湖北省宜昌市高中数学第三章直线与方程教材习题本1(无答案)新人教A版必修2
高中数学第三章直线与方程3.2.2直线的两点式方程3.2.3直线的一般式方程学案(含解析)新人教A版必修2
3.2.2 直线的两点式方程3.2.3 直线的一般式方程知识导图学法指导1.体会直线的两点式方程、截距式方程的推导过程，并由此求直线的方程．2．明确平面上的直线和二元一次方程的区别与联系．3．弄清楚直线的一般式方程和其他几种形式之间的关系以及每种形式的适用条件，在解题时注意选择恰当的直线方程．4．明确利用直线方程的几种形式判断直线平行和垂直问题的方法．高考导航1.利用两点坐标求直线的方程或利用直线的截距式求直线的方程是常考知识点，分值5分．2．由直线的一般式方程判断直线的位置关系或求参数的值也是高考的常考题型，以选择题或填空题为主，分值5分.知识点一直线的两点式、截距式方程1．截距式方程中间以“＋”相连，右边是1.2．a 叫做直线在x 轴上的截距，a∈R ，不一定有a >0.知识点二 线段的中点坐标公式若点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，设P (x ，y )是线段P 1P 2的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22.知识点三 直线的一般式方程 1．直线与二元一次方程的关系在平面直角坐标系中的直线与二元一次方程的对应关系如下：2．直线的一般式方程式子：关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0； 条件：A ，B 不同时为零； 简称：一般式．3．直线的一般式方程与其他四种形式的转化认识直线的一般式方程(1)方程是关于x ，y 的二元一次方程；(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x ，y ，常数的先后顺序排列； (3)x 的系数一般不为分数和负数；(4)平面直角坐标系内的任何一条直线都有一个二元一次方程与它相对应，即直线的一般式方程可以表示任何一条直线．[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)不经过原点的直线都可以用方程x a ＋y b＝1表示．( )(2)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1) (x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( )答案：(1)× (2)√2．经过点A (－3,2)，B (4,4)的直线的两点式方程为( ) A.y －22＝x ＋37 B.y －2－2＝x －37C.y ＋22＝x －37D.y －2x ＋3＝27解析：由方程的两点式可得直线方程为y －24－2＝x －－4－－，即y －22＝x ＋37.答案：A3．在x 轴和y 轴上的截距分别为－2,3的直线方程是( ) A.x 3＋y －2＝1 B.x 2＋y－3＝1 C.x －2＋y 3＝1 D.x －3＋y2＝1 解析：由直线的截距式方程，可得直线方程是x －2＋y3＝1.答案：C4．直线x 3＋y4＝1化成一般式方程为( )A ．y ＝－43x ＋4B ．y ＝－43(x －3)C ．4x ＋3y －12＝0D ．4x ＋3y ＝12解析：直线x 3＋y4＝1化成一般式方程为4x ＋3y －12＝0. 答案：C。
高中数学第三章直线与方程3.2.2直线的两点式方程练习(含解析)新人教A版必修2
第23课时 直线的两点式方程直线的两点式方程A ．2 B ．－3 C ．－27 D ．27 答案 D解析 由两点式得直线方程为y －65－6＝x ＋32＋3，即x ＋5y －27＝0．令y ＝0，得x ＝27．2．已知点P(3，m)在过点M(2，－1)和N(－3，4)的直线上，则m 的值是( ) A ．5 B ．2 C ．－2 D ．－6 答案 C解析 由两点式方程，得 直线MN 的方程为y －－4－－＝x －2－3－2，化简，得x ＋y －1＝0． 又点P(3，m)在此直线上，代入得3＋m －1＝0，解得m ＝－2．直线的截距式方程A ．x 2－y 3＝1 B ．x 2＋y3＝1 C ．y 3－x 2＝1 D ．x 2＋y3＝0 答案 A解析 根据截距式方程x a ＋yb＝1，(其中a ，b 分别为x 轴和y 轴上的截距)得所求直线方程为x 2＋y －3＝1，即x 2－y3＝1，选A ．4．过点(5，2)，且在y 轴上的截距是在x 轴上截距的2倍的直线方程是( ) A ．x 6＋y 12＝1 B ．x 6＋y 12＝1或y ＝25x C ．x －y 2＝1 D ．x －y 2＝1或y ＝25x答案 B解析 当直线过原点时满足题意，所求方程为y ＝25x ；当直线不过原点时，可设其截距式为x a ＋y 2a ＝1，由该直线过点(5，2)，解得a ＝6，对应的方程为x 6＋y12＝1．故选B ．直线方程的应用形各边所在的直线方程．解 由题意可知A(－4，0)，C(4，0)，B(0，－3)，D(0，3)，由截距式方程可知直线AB 的方程为x －4＋y－3＝1，即3x ＋4y ＋12＝0．同理可得直线BC 的方程为3x －4y －12＝0， 直线CD 的方程为3x ＋4y －12＝0， 直线AD 的方程为3x －4y ＋12＝0．6．已知线段BC 的中点为D3，32．若线段BC 所在直线在两坐标轴上的截距之和是9，求BC 所在直线的方程．解 由已知得直线BC 的斜率存在且不为0．设直线BC 在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ．则直线BC 的截距式方程为x a ＋yb ＝1．由题意得a ＋b ＝9， ① 又点D3，32在直线BC 上，∴3a ＋32b ＝1，∴6b＋3a ＝2ab ， ② 由①②联立得2a 2－21a ＋54＝0，即(2a －9)(a －6)＝0，解得a ＝92或a ＝6．∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝92，b ＝92或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝3.故直线BC 的方程为2x 9＋2y 9＝1或x 6＋y3＝1，即2x ＋2y －9＝0或x ＋2y －6＝0．一、选择题1．有关直线方程的两点式，有如下说法：①直线方程的两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程； ②直线方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1也可写成y －y 2y 1－y 2＝x －x 2x 1－x 2；③过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线可以表示成(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)． 其中正确说法的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 D解析 ①正确，从两点式方程的形式看，只要x 1≠x 2，y 1≠y 2，就可以用两点式来求解直线的方程．②正确，方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1与y －y 2y 1－y 2＝x －x 2x 1－x 2的形式有异，但实质相同，均表示过点(x 1，y 1)和(x 2，y 2)的直线．③显然正确．2．若直线x a ＋yb ＝1过第一、二、三象限，则( )A ．a>0，b>0B ．a>0，b<0C ．a<0，b>0D ．a<0，b<0 答案 C解析 因为直线过第一、二、三象限，所以结合图形可知a ＜0，b ＞0．3．一条光线从A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0处射到点B(0，1)后被y 轴反射，则反射光线所在直线的方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝－2x ＋1C ．y ＝12x －12D ．y ＝－12x －12答案 B解析 由光的反射定律可得，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0关于y 轴的对称点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0在反射光线所在的直线上．再由点B(0，1)也在反射光线所在的直线上，用两点式可求得反射光线所在的直线的方程为y －01－0＝x －120－12，即y ＝－2x ＋1．4．过点P(2，3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l 的方程是( ) A ．x －y ＋1＝0B ．x －y ＋1＝0或3x －2y ＝0C ．x ＋y －5＝0D ．x ＋y －5＝0或3x －2y ＝0 答案 B解析 若直线l 过原点，则方程为y ＝32x ，即3x －2y ＝0；若直线l 不过原点，则设直线方程为x a －ya ＝1，将(2，3)代入方程，得a ＝－1，故直线l 的方程为x －y ＋1＝0．所以直线l的方程为3x －2y ＝0或x －y ＋1＝0．5．若直线过点(1，1)且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 答案 C解析 设直线的方程为x a ＋yb＝1，∵直线经过点(1，1)，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，∴1a ＋1b ＝1，12|ab|＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2或⎩⎨⎧a ＝－22－2，b ＝22－2或⎩⎨⎧a ＝22－2，b ＝－22－2.∴满足条件的直线有3条．二、填空题6．直线l 与两直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点是(1，－1)，则l 的斜率是________．答案 －23解析 设P(m ，1)，由线段PQ 的中点是(1，－1)，得Q(2－m ，－3)，∴2－m －(－3)－7＝0，∴m＝－2，∴P(－2，1)，∴直线l 的斜率k ＝1－－－2－1＝－23．7．已知直线l 经过点A(－4，－2)，且点A 是直线l 被两坐标轴截得的线段中点，则直线l 的方程为________．答案 x ＋2y ＋8＝0解析 设直线l 与两坐标轴的交点为(a ，0)，(0，b)，由题意知a ＋02＝－4，b ＋02＝－2，∴a＝－8，b ＝－4．∴直线l 的方程为x －8＋y－4＝1，即x ＋2y ＋8＝0．8．已知A(1，－2)，B(5，6)，经过线段AB 的中点M ，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________．答案 2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0解析 点A(1，－2)，B(5，6)的中点M 的坐标为(3，2)．当直线过原点时，方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0；当直线不过原点时，设直线的方程为x ＋y ＝m ，把中点M 的坐标(3，2)代入直线的方程，得m ＝5，故所求直线的方程是x ＋y －5＝0．综上，所求的直线方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0．三、解答题9．已知△ABC 中，A(1，－4)，B(6，6)，C(－2，0)．求：(1)△ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的方程并化为截距式方程； (2)BC 边的中线所在直线的方程并化为截距式方程．解 (1)平行于BC 边的中位线就是AB 、AC 中点的连线．因为线段AB ，AC 中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫72，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2， 所以这条直线的方程为y ＋21＋2＝x ＋1272＋12，整理得，6x －8y －13＝0，化为截距式方程为x 136＋y－138＝1．(2)因为BC 边上的中点为(2，3)，所以BC 边上的中线所在直线的方程为y ＋43＋4＝x －12－1，即7x －y －11＝0，化为截距式方程为x 117＋y－11＝1．10．已知直线l ：x m ＋y4－m＝1．(1)若直线l 的斜率等于2，求实数m 的值；(2)若直线l 分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 是坐标原点，求△AOB 面积的最大值及此时直线l 的方程．解 (1)直线l 过点(m ，0)，(0，4－m)， 则k ＝4－m －m ＝2，则m ＝－4．(2)由m ＞0，4－m ＞0，得0＜m ＜4， 则S ＝－2＝－－2＋42，易知当m ＝2时，S 有最大值2， 此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0．。
