二阶微分方程周期边值问题解的存在性

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二阶非线性常微分方程边值问题解的存在性

引理２．设条件ＨＩ立．１成若存在常数Ｍ＞０使得（，＃ｔＹ，）∈ ｎ时ｌ（，ｚ ≤ Ｍ，边值问题，ｔＹ，）ｌ则（．）（．）至少存在一个解１１，１２证明求（．）和（．）的解等价于求Ｙ ∈ Ｃ［６１１１２ “，］使满足：
（．）［，］的下解，中仲（＝１１在ｎ６上其）
ｐ２，ｙＰ＞ｌ若存在卢ｔ ∈ ｃ［，］即（）Ｏｎｂ使；（）ｎ６， ∈ （，）
得（（））≤ ，，，）则称卢为方程（．）［６上的上解．（卢，（）１１在ｎ，］
在函数：，一（，，在［，上任何有界区间上可积，Ｖ（，）Ｅ和一∞ ＜ｚ＜＋［ ∞］ｎ ∞）使｛ｎｎ ∞］且对 ∈
ｃ有ｌ（，，）≤ １．满足：（）（； “）ｕｏ，Ｙｚｌ（ｚＩ）Ｉ “／ ’ ）＝∞，。的反函（ｄ其中为数．
＝
Ａ＋Ｉ（（，如）Ｉｃ一）出，
（１２．）（２２．）
其中ｃ满足
ＢＡｆ（一 — ＝ｃ
，如）
我言，积方（．有时常存且一设Ｈｚ＝１（ — Ｏ）其中Ｑｓ；们断当分程２）解，数ｃ在唯１（）ｚＱ）ｍ，（）
首先证Ｎ：［，］ｃ［，］连续的．在［，］Ｃｂｎ６一ｎ６是设ｎ６上一致有一Ｙ．一Ｙ，证一致有：往＾
— Ｎｙ，Ｎｙ）（）（）（．时有｛（．￡一）此

Banach空间二阶非线性常微分方程周期边值问题的解

＼ＪＪ，
Ｂｎｃ间．令ｃ，］｛：ａａｈ空ＵＥ一ＵＪ— ＥＩ续｝Ｕ连，则ｃｊ，］［Ｅ在范数ＩＩ一ｍａＩ（）ｌｘｌ￡ｌｕ下也是Ｂｎｃａａｈ空间．令ｃ［，一｛：。－Ｅ］ “ Ｊ— 厂
第４６卷２１００年第５期
Ｖ０１４２０Ｎｏ．５．６０１
西
北师范大学
学
报自然科学版）（
１３
ＪｕｎｌｏｒｈｓｏｒａｆＮｏｔｗｅｔＮｏｒａｎｉｅｓｔ（ｔｒｌｃｅｃ）ｍｌＵｖｒｉｙＮａｕａｉｎｅＳ
ｄｉｆｒｎｔａｑａｉｎｗｉｈｄｉｃｎｔｎｏｅｍｓｉｎｃｐａｅｒｂｔｉｄｆｅｅｉｌｅｕｔｏｔｓｏｉｕｓｔｒｎＢａａｈｓｃｓａｅｏａｎｅ．
ｒｓｌｉ；ｎｏｏｔｒｔｖｅｈｎｑＫｅｒｓ：ｉｃｅｓｎｅａｏｙｗｏｄｎｒａｉｇｏｐｒｔｒ；ｆｘｄｐｎｔｕ —ｏｗｅｏｕｔｏｎｓｍｏｔｎｅｉｅａｉｅｔｃｉｕｅｉｅｏｉ；ｐｌ
近年来，非线性常微分方程周期边值问题解的
一
存在性、唯一性和多解性一直是微分方程领域非常引人关注的问题Ｌ］１，但现有文献大都要求非线性
项ｆｔ连续．本文在Ｂｎｃ（，）ａａｈ空间中，就非线性项ｆ（，在较弱的连续性条件下，利用上下解方ｔ）法与增算子不动点定理，讨论二阶非线性常微分方程周期边值问题ｆ一（）一ｆｔ，ｔＪ一［，丁， … ￡（，） ∈ Ｏ２ｃ］

