22.1.3比例性质
沪科版数学九年级上册22.1《比例线段》教学设计3
沪科版数学九年级上册22.1《比例线段》教学设计3一. 教材分析《比例线段》是沪科版数学九年级上册第22.1节的内容。
本节课主要让学生了解比例线段的概念，掌握比例线段的性质和运用。
教材通过生活中的实际例子引入比例线段，使学生能够更好地理解和掌握比例线段的概念和性质。
教材还提供了丰富的练习题，帮助学生巩固所学知识。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了相似多边形的性质，对图形的相似性有一定的理解。
但是，对于比例线段的概念和性质，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要通过具体的例子和实际操作，让学生理解和掌握比例线段的概念和性质。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生了解比例线段的概念，掌握比例线段的性质和运用。
2.过程与方法：通过实际例子和操作，培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的合作意识和探究精神。
四. 教学重难点1.重点：比例线段的概念和性质。
2.难点：比例线段的运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实际例子引入比例线段，使学生更好地理解和掌握比例线段的概念和性质。
2.操作教学法：通过实际操作，培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。
3.小组合作学习：让学生在小组合作中交流、讨论，培养学生的合作意识和探究精神。
六. 教学准备1.教具：黑板、粉笔、多媒体设备。
2.学具：练习本、尺子、铅笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些实际生活中的比例线段例子，如相框、衣服等，引导学生观察和思考，引出比例线段的概念。
2.呈现（10分钟）呈现比例线段的定义和性质，通过具体的例子和图示，使学生理解和掌握比例线段的性质。
3.操练（10分钟）让学生分组进行实际操作，测量和比较线段的长度，验证比例线段的性质。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成教材中的练习题，巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）引导学生思考和讨论比例线段在实际生活中的应用，如建筑设计、制作工艺品等。
六年级上册数学课件-1.3 比的基本性质丨浙教版 (共12张PPT)
1 2
︰
5 6
(三)把下面比化简比,并求比值.你发现 了什么?
1 2
︰
5 6
=(
1 2
×6)︰(
5 6
×6)=3︰5
1 2
︰
5 6
=
1 2
÷
5 6
=
3 5
求比值与化简比：
方法
结果
求 比的前项除以后项 比
是一个数
值 化 1、应用比的基本性质 是一个比
简
比 2、用求比值的方法
在括号里填上适当的比，看哪一组 写得最快最多。
商不变的性质：在除法里，被除 数和除数，同时扩大或缩小相同 的倍数，商不变。
分数的基本性质：分数的 分子和分母，同时乘上或 同时除以，相同的数，（0 除外）分数的大小不变。
说一说：
12︰ 10=（12 × 3 ） ︰（10 × 3 ） = （12 ÷ 2 ） ︰（10 ÷ 2 ）
请听故事：
在长鹿农庄里，一只猴王给三组 猴子分桃子，第一组有2只猴分得3个 桃，第二组有4只猴分得6个桃子；第 三组有6只猴分得9个桃。第一组的猴 子就嚷开了：“不公平！不公平！我 们组的桃子最少！”同学们，你们认 为猴王分桃分配公平吗？
桃子数 猴子数 （个） （只） 第一组： 3 ︰ 2 =1.5(个/只) 第二组： 6 ︰ 4 =1.5(个/只)
（3× 2） （2× 2） 第三组： 9 ︰ 6 =1.5(个/只)
（3× 3） （2×3 ）
像“3︰2”这样的比是最简单的整数 比。 1、是一个比；
2、前项和后项必须都是整数；
3、前项和后项是互质数；
2 ︰3=(︰)=(︰)=······
你会做吗? （一）化简比：
22.1.3 二次函数的y=a(x-h)2+k的图像和性质2024-2025学年人教版数学九年级上册
的解析式为 = −. − ，则=____
(3) 若抛物线 = + 的最小值为 4，且经过点(1，5)，
则该抛物线的解析式是_________，将此抛物线向下平移
3
= +
= +
个单位，得到的新的抛物线的解析式是__________.
课堂小结
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
第3课时 二次函数的
= ( − ) +的图像和性质
第1节 二次函数 = + 的图像和性质
第2节 二次函数 = ( − ) 的图象和性质
第3节 二次函数 = ( − ) +的图象和性质
九年级上册•人教版
学习目标
中的三条抛物线分别表示桥上的三条钢梁,轴表示桥面,轴经过中
间抛物线的最高点,左右两条抛物线关于轴对称.经过测算,中间抛
物线的函数解析式为 =
−
+ .
你能计算出中间抛物线的最高点离轴的高度吗?
O
猎豹图书
x
获取新知
例1
在同一直角坐标系中，通过画出二次函数 = + ，
1 x2
y
;把抛物线
2 向右 平移 1 个单位就
得到抛物线y - 12（x-1）
2
(
− )
平移
的图象还可以由抛物线
2
个单位得到.
