8.45、空间几何体的三视图直观图表面积与体积
空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积
（2）给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的 连线是圆柱的母线；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱 锥面；③直角三角形绕其任意一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；
第七章 立体几何
球 2．三视图与直观图
半圆
Go the distance
直径所在的直线
第 1 讲 空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积
（1）三视图： ①三视图：空间几何体在正投影下在投影面上留下的轮廓线．三视图包括
一．知识梳理
1．空间几何体的结构特征
几何体
底面
棱柱
互相平行
多面体 棱锥
是多边形
侧面 都是四边形，且相邻两个侧面的公
④棱台的上下底面可以不相似，但棱长一定相等．其中正确的命题的个数是
Go the distance
（）
A.0
B.1
C .2
D.3
【变式 1】
（1）下列说法中正确的是（ ）
A. 棱柱的侧面中，至少有两个面互相平行 B. 棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 C. 棱柱中一条侧棱的长叫棱柱的高 D. 棱柱的侧面是平行四边形，它的底面一定不是平行四边形
球 二．要点整合
S表 S侧 S底 S表 S侧 S上 S下
S 4 R2
V 1 Sh 3
V
1 3
(
S上
S下
S上S下 )h
V 4 R3 3
1．辨明三个易误点
（1）台体可以看成是由锥体截得的，但一定强调截面与底面平行．
空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积数学(理)热点题型和提分秘籍
1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。
2．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二测法画出它们的直观图。
3．会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。
4．了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式热点题型一空间几何体的结构特征例1、给出下列四个命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱;③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥;④棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等。
其中正确命题的个数是( ）A．0 B．1 C．2 D．3答案：B【提分秘籍】空间几何体结构特征的解题策略（1）紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定。
(2）通过举反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的,只要举出一个反例即可。
【举一反三】给出下列四个命题：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；④若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱其中错误的命题的序号是__________.答案：①②③④热点题型二由几何体的直观图识别三视图例2、【2017课标1，理7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A．10 B．12 C．14 D．16【答案】B【解析】由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成,如下图，则该几何体各面内只有两个相同的梯形，则这些梯形的面积之和为()1⨯+⨯⨯=,故选B.2242122【变式探究】一个四面体的顶点在空间直角坐标系O。
空间几何体的三视图直观图体积与表面积ppt
圆锥的表面积
圆锥表面积圆锥的表面积等于其侧面面积加上底面面积之 和。
圆锥表面积圆锥有一个侧面和一个底面，这两个面的面积 分别为侧面积和底面积。因此，计算表面积时只需将这两 个面的面积相加即可。
06
三视图与体积表面积的关系 及应用
三视图与体积表面积的关系
投影原理
三视图是空间几何体在三个不同方向的投影，它 能够反映几何体的形状、大小以及相对位置。
构成要素
空间几何体由面、棱、顶点等构成，这些要素的不同组合方 式形成了各种不同的空间几何体。
空间几何体的分类
多面体
多面体是指由多个平面组成的几 何体，其中每个面都是一个平面 多边形。
旋转体
旋转体是指由一Байду номын сангаас平面图形围绕 其所在平面上的一条直线旋转而 成的几何体。
棱柱与棱锥
棱柱与棱锥是指由面和棱构成的 几何体，其中棱柱是指两个平行 的底面之间的距离相等的几何体 ，而棱锥是指有一个顶点，且底 面是多边形或有多个共顶点的多 边形的几何体。
空间几何体的性质
1 2
空间几何体的体积与表面积
对于一些规则的空间几何体，可以通过计算其 体积和表面积来了解其性质。
空间几何体的对称性
一些空间几何体具有对称性，可以通过对其对 称性进行分析来了解其性质。
3
空间几何体的稳定性
一些空间几何体具有稳定性，即在其受到外部 力的作用下不易发生变形或损坏。
02
长方体的表面积
长方体表面积长方体的表面积等于其六个面的面积之和。
长方体表面积长方体有6个面，其中每两个对面的面积相等。因此，计算表面积 时只需将每对相对面的面积相加再求和即可。
圆柱的表面积
圆柱表面积圆柱的表面积等于其侧面面积加上两个底面面积 之和。
(优选)空间几何体的三视图直观图表面积与体积
④错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱 延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等. 答案 A
题型分类·深度剖析
题型一
空间几何体的结构特征
思维升华 (1)有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何 体不一定是棱柱.
（优选）空间几何体的三视图 直观图表面积与体积
基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾体的三视图是用 正投影 得到，这种投影下与投
影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是 完全相同 的，三视图包括正视图 、 侧视图 、 俯视图 . 3.空间几何体的直观图 画空间几何体的直观图常用 斜二测 画法，基本步骤： (1)在已知图形中取互相垂直的 x 轴、y 轴，两轴相交于点 O， 画直观图时，把它们画成对应的 x′轴、y′轴，两轴相交于 点 O′，且使∠x′O′y′＝ 45°(或135°) .
(B )
A思.维有启两迪个平从面多互面体相、平旋行转，体其的余定各义面入都手，是可平以行借四助边实形例或 的几多何面模体型是理
解棱几柱何体的结构特征. B解 B.正四析确棱，(锥1)如A的图错四2，个，如其侧图中面1底都；面可A以BC是D直是角矩形 三，角可形证明 C∠.P有AB两，个∠平PC面B 互都相是直平角行，，这其样余四各个面侧面都都是是梯直形角的三多角面形体；是棱台
题型分类·深度剖析
题型二
空间几何体的三视图和直观图
(2) 正三角形 AOB 的边长为 a，建立如图所示的直角坐标系
xOy，则它的直观图的面积是___1_66_a_2 ___.