2m阶差分方程边值问题解的存在性

2m阶差分方程边值问题解的存在性周展;徐菲【摘要】讨论一类2m阶非线性差分方程边值问题.通过建立相应的变分框架,将边值问题的解转换为对应的非线性泛函的临界点.利用环绕定理,获得变分泛函临界点的存在性,进而得到所求边值问题解的存在性.最后给出例子说明本文的结论.【期刊名称】《广州大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(015)004【总页数】5页(P13-17)【关键词】2m阶差分方程;环绕定理;边值问题【作者】周展;徐菲【作者单位】广州大学数学与信息科学学院,广东广州510006;广州大学数学与交叉科学广东普通高校重点实验室,广东广州510006【正文语种】中文【中图分类】O175.8差分方程在诸如物理、生态、金融等领域有着广泛的应用.众所周知，差分方程是微分方程离散化, 它与相应的微分方程有很多共同的性质，但很多差分方程与其对应的微分方程有本质不同.因此，在过去几十年里，许多学者把注意力放在差分方程周期解的存在性、振动性、边值问题等方面，获得了丰富的结果，主要方法包括上下解方法、拓扑度理论、不动点理论等经典方法[1-4].2003 年开始，GUO等开始利用临界点理论研究二阶超线性差分方程的周期解和次调和解[3]，后来，这一方法被用来研究差分方程的边值问题.设R, Z分别表示实数集和整数集.对任给的a, b∈Z且a≤b,定义Z(a,b)={a,a+1,…,b}，Z(a)={a,a+1,…}.Δ为向前的差分算子，定义为Δun=un+1-un,Δkun=Δ(Δk-1un), k∈Z(2).设T∈Z(2), 在参考文献[5]中，ATICI 等讨论了如下差分方程的周期边值问题：这里f∈C(Z(1,T)×R,R).方程(1)作为一个二阶微分方程的离散模型，被应用于很多领域，如空气动力学、核物理等.运用上下解方法，ATICI等建立了边值问题(1)存在唯一解的条件.2014年, LIU等在参考文献[6]中利用临界点理论研究了四阶差分边值问题的解的存在性与不存在性条件.其中δ表示正奇数的比，f∈C(Z(1,T)×R, R).在物理学中方程(2)经常被用来模拟弹性梁的弯曲程度.2009年，ZOU等在参考文献[7] 中利用临界点理论讨论了以下2m阶差分方程：Δm(pn-mΔmun-m)+(-1)m+1f(n,un)=0,n∈Z(1,T)在边值条件下的解的存在情况.其中 T和m是任给的正整数,且T>m.然而，可以看到大部分参考文献[5-6,8-12]都是研究二阶或者四阶差分方程的, 对一般高阶差分方程的研究相对来说较少.受文献[4-7,13]的启发，本文讨论更一般的2m阶差分方程Δm(pn-mΔmun-m)+(-1)m+1Δ(g(Δun-1))+(-1)m+1f(n,un)=0, n∈Z(1,T)在边值条件下的解的存在性.其中g∈C(R, R), f(n,·)∈C(R,R)对任意n∈Z(1,T).设m, T∈Z(1)且T>m, 定义向量空间Ω={u={un}|un∈R,n∈Z(1-m,T+m)}，对任意的u,v∈Ω,a,b∈R有au+bv={aun+bvn}.E={u={un}∈Ω|u1-i=u1,uT+i=uT,i∈Z(1,m)}是Ω的一个线性子空间.易知E与RT是同构的，因此，在空间E上可以定义内积如下：由E上的内积可以诱导空间E上的范数：对任意的r≥1, 可以定义空间E上的另一种范数：因为E是有限维空间，所以存在2个常数c2(r)≥c1(r)>0使得c1(r)‖u‖2≤‖u‖r≤c2(r)‖u‖2,∀u∈E这里u.显然J ∈C1(E,R)，其中C1(E, R)表示Hilbert空间E上Fréchet可微且其Fréchet导数是连续的泛函集合.根据E的定义, 有f(n,un),∀n∈Z(1,T).因此，u是泛函J的一个临界点当且仅当u满足边值问题(5)～(6).记u={un}∈E，由于E与RT同构，所以u可写成u=(u1,u2,…,uT)*∈RT.那么存在T×T阶矩阵A 使得显然, A是一个半正定矩阵.令σ+(A)为A的所有正特征值构成的集合.定义}.设W, Y分别为A的0特征值和所有正特征值对应的特征向量空间,则W={(u1,u2,…,uT)*∈RT|ui=w,w∈R,i∈Z(1,T)},且下面介绍一些临界点理论的基本概念和基本结果.定义1 设S是一个实Banach空间, J∈C1(S,R)满足Palais-Smale条件 (简称P.S.条件)，如果对任给的{un}⊂S,{J(un)}有界，当n→∞时J′(un)→0蕴含{un}有收敛的子列.记Bρ={y∈S: ‖y‖<ρ}是以0为中心，半径为ρ的开球，‖y‖=ρ}为Bρ的边界.引理1(环绕定理[14]) 设S=S1⨁S2是一个Hilbert空间, 其中，S1是S的一个有限维的子空间. 若J∈C1(S,R)满足P.S.条件且满足：(1)存在常数σ>0和ρ>0使得J|∂Bρ∩S2≥σ;(2)存在e∈∂B1∩S2和常数R1>ρ使得J|∂Q≤0, 其中⨁{re|0<r<R1}.那么J存在临界值c≥σ, 这里表示∂Q上的恒等算子.定理1 如果以下假设都满足:(A1)f(n,v),g(v)是关于v连续, 且g(0)=0, G(v)≥0对v∈R成立，其中n∈Z(1,T); (A2)对任给的n∈Z(1-m,T),pn>0;(A3)当n∈Z(1,T),v∈R时F(n,v)≥0且(A4)存在正常数R2和β>2使得0<βF(n,v)≤vf(n,v), n∈Z(1,T),|v|≥R2；(A5)存在正常数R3和α<β使得0<sg(s)≤αG(s),n∈Z(1,T),|s|≥R3.那么边值问题(5)～(6)至少存在2个非平凡解.注1 由(A4)知，存在正常数使得,∀(n,v)∈Z(1,T)×R.注2 由(A5)、(A1)知，存在正常数得,∀s∈R.记p*=max{pn, n∈Z(1-m,T)},p*=min{pn, n∈Z(1-m, T)}.则p*≥p*>0.为了方便定理1的证明, 需要验证下面的引理.引理2 假设(A1)～(A5)都满足, 那么泛函J满足P.S.条件.证明设{u(l)}l∈Z(1)⊂E是一个P.S.序列，则存在常数C使得|J(u(l))|≤C,∀l∈Z(1).根据式(11)，注1和注2有‖a1c1β(β)‖‖‖u(l)‖α-‖注意到J(u(l))≥-C, 则由式(13)得‖‖u(l)‖2-‖C.因为β>max{2,α}, 所以存在常数N0>0使得‖u(l)‖≤N0,∀l∈N. 因此, {u(l)}是E 上的有界序列.因为E是有限维的, 所以 {u(l)}存在收敛的子列.即J满足P.S.条件. 定理1的证明由(A3)知f(n,0)=0, n∈Z(1,T), 结合(A1)中g(0)=0知0是 J的一个临界点, 且J(0)=0.式 (13)蕴含lim‖u‖→+∞J(u)=-∞, 因此，J在E上有上界，-J是强制的.记cmax为{J(u)}的上确界,对任给的c0>|cmax|, 存在一个常数t>0,使得|J(u)|>c0>|cmax|,‖u‖>t.根据J在E上的连续性, 存在使得即是J的一个临界点. 可断定cmax>0. 事实上, 由(A3)知存在和η>0使得F(n,u)≤ε|u|2,|u|≤η.对任给的u=(u1,u2,…,uT)*∈Y，‖u‖≤η有|un|≤η,n∈Z(1,T). 因此,‖u‖2-ε‖u‖2=‖u‖2令,∀u∈Y∩∂Bη有J(u)≥σ>0,所以cmax=supu∈EJ(u)≥σ>0, 故cmax对应的临界点是边值问题(5)～(6)的一个非平凡解. 要得到另一个非平凡解可以利用引理1.由引理2 知J满足P.S.条件.其次，令S2=Y,S1=W，则E=S1+S2.由式(14)知J|Y∩∂Bη≥σ，因此J满足引理1的第一个条件.为了验证J满足引理1 的第二个条件，设e∈∂B1∩Y，对任给的w∈W,r∈R,令u=re+w,有‖‖w‖β.定义,‖w‖β.可以得到,因此k1(r)，k2(w)有上界.注意到，则存在一个正常数R4>η使得J(u)≤0,∀u∈∂Q成立, 其中⨁{re|0<r<R4}.由引理1知J存在一个临界值c≥σ>0,其中}.令使得c. 如果,那么定理1的结论成立.不然,有,也即).令h=id,有.与上述方法类似，可以将e换成-e∈∂B1∩Y，同样存在一个常数R5>η使得∀u∈∂Q1,J(u)≤0成立，其中⨁{-re|0<r<R5}，再次利用引理1可以得到J存在一个临界值c′≥σ>0,其中}.同理，存在u′∈E使得J(u′)=c′，如果定理1的结论成立，否则有,即,也即).令h=id,有因为J|∂Q≤0与J|∂Q1≤0,所以u′一定是Q和Q1的内点，然而Q∩Q1⊂W且对任给的u∈W都有J(u)≤0成立，即c′≤0与c′>0矛盾，因此结论成立，定理1 得证.例1 设T为一正整数, 考虑四阶差分方程边值问题Δu-1=Δu0=0,ΔuT=ΔuT+1=0对照式(5), 有因此易知边值问题(15)～(16)满足条件(A1)～(A5), 其中α=4,β=6, 由定理1 知至少存在2个非平凡解.【相关文献】[1] AGARWAL R P, O′REGAN D. Singular discrete (n,p) boundary value problems[J]. Appl Math Lett, 1999, 12(8): 113-119.[2] AGARWAL R P, WONG F H. Upper and lower solutions method for higher-orderdiscrete boundary values problems[J]. Math Ineq Appl, 1998, 1(4): 551-557.[3] GUO Z M, YU J S. Existence of periodic and subharmonic solutions for second-order superlinear difference equations[J]. Sci China Ser A, 2003, 46(4): 506-515.[4] ZHOU Z, YU J S, CHEN Y M. Periodic solutions of a 2nth-order nonliner difference equation[J]. Sci China Math, 2010, 53(1): 41-50.[5] ATICI F M, CABADA A. Existence and uniqueness results for discrete second-order periodic boundary value problems[J]. Comput Math Appl, 2003, 45(6/9): 1417-1427. [6] LIU X, ZHANG Y B, SHI H P. Nonexistence and existence results for a class of fourth-order difference Neumann boundary value problems[J]. Indag Math, 2015, 26(1): 293-305.[7] ZOU Q R, WENG P X. Solutions of 2nth-order boundary value problem for difference equation via variational method[J]. Adv Differ Equ, 2009, Art. ID 730484,10pp.[8] 李龙图, 翁佩萱. 二阶泛函差分方程边值问题[J]. 华南师范大学学报:自然科学版,2003(3): 20-24.LI L T, WENG P X. Boundary value problems of second order functional difference equation[J]. J South China Normal Univ: Nat Sci Edi, 2003(3): 20-24.[9] 梁海华, 翁佩萱. 一类四阶差分边值问题解的存在性与临界点方法[J]. 高校应用数学学报, 2008, 23(1): 67-72.LIANG H H, WENG P X. Existence of solutions for a fourth-order difference boundary value problem and critical point method[J]. Appl Math J Chin Univ Ser A, 2008, 23(1): 67-72.[10]ZHENG B, ZHANG Q Q. Existence and multiplicity of solutions of second-order difference boundary value problems[J]. Act Appl Math, 2010, 110(1): 131-152.[11]LIU X, ZHANG Y B, SHI H P. Periodic solutions for fourth-order nonlinear functional difference equations[J]. Math Meth Appl Sci, 2015, 38(1): 1-10.[12]LIU X, ZHANG Y B, SHI H P. Nonexistence and existence results for a class of fourth-order difference Dirichlet boundary value problems[J]. Math Meth Appl Sci, 2015, 38(4): 691-700.[13]BONANNO G, CANDITO P, D′AUGI G. Variational methods on finite dimentional banach spaces and discrete problems[J]. Adv Nonlin Stud, 2014, 14(4): 915-939.[14]RABINOWITZ P H. Minimax methods in critical point theory with applications to differential equations[M]. USA: CBMS, American Mathematical Society, 1986.。

