3-4 向量空间
线性代数教案同济版
线性代数教案同济版第一章线性代数基本概念1.1 向量空间教学目标：1. 理解向量空间的概念及其性质；2. 掌握向量空间中的线性组合和线性关系；3. 了解向量空间的基和维数。
教学内容：1. 向量空间的概念；2. 向量空间的性质；3. 线性组合和线性关系；4. 基和维数的概念及计算。
教学方法：1. 通过具体例子引入向量空间的概念，引导学生理解向量空间的基本性质；2. 通过练习题，让学生掌握线性组合和线性关系的计算方法；3. 通过案例分析，让学生了解基和维数的概念及计算方法。
教学资源：1. 教材《线性代数》（同济版）；2. 教学PPT；3. 练习题及答案。
教学步骤：1. 引入向量空间的概念，讲解向量空间的基本性质；2. 讲解线性组合和线性关系的计算方法，举例说明；3. 介绍基和维数的概念，讲解计算方法，举例说明；4. 布置练习题，让学生巩固所学知识。
教学评估：1. 课堂问答，检查学生对向量空间概念的理解；2. 练习题，检查学生对线性组合和线性关系计算方法的掌握；3. 案例分析，检查学生对基和维数概念及计算方法的掌握。
1.2 线性变换教学目标：1. 理解线性变换的概念及其性质；2. 掌握线性变换的矩阵表示；3. 了解线性变换的图像和核。
教学内容：1. 线性变换的概念；2. 线性变换的性质；3. 线性变换的矩阵表示；4. 线性变换的图像和核的概念及计算。
教学方法：1. 通过具体例子引入线性变换的概念，引导学生理解线性变换的基本性质；2. 通过练习题，让学生掌握线性变换的矩阵表示方法；3. 通过案例分析，让学生了解线性变换的图像和核的概念及计算方法。
教学资源：1. 教材《线性代数》（同济版）；2. 教学PPT；3. 练习题及答案。
教学步骤：1. 引入线性变换的概念，讲解线性变换的基本性质；2. 讲解线性变换的矩阵表示方法，举例说明；3. 介绍线性变换的图像和核的概念，讲解计算方法，举例说明；4. 布置练习题，让学生巩固所学知识。
空间向量的坐标表示与计算
空间向量的坐标表示与计算空间向量是三维空间中的一个重要概念，可以用来表示空间中的一个点或者空间中的两个点之间的位移向量。
为了方便计算和表示，我们可以使用坐标表示来描述和计算空间向量。
一、空间向量的坐标表示在三维坐标系中，可以使用三个坐标轴（通常是x轴、y轴、z轴）来表示一个空间向量的坐标。
这三个坐标轴是相互垂直的，构成一个直角坐标系。
对于一个空间向量v，可以使用v的起点在坐标原点的坐标表示来表示该向量。
假设v的坐标表示为(x, y, z)，其中x、y、z分别表示v在x轴、y轴、z轴上的坐标值。
例如，对于一个空间向量v，如果它的起点在坐标原点，终点的坐标分别为(3, 4, 5)，那么可以表示为v = (3, 4, 5)。
二、空间向量的计算1. 向量的加法空间向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
假设有两个向量a和b，它们的坐标表示分别为(a1, a2, a3)和(b1, b2, b3)。
那么它们的和向量c的坐标表示为(c1, c2, c3)，其中c1 = a1 + b1，c2 = a2 + b2，c3 = a3 + b3。
+ b的坐标表示为(c1, c2, c3) = (1 + 4, 2 + 5, 3 + 6) = (5, 7, 9)。
2. 向量的减法空间向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
假设有两个向量a和b，它们的坐标表示分别为(a1, a2, a3)和(b1, b2, b3)。
那么它们的差向量c的坐标表示为(c1, c2, c3)，其中c1 = a1 - b1，c2 =a2 - b2，c3 = a3 - b3。
例如，对于向量a = (1, 2, 3)和向量b = (4, 5, 6)，它们的差向量c = a - b的坐标表示为(c1, c2, c3) = (1 - 4, 2 - 5, 3 - 6) = (-3, -3, -3)。