∴S△O′A′B′＝12× 22S△OAB＝ 42× 43a2＝166a2.
高中复习文数：第八章 第一节 空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积
4. [考点三] 用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边
AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面
积为2 2 cm2，则原平面图形的面积为
()
A．4 cm2 C．8 cm2
B．4 2 cm2 D．8 2 cm2
解析：依题意可知∠BAD＝45°，则原平面图形为直角梯形，上
下底面的长与BC，AD相等，高为梯形ABCD的高的2 2 倍，所 以原平面图形的面积为8 cm2. 答案：C
自学区 抓牢双基· 完成情况
[基本知识]
1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面 展开图
侧面 S圆柱侧＝_2_π_rl___ S圆锥侧＝_π_r_l S圆台侧＝_π_(_r_＋__r′__)_l
积公式
圆柱、圆锥、圆台侧面积间的关系： S圆柱侧＝2πrl― r′―＝→rS圆台侧＝π(r＋r′)lr―′―＝→0S圆锥侧＝πrl.
[答案] A
[方法技巧]
解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧 (1)把握几何体的结构特征，要多观察实物，提高空 间想象能力； (2)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的 结构特征，依据条件构建几何模型，如例1中的命题②④ 易判断失误； (3)通过反例对结构特征进行辨析．
空间几何体的三视图
[基本知识]
1．空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征
多面体
结构特征
棱柱
有两个面_平__行__，其余各面都是四边形且每相邻 两个面的交线都_平__行__且__相__等____
棱锥
有一个面是多边形，而其余各面都是有一个 公__共__顶__点___的三角形
棱台
棱锥被平行于_底__面___的平面所截，截面和底面 之间的部分叫做棱台
第一节 空间几何体及其三视图、直观图、表面积与体积
1 3
4 2 3
栏目索引
1.解决组合体问题的关键是分清该组合体是由哪些简单的几何体组成的以及 这些简单的几何体的组合方式; 2.由三视图求几何体的表面积、体积时,关键是由三视图还原几何体,同时还 需掌握求体积的常用技巧,如:割补法和等价转化法.
栏目索引
3-1 (2015浙江,2,5分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体 的体积是 ( )
图①
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2 ∵在Rt△ABE中,AB=1,∠ABE=45°,∴BE= . 2
∵四边形AECD为矩形,AD=1, ∴EC=AD=1.∴BC=BE+EC= +1.
2 2
由此可还原原图形如图②.
图②
2 +1,且A'D'∥B'C',A'B'⊥B'C', 在原图形中,A'D'=1,A'B'=2,B'C'= 2
栏目索引
3.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方 形,则原来的图形是 ( )
栏目索引
答案 A 由直观图的画法可知,落在y轴上的对角线的长度为2 2 .
4.直角三角形两直角边AB=3,AC=4,以AB所在直线为轴旋转一周所得的几何 体的体积为 ( A.12π
答案
栏目索引
北京版
文数
第一节 空间几何体及其三视图、直观图、表面积与体积
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教材研读
1.空间几何体的结构特征
(1)棱柱:侧棱都① 平行且相等 ,上、下底面平行且是② 全等 多 面 体 的多边形. (2)棱锥:底面是多边形,侧面是有一个公共顶点的三角形. (3)棱台:可以由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到,其上、下底面是
空间几何体和三视图,表面积及体积
关系
水平放置的平面图形的面积为 ，使用斜二测画法画出的直观图的面积为 ，则 。
表面积和体积
表面积
体积
棱柱
表面积即空间几何体暴露在外的所有面的面积和。
棱锥
棱台
圆柱
圆锥
圆台
球
空间几何体与三视图
空间几何体
三视图
正视图
光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图。
正视图与侧视图高平齐；
侧视图与俯视图宽相等；
俯视图与正视图长对正。
侧视图
光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图。
俯视图
光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。
直观图
画法
使用斜二测画法画出空间几何体的底、再画出空间几何体的其它部分。
空间几何体的三视图和直观图﹑表面积与体积讲义
S
= 直观图
2S
4
原图形,S
原图形=2
2S . 直观图
2.多面体的内切球与外接球常用的结论.
(1)设正方体的棱长为 a,则它的内切球半径 r=a,外接球半径 R= 3a.
2
2
(2)设长方体的长、宽、高分别为 a,b,c,则它的外接球半径 R= a2+b2+c2.
2
(3)设正四面体的棱长为 a, 则它的高为 6a,内切球半径 r= 6a,外接球半径 R= 6a.
④棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等.
其中正确说法的序号是
.
6.一个四面体的三视图如图 7-40-3 所示,则该四面体的表面积是
.
图 7-40-3
7.若某几何体的三视图如图 7-40-4 所示,则此几何体的体积是
.