一类二阶积—微分方程两点边值问题解的存在性

考虑修正了的积一微分方程边值问题
ｆＭ【、 —（
ｕｏ（）＝“ １０（）＝
（，“），（¨ （（）０，）５ｔ，Ｅ
（７）
、
若 “ｔ（）∈ｃｏ１ｎＣ（，）方程（）［，］０１是７的解，我们下面证明（）Ｍｔ（）ｔ０Ｉ，ｔ≤ （）ｔ，］Ｅ［（）８
对ｔ０，］ ∈［１一致成立。则可得：ｕＡＭ即Ａ：ｖ，］ｃＯ１连续。，ｃｏ１一［，］下面证明Ａ（ｏ１）相对紧的。ｃ［，］是当 ∈ｃｏ１时，［，］因为
ｌａ）ｔｌ』Ｇ）ｓ（）（（）ｓ＜Ｇｔ）ｓ（）（ｕ（）ｄ＜ｓ１ｓｈｓｄ＜＋０（ｕ（）＝Ｉ（，－（，ｓ，．）ｓｄｌＪ（，Ｉ（，ｓ，Ｓ）ｓＩ』（一）（）ｓＯ厂ｓ５ｆｓ故Ａｃｏ１）（［，］有界。
＝
定理１设积微分方程边值问题（）１存在下解与上解卢，满足
下列条件：
ｔ）（，）×Ｒ× ，，：０１
满足
（）假设厂ｔ，）（，）Ｒ× 一连续，。（，：０１ × 尺ｕ即允许在厂ｔ０与ｔ１在＝＝点有奇性，（，，）且厂ｔ“ 关于是
第２２卷
第４期
长
春
大学学Fra bibliotek报Ｖ１２Ｎｏ４０．２．Ａｐ．２１ｒ０２
２１０２年４月

含导数项的二阶脉冲微分方程周期边值问题解的存在性

ｏｒｅｍｐｕｌｉｅｄｉｆｒｎｔａｑａｉｎｗｉｈｄｒｖｔｖｅｍｄｒｉｓｖｆｅｅｉｌｅｕｔｏｔｅｉａｉｅｔｒ
ＬＩＸｕ，ＺＨＯＵｅ－ｅＵＷｎｘｕ
（ｃｏｌｏａｈｍａｉｓＰｈｓｃｎｏｔｒｎｉｅｒｎＳｈｏｆＭｔｅｔｃ，ｙｉｓａｄＳｆｗａｅＥｇｎｅｉｇ，ＬａｚｏｉｏｏｇＵｎｖｒｉｙｎｈｕＪａｔｎｉｅｓｔ，
１预备知识
设Ｊ：．｛。ｔ，，｝Ｐ－Ｒ＝｛Ｊ，ｔ，。 … ｔ，Ｃ［＼Ｊ，３ＵＩＵ：
—
㈩
ＡｕＩ … 一ｕｆ）ｕｔ）一Ｊ（（）（一（７ｉ “ ），
ｋ＝ｌ’
一
Ｒ，（）￡连续，且 “ ￡存在，Ｕ） “ ￡在 ≠ｔ处（）（
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第４卷２０３０７年第２期
Ｖｏ．４３２０Ｎｏ１０７．２
西
北
师
范
大
学
学
报（自然科学版）
５
ＪｕｎｌｆＮｏｔｗｅｔＮｏｍａｉｅｓｔ（ｔｒｌｃｅｃ）ｏｒａｒｈｓｒｌＵｎｖｒｉｙＮａｕａｉｎｅｏＳ
“（０）：＝“（＝Ｔ），０）一 “ （Ｔ） “（
Ｒ在范数０ｌ —ｓｐｘ（）下成为Ｂｎｃ］ｌ尸ｃｕＩ￡ＩＩａａｈ空间，
解的存在性，其中，∈Ｃ［－Ｊ×Ｒ×Ｒ，３Ｊ（（）Ｒ，Ｕｔ） ∈ＣＲ，－（） ∈ＣＥＲｉＯｔ＜￡＜ …＜ＥＲｉＵ（），Ｒ，－＜ｌ２，

一类p—laplace方程边值问题解的存在性

一类p—laplace方程边值问题解的存在性理解一类p-Laplace方程边值问题解的存在性：1. p—Laplace方程简介p—Laplace方程是一种常见的椭圆型偏微分方程，它在空间变换、热传导中也有广泛的应用。