3. 向量的数量积空间向量的数量积是指将两个向量相乘得到一个标量（即一个数）。
线性代数的向量空间理论
线性代数的向量空间理论线性代数是数学中的一门重要学科，其中的向量空间理论是其核心内容之一。
向量空间理论主要研究数学对象之间的线性关系，通过定义和研究向量空间的性质和运算规则，揭示了各种数学结构和现象背后的共性和规律。
本文将通过介绍向量空间的定义、基本性质和相关定理，来阐述线性代数的向量空间理论。
一、向量空间的定义向量空间是指具有加法和数乘运算的集合，满足一定的性质。
具体而言，一个向量空间必须满足以下几个条件：1. 封闭性：对于集合中的任意两个元素，其和仍然属于该集合。
即对于向量x和y，x+y也是向量空间中的元素。
2. 结合律：向量空间中的加法满足结合律。
即对于任意的向量x、y 和z，(x+y)+z=x+(y+z)。
3. 零向量：向量空间中存在一个特殊的元素0，称为零向量，满足对于任意的向量x，x+0=x。
4. 负向量：对于向量空间中的任意元素x，存在一个负元素-x，满足x+(-x)=0。
5. 数乘运算：向量空间中的元素可以与标量相乘。
即对于向量x和标量a，存在一个元素ax，满足数乘运算的分配律和结合律。
通过这些定义和运算规则，我们可以建立起一个向量空间的抽象数学模型，便于对其进行研究和应用。
二、向量空间的基本性质在向量空间的理论中，还有一些基本性质是我们需要了解的。
1. 维度：向量空间的维度是指向量空间的基的个数。
一个向量空间的基是指一个线性无关的向量组，可以通过它们的线性组合来表示向量空间中的任意向量。
一个向量空间的维度等于其基的个数。
2. 线性无关性：如果一个向量组中的向量之间没有线性关系，即不能通过它们的线性组合来表示零向量，那么称这个向量组是线性无关的。
一个向量空间的基一定是线性无关的向量组。
3. 基变换矩阵：对于一个向量空间的两个不同的基，它们之间存在一个线性变换关系，并可以用一个矩阵来表示。
这个矩阵称为基变换矩阵。
4. 子空间：一个向量空间的子集，如果本身也是一个向量空间，则称为原向量空间的子空间。
高二数学选修课件：3-1-4空间向量的直角坐标运算
第三章
空间向量与立体几何
→ C1 G EF·→ 51 → ，C1G>＝ → ∴cos<EF ＝ 17 . → |C1G| |EF|·→ 51 即异面直线 EF 与 C1G 所成角的余弦值为 . 17 1 1 7 1 (3)∵F(2，2，0)、H(0，8，2)， → ＝(－1，3，1)， ∴FH 2 8 2 → ∴|FH|＝ 12 32 12 41 (－ ) ＋( ) ＋( ) ＝ . 2 8 2 8
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第三章
空间向量与立体几何
[证明]
→ → → 设正方体的棱长为 1，以DA、DC、DD1为坐
标向量，建立空间直角坐标系 D－xyz，如图所示． 1 1 (1)易知 A(1,0,0)、E(1,1，2)、F(0，2，0)、D1(0,0,1)． → ＝(0,1，1)，D1F＝(0，1，－1)． → ∵AE 2 2 → ·→ ＝(0,1，1)· 1，－1)＝0， 又AE D1F (0， 2 2 ∴AE⊥D1F. → → (2)DA＝(1,0,0)＝D1A1，
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4)＋(2,1,8)]＝(1,4，－12)·(5,6,4)＝5＋24－48＝－19.
第三章
空间向量与立体几何
[例 2]
1 1 1 已知 a＝(1,2，2)，b＝(2，－2，1)，c＝(－2,3，
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1 2 1 － )，d＝(1，－ ， )． 2 3 4 求证：a⊥b，c∥d.
