江苏常州教育学会学业水平监测2019高三试题-数学
江苏省常州市教育学会2018-2019学年高一上学期期末学业水平监测数学试题(解析版)
������ ������
；
∴ 3������������������������ = 2������������������������；
∴
������������������������
=
3
2．
3
故答案为：2．
⃗⊥⃗
⃗⋅⃗=0
根据������ ������即可得出������ ������ ，进行数量积的坐标运算即可得出3������������������������ = 2������������������������，从而可求
江苏省常州市教育学会 2018-2019 学年高一上学期期末
学业水平监测数学试题
一、填空题（本大题共 14 小题，共 56.0 分）
1. 已知集合������ = {−1,0，1，2，3}，������ = {������|������ < 2}，则������ ∩ ������中元素的个数为______．
������������������������ = ������ = 4
若
9 + ������2 5，则实数������ = 4，
江苏常州2019高三上年末调研测试--数学
江苏常州2019高三上年末调研测试--数学数 学Ⅰ参考公式： 样本数据1x ，2x ，… ，n x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中x =11nii x n =∑、【一】填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分、请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．、 1．设集合{A =，{}B a =，假设B A ⊆，那么实数a 的值为 、2．复数1i z =-+〔为虚数单位〕，计算：z z z z⋅-= 、 3．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线通过点(1,2)，那么该双曲线的离心率的值为 、4．依照右图所示的算法，可知输出的结果为 、5．某拍卖行组织拍卖的10幅名画中，有2幅是膺品、某人在这次拍卖中随机买入了一幅画，那么此人买入的这幅画是膺品的事件的概率为 、 6．函数(1)()coscos22x x f x -=p p 的最小正周期为 、 7．函数22()log (4)f x x =-的值域为 、8．点(1,1)A 和点(1,3)B --在曲线C ：32(,,y ax bx d a b d =++为常数上，假设曲线在点A 和点B 处的切线互相平行，那么32a b d ++= 、 9．向量a ，b 满足()22,4a b +=-，()38,16a b -=-，那么向量a ，b 的夹角的大小为 、〔1〕假设一个平面通过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂0102321Pr int n S n While S S S n n End While n++ ≤ ←←0←←4(第题)直；〔2〕假设一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；〔3〕假设两条平行直线中的一条垂直于直线m ，那么另一条直线也与直线m 垂直；〔4〕假设两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中，所有真命题的序号为、 11.函数f (x )＝32,2,(1),02x x x x ⎧⎪⎨⎪-<<⎩≥，假设关于x 的方程f (x )＝kx 有两个不同的实根，那么实数k 的取值范围是、 12.数列{}na 满足143a =，()*11226n n a n N a +-=∈+，那么11n i ia =∑=、 13.在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：224x y +=分别交x 轴正半轴及y 轴负半轴于M ，N 两点，点P 为圆C 上任意一点，那么PM PN ⋅的最大值为、14.实数,x y 同时满足54276xy--+=，2741log log 6y x -≥，2741y x -≤，那么x y+的取值范围是、【二】解答题：本大题共6小题，共计90分、请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤、 15、〔本小题总分值14分〕,αβ均为锐角，且3sin 5α=，1tan()3αβ-=-、 〔1〕求sin()αβ-的值； 〔2〕求cos β的值、16、〔本小题总分值14分〕如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，CD ∥AB，2AB ==，3CD =，直线PA 与底面ABCD所成角为60°，点M 、N 分别是PA ，PB 的中点、 〔1〕求证：MN ∥平面PCD ；〔2〕求证：四边形MNCD 是直角梯形； 〔3〕求证：DN ⊥平面PCB 、17、〔本小题总分值14分〕第八届中国花博会将于2018年9月在常州举办，展览园指挥中心所用地块的形状是大小一定的矩形ABCD ，BC a =，CD b =、a ，b为常数且满足b a <.组委会决定从该矩形地块中划出一个直角三角形地块AEF 建游客休息区〔点E ，F 分别在线段AB ，AD 上〕，且该直角三角形AEF 的周长为〔2l b >〕，如图、设AE x =，△AEF 的面积为S 、〔1〕求S 关于x 的函数关系式；〔2〕试确定点E 的位置，使得直角三角形地块AEF 的面积S 最大，并求出S 的最大值、18、〔本小题总分值16别是椭圆E :22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，且2250AF BF +=.〔1〕求椭圆E 的离心率；〔2〕点()1,0D 为线段2OF 的中点，M 为椭圆E 上的动点〔异于点A 、B 〕，连接1MF 并延长交椭圆E 于点N ，连接MD 、ND 并分别延长交椭圆E 于点P 、Q ，连接PQ ，设直线MN 、PQ 的斜率存在且分别为1k 、2k ，试问是否存在常数λ，使得120k k λ+=恒成立？假设存在，求出λ的值；假设不存在，说明理由.19、〔本小题总分值16分〕数列{}n a 是等差数列，12315a a a ++=，数列{}n b 是等比数列，12327b b b =、〔1〕假设1243,a b a b ==、求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；〔2〕假设112233,,a b a b a b +++是正整数且成等比数列，求3a 的最大值、 20、〔本小题总分值16分〕函数()ln f x x x a x =--. 〔1〕假设a =1，求函数()f x 在区间[1,]e 的最大值; 〔2〕求函数()f x 的单调区间；〔3〕假设()0f x >恒成立，求a 的取值范围、数学Ⅱ〔附加题〕注意事项：考生在答题前请认真阅读本考前须知及各题答题要求1.本试卷只有解答题，供理工方向考生使用、本试卷第21题有A 、B 、C 、D4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题、假设考生选做了3题或4题，那么按选做题中的前2题计分、第22、23题为必答题、每题10分，共40分、考试时间30分钟、考试结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置、3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效、作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔、请注意字体工整，笔迹清晰、4.如需作图，须用2B 铅笔绘、写清晰，线条、符号等须加黑、加粗、5.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损、一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔、21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每题10分，共计20分、请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤、A 、选修4—1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，,C F 是⊙O 上的两点，OC ⊥AB ， 过点F 作⊙O 的切线FD 交AB 的延长线于点D 、连结CF 交AB 于点E .求证：2DE DB DA =⋅.B 、选修4—2：矩阵与变换 矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c A 33，假设矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111α，属于特征值1的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=232α矩阵A 的逆矩阵、C 、选修4—4：坐标系与参数方程 曲线1C 的极坐标方程为cos 13πρθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，曲线2C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，判断两曲线的位置关系、D 、选修4—5：不等式选讲设2()14,||1f x x x x a =-+-<且，求证：|()()|2(||1)f x f a a -<+、【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分、请在答题卡．．．指定区域．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤、 22、(本小题总分值10分)袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个基本上白球的概率为512、现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，每次摸取1个球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终止、用X 表示取球终止时取球的总次数、〔1〕求袋中原有白球的个数；〔2〕求随机变量X 的概率分布及数学期望()E X 、23、(本小题总分值10分)空间内有n 个平面，设这n 个平面最多将空间分成n a 个部分. 〔1〕求1234,,,a a a a ；〔2〕写出n a 关于n 的表达式并用数学归纳法证明.参考答案数学Ⅰ 【一】填空题 1、02、i -4.115、8156、27、(,2]-∞8、79、p10、()1、()3、()411、10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭12、2324nn ⋅--13、4+14、56⎧⎫⎨⎬⎩⎭【二】解答题15、解：〔1〕∵π,(0,)2αβ∈，从而ππ22αβ-<-<、又∵1tan()03αβ-=-<，∴π02αβ-<-<、…………………………4分∴sin()αβ-=、………………………………6分〔2〕由〔1〕可得，cos()αβ-=∵α为锐角，3sin 5α=，∴4cos 5α=、 (10)分∴cos cos[()]cos cos()sin sin()βααβααβααβ=--=-+-…………12分=43(55+⨯、…………………………14分16、证明：〔1〕因为点M ，N 分别是PA ，PB 的中点，因此MN ∥AB ………………2分因为CD ∥AB ，因此MN ∥CD 、又CD ⊂平面PCD ，MN ⊄平面PCD ，因此MN ∥平面PCD .……4分 〔2〕因为AD ⊥AB ，CD ∥AB ，因此CD ⊥AD ， 又因为PD ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，因此CD ⊥PD ，又AD PD D =，因此CD ⊥平面PAD 、……………6分 因为MD ⊂平面PAD ，因此CD ⊥MD ，因此四边形MNCD 是直角梯形………………………………8分 〔3〕因为PD ⊥底面ABCD ，因此∠PAD 确实是直线PA 与底面ABCD 所成的角，从而∠PAD =60………………………9分在Rt △PDA中，AD =，PD =，PA =，MD =在直角梯形MNCD 中，1MN =，ND =，3CD =，CN ==，从而222DN CN CD +=，因此DN ⊥CN 、…………………………11分 在Rt △PDB 中，PD =DB，N 是PB 的中点，那么DN ⊥PB 、……13分 又因为PB CN N =，因此DN ⊥平面PCB 、…………………14分 17、解：〔1〕设AF y =，那么x y l ++=，整理，得222()l lx y l x -=-、………3分2(2)4(12)l l x S lx x xy --==，](0,x b ∈、…………………………………4分〔2〕()()]22'22242,(0,44l x lx l l S x x x b x l x l ⎛⎫⎛⎫-+=⋅=-⋅∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∴当b ≤时，'0S >，S 在](0,b 递增，故当x b =时，()()max 24bl b l S b l -=-；当b >时，在x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭上，'0S >，S递增，在,x b ⎫∈⎪⎪⎭上，'0S <，S递减，故当x =时，2max S =. 18、解：〔1〕2250AF BF +=，225AF F B ∴=.()5a c a c ∴+=-，化简得23a c =，故椭圆E 的离心率为23.〔2〕存在满足条件的常数λ，47=-l .点()1,0D 为线段2OF 的中点，2c ∴=，从而3a =，b =，左焦点()12,0F -，椭圆E 的方程为22195x y +=.设()11,M x y ，()22,N x y ，()33,P x y ，()44,Q x y ，那么直线MD 的方程为1111x x y y -=+，代入椭圆方程22195x y +=，整理得，2112115140x x y y y y --+-=.()1113115y x y y x -+=-，13145y y x ∴=-.从而131595x x x -=-，故点1111594,55x y P x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭.同理，点2222594,55x y Q x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭.三点M 、1F 、N 共线，121222y y x x ∴=++，从而()1221122x y x y y y -=-.从而()()()()121221121234121212341212124457557595944455y y x y x y y y y y y y x x k k x x x x x x x x x x --+-----=====--------.故21407k k -=，从而存在满足条件的常数λ，47=-l . 19、解：〔1〕由题得225,3a b ==，因此123a b ==，从而等差数列{}n a 的公差2d =，因此21n a n =+，从而349b a ==，因此13n n b -=、……………………3分〔2〕设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ， 那么15a d =-，13b q=，35a d=+，33b q =.因为112233,,a b a b a b +++成等比数列，因此2113322()()()64a b a b a b +⋅+=+=、设1133a b m a b n+=⎧⎨+=⎩，*,m n N ∈，64mn =，那么3553d mq d q n ⎧-+=⎪⎨⎪++=⎩，整理得，2()5()800d m n d m n +-++-=.解得d =〔舍去负根〕. 35a d =+，∴要使得3a 最大，即需要d 最大，即n m -及2(10)m n +-取最大值.*,m n N ∈，64mn =，∴当且仅当64n =且1m =时，n m -及2(10)m n +-取最大值.从而最大的d =因此，最大的3a =………16分20、解：〔1〕假设a =1,那么()1ln f x x x x =--、 当[1,]x e ∈时,2()ln f x x x x =--,2'121()210x x f x x x x--=--=>， 因此()f x 在[1,]e 上单调增,2max()()1f x f e e e ∴==--……………2分〔2〕由于()ln f x x x a x =--，(0,)x ∈+∞、 〔ⅰ〕当0a ≤时，那么2()ln f x x ax x =--，2'121()2x ax f x x a x x--=--=， 令'()0f x =，得00x =>〔负根舍去〕， 且当0(0,)x x ∈时，'()0f x <；当0(,)x x ∈+∞时，'()0f x >， 因此()f x 在上单调减，在)+∞上单调增.……4分〔ⅱ〕当0a >时， ①当x a ≥时，2'121()2x ax f x x a x x--=--=,令'()0f x =，得1x =x a=<舍〕，a≤，即1a ≥,那么'()0f x ≥，因此()f x 在(,)a +∞上单调增； 假设a>，即01a <<,那么当1(0,)x x ∈时，'()0f x <；当1(,)x x ∈+∞时，'()0f x >，因此()f x 在区间上是单调减，在)+∞上单调增.……………………6分 ②当0x a <<时,2'121()2x ax f x x a x x-+-=-+-=,令'()0f x =，得2210x ax -+-=，记28a ∆=-，假设280a ∆=-≤，即0a <≤,那么'()0f x ≤，故()f x 在(0,)a 上单调减； 假设280a ∆=->，即a >那么由'()0f x =得3x =，4x =且340x x a <<<，当3(0,)x x ∈时，'()0f x <；当34(,)x x x ∈时，'()0f x >；当4(,)x x ∈+∞时，'()0f x >，因此()f x 在区间上是单调减，在上单调增；在)+∞上单调减………………………………………8分 综上所述，当1a <时,()f x 单调递减区间是，()f x 单调递增区间是)+∞；当1a ≤≤时,()f x 单调递减区间是(0,)a ，()f x 单调的递增区间是(,)a +∞；当a >,()f x 单调递减区间是)和)a ，()f x 单调的递增区间是和(,)a +∞.………………10分〔3〕函数()f x 的定义域为(0,)x ∈+∞、 由()0f x >，得ln x x a x->、*〔ⅰ〕当(0,1)x ∈时，0x a -≥，ln 0xx<，不等式*恒成立，因此R a ∈；〔ⅱ〕当1x =时，10a -≥，ln 0xx=，因此1a ≠………………12分〔ⅲ〕当1x >时，不等式*恒成立等价于ln xa x x <-恒成立或ln xa x x>+恒成立、 令ln ()x h x x x =-，那么221ln ()x xh x x -+'=、因为1x >，因此()0h x '>，从而()1h x >、 因为ln x a x x<-恒成立等价于min (())a h x <，因此1a ≤、 令ln ()xg x x x=+，那么221ln ()x xg x x +-'=、再令2()1ln e x x x =+-，那么1()20e x x x'=->在(1,)x ∈+∞上恒成立，()e x 在(1,)x ∈+∞上无最大值、综上所述，满足条件的a 的取值范围是(,1)-∞…………………………16分数学Ⅱ〔附加题〕 21.【选做题】A 、选修4—1：几何证明选讲 证明：连结OF 、因为DF 切⊙O 于F ，因此∠OFD =90°、 因此∠OFC +∠CFD =90°、 因为OC =OF ，因此∠OCF =∠OFC 、因为CO ⊥AB 于O ，因此∠OCF +∠CEO =90°、 因此∠CFD =∠CEO =∠DEF ，因此DF =DE 、 因为DF 是⊙O 的切线,因此DF 2=DB ·DA 、 因此DE 2=DB ·DA 、 B 、选修4—2：矩阵与变换解：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111α，可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c 33⎥⎦⎤⎢⎣⎡11＝6⎥⎦⎤⎢⎣⎡11，即6=+d c ；由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=232α可得，⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c 33⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23，即223-=-d c ，解得⎩⎨⎧==,4,2d c 即A ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡4233，A 逆矩阵是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡2131-21-32.C 、选修4—4：坐标系与参数方程 解：将曲线12,C C 化为直角坐标方程得：1:20C x ++=，222:220C x y x y +--=即()()222:112C x y -+-=，圆心到直线的距离d >，∴曲线12C C 与相离、 D 、选修4—5：不等式选讲证明：由22|()()||||()(1)|f x f a x a a x x a x a -=-+-=-+-=|||1||1||()21|x a x a x a x a a -+-<+-=-+-|||2|1x a a ≤-++|2|2a <+ =2(||1)a +、 【必做题】22、解：〔1〕设袋中原有个白球，那么从9个球中任取2个球基本上白球的概率为229n C C，由题意知229n C C=512，即(1)5298122n n -=⨯，化简得2300nn --=、解得6n =或5n =-〔舍去〕 故袋中原有白球的个数为6.〔2〕由题意，X 的可能取值为1，2，3，4. 62(1)93P X ===； 361(2)984P X ⨯===⨯；3261(3)98714P X ⨯⨯===⨯⨯；32161(4)987684P X ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯. 因此取球次数X 的概率分布列为：所求数学期望为E 〔X 〕=123+214+3114+4184=10.723、解：〔1〕12342,4,8,15a a a a ====； 〔2〕31(56)6n a n n =++.证明如下： 当1n =时显然成立，设(1,)n k k k N *=≥∈时结论成立，即31(56)6k a k k =++， 那么当1n k =+时，再添上第1k +个平面，因为它和前k 个平面都相交，因此可得k 条互不平行且不共点的交线，且其中任3条直线不共点，这k 条交线能够把第1k +个平面划最多分成21[(1)(1)2)]2k k +-++个部分，每个部分把它所在的原有空间区域划分成两个区域.因此，空间区域的总数增加了21[(1)(1)2)]2k k +-++个，2321111[(1)(1)2)](56)[(1)(1)2)]262k k a a k k k k k k +∴=++-++=++++-++31[(1)5(1)6)]6k k =++++，即当1n k =+时，结论也成立. 综上，对n N *∀∈，31(56)6n a n n =++.。
2019届江苏省常州市高三上学期期末考试数学试题(解析版)
2019届江苏省常州市高三上学期期末考试数学试题一、填空题1．已知集合，则________.【答案】【解析】两个集合取交集可直接得到答案.【详解】集合，则故答案为：【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题.2．已知复数满足（是虚数单位），则复数________.【答案】【解析】利用复数的商的运算，分子分母同时乘以分母的共轭复数，化简即可得到答案.【详解】z==-i故答案为：-i【点睛】本题考查复数的商的运算，属于简单题.3．已知5位裁判给某运动员打出的分数为，且这5个分数的平均数为，则实数________.【答案】9.5【解析】根据平均数的定义列方程求出x的值．【详解】数据9.1，9.3，x，9.2，9.4的平均数为×（9.1+9.3+x+9.2+9.4）＝9.3，解得x＝9.5．故答案为：9.5．【点睛】本题考查平均数的定义与计算，是基础题．4．一个算法的伪代码如右图所示，执行此算法，若输出的值为，则输入的实数的值为________.【答案】3【解析】执行该算法后输出y＝，令y＝1求出对应x值即可．【详解】执行如图所示的算法知，该算法输出y＝当x≥1时，令y＝x2﹣2x﹣2＝1，解得x＝3或x＝﹣1（不合题意，舍去）；当x＜1时，令y＝＝1，此方程无解；综上，则输入的实数x的值为3．故答案为：3．【点睛】本题考查算法与应用问题，考查分段函数的应用问题，是基础题．5．函数y=______．0,e【答案】(]【解析】分析：利用真数大于零与被开方式大于等于零布列不等式组，解出范围即可.详解：函数()f x ={ 10x lnx -≥＞, 解得0＜x≤e ． 故答案为： (]0,e ．点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求 (1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y ＝x 0的定义域是{x |x ≠0}．(5)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R. (6)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)．6．某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中选修2门课程，则该同学恰好选中1文1理的概率为________.【答案】【解析】先求出基本事件总数n 和该同学恰好选中1文1理包含的基本事件数m ，由古典概型概率公式求解即可. 【详解】某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类， 某同学从中选修2门课程，基本事件总数n ＝＝10， 该同学恰好选中1文1理包含的基本事件总数m ＝＝6．∴该同学恰好选中1文1理的概率p ＝＝．故答案为：． 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．已知双曲线的离心率为2，直线经过双的焦点，则双曲线的渐近线方程为________.【答案】【解析】利用双曲线的离心率以及焦距，列出方程，求解渐近线方程即可．【详解】双曲线的离心率为2，=2，直线x+y+2＝0经过双曲线C的焦点，可得c＝2，所以a＝1，由则b＝，又双曲线的焦点在x轴上，所以双曲线C的渐近线方程为：．故答案为：．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查双曲线渐近线方程的求法，属于基础题. 8．已知圆锥，过的中点作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆柱，圆柱的下底面落在圆锥的底面上（如图），则圆柱的体积与圆锥的体积的比值为________.【答案】【解析】设出圆锥的底面半径和高，分别求出圆柱和圆锥的体积，计算出比值．【详解】设圆锥SO的底面半径为r，高为h，则圆柱PO的底面半径是，高为，∴V SO＝πr2h，V PO＝π（）2•，∴=．故答案为：．【点睛】本题考查圆柱与圆锥体积的求法，考查计算能力，是基础题．9．已知正数满足，则的最小值为________.【答案】4【解析】将代数式与相乘，利用基本不等式可求出最小值．【详解】由基本不等式可得，所以，当且仅当，即当y＝x2时，等号成立，因此，的最小值为4，故答案为：4．【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行灵活配凑是解本题的关键，同时考查计算能力，属于基础题．10．若直线与曲线（是自然对数的底数）相切，则实数________.【答案】【解析】根据题意，设切点为（m，e m），求y＝e x的导数，由导数几何意义可得k，即得切线方程，结合切线kx﹣y﹣k＝0可得m，从而得到k．【详解】根据题意，若直线kx﹣y﹣k＝0与曲线y＝e x相切，设切点为（m，e m）曲线y＝e x，其导数y′＝e x，则切线的斜率k＝y′|x＝m＝e m，则切线的方程为y﹣e m＝e m（x﹣m），又由k＝e m，则切线的方程为y﹣k＝k（x﹣m），即kx﹣y﹣mk+k＝0，又由切线为kx﹣y﹣k＝0，则有﹣m+1＝﹣1，解可得m＝2，则k＝e m＝e2，故答案为：e2．