高中数学必修2(人教A版)第三章直线与方程3.3知识点总结含同步练习及答案
例题： 直线 3x − 2y + m = 0 和 (m 2 + 1)x + 3y − 3m = 0 的位置关系是（ A．平行 B．重合 C．相交 D．不确定 解：两直线的斜率分别为 交．
3 3 m2 + 1 m2 + 1 和 − ，因为方程 − 无解，所以两直线相 = 2 3 3 2
已知直线 l 1 ：ax + 2y + 6 = 0，l 2 ：x + (a − 1)y + a2 − 1 = 0，求适合下列条件的 a 的取值 范围． （1）l 1 与 l 2 相交； （2）l 1 与 l 2 平行； （3）l 1 与 l 2 重合； （4）l 1 与 l 2 垂直． 解：（1）因为 l 1 与 l 2 相交，所以 A 1 B 2 − A 2 B 1 ≠ 0 ，即 a(a − 1) − 2 ≠ 0 ，所以 a ≠ −1 且 a ≠ 2，所以 a ∈ R 且 a ≠ −1 且 a ≠ 2 时，l 1 与 l 2 相交． （2）因为 l 1 与 l 2 平行，所以 A 1 B 2 − A 2 B 1 = 0 且 B 1 C2 − B 2 C1 ≠ 0，即
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例题： 已知点 A(−1, 2) ，B(2, √7 ) ，在 x 轴上求一点 P ，使 |P A| = |P B|，并求 |P A| 的值． 解：设所求点为 P (x, 0) ，于是有
2016-2017学年高一人教A版数学必修二：第三章 直线与方程 复习+练习 Word版含答案
第3章 直线与方程一、倾斜角与斜率 知识要点：1．当直线l 与x 轴相交时，我们把x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°．则直线l 的倾斜角α的范围是0≤＜απ．2．倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即tan k θ=．如果知道直线上两点1122()()P x y P x y ，，，，则有斜率公式2121y y k x x -=-．特别地是，当12x x =，12y y ≠时，直线与x 轴垂直，斜率k 不存在；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直，斜率k =0．注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y 轴平行或者重合．当α=0°时，斜率k =0；当090＜＜α︒︒时，斜率0＞k ，随着α的增大，斜率k 也增大；当90180＜＜α︒︒时，斜率0＜k ，随着α的增大，斜率k 也增大．这样，可以求解倾斜角α的范围与斜率k 取值范围的一些对应问题．例1已知过两点22(23)A m m +-，，2(32)B m m m --，的直线l 的倾斜角为45°，求实数m 的值．解：∵202232tan 4512(3)m mm m m --==+---，∴2320m m ++=，解得1m =-或2-． 但当1m =-时，A 、B 重合，舍去．∴2m =-．例2已知三点A (a ，2)、B (3，7)、C (－2，－9a )在一条直线上，求实数a 的值．解： 72533AB k a a-==--，7(9)793(2)5BC a a k --+==--．∵A 、B 、C 三点在一条直线上， ∴AB BC k k =，即57935aa +=-，解得2a =或29a =．二、两条直线平行与垂直的判定 知识要点：1．对于两条不重合的直线1l 、2l ，其斜率分别为1k 、2k ，有：（1）12//l l ⇔12k k =； （2）12l l ⊥⇔121k k ⋅=-．2．特例：两条直线中一条斜率不存在，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x 轴．例1四边形ABCD的顶点为(2,2A +、(2,2)B -、(0,2C -、(4,2)D ，试判断四边形ABCD 的形状．解：AB 边所在直线的斜率AB k ==，CD 边所在直线的斜率CD k ==，BC 边所在直线的斜率BC k ==，DA 边所在直线的斜率DA k ==∵AB CD BC DA k k k k ==，，∴AB //CD ，BC //DA ，即四边形ABCD 为平行四边形．又∵2(1AB BC k k =⨯=-， ∴AB ⊥BC ，即四边形ABCD 为矩形．例2已知ABC ∆的顶点(2,1)(6,3)，B C -，其垂心为(3,2)H -，求顶点A 的坐标．解：设顶点A 的坐标为(,)x y ． ∵,AC BH AB CH ⊥⊥，∴11AC BHAB CHk k k k ⋅=-⎧⎨⋅=-⎩，即31()16511()123y x y x -⎧⨯-=-⎪⎪+⎨-⎪⨯-=-⎪-⎩，化简为53335y x y x =+⎧⎨=-⎩，解之得：1962x y =-⎧⎨=-⎩．∴A 的坐标为(19,62)--．例3（1）已知直线1l 经过点M （－3，0）、N （－15，－6），2l 经过点R （－2，32）、S （0，52），试判断1l 与2l 是否平行？ （2）1l 的倾斜角为45°，2l 经过点P （－2，－1）、Q （3，－6），问1l 与2l 是否垂直？解：（1）10(6)13(15)2l k --==---，235122202l k -==--，∴12l l k k =，∴1l ∥2l ． （2）1tan 451l k =︒=，11(6)123l k ---==---，∴121l l k k ⋅=-，∴1l ⊥2l ． 点评：当1l 与2l 的斜率存在时，1212//k k l l =⇒，12121k k l l ⋅=-⇒⊥．斜率不存在时，进行具体的分析．由此先计算出斜率，根据斜率的相等或互为负倒数，从而判别平行或垂直．三、直线的点斜式方程 知识要点：1．点斜式：直线l 过点000()P x y ，，且斜率为k ，其方程为00()y y k x x -=-． 2．斜截式：直线l 的斜率为k ，在y 轴上截距为b ，其方程为y kx b =+．3．点斜式和斜截式不能表示垂直x 轴直线，若直线l 过点000()P x y ，且与x 轴垂直，此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为00x x -=，或0x x =． 4．注意：y y k x x -=-与00()y y k x x -=-是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点000()P x y ，，后者才是整条直线． 例1写出下列点斜式直线方程：（1）经过点(2,5)A ，斜率是4；（2）经过点(3,1)B -，倾斜角是30．解：（1）54(2)y x -=-； （2）tan3013)∵k y x =︒=+=-． 例2已知直线31y kx k =++．（1）求直线恒经过的定点；（2）当33≤≤x -时，直线上的点都在x 轴上方，求实数k 的取值范围． 解：（1）由(3)1y k x =++，易知3x =-时，1y =，所以直线恒经过的定点(3,1)-．（2）由题意得(3)3103310＞＞k k k k -++⎧⎨++⎩，解得16＞k -．例3光线从点A （－3，4）发出，经过x 轴反射，再经过y 轴反射，光线经过点 B （－2，6），求射入y 轴后的反射线的方程．解：∵A （－3，4）关于x 轴的对称点A 1（－3，－4）在经x 轴反射的光线上，同样A 1（－3，－4）关于y 轴的对称点A 2（3，－4）在经过射入y 轴的反射线上，∴k 2A B =6423+--=－2．故所求直线方程为y －6=－2（x +2），即2x +y －2=0．点评：由物理中光学知识知，入射线和反射线关于法线对称，光线的反射问题，也常常需要研究对称点的问题．注意知识间的相互联系及学科间的相互渗透． 例4已知直线l 经过点(5,4)P --，且l 与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线l 的方程． 解：由已知得l 与两坐标轴不垂直．∵直线l 经过点(5,4)P --，∴可设直线l 的方程为(4)[(5)]y k x --=--，即4(5)y kx +=+．则直线l 在x 轴上的截距为45k -，在y 轴上的截距为54k -．根据题意得14|5||54|52k k--=，即2(54)10||k k -=．当0＞k 时，原方程可化为2(54)10k k -=，解得122855，k k ==；当0＜k 时，原方程可化为2(54)10k k -=-，此方程无实数解．故直线l 的方程为24(5)5y x +=+，或84(5)5y x +=+．即25100x y --=或85200x y -+=． 点评：已知直线过一点时，常设其点斜式方程，但需注意斜率不存在的直线不能用点斜式表示，从而使用点斜式或斜截式方程时，要考虑斜率不存在的情况，以免丢解．而直线在坐标轴上的截距，可正可负，也可以为零，不能与距离混为一谈，注意如何由直线方程求其在坐标轴上的截距．四、直线的两点式方程 知识要点：1．两点式：直线l 经过两点111222()()P x y P x y ，，，，其方程为112121y y x x y y x x --=--． 2．截距式：直线l 在x 、y 轴上的截距分别为a 、b ，其方程为1x ya b+=．3．两点式不能表示垂直x 、y 轴直线；截距式不能表示垂直x 、y 轴及过原点的直线．4．线段12P P 中点坐标公式1212()22x x y y ++，．例1已知△ABC 顶点为(28)(40)(60)A B C -，，，，，，求过点B 且将△ABC 面积平分的直线方程．解：求出AC 中点D 的坐标(4,4)D ，则直线BD 即为所求，由直线方程的两点式得044044y x -+=-+，即240x y -+=． 例2菱形的两条对角线长分别等于8和6，并且分别位于x 轴和y 轴上，求菱形各边所在的直线的方程．解：设菱形的四个顶点为A 、B 、C 、D ，如右图所示．根据菱形的对角线互相垂直且平分可知，顶点A 、B 、C 、D 在坐标轴上，且A 、C 关于原点对称，B 、D 也关于原点对称．所以A (－4，0)，C （4，0），B （0，3），D （0，－3）． 由截距式，得直线AB 的方程：43x y +-＝1，即3x －4y ＋12＝0；直线BC 的方程：43x y+＝1，即3x ＋4y －12＝0；直线AD 的方程：43x y+--＝1， 即3x ＋4y ＋12＝0； 直线CD 的方程：43x y +-＝1，即3x －4y －12＝0．五、直线的一般式方程 知识要点： 1．一般式：0Ax By C ++=，注意A 、B不同时为0．直线一般式方程0(0)Ax By C B ++=≠化为斜截式方程A Cy x B B=--，表示斜率为A B -，y 轴上截距为C B -的直线．2．与直线:0l Ax By C ++=平行的直线，可设所求方程为0Ax By C '++=；与直线0Ax By C ++=垂直的直线，可设所求方程为0Bx Ay C '-+=．过点00()P x y ，的直线可写为00()()0A x x B y y -+-=．经过点0M ，且平行于直线l 的直线方程是00()()0A x x B y y -+-=； 经过点0M ，且垂直于直线l 的直线方程是00()()0B x x A y y ---=．3．已知直线12,l l 的方程分别是：1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为0），2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别： （1）1212120l l A A B B ⊥⇔+=；（2）1212211221//0,0l l A B A B AC A C ⇔-=-≠；（3）1l 与2l 重合122112210,0A B A B AC A C ⇔-=-=； （4）1l 与2l 相交12210AB A B ⇔-≠． 如果2220A BC ≠时，则11112222//A B C l l A B C ⇔=≠；1l 与2l 重合111222A B CA B C ⇔==；1l 与2l 相交1122A B A B ⇔≠． 