(7) a· a a· b (8) |a||b| a1b1＋a2b2＋a3b3 2 a2＋a2＋a3 b2＋b2＋b2 1 2 1 2 3
第三章
空间向量与立体几何
2．(1)(a2－a1，b2－b1，c2－c1) (2) (a2－a1)2＋(b2－b1)2＋(c2－c1)2
空间向量考点(全)
空间向量考点（全）1、空间向量的坐标及基本运算空间向量的坐标：空间直角坐标系的x 轴是横轴（对应为横坐标），y 轴是纵轴（对应为纵坐标），z 轴是竖轴（对应为竖坐标）.=(a 1,a 2,a 3),),,(321b b b =， ),,(332211b a b a b a b a ±±±=+，))(,,(321R a a a a ∈=λλλλλ，332211b a b a b a ++=⋅ ，向量平行：a ∥)(,,332211R b a b a b a b ∈===⇔λλλλ332211b a b a b a ==⇔ 。
向量垂直：0332211=++⇔⊥b a b a b a b a 。
222321a a a ++===⇒•=空间两个向量的夹角公式：232221232221332211||||,cos bb b a a a b a b a b a b a ba b a ++⋅++++=⋅•>=<ρρρρρ空间两点的距离公式：212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=. 2、法向量若向量所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥，如果α⊥那么向量a 叫做平面α的法向量. 3、向量的应用①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条射线，其中α∈A ，则点B 到平面α的距离为||n ②.利用向量求异面直线间的距离d =(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n r，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离).③.利用向量求直线AB 与平面所成角sin ||||AB m arc AB m β⋅=u u u r u r u u u r u r (m u r 为平面α的法向量). ④.利用法向量求二面角的平面角定理 21,n n 分别是二面设角βα--l 中平面βα,的法21,n 所成的角就向量，则是所求二面角的平面角或其补角大小（21,n n 方向相同，则为补角，21,n n 反方，则为其夹角）.二面角l αβ--的平面角cos ||||m n arc m n θ⋅=u r r u r r 或cos ||||m narc m n π⋅-u r ru r r （m u r ，n r 为平面α，β的法向量）. ⑤.证直线和平面平行定理已知直线⊄a 平面α，α∈∈D C a B A ,,,，且C 、D 、E 三点不共线，则a ∥α的充要条件是存在有序实数对μλ,使μλ+=.（常设μλ+=求解μλ,若μλ,存在即证毕，若μλ,不存在，则直线AB 与平面相交）. 4、向量的基本概念（1） 共线向量共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合. 注：①若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线.（×） [当0=b 时，不成立] ②向量,,共面即它们所在直线共面.（×） [可能异面]③若∥，则存在小任一实数λ，使λ=.（×）[与=不成立] ④若a 为非零向量，则0=.（√）[这里用到)0(≠b b λ之积仍为向量] （2） 共线向量定理AB对空间任意两个向量)0(,≠b b a ，a ∥b 的充要条件是存在实数λ（具有唯一性），使b a λ=.（3） 共面向量：若向量a 使之平行于平面α或a 在α内，则a 与α的关系是平行，记作a ∥α.（4） 证明四点共面的常用方法.①共面向量定理：如果两个向量b a ,不共线，则向量与向量b a ,共面的充要条件是存在实数对x 、y 使b y a x P +=.②空间任一点．．．O ．和不共线三点．．．．．．A ．、．B ．、．C ．，则)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 是PABC四点共面的充要条件.（证：→+==++--=AC z AB y AP OC z OB y OA z y OP )1(P 、A 、B 、C 四点共面）4、向量的基本定理如果三个向量．．．．c b a ,,不共面．．．，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x 、y 、z ，使z y x ++=.推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P , 都存在唯一的有序实数组x 、y 、z 使 OC z OB y OA x OP ++=(这里隐含x+y+z≠1).注：设四面体ABCD 的三条棱，,,,d AD c AC b AB ===其中Q 是△BCD 的重心，则向量)(31c b a AQ ++=用+=即证.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r，则四点P 、A 、B 、C 是共面⇔1x y z ++=OABCD。
空间向量及其运算习题答案
空间向量及其运算习题答案空间向量及其运算习题答案引言：空间向量是三维空间中的一种数学概念，它可以用来描述物体在空间中的位置、方向和运动状态。
空间向量的运算是空间几何中的重要内容，掌握空间向量的运算方法对于解决实际问题具有重要意义。
本文将通过一些典型的空间向量运算习题，来讲解空间向量的运算方法和答案。
一、向量的加法和减法1. 已知向量A(1, 2, 3)和向量B(4, -1, 2)，求向量A + 向量B的结果。
答案：向量A + 向量B = (1+4, 2+(-1), 3+2) = (5, 1, 5)2. 已知向量C(2, -3, 1)和向量D(-1, 4, -2)，求向量C - 向量D的结果。
答案：向量C - 向量D = (2-(-1), -3-4, 1-(-2)) = (3, -7, 3)二、向量的数量积和夹角3. 已知向量E(1, 2, 3)和向量F(4, -1, 2)，求向量E和向量F的数量积。
答案：向量E·向量F = 1*4 + 2*(-1) + 3*2 = 4 - 2 + 6 = 84. 已知向量G(2, -3, 1)和向量H(-1, 4, -2)，求向量G和向量H的夹角的余弦值。
答案：向量G·向量H = 2*(-1) + (-3)*4 + 1*(-2) = -2 - 12 - 2 = -16|向量G| = √(2^2 + (-3)^2 + 1^2) = √(4 + 9 + 1) = √14|向量H| = √((-1)^2 + 4^2 + (-2)^2) = √(1 + 16 + 4) = √21cosθ = (向量G·向量H) / (|向量G| * |向量H|) = -16 / (√14 * √21)三、向量的向量积和平面方程5. 已知向量I(1, 2, 3)和向量J(4, -1, 2)，求向量I和向量J的向量积。
答案：向量I × 向量J = (2*2 - (-1)*3, 3*4 - 1*2, 1*(-1) - 2*4) = (4 + 3, 12 - 2, -1 - 8) = (7, 10, -9)6. 已知平面P过点(1, 2, 3)，且平面P的法向量为向量K(2, -1, 3)，求平面P的方程。
向量空间
p12 p22 pn2
p1n
p2n
pnn
称为由基e1 , e2 , , en到1 , 2 , , n的过渡矩阵.
