2012年高考数学基础强化训练题—《三角函数》
2012年高考数学二轮专题测试 三角函数 解三角形 理
三角函数、解三角形 专题测试一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1．已知cos2x2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝15，0<x <π，则tan x 为( )A ．－43B ．－34C ．2D ．－2解析：∵cos2x cos x －sin x ＝cos 2x －sin 2x cos x －sin x ＝cos x ＋sin x ，∴cos x ＋sin x ＝15，两边平方可得1＋2sin x cos x ＝125，∴sin x cos x ＝－1225，∴π2<x <π，由⎩⎪⎨⎪⎧cos x ＋sin x ＝15sin x cos x ＝－1225解得sin x ＝45，cos x ＝－35，∴tan x ＝－43.答案：A2．将函数y ＝cos x 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的图象，则φ等于( )A.π6B.2π3 C.4π3D.11π6解析：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －2π3，将y ＝cos x 的图象向右平移2π3可得到y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2π3的图象，∴要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的图象应将y ＝cos x 的图象左移φ＝2π－2π3＝4π3个单位．答案：C3．函数 f (x )＝sin x －2cos 2x2的一个单调增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2B ．(0，π) C.⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4解析：f (x )＝sin x －2cos 2x2＝sin x －cos x －1＝2sin(x －π4)－1，由－π2＋2k π≤x －π4≤π2＋2k π(k ∈Z)得，f (x )增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π，3π4＋2k π(k ∈Z)． ∴f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4上递增． 答案：D4．(2011年某某省168中学第二次联考)已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝sin x }，集合B ＝{(x ，y )|y ＝tan x }，则A ∩B ＝( )A ．{(0,0)}B ．{(π，0)，(0,0)}C ．{(k π，0)}(k ∈Z)D ．Ø解析：∵sin k π＝0，k ∈Z ，tan k π＝0，k ∈Z ，∴选C. 答案：C5．(2011年某某十二校联考)函数y ＝－12cos2x ＋sin x －12的值域为( )A ．[－1,1]B ．[－54，1]C ．[－54，－1]D ．[－1，54]解析：y ＝－12cos2x ＋sin x －12＝－12(1－2sin 2x )＋sin x －12＝－12＋sin 2x ＋sin x －12＝sin 2x ＋sin x －1＝(sin x ＋12)2－54∵－1≤sin x ≤1∴当sin x ＝－12时，f (x )min ＝－54当sin x ＝1时，f (x )max ＝1，∴选B. 答案：B6．已知θ是第三象限角，|cos θ|＝m ，且sin θ2＋cos θ2>0，则cos θ2等于( )A.1＋m2B ．－1＋m2 C.1－m2D ．－1－m2解析：由题意知，cos θ＝－m ，θ2在第二象限，所以cos θ2＝－1＋cos θ2＝－1－m2， 故选D. 答案：D7．(2011年某某二诊)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象如下图所示，则函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的递减区间是( )A ．[2kπ＋π4，2kπ＋5π4]，k ∈ZB ．[2kπ－π4，2kπ＋3π4]，k ∈ZC ．[kπ＋π8，kπ＋5π8]，k ∈ZD ．[kπ－π4，kπ＋3π4]，k ∈Z解析：A ＝1，12T ＝7π8－3π8＝π2，T ＝π，∴T ＝2πω，ω＝2令x ＝3π8，∴3π8×2＋φ＝π23π4＋φ＝2π4，φ＝－π4，∴y ＝cos(2x －π4) 2kπ≤2x －π4≤π＋2kπ2kπ＋π4≤2x ≤5π4＋2kπkπ＋π8≤x ≤5π8＋kπ，k ∈Z∴单调减区间为[kπ＋π8，kπ＋5π8]，k ∈Z ，故选C.答案：C8．(2010年某某市南开中学模拟)已知函数 f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象在y 轴右侧的第一个最高点为M (2,2)，与x 轴在原点右侧的第一个交点为N (5,0)，则函数 f (x )的解析式为( )A ．2sin(π6x ＋π6)B ．2sin(π3x －π6)C ．2sin(π6x －π6)D ．2sin(π3x ＋π6)解析：由最高点是(2,2)点排除C 、D 两个选择支，由图象在原点右侧第一个交点为(5,0)点，排除选择支B.故选A.答案：A9．函数 f (x )＝2sin(2x ＋π4)，给出下列命题：①函数 f (x )在区间[π2，5π8]上是减函数；②直线x ＝π8是函数 f (x )的图象的一条对称轴；③函数 f (x )的图象可以由函数y ＝2sin2x 的图象向左平移π4个单位得到．其中正确的是( ) A ．①③B ．①② C ．②③D ．①②③解析：∵当π2≤x ≤5π8时，5π4≤2x ＋π4≤3π2，∴f (x )在[π2，5π8]上是减函数，故①正确．②∵f (π8)＝2sin(π4＋π4)＝2，故②正确．③y ＝2sin2x 向左平移π4个单位得y ＝2sin2(x ＋π4)＝2cos2x ≠ f (x )，故③不正确．故选B. 答案：B10．(2012年某某市高中毕业班质量检测)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC 等于( )A.2B. 3C.32D ．2解析：A 、B 、C 成等差数列， ∴B ＝60°，由b sin B ＝asin A ，∴sin A ＝a sin Bb ＝1×323＝12，∴A ＝30°或A ＝150°(舍去) ∴C ＝90°，∴S △ABC ＝12ab ＝32.答案：C11．(2012年某某市高三第一轮复习质量检测)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，且sin 2A －sin 2C ＝(sin A －sin B )sin B ，则角C 等于( )A.π6B.π3 C.5π6D.2π3解析：由sin 2A －sin 2C ＝sin A sin B －sin 2B ， 则a 2－c 2＝ab －b 2，∴a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴a 2＋b 2－c 22ab ＝12＝cos C ，∴C ＝π3.答案：B12．△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且cos2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝0，b ＝3，则c ∶sin C 等于( )A ．3∶1 B.3∶1 C.2∶1 D．2∶1解析：cos2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝2cos 2B －3cos B ＋1＝0， ∴cos B ＝12或cos B ＝1(舍)．∴B ＝π3.∴csin C ＝b sin B ＝332＝2.故选D. 答案：D二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．把答案填在题中横线上．) 13．(2010年某某省“金太阳”百校大联考)若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P (cos B －sin A ，sin B －cos A )在第________象限．解析：由A ＋B >π2，∴A >π2－B ，∴sin A >cos B同理sin B >cos A ∴点P 在第二象限．答案：二14．(2011年某某省苏北四市模拟题)已知直线x ＝π6是函数y ＝a sin x －b cos x 图象的一条对称轴，则函数y ＝b sin x －a cos x 图象的一条对称轴为________．解析：由已知，则12a －32b ＝±a 2＋b 2∴32b －12a ＝±a 2＋b 2 ∴x ＝π3是y ＝b sin x －a cos x 图象的一条对称轴．答案：x ＝π315．(2011年某某省苏北四市模拟)设函数 f (x )＝3sin θ3·x 3＋cos θ2x 2＋4x －1，其中θ∈[0，5π6]，则导数f ′(－1)的取值X 围是________． 解析：f ′(x )＝3sin θ·x 2＋cos θ·x ＋4∴f ′(－1)＝3sin θ－cos θ＋4＝2sin(θ－π6)＋4∵θ∈[0，5π6] ∴θ－π6∈[－π6，2π3]∴－12≤sin(θ－π6)≤1，∴f ′(－1)∈[3,6]． 答案：[3,6]16．(2010年某某省高三上学期质量检测)在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且3a ＝2c sin A ，则角C ＝________.解析：由3a ＝2c ·sin A ，则3sin A ＝2·sin C ·sin A ∴sin C ＝32， 又∵△ABC 为锐角三角形，∴C ＝π3.答案：π3三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255，(1)求cos(α－β)的值；(2)若－π2<β<0<α<π2，且sin β＝－513，求sin α的值．解析：(1)∵|a －b |＝255，∴a 2－2a ·b ＋b 2＝45.又a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，∴a 2＝b 2＝1，a ·b ＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)． ∴cos(α－β)＝2－452＝35.(2)∵－π2<β<0<α<π2，∴0<α－β<π.由(1)得cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45.又sin β＝－513，∴cos β＝1213.∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β ＝45×1213＋35×(－513)＝3365. 18．(2011年黄冈3月质检)已知函数f (x )＝3sin(ωx )－2sin 2ωx2(ω>0)的最小正周期为3π.(1)当x ∈[π2，3π4]时，求函数f (x )的最小值；(2)在△ABC 中，若f (C )＝1，且2sin 2B ＝cos B ＋cos(A －C )，求sin A 的值． 解：f (x )＝3sin(ωx )－2·1－cos ωx2＝3sin(ωx )＋cos(ωx )－1＝2sin(ωx ＋π6)－1依题意函数f (x )的最小正周期为3π ，即2πω＝3π，解得ω＝23，所以f (x )＝2sin(23x＋π6)－1(1)由π2≤x ≤3π4得π2≤23x ＋π6≤2π3，所以，当sin(23x ＋π6)＝32时，f (x )最小值＝2×32－1＝3－1 (2)由f (C )＝2sin(2C 3＋π6)－1及f (C )＝1，得sin(2C 3＋π6)＝1而π6≤23C ＋π6≤5π6，所以23C ＋π6＝π2，解得C ＝π2在Rt △ABC 中，∵A ＋B ＝π2，2sin 2B ＝cos B ＋cos(A －C )2cos 2A －sin A －sin A ＝0，∴sin 2A ＋sin A －1＝0， 解得sin A ＝－1±52∵0<sin A <1，∴sin A ＝5－12. 19．据气象台预报，距S 岛300km 的A 处有一台风中心形成，并以每小时30km 的速度向北偏西30°角的方向移动，在距台风中心270km 以内的地区将受到台风的影响．问：S 岛是否受其影响？若受到影响，从现在起经过多少小时S 岛开始受到台风的影响？持续时间多久？说明理由．分析：设B 为台风中心，则B 为AB 边上动点，SB 也随之变化．S 岛是否受台风影响可转化为SB ≤270，这一不等式是否有解的判断，则需表示SB ，可设台风中心经过t 小时到达B 点，则在△ABS 中，由余弦定理可求SB .解析：如下图，设台风中心经过t 小时到达B 点，由题意：∠SAB ＝90°－30°＝60°，在△SAB 中，SA ＝300，AB ＝30t ，∠SAB ＝60°， 由余弦定理得：SB 2＝SA 2＋AB 2－2SA ·AB ·cos∠SAB＝3002＋(30t )2－2·300·30t cos60°， 若S 岛受到台风影响，则应满足条件： |SB |≤270即SB 2≤2702化简整理得t 2－10t ＋19≤0 解之得5－6≤t ≤5＋6，所以从现在起，经过5－ 6 小时S 岛开始受到影响，(5＋6)小时后影响结束，持续时间：(5＋6)－(5－6)＝26(小时)答：S 岛从现在起经过(5－6)小时受到台风影响，且持续时间为26小时． 20．(2010年某某高考)已知函数 f (x )＝cos(π3＋x )cos(π3－x )，g (x )＝12sin2x －14.(1)求函数 f (x )的最小正周期；(2)求函数h (x )＝ f (x )－g (x )的最大值，并求使h (x )取得最大值的x 的集合．解析：(1) f (x )＝cos(π3＋x )cos(π3－x )＝(12cos x －32sin x )(12cos x ＋32sin x ) ＝14cos 2x －34sin 2x ＝1＋cos2x 8－3－3cos2x 8 ＝12cos2x －14， f (x )的最小正周期为2π2＝π. (2)h (x )＝f (x )－g (x )＝12cos2x －12sin2x ＝22cos(2x ＋π4)，当2x ＋π4＝2k π(k ∈Z)时，h (x )取得最大值22.h (x )取得最大值时，对应的x 的集合为{x |x ＝kx －π8，k ∈Z}．21．(2011年江南十校联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，AB →·AC →＝8，∠BAC ＝θ，a ＝4.(1)求b ·c 的最大值及θ的取值X 围；(2)求函数f (θ)＝23sin 2(π4＋θ)＋2cos 2θ－3的最值．解：(1)bc ·cos θ＝8，b 2＋c 2－2bc cos θ＝42即b 2＋c 2＝32 又b 2＋c 2≥2bc所以bc ≤16，即bc 的最大值为16 即8cos θ≤16，所以cos θ≥12， 又0<θ<π，所以0<θ≤π3(2)f (θ)＝3·[1－cos(π2＋2θ)]＋1＋cos2θ－ 3＝3sin2θ＋cos2θ＋1＝2sin(2θ＋π6)＋1因0<θ≤π3，所以π6<2θ＋π6≤5π6，12≤sin(2θ＋π6)≤1当2θ＋π6＝5π6，即θ＝π3时，f (θ)min ＝2×12＋1＝2当2θ＋π6＝π2，即θ＝π6时，f (θ)max ＝2×1＋1＝3.22．(2011年某某某某一模)已知向最a ＝(sin(x ＋π2)，sin x )，b ＝(cos x ，－sin x )，函数 f (x )＝m ·(a ·b ＋3sin2x )(m ∈R 且m >0)．(1)求函数 f (x )的最小正周期；(2)将函数 f (x )的图象的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的两倍，然后再向右平移π6个单位得到g (x )的图象，试探讨：当x ∈[0，π]时，函数 g (x )与y ＝1的图象的交点个数．解析：(1)∵a ·b ＝sin(x ＋π2)cos x －sin x sin x ＝cos 2x －sin 2x ＝cos2x ， ∴f (x )＝m ·(cos2x ＋3sin2x ) ＝2m sin(2x ＋π6)．∴T ＝π.(2)将函数 f (x )＝2m sin(2x ＋π6)的图象的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的两倍，得函数y ＝2m sin(x ＋π6)的图象，然后再向右平移π6个单位得到g (x )＝2m sin x 的图象，即g (x )＝2m sin x .∵m >0，∴当x ∈[0，π]时，函数 g (x )＝2m sin x ≤2m ， 则当m >12时，函数 g (x )与直线y ＝1的图象有2个交点；m ＝12时，有1个交点；0<m <12时，没有交点．。
2012高考理科数学三角函数 (答案详解)
2012理科数学三角函数专题题目一、选择题1.（湖南卷6）函数)6cos(sin )(π+-=x x x f 的值域为（ ）A ．]2,2[-B ．]3,3[-C ．]1,1[-D ．]23,23[- 2．（新课标全国卷9）已知0>ω，函数()⎪⎭⎫⎝⎛+=4sin πωx x f 在⎪⎭⎫⎝⎛ππ,2上单调递减。