y
O
-4
-2
2
y - 1（x-1）
2
2
4 x
-2
2
y - 1（x+1）
2
-4
-6
-8
二次函数的图像和性质
22.1.3二次函数图像和性质一、教材分析（一）教材的地位与作用二次函数的图像与性质是在学生已经学习过一次函数、反比例函数的图像与性质的基础上进行的，它既是前面所学函数知识的拓展、升华，也为今后学习《二次函数的实际问题》、《二次函数与一元二次方程的联系》做好知识储备。
本章中的数形结合思想及建模思想也为学生高中阶段数学学习奠定基础。
(二)、教学目标1、知识与技能：①能够准确绘制二次函数图像；②通过类比，能归纳总结出y=a(x-h)²+k的图像性质。
2、过程与方法：①通过学生的探索活动，对二次函数性质进行研究，达到对二次函数性质的理解.②经历探索二次函数的图像的作法和性质的过程，培养学生的探索能力.3、情感态度和价值观目标：①经历观察、猜想、总结等数学活动过程，能有条理地、清晰地阐述自己的观点.②让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果.教学重难点重点：探索顶点式二次函数的图像特点和性质难点：顶点式二次函数的图像性质的得出过程。
二、学情分析（1）学生的年龄特点和认知特点初三年级的学生有自己的个人判断，因此，在教学过程中创设问题情景，留给他们观察思考的时间和空间.让他们经历获取知识的过程.（2）学生已具备的基本知识与技能九年级的学生在前面的学习过程中已经接触过一次函数和反比例函数的内容，且具有一定的数学分析、理解能力.因此，在本课中，应多让学生动手实践、自主探究，从而更好的体会到二次函数的特征.三、教法学法教法：引导式教学法、多媒体辅助教学法学法：自主学习、合作交流、类比归纳四、教学过程将抛物线y=x2向上平移1个单位，得到了一个新的函数图像（1）观察新函数图像，类比说出此函数的图像性质。
在同一直角坐标系中，画出二次函数y=x2 y = (x-3) 2、y = (x+2) 2的图像．通过列表，观察表格中的数据，你发现了什么？函数y=ax2(a≠0)和函数y=a(x-h)的图象形状相同，只是位置不同；函数y=a(x-h)2的图象可由y=ax2的图象练习：1、抛物线y=3(x+0.5)2可以看成由抛物线向平移个单位得到的。
22.1 比例线段
B
C
通过本节课的学习你学会了什么？你是如何获取 这些知识的？
１．通过归纳与猜想，探索“两条直线被一组平行线所截， 所得的对应线段成比例”的基本事实． ２．通过作平行线构造三角形，将平行线分线段成比例的基 本事实特殊化，得到一个推论． ３．掌握利用基本事实与推论求线段长度的方法．
如何不通过测量，运用所学知识，快速将一根绳 子分成两部分，使这两部分之比是2:3?
(1)比例的基本性质 如果 a：b =c：d ，那么ad =bc. 比例的内项乘积等于外项乘积. 如果 ad =bc，那么 a：b =c：d .
如果 a：b =b：c ，那么b2 =ac.
说明： (1)一个等积式可以改写成八个比例式 (比值各不相同)； (2)对调比例式的内项或外项， 比例式仍然成立 (比值变
第22章 相似形
22.1 比例线段
比例线段
四条线段 a、b、c、d 中， 如果 a：b=c：d， 那么这四条线段a、b、c、d 叫做 成比例的线段，
简称比例线段.
已知四条线段a、b、c、d ， a c 如果 = b d 或 a：b=c：d，
那么 a、b、c、d 叫做组成比例的项，线段 a、d 叫做
A
4.C点就是AB的黄金分割点. 一条线段有几个黄金分割点？ 两个
C
B
黄金分割与人体学、生物学、摄影艺术、建筑学 等许多领域广泛存在，让我们来尽情地欣赏黄金 分割的美吧！
黄金螺线
蜗牛的外壳呈黄金螺线形。
在现在生活中，黄金比例也一直被使用着，例如国旗、
明信片、报纸、邮票等等，其长宽之比均接近黃金比，
2
A B
D
a
E
b
C
F
c
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
【精编】六年级上册数学说课稿-1.3 比的基本性质丨浙教版
《比的基本性质》说课稿一、教材分析1、教材地位和作用：比的基本性质是在学生学习商不变性质、分数的基本性质、比的意义、比和除法的关系、比和分数的关系后接着学习的内容。
比的基本性质是一节概念课的教学，它跟分数的基本性质、商不变性质实际上是同一道理的。
所以本节课主要是处理新旧知识间的联系，在巩固旧知识的基础上进入到学习新知识。
教材内容渗透着事物之间是普遍联系和互相转化的辩证唯物主义观点。
学生理解并掌握比的基本性质，不但能加深对商不变性质、分数的基本性质、比的意义、比和分数、比和除法等知识的理解与掌握，而且也为以后学习比的应用，比例知识，正、反比例打好基础。
2、教学目标：①知识与技能：使学生理解和掌握比的基本性质，并能应用比的基本性质改变比的前项或者后项，初步掌握改变的方法，培养学生抽象概括和逻辑推理能力。
②过程与方法：运用联想猜测、验证、归纳、应用的方法，并结合小组讨论学习新知识。
③情感态度与价值观：渗透“事物之间是相互联系，发展变化的”辩证唯物主义观点。
3、教学重难点：重点：理解和掌握比的基本性质。
难点：掌握改变各比前项或者后项为一个特定数的方法。
二、学情分析在学习本节课内容之前，已经掌握了商不变的性质、分数的基本性质、比的意义以及比与除法、分数之间的关系。
这些知识是学习比的基本性质的重要基础。
本课教材首先联系比和除法、分数的关系，启发学生联想猜测比中有什么样的规律，通过验证自然地概括出比的基本性质。
接着，应用这个性质学习例1把比化成最简单的整数比。
考虑到本班学生对旧知识的再现困难、归纳概括能力等实际因素。
故把例1作为下一节课的内容来教学。
本节课在应用环节选取练习十一4、5题素材，进行改变比的前项或者后项，比较各比的大小来训练。
三、教学方法我是从学生已有知识背景出发，化难为易。
比的基本性质是在学生已有的比的意义、商不变性质和分数的基本性质等旧知识的基础上学习的。
因此，在学习比的基本性质前，首先引导学生回忆商不变性质及分数的基本性质，有利于同化新知，化新为旧。
22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k(重点练)-2020-2021学年九年级数学上册(解析版)
