2017-2018学年高中数学北师大版选修2-1同步配套课时跟踪训练：(十八) 双曲线及其标准方程 含解析
精选2017_2018学年高中数学课时跟踪训练一归纳与类比北师大版选修2_2
课时跟踪训练(一) 归纳与类比1．由数列2,20,200,2 000，…，猜测该数列的第n项可能是( )A．2×10n B．2×10n－1C．2×10n＋1D．2×10n－212.如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是( )11 11 2 11 3 3 11 4 a 4 11 5 10 10 5A．2 B．4C．6 D．83．(湖北高考)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈136L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈275L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A.227B.258C.15750D.3551134．从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性( )5．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，你认为可推知正四面体的下列哪些性质________．(填写序号)①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．6．四个小动物换座位，开始时鼠、猴、兔、猫分别坐在编号为1,2,3,4的位置上(如图)，第1次前后排动物互换座位，第2次左右列动物互换座位，第3次前后排动物互换座位，……这样交替进行下去，那么第2 014次互换座位后，小兔的座位对应的编号是________．7．观察等式：1＋3＝4＝22,1＋3＋5＝9＝32,1＋3＋5＋7＝16＝42，你能得出怎样的结论？8．如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SA⊥SC，且SA，SB，SC和底面ABC所成的角分别为α1，α2，α3，三侧面△SBC，△SAC，△SAB的面积分别为S1，S2，S3.类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想．答案1．选B2．选C 由杨辉三角形可以发现：每一行除1外，每个数都是它肩膀上的两数之和．故a＝3＋3＝6.3．选B 由题意知275L2h＝13πr2h⇒275L2＝13πr2，而L＝2πr，代入得π＝258.4．选A 每一行图中的黑点从右上角依次递减一个．5．解析：正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．答案：①②③6．解析：第4次左右列动物互换座位后，鼠、猴、兔、猫分别坐在编号为1,2,3,4的位置上，即回到开始时的座位情况，于是可知这样交替进行下去，呈现出周期为4的周期现象，又2 014＝503×4＋2，故第2 014次互换座位后的座位情况就是第2次互换座位后的座位情况，所以小兔的座位对应的编号是2.答案：27．解：通过观察发现：等式的左边为正奇数的和，而右边是整数(实际上就是左边奇数的个数)的完全平方．因此可推测得出：1＋3＋5＋7＋9＋…＋(2n －1)＝n 2(n ≥2，n ∈N ＋)．8．解：在△DEF 中， 由正弦定理，得d sin D ＝e sin E ＝fsin F.于是，类比三角形中的正弦定理， 在四面体S －ABC 中，猜想S 1sin α1＝S 2sin α2＝S 3sin α3成立．。
北师大版高中数学选修1-2课时跟踪检测(10套,附解析)
北师大版高中数学选修1-2课时跟踪检测（10套，附解析）一、回归分析1．已知两个有线性相关关系的变量的相关系数为r，则r取下列何值时，两个变量的线性相关关系最强( )A．－0.91 B．0.25C．0.6 D．0.86解析：选A 在四个r值中，|－0.91|最接近1，故此时，两个变量的线性相关关系最强．2．根据如下样本数据A．a>0，b>0 B．a>0，b<0C．a<0，b>0 D．a<0，b<0解析：选B 由表中数据画出散点图，如图．由散点图可知b<0，a>0，选B.3.设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i，y i)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是( )A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心(x，y)C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kgD．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg解析：选D 由于回归直线的斜率为正值，故y与x具有正的线性相关关系，选项A中的结论正确；回归直线过样本点的中心，选项B中的结论正确；根据回归直线斜率的意义易知选项C中的结论正确；由于回归分析得出的是估计值，故选项D中的结论不正确．4．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程y ＝bx ＋a ，其中b ＝0.76，a ＝y －b x .据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元解析：选B 由题意知，x ＝8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.95＝10，y ＝6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.85＝8，∴a ＝8－0.76×10＝0.4，∴当x ＝15时，y ＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．5．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为________．解析：根据样本相关系数的定义可知， 当所有样本点都在直线上时， 相关系数为1. 答案：16．某咖啡厅为了了解热饮的销售量y (个)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天的销售量与气温，并制作了对照表：________．解析：∵x ＝14(18＋13＋10－1)＝10，y ＝14(24＋34＋38＋64)＝40，∴40＝－2×10＋a ，∴a ＝60，当x ＝－4时，y ＝－2×(－4)＋60＝68.答案：687．某种产品的广告费用支出x 与销售额y 之间有如下的对应数据(单位：万元).(1)(2)求回归方程；(3)据此估计广告费用支出为10万元时，销售额y 的值． 解：(1)作出散点图如下图．(2)由散点图可知，样本点近似地分布在一条直线附近，因此，x ，y 之间具有线性相关关系．由表中的数据可知，x －＝15×(2＋4＋5＋6＋8)＝5，y －＝15×(30＋40＋60＋50＋70)＝50.所以b ＝∑i ＝15x i －x－y i －y－∑i ＝15x i －x－2＝6.5，a ＝y －－b x －＝50－6.5×5＝17.5，因此线性回归方程为y ＝17.5＋6.5x .(3)x ＝10时，y ＝17.5＋10×6.5＝82.5(万元)． 即当支出广告费用10万元时，销售额为82.5万元．8．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：(1)求回归直线方程y ＝bx ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)解：(1)x ＝16(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，y ＝16(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，从而a ＝y ＋20x ＝80＋20×8.5＝250, 故y ＝－20x ＋250.(2)由题意知， 工厂获得利润z ＝(x －4)y ＝－20x 2＋330x －1 000＝－20⎝⎛⎭⎪⎫x －3342＋361.25，所以当x ＝334＝8.25时，z max ＝361.25(元)．即当该产品的单价定为8.25元时，工厂获得最大利润．9．在钢铁碳含量对于电阻的效应研究中，得到如下数据表：解：由已知数据得x －＝17×∑i ＝17x i ≈0.543，y －＝17×145.2≈20.74，∑i ＝17x 2i ＝2.595，∑i ＝17y 2i ＝3 094.72，∑i ＝17x i y i ＝85.45.∴b ≈85.45－7×0.543×20.742.595－7×0.5432≈12.46， a ＝20.74－12.46×0.543≈13.97.线性回归方程为y ＝13.97＋12.46x . 下面利用相关系数检验是否显著．∑i ＝17x i y i －7x － y －＝85.45－7×0.543×20.74≈6.62，∑i ＝17x 2i －7x －2＝2.595－7×(0.543)2≈0.531， ∑i ＝17y 2i －7y －2＝3 094.72－7×(20.74)2＝83.687. ∴r ＝6.620.531×83.687≈0.993.由于r 接近于1，故钢铁碳含量对电阻的效应线性相关关系显著．二、条件概率与独立事件1．抛掷一颗骰子一次，A 表示事件：“出现偶数点”，B 表示事件：“出现3点或6点”，则事件A 与B 的关系是( )A ．相互互斥事件B ．相互独立事件C ．既相互互斥又相互独立事件D ．既不互斥又不独立事件解析：选B A ＝{2,4,6}，B ＝{3,6}，A ∩B ＝{6}，所以P (A )＝12，P (B )＝13，P (AB )＝16＝12×13，所以A 与B 是相互独立事件． 2．把一枚硬币抛掷两次，事件A ＝“第一次出现正面”，事件B ＝“第二次出现反面”，则P (B |A )的值为( )A.12 B ．14 C.13D ．1解析：选A P (B )＝P (A )＝12，P (AB )＝14，P (B |A )＝P ABP A ＝1412＝12.3．某农业科技站对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地取出一粒，则这粒水稻种子发芽能成长为幼苗的概率为( )A ．0.02B ．0.08C ．0.18D ．0.72解析：选D 设“这粒水稻种子发芽”为事件A ，“这粒水稻种子发芽又成长为幼苗”为事件AB ，“这粒种子能成长为幼苗”为事件B |A ，则P (A )＝0.8，P (B |A )＝0.9，由条件概率公式，得P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝0.9×0.8＝0.72.4．甲射手击中靶心的概率为13，乙射手击中靶心的概率为12，甲、乙两人各射击一次，那么56等于( )A ．甲、乙都击中靶心的概率B ．甲、乙恰好有一人击中靶心的概率C ．甲、乙至少有一人击中靶心的概率D ．甲、乙不全击中靶心的概率解析：选D 设“甲、乙都击中靶心”为事件A ，则P (A )＝13×12＝16，甲、乙不全击中靶心的概率为P (A )＝1－P (A )＝1－16＝56.5．有一个数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是12，乙能解决的概率是13，两人试图独立地在半小时内解决它，则两人都未解决的概率为________，问题得到解决的概率为________．解析：甲、乙两人都未能解决为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝12×23＝13，问题得到解决就是至少有1 人能解决问题． ∴P ＝1－13＝23.答案：13 236．盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次取出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为________．解析：法一：设A ＝{第一次取到新球}，B ＝{第二次取到新球}，则n (A )＝6×9＝54，n (AB )＝6×5＝30，∴P (B |A )＝n AB n A ＝3054＝59.法二：在第一次取到新球的条件下，盒中装有9只乒乓球，其中5只新球，则第二次也取到新球的概率为P ＝59.答案：597．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A ，B ，C 进行围棋比赛，甲对A 、乙对B 、丙对C 各一盘．已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6，0.5，0.5.假设各盘比赛结果相互独立．求红队至少两名队员获胜的概率．解：设甲胜A 的事件为D ，乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F ，则D ，E ，F 分别表示甲不胜A 、乙不胜B 、丙不胜C 的事件．因为P (D )＝0.6，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5， 由对立事件的概率公式知，P (D )＝0.4，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5.红队至少两人获胜的事件有DE F ，D E F ，D EF ，DEF .由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P ＝P (DE F )＋P (D E F )＋P (D EF )＋P (DEF )＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.8．设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．(1)求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率； (2)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率．解：设“只购买甲种商品”为事件A ，“只购买乙种商品”为事件B ，“购买甲、乙两种商品中的一种”为事件C ，“至少购买甲、乙两种商品中的一种”为事件D .(1)因为C ＝(A B )＋(A B )，所以P (C )＝P (A B )＋P (A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B ) ＝0.5×(1－0.6)＋(1－0.5)×0.6＝0.5. (2)因为D ＝A B ，所以P (D )＝P (A B )＝P (A )P (B )＝0.5×0.4＝0.2. 所以P (D )＝1－P (D )＝1－0.2＝0.8.9．2018年某中学对参加“社会实践活动”的全体志愿者进行学分考核，因该批志愿者表现良好，学校决定考核只有合格和优秀两个等次．若某志愿者考核为合格，授予1个学分；考核为优秀，授予2个学分，假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为45，23，23，他们考核所得的等次相互独立．(1)求在这次考核中，志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率； (2)求在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和至多为4分的概率． 解：(1)记“甲考核为优秀”为事件A ，“乙考核为优秀”为事件B ，“丙考核为优秀”为事件C ，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件D .则P (D )＝1－P (A B C )＝1－P (A )P (B )P (C )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝4445.(2)由题意，得在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为3分的概率为P (AB C )＝P (A )P (B )P (C )＝⎝⎛⎭⎪⎫1－45×⎝⎛⎭⎪⎫1－23×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＝145，在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为4分的概率为P (A B C )＋P (AB C )＋P (A B C )＝45×⎝⎛⎭⎪⎫1－23×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝⎛⎭⎪⎫1－45×23×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝⎛⎭⎪⎫1－45×⎝⎛⎭⎪⎫1－23×23＝845.所以在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和至多为4分的概率为145＋845＝15.三、独立性检验 独立性检验的基本思想及应用1．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到下表：由χ2＝n a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d算得，χ2＝30－260×50×60×50≈7.8.附表：A ．有99.9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B ．有99.9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动和性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动和性别无关”解析：选C 因为χ2≈7.8>6.635，所以有99%以上的把握认为有关．2．两个分类变量X 和Y, 值域分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}, 其样本频数分别是a ＝10, b ＝21, c ＋d ＝35. 若X 与Y 有关系的可信程度不小于95%, 则c 等于( )A ．3B ．7C ．5D ．6解析：选A 列表如下：故χ2＝≥3.841. 把选项A、B、C、D代入验证可知选A.＋c－c3．某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )表1表3表4A．成绩C．智商D．阅读量解析：选D 因为χ21＝－216×36×32×20＝52×8216×36×32×20，χ22＝－216×36×32×20＝52×112216×36×32×20，χ23＝－216×36×32×20＝52×96216×36×32×20，χ24＝－216×36×32×20＝52×408216×36×32×20，则有χ24>χ22>χ23>χ21，所以阅读量与性别关联的可能性最大．4．在研究性别与吃零食这两个分类变量是否有关系时，下列说法中正确的序号是________．①若χ2>6.635，则我们有99%的把握认为吃零食与性别有关系，那么在100个吃零食的人中必有99人是女性；②由独立性检验可知，在有99%的把握认为吃零食与性别有关系时，如果某人吃零食，那么此人是女性的可能性为99%；③由独立性检验可知，在有99%的把握认为吃零食与性别有关系时，是指每进行100次这样的推断，平均有1次推断错误．解析：χ2是指确定有多大的把握认为“两个分类变量吃零食与性别有关系”的随机变量值，所以由独立性检验可知，当有99%的把握认为吃零食与性别有关系时，是指每进行100次这样的推断，平均有1次推断错误，故填③.答案：③5．下列是关于出生男婴与女婴调查的列联表：那么A＝________，BD＝________，E＝________.