则ω的取 值范围是（ ）（A ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡45,21 （B ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,21 （C ）⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0 (D)(]2,03.（山东卷7）若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,4ππθ， 8732sin =θ，则=θsin （D ） （A ）53（B ）54（C ）47（D ）43 4. （陕西卷9）在A B C ∆中，角A 、B 、C 边长分别为c b a ,,，若2222c b a =+，则C co s 的最小值为( ) （A ）23 （B ） 22（C ） 21 （D ） 21-5.（辽宁卷7）已知sin cos (0,)αααπ-∈，则tan α=（ ）（A ）1-（B ）-（C （D ）16.（全国卷7）已知α为第二象限角，sin cos αα+=，则cos 2α=（ ）（A ）3-（B ）9- （C ）9 （D ）37.（上试卷16）在ABC ∆中，若222sin sin sin A B C +<，则ABC ∆的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定8.（天津卷2）设R ϕ∈，则“=0ϕ”是“()=cos(+)f x x ϕ()x R ∈为偶函数”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分与不必要条件9.（天津卷6）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是,,a b c ，已知8=5b c ，=2C B ，则cos C =（ ） （A ）725 （Ｂ）725- （Ｃ）725± （Ｄ）242510.（重庆理5）设tan ,tan αβ是方程2320x x -+=的两个根，则tan()αβ+的值为 （A ）-3 （B ）-1 （C ）1 （D ）3 二、填空题11.(广东卷9)函数)20(2cos sin π≤≤+=x x x y 的值域是12．（湖北卷11）设ABC ∆的内角，，所对的边分别为，，. 若，则角13.（福建卷13）已知ABC ∆14．（北京卷11）在ABC ∆中，若2a =，7b c +=，1cos 4B =-，则b = 15.（江苏卷11）设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则)122sin(π+a 值为16.（上海卷4）若(2,1)n =-是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为：（结果用反三角函数值表示）。
2012年高考真题理科数学解析汇编三角函数(1)
2012年高考真题理科数学解析汇编：三角函数一、选择题1 ．（2012年高考（天津理））在A B C ∆中,内角A ,B ,C 所对的边分别是,,a b c ,已知8=5b c ,=2C B ,则cos C = （ ）A ．725B ．725-C ．725±D ．24252 ．（2012年高考（天津理））设R ϕ∈,则“=0ϕ”是“()=cos (+)f x x ϕ()x R ∈为偶函数”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3 ．（2012年高考（新课标理））已知0ω>,函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减.则ω的取值范围是 （ ）A ．15[,]24B ．13[,]24C ．1(0,]2D ．(0,2]4 ．（2012年高考（浙江理））把函数y =cos2x +1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图像是5 ．（2012年高考（重庆理））设tan ,tan αβ是方程2320x x -+=的两个根,则tan()αβ+的值为（ ）A ．3-B ．1-C ．1D ．36 ．（2012年高考（上海理））在ABC ∆中,若C B A 222sin sin sin <+,则ABC ∆的形状是 （ ）A ．锐角三角形.B ．直角三角形.C ．钝角三角形.D ．不能确定.7 ．（2012年高考（陕西理））在A B C ∆中,角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ,若2222a b c+=,则cos C 的最小值为（ ）A ．2B ．2C ．12D ．12-8 ．（2012年高考（山东理））若42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,sin 2=8θ,则sin θ= （ ）A ．35B ．45C ．4D ．349 ．（2012年高考（辽宁理））已知sin cos αα-=,α∈(0,π),则tan α=（ ）A ．-1B ．2-C ．2D ．110．（2012年高考（江西理））若tan θ+1tan θ =4,则sin2θ=（ ） A ．15B ．14C ．13D ．1211．（2012年高考（湖南理））函数f(x)=sinx-cos(x+6π)的值域为 （ ）A ．[ -2 ,2]B ．[-]C ．[-1,1 ]D ．[-2 ,2]12．（2012年高考（大纲理））已知α为第二象限角,sin cos 3αα+=,则cos 2α=（ ）A ．3-B ．9-C ．9D ．313.（2012年高考（陕西理））函数()sin()16f x A x πω=-+(0,0A ω>>)的最大值为3, 其图像相邻两条对称轴之间的距离为2π,(1)求函数()f x 的解析式;(2)设(0,)2πα∈,则()22f α=,求α的值.14．（2012年高考（山东理））已知向量(sin ,1),cos ,cos 2)(0)3Am x n x x A ==> ,函数()f x m n =⋅的最大值为6.(Ⅰ)求A ;(Ⅱ)将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍,纵坐标不变,得到函数()y g x =的图象.求()g x 在5[0,]24π上的值域.15.（2012年高考（广东理））(三角函数)已知函数()2cos 6f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭(其中0ω>x ∈R)的最小正周期为10π.(Ⅰ)求ω的值; (Ⅱ)设α、0,2πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,56535f απ⎛⎫+=-⎪⎝⎭,5165617f βπ⎛⎫-=⎪⎝⎭,求()cos αβ+的值.16.（2012年高考（浙江理））在∆ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知cos A =23,sin B =C .(Ⅰ)求tan C 的值; (Ⅱ)若a =求∆ABC 的面积.17.（2012年高考（辽宁理））在A B C ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a ,b ,c .角A ,B ,C 成等差数列. (Ⅰ)求cos B 的值;(Ⅱ)边a ,b ,c 成等比数列,求sin sin A C 的值.18．（2012年高考（江苏））在ABC ∆中,已知3AB ACBA BC=.(1)求证:tan 3tan B A=;(2)若cos 5C =求A 的值.19．（2012年高考（湖北理））已知向量(cos sin ,sin )x x x ωωω=-a ,(cos sin ,)x x x ωωω=--b ,设函数()f x λ=⋅+a b ()x ∈R 的图象关于直线πx =对称,其中ω,λ为常数,且1(,1)2ω∈.(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期;(Ⅱ)若()y f x =的图象经过点π(,0)4,求函数()f x 在区间3π[0,]5上的取值范围.20.（2012年高考（江西理））在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知,,sin()sin()444A b C cB aπππ=+-+=.(1)求证:2B C π-=(2)若求△ABC 的面积.13.解析:(1)∵函数()f x 的最大值为3,∴13,A +=即2A =∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为2π,∴最小正周期为T π= ∴2ω=,故函数()f x 的解析式为sin(2)16y x π=-+(2)∵()2sin()1226f απα=-+=即1sin()62πα-=∵02πα<<,∴663πππα-<-<∴66ππα-=,故3πα=14:(Ⅰ)⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+=⋅=62sin 2cos 22sin 232cos 2sin cos 3)(πx A x Ax A x A x x A n m x f , 则6=A ;(Ⅱ)函数y=f(x)的图象像左平移12π个单位得到函数]6)12(2sin[6ππ++=x y 的图象,再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的12倍,纵坐标不变,得到函数)34sin(6)(π+=x x g .当]245,0[π∈x 时,]1,21[)34sin(],67,3[34-∈+∈+ππππx x ,]6,3[)(-∈x g .故函数()g x 在5[0,]24π上的值域为]6,3[-.16 (Ⅰ) ∵cos A =23>0,∴sin A 3=,C =sin B =sin(A +C )=sin A cos C +sin C cos A3cos C +23sin C .整理得:tan C(Ⅱ)由图辅助三角形知:sin C .又由正弦定理知:sin sin a c AC=,故c =对角A 运用余弦定理:cos A =222223b c abc+-=. (2)解(1) (2)得:b =or b 3舍去).∴∆ABC 的面积为:S 2.17. (1)由已知12=+,++=,=,cos =32B A C A B C B B ππ∴ (2)解法一:2=b ac ,由正弦定理得23sin sin =sin =4A C B20. 解:(1)证明:由 sin()sin()44b Cc B a ππ+-+=及正弦定理得:sin sin()sin sin()sin 44B C C B A ππ+-+=,即sin )sin ()22222B C C C B B +-+=整理得:sin cos cos sin 1B C B C -=,所以sin()1B C -=,又30,4B C π<<所以2B C π-=(2) 由(1)及34B C π+=可得5,88B C ππ==,又,4A a π==所以sin 5sin 2sin,2sin sin 8sin 8a B a Cbc AAππ====, 所以三角形ABC的面积1521sn 2sinsi n288882b c Aππππ=====18. 解:(1)∵3AB AC BA BC= ,∴cos =3cos AB AC A BA BC B,即cos =3cos AC A BC B .由正弦定理,得=sin sin AC BC BA,∴sin cos =3sin cos B A A B .又∵0<A B <π+,∴cos 0 cos 0A >B >，.∴sin sin =3cos cos BA B A即tan 3tan B A =.(2)∵ cos 05C <C <π=,∴sin 5C =.∴tan 2C =.∴()tan 2A B π⎡-+⎤=⎣⎦,即()tan 2A B +=-.∴tan tan 21tan tan A BA B+=-- . 由 (1) ,得24tan 213tan A A=--,解得1tan =1 tan =3A A -，.∵cos 0A >,∴tan =1A .∴=4A π.19. 解析:(Ⅰ)因为22()sin cos cos f x x x x x ωωωωλ=-+⋅+cos 22x x ωωλ=-++π2sin(2)6x ωλ=-+.由直线πx =是()y f x =图象的一条对称轴,可得πsin(2π)16ω-=±, 所以ππ2ππ()62k k ω-=+∈Z ,即1()23k k ω=+∈Z .又1(,1)2ω∈,k ∈Z ,所以1k =,故56ω=.所以()f x 的最小正周期是6π5.(Ⅱ)由()y f x =的图象过点π(,0)4,得π()04f =,即5πππ2sin()2sin6264λ=-⨯-=-=即λ=故5π()2sin()36f x x =--由3π05x ≤≤,有π5π5π6366x -≤-≤,所以15πsin()1236x -≤-≤,得5π12sin()236x --≤---故函数()f x 在3π[0,]5上的取值范围为[12---.15. 1.解析:(Ⅰ)210T ππω==,所以15ω=.(Ⅱ)515652cos 52cos 2sin 353625f ππαπαπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,所以3s i n 5α=.5151652cos 52cos 656617f πβπβπβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,所以8c o s 17β=.因为α、0,2πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以4c o s 5α==,15sin 17β==,所以()4831513c o s c o sc o ss i n s i n51751785αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-.。
2012高考数学精品题库12：三角函数
2012高考数学精品题库第20集：三角函数（参考答案见第21集）必修4 第1章三角函数§1.1任意角的概念、弧度制重难点：理解任意角的概念，掌握角的概念的推广方法,能在直角坐标系讨论任意角，判断象限角、轴线角，掌握终边相同角的集合．掌握弧长公式、扇形面积公式并能灵活运用．考纲要求：①了解任意角的概念．②了解弧度制概念，能进行弧度与角度的互化．经典例题：写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式-3600≤β<7200的元素β写出来：（1）600；（2）-210；（3）363014，当堂练习：1．已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是（）A．B=A∩C B．B∪C=C C．A C D．A=B=C2 下列各组角中，终边相同的角是（）A．与B．C．D．3．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（）A．2 B．C．D．4．设角的终边上一点P的坐标是，则等于（）A．B．C．D．5．将分针拨慢10分钟，则分钟转过的弧度数是（）A．B．－C．D．－6．设角和的终边关于轴对称，则有（）A．B．C．D．7．集合A={ ，B={ ，则A、B之间关系为（）A．B．C．B A D．A B8．某扇形的面积为1 ，它的周长为4 ，那么该扇形圆心角的度数为（）A．2°B．2 C．4°D．49．下列说法正确的是（）A．1弧度角的大小与圆的半径无关B．大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大C．圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等D．用弧度表示的角都是正角10．中心角为60°的扇形，它的弧长为2 ，则它的内切圆半径为（）A．2 B．C．1 D．11．一个半径为R的扇形，它的周长为4R，则这个扇形所含弓形的面积为（）A．B．C．D．12．若角的终边落在第三或第四象限，则的终边落在（）A．第一或第三象限B．第二或第四象限C．第一或第四象限D．第三或第四象限13．，且是第二象限角，则是第象限角.14．已知的取值范围是.15．已知是第二象限角，且则的范围是.16．已知扇形的半径为R，所对圆心角为，该扇形的周长为定值c，则该扇形最大面积为.17．写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合（这括边界）（1）（2）（318．一个视力正常的人，欲看清一定距离的文字，其视角不得小于5′.试问：（1）离人10米处能阅读的方形文字的大小如何？（2）欲看清长、宽约0.4米的方形文字，人离开字牌的最大距离为多少？19．一扇形周长为20cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积？20．绳子绕在半径为50cm的轮圈上，绳子的下端B处悬挂着物体W，如果轮子按逆时针方向每分钟匀速旋转4圈，那么需要多少秒钟才能把物体W的位置向上提升100cm? 21．已知集合A={求与A∩B中角终边相同角的集合S.必修4 第1章三角函数考纲总要求：①理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义．