它的解由p—Laplace方程决定：∂u/∂x+∂v/∂y=u^(p-2)f，其中p是大于等于1的任意常数，u，v是满足边界条件的函数，x，y是定义域内的坐标，f是常函数。

2. 一类p—Laplace方程边值问题的存在性一类p—Laplace方程的边值问题的存在性取决于其常数p的大小。

如果p大于1，那么该方程有唯一解；如果p小于1，那么该方程可能有无穷多解；如果p=1，则该方程常有唯一解，又有可能出现无穷多解。

3. p—Laplace方程边值问题解的存在性判定判定一类p—Laplace方程边值问题解的存在性，要仔细检查边界条件是否符合两个条件：（1）任意的边界函数都必须满足给定边界条件；（2）边界条件必须对所有满足方程组调和函数，如成反馈函数、空间变换函数等来施加有效制约。

缺一不可，边值问题解才能有存在性。

4. p＞1时一类p—Laplace方程边值问题解的存在性当p大于1时，p—Laplace方程边值问题解有唯一解。

这是因为二阶偏微分方程组只能有一个解， p大于1时，椭圆型经ene变换可以转化为二阶偏微分方程组，根据拓扑的余定理，二阶偏微分方程组必有唯一解，故这时候方程解有存在性。

5. p＜1时一类p-Laplace方程边值问题解的存在性当p小于1时，p—Laplace方程边值问题解可能有无穷多解。

这是因为当p＜1时，椭圆型经ene变换不能转化为二阶偏微分方程组，根据拓扑的余定理，任一条件的任何解，如满足给定的边界条件，都是经en变换回解法所得，因此这种情况下该方程解有无穷多解的存在性。

6. p=1时一类p—Laplace方程边值问题解的存在性当p等于1时，p—Laplace方程边值问题解存在性有两种情形：（1）如果边界条件符合两个条件（前面讲到），有唯一解；（2）另一种情形是，如果边界条件不完全符合两个条件，则可能出现无穷多解。

数学中的微分方程解析

数学中的微分方程解析微分方程是数学中一种重要的工具，它描述了自然界和社会现象中的变化规律。

微分方程作为数学分析的一个分支，解析地研究了方程的性质和解的存在性与唯一性，为我们提供了解决实际问题的有效方法。

本文将从微分方程的定义、分类、解法及应用等方面进行解析。

一、微分方程的定义微分方程是描述未知函数及其导数之间关系的方程。

通常将未知函数用字母y表示，以自变量x为变量，方程中涉及到的导数用dy/dx或y'表示。

微分方程包含了函数的导数，所以它比普通的代数方程更复杂。

二、微分方程的分类微分方程根据方程中出现的未知函数和导数的阶数进行分类。

常见的分类包括：1. 一阶微分方程：方程中只包含一阶导数。

2. 二阶微分方程：方程中包含了一阶和二阶导数。

3. 高阶微分方程：方程中包含了高于二阶的导数。

4. 常微分方程：方程中只涉及一个自变量。

5. 偏微分方程：方程中涉及多个自变量。

三、微分方程的解法微分方程的解析解和数值解是两种常见的解法。

解析解是通过一系列推理和运算求得的解，它通常用公式或函数表达出来。

而数值解是通过数值计算方法得到的，具有一定的误差。

1. 一阶微分方程的解法一阶微分方程常见的解法有可分离变量法、齐次方程法、常系数线性方程法等。

可分离变量法是将微分方程中的变量分离到方程两边，并进行积分，最后得到解。

齐次方程法则将方程化为恰当方程或可化为恰当方程的形式，再进行求解。

常系数线性方程法适用于方程的系数为常数的情况，通过特征根和待定系数等方法求得解析解。

2. 二阶微分方程的解法二阶微分方程的解法比一阶微分方程更复杂一些，常见的解法有特征根法、待定系数法和变量变换法等。

特征根法是通过求解方程的特征方程，得到特征根和特征向量，进而得到方程的通解。

待定系数法则是根据方程的形式，猜测一个形式与未知常数，并通过代入原方程求解常数。

变量变换法则是通过引入新的变量，将二阶微分方程转化为一阶微分方程进行求解。

四、微分方程的应用微分方程广泛应用于物理、工程、生物等领域，为解决实际问题提供了重要的数学工具。

带非齐次边界条件的二阶常微分方程边值问题正解的存在性

Ｖ０．１２５Ｎｏ．４
０ｅ．２１ｔ０２
文章编号：０４８２（０２０－２１０１０－８０２１）４０５－５－
带非齐次边界条件的二阶常微分方程边值问题正解的存在性
谢春杰
（西北师范大学数学与统计学院，甘肃兰州７０７）３００
（ ¨ ｄ＝１ｙｓｃ）ｃＡＩ㈩州＋
由（）知ｐ＋６Ｈ１：＝ｃ＋伽＞０则，
ｄｙ）Ｍ＋・Ｊ（Ｄｓ＋］
解的Ａ。Ｂ值如下：
算子．引理１１设Ｐ为Ｂｎｃ间Ｘ中的体锥，［ａａｈ空０
摘要：运用一凸算子理论研究了带非齐次边界条件的二阶常微分方程边值问题ｆＰｔ（）＋ｈｔＩ）＝０ｔ∈ （，）（（）ｔ）（）（厂，０１，ＬｕＯａ（）一６（）（）＝［ｐＯ０］十Ａ，Ｃ（）－（）（）＝卢ＭＵ１Ｉ１１－［］＋
（（），ｔ）Ｐｔ１（）＋Ｙｔ２（）＝０ｔ∈ （，）（），０１，５
１预备知识
本文总假定：
（） ∈ Ｃ［，］（Ｈ１Ｐ（０１，０，＋∞ ）， ∈ Ｃ（０，）ｈ［
１，０＋∞），］［，）并且（）０１￡在［，］的任意子区间
的文献研究了非齐次边值问题
，特别地，文
［，］分别考虑了方程（）在非齐次边界条件８９１
Ｍ０（）＝０Ｍ１ ∑ｂｔ和ｕ（）＝０，（）＝ｉｔｌ）＋（０，

一类二阶Dirichlet边值问题正解的存在性

定理１设ａ，Ｅ（，，Ｅｃ（ｏ１ ×Ｒ＋，＋）在ｉ和ｉ两种情况之一下，＞０ｂ０）ｆＦ，］Ｒ．）ｉ）问题（）少有一正；）ｏ／／
ｉ，＞１ｍ，，１Ｍ．ｉｏ／厂＜／）
李永祥在文［］１中运用不动点指数理论对四阶周期边值问题正解的存在性进行了深刻的研究．受此启发，本文用类似的方法研究Ｄｉｃｌ边值问题（）ｒｈｅｉｔ１正解的存在性．少人研究过Ｄｒｈｅ边值问题，们讨不ｉｃｌｔｉ他
［键词］二阶Ｄｉｉｈｅ边值问题；解；；动点指数关ｒｃｌｔ正锥不［章编号］１７ — ０７２１）１００ — ３［图分类号］Ｏ１７９［献标识码］Ａ文６２２２（０２０ — ０１０中７．１文
１主要结论
本文主要研究如下二阶Ｄｉｃｌ边值问题ｒｈｅｉｔ
』ｕＪｕ（＋一（）￡［］－Ｕ２口６“ 厂，， ∈ ０，－ａ一）－ “ ，
Ｉ（）一 “ １ “０（）一Ｏ
（１）
‘
正解的存在性，中ａ０ｂ０丌，Ｅ，］其＞，∈（，）ｆ：ｏ１ ×Ｒ＋Ｒ一＋连续．
Ｍ — ｍａＧ（，）ｓｍ一３ｍａＧ（，）ｓ３ｍｉｓｂ＞０ｘＩｔ５ｄ，ｏｘＩｔｓｄ，ｏ— ｎｉｔｎ，