设向量 在上述两组基下的坐标分别为
x1, x2 , , xr 和 y1, y2 , , yr ,则
x1e1 x2e2 xnen y11 y2 2 yn n
基，r 称为向量空间 V 的维数，并称 V 为 r 维向量
空间．用dim (V)表示向量空间的维数.
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例如
n维 单 位 向 量 组
1 1，0， ，0 2 0,1， ，0
n 0，0， ，1
是n维 向 量 空 间Rn的 一 个 基 ， 叫 做 标 准 基。 显 然dim(Rn ) n。
试证：V1 V2 .
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证 设x V1，则x可由a1, , am线性表示.
因a1 , ,am可由b1 , ,bs线性表示，故x可由b1 , , bs线性表示，所以x V2 . 这就是说，若x V1，则x V2， 因此V1 V2 . 类似地可证 : 若x V2 ,则x V1 , 因此V2 V1 . 因为V1 V2，V2 V1，所以V1 V2 .
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三、向量空间的基与维数
定义3 设 V是向量空间，如果 r 个向量 1,2 , ,r V，且满足
(1) 1, 2 , , r线性无关; (2)V中任一向量都可由1,2 , ,r线性表示.
那末，向量组 1 ,2 , ,r 就称为向量 V 的一个
kx1 (k1 )a (k1 )b V .
这个向量空间称为由向量a, b所生成的向量空 间.
向量空间的基和维数
向量空间的基和维数 定义 设V 是向量空间，若 1,2,K ,r V , 且满足
1) 1,2 ,K ,r 线性无关； 2)V 中的每个向量都可由 1,2 ,K ,r 线性表示；
则向量组 1,2 ,K ,r 就称为向量空间V 的一个基，基中 所含向量的个数 r 称为向量空间的维数.
等价并且线性无关的向量组所含向量个数相同.
0 0
0 0
0 0 0
1
0 0
1，2，4 线性无关；
k11 k2 2 k33 k44 V， Ｖ中的每个向量都可由1,2,4 线性表示.
1，2，4 为Ｖ的一个基， Ｖ的维数是3.
线 性 代 数 11
总结 定义 设V 是向量空间，若 1,2,K ,r V , 且满足
1) 1,2 ,K ,r 线性无关； 2)V 中的每个向量都可由 1,2 ,K ,r 线性表示；
线性代数
向量空间的基和维数 定义 设V 是向量空间，若 1,2,K ,r V , 且满足
1) 1,2 ,K ,r 线性无关； 2) V 中的每个向量都可由 1,2 ,K ,r 线性表示；
则向量组 1,2 ,K ,r 就称为向量空间V 的一个基，基中 所含向量的个数 r 称为向量空间的维数.
等价并且线性无关的向量组所含向量个数相同.
V {0}维数为0.
线性代数
向量空间的基和维数
例 下述向量组是Rn 的一组基.
1
0
0
0
0
1
0
0
1
=
0
，
2
=
0
，
3
=
1
，L
，
n
=
0
M
M
M
第三章 向量与向量空间·向量空间
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第三章
向量与向量空间
第四节 向量空间
定义2 设V1,V2是两个向量空间,若V1 ⊆ V2 , 则称V1是V2的
子空间. 零空间{0}和V本身, 称为V 的平凡子空间 .
例如 设V是由n维向量所组成的向量空间， 显然V ⊆ Rn ,
所以V总是 Rn 的子空间.
T
或
其中 P 为基 α 1 , α 2 , L , α m 到基 β 1 , β 2 , L , β m的 过渡矩阵.