22.1.3二次函数y=a(x -h)2 +k （重点练)1．不论m 取任何实数，抛物线y=a(x+m)2+m(a≠0)的顶点都( )A ．在y=x 直线上B ．在直线y=－x 上C ．在x 轴上D ．在y 轴上【答案】B【解析】【分析】直接利用配方法可求顶点坐标为（-m ，m ），即可判断顶点所在直线．【详解】∵抛物线的解析式为y=a(x+m)2+m(a≠0)，∵顶点坐标为（-m ，m ），∵顶点在直线y=-x 上．故选B.【点评】本题主要考查了二次函数求抛物线的顶点坐标的方法．熟练掌握二次函数解析式顶点式：y=a （x -h ）2+k 的表达形式是解题关键.2．若所求的二次函数图象与抛物线2241y x x =--有相同的顶点，并且在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小，则所求二次函数的解析式为（ ）A ．225y x x =-+-B ．223(0)y ax ax a a =-+->C ．2245y x x =---D ．223(0)y ax ax a a =-+-<【答案】D【解析】【分析】先求解2y 241x x =--的顶点，则所求二次函数的顶点可知；再由增减性可判断所求二次函数的开口方向，由顶点和开口方向可进行判断.【详解】由二次函数顶点公式求解2241y x x =--顶点： 4x 124b a -=-=-=，24816y 348ac b a ---===-， 则顶点坐标为（1，-3），令所求函数为y=a(x -1)2-3，由题意可知a ＜0，展开所求函数得：223(0)y ax ax a a =-+-<故选择D.【点评】熟练运用二次函数顶点公式、理解函数增减性与开口方向的关系是解答本题的关键.3．若二次函数26y x mx =-+配方后为22y x k =-+（），则m ，k 的值分别为 A ．0，6B ．0，2C ．4，6D ．4，2【答案】D 【解析】∵22224444y x k x x k x x k =-+=-++=-++（）（），26y x mx =-+，∵22446x x k x mx -++=-+（），∵-4=-m ，4+k =6，∵m =4，k =2．故选D．4．已知y=ax2+k的图象上有三点A(-3,y1)，B(1，y2)，C(2，y3),且y2<y3<y1,则a的取值范围是( )A．a>0 B．a<0 C．a≥0 D．a≤0【答案】A【解析】∵点A（-3，y1），B（1，y2），C（2，y3）在抛物线y=ax2+k上，∵y1=a•（-3）2+k=9a+k，y2=a•12+k=a+k，y3=a•22+k=4a+k，∵y2＜y3＜y1，∵a+k＜4a+k＜9a+k，∵a＞0．故选A．5．在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数y＝a(x＋c)2的图象大致为()A．B．C．D．【答案】B【解析】选项A，由图象可知二次函数开口向下，可得a＜0，对称轴在y轴的右侧，可得c＜0；一次函数经过一、二、三象限，可得a＞0，c＞0，所以A选项错误；选项B，由图象可知二次函数开口向下，可得a＜0，对称轴在y轴的左侧，可得c＞0；一次函数经过一、二、四象限，可得a＞0，c＞0，所以B选项正确；选项C，由图象可知二次函数开口向上，可得a＞0，对称轴在y轴的左侧，可得c＞0；一次函数经过一、三、四象限，可得a＞0，c＜0，所以C选项错误；选项C，由图象可知二次函数开口向上，可得a＞0，对称轴在y轴的右侧，可得c＜0；一次函数经过一、二、四象限，可得a＞0，c＞0，所以D选项错误；故选B.【点评】本题考查了二次函数及一次函数的图象的性质，所用到的知识点：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．6．若一个函数图象的对称轴是y 轴，则该函数称为偶函数．那么在下列四个函数：∵y=2x ；∵y=6x；∵y=x 2；∵y=（x ﹣1）2+2中，属于偶函数的是______（只填序号）． 【答案】∵【解析】∵y=2x ，是正比例函数，函数图象的对称轴不是y 轴，错误； ∵y=6x是反比例函数，函数图象的对称轴不是y 轴，错误； ∵y=x 2是抛物线，对称轴是y 轴，是偶函数，正确；∵y=（x ﹣1）2+2对称轴是x=1，错误．故答案为∵．7．若函数2211()2m m y m x++=-是二次函数，则m ＝______．【答案】－1 【解析】解：由二次函数的定义可知：2102212m m m ⎧-≠⎪⎨⎪++=⎩，解得：m =-1．故答案为：-1． 【点评】本题考查二次函数的定义，要注意二次项系数不等于0的条件不能漏．8．将抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕其顶点旋转180°后得到抛物线的解析式为______；将抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕原点旋转180°后得到抛物线的解析式为______．【答案】y=2（x+1）2+1 y=2（x ﹣1）2﹣1【解析】（1）∵将抛物线绕其顶点旋转180°后新的抛物线的顶点和对称轴都和原抛物线相同，只有开口方向变了，∵将抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕其顶点旋转180°后得到抛物线的解析式为：22(1)1y x =++；（2）∵抛物线绕原点旋转180°后，新抛物线的顶点的坐标和原抛物线的顶点坐标关于原点对称，新抛物线对称轴和原抛物线的对称轴关于y 轴对称，开口方向和原来开口方向相反，∵将抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕原点旋转180°后得到的新抛物线的解析式为：2y 2(x 1)1=--.【点评】（1）抛物线2()y a x h k =-+关于其顶点对称的抛物线的解析式为：2()y a x h k =--+； （2）抛物线2()y a x h k =-+关于原点对称的抛物线的解析式：2()y a x h k =-+-.9．如图，在平面直角坐标系中，点A 是抛物线()2y=a x 3+k -与y 轴的交点，点B 是这条抛物线上的另一点，且AB∵x 轴，则以AB 为边的等边三角形ABC 的周长为 .【答案】18。
人教版数学九年级上册第22章 22.1.3二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质 同步练习(含答案