二阶微分方程周期边值问题解的存在性

其中Ｊ＝【ｏ，２７ｃ】，０＝＜ｆ１＜ｆ２＜ … ＜＜＋ｌ＝２ｒｔ，Ｍ＞０，厂 ∈ ｃ（Ｊ × Ｒ，Ｒ）， ∈ ｃ（Ｒ，Ｒ），
∈ ｃ（，Ｒ），Ｒ＝【ｏ，。。），令Ｊ：，ｔ２， … ，，，）。
●
（ｘ（））
ｒ ●●，、 ●●
～ｒ
ｒ＝２ｍ（ｅ一１１。其中Ｇ（，）＝｛三二：：三：：：三；三：，
通过计算很容易得到
２ｅ ”
＝
，
Ｌ
）
，，－●●●ｌ
、
的条件下，得到该问题唯一解的存在性，得到了新的结果，推广和改进了文献中的相关结论。同时，举例说明了
所得结果的应用。
关键词：二阶方程；周期边值问题；唯一解
ＤＯｈｌ０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７４－５０４３．２０１３．０１．０２０
、ｌ，，
，Ｊ ●
＼
／ｆ ■
Ｘ
一
，Ｊ● ＼
）ｌ＝
∈ ｔｋ，＋），ｋ ∈ ｛０１一，７｝．
，
，ｆ●ｌ＼
，Ｊ ●Ｉ、
Ｘ
、Ｉ－，
、ｌ，
、ｌ● ，
由式（３）可得
、ｌ，
、ＩＩ，
（）＝（），ｉ＝１，２， … ，ｚ｝。
假设下式成立

二阶隐式微分方程四点积分边值问题解的存在性

陇南师范高等专科学校数学系甘肃成县742500摘要本文研究了一类二阶隐式微分方程四点积分边值问题解的存在性利用上下解方法和迭代技巧获得到了解的存在性结果
二阶隐式微分方程四点积分边值问题解的存在性
姚晓斌
（陇南师范高等专科学校数学系，甘肃成县７４２５００）
２预备知识
（ＨＩ），：［Ｏ，１］× Ｒ×Ｒ＿＋Ｒ是连续的；（）存在，Ｌ＞０，使得对任意的／／，。，ｔ，。，２，
Ｉ１２ ∈ Ｒ
卜（￡）
ｔ，／ｔ１，１）一ｔ，ｌ，１２）
［摘要】本文研究了一类二阶隐式微分方程四点积分边值问题解的存在性，利用上下解方法和迭代技巧获得到了解
的存在性结果．
［关键词］隐式常微分方程；上下解方法；迭代技巧；存在性【中图分类号】Ｏ１７５．８【文献标识码】Ａ［文章编号］１６７１— ５３３０（２０１３）０２— ００２１ —０３
证明由于 ” （ｔ）≥ （ｔ），０＜ｔ＜１，结合
解的存在性，其中０≤ ＜叼＜１，０＜ａ（一）＜２Ｅｃ（［０，１］，Ｒ，Ｒ）．
边值条件易得如下不等式
（ｆ）≤ （￡）．证明分为如下五部分：第一步问题（１）可转化为
，（ｔ）， “ ，，（￡））一Ｍｔ），ｏ＜ｔ＜１，
叶
Ｈ
．

二阶非线性积分-微分方周期边值问题

（十ＮＴ（）了Ｍ．ＩＳ）ｆ一、ｈ（）
’
依据引理１方程（），４等价于算子方程：
（）５
为了研究方程（）我们先考虑线性厨期１，
收稿日期：０９０ —８２０ —９２
作者简介：晓东（９２，，肃临洮人．读硕士研究生．蒲１８～）男甘在主要研究方向为非线性泛函分析．
ＥｍｉｐｘｏｏｇＯ＠１３ｃｔ — ａｌｕｉｄｎ４６６．ｏｌｌａｌ
第２卷第ｌ９期
２１００年１月
数学教学研究
ｒ一（）￡一（）ＮＳｕｔ一（）Ｓｐ０。）））
２ｓ￣ｌｎｆｉ
因Ｎ＜为Ｎ因为＜
不含Ｓｕ时建立了类似的结果．他们都要求但
Ｃ［，］满足ｚＯ，
１ｏ（（ｃ “）Ｎｕ）∈ ｆ）一）（），）Ｓ∞）￡Ｍ（十 “，ｔｔ一 “ Ｊ甜，ｏ ≤ （，（ ≥ （（．
，
‘ ３
其。Ｍ（）。Ｎｉ中＜＜。≤ ＜ｆ￣，２ｎｌ２ｓ
｛）“（ｕ），￡）：ｔＪｆｏ）Ｍ（一（。．，（一ｕ）ｈ）∈ 一：（ “，ｏ “，ｃ）（（（ｕ
‘ ２
引Ｌ设ｏ＜ｆ，则对ｖ ∈ 理１。＜Ｍ＼１Ｃ，Ｕｈ
“ Ｔｈ，垒Ｍ且
文献
（）线２存．文的主要目的是讨论二阶非线ＣＩ，性周期边值问题（）在唯一解本１丁：［，一ｃ［，］）Ｍｃｏ］ｏ叫为线性全连续

二阶非线性积-微分方程边值问题正解的存在性与多解性

ｔ∈ Ｅ，］ｏ１，
｛ｏ一（一“０一“（一０ “ ）１）１（）（）
来描述，文献［ — ２．见１］若一一，Ｇ（，）为线性二阶边值问题设ｔｓ
一
‘ ３ ’
（）４
（）一ｈｆ，ＥＥ，］ “ ０￡（）ｔｏ１；（）一Ｕ（）：０１
ｆ厂，， “（），（“ ）ｓ））ｓｓ（（ｓｄ
所以Ｉｌ
Ｉ≤ Ｉｆ５“ ｓ，Ｓ）ｓ）ｓｌ（，（）（ｕ（）ｄ．ｓ
当￡寺，］因为Ｇｔ） ∈［１时，（ｓ≥专ｓｏ１，，，ＥＥ，按上式有ｓ］
（ｕ（）一ＩＧ（，）ｓ“ ｓ，Ｓ）ｓ）ｓＱ）￡ｔｓｆ（，（）（ｕ（）ｄ ≥
２１０１年９月
二阶非线性积一分方程微
边值问题正解的存在性与多解性
钱媛媛，永祥李
（北师范大学数学与信息科学学院，肃兰州７０７）西甘３００
摘
要：非线性二阶积一分方程边值问题正解的存在性进行了研究，用锥压缩与锥拉伸不动点定对微利
引理１Ｑ（Ｐ，Ｑ：Ｐ）且Ｐ— Ｐ为全连续映射．
证明对ＶＥＰ，Ｑ的定义，ＶｔＥ，］有按对 ∈ ｏ１，（）ｆ（）＝ｌＧ（，）（，（）（）ｓ）ｓｔｆｓ乱ｓ，（）ｄ ≤
Ｊ０
称为方程（）的正解是指ＵＥＣＥ，］满足方程（）当ｔ（，）时 “ ￡＞０１。ｏ１，１且Ｏ１Ｅ（）．

