2020年高考数学课时55证明单元滚动精准测试卷文

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2020届高考理科数学总复习单元滚动测试卷含答案(21套)

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2020届高考文科数学总复习单元滚动测试卷含答案(21套)

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2020届高考数学一轮复习滚动检测一(1_2章)(规范卷)文(含解析)新人教A版

滚动检测一(1～2章)(规范卷)考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．集合P ＝{}x ∈Z |0≤x ≤3，M ＝{}x ∈Z |x 2<9，则P ∩M 等于( )A ．{1，2} B.{}0，1，2 C.{}x |0≤x <3 D.{}x |0≤x ≤3答案 B解析由题意可得，P ＝{}0，1，2，3，M ＝{}－2，－1，0，1，2，结合交集的定义可知：P ∩M ＝{}0，1，2.2．已知集合A ＝(]－2，5，B ＝[]m ＋1，2m －1，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是( ) A.(]－3，3 B.[]－3，3 C ．(－∞，3] D ．(－∞，3)答案 C解析当集合B ＝∅时，m ＋1>2m －1，解得m <2，此时满足B ⊆A ；当B ≠∅，即m ≥2时，应有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1>－2，2m －1≤5，据此可得⎩⎪⎨⎪⎧m >－3，m ≤3，则2≤m ≤3，综上可得，实数m 的取值范围是(－∞，3]．3．“x ＝2k π＋π4(k ∈Z )”是“tan x ＝1”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析当x ＝2k π＋π4(k ∈Z )时，tan x ＝1，即充分性成立；当tan x ＝1时，x ＝2k π＋π4(k ∈Z )或x ＝2k π＋5π4(k ∈Z )，即必要性不成立．综上可得，“x ＝2k π＋π4(k ∈Z )”是“tan x ＝1”成立的充分不必要条件．4．下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R ，2x －1>0 B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0 C ．∃x 0∈R ，lg x 0<1 D ．∃x 0∈R ，tan x 0＝2答案 B5．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，则y ＝f (x )在R 上的解析式为( ) A ．f (x )＝x (x ＋2) B ．f (x )＝|x |(x ＋2) C ．f (x )＝x (|x |－2) D ．f (x )＝|x |(|x |－2)答案 C解析设x <0，则－x >0，f (－x )＝(－x )2－2×(－x )＝x 2＋2x ＝－f (x )，则f (x )＝－x 2－2x ()x <0，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2x ，x <0，x 2－2x ，x ≥0即f (x )＝x (|x |－2)．6．设a ＝0.7－0.5，b ＝log 0.50.7，c ＝log 0.75，则( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．c >b >a答案 A解析由指数函数的性质可得a ＝0.7－0.5>1，结合对数函数的性质有b ＝log 0.50.7∈(0，1)，c ＝log 0.75<0，综上可得，a >b >c .7．幂函数f (x )＝(m 2－6m ＋9)xm 2－3m ＋1在(0，＋∞)上单调递增，则m 的值为( ) A ．2B ．3C ．4D ．2或4 答案 C解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－6m ＋9＝1，m 2－3m ＋1>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2或m ＝4，m <3－52或m >3＋52，∴m ＝4.8．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0，1]时，f (x )＝2x－1，则( )A ．f (6)<f ()－7<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112B ．f (6)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112<f ()－7C ．f ()－7<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112<f (6)D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112<f ()－7<f (6) 答案 B解析因为f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以周期T ＝4，所以f (6)＝f (2)＝－f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－1， f (－7)＝f (1)＝1，故选B.9．函数f (x )＝ln|x －1||1－x |的图象大致为( )答案 B解析 f (x )＝ln|x －1||1－x |的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，当自变量从左侧趋向于1时，函数值趋向于－∞，排除C ，D ，当自变量从右侧趋向于1时，函数值仍然趋向于－∞，排除A.或者取特殊值，当x ＝32时，f (x )＝－2ln2<0，也可以排除A 项．10．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x ≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2，x <1在其定义域上为增函数，则实数a 的取值范围是( ) A.()4，8 B.[)4，8 C.()1，＋∞ D.()1，8答案 B解析因为分段函数为增函数，所以需满足⎩⎪⎨⎪⎧a >1，4－a 2>0，a ≥6－a 2，解得4≤a <8，故选B.11．定义在R 上的偶函数f (x )，满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在区间[－1，0]上递增，则( ) A ．