解析：由45＋E＝98得E＝53，由98＋D＝180可知D＝82.由A＋35＝D知A＝47.所以B＝45＋47＝92.C＝E＋35＝88.答案：47 92 88 82 536．为探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠，在照射后14天内的结果如下表所示.2≈________.解析：χ2＝－220×30×25×25≈5.333.答案：5.3337．在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外的27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外的33人主要的休闲方式是运动．(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；(2)能否有95%的把握认为性别与休闲方式有关系．解：(1)2×2列联表为：(2)计算χ2＝－270×54×64×60≈6.201.因为6.201>3.841，所以有95%的把握认为“性别与休闲方式有关”．8．某地区甲校高二年级有1 100人，乙校高二年级有900人，为了统计两个学校高二年级在学业水平考试中的数学学科成绩，采用分层抽样的方法在两校共抽取了200名学生的数学成绩，如表．(已知本次测试合格线是50分，两校合格率均为100%)甲校高二年级数学成绩：(2)若数学成绩不低于80分为优秀，低于80分为非优秀，根据以上统计数据填写下面2×2列联表，并回答能否有95%的把握认为“两个学校的数学成绩有差异”？解：(1)所以x＝10，y＝15.甲校的平均分为1110×(55×10＋65×25＋75×35＋85×30＋95×10)≈75.乙校的平均分为190×(55×15＋65×30＋75×25＋85×15＋95×5)≈71.(2)数学成绩不低于80分为优秀，低于80分为非优秀，得到列联表如下：所以χ2＝110×90×60×140≈4.714，又因为4.714>3.841，故有95%的把握认为“两个学校的数学成绩有差异”．9．某学生对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，并用如图所示的茎叶图表示他们的饮食指数(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主)．(1)根据茎叶图，帮助这位同学说明其30位亲属的饮食习惯；(2)根据以上数据完成如下2×2列联表；(3)解：(1)由茎叶图，可知30位亲属中50岁以上的人饮食多以蔬菜为主，50岁以下的人饮食多以肉类为主．(2)2×2列联表如下所示：(3)由题意，知χ2＝12×18×20×10＝10>6.635，故有99%以上的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关系．四、流程图1．下列关于流程图的说法中不正确的是( )A．流程图用来描述一个动态过程B．算法框图是一种特殊的流程图C．流程图只能用带箭头的流程线表示各单元的先后关系D．解决某一问题的流程图的画法是唯一的解析：选D A，C均符合流程图的特征，算法框图是一种特殊的流程图，故B正确．2．某人带着包裹进入超市购物的流程图如图所示，则在空白处应填( )进入超市―→存放包裹―→在货架上选择物品―→付款―→―→离开超市A．退换物品B．归还货车C．取回包裹D．参加抽奖答案：C3.如图所示，已知集合A＝{x|框图中输出的x的值}，集合B＝{y|框图中输出的y的值}．全集U＝Z，Z为整数集．当x＝－1时，(∁U A)∩B＝( )A．{－3，－1,5}B．{－3，－1,5,7}C．{－3，－1,7}D．{－3，－1,7,9}解析：选D 根据程序框图功能知：y＝－3，x＝0；y＝－1，x＝1；y＝1，x＝2；…；y＝9，x＝6.所以A＝{0,1,2,3,4,5,6}．B＝{－3，－1,1,3,5,7,9}．则(∁U A)∩B＝{－3，－1,7,9}．4.执行如图所示的程序框图，如果输入的a＝－1，则输出的S等于( )A．2 B．3C．4 D．5解析：选B 运行程序框图，a＝－1，S＝0，K＝1，K≤6成立；S＝0＋(－1)×1＝－1，a＝1，K＝2，K≤6成立；S＝－1＋1×2＝1，a＝－1，K＝3，K≤6成立；S＝1＋(－1)×3＝－2，a＝1，K＝4，K≤6成立；S＝－2＋1×4＝2，a＝－1，K＝5，K≤6成立；S＝2＋(－1)×5＝－3，a＝1，K＝6，K≤6成立；S＝－3＋1×6＝3，a＝－1，K＝7，K≤6不成立，输出S＝3.5．某工程的工序流程图如图，则该工程的总工时最多为________天．解析：因为各个不同工序中用时最多的是①→②→④→⑥→⑦，即9天．答案：96．执行如图所示的程序框图，若输入n＝3，则输出T＝________.解析：输入n＝3，则i＝0，S＝0，T＝0，i≤n成立，故i＝1，S＝0＋1＝1，T＝0＋1＝1，此时i＝1≤n成立，故i＝2，S＝1＋2＝3，T＝1＋3＝4，此时i＝2≤n成立，故i＝3，S＝3＋3＝6，T＝4＋6＝10，此时i＝3≤n成立，故i＝4，S＝6＋4＝10，T＝10＋10＝20，此时i＝4≤n不成立，故输出T＝20.答案：207．如图是某工厂加工某种零件的一个工序操作流程图．按照这个工序流程图，回答下列问题： (1)一件成品最多经过几道加工和检验程序； (2)导致废品的产生有几种不同的情形．解：由流程图可得：(1)最多经过“粗加工”“检验”“返修加工”“返修检验”“精加工”“最后检验”六道加工和检验程序．(2)三种不同情形：①返修加工―→返修检验不合格． ②检验――→合格精加工―→最后检验不合格． ③返修检验――→合格精加工―→最后检验不合格．8．求两底面半径分别为1和4，高为4的圆台的表面积及体积，写出解决该问题的一个算法，并画出程序框图．解：算法步骤如下：第一步 r 1＝1，r 2＝4，h ＝4. 第二步 计算l ＝r 2－r 12＋h 2.第三步 计算S 1＝πr 21，S 2＝πr 22，S 3＝π(r 1＋r 2)l . 第四步 计算S ＝S 1＋S 2＋S 3，V ＝13(S 1＋S 1S 2＋S 2)h .第五步 输出S 和V . 该算法的程序框图如下：9．高考成绩公布后，考生如果认为公布的高考成绩与本人估算的成绩不符，可以在规定的时间内申请查分，其步骤如下：①本人填写《查分登记表》，交县(区)招生办申请查分，县(区)招生办呈交市招生办，再报省招生办．②省招生办复查，若无误，则查分工作结束后通知市招生办；若有误，则再具体认定并改正，也在查分工作结束后通知市招生办．③市招生办接通知后通知县(区)招生办，再由县(区)招生办通知考生．试画出该事件的流程图．解：流程图如图所示．五、结构图1．下列关于流程图和结构图的说法中不正确的是( )A．流程图用来描述一个动态过程B．结构图是用来刻画系统结构的C．流程图只能用带箭头的流程线表示各单元的先后关系D．结构图只能用带箭头的连线表示各要素之间的从属关系或逻辑上的先后关系解析：选D 结构图一般由构成系统的若干要素和表达各要素之间关系的连线(或方向箭头)构成，故D不正确．2．把平面内两条直线的位置关系填入结构图中的M，N，E，F中，顺序较为恰当的是( )①平行②垂直③相交④斜交A．①②③④B．①④②③C．①③②④D．②①④③解析：选C 平行无交点，而垂直、相交、斜交都有交点，垂直与斜交是并列的，都隶属于相交．3．下图是“集合”的知识结构图，如果要加入“子集”，则应该放在( )A．“集合的概念”的下位B．“集合的表示”的下位C．“基本关系”的下位D．“基本运算”的下位解析：选C 子集是集合与集合之间的关系，故应为“基本关系”的下位．4．下图是一商场某一个时间制订销售计划时的局部结构图，则“计划”受影响的主要要素有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C 共有“策划部”“政府行为”“社会需求”，三个要素影响计划的执行．5．我国是华南虎的故乡，且华南虎是所有老虎的祖先，现在我国野生华南虎的数量已不足20只，弥足珍贵，老虎属于猫科动物，猫科动物的分类(如图所示)．据图回答：华南虎属于________科，________属．解析：该结构图是按从左到右的顺序画出的，从左到右第二层是科类，第三层是属类，分类由大到小，逐层细化，单线观察：猫科动物-豹亚科-豹属-虎种-华南虎，和华南虎相连的第二层是豹亚科，第三层是豹属．答案：豹亚豹6．下列关于结构图的说法中，正确的是________．①结构图只能是从左向右分解；②结构图只能是从上向下分解；③结构图只能是从下向上分解；④结构图一般呈“树”形结构；⑤结构图有时呈“环”形结构．解析：结构图分解方向一般依据具体情况选择从上向下或从左向右．答案：④⑤7．一家新技术公司计划研制一个名片管理系统，希望系统能够具备以下功能：(1)用户管理：能修改密码，显示用户信息，修改用户信息．(2)用户登录．(3)名片管理：能够对名片进行删除、添加、修改、查询．(4)出错信息处理．请根据这些要求画出该系统的结构图．解：由题意可得：8．如图所示是某大学的学校组织结构图，由图回答下列问题：(1)学生工作处的下位要素是什么？(2)学生工作处与其下位要素是什么关系？解：(1)由题图可知学生工作处的下位要素包括工业工程系、城建环保工程系、电气工程系、计算机工程系、机械工程系、汉教部．(2)学生工作处与其下位要素的关系是从属关系．9．画出三角函数的知识结构图．解：三角函数的知识结构图如下：六、归纳推理1．观察下列数列的特点：1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…，则第100项是( )A．10 B．13C．14 D．100解析：选C ∵＋2＝91，∴从第92项到第105项都是14，故选C.2.如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是( )11 11 2 11 3 3 11 4 a 4 11 5 10 10 5 1A．2 B．4C ．6D ．8解析：选C 由杨辉三角形可以发现：每一行除1外，每个数都是它肩膀上的两数之和．故a ＝3＋3＝6.3．观察下图中图形的规律，在其右下角的空格内适合的图形为( )A ．■ C ．□D ．○解析：选A 图形涉及三种符号□、○、△，其中符号○与△各有3个，且各自有二黑一白，所以□缺一个黑色符号，即应画上■才合适．4．设凸k 边形的内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和f (k ＋1)＝f (k )＋( ) A.π2B ．π C.32π D ．2π解析：选B 三角形内角和为π，四边形为2π，五边形为3π，…，故f (k ＋1)＝f (k )＋π.5．已知x ∈(0，＋∞)，有下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x3＋27x 3≥4成立，观察上面各式，按此规律若x ＋ax4≥5，则正数a ＝________.解析：观察给出的各个不等式，不难得到x ＋11x ≥2，x ＋22x 2≥3，x ＋33x3≥4，从而第4个不等式为x ＋44x 4≥5，所以当x ＋a x4≥5时，正数a ＝44.答案：446．如图①是第七届国际数学教育大会(简称ICME －7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图②的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，如果把图②中的直角三角形依此规律继续作下去，记OA 1，OA 2，…，OA n ，…的长度构成数列{a n }，则此数列{a n }的通项公式为a n ＝__________.解析：根据OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1和题图②中的各直角三角形，由勾股定理，可得a 1＝OA 1＝1，a 2＝OA 2＝OA 21＋A 1A 22＝12＋12＝2，a 3＝OA 3＝OA 22＋A 2A 23＝22＋12＝3，…，故可归纳推测出a n ＝n . 答案：n7．观察等式：1＋3＝4＝22,1＋3＋5＝9＝32,1＋3＋5＋7＝16＝42，你能得出怎样的结论？ 解：通过观察发现：等式的左边为正奇数的和，而右边是整数(实际上就是左边奇数的个数)的完全平方．因此可推测得出：1＋3＋5＋7＋9＋…＋(2n －1)＝n 2(n ≥2，n ∈N ＋)．8．已知a ，b 为正整数，设两直线l 1：y ＝b －ba x 与l 2：y ＝b ax 的交点为P 1(x 1，y 1)，且对于n ≥2的自然数，两点(0，b )，(x n －1,0)的连线与直线y ＝b ax 交于点P n (x n ，y n )．(1)求P 1，P 2的坐标； (2)猜想P n 的坐标(n ∈N ＋)．解：(1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b －b ax ，y ＝ba x ，得P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b2.过(0，b )，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0两点的直线方程为2x a ＋y b ＝1，与y ＝b a x 联立解得P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，b 3. (2)由(1)可猜想P n ⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋1，b n ＋1.9．一种十字绣作品由相同的小正方形构成，图①②③④分别是制作该作品前四步所对应的图案，按照如此规律，第n 步完成时对应图案中所包含小正方形的个数记为f (n )．(1)求出f (2)，f (3)，f (4)，f (5)的值；(2)利用归纳推理，归纳出f (n ＋1)与f (n )的关系式； (3)猜想f (n )的表达式，并写出推导过程． 解：(1)图①中只有一个小正方形，得f (1)＝1；图②中有3层，以第2层为对称轴，有1＋3＋1＝5(个)小正方形，得f (2)＝5； 图③中有5层，以第3层为对称轴，有1＋3＋5＋3＋1＝13(个)小正方形，得f (3)＝13； 图④中有7层，以第4层为对称轴，有1＋3＋5＋7＋5＋3＋1＝25(个)小正方形，得f (4)＝25；第五步所对应的图形中有9层，以第5层为对称轴，有1＋3＋5＋7＋9＋7＋5＋3＋1＝41(个)小正方形，得f(5)＝41.(2)∵f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25，f(5)＝41，∴f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，…，∴f(n)－f(n－1)＝4×(n－1)＝4n－4.∴f(n＋1)与f(n)的关系式为f(n＋1)－f(n)＝4n.(3)猜想f(n)的表达式为f(n)＝2n2－2n＋1.由(2)可知f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，……f(n)－f(n－1)＝4×(n－1)＝4n－4，将上述n－1个式子相加，得f(n)－f(1)＝4[1＋2＋3＋4＋…＋(n－1)]，则f(n)＝2n2－2n＋1.七、类比推理1．下列哪个平面图形与空间图形中的平行六面体作为类比对象较合适( )A．三角形B．梯形C．平行四边形D．矩形解析：选C 从构成几何图形的几何元素的数目、位置关系、度量等方面考虑，用平行四边形作为平行六面体的类比对象较为合适．2．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝2Sa＋b＋c；类比这个结论可知：四面体PABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为r，四面体PABC的体积为V，则r＝( )A.VS1＋S2＋S3＋S4B.2VS1＋S2＋S3＋S4C.3VS1＋S2＋S3＋S4D.4VS1＋S2＋S3＋S4解析：选C 设内切球的球心为O，所以可将四面体PABC分为四个小的三棱锥，即OABC，OPAB，OPAC，OPBC，而四个小三棱锥的底面积分别是四面体PABC的四个面的面积，高是内切球的半径，所以V ＝13S 1r ＋13S 2r ＋13S 3r ＋13S 4r ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r ，∴r ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.3．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1b 2b 3…b 9＝29.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为( )A ．a 1a 2a 3…a 9＝29B ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝29C ．a 1a 2…a 9＝2×9D ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝2×9解析：选D 类比等比数列{b n }中b 1b 2b 3…b 9＝b 95，可得在等差数列{a n }中a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 5＝9×2.4．类比三角形中的性质： ①两边之和大于第三边； ②中位线长等于底边长的一半； ③三内角平分线交于一点． 可得四面体的对应性质：①任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；②过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于该顶点所对的面面积的14；③四面体的六个二面角的平分面交于一点． 其中类比推理方法正确的有( ) A ．① B ．①② C ．①②③D ．都不对解析：选C 以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不一定正确．5．在△ABC 中，D 为BC 的中点，则AD ―→＝12()AB ―→＋AC ―→ ，将命题类比到四面体中去，得到一个命题为：______________________________________.．解析：平面中线段的中点类比到空间为四面体中面的重心，顶点与中点的连线类比顶点和重心的连线．答案：在四面体A BCD 中，G 是△BCD 的重心，则AG ―→＝13()AB ―→＋AC ―→＋AD ―→ 6．运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一条固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截得的线段的比都为k ，那么甲的面积是乙的面积的k 倍．你可以从给出的简单图形①②中体会这个原理．现在图③中的两个曲线方程分别是x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b＞0)与x 2＋y 2＝a 2，运用上面的原理，图③中椭圆的面积为__________．解析：由于椭圆与圆截y 轴所得线段之比为b a， 即k ＝b a，所以椭圆面积S ＝πa 2·b a＝πab . 答案：πab7．在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，则cos 2A ＋cos 2B ＝1，在空间中，给出四面体性质的猜想．解：如图，在Rt △ABC 中，cos 2A ＋cos 2B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＝a 2＋b2c 2＝1.于是把结论类比到四面体P A ′B ′C ′中，我们猜想，三棱锥P A ′B ′C ′中，若三个侧面PA ′B ′，PB ′C ′，PC ′A ′两两互相垂直，且分别与底面所成的角为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.8．