图 7-40-4
8.某几何体的三视图如图 7-40-5 所示,则该几何体的外接球的表面积是
式题 (1)[2017·郑州质检] 如图 7-40-14 是某个几何体的三视图,则这个几何体的体积是
()
A.2+π B.2+π
2
3
C.4+π D.4+π
3
2
图 7-40-14 (2)[2017·长沙一中二模] 如图 7-40-15,某几何体的三视图为三个边长均为 1 的正方形及两 条对角线,则该几何体的表面积为 ( )
探究点二 空间几何体的表面积与体积
2 (1)[2017·渭南质检] 某几何体的三视图如图 7-40-12 所示,则该几何体的体积为 ()
A.64 B.64-4π
C.64-8π
D.64-4π
3
图 7-40-12 (2)[2017·太原模拟] 某几何体的三视图如图 7-40-13 所示,则该几何体的表面积为 ( )
空间几何体的三视图、表面积及体积
2022年高考数学总复习：空间几何体的三视图、表面积及体积1．柱体、锥体、台体、球的表面积与体积(1)空间几何体的三视图三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形，三视图的画法规则为“长对正、高平齐、宽相等”．画三视图的基本要求：正(主)俯一样长，俯侧(左)一样宽，正(主)侧(左)一样高．三视图排列规则：俯视图放在正(主)视图的下面；侧(左)视图放在正(主)视图的右面．(2)空间几何体的直观图空间几何体直观图的画法常采用斜二测画法．用斜二测画法画平面图形的直观图规则为“轴夹角45°(或135°)，平行长不变，垂直长减半”．Y易错警示i cuo jing shi1．未注意三视图中实、虚线的区别在画三视图时应注意看到的轮廓线画成实线，看不到的轮廓线画成虚线．2．不能准确分析组合体的结构致误对简单组合体表面积与体积的计算要注意其构成几何体的面积、体积是和还是差．3．台体可以看成是由锥体截得的，此时截面一定与底面平行．4．空间几何放置的方式不同时，对三视图可能会有影响．1．(2018·全国卷Ⅲ，3)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( A )[解析]选A．由直观图可知选A．2．(文)(2018·全国卷Ⅰ，5)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( B ) A．122π B．12πC．82π D．10π[解析]截面面积为8，所以高h＝22，底面半径r＝2，所以该圆柱表面积S＝π·(2)2·2＋2π·2·22＝12π.(理)(2018·全国卷Ⅰ，7)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在侧视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为( B )A．217 B．25C．3 D．2[解析]选B．将三视图还原为圆柱，M，N的位置如图1所示，将侧面展开，最短路径为M，N连线的距离，所以MN＝42＋22＝2 5.3．(2018·浙江卷，3)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( C )A ．2B ．4C ．6D ．8[解析] 选C ． 由三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，底面面积S ＝(1＋2)×22＝3，高h ＝2，所以V ＝Sh ＝6.4．(2018·北京卷，5)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( C )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 选C ．将四棱锥三视图转化为直观图，如图，侧面共有4个三角形，即△P AB ，△PBC ，△PCD ，△P AD ， 由已知，PD ⊥平面ABCD ，又AD ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥AD ，同理PD ⊥CD ，PD ⊥AB ， 所以△PCD ，△P AD 是直角三角形．因为AB ⊥AD ，PD ⊥AB ，PD ，AD ⊂平面P AD ，PD ∩AD ＝D ， 所以AB ⊥平面P AD ，又P A ⊂平面P AD ， 所以AB ⊥P A ，△P AB 是直角三角形． 因为AB ＝1，CD ＝2，AD ＝2，PD ＝2，所以P A ＝PD 2＋AD 2＝22，PC ＝PD 2＋CD 2＝22， PB ＝P A 2＋AB 2＝3，在梯形ABCD 中，易知BC ＝5，△PBC 三条边长为22，3，5，△PBC 不是直角三角形． 综上，侧面中直角三角形个数为3.5．(文)(2018·全国卷Ⅰ，10)在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为30°，则该长方体的体积为( C )A ．8B ．6 2C ．8 2D ．83[解析]选C ．如图，连接AC 1和BC 1，因为AB ⊥平面BB 1C 1C ，AC 1与平面BB 1C 1C 所成角为30°，所以∠AC 1B ＝30°， 所以AB BC 1＝tan30°，BC 1＝23，所以CC 1＝22，所以V ＝2×2×22＝8 2.(理)(2018·全国卷Ⅲ，10)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D ABC 体积的最大值为( B )A ．12 3B ．18 3C ．24 3D ．543[解析] 设△ABC 的边长为a ，则S △ABC ＝12a 2sin C ＝34a 2＝93，解得a ＝6，如图所示，当点D 在底面上的射影为三角形ABC 的中心H 时，三棱锥D ABC 的体积最大，设球心为O ，则在直角三角形AHO 中，AH ＝23×32×6＝23，OA ＝R ＝4，则OH＝OA 2－AH 2＝16－12＝2，所以DH ＝2＋4＝6，所以三棱锥D ABC 的体积最大值为V ＝13S △ABC ×DH ＝13×93×6＝18 3. 6.(文)(2018·天津卷，11)如图，已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则四棱锥A 1BB 1D 1D 的体积为13.[解析] 连接A 1C 1，交B 1D 1于O 1点，依题意得A 1O 1⊥平面BB 1D 1D ，即A 1O 1为四棱锥A 1BB 1D 1D 的高，且A 1O 1＝22，而四棱锥A 1BB 1D 1D 的底面为矩形，其面积为2，所以四棱锥A 1BB 1D 1D 的体积V ＝13Sh ＝13×2×22＝13.(理)(2018·天津卷，11)已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M (如图)，则四棱锥M EFGH 的体积为112.[解析] 依题意得：该四棱锥M EFGH 为正四棱锥，其高为正方体棱长的一半，即为12，正方形EFGH 的边长为22，其面积为12，所以四棱锥M EFGH 的体积V M EFGH ＝13Sh ＝13×12×12＝112. 7．(2018·全国卷Ⅱ，16)已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若△SAB 的面积为515，则该圆锥的侧面积为402π.[解析] 如图：设SA ＝SB ＝l ，底面圆半径为r ，因为SA 与圆锥底面所成角为45°，所以l ＝2r ，在△SAB 中，AB 2＝SA 2＋SB 2－2SA ·SB ·cos ∠ASB ＝12r 2，AB ＝22r ，AB 边上的高为(2r )2－⎝⎛⎭⎫24r 2＝304r ，△SAB 的面积为515， 所以12·22r ·304r ＝515，解得r ＝210，所以该圆锥的侧面积为πrl ＝π2r 2＝402π.8．(2017·全国卷Ⅰ，16)已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S －ABC 的体积为9，则球O 的表面积为36π.[解析] 如图，连接OA ，OB ．由SA ＝AC ，SB ＝BC ，SC 为球O 的直径，知OA ⊥SC ，OB ⊥SC ．由平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，OA ⊥SC ，知OA ⊥平面SCB ． 设球O 的半径为r ，则OA ＝OB ＝r ，SC ＝2r ， ∴三棱锥S －ABC 的体积V ＝13×(12SC ·OB )·OA ＝r 33，即r 33＝9， ∴r ＝3，∴S 球表＝4πr 2＝36π.。