例1已知直线1l ：220x my m +--=，2l ：10mx y m +--=，问m 为何值时：（1）12l l ⊥；（2）12//l l ．解：（1）12l l ⊥时，12120A A B B +=，则110m m ⨯+⨯=，解得m ＝0．（2）12//l l 时，12211m m m m--=≠--， 解得m ＝1．例2已知直线l 的方程为3x +4y －12=0，求与直线l 平行且过点（－1，3）的直线的方程．分析：由两直线平行，所以斜率相等且为34-，再由点斜式求出所求直线的方程．解：直线l ：3x +4y －12=0的斜率为34-，∵所求直线与已知直线平行，∴所求直线的斜率为34-， 又由于所求直线过点（－1，3），∴所求直线的方程为：33(1)4y x -=-+，即3490x y +-=．点评：根据两条直线平行或垂直的关系，得到斜率之间的关系，从而由已知直线的斜率及点斜式求出所求直线的方程．此题也可根据直线方程的一种形式00()()0A x x B y y -+-=而直接写出方程，即3(1)4(3)0x y ++-=，再化简而得．六、两条直线的交点坐标 知识要点：1．一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩．若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合． 2．方程111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点．例1判断下列直线的位置关系．如果相交，求出交点坐标．直线l 1：1nx y n -=-，l 2：2ny x n -=．解：解方程组12nx y n ny x n-=-⎧⎨-=⎩，消y 得 22(1)n x n n -=+．当1n =时，方程组无解，所以两直线无公共点，1l //2l ．当1n =-时，方程组有无数解，所以两直线有无数个公共点，l 1与l 2重合．当1n ≠且1n ≠-，方程组有惟一解，得到1n x n =-，211n y n -=-，l 1与l 2相交．∴当1n =时，1l //2l ；当1n =-时，l 1与l 2重合；当1n ≠且1n ≠-，l 1与l 2相交，交点是21()11n n n n ---，． 例2求经过两条直线280x y +-=和210x y -+=的交点，且平行于直线4370x y --=的直线方程． 解：设所求直线的方程为28(21)0x y x y λ+-+-+=，整理为(2)(12)80x y λλλ++-+-=． ∵平行于直线4370x y --=，∴(2)(3)(12)40λλ+⨯---⨯=，解得2λ=，则所求直线方程为4360x y --=．七、两点间的距离 知识要点：1．平面内两点111()P x y ，，222()P x y ，，则两点间的距离为：12||PP ．特别地，当12P P ，所在直线与x 轴平行时，1212||||PP x x =-；当12P P ，所在直线与y 轴平行时，1212||||PP y y =-；当12P P，在直线y kx b =+上时，1212|||PP x x -． 2．坐标法解决问题的基本步骤是：（1）建立坐标系，用坐标表示有关量；（2）进行有关代数运算；（3）把代数运算的结果“翻译”成几何关系．例1在直线20x y -=上求一点P ，使它到点(58)M ，的距离为5，并求直线PM 的方程． 解：∵点P 在直线20x y -=上，∴可设(,2)P a a ，根据两点的距离公式得：22222(5)(28)5,542640PM a a a a =-+-=-+=即，解得3225a a ==或，∴3264(2,4)()55P 或，． ∴直线PM 的方程为858548258555y x y x ----==----或，即4340247640x y x y -+=--=或． 例2直线2x －y －4=0上有一点P ，求它与两定点A (4，－1)，B (3，4)的距离之差的最大值． 解：找A 关于l 的对称点A ′，A ′B 与直线l 的交点即为所求的P 点， 设()A a b '，，则12144124022b a a b +⎧⨯=-⎪⎪-⎨+-⎪⨯--=⎪⎩，解得01a b =⎧⎨=⎩，所以线段||A B '== 例3已知AO 是△ABC 中BC 边的中线，证明|AB |2＋|AC |2=2（|AO |2＋|OC |2）．解：以O 为坐标原点，BC 为x 轴，BC 的中垂线为y 轴，建立如图所示坐标系xOy ． 设点A(a ，b )、B (－c ，0)、C (c ，0)，由两点间距离公式得：|AB |AC |AO ，|OC |=c ． ∴|AB |2＋|AC |2=2222()a b c ++，|AO |2＋|OC |2=222a b c ++． ∴|AB |2＋|AC |2=2（|AO |2＋|OC |2）．八、点到直线的距离及两平行线距离 知识要点：1．点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离公式为d =2．利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=之间的距离公式d =，推导过程为：在直线2l 上任取一点00(,)P x y ，则0020A x B y C ++=，即002A x B y C +=-．这时点00(,)P x y 到直线11:0l Ax By C ++=的距离为d ==． 例1求过直线1110:33l y x =-+和2:30l x y -=的交点并且与原点相距为1的直线l 的方程．解：设所求直线l 的方程为310(3)0y x x y λ+-+-=，整理得(31)(3)100x y λλ++--=．由点到直线的距离公式可知，1d ==，解得3λ=±． 代入所设，得到直线l 的方程为14350x x y =-+=或．例2在函数24y x =的图象上求一点P ，使P 到直线45y x =-的距离最短，并求这个最短的距离．解：直线方程化为450x y --=， 设2(,4)P a a ，则点P 到直线的距离为 222d ==．当12a =时，点1(,1)2P例3求证直线L ：(2)(1)(64)0m x m y m +-+-+=与点(4,1)P -的距离不等于3．解：由点线距离公式，得d =．假设3d =，得到222(3)9[(2)(1)]m m m +=+++，整理得21748360m m ++=．∵248417361400＜∆=-⨯⨯=-，∴21748360m m ++=无实根．∴3d ≠，即直线L 与点(4,1)P -的距离不等于3．点评：此解妙在反证法思路的运用， 先由点线距离公式求出距离，然后从“距离不等于3”的反面出发，假设距离是3求m ，但求解的结果是m 无解．从而假设不成立，即距离不等于3．另解：把直线L ：(2)(1)(64)0m x m y m +-+-+=按参数m 整理，得(4)260x y m x y --+--=． 由{40260x y x y --=--=，解得{22x y ==-．所以直线L 恒过定点(2,2)Q -．点P 到直线L 取最大距离时，PQ ⊥L ，即最大距离是PQ 3，∴直线L 与点(4,1)P -的距离不等于3．点评：此解妙在运用直线系111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=恒过一个定点的知识，其定点就是1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点，由运动与变化观点，当直线PQ ⊥L 时，点线距离为最大．本章总结：。
高中数学第三章直线与方程3.1.1倾斜角与斜率练习含解析新人教A版必修208192187
对应学生用书P57知识点一直线的倾斜角高中数学第三章直线与方程3.1.1倾斜角与斜率练习含解析新人教A 版必修2081921871．给出下列命题：①任意一条直线有唯一的倾斜角；②一条直线的倾斜角可以为－30°；③倾斜角为0°的直线只有一条，即x 轴；④若直线的倾斜角为α，则sinα∈(0，1)；⑤若α是直线l 的倾斜角，且sinα＝22，则α＝45°． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析 任意一条直线有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y 轴，因此①正确，②③错误． ④中α＝0°时sinα＝0，故④错误．⑤中α有可能为135°，故⑤错误．2．已知直线l 过点(m ，1)，(m ＋1，1－tanα)，则( ) A ．α一定是直线l 的倾斜角 B ．α一定不是直线l 的倾斜角 C ．180°－α不一定是直线l 的倾斜角 D ．180°－α一定是直线l 的倾斜角 答案 C解析 设θ为直线l 的倾斜角，则tanθ＝1－tanα－1m ＋1－m ＝－tanα．当α＝0°时，tanθ＝0，此时θ＝0°；当α＝30°时，tanθ＝－33，此时θ＝150°．比较各选项可知选C ．知识点二直线的斜率3．下列叙述不正确的是( )A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应B．若直线的倾斜角为α，则必有斜率与之对应C．与y轴垂直的直线的斜率为0D．与x轴垂直的直线的斜率不存在答案 B解析每一条直线都有倾斜角且倾斜角唯一，但并不是每一条直线都有斜率；垂直于y 轴的直线的倾斜角为0°，其斜率为0；垂直于x轴的直线的倾斜角为90°，其斜率不存在，故A，C，D正确．4．如图，在平面直角坐标系中有三条直线l1，l2，l3，其对应的斜率分别为k1，k2，k3，则下列选项中正确的是( )A．k3>k1>k2B．k1－k2＞0C．k1·k2＜0D．k3＞k2＞k1答案 D解析由图可知，k1＜0，k2＜0，k3＞0，且k2＞k1，故选D．知识点三斜率公式的应用①A(－2，0)，B(－5，3)；②A(3，2)，B(5，2)；③A(3，－1)，B(3，3)；(2)已知直线l过点A(2，1)，B(m，3)，求直线l的斜率及倾斜角的范围．解(1)①∵A(－2，0)，B(－5，3)，∴k AB＝3－0－5－－2＝3－3＝－1，直线AB的倾斜角为135°．②∵A(3，2)，B(5，2)，∴k AB ＝2－25－3＝0．直线AB 的倾斜角为0°．③∵A(3，－1)，B(3，3)；∴直线AB 的倾斜角为90°，斜率不存在． (2)设直线l 的斜率为k ，倾斜角为α， 当m ＝2时，A(2，1)，B(2，3)．直线AB 的倾斜角为90°，斜率k 不存在； 当m ＞2时，k ＝3－1m －2＝2m －2＞0，此时，直线l 的倾斜角为锐角，即α∈(0°，90°)； 当m ＜2时，k ＝3－1m －2＝2m －2＜0，此时，直线l 的倾斜角为钝角，即α∈(90°，180°)．知识点四三点共线问题6．若A(a ，0)，B(0，b)，C(－2，－2)三点共线，则a ＋b ＝________．答案 －12解析 由题意得b ＋22＝2a ＋2，ab ＋2(a ＋b)＝0，1a ＋1b ＝－12．对应学生用书P58一、选择题1．已知直线l 的倾斜角为β－15°，则下列结论中正确的是( ) A ．0°≤β＜180° B．15°＜β＜180° C ．15°≤β＜180° D．15°≤β＜195° 答案 D解析 因为直线l 的倾斜角为β－15°，所以0°≤β－15°＜180°，即15°≤β＜2．在平面直角坐标系中，正三角形ABC 的BC 边所在直线的斜率是0，则AC ，AB 边所在直线的斜率之和为( )A ．－2 3B ．0C ． 3D ．2 3 答案 B解析 由BC 边所在直线的斜率是0，知直线BC 与x 轴平行，所以直线AC ，AB 的倾斜角互为补角，根据直线斜率的定义，知直线AC ，AB 的斜率之和为0．故选B ．3．若直线l 的斜率为k ，且二次函数y ＝x 2－2kx ＋1的图象与x 轴没有交点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A ．(0°，90°) B．(135°，180°)C ．[0°，45°)∪(135°，180°) D．[0°，180°) 答案 C解析 由抛物线y ＝x 2－2kx ＋1与x 轴没有交点，得(－2k)2－4＜0，解得－1<k<1，所以直线l 的倾斜角的取值范围是[0°，45°)∪(135°，180°)，故选C ．4．如果直线l 先沿x 轴负方向平移2个单位长度，再沿y 轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 答案 B解析 设A(a ，b)是直线l 上任意一点，则平移后得点A′(a－2，b ＋2)，于是直线l 的斜率k ＝k AA′＝b ＋2－b a －2－a＝－1．故选B ．5．已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l 过点P(1，1)，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 满足( )A ．