在公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和．(1)写出相应的结论，判断该结论是否正确，并加以证明； (2)写出该结论一个更为一般的情形(不必证明)．解：(1)在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和，则数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也是等差数列，且公差为300.该结论是正确的．证明如下：∵等差数列{a n }的公差d ＝3， ∴(S 30－S 20)－(S 20－S 10)＝(a 21＋a 22＋…＋a 30)－(a 11＋a 12＋…＋a 20)＝10d ＋10d ＋…＋10d ＝100d ＝300，10个同理可得：(S 40－S 30)－(S 30－S 20)＝300，所以数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30是等差数列，且公差为300. (2)在公差为d 的等差数列{a n }中， 若S n 是{a n }的前n 项和， 则对于任意k ∈N ＋， 数列S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，S 4k －S 3k 也成等差数列，且公差为k 2d .9．先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知a 1，a 2∈R ，a 1＋a 2＝1，求证a 21＋a 22≥12.证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2， 则f (x )＝2x 2－2(a 1＋a 2)x ＋a 21＋a 22＝2x 2－2x ＋a 21＋a 22. 因为对一切x ∈R ，恒有f (x )≥0，所以Δ＝4－8(a 21＋a 22)≤0，所以a 21＋a 22≥12.(1)若a 1，a 2，…，a n ∈R ，a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，请写出上述结论的推广式； (2)类比上述证法，对你推广的结论加以证明． 解：(1)若a 1，a 2，…，a n ∈R ，a 1＋a 2＋…＋a n ＝1， 求证：a 21＋a 22＋…＋a 2n ≥1n.(2)证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2，则f (x )＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝nx 2－2x ＋a 21＋a 22＋…＋a 2n . 因为对一切x ∈R ，恒有f (x )≥0， 所以Δ＝4－4n (a 21＋a 22＋…＋a 2n )≤0. 所以a 21＋a 22＋…＋a 2n ≥1n.八、数学证明1．下列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( )A ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C ．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D ．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数解析：选B 对于A ，小前提与结论互换，错误；对于B ，符合演绎推理过程且结论正确；对于C 和D ，均为大小前提及结论颠倒，不符合演绎推理三段论形式．故选B.2．“9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故此奇数是3的倍数”，上述推理是( )A ．小前提错B ．结论错C ．正确的D ．大前提错解析：选C ∵大前提，小前提，推理形式都正确， ∴结论正确．3．在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，三边a ，b ，c 应满足的条件是( )A ．a 2＜b 2＋c 2B ．a 2＝b 2＋c 2C ．a 2＞b 2＋c 2D ．a 2≤b 2＋c 2解析：选C 由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＜0，∴b 2＋c 2－a 2＜0，∴a 2＞b 2＋c 2.4．在证明f (x )＝2x ＋1为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数f (x )＝2x ＋1满足增函数的定义是大前提；④函数f (x )＝2x ＋1满足增函数的定义是小前提．其中正确的命题是( )A ．①④B ．②④C ．①③D ．②③解析：选A 根据三段论特点，过程应为：大前提是增函数的定义；小前提是f (x )＝2x ＋1满足增函数的定义；结论是f (x )＝2x ＋1为增函数，故①④正确．5.如图，α⊥β，α∩β＝l ，P ∈α，PO ⊥l 交l 于O ，则可以得到的结论是________．。
北师大高中数学选修22培优新方案课时跟踪检测十八 复数的四则运算 含解析
课时跟踪检测（十八） 复数的四则运算一、基本能力达标1．(1＋2i)＋⎝⎛⎭⎫12－32i －⎝⎛⎭⎫－12＋52i ＝( )A ．－2iB ．2－2iC ．2＋2iD ．2解析：选B 原式＝⎝⎛⎭⎫1＋12＋12＋⎝⎛⎭⎫2－32－52i ＝2－2i. 2．已知a 为正实数，i 为虚数单位，若a ＋i i的模为2，则a ＝( ) A ．2B ． 3 C. 2D ．1 解析：选B 因为a ＋i i＝1－a i ，所以 1＋a 2＝2，又a >0，故a ＝ 3.故选B.3．计算：(－1＋3i )3(1＋i )6＋－2＋i 1＋2i＝( ) A ．0B ．1C ．iD ．2i 解析：选D (－1＋3i )3(1＋i )6＋－2＋i 1＋2i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋3i 2i 3＋(－2＋i )(1－2i )5＝i ＋i ＝2i.故选D. 4．(1＋i)20－(1－i)20的值是( )A ．－1 024B ．1 024C ．0D ．512解析：选C (1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0.5．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________.解析：因为(a ＋i)(1＋i)＝a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，a ，b ∈R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝0，a ＋1＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，所以a ＋b i ＝1＋2i.答案：1＋2i6．若复数z 满足z －3(1＋z )i ＝1，则z ＋z 2＝________.解析：由题得z －3i －3z i －1＝0，则z ＝1＋3i 1－3i＝－12＋32i ， 所以z ＋z 2＝－12＋32i ＋⎝⎛⎭⎫－12＋32i 2＝－1. 答案：－17．计算：(1)(2＋2i)2(4＋5i)；(2)(1＋i )2＋3(1－i )2＋i. 解：(1)(2＋2i)2(4＋5i)＝2(1＋i)2(4＋5i)＝4i(4＋5i)＝－20＋16i.(2)(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i 2＋i＝1－i. 8．已知z 为z 的共轭复数，若z ·z －3i z ＝1＋3i ，求z .解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i(a ，b ∈R )，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ，即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.二、综合能力提升1．若z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i(a ∈R )，且在复平面内z 1＋z 2所对应的点在实轴上，则a 的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．－1解析：选D z 1＋z 2＝2＋i ＋3＋a i ＝(2＋3)＋(1＋a )i ＝5＋(1＋a )i.∵在复平面内z 1＋z 2所对应的点在实轴上，∴1＋a ＝0，∴a ＝－1.2．已知复数z 1＝12＋32i ，z 2＝－12＋32i ，则z ＝－z 1z 2＋i 5在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选A 因为z 1＝12＋32i ，z 2＝－12＋32i ，所以z ＝－⎝⎛⎭⎫12＋32i ⎝⎛⎭⎫－12＋32i ＋i 5＝1＋i ，所以复数z 在复平面内对应的点为(1,1)，位于第一象限．故选A.3．若复数z ＝7＋a i 2－i的实部为3，则z 的虚部为________． 解析：z ＝7＋a i 2－i ＝(7＋a i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝(14－a )＋(7＋2a )i 5＝14－a 5＋7＋2a 5i. 由题意知14－a 5＝3，∴a ＝－1，∴z ＝3＋i ，∴z 的虚部为1. 答案：14．设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为________．解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ＝3＋4i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝3，2ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1. ∴|z |＝a 2＋b 2＝ 5.答案： 55．已知复数z ＝1＋i ，求实数a ，b ，使az ＋2b z ＝(a ＋2z )2.解：因为z ＝1＋i ，所以az ＋2b z ＝(a ＋2b )＋(a －2b )i ，(a ＋2z )2＝(a ＋2)2－4＋4(a ＋2)i＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i.因为a ，b 都是实数，所以由az ＋2b z ＝(a ＋2z )2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝a 2＋4a ，a －2b ＝4(a ＋2)，解得a ＝－2或a ＝－4，对应得b ＝－1或b ＝2，所以所求实数为a ＝－2，b ＝－1或a ＝－4，b ＝2.6．复数z ＝(1＋i )3(a ＋b i )1－i且|z |＝4，z 对应的点在第一象限，若复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a ，b 的值．解：z ＝(1＋i )2·(1＋i )1－i(a ＋b i) ＝2i·i(a ＋b i)＝－2a －2b i.由|z |＝4，得a 2＋b 2＝4，①∵复数0，z ，z 对应的点构成正三角形，∴|z －z |＝|z |.把z ＝－2a －2b i 代入化简得|b |＝1.②又∵z 对应的点在第一象限，∴a ＜0，b ＜0.由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝－1. 故所求值为a ＝－3，b ＝－1.。
2017-2018学年高中数学北师大版选修2-1同步配套课时跟
课时跟踪训练(十三) 距离的计算1．已知平面α的一个法向量n ＝(－2，－2,1)，点A (2，－1,0)在α内，则P (1,3，－2)到α的距离为( )A ．10B ．3 C.83D.1032．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在1AC 上且AM ＝121MC ，N 为B 1B 的中点，则|MN |为( )A.216aB.66aC.156a D.153a3.如图，P －ABCD 是正四棱锥，ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，其中AB ＝2，P A ＝6，则B 1到平面P AD 的距离为( )A ．6 B.355C.655D.3224．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离为( )A.83B.38C.43D.345.如图所示，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，所有棱长均为1，则点B 1到平面ABC 1的距离为________．6．如图所示，正方体的棱长为1，E ，F ，M ，N 分别是棱的中点，则平面A 1EF 与平面B 1NMD 1的距离为________．7.如图，已知正方形ABCD ，边长为1，过D 作PD ⊥平面ABCD ，且PD ＝1，E ，F 分别是AB 和BC 的中点．求直线AC 到平面PEF 的距离．8.如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEC 1F 所截而得到的，其中AB ＝4，BC ＝2，CC 1＝3，BE ＝1.求点C 到平面AEC 1F 的距离．答 案1．选C PA ＝(1，－4,2)，又平面α的一个法向量为n ＝(－2，－2,1)，所以P 到α的距离为|PA ·n |n ＝|－2＋8＋2|3＝83.2.选A 以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A (a,0,0)，C 1(0，a ，a )，N ⎝⎛⎭⎫a ，a ，a2. 设M (x ，y ，z )．∵点M 在1AC 上且AM ＝121MC .∴(x －a ，y ，z )＝12(－x ，a －y ，a －z )，∴x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a3.于是M ⎝⎛⎭⎫2a 3，a 3，a 3. ∴|MN | ＝ ⎝⎛⎭⎫a －23a 2＋⎝⎛⎭⎫a －a 32＋⎝⎛⎭⎫a 2－a 32＝216a . 3.选C 以A1B 1为x 轴，A 1D 1为y 轴，A 1A 为z 轴建立空间直角坐标系，设平面P AD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，由题意知，B 1(2,0,0)，A (0，0,2)，D (0,2,2)，P (1,1,4)．AD ＝(0,2,0)，AP ＝(1,1,2)，∴AD ·n ＝0，且AP ·n ＝0.∴y ＝0，x ＋y ＋2z ＝0，取z ＝1，得n ＝(－2,0,1)．∵1B A ＝(－2,0,2)，∴B 1到平面P AD 的距离d ＝|1B A ·n ||n |＝655.4.选C 如图，建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (2,0,0)，A 1(2,0,4)，B 1(2,2,4)，D 1(0，0,4)．∴11D B ＝(2,2,0)，1D A ＝(2,0，－4)，1AA ＝(0,0,4)，设n ＝(x ，y ，z )是平面AB 1D 1的一个法向量，则n ⊥11D B ，n ⊥1D A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·11D B ＝0，n ·1D A ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝0，2x －4z ＝0.令z ＝1，则平面AB 1D 1的一个法向量为n ＝(2，－2,1)．∴由1AA 在n 上射影可得A 1到平面AB 1D 1的距离为d ＝|1AA ·n ||n |＝43.5.解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则C (0，0,0)，A ⎝⎛⎭⎫32，12，0，B (0,1,0)，B 1(0,1,1)，C 1(0,0,1)，则1C A ＝⎝⎛⎭⎫32，12，－1，11C B ＝(0,1,0)，1C B ＝(0,1，－1)，设平面ABC 1的法向量为n ＝(x ，y,1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧1C A ·n ＝0 1C B ·n ＝0，解得n ＝⎝⎛⎭⎫33，1，1， 则d ＝|11C B ·n |n ||＝113＋1＋1＝217.答案：2176.解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(1,0,0)，B 1(1,1,0)，E ⎝⎛⎭⎫12，0，1，F ⎝⎛⎭⎫1，12，1，D 1(0,0,0)，M ⎝⎛⎭⎫0，12，1，N ⎝⎛⎭⎫12，1，1. ∵E ，F ，M ，N 分别是棱的中点， ∴MN ∥EF ，A 1E ∥B 1N . ∴平面A 1EF ∥平面B 1NMD 1.∴平面A 1EF 与平面B 1NMD 1的距离即为A 1到平面B 1NMD 1的距离． 设平面B 1NMD 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∴n ·11D B ＝0，且n ·1B N ＝0. 即(x ，y ，z )·(1,1,0)＝0，且(x ，y ，z )·⎝⎛⎭⎫－12，0，1＝0. ∴x ＋y ＝0，且－12x ＋z ＝0，令x ＝2，则y ＝－2，z ＝1. ∴n ＝(2，－2,1)，n 0＝⎝⎛⎭⎫23，－23，13. ∴A 1到平面B 1NMD 1的距离为d ＝|11A B ·n 0|＝⎪⎪⎪⎪(0，1，0)·⎝⎛⎭⎫23，－23，13＝23. 答案：237．解：由题意知直线AC 到平面PEF 的距离即为点A 到平面PEF 的距离，以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，P (0,0,1)，E ⎝⎛⎭⎫1，12，0，F ⎝⎛⎭⎫12，1，0，∴PE ＝⎝⎛⎭⎫1，12，－1，PF ＝⎝⎛⎭⎫12，1，－1. 设n ＝(x ，y ，z )是平面PEF 的一个法向量，则由⎩⎨⎧n ·PE ＝0，n ·PF ＝0，得⎩⎨⎧x ＋y2－z ＝0，x 2＋y －z ＝0.令x ＝1，则y ＝1，z ＝32，∴n ＝⎝⎛⎭⎫1，1，32.又∵AP ＝(－1,0,1)， ∴d ＝|AP ·n ||n |＝－1×1＋0×1＋1×321＋1＋94＝1717.8．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，B (2,4,0)，A (2,0,0)，C (0,4,0)，E (2,4,1)，C 1(0,4,3)．设n 为平面AEC 1F 的法向量，显然n 不垂直于平面ADF ，故可设n ＝(x ，y,1)．由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE ＝0，n ·1EC ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧0·x ＋4·y ＋1＝0，－2·x ＋0·y ＋2＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧4y ＋1＝0，－2x ＋2＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－14.n ＝⎝⎛⎭⎫1，－14，1. 又1CC ＝(0,0,3)．∴C 到平面AEC 1F 的距离为 d ＝|1CC ·n ||n |＝31＋116＋1＝43311.。
【推荐K12】2017_2018学年高中数学课时跟踪训练十六抛物线及其标准方程北师大版选修2_1
5．解析：因为y2＝2px过点M(2,2)，于是p＝1，所以点M到抛物线准线的距离为2＋ ＝ .
