《1.2.1极坐标系的概念》同步练习1
极坐标运动学-概述说明以及解释
极坐标运动学-概述说明以及解释1.引言1.1 概述极坐标运动学是运动学的一个重要分支，它研究了极坐标系下物体的运动规律和运动属性。
极坐标系是一种常用的坐标系，它通过极径和极角来描述物体的位置。
相比直角坐标系，极坐标系在某些问题的描述上更加简洁和方便。
在极坐标系中，物体的位置由距离原点的极径和与一个参考方向之间的极角来表示。
通过极径和极角的变化，我们可以得到物体在极坐标系中的位置变化情况以及速度、加速度等相关参数的变化规律。
极坐标运动学正是研究这些问题的数学工具和方法。
本文将介绍极坐标运动学的基本概念和原理，并探讨其在实际应用中的重要性。
我们将首先对极坐标系进行简单介绍，包括其定义、基本属性和运动规律。
然后，我们将讨论极坐标运动学的基本概念，包括极坐标运动学方程和相关参数的表示方法。
接着，我们将详细探讨极坐标运动学在各个领域中的具体应用，如机械工程、天文学、物理学等。
最后，我们将展望极坐标运动学的发展趋势，并提出一些可能的研究方向和挑战。
通过对极坐标运动学的研究，我们可以更深入地了解物体在极坐标系中的运动规律和变化规律。
这对于许多领域的研究和应用都具有重要意义，能够为相关领域的工程设计、数据分析和问题解决提供理论支持和实践指导。
本文希望能够对读者对极坐标运动学有一个全面的了解，激发更多有关极坐标运动学的研究和探索。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将按照以下结构进行论述极坐标运动学的相关内容：1.2.1 简要介绍极坐标系概念：首先，我们将简单介绍什么是极坐标系以及它的基本特点。
通过引入极坐标系的概念，我们能够更好地理解接下来要讨论的极坐标运动学概念。
1.2.2 论述极坐标运动学的基本概念：在本节中，我们将详细讨论极坐标运动学的基本概念和相关理论。
包括描述极坐标下物体运动的方法、极坐标坐标系与直角坐标系的转换关系等。
通过深入理解这些基本概念，我们能够为后续的应用和发展提供更坚实的基础。
1.2.3 探讨极坐标运动学的应用：本节将介绍一些重要的极坐标运动学的应用场景。
人教新课标A版选修4-4数学1.2极坐标系同步检测同步测试
人教新课标A 版选修4-4数学1.2极坐标系同步检测同步测试共 25 题一、选择题1、极坐标系中，与点的距离为1且与极点距离最近的点的直角坐标为( )A. B.C.D.2、下列结论中不正确的是( )A. 与关于极轴对称B. 与关于极点对称C.与关于极轴对称D.与关于极点对称3、直角坐标系中，点的极坐标可以是（ ）A. B.C. D.4、已知定点，将极点O 移至 O'(,) 处，极轴方向不变，则点P 的新的极坐标为( )A. B.C.D.5、极坐标系中，集合表示的图形是( )A. 射线B. 直线C. 圆D. 半圆6、O 为极点， ，则( )A. 2B. 3C. 4D. 57、已知极坐标系中，极点为O ，若等边三角形ABC 顶点A,B,C 按顺时针方向排列,顶点A,B 的极坐标分别是，， 则顶点C 的极坐标为( )A. B.C. D.8、 若,， 则点与点的位置关系是( )A. 关于极轴所在直线对称B. 关于极点对称C. 关于过极点与极轴垂直的直线对称D. 重合9、已知点P 的坐标为 ， 则过点P 且垂直极轴的直线方程是( )A. B.C.D.10、圆的圆心坐标是( )A. B.C. D.二、填空题11、在极坐标系中，若过点(3，0)且与极轴垂直的直线交曲线于A、B两点，则 |AB| =________．12、直线的极坐标方程为________13、在直角坐标系xOy中,以O为极点,x正半轴为极轴建立极坐标系,且在两种坐标系中取相同的单位长度,将点P的极坐标化成直角坐标________14、在极坐标系中，已知两点 A,B 的极坐标分别为 ,，则△AOB（其中 O 为极点）的面积为________三、解答题15、已知点Q(ρ，θ)，分别按下列条件求出点P的极坐标．(1)点P是点Q关于极点O的对称点；(2)点P是点Q关于直线θ＝的对称点．16、已知定点(1)将极点移至处极轴方向不变，求P点的新坐标.(2)极点不变，将极轴顺时针转动角，求P点的新坐标.17、如果对点的极坐标定义如下：当已知时，点M关于极点O的对称点例如，关于极点O的对称点，就是说与表示同一点已知A点的极坐标是，分别在下列给定条件下，写出A点的极坐标：(1)(2)(3)18、边长为2的菱形ABCD，一个内角为60°，建立适当的极坐标系，求出菱形四个顶点的极坐标（限定）。
1.2.1极坐标系
实验楼 D
图书馆 C
120m
45
0
60 0
60m
A, B, C, D, E, F的极坐标分别为：
A 教学楼
B 体育馆
3 0,0, 60,0, 120 , , 60 3, , 50, . 3 2 4
练习： 1. 在极坐标系中，与点 (3, )重合 6 的点是( A ) 13 A.(3, ) B. (3, － 6 )
O
M
X
二、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
[1]给定极坐标（,）,就 可以在极坐标平面内确定 唯一的一点M。 [2]给定平面上一点M，却 有无数个极坐标与之对应。
P M O (ρ,θ)… X
原因在于：极角有无数个。
二、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
P
如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π
O
X
一、极坐标系的建立： 极坐标系内点的极坐标定义： 设M是平面内一点
①极点O与点M的距离︱OM︱叫做点M的极径，记为
②以极轴ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的 极角，记为. M 有序数对（，）叫做点M的极坐 标,记为M(，)
注：不作特殊说明时，我们认为 ≥0， 可取任意实数. 特别强调：表示线段OM的长度， 即点M到极点O的距离；表示从 OX到OM的角度，即以OX（极轴） 为始边，OM 为终边的角。
1.2.1
极坐标系
以321国道为X轴 以红星路为Y轴...
请问：去博物馆 怎么走？
情 境 引 入
以321国道为X轴 以红星路为Y轴...