f (3)<f (2)<f (2) B ．f (2)<f (3)<f (2) C ．f (3)<f (2)<f (2) D ．f (2)<f (2)<f (3)答案 A解析因为f (x ＋1)＝－f (x )，所以f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝－[－f (x )]＝f (x )，所以f (x )是以2为周期的函数．又f (x )为偶函数，且在[－1，0]上递增，所以f (x )在[0，1]上递减，又2为周期，所以f (x )在[1，2]上递增，在[2，3]上递减，故f (2)最大，又f (x )关于x ＝2对称，且2比3离2近，所以f ( 2 )>f (3)．12．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 3x ，0<x ≤3，||x －4，x >3，若函数h (x )＝f (x )－mx ＋2有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪()1，＋∞ C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪[)1，＋∞ D.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1答案 A解析函数h (x )＝f (x )－mx ＋2有三个不同的零点，即为f (x )－mx ＋2＝0有三个不同的实根，可令y ＝f (x )，y ＝g (x )＝mx －2，分别画出y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象，A (0，－2)，B (3，1)，C (4，0)，则g (x )的图象介于直线AB 和AC 之间，所以k AC <m <k AB ，可得12<m <1.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x <1，4－x 2，x ≥1，则f (f (2))＝________.答案 0解析因为f (2)＝0，所以f (f (2))＝f (0)＝0.14．若函数y ＝f (x )的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，则函数y ＝f ()log 2x 的定义域为________．答案 [2，4]解析由题意，得12≤log 2x ≤2，解得2≤x ≤4，即函数y ＝f (log 2x )的定义域为[2，4]． 15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，0≤x <12，2x －1，12≤x <2，若存在x 1，x 2，当0≤x 1<x 2<2时，f (x 1)＝f (x 2)，则x 1f (x 1)－f (x 2)的最小值为________．答案－916解析作出函数图象如图：令f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22＝x ＋12，得x ＝2－12，因为存在x 1，x 2，当0≤x 1<x 2<2时，f (x 1)＝f (x 2)，所以由图象知2－12≤x 1<12，又x 1f (x 1)－f (x 2)＝x 1f (x 1)－f (x 1) ＝x 21－12x 1－12，令y ＝x 21－12x 1－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－142－916，故当x 1＝14时，y min ＝－916.16．设a ，b ∈R ，已知函数y ＝f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，0≤x <2，log 16x ，x ≥2，若关于x 的方程[f (x )]2＋af (x )＋b ＝0有且只有7个不同的实数根，则ba的取值范围是____________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－15解析函数f (x )的图象如图所示，由图可知，若关于x 的方程[f (x )]2＋af (x )＋b ＝0有且只有7个不同的实数根，令f (x )＝t ，则关于t 的一元二次方程t 2＋at ＋b ＝0的两根，其中一根为1，另一根在开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1内，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋1＝0，54<－a <2⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1－a ，12<－1a <45，所以b a ＝－1－a a ＝－1a －1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－15.三、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知a >0且a ≠1，设p ：函数y ＝log a ()x ＋3在(0，＋∞)上单调递减，q ：函数y ＝x 2＋()2a －3x ＋1的图象与x 轴交于不同的两点．如果p ∨q 为真，p ∧q 为假，求实数a的取值范围．解若p 为真，则0<a <1.若q 为真，则Δ>0，即(2a －3)2－4>0，解得a <12或a >52.∵p 且q 为假，p 或q 为真，∴p 与q 中有且只有一个为真命题(a >0且a ≠1)．若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，12≤a <1或1<a ≤52，∴12≤a <1，若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a >1，0<a <12或a >52，∴a >52.综上所述，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞. 18．(12分)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝log 2(x ＋1)， (1)求函数f (x )的解析式；(2)若f (m )<－2，求实数m 的取值范围．解 (1)∵当x >0时，f (x )＝log 2(x ＋1)， ∴当x <0时，－x >0， ∴f (－x )＝log 2(－x ＋1)，∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝log 2(－x ＋1)，即f (x )＝－log 2(－x ＋1)，又f (0)＝0， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x >0，0，x ＝0，－log 2(1－x )，x <0，(2)∵当x >0时，f (x )＝log 2(x ＋1)>0，f (0)＝0， ∴f (m )<－2等价于－log 2()1－m <－2， ∴log 2()1－m >2， ∴1－m >4，∴m <－3.