空间几何体的三视图、直观图,表面积与体积
基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材
(2)已知图形中平行于 x 轴、y 轴的线段，在直观图中分别平行 于 x′轴、y′轴 . (3)已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中长度 保持不变 ， 平行于 y 轴的线段，长度变为 原来的一半 . (4)在已知图形中过 O 点作 z 轴垂直于 xOy 平面，在直观图中对
AA×. BS32×△πA＋ABCC12×＝A12P，＝所13B×以.4123π三 ×＋1棱＝16 锥16，P－CA. B62Cπ＋的16体积 VD1＝.23π31＋12
题型分类·深度剖析
题型三
空间几何体的表面积与体积
(2)已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图均由直
角三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的
棱柱侧面经过棱CC′到M的最短路线长为 29，设这条最短路线与
CC′的交点为N，求：
(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长；
(2)PC与NC的长；
(3)三棱锥C—MNP的体积.
思维启迪
规范解答
温馨提醒
(1)侧面展开图从哪里剪开展平；
(2)MN＋NP 最短在展开图上呈现怎样的形式； (3)三棱锥以谁做底好.
(B )
A思.维有启两迪个平从面多互面体相、平旋行转，体其的余定各义面入都手，是可平以行借四助边实形例或 的几多何面模体型是理
解棱几柱何体的结构特征. B解 B.正四析确棱，(锥1)如A的图错四2，个，如其侧图中面1底都；面可A以BC是D直是角矩形 三，角可形证明 C∠.P有AB两，个∠平PC面B 互都相是直平角行，，这其样余四各个面侧面都都是是梯直形角的三多角面形体；是棱台
1 V＝ 3Sh V＝13(S 上＋S 下＋
空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积
第八章 立体几何
1 易知 D′B′＝2DB(D 为 OA 的中点)， 1 2 2 3 2 6 2 ∴S△O′A′B′＝2× 2 S△OAB＝ 4 × 4 a ＝ 16 a . 6 2 【答案】 (1)B (2) 16 a
高考总复习· 文科数学（RJ）
第八章 立体几何
第八章 立体几何
高考总复习· 文科数学（RJ）
第八章 立体几何
高考总复习· 文科数学（RJ）
第八章 立体几何
高考总复习· 文科数学（RJ）
第八章 立体几何
题型一
空间几何体的结构特征
【例1】 给出下列命题： ①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形； ②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；
【答案】 (1)B
(2)C
高考总复习· 文科数学（RJ）
第八章 立体几何
题型三
空间几何体的表面积与体积
【例3】 (1)(2014· 课标全国Ⅱ)如图，网格纸上正方形小 格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视 图，该零件由一个底面半径为3 cm，高为6 cm的圆柱体毛 坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值 为( )
高考总复习· 文科数学（RJ）
第八章 立体几何
跟踪训练2 (1)(2014· 课标全国Ⅰ)如图，网格纸的各小格
都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这 个几何体是( )
高考总复习· 文科数学（RJ）
第八章 立体几何
A．三棱锥
B．三棱柱
C．四棱锥
D．四棱柱
(2)如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直 观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是( )
课件6：§8.1 空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积第1讲 空间几何体的结构、三视图和直观图
点石成金 用斜二测画法画直观图的技巧 (1)在原图形中与 x 轴或 y 轴平行的线段在直观图中与 x′轴或 y′轴平行； (2)原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点 再连线； (3)原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图 中的相应点后，用平滑曲线连接而画出．
第 3 步 跟踪训练 如图所示，△A′B′C′是△ABC 的直观图，且△A′B′C′是边长为 a 的正三角形，求△ABC 的面积．
§8.1 空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积 第1讲 空间几何体的结构、三视图和直观图
考纲展示 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这 些特征描述现实生活中简单物体的结构． 2．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的 简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会 用斜二测画法画出它们的直观图． 3．会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视 图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．
(3)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已 知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然 后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择 题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是 否符合．
考点 3 空间几何体的直观图
第 1 步 回顾基础 一、自读自填 空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是： (1)原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x′轴、 y′轴的夹角为 45°(或 135°)，z′轴与 x′轴、y′轴所在平面垂直．
考点 1 空间几何体的结构特征
第 1 步 回顾基础 一、自读自填 空间几何体的结构特征
(1)棱柱的侧棱都__平__行__且__相__等____，上、下底面是 _全 ___等__且平行的多边形．
课件7：§8.1 空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积第2讲 空间几何体的表面积与体积
考点 3 与球有关的切、接问题
第 1 步 回顾基础 一、自读自填 几个与球有关的切、接常用结论 a．正方体的棱长为 a，球的半径为 R， ①若球为正方体的外接球，则 2R＝ 3a； ②若球为正方体的内切球，则 2R＝a； ③若球与正方体的各棱相切，则 2R＝ 2a.
b．若长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a，b，c， 外接球的半径为 R，则 2R＝ a2＋b2＋c2. c．正四面体的外接球与内切球的半径之比为 3∶1.