k≥34或k≤－4B ．k≥34或k≤－14C ．－4≤k≤34D ．34≤k≤4答案 A解析 如图所示，过点P 作直线PC⊥x 轴交线段AB 于点C ，作出直线PA ，PB ．①直线l 与线段AB 的交点在线段AC(除去点C)上时，直线l 的倾斜角为钝角，斜率的范围是k≤k PA ．②直线l 与线段AB 的交点在线段BC(除去点C)上时，直线l 的倾斜角为锐角，斜率的范围是因为k PA ＝－3－12－1＝－4，k PB ＝－2－1－3－1＝34，所以直线l 的斜率k 满足k≥34或k≤－4．二、填空题6．已知M(2m ，m ＋1)，N(m －2，1)，则当m ＝________时，直线MN 的倾斜角为直角． 答案 －2解析 由题意得，直线MN 的倾斜角为直角，则2m ＝m －2，解得m ＝－2．7．已知点M(5，3)和点N(－3，2)，若直线PM 和PN 的斜率分别为2和－74，则点P 的坐标为________．答案 (1，－5)解析 设P 点坐标为(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧y －3x －5＝2，y －2x ＋3＝－74，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－5，即P 点坐标为(1，－5)．8．若经过点P(1－a ，1)和Q(2a ，3)的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13解析 ∵直线PQ 的斜率k ＝3－12a －1－a ＝23a －1，且直线的倾斜角为钝角，∴23a －1<0，解得a<13．三、解答题9．已知点A(1，2)，在坐标轴上有一点P ，使得直线PA 的倾斜角为60 °，求点P 的坐标．解 ①当点P 在x 轴上时，设点P(a ，0)． ∵A(1，2)，∴k PA ＝0－2a －1＝－2a －1．又直线PA 的倾斜角为60 °， ∴－2a －1＝3，解得a ＝1－233， ∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233，0．②当点P 在y 轴上时，设点P(0，b)． 同理可得b ＝2－3， ∴点P 的坐标为(0，2－3)．综上，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233，0或(0，2－3)．10．已知实数x ，y 满足关系式x ＋2y ＝6，当1≤x≤3且x≠2时，求y －1x －2的取值范围．解y －1x －2的几何意义是过M(x ，y)，N(2，1)两点的直线的斜率．因为点M 在y ＝3－12x 的图象上，且1≤x≤3，所以可设该线段为AB ，其中A1，52，B3，32．由于k NA ＝－32，k NB ＝12，所以y －1x －2的取值范围是－∞，－32∪12，＋∞．。
新课程高中数学(必修2)第三章直线与方程
（数学 2 必修）第三章直线与方程[ 基础训练 A 组]一、选择题1．设直线ax by c 0 的倾斜角为，且 sin cos 0 ，则 a,b 知足（）A ．a b 1 B．a b 1C．a b 0 D．a b 02．过点P( 1,3) 且垂直于直线 x 2 y 3 0 的直线方程为（）A ．2 x y 1 0 B．2x y 5 0C．x 2 y 5 0 D ．x 2 y 7 03．已知过点A( 2, m)和B(m,4) 的直线与直线 2 x y 1 0 平行，则 m 的值为（）A ．0B ．8 C．2 D．104．已知ab 0, bc 0 ，则直线 ax by c 经过（）A ．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限5．直线x 1 的倾斜角和斜率分别是（）A．450,1 B．1350, 1C．900，不存在D．1800，不存在6．若方程(2m2 m 3)x (m2 m) y 4m 1 0 表示一条直线，则实数m 知足（）A ．m 0B ．m 3 2C．m 1 D．m 1，m 3， m 0 2二、填空题1．点P(1, 1) 到直线 x y 1 0 的距离是________________.2．已知直线l1 : y 2x 3,若 l 2 与 l1对于y轴对称，则 l 2的方程为__________;若 l 3与 l1对于 x 轴对称，则 l3的方程为_________;若 l 4与 l1对于y x对称，则 l 4的方程为___________;3．若原点在直线l 上的射影为(2, 1)，则 l 的方程为____________________。
4．点P( x, y)在直线x y 4 0 上，则 x2y2的最小值是________________.5．直线l过原点且均分Y ABCD 的面积，若平行四边形的两个极点为B(1,4), D (5,0) ，则直线l的方程为________________。
高中数学新课标人教A版必修二第三章 直线与方程同步经典习题
高中数学新课标人教A版必修二第三章直线与方程同步经典习题==本文档为word格式，下载后可随意编辑修改！==3.1直线的倾斜角与斜率3.1.1倾斜角与斜率基础达标1．直线l过原点(0，0)，且不过第三象限，那么l的倾斜角α的取值范围是()．A．0°≤α≤90°B．90°≤α＜180°C．90°≤α＜180°或α＝0°D．90°≤α≤135°2．(临沂一中期末)已知l1⊥l2，直线l1的倾斜角为60°，则直线l2的倾斜角为()．A．60°B．120°C．30°D．150°3．斜率为2的直线经过点A(3，5)、B(a，7)、C(－1，b)三点，则a、b的值为()．A．a＝4，b＝0 B．a＝－4，b＝－3C．a＝4，b＝－3 D．a＝－4，b＝34．如果过点(－2，m)和Q(m，4)的直线的斜率等于1，则m＝________．5．(济南高一检测)若过P(1－a，1＋a)和Q(3，2a)的直线的倾斜角为0°，则a＝________．6．直线l过点A(1，2)，且不过第四象限，则直线l的斜率的取值范围是________．7．(1)已知直线l1的倾斜角为α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向之间所成的角为120°，求直线l2的斜率k2.(2)已知某直线l的倾斜角α＝45°，又P1(2，y1)，P2(x2，5)，P3(3，1)是此直线上的三点，求x2，y1的值．能力提升8．(温州高一检测)设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为()．A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．当0°≤α＜135°时，为α＋45°；当135°≤α＜180°时，为α－135°9．已知三点A(1－a，－5)，B(a，2a)，C(0，－a)共线，则a＝________．10．光线从点A(2，1)射到y轴上的点Q，经y轴反射后过点B(4，3)，试求点Q的坐标及入射光线的斜率．7．已知直线l1经过A(3，m)，B(m－1，2)，直线l2经过点C(1，2)，D(－2，m＋2)．(1)若l1∥l2，求m的值；(2)若l1⊥l2，求m的值．能力提升8．已知A(m，3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1，2)，D(1，0)，且直线AB与直线CD平行，则m 的值为()．A．1 B．0 C．0或2 D．0或19．已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2，－3)，直线l2经过点C(2，3)、D(－1，a－2)，如果l1⊥l2，则a＝________．10．如图所示，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长AD＝5 m，宽AB＝3 m，其中一条小路定为AC，另一条小路过点D，问如何在BC上找到一点M，使得两条小路所在直线AC与DM相互垂直？a．在同一直角坐标系中，表示直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x＋b2(k1＞k2，b1 ()．)．绕着其上一点P(3，4)逆时针旋转90°后得直线l，则直线l的点斜式方程为射到y轴上，反射后经过点B(4，－3)，则反射光线所在直线的方程为且与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O在这样的直线满足下列条件：；(2)△AOB的面积为6.3．2．3直线的一般式方程基础达标1．若ac＜0，bc＜0，则直线ax＋by＋c＝0的图形只能是()．2．过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是()．A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝03．直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx＋y－a＝0(ab≠0)的图象只可能是()．4．若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0相互垂直，则实数m＝________．5．已知A(0，1)，点B在直线l1：x＋y＝0上运动，当线段AB最短时，直线AB的一般式方程为________．6．已知直线l与直线3x＋4y－7＝0平行，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，则直线l的方程为________．7．设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＝2m －6，根据下列条件分别求m 的值． (1)在x 轴上的截距为1； (2)斜率为1；(3)经过定点P (－1，－1)．能力提升8．两直线mx ＋y －n ＝0与x ＋my ＋1＝0互相平行的条件是 ( )． A ．m ＝1 B ．m ＝±1C.⎩⎨⎧m ＝1n ≠－1D.⎩⎨⎧m ＝1，n ≠－1或⎩⎨⎧m ＝－1，n ≠19．已知两条直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和a 2x ＋b 2y ＋1＝0都过点A (2，1)，则过两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)的直线方程是________．10．求证：不论m 取什么实数，直线(2m －1)x －(m ＋3)y －(m －11)＝0恒过定点，并求此定点坐标．1)是此直线上的三点，5－y 1x 2－2＝1－53－x 2＝1，，无解． BC ＝2a －（－a ），，由题意得，A、Q、B′三点共线．AB′＝－13.设Q(0，y)，则k入＝为坐标原点，BC、BA所在直线分别为D(5，3)，A(0，3)．设点M直线的方程直线的点斜式方程a根据点斜式方程，得其斜率与在y轴上的截距同号．答案 B．在同一直角坐标系中，表示直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x＋b2(k1＞k2，b1 ()．b1＞b2，不合题意；在选项D中，k1＜k2－1＝23(x＋5)平行的直线的点斜式方程是________代入直线y－1＝23(x＋5)成立，即点(－5，1)在直线，1)与直线y－1＝23(x＋5)平行的直线不存在．不过第三象限，则斜率k的取值范围是________y＝2不过第三象限；当k＞0时，直线过第三象限；时，直线不过第三象限．答案(－∞，0](1)当a＞0时，直线y＝ax的倾斜角为锐角，直线y＝x＋a在yC，D都不成立；时，直线y＝ax的倾斜角为0°，所以A，B，C，D都不成立；两直线的方程分别化为斜截式：y＝nm x－n，易知两直线的斜率的符号相同，四个选项中仅有B选项的两直线的斜率符号相射到y轴上，反射后经过点B(4，－3)，则反射光线所在直线的方程为轴的对称点A′(－1，2)，又A′在反射线上，由两点式方程得＜0，bc＜0，∴abc2＞0，∴ab＞0，∴斜率k＝－ab＜0，又纵截距－且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是()．，在y轴上截距b1＝b，直线l2的斜率＝－b＜0，b＞0，对C，k1＝a＜0，，均产生矛盾，故选B.答案 B2x＋my－6＝0相互垂直，则实数由题意知直线的斜率均存在，且12×⎝⎛⎭⎪⎫－2m＝－1.∴m＝1l1：x＋y＝0上运动，当线段AB最短时，直线又两直线垂直，得2a－4×5＝0，③由①②③得，a＝10，m＝－2，b＝－12.答案10－12－2，1）2＝5，5.且平行于AB的直线。
高中数学第三章直线与方程3.2.2直线的两点式方程课时作业(含解析)新人教A版必修2
故点P的坐标为(0,-7).