②能利用单位圆中的三角函数线推导出，的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出，，的图像，了解三角函数的周期性．③理解正弦函数、余弦函数在区间的性质（单调性、最大和最小值与轴交点等），理解正切函数在区间的单调性．④理解同角三角函数的基本关系式．⑤了解函数的物理意义；能画出的图像，了解参数对函数图像变化的影响．⑥了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．§1.2.1-2任意角的三角函数值、同角三角函数的关系重难点：任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式；能利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用他们的集合形式表示出来；掌握同角三角函数的基本关系式，三角函数值的符号的确定，同角三角函数的基本关系式的变式应用以及对三角式进行化简和证明．经典例题：已知为第三象限角，问是否存在这样的实数m，使得、是关于的方程的两个根，若存在，求出实数m，若不存在，请说明理由.当堂练习：1．已知的正弦线与余弦线相等，且符号相同，那么的值为（）A．B．C．D．2．若为第二象限角，那么的值为（）A．正值B．负值C．零D．为能确定3．已知的值为（）A．－2 B．2 C．D．－4．函数的值域是（）A．{－1，1，3} B．{－1，1，－3} C．{－1，3} D．{－3，1}5．已知锐角终边上一点的坐标为（则=（）A．B．3 C．3－D．－36．已知角的终边在函数的图象上，则的值为（）A．B．－C．或－D．7．若那么2 的终边所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限8．、、的大小关系为（）A．B．C．D．9．已知是三角形的一个内角，且，那么这个三角形的形状为（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．不等腰的直角三角形D．等腰直角三角形10．若是第一象限角，则中能确定为正值的有（）A．0个B．1个C．2个D．2个以上11．化简（是第三象限角）的值等于（）A．0 B．－1 C．2 D．－212．已知，那么的值为（）A．B．－C．或－D．以上全错13．已知则.14．函数的定义域是_________.15．已知，则=______.16．化简.17．已知求证：.18．若,求角的取值范围.19．角的终边上的点P和点A（）关于轴对称（）角的终边上的点Q与A关于直线对称. 求的值.20．已知是恒等式. 求a、b、c的值.21．已知、是方程的两根，且、终边互相垂直. 求的值.必修4 第1章三角函数§1.2.3三角函数的诱导公式重难点：能借助于单位圆，推导出正弦、余弦的诱导公式；能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并解决求值、化简和恒等式证明问题；能通过公式的运用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程．经典例题：已知数列的通项公式为记求当堂练习：1．若那么的值为（）A．0 B．1 C．－1 D．2．已知那么（）A．B．C．D．3．已知函数，满足则的值为（）A．5 B．－5 C．6 D．－64．设角的值等于（）A．B．－C．D．－5．在△ABC中，若，则△ABC必是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形D．等腰直角三角形6．当时，的值为（）A．－1 B．1 C．±1 D．与取值有关7．设为常数），且那么（）A．1 B．3 C．5 D．78．如果则的取值范围是（）A．B．C．D．9．在△ABC中，下列各表达式中为常数的是（）A．B．C．D．10．下列不等式上正确的是（）A．B．C．D．11．设那么的值为（）A．B．－C．D．12．若，则的取值集合为（）A．B．C．D．13．已知则.14．已知则.15．若则.16．设，其中m、n、、都是非零实数，若则.17．设和求的值.18．已知求证：19．已知、是关于的方程的两实根，且求的值. 20．已知（1）求的表达式；（2）求的值.21．设满足,（1）求的表达式；（2）求的最大值．的最小值为多少？当堂练习：1．函数的图象（）A．关于原点对称B．关于点（－，0）对称C．关于y轴对称D．关于直线x= 对称2．要得到的图象只需将y=3sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位3．如图，曲线对应的函数是（）A．y=|sinx|B．y=sin|x|C．y=－sin|x|D．y=－|sinx|4．已知f(1+cosx)=cos2x,则f(x)的图象是下图中的（）5．如果函数y=sin2x+αcos2x的图象关于直线x=－对称，那么α的值为（）A．B．－C．1 D．－16．已知函数在同一周期内，时取得最大值，时取得最小值－，则该函数解析式为（）A．B．C．D．7．方程的解的个数为（）A．0 B．无数个C．不超过3 D．大于38．已知函数那么函数y=y1+y2振幅的值为（）A．5 B．7 C．13 D．9．已知的图象可以看做是把的图象上所有点的横坐标压缩到原来的1/3倍（纵坐标不变）得到的，则= （）A．B．2 C．3 D．10．函数y=－x•cosx的部分图象是（）11．函数的单调减区间是（）A．B．C．D．12．函数的最小正周期为（）A．πB．C．2πD．4π13．若函数的周期在内，则k的一切可取的正整数值是. 14．函数的最小值是．15．振动量的初相和频率分别为，则它的相位是．16．函数的最大值为．17．已知函数（１）求的最小正周期;（２）求的单调区间;（３）求图象的对称轴，对称中心.18．函数的最小值为－2,其图象相邻的最高点与最低点横坐标差是3π，又图象过点（0，1）求这个函数的解析式.19．已知函数=sin2x+acos2x在下列条件下分别求a的值.（１）函数图象关于原点对称;（２）函数图象关于对称.20．已知函数的定义域为，值域为[－5，1]求常数a、b的值．21．已知α、β为关于x的二次方程的实根，且，求θ的范围．必修4 第1章三角函数§1.3.4三角函数的应用重难点：掌握三角函数模型应用基本步骤:(1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式作出图象;(3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型；利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型．经典例题：已知某海滨浴场的海浪高度是时间( ,单位:小时)的函数,记作.下表是某日各时的浪高数据:经长期观察, 的曲线可近似地看成是函数的图象.(1)根据以上数据,求出函数的最小正周期,振幅及函数表达式;(2)依据规定,当海浪高度高于时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内的上午到晚上之间,有多少时间可供冲浪者进行活动?当堂练习：1.若A、B是锐角△ABC的两个内角,则点P(cosB-sinA,sinB-cosA)在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.(2004北京西城一模)设0＜|α|＜,则下列不等式中一定成立的是( )A.sin2α＞sinαB.cos2α＜cosαC.tan2α＞tanαD.cot2α＜cotα3.已知实数x、y、m、n满足m2+n2=a,x2+y2=b(a≠b),则mx+ny的最大值为( )A. B. C. D.4. 初速度v0，发射角为，则炮弹上升的高度y与v0之间的关系式为（）A. B. C. D.5. 当两人提重为的书包时，夹角为，用力为，则为____时，最小（）A． B. C. D.6.某人向正东方向走x千米后向右转，然后朝新的方向走3千米，结果他离出发点恰好千米，那么x的值为（）A． B. C. D.7. 甲、乙两楼相距60米，从乙楼底望甲楼顶仰角为，从甲楼顶望乙楼顶俯角为，则甲、乙两楼的高度分别为____________________.8.一树干被台风吹断折成角，树干底部与树尖着地处相距20米，树干原来的高度是________.9.(2006北京海淀模拟)在△ABC中,∠A=60°,BC=2,则△ABC的面积的最大值为_________.10.在高出地面30 m的小山顶上建造一座电视塔CD(如右图),今在距离B点60 m的地面上取一点A,若测得C、D所张的角为45°,则这个电视塔的高度为_______________.11.已知函数的最小正周期为,最小值为,图象经过点,求该函数的解析式.12．如图，某地一天从时到时的温度变化曲线近似满足函数,(I)求这段时间的最大温差;(II)写出这段曲线的函数解析式.13.若x满足,为使满足条件的的值(1)存在;(2)有且只有一个;(3)有两个不同的值;(4)有三个不同的值,分别求的取值范围.14.如图,化工厂的主控制表盘高1米,表盘底边距地面2米,问值班人员坐在什么位置上表盘看得最清楚?(设值班人员坐在椅子上时,眼睛距地面1.2米)必修4 第1章三角函数§1.4三角函数单元测试1. 化简等于（）A. B. C. 3 D. 12. 在ABCD中，设, ，, ,则下列等式中不正确的是（）A．B．C．D．3. 在中，①sin(A+B)+sinC；②cos(B+C)+cosA；③；④，其中恒为定值的是（）A、①②B、②③C、②④D、③④4. 已知函数f(x)=sin(x+ )，g(x)=cos(x－)，则下列结论中正确的是（）A．函数y=f(x)•g(x)的最小正周期为2B．函数y=f(x)•g(x)的最大值为1C．将函数y=f(x)的图象向左平移单位后得g(x)的图象D．将函数y=f(x)的图象向右平移单位后得g(x)的图象5. 下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的是（）A．B．C．D．6. 函数的值域是（）A、B、C、D、7. 设则有（）A． B. C. D.8. 已知sin , 是第二象限的角，且tan( )=1,则tan 的值为（）A．－7 B．7 C．－D．9. 定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则的值为（）A. B C D10. 函数的周期是（）A．B．C．D．11. 2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形的面积是1，小正方形的面积是的值等于（）A．1 B．C．D．12. 使函数f(x)=sin(2x+ )+ 是奇函数，且在[0，上是减函数的的一（）A．B．C．D．13、函数的最大值是3，则它的最小值______________________14、若，则、的关系是____________________15、若函数f(χ)是偶函数，且当χ＜0时，有f(χ)=cos3χ+sin2χ，则当χ＞0时，f(χ)的表达式为.16、给出下列命题：(1)存在实数x，使sinx+cosx＝; (2)若是锐角△的内角，则> ; (3)函数y＝sin( x- )是偶函数；(4)函数y＝sin2x的图象向右平移个单位，得到y＝sin(2x+ )的图象.其中正确的命题的序号是.17、求值:18、已知π2 <α<π,0<β<π2 ,tanα=－34 ,cos(β－α)= 513 ,求sinβ的值.19、已知函数（1）求它的定义域、值域以及在什么区间上是增函数；（2）判断它的奇偶性；（3）判断它的周期性。
2012年全国高考数学试题分类汇编——三角函数及解三角形
A 的值．
6、 （辽宁理 17)(本小题满分 12 分)在 ABC 中，角 A、B、C 的对边分 别为 a，b，c。角 A，B，C 成等差数列。 (Ⅰ)求 cos B 的值； (Ⅱ)边 a，b，c 成等比数列，求 sin A sin C 的值。
7、 （北京理 15） （本小题共 13 分）已知函数
ABC 内的概
△ABC 内的概率为 4 。
（安徽理 15）设 ABC 的内角 A, B, C 所对的边为 a, b, c ；则下列命题正 确的是___①②③ ①若 ab c ；则
2 3 3 3
C
3 C
② 若 a b 2c ；则
2 C
C
3 C
③若 a b c ；则
12
分 )
函 数
x 62 c o s 2
在一个周期内的图象如图所示， A 为
图象的最高点， B 、 C 为图象与 x 轴的交点，且 ABC 为正三角形。 （Ⅰ）求 的值及函数 f ( x) 的值域； （Ⅱ）若
f ( x0 )
10 2 8 3 x0 ( , ) 3 3 ，求 f ( x0 1) 的值。 5 ，且
(1,f (1) ) a f ( x) 1 2
ABC
重 庆 （ 13 ） 设
的 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c ， 且
3 5 cos A , cos B , b 3, 5 13 则c
三、解答题 1、 （湖北理 17） （满分 12 分）已知向量 a= b= 直线 x=π 对称，其中 ，设函数 f（x） =a²b+ 为常数，且 ， 的图像关于
7 A 25
2012年高考各省理科数学【三角函数】试题
2012年高考各省理科数学【三角函数】解析分类汇编 一、选择题1.【2012高考重庆理5】设tan ,tan αβ是方程2320x x -+=的两个根，则tan()αβ+的值为（A ）-3 （B ）-1 （C ）1 （D ）3 【答案】A【解析】因为βαtan ,tan 是方程2320x x -+=的两个根，所以3tan tan =+βα，2tan tan =βα，所以3213tan tan 1tan tan )tan(-=-=-+=+βαβαβα，选A.2.【2012高考浙江理4】把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是【答案】A【解析】把函数y ＝cos2x ＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得：y 1＝cos x ＋1，向左平移1个单位长度得：y 2＝cos(x +1)＋1，再向下平移1个单位长度得：y 3＝cos(x+1)．令x ＝0，得：y 3＞0；x ＝12-π，得：y 3＝0；观察即得答案．3.【2012高考新课标理9】已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减.则ω的取值范围是（ ）()A 15[,]24 ()B 13[,]24 ()C 1(0,]2()D (0,2] 【答案】A【解析】法1：函数)4sin()(πω+=x x f 的导数为)4cos()('πωω+=x x f ，要使函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ上单调递减，则有0)4cos()('≤+=πωωx x f 恒成立，则πππωππk x k 223422+≤+≤+，即ππωππk x k 24524+≤≤+，所以Z k k x k ∈+≤≤+，ωπωπωπωπ2424，当0=k 时，ωπωπ454≤≤x ，又ππ<<x 2，所以有πωππωπ≥≤45,24，解得45,21≤≥ωω，即4521≤≤ω，选A.法2：选A592()[,]444x πππωω=⇒+∈ 不合题意 排除()D 351()[,]444x πππωω=⇒+∈ 合题意 排除()()B C另：()22πωππω-≤⇔≤，3()[,][,]424422x ππππππωωπω+∈++⊂得：315,2424224πππππωπωω+≥+≤⇔≤≤4.【2012高考四川理4】如图，正方形A B C D 的边长为1，延长B A 至E ，使1A E =，连接E C 、ED 则sin C ED ∠=（ ）A 、10 B 、10C 10D 15【答案】B【解析】2EB EA AB =+=，EC ===，3424E D C E D A A D C πππ∠=∠+∠=+=，由正弦定理得sinsin 5C ED D C ED CC E∠===∠，所以3sin sin sin55410C ED ED C π∠=∠==.[点评]注意恒等式sin 2α+cos 2α=1的使用，需要用α的的范围决定其正余弦值的正负情况. 5.【2012高考陕西理9】在A B C ∆中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（ ）A.2B.2C.12D. 12-【答案】C.【解析】由余弦定理知214242)(212cos 222222222=≥+=+-+=-+=abab abb a abb a b a abcb a C ，故选Ｃ．6.【2012高考山东理7】若42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，sin 2=8θ，则sin θ= （A ）35（B ）45（C）4（D ）34【答案】D【解析】法1：因为]2,4[ππθ∈，所以],2[2ππθ∈，02cos <θ，所以812s i n 12c o s 2-=--=θθ，又81s i n 212c o s 2-=-=θθ，所以169s i n 2=θ，43sin =θ，选D.法2：由42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，及sin 2=8θ可得 434716776916761687312sin 1cos sin +=++=+=+=+=+θθθ，而当42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时θθcos sin >，结合选项即可得47cos ,43sin ==θθ.答案应选D 。
2012年高考数学三角函数专题练习及答案