【点睛】本题考查利用导数计算曲线的切线方程，关键是掌握导数的几何意义，属于基础题．11．已知函数是偶函数，点是函数图象的对称中心，则最小值为________.【答案】【解析】由函数是偶函数得到φ的可能取值，再由函数过点（1，0）得出ω+φ的可能取值，从而得出ω的表达式，再对参数赋值即可得出所求最小值【详解】∵函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈R）是偶函数，∴φ＝,∵点（1，0）是函数y＝f（x）图象的对称中心∴sin（ω+φ）＝0，可得ω+φ＝k2π，k2∈Z，∴ω＝k2π﹣φ＝（k2﹣k1）π﹣．又ω＞0，所以当k2﹣k1＝1时，ω的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查正弦类函数的奇偶性与对称性，解答的关键是熟练掌握三角函数的图象与性质，能根据三角函数的图象与性质得出参数φ与ω的可能取值，再通过赋值的手段得出参数的最值12．平面内不共线的三点，满足，点为线段的中点，的平分线交线段于，若，则________.【答案】【解析】点为线段的中点可得，通过计算，即得∠AOB，由正弦定理可得：，，即可求解．【详解】如图，∵点C为线段AB的中点，∴，解得cos∠AOB＝﹣，∴∠AOB＝120°．由余弦定理可得AB2＝OA2+OB2﹣2OA•OB cos120°＝7,AB=由正弦定理可得：⇒sin A＝．由正弦定理可得：，∵，∠AOD＝60°．∴．故答案为：．【点睛】本题考查向量的线性运算，考查正余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．13．过原点的直线与圆交于两点，点是该圆与轴负半轴的交点，以为直径的圆与直线有异于的交点，且直线与直线的斜率之积等于，那么直线的方程为________.【答案】【解析】根据题意推得k l+k AP＝0，然后设P（x0，y0），解方程k l+k AP＝0可得x0，再代入圆的方程可解得y0，从而求出直线l方程．【详解】由以为直径的圆与直线有异于的交点，得k AN•k l＝﹣1，k AN•k AP＝1，所以k l+k AP＝0，设P（x0，y0）（y0≠0）则k l＝，k AP＝，∴+＝0，解得x0＝﹣，又x02+y02＝1，所以y0＝±，k l＝所以直线l的方程为：y＝x故答案为：y＝x【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系的应用，考查直线与直线垂直的性质的应用，属中档题．14．数列满足，且数列的前项和为，已知数列的前项和为1，那么数列的首项________.【答案】【解析】由数列分组求和可得a1+a2+…+a2018，由数列{b n}的前n项和以及数列的递推式可得a n与a1的关系，求和解方程即可得到所求值．【详解】数列{a n﹣n}的前2018项和为1，即有（a1+a2+…+a2018）﹣（1+2+…+2018）＝1，可得a1+a2+…+a2018＝1+1009×2019，由数列{b n}的前n项和为n2，可得b n＝2n﹣1，，a2＝1+a1，a3＝2﹣a1，a4＝7﹣a1，a5＝a1，a6＝9+a1，a7＝2﹣a1，a8＝15﹣a1，a9＝a1，…，可得a1+a2+…+a2018＝（1+2+7）+（9+2+15）+（17+2+23）+…+（4025+2+4031）+（a1+4033+a1）＝505+×505×504×8+2×504+504×7+×504×503×8+2a1＝1+1009×2019，解得a1＝．故答案为：．【点睛】本题考查等差数列的求和公式，以及数列的分组求和，考查运算能力和推理能力，属于中档题．二、解答题15．如图，正三棱柱中，点分别是棱的中点.求证：（1）//平面；（2）平面平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）设与的交点为，连，证明四边形为平行四边形，利用线面平行的判定定理可得CM∥平面AB1N．（2）由已知证明平面，因为，可得平面，由面面垂直的判定定理即可得到证明.【详解】（1）设与的交点为，连，在正三棱柱中，为的中点，，且，依题意，有，且，∴，且，∴四边形为平行四边形，∴，而平面，平面，∴平面.（2）在正三棱柱中，平面，∴，又，∴平面，因为，∴平面，平面，∴平面平面.【点睛】本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16．已知中，分别为三个内角的对边，且.（1）求角；（2）若，且，求的周长.【答案】（1）；（2）6.【解析】(1)由余弦定理和同角三角函数关系式化简即可得到答案；（2）利于（1）所得A角和两角差的正切公式化简，可得角B，可确定三角形为等边三角形，从而可得周长.【详解】（1）由已知，得：，由余弦定理，得：，即，又,所以.（2），，化简，得：，所以，；所以，三角形为等边三角形，其周长为：.【点睛】本题考查余弦定理和两角和差公式的简单应用，考查计算能力，属于基础题.17．已知，在平面直角坐标系中，椭圆的焦点在椭圆上，其中，且点是椭圆位于第一象限的交点.（1）求椭圆的标准方程；（2）过轴上一点的直线与椭圆相切，与椭圆交于点，已知，求直线的斜率.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意得c=b,,将点代入椭圆C1，可得a，b，从而得到椭圆的方程；（2）设直线l为y＝kx+m，代入椭圆C2，由判别式为0，可得m，k的关系式，由直线方程和椭圆C1方程，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，可得m,k 的第二个关系，解方程组可得直线方程．【详解】（1）如下图所示，依题意，得，所以，，所以，椭圆为：，将点代入，解得：，所以，.（2）设斜率为，则直线方程为：，设，，，，，又或，故方程为：或.【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用判别式法和韦达定理、以及向量共线的坐标表示，考查方程思想和运算能力，属于中档题．18．某公园要设计如图所示的景观窗格（其结构可以看成矩形在四个角处对称地截去四个全等的三角形所得，如图二中所示多边形），整体设计方案要求:内部井字形的两根水平横轴米，两根竖轴米，记景观窗格的外框（如图二实线部分，轴和边框的粗细忽略不计）总长度为米.（1）若，且两根横轴之间的距离为米，求景观窗格的外框总长度；（2）由于预算经费限制，景观窗格的外框总长度不超过米，当景观窗格的面积（多边形的面积）最大时，给出此景观窗格的设计方案中的大小与的长度.【答案】（1）米；（2）的长度为米.【解析】（1）利用直角三角形分别求图中的各个边的长度求和即可得到答案；（2）设，景观窗格的面积为，将面积用x和y表示出来，利用已知条件和三角函数的有界性可得最值，从而得到答案.【详解】（1）米，，则米，米，故总长度米；答：景观窗格的外框总长度为米；（2）设，景观窗格的面积为，则，，当且仅当即时取等，，由知：，答：当景观窗格的面积最大时，的长度为米.【点睛】本题考查三角函数在实际生活中的应用，考查函数的最值问题，考查分析推理和计算能力，属于中档题.19．已知数列中，，且.（1）求证：是等比数列，并求数列的通项公式；（2）数列中是否存在不同的三项按照一定顺序重新排列后，构成等差数列？若存在，求满足条件的项；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析，；（2）不存在.【解析】（1）推导出a n+1+1＝﹣3（a n+1），n∈N．a1+1＝2，由此能证明{a n+1}是以2为首项，﹣3为公比的等比数列，可求数列{a n}通项公式．（2）假设a m，a n，a p构成等差数列，m≠n≠p，则2a n＝a m+a p，利用（1）的通项公式进行推导不满足2a n＝a m+a p，从而数列{a n}中不存在不同的三项按照一定顺序重新排列后，构成等差数列．【详解】（1）因为，所以，因为，所以数列是以2为首项，以-3为公比的等比数列，所以，即；（2）假设存在三项按一定顺序重新排列后成等差.①若，则，整理得，两边同除以，可得，等式右边是-3的整数倍，左边不是-3的整数倍，故等式不成立.②若，则，整理得，两边同除以，可得，等式右边是-3的整数倍，左边不是-3的整数倍，故等式不成立.③若，则，整理得，两边同除以，可得，等式左边是-3的整数倍，右边不是-3的整数倍，故等式不成立；综上，不存在不同的三项符合题意.【点睛】本题考查等比数列的证明，考查数列能否构成等差数列的判断与求法，考查构造法、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．已知函数，函数.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围；（3）若函数对恒成立，求实数的取值范围.(是自然对数的底数，)【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）代入a值，求函数的导数，由导数的几何意义求得切线斜率，根据点斜式可得切线方程；（2）求导数，通过讨论a的范围，求函数单调区间，结合函数单调性和函数的最值可求a的范围；（3）求g（x）解析式，求函数导数，讨论函数单调性，由函数单调性和最值可确定a的范围．【详解】（1）当时，，则，所以，所以切线方程为.（2），①当时，恒成立，所以单调递增，因为，所以有唯一零点，即符合题意；②当时，令，解得，列表如下：由表可知，.（i）当，即时，，所以符合题意；（ii）当，即时，，因为，且，所以，故存在，使得，所以不符题意；（iii）当，即时，，因为，设，则，所以单调递增，即，所以，又因为，所以，故存在，使得，所以不符题意；综上，的取值范围为.（3），则，①当时，恒成立，所以单调递增，所以，即符合题意；②当时，恒成立，所以单调递增，又因为，所以存在，使得，且当时，，即在上单调递减，所以，即不符题意；综上，的取值范围为.【点睛】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，综合性较强．21．已知点在矩阵对应的变换作用下得到的点，求：（1）矩阵；（2）矩阵的特征值及对应的特征向量.【答案】（1）；（2）时，对应特征向量：；时，对应特征向量：.【解析】（1）根据矩阵的乘法公式计算即可；（2）写出矩阵的特征多项式，令＝0，得矩阵的特征值，即可得到特征向量.【详解】（1），所以，，解得：,所以，.（2）矩阵的特征多项式，令＝0，得矩阵的特征值：或，时，，得一非零解：，对应特征向量：；时，，得一非零解：，对应特征向量：.【点睛】本题给出二阶矩阵，求矩阵A的特征值和特征向量．着重考查了特征向量的定义、求法及其性质等知识，属于中档题．22．在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系.直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为，求直线被曲线所截的弦长.【答案】【解析】求直线l的普通方程，曲线C的直角坐标方程，得到曲线C是以C（1，1）为圆心，以r＝为半径的圆，求圆心C到直线l的距离d，由弦长公式即可得到答案.【详解】直线的，圆C化为：,即，圆心为（1,1），半径R＝,圆心到直线距离为：,所截弦长为：.【点睛】本题考查直线被圆截得的弦长的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23．已知，求证：.【答案】证明见解析【解析】将所证不等式利用三次基本不等式即可得到证明.【详解】证明：，，，上面三式相加，得：，所以，.【点睛】本题考查基本不等式在证明题中的应用，属于基础题.24．如图，在空间直角坐标系中，已知正四棱锥的高，点和分别在轴和轴上，且，点是棱的中点.（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）求出和平面P AB的法向量，利用向量法能求出直线AM与平面P AB所成角的正弦值．（2）求平面PBC的法向量和平面P AB的法向量，利用向量法求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【详解】（1）P（0，0，2），A（0，－1，0），B（1，0，0），M（0，，1），＝（0，1，2），＝（1，1，0），设平面PAB的法向量为＝（x，y，z），则，取x＝2，y＝－2，z＝1，＝（2，－2，1），＝（0，，1），，得cosθ＝＝,即线与平面所成角的正弦值为.（2）C（0，1，0），P（0，0，2），B（1，0，0）＝（－1，0，2），＝（－1，1，0），设平面PBC的法向量为＝（x，y，z），则，取x＝2，y＝2，z＝1，＝（2，2，1），，得cosα＝，二面角的余弦值为.【点睛】本题考查线面的正弦值和二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．25．是否存在实数，使得等式对于一切正整数都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】【解析】利用数列的的分组求和法对等式左边的式子求和，然后根据对应项的系数相等可得答案.【详解】，＝＝+＋＝＝所以，，.【点睛】本题考查数列分组求和方法的应用，考查等差数列的求和公式，属于基础题.。
江苏省常州市教育学会2022-2023学年高三上学期期中学业水平检测数学试题含答案
常州市教育学会学业水平监测高三数学2022年11月注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号徐黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |2－x ≤1}，B ＝{x ||x －2|≤1}，则集合(C U A )∩B ＝A ．B ．{x |2＜x ≤3}C ．{x |2≤x ≤3}D ．{x |1≤x ≤2}2．记△ABC 的内角为A ，B ，C ，则“A ＝B ”是“sin A ＝sin B ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 3．已知等比数列{a n }的公比q ＞0，且a 2＋a 3＝6，a 3a 4＝a 6，则a 4＝A ．8B ．12C ．16D ．20 4．如图，该图象是下列四个函数中的某个函数的大致图象，则该函数是A ．y ＝－x 3＋3x x 2＋1B ．y ＝x 3－xx 2＋1C ．y ＝2x cos xx 2＋1D ．y ＝2sin xx 2＋15．若(1－ax ＋x 2)(1－x )8的展开式中含x 2的项的系数为21，则a ＝A ．－3B ．－2C ．－1D ．16．设随机变量ξ ~ N (μ，4)，函数f (x )＝x 2＋2x －ξ没有零点的概率是0.5，则P (1＜ξ≤3)＝附：随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，P (μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝0.6827，P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝0.9545．A ．0.1587B ．0.1359C ．0.2718D ．0.34137．如图是一个近似扇形的湖面，其中OA ＝OB ＝r ，弧AB 的长为l (l ＜r )．为了方便观光，欲在A ，B 两点之间修建一条笔直的走廊AB ．若当0＜x ＜12时，sin x ≈x －x 36，则ABl的值约为A ．2－r 212l 2B ．2－l 212r 2C ．1－r 224l 2D ．1－l 224r 28．设a ＝e 0.2，b ＝54，c ＝ln 6e5，则A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知等差数列{a n }的公差d ＜0，且a 12＝a 112．{a n }的前n 项和记为S n ，若S k 是S n 的最大值，则k 的可能值为A ．5B ．6C ．10D ．11 10．记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，则A ．B 的最小值为π3B ．cos(A －C )＋cos B ＝1－cos2BC ．1tan A ＋1tan B ＝1sin B D ．ba 的取值范围为(0，5＋12)11．已知函数f (x )及其导函数f ′(x )定义域均为R ，若f (－x )＝－f (x )，f (x ＋2)＝f (2－x )对任意实数x 都成立，则A ．函数f (x )是周期函数B ．函数f ′(x )是偶函数C ．函数f ′(x )的图象关于(2，0)中心对称D ．函数f (2－x )与f (x )的图象关于直线x ＝2对称12．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以8个顶点中的任意3个顶点作为顶点的三角形叫做K －三角形，12条棱中的任意2条叫做棱对，则A ．一个K －三角形在它是直角三角形的条件下，它又是等腰直角三角形的概率为13B ．一个K －三角形在它是等腰三角形的条件下，它又是等边三角形的概率为14C ．一组棱对中两条棱所在直线在互相平行的条件下，它们的距离为2的概率为13D ．一组棱对中两条棱所在直线在互相垂直的条件下，它们异面的概率为12三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．函数f (x )＝tan(sin x )的最小正周期为 ．14．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为H ，则直线AH 与平面DCC 1D 1所成角的正弦值为 ．15．在△ABC 中，2sin ∠ACB ＝ 3 s in ∠ABC ，AB ＝23，BC 边上的中线长为13，则△ABC 的面积为 ．16．将数列{3n }与{2n }的所有项放在一起，按从小到大的顺序排列得到数列{a n }，则a 684＝ ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{4a n a n ＋1}的前n 项和T n ．18．(本小题满分12分)已知两个变量y 与x 线性相关，某研究小组为得到其具体的线性关系进行了10次实验，得到10个样本点研究小组去掉了明显偏差较大的2个样本点，剩余的8个样本点(x i ，y i )(i ＝1，2，3，…，8)满足∑=81i ix＝32，∑=81i i y ＝132，根据这8个样本点求得的线性回归方程为ŷ＝3x ＋aˆ(其中a ˆ∈R )．后为稳妥起见，研究小组又增加了2次实验，得到2个偏差较小的样本点(2，11)，(6，22)，根据这10个样本点重新求得线性回归方程为ŷ＝n ˆx ＋m ˆ(其中n ˆ，m ˆ∈R )． (1)求aˆ的值； (2)证明回归直线ŷ＝nˆx ＋m ˆ经过点(4，16.5)，并指出n ˆ与3的大小关系． 参考公式：线性回归方程ŷ＝bˆx ＋a ˆ，其中b ˆ＝()()()∑∑==−−−ni ini iix x y yx x 121，aˆ＝―y －b ˆ―x ．19．(本小题满分12分)记函数f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx cos ωx (ω＞0)的最小正周期为T ．若π3＜T ＜2π3，且y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π6对称． (1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位，再将得到的图象．上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在[π2，0)上的值域．20．(本小题满分12分)甲、乙两地教育部门到某师范大学实施“优才招聘计划”，即通过对毕业生进行笔试，面试，模拟课堂考核这3项程序后直接签约一批优秀毕业生，已知3项程序分别由3个考核组独立依次考核，当3项程序均通过后即可签约．去年，该校数学系130名毕业生参加甲地教育部门“优才招聘计划”的具体情况如下表(不存在通过3项程序考核放弃签约的情况)．他的辅导员作出较客观的估计：小明通过甲地的每项程序的概率均为12，通过乙地的各项程序的概率依次为13，35，m ，其中0＜m ＜1． (1)判断是否有90%的把握认为这130名毕业生去年参加甲地教育部门“优才招聘计划”能否签约与性别有关；(2)若小明能与甲、乙两地签约分别记为事件A ，B ，他通过甲、乙两地的程序的项数分别记为X ，Y ．当E (X )＞E (Y )时，证明：P (A )＞P (B )．参考公式与临界值表：χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d ．21．(本小题满分12分)如图，在三棱锥A －BCD 中，已知平面ABD ⊥平面BCD ，AC ⊥BD ，CB ＝CD ＝5，BD ＝2，E 为BC 的中点．(1)若AD ＝2，求直线BD 与AE 所成角的余弦值；(2)已知点F 在线段AC 上，且AF ＝13AC ，求二面角F －DE －C 的大小．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x －ax ，g (x )＝ax －ln x ，a ∈R ．(1)若f (x )在x ＝0处的切线与g (x )在x ＝1处的切线相同，求实数a 的值；(2)令F (x )＝f (x )＋g (x )，直线y ＝m 与函数F (x )的图象有两个不同的交点，交点横坐标分别为x 1，x 2，证明：x 1＋x 2＞1．常州市教育学会学业水平监测高三数学2022年11月注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号徐黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U＝R，集合A＝{x|2－x≤1}，B＝{x||x－2|≤1}，则集合(C U A)∩B＝A． B．{x|2＜x≤3}C．{x|2≤x≤3}D．{x|1≤x≤2}2．记△ABC的内角为A，B，C，则“A＝B”是“sin A＝sin B”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件3．已知等比数列{a n}的公比q＞0，且a2＋a3＝6，a3a4＝a6，则a4＝A．8B．12C．16D．204．如图，该图象是下列四个函数中的某个函数的大致图象，则该函数是A ．y ＝－x 3＋3x x 2＋1B ．y ＝x 3－xx 2＋1C ．y ＝2x cos x x 2＋1D ．y ＝2sin xx 2＋15．若(1－ax ＋x 2)(1－x )8的展开式中含x 2的项的系数为21，则a ＝A ．－3B ．－2C ．－1D ．16．设随机变量ξ~N (μ，4)，函数f (x )＝x 2＋2x －ξ没有零点的概率是0.5，则P (1＜ξ≤3)＝附：随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，P (μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝0.6827，P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝0.9545．A ．0.1587B ．0.1359C ．0.2718D ．0.34137．如图是一个近似扇形的湖面，其中OA ＝OB ＝r ，弧AB 的长为l (l ＜r )．为了方便观光，欲在A ，B 两点之间修建一条笔直的走廊AB ．若当0＜x ＜12时，sin x ≈x －x 36，则ABl的值约为A ．2－r 212l 2B ．2－l 212r 2C ．1－r 224l 2D ．1－l 224r28．设a ＝e 0.2，b ＝54，c ＝ln 6e5，则A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知等差数列{a n}的公差d＜0，且a12＝a112．{a n}的前n项和记为S n，若S k是S n的最大值，则k的可能值为A．5B．6C．10D．1110．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，则A．B的最小值为π3B．cos(A－C)＋cos B＝1－cos2BC．1tan A＋1tan B＝1sin BD．ba的取值范围为(0，5＋12)11．已知函数f(x)及其导函数f′(x)定义域均为R，若f(－x)＝－f(x)，f(x＋2)＝f(2－x)对任意实数x都成立，则A．函数f(x)是周期函数B．函数f′(x)是偶函数C．函数f′(x)的图象关于(2，0)中心对称D．函数f(2－x)与f(x)的图象关于直线x＝2对称12．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，以8个顶点中的任意3个顶点作为顶点的三角形叫做K－三角形，12条棱中的任意2条叫做棱对，则A．一个K－三角形在它是直角三角形的条件下，它又是等腰直角三角形的概率为13B．一个K－三角形在它是等腰三角形的条件下，它又是等边三角形的概率为14C．一组棱对中两条棱所在直线在互相平行的条件下，它们的距离为2的概率为13D．一组棱对中两条棱所在直线在互相垂直的条件下，它们异面的概率为12三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数f(x)＝tan(sin x)的最小正周期为．14．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为H，则直线AH 与平面DCC1D1所成角的正弦值为．15．在△ABC中，2sin∠ACB＝3sin∠ABC，AB＝23，BC边上的中线长为13，则△ABC 的面积为．16．将数列{3n}与{2n}的所有项放在一起，按从小到大的顺序排列得到数列{a n}，则a684＝．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；}的前n项和T n．(2)求数列{4a n a n＋1【解析】18．(本小题满分12分)已知两个变量y 与x 线性相关，某研究小组为得到其具体的线性关系进行了10次实验，得到10个样本点研究小组去掉了明显偏差较大的2个样本点，剩余的8个样本点(x i ，y i )(i ＝1，2，3，…，8)满足∑=81i ix ＝32，∑=81i iy＝132，根据这8个样本点求得的线性回归方程为ŷ＝3x ＋aˆ(其中a ˆ∈R )．后为稳妥起见，研究小组又增加了2次实验，得到2个偏差较小的样本点(2，11)，(6，22)，根据这10个样本点重新求得线性回归方程为ŷ＝n ˆx ＋m ˆ(其中n ˆ，mˆ∈R )．(1)求aˆ的值；(2)证明回归直线ŷ＝nˆx ＋m ˆ经过点(4，16.5)，并指出n ˆ与3的大小关系．参考公式：线性回归方程ŷ＝bˆx ＋a ˆ，其中b ˆ＝()()()∑∑==---n i ini ii x x y yx x 121，aˆ＝―y －b ˆ―x ．【解析】19．(本小题满分12分)记函数f(x)＝sin2ωx＋3sinωx cosωx(ω＞0)的最小正周期为T．若π3＜T＜2π3，且y＝f(x)的图象关于直线x＝π6对称．(1)求ω的值；(2)将函数y＝f(x)的图象向左平移π4个单位，再将得到的图象．上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在[π2，0)上的值域．【解析】20．(本小题满分12分)甲、乙两地教育部门到某师范大学实施“优才招聘计划”，即通过对毕业生进行笔试，面试，模拟课堂考核这3项程序后直接签约一批优秀毕业生，已知3项程序分别由3个考核组独立依次考核，当3项程序均通过后即可签约．去年，该校数学系130名毕业生参加甲地教育部门“优才招聘计划”的具体情况如下表(不存在通过3项程序考核放弃签约的情况)．性别人数参加考核但未能签约的人数参加考核并能签约的人数男生4515女生6010今年，该校数学系毕业生小明准备参加两地的“优才招聘计划”，假定他参加各程序的结果相互不影响，且他的辅导员作出较客观的估计：小明通过甲地的每项程序的概率均为1 2，通过乙地的各项程序的概率依次为13，35，m，其中0＜m＜1．(1)判断是否有90%的把握认为这130名毕业生去年参加甲地教育部门“优才招聘计划”能否签约与性别有关；(2)若小明能与甲、乙两地签约分别记为事件A，B，他通过甲、乙两地的程序的项数分别记为X，Y．当E(X)＞E(Y)时，证明：P(A)＞P(B)．参考公式与临界值表：χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，n＝a＋b＋c＋d．P(χ2≥k)0.100.050.0250.010k 2.706 3.841 5.024 6.635【解析】21．(本小题满分12分)如图，在三棱锥A－BCD中，已知平面ABD⊥平面BCD，AC⊥BD，CB＝CD＝5，BD＝2，E为BC的中点．(1)若AD＝2，求直线BD与AE所成角的余弦值；(2)已知点F在线段AC上，且AF＝1AC，求二面角F－DE－C的大小．3【解析】22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝e x－ax，g(x)＝ax－ln x，a∈R．(1)若f(x)在x＝0处的切线与g(x)在x＝1处的切线相同，求实数a的值；(2)令F(x)＝f(x)＋g(x)，直线y＝m与函数F(x)的图象有两个不同的交点，交点横坐标分别为x1，x2，证明：x1＋x2＞1．【解析】。