答案:(0,-7)
10.已知直线mx-2y-3m=0(m≠0)在x轴上的截距是它在y轴上截距的4倍,则m=.
解析:直线方程可化为 - =1,
所以- ×4=3,所以m=- .
答案:-
11.直线ax+by-1=0(ab≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积为.
所以l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0.
答案:2x-3y=0或x+y-5=0
13.已知△ABC的三个顶点为A(0,3),B(1,5),C(3,-5).
(1)求边AB所在的直线方程;
(2)求中线AD所在直线的方程.
解:(1)设边AB所在的直线的斜率为k,则k= =2.
它在y轴上的截距为3.所以,由斜截式得边AB所在的直线的方程为y=2x+3.
(A)经过定点P0(x0,y0)的直线都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示
(B)经过任意两个不同点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示
(C)不经过原点的直线都可以用方程 + =1表示
(D)经过定点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b表示
从而有点B在直线BD上,点E在直线CE上,
故可得方程组 解得
从而B(6,4).
设C(x2,y2),则D( , ),
同理可得方程组 解得 从而C(5,0).
故有直线BC的方程是4x-y-20=0.
16.直线x-2y+b=0与两坐标轴所围成的三角形面积不大于1,那么b的取值范围是( C )
(A)[-2,2](B)(-∞,-2]∪[2,+∞)
高中数学 第三章 直线与方程 3.2.2 直线的两点式方程学案(含解析)新人教A版必修2-新人教A版
3．2.2 直线的两点式方程学习目标 1.掌握直线方程的两点式的形式、特点及适用范围；2.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围；3.会用中点坐标公式求两点的中点坐标．知识点一 直线方程的两点式思考1 已知两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2，求通过这两点的直线方程． 答案 y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)， 即y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1. 思考2 过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2,3)，(5,3)的直线呢？ 答案 不能，因为1－1＝0，而0不能做分母．过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示.名称已知条件示意图方程使用范围两点式 P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1斜率存在且不为0知识点二 直线方程的截距式思考1 过点(5,0)和(0,7)的直线能用x 5＋y7＝1表示吗？答案 能．由直线方程的两点式得y －07－0＝x －50－5，即x 5＋y7＝1. 思考2 已知两点P 1(a,0)，P 2(0，b )，其中a ≠0，b ≠0，求通过这两点的直线方程． 答案 由直线方程的两点式得y －0b －0＝x －a 0－a 得x a ＋yb＝1. 名称已知条件示意图方程使用范围截距式 在x ，y 轴上的截距分别为a ，b 且a ≠0，b ≠0x a ＋yb ＝1 斜率存在且不为0，不过原点知识点三 线段的中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，设P (x ，y )是线段P 1P 2的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x22，y ＝y 1＋y22.类型一 直线的两点式方程例1 (1)若点P (3，m )在过点A (2，－1)，B (－3,4)的直线上，则m ＝________. 答案 －2解析 由直线方程的两点式得y －－14－－1＝x －2－3－2，即y ＋15＝x －2－5.∴直线AB 的方程为y ＋1＝－x ＋2， ∵点P (3，m )在直线AB 上， 则m ＋1＝－3＋2，得m ＝－2.(2)△ABC 的三个顶点为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求： ①AC 所在直线的方程 ②BC 边的垂直平分线的方程．解 ①由直线方程的两点式得y －03－0＝x －－3－2－－3，所以AC 所在直线的方程是3x －y ＋9＝0.②因为B (2,1)，C (－2,3)，所以k BC ＝3－1－2－2＝－12，线段BC 的中点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2－22，1＋32，即(0,2)，所以BC 边的垂直平分线方程是y －2＝2(x －0)，整理得2x －y ＋2＝0.反思与感悟 (1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．跟踪训练1 已知△ABC 的顶点是A (－1，－1)，B (3,1)，C (1,6)．求与CB 平行的中位线的直线方程．解 方法一 由A (－1，－1)，C (1,6)，则AC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52. 又因为A (－1，－1)，B (3,1)，则AB 的中点为N (1,0)．故过MN 的直线为y －052－0＝x －10－1(两点式)，即平行于CB 的中位线方程为5x ＋2y －5＝0.方法二 由B (3,1)，C (1,6)得k BC ＝6－11－3＝－52，故中位线的斜率为k ＝－52.又因为中位线过AC 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52，故中位线方程为y ＝－52x ＋52(斜截式)，即5x ＋2y －5＝0.类型二 直线的截距式方程例2 求过定点P (2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程． 解 设直线的两截距都是a ，则有①当a ＝0时，直线设为y ＝kx ，将P (2,3)代入得k ＝32，∴直线l 的方程为3x －2y ＝0；②当a ≠0时，直线设为x a ＋y a＝1，即x ＋y ＝a ， 把P (2,3)代入得a ＝5，∴直线l 的方程为x ＋y ＝5. ∴直线l 的方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0.反思与感悟 如果直线与两坐标轴都相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可．选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直．跟踪训练2 (1)直线l 过定点A (－2,3)，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，则直线l 的方程为____________．(2)直线l 过点P (43，2)，且与两坐标轴围成的三角形周长为12，则直线l 的方程为_____________．答案 (1)x ＋2y －4＝0或9x ＋2y ＋12＝0； (2)3x ＋4y －12＝0或15x ＋8y －36＝0. 解析 (1)由题意可知直线l 的方程为x a ＋yb＝1(ab ≠0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋3b ＝1，12|ab |＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－43，b ＝－6.∴直线l 的方程为x 4＋y2＝1或x －43＋y－6＝1， 即x ＋2y －4＝0或9x ＋2y ＋12＝0. (2)设直线l 的方程为x a ＋yb＝1(a >0，b >0)， 由题意知，a ＋b ＋a 2＋b 2＝12. 又因为直线l 过点P (43，2)，所以43a ＋2b ＝1，即5a 2－32a ＋48＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，b 1＝3，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝125，b 2＝92，所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0 或15x ＋8y －36＝0.类型三 直线方程的综合应用例3 已知三角形的三个顶点A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，求BC 边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程．解 如图，过B (3，－3)，C (0,2)的两点式方程为y －2－3－2＝x －03－0，整理得5x ＋3y －6＝0. 这就是BC 边所在直线的方程．BC 边上的中线是顶点A 与BC 边中点M 所连线段，由中点坐标公式可得点M 的坐标为(3＋02，－3＋22)，即(32，－12)．过A (－5,0)，M (32，－12)的直线的方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5， 即x ＋13y ＋5＝0.这就是BC 边上中线所在直线的方程． 反思与感悟 直线方程的选择技巧(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率． (2)若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距． (3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程． (4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决． 跟踪训练3 如图，已知正方形ABCD 的边长是4，它的中心在原点，对角线在坐标轴上，则正方形边AB ，BC 所在的直线方程分别为__________________________________． 对称轴所在直线的方程为__________________．答案 x ＋y －22＝0，x －y ＋22＝0y ＝±x ，x ＝0，y ＝0解析 ∵AB ＝4，在Rt△OAB 中，|OA |2＋|OB |2＝|AB |2， ∴|OA |＝|OB |＝22，由直线的截距式方程可得AB 的直线方程为 x 22＋y22＝1，即x ＋y －22＝0.由上面可得：B (0,22)，C (－22，0)， ∴BC 的直线方程为x －22＋y22＝1，即x －y ＋22＝0，易得对称轴所在直线的方程为y ＝±x ，x ＝0，y ＝0.1．过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为( ) A ．y ＝x ＋3 B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝x ＋2 D ．y ＝－x －2答案 A解析 代入两点式得直线方程y －14－1＝x ＋21＋2，整理得y ＝x ＋3.2．