二阶微分方程周期边值问题解的存在性

ＩＩ（，＞［，７４｛Ｉ “ （）］ — ＩＩ “ ≥＜）７一Ｉ “ （）－＋ —ｆｕｕｄｕｕ “ “ ７ｔＩＴ１＋ｌＩ７ｄ—ｌ（，７ｔｌｌ一Ｉ（）ｄｔ，１ｔｕ）ｄ≥ ｉｉｕｕｔｕｕｌｆＴｕ “ ｆ７７，
则连续可且有‘ “，一Ｉ＋“ ＋ “ １一ｆｕｖｄ，， ∈Ｈ．题（）＂微，（）＞［ＩＩＴ（）］ｔｕ则问１的７周期ｒ，ｔ） “ －
收稿日期：ｏ０１－８２１２０
作者简介：志宏（９６）女，西吕梁人，袁１８，山山西大学数学科学学院在读硕士研究生，主要从事非线性泛函分析
ｃ＞ｏ处的渐近性和山路定理，到非平凡解的多重性结果．得［键词］周期解；］１７０７（０ｌ）１００９０［中图分类号］Ｏ１７９１［献标识码］Ａ文６２２２２１０５３７．文
（）２（）３
２
≤ ｌｉｆ）ｓｌｓｐ ’ ） ≤ ３ｉｎｆ（／ ≤ ｉｕＪ（／ｍｍ；
这一为Ｉ里ｌ
ｌ
－
ｕ
＇￣
一
ｕ＝
Ｏ，ｆｔ
』
，
，
ｕ
Ｏ［Ｔ］，Ｔ）（的最小特征值，三１０１三是对应的特征函数．三
４个非平凡解的结果；［］Ｌｕ等利用＿文１，ｉ厂在０Ｃ处的渐近性和山路定理，论了ｐＬｐａｉｎ问题在，＜Ｄ讨－ａｌｃａＤｒｈｅ边值条件下解的存在性．ｉｃｌｔｉ受此启发，本文我们将综合运用［］［］１，２中的方法，研究问题（）１．

二阶微分方程组边值问题解的存在性

二阶微分方程组边值问题解的存在性引言：微分方程是数学探究中的一个重要分支，广泛应用于物理学、工程学等领域。

对于二阶微分方程组来说，探究其边值问题解的存在性具有重要意义。

本文将从理论和实例两个方面探讨。

一、理论基础1. 边值问题的定义对于二阶微分方程组，我们可以给出边值条件，通常包括一阶导数和二阶导数的边界条件。

边值问题的目标是找到满足这些条件的解。

2. 确定性理论通过分析微分方程组的性质和边界条件的要求，可以得到存在性的定理。

其中，广义极值原理是常用的分析工具之一。

这个原理告知我们，在特定条件下，方程组解的存在和非存在性是由边界条件的详尽形式所决定的。

3. 上下解的构造对于一些特殊的微分方程组，我们可以使用上下解的构造方法来证明边值问题解的存在性。

这种方法涉及到将原方程组转化为帮助方程组的形式，并通过比较上下解的大小干系来确定解的存在性。

二、实例分析思量如下的边值问题：$\begin{cases}y''(t) + p(t)y'(t) + q(t)y(t) = 0\\y(0) = y(T) = 0\end{cases}$我们假设$p(t)$和$q(t)$在闭区间$[0,T]$上连续。

为了证明边值问题的解的存在性，我们起首将其转化为帮助方程组：$\begin{cases}z''(t) + p(t)z'(t) + q(t)z(t) = 0\\z(0) = z(T) = 0\end{cases}$其中$z(t)$是未知函数。

依据广义极值原理，我们期望找到帮助方程组的上解$u(t)$和下解$v(t)$，满足条件$u(t)\geq z(t) \geq v(t)$。

为了构造上解和下解，我们思量方程$y''(t) + p(t)y'(t) + q(t)y(t) = 0$的震荡特征。

令$\lambda_1$和$\lambda_2$为方程特征方程的两个根，由于$p(t)$和$q(t)$在闭区间$[0,T]$上连续，我们可以得到两个实数$\mu_1$和$\mu_2$，使得$\mu_1 < \lambda_1 < \mu_2$。

二阶脉冲微分方程m-点边值问题正解的存在性

（四川大学锦城学院基础课部数学教研室，四川成都６１３）１７１
摘要：讨论了一类非线性项与（）ｔ有关的二阶脉冲微分方程的ｍ一点边值问题，在对非线性项不
作连续性要求，且，是一个Ｑｌ — ａｔ６ｄｒＩ鹊ｉＣｒｈｏｏｙ函数的条件下，利用锥拉伸与锥压缩不动点定理获得该问题正ａ解的存在性定理．作为应用，出了实例．给关键词：ｍ一点脉冲微分方程；解；正锥拉伸与锥压缩不动点定理文献标识码：Ａ文章编号：６３—１７（０２００１０１７６０２１｝２－０６— ８中圈分类号：１５８Ｏ７．
ＩＩ＝Ｐ（），Ｉｌａｌｘ，｝ＩＩ￡ｌＩＩｘＩｌＩＪ．ｘＩｘ＝ｍＩｌＩＩｘ
显然，ＣＪＲ在ｌ下构成一个ＢｎｃＰ［，］Ｉ．ａａｈ空间，ｃ［，］ｌ１Ｐ ’＿在１Ｉ，．下构成一个Ｂｎｃ空间．ａａｈ
笔者在对非线性项不作连续性假设的条件下，运用锥拉伸与锥压缩不动点定理讨论了二阶脉冲微分
分别表示（）ｔ的右极限和左极限，（，（分别表示（）ｔ＝ｔ处的右极限和左极限．ｔ在＝ｔ处￡）￡）ｔ在
方程ｍ一点边值问题存在正解的充分条件，获得了正解的存在性结果．从所研究的方程形式来讲，笔者所讨论的方程要比文献［４—１］１５更具有普遍性，在某种程度上改进和推广了文献［５一ｌ］的结果．１６
，
一
（＝１￡）：ｉｍ
－
！－ — ：