2019届江苏省常州市常州教育学会学业水平监测
常州教育学会学业水平监测高三数学Ⅰ试题 2019年1月一、填空题：(本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．请将答案写在答题卡相应位置． ) 1．已知集合A ＝｛0，1｝，B ＝｛－1，1｝，则A ∩B ＝ ． 2．已知复数z 满足z (1＋i )＝1－i (i 是虚数单位)，则复数z ＝ ．3．已知5位裁判给某运动员打出的分数为9.1，9.3，x ，9.2，9.4，且这5个分数的平均数为9.3，则实数x ＝ ．4．一个算法的伪代码如右图所示，执行此算法，若输出的y 值为1，则输入的实数x 的值为 ．5．函数y ＝1－ln x 的定义域为 ．6．某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从选修2门课程，某同学从中选修2门课程，则该同学恰好选中1文1理的概率为 ．7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，直线x ＋y ＋2＝0经过双曲线C 的焦点，则双曲线C 的渐近线方程为 ． 8．已知圆锥SO ，过SO 的中点P 作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆柱PO ，圆柱的下底面落在圆锥的底面上（如图），则圆柱PO 的体积与圆锥SO 的体积的比值为 ．9．已知正数x ，y 满足x ＋y x ＝1，则1x ＋xy的最小值为 ．10．若直线kx －y －k ＝0与曲线y ＝e x (e 是自然对数的底数)相切，则实数k ＝ ．11．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，φ∈R )是偶函数，点（1，0）是函数y ＝f (x )图像的对称中心，则ω的最小值为 ．12．平面内不共线的三点O ，A ，B ，满足|OA →|＝1，|OB →|＝2，点C 为线段AB 的中点，∠AOB 的平分线交线段AB 于D ，若|OC →|＝32，则|OD →|＝ ．13．过原点的直线l 与圆x 2＋y 2＝1交于P ，Q 两点，点A 是该圆与x 轴负半轴的交点，以AQ 为直径的圆与直线l 有异于Q 的交点N ，且直线AN 与直线AP 的斜率之积等于1，那么直线l 的方程为 ． 14．数列｛a n ｝，｛b n ｝满足b n ＝a n ＋1＋(－1)n a n (n ∈N *)，且数列｛b n ｝的前n 项和为n 2．已知数列｛a n －n ｝的前2018项和为1，那么数列｛a n ｝的首项a 1＝ ．二、解答题：(本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)Read xIf x ≥1 Then y←x 2－2x －2 Elsey←x ＋1x －1End If Print y(第4题)SO P（第8题）如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点M ，N 分别是AB ，CC 1的中点．求证：⑴CM ∥平面AB 1N ； ⑵平面A 1BN ⊥平面AA 1B 1B ．16．（本小题满分14分）已知△ABC 中，a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 的对边，且b 2－233bc sin A ＋c 2＝a 2．⑴求角A ；⑵若tan B tan C ＝3，且a ＝2，求△ABC 的周长．A A 1B 1C 1 BCMN(第15题)已知，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b 2＝1上，其中a ＞b ＞0，且点P (63，63)是椭圆C 1，C 2位于第一象限的交点． ⑴求椭圆C 1，C 2的标准方程； ⑵过y 轴上一点P 的直线l 与椭圆C 2相切，与椭圆C 1交于点A ，B ，已知PA →＝35PB →，求直线l 的斜率．18．（本小题满分16分）某公园要设计如图一所示的景观窗格（其结构可以看成矩形在四个角处对称地截去四个全等三角形所得，如图二中所示多边形ABCDEFGH ），整体设计方案要求：内部井字形的两根水平横轴AF ＝BE ＝1.6米，两根竖轴CH ＝DG ＝1.2米，记景观窗格的外框（图二实线部分，轴和边框的粗细忽略不计）总长度为l 米．⑴若∠ABC ＝2π3，且两根横轴之间的距离为0.6米，求景观窗格的外框总长度；⑵由于预算经费限制，景观窗格的外框总长度不超过5米，当景观窗格的面积（多边形ABCDEFGH 的面积）最大时，给出此景观窗格的设计方案中∠ABC 的大小与BC 长度．ABDEFGH(第18题)图一图二已知数列｛a n｝中，a1＝1，且a n＋3a n＋4＝0，n∈N*．＋1（1）求证：｛a n＋1｝是等比数列，并求数列｛a n｝的通项公式；（2）数列｛a n｝中是否存在不同的三项按照一定顺序重新排列后，构成等差数列？若存在，求出满足条件的项；若不存在，说明理由．20．（本小题满分16分）已知函数m(x)＝x2，函数n(x)＝a ln x＋1(a∈R)．（1）若a＝2，求曲线y＝n(x)在点(1，n(1))处的切线方程；（2）若函数f(x)＝m(x)－n(x)有且只有一个零点，求实数a的取值范围；（3）若函数g(x)＝m(x)＋e x－ex≥0对x∈[1，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围．（e是自然对数的底数，e＝2.71828…）。
江苏省常州市2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题 Word版含解析
江苏省常州教育学会学业水平测试2019—2020学年度第二学期（期末）高二数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．从5名男生和4名女生中，选出男女各1名学生主持某次活动，不同的选法种数为 A ．9 B ．10 C ．20 D ．40 2．若326n n A C =，则n 的值为A ．4B ．5C ．6D ．73．同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数为奇数”为事件A ，“两颗骰子的点数之积为奇数”为事件B ，则P(B ∣A)＝ A ．12 B ．13 C ．14 D ．164．某年级有6个班级，3位数学教师，每位教师任教2个班级，则不同分法的种数有 A ．15 B ．45 C ．90 D ．5405．函数22()e xx xf x +=的大致图象是6．对某同学7次考试的数学成绩x 和物理成绩y 进行分析，下面是该生7次考试的成绩．发现他的物理成绩y 与数学成绩x 是线性相关的，利用最小二乘法得到线性回归方程为y ＝0.5x a +，若该生的数学成绩达到130分，估计他的物理成绩大约是A ．114.5B ．115C ．115.5D ．116 7．已知函数3()31f x ax x =++的极大值与极小值的差为4，则实数a 的值为 A ．﹣1 B ．14-C ．14D ．18．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的 数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉 三角形”．若将这些数字依次排列构成数列1，1，1，1，2，1， 1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，则此数列的第2020项为 A ．363C B ．463CC ．364C D ．464C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．下列求导数运算不正确的是A ．(sin )cos x x '=-B ．2ln 2(log )x x'=C ．2ln 1ln ()x x x x+'= D ．2121(e )2e x x ++'= 10．已知在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩X 服从正态分布N(105，100)，其中90分为及格线，120 分为优秀线，下列说法正确的是附：随机变量ξ服从正态分布N(μ，2σ)，则P(μσξμσ-<<+)＝0.6826， P(22μσξμσ-<<+)＝0.9544，P(33μσξμσ-<<+)＝0.9974． A ．该市学生数学成绩的期望为105 B ．该市学生数学成绩的标准差为100 C ．该市学生数学成绩及格率超过0.99D ．该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等 11．已知复数8i2iz +=-，其中i 是虚数单位，则以下说法正确的是 A ．复数z 的实部为3 B ．复数z 的虚部为2iC ．复数z 的模为13D ．复数z 的共轭复数32i z =-+12．由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字组成无重复数字的五位数，其中偶数的个数是 A ．41139488A A A A +⋅⋅ B ．41439498()A A A A +- C ．54143109498()A A A A A -+- D ．54143109598()A A A A A --- 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知2()nx x+的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则展开式中常数项为 ．第8题14．有一个活动小组有6名男生和4名女生，从中任选3名学生，至多选中2名男生的概率为 ． 15．已知函数()e ln xf x a x =+，若曲线()y f x =在1x =处的切线方程为y x b =+，则a ＋b ＝ ．16若a ＝2b ＝3c ，则E(X)为 ；若b ＝12，V(X)的最大值为 ． （本小题第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题满分10分）已知22(815)(56)i z m m m m =-++-+,其中i 是虚数单位，m 为实数．（1）当z 为纯虚数时，求m 的值；（2）当复数z ·i 在复平面内对应的点位于第二象限时，求m 的取值范围． 18．（本题满分12分）江苏省从2021年开始，高考取消文理分科，实行“3＋1＋2”的模式，其中的“1”表示每位学生必须从物理、历史中选择一个科目且只能选择一个科目，某校为了解高一年级学生对“1”的选课情况，随机抽取了100名学生进行问卷调查，如下表是根据调查结果得到的2×2列联表．（（2）请你依据该列联表判断是否有99.5%的把握认为选择科目与性别有关?说明你的理由．附：对于2×2列联表有22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．19．已知函数21()(1)ln 2f x x m x m x =-++，m ∈R ． （1）若m ＝﹣1，求函数()f x 在区间[1e，e]上的最小值； （2）若m ＞0，求函数()f x 的单调增区间． 20．（本题满分12分）已知2012(1)nn n x a a x a x a x +=++++，n N *∈．（1）当7n =时，求1357a a a a +++的值； （2）求01235(21)n a a a n a +++++．21．（本题满分12分）常州别称龙城，是一座有着3200多年历史的文化古城．常州既有春秋淹城、天宁寺等名胜古迹，又有中华恐龙园、嬉戏谷等游乐景点，每年都有大量游客来常州参观旅游．为合理配置旅游资源，管理部门对首次来中华恐龙园游览的游客进行了问卷调查，据统计，其中23的人计划只游览中华恐龙园，另外13的人计划既游览中华恐龙园又参观天宁寺．每位游客若只游览中华恐龙园，得1分；若既游览中华恐龙园又参观天宁寺，得2分．假设每位首次来中华恐龙园游览的游客均按照计划进行，且是否参观天宁寺相互独立，视频率为概率．（1）有2名首次来中华恐龙园游览的游客是拼车到常州的，求“这2名游客都是既游览中华恐龙园又参观天宁寺”的概率；（2）从首次来中华恐龙园游览的游客中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X ，求X 的概率分布和数学期望． 22．（本题满分12分）已知函数()()e xf x x a b =++，a ，b ∈R ．（1）若a ＝1，求关于x 的不等式()(0)f x f >的解集；（2）若1e a b +=，讨论函数()f x 的零点个数．江苏省常州教育学会学业水平测试2019—2020学年度第二学期（期末）高二数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．从5名男生和4名女生中，选出男女各1名学生主持某次活动，不同的选法种数为 A ．9 B ．10 C ．20 D ．40 答案：C考点：分步计数原理解析：5×4＝20，故选C ． 2．若326n n A C =，则n 的值为A ．4B ．5C ．6D ．7 答案：B考点：排列公式与组合公式解析：由326n n A C =得(1)(1)(2)62n n n n n ---=⨯，解得n ＝5，故选B ． 3．同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数为奇数”为事件A ，“两颗骰子的点数之积为奇数”为事件B ，则P(B ∣A)＝ A ．12 B ．13 C ．14 D ．16答案：A考点：条件概率解析：1()2P A =，91()364P B ==，1()14()1()22P B P B A P A ===，故选A ．4．某年级有6个班级，3位数学教师，每位教师任教2个班级，则不同分法的种数有 A ．15 B ．45 C ．90 D ．540 答案：C 考点：组合解析：222642156190C C C =⨯⨯=，故选C ．5．函数22()e xx xf x +=的大致图象是答案：A考点：利用导数研究函数的性质解析：∵22()e x x x f x +=，∴22()exx f x -'=，列表如下：故选A ．6．对某同学7次考试的数学成绩x 和物理成绩y 进行分析，下面是该生7次考试的成绩．发现他的物理成绩y 与数学成绩x 是线性相关的，利用最小二乘法得到线性回归方程为y ＝0.5x a +，若该生的数学成绩达到130分，估计他的物理成绩大约是A ．114.5B ．115C ．115.5D ．116 答案：B考点：线性回归方程解析：100x =，100y =，所以0.51000.510050a y x =-=-⨯=，0.513050115y =⨯+=，故选B ．7．已知函数3()31f x ax x =++的极大值与极小值的差为4，则实数a 的值为 A ．﹣1 B ．14- C ．14D ．1 答案：A考点：利用导数研究函数的极值解析：∵3()31f x ax x =++，∴2()33f x ax '=+，令()0f x '=，解得1x a=±-， ∴11()()f f a a ---- 111111()()3()()()3()4a a aa a a a a=⨯--+--⨯------= 解得a ＝﹣1，故选A ．8．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的 数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉 三角形”．若将这些数字依次排列构成数列1，1，1，1，2，1， 1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，则此数列的第2020项为 A ．363C B ．463CC ．364C D ．464C 答案：A考点：二项式定理解析：第2020项是第64行的第4个数字，即为363C ，故选A ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．下列求导数运算不正确的是A ．(sin )cos x x '=-B ．2ln 2(log )x x'=C ．2ln 1ln ()x x x x+'= D ．2121(e )2e x x ++'= 答案：ABC考点：导数的运算解析：选项A ，(sin )cos x x '=，故A 错误；选项B ，21(log )ln 2x x '=，故B 错误； 选项C ，2ln 1ln ()x xx x -'=，故C 错误； 选项D 错误，故本题选ABC ．10．已知在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩X 服从正态分布N(105，100)，其中90第8题分为及格线，120 分为优秀线，下列说法正确的是附：随机变量ξ服从正态分布N(μ，2σ)，则P(μσξμσ-<<+)＝0.6826，P(22μσξμσ-<<+)＝0.9544，P(33μσξμσ-<<+)＝0.9974．A ．该市学生数学成绩的期望为105B ．该市学生数学成绩的标准差为100C ．该市学生数学成绩及格率超过0.99D ．该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等 答案：AD考点：正态分布解析：期望为105，选项A 正确；方差为100，标准差为10，选项B 错误；该市85分以上占97.72%，故C 错误；根据对称性可判断选项D 正确，故选AD ． 11．已知复数8i2iz +=-，其中i 是虚数单位，则以下说法正确的是 A ．复数z 的实部为3 B ．复数z 的虚部为2iC ．复数zD ．复数z 的共轭复数32i z =-+ 答案：AC 考点：复数解析：8i32i 2iz +==+-，故实部为3，虚部为2，z ==32i z =-，故AC 正确．12．由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字组成无重复数字的五位数，其中偶数的个数是 A ．41139488A A A A +⋅⋅ B ．41439498()A A A A +- C ．54143109498()A A A A A -+- D ．54143109598()A A A A A --- 答案：ABD 考点：排列解析：如果个位是0，有49A 个，如果个位不是0，有113488A A A ⋅⋅个，故A 正确；由于13438898A A A A ⋅=-，故B 正确；由于5441099A A A -≠，故C 错误；由于541433411310959889488()41A A A A A A A A A A ---==+⋅⋅，故D 正确．故选ABD ． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知2(nx+的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则展开式中常数项为 ．答案：45考点：二项式定理解析：4610nnC C n =⇒=，52021021()r r rr rr nn T C x C x --+==，520082r r -=⇒=，82101045C x C ==．14．有一个活动小组有6名男生和4名女生，从中任选3名学生，至多选中2名男生的概率为 ． 答案：56考点：概率解析：3064310516C C P C =-=． 15．已知函数()e ln xf x a x =+，若曲线()y f x =在1x =处的切线方程为y x b =+，则a ＋b ＝ ．答案：0考点：利用导数研究函数的切线解析：∵()e ln xf x a x =+，∴()e xaf x x'=+，(1)e 1f a '=+=， ∴e 1b =+，∴a ＋b ＝0．16若a ＝2b ＝3c ，则E(X)为 ；若b ＝12，V(X)的最大值为 ． （本小题第一空2分，第二空3分） 答案：411-，12考点：随机变量的均值与方差解析：由a ＝2b ＝3c ，1a b c ++=，解得611a =，311b =，211c =， ∴6324()10111111111E X =-⨯+⨯+⨯=-， b ＝12时，12a c +=，()101E X abc a c =-⨯+⨯+⨯=-+，2222()(1)01E X a b c a c =-⨯+⨯+⨯=+， 222()()()()V X E X E X a c a c =-=+--+，把12a c =-代入得， 211()(2)22V X c =--，14c =时，V(X)有最大值，为12． 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分10分）已知22(815)(56)i z m m m m =-++-+,其中i 是虚数单位，m 为实数． （1）当z 为纯虚数时，求m 的值；（2）当复数z ·i 在复平面内对应的点位于第二象限时，求m 的取值范围．解：（1）因为z 为纯虚数，所以2281503523560m m m m m m m m ⎧-+===⎧⎪⇒⎨⎨≠≠-+≠⎪⎩⎩或且综上可得，当z 为纯虚数时m ＝5；（2）因为22i (815)i (56)z m m m m ⋅=-+--+在复平面内对应的点位于第二象限，2281505332(56)0m m m m m m m m ⎧-+>><⎧⎪⇒⎨⎨><--+<⎪⎩⎩或或，即m ＜2或者m ＞5， 所以m 的取值范围为(-∞，2)(5，+∞)．18．（本题满分12分）江苏省从2021年开始，高考取消文理分科，实行“3＋1＋2”的模式，其中的“1”表示每位学生必须从物理、历史中选择一个科目且只能选择一个科目，某校为了解高一年级学生对“1”的选课情况，随机抽取了100名学生进行问卷调查，如下表是根据调查结果得到的2×2列联表．（（2）请你依据该列联表判断是否有99.5%的把握认为选择科目与性别有关?说明你的理由．有22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．解：（1）随机抽取的100名学生中女生为40人，则男生有100﹣40＝60人，所以m ＝60，b ＝10，c ＝20； （2）根据题目所给数据得到如下2×2的列联表：则K 2的观测值：22100(50201020)12.770306040K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯， 因为12.7＞7.879，所以有99.5%的把握认为选择科目与性别有关．19．（本题满分12分）已知函数21()(1)ln 2f x x m x m x =-++，m ∈R ． （1）若m ＝﹣1，求函数()f x 在区间[1e ，e]上的最小值； （2）若m ＞0，求函数()f x 的单调增区间．解：（1）m ＝﹣1时，21()ln 2f x x x =-，(1)(1)()x x f x x +-'=，x ∈[1e，e]， 令()0f x '=得1x =-（舍去）或者1x =，列表如下：所以，当x ＝1时，函数()f x 的最小值为1(1)2f =， （2）(1)()()x x m f x x--'=，x ＞0 ①当m ＝1时，对任意x ＞0，都有()0f x '≥恒成立(当且仅当x ＝1时，()0f x '=) 则函数()f x 在区间(0，+∞)上单调递增；②当m ＞1时，令()0f x '>，得x ＜1或x ＞m ；则函数()f x 在区间(0，1)，(m ，+∞)上单调递增；③当0＜m ＜1时，令()0f x '>，得x ＜m 或x ＞1；则函数()f x 在区间(0，m )，(1，+∞)上单调递增；综上可得，当m ＝1时，函数()f x 的单调增区间为(0，+∞)；当m ＞1时，函数()f x 的单调增区间为(0，1)，(m ，+∞)；当0＜m ＜1时，函数()f x 的单调增区间为(0，m )，(1，+∞)．20．（本题满分12分）已知2012(1)n n n x a a x a x a x +=++++，n N *∈．（1）当7n =时，求1357a a a a +++的值；（2）求01235(21)n a a a n a +++++． 解：（1）当n ＝7时，7270127(1)x a a x a x a x +=++++， 令x ＝1，有7012345672a a a a a a a a =+++++++，①令x ＝﹣1，有012345670a a a a a a a a =-+-+-+-，②①﹣②得7135722()a a a a =+++，所以61357264a a a a +++==，（2）由题意，i i n a C =，可得i n i a a -=，i ＝0，1，2，3，…，n ，记01235(21)(21)i n S a a a i a n a =++++++++，则210(21)[2()1]53n n i S n a n i a a a a -=+++-+++++012(21)(21)(23)[2()1]i n n a n a n a n i a a =++-+-++-+++ 所以0122(22)()n S n a a a a =+++++， 令x ＝1得，0122n n a a a a ++++=， 所以01235(21)(21)(1)2n i n a a a i a n a S n ++++++++==+． 21．（本题满分12分）常州别称龙城，是一座有着3200多年历史的文化古城．常州既有春秋淹城、天宁寺等名胜古迹，又有中华恐龙园、嬉戏谷等游乐景点，每年都有大量游客来常州参观旅游．为合理配置旅游资源，管理部门对首次来中华恐龙园游览的游客进行了问卷调查，据统计，其中23的人计划只游览中华恐龙园，另外13的人计划既游览中华恐龙园又参观天宁寺．每位游客若只游览中华恐龙园，得1分；若既游览中华恐龙园又参观天宁寺，得2分．假设每位首次来中华恐龙园游览的游客均按照计划进行，且是否参观天宁寺相互独立，视频率为概率．（1）有2名首次来中华恐龙园游览的游客是拼车到常州的，求“这2名游客都是既游览中华恐龙园又参观天宁寺”的概率；（2）从首次来中华恐龙园游览的游客中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X ，求X 的概率分布和数学期望．解：（1）由题意，每位游客只游览中华恐龙园的概率为23，既游览中华恐龙园又参观天宁寺的概率为13记两位游客中一位游客“既游览中华恐龙园又参观天宁寺”为事件A ，则P(A)＝13， 另一位游客“既游览中华恐龙园又参观天宁寺”为事件B ，则P(B)＝13， 所以“这2名游客都是既游览中华恐龙园又参观天宁寺”为事件AB ，因为游客是否参观天宁寺相互独立，所以P(AB)＝P(A)P(B)＝111=339⨯， 答：“这2名游客都是既游览中华恐龙园又参观天宁寺”的概率为19， （2）随机变量X 的可能取值为3，4，5，6，3303218(3)()()3327P X C ===，2213214(4)()()339P X C ===， 1123212(5)()()339P X C ===，0033211(6)()()3327P X C ===， ∴X 的概率分布为：所以E(X)＝84213456279927⨯+⨯+⨯+⨯＝4 答：X 的数学期望为4．22．（本题满分12分）已知函数()()e x f x x a b =++，a ，b ∈R ．（1）若a ＝1，求关于x 的不等式()(0)f x f >的解集；（2）若1e a b +=，讨论函数()f x 的零点个数．解：（1）a ＝1时，()(1)e x f x x b =++，()(2)e x f x x '=+，当x ＞﹣2时，()0f x '>，所以()f x 在区间(﹣2，+∞)上单调递增，由()(0)f x f >得x ＞0；当x ≤﹣2时，(1)e 0x x +<，此时()()e 1(0)x f x x a b b b f =++<<+=，综上可得，不等式()(0)f x f >的解集为(0，+∞)；（2）1e a b +=时，1()()e e x a f x x a +=++，()(1)e xf x x a '=++，令()0f x '=得x ＝﹣a ﹣1，列表如下：所以，当x ＝﹣a ﹣1时，函数()f x 的极小值为11(1)e e a a f a --+--=-+； ①当11(1)e e 0a a f a --+--=-+>即1a >-时，对任意x ∈R ，都有()(1)0f x f a ≥-->恒成立，从而函数()f x 无零点，②当11(1)e e 0a a f a --+--=-+=即1a =-时，对任意x ∈R ，都有()(1)0f x f a ≥--≥恒成立（当且仅当x ＝0时，()0f x =），从而函数()f x 的零点个数为1，③当11(1)e e 0a a f a --+--=-+<即1a <-时，在区间[﹣a ﹣1，﹣a ]上，函数()f x 图象是连续不断的一条曲线，其中(1)0f a --< 1()e 0a f a +-=>，函数()f x 在区间[﹣a ﹣1，+∞ )上单调递增，所以函数()f x 在区间(﹣a ﹣1，+∞)上的零点个数为1；在区间[4a ，﹣a ﹣1]上，函数()f x 图象是连续不断的一条曲线，其中(1)0f a --< 3(4)e (5e e)a a f a a =+，即3()t h t te =，1t <-，3()(31)0t h t e t '=+<，所以3()t h t te =在区间(-∞，﹣1]上单调递减，由a ＜﹣1得3()(1)e h a h ->-=-，即33e e a a ->-，所以33(4)e (5e e)e (5e e)0a a a f a a -=+>-+>，又因为函数()f x 在区间(-∞，﹣a ﹣1]上单调递减，所以函数()f x 在区间(-∞，﹣a ﹣1)上的零点个数为1；从而函数()f x 的零点个数为2．综上可得，当1a >-时，函数()f x 无零点，当1a =-时，函数()f x 的零点个数为1，当1a <-时，函数()f x 的零点个数为2．。