线
性
代
数
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第三章
向量与向量空间
第四节 向量空间
(1) α1 = (1,−2,−3)T , α2 = ( −1,1,1)T , α 3 = ( −2,5,9)T ; ( 2) β 1 = (0,1,−2)T , β 2 = (1,0,1)T ,β 3 = ( −1,1,1)T , 求由旧基 α 1 , α 2 , L , α m 到新基 β 1 , β 2 , L , β m的过渡矩阵 P , 并求 γ = α1 + α 2在新基下的坐标 . −1 P = ( α , α , L , α ) ( β1 , β 2 , L , β m ). 解 1 2 m (A, B) = (α1,α2,α3, β1, β2, β3)
说明 1）只含有零向量的向量空间称为0维向量空间，
因此它没有基． 则 2）若向量组 α 1 ,α 2 ,L ,α r 是向量空间V的一个基， V可表示为 V = { x = k1α1 + k2α2 + L+k r αr | k1, k2 ,L, kr ∈ R}.
线 性 代 数
第三章3-4-向量空间
1 p11 1 p12 2 p1m m , p p p , 2 21 1 22 2 2m m m p m1 1 p m 2 2 p mm m .
记
p11 p12 P p 1m
（3.4.2）
（3.4.2）称为坐标变换公式。
线性代数
证
由题设
x11 x2 2 xm m
x1 (1 , 2 , , m ) x 2 x m y11 y2 2 ym m
线性代数
y1 y2 (1 , 2 , , m ) y m
由 (1 , 2 , , m ) (1 , 2 ,, m ) P
y1 y2 ( 1 2 n ) P y n
则
线性代数
由向量α在基α1,α2 , …,αm下坐标的唯 一性, 得
x1 y1 x2 y2 P x y m m
或
y1 x1 x y2 1 2 P y x m m
线性代数
例 3.4.4 设 α1=( 1,0,2), α2 =(1,0,1), α3 =(-1,2,0),证明α1,α2, α3是向量空间 的 3 R 一组基，并求向量 α=( 2,-3,5)在这组基 下的坐标。
线性代数
证明
以向量α1,α2, α3为列向量做矩阵
1 1 1 A 0 0 2 2 1 0
线性代数
于是
1 2 3 3 5 1 (1 2 3 ) (1 2 3 ) 2 3 7 1 2 1 1 3 1 4 1 6
线性代数 3-4向量的正交
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n ∀ α β ∈ R (3) , ,α+β ≤ α+ β
(三角不等式)
证：
α + β = (α + β , α + β )
= (α , α ) + 2(α , β ) + ( β , β )
2
≤ α +2α ⋅ β + β
2
2
2 α β =( + )
∴ α+β ≤ α + β
且
α + β = α + β ⇔ α 与β 互相正交
Ο
α 1 ⋅ α = 1) (α = = α α
Ο
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(柯西－许瓦兹不等式)
(3) (α , β ) ≤ α ⋅ β
2 即: ∑ ai bi ≤ ∑ a ⋅ ∑ bi
n
n
i =1
i =1
2 i
n
i =1
且 (α , β ) = α ⋅ β ⇔ α 与β 线性相关
证: 1) α 与 β 线性相关 ⇔ β = kα , k ∈ R
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四、标准正交基
定义 1. 1.定义 两两正交的向量组称为 正交向量组 ; Rn中不含零向量 不含零向量两两正交的向量组称为 两两正交的向量组称为正交向量组 正交向量组; 标准正交向量组 ; 单位向量组成的正交向量组称为 单位向量组成的正交向量组称为标准正交向量组 标准正交向量组; ,称为 正交基 ; 一组基中的向量两两正交 一组基中的向量两两正交, 称为正交基 正交基; ,称为 标准正交基 . 正交基中每个向量都是单位向量 正交基中每个向量都是单位向量, 称为标准正交基 标准正交基. 标准正交基满足
向量空间的概念基维数
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例13
集合V
{x
(1,
x2 ,
,
xn )T
|
xi
R, i
1,2,
, n}
不是一个向量空间.
因为若a (1, a2 , , an )T V ,
则
2a (2,2a2 , ,2an )V .
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例14
设a,
b
V {
是两个已知的向量，集合
x
a
b |
,
R}
是一个向量空间。
,
a2
,
, am线性表示.
因a1,
a2
,
,
am可
由b1
,
b2
,
, bs线性表示,
x可
由b1
,
b2
,
, b所s线以性x表V示2., 因此V1 V2 .
类似地可证：若
x V2
,
则xV1
,
因此V2
V1.
