积分变换 东南大学 第四版第一章4-6节

iα
= ( x cos α − y sin α ) + i ( x sin α + y sin α ) 即，
⎧ u = x cos α − y sin α —旋转变换(映射) ⎨ ⎩ v = x sin α + y sin α
见图2
y
(z)
v
o
(w)
o y、v
x 图1-1 (z)、(w) y、v
u
若 x ' ( t )、 y' ( t ) ∈ C [ a , b ]且[ x ' ( t )]2 + [ y ' ( t )]2 ≠ 0 则称该曲线为光滑的 . 有限条光滑曲线相连接构成一条分段光滑曲线。
重点 设连续曲线C：z=z(t)，a≤t≤b， 对于t1∈(a，b), t2 ∈[a, b],当t1≠t2时，若z(t1)=z(t2)， 称z(t1)为曲线C的重点。 定义 称没有重点的连续曲线C为简单曲线或 Jardan曲线;若简单曲线C 满足z(a)=z(b)时，则称 此曲线C是简单闭曲线或Jordan闭曲线 。
∴ w = z2 ↔ u = x2 − y2
v = 2 xy
⎛ ⎛ 1 ⎞ 1 ⎞ ⎟ + iy⎜ 1 − 2 ⎟ 例2 若已知 f ( z ) = x ⎜ 1 + 2 2 ⎟ 2 ⎟ ⎜ ⎜ x +y ⎠ x +y ⎠ ⎝ ⎝ 将 f ( z )表示成 z 的函数 .
1 1 设z = x + iy , 则x = ( z + z ), y = ( z − z ) 2 2i 1 f (z) = z + z
z2
z0 内点 δ
1
P
D-区域
连通是指 D中任意两点均可用完全 属于 D的折线连接 . 边界与边界点 已知点P不属于D，若点P的任何 邻域中都包含D中的点及不属于D的点，则称P是 D的边界点； D的所有边界点组成D的边界。
•闭区域 区域D与它的边界一起构成闭区域, 记为 D . 有界区域与无界区域 若存在 R > 0, 对任意 z ∈D, 均有 z∈G={z | |z|<R}，则D是有界区域；否则无界。
Qw = z =
θ + 2 kπ z e 2 (k
= 0,1) ∴为多值函数,2支.
定义 设 w =f (z) 的定义集合为G,函数值集合为G*
(z) z ∈ G ⎯w = f⎯→ w ∈ G * ⎯
一个(或几个 ) z ∈ G ←⎯⎯)⎯ w ∈ G * z =ϕ ( w
则称z=φ(w)为w=f(z)的反函数（逆映射）.
z → z0 z → z0 z → z0
f ( z ) lim0 f ( z ) A z→ z lim = ( lim g ( z ) ≠ 0 ) = z → z0 g ( z ) B lim g ( z ) z → z 0
z → z0
以上定理用极限定义证!
例1 证明 w = x 2 + y + i ( x + y 2 )在平面上处处有极限 .
w=f(z) w o u
•复变函数的几何意义是一个映射（变换） 复变函数反映了两对变量 u，v 与 x，y 之间的对应关系，因而无法用同一平面内 的几何图形表示出来，必须看成两个复平 面上点集之间的的对应关系，以便在研究 和理解复变函数问题时，可借助于几何直 观. 以下不再区分函数与映射（变换）。
z − z0 < r 表示以 z0 为圆点,以 r 为半径的圆内所有的点 .
Re z = α , Im z = β表示分别平行于 y轴和 x轴的直线 .
Re z > 0表示右半复平面 , Im z < 0表示下半复平面 .
r1 < z − z0 < r2
表示一个圆环 , 而且是有界的 .
它的边界由两个圆周 z − z0 = r2 , z − z0 = r1组成 , 如果在其中去掉一个或 几个点, 它仍然是区域 , 只是边界增加了一个或 几个点.
2. 映射的概念
——复变函数的几何意义
在几何上， w=f(z)可以看作：
z ∈ G ( z平面 ) ⎯w = f⎯→ w ∈ G * ( w平面）的映射 (变换 ). ⎯ (z)
定义域 y (z)
函数值集合 v (w) G*
称 w为 z的象点 (映象 )，而 z称为 w的原象。
w=f(z)
z
o
G x
∃ δ（ ε）, 当 0 < z − z 0 < δ 时 , 有 f ( z ) − A < ε ,
（0< δ ≤ ρ )
则称 A为 f ( z )当 z → z0时的极限，记作 lim f ( z ) = A
z → z0
或当 z → z 0时， f ( z ) → A
y
(z)
w = f (z )
δ
(z)、(w)
α
o
x、u 图1-2 o 图2 x、u
例5 y
研究 w = z 2 所构成的映射
.