江苏省常州市2019届高三上学期期末考试数学(理)试卷(含答案)
常州市2019届高三上学期期末考试理科数学参考公式：样本数据12,,nx x xL的方差2211()niis x xn==-∑，其中11niix xn==∑.柱体的体积V Sh=，其中S为柱体的底面积，h为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1.已知集合{0,1},{1,1}A B==-，则A B=I________.2.已知复数z满足(1)1z i i+=-（i是虚数单位），则复数z=________.3.已知5位裁判给某运动员打出的分数为9.1,9.3,,9.2,9.4x，且这5个分数的平均数为9.3，则实数x=________.4.一个算法的伪代码如右图所示，执行此算法，若输出的y值为1，则输入的实数x的值为________.5. 函数y=________.6. 某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中选修2门课程，则该同学恰好选中1文1理的概率为________.7. 已知双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的离心率为2，直线20x y++=经过双C的焦点，则双曲线C的渐近线方程为________.8.已知圆锥SO，过SO的中点P作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆柱PO，圆柱的下底面落在圆锥的底面上（如图），则圆柱PO的体积与圆锥SO的OP（第8题）体积的比值为________.9. 已知正数,x y 满足1yx x+=，则1x x y +的最小值为________.10. 若直线0kx y k --=与曲线e x y =（e 是自然对数的底数）相切，则实数 k =________.11. 已知函数()sin()(0,)R f x x ωϕωϕ=+>∈是偶函数，点(1,0)是函数()y f x =图象 的对称中心，则ω最小值为________.12. 平面内不共线的三点,,O A B ，满足||1,||2OA OB ==u u u r u u u r，点C 为线段AB 的中点，AOB ∠的平分线交线段AB 于D ，若|3||OC =u u u r ，则||OD =u u u r ________.13. 过原点的直线l 与圆221x y +=交于,P Q 两点，点A 是该圆与x 轴负半轴的交点，以AQ 为直径的圆与直线l 有异于Q 的交点N ，且直线AN 与直线AP 的斜率之积等于1，那么直线l 的方程为________.14. 数列{},{}n n a b 满足*1(1)()N n n n n b a a n +=+-∈，且数列{}n b 的前n 项和为2n ，已知数列{}n a n -的前2018项和为1，那么数列{}n a 的首项1a =________.二、 解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，点M ，N 分别是AB ，CC 1的中点． (1) 求证：CM ∥平面AB 1N ； (2) 求证：平面A 1BN ⊥平面AA 1B 1B .(第15题)16. (本小题满分14分)已知在△ABC 中，a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 的对边，且b 2－233bcsinA ＋c 2＝a 2.(1) 求角A 的大小；(2) 若tanBtanC ＝3，且a ＝2，求△ABC 的周长．17. (本小题满分14分)已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b 2＝1上，其中a ＞b ＞0，且点⎝⎛⎭⎫63，63是椭圆C 1，C 2位于第一象限的交点．(1) 求椭圆C 1，C 2的标准方程；(2) 过y 轴上一点P 的直线l 与椭圆C 2相切，与椭圆C 1交于点A ，B ，已知PA →＝35PB →，求直线l的斜率．18. (本小题满分16分)某公园要设计如图(1)所示的景观窗格(其结构可以看成矩形在四个角处对称地截去四个全等三角形所得，如图(2)中所示的多边形ABCDEFGH )，整体设计方案要求：内部井字形的两根水平横轴AF ＝BE ＝1.6 m ，两根竖轴CH ＝DG ＝1.2 m ，记景观窗格的外框(图(2)中实线部分，轴和边框的粗细忽略不计)总长度为l m.(1) 若∠ABC ＝2π3，且两根横轴之间的距离为0.6 m ，求景观窗格的外框总长度；(2) 由于预算经费限制，景观窗格的外框总长度不超过 5 m ，当景观窗格的面积(多边形ABCDEFGH 的面积)最大时，给出此景观窗格的设计方案中∠ABC 的大小与BC 的长度．图(1)图(2)(第18题)19. (本小题满分16分)已知在数列{a n }中，a 1＝1，且a n ＋1＋3a n ＋4＝0，n ∈N *. (1) 求证：{a n ＋1}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2) 数列{a n }中是否存在不同的三项按照一定顺序重新排列后，构成等差数列？若存在，求出满足条件的项；若不存在，请说明理由．20. (本小题满分16分)已知函数m (x )＝x 2，函数n (x )＝a ln x ＋1(a ∈R )． (1) 若a ＝2，求曲线y ＝n (x )在点(1，n (1))处的切线方程；(2) 若函数f (x )＝m (x )－n (x )有且只有一个零点，求实数a 的取值范围；(3) 若函数g (x )＝n (x )－1＋e x －e x ≥0对x ∈[1，＋∞)恒成立，求实数a 的取值范围．(e 是自然对数的底数，e ＝2.718 28…)江苏省常州市2019届高三上学期期末考试数学附加题21. 【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A . 选修4-2：矩阵与变换 已知点(1，2)在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x 2y对应的变换作用下得到点(7，6)． (1) 求矩阵A ；(2) 求矩阵A 的特征值及对应的特征向量．B . 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系．直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝22t ＋1，y ＝12t(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρ＝22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，求直线l 被曲线C 所截的弦长．C . 选修4-5：不等式选讲已知a >0，b >0，求证：a ＋b ＋1≥ab ＋a ＋b .【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)如图，在空间直角坐标系Oxyz 中，已知正四棱锥PABCD 的高OP ＝2，点B ，D 和C ，A 分别在x 轴和y 轴上，且AB ＝2，点M 是棱PC 的中点．(1) 求直线AM 与平面PAB 所成角的正弦值； (2) 求二面角APBC 的余弦值．(第22题)23. (本小题满分10分)是否存在实数a ，b ，c 使得等式1·3·5＋2·4·6＋…＋n(n ＋2)(n ＋4)＝n （n ＋1）4(an2＋bn ＋c)对于一切正整数n 都成立？若存在，求出a ，b ，c 的值；若不存在，请说明理由.江苏省常州市2019届高三上学期期末考试数学参考答案及评分标准1. {1}2. －i3. 9.54. 35. (0，e ]6. 357. y ＝±3x 8. 38 9. 4 10. e 211. π2 12. 23 13. y ＝±3x 14. 32(第15题)15. (1) 令AB 1交A 1B 于点O ，连接OM ，ON ，在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，BB 1∥CC 1，BB 1＝CC 1，且四边形AA 1B 1B 是平行四边形，所以O 为AB 1的中点，又因为M 为AB 的中点，所以OM ∥BB 1，且OM ＝12BB 1.因为N 为CC 1的中点，CN ＝12CC 1，所以OM ＝CN ，且OM ∥CN ，所以四边形CMON 是平行四边形，(5分)所以CM ∥ON ，又ON ⊂平面AB 1N ，CM ⊄平面AB 1N ，所以CM ∥平面AB 1N.(7分) (2) 在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，BB 1⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，所以BB 1⊥CM.(9分)因为CA ＝CB ，M 为AB 的中点，所以CM ⊥AB ，又由(1)知CM ∥ON ，所以ON ⊥AB ，ON ⊥BB 1.又因为AB ∩BB 1＝B ，AB ，BB 1⊂平面AA 1B 1B ，所以ON ⊥平面AA 1B 1B.(12分)又ON ⊂平面A 1BN ，所以平面A 1BN ⊥平面AA 1B 1B.(14分)16. (1) 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又b 2－233bc sin A ＋c 2＝a 2，所以b 2－2bc cos A ＋c 2＝b 2－233bc sin A ＋c 2，即2bc cos A ＝233bc sin A ，(3分) 从而sin A ＝3cos A ，若cos A ＝0，则sin A ＝0，与sin 2A ＋cos 2A ＝1矛盾，所以cos A ≠0， 所以tan A ＝ 3.又A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(7分)(2)tan B ＋tan C 1－tan B tan C＝tan (B ＋C)＝tan (π－A)＝tan 2π3＝－ 3.(9分)又tan B tan C ＝3，所以tan B ＋tan C ＝－3×(－2)＝23，解得tan B ＝tan C ＝ 3.(11分)又B ，C ∈(0，π)，所以B ＝C ＝π3.又因为A ＝π3，所以△ABC 是正三角形，由a ＝2，得△ABC 的周长为6.(14分)17. (1) 椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点坐标为(±c ，0)，代入椭圆C 2的方程有c 2b 2＝1，点P ⎝⎛⎭⎫63，63的坐标代入椭圆C 1，C 2的方程有C 1：23a 2＋23b 2＝1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧c 2b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，23a 2＋23b 2＝1，解得a 2＝2，b 2＝c 2＝1，(3分)所以椭圆C 1，C 2的标准方程分别为x 22＋y 2＝1，y 22＋x 2＝1.(5分)(2) 由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(0，m)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y 22＋x 2＝1，y ＝kx ＋m ，消去y ，得（kx ＋m ）22＋x 2＝1，即⎝⎛⎭⎫1＋k 22x 2＋kmx ＋m22－1＝0， Δ＝k 2m 2－4⎝⎛⎭⎫1＋k 22⎝⎛⎭⎫m 22－1＝0，即k 2＋2－m 2＝0.(7分)由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，消去y ，得x 22＋(kx ＋m)2＝1，即⎝⎛⎭⎫12＋k 2x 2＋2kmx ＋m 2－1＝0，因为直线l 与椭圆C 1相交，有Δ＝4k 2m 2－4⎝⎛⎭⎫12＋k 2(m 2－1)＝4⎝⎛⎭⎫k 2－12m 2＋12>0(*)， x 1，2＝－2km±4⎝⎛⎭⎫k 2－12m 2＋122⎝⎛⎭⎫12＋k 2.(9分)因为PA →＝35PB →，即(x 1，y 1－m)＝35(x 2，y 2－m)，则5x 1＝3x 2，所以5－2km ＋4⎝⎛⎭⎫k 2－12m 2＋122⎝⎛⎭⎫12＋k 2＝3－2km －4⎝⎛⎭⎫k 2－12m 2＋122⎝⎛⎭⎫12＋k 2或5－2km －4⎝⎛⎭⎫k 2－12m 2＋122⎝⎛⎭⎫12＋k 2＝3－2km ＋4⎝⎛⎭⎫k 2－12m 2＋122⎝⎛⎭⎫12＋k 2化简得，km ＝4k 2－12m 2＋12或km ＝－4k 2－12m 2＋12，即k 2m 2＝16⎝⎛⎭⎫k 2－12m 2＋12.(12分) 又因为k 2＋2－m 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝2，m 2＝4或⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝4，m 2＝6，符合(*)式，所以直线l 的斜率为±2或±2.(14分)18. (1) 记CH 与AF ，BE 的交点为M ，N ， 由∠ABC ＝2π3，得在△BCN 中，∠CBN ＝π6，其中CN ＝HM ＝12(1.2－0.6)＝0.3 m ，所以BC ＝CN sin ∠CBN＝0.3sin π6＝35m ，BN ＝CN tan ∠CBN＝0.3tan π6＝3310m ，(2分)所以CD ＝BE －2BN ＝1.6－335＝8－335，则 AB ＋BC ＋CD ＋DE ＋EF ＋FG ＋GH ＋ HA ＝2AB ＋2CD ＋4BC ＝1.2＋16－635＋125＝34－635.(5分) 答：景观窗格的外框总长度为34－635m ．(6分)(2) AB ＋BC ＋CD ＋DE ＋EF ＋FG ＋GH ＋HA ＝2AB ＋2CD ＋4BC ≤5， 设∠CBN ＝α，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，BC ＝r ，则CN ＝r sin α，BN ＝r cos α，所以AB ＝CH －2CN ＝1.2－2r sin α， CD ＝BE －2BN ＝1.6－2r cos α， 所以2(1.2－2r sin α)＋2(1.6－2r cos α)＋4r ≤5，即4r(sin α＋cos α－1)≥35.(8分)设景观窗格的面积为S ，有S ＝1.2×1.6－2r 2sin α·cos α≤4825－9sin αcos α200（sin α＋cos α－1）2(当且仅当4r （sin α＋⎭⎫cos α－1）＝35时取等号.(9分)令t ＝sin α＋cos α∈(1，2]，则sin αcos α＝t 2－12，所以S ≤4825－9t 2－12200（t －1）2＝4825－9400·⎝⎛⎭⎫1＋2t －1，其中1＋2t －1≥1＋22－1⎝⎛⎭⎫当且仅当t ＝2，即α＝π4时取等号，(12分)所以S ≤4825－9400⎝⎛⎭⎫1＋2t －1≤4825－9400·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22－1＝4825－9400(3＋22)＝741400－92200， 即S ≤741400－92200⎝⎛当且仅当4r （sin α＋cos α－1）＝35⎭⎫且α＝π4时，取等号，所以当且仅当r ＝3（2＋1）20且α＝π4时，S 取到最大值．(15分)答：当景观窗格的面积最大时，此景观窗格的设计方案中∠ABC ＝3π4且BC ＝3（2＋1）20 m ．(16分)19. (1) 由a n ＋1＋3a n ＋4＝0，得a n ＋1＋1＝－3(a n ＋1)，n ∈N *，(2分) 其中a 1＝1，所以a 1＋1＝2≠0，可得a n ＋1≠0，n ∈N *，(4分)所以a n ＋1＋1a n ＋1＝－3，n ∈N *，所以{a n ＋1}是以2为首项，－3为公比的等比数列，(6分)所以a n ＋1＝2(－3)n －1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2(－3)n －1，n ∈N *.(8分)(2) 若数列{a n }中存在三项a m ，a n ，a k (m <n <k )符合题意，其中k －n ，k －m ，n －m 都是正整数，(9分)分以下三种情形：①a m位于中间，则2a m＝a n＋a k，即2[2(－3)m－1－1]＝2(－3)n－1－1＋2 (－3)k－1－1，所以2(－3)m＝(－3)n＋(－3)k，两边同时除以(－3)m，得2＝(－3)n－m＋(－3)k－m是3的倍数，舍去；②a n位于中间，则2a n＝a m＋a k，即2[2(－3)n－1－1]＝2(－3)m－1－1＋2(－3)k－1－1，所以2(－3)n＝(－3)m＋(－3)k，两边同时除以(－3)m，得2(－3)n－m＝1＋(－3)k－m，即1＝2(－3)n－m－(－3)k－m是3的倍数，舍去；③a k位于中间，则2a k＝a m＋a n，即2[2(－3)k－1－1]＝2(－3)m－1－1＋2(－3)n－1－1，所以2(－3)k＝(－3)m＋(－3)n，两边同时除以(－3)m，得2(－3)k－m＝1＋(－3)n－m，1＝2(－3)k－m－(－3)n－m是3的倍数，舍去．(15分)综上可得，数列{a n}中不存在三项满足题意．(16分)20. (1) 当a＝2时，n(x)＝2ln x＋1，所以n′(x)＝2 x，所以n′(1)＝2，又n(1)＝1，所以切线的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.(3分)(2) f(x)＝x2－a ln x－1，定义域为(0，＋∞)，其图象是一条不间断的曲线，f′(x)＝2x－ax＝2x2－ax.①若a≤0，则f′(x)>0对x∈(0，＋∞)恒成立，所以y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(1)＝0，所以y＝f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点，符合题意．②若a>0，令f′(x)＝0，得x＝a2或x＝－a2(舍去)．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：1°.若a2>1，即a>2，此时a>a2，则f⎝⎛⎭⎫a2<f(1)＝0，f(a)＝a2－a ln a－1.令F1(a)＝a2－a ln a－1，a≥2，则F1′(a)＝2a－ln a－1，令F 2(a)＝2a －ln a －1，则F 2′(a)＝2－1a>0对a ∈[2，＋∞)恒成立， 所以F 2(a)＝2a －ln a －1在[2，＋∞)上单调递增，所以F 2(a)≥F 2(2)＝3－ln 2>0，即F 1′(a)>0对a ∈[2，＋∞)恒成立，所以F 1(a)＝a 2－a ln a －1在[2，＋∞)上单调递增，所以F 1(a)≥F 1(2)＝3－2ln 2>0，即f(a)>0，又因为f ⎝⎛⎭⎫a 2<0，且函数f(x)在⎝⎛⎭⎫a 2，＋∞上单调递增， 所以函数f(x)在⎝⎛⎭⎫a 2，＋∞上有且只有一个零点， 因为函数f(x)在⎝⎛⎭⎫0，a 2上单调递减，且有一个零点x ＝1，故函数f(x)在(0，＋∞)上有两个零点，不符合题意，舍去．2°.若a 2＝1，即a ＝2， 则函数f (x)在(0，1)上单调递减，所以f(x)>f(1)＝0，函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)>f(1)＝0，故函数f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点，符合题意．3°.若a 2<1，即0<a<2，此时0<e －1a <e 0＝1，0<a 2<1. 因为函数f(x)在⎝⎛⎭⎫a 2，＋∞上单调递增， 所以f ⎝⎛⎭⎫a 2<f(1)＝0， 又f ⎝⎛⎭⎫e －1a ＝e －2a>0，所以函数f(x)在(0，1)内必有零点， 又因为1是函数f(x)的零点，不符合题意，舍去．(9分)综上，a ≤0或a ＝2.(10分)(3) 当x ≥1时，g(x)＝a ln x ＋e x －e x.令G(x)＝e x －e x ，x ≥1，则G′(x)＝e x －e ≥0对x ∈[1，＋∞)恒成立，所以函数y ＝G(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以G(x)≥G(1)＝0.①若a ≥0，则当x ≥1时，ln x ≥0，所以g(x)＝a ln x ＋e x －e x ≥0恒成立，符合题意．(11分)②若a<0，g′(x)＝a x ＋e x －e ，令H(x)＝a x ＋e x －e ，x ≥1，则H′(x)＝e x －a x 2>0恒成立， 所以H(x)＝a x＋e x －e 在[1，＋∞)上单调递增， 且H(1)＝a<0.因为a<0，所以1－a>1，所以G(1－a)>G(1)＝0，即e 1－a >e (1－a)．(12分)所以H(1－a)＝a 1－a ＋e 1－a －e >a 1－a ＋e －e a －e ＝a 1－a －e a ＝11－a＋(1－a)－2－(e －1)a ， 因为a<0，1－a>1，所以11－a＋(1－a)>2，(e －1)a<0， 所以H(1－a)>0，因为H(x)＝a x＋e x －e 在[1，＋∞)上单调递增，其图象是一条不间断的曲线，且H(1)＝a<0，所以存在唯一的x 0∈(1，1－a)，使得H(x 0)＝0，即g′(x 0)＝0，当x ∈(1，x 0)时，g′(x)<0，所以函数y ＝g(x)在(1，x 0)上单调递减，此时g(x)<g(1)＝0，不符合题意，舍去．(15分)综上，a ≥0.(16分)江苏省常州市2019届高三上学期期末考试数学附加题参考答案及评分标准21. A. (1) 由题意知⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x 2y ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤76，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋2x ＝7，2＋2y ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1322.(3分) (2) f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－3－2λ－2＝(λ－1)(λ－2)－6＝λ2－3λ－4，令f (λ)＝0，得λ2－3λ－4＝0，解得λ1＝－1，λ2＝4.(5分)当λ1＝－1时，⎩⎪⎨⎪⎧－2x －3y ＝0，－2x －3y ＝0，取⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2，所以属于λ1＝－1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2， 当λ2＝4时，⎩⎪⎨⎪⎧3x －3y ＝0，－2x ＋2y ＝0，取⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所以属于λ2＝4的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.(9分)所以矩阵A 的特征值为λ1＝－1，λ2＝4，对应的一个特征向量分别为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.(10分) B. 直线l 的普通方程为x －2y －1＝0，曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，(4分) 所以曲线C 是圆心为C (1，1)，半径为r ＝2的圆，(6分)所以圆心C (1，1)到直线l 的距离为d ＝|1－2－1|1＋（－2）2＝23，(8分) 所以直线l 被曲线C 所截的弦长为2r 2－d 2＝22－23＝433.(10分) C. 因为a >0，b >0，由柯西不等式可得(a ＋b ＋1)(b ＋1＋a )≥(ab ＋a ＋b )2， 当且仅当a b ＝b 1＝1a时取等号，所以(a ＋b ＋1)2≥(ab ＋a ＋b )2. 又因为a ＋b ＋1>0，ab ＋a ＋b >0，所以a ＋b ＋1≥ab ＋a ＋b .(10分)22. (1) 记直线AM 与平面PAB 所成的角为α，A(0，－1，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0，2)，M ⎝⎛⎭⎫0，12，1，则AB →＝(1，1，0)，PA →＝(0，－1，－2)，AM →＝⎝⎛⎭⎫0，32，1， 设平面PAB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·P A →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－y －2z ＝0，取n ＝(2，－2，1)， 所以sin α＝||cos 〈n ，AM →〉＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·AM →|n |·|AM →|＝23×132＝41339，(5分) 即直线AM 与平面P AB 所成角的正弦值为41339.(6分) (2) 设平面PBC 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，BC →＝(－1，1，0)，PB →＝(1，0，－2)，由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·BC →＝0，n 1·PB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，x －2z ＝0，取n 1＝(2，2，1)，所以cos 〈n ，n 1〉＝n·n 1|n|·|n 1|＝13×3＝19，(9分) 由图可知二面角APBC 的余弦值为－19.(10分) 23. 在1·3·5＋2·4·6＋…＋n(n ＋2)(n ＋4)＝n （n ＋1）4(an 2＋bn ＋c)中，令n ＝1，得15＝24(a ＋b ＋c)； 令n ＝2，得63＝64(4a ＋2b ＋c)； 令n ＝3，得168＝124(9a ＋3b ＋c)， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝30，4a ＋2b ＋c ＝42，9a ＋3b ＋c ＝56，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝9，c ＝20.(3分) 下面用数学归纳法证明：等式1·3·5＋2·4·6＋…＋n(n ＋2)(n ＋4)＝n （n ＋1）4(n 2＋9n ＋20)对于一切正整数n 都成立．当n ＝1时，等式成立；假设当n ＝k 时，等式成立，即1·3·5＋2·4·6＋…＋k(k ＋2)(k ＋4)＝k （k ＋1）4·(k 2＋9k ＋20)．(4分) 当n ＝k ＋1时，1·3·5＋2·4·6＋…＋k(k ＋2)(k ＋4)＋(k ＋1)(k ＋3)(k ＋5)＝k （k ＋1）4(k 2＋9k ＋20)＋(k ＋1)(k ＋3)·(k ＋5)＝14k(k ＋1)(k ＋4)(k ＋5)＋(k ＋1)(k ＋3)(k ＋5) ＝14(k ＋1)(k ＋5)(k 2＋8k ＋12) ＝（k ＋1）（k ＋1＋4）4[(k ＋1＋1)(k ＋1＋5)] ＝（k ＋1）[（k ＋1）＋1]4[(k ＋1)2＋9(k ＋1)＋20]， 即等式对n ＝k ＋1也成立．(8分)综上可得，等式1·3·5＋2·4·6＋…＋n(n ＋2)·(n ＋4)＝n （n ＋1）4(n 2＋9n ＋20)对于一切正整数n 都成立．所以存在实数a ，b ，c 符合题意，且⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝9，c ＝20.(10分)。
常州市2019~2020高三数学一模试卷含答案
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．
1. 1,1
2. 1 3.10
4. 0，
5.2
7 6. 10
7.
1 5
10. 2 2 11.2
12.14
13.