绝密★启用前2012届高三数学二轮精品专题卷：专题7 三角函数考试范围：三角学一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知)23,(ππ∈a ，且34tan =α，则=αsin （ ）A ．53-B ．53C ．54-C ．54 2．=︒︒18sin 54sin （ ）A ．21B ．31C ．41D ．813．已知角α的终边过点()θθcos ,sin ,则下列结论一定正确的是 （ ）A ．θα=B ．2πθα+= C ．1sin sin 22=+αθ D ．1cos sin 22=+αθ4．函数()⎪⎭⎫⎝⎛-=4s i n πωx x f (ω＞0)的最小正周期为π,则()x f y =的一个单调递增区间为（ ） A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,8ππB ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,83ππ C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-83,8ππ D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-8,83ππ 5．ABC △中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若caB A =sin sin ，()()bc a c b a c b 3=-+++，则ABC △的形状为 （ ） A ．直角三角形 B ．等腰非等边三角形 C ．等边三角形D ．钝角三角形6．已知2π-＜α＜2π，且1312sin -=α，则=α2sin （ ）A ．169120 B ．169120-C ．169120±D ．16960±7．要得到函数x y cos =的图像,只需把函数x y 2sin =的图像 （ ）A ．沿x 轴向左平移2π个单位，再把横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变 B ．沿x 轴向右平移2π个单位，再把横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变 C ．横坐标缩短为原来的21，纵坐标不变再沿x 轴向右平移2π个单位 D ．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变,再沿x 轴向左平移2π个单位 8．已知ABC △的内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，且2=a ，32π=A ，且3=c ，则ABC △的面积为 （ ） A ．83373-B ．43373- C ．83373+D ．43373+9．已知函数()()ϕ+=x A x f sin (A ＜0，ϕ＜2π)的图像关于直线4π=x 对称，则⎪⎭⎫⎝⎛-=x f y 4π是 （ ）A ．偶函数且在0=x 时取得最大值B ．偶函数且在0=x 时取得最小值C ．奇函数且在0=x 时取得最大值D ．奇函数且在0=x 时取得最小值10．我们把正切函数在整个定义域内的图像看作一组“平行曲线”,而“平行曲线”具有性质:任意两条平行直线与两条相邻的“平行曲线”相交,被截得的线段长度相等．已知函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3tan πωx x f (ω＞0)图像中的两条相邻“平行曲线”与直线2012=y 相交于A 、B 两点，且2=AB ，则=⎪⎭⎫⎝⎛21f （ ）A ．32-B ．32--C ．3D ．26-二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.将答案填在题中的横线上）11．化简2)25sin(sin )22011sin(⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--a a a ππ的结果为 ．12．已知等腰三角形的顶角的余弦值为54，则一个底角的余弦值为 ． 13．已知函数()()ϕω+=x A x f sin (A ＞0，ω＞0，ϕ＜2π)的部分图象如下图所示．则=⎪⎭⎫ ⎝⎛32πf ．14．已知ABC △的面积为21,且41sin =A ,则cb 21+的最小值为 ． 15．设点()11,y x A 、()22,y x B 是函数在定义域内的两个端点，且点N 满足()OB OA ON λλ-+=1(O 为坐标原点)，点()y x M ,在函数()x f y =的图像上，且()211x x x λλ-+=(λ为实数),则称MN 的最大值为函数的高度,则函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=42cos 2πx x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡89,8ππ上的高度为 ．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（本小题满分10分）已知0cos 2sin =+αα．（1）化简()απαπαπ-⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+2011cos 25cos 223sin ; （2）求⎪⎭⎫⎝⎛-απ222011sin 的值．17．（本小题满分12分）已知函数()()ϕω+=x x f sin 2(ω＞0，π＜ϕ＜23π)的部分图像如图所示．（1）求()x f 的表达式;（2）求函数()x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ2,23上的最大值和最小值．18．（本小题满分13分）在ABC △中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知向量)cos ,(cos B A m = 、),2(a b c n +=，且n m ⊥． （1）求角A 的大小；（2）若4=a ，求ABC △面积的最大值． 19．（本小题满分13分）一个大风车的半径为8m ，12分钟旋转一周，它的最低点离地面2m ，求风车翼片的一个端点离地面距离h （m ）与时间t （min ）之间的函数关系式．20．（本小题满分13分）2011年5月中下旬，强飓风袭击美国南部与中西部造成了巨大的损失。
2012年高考数学真题解答题：三角函数
2012年高考真题解答题：三角函数（文科）1．（2012.x ∈R （1）求A 的值； （2）设，，，求cos （α＋β）的值. 2．（2012.天津）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的分别是a,b ，c 。
已知a=2，（I ）求sinC 和b 的值；（II3．（2012.大纲卷）△ABC 中，内角A 、B 、C 成等差数列，其对边a 、b 、c 满足223=b ac ，求A 。
4．（2012.浙江）在△ABC中，内角A,B，C的对边分别为a，b，c，且。
（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值中，角A，B，C的对边分别为a，b，c。
角A，B，C成等差5．（2012.辽宁）在ABC数列。
(Ⅰ)求cos B的值；A C的值。
(Ⅱ)边a，b，c成等比数列，求sin sin6．（2012.福建）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。
（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°（4）sin2（-18°）+cos248°- sin（-18°）cos48°（5）sin2（-25°）+cos255°- sin（-25°）cos55°Ⅰ试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数Ⅱ根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论7．（2012.（Ⅰ）求()f x 的定义域及最小正周期 （Ⅱ）求()f x 的单调递减区间。
8．（2012.山东）在△ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知s i n (t a n t a n )t a n B A C A C +=. (Ⅰ)求证：,,a b c 成等比数列；(Ⅱ)若1,2a c ==，求△ABC 的面积S.9．（2012. 新课标卷）已知a ，b ，c 分别为ABC ∆三个内角A ,B ,C 的对边，(Ⅰ)求A ；(Ⅱ)若a =2，ABC ∆的面积为，求b ，c .10．（2012.江苏）在ABC ∆中，已知3AB AC BA BC =． （1）求证：tan 3tan B A =；（2A 的值．11．（2012.重庆）设函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0,A ωπϕπ>>-<< ）在2，I ）求()fx 的解析式；（II12．（2012.江西）在△ABC 中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，已知3cos()16cos cos B C B C --=，（1）求c o s A （2）若3a =，△ABC 的面积为求b c 、13．（2012.四川）(本小题满分12分) （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和值域；，求sin 2α的值。
2012三角函数高考试题(进行了分类)
三角函数综合练习2（2011）1已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=（A ） 45- （B ）35-（C ）35（D ）452设sin 1+=43πθ（），则sin 2θ=（A ）79-（B ）19-（C ）19（D ）793若tan α=3，则2sin 2cos aα的值等于A ．2B ．3C ．4D ．64已知1sin cos 2α=+α，且0,2π⎛⎫α∈ ⎪⎝⎭，则cos 2sin 4πα⎛⎫α- ⎪⎝⎭的值为__________5已知a ∈（2π，π），sinα=5tan2α= 6已知,2)4tan(=+πx 则xx2tan tan 的值为__________ 7若02πα＜＜，02πβ-＜＜，1cos()43πα+=，cos()423πβ-=，则cos()2βα+=A．3B．3-C．9D．9-8若函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω=A ．3B ．2C ．32D ．239设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于A ．13B ．3C ．6D ．910已知函数()cos ,f x x x x R =-∈，若()1f x ≥，则x 的取值范围为A ．|,3x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭ B ．|22,3x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭ C ．5{|,}66x k x k k Z ππππ+≤≤+∈ D ．5{|22,}66x k x k k Z ππππ+≤≤+∈11设函数()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+++(0,||)2πωϕ><的最小正周期为π，且()()f x f x -=则（A ）()y f x =在(0,)2π单调递减 （B ）()y f x =在3(,)44ππ单调递减（C ）()y f x =在(0,)2π单调递增 （D ）()y f x =在3(,)44ππ单调递增12已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，且 ()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是 （A ）,()36k k k Z ππππ⎧⎫-+∈⎨⎬⎩⎭（B ）,()2k k k Z πππ⎧⎫+∈⎨⎬⎩⎭（C ）2,()63k k k Z ππππ⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭ （D ）,()2k k k Z πππ⎧⎫-∈⎨⎬⎩⎭13函数sin()cos()26y x x ππ=+-的最大值为 。
2012高考理科数学三角函数试题及答案
2012年高考理科数学三角函数一、选择题1 ．（2012年高考（天津理））在ABC ∆中,内角A ,B ,C 所对的边分别是,,a b c ,已知8=5b c ,=2C B ,则cos C =（ ）A ．725B ．725-C ．725±D ．24252 ．（2012年高考（天津理））设R ϕ∈,则“=0ϕ”是“()=cos(+)f x x ϕ()x R ∈为偶函数”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3 ．（2012年高考（新课标理））已知0ω>,函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减.则ω的取值范围是 （ ）A ．15[,]24B ．13[,]24C ．1(0,]2D ．(0,2]4 ．（2012年高考（浙江理））把函数y =cos2x +1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图像是5 ．（2012年高考（重庆理））设tan ,tan αβ是方程2320x x -+=的两个根,则tan()αβ+的值为（ ）A ．3-B ．1-C ．1D ．36 ．（2012年高考（上海理））在ABC ∆中,若C B A 222sin sin sin <+,则ABC ∆的形状是（ ）A ．锐角三角形.B ．直角三角形.C ．钝角三角形.D ．不能确定.7 ．（2012年高考（陕西理））在ABC ∆中,角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ,若2222a b c +=,则cos C 的最小值为 （ ）A ．2B ．2C ．12D ．12-8 ．（2012年高考（山东理））若42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,sin 2=8θ,则sin θ= （ ）A ．35B ．45 C D ．349 ．（2012年高考（辽宁理））已知sin cos αα-=,α∈(0,π),则tan α= （ ）A ．-1B ．-C D ．110．（2012年高考（江西理））若tan θ+1tan θ=4,则sin2θ= （ ）A ．15B ．14C ．13D ．1211．（2012年高考（湖南理））函数f(x)=sinx-cos(x+6π)的值域为 （ ）A ．[ -2 ,2]B ．C ．[-1,1 ]D ．[-2 , 2]12．（2012年高考（大纲理））已知α为第二象限角,sin cos αα+=,则cos 2α= （ ）A ．3-B ．9-C ．9D ．3二、填空题13．（2012年高考（重庆理））设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且35cos ,cos ,3,513A B b ===则c =______14．（2012年高考（上海春））函数()sin(2)4f x x π=+的最小正周期为_______.15．（ 2012年高考（江苏））设α为锐角,若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则)122sin(π+a 的值为____.16．（2012年高考（湖南理））函数f(x)=sin (x ωϕ+)的导函数()y f x '=的部分图像如图4所示,其中,P 为图像与y 轴的交点,A,C 为图像与x 轴的两个交点,B 为图像的最低点. (1)若6πϕ=,点P 的坐标为(0,2则ω=______ ; (2)若在曲线段 ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点,则该点在△ABC 内的概率为_______.17．（2012年高考（湖北理））设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c . 若()()a b c a b c ab +-++=,则角C =_________. 18．（2012年高考（福建理））已知ABC ∆,则其最大角的余弦值为_________.19．（2012年高考（大纲理））当函数sin cos (02)y x x x π=≤<取得最大值时,x =_______________.20．（2012年高考（北京理））在△ABC 中,若2a =,7b c +=,1cos 4B =-,则b =___________.21．（2012年高考（安徽理））设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边为,,a b c ;则下列命题正确的是_____①若2ab c >;则3C π<②若2a b c +>;则3C π<③若333a b c +=;则2C π<④若()2a b c ab +<;则2C π>⑤若22222()2a b c a b +<;则3C π>三、解答题22．