1－13＝
6 3.
三棱锥
S－ABC
的高为
2|OO1|＝2
3
6 .
所以三棱锥
S－ABC
的体积
V＝13×
32 4×3
6＝
62.故选
A.
(2)已知直三棱柱 ABC－A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若 AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12， 则球 O 的半径为( C )
3 17 A. 2
长为 1 的正方形，且△ADE，△BCF 均为正三角形，EF∥
AB，EF＝2，则该多面体的体积为( A )
2 A. 3
3 B. 3
4
3
C.3
D.2
【解析】 如图，分别过点 A，B 作 EF 的垂线，垂足分别 为 G，H，连接 DG，CH，
容易求得 EG＝HF＝21，
AG＝GD＝BH＝HC＝ 23， ∴S△AGD＝S△BHC＝21× 22×1＝ 42， ∴V＝VE－ADG＋VF－BHC＋VAGD－BHC ＝2VE－ADG＋VAGD－BHC＝13× 42×21×2＋ 42×1＝ 32.故选 A.
面积 圆柱 S 侧＝__2_π_r_h___ 圆锥 S 侧＝__π_r_l____ 圆台 S 侧＝π(r1＋r2)l
学案6：§8.1 空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积第2讲 空间几何体的表面积与体积
§8.1 空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积第2讲 空间几何体的表面积与体积考情考纲1.了解球、柱体、锥体、台体的表面积计算公式．2.了解球、柱体、锥体、台体的体积计算公式． 主干知识·整合知识点一 空间几何体的表面积1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式S ＝ 因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是侧面展开图的面积，表面积是侧面积与底面积的和． 对点快练1．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π2．一直角三角形的三边长分别为6 cm ，8 cm, 10 cm ，绕斜边旋转一周所得几何体的表面积为________．知识点二 空间几何体的体积 1．柱体：V ＝________； 2．棱锥：V ＝________；3．棱台：V ＝13h (S 上＋S 下＋S 上S 下)；4．球：V ＝43πR 3.对点快练3．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( ) A ．12π B.323π C ．8π D ．4π 4．如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________．5．三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，P A ＝3，底面ABC 是边长为2的正三角形，则三棱锥P －ABC 的体积等于________． 热点命题·突破热点一 空间几何体的表面积例1 (1)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π(2)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A.73B.172C.13D.17＋3102变式训练某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为( )A ．54B ．60C ．66D ．72 热点二 空间几何体的体积例2 如图所示，已知E ，F 分别是棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱A 1A ，CC 1的中点，则四棱锥C 1－B 1EDF 的体积为________．变式训练(1)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18B.17C.16D.15(2)如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE ，△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，则该多面体的体积为( )A.23B.33C.43D.32热点三 与球有关的切、接问题 考向1 球的内接问题例3 已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为( ) A.26 B.36 C.23D.22考向2 球的外切问题例4 若一个正四面体的表面积为S 1，其内切球的表面积为S 2，则S 1S 2＝________.变式训练(1)如图是一个空间几何体的三视图，该几何体的外接球的体积记为V 1，俯视图绕斜边所在直线旋转一周形成的几何体的体积记为V 2，则V 1V 2＝( )A ．12 2B ．82C ．6 2D ．42(2)如图，已知球O 是棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的内切球，则平面ACD 1截球O 的截面面积为( )A.66π B.π3 C.π6 D.33π 课堂总结1．对于基本概念和能用公式直接求棱柱、棱锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决，这种题目难度不大． 2．要注意将空间问题转化为平面问题．3．当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用“割”、“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台)，或化离散为集中，给解题提供便利．参考答案主干知识·整合知识点一 空间几何体的表面积 1．2πrl πrl 对点快练 1．【答案】C【解析】该几何体是圆锥与圆柱的组合体，由三视图可知圆柱底面圆的半径r ＝2，底面圆的周长c ＝2πr ＝4π，圆锥的母线长l ＝22＋(23)2＝4，圆柱的高h ＝4，所以该几何体的表面积S 表＝πr 2＋ch ＋12cl ＝4π＋16π＋8π＝28π，故选C.2．【答案】3365π(cm 2)【解析】旋转一周所得几何体为以245 cm 为半径的两个同底面的圆锥，其表面积为S ＝π×245×6＋π×245×8＝3365π(cm 2)．知识点二 空间几何体的体积 1. Sh 2. 13Sh对点快练 3．【答案】A【解析】由正方体的体积为8可知，正方体的棱长a ＝2.