的平方”，即用字母表示为：（a +b )2=a 2+2ab +b 2;（a －b )2=a 2－2ab +b 2;其结构特征是:左边是“两个数的和或差”的平方,右边是三项，首末两项是平方项,且符号相同，中间项是2ab ，且符号由左边的“和”或“差”来确定. 在完全平方公式中，字母a 、 b 都具有广泛意义，它们既可以分别取具体的数，也可以取一个单项式、一个多项式或代数式（3）添括号时,如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都变号。
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分式整章知识点及练习题
1、分式概念
1．在b a b a x x x b a -+++-,
5,3,2π，a
12+中，是分式的有 （ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个
2、下列各式：
2b a -，x x 3+，π
y +5，()1432+x ，b a b a -+，)(1
y x m -中，是分式的共有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个
2、分式有意义 （1）当 x ___ 时，分式
1
4
2
-x 有意义。
（2） 当x = 时，分式33x x --无意义． （3）当x 为任意实数时，下列分式一定有意义的是（ ） A.
2
3
x + B.212x - C.1x D. 211x +
(4)、（2013•黔西南州）分式21
1
x x -+的值为零，则x 的值为 （ ） A 、-1 B 、0 C 、1± D 、1
（5）已知当2x =-时，分式
a
x b
x -- 无意义，4x =时，此分式的值为0，则a b +的值等于（ ） A ．－6 B ．－2 C ．6 D ．2
4、分式的基本性质
1．如果把
y
x y
322-中的x 和y 都扩大5倍，那么分式的值（ ）
A 扩大5倍
B 不变
C 缩小5倍
D 扩大4倍 2.填空：
()2
2
2y x y x +-=
()
y
x -．
23x
x +=()2
3x x
+； 3．不改变分式
0.50.2
0.31
x y ++的值，使分式的分子分母各项系数都化为整数，结果是
4、下列各式中，正确的是（ ） A ．
a m a
b m b +=+ B ．a b
a b
++=0 C ．1111ab b ac c --=
-- D ．221x y x y x y -=-+ 5、约分
2232m m m m -+- 96922+--x x x 882422+++x x x ； 2
2
93m m m -- =
6、最简公分母
1．在解分式方程：
412--x x ＋2＝x
x 21
2
+的过程中，去分母时，需方程两边都乘以最简公分母是_________. 2、分式,21x xy
y 51,212-的最简公分母为 。
8、通分
1．化简 的结果是329122
++-m m （ ） A 、962-m B 、32-m C 、 32+m D 、 9
9
22-+m m
2、计算x
x -+
+11
11的正确结果是（ ） A 、0 B 、212x x - C 、212x - D 、1
2
2
-x 9、分式的混合运算
1.化简代数式：22
1
21111x x x x x -⎛⎫+÷ ⎪+--⎝⎭
，然后选取一个使原式有意义的x 的值代入求值．
2、化简：
111(1122
2+---÷-+-m m m m m m ） 3、计算：2
1
x x --x-1
4、先化简，再求值：11112
-÷⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-+x x x ，其中：x=－2。
5、若x+1x =2，则x 2+21x = ．已知x 2+3x+1=0，求x 2+21
x
的值
6、已知a+b=3，ab=1，则a b +b
a
的值等于_______。
7、
11、分式方程
1．若1044m x
x x
--=--无解，则m 的值是 （ ）
A. —2
B. 2
C. 3
D. —3
2．解方程： （1）325+x ＝13-x （2）416222--+-x x x ＝1 （3）2
1
321-=---x x x 。
3、( 2012年四川省巴中市)若关于x 的方程2x-2 +x+m
2-x
=2有增根,求m 的值及增根
（一）、应用题的几种类型： 1、行程问题：
甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍，求步行的速度和骑自行车的速度.
2、工程问题 基本公式：工作量=工时×工效。
一项工程要在限期内完成.如果第一组单独做,恰好按规定日期完成;如果第二组单独做,需要超过规定日期4天才能完成,如果两组合作3天后,剩下的工程由第二组单独做,正好在规定日期内完成,问规定日期是多少天?
3、顺水逆水问题 v 顺水=v 静水+v 水； v 逆水=v 静水-v 水。
已知轮船在静水中每小时行20千米，如果此船在某江中顺流航行72千米所用的时间与逆流航行48千米所用的时间相同，那么此江水每小时的流速是多少千米?
（二）练习：
1．小张和小王同时从学校出发去距离15千米的一书店买书，小张比小王每小时多走1千米，结果比小王早到半小时，设小王每小时走x 千米，则可列出的的方程是（ ）
A 、
2115115=-+x x B 、21
11515=+-x x C 、2115115=--x x D 、2
111515=--x x
2、赵强同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完，当他读了一半时，发现平时每天要多读21页才能在借
期内读完.他读了前一半时,平均每天读多少页?如果设读前一半时,平均每天读x 页,则下列方程中,正确的是（ ）
A 、
1421140140=-+x x B 、1421280
280=++x x B 、1211010=++x x D 、1421
140140=++x x
3、（2013•泰州） 某地为了打造风光带，将一段长为360 m 的河道整治任务由甲乙两个工程队先后接力完成，共用时20天，已知甲工程队每天整治24 m ,乙工程队每天整治16 m ..求甲、乙两个工程队分别整治了多长的河道.
聚焦中考
2. （2013江苏苏州，7,3分）已知2111=-b a ，则
b
a ab
-的值是 A.
21 B.－21
C.2
D.－2 3、（2013•乐山）甲、乙两人同时分别从A 、B 两地沿同一条公路骑自行车到C 地，已知A 、C 两地间的距离为110千米，B 、C 两地间的距离为100千米。
甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/时，结果两人
同时到达C 地，求两人的平均速度。
为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为x 千米/时，由题意
列出方程，其中正确．．
的是 ( )
4、（2013泰安）某电子元件厂准备生产4600个电子元件，甲车间独立生产了一半后，由于要尽快投入市场，乙车间也加入该电子元件的生产，若乙车间每天生产的电子元件是甲车间的1.3倍，结果用33天完成任务，问甲车间每天生产电子元件多少个？在这个问题中设甲车间每天生产电子元件x 个，根据题意可得方程为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
6、（2013•牡丹江）若关于x 的分式方程的解为正数，那么字母a 的取值范围是 a ＞1且a ≠2 ． 8、2013•绥化）若关于x 的方程
=
+1无解，则a 的值是 ．
9. （2013四川内江，15，5分）如果分式2327
3
x x --的值为0，则x 的值应为 ．
10. （2013四川乐山15，3分）若m 为正实数，且13m m -=，221
m m
-则= 11. （2013安徽，15，8分）先化简，再求值：
1
2
112
---x x ，其中x =－2．
13、（2013•自贡）先化简，然后从1、
、﹣1中选取一个你认为合适的数作为a 的
值代入求值．
14、（2013•红河）解方程 212
x
x x +=
+． 15、 （2013•宁波）解方程：=﹣5．
16、（2013•深圳）解方程：
0)1x (x 2
x 1x 3=-+--
19、（2013•三明）兴发服装店老板用4500元购进一批某款T 恤衫，由于深受顾客喜爱，很快售完，老板又用4950元购进第二批该款式T 恤衫，所购数量与第一批相同，但每件进价比第一批多了9元． （1）第一批该款式T 恤衫每件进价是多少元？
（2）老板以每件120元的价格销售该款式T 恤衫，当第二批T 恤衫售出时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使第二批的销售利润不低于650元，剩余的T 恤衫每件售价至少要多少元？（利润=售价﹣进价）。