答案：
6．解析：抛物线y2＝2px(p＞0)的准线为x＝－ ，因为P(6，y)为抛物线上的点，所以P到焦点F的距离等于它到准线的距离，所以6＋ ＝8，所以p＝4，故焦点F到抛物线准பைடு நூலகம்的距离等于4.
8．解：(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－ ，
于是，4＋ ＝5，p＝2.
所以抛物线方程为y2＝4x.
(2)因为点A的坐标是(4,4)，
由题意得B(0,4)，M(0,2)．
又F(1,0)，所以kAF＝ .
因为MN⊥FA，所以kMN＝－ .
则FA的方程为y＝ (x－1)，
MN的方程为y＝－ x＋2.
C．8D．－8
4．若动圆与圆(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程是()
A．y2＝8xB．y2＝－8x
C．y2＝4xD．y2＝－4x
5．抛物线y2＝2px过点M(2,2)，则点M到抛物线准线的距离为________________．
6．已知点P(6，y)在抛物线y2＝2px(p＞0)上，若点P到抛物线焦点F的距离等于8，则焦点F到抛物线准线的距离等于________________．
解方程组 得 所以N .
7．由条件解下列各题的标准方程及准线方程．
(1)求焦点在直线2x－y＋5＝0上的抛物线的标准方程及其准线方程．
(2)已知抛物线方程为2x2＋5y＝0，求其焦点和准线方程．
北师大版2017-2018学年高中数学选修2-3全册课时跟踪训练
北师大版2017-2018学年高中数学选修2-3全册课时跟踪训练目录课时跟踪训练(一) 分类加法计数原理和分步乘法计数原理1 课时跟踪训练(二)排列与排列数公式 (4)课时跟踪训练(三)排列的应用 (7)课时跟踪训练(四)组合与组合数公式 (10)课时跟踪训练(五)组合的应用 (13)课时跟踪训练(六)简单计数问题 (16)课时跟踪训练(七)二项式定理 (19)课时跟踪训练(八)二项式系数的性质 (22)课时跟踪训练(九)离散型随机变量及其分布列 (25)课时跟踪训练(十)超几何分布 (28)课时跟踪训练(十一)条件概率与独立事件 (31)课时跟踪训练(十二)二项分布 (35)课时跟踪训练(十三)离散型随机变量的均值 (39)课时跟踪训练(十四)离散型随机变量的方差 (44)课时跟踪训练(十五)正态分布 (48)阶段质量检测（一） (51)阶段质量检测（二） (56)阶段质量检测（三） (64)阶段质量检测(一) 计数原理 (72)阶段质量检测(二) 概率 (78)阶段质量检测(三) 统计案例 (86)阶段质量检测(四) 模块综合检测 (94)课时跟踪训练(一) 分类加法计数原理和分步乘法计数原理1．一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中任取一本，则不同的取法共有( )A ．37种B ．1 848种C ．3种D ．6种2．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a ，b 组成复数a ＋b i ，其中虚数有( )A ．30个B ．42个C ．36个D ．35个3．现有高一学生9人，高二学生12人，高三学生7人，自发组织参加数学课外活动小组，从中推选两名来自不同年级的学生做一次活动的主持人，不同的选法共有( )A ．756种B ．56种C ．28种D ．255种4.用4种不同的颜色给矩形A ，B ，C ，D 涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有( )A ．12种B ．24种C ．48种D ．72种5．为了对某农作物新品种选择最佳生产条件，在分别有3种不同土质，2种不同施肥量，4种不同的种植密度，3种不同的种植时间的因素下进行种植试验，则不同的实验方案共有________种．6．如图，A →C ，有________种不同走法．7．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1，其中a ，b ∈{1,2,3,4,5}．(1)求满足条件的椭圆的个数；(2)如果椭圆的焦点在x 轴上，求椭圆的个数．8．某艺术小组有9人，每人至少会钢琴和小号中的1种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴和会小号的各1人，有多少种不同的选法？答案1．选A根据分类加法计数原理，得不同的取法为N＝12＋14＋11＝37(种)．2．选C完成这件事分为两个步骤：第一步，虚部b有6种选法；第二步，实部a有6种选法．由分步乘法计数原理知，共有虚数6×6＝36 个．3．选D推选两名来自不同年级的两名学生，有N＝9×12＋12×7＋9×7＝255(种)．4．选D先涂C，有4种涂法，涂D有3种涂法，涂A有3种涂法，涂B有2种涂法．由分步乘法计数原理，共有4×3×3×2＝72种涂法．5．解析：根据分步乘法计数原理，不同的方案有N＝3×2×4×3＝72(种)．答案：726．解析：A→C的走法可分两类：第一类：A→C，有2种不同走法；第二类：A→B→C，有2×2＝4种不同走法．根据分类加法计数原理，得共有2＋4＝6种不同走法．答案：67．解：(1)由椭圆的标准方程知a≠b，要确定一个椭圆，只要把a，b一一确定下来这个椭圆就确定了．∴要确定一个椭圆共分两步：第一步确定a，有5种方法；第二步确定b，有4种方法，共有5×4＝20个椭圆．(2)要使焦点在x轴上，必须a>b，故可以分类：a＝2,3,4,5时，b的取值列表如下：故共有1＋2＋38．解：由题意可知，在艺术小组9人中，有且仅有1人既会钢琴又会小号(把该人称为“多面手”)，只会钢琴的有6人，只会小号的有2人，把选出会钢琴、小号各1人的方法分为两类：第一类：多面手入选，另1人只需从其他8人中任选一个，故这类选法共有8种．第二类：多面手不入选，则会钢琴者只能从6个只会钢琴的人中选出，会小号者也只能从只会小号的2人中选出，故这类选法共有6×2＝12种．因此有N＝8＋12＝20种不同的选法．课时跟踪训练(二) 排列与排列数公式1．5A 35＋4A 24等于( )A ．107B ．323C ．320D ．3482.A 345！等于( ) A.120 B.125 C.15D.1103．设a ∈N ＋，且a <27，则(27－a )(28－a )·…·(34－a )等于( ) A ．A 827－a B ．A 27－a34－aC ．A 734－aD ．A 834－a4．若从4名志愿者中选出2人分别从事翻译、导游两项不同工作，则选派方案共有( ) A ．16种 B ．6种 C ．15种D ．12种5．已知9！＝362 880，那么A 79＝________. 6．给出下列问题：①从1,3,5,7这四个数字中任取两数相乘，可得多少个不同的积？ ②从2,4,6,7这四个数字中任取两数相除，可得多少个不同的商？③有三种不同的蔬菜品种，分别种植在三块不同的试验田里，有多少种不同的种植方法？④有个头均不相同的五位同学，从中任选三位同学按左高右低的顺序并排站在一排照相，有多少种不同的站法？上述问题中，是排列问题的是________．(填序号)7．(1)计算4A 48＋2A 58A 88－A 59；(2)解方程3A x 8＝4A x －19.8．从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本分给甲、乙、丙三人，每人一本，试将所有不同的分法列举出来．答案1．选D 原式＝5×5×4×3＋4×4×3＝348. 2．选C A 345！＝4×3×25×4×3×2×1＝15.3．选D 8个括号里面是连续的自然数，依据排列数的概念，选D.4．选D 4名志愿者分别记作甲、乙、丙、丁，则选派方案有：甲乙，甲丙，甲丁，乙甲，乙丙，乙丁，丙甲，丙乙，丙丁，丁甲，丁乙，丁丙，即共有A 24＝12种方案．5．解析：A 79＝9！(9－7)！＝362 8802＝181 440. 答案：181 4406．解析：对于①，任取两数相乘，无顺序之分，不是排列问题；对于②，取出的两数，哪一个作除数，哪一个作被除数，其结果不同，与顺序有关，是排列问题；对于③，三种不同的蔬菜品种任一种种植在不同的试验田里，结果不同，是排列问题；对于④，选出的三位同学所站的位置已经确定，不是排列问题．答案：②③7．解：(1)原式＝4A 48＋2×4A 484×3×2A 48－9A 48＝4＋824－9＝1215＝45. (2)由3A x 8＝4A x －19，得3×8！(8－x )！＝4×9！(10－x )！，化简，得x 2－19x ＋78＝0，解得x 1＝6，x 2＝13. 又∵x ≤8，且x －1≤9，∴原方程的解是x ＝6.8．解：从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本，分给甲、乙、丙三人，每人一本，相当于从4个不同的元素中任意取出3个元素，按“甲、乙、丙”的顺序进行排列，每一个排列就对应着一种分法，所以共有A 34＝4×3×2＝24种不同的分法．不妨给“语文、数学、英语、物理”编号，依次为1,2,3,4号，画出下列树形图：由树形图可知，按甲乙丙的顺序分的分法为：语数英语数物语英数语英物语物数语物英数语英数语物数英语数英物数物语数物英英语数英语物英数语英数物英物语英物数物语数物语英物数语物数英物英语物英数课时跟踪训练(三)排列的应用1．6个人站成一排，甲、乙、丙3人必须站在一起的所有排列的总数为()A．A66B．3A33C．A33·A33D．A44·A332．(北京高考)从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为()A．24 B．18C．12 D．63．由数字1,2,3,4,5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23 145且小于43 521的数共有()A．56个B．57个C．58个D．60个4．(辽宁高考)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为() A．144 B．120C．72 D．245．(大纲全国卷)6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有________种．(用数字作答)6．有A，B，C，D，E五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次，A，B 两位学生去问成绩，老师对A说：“你的名次不知道，但肯定没得第一名”；又对B说：“你是第三名”．请你分析一下，这五位学生的名次排列共有________种不同的可能．7．由A，B，C等7人担任班级的7个班委．(1)若正、副班长两职只能由这三人中选两人担任，有多少种分工方案？(2)若正、副班长两职至少要选三人中的1人担任，有多少种分工方案？8．如图，某伞厂生产的“太阳”牌太阳伞蓬是由太阳光的七种颜色组成的，七种颜色分别涂在伞蓬的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同的颜色图案的此类太阳伞至多有多少种？答案1．选D甲、乙、丙3人站在一起有A33种站法，把3人作为一个元素与其他3人排列有A44种，共有A33·A44种．2．选B若选0，则0只能在十位，此时组成的奇数的个数是A23；若选2，则2只能在十位或百位，此时组成的奇数的个数是2×A23＝12，根据分类加法计数原理得总个数为6＋12＝18.3．选C首位为3时，有A44＝24个；首位为2时，千位为3，则有A12A22＋1＝5个，千位为4或5时有A12A33＝12个；首位为4时，千位为1或2有A12A33＝12个，千位为3时，有A12A22＋1＝5个．由分类加法计数原理知，共有符合条件的数字24＋5＋12＋12＋5＝58(个)．4．选D剩余的3个座位共有4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A34＝4×3×2＝24.5．解析：法一：先把除甲、乙外的4个人全排列，共有A44种方法．再把甲、乙两人插入这4人形成的五个空位中的两个，共有A25种不同的方法．故所有不同的排法共有A44·A25＝24×20＝480(种)．法二：6人排成一行，所有不同的排法有A66＝720(种)，其中甲、乙相邻的所有不同的排法有A55A22＝240(种)，所以甲、乙不相邻的不同排法共有720－240＝480(种)．答案：4806．解析：先安排B有1种方法，再安排A有3种方法，最后安排C，D，E共A33种方法．由分步乘法计数原理知共有3A33＝18种方法．答案：187．解：(1)先安排正、副班长有A23种方法，再安排其余职务有A55种方法，依分步乘法计数原理，共有A23A55＝720种分工方案．(2)7人的任意分工方案有A77种，A，B，C三人中无一人任正、副班长的分工方案有A24 A55种，因此A，B，C三人中至少有1人任正、副班长的方案有A77－A24A55＝3 600种．8.解：如图，对8个区域进行编号，任选一组对称区域(如1与5)同色，用7种颜色涂8个区域的不同涂法有7！种，又由于1与5,2与6,3与7,4与8是对称的，通过旋转后5,6,7,8,1,2,3,4与1,2,3,4,5,6,7,8是同一种涂色，即重复染色2次，故此种图案至多有7！2＝2 520种．课时跟踪训练(四)组合与组合数公式1．给出下面几个问题：①10人相互通一次电话，共通多少次电话？②从10个人中选出3个作为代表去开会，有多少种选法？③从10个人中选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？④由1,2,3组成无重复数字的两位数．其中是组合问题的有()A．①③B．②④C．①②D．①②④2．若A3n＝12C2n，则n等于()A．8 B．5或6C．3或4 D．43．下列四个式子中正确的个数是()(1)C m n＝A m nm！；(2)A m n＝n A m－1n－1；(3)C m n÷C m＋1n ＝m＋1n－m；(4)C m＋1n＋1＝n＋1m＋1C m n.A．1个B．2个C．3个D．4个4．若C7n＋1－C7n＝C8n，则n等于()A．12 B．13C．14 D．155．从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m个不同的积，任取两个不同的数相除，有n个不同的商，则m∶n＝________.6．方程C x28＝C3x－828的解为________．7．计算：(1)C58＋C98100C77；(2)C05＋C15＋C25＋C35＋C45＋C55.8．在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．答案1．选C ①是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别；②是组合问题，因为三个代表之间没有顺序的区别；③是排列问题，因为三个人担任哪一科的课代表是有顺序区别的；而④中选出的元素还需排列，有顺序问题是排列．所以①②是组合问题．2．选A ∵A 3n ＝12C 2n ，∴n (n －1)(n －2)＝12×n (n －1)2.解得n ＝8. 3．选D 因为C m n ＝n ！m ！(n －m )！＝1m ！·n ！(n －m )！＝A m nm ！，故(1)正确；因为n A m －1n －1＝n ·(n －1)！(n －m )！＝n ！(n －m )！＝A m n ，故(2)正确； 因为Cmn÷Cm ＋1n＝n ！m ！(n －m )÷n ！(m ＋1)！(n －m －1)！＝n ！m ！(n －m )！×(m ＋1)！(n －m －1)！n ！＝m ＋1n －m，故(3)正确．因为C m ＋1n ＋1＝(n ＋1)！(m ＋1)！(n －m )！，n ＋1m ＋1C m n ＝n ＋1m ＋1·n ！m ！(n －m )！＝(n ＋1)！(m ＋1)！(n －m )！，所以C m ＋1n ＋1＝n ＋1m ＋1C m n，故(4)正确． 4．选C C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，即C 7n ＋1＝C 8n ＋C 7n ＝C 8n ＋1，所以n ＋1＝7＋8，即n ＝14.5．解析：∵m ＝C 24，n ＝A 24，∴m ∶n ＝12. 答案：126．解析：当x ＝3x －8，解得x ＝4；当28－x ＝3x －8，解得x ＝9. 答案：4或97．解：(1)原式＝C 38＋C 2100×1＝8×7×63×2×1＋100×992×1 ＝56＋4 950＝5 006.(2)原式＝2(C 05＋C 15＋C 25)＝2(C 16＋C 25)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋5×42×1＝32. 8．解：(1)C 512＝792种不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人，共有C 29＝36种不同的选法． (3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人，共有C 59＝126种不同的选法．(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，分两步：第一步从甲、乙、丙中选1人，有C 13＝3种选法；第二步从另外的9人中选4人有C 49种选法．共有C 13C 49＝378种不同的选法．课时跟踪训练(五)组合的应用1．9件产品中，有4件一等品，3件二等品，2件三等品，现在要从中抽出4件产品，抽出产品中至少有2件一等品的抽法种数为()A．81B．60C．6 D．112．以一个正三棱柱的顶点为顶点的四面体有()A．6个B．12个C．18个D．30个3．从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为()A．85 B．56C．49 D．284．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为()A．10 B．11C．12 D．155．(大纲全国卷)从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有________种．(用数字作答)6．某校开设9门课程供学生选修，其中A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门．