因为V1 V2 , V2 V1,所以V1 V1.
定义7 设有向量空间 V1 及 V2 , 若 V1 V2 , 则称V1
的
一个向基量,组a1
,
a2
,
, an的秩就是V的维数.
若向量空间 V Rn , 则V 的维数不会超过 n 。
当V 的维数等于 n 时，V Rn .
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例16 设
2 2 1
1 4
A (a1, a2 , a3 ) 2 1 2 , B (b1, b2 ) 0 3,
是 V2 的子空间。
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例如，任何由 n 维向量所组成的向量空间V ，总有
V Rn , 所以这样的向量空间总是Rn 的子空间。
向量空间的概念基维数
（由定义6易验证）。
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例12
集合V
{x
(0,
x2 ,, xn )T
|
xi
R, i
1,2,, n}
是一个向量空间. 因为若a (0,a2
,,
an
)T
V
,
b
(0,
b2
,,
bn
)T
V
§4 向量空间
★向量空间的概念、基、维数
本节是站在“空间”的高度研究“向量组”，同学们 须对“向量空间”的概念有初步认识。
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向量空间的定义 定义6 设V为n维向量的集合,如果集合V非空, 且 集V合,则V对 于 加法V ;及若数乘V运, 算封闭R,,则即若 VV.那, 么 就称V为向量空间.
验证a1
,
a2
,
a3是R 3的1
2
一个
2
基, 并
把b1
,
b2用这
4
个基
2
线性
表a1示, a. 2解, a3要 线验 性证 无a关1,,a即2 只, a要3是证RA3～的E一。个基，只要证
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设b1
x11a1
x21a2
x31a3 , b2
x12a1
x22a2
x32a3 ,
2
3 3
3
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因A
~
E
,
故a1
,
a2
,
a3是
R3
的一个基。且
2 4
b1 ,
b2
a1,
a2 ,
向量空间
向量的坐标 如果在向量空间V中取定一个基a1 a2 ar 那么V中任 一向量x可唯一地表示为 x1a12a2 rar 数组1 2 r称为向量x在基a1 a2 ar中的坐标 在向量空间Rn中以单位坐标向量组e1 e2 en为基 则以 向量x(x1 x2 xn)T可表示为 xx1e1x2e2 xnen 可见向量在基e1 e2 en中的坐标就是该向量的分量 向量组e1 e2 en叫做Rn中的自然基
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例8 设A a1(2 2 1)T a2(2 1 2)T a3(1 2 2)T B b1(1 0 4)T b2(4 3 2)T 验证a1 a2 a3是R3的一个基 并 求b1 b2在这个基中的坐标
解 因为
2 2 1 1 2 2 2 2 1 rr1 2 2 A ((a1,a22,a33) 2 1 2 ~ 0 1 1 A a1, a , a ) 2 1 2 ~ 0 1 1 1 2 2 0 0 1 1 2 2 0 0 1 所以R(a1 a2 a3)3 向量组a1 a2 a3线性无关 从而a1 a2 a3是 R3的一个基
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举例 例6 设a b为两个已知的n维向量 集合 L{x| xab R} 是一个向量空间(称为由向量a b所生成的向量空间) 这是因为 若x11a1b x22a2b 则 x1x2(12)a(12)bL kx1(k1)a(k1)bL
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举例 例4 齐次线性方程组的解集 S{x| Ax0} 是一个向量空间(称为齐次线性方程组的解空间) 这是因为解集S对向量的线性运算封闭
空间向量基本定理(20页)
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练习1：若{，，
Ԧ
}构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个
Ԧ
基底的是( B )
A、 + ,
Ԧ , − Ԧ
B、Ԧ + , Ԧ − , Ԧ
C、 ,
Ԧ Ԧ + , Ԧ −
D、 Ԧ + , Ԧ + + ,
Ԧ Ԧ
解析：
A、 + ,
所以EF =
D’ F
1
2
− D’ E
=
1
1
1
Ԧ − Ԧ =
2
2
2
所以EF = CA，所以EF//AC.
Ԧ − Ԧ ， CA = DA − DC = Ԧ − Ԧ.
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例3：如图，正方体ABCD − A’ B’ C ’ D’ 的棱长为1，E，F，G分别为C ’ D’ ，A’ D’ ，
D’ D的中点.