人教版数学九年级上册第22章22.1.3二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质同步练习一、单选题（共12题；共24分）1.抛物线（m是常数）的顶点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.a≠0，函数y= 与y=﹣ax2+a在同一直角坐标系中的大致图象可能是（）A. B. C. D.3.抛物线y=﹣（x+ ）2﹣3的顶点坐标是（）A. （，﹣3）B. （﹣，﹣3）C. （，3）D. （﹣，3）4.矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，点A的坐标为（2,1）.一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，这个点与点A重合，此时抛物线的函数表达式为y=x2，再次平移透明纸，使这个点与点C重合，则该抛物线的函数表达式变为（）A. y=x2+8x+14B. y=x2-8x+14C. y=x2+4x+3D. y=x2-4x+35.函数y=﹣21（x﹣2）2+5的顶点坐标为（）A. （2，5）B. （﹣2，5）C. （2，﹣5）D. （﹣2，-5）6.对于二次函数y=x2﹣2mx﹣3，下列结论错误的是（）A. 它的图象与x轴有两个交点B. 方程x2﹣2mx=3的两根之积为﹣3C. 它的图象的对称轴在y轴的右侧D. x＜m时，y随x的增大而减小7.抛物线y=2（x﹣3）2+4顶点坐标是（）A. （3，4）B. （﹣3，4）C. （3，﹣4）D. （2，4）8.对于函数y=﹣2（x﹣m）2的图象，下列说法不正确的是（）A. 开口向下B. 对称轴是x=mC. 最大值为0D. 与y轴不相交9.抛物线y=x2﹣2x+3 的对称轴为（）A. 直线x=﹣1B. 直线x=﹣2C. 直线x=1D. 直线x=210.二次函数y=x2+2x﹣3的顶点坐标是（）A. （﹣1，﹣3）B. （1，﹣4）C. （﹣1，﹣2）D. （﹣1，﹣4）11.抛物线y=3（x﹣5）2的顶点坐标是（）A. （5，0）B. （3，5）C. （-3，5）D. （﹣5，0）12.由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点（1，0）…求证：这个二次函数的图象关于直线x=2对称，根据现有信息，题中的二次函数具有的性质：（1 ）过点（3，0）（2 ）顶点是（1，﹣2）（3 ）在x轴上截得的线段的长度是2（4 ）c=3a正确的个数（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个二、填空题（共5题；共8分）13.当x=________时，二次函数y=x2﹣2x+6有最小值________．14.经过A（4，0），B（﹣2，0），C（0，3）三点的抛物线解析式是________．15.已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为（0，﹣1 ），那么这个二次函数的解析式可以是________．（只需写一个）16.对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}=1，因此，min{﹣，﹣}=________；若min{（x﹣1）2，x2}=1，则x=________．17.如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发，均以1cm/s 的速度向点B、C、D、A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为________ s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值是________ cm2．三、解答题（共2题；共10分）18.已知抛物线的顶点为（﹣1，2），且过点（2，1），求该抛物线的函数解析式．19.已知当x=2时，二次函数有最大值8，且图象过点（0，4），求此函数的关系式．四、综合题（共2题；共30分）20.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过点A（﹣2，0），B（2，2），与y轴交于点C．（1）求抛物线y=ax2+bx+2的函数表达式；（2）若点D在抛物线y=ax2+bx+2的对称轴上，求△ACD的周长的最小值；（3）在抛物线y=ax2+bx+2的对称轴上是否存在点P，使△ACP是直角三角形？若存在直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．21.如图1，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB=4，矩形OBDC的边CD=1，延长DC交抛物线于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PH⊥EO，垂足为H．设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值；（3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．答案解析部分一、单选题1.【答案】A【解析】【解答】解：∵y=x2-2x+m2+2.∴y=（x-1）2+m2+1.∴顶点坐标（1，m2+1）.∴顶点坐标在第一象限.故答案为A.【分析】根据配方法得出顶点坐标，从而判断出象限.2.【答案】D【解析】【解答】解：当a＞0时，函数y= 的图象位于一、三象限，y=﹣ax2+a的开口向下，交y轴的正半轴，没有符合的选项，当a＜0时，函数y= 的图象位于二、四象限，y=﹣ax2+a的开口向上，交y轴的负半轴，D选项符合；故选D．【分析】分a＞0和a＜0两种情况分类讨论即可确定正确的选项．3.【答案】B【解析】【解答】解：y=﹣（x+ ）2﹣3是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣，﹣3）．故选B．【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标．4.【答案】A【解析】【解答】解：如图，A（2,1），则可得C（-2，-1）.由A（2,1）到C（-2，-1），需要向左平移4个单位，向下平移2个单位，则抛物线的函数表达式为y=x2，经过平移变为y=（x+4）2-2= x2+8x+14，故选A.