概率复习资料完成

概率复习资料
一、随机事件的关系与概率的基本公式要识记
1、AB 表示两个事件同时发生；A B +表示两个事件至少有一个发生；
A 与
B 互斥，又称为互不相容：AB φ=；
A 与
B 对立：AB φ=且A B +=Ω；
A 与
B 独立：()()()P AB P A P B =。

2、概率的基本公式
加法公式： 对于任意的两个随机事件A 与B ：()()()()P A B P A P B P AB +=+-，
如：某城市发行的报纸中，经调查订阅,A B 两种报纸的比例是0.3，0.55，同时订阅两种报纸AB 的比例是0.08，求：⑴ 至少订阅一种报纸的概率；⑵ 不订阅任何报纸的概率。

解：设 {},A =订阅A {}
,B =订阅B
已知 ()0.3,P A =()0.55,P B =()0.08,P AB =
⑴ 至少订阅一种报纸的概率：（根据加法公式） ()()()()P A B P A P B P AB +=+-
0.30.550.080.77=+-=
⑵ 不订阅任何报纸的概率：
()
()1P A B P A B ⋅=-+10.770.23.=-=
若A 与B 互斥：()()()P A B P A P B +=+
如：设,A B 为任意两事件，()()0.4,0.7P A P A B =+=，若,A B 互不相容，则()P B =？ 解：因为A 与B 互斥（即互不相容），所以()()()P A B P A P B +=+，故
()()()0.70.40.3P B P A B P A =+-=-=
若A 与B 相互独立：()()()()()P A B P A P B P A P B +=+-
如：设,A B 为任意两事件，()()0.4,0.7P A P A B =+=，若,A B 相互独立，则()P B =？ 解：因为A 与B 相互独立，所以()()()()()P A B P A P B P A P B +=+-，故
0.70.4()0.4()()0.5P B P B P B =+-⇒=
乘法公式： 对于任意的两个随机事件A 与B ：()()()()()()P AB P A P B A P AB P B P A B ==或， 若A 与B 独立：()()()P AB P A P B =
二、 随机变量题型
1、设)1,0(~N X ，则}2{>X P =（ B ）
A. )2(Φ
B. )2(1Φ-
C. )2(1-Φ-
D. 1)2(-Φ
提示:知识点)2(1}2{1}2{Φ-=≤-=>X P X P
2、设X 是离散型随机变量，则它的分布律是（ ）
A. X
012P -0.5
10.5 B. X 012P 131314 C. X 012P 141432 D. X 012
P 161312
提示： p 不能有负值，也不能大于1，所以A 、C 不能选，所有的p 之和为1，所以只能选D
3、一袋中装有10个球，其中4个黑球、6个白球，先后两次从袋中“不放回”地任 取一球，则两次取到的均是黑球的概率是（ B ）
A.
1;15 B. 2;15 C . 3;15
D. 1. 提示：古典概型43210915∙= 4、设()2E X =,则()2E X =（ A ）
A. 4;
B.8;
C. 6;
D. 2.
5、质量为10克、15克、20克的钢球分别占50%，30%，20%，现从中任取一个，质量X 的期望为（ C ）
A. 12.1;克
B. 14.8;克 C . 13.5;克 D. 17.6.克
提示：由题意可知随机变量X 的概率分布
所以：5.132.0203.0155.010)(=⨯+⨯+⨯=X E
6、设A B 与为两个随机事件，则“,A B 至少有一个发生”表示（ D ）
A. ;AB
B. ;A B +
C. ;B A +
D. .A B +
7、已知事件A B 与的概率为：()0.5,P A =()0.3,P B =若A B 与互不相容，则(),P AB ()P A B +顺序为（ Ｂ ）
A. 0,0.65.
B. 0,0.8; C . 0.15,0.8; D. 0.15,0.65; 8、设随机变量X 的概率分布为：}{211==X P ，}{c X P ==2， }{413==X P ，则常数C =（ B ）。

A. 0;
B. 1;4
C. 1;
D. 1.4
- 解答题
1、设)2,3(~2N X ，求
（1）}52{≤<X P ；（2）}2|{|>X P ；（3）确定常数c ，使得}{}{c X P c X P ≤=>。

解 （1）()5323{25}1(0.5)132P X --⎛⎫⎛⎫<≤=Φ-Φ=Φ+Φ- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
(1)(0.5)10.84130.691510.5328=Φ+Φ-=+-=。

（2）{}{||2}121{22}P X P X P X >=-≤=--≤≤
2323122---⎛⎫⎛⎫=-Φ+Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()0.51(2.5)0.691510.99380.6977=Φ+-Φ=+-=。

（3）因为{}1{}P X c P X c >=-≤，又由已知有}{}{c X P c X P ≤=>， 可得{}0.5P X c ≤=，即3c =。

2、甲、乙两人独立地射击同一个目标，命中目标的概率甲为0.8,乙为
0.7,现两人各自向目标射击一次，求下列事件的概率：
⑴.两人都命中；⑵.至少有一人命中；⑶.恰有一人命中．解：设{},
A=甲命中{},
B=乙命中
⑴()()()0.80.70.56
P AB P A P B
==⨯=
⑵()
P A B
+()()()()
P A P B P A P B
=+-
0.80.70.80.70.94
=+-⨯=
（3）()()()
P AB AB P AB P AB
+=+
()()()()
P A P B P A P B
=+0.80.30.20.70.38.
=⨯+⨯=
3、设随机变量X的分布律为：
10123
0.150.050.140.3
X
P a
-
，
求：（1）常数a；（2）}2
0{≤
<X
P;
⑶{12}
P X
-<<; ⑷{}.
PΩ
解：（1）由分布律性质得：0.150.050.140.31
a
++++=，则：10.640.36.
a=-=
（2）
{}{} {02}12 0.360.140.50.
P X P X P X
<≤==+= =+=
（3）{}{}
{12}010.050.360.41.
P X P X P X
-<<==+==+=
⑷{} 1.
PΩ=
4、已知随机变量()
1,4,
X N
求：⑴{}2;
P X<⑵{}3;
P X≥⑶{}
13.
P X
-≤<
标准正态分布函数值表（4题查表）
解：因为)4,1(~N X ，所以2,1==σμ 所以6915.0)5.0()21
2(}2{=Φ=-Φ=<X P
6826
.01)1(2)}1(1{)1()1()1()21
1()21
3(}31{1587
.0)1(1)21
3(1}3{=-Φ=Φ--Φ=-Φ-Φ=--Φ--Φ=<≤-=Φ-=-Φ-=≥X P X P。