如果向量中存在零向量，则不能作为基底
②判断是否可以用另外的向量线性表示另一个向量
可以，则不能作为基底
假设 a＝λb＋μԦc ，运用空间向量基本定理，建立 ， 的方程组，
若有解，则共面，不能作为基底；
若无解，则不共面，能作为基底．
新课讲授
例1：如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段
个基底．
思考：你能类比平面向量基本定理，写出空间向量基本定理吗？
新课讲授
空间向量基本定理
如果三个向量a，b，Ԧc不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序
Ԧ
实数组(x, y, z)，使得Ԧ = Ԧ + + .
Ԧ
若三个向量，，
3-1,2,3,4向量范数.ppt
x
∞
= max x i
1≤ i ≤ n
它们均构成范数。 它们均构成范数。 说明：在同一个向量空间，可以定义多种向量范数， 说明：在同一个向量空间，可以定义多种向量范数，而对 于同一个向量，不同定义的范数，其大小可能不同。 于同一个向量，不同定义的范数，其大小可能不同。
x = (1,2,−3)
T
x1 =6
第二节 矩阵范数
主要内容： 主要内容： 1·矩阵范数的定义、性质 矩阵范数的定义、 矩阵范数的定义 2·算子范数（由向量诱导的矩阵范数） 算子范数（由向量诱导的矩阵范数） 算子范数 3·几种常用的矩阵范数 几种常用的矩阵范数
定义
设A∈C
m×n
定义一个实值函数
⋅
C
m× n
满足： → R 满足：
（1）正定性 （2）齐次性 （3）三角不等式 (4)相容性 (4)相容性 则
Ax
Ax 是C
n
Dn = x = ( x1 , x 2 , ⋯ , x n )
知 Ax 在D n上取到最大值。 上取到最大值。
{
的连续函数，D 的连续函数，
T
n
是C n中的有界闭集， 中的有界闭集，
x =1
}
最后证明
A 成为矩阵范数
A ≥ Ax0 x0 > 0;
n 正定性: 正定性 设 A ≠ 0, 则存在 x0 ≠ 0 ∈ C , 使 Ax0 ≠ 0,
x+ y
2 2
= ( x + y , x + y ) = ( x , x ) + ( x, y ) + ( y , x ) + ( y , y )
≤ x 2 +2 x
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例6 设向量组a1 a2 am与向量组b1 b2 bs等价 记 L1{x| x1a12a2 mam 1 2 mR} L2{x| x1b12b2 sbs 1 2 sR} 试证L1L2 证 设xL1 则x可由a1 a2 am线性表示 因为a1 a2 am可由b1 b2 bs线性表示 故x可由b1 b2 bs线性表示 所以xL2 这就是说若xL1 则xL2 因此 L1L2 类似地可证：若xL2 则xL1 因此L2L1 因为L1L2 L2L1 所以L1L2
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2 2 2 1 12 2 2 2 rr 2 1 1 2 ~ 0 A (( a , a , a ) 2 1 2 ~ 0 1 1 A a , a , a ) 1 2 1 1 1 2 3 1 2 3 0 0 1 1 2 2 1 2 2 0 0 1
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向量空间的基举例 向量空间Rn是n维的 其中向量组 e1(1 0 0 0)T e2(0 1 0 0)T en(0 0 0 1)T 是Rn的一个基 向量空间V{x|x(0 x2 xn)T x2 xnR}是n1维的 其中向量组 e2(0 1 0 0)T en(0 0 0 1)T 是V的一个基 向量空间 L{x| x1a12a2 mam 1 2 mR} 是由向量组a1 a2 am所生成的 向量组a1 a2 am的最大无 关组就是L的一个基 向量组a1 a2 am的秩就是L的维数
第四节 向量空间
一、向量空间的定义
二、向量空间的基和维数
三、向量空间的坐标 四、基变换与坐标变换
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一、向量空间的定义
设V为n维向量的集合 如果集合V非空 且集合V对于 加法及数乘两种运算封闭 那么就称集合V为向量空间 所谓封闭 是指在集合V中可以进行加法及数乘两种 运算 具体地说就是 若aV bV 则abV 若aV F 则aV
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四、向量的坐标
如果在向量空间V中取定一个基a1 a2 ar 那么V中任 一向量x可唯一地表示为 x1a12a2 rar 数组1 2 r称为向量x在基a1 a2 ar之下的坐标 在向量空间Rn中以单位坐标向量组e1 e2 en为基 则以 向量x(x1 x2 xn)T可表示为 xx1e1x2e2 xnen 可见向量在基e1 e2 en之下的坐标就是该向量的分量 向量组e1 e2 en叫做Rn中的自然基
解 因为R(a1 a2 a3)3 所以a1 a2 a3是R3的一个基
设b1x11a1x21a2x31a3 b2x12a1x22a2x32a3 即