1
2
17
,0
1,
1
2
17
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．
在 △ABC 中，角 A, B,C 的对边分别是 a, b, c，已知 a = 1, cos B = 3 ． 3
(1) 若 A = π ，求 sinC 的值； 3 √
(2) 若 b = 2，求 c 的值.
江苏 2020 届高考备考系列试卷 第 1 页 (共 4 页)
16. (本小题满分 14 分)
所以
M
(
8k 2 6 3 4k 2
，12k 3 4k 2
)
，
……………………………10 分
代入 AM
13 2
AN
得
(
8k 2 6 3 4k 2
2，12k 3 4k
2
)
13 2
(
1 k2 1 k2
，k 1 k 2 1 k2
)，
(4k2 9)(52k2 51) 0 ，又 k>0，得 k 3 ， 2
已知无穷数列
{an}
满足
8a3
=
4a2
=
1，无穷数列
{bn}
的前
n
项和为
Sn, b1
=
1，且
2019年江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学三模试卷
2019年江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学三模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A={x|x<1}，B={x|0<x<3}，则A∩B=________．【答案】(0,1)【考点】交集及其运算【解析】进行交集的运算即可．【解答】解：∵A={x|x<1}，B={x|0<x<3}，∴A∩B=(0,1)．故答案为：(0,1).2. 已知复数z=3+4i5i，其中i是虚数单位，则|z|=________．【答案】1【考点】复数的模【解析】直接由商的模等于模的商求解．【解答】解：∵z=3+4i5i，∴|z|=|3+4i5i |=|3+4i||5i|=55=1．故答案为：1.3. 已知双曲线C的方程为x24−y2=1，则其离心率为________．【答案】√52【考点】双曲线的离心率【解析】直接利用双曲线的标准方程，求出a，c，即可求解离心率．【解答】解：双曲线C的方程为x24−y2=1，可得a=2，b=1，则c=√a2+b2=√5，所以双曲线的离心率为e=ca =√52．故答案为：√52.4. 根据如图所示的伪代码，最后输出的i的值为________．【答案】8【考点】伪代码【解析】模拟程序的运行过程，即可得出程序结束后输出的i值．【解答】解：模拟程序的运行过程，如下，T=1，i=2，满足T<6；T=2，i=4，满足T<6；T=4，i=6，满足T<6；T=8，i=8，不满足T<6，输出i=8．故答案为：8.5. 某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4:4:3，现按年级用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的高三年级的学生数为15，则抽取的样本容量为________．【答案】55【考点】分层抽样方法【解析】根据分层抽样得特点知，抽取的样本中，高一，高二，高三的人数之比也为4:4:3可得．【解答】解：依题意得抽取的样本容量为：1534+4+3=55.故答案为：55.6. 口装中有形状大小完全相同的四个球，球的编号分别为1，2，3，4．若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之积大于6的概率为________．【答案】13【考点】排列、组合的应用古典概型及其概率计算公式从袋中随机抽取两个球，基本事件总数n =C 42=6，利用列举法取出的两个球的编号之积大于6包含的基本事件(a, b)有2个，由此能取出的两个球的编号之积大于6的概率． 【解答】解：口装中有形状大小完全相同的四个球，球的编号分别为1，2，3，4， 从袋中随机抽取两个球，基本事件总数n =C 42=6，取出的两个球的编号之积大于6包含的基本事件(a, b)有： (2, 4)，(3, 4)，共2个，∴ 取出的两个球的编号之积大于6的概率为P =26=13． 故答案为：13.7. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6=2a 2，则S12S 8=________．【答案】 73【考点】等比数列的前n 项和 【解析】设等比数列{a n }的公比是q ，所以a 6a 2=q 4＝2，所以S12S 8=a 1(1−q 12)1−q a 1(1−q 8)1−q=1−q 121−q 8=1+q 4+q 81+q 4，将q 4＝2代入即可． 【解答】解：因为数列{a n }是等比数列，设其公比为q ．所以a6a 2=q 4=2，所以q ≠1， 所以S 12S 8=a 1(1−q 12)1−q a 1(1−q 8)1−q=1−q 121−q 8=1−(q 4)31−(q 4)2=1−81−4=73．故答案为：73.8. 函数f(x)=cos(ωx −π3)(ω>0)的图象关于直线x =π2对称，则ω的最小值为________． 【答案】 23【考点】余弦函数的对称性根据函数的对称性建立方程关系，求出ω的表达式，进行求解即可．【解答】解：∵f(x)=cos(ωx−π3)(ω>0)的图象关于直线x=π2对称，∴π2ω−π3=kπ+π，即ω=2k+83，∵ω>0，∴当k=−1时，ω取得最小值为−2+83=23.故答案为：23.9. 已知正实数a，b满足a+b=1，则2a2+1a +2b2+4b的最小值为________．【答案】11【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】根据基本不等式即可求出最小值．【解答】解：∵a+b=1，∴2a2+1a +2b2+4b=2a+2b+1a+4b=2+1a+4b，∵1a +4b=(1a+4b)(a+b)=1+4+ba+4ab≥5+2√ba⋅4ab=5+4=9，当且仅当ba =4ab时，即a=13，b=23时取等号，故2a2+1a +2b2+4b≥2+9=11.故答案为：11.10. 已知偶函数f(x)的定义域为R，且在[0, +∞)上为增函数，则不等式f(3x)>f(x2+ 2)的解集为________．【答案】(−2, −1)∪(1, 2)【考点】抽象函数及其应用函数奇偶性的性质函数单调性的性质【解析】根据题意，结合函数的奇偶性与单调性分析可得，f(3x)>f(x2+2)⇒f(|3x|)>f(x2+2)⇒|3x|>x2+2，由绝对值的定义可得{3x>x 2+2x≥0或{−3x>x2+2x<0，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f(x)为偶函数且其定义域为R ，且在[0, +∞)上为增函数， 则f(3x)>f(x 2+2)⇒f(|3x|)>f(x 2+2)⇒|3x|>x 2+2，则有{3x >x 2+2x ≥0 或{−3x >x 2+2x <0，解得：−2<x <−1或1<x <2， 即不等式的解集为(−2, −1)∪(1, 2). 故答案为：(−2, −1)∪(1, 2).11. 过直线l:y =x −2上任意点P 作圆C:x 2+y 2=1的两条切线，切点分别为A ，B ，当切线最小时，△PAB 的面积为________． 【答案】12【考点】 圆的切线方程 【解析】由题意画出图形，可得切线最小时的P 点，进一步求得PA ＝PB ＝1，∠APB ＝90∘，则答案可求． 【解答】解：根据题意，如图，要使切线长最小，则|OP|最小，过O 作直线y =x −2的垂线，则垂足为P ，可得|OP|=√2， ∴ A ，B 为圆C:x 2+y 2=1与两坐标轴的交点， 则PA =PB =1，∠APB =90∘， ∴ △PAB 的面积为12×1×1=12． 故答案为：12.12. 已知点P 在曲线C:y =12x 2上，曲线C 在点P 处的切线为l ，过点P 且与直线l 垂直的直线与曲线C 的另一交点为Q ，O 为坐标原点，若OP ⊥OQ ，则点P 的纵坐标为________． 【答案】 1【考点】直线与抛物线结合的最值问题 简单复合函数的导数 平面向量数量积的运算【解析】 设P(m, m 22)，求出直线PQ 的方程，根据根与系数的关系和OP →⋅OQ →=0列方程计算m 的值即可得出答案． 【解答】 解：由y =x 22可得y′=x ，设P(m, m 22)，则切线l 的斜率为m ，故直线PQ 的方程为：y −m 22=−1m (x −m)联立方程组{y −m 22=−1m (x −m)y =x 22 ， 消去y 可得：x 2+2m x −m 2−2=0， 设Q(n, n 22)，则mn =−m 2−2，∵ OP ⊥OQ ， ∴ OP →⋅OQ →=0， 即mn +m 2n 24=0，∴ mn =0（舍）或mn =−4， ∴ −m 2−2=−4，即m 2=2． ∴ P 点纵坐标为m 22=1．故答案为：1.13. 如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠CAB =90∘，AB =2，以AB 为直径在△ABC 外作半圆O ，P 为半圆弧AB 上的动点，点Q 在斜边BC 上，若AB →⋅AQ →=83，则AQ →⋅CP →的最小值为________．【答案】−2√53【考点】两角和与差的余弦公式 三角函数的最值 数量积的坐标表达式平面向量的坐标运算 【解析】以O 为原点建立直角坐标系，求得A ，B ，C 的坐标，以及直线BC 的方程，设出Q 的坐标，由数量积的坐标表示，解得Q 的坐标，再设P(cosα, sinα)，0≤α≤π，由数量积的坐标表示和两角和的余弦公式，余弦函数的值域可得最小值． 【解答】解：如图，以O 为原点建立直角坐标系，可得A(−1, 0)，B(1, 0)，C(−1, −2)， 即有直线BC 的方程为y =x −1， 可设Q(m, m −1)，∵ AB →⋅AQ →=83，即(2, 0)⋅(m +1, m −1)=2(m +1)=83，解得m =13，即Q(13, −23)， 设P(cosα, sinα)，0≤α≤π，可得AQ →⋅CP →=(43, −23)⋅(cosα+1, sinα+2)=43cosα+43−23sinα−43=23(2cosα−sinα)=2√53cos(α+θ)，θ∈(0, π2)，当cos(α+θ)=−1即α+θ=π时， 可得AQ →⋅CP →的最小值为−2√53． 故答案为：−2√53.14. 已知e 为自然对数的底数，函数f(x)=e x −ax 2的图象恒在直线y =32ax 上方，则实数a 的取值范围为________． 【答案】(−2e, 0] 【考点】利用导数研究函数的最值 利用导数研究函数的单调性 【解析】将函数f(x)＝e x −ax 2的图象恒在直线y =32ax 上方转化为e x >ax 2+32ax 对一切实数x 恒成立，然后分a >0，a ＝0，a <0分别求解． 【解答】解：∵ 函数f(x)=e x −ax 2的图象恒在直线y =32ax 上方，∴ e x −ax 2−32ax >0对一切实数x 恒成立，即e x >ax 2+32ax 对一切实数x 恒成立， 设g(x)=e x ，ℎ(x)=ax 2+32ax ，则①当a >0时，ℎ(x)开口向上，根据ℎ(x)和g(x)的图象易知，当a >0时g(x)>ℎ(x)不恒成立，②当a =0时，g(0)=1>ℎ(0)=0，因此g(x)>ℎ(x)恒成立③当a <0时，e x >ax 2+32ax 对一切实数x 恒成立，即1a <x 2+32xe x对一切实数x 恒成立， 令F(x)=x 2+32xex ，则F ′(x)=−2x 2+x+32e x =−(2x−3)(x+1)2e x，令F(x)=0，则x =−1或x =32， ∴ 当x <−1或x >32时，F ′(x)<0， 当−1<x <32时，F ′(x)>0，∴ F(x)在(−∞, −1)和(32, +∞)上单调递减，在(−1, 32)上单调递增， 又当x >0时，F(x)>0， ∴ F(x)min =F(−1)=−e2， ∴ 要使1a<x 2+32xe x对一切实数x 恒成立，只需1a <F(x)min =−e2，∴ a >−2e ，又a <0，∴ −2e <a <0， 综上，a 的取值范围为(−2e , 0]． 故答案为：(−2e , 0].二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．如图，在三棱锥P −ABC 中，过点P 作PD ⊥AB ，垂足为D ，E ，F 分别是PD ，PC 的中点，且平面PAB ⊥平面PCD ．(1)求证：EF // 平面ABC；(2)求证：CE⊥AB．【答案】证明：(1)∵E，F分别是PD，PC的中点，∴EF是△PCD的中位线，则有EF // CD，又EF平面ABC，CD⊂平面ABC，∴EF // 平面ABC．(2)∵平面PAB⊥平面PCD，平面PAB∩平面PCD=PD，AB⊥PD，AB⊂平面PAB，∴AB⊥平面PCD，又CE⊂平面PCD，则CE⊥AB．【考点】直线与平面垂直的判定直线与平面平行的判定【解析】（1）推导出EF是△PCD的中位线，从而EF // CD，由此能证明EF // 平面ABC．（2）推导出AB⊥PD，从而AB⊥平面PCD，由此能证明AB⊥CE．【解答】证明：(1)∵E，F分别是PD，PC的中点，∴EF是△PCD的中位线，则有EF // CD，又EF平面ABC，CD⊂平面ABC，∴EF // 平面ABC．(2)∵平面PAB⊥平面PCD，平面PAB∩平面PCD=PD，AB⊥PD，AB⊂平面PAB，∴AB⊥平面PCD，又CE⊂平面PCD，则CE⊥AB．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且√3ac =2−cosAsinC．(1)求角A的大小；(2)若cos(B+π6)=14，求cosC的值．【答案】解：(1)∵√3ac =2−cosAsinC，∴由正弦定理可得：√3sinAsinC =2−cosAsinC，∴整理可得：√3sinA+cosA=2，即2sin(A+π6)=2，解得：sin(A+π6)=1，∵A∈(0, π)，∴A+π6∈(π6, 7π6)，∴A+π6=π2，∴A=π3．(2)在△ABC中，∵A=π3，∴B∈(0, 2π3)，即B+π6∈(π6, 5π6)，可得：sin(B+π6)>0，又∵cos(B+π6)=14，∴sin(B+π6)=√1−cos2(B+π6)=√154，在△ABC中，A+B+C=π，∴可得：cosC=−cos(A+B)=−cos(B+π3)=−cos[(B+π6)+π6]=−cos(B+π6)cosπ6+sin(B+π6)sinπ6=−√32×14+12×√154=√15−√38．【考点】两角和与差的余弦公式正弦定理同角三角函数间的基本关系【解析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin(A+π6)＝1，结合范围A∈(0, π)，可得A+π6=π2，从而解得A的值．（2）利用同角三角函数基本关系式可求sin(B+π6)的值，利用三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式可求cosC的值．【解答】解：(1)∵√3ac =2−cosAsinC，∴由正弦定理可得：√3sinAsinC =2−cosAsinC，∴整理可得：√3sinA+cosA=2，即2sin(A+π6)=2，解得：sin(A+π6)=1，∵A∈(0, π)，∴A+π6∈(π6, 7π6)，∴A+π6=π2，∴A=π3．(2)在△ABC中，∵A=π3，∴B∈(0, 2π3)，即B+π6∈(π6, 5π6)，可得：sin(B+π6)>0，又∵cos(B+π6)=14，∴sin(B+π6)=√1−cos2(B+π6)=√154，在△ABC中，A+B+C=π，∴可得：cosC=−cos(A+B)=−cos(B+π3)=−cos[(B+π6)+π6]=−cos(B+π6)cosπ6+sin(B+π6)sinπ6=−√32×14+12×√154=√15−√38．某工厂拟制造一个如图所示的容积为36π立方米的有盖圆锥形容器．(1)若该容器的底面半径为6米，求该容器的表面积；(2)当容器的高为多少米时，制造该容器的侧面用料最省？【答案】解：(1)设圆锥形容器的高为ℎ，则容器的体积V=13⋅π⋅62⋅ℎ=36π，解得ℎ=3．∴圆锥容器的母线长为√9+36=3√5，∴圆锥容器的表面积为π⋅62+π⋅6⋅3√5=(36π+18√5π)平方米．(2)由V=13πr2ℎ=36π可得r2=108ℎ，故圆锥的母线l=√r2+ℎ2=√108ℎ+ℎ2，∴容器的侧面积S=πrl=π√108ℎ√108ℎ+ℎ2=π√108√108ℎ2+ℎ，∵108ℎ2+ℎ=108ℎ2+ℎ2+ℎ2≥3√108ℎ2⋅ℎ2⋅ℎ23=9，当且仅当108ℎ2=ℎ2即ℎ=6时取等号，∴ 当ℎ=6时，S 取得最小值，即制造该容器的侧面用料最省． 【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 【解析】（1）根据体积公式计算容器高，计算母线长，再计算出侧面积和第面积即可； （2）用高ℎ表示出侧面积，利用基本不等式得出侧面积最小时对应的ℎ的值即可． 【解答】解：(1)设圆锥形容器的高为ℎ，则容器的体积V =13⋅π⋅62⋅ℎ=36π， 解得ℎ=3．∴ 圆锥容器的母线长为√9+36=3√5，∴ 圆锥容器的表面积为π⋅62+π⋅6⋅3√5=(36π+18√5π)平方米． (2)由V =13πr 2ℎ=36π可得r 2=108ℎ，故圆锥的母线l =2+ℎ2=√108ℎ+ℎ2， ∴ 容器的侧面积S =πrl =π√108ℎ√108ℎ+ℎ2=π√108√108ℎ2+ℎ，∵ 108ℎ2+ℎ=108ℎ2+ℎ2+ℎ2≥3√108ℎ2⋅ℎ2⋅ℎ23=9，当且仅当108ℎ2=ℎ2即ℎ=6时取等号， ∴ 当ℎ=6时，S 取得最小值，即制造该容器的侧面用料最省．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1(−2, 0)，A 2(2, 0)，右准线方程为x =4．过点A 1的直线交椭圆C 于x 轴上方的点P ，交椭圆C 的右准线于点D ．直线A 2D 与椭圆C 的另一交点为G ，直线OG 与直线A 1D 交于点H ．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若HG ⊥A 1D ，试求直线A 1D 的方程；(3)如果A 1H →=λA 1P →，试求λ的取值范围．【答案】解：(1)由椭圆的左、右顶点分别为A 1(−2, 0)，A 2(2, 0)， 右准线方程为x =4， 可得a =2，a 2c =4，43(2)设直线A 1D:y =k(x +2)，(k >0)，则与右准线x =4的交点D(4, 6k)， 又A 2(2, 0)，所以设直线A 2D:y =3k(x −2)， 则{y =3k(x −2)x 24+y 23=1 ，解得：G(24k 2−21+12k 2, −12k1+12k 2)， 则直线OG 的斜率为k OG =−6k12k 2−1， ∵ HG ⊥A 1D ，∴ −6k12k 2−1⋅k ＝−1，又k >0，解得k =√66，则直线A 1D 的方程为y =√66(x +2)．(3)由(2)中可知，设直线OG:y =−6k12k 2−1x ， 联立可得{y =−6k12k 2−1xy =k(x +2)，解得：H(−24k 2+212k 2+5, 12k12k 2+5)， 联立{x 24+y 23=1y =k(x +2) ，解得：P(6−8k 23+4k 2, 123+4k 2)， ∵ A 1H →=λA 1P →，∴ (x H +2, y H )=λ(x P +2, y P )， ∴ y H =λy P ， ∴ λ=y H y P =f(k)=12k 12k 2+512k 3+4k 2=3+4k 212k 2+5=112k 2+9−43+4k 2=13−43+4k 2，∵ f(k)在(0, +∞)为减函数， ∴ λ∈(13, 35)．【考点】椭圆的准线方程直线与椭圆结合的最值问题 椭圆的标准方程 平面向量的坐标运算 直线的斜率 【解析】（1）由题意可得a ＝2，a 2c=4，故c ＝1，b 2＝a 2−c 2＝3，可得椭圆方程，（2）设直线A 1D:y ＝k(x +2)，再设直线A 2D:y ＝3k(x −2)，求出点G 的坐标，根据HG ⊥A 1D ，可求出k 的值，即可求出直线方程，（3）分别求出点H ，P 的坐标，根据向量的运算借助函数的单调性即可求出． 【解答】解：(1)由椭圆的左、右顶点分别为A 1(−2, 0)，A 2(2, 0)， 右准线方程为x =4， 可得a =2，a 2c=4，43(2)设直线A 1D:y =k(x +2)，(k >0)，则与右准线x =4的交点D(4, 6k)， 又A 2(2, 0)，所以设直线A 2D:y =3k(x −2)， 则{y =3k(x −2)x 24+y 23=1 ，解得：G(24k 2−21+12k 2, −12k1+12k 2)， 则直线OG 的斜率为k OG =−6k12k 2−1， ∵ HG ⊥A 1D ，∴ −6k12k 2−1⋅k ＝−1，又k >0，解得k =√66，则直线A 1D 的方程为y =√66(x +2)．(3)由(2)中可知，设直线OG:y =−6k12k 2−1x ， 联立可得{y =−6k12k 2−1xy =k(x +2)，解得：H(−24k 2+212k 2+5, 12k12k 2+5)， 联立{x 24+y 23=1y =k(x +2) ，解得：P(6−8k 23+4k 2, 123+4k 2)， ∵ A 1H →=λA 1P →，∴ (x H +2, y H )=λ(x P +2, y P )， ∴ y H =λy P ， ∴ λ=y H y P =f(k)=12k 12k 2+512k 3+4k 2=3+4k 212k 2+5=112k 2+9−43+4k 2=13−43+4k 2，∵ f(k)在(0, +∞)为减函数， ∴ λ∈(13, 35)．已知函数f(x)=x 2+(2−a)x −alnx ，其中a ∈R ．(1)如果曲线y =f(x)在x =1处的切线斜率为1，求实数a 的值；(2)若函数f(x)的极小值不超过a2，求实数a 的最小值；(3)对任意x 1∈[1, 2]，总存在x 2∈[4, 8]，使得f(x 1)=f(x 2)成立，求实数a 的取值范围． 【答案】解：(1)f(x)=x 2+(2−a)x −alnx(x >0)，则f ′(x)=(x+1)(2x−a)x．∵ 曲线y =f(x)在x =1处的切线斜率为1， ∴ f ′(1)=2(2−a)=1， ∴ a =32．(2)当a ≤0时，f ′(x)>0，∴ f(x)在(0, +∞)上单调递增， ∴ 函数f(x)在(0, +∞)上不存在极值； 当a >0时，令f ′(x)=0，则x =a2，∴ 当0<x <a2时，f ′(x)<0；当x >a2时，f ′(x)>0， ∴ f(x)在(0, a2)上单调递减，在(a2, +∞)上单调递增， ∴ f(x)=f(a2)=a 24+a −a 22−aln a 2≤a2．∵ a >0，∴ 12−a4−ln a2≤0，令g(a)=12−a4−ln a2(a >0)，则g ′(a)=−14−12a <0，∴ g(a)在(0, +∞)上单调递减，又g(2)=0，∴ 当a ≥2时，g(a)≤g(2)=0， ∴ 实数a 的最小值为2．(3)记f(x)在[1, 2]上的值域为A ，在[4, 8]上的值域为B ，由任意x 1∈[1, 2]，总存在x 2∈[4, 8]，使得f(x 1)=f(x 2)成立，知A ⊆B ． 当a2≤1或a 2≥8，即a ≤2或a ≥16时，f(x)在[1, 8]上为单调函数，不合题意； 当1<a 2≤2，即2<a ≤4时，由(2)知，f(x)在(0, a2)上单调递减，在(a2, +∞)上单调递增， ∴ f(a2)∈A ，但f(a2)∉B ，不合题意；当2<a 2≤4，即4<a ≤8时，A =[f(2), f(1)]，B =[f(4), f(8)]， 由A ⊆B ，得{f(2)≥f(4)f(1)≤f(8) ，即{8−2a −aln2≥24−4a −2aln23−a ≤80−8a −3aln2 ， ∴ {a ≥162+ln2a ≤777+3ln2 ，又4<a ≤8， ∴ 162+ln2≤a ≤8；当4<a 2<8，即8<a <16时，由A ⊆B ，得f(8)≥f(1)， ∴ a ≤777+3ln2<16， ∴ 8<a ≤777+3ln2，综上，a 的取值范围为[162+2ln2,777+3ln2]． 【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题利用导数研究曲线上某点切线方程 利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的单调性 【解析】（1）对f(x)求导后，由导数的几何意义可得f ′(1)＝2(2−a)＝1，从而求出a 的值； （2）根据函数f(x)的极小值不超过a2，对a 分类讨论，将问题转化为解关于a 的不等式，从而求出a 的最小值；（3）设f(x)在[1, 2]上的值域为A ，在[4, 8]上的值域为B ，根据任意x 1∈[1, 2]，总存在x 2∈[4, 8]，使得f(x 1)＝f(x 2)成立，知A ⊆B ，然后分情况求解可得a 的范围． 【解答】解：(1)f(x)=x 2+(2−a)x −alnx(x >0)，则f ′(x)=(x+1)(2x−a)x．∵ 曲线y =f(x)在x =1处的切线斜率为1， ∴ f ′(1)=2(2−a)=1， ∴ a =32．(2)当a ≤0时，f ′(x)>0，∴ f(x)在(0, +∞)上单调递增， ∴ 函数f(x)在(0, +∞)上不存在极值； 当a >0时，令f ′(x)=0，则x =a2，∴ 当0<x <a2时，f ′(x)<0；当x >a2时，f ′(x)>0， ∴ f(x)在(0, a2)上单调递减，在(a2, +∞)上单调递增， ∴ f(x)=f(a2)=a 24+a −a 22−aln a 2≤a2．∵ a >0，∴ 12−a4−ln a2≤0，令g(a)=12−a4−ln a2(a >0)，则g ′(a)=−14−12a <0，∴ g(a)在(0, +∞)上单调递减，又g(2)=0，∴ 当a ≥2时，g(a)≤g(2)=0， ∴ 实数a 的最小值为2．(3)记f(x)在[1, 2]上的值域为A ，在[4, 8]上的值域为B ，由任意x 1∈[1, 2]，总存在x 2∈[4, 8]，使得f(x 1)=f(x 2)成立，知A ⊆B ． 当a2≤1或a 2≥8，即a ≤2或a ≥16时，f(x)在[1, 8]上为单调函数，不合题意； 当1<a 2≤2，即2<a ≤4时，由(2)知，f(x)在(0, a2)上单调递减，在(a2, +∞)上单调递增， ∴ f(a2)∈A ，但f(a2)∉B ，不合题意；当2<a 2≤4，即4<a ≤8时，A =[f(2), f(1)]，B =[f(4), f(8)]， 由A ⊆B ，得{f(2)≥f(4)f(1)≤f(8) ，即{8−2a −aln2≥24−4a −2aln23−a ≤80−8a −3aln2，∴ {a ≥162+ln2a ≤777+3ln2 ，又4<a ≤8， ∴ 162+ln2≤a ≤8；当4<a2<8，即8<a <16时，由A ⊆B ，得f(8)≥f(1)， ∴ a ≤777+3ln2<16， ∴ 8<a ≤777+3ln2，综上，a 的取值范围为[162+2ln2,777+3ln2]．已知数列{a n }是各项都不为0的无穷数列，对任意的n ≥3，n ∈N ∗，a 1a 2+a 2a 3+...+a n−1a n =λ(n −1)a 1a n 恒成立． (1)如果1a 1，1a 2，1a 3成等差数列，求实数λ的值；(2)已知λ=1．