（2012年高考（天津理））已知函数2()=sin (2+)+sin(2)+2cos 133f x x x x ππ--,x R ∈.(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期; (Ⅱ)求函数()f x 在区间[,]44ππ-上的最大值和最小值.23．（2012年高考（浙江理））在∆ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知cos A =23,sin B C .(Ⅰ)求tan C 的值;(Ⅱ)若a 求∆ABC 的面积.24．（2012年高考（重庆理））(本小题满分13分(Ⅰ)小问8分(Ⅱ)小问5分)设()4cos()sin cos(2)6f x x x x πωωωπ=--+,其中.0>ω(Ⅰ)求函数()y f x = 的值域 (Ⅱ)若()f x 在区间3,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数,求 ω的最大值.25．（2012年高考（四川理））函数2()6cos3(0)2xf x x ωωω=+->在一个周期内的图象如图所示,A 为图象的最高点,B 、C 为图象与x 轴的交点,且ABC ∆为正三角形.(Ⅰ)求ω的值及函数()f x 的值域;(Ⅱ)若0()f x =,且0102(,)33x ∈-,求0(1)f x +的值.26．（2012年高考（上海理））海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰在失事船的正南方向12海里A 处,如图. 现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线24912x y =;②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救 援船出发t 小时后,失事船所在位置的横坐标为t 7.(1)当5.0=t 时,写出失事船所在位置P 的纵坐标. 若此时 两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向;(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?27．（2012年高考（陕西理））函数()sin()16f x A x πω=-+(0,0A ω>>)的最大值为3,其图像相邻两条对称轴之间的距离为2π, (1)求函数()f x 的解析式; (2)设(0,)2πα∈,则()22f α=,求α的值.28．（2012年高考（山东理））已知向量(sin ,1),cos ,cos 2)(0)3Am x n x x A ==> ,函数()f x m n =⋅的最大值为6.(Ⅰ)求A ;(Ⅱ)将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍,纵坐标不变,得到函数()y g x =的图象.求()g x 在5[0,]24π上的值域.29．（2012年高考（辽宁理））在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a ,b ,c .角A ,B ,C 成等差数列.(Ⅰ)求cos B 的值;(Ⅱ)边a ,b ,c 成等比数列,求sin sin A C 的值.30．（2012年高考（江西理））在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知,,sin()sin()444A b C cB a πππ=+-+=. (1)求证:2B C π-=(2)若求△ABC 的面积.31．（2012年高考（江苏））在ABC ∆中,已知3AB AC BA BC =.(1)求证:tan 3tan B A =;(2)若cos C =求A 的值.32．（2012年高考（湖北理））已知向量(cos sin ,sin )x x x ωωω=-a ,(cos sin ,)x x x ωωω=--b ,设函数()f x λ=⋅+a b ()x ∈R 的图象关于直线πx =对称,其中ω,λ为常数,且1(,1)2ω∈.(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期;(Ⅱ)若()y f x =的图象经过点π(,0)4,求函数()f x 在区间3π[0,]5上的取值范围.33．（2012年高考（广东理））(三角函数)已知函数()2cos 6f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭(其中0ω>x ∈R )的最小正周期为10π. (Ⅰ)求ω的值;(Ⅱ)设α、0,2πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,56535f απ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,5165617f βπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,求()cos αβ+的值.34．（2012年高考（福建理））某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.(1)2sin 13cos17sin13cos17︒+︒-︒︒ (2)2sin 15cos15sin15cos15︒+︒-︒︒ (3)2sin 18cos12sin18cos12︒+︒-︒︒ (4)2sin (18)cos48sin(18)cos48-︒+︒--︒︒ (5)2sin (25)cos55sin(25)cos55-︒+︒--︒︒ Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广三角恒等式,并证明你的结论.35．（2012年高考（大纲理））(注意．．:．在试卷上作答无效．．．．．．．．) ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知cos()cos 1,2A C B a c -+==,求C .36．（2012年高考（北京理））已知函数(sin cos )sin 2()sin x x xf x x-=.(1)求()f x 的定义域及最小正周期; (2)求()f x 的单调递增区间.37．（2012年高考（安徽理））设函数2())sin 4f x x x π=++ (I)求函数()f x 的最小正周期;(II)设函数()g x 对任意x R ∈,有()()2g x g x π+=,且当[0,]2x π∈时,1()()2g x f x =-,求函数()g x 在[,0]π-上的解析式.2012年高考理科数学三角函数参考答案一、选择题 1. 【答案】A【命题意图】本试题主要考查了正弦定理、三角函数中的二倍角公式. 考查学生分析、转化与计算等能力.【解析】∵8=5b c ,由正弦定理得8sin =5sin B C ,又∵=2C B ,∴8sin =5sin 2B B ,所以8s i B B B ,易知si B ≠,∴4cos =5B ,2cos =cos 2=2cos 1C B B -=725.2. 【答案】A【命题意图】本试题主要考查了三角函数的奇偶性的判定以及充分条件与必要条件的判定.【解析】∵=0ϕ⇒()=cos(+)f x x ϕ()x R ∈为偶函数,反之不成立,∴“=0ϕ”是“()=cos(+)f x x ϕ()x R ∈为偶函数”的充分而不必要条件.3. 【解析】选A592()[,]444x πππωω=⇒+∈ 不合题意 排除()D351()[,]444x πππωω=⇒+∈ 合题意 排除()()B C另:()22πωππω-≤⇔≤,3()[,][,]424422x ππππππωωπω+∈++⊂ 得:315,2424224πππππωπωω+≥+≤⇔≤≤4. 【答案】A【解析】把函数y=cos2x+1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得:y1=cosx+1,向左平移1个单位长度得:y2=cos(x+1)+1,再向下平移1个单位长度得:y3=cos(x+1).令x=0,得:y3>0;x=12π-,得:y3=0;观察即得答案.5. 【答案】A【解析】tan tan 3tan tan 3,tan tan 2tan()31tan tan 12αβαβαβαβαβ++==⇒+===-+-【考点定位】此题考查学生灵活运用韦达定理及两角和的正切公式化简求值.6. [解析] 由条件结合正弦定理,得222c b a <+,再由余弦定理,得0cos 2222<=-+abc b aC ,所以C 是钝角,选C.7. 解析:由余弦定理得,222221cos 242a b c a b C ab ab +-+==≥当且仅当a b =时取“=”,选C.8. 【解析】因为]2,4[ππθ∈,所以],2[2ππθ∈,02cos <θ,所以812s i n 12c o s 2-=--=θθ,又81sin 212cos 2-=-=θθ,所以169sin 2=θ,43sin =θ,选D.9. 【答案】A【解析一】sin cos )sin()144ππαααα-=-=-= 3(0),,tan 14παπαα∈∴=∴=- ，,故选A【解析二】2sin cos (sin cos )2,sin 21,ααααα-=-=∴=- 33(0,),2(0,2),2,,tan 124ππαπαπααα∈∴∈∴=∴=∴=- ,故选A【点评】本题主要考查三角函数中的和差公式、倍角公式、三角函数的性质以及转化思想和运算求解能力,难度适中.10. D 【解析】本题考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想.因为221sin cos sin cos 1tan 41tan cos sin sin cos sin 22θθθθθθθθθθθ++=+===,所以.1sin 22θ=. 【点评】本题需求解正弦值,显然必须切化弦,因此需利用公式s i n t an cos θθθ=转化;另外,22sincos θθ+在转化过程中常与“1”互相代换,从而达到化简的目的;关于正弦、余弦的齐次分式,常将正弦、余弦转化为正切,即弦化切,达到求解正切值的目的. 体现考纲中要求理解三角函数的基本关系式,二倍角公式.来年需要注意二倍角公式的正用,逆用等. 11. 【答案】B 【解析】f(x)=sinx-cos(x+6π)1sin sin )26x x x x π=+=-,[]sin()1,16x π-∈- ,()f x ∴值域为【点评】利用三角恒等变换把()f x 化成sin()A x ωϕ+的形式,利用[]sin()1,1x ωϕ+∈-,求得()f x 的值域.12. 答案A【命题意图】本试题主要考查了三角函数中两角和差的公式以及二倍角公式的运用.首先利用平方法得到二倍角的正弦值,然后然后利用二倍角的余弦公式,将所求的转化为单角的正弦值和余弦值的问题.【解析】sin cos αα+=,两边平方可得121sin 2sin 233αα+=⇒=-α是第二象限角,因此sin 0,cos 0αα><,所以cos sin αα-===22cos 2cos sin (cos sin )(cos sin )ααααααα∴=-=+-=法二:单位圆中函数线+估算,因为α是第二象限的角,又1sin cos αα+ 所以“正弦线”要比“余弦线”长一半多点,如图,故2cos α的“余弦线”应选A . 二、填空题13. 【答案】145c =【解析】由35412cos ,cos sin ,sin 513513A B A B ==⇒==,由正弦定理sin sin a b A B =得43sin 13512sin 513b A a B ⨯===,由余弦定理2222142cos 25905605a c b bc A c c c =+-⇒-+=⇒=【考点定位】利用同角三角函数间的基本关系求出sin B的值是本题的突破点,然后利用正弦定理建立已知和未知之间的关系,同时要求学生牢记特殊角的三角函数值. 14. π15. 【考点】同角三角函数,倍角三角函数,和角三角函数.【解析】∵α为锐角,即02<<πα,∴2=66263<<πππππα++. ∵4cos 65απ⎛⎫+=⎪⎝⎭,∴3sin 65απ⎛⎫+=⎪⎝⎭.∴3424sin 22sin cos =2=3665525αααπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ . ∴7cos 2325απ⎛⎫+=⎪⎝⎭. ∴sin(2)=sin(2)=sin 2cos cos 2sin 12343434a a a a πππππππ⎛⎫⎛⎫++-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭247=2525-16. 【答案】(1)3;(2)4π【解析】(1)()y f x '=cos()x ωωϕ=+,当6πϕ=,点P 的坐标为(0,)时cos36πωω=∴=;(2)由图知222T AC ππωω===,122ABC S AC πω=⋅= ,设,A B 的横坐标分别为,a b . 设曲线段ABC与x 轴所围成的区域的面积为S则()()sin()sin()2bbaaS f x dx f x a b ωϕωϕ'===+-+=⎰,由几何概型知该点在△ABC 内的概率为224ABC S P S ππ=== .【点评】本题考查三角函数的图像与性质、几何概型等,(1)利用点P 在图像上求ω, (2)几何概型,求出三角形面积及曲边形面积,代入公式即得. 17.考点分析:考察余弦定理的运用.解析:由222()()a b c a b c ab a b c ab +-+-=⇒+-=-根据余弦定理可得22212 cos223a b cC Cabπ+-==-⇒=18.【答案】4-【解析】设最小边为a,,2a,由余弦定理得,最大角的余弦值为222cos4α==-【考点定位】此题主要考查三角形中的三角函数,等比数列的概念、余弦定理,考查分析推理能力、运算求解能力.19.答案:56π【命题意图】本试题主要考查了三角函数性质的运用,求解值域的问题.首先化为单一三角函数,然后利用定义域求解角的范围,从而结合三角函数图像得到最值点.【解析】由sin2sin()3y x x xπ=-=-由502333x xππππ≤<⇔-≤-<可知22sin()23xπ-≤-≤当且仅当332xππ-=即116xπ=时取得最小值,32xππ-=时即56xπ=取得最大值.20. 【答案】4【解析】在ABC∆中,得用余弦定理22214()()47()cos2444a cbc b c b c bBac c c+-++-+-=⇒-==,化简得8740c b-+=,与题目条件7b c+=联立,可解得2,4,3a b c===,答案为4.【考点定位】本题考查的是解三角形,考查余弦定理的应用.利用题目所给的条件列出方程组求解.21. 【解析】正确的是①②③①222221cos2223a b c ab abab c C Cab abπ+-->⇒=>=⇒<②2222224()()12cos2823a b c a b a ba b c C Cab abπ+-+-++>⇒=>≥⇒<③当2C π≥时,22232233c a b c a c b c a b ≥+⇒≥+>+与333a b c +=矛盾④取2,1a b c ===满足()2a b c ab +<得:2C π<⑤取2,1a b c ===满足22222()2a b c a b +<得:3C π<三、解答题22. 【命题意图】本题考查两角和与差的正弦公式、二倍角的余弦公式,三角函数的最小周期,单调性等知识.()=sin 2coscos 2sin sin 2cos cos 2sin cos 23333f x x x x x x ππππ++-+sin 2cos 2)4x x x π=+=+所以,()f x 的最小正周期22T ππ==.(2)因为()f x 在区间[,]48ππ-上是增函数,在区间[,]84ππ上是减函数,又()14f π-=-,()()184f f ππ==,故函数()f x 在区间[,]44ππ-上的最大值为,最小值为1-.【点评】该试题关键在于将已知的函数表达式化为=sin (+)y A x ωϕ的数学模型,再根据此三角模型的图像与性质进行解题即可.23. 【解析】本题主要考察三角恒等变换,正弦定理,余弦定理及三角形面积求法等知识点.(Ⅰ) ∵cosA=23,=cosC+23sinC.整理得.(Ⅱ)由图辅助三角形知.又由正弦定理知:sin sin a cA C =,故c =对角A 运用余弦定理:cosA=222223b c a bc +-=. (2) 解(1) (2)得:b =(舍去). ∴∆ABC 的面积为:S=..24. 【考点定位】本题以三角函数的化简求值为主线,三角函数的性质为考查目的的一道综合题,考查学生分析问题解决问题的能力,由正弦函数的单调性结合条件可列32424ππωππω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩,从而解得ω的取值范围,即可得ω的最在值.解:(1)()14sin sin cos 22f x x x x x ωωωω⎫=++⎪⎪⎝⎭222cos 2sin cos sin x x x x x ωωωωω=++-21x ω=+因1sin 21x ω-≤≤,所以函数()y f x =的值域为1⎡+⎣(2)因sin y x =在每个闭区间()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上为增函数,故()21f x x ω+()0ω>在每个闭区间(),44k k k Z ππππωωωω⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上为增函数.