(z)
α
v
w = z2
(w)
2α
o y
2 R=
x (z)
o v
w = z2
u (w)
R =4
π
3
π
6
w = z2
o
x
x2 − y2 = 4
w = z2
o
u
3. 反函数或逆映射
例 设 z=w2 则称 w = z 为z=w2的反函数或逆映射
δ
•
z0
(U ( z0 , δ ) = { z 0 < z − z0 < δ })
o
设G是一平面上点集 内点 对任意z0属于G，若存在Ｕ(z 0 ,δ)， 使该邻 域内的所有点都属于G，则称z 0是G的内点。
开集 若G内的每一点都是 外点 内点，则称G是开集。 z •区域 设 D是一个开集， 且D是连通的，称 D是一个区域。
外部 边界
单连通域
多连通域
例如 |z|<R（R>0）是单连通的； 0≤r<|z|≤R是多连通的。
单连通域
多连通域
§5 复变函数
1. 复变函数的定义 2. 映射的概念 3. 反函数或逆映射
1. 复变函数的定义—与实变函数定义相类似
定义 设 G 是一个复数 z = x + iy 的非空集合 , 存在法则 f , 使得 ∀ z ∈ G , 就有一个或几个 w = u + iv 与之对应 , 则称复变数 w 是复变数 z的函数（简称复变函数 ） 记作 w = f ( z ).
Q x 2 + y , x + y 2 在平面上处处有极限
求 f ( z ) = z + z 在 z → 0时的极限 . 例2 z z
2( x 2 − y 2 ) Q f (z) = 在 ( 0 ,0 )处极限不存在 . 2 2 x + y
例3 证明 f ( z ) = Re z
z
在 z → 0时的极限不存在 .
v
(w)
ε
A
z0
几何意义: 当变点z一旦进 入z0 的充分小去 心邻域时,它的象 点f(z)就落入A的
o的 ε邻域中
(1) 意义中 z → z 0 的方式是任意的.
与一元实变函数相比较要求更高. (2) A是复数. (3) 若f(z)在 z0 处有极限,其极限是唯一的.
2. 运算性质
§4 区 域
1. 区域的概念 2. 简单曲线（或Jordan曲线) 3. 单连通域与多连通域
1. 区域的概念
•邻域 复平面上以 z 0为中心，任意δ> 0为半径的 圆 | z -z 0|<δ(或 0 <| z –z 0|<δ) 内部的点 的集合称为点 z 0 的δ（去心）邻域 。 记为Ｕ(z0 ,δ)( U o ( z 0 , δ )) 即， U ( z0 , δ ) = { z z − z0 < δ }
2. 简单曲线（或Jardan曲线)
平面上一条连续曲线可 表示为： ⎧ x = x(t ) ⎪ ( a ≤ t ≤ b ), 实变函数 x ( t )、 y ( t ) ∈ C [a , b] ⎨ ⎪ y = y( t ) ⎩
令z(t)=x(t)+iy(t)
a≤t≤b ;
则曲线方程可记为：z=z(t)， a≤t≤b
显然有 w = f [ϕ ( w )] ∀w ∈ G * 当反函数单值时 z = ϕ [ f ( z )] ∀z ∈ G (一般z ≠ ϕ [ f ( z )])
当函数 (映射 ) w = f ( z )和其反函数 ( 逆映射 ) z = ϕ ( w )都是单值的，则称函数 (映射 ) w = f ( z ) 是一一的。也称集合 G 与集合 G ∗是一一对应的。
例3 研究w = z 所构成的映射 . 解 设 z = r (cos θ + i sin θ ) = re iθ
∴ z = re − iθ —关于实轴对称的一个映射
见下页图1-1~1-2 例4 研究w = e z (α实常数）所构成的映射 . 解 设z = re iθ ∴ w = e iα z = e iα re iθ = re i (α +θ ) w = u + iv = (cos α + i sin α )( x + iy )
故 u = u( x , y ) v = v ( x , y )
w = f ( z ) = u + iv ↔ u = u( x , y ) v = v ( x , y )
w = z2 例1
令 z = x + iy
2
w = u + iv
2 2