①求证：数列{1a n}是等差数列；②已知数列{a n }中，a 1≠a 2，数列{b n }是公比为q 的等比数列，满足b 1=1a 1，b 2=1a 2，b 3=1a i(i ∈N ∗)．求证：q 是整数，且数列{b n }中的任意一项都是数列{1a n}中的项．【答案】(1)解：∵ n ≥3，且n ∈N ∗时，a 1a 2+a 2a 3+...+a n−1a n =λ(n −1)a 1a n 恒成立， 则n =3时，a 1a 2+a 2a 3=2λa 1a 3，∵ 数列{a n }各项都不为0，同除a 1a 2a 3，得：2λa 2=1a 1+1a 3，又∵ 1a 1,1a 2,1a 3成等差数列，则2a 2=1a 1+1a 3，联立得2λa 2=2a 2，∴ λ=1．(2)证明：①当λ=1，n =3时，a 1a 2+a 2a 3=2a 1a 3，① 整理，得：1a 1+1a 3=2a 2，∴ 1a 2−1a 1=1a 3−1a 2，②当n =4时，a 1a 2+a 2a 3+a 3a 4=3a 1a 4，③③-①，得：a 3a 4=3a 1a 4−2a 1a 3，∴ 1a 1=3a 3−2a 4，∵1a1+1a3=2a2，∴1a4−1a3=1a3−1a2，④当n≥3时，a1a2+a2a3+...+a n−1a n=(n−1)a1a n，a1a2+a2a3+...+a n−1a n+a n a n+1=na1a n+1，两式相减，得：a n a n+1=na1a n+1−(n−1)a1a n，∵a n≠0，∴1a1=na n−n−1a n+1，∴1a1=n+1a n+1−na n+2，∴na n−n−1a n+1=n+1a n+1−na n+2，∵x=q k−1−q2q−1=q2(q k−3−1)q−1表示首项为q2，公比为q=i−2，(i≥4)，共k−3(k≥4)项的等比数列的和，∴x为正整数，∴{b n}中的每一项都是数列{c n}，即{1a n}中的项，整理，得1a n +1a n+2=2a n+1，即1a n+2−1a n+1=1a n+1−1a n，(n≥3)，⑤由②④⑤得：1a n+2−1a n+1=1a n+1−1a n对任意正整数n≥1恒成立，∴数列{1a n}成等差数列．②设数列{1a n }公差为d，令c n=1a n=c(c≠0)，则b1=c1=c，b2=c2=c+d，d=c2−c1=b2−b1=cq−c，当i=2时，b3=c2=b2，∴q=1，b2=b1，∴a1=a2，与已知不符，当i=3时，由b3=c3，cq2=c+2d=c+2c(q−1)，得q=1+2(q−1)，解得q=1，与已知不符．当i=1时，由b3=c1,cq2=c，得q2=1，由q≠1，得q=−1为整数，数列{b n}为：c，−c，c，…，数列{c n}中，c1=c，c2=−c，公差d=−2c，数列{b n}中每一项都是{c n}中的项，(c=c1, −c=c2)，当i≥4时，由b3=c i，cq2=c+(i−1)d=c+(i−1)c(q−1)，得q2−(i−1)q+(i−2)=0，得q=1，（舍），q=i−2，(i≥4)为正整数，∵cq=c+d，b3=c i，对任意的正整数k≥4，欲证明b k是数列{c n}中的项，只需b k=cq k−1=c i+xd=b3+x(cq−c)=cq2+x(cq−c)有正整数解x，等价于：q k−1=q2+x(q−1)，x=q k−1−q2q−1为正整数，∴q是整数，且数列{b n}中的任意一项都是数列{1a n}中的项．【考点】等比数列的通项公式等差数列的性质等差数列的通项公式等差数列【解析】（1）n≥3，且n∈N∗时，a1a2+a2a3+...+a n−1a n＝λ(n−1)a1a n恒成立，n＝3时，a1a2+a2a3＝2λa1a3，同除a1a2a3，得2λa2=1a1+1a3，由1a1⋅1a2⋅1a3成等差数列，得2a2=1 a1+1a3，由此能求出λ的值．（2）①当λ＝1，n＝3时，1a1+1a3=2a2，从而1a2−1a1=1a3−1a2，当n＝4时，1a1=3a3−2 a4，从而1a4−1a3=1a3−1a2，当n≥3时，推导出1a1=na n−n−1a n+1，由此能证明数列{1an}成等差数列．②设数列{1a n }公差为d，令c n=1a n=c(c≠0)，则b1＝c1＝c，b2＝c2＝c+d，d＝c2−c1＝b2−b1＝cq−c，推导出cq＝c+d，b3＝c i，对任意的正整数k≥4，欲证明b k是数列{c n}中的项，只需b k=cq k−1=c i+xd＝b3+x(cq−c)＝cq2+x(cq−c)有正整数解x，等价于：q k−1＝q2+x(q−1)，x=q k−1−q2q−1为正整数，由此能证明q是整数，且数列{b n}中的任意一项都是数列{1an}中的项．【解答】(1)解：∵n≥3，且n∈N∗时，a1a2+a2a3+...+a n−1a n=λ(n−1)a1a n恒成立，则n=3时，a1a2+a2a3=2λa1a3，∵数列{a n}各项都不为0，同除a1a2a3，得：2λa2=1a1+1a3，又∵1a1,1a2,1a3成等差数列，则2a2=1a1+1a3，联立得2λa2=2a2，∴λ=1．(2)证明：①当λ=1，n=3时，a1a2+a2a3=2a1a3，①整理，得：1a1+1a3=2a2，∴1a2−1a1=1a3−1a2，②当n=4时，a1a2+a2a3+a3a4=3a1a4，③③-①，得：a3a4=3a1a4−2a1a3，∴1a1=3a3−2a4，∵1a1+1a3=2a2，∴1a4−1a3=1a3−1a2，④当n≥3时，a1a2+a2a3+...+a n−1a n=(n−1)a1a n，a1a2+a2a3+...+a n−1a n+a n a n+1=na1a n+1，两式相减，得：a n a n+1=na1a n+1−(n−1)a1a n，∵a n≠0，∴1a1=na n−n−1a n+1，∴1a1=n+1a n+1−na n+2，∴na n−n−1a n+1=n+1a n+1−na n+2，∵x=q k−1−q2q−1=q2(q k−3−1)q−1表示首项为q2，公比为q=i−2，(i≥4)，共k−3(k≥4)项的等比数列的和，∴x为正整数，∴{b n}中的每一项都是数列{c n}，即{1a n}中的项，整理，得1a n +1a n+2=2a n+1，即1a n+2−1a n+1=1a n+1−1a n，(n≥3)，⑤由②④⑤得：1a n+2−1a n+1=1a n+1−1a n对任意正整数n≥1恒成立，∴数列{1a n}成等差数列．②设数列{1a n }公差为d，令c n=1a n=c(c≠0)，则b1=c1=c，b2=c2=c+d，d=c2−c1=b2−b1=cq−c，当i=2时，b3=c2=b2，∴q=1，b2=b1，∴a1=a2，与已知不符，当i=3时，由b3=c3，cq2=c+2d=c+2c(q−1)，得q=1+2(q−1)，解得q=1，与已知不符．当i=1时，由b3=c1,cq2=c，得q2=1，由q≠1，得q=−1为整数，数列{b n}为：c，−c，c，…，数列{c n}中，c1=c，c2=−c，公差d=−2c，数列{b n}中每一项都是{c n}中的项，(c=c1, −c=c2)，当i≥4时，由b3=c i，cq2=c+(i−1)d=c+(i−1)c(q−1)，得q2−(i−1)q+(i−2)=0，得q=1，（舍），q=i−2，(i≥4)为正整数，∵cq=c+d，b3=c i，对任意的正整数k≥4，欲证明b k是数列{c n}中的项，只需b k=cq k−1=c i+xd=b3+x(cq−c)=cq2+x(cq−c)有正整数解x，等价于：q k−1=q2+x(q−1)，x=q k−1−q2q−1为正整数，∴q是整数，且数列{b n}中的任意一项都是数列{1a n}中的项．【选做题】在A，B，C三小题中只能选做两题，每小题0分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]已知矩阵A =[210a ]，其逆矩阵A −1=[b c01]，求A 2．【答案】解：由题意，根据公式AA −1=E ，可得： [210a ]⋅[b c01]=[1001]．即：[2b 2c +1a]=[1001]．∴ {a =12b =12c +1=0 ，解得：{a =1b =12c =−12．∴ A =[2101]．∴ A 2=[2101]⋅[2101]=[4301]．【考点】逆变换与逆矩阵 【解析】本题先根据公式AA −1＝E 可将具体矩阵进行代入计算得到a 、b 、c 的值，即可得到矩阵A ，则A 2即可求出． 【解答】解：由题意，根据公式AA −1=E ，可得： [210a ]⋅[b c01]=[1001]．即：[2b 2c +1a]=[1001]．∴ {a =12b =12c +1=0 ，解得：{a =1b =12c =−12．∴ A =[2101]．∴ A 2=[2101]⋅[2101]=[4301]．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2+2cosθy =−√3+2sinθ （θ为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 上两点M ，N 的极坐标分別为(2, 0)，(2√3, π6)，求直线l 被曲线C 截得的弦长． 【答案】解：由x =ρcosθ，y =ρsinθ，得M(2, 0)，N(3, √3)， 则直线l:y =√3(x −2)，曲线C ：(x −2)2+(y +√3)2=4， 则圆心C(2, −√3)，半径r =2，则圆心到直线l的距离为d=|0−√3|2=√32，则直线l被曲线C截得的弦长为2√r2−d2=√13．【考点】圆的极坐标方程点到直线的距离公式【解析】将直线和圆化成直角坐标方程后，利用圆中的勾股定理列式可得弦长．【解答】解：由x=ρcosθ，y=ρsinθ，得M(2, 0)，N(3, √3)，则直线l:y=√3(x−2)，曲线C：(x−2)2+(y+√3)2=4，则圆心C(2, −√3)，半径r=2，则圆心到直线l的距离为d=|0−√3|2=√32，则直线l被曲线C截得的弦长为2√r2−d2=√13．[选修4-5：不等式选讲]已知正数a，b，c满足a+b+c=2，求证：a2b+c +b2c+a+c2a+b≥1．【答案】证明：∵a，b，c都是正数，且a+b+c=2，∴2a+2b+2c=4，∴4(a2b+c +b2c+a+c2a+b)=[(b+c)+(c+a)+(a+b)](a2b+c+b2c+a+c2a+b)≥(√b+c⋅b+c √c+a⋅√c+a√a+ba+b)2=(a+b+c)2=4，∴a2b+c +b2c+a+c2a+b≥1．【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】不等式两边同乘(2a+2b+2c)，利用柯西不等式证明．【解答】证明：∵a，b，c都是正数，且a+b+c=2，∴2a+2b+2c=4，∴4(a2b+c +b2c+a+c2a+b)=[(b+c)+(c+a)+(a+b)](a2b+c+b2c+a+c2a+b)≥(√b+c⋅b+c √c+a⋅√c+a√a+ba+b)2=(a+b+c)2=4，∴a2b+c +b2c+a+c2a+b≥1．【必做题】第22，23题，每小题0分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，过F的直线l交抛物线C 于A，B两点．(1)求线段AF的中点M的轨迹方程；(2)已知△AOB的面积是△BOF面积的3倍，求直线l的方程．【答案】解：(1)根据题意：抛物线的焦点为F(1, 0)，设M(x, y)，则A(2x−1, 2y)，把A(2x−1, 2y)代入y2=4x可得：4y2=8x−4，即y2=2x−1．(2)设直线l的方程为x=my+1，代入y2=4x可得y2−4my−4=0，设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则y1y2=−4，①若A在第一象限，B在第四象限，则y1>0，y2<0，则S△AOB=12⋅OF⋅(y1−y2)，S△BOF=12⋅OF⋅(−y2)，∵S△AOB=3S△BOF，∴y1−y2=−3y2，∴y1=−2y2，又y1y2=−4，∴y1=2√2，y2=−√2．故x1=2，x2=12，把A(2, 2√2)代入x=my+1可得m=2√2=√24，∴直线l的方程为x−√24y−1=0，即4x−√2y−4=0．②若A在第四象限，B在第一象限，则y1<0，y2>0，S△AOB=12⋅OF⋅(y2−y1)，S△BOF=12⋅OF⋅y2，∵S△AOB=3S△BOF，∴y2−y1=3y2，∴y1=−2y2，又y1y2=−4，∴y1=−2√2，y2=√2．故x1=2，x2=12，把A(2, −2√2)代入x=my+1可得m=22=−√24，∴直线l的方程为x+√24y−1=0，即4x+√2y−4=0．综上，直线l的方程为：4x−√2y−4=0或4x+√2y−4=0．【考点】与抛物线有关的中点弦及弦长问题三角形的面积公式圆锥曲线的轨迹问题直线的斜率【解析】（1）设M(x, y)，表示出A点坐标，代入抛物线方程化简即可；（2）设A(x1, y1)，B(x2, y2)，直线l的方程为x＝my+1，联立方程组可得则y1y2＝−4，三角形的面积比得出y1＝−2y2，讨论A，B所在象限得出A的坐标，进而可得出直线l的方程．【解答】解：(1)根据题意：抛物线的焦点为F(1, 0)， 设M(x, y)，则A(2x −1, 2y)， 把A(2x −1, 2y)代入y 2=4x可得：4y 2=8x −4，即y 2=2x −1．(2)设直线l 的方程为x =my +1，代入y 2=4x 可得y 2−4my −4=0，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则y 1y 2=−4， ①若A 在第一象限，B 在第四象限，则y 1>0，y 2<0， 则S △AOB =12⋅OF ⋅(y 1−y 2)，S △BOF =12⋅OF ⋅(−y 2)， ∵ S △AOB =3S △BOF ， ∴ y 1−y 2=−3y 2，∴ y 1=−2y 2，又y 1y 2=−4，∴ y 1=2√2，y 2=−√2． 故x 1=2，x 2=12，把A(2, 2√2)代入x =my +1可得m =2√2=√24， ∴ 直线l 的方程为x −√24y −1=0，即4x −√2y −4=0．②若A 在第四象限，B 在第一象限，则y 1<0，y 2>0， S △AOB =12⋅OF ⋅(y 2−y 1)，S △BOF =12⋅OF ⋅y 2，∵ S △AOB =3S △BOF ， ∴ y 2−y 1=3y 2，∴ y 1=−2y 2，又y 1y 2=−4， ∴ y 1=−2√2，y 2=√2． 故x 1=2，x 2=12，把A(2, −2√2)代入x =my +1可得m =2√2=−√24， ∴ 直线l 的方程为x +√24y −1=0，即4x +√2y −4=0．综上，直线l 的方程为：4x −√2y −4=0或4x +√2y −4=0．已知数列{a n }，a 1=2，且a n+1=a n 2−a n +1对任意n ∈N ∗恒成立．(1)求证：a n+1=a n a n−1a n−2...a 2a 1+1(n ∈N ∗)；(2)求证：a n+1>n n +1(n ∈N ∗)． 【答案】证明：(1)∵ a 1=2，且a n+1=a n 2−a n +1对任意n ∈N ∗恒成立， ∴ 当n =1时，a 2=3=1+a 1成立，假设当n =k 时成立，即a k+1=a k a k−1a k−2...a 2a 1+1，当n =k +1时，a k+2=a k+12−a k+1+1 =(a k a k−1a k−2...a 2a 1)a k+1+1 =a k+1a k a k−1...a 2a 1+1， 则当n =k +1时，命题成立，综上可得，a n+1=a n a n−1a n−2...a 2a 1+1. (2)要证：a n+1>n n +1，由(1)a n+1=a n a n−1a n−2...a 2a 1+1， 只要证∴ a n a n−1a n−2...a 2a 1>n n ， 下面用数学归纳法证明：当n =1，2，3时，a 1=2，a 2=3，a 3=7， 则2>1，2×3>22，2×3×7>33，假设当n =k(k ≥3)时结论成立，即a k a k−1a k−2...a 2a 1>k k ， 则当n =k +1时，a k+1a k a k−1...a 2a 1+1=(a k a k−1...a 2a 1+1)a k a k−1...a 2a 1 >(a k a k−1...a 2a 1)2>k 2k ，设f(x)=2xlnx −(x +1)ln(x +1)，x ≥3， 则f ′(x)=lnx 2+1x+1+1>lnx 2−1x+1+1=ln(x −1)+1≥ln2+1>0，∴ f(x)单调递增，则f(x)≥f(3)=2(3ln3−2ln4)=2ln 2716>0，则2klnk >(k +1)ln(k +1)，∴ lnk 2k >ln(k +1)k+1，即k 2k >(k +1)k+1， ∴ a k+1a k a k−1...a 2a 1>(k +1)k+1， 则当n =k +1时，命题成立，综上可得，a n a n−1a n−2...a 2a 1>n n ， ∴ a n+1>n n +1. 【考点】 数列递推式对数函数的单调性与特殊点 【解析】（1）结合题意可用数学归纳法证明命题成立；（2）要证：a n+1>n n +1，由（1）a n+1＝a n a n−1a n−2...a 2a 1+1，只要证∴ a n a n−1a n−2...a 2a 1>n n ，可用数学归纳法证明． 【解答】证明：(1)∵ a 1=2，且a n+1=a n 2−a n +1对任意n ∈N ∗恒成立， ∴ 当n =1时，a 2=3=1+a 1成立，假设当n =k 时成立，即a k+1=a k a k−1a k−2...a 2a 1+1，当n =k +1时，a k+2=a k+12−a k+1+1 =(a k a k−1a k−2...a 2a 1)a k+1+1 =a k+1a k a k−1...a 2a 1+1， 则当n =k +1时，命题成立，综上可得，a n+1=a n a n−1a n−2...a 2a 1+1. (2)要证：a n+1>n n +1，由(1)a n+1=a n a n−1a n−2...a 2a 1+1， 只要证∴ a n a n−1a n−2...a 2a 1>n n ， 下面用数学归纳法证明：当n =1，2，3时，a 1=2，a 2=3，a 3=7， 则2>1，2×3>22，2×3×7>33，假设当n =k(k ≥3)时结论成立，即a k a k−1a k−2...a 2a 1>k k ， 则当n =k +1时，a k+1a k a k−1...a 2a 1+1=(a k a k−1...a 2a 1+1)a k a k−1...a 2a 1 >(a k a k−1...a 2a 1)2>k 2k ，设f(x)=2xlnx −(x +1)ln(x +1)，x ≥3，则f′(x)=ln x2+1x+1+1>ln x2−1x+1+1=ln(x−1)+1≥ln2+1>0，∴f(x)单调递增，则f(x)≥f(3)=2(3ln3−2ln4)=2ln2716>0，则2klnk>(k+1)ln(k+1)，∴lnk2k>ln(k+1)k+1，即k2k>(k+1)k+1，∴a k+1a k a k−1...a2a1>(k+1)k+1，则当n=k+1时，命题成立，综上可得，a n a n−1a n−2...a2a1>n n，∴a n+1>n n+1.。
江苏省常州市教育学会2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题
常州市教育学会学生学业水平监测高一数学试题注意事项：1.请将本试卷答案填写在答题卡相应位置上. 2.考试时间120分钟，试卷总分150分.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若集合{}21M x x =-<<，{}02N x x =≤<，则M N =（ ）.A. {}22x x -<< B. {}01x x <<C. {}20x x -<≤D. {}01x x ≤<【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的概念，可得结果【详解】由{}21M x x =-<<，{}02N x x =≤< 所以{}01M N x x ⋂=≤< 故选：D【点睛】本题主要考查交集的概念，属基础题.2.若扇形的圆心角为1rad ，半径为2，则该扇形的面积为（ ）. A.12B. 1C. 2D. 4【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式212S r α=，可得结果. 【详解】由221112222S r α===其中α为扇形的圆心角，r 为扇形的半径故选：C【点睛】本题主要考查扇形的面积公式，属基础题. 3.64log 32的值为（ ）.A.12B. 2C.56D.65【答案】C 【解析】 【分析】根据换底公式log log log x a x b b a=以及log log na ab n b =可得结果.【详解】由52264622log 32log 25log 32log 64log 26=== 故选：C【点睛】本题主要考查对数的运算，属基础题.4.已知角α的终边经过点()4,3P -，则tan α=（ ）. A. 34-B. 43-C.35D.45【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的概念，()000tan 0y x x α=≠，可得结果. 【详解】因为角α的终边经过点()4,3P - 所以33tan 44α-==- 故选：A【点睛】本题主要考查角终边过一点正切值的计算，属基础题.5.已知73sin 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，那么cos α=（ ） A. 45-B.35C.35D.45【答案】B 【解析】 【分析】运用诱导公式直接对等式73sin 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭进行变形即可. 【详解】733sin sin 2sin cos ,cos 22255πππαππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=-+=-=∴=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.【点睛】本题考查了诱导公式的应用，考查了数学运算能力.6.已知a =b =2log c =a ，b ，c 的大小关系为（ ）.A. b a c >>B. a c b >>C. a b c >>D. b c a >>【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数以及对数函数的单调性，并利用特殊值1，2，可得结果【详解】由122a =>=，21b >=>220log log 21c <=<=故a b c >> 故选：C【点睛】本题主要考查利用函数的单调性比较式子大小，同时要考虑借用特殊值比较大小，属基础题.7.若12,e e 是夹角为60︒的两个单位向量，则122a e e =+与1232b e e =-+的夹角为（ ）. A. 30° B. 60°C. 120°D. 150°【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的数量积以及向量模的求法即可求解. 【详解】21211cos602e e e e ︒⋅=⋅=()()1212232a b e e e e ∴⋅=+⋅-+221122176262,22e e e e =-+⋅+=-++=-()222221211221||2444417,2a a e e e e e e ==+=+⋅+=+⨯+=()222221211221||329124912472b b e e e e e e ==-+=-⋅+=-⨯+=.设向量a 与向量b 的夹角为θ则712cos 2||||77a b a b θ-⋅===-⨯.又0180θ︒︒，所以120θ︒=，故选：C .【点睛】本题考查了利用向量的数量积求向量的夹角、求向量的模，属于基础题.8.函数()11xxe f x e-=+（e 是自然对数的底数）的图象大致为（ ）. A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】利用分离常数的方法，将式子化简，可得()211x f x e =-++，根据单调性以及值域，可得结果.【详解】因为()11211x x xxe ef x e e -+-==-++ 所以()211x f x e =-++， 可知y=xe 是递增的函数，所以2y=1x e +为递减的函数， 则()211x f x e =-++是递减的函数，且0,1xx e >> 所以1112,012xx e e +><<+ 则21101xe -<-+<+，所以A 正确 故选：A【点睛】本题主要考查利用函数的单调性与值域判断函数的大致图像，属基础题.9.人们通常以分贝（符号是dB ）为单位来表示声音强度的等级，强度为x 的声音对应的等级为()()210lg10xf x dB -=.喷气式飞机起飞时，声音约为140dB ，一般说话时，声音约为60dB ，则喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的（ ）倍.A.73B. 7310C. 8D. 810【答案】D 【解析】 【分析】根据代值计算，可以分别得到声音约为140dB 和60dB 的强度，可得结果. 【详解】由()210lg10xy f x -==， 所以当140y =时，可得1210x = 当当60y =时，可得410x = 所以喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的1284101010=故选：D【点睛】本题主要考查对数的计算，数基础题.10.关于函数()cos cos f x x x =+，有下列四个论述，其中正确的个数为（ ）. ①()f x 是偶函数；②()f x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增；③()f x 的最小正周期为2π； ④()f x 的值域为[]0,2. A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的表达式，利用数形结合，可得结果. 【详解】由()cos cos f x x x =+ 所以()()2cos ,222230,2222x k x k f x k Z k x k ππππππππ⎧--≤≤+⎪⎪=∈⎨⎪+<≤+⎪⎩ ()f x 一个周期图像如图，可知()()f x f x -=，()f x 为偶函数，故①对 通过图形可知()f x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增故②对，函数()f x 最小正周期为2π，故③对()f x 的值域为[]0,2，故④对故选：D【点睛】本题主要考查分段函数的表示以及函数的性质，属中档题.11.