又正方体的体对角线是其外接球的一条直径，即2R ＝3a (R 为正方体外接球的半径)，所以R ＝3，故所求球的表面积S ＝4πR 2＝12π.4．【答案】1：47【解析】设长方体的相邻三条棱长分别为a ，b ，c ，它截出棱锥的体积为V 1＝13×12×12a ×12b ×12c ＝148abc ，剩下的几何体的体积V 2＝abc －148abc ＝4748abc , 所以V 1：V 2＝1：47. 5．【答案】3【解析】∵P A ⊥底面ABC ，∴P A 为三棱锥P －ABC 的高，且P A ＝3. ∵底面ABC 为正三角形且边长为2， ∴底面面积为12×22×sin 60°＝3，∴V P －ABC ＝13×3×3＝ 3.例1 【答案】 (1)A (2)C【解析】 (1)由三视图可得此几何体为一个球切割掉18后剩下的几何体，设球的半径为r ，故78×43πr 3＝283π，所以r ＝2，表面积S ＝78×4πr 2＋34πr 2＝17π，选A . (2)由三视图可知几何体为三棱台，作出直观图如图所示．则CC ′⊥平面ABC ，上下底均为等腰直角三角形，AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝1，A ′C ′＝B ′C ′＝C ′C ＝2，∴AB ＝2，A ′B ′＝2 2.∴棱台的上底面积为12×1×1＝12，下底面积为12×2×2＝2，梯形ACC ′A ′的面积为12×(1＋2)×2＝3，梯形BCC ′B ′的面积为12×(1＋2)×2＝3，过A 作AD ⊥A ′C ′于D ，过D 作DE ⊥A ′B ′，则AD ＝CC ′＝2，DE 为△A ′B ′C ′斜边高的12，∴DE ＝22，∴AE ＝AD 2＋DE 2＝32，∴梯形ABB ′A ′的面积为12×(2＋22)×32＝92，∴几何体的表面积S ＝12＋2＋3＋3＋92＝13，故选C.变式训练 【答案】B【解析】根据几何体的三视图可得该几何体的直观图为如图所示的ABC －DEF ，故其表面积为S ＝S △DEF ＋S △ABC ＋S 梯形ABED＋S梯形CBEF＋S矩形ACFD＝12×3×5＋12×3×4＋12×(5＋2)×4＋12×(5＋2)×5＋3×5＝60.故选B.例2 【答案】 16a 3【解析】 (1)法1：连接A 1C 1，B 1D 1交于点O 1，连接B 1D ，EF ，过O 1作O 1H ⊥B 1D 于H .∵EF ∥A 1C 1，且A 1C 1⊄平面B 1EDF ，EF ⊂平面B 1EDF ，∴A 1C 1∥平面B 1EDF .∴C 1到平面B 1EDF 的距离就是A 1C 1到平面B 1EDF 的距离． ∵平面B 1D 1D ⊥平面B 1EDF ，且平面B 1D 1D ∩平面B 1EDF ＝B 1D ， ∴O 1H ⊥平面B 1EDF ，即O 1H 为棱锥的高， ∵△B 1O 1H ∽△B 1DD 1， ∴O 1H ＝B 1O 1·DD 1B 1D ＝66a .∴V C1－B1EDF ＝13S 四边形B 1EDF ·O 1H＝13·12·EF ·B 1D ·O 1H ＝13·12·2a ·3a ·66a ＝16a 3. 法2：连接EF ，B 1D .设B 1到平面C 1EF 的距离为h 1，D 到平面C 1EF 的距离为h 2，则h 1＋h 2＝B 1D 1＝2a . 由题意得，V C 1－B1EDF ＝V B 1－C 1EF ＋V D －C 1EF ＝13·S △C 1EF ·(h 1＋h 2)＝16a 3.变式训练【答案】(1)D (2)A【解析】(1)由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为V 1＝13×12×1×1×1＝16，剩余部分的体积V 2＝13－16＝56，所以V 1V 2＝1656＝15.(2)如图，分别过点A ，B 作EF 的垂线，垂足分别为G ，H ，连接DG ，CH ，容易求得EG ＝HF ＝12，AG ＝GD ＝BH ＝HC ＝32，则△BHC 中BC 边的高h ＝22.∴S △AGD ＝S △BHC ＝12×22×1＝24，∴V ＝V E －ADG ＋V F －BHC ＋V AGD －BHC ＝2V E －ADG ＋V AGD －BHC ＝13×24×12×2＋24×1＝23.例3 【答案】 A【解析】 由于三棱锥S －ABC 与三棱锥O －ABC 底面都是△ABC ，O 是SC 的中点，因此三棱锥S －ABC 的高是三棱锥O －ABC 高的2倍，所以三棱锥S －ABC 的体积也是三棱锥O －ABC 体积的2倍．在三棱锥O －ABC 中，其棱长都是1，如图所示，S △ABC ＝34×AB 2＝34， 高OD ＝12－⎝⎛⎭⎫332＝63， ∴V S －ABC ＝2V O －ABC ＝2×13×34×63＝26.例4 【答案】63π【解析】 设正四面体棱长为a ，则正四面体表面积为S 1＝4·34·a 2＝3a 2，其内切球半径为正四面体高的14，即r ＝14·63a ＝612a ，因此内切球表面积为S 2＝4πr 2＝πa 26，则S 1S 2＝3a 2π6a 2＝63π. 变式训练【答案】(1)D (2)C【解析】(1)三视图复原的几何体如图，它是底面为等腰直角三角形，一条侧棱垂直底面的三棱锥，它的外接球，就是扩展为长方体的外接球，外接球的直径是22，该几何体的外接球的体积V 1＝43π(2)3＝823π，V 2＝2×⎝⎛⎭⎫13×12×1×π＝23π， 所以V 1：V 2＝823π：2π3＝4 2.(2)平面ACD1截球O的截面为△ACD1的内切圆．因为正方体的棱长为1，所以AC＝CD1＝AD1＝2，所以内切圆的半径r＝66，所以S＝πr2＝π×636＝16π.。
2019通用版高中理数复习第八章 第一节 空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积
求不规则 几何体的 表面积
通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求 出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或 作差，求出所给几何体的表面积
规则
若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几
何体，则可直接利用公式进行求解．其中，求三 棱锥的体积常用等体积转换法 若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则
(3)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．( × ) (4)用斜二测画法画水平放置的∠A 时，若∠A 的两边分别平行 于 x 轴和 y 轴， 且∠A＝90°， 则在直观图中， ∠A＝45°.( × )