【分析】题中的意思就是将抛物线y=x2平移后，点A平移到了点C，由A的坐标不难得出C的坐标，由平移的性质可得点A怎样平移到点C，那么抛物线y=x2，就怎样平移到新的抛物线.5.【答案】A【解析】【解答】解：因为y=﹣21（x﹣2）2+5是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，5）；故选A．【分析】根据二次函数的顶点式直接求解．6.【答案】C【解析】【解答】解：A、∵b2﹣4ac=（2m）2+12=4m2+12＞0，∴二次函数的图象与x轴有两个交点，故此选项正确，不合题意；B、方程x2﹣2mx=3的两根之积为：=﹣3，故此选项正确，不合题意；C、m的值不能确定，故它的图象的对称轴位置无法确定，故此选项错误，符合题意；D、∵a=1＞0，对称轴x=m，∴x＜m时，y随x的增大而减小，故此选项正确，不合题意；故选：C．【分析】直接利用二次函数与x轴交点个数、二次函数的性质以及二次函数与方程之间关系分别分析得出答案．7.【答案】A【解析】【解答】解：y=2（x﹣3）2+4是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（3，4）．故选A．【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标．8.【答案】D【解析】【解答】解：对于函数y=﹣2（x﹣m）2的图象，∵a=﹣2＜0，∴开口向下，对称轴x=m，顶点坐标为（m，0），函数有最大值0，故A、B、C正确，故选D．【分析】根据二次函数的性质即可一一判断．9.【答案】C【解析】【解答】解：∵y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，∴对称轴为x=1，故选C．【分析】把抛物线化为顶点式可求得答案．10.【答案】D【解析】【解答】解：∵y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，∴抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣4），故选D．【分析】把二次函数化为顶点式可求得答案．11.【答案】A【解析】【解答】解：抛物线y=3（x﹣5）2的顶点坐标是（5，0）．故选A．【分析】根据顶点式解析式写出顶点坐标即可．12.【答案】B【解析】【解答】解：（1）因为图象过点（1，0），且对称轴是直线x=2，另一个对称点为（3，0），正确；（2）顶点的横坐标应为对称轴，本题的顶点坐标与已知对称轴矛盾，错误；（3）抛物线与x轴两交点为（1，0），（3，0），故在x轴上截得的线段长是2，正确；（4）图象过点（1，0），且对称轴是直线x=﹣=2时，则b=﹣4a，即a﹣4a+c=0，即可得出c=3a，正确．正确个数为3．故选B．【分析】分别利用二次函数的对称性以及二次函数图象上点的坐标性质进而得出答案．二、填空题13.【答案】1；5【解析】【解答】解：∵y=x2﹣2x+6=（x﹣1）2+5，∴当x=1时，二次函数y=x2﹣2x+6有最小值5．故答案为：1、5．【分析】把x2﹣2x+6化成（x﹣1）2+5，即可求出二次函数y=x2﹣2x+6的最小值是多少．14.【答案】y=﹣x2+ x+3【解析】【解答】解：根据题意设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4），把C（0，3）代入得：﹣8a=3，即a=﹣，则抛物线解析式为y=﹣（x+2）（x﹣4）=﹣x2+ x+3，故答案为y=﹣x2+ x+3．【分析】根据A与B坐标特点设出抛物线解析式为y=a（x﹣2）（x﹣4），把C坐标代入求出a的值，即可确定出解析式．15.【答案】y=2x2﹣1【解析】【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为（0，﹣1），∴该抛武线的解析式为y=ax2﹣1，又∵二次函数的图象开口向上，∴a＞0，∴这个二次函数的解析式可以是y=2x2﹣1，故答案为：y=2x2﹣1．【分析】根据顶点坐标知其解析式满足y=ax2﹣1，由开口向上知a＞0，据此写出一个即可．16.【答案】；2或﹣1【解析】【解答】解：min{﹣，﹣}=﹣，∵min{（x﹣1）2，x2}=1，∴当x＞0.5时，（x﹣1）2=1，x﹣1=±1，x﹣1=1，x﹣1=﹣1，解得：x1=2，x2=0（不合题意，舍去），当x≤0.5时，x2=1，解得：x1=1（不合题意，舍去），x2=﹣1，故答案为：；2或﹣1．【分析】首先理解题意，进而可得min{﹣，﹣}=﹣，min{（x﹣1）2，x2}=1时再分情况讨论，当x＞0.5时和x≤0.5时，进而可得答案．17.【答案】3；18【解析】【解答】解：设运动时间为t（0≤t≤6），则AE=t，AH=6﹣t，根据题意得：S四边形EFGH=S正方形ABCD﹣4S△AEH=6×6﹣4× t（6﹣t）=2t2﹣12t+36=2（t﹣3）2+18，∴当t=3时，四边形EFGH的面积取最小值，最小值为18．故答案为：3；18【分析】设运动时间为t（0≤t≤6），则AE=t，AH=6﹣t，由四边形EFGH的面积=正方形ABCD的面积﹣4个△AEH的面积，即可得出S四边形EFGH关于t的函数关系式，配方后即可得出结论．三、解答题18.【答案】解：∵抛物线的顶点为（﹣1，2），∴设抛物线的解析式为y=a（x+1）2+2，∵经过点（2，1），∴代入得：1=a（2+1）2+2，解得：a=﹣，即y=﹣（x+1）2+2【解析】【分析】设抛物线的解析式为y=a（x+1）2+2，把点（1，4）代入得出1=a（1+2）2+2，求出a即可．19.【答案】解：∵当x=2时，二次函数有最大值8，∴顶点坐标为（2，8）；设二次函数的解析式为y=a（x﹣2）2+8；将点（0，4）代入得，a=﹣1，∴二次函数的解析式为：y=﹣（x﹣2）2+8【解析】【分析】根据二次函数的对称轴为x=2，函数的最小值为8，可知其顶点坐标为（2，8）；因此本题可用顶点式设所求的二次函数解析式，然后将点（0，4）的坐标代入抛物线中即可求得函数的解析式．四、综合题20.