依题意知3,22ππ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦,44k k ππππωωωω⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦对某个k Z ∈成立,此时必有0k =,于是32424ππωππω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩,解得16ω≤,故ω的最大值为16. 25. [解析](Ⅰ)由已知可得:2()6cos 3(0)2xf x x ωωω=+->=3cos ωx+)3sin(32sin 3πωω+=x x又由于正三角形ABC 的高为23,则BC=4所以,函数482824)(πωωπ===⨯=，得，即的周期T x f所以,函数]32,32[)(-的值域为x f(Ⅱ)因为，由538)(0=x f (Ⅰ)有，538)34(sin 32)(00=+=ππx x f54)34(sin 0=+ππx 即 由x0)2,2()34x (323100ππππ-∈+-∈），得，（所以,53)54(1)34(cos 20=-=+ππx 即故=+)1(0x f =++)344(sin 320πππx ]4)34(sin[320πππ++x)22532254(324sin)34cos(4cos)34([sin 320⨯+⨯=+++=ππππππx x567=[点评]本题主要考查三角函数的图像与性质同三角函数的关系、两角和的正(余)弦公式、二倍角公式等基础知识,考查运算能力,考查树形结合、转化等数学思想.26. [解](1)5.0=t 时,P 的横坐标xP=277=t ,代入抛物线方程24912x y =中,得P 的纵坐标yP=3 由|AP|=2949,得救援船速度的大小为949海里/时由tan∠OAP=30712327=+,得∠OAP=arctan 307,故救援船速度的方向为北偏东arctan 307弧度(2)设救援船的时速为v 海里,经过t 小时追上失事船,此时位置为)12,7(2t t . 由222)1212()7(++=t t vt ,整理得337)(1442122++=t t v因为2212≥+t t ,当且仅当t =1时等号成立,所以22253372144=+⨯≥v ,即25≥v . 因此,救援船的时速至少是25海里才能追上失事船 27.解析:(1)∵函数()f x 的最大值为3,∴13,A +=即2A =∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为2π,∴最小正周期为T π=∴2ω=,故函数()f x 的解析式为sin(2)16y x π=-+ (2)∵()2sin()1226f απα=-+=即1sin()62πα-=∵02πα<<,∴663πππα-<-<∴66ππα-=,故3πα=28. 解析:(Ⅰ)⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+=⋅=62sin 2cos 22sin 232cos 2sin cos 3)(πx A x A x A x A x x A n m x f , 则6=A ;(Ⅱ)函数y=f(x)的图象像左平移12π个单位得到函数]6)12(2sin[6ππ++=x y 的图象, 再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的12倍,纵坐标不变,得到函数)34sin(6)(π+=x x g . 当]245,0[π∈x 时,]1,21[)34sin(],67,3[34-∈+∈+ππππx x ,]6,3[)(-∈x g .故函数()g x 在5[0,]24π上的值域为]6,3[-.另解:由)34sin(6)(π+=x x g 可得)34cos(24)(π+='x x g ,令0)(='x g ,则)(234Z k k x ∈+=+πππ,而]245,0[π∈x ,则24π=x , 于是367sin 6)245(,62sin6)24(,333sin6)0(-======πππππg g g ,故6)(3≤≤-x g ,即函数()g x 在5[0,]24π上的值域为]6,3[-.29. 【答案及解析】(1)由已知12=+,++=,=,cos =32B A C A B C B B ππ∴(2)解法一:2=b ac ,由正弦定理得23sin sin =sin =4A C B解法二:2=b ac ,222221+-+-=cos ==222a c b a c ac B ac ac ,由此得22+-=,a c ac ac 得=a c 所以===3A B C π,3sin sin =4A C【点评】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列的定义,考查转化思想和运算求解能力,属于容易题.第二小题既可以利用正弦定理把边的关系转化为角的关系,也可以利用余弦定理得到边之间的关系,再来求最后的结果. 30. 【解析】解:(1)证明:由 sin()sin()44b C c B aππ+-+=及正弦定理得:sin sin()sin sin()sin 44B C C B Aππ+-+=,即sin (sin )sin ()22222B C C C B B +-+=整理得:sin cos cos sin 1B C B C -=,所以sin()1B C -=,又30,4B C π<<所以2B C π-=(2) 由(1)及34B C π+=可得5,88B C ππ==,又,4A a π==所以sin 5sin 2sin ,2sin sin 8sin 8a B a C b c A A ππ====,所以三角形ABC的面积151sin sin cos 28888242bc A πππππ=====【点评】本题考查解三角形,三角形的面积,三角恒等变换、三角和差公式以及正弦定理的应用.高考中,三角解答题一般有两种题型:一、解三角形:主要是运用正余弦定理来求解边长,角度,周长,面积等;二、三角函数的图像与性质:主要是运用和角公式,倍角公式,辅助角公式进行三角恒等变换,求解三角函数的最小正周期,单调区间,最值(值域)等.来年需要注意第二种题型的考查.31. 【答案】解:(1)∵3AB AC BA BC =,∴cos =3cos AB AC A BA BC B,即cos =3cos AC A BC B .由正弦定理,得=sin sin AC BCB A ,∴sin cos =3sin cos B A A B .又∵0<A B <π+,∴cos 0 cos 0A >B >，.∴sin sin =3cos cos B AB A即tan 3tan B A =.(2)∵ cos 0C <C <π=,∴sin C =.∴tan 2C =.∴()tan 2A B π⎡-+⎤=⎣⎦,即()tan 2A B +=-.∴tan tan 21tan tan A BA B +=-- . 由 (1) ,得24tan 213tan AA =--,解得1tan =1 tan =3A A -，.∵cos 0A >,∴tan =1A .∴=4A π.【考点】平面微量的数量积,三角函数的基本关系式,两角和的正切公式,解三角形.【解析】(1)先将3AB AC BA BC =表示成数量积,再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明.(2)由cos C =可求tan C ,由三角形三角关系,得到()tan A B π⎡-+⎤⎣⎦,从而根据两角和的正切公式和(1)的结论即可求得A 的值.32.考点分析:本题考察三角恒等变化,三角函数的图像与性质.解析:(Ⅰ)因为22()sin cos cos f x x x x x ωωωωλ=-+⋅+cos22x x ωωλ=-+π2sin(2)6x ωλ=-+. 由直线πx =是()y f x =图象的一条对称轴,可得πsin(2π)16ω-=±, 所以ππ2ππ()62k k ω-=+∈Z ,即1()23k k ω=+∈Z .又1(,1)2ω∈,k ∈Z ,所以1k =,故56ω=.所以()f x 的最小正周期是6π5.(Ⅱ)由()y f x =的图象过点π(,0)4,得π()04f =,即5πππ2sin()2sin 6264λ=-⨯-=-=即λ=.故5π()2sin()36f x x =-由3π05x ≤≤,有π5π5π6366x -≤-≤, 所以15πsin()1236x -≤-≤,得5π12sin()236x --故函数()f x 在3π[0,]5上的取值范围为[12-. 33.解析:(Ⅰ)210T ππω==,所以15ω=.(Ⅱ)515652cos 52cos 2sin 353625f ππαπαπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,所以3s i n5α=.5151652cos 52cos 656617f πβπβπβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,所以8cos 17β=.因为α、0,2πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以4c o s n5α==,15sin 17β==,所以()4831513c o s c o s c o s s i ns i n 51751785αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-. 34. 【考点定位】本题主要考查同角函数关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、考查运算能力、特殊与一般思想、化归与转化思想.解:(1)选择(2)式计算如下213sin 15cos15sin15cos151sin 3024︒+︒-︒︒=-︒=(2)证明:22sin cos (30)sin cos(30)αααα+︒--︒- 22sin (cos30cos sin30sin )sin (cos30cos sin30sin )αααααα=+︒+︒-︒+︒2222311sin cos cos sin cos sin 42422αααααααα=+++-- 22333sin cos 444αα=+=35. 【命题意图】本试题主要考查了解三角形的运用,给出两个公式,一个是边的关系,一个角的关系,而求解的为角,因此要找到角的关系式为好. 【解析】由()A B C B A C ππ++=⇔=-+,由正弦定理及2a c =可得sin 2sin A C = 所以cos()cos cos()cos(())cos()cos()A C B A C A C A C A C π-+=-+-+=--+cos cos sin sin cos cos sin sin 2sin sin A C A C A C A C A C =+-+=故由cos()cos 1A C B -+=与sin 2sin A C =可得22sin sin 14sin 1A C C =⇒=而C 为三角形的内角且2a c c =>,故02C π<<,所以1sin 2C =,故6C π=.【点评】该试题从整体来看保持了往年的解题风格,依然是通过边角的转换,结合了三角形的内角和定理的知识,以及正弦定理和余弦定理,求解三角形中的角的问题.试题整体上比较稳定,思路也比较容易想,先将三角函数关系式化简后,得到,A C 角关系,然后结合2a c =,得到两角的二元一次方程组,自然很容易得到角C 的值.36. 【考点定位】本题考醒三角函数知识,此类型题在平时练习时练得较多,考生应该觉得非常容易入手.解:(sin cos )sin 2()sin x x x f x x -==(sin cos )2sin cos sin x x x xx -=2(sin cos )cos x x x -=sin 21cos 2x x --)14x π--,{|,}x x k k Z π≠∈ (1) 原函数的定义域为{|,}x x k k Z π≠∈,最小正周期为π;(2)原函数的单调递增区间为[,)8k k k Z πππ-+∈,3(,]8k k k Z πππ+∈.37. 【解析】2111())sin cos 2sin 2(1cos 2)24222f x x x x x x π=++=-+-11sin 222x =- (I)函数()f x 的最小正周期22T ππ==(2)当[0,]2x π∈时,11()()sin 222g x f x x =-= 当[,0]2x π∈-时,()[0,]22x ππ+∈ 11()()sin 2()sin 22222g x g x x x ππ=+=+=- 当[,)2x ππ∈--时,()[0,)2x ππ+∈ 11()()sin 2()sin 222g x g x x x ππ=+=+=得:函数()g x 在[,0]π-上的解析式为1sin 2(0)22()1sin 2()22x x g x x x πππ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩。
三角函数(高考真题2012)
三角函数一、选择题1.【2012高考安徽文7】要得到函数)12cos(+=x y 的图象，只要将函数x y 2cos =的图象 （A ） 向左平移1个单位 （B ） 向右平移1个单位 （C ） 向左平移12个单位 （D ） 向右平移12个单位 2.【2012高考新课标文9】已知ω>0，πϕ<<0，直线4π=x 和45π=x 是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π43.【2012高考山东文8】函数2sin (09)63x y x ππ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭的最大值与最小值之和为(A)2 (B)0 (C)－1 (D)1-4.【2012高考全国文3】若函数()sin([0,2])3x f x ϕϕπ+=∈是偶函数，则=ϕ （A ）2π （B ）32π （C ）23π （D ）35π5.【2012高考全国文4】已知α为第二象限角，3sin 5α=，则sin 2α=（A ）2524- （B ）2512- （C ）2512 （D ）25246.【2012高考重庆文5】sin 47sin17cos30cos17-（A ）B ）12-（C ）12 （D7.【2012高考浙江文6】把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是8.【2012高考上海文17】在△ABC 中，若222sin sin sin A B C +<，则△ABC 的形状是（ ） A 、钝角三角形 B 、直角三角形 C 、锐角三角形 D 、不能确定9.【2012高考四川文5】如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =，连接EC 、ED 则sin CED ∠=（ ）（1）10B 、10C 、10D 、1510.【2012高考辽宁文6】已知sin cos αα-=，α∈(0，π)，则sin 2α= (A)-1 (B)2- (C) 2(D) 1 11.【2012高考江西文4】若sin cos 1sin cos 2αααα+=-，则tan2α=A. -34B. 34C. -43D. 4312.【2012高考江西文9】已知2()sin ()4f x x π=+若a =f （lg5），1(lg )5b f =则 A.a+b=0 B.a-b=0 C.a+b=1 D.a-b=113.【2012高考湖南文8】 在△ABC中，，BC=2，B =60°，则BC 边上的高等于A14.【2012高考湖北文8】设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数，且A ＞B ＞C ，3b=20acosA ，则sinA ∶sinB ∶sinC 为 A.4∶3∶2 B.5∶6∶7 C.5∶4∶3 D.6∶5∶415.【2012高考广东文6】在△ABC 中，若60A ∠= ，45B ∠=，BC =AC =A.B.C.D.16.【2102高考福建文8】函数f(x)=sin(x-4π)的图像的一条对称轴是 A.x=4π B.x=2π C.x=-4π D.x=-2π17.【2012高考天津文科7】将函数f(x)=sin x ω（其中ω>0）的图像向右平移4π个单位长度，所得图像经过点（34π，0），则ω的最小值是（A ）13（B ）1 C ）53（D ）2二、填空题18.【2012高考江苏11】（5分）设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则)122sin(π+a 的值为 ▲ ．19.【2102高考北京文11】在△ABC 中，若a =3，b=3，∠A=3π，则∠C 的大小为_________。
2012年高考真题汇编——理科数学(解析版)5：三角函数
2 sin
cos
1 3 0, cos
， 所 以
2s i n c o s
2 3
0 ， 因 为 已 知 α 为 第 二 象 限 角 ， 所 以 sin 2 3 5 3 15 3 15 3
0 ，
sin
cos
1 2 sin
cos
1
，
所
以
c
2
c o
2
so s
2
(i s
sc n )
io s (
n )= s ic
a ，则另两边为 a
2
2 a,2 a .
2
所以最大角余弦
cos
2a 2a
2
4a 2a
2 4
3 5
，
19.【 2012 高考真题重庆理
13】 设
ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b, c ，且 cos A
cos B
5 13
,b
3则 c
【答案】
14 5 3 5 5 13 4 5 12 13
2
, ) 上单调递减，则有 3 2k
， 即
f ' (x) 2k
cos( x x x
，选 A.