2．填空题 (1)如图所示的几何体中，是棱柱的为_______(填写所有正确的
序号)．
解析： 根据棱柱的定义， 结合给出的几何体可知③⑤满足条件．
3．空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是： (1)原图形中 x 轴、 y 轴、 z 轴两两垂直， 直观图中， x′轴， y′轴的夹角为 45°或 135° ，z′轴与 x′轴和 y′轴所在平 面 垂直 ． (2) 原 图 形 中 平 行 于 坐 标 轴 的 线 段 ， 直 观 图 中 仍 分 别
[全练题点]
突破点(二)
空间几何体的表面积与体积
02
抓牢双基·自Leabharlann 区完成情况[基本知识]
[ 基本能力]
×
√
×
研透高考·讲练区
完成情况
[全析考法]
求多面体
的表面积
只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图
形面积的方法求多面体的表面积
求旋转体 的表面积
可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后 求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面 展开图中的边长关系
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【解析】设该几何体的外接球的 半径为 R.依题意知，该几何体是如图 所示的三棱锥 A－BCD， 其中 AB⊥平 面 BCD，AB＝2，BC＝CD＝ 2，BD ＝2，BC⊥DC，因此可将该三棱锥补 形为一个长方体，于是有(2R)2＝22＋ ( 2)2＋( 2)2＝8，即 4R2＝8，则该几 何体的外接球的表面积为 4 π R2 ＝ 8 π.
5．若正三棱锥的正视图与俯视图如图所示(单位：cm)， 3 2 4 则它的侧视图的面积为_______cm .
【解析】由正视图和俯视图可知，侧视图的底边长 3 为俯视图的高即 2 ，侧视图的高为正视图的高 3，所以 1 3 3 2 侧视图的面积为 S＝2× 2 × 3＝4 cm .
【知识要点】 1．平行投影与中心投影 平行投影的投影线是互相平行的， 中心投影的投影线相交于一点． 2．空间几何体的结构特征
4 1 2 2 3π h(r1 ＋r1·r2＋r2 ) 3 ____________________ ______ πR3
表中 l、h 分别表示母线、高，r 表示圆柱、圆锥的 底面半径，r1、r2 分别表示圆台上、下底面半径，R 表示 球的半径．
一、几何体的三视图 例1(1)(2012 陕西)将正方形(如图 1 所示)截去两个三 棱锥，得到图 2 所示的几何体，则该几何体的左视图为 ( B )
旋 转 体
3.空间几何体的三视图
(1)三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体， 画出的空间几何体的图形．包括： 前后 方向投影所得到的投影图； 正视图： 物体_______ 它 能反映物体的高度和长度； 左右 方向投影所得到的投影图；它 侧视图：物体______ 能反映物体的高度和宽度； 上下 方向投影所得到的投影图；它 俯视图：物体______ 能反映物体的长度和宽度． (2) 三 视 图 的 作 图 规 则 ： 正 视 图 和 俯 视 图 长对正 ； 高平齐 ___________ 正视图和侧视图__________ ； 俯视图和侧 宽相等 视图___________.
①棱柱的侧棱都平行且相等，上下底 面是平行且全等的多边形． 多 ②棱锥的底面是任意多边形，侧面是 公共顶点 ________的三角形． 面 有一个 平行 于棱锥底面的平面截 体 ③棱台可由______ 棱锥得到，其上下底面是平行且相似 的多边形． ①圆柱可以由矩形绕其任一边旋转得 到． ②圆锥可以由直角三角形绕其_______ 直角边 旋转得到． ③圆台可以由直角梯形绕直角腰或等 腰梯形绕上下底中点连线旋转得到， 也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥 得到． ④球可以由半圆或圆绕直径旋转得到.
【基础检测】 1 ． (2012 新课标 ) 如图，网格纸上小正方形的 边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图， 则此几何体的体积为 ( ) B
A．6
C．12
B．9
D．18
【解析】结合三视图知识求解三棱锥的体积． 由题意知，此几何体是三棱锥，其高 h＝3，相应底面面 1 1 1 积为 S＝2×6×3＝9，∴V＝3Sh＝3×9×3＝9.
1．正确地把握斜二测画法的要点 (如：所画出 的直观图中的虚实线、平行关系和长度比例等 )以及选择放置直观图的角度．
2 ．正视图反映物体的主要形状特征，主要体 现物体的长和高，不反映物体的宽．而俯视图 和正视图共同反映物体的长要相等．侧视图和 俯视图共同反映物体的宽要相等．据此就不难 得出该几何体的形状． 3 ．熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以 及它们的体积公式．同时也要学会运用等价转 化思想，会把组合体求体积问题转化为基本几 何体的求体积问题，会用等体积转化求解问题 ，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用 “割补法”求解问题．
【解析】①假设成立，推出矛盾． ②四面体 ABCD 每个面是全等三角形，面积相等． ③从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角 之和等于 180°. ④连接四面体 ABCD 每组对棱中点构成菱形，线段 相互垂直平分． ⑤从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作 为一个三角形的三边长．
【解析】(2)易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长 为 1，这样的三棱锥可以放入一个正方体中，如下图所 2 示的正方体的棱长为 2 ，其面对角线的长度是 1，体对 6 角线的长度为 2 ，故三棱锥 P－DCE 的外接球半径为 63 6 4 6 ＝ 8 π，故选 C. 4 ，外接球的体积为3π× 4
二、几何体的表面积、体积 例2(1)(2012 湖北)已知某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为_________ ． 12π
【解析】(1)由三视图可知，该几何体是由左右 两个相同的圆柱(底面圆半径为2，高为1)与中 间一个圆柱(底面圆半径为1，高为4)组合而成 ，故该几何体的体积是V＝π×22×1×2＋ π×12×4＝12π.