脑子 进水了？
从这向西南 走2000米。
请问：去博物馆 怎么走？
请分析下面这句话，他告诉了问路人什么？
选修4-4《1.2.1极坐标系的的概念》知能提升演练
第二节 极坐标系一、选择题1．点P 的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为 ( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4D.⎝⎛⎭⎪⎫2，7π4解析 直接利用极坐标与直角坐标的互化公式． 答案 B2．已知A ，B 的极坐标分别是⎝⎛⎭⎪⎫3，π4和⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，π12，则A 和B 之间的距离等于( )． A.32＋62 B.32－62 C.36＋322 D.36－322解析 极坐标系中两点A (ρ1，θ1)，B (ρ2，θ2)的距离|AB |＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos （θ1－θ2）.答案 C3．在极坐标系中，已知点P ⎝⎛⎭⎪⎫2，23π，若P 的极角满足－π<θ<π，ρ∈R ，则下列点中与点P 重合的是 ( )．A.⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝⎛⎭⎪⎫2，43π，⎝⎛⎭⎪⎫－2，53πB.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83π，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，43π，⎝⎛⎭⎪⎫－2，53πC.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，43π，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，53π，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－43π D.⎝⎛⎭⎪⎫－2，－π3答案 D4．已知点M 的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫－2，－π6，它关于直线θ＝π2的对称点坐标是 ( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，11π6B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，7π6 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6 D.⎝⎛⎭⎪⎫－2，－11π6 解析 当ρ<0时，我们找它的极角应按反向延长线上去找．描点⎝⎛⎭⎪⎫－2，－π6时，先找到角－π6的终边．又因为ρ＝－2<0，所以再沿反向延长线上找到离极点2个单位的点即是点⎝⎛⎭⎪⎫－2，－π6.直线θ＝π2，就是由极角为π2的那些点的集合．故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－π6关于直线θ＝π2的对称点为M ′⎝⎛⎭⎪⎫2，π6，但是选择支没有这样的坐标．又因为M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6的坐标还可以写成M ′⎝⎛⎭⎪⎫－2，7π6，故选B.答案 B 二、填空题5．在极坐标系中，已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，34π，B ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，则A 、B 两点间的距离为________．解析 利用极坐标系中两点间距离公式． 答案56．已知点M 的直角坐标为(－3，－33)，若ρ>0，0≤θ<2π，则点M 的极坐标是________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，43π7．在极坐标系中，已知点P ⎝⎛⎭⎪⎫3，π3，则点P 在－2π≤θ<2π，ρ∈R 时的另外三种极坐标形式为__________． 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫3，－53π，⎝⎛⎭⎪⎫－3，43π，⎝⎛⎭⎪⎫－3，－23π8．极坐标系中，点A 的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫3，π6，则(1)点A 关于极轴对称的点是________； (2)点A 关于极点对称的点的极坐标是________；(3)点A 关于直线θ＝π2的对称点的极坐标是________．(规定ρ>0，θ∈[0，2π))解析 如图所示，在对称的过程中极径的长度始终没有变化，主要在于极角的变化．另外，我们要注意：极角是以x 轴正向为始边，按照逆时针方向得到的．答案 (1)⎝⎛⎭⎪⎫3，11π6 (2)⎝⎛⎭⎪⎫3，7π6 (3)⎝⎛⎭⎪⎫3，5π6 三、解答题9．(1)把点M 的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫－5，π6化成直角坐标；(2)把点N 的直角坐标(－3，－1)化成极坐标． 解 (1)x ＝－5cos π6＝－523，y ＝－5sin π6＝－52. ∴点M 的直角坐标是⎝⎛⎭⎪⎫－523，－52. (2)ρ＝（－3）2＋（－1）2＝2，tan θ＝－1－3＝33.又∵点N 在第三象限，ρ>0.∴最小正角θ＝76π. 故点N 的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫2，76π.10．已知A 、B 两点的极坐标分别是⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，5π6，求A 、B 两点间的距离和△AOB 的面积． 解 求两点间的距离可用如下公式： |AB |＝4＋16－2×2×4×cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－π3＝20＝2 5.S △AOB ＝12|ρ1ρ2sin(θ1－θ2)|＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2×4×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－π3＝12×2×4＝4.11．已知点Q (ρ，θ)，分别按下列条件求出点P 的极坐标． (1)点P 是点Q 关于极点O 的对称点； (2)点P 是点Q 关于直线θ＝π2的对称点．解 (1)由于P 、Q 关于极点对称，得它们的极径|OP |＝|OQ |，极角相差(2k ＋1)π(k ∈Z )．所以，点P 的极坐标为(ρ，(2k ＋1)π＋θ)或(－ρ，2k π＋θ)(k ∈Z )．(2)由P 、Q 关于直线θ＝π2对称，得它们的极径|OP |＝|OQ |，点P 的极角θ′满足θ′＝π－θ＋2k π(k ∈Z )，所以点P 的坐标为(ρ，(2k ＋1)π－θ)或(－ρ，2k π－θ)(k ∈Z )．。
高中新课程数学(新课标人教A版)选修4-4《1.2.1极坐标系的的概念》课件2
2 ＋ y2 x ρ ＝________
2
y tan θ ＝x（x≠0）
在一般情况下，由tan θ确定角时，可根据点M所在的象限
取最小正角．
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名师点睛
1．极坐标系的概念
极坐标系的建立有四个要素：①极点；②极轴；③长
度单位；④角度单位和它的正方向．四者缺一不可． 极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的位置． 2．点的极坐标：每一个有序实数对(ρ，θ)确定一个点的 位置．其中，ρ是点M的极径，θ是点M的极角． 平面上给定一点，可以写出这个点的无数多个极坐 标．根据点的极坐标(ρ，θ)的定义，对于给定的点 (ρ，θ)有无数个极坐标，可分为两类，一类为(ρ，θ＋
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(2)极坐标系内一点的极坐标的规定： 设M是平面内一点，极点O与点M的距离 极径 ，记为ρ；以极轴Ox |OM|叫做点M的_____
为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点
(ρ，θ) 叫做点M的极坐标，记 极角 ，记为θ.有序数对_________ M的_____ M(ρ，θ) 为___________ ．
极角θ在后，不能把顺序搞错了． (2)点的极坐标是不唯一的，但若限制ρ>0，0≤θ<2π，则除
极点外，点的极坐标是唯一确定的．
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【变式1】 写出下列各点的极坐标．
解
π A(4，0)，B1， 3
2 13 5 C3， π ，D4， π ，E2， π ， ， 3 12 4
对应关系？
定一点M；反过来，给定平面内一点M，它的极坐标却不是唯 一的．所以极坐标系所在平面内的点与极坐标不能建立一一 对应关系，这是极坐标系与平面直角坐标系的主要区别．
高中数学人教A版选修4-4同步作业与测评：1.2.1-2 极坐标系的概念、点的极坐标与直角坐标的互化
2．1 极坐标系的概念2．2 点的极坐标与直角坐标的互化一、极坐标系的概念 1．极坐标系的概念如图所示，在平面内取一个定点O ，叫做□01极点，从O 点引一条射线Ox ，叫做□02极轴，选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向)．这样就确定了一个□03平面极坐标系，简称□04极坐标系． 2．极坐标的概念对于平面内任意一点M ，用ρ表示□05线段OM 的长，θ表示□06以Ox 为始边、OM 为终边的角度，ρ叫做点M 的□07极径，θ叫做点M 的□08极角，有序实数对(□09ρ，θ)叫做点M 的□10极坐标，记作□11M (ρ，θ)． 特别地，当点M 在极点时，它的极径ρ＝□120，极角θ可以取□13任意值． 为研究方便，当ρ＜0时，点M (ρ，θ)的位置可以按下列规则确定：作射线OP ，使∠xOP ＝θ，在OP 的□14反向延长线上取一点M ，使|OM |＝|ρ|，这样点M 的坐标就是(ρ，θ)．3．点与极坐标的关系一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z )表示同一个点，特别地，极点O 的坐标为(0，θ)(θ∈R )．和点的直角坐标的唯一性不同，平面内一个点的极坐标有□15无数种表示． 如果规定ρ＞0，0≤θ＜2π，那么除□16极点外，平面内的点可用□17唯一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是□18唯一确定的． 二、点的极坐标和直角坐标的互化 1．互化的前提条件把直角坐标系的原点作为□01极点，x 轴的正半轴作为□02极轴，并在两种坐标系中取相同的□03长度单位，如图所示． 2．互化公式设M 是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：点M 直角坐标(x ，y ) 极坐标(ρ，θ) 互化公式 ⎩⎨⎧x ＝□04ρcos θ，y ＝□05ρsin θρ2＝□06x 2＋y 2 tan θ＝□07yx(x ≠0)在一般情况下，由tan θ确定角时，可根据点M 所在的象限取最小正角．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当ρ∈R ，θ∈R 时，平面上的点与这一点的极坐标是一一对应的．( )(2)在极坐标系中A 1，π4，B 1，9π4是同一点．( ) (3)点2，π6与点2，7π6关于极轴对称．( ) (4)点2，π4化成直角坐标为(2，2)．( )答案 (1)× 平面上的点的极坐标有无数个．如2，π3与2，7π3表示同一点． (2)√(3)× 点2，π6与点2，7π6关于极点对称． (4)√2．做一做(1)点M 的直角坐标为0，π2，则点M 的极坐标可以为( ) A ．π2，0 B ．0，π2 C ．π2，π2 D ．π2，－π2 答案 C解析 ∵ρ＝x 2＋y 2＝π2，且θ＝π2，∴点M 的极坐标可以为π2，π2． (2)在极坐标系中与点P 2，π3表示同一点的是( ) A ．－2，π3 B ．2，－π3 C ．－2，4π3 D ．－2，－π3 答案 C解析 在极坐标系中将点P 确定，再逐个验证知C 正确．(3)已知A ，B 两点的极坐标分别为6，π3和8，4π3，则线段AB 的中点的直角坐标为( )答案 －12，－32解析 把A ，B 两点的极坐标化为直角坐标分别是(3，33)，(－4，－43)．由直角坐标系的中点坐标公式得，线段AB 的中点的直角坐标为－12，－32．(4)若以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，点A 的极坐标是4，5π3，则它的直角坐标为________．答案 (2，－23)解析 因为x ＝ρcos θ＝4cos 5π3＝2，y ＝ρsin θ＝4sin 5π3＝－23，所以它的直角坐标为(2，－23)．(5)在极坐标系中A 2，π6，B 6，－π6，则OA ，OB 的夹角为________． 答案 π3解析 OA 与OB 的夹角∠AOB ＝π6－－π6＝π3．