经过P (4,0)，Q (0，－3)两点的直线方程是( ) A.x 4＋y 3＝1 B.x 3＋y 4＝1 C.x 4－y3＝1 D.x 3－y4＝1 答案 C解析 由点坐标知直线在x 轴，y 轴上的截距分别为4，－3，所以直线方程为x 4＋y －3＝1，即x 4－y3＝1.3．经过M (3,2)与N (6,2)两点的直线方程为( ) A ．x ＝2 B ．y ＝2 C ．x ＝3 D ．x ＝6 答案 B解析 由M ，N 两点的坐标可知，直线MN 与x 轴平行，所以直线方程为y ＝2，故选B. 4．过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是________________． 答案 4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝0 解析 ①若直线过原点，则k ＝－43，∴y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0.②若直线不过原点，设x a ＋y a＝1，即x ＋y ＝a . ∴a ＝3＋(－4)＝－1，∴x ＋y ＋1＝0.5．已知△ABC 的三个顶点坐标为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求：(1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上的高AD 所在直线的方程； (3)BC 边上的中线AE 所在直线的方程．解 (1)直线BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0.(2)由(1)知k BC ＝－12，则k AD ＝2，又AD 过A (－3,0)，故直线AD 的方程为y ＝2(x ＋3)，即2x －y ＋6＝0. (3)BC 边中点为E (0,2)， 故AE 所在直线方程为x －3＋y2＝1，即2x －3y ＋6＝0.与直线方程的适用条件、截距、斜率有关问题的注意点： (1)明确直线方程各种形式的适用条件点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x 轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x 、y 轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．(2)截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零．(3)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论．一、选择题1．下列说法正确的是( ) A ．方程y －y 1x －x 1＝k 表示过点P 1(x 1，y 1)且斜率为k 的直线 B ．直线y ＝kx ＋b 与y 轴的交点为B (0，b )，其中截距b ＝|OB | C ．在x 轴、y 轴上的截距分别为a 、b 的直线方程为x a ＋y b＝1D ．方程(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)表示过任意不同两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线方程答案 D 解析 方程y －y 1x －x 1＝k 表示过P 1(x 1，y 1)且斜率为k 的直线，但不包括点P 1(x 1，y 1)，故A 错；对于B ，截距可正、可负、可为零，从而错误；对于截距式方程x a ＋y b＝1中要求ab ≠0. 2．直线x a 2－y b2＝1在y 轴上的截距是( ) A ．|b | B ．－b 2C ．b 2D ．±b 答案 B解析 令x ＝0得，y ＝－b 2.3．以A (1,3)，B (－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( ) A ．3x －y －8＝0 B ．3x ＋y ＋4＝0 C ．3x －y ＋6＝0 D ．3x ＋y ＋2＝0答案 B解析 因为k AB ＝1－3－5－1＝13，AB 的中点坐标为(－2,2)，所以所求直线方程为y －2＝－3(x ＋2)，化简为3x ＋y ＋4＝0. 4．若直线x a ＋y b＝1过第一、二、三象限，则( ) A ．a >0，b >0 B ．a >0，b <0 C ．a <0，b >0 D ．a <0，b <0 答案 C解析 因为直线l 在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，且经过第一、二、三象限，故a <0，b >0.5．两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －y a＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )答案 A解析 两条直线化为截距式分别为x a ＋y －b ＝1，x b ＋y－a＝1. 假定l 1，判断a ，b ，确定l 2的位置，知A 项符合．6．过点(4，－3)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线共有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 答案 C解析 当a ≠0且在两坐标轴上截距相等时， 设直线方程为x a ＋y a＝1， ∵(4，－3)在直线上， ∴4a －3a＝1得a ＝1，∴直线方程为x ＋y －1＝0； 当a ≠0，且截距互为相反数时， 设直线方程x a －y a＝1，∵(4，－3)在直线上，即4a ＋3a＝1，解得：a ＝7，∴直线方程为x －y －7＝0，当与两坐标轴上截距都为零时，可设直线方程为y ＝kx ， 由－3＝4k ，得k ＝－34，∴y ＝－34x ，∴所求直线方程为x ＋y －1＝0或x －y －7＝0或y ＝－34x ，故共3条．二、填空题7．过点P (1,3)的直线l 分别与两坐标轴交于A 、B 两点，若P 为AB 的中点，则直线l 的截距式方程是_____________． 答案 x 2＋y6＝1解析 设A (m,0)，B (0，n )，由P (1,3)是AB 的中点可得m ＝2，n ＝6， 即A 、B 的坐标分别为(2,0)、(0,6)． 则l 的方程为x 2＋y6＝1.8．过点(－2,3)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线方程为________________． 答案 3x ＋2y ＝0或x －y ＋5＝0 解析 该直线过原点时， 设直线方程为y ＝kx ，将x ＝－2，y ＝3代入得：k ＝－32，∴直线方程为3x ＋2y ＝0. 当与两坐标轴截距不为零时， 设直线方程为x a －y a＝1， ∵直线过点(－2,3)， 即－2a －3a＝1，得a ＝－5，∴直线方程为x －y ＋5＝0，故所求直线方程为3x ＋2y ＝0或x －y ＋5＝0.9．过点(0,3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是______________． 答案 3x ＋2y －6＝0解析 由题意知，直线在y 轴上的截距为3， 则在x 轴上的截距为2，∴该直线截距式方程为x 2＋y3＝1即3x ＋2y －6＝0.三、解答题10．求经过点P (－5，－4)且与两坐标轴围成的面积为5的直线方程．解 设所求直线方程为x a ＋y b ＝1.∵直线过点P (－5，－4)，∴－5a ＋－4b＝1，① 于是得4a ＋5b ＝－ab ，又由已知，得12|a |·|b |＝5， 即|ab |＝10.②由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＋5b ＝－ab ，|ab |＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－52，b ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2. 故所求直线方程为x －52＋y 4＝1或x 5＋y －2＝1. 即8x －5y ＋20＝0或2x －5y －10＝0.11．在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7,3)，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上，求：(1)顶点C 的坐标；(2)直线MN 的方程．解 (1)设C (x 0，y 0)，则AC 边的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋52，y 0－22， BC 边的中点为N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋72，y 0＋32， 因为M 在y 轴上，所以x 0＋52＝0得x 0＝－5. 又因为N 在x 轴上，所以y 0＋32＝0，所以y 0＝－3.即C (－5，－3)．(2)由(1)可得M ⎝⎛⎭⎪⎫0，－52，N (1,0)， 所以直线MN 的方程为x 1＋y－52＝1.12．已知三角形的顶点是A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)．(1)求直线AB 与坐标轴围成的三角形的面积；(2)若过点C 的直线l 与线段AB 相交，求直线l 的斜率k 的取值范围．解 (1)由两点式得直线AB 的方程为y －0－3－0＝x －－53－－5， 整理得3x ＋8y ＋15＝0.直线AB 在x 轴上的截距为－5，在y 轴上的截距为－158，所以直线AB 与坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12×5×158＝7516. (2)因为k AC ＝2－00－－5＝25， k BC ＝2－－30－3＝－53.要使过点C 的直线l 与线段AB 相交，结合图形知k ≥25或k ≤－53.。
人教A版高中数学必修2第三章 直线与方程3.2 直线的方程习题(1)
1．直线10x y -+=的倾斜角为 ． 【答案】45︒ 【解析】试题分析：方程10x y -+=可化为斜截式1+=x y ，所以斜率1=k ，所以倾斜角 45 考点：直线方程、直线的倾斜角与斜率2．已知ABC ∆的三个顶点分别是()2,2A ，(0,1)B ，()4,3C ，点(,1)D m 在边BC 的高所在的直线上，则实数m ＝________. 【答案】52【解析】试题分析：因为，ABC ∆的三个顶点分别是()2,2A ，(0,1)B ，()4,3C ，点(,1)D m 在边BC 的高所在的直线上，所以，高线的斜率为12122AD BC k m k -==-=--，故m=52. 考点：直线斜率的坐标计算公式，直线垂直的条件。
点评：简单题，两直线垂直，斜率乘积等于-1，或一条直线的斜率为0，另一直线的斜率不存在。
3．.经过点(0,1)P -作直线l ,若直线l 与连接(1,2),(2,1)A B -的线段没有公共点,则直线l 的斜率k 的取值范围为 . 【答案】()()+∞-∞-,11, 【解析】略4．已知点P （0，-1），点Q 在直线01=+-y x 上，若直线PQ 垂直于直线052=-+y x ，则点Q 的坐标是 . 【答案】(2,3) 【解析】试题分析：根据点Q 在直线x-y+1=0上设Q （x ，x+1），由已知的直线方程求出斜率，再利用两直线垂直斜率之积为-1，以及两点间的斜率公式求出x 的值，再求出点Q 的坐标。