学校规定，每位同学选修4门，共有________种不同选修方案．(用数字作答) 7．12件产品中，有10件正品，2件次品，从这12件产品中任意抽出3件．(1)共有多少种不同的抽法？(2)抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有多少种？(3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种？8．10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现如下结果：(1)4只鞋子没有成双的；(2)4只鞋子恰成两双；(3)4只鞋中有2只成双，另2只不成双．答案1．选A分三类：恰有2件一等品，有C24C25＝60种取法；恰有3件一等品，有C34C15＝20种取法；恰有4件一等品，有C44＝1种取法．∴抽法种数为60＋20＋1＝81.2．选B从6个顶点中任取4个有C46＝15种取法，其中四点共面的有3种．所以满足题意的四面体有15－3＝12个．3．选C由条件可分为两类：一类是甲、乙两人只有一人入选，有C12·C27＝42种不同选法，另一类是甲、乙都入选，有C22·C17＝7种不同选法，所以共有42＋7＝49种不同选法．4．选B与信息0110至多有两个位置上的数字对应相同的信息包括三类：第一类：与信息0110只有两个对应位置上的数字相同有C24＝6个；第二类：与信息0110只有一个对应位置上的数字相同有C14＝4个；第三类：与信息0110没有一个对应位置上的数字相同有C04＝1个．∴与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息有6＋4＋1＝11个．5．解析：第一步决出一等奖1名有C16种情况，第二步决出二等奖2名有C25种情况，第三步决出三等奖3名有C33种情况，故可能的决赛结果共有C16C25C33＝60种情况．答案：606．解析：分两类完成：第一类，A，B，C三门课程都不选，有C46种不同的选修方案；第二类，A，B，C三门课程恰好选修一门，有C13·C36种不同选修方案．故共有C46＋C13·C36＝75种不同的选修方案．答案：757．解：(1)有C312＝220种抽法．(2)分两步：先从2件次品中抽出1件有C12种方法；再从10件正品中抽出2件有C210种方法，所以共有C12C210＝90种抽法．(3)法一(直接法)：分两类：即包括恰有1件次品和恰有2件次品两种情况，与(2)小题类似共有C12C210＋C22C110＝100种抽法．法二(间接法)：从12件产品中任意抽出3件有C312种方法，其中抽出的3件全是正品的抽法有C310种方法，所以共有C312－C310＝100种抽法．8．解：(1)从10双鞋子中选取4双，有C410种不同选法，每双鞋子中各取一只，分别有2种取法，根据分步乘法计数原理，选取种数为N＝C410·24＝3 360(种)．即4只鞋子没有成双有3 360种不同取法．(2)从10双鞋子中选取2双有C210种取法，所以选取种数为N＝C210＝45(种)，即4只鞋子恰成双有45种不同取法．(3)先选取一双有C110种选法，再从9双鞋中选取2双有C29种选法，每双鞋只取一只各有2种取法．根据分步乘法计数原理，不同取法为N＝C110C29·22＝1 440(种)．课时跟踪训练(六)简单计数问题1．从4名男生和3名女生中选3人分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派的方案共有()A．108种B．186种C．216种D．270种2．12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是()A．C28A23B．C28A66C．C28A26D．C28A253．(大纲全国卷)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有()A．12种B．18种C．24种D．36种4．6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法有() A．40种B．50种C．60种D．70种5．将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有________种．6.要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有________种不同的种法．7．如图，在∠AOB的两边上，分别有3个点和4个点，连同角的顶点共8个点．这8个点能作多少个三角形？8．有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种分法？(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本；(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本．答案1．选B(1)直接法：从4名男生和3名女生中选出3人，至少有1名女生的选派方案可分为三类：①恰好有1名女生，2名男生，有C13C24A33种方法；②恰好有2名女生，1名男生，有C23C14A33种方法；③恰好有3名女生，有C33A33种方法；由分类加法计数原理得共有C13 C24A33＋C23C14A33＋C33A33＝186种不同的选派方案．(2)间接法：从全部方案数中减去只派男生的方案数，则有A37－A34＝186种不同的选派方案．2．选C从后排8人中选2人安排到前排6个位置中的任意两个位置即可，所以选法种数是C28A26.3．选A由分步乘法计数原理，先排第一列，有A33种方法，再排第二列，有2种方法，故共有A33×2＝12种排列方法．4．选B先分组再排列，一组2人一组4人有C26＝15种不同的分法；两组各3人共有C36A22＝10种不同的分法，所以共有(15＋10)×2＝50种不同的乘车方法．5．解析：有两种满足题意的放法：(1)1号盒子里放2个球，2号盒子里放2个球，有C24C22种放法；(2)1号盒子里放1个球，2号盒子里放3个球，有C14C33种放法．综上可得，不同的放球方法共有C24C22＋C14C33＝10种．答案：106．解析：区域5有4种种法，区域1有3种种法，区域4有2种种法，若1,3同色，区域2有2种种法，或1,3不同色，区域2有1种种法，所以共有4×3×2×(1×2＋1×1)＝72种不同的种法．答案：727．解：从8个点中，任选3点共有C38种选法，其中有一个5点共线和4点共线，故共有C38－C34－C35＝42个不同的三角形．8．解：(1)分三步完成：第一步：从9本不同的书中，任取4本分给甲，有C49种方法；第二步：从余下的5本书中，任取3本给乙，有C35种方法；第三步：把剩下的书给丙，有C22种方法．∴共有不同的分法为C49C35C22＝1 260种．(2)分两步完成：第一步：按4本、3本、2本分成三组有C49C35C22种方法；第二步：将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人，有A33种方法．∴共有C49C35C22A33＝7 560种．课时跟踪训练(七) 二项式定理1．(x －2y )7的展开式中的第4项为( ) A ．－280x 4y 3 B ．280x 4y 3 C ．－35x 4y 3D ．35x 4y 32．在(x －3)10的展开式中，x 6的系数是( ) A ．－27C 610B ．27C 410 C ．－9C 610D ．9C 4103．(大纲全国卷)(1＋x )8(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是( ) A ．56 B ．84 C ．112D ．1684．已知⎝⎛⎭⎫2x 3＋1x n 的展开式中的常数项是第7项，则正整数n 的值为( ) A ．7 B ．8 C ．9D ．105．(安徽高考)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 3x 8的展开式中x 4的系数为7，则实数a ＝________. 6．(浙江高考)设二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 5的展开式中常数项为A ，则A ＝________.7.⎝⎛⎭⎪⎫x ＋23x n展开式第9项与第10项二项式系数相等，求x 的一次项系数．8．在⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－13x 8的展开式中，求：(1)第5项的二项式系数及第5项的系数； (2)倒数第3项．答案1．选A (x －2y )7的展开式中的第4项为T 4＝C 37x 4(－2y )3＝(－2)3C 37x 4y 3＝－280x 4y 3. 2．选D T k ＋1＝C k 10·x 10－k (－3)k ，令10－k ＝6，知k ＝4，∴T 5＝C 410x 6(－3)4，即x 6的系数为9C 410.3．选D 在(1＋x )8展开式中含x 2的项为C 28x 2＝28x 2，(1＋y )4展开式中含y 2的项为C 24y2＝6y 2，所以x 2y 2的系数为28×6＝168，故选D.4．选B ⎝⎛⎭⎫2x 3＋1x n 的展开式的通项T r ＋1＝C r n 2n －r x 3n －4r，由r ＝6时，3n －4r ＝0.得n ＝8.5．解析：二项式⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a 3x 8展开式的通项为T r ＋1＝C r 8a rx 8－43r ，令8－43r ＝4，可得r ＝3，故C 38a 3＝7，易得a ＝12. 答案：126．解析：T r ＋1＝(－1)r C r 5x 15－5r 6，令15－5r ＝0，得r ＝3，故常数项A ＝(－1)3C 35＝－10.答案：－107．解：由题意知，C 8n ＝C 9n .∴n ＝17.∴T r ＋1＝C r 17x 17－r 2·2r ·x －r 3＝C r 17·2r ·x 17－r 2－r 3. ∴17－r 2－r3＝1. 解得r ＝9.∴T r ＋1＝C 917·x 4·29·x －3， 即T 10＝C 917·29·x . 其一次项系数为C 917·29. 8．解：法一：利用二项式的展开式解决．(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－13x 8＝(2x 2)8－C 18(2x 2)7·13x＋C 28(2x 2)6·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－C 38(2x 2)5·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋C 48(2x 2)4·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 4－C 58(2x 2)3·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 5＋C 68(2x 2)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 6－C 78(2x 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 7＋C 88⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 8，则第5项的二项式系数为C 48＝70，第5项的系数C 48·24＝1 120. (2)由(1)中⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－13x 8的展开式可知倒数第3项为C 68·(2x 2)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 6＝112x 2. 法二：利用二项展开式的通项公式．(1)T 5＝C 48(2x 2)8－4·⎝⎛⎭⎪⎫－13x 4＝C 48·24·x 203， 则第5项的二项式系数是C 48＝70， 第5项的系数是C 48·24＝1 120. (2)展开式中的倒数第3项即为第7项， T 7＝C 68·(2x 2)8－6·⎝⎛⎭⎪⎫－13x 6＝112x 2.课时跟踪训练(八) 二项式系数的性质1．(x －1)11展开式中x 的偶次项系数之和是( ) A ．－2 048 B ．－1 023 C ．－1 024D ．1 0242．若C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n能被7整除，则x ，n 的值可能为( )A ．x ＝4，n ＝3B ．x ＝4，n ＝4C ．x ＝5，n ＝4D ．x ＝6，n ＝53．若⎝⎛⎫x ＋1x n 展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( ) A ．10 B ．20 C ．30D ．1204．在⎝⎛⎭⎫ax －1x 4的展开式中各项系数之和是16.则a 的值是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．－1或35．若(x 2＋1)(2x ＋1)9＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 11(x ＋2)11，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11的值为________．6．若(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值为________． 7．已知(1＋3x )n 的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中二项式系数最大的项．8．对二项式(1－x )10，(1)展开式的中间项是第几项？写出这一项． (2)求展开式中各二项式系数之和．(3)求展开式中除常数项外，其余各项的系数和．答案1．选C 令f (x )＝(x －1)11，偶次项系数之和是f (1)＋f (－1)2＝(－2)112＝－1 024.2．选C 由C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n ＝(1＋x )n－1分别将选项A ，B ，C ，D 代入检验知，仅有x ＝5，n ＝4适合．3．选B 由2n ＝64，得n ＝6，∴T k ＋1＝C k 6x 6－k ⎝⎛⎭⎫1x k ＝C k 6x6－2k(0≤k ≤6，k ∈N )．由6－2k ＝0，得k ＝3.∴T 4＝C 36＝20.4．选D 由题意可得(a －1)4＝16，a －1＝±2， 解得a ＝－1或a ＝3.5．解析：令x ＝－1，则原式可化为[(－1)2＋1][2×(－1)＋1]9＝－2＝a 0＋a 1(2－1)＋…＋a 11(2－1)11，∴a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝－2.答案：－26．解析：(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 1＋a 3)·(a 0＋a 2＋a 4－a 1－a 3)＝(a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4)·(a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4)，令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(2＋3)4，令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(－2＋3)4＝(2－3)4，于是(2＋3)4·(2－3)4＝1.答案：17．解：由题意知C n n ＋C n －1n ＋C n －2n ＝121，即C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝121，∴1＋n ＋n (n －1)2＝121，即n 2＋n －240＝0，解得n ＝15或－16(舍)．∴在(1＋3x )15的展开式中二项式系数最大的项是第八、九两项．且T 8＝C 715(3x )7＝C 71537x 7， T 9＝C 815(3x )8＝C 81538x 8.8．解：(1)展开式共11项，中间项为第6项，T 6＝C 510(－x )5＝－252x 5. (2)C 010＋C 110＋C 210＋…＋C 1010＝210＝1 024.(3)设(1－x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10. 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝0. 令x ＝0，得a 0＝1.∴a1＋a2＋…＋a10＝－1.课时跟踪训练(九)离散型随机变量及其分布列1．一个袋子中有质量相等的红、黄、绿、白四种小球各若干个，一次倒出三个小球，下列变量是离散型随机变量的是()A．小球滚出的最大距离B．倒出小球所需的时间C．倒出的三个小球的质量之和D．倒出的三个小球的颜色种数2．袋中有大小相同的5个钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码．在有放回地抽取条件下依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X所有可能值的个数是() A．25B．10C．9 D．53．设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，若P(X<4)＝0.3，则n＝()A．3 B．4C．10 D．不确定4．设随机变量X等可能地取值1,2,3,4，…，10.又设随机变量Y＝2X－1，P(Y<6)的值为()A．0.3 B．0.5C．0.1 D．0.25．随机变量Y的分布列如下：则(1)x＝(3)P(1＜Y≤4)＝________.6．随机变量X的分布列为P(X＝k)＝Ck(k＋1)，k＝1,2,3，其中C为常数，则P(X≥2)＝________.7．若离散型随机变量X的分布列为：求常数a8．