探究1 极坐标的概念例1 (1)已知点A 的极坐标是6，5π3，分别在下列给定条件下，画出点A 关于极点O 的对称点A ′的位置，并写出A ′的极坐标：①ρ＞0，－π＜θ≤π；②ρ＜0，0≤θ＜2π；③ρ＜0，－2π＜θ≤0； (2)已知点Q (ρ，θ)，求点Q 关于直线θ＝π2的对称点P 的极坐标． 解 (1)如图所示，|OA |＝|OA ′|＝6， ∠xOA ′＝2π3，∠xOA ＝5π3，即A 与A ′关于极点O 对称，由极坐标的定义知： ①当ρ＞0，－π＜θ≤π时，A ′点的坐标为6，2π3； ②当ρ＜0，0≤θ＜2π时，A ′点的坐标为－6，5π3； ③当ρ＜0，－2π＜θ≤0时，A ′点的坐标为－6，－π3． (2)由P ，Q 关于直线θ＝π2对称，得它们的极径|OP |＝|OQ |，点P 的极角θ′满足θ′＝π－θ＋2k π(k ∈Z )，所以点P 的坐标为(ρ，(2k ＋1)π－θ)或(－ρ，2k π－θ)(k ∈Z )．1．点的极坐标的特点设点M 的极坐标是(ρ，θ)，则M 点关于极点的对称点的极坐标是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；M 点关于极轴的对称点的极坐标是(ρ，－θ)；M 点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)．2．由极坐标确定点的位置的步骤 (1)取定极点O ；(2)作方向为水平向右的射线Ox 为极轴；(3)以极点O 为顶点，以极轴Ox 为始边，通常按逆时针方向旋转极轴Ox 确定出极角的终边；(4)以极点O 为圆心，以极径为半径画弧，弧与极角终边的交点即是所求点的位置．【跟踪训练1】 (1)在极坐标系中，画出点A 1，π4，B 2，3π2，C 3，－π4； (2)在极坐标系中，点A 的极坐标是3，π6，求点A 关于直线θ＝π2的对称点的极坐标(规定ρ>0，θ∈[0，2π])．解 (1)如图所示．(2)作出图形，可知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6关于直线θ＝π2的对称点是⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π6．探究2 极坐标与直角坐标的互化例2 (1)分别把下列点的极坐标化为直角坐标： ①⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6；②⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π2；③(π，π)． (2)分别把下列点的直角坐标化为极坐标(规定ρ≥0，0≤θ<2π)：①(0，0)；②(－1，－1)；③(－2，23)．解 (1)①∵x ＝ρcos θ＝2cos π6＝3，y ＝ρsin θ＝2sin π6＝1．∴点的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6化为直角坐标为(3，1)． ②∵x ＝ρcos θ＝3cos π2＝0，y ＝ρsin θ＝3sin π2＝3． ∴点的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π2化为直角坐标为(0，3)．③∵x ＝ρcos θ＝πcosπ＝－π，y ＝ρsin θ＝πsinπ＝0， ∴点的极坐标(π，π)化为直角坐标为(－π，0)．(2)①由于直角坐标原点(0，0)与极点重合，所以规定ρ≥0，0≤θ<2π时，其极坐标为(0，θ)．②∵ρ＝x 2＋y 2＝(－1)2＋(－1)2＝2，tan θ＝yx ＝1，θ∈[0，2π)．∵点(－1，－1)在第三象限，∴θ＝5π4．∴点的直角坐标(－1，－1)化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4．③∵ρ＝x 2＋y 2＝(－2)2＋(23)2＝4，tan θ＝yx ＝－3，θ∈[0，2π)．∵点(－2，23)在第二象限，∴θ＝2π3．∴点的直角坐标(－2，23)化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，2π3．(1)将点的极坐标(ρ，θ)化为点的直角坐标(x ，y )时，运用到求角θ的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键．(2)将点的直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)，当ρ≥0，θ∈[0，2π)时，除极点外点的极坐标是唯一的，此时由tan θ＝yx (x ≠0)求角θ时有两解，所以要根据点所在的象限求出角θ，通常称为主值角；当ρ≥0，θ∈R 时，点的极坐标是不唯一的，一般根据终边相同的角的意义将点的极坐标表示为(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z )．【跟踪训练2】 (1)把点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫8，2π3化成直角坐标；(2)把点P 的直角坐标(6，－2)化成极坐标(规定ρ>0，0≤θ<2π)． 解 (1)x ＝8cos 2π3＝－4，y ＝8sin 2π3＝43， 因此，点M 的直角坐标是(－4，43)． (2)ρ＝ (6)2＋(－2)2＝22，tan θ＝－26＝－33， 又因为点在第四象限，得θ＝11π6． 因此，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，11π6． 探究3 极坐标的应用例3 在极坐标系中，如果点A ，B 的极坐标分别为A 2，π4，B 2，5π4，且△ABC 为等腰直角三角形，求直角顶点C 的极坐标与该三角形的面积．解 解法一：(利用坐标转化)对于点A 2，π4，直角坐标为(2，2)，点B 2，5π4的直角坐标为(－2，－2)．设点C 的直角坐标为(x ，y )， 由题意得AC ⊥BC ， 且|AC |＝|BC |，∴AC →·BC→＝0，即(x －2，y －2)·(x ＋2，y ＋2)＝0， ∴(x －2)(x ＋2)＋(y －2)(y ＋2)＝0， ∴x 2＋y 2＝4．① 又|AC |2＝|BC |2，于是(x －2)2＋(y －2)2＝(x ＋2)2＋(y ＋2)2， 即y ＝－x ，代入①得x 2＝2，解得x ＝±2，∴⎩⎨⎧ x ＝2，y ＝－2或⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝2，∴点C 的直角坐标为(2，－2)或(－2，2)． ∴ρ＝2＋2＝2，tan θ＝－1，θ＝7π4或3π4， ∴点C 的极坐标为2，3π4或2，7π4． S △ABC ＝12|AC ||BC |＝12|AC |2＝12×8＝4．解法二：设点C 的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0，0≤θ＜2π)， ∵|AB |＝2|OA |＝4，∠C ＝π2，|AC |＝|BC |， ∴|AC |＝|BC |＝22，即⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＋22－2×2ρcos θ－π4＝8， ①ρ2＋22－2×2ρcos θ－5π4＝8， ②①＋②化简得ρ2＝4，由ρ＞0得ρ＝2， 代入①得cos θ－π4＝0，∴θ－π4＝π2＋k π，k ∈Z ，即θ＝3π4＋k π，k ∈Z ， 又0≤θ＜2π，令k ＝0，1，得θ＝3π4或7π4， ∴点C 的极坐标为2，3π4或2，7π4， S △ABC ＝12|AC ||BC |＝12|AC |2＝12×8＝4．1．本例综合考查了点的极坐标与直角坐标的互化公式以及等腰直角三角形的意义和性质．结合几何图形可知，点C 的坐标有两解，设出点的坐标寻求等量关系建立方程组求解是关键．2．坐标平面内两点间的距离公式(1)如果已知点的直角坐标A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2；(2)如果已知点的极坐标A (ρ1，θ1)，B (ρ2，θ2)，那么|AB |＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos (θ1－θ2)．【跟踪训练3】 在极坐标系中，点A 和点B 的极坐标分别为2，π3和(3，0)，O 为极点．(1)求|AB |；(2)求S △AOB ．解 解法一：|AB |＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos (θ1－θ2)＝22＋32－2×2×3×cos π3－0＝4＋9－6 ＝7．S △AOB ＝12|OA ||OB |sin ∠AOB ＝12×2×3×sin π3－0＝332．解法二：A ，B 的直角坐标为A (1，3)，B (3，0)， ∴|AB |＝(3－1)2＋(3－0)2＝7． S △AOB ＝12×3×3＝332．1．极坐标系的概念极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的位置．极坐标系的建立有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向．四者缺一不可． 2．点的极坐标每一个有序实数对(ρ，θ)确定一个点的位置，其中，ρ是点M 的极径，θ是点M 的极角．平面上给定一点，可以写出这个点的无数多个极坐标．如果限定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外，平面上的点就与它的极坐标构成一一对应的关系． 3．极坐标与直角坐标的互化事实上，任意角的三角函数的定义及其基本关系式是联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带．1．在极坐标系中，下列与点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，－11π6重合的点的极坐标是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫5，－π6B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫5，7π6C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫5，－5π6D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13π6答案 D解析 与点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，－11π6重合的点的极坐标可表示为5，π6＋2k π(k ∈Z )，故选D ．2．点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3关于极轴对称的点的极坐标不可能是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π3B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，11π3D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3答案 D解析 点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3关于极轴对称的点的极坐标为2，－π3＋2k π，k ∈Z ，故D不满足．3．点M (1，θ)(θ∈[0，π])的轨迹是( )A ．射线B ．直线C ．圆D ．半圆 答案 D解析 因为点M (1，θ)满足ρ＝|OM |＝1，θ∈[0，π]，所以点M 的轨迹是以极点为圆心，半径为1的圆的上半部分，即半圆．4．点A 的极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，7π6，则点A 的直角坐标为( )A ．(－1，－3)B ．(－3，－1)C ．(3，1)D ．(3，－1) 答案 C解析 点A 的极坐标是－2，7π6，即2，π6．所以x ＝2cos π6＝3，y ＝2sin π6＝1，∴点A 的直角坐标为(3，1)．5．直线l 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，则直线l 与极轴的夹角等于________．答案 π4解析 如图所示，先在图形中找到直线l 与极轴的夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A ，B 的位置分析夹角大小．因为|AO |＝|BO |＝3， ∠AOB ＝π3－π6＝π6，所以∠OAB ＝π－π62＝5π12． 所以∠ACO ＝π－π3－5π12＝π4．A 级：基础巩固练一、选择题1．极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2π3对应的点在以极点为坐标原点，极轴为横轴的直角坐标系的( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 B解析 由题意可得ρ＝1，θ＝2π3， ∴x ＝ρcos θ＝－12，y ＝ρsin θ＝32，故它的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32在第二象限，故选B ．2．