二阶微分方程无穷边值问题的存在性

【
＋，（）＝０， ∈ ［）０，＋
（）＝０，（０＋∞）＝０
，
（１
．
１）
正解存在性．
２引理及预备知识
设Ｊ＝［，０＋∞）Ｊ＝［，］０，，ｏ０ｂｃ［＋∞ ），Ｂ［，］＝｛ ∈ Ｃ ‘Ｊ，ｕｔｌ＜ ∞ ）Ｃ ‘Ｊ，：［，］ｓｐｌ，ｌ（）ｌ．
中图分类号：１．Ｏ７８５
文献标识码：Ａ
文章编号：０１３７２０）３０５４１－３（０８０－２．０５００
１引
言
近年来大家对非线性微分方程边值正解存在性的研究产生了浓厚的兴趣，且取得了丰硕的成果 ¨ 并刮
．
Ｉ．ＯＩＯ
．．ＩＩＯＯ
（．）２１
我们使用下列引理与条件：
（） ∈ｃｊ ‘Ｊ，ｆｒ（）ｒ≤口ｓ＋（ｌｌｉｆ［× ，ｌ，ｒｄｌ（６ｓｌｌ，］）））， ∈Ｂ［，，（，ｓ在ＪＣＪ］其中口ｓ６）上Ｊｒｒｒ）Ｊ）ｌ（ｄ（ｄ，）ｓｊｌ（）ｄｌ：，）ｒ≤ ：，）Ｊ（ｄｌｒｒｒ：ｒｒｄｌ，ｄｓｌ
张克梅（－ａ：ｋ９＠１６ｔｍ，教授，士，Ｅｍｉｚｍ０２．ｏ）女，ｌｈ博主要研究方向：非线性泛函分析．
维普资讯
曲阜师范大学学报（自然科学版）
２００８年
对（．）１１积分可得（）：（）ｓ（）ｄ由（）ｏｔ０一』，ｓ）ｓ０＝知．

二阶常微分方程解存在的问题

二阶常微分方程解的存在问题分析摘要本文首先介绍了二阶常系数齐次线性微分方程的一般解法——特征方程法及二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法，然后又介绍了一些可降阶的微分方程类型。

接着，讨论了二阶变系数微分方程的幂级数解法并论述了如何利用变量代换法将某些变系数方程化为常系数方程。

另外，本文还介绍了求解初值问题的另一种方法——拉普拉斯变换法。

最后，给出了二阶微分方程的存在唯一性定理的证明以及它在科学研究、工程技术以及数学建模中解决实际问题的一些应用。

1.引言1.1常微分方程的发展过程与研究途径二阶线性微分方程是常微分方程中一类很重要的方程。

这不仅是因为其一般理论已经研究地比较清楚，而且还因为它是研究非线性微分方程的基础，在工程技术和自然科学中有着广泛的应用。

在科学研究、工程技术中，常常需要将某些实际问题转化为二阶常微分方程问题。

因此，研究不同类型的二阶常微分方程的求解方法及探讨其解的存在唯一性问题是十分重要的。

常微分方程已有悠久的历史，而且继续保持着进一步发展的活力，主要原因是它的根源深扎在各种实际问题之中。

牛顿最早采用数学方法研究二体问题，其中需要求解的运动方程就是常微分方程。

他把两个物体都理想化为质点，得到3个未知函数的3个二阶方程组，经简单计算证明，可化为平面问题，即两个未知函数的两个二阶微分方程组。

用现在叫做“首次积分”的办法，完全解决了它的求解问题。

17世纪就提出了弹性问题，这类问题导致悬链线方程、振动弦的方程等等。

20世纪30年代直至现在，是常微分方程各个领城迅速发展、形成各自相对独立的而又紧密联在一起的分支学科的时期。

1927－1945年间定性理论的研究主要是跟无线电技术联系在一起的。

第二次世界大战期间由于通讯等方面的要求越来越高，大大地激发了对无线电技术的研究，特别是非线性振动理论的研究得到了迅速的发展。

40年代后数学家们的注意力主要集中在抽象动力系统的拓扑特征, 如闭轨是否存在、结构是否稳定等, 对于二维系统已证明可以通过奇点及一些特殊的闭轨和集合来判断结构稳定性与否；而对于一般系统这个问题尚未解决。

几类二阶常微分方程组边值问题解的存在性研究的开题报告

几类二阶常微分方程组边值问题解的存在性研究的开题报告题目：几类二阶常微分方程组边值问题解的存在性研究一、研究背景与意义常微分方程是数学中非常重要的一个分支，其应用涵盖了物理、工程、生物等领域的许多问题。

二阶常微分方程组作为常微分方程中较为复杂的一类，其解的存在性和唯一性一直是研究的重点和难点。

为了更好地探究二阶常微分方程组边值问题的解的存在性和唯一性，进一步提高数学领域对实际问题的解决能力，本文将对几类二阶常微分方程组边值问题的解的存在性进行研究。

二、研究内容和方法本文将主要研究以下几类二阶常微分方程组边值问题的解的存在性：1. 带变系数的常微分方程组边值问题；2. 具有非线性项的常微分方程组边值问题；3. 带分数阶导数的常微分方程组边值问题。