设S 是不等式x 2－x －6≤0的解集，整数m ，n ∈S .(1)记“使得m ＋n ＝0成立的有序数组(m ，n )”为事件A ，试列举A 包含的基本事件； (2)设X ＝m 2，求X 的分布列．答案1．选D A ，B 不能一一列举，不是离散型随机变量，而C 是常量，是个确定值，D 可能取1,2,3，是离散型随机变量．2．选C 第一次可取1,2,3,4,5中的任意一个，由于是有放回抽取，第二次也可取1,2,3,4,5中的任何一个，两次的号码和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10.3．选C ∵X 等可能取1,2,3，…，n ， ∴X 的每个值的概率均为1n.由题意知P (X <4)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝3n ＝0.3，∴n ＝10.4．选A Y <6，即2X －1<6，∴X <3.5.X ＝1,2,3，P ＝310.5．解析：(1)由 i ＝16p i ＝1，∴x ＝0.1.(2)P (Y ＞3)＝P (Y ＝4)＋P (Y ＝5)＋P (Y ＝6) ＝0.1＋0.15＋0.2＝0.45.(3)P (1＜Y ≤4)＝P (Y ＝2)＋P (Y ＝3)＋P (Y ＝4) ＝0.1＋0.35＋0.1＝0.55. 答案：(1)0.1 (2)0.45 (3)0.556．解析：由P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝1，得C 1×2＋C 2×3＋C 3×4＝1，∴C ＝43.P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝432×3＋433×4＝13.答案：137．解：由离散型随机变量的性质得 ⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－a ＋3－8a ＝1，0≤9a 2－a ≤1，0≤3－8a ≤1，解得a ＝13，或a ＝23(舍)．所以随机变量X 的分布列为：8．解：(1)由x 2－x －6≤0，得－2≤x ≤3， 即S ＝{x |－2≤x ≤3}．由于m ，n ∈Z ，m ，n ∈S 且m ＋n ＝0，所以A 包含的基本事件为(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．(2)由于m 的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3， 所以X ＝m 2的所有不同取值为0,1,4,9， 且有P (X ＝0)＝16，P (X ＝1)＝26＝13，P (X ＝4)＝26＝13，P (X ＝9)＝16.故X 的分布列为课时跟踪训练(十) 超几何分布1．一个小组有6人，任选2名代表，求其中甲当选的概率是( ) A.12 B.13 C.14D.152．在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于( )A.27 B.38 C.37D.9283．某12人的兴趣小组中，有5名“三好生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X 表示这6人中“三好生”的人数，则C 35C 37C 612是表示的概率是( )A ．P (X ＝2)B ．P (X ＝3)C ．P (X ≤2)D ．P (X ≤3)4．从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张A 的概率为( )A.C 34C 248C 552B.C 348C 24C 552C ．1－C 148C 44C 552D.C 34C 248＋C 44C 148C 5525．某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的概率为________．6．知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，小张抽4题，则小张抽到选择题至少2道的概率为________．7．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，求X 的分布列．8．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X 的分布列． (2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张． ①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值Y 元，求Y 的分布列．答案1．选B 设X 表示2名代表中有甲的个数，X 的可能取值为0,1， 由题意知X 服从超几何分布，其中参数为N ＝6，M ＝1，n ＝2，则P (X ＝1)＝C 11C 15C 26＝13.2．选A 黑球的个数X 服从超几何分布，则至少摸到2个黑球的概率P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝C 23C 15C 38＋C 33C 05C 38＝27.3．选B 6人中“三好生”的人数X 服从超几何分布，其中参数为N ＝12，M ＝5，n＝6，所以P (X ＝3)＝C 35C 37C 612.4．选D 设X 为抽出的5张扑克牌中含A 的张数．则P (X ≥3)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝C 34C 248C 552＋C 44C 148C 552.5．解析：至少有1名女生当选包括1男1女，2女两种情况，概率为C 13C 17＋C 23C 210＝815. 答案：8156．解析：由题意知小张抽到选择题数X 服从超几何分布(N ＝10，M ＝6，n ＝4)， 小张抽到选择题至少2道的概率为：P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝C 26C 24C 410＋C 36C 14C 410＋C 46C 04C 410＝3742.答案：37427．解：由题意知，旧球个数X 的所有可能取值为3,4,5,6.则P (X ＝3)＝C 33C 312＝1220，P (X ＝4)＝C 23C 19C 312＝27220，P (X ＝5)＝C 29C 13C 312＝108220＝2755，P (X ＝6)＝C 39C 312＝84220＝2155.所以X 的分布列为8．解：(1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X 的取值只有0和1两种情况． P (X ＝1)＝C 14C 110＝410＝25，则P (X ＝0)＝1－P (X ＝1)＝1－25＝35.因此X 的分布列为(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖．故所求概率P ＝C 14C 16＋C 24C 06C 210＝3045＝23. ②Y 的所有可能取值为0,10,20,50,60，且P (Y ＝0)＝C 04C 26C 210＝1545＝13，P (Y ＝10)＝C 13C 16C 210＝1845＝25，P (Y ＝20)＝C 23C 06C 210＝345＝115，P (Y ＝50)＝C 11C 16C 210＝645＝215，P (Y ＝60)＝C 11C 13C 210＝345＝115.因此随机变量Y 的分布列为课时跟踪训练(十一) 条件概率与独立事件1．抛掷一颗骰子一次，A 表示事件：“出现偶数点”，B 表示事件：“出现3点或6点”，则事件A 与B 的关系是( )A ．相互互斥事件B ．相互独立事件C ．既相互互斥又相互独立事件D ．既不互斥又不独立事件2．设A ，B 为两个事件，若事件A 和B 同时发生的概率为310，在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率为12，则事件A 发生的概率为( )A.25 B.35 C.45D.3103．某农业科技站对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地取出一粒，则这粒水稻种子发芽能成长为幼苗的概率为( )A ．0.02B ．0.08C ．0.18D ．0.724．从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为15，身体关节构造合格的概率为14，从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)( )A.1320B.15C.14D.255．有一个数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是12，乙能解决的概率是13，两人试图独立地在半小时内解决它，则两人都未解决的概率为________，问题得到解决的概率为________．6．从编号为1,2，…，10的10个大小相同的球中任取4个，已知选出4号球的条件下，选出球的最大号码为6的概率为________．7．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1。
2017-2018学年高中数学北师大版选修2-1同步配套课时跟
课时跟踪训练(十) 空间向量与垂直关系1．若直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2,3,2)，则( )A ．l 1∥l 2B ．l 1⊥l 2C ．l 1与l 2相交但不垂直D ．不确定2．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面π的法向量为n ＝(－3,0，－6)，则( )A ．l ∥πB ．l ⊥πC ．l πD ．l 与π斜交3.如图，P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，F 是AD 上一点，当BF ⊥PE 时，AF ∶FD 等于( )A ．1∶2B ．1∶1C ．3∶1D ．2∶14．已知AB ＝(1,5，－2)，BC ＝(3,1，z )，若AB ⊥BC ，BP ＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则向量BP ＝( )A.⎝⎛⎭⎫337，－157，－3 B.⎝⎛⎭⎫407，－157，－3 C.⎝⎛⎭⎫407，－2，－3 D.⎝⎛⎭⎫4，407，－3 5．已知a ＝(1,2,3)，b ＝(1,0,1)，c ＝a －2b ，d ＝m a －b ，若c ⊥d ，则m ＝________.6．在直角坐标系O －xyz 中，已知点P (2cos x ＋1,2cos 2x ＋2,0)和点Q (cos x ，－1,3)，其中x ∈[0，π]，若直线OP 与直线OQ 垂直，则x 的值为________．7.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 于点F .(1)证明：P A ∥平面EDB ；(2)证明：PB ⊥平面EFD .8.三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为A 1B 1C 1，∠BAC ＝90°，A 1A ⊥平面ABC .A 1A ＝3，AB ＝AC ＝2A 1C 1＝2，D 为BC 中点．求证：平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1.答 案1．选B ∵直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2,3,2)， ∴a·b ＝(1,2，－2)·(－2,3,2)＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝0. ∴a ⊥b ，∴l 1⊥l 2.2．选B a ＝－13n ，∴a ∥n ，∴l ⊥π. 3.选B 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形边长为1，P A ＝a .则B (1,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫12，1，0，P (0,0，a )． 设点F 的坐标为(0，y,0)，则BF ＝(－1，y,0)，PE ＝⎝⎛⎭⎫12，1，－a .∵BF ⊥PE ，∴BF ·PE ＝0，解得y ＝12，则F 点坐标为⎝⎛⎭⎫0，12，0， ∴F 为AD 中点，∴AF ∶FD ＝1∶1.4．选A AB ·BC ＝3＋5－2z ＝0，故z ＝4，由BP ·AB ＝x －1＋5y ＋6＝0，且BP ·BC＝3(x －1)＋y －12＝0，得x ＝407，y ＝－157.BP ＝⎝⎛⎭⎫337，－157，－3. 5．解析：∵c ＝a －2b ，∴c ＝(1,2,3)－2(1,0,1)＝(－1,2,1)，∵d ＝m a －b ，∴d ＝m (1,2,3)－(1,0,1)＝(m －1,2m,3m －1)．又c ⊥d ，∴c ·d ＝0，即(－1,2,1)·(m －1,2m,3m －1)＝0，即1－m ＋4m ＋3m －1＝0，∴m ＝0.答案：06．解析：由OP ⊥OQ ，得OP ·OQ ＝0.即(2cos x ＋1)·cos x ＋(2cos 2x ＋2)·(－1)＝0.∴cos x ＝0或cos x ＝12.∵x ∈[0，π]，∴x ＝π2或x ＝π3.答案：π2或π37．证明：如图所示，建立空间直角坐标系，D 是坐标原点，设DC ＝a .(1)连接AC ，AC 交BD 于G ，连接EG .依题意得A (a,0,0)，P (0，0，a )，E ⎝⎛⎭⎫0，a 2，a 2.∵底面ABCD 是正方形，∴G 是此正方形的中心．故点G 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，0，且PA ＝()a ，0，－a ，EG ＝⎝⎛⎭⎫a 2，0，－a 2.∴PA ＝2EG ，则P A ∥EG .又EG 平面EDB 且P A 平面EDB .∴P A ∥平面EDB .(2)依题意得B (a ，a,0)，PB ＝(a ，a ，－a )， DE ＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，a 2，故PB ·DE ＝0＋a 22－a 22＝0.∴PB ⊥DE ，又EF ⊥PB ，且EF ∩DE ＝E ，∴PB ⊥平面EFD .8．证明：如图，建立空间直角坐标系， 则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，A 1(0,0，3)，C 1(0,1，3)，∵D 为BC 的中点，∴D 点坐标为(1,1,0)．∴1AA ＝(0,0，3)，AD ＝(1,1,0)， BC ＝(－2,2,0)，1CC ＝(0，－1，3)． 设平面A 1AD 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 平面BCC 1B 1的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·1AA ＝0，n 1·AD ＝0，得⎩⎨⎧3z 1＝0，x 1＋y 1＝0.令y 1＝－1，则x 1＝1，z 1＝0，∴n 1＝(1，－1,0)．由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BC ＝0，n 2·1CC ＝0，得⎩⎨⎧ －2x 2＋2y 2＝0，－y 2＋3z 2＝0.令y 2＝1，则x 2＝1，z 2＝33，∴n 2＝⎝⎛⎭⎫1，1，33.∵n 1·n 2＝1－1＋0＝0，∴n 1⊥n 2.∴平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1.。
2017-2018学年高中数学选修2-1课时达标检测(十八)空间向量运算的坐标表示含答案
课时达标检测（十八) 空间向量运算的坐标表示一、选择题1．已知向量a＝（4，－2，－4)，b＝(6,－3,2）,则下列结论正确的是( ）A．a＋b＝(10，－5，－6)B．a－b＝（2，－1,－6）C．a·b＝10D．｜a|＝6解析：选D a＋b＝（10，－5，－2)，a－b＝(－2，1,－6)，a·b ＝22，|a|＝6，∴选项A，B，C错误．2．已知A(3,3,3），B(6，6,6），O为原点，则错误!与错误!的夹角是( ）A．0 B．πC。
错误!π D．2π解析：选B ∵错误!·错误!＝3×6＋3×6＋3×6＝54，且｜错误!｜＝3错误!，｜错误!|＝6错误!,∴cos〈错误!，错误!〉＝错误!＝1。
∵〈错误!，错误!〉∈［0,π]，∴〈错误!，错误!〉＝0。
∴〈错误!，错误!〉＝π。
3．若非零向量a ＝（x 1,y 1,z 1)，b ＝（x 2，y 2，z 2），则错误!＝错误!＝错误!是a 与b 同向或反向的（ )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析:选A 若错误!＝错误!＝错误!,则a 与b 同向或反向,反之不成立．4．已知点A （1，－2,11)，B （4，2，3)，C （6，－1,4），则△ABC 的形状是( ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选C错误!＝（3,4，－8），错误!＝(5，1，－7）， 错误!＝(2,－3，1)，∴｜AB ―→|＝错误!＝错误!，|错误!｜＝错误!＝错误!，｜错误!|＝错误!＝错误!，∴｜错误!｜2＋｜错误!|2＝75＋14＝89＝｜错误!｜2.∴△ABC 为直角三角形．5．已知A (1，0,0)，B （0，－1，1），O (0，0,0），错误!＋λ错误!与错误!的夹角为120°，则λ的值为（ )A ．±错误! B.错误!C．－错误!D．±错误!解析:选C ∵错误!＝（1，0，0),错误!＝(0，－1，1)，∴错误!＋λ错误!＝（1，－λ，λ），∴（错误!＋λ错误!）·错误!＝λ＋λ＝2λ，|错误!＋λ错误!|＝错误!＝错误!,|错误!｜＝错误!。
2017_2018学年高中数学课时跟踪训练十八双曲线及其标准方程北师大版选修2_1
因此双曲线C2的标准方程为 －y2＝1.