已知点A ，B 的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3和⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6，则A 和B 之间的距离为( )A ． 3B ．2 3C ．3D ．1 答案 A解析 由已知得|OA |＝3，|OB |＝23，∠AOB ＝π6，所以|AB |＝ 32＋(23)2－2×3×23cos π6＝3．3．点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4关于极点O 对称的点的一个极坐标是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，3π4B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，5π4C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，7π4D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－7π4答案 B解析 与点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4关于极点对称的点的极坐标可表示为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，5π4＋2k π(k ∈Z )，故选B ．4．若ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，则点M 1(ρ1，θ1)与点M 2(ρ2，θ2)的位置关系是( ) A ．关于极轴所在直线对称 B ．关于极点对称C ．关于过极点垂直于极轴的直线对称D ．两点重合 答案 A解析 因为点(ρ，θ)关于极轴所在直线对称的点为(－ρ，π－θ)．由此可知点(ρ1，θ1)和(ρ2，θ2)满足ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，是关于极轴所在直线对称．5．已知点M 的极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－π6，它关于直线θ＝π2的对称点坐标是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，11π6B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，7π6C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－11π6 答案 B解析 当ρ<0时，我们找它的极角应在反向延长线上去找．描点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－π6时，先找到角－π6的终边．又因为ρ＝－2<0，所以再沿反向延长线上找到离极点2个单位的点即点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－π6．直线θ＝π2，就是极角为π2的那些点的集合．故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－π6关于直线θ＝π2的对称点为M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，但是选项中没有这样的坐标．又因为M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6的坐标还可以写成M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，7π6，故选B ．6．在极坐标系中，已知△OAB 的顶点A 的极坐标为(2，π)，AB 边的中点D 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，5π4．若以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则顶点B 的直角坐标为( )A ．(32，42)B ．(－32，42)C ．(－32，－42)D ．(32，－42) 答案 C解析 设顶点B 的直角坐标为(x 0，y 0)．把A ，D 两点的极坐标化为直角坐标，得A (－2，0)，D (－22，－22)，则由中点坐标公式得－2＋x 02＝－22，0＋y 02＝－22，解得x 0＝－32，y 0＝－42，故顶点B 的直角坐标为(－32，－42)．二、填空题7．限定ρ>0，0≤θ<2π时，若点M 的极坐标与直角坐标相同，则点M 的直角坐标为________．答案 (ρ，0)解析 点M 的极坐标为(ρ，θ)，设其直角坐标为(x ，y )，依题意得ρ＝x ，θ＝y ，即x 2＋y 2＝x 2．∴y ＝θ＝0，ρ>0，∴M (ρ，0)．8．已知极坐标系中，极点为O ，0≤θ<2π，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，在直线OM 上与点M的距离为4的点的极坐标为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫7，π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫1，4π3解析 如图所示，|OM |＝3，∠xOM ＝π3，在直线OM 上取点P ，Q ，使|OP |＝7，|OQ |＝1，∠xOP ＝π3，∠xOQ ＝4π3，显然有|PM |＝|OP |－|OM |＝7－3＝4，|QM |＝|OM |＋|OQ |＝3＋1＝4．9．已知点P 在第三象限的角平分线上，且到横轴的距离为2，则当ρ>0，θ∈[0，2π)时，点P 的极坐标为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，5π4解析 ∵点P (x ，y )在第三象限的角平分线上，且到横轴的距离为2， ∴x ＝－2，且y ＝－2， ∴ρ＝x 2＋y 2＝22，又tan θ＝yx ＝1，且θ∈[0，2π)， ∴θ＝5π4．因此，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，5π4．三、解答题10．在极轴上求与点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4的距离为5的点M 的坐标．解 设M (r ，0)， 因为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4，所以(42)2＋r 2－82r ·cos π4＝5．即r 2－8r ＋7＝0．解得r ＝1或r ＝7．所以M 点的极坐标为(1，0)或(7，0)．B 级：能力提升练1．(1)已知点的极坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2π3，C 2，－3π4，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，11π6，求它们的直角坐标；(2)已知点的直角坐标分别为A (3，3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－53，C (－1，－3)，求它们的极坐标(ρ≥0，0≤θ<2π)．解 (1)根据x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，532，B －12，32，C (－2，－2)，D (23，－2)．(2)根据ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x 得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6，B 53，3π2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π3．2．△ABC 的顶点的极坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，4π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，5π6，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，7π6．(1)判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积．解 ∠AOB ＝4π3－5π6＝π2，∠BOC ＝7π6－5π6＝π3， ∠COA ＝4π3－7π6＝π6(O 为极点)．(1)|AB |＝|OA |2＋|OB |2＝42＋62＝213． |BC |＝|OB |2＋|OC |2－2|OB ||OC |cos ∠BOC ＝213，|AC |＝|OA |2＋|OC |2－2|OA ||OC |cos ∠AOC ＝45－23．因为|AB |＝|BC |，所以△ABC 是等腰三角形． (2)S △AOB ＝12|OA ||OB |＝12，S △BOC ＝12|OB ||OC |sin ∠BOC ＝123， S △COA ＝12|OC ||OA |sin ∠COA ＝8．所以S△ABC ＝S△BOC＋S△COA－S△AOB＝123－4．由Ruize收集整理。
高中数学第1讲坐标系1.2极坐标系1.2.3_1.2.5同步精练北师大版选修4_4201710233 (2)
1.2 极坐标系直线和圆的极坐标方程曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化圆锥曲线统一的极坐标方程1极坐标方程πcos4表示的曲线是()．A．双曲线B．椭圆C．抛物线D．圆π2过A 且平行于极轴的直线的极坐标方程是()．2,4A．ρsin θ＝2B．ρsin θ＝2C．ρcos θ＝2D．ρcos θ＝23化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为()．A．x2＋y2＝0或y＝1 B．x＝1C．x2＋y2＝0或x＝1 D．y＝14圆心在点(－1,1)处，且过原点的圆的极坐标方程是()．A．ρ＝2(sin θ－cos θ) B．ρ＝2(cos θ－sin θ)C．ρ＝2sin θD．ρ＝2cos θ5过极点O作圆C：ρ＝8cos θ的弦ON，则ON的中点M的轨迹方程是__________．6已知双曲线的极坐标方程为312cos，过极点作直线与它交于A，B两点，且|AB|＝6，求直线AB的极坐标方程．7已知在△ABC中，AB＝6，AC＝4，当∠A变化时，求∠A的平分线与BC的中垂线的交点P 的轨迹方程．1参考答案1答案：D＝coscos cos ＋sin sincos ＋sin ，∴ρ2＝π π π 22 44 4 222 2222ρcos θ＋ρsin θ，即 x 2＋y 2＝xy . 2222222 1 化简整理，得，表示圆．x y= 44 42答案：A 如图所示，设 M (ρ，θ)(ρ≥0)是直线上任意一点，过 M 作 MH ⊥x 轴于 H ，π∵A2,，4π ∴|MH |＝2sin = 24.在 Rt △OMH 中，|MH |＝|OM |sin θ，即 ρsin θ＝ 2 ，π∴过A2, 且平行于极轴的直线方程为 ρsin θ＝ 2 . 43答案：C ρ2cos θ－ρ＝0⇒ρ(ρcos θ－1)＝0， 得 ρ＝0或 ρcos θ－1＝0，即 x 2＋y 2＝0或 x ＝1. 4答案：A 如图所示，圆的半径为1212 = 2 ，∴圆的直角坐标方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2，即 x 2＋y 2＝－2(x －y )，化为极坐标方程，得 ρ2＝－2(ρcos θ－ρsin θ)，即 ρ＝2(sin θ－cos θ)．5 答案：ρ＝4cos θ方法一：如图，圆C的圆心为C(4,0)，半径为|OC|＝4，连接CM. ∵M为弦ON的中点，∴CM⊥ON，故M在以OC为直径的圆上．2∴点 M 的轨迹方程是 ρ＝4cos θ.方法二：设 M 点的坐标是(ρ，θ)，N (ρ1，θ1)． ∵N 点在圆 ρ＝8cos θ 上，∴ρ1＝8cos θ1，①2,1∵M 是 ON 的中点，∴.1将它代入①式得 2ρ＝8cos θ，故点 M 的轨迹方程是 ρ＝4cos θ.6 答案：解：设直线 AB 的极坐标方程为 θ＝θ1，A (ρ1，θ1)，B (ρ2，θ1＋π)．则3 =，11 2cos133 == 21 2cos π12cos11.|AB |＝|ρ1＋ρ2|＝3 3 1 2cos 12cos11=61 4cos2 1 ＝6，1 ∴1 4cos2 12 . 2＝±1.∴cos θ1＝0或 cos θ1＝故直线 AB 的极坐标方程为或 = π 或 = 3π=. π 2447 答案：解：取 A 为极点，AB 所在射线为极轴，建立极坐标系，∵AP 平分∠BAC ，MP 为 BC 的中垂线，∴PB ＝PC . π π设 P (ρ，θ)，(ρ＞0，2＝AP 2＋AC 2－2AP ·AC ·cos θ＝ρ2<且 θ≠0)，则 PC2 2＋16－8ρcos θ，PB2＝AP2＋AB2－2AP·AB cos θ＝ρ2＋36－12ρcos θ，∴ρ2＋16－8ρcos θ＝ρ2＋36－12ρcos θ.ππ即ρcos θ＝5(ρ＞0，<且θ≠0)．22ππ∴点P的轨迹方程为ρcos θ＝5(ρ＞0，<且θ≠0)．223。
高中数学人教A版选修(4-4)1.2 同步练习 极坐标和直角坐标的互化(人教A版).doc
同步练习
赵县实验中学赵连霞
1．点P的直角坐标为(－，)，那么它的极坐标可表示为()．
A.B.C.D.