已知ABC ∆是以C 为直角顶点且斜边长为2的等腰直角三角形，P 为ABC ∆所在平面内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值为（ ）. A. 12-B. 54-C. 18-D. 52-【答案】B 【解析】 【分析】利用建系的方法，表示出,PA PB ,PC ，然后根据向量的坐标运算，化简变形，可得到结果 【详解】如图设点(),P x y ，由ABC ∆是斜边长为2的等腰直角三角形 所以()2,2,0A B所以()(),2,2,PA x y PB x y =--=--(),PC x y =--所以()22,2PB PC x y +=-故()()()222,2PA PB PC x yx y ⋅+=---化简得：()22522424PA PB PC x y ⎛⎫⎛⎫⋅+=-+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()54PA PB PC ⋅+≥-所以()PA PB PC ⋅+的最小值为54- 故选：B【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，将几何的问题代数化，化繁为简，数基础题.12.已知函数()()cos 1,0,2log ,0,a x x f x x x π⎧⎛⎫-≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪--<⎩（0a >且1a ≠），若函数图象上关于原点对称的点至少有3对，则实数a 的取值范围是（ ）.A. ⎛ ⎝⎭B. ⎫⎪⎪⎝⎭C. ⎛ ⎝⎭D. ⎫⎪⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】根据对称性以及等价转换的思想，可得cos 12y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭与log a y x =的图像在0x >的交点至少有3对，然后利用数形结合，可得结果. 【详解】由题可知：cos 12y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭与log a y x =的图像 在0x >的交点至少有3对，可知()0,1a ∈， 如图所示，当6x =时，log 62a >-，则606a <<故实数a 的取值范围为6⎛ ⎝⎭故选：A【点睛】本题考查函数的对称性，难点在于将问题转换为cos 12y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭与log a y x =的图像在0x >的交点至少有3对，审清题干，耐心计算，属难题. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13.已知幂函数()y f x =的图象过点22,2⎛⎫⎪⎝⎭，则18f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______. 【答案】22【解析】 【分析】根据幂函数的形式()f x x α=，带值计算可得α，然后计算18f ⎛⎫ ⎪⎝⎭即可.【详解】由()y f x =为幂函数，故设()f x x α=由函数()f x 图象过点2⎛ ⎝⎭，故()1222222f α-===所以12α=-，则()12f x x -=所以11221182288f -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：22【点睛】本题主要考查幂函数的应用，属基础题. 14.函数1sin ,[2,2]23y x x πππ⎛⎫=+∈-⎪⎝⎭的单调递增区间是_______________.【答案】5,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】求出函数1sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的所有定义域上的单调递增区间,即可分析出[2,2]x ππ∈-的单调递增区间. 【详解】由122()2232k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈得544()33k x k k Z ππππ-+≤≤+∈, 当0k =时,得533x ππ-≤≤,5,[2,2]33ππππ⎡⎤-⊂-⎢⎥⎣⎦,且仅当0k =时符合题意, 所以函数1sin ,[2,2]23y x x πππ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭的单调递增区间是5,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦, 故答案为5,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查了正弦函数的单调性,意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题. 15.如图，在ABC ∆中，13AD AB =，点E 为CD 的中点.设CA a =，CB b =，则AE =______（用a ，b 表示）.【答案】1263b a -. 【解析】【分析】 利用向量加法的平行四边形法则得到()12AE AC AD =+，然后利用向量减法，可得结果. 【详解】因为点E 为CD 的中点， 所以()12AE AC AD =+，又13AD AB = 且AB CB CA =- 所以()1123C E B CA A AC ⎡⎤+⎢-=⎥⎣⎦ 化简可得：1263C A B E CA -= 即1263b A a E -= 故答案为：1263b a - 【点睛】本题主要考查向量的线性表示，熟练使用向量的加法的三角形法则和平行四边形法则以及向量的减法，属基础题.16.对于函数()f x ，()g x ，设(){}0m x f x ∈=，(){}0n x g x ∈=，若存在m ，n 使得1m n -<，则称()f x 与()g x 互为“近邻函数”.已知函数()()13log 2e x f x x -=+-与()1422x x g x a +=⋅-+互为“近邻函数”，则实数a 的取值范围是______.（e 是自然对数的底数） 【答案】10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【解析】【分析】先求出()0f x =的根，利用等价转换的思想，得到()0g x =在1m n -<有解，并且使用分离参数方法，可得结果【详解】由()()13log 2e x f x x -=+-，令()0f x =所以1x =，又已知函数()()13log 2ex f x x -=+- 与()1422x x g x a +=⋅-+互为“近邻函数”据题意可知：()0g x =在11x -<有解，则()0g x =在02x <<有解 即1224x x a +-=在02x <<有解， 令()1224x xh x +-=， 又令2x t =，()1,4t ∈，11,14t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以2222111222t y t t -⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭ 当112t =时max 12y = 当11t =时0y = 所以10,2y ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦所以()10,2h x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则10,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故答案：10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查对新定义的理解，以及分离参数方法的应用，属中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设1P ，2P 为直线l 上的两个不同的点，我们把向量12PP 及与它平行的非零向量都称为直线l 的方向向量，把与直线l 垂直的向量称为直线l 的法向量.已知直线l 有两点()2,1A -，()1,3B -（1）若向量()4,a m =是直线l 的一个法向量，求实数m 的值；（2）若向量b 是直线l 的一个方向向量，且b 是单位向量，求向量b 的坐标.【答案】（1）3；（2）34,55b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭或34,55b ⎛⎫- ⎪⎝=⎭. 【解析】【分析】（1）先表示出直线l 的一个的方向向量AB ，然后根据向量的垂直关系，可得结果.（2）根据向量共线定理，可得b ABλ=()0λ≠，然后利用b 是单位向量，可得结果. 【详解】（1）()3,4AB =-，由题意：0a AB ⋅=，即()3440m -⨯+=，所以3m =.（2）由题意：b 与AB 平行，所以设b AB λ=（0λ≠），因为b 是单位向量，所以1b AB λλ==⋅=， 解得15λ=±，故34,55b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭或34,55b ⎛⎫- ⎪⎝=⎭. 【点睛】本题主要考查向量平行于垂直的坐标表示，熟练掌握公式以及简单计算，属基础题.18.记函数()f x =A ，函数()2cos sin g x x x a =-+（a R ∈）的值域为集合B .（1）若2a =，求()R A B ⋂； （2）若A B A =，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()(]31,34R A B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；（2）02a ≤≤.【解析】【分析】（1）根据对数的定义，可得集合A ，根据平方关系将()g x 转化为二次函数形式，结合交集补集的概念，可得结果.（2）利用（1）的条件以及,A B 之间的关系，可得结果【详解】（1）由()0.5log 430x -≥，得0431x <-≤， 解得314x <≤，所以3,14A ⎛⎤= ⎥⎝⎦. 若2a =时，则()()22cos sin 2cos 1cos 2g x x x x x =-+=--+则()2213cos cos 1cos 24g x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭ 因为[]cos 1,1x ∈-，所以3,34B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 因为()3,1,4R A ⎛⎤=-∞+∞ ⎥⎝⎦，所以()(]31,34R A B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.（2）由()215cos 24g x x a ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭， 又[]cos 1,1x ∈-，所以5,14B a a ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦， 因为A B A =，所以A B ⊆，所以53,4411,a a ⎧-≤⎪⎨⎪+≥⎩解得02a ≤≤.【点睛】本题考查定义域、值域的求法，以及还考查集合的基本关系求参数，属中档题.19.（1）求17164cossin tan 633πππ⎛⎫⎛⎫+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值；（2）已知α.【答案】（1；（2）sin cos αα--.【解析】【分析】 （1）根据诱导公式，将大角化小角，并根据特殊值的三角函数，可得结果.（2）根据切化弦，进行化简，可得一个完全平方式，然后根据角所在范围，可得结果.【详解】（1）175cos cos 266πππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即175cos cos 66ππ== 1616sin sin sin 5333ππππ⎛⎫⎛⎫-=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即16sin sin 33ππ⎛⎫-== ⎪⎝⎭ 44tan tan tan 333πππ⎛⎫-=-=-= ⎪⎝⎭所以原式(22=-+-=（2）令T =sin cos T αα==+，因为α是第三象限角，所以sin 0α<，cos 0α<，所以原式sin cos αα=--.【点睛】本题主要考查诱导公式以及切化弦，属基础题.20.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()6f x f x +=，当()0,3x ∈时，()()2log 1a f x x x =-+.（1）当()3,0x ∈-时，求()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在[]3,3-上的零点构成的集合.【答案】（1）()()2log 1a f x x x =-++；（2）{}3,1,0,1,3--. 【解析】【分析】（1）由()3,0x ∈-，可得x -的范围，并得()f x -，然后结合()f x 是奇函数可得结果.（2）根据（1）的条件，令()0f x =，以及函数的奇偶性和周期性，可得结果.【详解】（1）当()3,0x ∈-时，()0,3x -∈，所以()()()2log 1a f x x x ⎡⎤-=---+⎣⎦， 即()()2log 1a f x x x -=++因为()f x 是定义在R 上的奇函数， ()()()2log 1a f x f x x x =--=-++，所以当()3,0x ∈-时，()()2log 1a f x x x =-++.（2）因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，且()()33f f -=-，因为()()6f x f x +=，所以()()33f f -=，所以()()330f f -==，当()0,3x ∈时，令()()2log 10a f x x x =-+=， 得211x x -+=，解得0x =（舍去），或1x =，即()10f =，又因为()f x 是奇函数，所以()()110f f -=-=，所以函数()f x 在[]3,3-上的零点构成的集合为{}3,1,0,1,3--.【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，难点在于如何求出另外一部分的表达式，属中档题.21.已知函数sin ωφf x A x B （其中A ，ω，ϕ，B 均为常数，0A >，0>ω，2πϕ<）的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若先将函数()f x 图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），再将图象向左平移m （0m >）个单位长度，得到函数()g x 的图象，若()g x 是偶函数，求实数m 的最小值.【答案】（1）()sin 223f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；（2）524π. 【解析】【分析】（1）根据图像的最高点于最低点，可得,A B ，利用函数的周期可得ω，代入特殊值，可得ϕ，则可得结果.（2）根据图像的变换和平移，可得()g x 的表达式，根据三角函数中偶函数的形式()cos 0,0A x b A ωω+≠≠，可得结果.【详解】（1）由图可知：3112A -==，3122B +==，31173212122T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭， 所以2T ππω==，所以2ω=，所以()()sin 22f x x ϕ=++. 由1111sin 21126f ππϕ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 得113262k ππϕπ+=+，k ∈Z ， 所以23k πϕπ=-，k ∈Z ， 因2πϕ<，所以3πϕ=-.所以()sin 223f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.（2）由题意：()()sin 423g x x m π⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦，()g x sin 4423x m π⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭因为()g x 是偶函数， 所以432m k πππ-=+，k ∈Z ， 所以5424k m ππ=+，k ∈Z ，因为0m >，所以当0k =时，m 的最小值为524π.【点睛】本题主要考查根据图像求sin ωφf x A x B 以及平移变换，掌握A ，ω，ϕ，B的意义以及求法，细心计算，属中档题. 22.已知定义在R 上的函数()144x x b f x a+-+=+是奇函数. （1）求a ，b 的值； （2）若关于x 的方程()0f x m +=有正根，求实数m 的取值范围；（3）当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，不等式()430x nf x +->恒成立，求实数n 的取值范围. 【答案】（1）4a =，1b =；（2）10,4m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（3）n 12≤-. 【解析】【分析】（1）根据()f x 是R 的奇函数，得到()00f =，()()11f f =--，可得结果.（2）利用分离参数方法，得到()m f x =-，根据()y f x =-的值域与m 的关系，可得结果.（3）利用分离参数的方法，得到()()1344441xx x n +-+<-+，右边构造新的函数，通过研究新函数的值域与n 的大小关系，可得结果.【详解】（1）由题意：()00f =，解得1b =，再由()()11f f =--， 得120414144a a--+-+=-++，解得4a =， 当4a =，1b =时，()14144x x f x +-+=+，定义域为R ， ()()1141144444x xx x f x f x --++-+-+-===-++，()f x 为奇函数，所以4a =，1b =.（2）()()14141244441x x x x m f x +-+-=-==++， 即()114241x m =-+ 当0x >时，412x +>，()1104241x <<+， 所以()111044241x <-<+， 因为()m f x =-有正根，所以10,4m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. （3）由()430xnf x +->，得1413444x x x n +-+⋅>-+， 因为1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以141044x x +-+<+， 所以()()1344441xx x n +-+<-+令41x t -+=，则()3,1t ∈--， 此时不等式可化为44n t t ⎛⎫<- ⎪⎝⎭， 记()44h t t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 因为当()3,1t ∈--时，4y t=和y t =-均为减函数， 所以()h t 为减函数，故()2012,3h t ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭， 因为()n h t <恒成立，所以n 12≤-.【点睛】本题考查函数的奇偶性，还考查利用分离参数的方法求参数的范围，重点在于分离参数，难点在于构造新函数，通过新函数的值域解决问题，属中档题.。
江苏省常州市教育学会2019-2020年上学期学生期末学业水平检测高一数学试题(含解析)
江苏省常州市教育学会2019-2020学年上学期学生期末学业水平检测高一数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．若集合M＝{x|﹣2＜x＜1}，N＝{x|0≤x＜2}，则M∩N＝（）A．{x|﹣2＜x＜2} B．{x|0＜x＜1} C．{x|﹣2＜x≤0} D．{x|0≤x＜1}2．若扇形的圆心角为1rad，半径为2，则该扇形的面积为（）A．12B．1 C．2 D．43．log6432的值为（）A．12B．2 C．56D．654．已知角α的终边经过点P（4，﹣3），则tanα＝（）A．−34B．−43C．−35D．455．若sss(7s2+s)=35，则cosα＝（）A．−45B．−35C．45D．356．已知s=2√3，s=√3，c＝log23，则a，b，c的大小关系为（）A．b＞a＞c B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．b＞c＞a7．已知s1→，s2→是夹角为60°的两个单位向量，则s→=2s1→+s2→与s→=−3s1→+2s2→的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°8．函数s(s)=1−s s1+s s（e是自然对数的底数）的图象大致为（）A．B．C．D．9．人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级，强度为x的声音对应的等级为f（x）＝10lg s10−2(ss)．喷气式飞机起飞时，声音约为140dB，一般说话时，声音约为60dB，则喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的（ ）倍． A ．73B ．1073C ．8D ．10810．关于函数f （x ）＝cos x +|cos x |，有下列四个论述，其中正确的个数为（ ） ①f （x ）是偶函数； ②f （x ）在区间(−s2，0)上单调递增； ③f （x ）的最小正周期为2π； ④f （x ）的值域为[0，2]． A ．1B ．2C ．3D ．411．已知△ABC 是以C 为直角顶点且斜边长为2的等腰直角三角形，P 为△ABC 所在平面内一点，则ss →⋅(ss→+ss →)的最小值为（ ） A ．−12B ．−54C ．−18D ．−5212．已知函数s (s )={sss (s2s )−1，s ≥0，−sss s (−s )，s＜0，（a ＞0且a ≠1），若函数图象上关于原点对称的点至少有3对，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0，√66)B ．(√66，1)C ．(0，√55)D ．(√55，1)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．已知幂函数y ＝f （x ）的图象过点(2，√22)，则s (18)= ． 14．函数y ＝sin （12x +s3），x ∈[﹣2π，2π]的单调递增区间为 ．15．如图，在△ABC 中，ss →=13ss →，点E 为CD 的中点．设ss →=s →，ss →=s →，则ss →= （用s →，s →表示）．16．对于函数f （x ），g （x ），设m ∈{x |f （x ）＝0}，n ∈{x |g （x ）＝0}，若存在m ，n 使得|m ﹣n |＜1，则称f （x ）与g （x ）互为“近邻函数”．已知函数s (s )=sss 3(s +2)−s 1−s 与g （x ）＝a •4x﹣2x +1+2互为“近邻函数”，则实数a 的取值范围是 ．（e 是自然对数的底数）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）设P 1，P 2为直线l 上的两个不同的点，我们把向量s 1s 2→及与它平行的非零向量都称为直线l 的方向向量，把与直线l 垂直的向量称为直线l 的法向量．已知直线l 有两点A （2，﹣1），B （﹣1，3）．（1）若向量s→=(4，s )是直线l 的一个法向量，求实数m 的值； （2）若向量s→是直线l 的一个方向向量，且s →是单位向量，求向量s →的坐标． 18．（12分）记函数s (s )=√sss 0.5(4s −3)的定义域为集合A ，函数g （x ）＝cos x ﹣sin 2x +a （a ∈R ）的值域为集合B ．（1）若a ＝2，求（∁R A ）∩B ；（2）若A ∩B ＝A ，求实数a 的取值范围． 19．（12分）（1）求sss17s 6+sss (−16s 3)−sss (−4s3)的值； （2）已知α是第三象限角，化简，√sss 2s (1+1ssss)+sss 2s (1+ssss )． 20．（12分）已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x +6）＝f （x ），当x ∈（0，3）时，s (s )=sss s (s 2−s +1)．（1）当x ∈（﹣3，0）时，求f （x ）的解析式； （2）求函数f （x ）在[﹣3，3]上的零点构成的集合．21．（12分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）+B （其中A ，ω，φ，B 均为常数，A ＞0，ω＞0，|s |＜s2）的部分图象如图所示．（1）求函数f （x ）的解析式；（2）若先将函数f （x ）图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），再将图象向左平移m （m ＞0）个单位长度，得到函数g （x ）的图象，若g （x ）是偶函数，求实数m 的最小值．22．（12分）已知定义在R 上的函数s (s )=−4s +s4s +1+s是奇函数．（1）求a ，b 的值；（2）若关于x 的方程f （x ）+m ＝0有正根，求实数m 的取值范围；（3）当s ∈(12，1)时，不等式4x+mf （x ）﹣3＞0恒成立，求实数m 的取值范围．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．【详解详析】M ＝{x |﹣2＜x ＜1}，N ＝{x |0≤x ＜2}， ∴M ∩N ＝{x |0≤x ＜1}． 故选：D ．2．【详解详析】扇形的弧长l ＝R α＝1×2＝2， 则扇形的面积S =12lR =12×2×2＝2． 故选：C ．3．【详解详析】log 6432=ss32ss64=56．故选：C ．4．【详解详析】∵角α的终边经过点P （4，﹣3），∴x ＝4，y ＝﹣3，则tan α=ss =−34， 故选：A ．5．【详解详析】∵sss (7s2+s )=35，∴﹣cos α=35， ∴cos α=−35， 故选：B ．6．【详解详析】根据指数运算与对数运算的性质，s =2√3＞2，1＜s =√3＜2，1＜c ＝log 23＜2，设b =√3=sss 22√3，c ＝log 23， 由于函数m ＝log 2t 为增函数，则设s =2√3的值接近于4，所以2√3＞3． 所以a ＞b ＞c ． 故选：C ．7．【详解详析】∵已知s 1→，s 2→是夹角为60°的两个单位向量，∴s 1→•s 2→=1×1×cos60°=12，设s →=2s 1→+s 2→与s →=−3s 1→+2s 2→的夹角为θ，θ∈（0°，180°）， ∵|s →|=√(2s 1→+s 2→)2=√4s 1→2+4s 1→⋅s 2→+s 2→2=√7，|s →|=√(−3s 1→+2s 2→)2=√9s 1→2−12s 1→⋅s 2→+4s 2→2=√7，s →•s →=（2s 1→+s 2→）•（﹣3s 1→+2s 2→）＝﹣6s 1→2+s 1→•s 2→+2s 2→2=−6+12+2=−72， ∴cos θ=s→⋅s →|s→|⋅|s →|=−72√7⋅√7=−12，∴θ＝120°，故选：C ．