解：由于点Q 在直线x-y+1=0上，故设Q （x ，x+1），∵直线x+2y-5=0的斜率为-12，且与直线PQ 垂直，∴k PQ =2=1(1)x x +--- ，解得x=2，即Q （2，3）．故答案为(2,3)考点：两条直线垂直点评：本题考查了点与直线关系，以及直线的一般方程，主要利用斜率都存在的两条直线垂直，斜率之积等于-1，求出点的坐标 5．已知直线ax －y +2a =0与(2a －1)x +ay +a =0互相垂直 ,则a 的值= 【答案】1,0 【解析】略6．已知直线2x+my+1=0与直线y=3x-1平行，则m= _______.【解析】因为已知直线2x+my+1=0与直线y=3x-1平行，则斜率相等，即7_______________【解析】试题分析：直斜率，即tan α，所以，直线考点：本题主要考查直线的斜率与直线的倾斜角。
高中数学人教A版必修2习题第3章 直线与方程3.3.3、3.3.4 Word版含解析
第三章、一、选择题．两直线＋－＝与＋－＝的距离等于( )．．．．[答案][解析]在＋－＝上取一点(，)，其到＋－＝的距离即为两平行线间的距离，＝＝.．已知△的三个顶点坐标分别为()、(－)、(，－)，则点到边的距离为( )．．．．[答案][解析]边所在直线的方程为＝，即＋＋＝；则＝＝.．若点(－，－)、()到直线：＋＋＝的距离相等，则实数的值为( )．．－．－或－．或[答案][解析]由题意及点到直线的距离公式得＝，解得＝－或－.．若点在直线＋－＝上，且点到直线－－＝的距离为，则点的坐标为( )．() ．()．()或(，－) ．()或(－)[答案][解析]设点的坐标为(，)，则有(\\(＋－＝,(－－,())＝()))，解得(\\(＝＝))或(\\(＝＝－)).．已知点()、()、(－)，则△的面积等于( )．．．．[答案][解析]设边上的高为，则△＝·＝＝，边上的高就是点到直线的距离．边所在的直线方程为＝，即＋－＝.点到直线＋－＝的距离为＝，因此，△＝××＝.．直线垂直于直线＝＋，且在轴上的截距为，则直线的方程是( )．＋－＝．＋＋＝．＋－＝．＋＋＝[答案][解析]方法：因为直线与直线＝＋垂直，所以设直线的方程为＝－＋，又在轴上截距为，所以所求直线的方程为＝－＋，即＋－＝.方法：将直线＝＋化为一般式－＋＝，因为直线垂直于直线＝＋，可以设直线的方程为＋＋＝，令＝，得＝－，又直线在轴上截距为，所以－＝，即＝－，所以直线的方程为＋－＝.二、填空题．已知直线：(－)＋(－)＋＝与直线：(－)－＋＝平行，则与间的距离为[答案]或[解析]∵∥，∴(\\((－(×(－(－(－((－(＝,(－(×－(－(×≠))，解得＝或＝.当＝时，：＝－，：＝，此时与间的距离为；当＝时，：－＋＝，：－＋＝，此时与间的距离为＝.．过点(－)的所有直线中，与原点距离最远的直线方程是[答案]－＋＝[解析]当原点与点的连线与过点的直线垂直时，距离最大．∵＝－，∴所求直线的方程为－＝(＋)，即－＋＝.三、解答题．已知正方形的中心为直线－＋＝和＋＋＝的交点，其一边所在直线的方程为＋－＝，求其它三边的方程[解析]由(\\(－＋＝＋＋＝))，解得(\\(＝－＝)).即该正方形的中心为(－)．所求正方形相邻两边方程－＋＝和＋＋＝.∵中心(－)到四边距离相等，∴＝，＝，解得＝－，＝和＝－，＝，∴所求方程为－－＝－＋＝，＋＋＝.．已知在△中，()、(－)，点在直线－＋＝上．若△的面积为，求点坐标[解析]设点(，)，∵点在直线－＋＝上，∴＝＋.∵()、(－)，∴＝＝.。
湖北省宜昌市高中数学 第三章 直线与方程教材习题本2(
第三章 直线与方程习题3.1P75比较两组数的大小1，372+与4 107+与143+,3，已知x>0,求证211xx +<+比较两组数的大小1.652++x x 与9522++x x ()23-x 与()()42--x x 当x>1时3x 与12--x x122++y x 与()12-+y x2已知a>b>0,c>d>0,求证c bd a >P80求下列不等式的解集1 0732≤-x x 0522<-+-x x 322-<+-x x 0442<-+-x x 0412>+-x x 0532<+x x 02031122>+-x x2 自变量x 在什么范围取值时，下列函数的值等于0，大于0，小于02632+-=x x y 225x y -= 1062++=x x y 121232-+-=x x yP80习题3,2求下列不等式的解集1，15442>-x x 2，04132>-x 3，01032>--x x 4，()09>-x x 2，求下列函数的定义域1，942+-=x x y 2，181222-+-=x x y3，若关于x 的一元二次方程()012=---m x m x 有两个不等的是根，求m 的范围 44，已知集合{}0162<-=x x A ，B={}0342>+-x x x ，求B A ⋃B 组求下列不等式的解集1.252042<-x x2.()()073<--x x3.04532>-+-x x 4，()()1321++>-x x x x2m 是什么实数时，关于x 的一元二次方程()012=+--m x m mx 没有实数根P861， 不等式x-2y+6>0表示的区域在直线x-2y+6>0的-------（填“上方或下方”） 2， P911. 解下列线性规划问题求z=2x+y 的最大值，使x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤11y y x x y y求z=3x+5y 的最大值和最小值使x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤≤+3511535y x x y y x某厂拟生产两种适销产品，每件销售收入分别为3000元和2000元，甲，乙产品都需要在A,B 两种设备上加工，在每台A,B 设备上加工1件甲设备所需工时分别为1H,2H,加工1件乙设备所需工时分别为2H,1H ，A,B 两种设备每月有效分别为400H,500H ，如何安排生产可使收入最大？P931画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤-+≤-+-0330402y x y x y x 表示的平面区域3， 画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≥->+≤+0,06321232y x y x y x 表示的平面区域,3，画出（x+2y-1）(x-y+3)>0表示的平面区域P100x>0,当x 取什么值时xx 1+的值最小？最小值是多少？ 已知直角三角形的面积等于50，两两条直角边各为多少时，两条直角边的和最小？最小值是多少？用20厘米长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？做一个体积为323m ，高为2m 长方形纸盒，底面的长与宽取什么值时用纸最少？ 把36写成两个数的积，当这两个数取什么值时，它们的和最小？把18写成两个数的和，当这两个数取什么值时，它们的积最大？一段长为30m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m,问这个矩形的长，宽各为多少时，菜园的面积最大？设矩形ABCD （AB>CD ）的周长为24，把三角形ABC 沿AC 向三角形ADC 折叠，AB 折过去后交DC 于点P ，设AB=X ，求三角形ADP 的最大面积及相应的X 的值如图，树顶A 离地面a 米，树上另一点B 离地面b 米，在离地面c 米的C 处看此树，离此树多远时看A,B 的视角最大？P103 比较51..125+与7251+的大小 已知集合{}062<--=x x x A ，{}0822>-+=x x x B ，求B A ⋂当k 取什么值时，一元二次方程08322<-+kx kx 对一切x 都成立？ 不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<<>++000834y x y x 表示的平面区域的整点坐标是：在面积为定值S 的扇形中，半径是多少时扇形的周长最小/在周长为定值P 的扇形中，半径是多少时扇形的面积最大甲乙两地相距s 公里，汽车从甲地匀速使到乙地，速度不得超过每小时c 公里，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度的平方成正比，且比例系数为固定部分为a 元()2bca <，为了使全程运输成本最小，汽车以多大的速度行驶？二次不等式02<++c bx ax 的解集是全体实数的条件是解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>++>+-0440*******x x x x ⎪⎩⎪⎨⎧>+-≥-+0915402322x x x x 若关于x 的不等式mx x x >+-2212的解集为{}20<<x x ，求m 的值 已知⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+033042022y x y x y x ，当x,y 取何值时22y x +取得最大值,最小值？最大值，最小值是多少。
高中数学第三章直线与方程3.2直线的方程3.2.2直线的两点式方程优化练习新人教A版必修2(202
2017-2018学年高中数学第三章直线与方程3.2 直线的方程3.2.2 直线的两点式方程优化练习新人教A版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学第三章直线与方程3.2 直线的方程3.2.2 直线的两点式方程优化练习新人教A版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3.2。
2 直线的两点式方程［课时作业]［A组基础巩固]1．在x、y轴上的截距分别是－3、4的直线方程是（)A.错误!＋错误!＝1B.错误!＋错误!＝1C。
错误!－错误!＝1 D。
错误!＋错误!＝1解析：代入截距式方程即得．答案:A2．直线l过点(－1，0）和(2，6),点(1 007，b）在直线l上，则b的值为（）A．2 013 B．2 014 C．2 015 D．2 016解析:由两点式可得直线方程为错误!＝错误!，即y＝2（x＋1)．点（1 007,b）代入直线方程得，b＝2×(1 007＋1）＝2 016.答案：D3．直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是( ）A．1 B．－2 C．－2或1 D．2或1解析:①令x＝y＝0得a＝－2，②令x＝0，得y＝a＋2；令y＝0,得x＝错误!.由a＋2＝错误!得a＝1.答案:C4．直线x－y＋1＝0关于y轴对称的直线的方程为（)A．x－y－1＝0 B．x－y－2＝0C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0解析：令y＝0，则x＝－1，令x＝0，则y＝1,∴直线x－y＋1＝0关于y轴对称的直线过点（0，1）和（1，0），由直线的截距式方程可知，x＋y＝1，即x＋y－1＝0.故选C。
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第三章 直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.1.1P86 1、已知下列直线的倾斜角，求直线的斜率：（1）30α=︒ ； （2）45α=︒ ； （3）120α=︒ ； （4）135α=︒ ；2、求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角；（1）(18,8),(4,4)C D -; (2) (0,0),(1P Q -;3、已知,,a b c 是两两不等的实数，求经过下列两点直线的倾斜角：（1）(,),(,)A a c B b c ； （2）(,),(,)C a b D a c ； （3）(,),(,)P b b c Q a a c ++4、画出经过点(0,2)，且斜率分别为2与2-的直线.3.1.2P88 1、已知(6,0),(3,6),(0,3),(6,6)A B P Q --，试判断直线AB 与PQ 的位置关系。