2．已知A，B的极坐标分别是和，则A和B之间的距离等于
()．
A.B.
C.D.
3.已知点M的极坐标是，它关于直线θ＝的对称点坐标是()．
A.B.
C.D.
4.已知点M的直角坐标为(－3，－3)，若ρ>0，0≤θ<2π，则点M的极坐标是________．
答案 B
4.答案
5.x＝－5cos＝－，y＝－5sin＝－.
∴点M的直角坐标是.
6..ρ＝＝2，tanθ＝＝.
又∵点N在第三象限，ρ>0.∴最小正角θ＝π.
故点N的极坐标是.
7.
8.解 求两点间的距离可用如下公式：
|AB|＝＝＝2.
S△AOB＝|ρ1ρ2sin(θ1－θ2)|＝＝×2×4＝4.
5.把点M的极坐标化成直角坐标；
6.把点N的直角坐标(－，－1)化成极坐标．
7.把点N的直角坐标(1，－1)化成极坐标
8.已知A、B两点的极坐标分别是，，求A、B两点间的距离和△AOB的面积．
答案和解析
1.解析 直接利用极坐标与直角坐标的互化公式．
答案 B
2.解析 极坐标系中两点A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ2)的距离|AB|＝
.
答案 C
3.解析 当ρ<0时，我们找它的极角应按反向延长
线上去找．描点时，先找到角－的
终边．又因为ρ＝－2<0，所以再沿反向延长线上
找到离极点2个单位的点即是点.
直线θ＝，就是由极角为的那些点的集合．
故M关于直线θ＝的对称点为M′，但是选择支没有这
【北师大版】选修4-4数学：第2章《极坐标系的概念》学案(含答案)
§2 极坐标系 2.1 极坐标系的概念2.2 点的极坐标与直角坐标的互化1．掌握极坐标的概念，弄清极坐标的结构(建立极坐标的四要素)．2．理解广义极坐标下点的极坐标(ρ，θ)与点之间的多对一的对应关系．3．已知一点的极坐标，能在极坐标系中描点，能进行点的极坐标与直角坐标的互化．1．极坐标系的概念 (1)极坐标系的建立．如图，在平面内取一个定点O ，叫作____，从点O 引一条射线Ox ，叫作____，选定一个________和__的正方向(通常取逆时针方向)．这样就确定了一个平面极坐标系，简称为________．(2)点的极坐标的规定．①如图，对于平面内任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长，θ表示以Ox 为始边、OM 为终边的角，ρ叫作点M 的____，θ叫作点M 的____，有序实数对(ρ，θ)叫作点M 的______，记作M ______.当点M 在极点时，它的极径ρ＝__，极角θ可以取______．②为了研究问题方便，极径ρ也允许取负值．当ρ＜0时，点M (ρ，θ)的位置可以按下列规则确定：作射线OP ，使∠xOP ＝θ，在OP 的__________上取一点M ，使|OM |＝|ρ|，这样点M 的坐标就是(ρ，θ)，如下图：【做一做1－1】在极坐标系中，与点π36⎛⎫ ⎪⎝⎭，重合的点是( )． A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3，136π B ．⎝⎛⎭⎪⎫3，－π6C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3，176πD ．⎝⎛⎭⎪⎫3，－56π【做一做1－2】在极坐标系中，与(ρ，θ)关于极轴对称的点是( )．A ．(ρ，θ)B ．(ρ，－θ)C ．(ρ，θ＋π)D ．(ρ，π－θ) 2．点的极坐标与直角坐标的互化 (1)互化的前提条件．如图，建立一个平面直角坐标系，把平面直角坐标系的原点作为____，x 轴的正半轴作为____，建立极坐标系，并且两种坐标系中取相同的________．(2)互化公式．如上图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)．如果限定ρ取正值，θ∈[0,2π)，那么除____外，平面内点的直角坐标与极坐标之间就是一一对应的．①点M 的极坐标(ρ，θ)化为直角坐标(x ，y )的公式是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ ，y ＝ .②点M 的直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)的公式是⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝ ，tan θ＝ .【做一做2－1】点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫5，23π，化成直角坐标形式是__________．【做一做2－2】点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－2，－π3，化成直角坐标形式是__________． 【做一做2－3】点P 的直角坐标为(6，2)，化成极径是正值，极角在0到2π之间的极坐标为__________．1．建立极坐标系的意义 剖析：我们已经知道，确定平面内一个点的位置时，有时是依靠水平距离与垂直距离(即“长度”与“长度”，这就是直角坐标系的基本思想)这两个量来刻画，有时却是依靠距离与方位角(即“长度”与“角度”，这就是极坐标系的基本思想)这两个量来刻画．在生活中，如在台风预报、地震预报、测量、航空、航海中，甚至更贴近我们生活的如我们听到的声音，不但有高低之分，还有方向之分，我们能够辨别出声源的相对位置，这些都要用距离和方向来确定一点的位置．有些复杂的曲线，比如说环绕一点作旋转运动的点的轨迹，用直角坐标表示，形式极其复杂，但用极坐标表示，就变得十分简单且便于处理．在应用上有重要价值的等速螺线，它的直角坐标x 与y 之间的关系很难确定，可是它的极坐标ρ与θ却有一个简单的一次函数关系，我们将在后一节的内容中学习极坐标形式下的一些简单曲线方程．总之，使用极坐标是人们生产生活的需要．平面内建立直角坐标系是人们公认的最容易接受并且被经常采用的方法，但它并不是确定点的位置的唯一方法．2．极坐标系下点与它的极坐标对应情况剖析：(1)给定点(ρ，θ)，就可以在极坐标平面内确定唯一的一个点M ；(2)给定平面上一点M ，却有无数个极坐标与之对应．原因在于极角有无数个．答案：1．(1)极点 极轴 单位长度 角 极坐标系(2)①极径 极角 极坐标 (ρ，θ) 0 任意值 ②反向延长线【做一做1－1】A 当k ∈Z 时，(ρ，θ)，(ρ，θ＋2k π)，(－ρ，θ＋(2k ＋1)π)表示同一个点．因为13π6＝π6＋2π，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6与⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13π6表示同一个点，即重合． 【做一做1－2】B 极径为ρ，极角为θ，θ关于极轴对称的角为负角－θ，故所求的点为(ρ，－θ)．2．(1)极点 极轴 单位长度 (2)原点 ①ρcos θ ρsin θ ②x 2＋y 2y x(x ≠0) 【做一做2－1】⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，532 x ＝5cos 23π＝－52，y ＝5sin 23π＝532.所以点M 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，532.【做一做2－2】(－1，3) 因为点A 的极坐标又可以写成⎝⎛⎭⎪⎫2，2π3，所以x ＝ρcos θ＝2cos 2π3＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1， y ＝ρsin θ＝2sin2π3＝2×32＝ 3. 所以点A 的直角坐标为(－1，3)．【做一做2－3】⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π6 ρ＝62＋22＝22，tan θ＝26＝33，又点P 在第一象限，得θ＝π6，因此点P 的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫22，π6.题型一 极坐标系中点的表示【例1】已知点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫5，π3，下列给出的四个坐标中能表示点M 的坐标的是( )．A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫5，－π3B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫5，43πC ．⎝ ⎛⎭⎪⎫5，－23πD ．⎝⎛⎭⎪⎫5，－53π 反思：在极坐标系中，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z )表示同一个点．特别注意，极点O 的坐标为(0，θ)(其中θ可以取任意值)．这与直角坐标系中的点与有序实数对一一对应的关系不同，极坐标平面内的点的极坐标可以有无数多种表示．题型二 对称性问题【例2】在极坐标系中，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，π6.(限定ρ＞0，0≤θ＜2π)(1)点A 关于极轴对称的点的极坐标是__________； (2)点A 关于极点对称的点的极坐标是__________；(3)点A 关于直线θ＝π2对称的点的极坐标是__________．反思：在极坐标系中，点(ρ，θ)关于极轴所在直线对称的点的极坐标为(ρ，2k π－θ)(k ∈Z )，关于直线θ＝π2对称的点的极坐标为(ρ，2k π＋π－θ)(k ∈Z )，关于极点对称的点的极坐标为(ρ，θ＋π＋2k π)(k ∈Z )．题型三 点的极坐标与直角坐标的互化【例3】(1)把点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫8，2π3化成直角坐标；(2)把点P 的直角坐标(6，－2)化成极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)．分析：本题考查的是直角坐标与极坐标的互化公式的应用．反思：由直角坐标化成极坐标时，算出tan θ＝－33，仅根据0≤θ＜2π，只能得出θ＝5π6或θ＝11π6，要确定极角，需再根据点所在的象限来判断．答案：【例1】D 与点M 终边相同的极坐标可以表示为⎝⎛⎭⎪⎫5，2k π＋π3(k ∈Z )，即极径相等，极角相差2π的整数倍．根据选项，当k ＝－1时，2k π＋π3＝－2π＋π3＝－53π，即⎝ ⎛⎭⎪⎫5，－53π能表示点M . 