8．解：∵|F1F2|＝10，∴2c＝10，c＝5.
又∵|PF1|－|PF2|＝2a，
且|PF1|＝2|PF2|，
∴|PF2|＝2a，|PF1|＝4a.
在Rt△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，
∴4a2＋16a2＝100.∴a2＝5.
8．假设双曲线 － ＝1的两个核心为F1，F2，|F1F2|＝10，P为双曲线上一点，|PF1|＝2|PF2|，PF1⊥PF2，求此双曲线的方程．
答 案
1．选D 设双曲线的左右核心别离为F1，F2，不妨设|PF1|＝11，依照双曲线的概念知||PF1|－|PF2||＝2a＝10，因此|PF2|＝1或|PF2|＝21，而1＜c－a＝7－5＝2，故舍去|PF2|＝1，因此点P到另一个核心的距离为21，应选D.
答案：4
6．解析：点P(2,1)在直线y＝ x上，那么1＝ ，a＝2b①.
双曲线的焦距为10，那么有a2＋b2＝52，将①代入上式可得b2＝5，从而a2＝20，故双曲线C的方程为 － ＝1.
答案： － ＝1
7．解：双曲线C1的核心坐标为( ，0)，(－ ，0)，设双曲线C2的标准方程为 － ＝1(a＞0，b＞0)，
A．充分没必要要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又没必要要条件
4．设P为双曲线x2－ ＝1上的 一点，F1，F2是该双曲线的两个核心，假设|PF1|∶|PF2|＝3∶2，那么△PF1F2的面积为( )
A．6 B．12
C．12 D．24
5．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线 － ＝1上一点M的横坐标为3，那么点M到此双曲线的右核心的距离为____________．
2017-2018学年高中数学 课时跟踪训练(一)命题 北师大版选修2-1
课时跟踪训练(一) 命 题1．命题“若x ＞1，则x ＞－1”的否命题是( )A ．若x ＞1，则x ≤－1B ．若x ≤1，则x ＞－1C ．若x ≤1，则x ≤－1D ．若x ＜1，则x ＜－12．给出下列三个命题：( )①“全等三角形的面积相等”的否命题；②“若lg x 2＝0，则x ＝－1”的逆命题；③“若x ≠y ，或x ≠－y ，则|x |≠|y |”的逆否命题．其中真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 3．(湖南高考)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( ) A ．若α≠π4，则tan α≠1 B ．若α＝π4，则tan α≠1 C ．若tan α≠1，则α≠π4 D ．若tan α≠1，则α＝π44．已知命题“若ab ≤0，则a ≤0或b ≤0”，则下列结论正确的是( )A ．真命题，否命题：“若ab ＞0，则a ＞0或b ＞0”B ．真命题，否命题：“若ab ＞0，则a ＞0且b ＞0”C ．假命题，否命题：“若ab ＞0，则a ＞0或b ＞0”D ．假命题，否命题：“若ab ＞0，则a ＞0且b ＞0”5．已知命题：弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧．若把上述命题改为“若p ，则q ”的形式，则p 是____________________________，q 是__________________________．6．命题“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题为________________，为________(填“真、假”)命题．7．把命题“两条平行直线不相交”写成“若p ，则q ”的形式，并写出其逆命题、否命题、逆否命题．8．证明：已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0.答 案1．选C 原命题的否命题是对条件“x ＞1”和结论“x ＞－1”同时否定，即“若x ≤1，则x ≤－1”，故选C.2．选B ①的否命题是“不全等的三角形面积不相等”，它是假命题；②的逆命题是“若x ＝－1，则lg x 2＝0”，它是真命题；③的逆否命题是“若|x |＝|y |，则x ＝y 且x ＝－y ”，它是假命题，故选B.3．选C 以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”． 4．选B 逆否命题“若a ＞0且b ＞0，则ab ＞0”，显然为真命题，又原命题与逆否命题等价，故原命题为真命题．否命题为“若ab ＞0，则a ＞0且b ＞0”，故选B.5．答案：一条直线是弦的垂直平分线 这条直线经过圆心且平分弦所对的弧6．答案：若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4 真7．解：原命题：若直线l 1与l 2平行，则l 1与l 2不相交；逆命题：若直线l 1与l 2不相交，则l 1与l 2平行；否命题：若直线l1与l2不平行，则l1与l2相交；逆否命题：若直线l1与l2相交，则l1与l2不平行．8．证明：法一：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)”．∵a＋b<0，∴a<－b，b<－a.又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)．∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，即逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．法二：假设a＋b<0，则a<－b，b<－a，又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)．∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．这与已知条件f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾．因此假设不成立，故a＋b≥0.。
[K12学习]2017_2018学年高中数学课时跟踪训练二十曲线与方程北师大版选修2_1
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课时跟踪训练(二十) 曲线与方程1．下面四组方程表示同一条曲线的一组是( ) A ．y 2＝x 与y ＝x B ．y ＝lg x 2与y ＝2lg x C.y ＋1x －2＝1与lg(y ＋1)＝lg(x －2) D ．x 2＋y 2＝1与|y |＝1－x 22．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 满足的方程的曲线所围成的图形的面积为( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π3．方程x 2＋xy ＝x 的曲线是( ) A ．一个点 B ．一个点和一条直线 C ．一条直线D ．两条直线4．已知点A (0，－1)，点B 是抛物线y ＝2x 2＋1上的一动点，则线段AB 的中点M 满足的方程为( )A ．y ＝2x 2B ．y ＝4x 2C ．y ＝6x 2D ．y ＝8x 25．在△ABC 中，已知A (2,0)，B (－1,2)，点C 在直线2x ＋y －3＝0上移动．则△ABC 的重心G 满足的方程为________．6．方程x 24－k ＋y 2k －1＝1表示的曲线为C ，给出下列四个命题：①曲线C 不可能是圆； ②若1<k <4，则曲线C 为椭圆； ③若曲线C 为双曲线，则k <1或k >4；④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1<k <52.其中正确的命题是________．7．已知直角三角形ABC ，∠C 为直角，A (－1,0)，B (1,0)，求满足条件的点C 的轨迹方程．8．设F (1,0)，M 点在x 轴上，P 点在y 当点P 在y 轴上运动时， 求N 点的轨迹C 的方程．答 案1．选D 考察每一组曲线方程中x 和y 的取值范围，不难发现A ，B ，C 中各对曲线的x 与y 的取值范围不一致．2．选B 设P 为(x ，y )，由|PA |＝2|PB |，得x ＋2＋y 2＝2x －2＋y 2，即(x －2)2＋y 2＝4，∴点P 满足的方程的曲线是以2为半径的圆，其面积为4π. 3．选D x 2＋xy ＝x ，即x 2＋xy －x ＝0， ∴x (x ＋y －1)＝0，∴x ＝0或x ＋y －1＝0. 故方程表示两条直线．4．选B 设B (x 0，y 0)，M (x ，y )． ∵M 是AB 的中点， ∴x ＝x 0＋02，y ＝y 0－12，得x 0＝2x ，y 0＝2y ＋1.又∵B (x 0，y 0)在抛物线y ＝2x 2＋1上，∴y 0＝2x 20＋1，即2y ＋1＝2(2x )2＋1，因此y ＝4x 2，故M 满足的方程为y ＝4x 2.5．解析：设△ABC 的重心G 的坐标为(x ，y )，点C 的坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋－＋x 03，y ＝0＋2＋y 03，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x －1，y 0＝3y －2，∵ 点C 在直线2x ＋y －3＝0上，故有6x ＋3y －7＝0， 又∵重心G 不在AB 上，故x ≠34，y ≠56，∴重心G 满足的方程为6x ＋3y －7＝0(x ≠34)．答案：6x ＋3y －7＝0(x ≠34)6．解析：当4－k ＝k －1，即k ＝52时表示圆，命题①不正确；显然k ＝52∈(1,4)，∴命题②不正确；若曲线C 为双曲线，则有(4－k )·(k －1)<0，即k <1或k >4，故命题③正确；若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则4－k >k －1>0，解得1<k <52，命题④正确．答案：③④ 7．解：设C (x ，y )(x ＋1，y )(x －1，y )． ∵∠C 为直角，0， 即(x ＋1)(x －1)＋y 2＝0.化简得x 2＋y 2＝1.∵A ，B ，C 三点要构成三角形， ∴A ，B ，C 不共线，∴y ≠0， ∴C 的轨迹方程为x 2＋y 2＝1(y ≠0)．8P 为MN 中点．P 在y 轴上，F 为(1,0)．故M 在x 轴的负方向上，设N (x ，y )(x >0)，则M (－x,0)，P (0，y2)，(－x ，－y2)，(1，－y2)．0， 即－x ＋y 24＝0，∴y 2＝4x (x >0)．即N 点的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x >0)．。
18学年高中数学课时跟踪训练(十四)椭圆及其标准方程北师大版选修2_1
课时跟踪训练(十四) 椭圆及其标准方程1．椭圆25x 2＋16y 2＝1的焦点坐标是( ) A ．(±3,0) B ．(±13，0)C ．(±320，0)D ．(0，±320)2．若椭圆x 225＋y 29＝1上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为( )A ．5B ．6C ．4D ．13．已知椭圆的焦点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 是椭圆上的一点，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则该椭圆的标准方程为( )A.x 216＋y 29＝1 B.x 216＋y 212＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 23＋y 24＝1 4．两个焦点的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，并且经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－32的椭圆的标准方程是( )A.x 210＋y 26＝1B.y 210＋x 26＝1 C.x 294＋y 2254＝1 D.y 294＋x 2254＝1 5．椭圆5x 2－ky 2＝5的一个焦点是(0,2)，那么k ＝________.6．设P 是椭圆x 29＋y 25＝1上一点，F 1，F 2是其左、右两焦点，若|PF 1|·|PF 2|＝8，则|OP |＝________.7．求以椭圆9x 2＋5y 2＝45的焦点为焦点，且经过点M (2，6)的椭圆的标准方程．8．点P 为椭圆x 24＋y 2＝1上一点，且∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．答 案1．选D 椭圆的标准方程为x 2125＋y 2116＝1，故焦点在y 轴上，其中a 2＝116，b 2＝125，所以c 2＝a 2－ b 2＝116－125＝9400，故c ＝320.所以该椭圆的焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，±320，故选D. 2．选A 由椭圆的定义知a ＝5，点P 到两个焦点的距离之和为2a ＝10.因为点P 到一个焦点的距离为5，所以到另一个焦点的距离为10－5＝5，故选A.3．选C ∵F 1(－1,0)，F 2(1,0)，∴|F 1F 2|＝2， 又∵|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项， ∴|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝4，即2a ＝4. 又c ＝1，∴b 2＝3.∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.4．选 A 由椭圆定义知：2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3102＋102＝210.∴a ＝10.∴b ＝a 2－c 2＝ 6.5．解析：椭圆方程可化为：x 2＋y 2－5k＝1，则a 2＝－5k，b 2＝1，又c ＝2，∴－5k－1＝4，∴k ＝－1.答案：－16．解析：由题意，|PF 1|＋|PF 2|＝6，两边平方得|PF 1|2＋2|PF 1|·|PF 2|＋|PF 2|2＝36.因为|PF 1|·|PF 2|＝8，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝20.以PF 1，PF 2为邻边做平行四边形，则|OP |正好是该平行四边形对角线长的一半．由平行四边形的性质知，平行四边形对角线长的平方和等于四边长的平方和，即(2|OP |)2＋(2c )2＝2(|PF 1|2＋|PF 2|2)．所以4|OP |2＋(2×2)2＝2×20，所以|OP |＝ 6.答案： 67．解：法一：方程9x 2＋5y 2＝45可化为x 25＋y 29＝1.则焦点是F 1(0,2)，F 2(0，－2)．设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，∵M 在椭圆上，∴2a ＝|MF 1|＋|MF 2| ＝2－02＋6－22＋2－02＋6＋22＝(23－2)＋(23＋2) ＝43，∴a ＝23，即a 2＝12. ∴b 2＝a 2－c 2＝12－4＝8. ∴椭圆的标准方程为y 212＋x 28＝1.法二：由题意知，焦点F 1(0,2)，F 2(0，－2)，则 设所求椭圆方程为y 2λ＋4＋x 2λ＝1(λ＞0)，将x ＝2，y ＝6代入，得6λ＋4＋4λ＝1，解得λ＝8，λ＝－2(舍去)． 所求椭圆方程为y 212＋x 28＝1.8．解：由题意知，a ＝2，b ＝1，c ＝3，|PF 1|＋|PF 2|＝4.① 在△F 1PF 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°， 即12＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1||PF 2|.② ①2得：|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1||PF 2|＝16.③ 由②③得：|PF 1||PF 2|＝43.∴S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|sin 60°＝12×43×32＝33.。
[推荐学习]2017_2018学年高中数学学业分层测评18含解析北师大版选修2_1
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学业分层测评(十八)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若点P (2,0)到双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线的距离为2，则双曲线的离心率为( )A. 2 B ． 3 C ．2 2D ．2 3【解析】 双曲线的渐近线方程为bx ±ay ＝0，点P (2,0)到渐近线的距离为|2b |a 2＋b 2＝2，所以a 2＝b 2，所以双曲线的离心率为2，故选A. 【答案】 A2．过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.433B ．2 3C ．6D ．4 3【解析】 设A ，B 两点的坐标分别为(x ，y A )，(x ，y B )，将x ＝c ＝2代入渐近线方程y ＝±3x 得到y A ，y B ，进而求|AB |.由题意知，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±3x ，将x ＝c ＝2代入得y ＝±23，即A ，B 两点的坐标分别为(2,23)，(2，－23)，所以|AB |＝4 3.【答案】 D3．下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1B ．x 24－y 2＝1C.y 24－x 2＝1 D ．y 2－x 24＝1【解析】 由双曲线的性质利用排除法求解．由双曲线焦点在y 轴上，排除选项A 、B ，选项C 中双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，故选C.【答案】 C4．将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m ＞0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( )A ．对任意的a ，b ，e 1＞e 2B ．当a ＞b 时，e 1＞e 2；当a ＜b 时，e 1＜e 2C ．对任意的a ，b ，e 1＜e 2D ．当a ＞b 时，e 1＜e 2；当a ＜b 时，e 1＞e 2【解析】 分别表示出e 1和e 2，利用作差法比较大小． 由题意e 1＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2；双曲线C 2的实半轴长为a ＋m ，虚半轴长为b ＋m ， 离心率e 2＝a ＋m2＋b ＋m 2a ＋m 2＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2.因为b ＋m a ＋m －b a ＝m a －ba a ＋m，且a ＞0，b ＞0，m ＞0，a ≠b ， 所以当a ＞b 时，m a －b a a ＋m ＞0，即b ＋m a ＋m ＞ba.