对上述不同类型的边值问题，将采用不同的数学方法和技巧进行求解。

主要方法将包括变分法、上下解法、格里昂函数法等。

三、研究计划1. 对二阶常微分方程组边值问题的基本概念和解的存在性定理进行深入掌握。

2. 系统整理和总结二阶常微分方程组边值问题解的求解方法，包括变分法、上下解法、格里昂函数法等。

3. 根据不同类型的二阶常微分方程组边值问题，采用相应的方法和技巧求解。

4. 进行数值模拟，验证所得解的存在性和唯一性。

5. 对研究结果进行总结、归纳，并提出相应的应用建议。

四、研究成果和意义本文主要研究几类二阶常微分方程组边值问题的解的存在性和唯一性，进一步丰富了常微分方程相关的理论体系。

同时，本文提供了不同类型边值问题的求解方法和技巧，为实际问题的解决提供了参考。

此外，通过对研究结果进行数值模拟，对解的存在性进行验证，从而更加可靠地推广研究成果。

总之，本文的研究结果对于提高数学领域对实际问题的解决能力，推动科学技术、工程技术、生命科学等领域的发展都具有重要的意义。

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)]
∀
sin 2 M 1- cos 2 M
cosM t+ sinM t #
-
1 2M
[ m !( 0)
-m
!( 2
) ],
即
k#
-
M 2
[ m !(
0)
-
m
!(
2
) ]。
取
第 2期
周媛媛: 二阶微分方程周期边值问题解的存在性
1 61
!m
=
M 2
[m
!(
0)
-
m
!(
2
) ],
则当 m !( 0 ) > m !( 2 )时, 由 - m ∃M 2m + !m 即得
第 20卷第 2期 2010年 3月
黑龙江科技学院学报 Journa l o fH e ilong jiang Institute o f Science & T echnology
文章编号: 1671- 0118( 2010) 01- 0159- 05
V o.l 20 N o. 2 M ar. 2010
0, !( 0) ∃ !( 2 ),
!=
e2
M M-
[ 1
!( 2
)-
!( 0) ],
!( 0) < !( 2 ),
0, !( 0) # !( 2 ),
!=
M e2 M -
[ 1
!( 0) -
!( 2 ) ],
!( 0) > !( 2 ),
此时称 ( t )、 ( t )为周期边值问题 ( 1 )、( 2) 的下上解。
K ey w ords: per iodic boundary va lue problem s; upper and low er solutions; upper and low er so lu tions in reversed order
微分方程周期解问题一直受到人们的广泛关注 [ 1- 5] 。文中主要讨论二阶微分方程周期边值
黑龙江科技学院学报
第 20卷
!( 0) ∃ !( 2 ), ( 4)
!( 0) # !( 2 ), 以及上下解为反向形式: ( t) # ( t), t I 的情形, 关于周期边值问题 ( 1)、( 2)解的存在性讨论, 相关工作不多见, 主要因为此时的比较定理的建立较为困难。一些学者 [ 7- 8] 利用单调迭代法证明了在上下
- m ( t) # - Mm ( t)。
( 5)
反设存在 t0
[ 0, 2
],
使得
m
(
t0
)
=
m t
axm
I
(
t)
>
0。若 t0 ( 0, 2 ), 则 m !( t0 ) = 0, m ( t0 ) # 0, 但由
式 ( 5)有 - m ( t0 ) # - Mm ( t0 ) < 0, 矛盾。
问题
- u = f ( t, u ), t I= [ 0, 2 ],
( 1)
u (0) = u ( 2 ), ( 2)
u!( 0) = u!( 2 ), 解的存在性, 其中 f C [ I ∀ R , R ]。对这个问题的
研究方法较多, 其中利用上下解是常见的重要方法之一 [ 6- 8] , 但以往的上下解定义的形式多为: - ( t) # f ( t, ( t) ), ( 0) = ( 2 ), !( 0) ∃ !( 2 ), - ( t) ∃f ( t, ( t) ), ( 0) = ( 2 ), !( 0) # !( 2 ),
证明考察周期边值问题 ( 1)、( 2)的修正问题
- u = f ( t, h ( t, u ) ) - M [ u- h( t, u) ], t I,
二阶微分方程周期边值问题解的存在性
周媛媛
(徐州师范大学科文学院, 江苏徐州 221116)
摘要: 为了进一步研究常微分方程周期边值问题解的存在性, 利用上下解方法和拓扑度理
论, 构造两个新的比较定理, 获得了二阶常微分方程周期边值问题解的两个存在性定理, 此时仅要
求 f 满足比单边 L ipsch itz条件更弱的条件, 且不要求上下解满足常见的边界条件。对于上下解反
得 - m ∃M 2m + !m, t I, 其中, 常数 M
0,
1 4
,
0, m !( 0) # m !( 2 ), !m = M [m !( 0) - m !( 2 ) ], m !( 0) > m !( 2 ),
2 则在 I上 m ( t) # 0。
证明 ( 1 )当 m !( 0) # m !( 2 ) 时, 有 - m ∃ M 2m, 由引理 2, 即得 m ( t) # 0, t I。
C1= 2
1 M ( e2 M
% [m !( 2 - 1)
) - m !( 0) ] > 0,
C2= 2
e2 M M ( e2 M
% [m !( 2 - 1)
) - m !( 0) ] > 0。
对方程 - m + Mm = k, k < 0, 易求得其解为
m ( t)
= C1
e M t + C 2 e-
( 2)当 m !( 0) > m !( 2 )时, 对方程 m + M 2m = 0,
易求得其解为 m ( t) = C1 cosM t + C2 sinM t ( > 0), 其中,
C1 =
2M
sin 2 M ( 1- cos 2
M
)
[m !( 0) - m !( 2
) ] > 0,
C2 =
1 2M
) - m !( 0) ] ,
即
k#
-
e2
M M-
[ m !( 1
2
) - m !( 0) ] 。
取
!m =
e2
M M-
[m 1
!(
2
) - m !( 0) ],
则当m !( 0) < m !( 2 )时, 由 - m + Mm # - !m 即得 m ( t) # 0, t I。
引理 2[ 6] 假设常数 M
若 t0 = 0或 2 , 即 m ( 0) = m ( 2
) = maxm ( t) > 0, tI
则 m !( 0) # 0, m !( 2 ) ∃ 0, 又 m !( 0) ∃m !( 2 ), 所
以 m !( 0) = m !( 2 ) = 0, 从而 m ( 0) # 0, m ( 2 ) # 0,
使得 - m # - Mm - !m, t I, 其中, 常数 M > 0,
0, m!(0) ∃m !( 2 ),
!m =
e2
M
M -
[m 1
!(
2
) - m!(0) ],
m !(0) < m!(2 ),
则在 I 上 m ( t) # 0。
证明 ( 1)当 m !( 0) ∃m !( 2 )时, 有
向给定时, 亦建立了相应的解的存在性定理。文中给出的数值表达式在形式上更简洁, 更易验证,
且条件更宽, 改进了已有结果。
关键词: 周期边值问题; 上下解; 反向上下解
中图分类号: O175. 8
文献标识码: A
O n ex istence of so lutions for PBVP of second order differential equations
( 3) ( t) # ( t ), t I, 而对于下解与上解不满足边界条件
收稿日期: 2009 - 11- 07 作者简介: 周媛媛 ( 1981- ) , 女, 江苏省宿迁人, 讲师, 硕士, 研究方向: 微分方程理论与应用, E m ai:l z4081@ s ina. com。
160
[m
!( 0)
-
m
!(
2
) ] > 0。
对方程 m + M 2m = k, k < 0, 易求得其解为
m
(
t
)
=
C
1
cosM
t+
C
2
s
inM
t
+
1 M2
k。
要使 m ( t) # 0, t I, 只要
1 M2
k#
- [ C1 cosM t+ C2 sinM t] =
-
1 2M
[ m !( 0)
-m
!( 2
0,
1 4
, 如果函数
m ( t) C2 ( I)满足 - m ( t) ∃M 2m ( t), t I, m ( 0) =
m ( 2 ), m !( 0) # m !( 2 ), 则在 I上 m ( t) # 0。引理 3 假设 m ( t) C2 ( I), m ( 0) = m ( 2 ), 使
解不满足条件 ( 4)的情况下问题 ( 1)、( 2)的解的存在性。周友明 [ 6] 在单边 L ipsch itz条件和存在满足式 ( 3)的反向上下解等条件时利用迭代方法证明了问题 ( 1)、( 2)解的存在性。笔者在已有研究的基础上, 针对该问题进行了深入讨论。
1 预备知识
为了证明定理, 先给出几个引理。引理 1 假设 m ( t) C2 ( I ), m ( 0) = m ( 2 ),
( ∋ )函数 f 满足与和相关的条件: 当 !( 0) < !( 2 )时, f ( t, u ) - f ( t, ( t) ) ∃ - M [ u ( t) ] , t I, ( t) # u# ( t ); 当 !( 0) > !( 2 ) 时, f ( t, ( t ) ) - f ( t, u ) ∃ - M [ ( t ) - u ] , t I, ( t) # u# ( t)。则周期边值问题 ( 1)、( 2)至少存在一个介于与间的解。