【例2】(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫3，11π6 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π6 (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π6 通过作图可求解．【例3】解：(1)x ＝8cos 2π3＝－4，y ＝8sin 2π3＝43，因此点M 的直角坐标是(－4,43)．(2)ρ＝62＋－22＝22，tan θ＝－26＝－33，又因为点P 在第四象限，故θ＝11π6.因此点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，11π6. 1在极坐标系中与点A(3，π3-)关于极轴所在的直线对称的点的极坐标是( )． A ．2π33⎛⎫ ⎪⎝⎭， B ．π33⎛⎫ ⎪⎝⎭， C ．4π33⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．5π36⎛⎫ ⎪⎝⎭，2在极坐标系中，确定点π26M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，的位置，下面方法正确的是( )．A ．作射线OP ，使π6xOP ∠=，再在射线OP 上取点M ，使|OM |＝2B ．作射线OP ，使π6xOP ∠=，再在射线OP 的反向延长线上取点M ，使|OM |＝2 C ．作射线OP ，使7π6xOP ∠=，再在射线OP 的反向延长线上取点M ，使|OM |＝2D ．作射线OP ，使π6xOP ∠=-，再在射线OP 上取点M ，使|OM |＝23点M 的极坐标为π4,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，化为直角坐标为__________．4将下列各点由直角坐标化为极径ρ是正值，极角在0到2π之间的极坐标．(1)；(2)(2--，．答案： 1．B 极坐标系中的点(ρ，θ)关于极轴所在直线的对称点的极坐标为(ρ，2k π－θ)(k ∈Z )，利用这个规律即可判断之．与点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－π3关于极轴所在直线的对称的点的极坐标可以表示为⎝⎛⎭⎪⎫3，2k π＋π3(k ∈Z )，这时只有选项B 满足条件．2．B 本题涉及到极径为负值时的坐标表示．当ρ＜0时，表示点(ρ，θ)的方法如下：作射线OP ，使∠xOP ＝θ.在OP 反向延长线上取一点M ，使|OM |＝|ρ|，故B 项正确．3．(22，－22) x ＝ρcos θ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝4×22＝22， y ＝ρsin θ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－22，∴M (22，－22)． 4．解：(1)ρ＝32＋32＝23，tan θ＝yx ＝33， 又点(3，3)在第一象限，所以θ＝π6.所以点(3，3)的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6. (2)ρ＝－2＋－232＝4，tan θ＝y x ＝－23－2＝3，又点(－2，－23)在第三象限，所以θ＝4π3.所以点(－2，－23)的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，4π3.。
黑龙江省齐齐哈尔市高中数学第一讲坐标系1.2.1极坐标系领学案无答案新人教A版选修4_4
1.2.1极坐标系学习 目标 1．理解极坐标的概念，2.会极坐标的简单应用3.会极坐标与直角坐标互换重点 难点重点：极坐标的概念；极坐标和直角坐标的互化 难点：极坐标的概念；【相关知识点回顾】 平面直角坐标系问题1：平面直角坐标系的本质：确定平面内点的位置.问题2：定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条______构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系. 问题3： 平面直角坐标系内点的坐标：对于平面内任意一点M ，过点M 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足在x 轴、y 轴上的对应点,a b 分别叫做点M 的横坐标、纵坐标，有序实数对_____叫做点M 的坐标。
（实质就是两条直线交于一点）问题4： 平面直角坐标系内点与坐标的关系：在平面直角坐标系中，对于平面上的任意一点，都有_____的一个有序数对（坐标）与它对应；反过来，对于任意一个有序数对（坐标），都有平面上_______的一点与它对应。
即：在平面直角坐标系中，平面上的点与有序对（坐标）__________. 问题5：平面直角坐标系中，点的对称特征： 已知点(,)P m n ,关于x 轴的对称点坐标是(,)P '; 已知点(,)P m n ,关于y 轴的对称点坐标是(,)P ''; 已知点(,)P m n ,关于原点的对称点坐标是(,)P '''; 【预学能掌握的内容】阅读教材P 8～P 10内容，完成下列问题. 一、极坐标定义 （一）极坐标的基本思想 问题6:(完成P 9思考)如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。
（1） 他向东偏北60°方向走120m 后到达什么位置？该位置唯一确定吗？办公楼E实验楼DC 图书馆B 体育馆A 教学楼60m50m120m 6045（2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？像问题6这样，以A 为______，射线AB 为__________，利用与A 的距离、与AB 所成的角，就可以刻画平面上点的位置.这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想 （二）极坐标系的建立1.极坐标系的建立方法：在平面内取一个定点O ，叫做 ；自 O 引一条射线Ox ，叫做 ；再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取______方向），这样就建立了一个极坐标系.2.极坐标系中点的坐标：设M 是平面内任意一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的 ，记为___；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角∠xOM 叫做点M 的 ，记为θ.有序数对_______就叫做M 的极坐标.一般地, 我们认为0ρ≥,θ为任意实数.特别地，极点的极坐标为 .【探究点一】极坐标 〖典例解析〗例1．（1）写出右图中各点的极坐标：（2）回答下面的问题①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由什么因素引起的？〖课堂小结〗在极坐标系中点与它的极坐标的对应关系:（1）已知极坐标),(θρ,在平面上可以确定 点M .（2）给定平面上一点M ，却有无数个极坐标，点M 的极坐标统一的表达式为 ．),(θρM●ρθOx（3）如果规定0>ρ，)2,0[πθ∈，那么除极点外，极坐标系中的点与极坐标是 对应． 〖课堂检测〗练习1. 在极坐标系里描出下列各点：(3,0)A ，(6,2)B π，(3,)2C π，4(5,)3D π，5(3,)6E π，(4,)F π，5(6,)3G π.【探究点二】极坐标的应用 〖典例解析〗 例2．在极坐标系中， （1）已知两点 (5,)4P π,(1,)4Q π，求线段PQ 的长度；（2）已知两点 5(5,)4P π,(1,)4Q π，求线段PQ 的长度； （3）已知两点 5(5,)4P π,19(1,)12Q π，求线段PQ 的长度.〖课堂检测〗练习2.在极坐标系中，已知两点11(2,)12P π和(3,)4Q π-. （1）求线段PQ 的距离；（2）求POQ 的面积.aOCBAx1.如图，写出极坐标系中的边长为a 正方形OABC 的三个顶点A 、B 、C 的坐标:A （ ）；B （ ）；C （ ）.2.取直角坐标系的原点为极点，x 轴为正半轴为极轴，则点)3,1(--M 的极坐标为 ( ) A.(2,)3π-B.2(2,)3π C.)34,2(π D.(2,)3π3.点M 的极坐标是)32,5(π,则点M 的直角坐标为 . 4.在极坐标系中，与点(8,)6π关于极点对称的点的一个坐标是 ( )A.(8,)6π-B.5(8,)6π- C.5(8,)6π D.2(8,)3π5．两点(2,)3M π，4(5,)3N π之间的距离是 （ ）A.3B.4C.7D.8 6. 已知三点(5,)2A π，5(8,)6B π，7(3,)6C π，则ABC ∆形状为 （ ）A.直角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形7. 在极坐标系中，已知两点(3,)3A π，(4)6B π-，，求：||AB 的长及三角形OAB 的面积.8.在极坐标系中,已知三点)6,32(),0,2(),3,2(ππ-P N M ，则P N M ,,三点是否线.9. 在极坐标系中，极轴上的点P 和)4,24(πA 的距离为5，求点P 的极坐标.。
北师大版高中数学选修4-4同步精练：第一章2.1极坐标系的概念2.2点的极坐标与直角坐标的互化