8．【详解详析】当x ＞0时，f （x ）＜0恒成立，排除C ，D ，s (s )=1−s s1+s s=−(1+s s )+21+s s=−1+21+s s ，当x ＞0时，﹣1＜f （x ）＜0，即当x →+∞，f （x ）→﹣1，排除B ， 故选：A ．9．【详解详析】∵喷气式飞机起飞时，声音约为140dB ，∴10ss s 10−2=140，∴s10−2=1014，∴x ＝1012，∵一般说话时，声音约为60dB ，∴10ss s 10−2=60，∴s10−2=106，∴x ＝104，∴1012104=108，故选：D ．10．【详解详析】因为f （x ）＝cos x +|cos x |={2ssss，s ∈[2ss −s 2，2ss +s2]，s ∈s0，(2ss +s 2，2ss +3s2)，s ∈s，画出y ＝f （x ）的图象如右： ①，f （x ）是偶函数，正确； ②，f （x ）在区间(−s2，0)上单调递增，正确； ③，f （x ）的最小正周期为2π，正确； ④，f （x ）的值域为[0，2]，正确． 故选：D ．11．【详解详析】以BA 为x 轴，以BA 边上的高为y 轴建立坐标系， △ABC 是斜边为2的等腰直角三角形，且C 为直角顶点， 直角边BC =√2，则A （1，0），B （﹣1，0），C （ 0，1）， 设P （x ，y ），则 ss →+ss →=（﹣1﹣x ，﹣y ）+（﹣x ，1﹣y ）＝（﹣1﹣2x ，1﹣2y ）， ss →=（1﹣x ，﹣y ），∴ss→⋅(ss →+ss →)=2x 2﹣x ﹣1+2y 2﹣y ＝2（x −14）2+2（y −14）2−54，∴当x =14，y =14 时，则ss→⋅(ss →+ss →)取得最小值−54． 故选：B ．12．【详解详析】当x ＜0时，f （x ）＝﹣log a （﹣x ），则x ＞0时，函数g （x ）＝log a x 的图象与函数f （x ）的图象关于原点对称； 又x ≥0时，f （x ）＝cos （s2x ）﹣1， 画出函数f （x ）＝cos （s2x ）﹣1（x ≥0）和函数g （x ）＝log a x 的图象，如图所示；要使f （x ）＝cos （s2x ）﹣1（x ≥0）与g （x ）＝log a x （x ＞0）的图象至少有3个交点， 需使0＜a ＜1，且f （6）＜g （6）；即{0＜s＜1−2＜sss s 6，所以{0＜s＜1s −2＞6，解得{0＜s＜1−√66＜s＜√66，即0＜a ＜√66；所以a 的取值范围是（0，√66）． 故选：A ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13．【详解详析】设幂函数解析式为f （x ）＝x α， ∵幂函数y ＝f （x ）的图象过点(2，√22)，∴2s =√22，∴s =−12， ∴s (s )=s −12， ∴s (18)=2√2， 故答案为：2√2． 14．【详解详析】由−s 2+2k π≤12x +s3≤s 2+2k π（k ∈Z ）得−5s 3+4k π≤x ≤s3+4k π（k ∈Z ）， 当k ＝0时，得−5s3≤x ≤s3，[−5s 3，s 3]⊂[﹣2π，2π]，且仅当k ＝0时符合题意，∴函数y ＝sin （12x +s3），x ∈[﹣2π，2π]的单调递增区间是，[−5s 3，s3]， 故答案为：[−5s 3，s3]． 15．【详解详析】∵E 为CD 的中点，ss →=13ss →，ss →=s →，ss →=s →， ∴ss→=12(ss →+ss →) =−12ss→+16ss → =−12ss →+16(ss →−ss →) =16ss →−23ss → =16s →−23s →． 故答案为：16s →−23s →．16．【详解详析】函数s (s )=sss 3(s +2)−s 1−s =0，可得：log 3（x +2）＝e 1﹣x，y 1＝log 3（x +2），单调递增，y 2＝e1﹣x单调递减，如图所示，可得x ＝1为函数f （x ）的零点，由题意可得m ＝1，由题意要使若存在m ，n 使得|m ﹣n |＜1，则可得0＜n ＜2， 所以由题意可得g （x ）＝0解集为（0，2）． 而g （x ）＝0，即a •4x﹣2x +1+2＝0，可得：a =2s +1−24s=2⋅2s −2(2s )2=−2(2s )2+22s ，令t =12s ∈（14，1），所以a ＝﹣2t 2+2t ＝﹣2（t −12）2+12，t ∈(14，1)，则该二次函数开口向下，对称轴t =12∈(14，1)，由1−12＞12−14， 所以当t ＝1时，a ＝0为最小值，当t =12时a =12为最大值， 所以实数a 的取值范围是（0，12）， 故答案为：（0，12）．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【详解详析】（1）ss→=(−3，4)， 由题意，s→⋅ss →=0，即（﹣3）×4+4m ＝0，所以m ＝3． （2）由题意，s →与ss →平行，所以设s →=sss →（λ≠0）， 因为s→是单位向量，所以|s →|=|sss →|=|s |⋅√(−3)2+42=1， 解得s =±15，故s →=(−35，45)或s →=(35，−45)． 18．【详解详析】（1）由log 0.5（4x ﹣3）≥0，得0＜4x ﹣3≤1，解得34＜s ≤1，所以s =(34，1]．s (s )=ssss −sss 2s +s =ssss −(1−sss 2s )+s =sss 2s +ssss +s −1=(ssss +12)2+s −54，当a ＝2时，因为cos x ∈[﹣1，1]，所以s =[34，3]． 因为∁R A ＝（﹣∞，34]∪（1，+∞）， 所以（∁R A ）∩B ＝{34}∪（1，3）．（2）由s (s )=(ssss +12)2+s −54，cos x ∈[﹣1，1]， 得s =[s −54，s +1]， 因为A ∩B ＝A ，所以A ⊆B ，所以{s −54≤34s +1≥1，解得0≤a ≤2． 故实数a 的取值范围是[0，2]． 19．【详解详析】（1）∵sss17s6=sss5s 6=−√32，sss (−16s3)=−sss16s3=−sss (5s +s3)=ssss 3=√32，sss (−4s 3)=−sss4s 3=−sss s 3=−√3，∴sss17s 6+sss (−16s 3)−sss (−4s3)=−√32+√32+(−√3)=√3；（2）√sss 2s (1+1ssss)+sss 2s (1+ssss ) =√sss 2s (ssss +ssss ssss )+sss 2s (ssss +ssssssss)=√(ssss +ssss )2=|ssss +ssss |， ∵α是第三象限角，∴sin α＜0，cos α＜0，∴√sss 2s (1+1ssss )+sss 2s (1+ssss )=−sin α﹣cos α． 20．【详解详析】（1）当x ∈（﹣3，0）时，﹣x ∈（0，3），所以s (−s )=sss s [(−s )2−(−s )+1]=sss s (s 2+s +1)，因为f （x ）是定义在R 上的奇函数，s (s )=−s (−s )=−sss s (s 2+s +1)， 即当x ∈（﹣3，0）时，s (s )=−sss s (s 2+s +1)． （2）因为f （x ）是定义在R 上的奇函数，所以f （0）＝0， 且f （﹣3）＝﹣f （3），因为f （x +6）＝f （x ），所以f （﹣3）＝f （3），所以f （﹣3）＝f （3）＝0，当x ∈（0，3）时，令s (s )=sss s (s 2−s +1)=0，得x 2﹣x +1＝1，解得x ＝0（舍去），或x ＝1，即f （1）＝0，又因为f （x ）是奇函数，所以f （﹣1）＝﹣f （1）＝0，所以函数f （x ）在[﹣3，3]上的零点构成的集合为{﹣3，﹣1，0，1，3}．21．【详解详析】（1）由函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）+B 的图象知，{s +s =3−s +s =1，解得A ＝1，B ＝2；由32T =11s 12−（−7s 12）=3s2，解得T ＝π，所以ω=2s s=2，所以f （x ）＝sin （2x +φ）+2； 又s (11s12)=sss (11s6+s )+2=1，得11s6+s =2ss +3s2，k ∈Z ， 解得s =2ss −s 3，k ∈Z ； 因为|s |＜s2，所以s =−s3； 所以s (s )=sss (2s −s3)+2．（2）由题意知，g （x ）＝f （2（x +m ））+2＝sin[4（x +m ）−s3]+2＝sin （4x +4m −s3）+2， 因为g （x ）是偶函数，所以4s −s 3=ss +s 2，k ∈Z ，解得s =ss 4+5s24，k ∈Z ； 又因为m ＞0，所以当k ＝0时，m 取得最小值为5s24． 22．【详解详析】（1）由题意，f （0）＝0，解得b ＝1， 再由f （1）＝﹣f （﹣1），得−4+142+s=−−4−1+140+s，解得a ＝4，当a ＝4，b ＝1时，s (s )=−4s +14s +1+4，定义域为R ，s (−s )=−4−s +14−s +1+4=−1+4s4+4s +1=−s (s )，f （x ）为奇函数，所以a ＝4，b ＝1． （2）s =−s (s )=4s −14s +1+4=4s +1−24(4s +1)=14−12(4s+1)，当x ＞0时，4x+1＞2，0＜12(4s +1)＜14，所以0＜14−12(4s +1)＜14， 因为m ＝﹣f （x ）有正根，所以s ∈(0，14)． （3）由4x+mf （x ）﹣3＞0，得s ⋅−4s +14s 1+4＞3−4s ，江苏省常州市教育学会2019-2020年上学期学生期末学业水平检测高一数学试题（含解析） 11 / 11 因为s ∈(12，1)，所以−4s +14s +1+4＜0，所以s＜(3−4s )(4s +1+4)−4s +1 令﹣4x +1＝t ，则t ∈（﹣3，﹣1），此时不等式可化为s＜4(4s −s )，记ℎ(s )=4(4s −s )，因为当t ∈（﹣3，﹣1）时，s =4s 和y ＝﹣t 均为减函数，所以h （t ）为减函数，故ℎ(s )∈(−12，203)，因为m ＜h （t ）恒成立，所以m ≤﹣12．。
原卷+解析 江苏省常州市2019届高三上学期期末考试数学试题
常州市2018-2019学年第一学期期末试卷高三数学2019．1参考公式：样本数据12,,n x x x 的方差2211()ni i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑.柱体的体积V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．. 1.已知集合{0,1},{1,1}A B ==-，则A B =________.2.已知复数z 满足(1)1z i i +=-（i 是虚数单位），则复数z =________.3. 已知5位裁判给某运动员打出的分数为9.1,9.3,,9.2,9.4x ，且这5个分数的平均 数为9.3，则实数x =________.4. 一个算法的伪代码如右图所示，执行此算法，若输出的y 值为1，则输入的实数x 的 值为________.5.函数y =________.6.某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中选修2门课程，则该同学恰好选中1文1理的概率为________.7.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，直线20x y ++=经过双C 的焦点，则双曲线C 的渐近线方程为________.8. 已知圆锥SO ，过SO 的中点P 作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆 柱PO ，圆柱的下底面落在圆锥的底面上（如图），则圆柱PO 的体积与圆锥SO 的 体积的比值为________.9.已知正数,x y 满足1yx x+=，则1x x y +的最小值为________.10. 若直线0kx y k --=与曲线e x y =（e 是自然对数的底数）相切，则实数 k =________.11. 已知函数()sin()(0,)R f x x ωϕωϕ=+>∈是偶函数，点(1,0)是函数()y f x =图象的对称中心，则ω最小值为________.12. 平面内不共线的三点,,O A B ，满足||1,||2OA OB ==，点C 为线段AB 的中点，AOB ∠的平分线交线段AB 于D ，若|3||OC =，则||OD =________.13. 过原点的直线l 与圆221x y +=交于,P Q 两点，点A 是该圆与x 轴负半轴的交点，以AQ 为直径的圆与直线l 有异于Q 的交点N ，且直线AN 与直线AP 的斜率之积等于1，那么直线l 的方程为________.14. 数列{},{}n n a b 满足*1(1)()N n n n n b a a n +=+-∈，且数列{}nb 的前n 项和为2n ，已知数列{}n a n -的前2018项和为1，那么数列{}n a 的首项1a =________.OP （第8题）二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．演算步骤．．．．.．15. (本小题满分14分)如图，正三棱柱111ABC A B C -中，点,M N 分别是棱1,AB CC 的中点. 求证：（1）CM //平面1AB N ； （2）平面1A BN ⊥平面11AA B B .16. (本小题满分14分)已知ABC ∆中，,,a b c 分别为三个内角,,A B C的对边，且222sin b A c a =+=. (1) 求角A ；(2) 若tan tan 3B C =，且2a =，求ABC ∆的周长.ABCMN1A 1B 1C （第15题）已知，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22122:1x y C a b +=的焦点在椭圆22222:1y x C a b+=上，其中0a b >>，且点是椭圆12,C C 位于第一象限的交点.(1) 求椭圆12,C C 的标准方程；(2) 过y 轴上一点P 的直线l 与椭圆2C 相切，与椭圆1C 交于点,A B ，已知35PA PB =，求直线l 的斜率.18. (本小题满分16分)某公园要设计如图所示的景观窗格（其结构可以看成矩形在四个角处对称地截去四个全等的三角形所得，如图二中所示多边形ABCDEFGH ），整体设计方案要求:内部井字形的两根水平横轴 1.6AF BE ==米，两根竖轴 1.2CH DG ==米，记景观窗格的外框（如图二实线部分，轴和边框的粗细忽略不计）总长度为l 米.(1) 若23ABC π∠=，且两根横轴之间的距离为0.6米，求景观窗格的外框总长度；(2) 由于预算经费限制，景观窗格的外框总长度不超过5米，当景观窗格的面积（多边形ABCDEFGH 的面积）最大时，给出此景观窗格的设计方案中ABC ∠的大小与BC 的长度.A B C D E FG H 图一 图二 （第18题）已知数列{}n a 中，11a =，且*1340,N n n a a n +++=∈. (1) 求证：{1}n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2) 数列{}n a 中是否存在不同的三项按照一定顺序重新排列后，构成等差数列？若存在，求满足条件的项；若不存在，说明理由.20.(本小题满分16分)已知函数2()m x x =，函数()ln 1()R n x a x a =+∈.(1) 若2a =，求曲线()y n x =在点(1,(1))n 处的切线方程；(2) 若函数()()()f x m x n x =-有且只有一个零点，求实数a 的取值范围；(3) 若函数()()10e e x g x n x x =-+-≥对[1,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围.(e 是自然对数的底数，2.71828e ≈)数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知点(1,2)在矩阵12x A y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到的点(7,6)，求： （1）矩阵A ；（2）矩阵A 的特征值及对应的特征向量.B ．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系.直线l的参数方程为1,12x y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（为参数），曲线C的极坐标方程为)4πρθ=+，求直线l 被曲线C 所截的弦长.C ．选修4—5：不等式选讲（本小题满分10分）已知0,0a b >>，求证：1a b ++【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 22.如图，在空间直角坐标系O xyz -中，已知正四棱锥P ABCD -的高2OP =，点,B D 和,C A 分别在x 轴和y 轴上，且AB =M 是棱PC 的中点.(1) 求直线AM 与平面PAB 所成角的正弦值； (2) 求二面角A PB C --的余弦值.23. 是否存在实数,,a b c ，使得等式2(1)135246(2)(4)()4n n n n n an bn c +⋅⋅+⋅⋅++++=++对于一切正整数n 都成立？若存在，求出,,a b c 的值；若不存在，说明理由.常州市2019届高三上学期期末试卷数学参考公式：样本数据的方差，其中.柱体的体积，其中为柱体的底面积，为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上．.1.已知集合，则________.【答案】【解析】【分析】两个集合取交集可直接得到答案.【详解】集合，则故答案为：【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题.2.已知复数满足（是虚数单位），则复数________.【答案】【解析】【分析】利用复数的商的运算，分子分母同时乘以分母的共轭复数，化简即可得到答案.【详解】z==-i故答案为：-i【点睛】本题考查复数的商的运算，属于简单题.3.已知5位裁判给某运动员打出的分数为，且这5个分数的平均数为，则实数________.【答案】9.5【解析】【分析】根据平均数的定义列方程求出x的值．【详解】数据9.1，9.3，x，9.2，9.4的平均数为×（9.1+9.3+x+9.2+9.4）＝9.3，解得x＝9.5．故答案为：9.5．【点睛】本题考查平均数的定义与计算，是基础题．4.一个算法的伪代码如下图所示，执行此算法，若输出的值为，则输入的实数的值为________.【答案】3【解析】【分析】执行该算法后输出y＝，令y＝1求出对应x值即可．【详解】执行如图所示的算法知，该算法输出y＝当x≥1时，令y＝x2﹣2x﹣2＝1，解得x＝3或x＝﹣1（不合题意，舍去）；当x＜1时，令y＝＝1，此方程无解；综上，则输入的实数x的值为3．故答案为：3．【点睛】本题考查算法与应用问题，考查分段函数的应用问题，是基础题．5.函数的定义域为______．【答案】【解析】【分析】且解不等式即可。
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江苏常州教育学会学业水平监测2019高三试题-数学
2018年1月
【一】填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分。
请把答案填写在答题卡相应位置上。
1、集合{}{}
1,0,2,2a A B =-=，假设B A ⊆,那么实数a 的值为 。
2、假设
15
24z z z i
⋅+=+〔i 为虚数单位〕，那么复数z = 。
3、双曲线2
2
2
1(0)
9x y b b -=>的一条渐近线的倾斜角为3π，那么b 的值为 。
4、用分层抽样的方法从某高中学校学生中抽取一个容量为55的样本参加问卷调查，其中高
一年级、高二年级分别抽取10人、25人。
假设该校高三年级共有学生400人，那么该校高一和高二年级的学生总数为 人。
5、用3种不同的颜色给图中的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，那么3个矩形中有且仅有两个矩形颜色相同的概率是 。
6、函数
()cos()cos()
26
f x x x π
π=+⋅+的最小正周期为 。
7、在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2
2
221(0)x y a b a b
+=>>的右顶点为A ，上顶点为B ，M 为线段AB 的中点，假设30o MOA ∠=，那么该椭圆的离心率的值为 。
8、等比数列{}n a 的各均为正数，且21243723,4a a a a a +==，那么数列{}n a 的通项公式
为 。
9、设m R ∈，函数22()2(12)32f x x mx m x m =--+-+-，假设曲线()y f x =在0x =处的切线恒过定点P ，那么点P 的坐标为 。
〔1〕在同一直角坐标系中，函数(1)y f x =-与(1)y f x =-的图象关于直线0x =对称； 〔2〕假设(1)(1)f x f x -=-，那么函数()y f x =的图象关于直线1x =对称； 〔3〕假设(1)(1)f x f x +=-，那么函数()y f x =是周期函数；
〔4〕假设(1)(1)f x f x -=--，那么函数()y f x =的图象关于点〔0,0〕对称。
其中所有正确命题的序号是。
11、设函数()y f x =在R 内有定义，关于给定的正数k ，定义函数
(),(),
(),().
k f x f x k f x k f x k >⎧=⎨
≤⎩，
假设函数3
()log ||f x x =，那么当
13
k =
时，函数()k f x 的单调减区间为。
12、△ABC 中，AB 边上的高与AB 边的长相等，那么2AC
BC AB BC AC BC AC
++
⋅的最大值为。
13、函数()2()x f x x R =∈，且()()()f x g x h x =+，其中()g x 为奇函数，()h x 为偶函数。
假设不等式2()(2)0a g x h x ⋅+≥对任意[1,2]x ∈恒成立，那么实数a 的取值范围是。
14、,,a b c 均为正实数，记
11max ,,a M b bc c ac a b ⎧⎫
=+++⎨⎬
⎩⎭
，那么M 的最小值为。
【二】解答题：本大题共6小题，共90分。
请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出
文字说明、求证过程或演算步骤。
15.〔本小题总分值14分〕m 、x R ∈,向量(,),((1),)a x m b m x x =-=+。
〔1〕当0m >时，
假设
||||a b <，求x 的取值范围；
〔2〕假设1a b m ⋅>-对任意实数x 恒成立，求m 的取值
范围。
16、〔本小题总分值14分〕如图，斜三棱柱111A B C ABC -中，侧面11AAC C ⊥底面ABC ，
侧面1
1
AAC C 是菱形，
160o A AC ∠=，E 、F 分别是11A C 、AB 的中点。
求证：
〔1〕EF ∥平面
11BB C C ；
〔2〕平面CEF ⊥平面ABC 。
17、〔本小题总分值14分〕各项均为正数的数列
{}n a 的前n 项和为n S ，满足
2843()n n n S a a n N *=++∈，且127,,a a a 依次是等比数列{}n b 的前三项。
〔1〕求数列
{}n a 及
{}n b 的通项公式；〔2〕是否存在常数0a >且1a ≠，使得数列{}log ()n a n a b n N *-∈是
常数列？假设存在，求出a 的值；假设不存在，说明理由。
18.〔本小题总分值16分〕在平面直角坐标系xOy 中，圆221x y +=与x 轴正半轴的交点
为F ，AB 为该圆的一条弦，直线AB 的方程为x m =。
记以AB 为直径的圆为⊙C ，记以点F 为右焦点、短半轴长为b 〔0,b b >为常数〕的椭圆为D 。
〔1〕求⊙C 和椭圆D 的标准方程；〔2〕当1b =时，求证：椭圆D 上任意一点都不在⊙C 的内部；〔3〕点M 是椭圆D 的长轴上异于顶点的任意一点，过点M 且与x 轴不垂直的直线交椭圆D 于P 、Q 两点〔点P 在x 轴上方〕，点P 关于x 轴的对称点为N ，设直线QN 交x 轴于点L ，试判断OM OL ⋅是否为定值？并证明你的结论。
19、〔本小题总分值16分〕如图是一幅招贴画的示意图，其中ABCD 是边长为2a 的正方形，周围是四个全等的弓形。
O 为正方形的中心，G 为AD 的中点，点P 在直线OG 上，弧AD 是以P 为圆心、PA 为半径的圆的一部分，OG 的延长线交弧AD 于点H 。
设弧AD 的长为l ，
3,(,)
44
APH ππθθ∠=∈。
〔1〕求l 关于θ的函数关系式；〔2〕定义比值OP l
为招贴画的优美系数，当优美系数最大时，招贴画最优美。
证明：当角θ满足：tan()
4
πθθ=-时，招贴
画最优美。
20、〔本小题总分值16分〕设a 为实数，函数2()||f x x x a =-。
〔1〕当1a =时，求函数()f x 在区间[1,1]-上的最大值和最小值；〔2〕求函数()f x 的单调区间。
常州市教育学会学业水平监测高三数学Ⅱ〔附加题〕2018年1月
21.【选做题】此题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．， 假设多做，那么按作答的前两题评分。
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A 。
选修4-1：几何证明选讲〔本小题总分值10分〕
如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，延长BC 边上的高AD 交⊙O 于点E ，H 为△ABC 的垂心。
求证：DH=DE 。
B 。
选修4-2：矩阵与变换〔本小题总分值10分〕 求矩阵
2411M ⎡⎤=⎢⎥
-⎣⎦
的特征值及对应的特征向量。
C 。
选修4-4：坐标系与参数方程〔本小题总分值10分〕 在极坐标系中，O 为极点，求过圆C ：
6cos()
3
πρθ=-的圆心C 且与直线OC 垂直的直线l
的极坐标方程。
D 、选修4-5：不等式选讲〔本小题总分值10分〕
,x y 均为正实数，求证：1144x y +
≥1x y
+。
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出
文字说明、证明过程或演算步骤。
h ttp
22、斜率为(0)k k ≠的直线l 过抛物线2:4C y x =的焦点F 且交抛物线于A 、B 两点。
设线段AB 的中点为M 。
〔1〕求点M 的轨迹方程；〔2〕假设21k -<<-时，点M 到直线
:340l x y m '+-=〔m 为常数，
13m <
〕的距离总不小于15
，求m 的取值范围。
23、正项数列
{}n a 中，111,1()1n n n
a a
a n N a *
+==+
∈+。
用数学归纳法证明：
1()n n a a n N *+<∈。