x11 x12 (b1, b2 ) (a1, a2, a3) x21 x22 记作 BAX x31 x32 因为
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例7 设A a1(2 2 1)T a2(2 1 2)T a3(1 2 2)T B b1(1 0 4)T b2(4 3 2)T 验证a1 a2 a3是R3的一个基 并 求b1 b2在这个基中的坐标 解 因为
y1 z1 y1 z1 则 (a1, a2, a3) y2 (b1, b2, b3) z2 即 A y2 B z2 y z y3 z3 3 3 z1 y1 z B1A y 于是 2 2 z3 y3 这就是从旧坐标到新坐标的坐标变换公式
此时，称V 为数集F 上的向量空间。
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举例 例1 单独一个零向量构成的向量空间，称为零空间 例2 集合 V{x| x(0 x2 xn)T x2 xnR} 是一个向量空间 这是因为 若a(0 a2 an)T V b(0 b2 bn)T 则 ab(0 a2b2 anbn)TV a(0 a2 an)TV
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二、子空间
设有向量空间V1及V2 若V1V2 就称V1是V2的子空间
例 如 由 n 维 向 量 a1,a2,,am 所 组 成 的 向 量 空 间
L[a1,a2,,am] 是Rn的子空间。
例如 由次数不超过n的一元多项式组成的向量空间，总 是全体一元多项式的子空间。
2 / 3 4 / 3 X A1B 2 / 3 1 1 2 / 3 所以b1 b2在基a1 a2 a3中的坐标依次为 2 , 2 , 1 和 4 , 1, 2 3 3 3 3
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五、基变换与坐标变换
所以R(a1 a2 a3)3 向量组a1 a2 a3线性无关 从而a1 a2 a3是 R3的一个基
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例7 设A a1(2 2 1)T a2(2 1 2)T a3(1 2 2)T B b1(1 0 4)T b2(4 3 2)T 验证a1 a2 a3是R3的一个基 并 求b1 b2在这个基中的坐标
例8 在R3中取定一个基a1 a2 a3 再取一个新基b1 b2 b3 设A(a1 a2 a3) B(b1 b2 b3) 求用a1 a2 a3表示b1 b2 b3的表 示式(基变换公式) 并求向量在两个基中的坐标之间的关系式 (坐标变换公式) 解 由(a1 a2 a3)(e1 e2 e3)A 得 (e1 e2 e3)(a1 a2 a3)A1 故 (b1 b2 b3)(e1 e2 e3)B (a a a )A1B 1 2 3 即基变换公式为 (b1 b2 b3)(a1 a2 a3)A1B 矩阵PA1B称为从旧基到新基的过渡矩阵
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三、向量空间的基、维数
设V为向量空间 如果r个向量a1 a2 arV 且满足 (1) a1 a2 ar线性无关 (2)V中任一向量都可由a1 a2 ar线性表示 那么 向量组a1 a2 ar就称为向量空间V的一个基 r称为向 量空间V的维数 并称V为r维向量空间 如果向量空间V没有基 那么V的维数为0 0维向量空间只 含一个向量0 若把向量空间V看作向量组 则向量空间V的基就是向量 组的最大无关组 向量空间V的维数就是向量组的秩
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举例
例5 设a b为两个已知的n维向量 集合 L[a,b]{x| xab R} 是一个向量空间(称为由向量a b所生成的向量空间)
一般地 由向量组a1 a2 am所生成的向量空间为
L[a1,a2,,am]{x| x1a12a2 mam 1 2 mR}
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例8 在R3中取定一个基a1 a2 a3 再取一个新基b1 b2 b3 设A(a1 a2 a3) B(b1 b2 b3) 求用a1 a2 a3表示b1 b2 b3的表 示式(基变换公式) 并求向量在两个基中的坐标之间的关系式 (坐标变换公式) 解 基变换公式为(b1 b2 b3)(a1 a2 a3)A1B 设向量x在旧基和新基中的坐标分别为y1 y2 y3和z1 z2 z3
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举例 例1 3维向量的全体R3 就是一个向量空间 例2 集合 V{x| x(0 x2 xn)T x2 xnR} 是一个向量空间 例3 集合 V{x| x(1 x2 xn)T x2 xnR} 不是向量空间 这是因为 若a(1 a2 an)TV 则 2a(2 2a2 2an)T V
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