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作极坐标系的概念、点的极坐标与直角坐标的互化练习1点P的直角坐标为(2,2)-，那么它的极坐标可表示为( )．A．π2,4⎛⎫⎪⎝⎭B．3π2,4⎛⎫⎪⎝⎭C．5π2,4⎛⎫⎪⎝⎭D．7π2,4⎛⎫⎪⎝⎭2在极坐标系中，与点π8,6⎛⎫-⎪⎝⎭关于极点对称的点的一个坐标是( )．A．π8,6⎛⎫⎪⎝⎭B．58,π6⎛⎫-⎪⎝⎭C．58,π6⎛⎫-⎪⎝⎭D．π8,6⎛⎫--⎪⎝⎭3在极坐标系中，若等边△ABC的两个顶点是Aπ2,4⎛⎫⎪⎝⎭，B5π2,4⎛⎫⎪⎝⎭，那么可能是顶点C的坐标的是( )．A．3π4,4⎛⎫⎪⎝⎭B．3π23,4⎛⎫⎪⎝⎭C．(23,π) D．(3，π)4在极坐标系中，极坐标52,π4⎛⎫⎪⎝⎭化为直角坐标为( )．A．(1,1) B．(－1,1) C．(1，－1) D．(－1，－1)5直线l过点Aπ7,3⎛⎫⎪⎝⎭，Bπ7,6⎛⎫⎪⎝⎭，则直线l与极轴所在直线的夹角等于________．6点Aπ5,3⎛⎫⎪⎝⎭在条件：(1)ρ＞0，θ∈(－2π，0)下的极坐标是__________；(2)ρ＜0，θ∈(2π，4π)下的极坐标是__________．7将下列极坐标化成直角坐标．(1)π2,4⎛⎫ ⎪⎝⎭；(2)π6,3⎛⎫-⎪⎝⎭；(3)(5，π)．8已知极点在点(2，－2)处，极轴方向与x轴正方向相同的极坐标系中，点M的极坐标为π4,6⎛⎫⎪⎝⎭，求点M在直角坐标系中的坐标．参考答案1 答案：B ρ＝2222(-)+()＝2，tan θ＝22-＝－1， ∵点P 在第二象限，∴最小正角3π=4θ. 2 答案：A 点(ρ，θ)关于极点对称的点为(ρ，π＋θ)， 故π8,6⎛⎫- ⎪⎝⎭关于极点对称的点的一个坐标为78,π6⎛⎫- ⎪⎝⎭，即π8,6⎛⎫ ⎪⎝⎭. 3答案：B 如图，由题设，可知A ，B 两点关于极点O 对称，即O 是AB 的中点．又|AB |＝4，△ABC 为正三角形，∴|OC |＝23，∠AOC ＝π2，点C 的极角ππ3π==424θ+或5ππ7π=424+， 即点C 的极坐标为3π23,4⎛⎫ ⎪⎝⎭或7π23,4⎛⎫ ⎪⎝⎭. 4答案：D x ＝ρcos θ＝522sin π=2=142⎛⎫⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭， y ＝ρsin θ＝522sin π=2=142⎛⎫⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭， 故所求直角坐标为(－1，－1)．5答案：π4如图所示，先在图形中找到直线l 与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A ，B 的位置分析夹角大小．因为|AO |＝|BO |＝7，∠AOB ＝πππ=366-，所以ππ5π6==212OAB -∠. 所以π5ππ=π=3124ACO ∠--. 6 答案：(1)55,π3⎛⎫- ⎪⎝⎭ (2)105,π3⎛⎫- ⎪⎝⎭ (1)当ρ＞0时，点A 的极坐标形式为π5,2π+3k ⎛⎫ ⎪⎝⎭(k ∈Z )， ∵θ∈(－2π，0)．令k ＝－1，点A 的极坐标为55,π3⎛⎫- ⎪⎝⎭，符合题意． (2)当ρ＜0时，π5,3⎛⎫ ⎪⎝⎭的极坐标的一般形式是π5,21π+3k ⎛⎫-(+) ⎪⎝⎭(k ∈Z )． ∵θ∈(2π，4π)，当k ＝1时，点A 的极坐标为105,π3⎛⎫- ⎪⎝⎭，符合题意． 7 答案：解：(1)π=2cos =14x ⋅，π=2sin =14y ⋅， 所以点π2,4⎛⎫ ⎪⎝⎭的直角坐标为(1,1)． (2)x ＝6·πcos 3⎛⎫- ⎪⎝⎭＝3， y ＝6·πsin =333⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 所以点π6,3⎛⎫- ⎪⎝⎭的直角坐标为(3，33-)． (3)x ＝5·cos π＝－5，y ＝5·sin π＝0， 所以点(5，π)的直角坐标为(－5,0)．8 答案：解：设M (x ，y )，则x －2＝ρcos θ＝π4cos =236， ∴x ＝2＋23，y －(－2)＝ρsin θ＝π4sin 6＝2. ∴y ＝2－2＝0.∴点M 的直角坐标为(2＋23，0)．。
高中数学 第1讲 坐标系 二 极坐标系 第1课时 极坐标系的概念练习 新人教A版选修4-4-新人教A
第一课时 极坐标系的概念课时跟踪检测一、选择题1．(2019·衡水期中)极坐标系中，与点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3相同的点是( )A ．⎝⎛⎭⎪⎫3，5π3B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－2π3C ．⎝⎛⎭⎪⎫3，－4π3 D ．⎝⎛⎭⎪⎫3，－5π3 解析：因点π3与－5π3的终边相同，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－5π3与点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3重合，故选D ． 答案：D2．在极坐标系中，点(ρ，θ)与点(ρ，π－θ)的位置关系是( ) A ．关于极轴所在的直线对称 B ．关于极点对称 C ．重合D ．关于过极点且垂直于极轴的直线对称解析：如图，点A (ρ，θ)与点B (ρ，π－θ)关于过极点且垂直于极轴的直线对称．故选D ．答案：D3．(2019·北京海淀区期末)在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4与点⎝⎛⎭⎪⎫1，3π4的距离为( ) A ．1 B ． 2 C ． 3D ． 5解析：依题意，点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4和点⎝⎛⎭⎪⎫1，3π4的距离d ＝12＋12－2×1×1×co s ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－3π4＝2.故选B ． 答案：B4．在极坐标系中，确定点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，π6的位置，下面方法正确的是( )A ．作射线OP ，使∠xOP ＝π6，再在射线OP 上取点M ，使|OM |＝2B ．作射线OP ，使∠xOP ＝π6，再在射线OP 的反向延长线上取点M ，使|OM |＝2C ．作射线OP ，使∠xOP ＝7π6，再在射线OP 的反向延长线上取点M ，使|OM |＝2D ．作射线OP ，使∠xOP ＝－π6，再在射线OP 上取点M ，使|OM |＝2 解析：本题涉及极径ρ取负值的坐标表示，当ρ<0，确定点M (ρ，θ)的方法如下：作射线OP ，使∠xOP ＝θ，在OP 的反向延长线上取点M ，使|OM |＝|ρ|，故选B ．答案：B5．已知极坐标系中，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4，若O 为极点，则△OAB 为( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰锐角三角形D ．等腰直角三角形解析：∵A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，34π，∴|OA |＝2，|OB |＝2，∠AOB ＝34π－π2＝π4，∴|AB |＝22＋(2)2－2×2×2×22＝2，∴△AOB 为等腰直角三角形．故选D ． 答案：D6．与极坐标⎝⎛⎭⎪⎫－3，π6不表示同一点的是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3，76π B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－76πC ．⎝⎛⎭⎪⎫－3，－116π D ．⎝⎛⎭⎪⎫－3，136π 解析：由ρ＝－3的表示方法知，点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，76π，⎝⎛⎭⎪⎫－3，－116π，⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，136π与⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，π6表示同一点，故选B ．答案：B 二、填空题7．将极轴绕极点顺时针方向旋转π4，得到射线OP ，在OP 上取一点M ，使|OM |＝2 018，则当ρ>0，θ∈[0,2π)时的点M 的极坐标为____________．解析：∵－π4＝－2π＋74π，∴点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018，74π. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫2 018，74π8．下列各点的相互位置关系：A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π3，D ⎝⎛⎭⎪⎫2，2π3.①A ，B 关于极轴所在直线对称；②A ，C 关于极点对称；③A ，D 关于过极点且垂直于极轴的直线对称．其中正确的是________．解析：在极坐标系中画出各点便知①②③都正确． 答案：①②③9．(2019·宝鸡中学期末)将极轴Ox 绕极点顺时针方向旋转π6得到射线OP ，在OP 上取点M ，使|OM |＝2，则当ρ＞0，θ∈[0,2π)时点M 的极坐标为________，它关于极轴的对称点的极坐标为________(ρ＞0，θ∈[0,2π))．解析：依题意，ρ＝|OM |＝2，与OP 终边相同的角为－π6＋2k π(k ∈Z )．∵θ∈[0,2π)，∴k ＝1时θ＝11π6，∴点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，11π6，它关于极轴对称的点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π6. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫2，11π6 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6三、解答题10．某大学校园的部分平面示意图如图，用点O ，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 分别表示校门，器材室，操场，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，其中|AB |＝|BC |，|OC |＝600 m ．建立适当的极坐标系，写出除点B 外各点的极坐标(限定ρ≥0,0≤θ<2π且极点为(0,0))．解：以点O 为极点，OA 所在的射线为极轴Ox (单位长度为1 m)，建立极坐标系． 由|OC |＝600 m ，∠AOC ＝π6，∠OAC ＝π2，得|AC |＝300 m ，|OA |＝300 3 m.又|AB |＝|BC |， 所以|AB |＝150 m.同理，得|OE |＝2|OD |＝2|AC |＝300 2 m ，|OG |＝12|OE |＝150 2 m ，所以各点的极坐标分别为O (0,0)，A (3003，0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫600，π6，D ⎝⎛⎭⎪⎫300，π2，E ⎝⎛⎭⎪⎫3002，3π4，F (300，π)，G ⎝⎛⎭⎪⎫1502，3π4. 11．(2019·抚顺第一中学月考)已知定点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，将极点O 移至O ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6处，极轴方向不变，求点P 的新的极坐标．