2、已知(5,1),(1,1),(2,3)A B C -三点，试判断ABC ∆的形状。
3、判断下列各对直线平行还是垂直：（1）经过两点(2,3),(1,0)A B -的直线1l ，与经过点(1,0)P 且斜率为1的直线2l ；（2）经过两点(3,1),(2,0)C D -的直线3l ，与经过点(1,4)M -且斜率为5-的直线4l ；4、试确定m 的值，使过点(,1),(1,)A m B m -的直线与过点(1,2),(5,0)P Q -的直线（1）平行； （2）垂直。
P89 1、已知直线斜率的绝对值等于1，求直线的倾斜角。
2、已知四边形ABCD 的四个顶点是(2,3),(1,1),(1,2),(2,2)A B C D ----，求四边形ABCD 的四条边所在直线的斜率。
3、已知直线的斜率2,(3,5),(,7),(1,)k A B x C y =-是这条直线上的三个点，求x 和y 的值。
4、（1）m 为何值时，经过两点(,6),(1,3)A m B m -的直线的斜率是12 ？（2）m 为何值时，经过两点(,2),(,21)A m B m m ---的直线的倾斜角是60︒？5、已知三点(1,2),(1,0),(3,4)A B C -，这三点是否在同一条直线上，为什么？6、判断下列各小题中的不同直线1l 与2l 是否平行：（1）1l 的斜率为2，2l 经过点(1,2),(4,8)A B ；（2）1l 经过点(3,3),(5,3)P Q -，2l 平行x 于轴，但不经过,P Q 两点；（3）1l 经过点(1,0),(5,2)M N ---，2l 经过点(4,3),(0,5)R S -。
7、判断下列各小题中的每对直线是否垂直：（1）1l 的斜率为23-，2l 经过点1(1,1),(0,)2A B -； （2）1l 的倾斜角是45︒，2l 经过点(2,1),(3,6)A B ---；（3）1l 经过点(1,0),(4,5)A B -，2l 经过点(6,0),(1,3)P Q --；8、已知(1,1),(2,2),(3,0)A B C -三点，求点D 的坐标，使直线CD AB ⊥，且//CB AD .P901、 已知(2,2),(5,2)M N -，点P 在x 轴上，且MPN ∠为直角，求点P 的坐标。
2、 1l 经过点(,1),(3,4)A m B -，2l 经过点(1,),(1,1)C M D m -+，当直线1l 与2l ：（1）平行；（2）垂直时，分别求m 的值。
3、 已知四边形ABCD 的顶点为(2,2(2,2),(0,2(4,2)A B C D +--，求证：四边形ABCD 为矩形。
4、 已知四边形ABCD 的顶点为(,),(6,1),(3,3),(2,5)A m n B C D ，求,m n 的值使四边形ABCD为直角梯形。
5、 过两点222(2,3),(3,2)A m m B m m m +---的直线l 的倾斜角为45︒，求m 的值。
6、 经过点(0,1)P -作直线l ，若直线l 与连接(1,2),(2,1)A B -的线段总有公共点，找出直线l 的倾斜角α与斜率k 的取值范围，并说明理由。
3.2直线的方程P951、 写出下列直线的点斜式方程：（1） 经过点(3,1)A - （2）经过点(B ，倾斜角为30︒；（3）经过点(0,3)C ，倾斜角为0︒； （4）经过点(4,2)D --，倾斜角为120︒；2、 填空题（1）已知直线的点斜式方程是21y x -=-，那么此直线的斜率是 ，倾斜角是 ；（2）已知直线的点斜式方程是21)y x +=+，那么此直线的斜率是 ，倾斜角是 ；3、 写出下列直线的斜截式方程：（1）斜率是2，在y 轴上的截距是2-； （2）斜率是2-，在y 轴上的截距是4。
4、判断下列各对直线是否平行或垂直：（1）1211:3,:222l y x l y x =+=-; (2) 1253:,:35l y x l y x ==-3.2.2直线的两点式方程1、已知直线l 与x 轴的交点为(,0)A a ，与y 轴的交点为(0,)B b ，其中0,0a b ≠≠，求直线l 的方程。
2、已知三角形的三个顶点(5,0),(3,3),(0,2)A B C --，求BC 边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程。
4、 求经过下列两点的直线的两点式方程：（1）(2,1),(0,3)A B -； （2）(0,5),(5,0)A B5、 根据下列条件求直线的方程，并画出图形：（1） 在x 轴上的截距是2，在y 轴上的截距是3；（2） 在x 轴上的截距是5-，在y 轴上的截距是6；6、 根据下列条件，求直线的方程：（1） 过点(0,5)，且在两坐标轴上的截距之和为2；（2） 过点(5,0)，且在两坐标轴上的截距之差为2；3.2.3直线的一般式方程1、把直线l 的一般式方程260x y -+=化成斜截式，求出直线l 的斜率以及它在两坐标轴上的截距。
2、根据下列条件，写出直线的方程，并把它化成一般式：（1）经过点(8,2)A -，斜率是12-； （2）经过点(4,2)B ，平行于x 轴；（3）经过点(3,2),(5,4)A B --；（4）在x 轴，y 轴上的截距分别是3,32-。
3、求下列直线的斜率以及在y 轴上的截距，并画出图形：（1）350x y +-=； （2）145x y -=； （3）20x y +=； （4）7640x y -+=4、已知直线l 的方程是0Ax By C ++=（1）当0B ≠时，直线l 的斜率是多少?当时呢？当0B =时呢？（2）系数A,B,C 取什么值时，方程0Ax By C ++=表示通过原点的直线？P1001、 写出满足下列条件的直线的方程：（1） 斜率是3，经过点(8,2)A -； （2） 经过点(2,0)A -，且与x 轴垂直；（3） 斜率是4-，在y 轴上的截距为7；（4） 经过点(1,8),(4,2)A B --；（5） 在y 轴上的截距为2，且与x 轴平行；（6） 在x 轴，y 轴上的截距分别是4,3-。
2、 判断(1,3),(5,7),(10,12)A B C 三点是否共线，并说明理由。
3、已知点A （7，-4），B （-5,6），求线段AB 的垂直平分线的方程.4、已知△ABC 的顶点A(8,5)，B （4，-2），C （-6,3）求经过两边AB 和AC 中点的直线的方程.5、一条直线经过点A （2，-3），并且它的斜率等于直线x y 31=的斜率的2倍，求这条直线的方程.9、求过点)3,2(P ,B 并且在两轴上的截距相等的直线方程.10、求满足下列条件的直线的方程：（1）经过点A （3,2），且与直线024=-+y x 平行；（2）经过点C(2,-3),且平行于过点M(1,2)和N(-1,-5)；（3）经过点B （3,0）,且与直线052=-+y x 垂直.11、一条光线从点P(6,4)射出，与x 轴相交于点Q （2,0），经x 轴反射，求入射光线和反射光线所在直线的方程.B 组1、 三角形的三个顶点是A （4,0），B(6,7),C （0,3）（1） 求BC 边上的高所在直线的方程；（2） 求BC 边上的中线所在的直线的方程；（3） 求BC 边的垂直平分线的方程.5、若直线l 沿x 轴向左平移3个单位，再沿y 轴向上平移1个单位后，回到原来的位置，试求直线l 的斜率.109P2、 已知两条直线m y x m l 354)3(:1-=++，8)5(2:2=++y m x l ，m 为何值时，21l l 和：（1）相交； （2）平行； （3）垂直.5、求满足下列条件的直线的方程：（1）经过两条直线01032=+-y x 和0243=-+y x 的交点，且垂直于直线0423=+-y x ;(2)经过两条直线082=-+y x 和012=+-y x 的交点，且平行于直线0734=--y x . 110p1、 三条直线082==+y ax ，1034=+y x ，102=-y x 相交于一点，求a 的值.4、 已知点A （-3，-4），B （6,3）到直线01:=++y ax l 的距离相等，求a 的值.9、已知△ABC 的顶点A(5,1),AB 边上的中线CM 所在直线方程为052=--y x ，AC 边上的高BH 所在直线方程为052=--y x .求：（1）顶点C 的坐标；（2）直线BC 的方程.115114-P1、 与直线0543=+-y x 关于x 轴对称的直线的方程为（ ）A 、0543=-+y xB 、0543=++y xC 、0543=+-y xD 、0543=--y x4、已知两条平行直线0623=-+y x 与0346=-+y x ，求与它们等距离的平行线的方程.8、过点P （3,0）有一条直线l ，它夹在两条直线022:1=--y x l 与03:2=++y x l 之间的线段恰被点P 平分，求直线l 的方程.100P3、已知点A （7，-4），B （-5,6），求线段AB 的垂直平分线的方程.4、已知△ABC 的顶点A(8,5)，B （4，-2），C （-6,3）求经过两边AB 和AC 中点的直线的方程.5、一条直线经过点A （2，-3），并且它的斜率等于直线x y 31=的斜率的2倍，求这条直线的方程.9、求过点)3,2(P ,B 并且在两轴上的截距相等的直线方程.10、求满足下列条件的直线的方程：（1）经过点A （3,2），且与直线024=-+y x 平行；（2）经过点C(2,-3),且平行于过点M(1,2)和N(-1,-5)；（3）经过点B （3,0）,且与直线052=-+y x 垂直.11、一条光线从点P(6,4)射出，与x 轴相交于点Q （2,0），经x 轴反射，求入射光线和反射光线所在直线的方程.B 组3、 三角形的三个顶点是A （4,0），B(6,7),C （0,3）（4） 求BC 边上的高所在直线的方程；（5） 求BC 边上的中线所在的直线的方程；（6） 求BC 边的垂直平分线的方程.5、若直线l 沿x 轴向左平移3个单位，再沿y 轴向上平移1个单位后，回到原来的位置，试求直线l 的斜率.109P4、 已知两条直线m y x m l 354)3(:1-=++，8)5(2:2=++y m x l ，m 为何值时，21l l 和：（1）相交； （2）平行； （3）垂直.5、求满足下列条件的直线的方程：（1）经过两条直线01032=+-y x 和0243=-+y x 的交点，且垂直于直线0423=+-y x ;(2)经过两条直线082=-+y x 和012=+-y x 的交点，且平行于直线0734=--y x . 110p2、 三条直线082==+y ax ，1034=+y x ，102=-y x 相交于一点，求a 的值.5、 已知点A （-3，-4），B （6,3）到直线01:=++y ax l 的距离相等，求a 的值.9、已知△ABC 的顶点A(5,1),AB 边上的中线CM 所在直线方程为052=--y x ，AC 边上的高BH 所在直线方程为052=--y x .求：（1）顶点C 的坐标；（2）直线BC 的方程.115114-P2、 与直线0543=+-y x 关于x 轴对称的直线的方程为（ ）A 、0543=-+y xB 、0543=++y xC 、0543=+-y xD 、0543=--y x4、已知两条平行直线0623=-+y x 与0346=-+y x ，求与它们等距离的平行线的方程.8、过点P （3,0）有一条直线l ，它夹在两条直线022:1=--y x l 与03:2=++y x l 之间的线段恰被点P 平分，求直线l 的方程.。