4 5 4
，又
)
0 恒成立， 2k x
， 所 以
2 2k
4 2k
2 ，k 1 2
4 0 时，
4 4 2 4 ,
4
，解得
Z ，当 k 5 4
，即
5 4
4. 【 2012 高考真题四川理
2 4 4 】 如图，正方形 ABCD 的边长为 1 ，延长 BA 至 E ，使 AE
(B) [
1 3 , ] 2 4
2012年高考数学理科试题分类汇编：三角函数
2012年高考数学理科试题分类汇编：三角函数2012年高考真题理科数学解析分类汇编5 三角函数一、选择题 1.【2012高考重庆理5】设是方程的两个根，则的值为（A）-3 （B）-1 （C）1 （D）3 【答案】A 【解析】因为是方程的两个根，所以，，所以，选A. 2.【2012高考浙江理4】把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是【答案】A 【解析】把函数y＝cos2x＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得：y1＝cosx＋1，向左平移1个单位长度得：y2＝cos(x+1)＋1，再向下平移1个单位长度得：y3＝cos(x+1)．令x＝0，得：y3＞0；x＝，得：y3＝0；观察即得答案． 3.【2012高考新课标理9】已知，函数在上单调递减.则的取值范围是（）【答案】A 【解析】法1：函数的导数为，要使函数在上单调递减，则有恒成立，则，即，所以，当时，，又，所以有，解得，即，选A. 法2：选不合题意排除合题意排除另：，得：4.【2012高考四川理4】如图，正方形的边长为，延长至，使，连接、则（） A、 B、 C、 D、【答案】B 【解析】，，，由正弦定理得，所以 . [点评]注意恒等式sin2α+cos2α=1的使用，需要用α的的范围决定其正余弦值的正负情况. 5.【2012高考陕西理9】在中，角所对边长分别为，若，则的最小值为（）A. B. C. D. 【答案】C. 【解析】由余弦定理知，故选Ｃ． 6.【2012高考山东理7】若，，则（A）（B）（C）（D）【答案】D 【解析】法1：因为，所以，，所以，又，所以，，选D. 法2：由及可得，而当时，结合选项即可得 .答案应选D。
7.【2012高考辽宁理7】已知， (0，π)，则 = (A) 1 (B) (C) (D) 1 【答案】A 【解析一】，故选A 【解析二】，故选A 【点评】本题主要考查三角函数中的和差公式、倍角公式、三角函数的性质以及转化思想和运算求解能力，难度适中。
2012年高考真题汇编——理科数学(解析版)5：三角函数
2012高考真题分类汇编：三角函数一、选择题1.【2012高考真题重庆理5】设tan ,tan αβ是方程2320x x -+=的两个根，则tan()αβ+的值为（A ）-3 （B ）-1 （C ）1 （D ）3 【答案】A【解析】因为βαtan ,tan 是方程2320x x -+=的两个根，所以3tan tan =+βα，2tan tan =βα，所以3213tan tan 1tan tan )tan(-=-=-+=+βαβαβα，选A.2.【2012高考真题浙江理4】把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是【答案】A【解析】根据题设条件得到变化后的函数为)1cos(+=x y ，结合函数图象可知选项A 符合要求。
故选A.3.【2012高考真题新课标理9】已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减.则ω的取值范围是（ ）()A 15[,]24 ()B 13[,]24()C 1(0,]2 ()D (0,2]【答案】A【解析】函数)4sin()(πω+=x x f 的导数为)4c o s ()('πωω+=x x f ，要使函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ上单调递减，则有0)4cos()('≤+=πωωx x f 恒成立， 则πππωππk x k 223422+≤+≤+，即ππωππk x k 24524+≤≤+，所以Z k k x k ∈+≤≤+，ωπωπωπωπ2424，当0=k 时，ωπωπ454≤≤x ，又ππ<<x 2，所以有πωππωπ≥≤45,24，解得45,21≤≥ωω，即4521≤≤ω，选A. 4.【2012高考真题四川理4】如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =，连接EC 、ED 则sin CED ∠=（ ）A、10 B、10 C、10 D、15【答案】B【解析】2EB EA AB =+=，EC === 3424EDC EDA ADC πππ∠=∠+∠=+=，由正弦定理得sin sin 5CED DC EDC CE ∠===∠，所以3sin sin sin 4CED EDC π∠=∠==5.【2012高考真题陕西理9】在ABC ∆中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（ ）A.B. C. 12 D. 12- 【答案】C.【解析】由余弦定理知214242)(212cos 222222222=≥+=+-+=-+=ab ab ab b a ab b a b a ab c b a C ，故选Ｃ．6.【2012高考真题山东理7】若42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，sin 2=8θ，则sin θ=（A ）35 （B ）45 （C （D ）34【答案】D【解析】因为]2,4[ππθ∈，所以],2[2ππθ∈，02cos <θ，所以812s i n 12c o s 2-=--=θθ，又81s i n 212c o s 2-=-=θθ，所以169sin 2=θ，43sin =θ，选D.7.【2012高考真题辽宁理7】已知sin cos αα-=α∈(0，π)，则tan α=(A) -1 (B) 2- (C) 2(D) 1 【答案】A【解析一】sin cos )sin()144ππαααα-=-=∴-=3(0),,tan 14παπαα∈∴=∴=-，，故选A【解析二】2sin cos (sin cos )2,sin 21,ααααα-=-=∴=-33(0,),2(0,2),2,,tan 124ππαπαπααα∈∴∈∴=∴=∴=-，故选A 【点评】本题主要考查三角函数中的和差公式、倍角公式、三角函数的性质以及转化思想和运算求解能力，难度适中。
2012年高考真题汇编——文科数学(解析版)4：三角函数
2012高考试题分类汇编：4：三角函数一、选择题1.【2012高考安徽文7】要得到函数)12cos(+=x y 的图象，只要将函数x y 2cos =的图象 （A ） 向左平移1个单位 （B ） 向右平移1个单位 （C ） 向左平移 12个单位 （D ） 向右平移12个单位【答案】C【解析】 cos 2cos(21)y x y x =→=+左+1，平移12。
2.【2012高考新课标文9】已知ω>0，πϕ<<0，直线4π=x 和45π=x 是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π4【答案】A 【解析】因为4π=x 和45π=x 是函数图象中相邻的对称轴，所以2445T =-ππ，即ππ2,2==T T .又πωπ22==T ，所以1=ω，所以)sin()(ϕ+=x x f ，因为4π=x 是函数的对称轴所以ππϕπk +=+24，所以ππϕk +=4，因为πϕ<<0，所以4πϕ=，检验知此时45π=x 也为对称轴，所以选A.3.【2012高考山东文8】函数2sin (09)63x y x ππ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭的最大值与最小值之和为(A)2- (B)0 (C)－1 (D)1--【答案】A【解析】因为90≤≤x ，所以6960ππ≤≤x ，369363πππππ-≤-≤-x ，即67363ππππ≤-≤-x ，所以当336πππ-=-x 时，最小值为3)3sin(2-=-π，当236πππ=-x 时，最大值为22sin2=π，所以最大值与最小值之和为32-，选A.4.【2012高考全国文3】若函数()sin ([0,2])3x f x ϕϕπ+=∈是偶函数，则=ϕ（A ）2π（B ）32π （C ）23π （D ）35π【答案】C【解析】函数)33sin(3sin )(ϕϕ+=+=x x x f ，因为函数)33sin()(ϕ+=x x f 为偶函数，所以ππϕk +=23，所以Z k k ∈+=,323ππϕ,又]2,0[πϕ∈，所以当0=k 时，23πϕ=，选C.5.【2012高考全国文4】已知α为第二象限角，3sin 5α=，则sin 2α=（A ）2524-（B ）2512-（C ）2512 （D ）2524【答案】B【解析】因为α为第二象限，所以0cos <α，即54sin 1cos 2-=--=αα，所以25125354cos sin 22sin -=⨯-==ααα，选B.6.【2012高考重庆文5】sin 47sin 17cos 30cos17-（A ）2-（B ）12-（C ）12（D ）2【答案】C 【解析】sin 47sin 17cos 30sin(3017)sin 17cos 30cos17cos17-+-=sin 30cos17cos 30sin 17sin 17cos 30sin 30cos171sin 30cos17cos172+-====，选C.7.【2012高考浙江文6】把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是【答案】A【解析】由题意，y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即解析式为y=cosx+1，向左平移一个单位为y=cos （x-1)+1,向下平移一个单位为y=cos （x-1)，利用特殊点,02π⎛⎫⎪⎝⎭变为1,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭，选A. 8.【2012高考上海文17】在△ABC 中，若222sin sin sin A B C +<，则△ABC 的形状是（ ） A 、钝角三角形 B 、直角三角形 C 、锐角三角形 D 、不能确定【答案】A【解析】根据正弦定理可知由C B A 222sinsinsin<+,可知222c b a <+，在三角形中02cos 222<-+=abcb a C ，所以C 为钝角，三角形为钝角三角形，选A.9.【2012高考四川文5】如图，正方形A B C D 的边长为1，延长B A 至E ，使1A E =，连接E C 、ED 则sin C ED ∠=（ ）（1）10B10C 10D15【答案】B【解析】 2EB EA AB =+=，EC ===3424E D C E D A A D C πππ∠=∠+∠=+=，由正弦定理得sin 1sin 5C ED D C ED CC E∠===∠，所以3sin sin sin55410C ED ED C π∠=∠==.10.【2012高考辽宁文6】已知sin cos αα-=，α∈(0，π)，则sin 2α=(A)-1 (B) 2- (C) 2(D) 1【答案】A【解析】2sin cos (sin cos )2,sin 21,ααααα-=∴-=∴=- 故选A【点评】本题主要考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力，属于容易题。
2012届高考数学第一轮三角函数专项复习
2012届高考数学第一轮三角函数专项复习第1三角函数末复习时目标1．复习三角函数的基本概念、同角三角函数基本关系式及诱导公式2复习三角函数的图象及三角函数性质的运用．知识结构一、填空题1．已知s(π＋x)＝3，x∈(π，2π)，则tan x＝______2．已知sin α＝，则sin4α－s4α的值为________．3．若sin2x>s2x，则x的取值范围是____________．4．设|x|≤π4，则函数f(x)＝s2x＋sin x的最小值是__________．．方程x＝10sin x的根的个数是________．6．若函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在[－2π3，2π3]上单调递增，则ω的最大值为________．7．若f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋1(ω>0，|φ|<π)对任意实数t，都有f(t＋π3)＝f(－t＋π3)，记g(x)＝As(ωx＋φ)－1，则g(π3)＝________ 8．已知函数＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π≤φ＜π)的图象如图所示，则φ＝________9．已知函数f(x)＝3sinωx－π6(ω>0)和g(x)＝2s(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x∈0，π2，则f(x)的取值范围是________．10．对于函数f(x)＝sin x，sin x≥s x，s x，sin x<s x给出下列四个命题：①该函数的图象关于x＝2π＋π4 (∈Z)对称；②当且仅当x＝π＋π2 (∈Z)时，该函数取得最大值1；③该函数是以π为最小正周期的周期函数；④当且仅当2π＋π<x<2π＋3π2 (∈Z)时，－22≤f(x)<0其中正确的是________．二、解答题11．已知tan α＝2，求下列代数式的值．(1)4sin α－2s αs α＋3sin α；(2)14sin2α＋13sin αs α＋12s2α12．设f(x)满足f(－sin x)＋3f(sin x)＝4sin x•s x|x|≤π2，(1)求f(x)的表达式；(2)求f(x)的最大值．能力提升13．当0≤x≤1时，不等式sinπx2≥x成立，则实数的取值范围是________．14．若将函数＝tanωx＋π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数＝tanωx＋π6的图象重合，则ω的最小值为________．三角函数的性质是本的重点，在学习时，要充分利用数形结合思想把图象与性质结合起，即利用图象的直观性得到函数的性质，或由单位圆中三角函数线表示的三角函数值获得函数的性质，同时也能利用函数的性质描述函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练运用数形结合的思想方法．末复习作业设计143解析s(π＋x)＝－s x＝3，∴s x＝－3<0，∵x∈(π，2π)，∴x∈(π，32π)，∴sin x＝－4，∴tan x＝432．－3解析sin4α－s4α＝sin2α－s2α＝2sin2α－1＝2×1－1＝－33．{x|π＋π4<x<π＋3π4，∈Z}解析sin2x>s2x⇔|sin x|>|s x|在直角坐标系中作出单位圆及直线＝x，＝－x，根据三角函数线的定义知角x的终边应落在图中的阴影部分．41－22解析f(x)＝s2x＋sin x＝1－sin2x＋sin x＝－sin x－122＋4∵|x|≤π4，∴－22≤sin x≤22∴当sin x＝－22时，f(x)in＝1－22．7解析如图所示，在同一坐标系中画出函数＝sin x和＝x10(x≥0)的图象．由图象知当x≥0时，＝sin x与＝x10的图象有4个交点．由于＝sin x与＝x10都是奇函数，所以当x<0时，两函数的图象有3个交点．所以函数＝sin x与＝x10的图象共有7个交点．即方程x ＝10sin x有7个根．634解析∵f(x)在[－T4，T4]上递增，故[－2π3，2π3]⊆[－T4，T4]，即T4≥2π3∴ω≤34∴ωax＝347．－1解析∵f(t＋π3)＝f(－t＋π3)，即＝f(x)关于直线x＝π3对称，∴sin(π3ω＋φ)＝±1∴π3ω＋φ＝π2＋π∴g(π3)＝As(ωπ3＋φ)－1＝As(π2＋π)－1＝－189π10解析由图象知函数＝sin(ωx＋φ)的周期为22π－3π4＝π2，∴2πω＝π2，∴ω＝4∵当x＝3π4时，有最小值－1，因此4×3π4＋φ＝2π－π2(∈Z)．∵－π≤φ＜π，∴φ＝9π109－32，3解析由对称轴完全相同知两函数周期相同，∴ω＝2，∴f(x)＝3sin2x－π6由x∈0，π2，得－π6≤2x－π6≤6π，∴－32≤f(x)≤310．①解析f(x)＝ax{sin x，s x}，在同一坐标系中画出＝sin x与＝s x的图象易知f(x)的图象为实线所表示的曲线．由曲线关于x＝2π＋π4 (∈Z)对称，故①对；当x＝2π (∈Z)或x＝2π＋π2 (∈Z)时，f(x)ax＝1，故②错；该函数以2π为最小正周期，故③错；观察曲线易知，当2π＋π<x<2π＋3π2(∈Z)时，－22≤f(x)<0，反之不成立，故④错．11．解(1)原式＝4tan α－23tan α＋＝611(2)原式＝14sin2α＋13sin αs α＋12s2αsin2α＋s2α＝14tan2α＋13tan α＋12tan2α＋1＝14×4＋13×2＋12＝133012．解(1)由已知等式f(－sin x)＋3f(sin x)＝4sin x•s x①得f(sin x)＋3f(－sin x)＝－4sin xs x②由3×①－②，得8f(sin x)＝16sin x•s x，故f(x)＝2x1－x2(2)当0≤x≤1，将函数f(x)＝2x1－x2的解析式变形，得f(x)＝2x21－x2＝2－x4＋x2＝2－x2－122＋14，当x＝22时，fax＝1当－1≤x<0时f(x)<0，故f(x)ax＝113．≤1解析设t＝π2x,0≤x≤1，则x＝2πt,0≤t≤π2，则sin t≥2πt在0≤t≤π2上恒成立．设＝sin t，＝2πt，图象如图所示．需＝sin t在0，π2上的图象在函数＝2πt的图象的上方，∴2π•π2≤1，∴≤11412解析函数＝tanωx＋π4向右平移π6后得到＝tanωx－π6＋π4＝tanωx －ωπ6＋π4又∵＝tanωx＋π6，∴令π4－ωπ6＝π6＋π，∴ω＝12－6(∈Z)，由ω>0得ω的最小值为12。