解：设点P 的新的极坐标为(ρ，θ)，如图．则|OO ′|＝23，又|OP |＝4，∠POO ′＝π3－π6＝π6，在△OPO ′中，ρ2＝(23)2＋42－2×23×4×cos π6＝4，故ρ＝2，又sin ∠OPO ′23＝sin ∠POO ′2，所以sin ∠OPO ′＝sinπ62×23＝32，所以∠OPO ′＝π3，所以θ＝π3＋π3＝2π3，故点P 的新的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，2π3.12．在极坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的极坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，B (2，π)，C ⎝⎛⎭⎪⎫2，5π3. (1)判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积． 解：(1)如图所示，由A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，B (2，π)，C ⎝⎛⎭⎪⎫2，5π3得，|OA |＝|OB |＝|OC |＝2，∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝2π3.∴△AOB ≌△BOC ≌△AOC ， ∴|AB |＝|BC |＝|CA |，故△ABC 为等边三角形．(2)由上述可知，|AC |＝2|OA |sin π3＝2×2×32＝2 3.∴S △ABC ＝34×(23)2＝3 3.13．(2019·保定高二期末)在极坐标系中，与点P ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3关于极点对称的点的坐标是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－π3B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，4π3C ．⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3 D ．⎝⎛⎭⎪⎫2，－2π3 解析：设点P ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3关于极点的对称点为P ′(ρ，θ)，则ρ＝|OP |＝2，θ＝(2k ＋1)π＋π3(k ∈Z )，令k ＝－1，则θ＝－2π3，∴P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－2π3. 答案：D。
高中数学 第一讲一、二 平面直角坐标系 极坐标系课时训练（含解析）4-4(1)
【全程温习方略】2021-2021学年高中数学 第一讲一、二 平面直角坐标系 极坐标系课时训练（含解析）新人教A 版选修4-41．在极坐标系中，已知点M(－5，π3)，以下所给出的点不能表示点M 的坐标的是( ) A ．(5，－π3) B ．(5，4π3)C ．(5，－2π3) D ．(－5，－5π3)答案：A2．已知点P(1，－3)，那么它的极坐标是( )A ．(2，π3) B ．(2，4π3)C ．(2，－π3) D ．(2，－4π3)答案：C3．在极坐标系中，已知点A(－2，－π2)，B(2，3π4)，O(0,0)，那么△ABO 为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰锐角三角形D ．等腰直角三角形答案：D4．在极坐标系中，已知两点P(ρ1，θ1)与Q(ρ2，θ2)知足ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝0，那么两点的位置关系是() A ．关于极点对称 B ．关于极轴对称C ．重合D ．关于直线θ＝π2对称答案：D5．在极坐系中，在ρ>0，－π≤θ<π的条件下写出点(2，π6)别离关于(1)极轴；(2)极点对称的点的极坐标．(1)__________；(2)__________．答案：(2，－π6) (2，－56π) 6．在极坐标系中，按以下要求写出M(5，5π6)的极坐标． (1)ρ>0 －2π<θ<0 __________(2)ρ<0 －π<θ<π __________答案：(5，－7π6) (－5，－π6) 7．在极坐标系中有点A(4，π4)，B(5，2π3)，C(－6，－56π)，D(0，2π3)，那么上述各点的直角坐标是：A ：__________B ：__________C ：__________D ：__________答案：(22，22) (－52，532) (33，3) (0,0)8．已知直角坐标系中有点A(0，－7)，B(1，－1)，C(－2,23)，D(3，－1)，在ρ>0,0≤θ<2π的条件下，写出上述点的极坐标．A ：__________B ：__________C ：__________D ：__________答案：(7，32π) (2，74π) (4，23π) (2，116π) 9．已知点M 的极坐标为(5，θ)，且tan θ＝－43，π2<θ<π，那么点M 的直角坐标为__________． 答案：(－3,4)10．把点M(－3，－1)化为极坐标． 解：ρ＝－32＋－12＝2，tan θ＝－1－3＝33. ∵点M 在第三象限，ρ>0，∴最小正角θ＝76π， ∴点M 的极坐标(2，76π)．11．已知边长为2的正方形ABCD 的中心在极点，且一组对边与极轴Ox 平行，求正方形的极点的极坐标(限定ρ>0，0≤θ<2π)．解：如下图，由题意知|OA|＝|OB|＝|OC|＝|OD|＝2， ∠xOA ＝π4，∠xOB ＝3π4， ∠xOC ＝5π4，∠xOD ＝7π4. ∴正方形的极点坐标别离为A(2，π4)，B(2，3π4)，C(2，5π4)，D(2，7π4)． 12．在极坐标系中，A(3，π3)，B(－4，76π)，求|AB|及△AOB 的面积． 解：由极坐标的概念知点B 即(4，π6)， 于是∠AOB ＝π6， AB2＝ρ2A ＋ρ2B －2ρAρBcos∠AOB ＝25－123，∴|AB|＝25－123， ∴S △AOB ＝12ρAρBsin∠AOB ＝3.。
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《极坐标系的概念》同步练习
1．极坐标系中，和点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6表示同一点的是( )
A .⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－π6
B .⎝ ⎛⎭⎪⎫3，76π
C .⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－11π6
D .⎝ ⎛⎭⎪⎫3，56π
2．极坐标系中，与点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－π3关于极轴所在直线对称的点的极坐标是( )
A .⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2π3
B .⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3
C .⎝ ⎛⎭⎪⎫3，4π3
D .⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π6
3．在极坐标中，若等边△ABC 的两个顶点是A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4，那么顶点C 的坐标可能
是( )
A .⎝ ⎛⎭⎪⎫4，3π4
B .⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3π4
C .()23，π
D .()3，π
4．已知M 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2，74π，M 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，则|M 1M 2|＝( )
A . 2
B ．2 2
C ．2
D ．4
5．A (3，15°)与B (8，75°)两点间的距离是________．
6．已知A 、B 两点极坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，－2π3，则线段AB 中点的极坐标为( )
A .⎝ ⎛⎭⎪⎫5，－π6
B .⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2π3
C .⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－2π3
D . ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，2π3
7．已知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，则△A O B 的面积S ＝________.
8．极坐标系中，点A 的极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6 (规定ρ>0，θ∈[0，2π))，则：
(1)点A 关于极轴对称的点的极坐标是________；
(2)点A 关于极点对称的点的极坐标是________；
(3)点A 关于直线θ＝π2的对称点的极坐标是__________．
9．已知圆C ：(x ＋1)2＋(y －3)2＝1，则圆心C 的极坐标为__________(ρ＞0，0≤θ＜2π)．
10．(2013·珠海二调)在极坐标系中，点A 和点B 的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3和(3，0)，O 为极
点，则三角形O AB 的面积＝________.
11．在极坐标系中，若等边三角形ABC (顶点A ，B ，C 按顺时针方向排列)的顶点A ，B 的极
坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π6，则顶点C 的极坐标为________．
12．在极坐标系中，定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32π，点B 的一个极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ，116π(ρ>0)，当线段AB 最短
时，点B 的极坐标为________．。