【答案】（1）解：把点A（﹣2，0），B（2，2）代入抛物线y=ax2+bx+2中，，解得：，∴抛物线函数表达式为：y=﹣x2+ x+2（2）解：y=﹣x2+ x+2=﹣（x﹣1）2+ ；∴对称轴是：直线x=1，如图1，过B作BE⊥x轴于E，∵C（0，2），B（2，2），对称轴是：x=1，∴C与B关于x=1对称，∴CD=BD，连接AB交对称轴于点D，此时△ACD的周长最小，∵BE=2，AE=2+2=4，OC=2，OA=2，∴AB= =2 ，AC= =2 ，∴△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+BD+AD=AC+AB=2 +2 ；答：△ACD的周长的最小值是2 +2（3）解：存在，分两种情况：①当∠ACP=90°时，△ACP是直角三角形，如图2，过P作PD⊥y轴于D，设P（1，y），则△CGP∽△AOC，∴，∴，∴CG=1，∴OG=2﹣1=1，∴P（1，1）；②当∠CAP=90°时，△ACP是直角三角形，如图3，设P（1，y），则△PEA∽△AOC，∴，∴= ，∴PE=3，∴P（1，﹣3）；综上所述，△ACP是直角三角形时，点P的坐标为（1，1）或（1，﹣3）．【解析】【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的函数表达式；（2）由轴对称的最短路径得：因为B与C关于对称轴对称，所以连接AB交对称轴于点D，此时△ACD的周长最小，利用勾股定理求其三边相加即可；（3）存在，当A和C分别为直角顶点时，画出直角三角形，设P（1，y），根据三角形相似列比例式可得P的坐标．21.【答案】（1）解：∵矩形OBDC的边CD=1，∴OB=1，∵AB=4，∴OA=3，∴A（﹣3，0），B（1，0），把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+2；（2）解：在y=﹣x2﹣x+2中，令y=2可得2=﹣x2﹣x+2，解得x=0或x=﹣2，∴E（﹣2，2），∴直线OE解析式为y=﹣x，由题意可得P（m，﹣m2﹣m+2），∵PG∥y轴，∴G（m，﹣m），∵P在直线OE的上方，∴PG=﹣m2﹣m+2﹣（﹣m）=﹣m2﹣m+2=﹣（m+ ）2+ ，∵直线OE解析式为y=﹣x，∴∠PGH=∠COE=45°，∴l= PG= [﹣（m+ ）2+ ]=﹣（m+ ）2+ ，∴当m=﹣时，l有最大值，最大值为；（3）解：①当AC为平行四边形的边时，则有MN∥AC，且MN=AC，如图，过M作对称轴的垂线，垂足为F，设AC交对称轴于点L，则∠ALF=∠ACO=∠FNM，在△MFN和△AOC中∴△MFN≌△AOC（AAS），∴MF=AO=3，∴点M到对称轴的距离为3，又y=﹣x2﹣x+2，∴抛物线对称轴为x=﹣1，设M点坐标为（x，y），则|x+1|=3，解得x=2或x=﹣4，当x=2时，y=﹣，当x=﹣4时，y= ，∴M点坐标为（2，﹣）或（﹣4，﹣）；②当AC为对角线时，设AC的中点为K，∵A（﹣3，0），C（0，2），∴K（﹣，1），∵点N在对称轴上，∴点N的横坐标为﹣1，设M点横坐标为x，∴x+（﹣1）=2×（﹣）=﹣3，解得x=﹣2，此时y=2，∴M（﹣2，2）；综上可知点M的坐标为（2，﹣）或（﹣4，﹣）或（﹣2，2）．【解析】【分析】（1）由条件可求得A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）可先求得E点坐标，从而可求得直线OE解析式，可知∠PGH=45°，用m可表示出PG的长，从而可表示出l的长，再利用二次函数的性质可求得其最大值；（3）分AC为边和AC为对角线，当AC为边时，过M作对称轴的垂线，垂足为F，则可证得△MFN≌△AOC，可求得M到对称轴的距离，从而可求得M点的横坐标，可求得M点的坐标；当AC为对角线时，设AC的中点为K，可求得K的横坐标，从而可求得M的横坐标，代入抛物线解析式可求得M点坐标．。
22.1.3.2 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 初中数学人教版九年级上册教学课件
yO －2
－2 －4 －6
抛物线
开口方向 对称轴 顶点坐标
y 1 x 12
2 y 1 x2
2
y 1 x 12
2
向下 向下 向下
直线x＝－1 (－1，0) 直线x＝0 (0，0) 直线x＝1 (1，0)
2 4x
y 1 x 12
2
y 1 x2 2
探究二
二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的性质
2
2
对称轴和顶点．
解：列表．
x
··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ···
y 1 x 12
2
··· －2
1 2
0
1 2
－2 －4.5
－8
···
y 1 x 12
2
·ห้องสมุดไป่ตู้· －8 －4.5
－2
1 2
0
1 2
－2 ···
探究二
描点、连线，画出这两个 函数的图象．
－4
y 1 x 12
2
2
解：列表．
x
··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ···
y 1 x2 2
9 ··· 2
2
1 2
0
1 2
2
9
2
···
y 1 ( x 2)2 2
···
25 2
8
9 2
2
1 2
0
1 2 ···
探究一
描点、连线，画出这两 个函数的图象．
y x2 6 5 4 3 2 1
y 1 x2 2
y 1 ( x 2)2
若抛物线y＝3(x＋ 2 )2的图象上的三个点为A(－3 2，y1)，B(－1，y2)， C(0，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为__y_2_＜__y_3＜__y_1__．
22.1.3沪科版九年级《平行线分线段成比例定理》精编版
分析:运用平行线分线段成比例定理的推论分
别列出比例式求解.
A
解 ∵DE//BC
AD AE 4 2 AB AC 6 3
D
E
∵DF//AC
AD CF AB CB
BF
C
2 CF ,即CF 16
2020/1/13
38
3
BF 8 - 16 8 33
例题
已知：DE//BC, AB=15,AC=9, BD=4 . 求：AE=?
已知:如图,DE//BC,DE分别交AB、AC于点D、E
求证：AD AE DE AB AC BC
A
D
E
DE//BC EF//AB
2020/1/13
AD AE AB AC
AE BF AC BC
DE=BF
B
F
C
AD AE DE AB AC BC
探究 如图,直线l1,l2被三个平行平面,,所截, 直线l1与它们的交点分别为A,B,C,直线l2分别为 D,E,F AB 与 DE 相等吗?