【点评】对于复杂的空间几何体的组合体的 表面积或体积都可以分开来考虑，将组合体 分解成若干部分，分别计算其表面积、体积 然后根据组合体的结构，将整个的体积，表 面积转化为这些“部分体积”或“部分表面 积”的和与差．
三、等积变换
例3(1)(2012 山东)如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 1， E 为线段 B1C 上的一点， 则三棱锥 A－DED1
第八章
立体几何初步
第45讲
空间几何体的三视图与直 观图、表面积和体积
【学习目标】
1 ．了解空间图形的两种不同表示形式 ( 三视图和 直观图)，了解三视图、直观图与它们所表示的立 体模型之间的内在联系． 2．能画出简单空间图形及实物的三视图与直观图 ，能识别三视图所表示的立体模型，会用斜二测 画法画出它们的直观图． 3．了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计 算公式(不要求记忆公式)．
(2)(2012北京)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱 锥的表面积是( B )
A．28＋6 5 B．30＋6 5 C．56＋12 5 D．60＋12 5
【解析】根据几何体的三视图画出其直观图，利用 直观图的图形特征求其表面积． 由几何体的三视图可知，该三棱锥的直观图如图所示，
(2)画几何体的高：在已知图形中过O点作 z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′ 轴也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行 于z轴的线段在直观图中仍平行于z′轴且长 度相等．
5．多面体的面积和体积公式
表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表 示高，h′表示斜高，l表示侧棱长．
6．旋转体的面积和体积公式
名 称 S侧 S全 V 圆柱 2π rl 圆锥 圆台 π (r 1 ＋ r 2 )l 球
πrl _______
2π r(l＋r) π r(l＋r) π (r ＋r )l＋π (r 2＋r 2) 4π R2 _________ ______ 1 2 1 2
π r h(即π r2l)
2
1 2 3π r了 三棱锥体积公式的应用．
2． 下图为某几何体的三视图， 则它的表面积为( C )
3π A. 2 ＋14 3π B. 2 ＋13 C．π ＋14 D．π ＋13
3．(2012 安徽)若四面体 ABCD 的三组对棱分别相 ②④⑤ 写 等，即 AB＝CD，AC＝BD，AD＝BC，则________( 出所有正确结论的编号)． ①四面体 ABCD 每组对棱相互垂直； ②四面体 ABCD 每个面的面积相等； ③从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角 之和大于 90°而小于 180°； ④连接四面体 ABCD 每组对棱中点的线段相互垂直 平分； ⑤从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作 为一个三角形的三边长．
4．空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步 骤是： (1)画几何体的底面： ①建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中 取互相垂直的 x 轴，y 轴，两轴相交于点 O. ②画出斜坐标系，在画直观图的纸上(平面上)画出 45°(或135°) 对应的 O′x′，O′y′，使∠x′O′y′＝__________________ ， 它们确定的平面表示水平平面； ③画对应图形，在已知图形中平行于 x 轴的线段， 不变 在直观图中画成平行于 x′轴，且长度保持__________ ； 在已知图形中平行于 y 轴的线段，在直观图中画成平行 一半 于 y′轴，且长度变为原来的____________ ；
(1)(2012湖南)某几何体的正视图和侧视图均如图 所示，则该几何体的俯视图不可能是( D )
【解析】本题是组合体的三视图问题 ，由几何体的正视图和侧视图均如图 所示知，原图下面图为圆柱或直四棱 柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是 直角的三棱柱，A，B，C都可能是该 几何体的俯视图，D不可能是该几何 体的俯视图，因为它的正视图上面应 为长宽不等的矩形． 【点评】本题主要考查空间几何体 的三视图，考查空间想象能力，是 近年来热点题型．
4． 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角 为 45°，腰和上底长均为 1 的等腰梯形，则这个平面图 2＋ 2 ． 形的面积是________
【解析】原图形在直角坐标系中是直角梯形，如图 所示． 2 下底边长 AB＝1＋2× 2 ＝1＋ 2， 上底边长 DC＝1，高 AD＝2. 1 1 ∴面积 S 梯形 ABCD＝2· (AB＋DC)· AD＝2(1＋ 2＋1)· 2 ＝2＋ 2.
1 的体积为_______ 6 ．
【解析】(1)以△ADD1 为底面，则易知三棱锥的高 1 1 1 为 1，故 V＝3·2·1·1·1＝6.
(2)四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a，
1 3 则该四面体体积的最大值为_______ ． 8a
【解析】(2)如图所示，在四面体 ABCD 中， 若 AB＝BC＝CD＝AC＝BD＝a， AD＝x， 取 AD 的中点 P，BC 的中点 E， 连接 BP，EP，CP， 易证 AD ⊥平面 BPC， 1 所以 VA－BCD＝3S△BPC·AD 1 1 x2 a2 ＝3×2×a a×a－ 4 － 4 ·x 1 ＝12a· （3a2－x2）x2 2 3a22 9a4 1 3 1 ＝12a· －x － 2 ＋ 4 ≤8a ， 3 2 6 2 当且仅当 x ＝2a ，即 x＝ 2 a 时取等号．