又b ＋m a ＋m ＞0，ba＞0， 所以由不等式的性质依次可得⎝⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2＞⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2,1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2＞1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，所以1＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2＞1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2，即e 2＞e 1；同理，当a ＜b 时，m a －ba a ＋m＜0，可推得e 2＜e 1.综上，当a ＞b 时，e 1＜e 2；当a ＜b 时，e 1＞e 2.【答案】 D5．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A. 2 B ． 3 C.3＋12D ．5＋12【解析】 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，不妨设一个焦点为F (c,0)，虚轴端点为B (0，b )，则k FB ＝－b c .又渐近线的斜率为±b a，所以由直线垂直关系得⎝ ⎛⎭⎪⎫－b c ·b a＝－1⎝ ⎛⎭⎪⎫－ba显然不符合，即b 2＝ac ，又c 2－a 2＝b 2，所以c 2－a 2＝ac ，两边同除以a 2，整理得e2－e －1＝0，解得e ＝5＋12或e ＝1－52(舍去)． 【答案】 D 二、填空题6．过双曲线x 24－y 23＝1的左焦点F 1的直线交双曲线的左支于M ，N 两点，F 2为其右焦点，则|MF 2|＋|NF 2|－|MN |的值为________．【解析】 |MF 2|＋|NF 2|－|MN |＝|MF 2|＋|NF 2|－(|MF 1|＋|NF 1|)＝(|MF 2|－|MF 1|)＋(|NF 2|－|NF 1|)＝2a ＋2a ＝4a ＝8.【答案】 87．设F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的一个焦点．若C 上存在点P, 使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为__________．【解析】 根据题意建立a ，c 间的联系，再利用离心率公式计算．不妨设F (－c,0)，PF 的中点为(0，b )．由中点坐标公式可知P (c,2b )．又点P 在双曲线上，则c 2a 2－4b 2b 2＝1，故c 2a 2＝5，即e ＝ca＝ 5. 【答案】58．若双曲线x 2－y 2＝1右支上一点P (a ，b )到直线y ＝x 的距离为3，则a ＋b ＝________.【导学号：32550089】【解析】 由于点P (a ，b )在右支上，所以a －b >0. 又∵|a －b |2＝3，∴a －b ＝6，又∵a 2－b 2＝1，∴a ＋b ＝a 2－b 2a －b ＝16＝66.【答案】66三、解答题9．已知双曲线的方程是16x 2－9y 2＝144. (1)求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；(2)设F 1和F 2是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|＝32，求∠F 1PF 2的大小．【解】 (1)由16x 2－9y 2＝144得x 29－y 216＝1，所以a ＝3，b ＝4，c ＝5，所以焦点坐标F 1(－5,0)，F 2(5,0)，离心率e ＝53，渐近线方程为y ＝±43x .(2)由双曲线的定义可知||PF 1|－|PF 2||＝6，cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝PF 1|－|PF 22＋2|PF 1||PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝36＋64－10064＝0，∴∠F 1PF 2＝90°.10．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0；(3)在(2)的条件下，求△F 1MF 2的面积． 【解】 (1)∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：法一：由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6， ∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23，kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23.∵点(3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3，故kMF 1·kMF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2，∴MF 1→·MF 2→＝0.法二：∵MF 1→＝(－3－23，－m )， MF 2→＝(23－3，－m )，∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2. ∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1→·MF 2→＝0.(3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝43，△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，∴S △F 1MF 2＝6.[能力提升]1．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点为F 1，F 2，且C 上的点P 满足PF 1→·PF 2→＝0，|PF 1→|＝3，|PF 2→|＝4，则双曲线C 的离心率为( )A.102B ． 5 C.52D ．5 【解析】 由双曲线的定义可得2a ＝||PF 2→|－|PF 1→||＝1，所以a ＝12；因为PF 1→·PF 2→＝0，所以PF 1→⊥PF 2→，所以(2c )2＝|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝25，解得c ＝52.所以此双曲线的离心率为e ＝c a＝5.故D 正确．【答案】 D2．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 221－y 228＝1 B ．x 228－y 221＝1 C.x 23－y 24＝1 D ．x 24－y 23＝1【解析】 利用渐近线过已知点以及双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，列出方程组求解．由双曲线的渐近线y ＝b a x 过点(2，3)，可得3＝b a×2.①由双曲线的焦点(－a 2＋b 2，0)在抛物线y 2＝47x 的准线x ＝－7上，可得a 2＋b 2＝7.②由①②解得a ＝2，b ＝3，所以双曲线的方程为x 24－y 23＝1.【答案】 D3．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1，y 2b 2－x 2a 2＝1的离心率分别为e 1，e 2，则e 1＋e 2的最小值为________．【解析】 由已知得e 1＝a 2＋b 2a ，e 2＝a 2＋b 2b ，则e 1＋e 2＝a 2＋b 2a ＋a 2＋b 2b＝(a 2＋b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥2ab ·21ab＝2 2.【答案】 2 24．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点为F 1、F 2，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4105，3105在双曲线的右支上，且|PF 1|＝3|PF 2|，PF 1→·PF 2→＝0，求双曲线的标准方程．【解】 ∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝3|PF 2|， ∴|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a . 又PF 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－c －4105，－3105，PF 2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c －4105，－3105， ∵PF 1→·PF 2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫41052－c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫31052＝0， ∴c 2＝10.又|PF 2|＝a ，∴⎝⎛⎭⎪⎫c －41052＋⎝ ⎛⎭⎪⎫31052＝a 2.∴a 2＝4， ∴b 2＝c 2－a 2＝6.故所求双曲线的标准方程为x 24－y 26＝1.。
高中数北师大选修2-1练习：课时跟踪训练(一) 命 题
课时跟踪训练(一) 命 题1．下列语句不是命题的有( )①若a >b ，b >c ，则a >c ；②x >2；③3<4；④函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)在R 上是增函数．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．设l 1，l 2表示两条直线，α表示平面，若有：①l 1⊥l 2，②l 1⊥α，③l 2⊂α，则以其中两个为条件，另一个为结论，可以构造的所有命题中，真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．33．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( ) A ．若α≠π4，则tan α≠1 B ．若α＝π4，则tan α≠1 C ．若tan α≠1，则α≠π4 D ．若tan α≠1，则α＝π44．已知命题“若ab ≤0，则a ≤0或b ≤0”，则下列结论正确的是( )A ．真命题，否命题：“若ab ＞0，则a ＞0或b ＞0”B ．真命题，否命题：“若ab ＞0，则a ＞0且b ＞0”C ．假命题，否命题：“若ab ＞0，则a ＞0或b ＞0”D ．假命题，否命题：“若ab ＞0，则a ＞0且b ＞0”5．命题“若a >0，则二元一次不等式x ＋ay －1≥0表示直线x ＋ay －1＝0的右上方区域(包括边界)”条件p ：________，结论q ：________________________________.它是________命题(填“真”或“假”)．6．函数f (x )的定义域为A ，若当x 1，x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时，总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如，函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R)是单函数．下列命题：①函数f (x )＝x 2(x ∈R)是单函数；②指数函数f (x )＝2x (x ∈R)是单函数；③在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．其中的真命题是________．(填序号)7．把命题“两条平行直线不相交”写成“若p ，则q ”的形式，并写出其逆命题、否命题、逆否命题．8．证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.答案1．选C ①③是可以判断真假的陈述句，是命题；②④不能判断真假，不是命题．2．选B由l1⊥α，l2⊂α，得l1⊥l2；由l1⊥l2，l2⊂α推不出l1⊥α；由l1⊥l2，l1⊥α，推不出l2⊂α，也可能l2∥α.故真命题有1个．3．选C以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”．4．选B逆否命题“若a＞0且b＞0，则ab＞0”，显然为真命题，又原命题与逆否命题等价，故原命题为真命题．否命题为“若ab＞0，则a＞0且b＞0”，故选B.5．解析：a>0时，设a＝1，把(0,0)代入x＋y－1≥0得－1≥0不成立，∴x＋y－1≥0表示直线的右上方区域(包括边界)，∴命题为真命题．★答案★：a>0二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界)真6．解析：由x21＝x22，未必有x1＝x2，故①为假命题；对于f(x)＝2x，当f(x1)＝f(x2)时一定有x1＝x2，故②为真命题；当函数在其定义域上单调时，一定有“若f(x1)＝f(x2)，则x1＝x2”，故③为真命题．故真命题是②③.★答案★：②③7．解：原命题：若直线l1与l2平行，则l1与l2不相交；逆命题：若直线l1与l2不相交，则l1与l2平行；否命题：若直线l1与l2不平行，则l1与l2相交；逆否命题：若直线l1与l2相交，则l1与l2不平行．8．证明：法一：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)”．∵a＋b<0，∴a<－b，b<－a.又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)．∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，即逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．法二：假设a＋b<0，则a<－b，b<－a，又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)．∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．这与已知条件f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾．因此假设不成立，故a＋b≥0.。
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课时跟踪训练(十八) 双曲线及其标准方程
1．双曲线x 225－y 2
24＝1上的点P 到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为
( )
A ．1或21
B ．14或36
C ．2
D ．21
2．与椭圆x 24＋y 2
＝1共焦点且过点Q (2,1)的双曲线方程是( )
A.x 22－y 2
＝1 B.x 24－y 2
＝1 C.x 23－y 2
3
＝1 D ．x 2
－y 2
2
＝1
3．k <2是方程x 24－k ＋y 2
k －2＝1表示双曲线的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
4．设P 为双曲线x 2
－y 2
12＝1上的 一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|∶|PF 2|
＝3∶2，则△PF 1F 2的面积为( )
A ．6 3
B ．12
C ．12 3
D ．24
5．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 2
12＝1上一点M 的横坐标为3，则点M
到此双曲线的右焦点的距离为____________．
6．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在直线y ＝b
a x 上，则C 的方程为
________________________________________________________________________．
7．已知双曲线C 1：x 2
－y 2
4
＝1.求与双曲线C 1有相同的焦点，且过点P (4，3)的双曲线
C 2的标准方程．
8．若双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1的两个焦点为F 1，F 2，|F 1F 2|＝10，P 为双曲线上一点，|PF 1|＝
2|PF 2|，PF 1⊥PF 2，求此双曲线的方程．
答 案
1．选D 设双曲线的左右焦点分别为F 1，F 2，不妨设|PF 1|＝11，根据双曲线的定义知||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝10，所以|PF 2|＝1或|PF 2|＝21，而1＜c －a ＝7－5＝2，故舍去|PF 2|＝1，所以点P 到另一个焦点的距离为21，故选D.
2．选A ∵c 2＝4－1＝3，∴共同焦点坐标为(±3，0)， 设双曲线方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)，则由
⎩⎪⎨⎪⎧
4a 2－1b 2＝1，a 2＋b 2＝3，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＝2，
b 2＝1，
∴双曲线方程为x 22
－y 2
＝1.
3．选A ∵k <2⇒方程x 24－k ＋y 2
k －2
＝1表示双曲线，
而方程x 24－k ＋y 2
k －2＝1表示双曲线⇒(4－k )(k －2)<0⇒k <2或k >4⇒/ k <2.
4．选B 由已知得2a ＝2，又由双曲线的定义得，|PF 1|－|PF 2|＝2， ∵|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，∴|PF 1|＝6，|PF 2|＝4.
又∵|F 1F 2|＝2c ＝213.由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝62＋42－52
2×6×4＝0.
∴三角形PF 1F 2为直角三角形．∴S △PF 1F 2＝1
2
×6×4＝12.
5．解析：由题易知，双曲线的右焦点为(4,0)，点M 的坐标为(3，15)或(3，－15)，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为4.
答案：4
6．解析：点P (2,1)在直线y ＝b a x 上，则1＝2b
a
，a ＝2b ①.
双曲线的焦距为10，则有a 2＋b 2＝52，将①代入上式可得b 2＝5，从而a 2＝20，故双曲线C 的方程为x 220－y 2
5
＝1.
答案：x 220－y 2
5
＝1
7．解：双曲线C 1的焦点坐标为(5，0)，(－5，0)，设双曲线C 2的标准方程为x 2a 2－y 2
b 2
＝1(a ＞0，b ＞0)，
则⎩⎪⎨⎪⎧
a 2
＋b 2
＝5，16a 2－3b 2＝1，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＝4，
b 2＝1.
所以双曲线C 2的标准方程为x 24－y 2
＝1.
8．解：∵|F 1F 2|＝10，∴2c ＝10，c ＝5. 又∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 且|PF 1|＝2|PF 2|， ∴|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝4a .
在Rt △PF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2， ∴4a 2＋16a 2＝100.∴a 2＝5. 则b 2＝c 2－a 2＝20.
故所求的双曲线方程为x 25－y 2
20＝1.。