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2012年高考数学基础强化训练题—《三角函数》一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知3(,),sin ,25παπα∈=则tan()4πα+等于（ ）A ．17 B ．7 C ．17- D ．7- 2．将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移，平移后的图象如图所示，则平 移后的图象所对应函数的解析式是（ ）A ．sin()6y x π=+B ．sin()6y x π=-C ．sin(2)3y x π=+ D ．sin(2)3y x π=-3．已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-，则ω的最小值等于 （ ）A ．23 B ．32C ．2D ．3 4．设0a >，对于函数()sin (0)sin x af x x xπ+=<<，下列结论正确的是 （ ）A ．有最大值而无最小值B ．有最小值而无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值5．已知非零向量AB 与AC 满足().0AB AC BC AB AC+= 且1..2AB AC AB AC =则ABC ∆为（ ） A ．等边三角形 B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．三边均不相等的三角形6．下列函数中,图像的一部分如右图所示的是（ ）A ．y =sin(x +6p )B ．y =sin(2x －6p )C ．y =cos(4x －3p) D ．y =cos(2x －6p ) 7．若△ABC 的内角A 满足322sin =A ，则sin cos A A +=（ ）A ．315B ．315-C ．35D ．35-8．△ABC 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量(,)p a c b =+ ,(,)q b a c a =--,若//p q ,则角C 的大小为（ ）A ．6π B ．3πC ．2πD ．23π 9．函数sin 2cos2y x x =的最小正周期是（ ）A ．2πB ．4πC ．4πD ．2π 10．设a b c 分别是ΔABC 的三个内角ABC 所对的边,则a 2=b (b +c)是A =2B 的 （ ）A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件11． "等式sin()sin 2αγβ+=成立"是",,αβγ成等差数列 "的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件12．如果111A BC ∆的三个内角的余弦值分别等于222ABC ∆的三个内角的正弦值，则（ ） A ．111A B C ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上. 13．已知βα,⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππ,43，sin(βα+)=－,53,13124sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πβ则⎪⎭⎫ ⎝⎛+4cos πα=___ _．14．给出下面的3个命题：（1）函数|)32sin(|π+=x y 的最小正周期是2π；（2）函数)23sin(π-=x y 在区间)23,[ππ上单调递增；（3）45π=x 是函数)252sin(π+=x y 的图象的一条对称轴.其中正确命题的序号是 ．15． cos 43cos77sin 43cos167oooo+的值为 ．16．函数|)0,0)(sin()(>>+=ωϕωA x A x f 的图象如图所示，则()()()()=++++2006321f f f f 的值等于 .三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、2 026xy证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）（2006年四川卷）已知,,A B C 是三角形ABC ∆三内角，向量()()1,3,cos ,sin m n A A =-=，且1m n ⋅= ．（1）求角A ； （2）若221sin 23cos sin BB B+=--，求tan B ．18．（本小题满分12分）（2006年上海春卷）已知函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πππ,2,cos 26sin 2)(x x x x f .（1）若54sin =x ，求函数)(x f 的值； （2）求函数)(x f 的值域.19．（本小题满分12分）（2006年安徽卷）已知310,tan cot43παπαα<<+=-．（Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求225sin8sin cos11cos822222sin2ααααπα++-⎛⎫-⎪⎝⎭的值．20．（本小题满分12分）有一块半径为R，中心角为45°的扇形铁皮材料，为了获取面积最大的矩形铁皮，工人师傅常让矩形的一边在扇形的半径上，然后作其最大内接矩形，试问：工人师傅是怎样选择矩形的四点的？并求出最大面积值.21．（本小题满分12分）设)2,0(πα∈，函数)(x f 的定义域为]1,0[，且,0)0(=f1)1(=f ，对定义域内任意的,x y ，满足)()sin 1(sin )()2(y f x f yx f αα-+=+，求: （1）)21(f 及)41(f 的值；（2）函数()sin(2)g x x α=-的单调递增区间； （3）N n ∈时，12n n a =，求)(n a f ,并猜测∈x ]1,0[时，)(x f 的表达式.22．（本小题满分14分）（2006年福建卷）已知函数22()sin 3sin cos 2cos ,.f x x x x x x R =++∈（1）求函数()f x 的最小正周期和单调增区间；（2）函数()f x 的图象可以由函数sin 2()y x x R =∈的图象经过怎样的变换得到？参考答案1．B ．∵(,)2παπ∈，3sin 5α=， ∴ 4cos 5α= ， 3tan 4α=，∴ 31tan 14tan()7341tan 14πααα+++===-- ．2．C. 将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移，平移后的图象所对应的解析式为sin ()6y x πω=+，由图象知，73()1262πππω+=，所以2ω=，因此选C.3．B ．∵ ()2sin (0)f x x ωω=>的最小值是2-时 2 ()2k x k Z w wππ=-∈ ∴2324k w w ππππ-≤-≤ ∴362w k ≥-+且82w k ≥- ∴min 32w = 故本题的答案为B.4．B. 令sin ,(0,1]t x t =∈，则函数()sin (0)sin x a f x x x π+=<<的值域为函数1,(0,1]ay t t=+∈的值域，又0a >，所以1,(0,1]ay t t=+∈是一个减函减，故选B.5．A 向量和三角形之间的依赖关系，认识角平分线和高及夹角用两向量数量积包装的意义， 注意0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+= ⎪⎝⎭知,角A 的平分线和BC 的高重合, 则→→=AC AB ，由21=∙→→→→ACAC ABAB 知，夹角A 为600,则ABC △为等边三角形，选A ．6．D 由图像可知,所求函数的周期为p 排除(A)(C)对于(B)其图像不过(6p-,0)点，所以应选D. 7．A.∵sin 22sin cos 0A A A =>，∴cos 0A >. ∴sin cos 0A A +>，sin cos A A +=2(sin cos )A A +12sin cos 1sin 2A A A =+=+215133=+=.应选A. 8．B. 222//()()()p q a c c a b b a b a c ab ⇒+-=-⇒+-=，利用余弦定理可得2cos 1C =，即1cos 23C C π=⇒=，故选择答案B.9．D. 1sin 2cos 2sin 42y x x x ==所以最小正周期为242T ππ==,故选D. 10．A 由余弦定理得a 2=b 2+c 2－2bc cos A ,所以a 2=b (b +c)+c 2－bc －2bc cos A 中c 2－bc －2bc cos A =c (c －b －b cos A )=2Rc (sin C －sin B －2sin B cos A )=Rc (sin(A +B )－sin B －2sin B cos A )=Rc (sin(A －B )－sin B )(*),因为A =2B ,所以(*)=0,即得a 2=b (b +c);而当由余弦定理和a 2=b (b +c)得bc =c 2－2bc cos A ,l 两边同时除以c 后再用正弦定理代换得sin B =sin C －2sin B cos A ,又在三角形中C =π－(A +B),所以sin B =sin(A +B )－2sin B cos A ,展开整理得sin B =sin(A －B ),所以B =A －B 或A =π(舍去),即得A =2B ,所以应选A ． 11．B 若()sin sin 2αγβ+=,则“α，β，γ成等差数列”不一定成立,反之必成立,选B ．12．D. 111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0，则111A BC ∆是锐角三角形，若222A B C ∆是锐角三角形，由211211211sin cos sin()2sin cos sin()2sin cos sin()2A A A B B B C C C πππ⎧==-⎪⎪⎪==-⎨⎪⎪==-⎪⎩，得212121222A A B B C C πππ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，那么，2222A B C π++=，所以222A B C ∆是钝角三角形.故选D. 13．5665- 由于3,(,)4παβπ∈,所以322παβπ<+<,24ππβπ<-<,故4cos()5αβ+=,5cos()413πβ-=-,cos()cos[()()]44ππααββ+=+--=45123()()513135⨯-+⨯-=5665-. 14．①②．③中π45=x 是)252sin(π+=x y 的对称中心． 15．12-．诱导公式变角，再逆用三角公式切入， cos 43cos77sin 43cos167+ =();21120cos 77sin 43sin 77cos 43cos 00000-==-+16．2．由图象知()4sin 2,42,0xx f T πππωφ=∴===，其图象关于点()6,2,0,4==x x 对称知，()()()()()()()()2006321,682502006,8,08321f f f f T f f f f ++++∴+⨯===++++()()()()()()()()()().246sin 45sin 44sin 43sin 42sin 4sin 26543212006200320022001=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=+++++=++++=ππππππf f f f f f f f f f17．（1）∵1m n ⋅=∴()()1,3cos ,sin 1A A -⋅= 即3sin cos 1A A -=312sin cos 122A A ⎛⎫⋅-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭, 1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∵50,666A A ππππ<<-<-<∴66A ππ-= ∴3A π=．（2）由题知2212sin cos 3cos sin B BB B+=--，整理得22sin sin cos 2cos 0B B B B --=． ∴cos 0B ≠ ∴2tan tan 20B B --=， ∴tan 2B =或tan 1B =-．而tan 1B =-使22cos sin 0B B -=，舍去 ∴tan 2B =．∴()tan tan C A B π=-+⎡⎤⎣⎦()tan A B =-+tan tan 1tan tan A B A B +=--23123+=--85311+=．18．（1）53cos ,,2,54sin -=∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=x x x ππ ，x x x x f c o s 2c o s 21s i n 232)(-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x c o s s i n 3-=53354+=. （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6sin 2)(πx x f ，ππ≤≤x 2 ， 6563πππ≤-≤∴x ， 16sin 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤πx ， ∴ 函数)(x f 的值域为]2,1[.19．（1）由10tan cot 3αα+=-得23tan 10tan 30αα++=，即1tan 3tan 3αα=-=-或，又34παπ<<，所以1tan 3α=-为所求. （2）225sin 8sin cos 11cos 822222sin 2ααααπα++-⎛⎫- ⎪⎝⎭=1-cos 1+cos 54sin 118222cos αααα++--=55cos 8sin 1111cos 1622cos αααα-+++--=8sin 6cos 8tan 622cos 22αααα++=--=526-.20．如下图，扇形AOB 的内接矩形是MNPQ ，连OP ，则OP=R ，设∠AOP=θ，则∠QOP =45°－θ，NP=R sin θ,在△PQO 中，︒=θ-︒135sin )45sin(R PQ ，∴PQ =2R sin(45°－θ).S 矩形MNPQ =QP ·NP=2R 2sin θsin(45°－θ)=22R 2·［cos(2θ－45°)－22］ ≤212-R 2，当且仅当cos(2θ－45°)=1,即θ=22.5°时，S 矩形MNPQ 的值最大且最大值为212-R 2. 工人师傅是这样选点的，记扇形为AOB ，以扇形一半径OA 为一边，在扇形上作角AOP 且使∠AOP =22.5°，P 为边与扇形弧的交点，自P 作PN ⊥OA 于N ，PQ ∥OA 交OB 于Q ，并作OM ⊥OA 于M ，则矩形MNPQ 为面积最大的矩形，面积最大值为212-R 2. 21．（1）αααsin )0()sin 1(sin )1()()(20121=-+==+f f f f ，122011()()()sin (1sin )(0)sin 422f f f f a a a +==+-=， αααα221sin sin 2)21()sin 1(sin )1()21()43(-=-+=+=f f f f ， αααα324143sin 2sin 3)41()sin 1(sin )43()2()21(-=-+=+=f f f f ， 212sin 1sin 0sin ,sin )sin 23(sin ===∴-=∴αααααα或或，4141212162)(,)(,,),,0(===∴∈f f 因此ππαα .（2）)2sin()2sin()(656ππ+=-=x x x g ,)(x g ∴的增区间为)](,[632Z k k k ∈--ππππ. （3） N n ∈，nn a 21=，所以))((21)21(21)2021()21()(111N n a f f f f a f n n n n n ∈==+==---， 因此)(n a f 是首项为21)(1=a f ，公比为21的等比数列，故nn n f a f 21)21()(==， 猜测x x f =)(. 22．（1）1cos 23()sin 2(1cos 2)22x f x x x -=+++ 313sin 2cos 22223sin(2).62x x x π=++=++()f x ∴的最小正周期2.2T ππ== 由题意得222,,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈即 ,.36k x k k Z ππππ-≤≤+∈()f x ∴的单调增区间为,,.36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）方法一：先把sin 2y x =图象上所有点向左平移12π个单位长度，得到sin(2)6y x π=+的图象，再把所得图象上所有的点向上平移32个单位长度，就得到3sin(2)62y x π=++的图象.方法二：把sin 2y x =图象上所有的点按向量3(,)122a π=- 平移，就得到3sin(2)62y x π=++的图象.。