A: —AA—BD ＝ —AACE— ( )B: —ABDD—＝ —AC—EE ( ) D
E
C:—AA—DC ＝ —AA—EB ( ) D: —AA—DE ＝ —AA—BC( )B
2、填空题:
E
如图:DE∥BC,
已知:
—AACE—
＝
—2 5
2020/1/13
求:
—AADB—
＝
—2 —5 —
A B
C D
B
2020/1/13
C
l3
B
C l3
平行线分线段成比例定理与平行线等分线段 定理有何联系？
22.1 第3课时 比例的性质和黄金分割
东方明珠塔，塔高 468 米. 设计师在 263 米处设计了一 个球体，使平直单调的塔身 变得丰富多彩，非常协调、 美观.
人的俊美，体现在头部及躯 干是否符合黄金分割.
美神维纳斯，她身体的各个 部位都暗藏比例 0.618，虽然 雕像残缺，却能仍让人叹服她 不可言喻的美．
黄金分割的魅力
Apple logo苹果中小叶子的高度和缺口的高度比是 0.6，而缺口的位置也和 黄金分割有着千丝万缕的关系。也许这里面还有更多黄金的分割的密码，这里
AB 2
2
概念学习
把一条线段分成两部分，使其中较长线段为全线
段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金
分割.分割点叫做这条线段的黄金分割点，比值 5 1
2
叫做黄金数. A
CB
想一想：如果把图中用虚线表示的矩形画成如图所示的
矩形 ABCD，以矩形 ABCD 的宽为边在其内部作正方形 AEFD，那么我们可以惊奇地发现 BE BC ， 点 E 是
就要同学们自己去发现。
当堂练习
1.(1)已知
a b
4 3
，那么
ab b
=
7 3
，a
b
b
=
1 3
.
(2)如果
a b
c d
e f
5 7
，那么
ace bd f
5 7
.
(3)如果
a b
c d
e f
2 5
ace
，那么 b d f
2 5
.
2.已知线段 AB，点 P 是它的黄金分割点，AP＞BP，
设以 AP 为边的正方形的面积为 S1，以 PB、AB 为边
那么 ad = bc 吗？ 在等式两边同时乘以 bd，得 ad = bc 由此可得到比例的基本性质：
沪科版九年级数学上册22.比例的性质(基本性质、合比性质)课件
成立的是( C )
A. a c
B. a b C. a d
a D.
b
bd dc cb cd
方法指点：比例式化为乘积式验证
变式：若3x 4 y,则 x y
4
3.
2.如 果 a 2
b 3
,则
a b
2 __3___ .
6
引导探究
ac bd (a,b,c,d 0)
b d 反比性质 ac
ab cd d c 更比性质 ba
15
强化补清
完成课69页练习1-5
16
AC AB
CE BD
AC AB 吗 ？ CE BD
12
引导探究
5
5.已知a 3，那么a b __2___, a __3___.
b2
b
ab
4
9
6.已知5x 4 y 0，则 x ___5___，x y __5___.
y
y
7.已知a b 2，则a : b _5_:_3__. b3
方法指点：比例的性质、代入法、设k法、特殊值法
13
目标升华
14
当堂诊学
1、若a:3=b:5，则a:b= 3:5 .
2、若 a 3 ,那么 a
3b2ab 534、.已知 x y z ,且2x y z 4, 2 35
则x y z 20 .
4、某图纸的比例尺是1:20，图上零件长32mm， 则加工的零件实际长度应是多少？
课题导入
ac bd
ad bc
1
22.1.3 比例的性质1
2
目标引领 1、掌握比例的基本性质、合比性质； 2、能利用比例的性质进行有关的计算.
3
独立自学
沪科版九上数学课件22.1.3 比例的性质
B．BC2＝AC·BA
AC 5 1 D. BC 2
知4－练
2 3
若点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，
5 1 则①AB＝ 2
AC；②AC＝3 5 AB；③AB∶AC＝
2
AC∶CB；④AC≈0.618AB.其中正确的有(
)
4
A．1个
B．2 个
C．3个
若
x y
和
x y 的值. y
）
2
(东营）
3
x 3 x y ,则 的值为（ y 4 x 4 5 7 A. 1 B. C. D. 7 4 4 x +y 7 x 如果 , 那么 的值是（ ） y 4 y
3 A. 4
2 B. 3
4 C. 3
3 D. 2
知3－讲
知识点
3 等比性质
an , 且b1 b2 bn
审美意义的比例数字，
上述比例是最能引起人 的美感的比例，因此线段分成两部分，使其中较长线段为全线
段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做 黄金分割． 2．分割点叫做线段的黄金分割点，比值
5 1 2
叫
做黄金数．一条线段的黄金分割点有两个．
3 7 7 b b b 3 解法一：由已知得 a b ，故 a +b = 4 = 4 4 7. 4 1 1 ab 3 bb b 4 4 4
a 3 ， 所以设a=3k,b=4k, 解法二：因为 b 4
则
a +b 3k 4k 7k = 7. a b 3k 4k k
a1 a2 等比性质：如果 b1 b2 a1 a2 那么 b1 b2 an a1 . bn b1
数学沪科版九年级(上册)22.1.3比例的性质
bd
b
d
ab b
a b
1
=2+1=3
a
b
b
c
d d
c
d d
c d
1
=2+1=3
同理，a - b b
c-d d
猜想：如果 a c ，写出你的结论.
bd
如果 a c ，那么 a b c d .
bd
b
d
证合明比猜性想质：
如如果果babadcdc ，，那那么么aabbbb cc dddd（(bb, d,.d 0)0)
AB AC
EC
证明：（1） AD AE ， AD DB AE EC
D
A E
DB EC
DB
EC
（合比性质），即
AB DB
AC EC
.
（2） AD AE ， DB EC ，
DB EC AD AE
B
C
DB
AD
EC
AE（合比性质），
AD
AE
即 AB
AD
AC AE
，即
AD AB
AE AC
变式：如图， △ABC，如果点D, E分别是
复习导入：
1.小学学的比例的基本性质是什么？ 内项之积等于外项之积
基本性质： 如果 a c ，那么ad bc(b, d 0)
bd 反之也成立，即 如果ad bc， 那么a c（b, d 0)
bd 特别地：如果 a:b = b:c ,那么b2=ac， 此时 b叫做a、c的比例中项
例： 从ad = bc 还可以得到那些比例?
1:5000的图纸上，量得一个 ABC的三边：
AC=3cm,BC=4cm,AB=5cm.这个图纸所反映的
22.1.3比例的性质.ppt
?
0)
a
c
m
a
bd
n
bd n b
18
2020/4/5
小试牛刀 1、如果
ac e5 ，那么
bd f 7
ace b d 。f
5 7
(b d f 0)
ace 5
bd f
7
a 2c 4e 5
b 2d 4 f
7
(b d f 0)
(b 2d 4 f 0)
2、已知 a : b : c，求 2 : 5 : 6
看谁想的多：已知 a·d=b·c，你能得到哪些比例
a b
=
式c 对调内项 d
a c
=
b d
d c
=
b a
对调内项
d b
=
c a
c a
=
d b
对调内项
c d
=
a b
b d
=
a c
对调内项
b a
=
d c
比例的更比性质
结论： (1)一个等积式可以改写成八个比例式
(2)对调比例式的内项或外项，比例式仍然成立
bd
反过来，如果 ad
bc ，那么
a b
c d
吗？与同伴
交流。 (b, d 0)
推理论证
(1)
ac bd
(2) ad=bc
6
bd 0
a b
bd
c d
bd
ad=bc
ad ÷bd =bc ÷bd
ac bd
比例的基本性质
可以合写成：
a c ad bc (b,d 0) bd
两内项之积等于两外项之积
1、比例线段的概念?
2018年秋沪科版九年级数学上册：22.1.3比例的性质导学设计
22.1 比例线段第3课时 比例的性质【学习目标】1、能熟记比例的基本性质和黄金分割．2、能够运用比例的性质进行简单的计算和证明.【学习重点】 比例的基本性质及其应用.【学习过程】一、 知识链接：1、小学里已经学过了比例的有关知识，下面请同学们口答下列问题：（1）如果a 与b 的比值和c 与d 的比值相等，应记为： 。
（2）已知2：3＝4：x ，则： 。
（3）注意：概念的有序性线段的比有顺序性，和相等吗？请举例说明。
成比例线段也有顺序性，如dc b a =，能说成是b 、a 、c 、d 成比例吗？请举例说明。
二、 预习交流：P66-68 1.比例的基本性质是： 。
请写出推理过程：∴在两边同乘以得，a b ⨯ =c d⨯ 2.合比性质:如果d c b a =，那么a b b += 请写出推理过程：∴在两边同时加上1得，a b + c d 两边分别通分得：思考：请仿照上面的方法，证明“如果d c b a =，那么dd c b b a -=-”． 3.等比性质：如果n n b a b a b a =⋯==2211，且b 12+…≠0,那么n n b b b a a a +⋯+++⋯++2121= 请写出推理过程：设n n b a b a b a =⋯==2211，得a 11k ，a 22k ，…，,代入 nn b b b a a a +⋯+++⋯++2121，得nn b b b a a a +⋯+++⋯++2121=4.黄金分割（1）如图，把线段 分成两条线段 和 （ ＞），且使CB AC= ，叫做称线段 被点C 黄金分割，点 C 叫做黄金分割点。
（2）若设1，那么是多少呢？如图：设线段的长度为1个单位，的长度为x 个单位，则的长度为 个单位。
由CB AC AC AB=，可得 由比例的基本性质得，即210x x +-=解上述方程：由于 ＝215-≈ 0. 618 ，所以 长为 1 的线段的黄金分割点，大约在距一个端点的 0. 618 处。
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作法:
1、经过点B作 BD⊥AB,
1 使BD AB . 2
2、连接AD,在DA上截取 DE=DB . 3、在AB上截取 AC=AE. 点C即为线段AB的黄金分割点.
练习
1、已知点P是线段MN的黄金分割点，
MPNP,且MP=( 5 -1)cm，求MN.
2、课本p69第7题
比例的性质(3)
巩固练习 a b 5 ab 1.已知 ,则 =_____. b 3 b 2．若
x yz x y z ，求 y 3 4 5
的值．
a c e 3．若 3 求 b d f
3a 2c e 3b 2d f
的值．
例题讲解
例2、在地图或工程图纸上，都标有比例 尺.比例尺就是图上长度与实际长度的比. 现有一张比例尺为1∶5000的图纸，量得一 这个图纸所反映的实际△A1B1C1的周长是多
个△ABC的三边：AC=3cm，BC=4cm，AB=5cm，
少？
例3、如图，已知线段AB的长度为a，点P是AB上一
AP 点，且使AB∶AP=AP∶BP.求线段AP的长和 AB 的值.
Hale Waihona Puke 把一条线段分成两部分，使其中较长线段为全线段 与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割. 分割点叫做这条线段的黄金分割点，比值叫黄金数。
证明线段ＡＢ上的点Ｃ是线段ＡＢ的黄金 分割点的方法：
A C B
１、 如果
AC
AB
=
BC AC
，那么点Ｃ是线段ＡＢ的
黄金分割点。（比例线段）
２、如果
BC = AC
AB 2 2 那么点Ｃ是线段ＡＢ的黄金分割点。（比值法）
√5 – 1
或
AC
=
√5 – 1
，
想用尺规作图找出黄金分割点吗？
用尺规作图找出黄金分割点