即实数m 的取值范围是(－∞，－3)．19．(12分)设函数f (x )＝a x －(k －1)a －x(a >0，且a ≠1)是定义域为R 的奇函数． (1)求k 的值；(2)若f (1)<0，试判断函数单调性，并求使不等式f (x 2＋tx )＋f (4－x )<0恒成立的t 的取值范围．解 (1)∵f (x )是定义域为R 的奇函数， ∴f (0)＝a 0－(k －1)a 0＝1－(k －1)＝0， ∴k ＝2.(2)f (x )＝a x－a －x(a >0，且a ≠1)． ∵f (1)<0，∴a －1a<0.又a >0，且a ≠1，∴0<a <1.而y ＝a x 在R 上单调递减，y ＝a －x在R 上单调递增，故判断f (x )＝a x －a －x在R 上单调递减．不等式化为f ()x 2＋tx <f ()x －4，∴x 2＋tx >x －4，∴x 2＋(t －1)x ＋4>0恒成立． ∴Δ＝(t －1)2－16<0，解得－3<t <5. 即t 的取值范围是(－3，5)．20．(12分)函数f (x )＝2x －a x的定义域为(]0，1(a 为实数)． (1)若函数y ＝f (x )在定义域上是减函数，求a 的取值范围； (2)若f (x )>5在定义域上恒成立，求a 的取值范围．解 (1)任取x 1，x 2∈(]0，1，且x 1<x 2，则有f ()x 1－f ()x 2＝()x 1－x 2⎝⎛⎭⎪⎫2＋a x 1x 2>0，即a <－2x 1x 2恒成立，∴a ≤－2. 即a 的取值范围是(－∞，－2]． (2)2x －a x>5()x ∈(]0，1，即a <2x 2－5x ()x ∈(]0，1恒成立，∵2x 2－5x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －542－258，∴函数y ＝2x 2－5x 在(0，1]上单调递减， ∴当x ＝1时，函数取得最小值－3，即a <－3. 即a 的取值范围是(－∞，－3)．21．(12分)某公司利用APP 线上、实体店线下销售产品A ，产品A 在上市20天内全部售完．据统计，线上日销售量f (t )、线下日销售量g (t )(单位：件)与上市时间t (t ∈N *)天的关系满足：f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧10t ，1≤t ≤10，－10t ＋200，10<t ≤20，g (t )＝－t 2＋20t (1≤t ≤20)，产品A 每件的销售利润为h (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧40，1≤t ≤15，20，15<t ≤20 (单位：元)(日销售量＝线上日销售量＋线下日销售量)．(1)设该公司产品A 的日销售利润为F (t )，写出F (t )的函数解析式； (2)产品A 上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于5000元？解 (1)由题意可得：当1≤t ≤10时，销售量为10t ＋(－t 2＋20t )＝－t 2＋30t ，销售利润为40(－t 2＋30t )；当10<t ≤15时，销售量为－10t ＋200＋(－t 2＋20t )＝－t 2＋10t ＋200，销售利润为40(－t 2＋10t ＋200)；当15<t ≤20时，销售量为－10t ＋200＋(－t 2＋20t )＝－t 2＋10t ＋200，销售利润为20(－t 2＋10t ＋200)．综上可得，F (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧40(－t 2＋30t )，1≤t ≤10，40(－t 2＋10t ＋200)，10<t ≤15，20(－t 2＋10t ＋200)，15<t ≤20.(2)当1≤t ≤10时，由40(－t 2＋30t )≥5000，解得5≤t ≤10；当10<t ≤15时，由40(－t 2＋10t ＋200)≥5000，解得10<t ≤15；11 当15<t ≤20时，由20(－t 2＋10t ＋200)≥5000，无解．故第5天至第15天给该公司带来的日销售利润不低于5000元．22．(12分)已知函数f (x )＝1－m5x ＋1是奇函数．(1)求m 的值；(2)用定义证明：函数f (x )是R 上的增函数；(3)若对一切实数x 满足f (sin x －a 2)＋f (a ＋cos 2x ＋1)>0，求实数a 的取值范围．(1)解因为函数f (x )＝1－m5x ＋1是奇函数，且在x ＝0处有意义，所以f (0)＝0，即1－m1＋1＝0，解得m ＝2.(2)证明任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1－25x 1＋1－1＋25x 2＋1＝2(5x 1－5x 2)(5x 1＋1)(5x 2＋1)，因为x 1<x 2，所以5x 1<5x 2，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )是R 上的增函数．(3)解因为对一切实数x 满足：f (sin x －a 2)＋f (a ＋cos 2x ＋1)>0，即f (a ＋cos 2x ＋1)>－f (sin x －a 2)，所以有a 2－sin x <a ＋cos 2x ＋1，即a 2－a <sin x ＋2－sin 2x 对一切x ∈R 恒成立．因为sin x ＋2－sin 2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，94，所以a 2－a <0，即0<a <1.即实数a 的取值范围是(0，1)．。

2020年高考数学一轮复习单元滚动检测卷系列一（含答案解析）

2020年高考数学一轮复习单元滚动检测卷系列一（含答案解析）2020年高考数学一轮复习单元滚动检测卷系列考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．滚动检测一第Ⅰ卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M ＝{x ∈R |y ＝lg(2－x )}，N ＝{y ∈R |y ＝2x －1}，则( )A ．M ＝NB ．M ∩N ＝?C ．M ?ND ．M ∪N ＝R 2．函数f (x )＝11－x＋lg(1＋x )的定义域是( ) A ．(－∞，－1) B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞) 3．已知命题p ：△ABC 中，AB →·AC→<0，命题q ：△ABC 是钝角三角形，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．命题“?x 0∈[π2，π]，sin x 0－cos x 0>2”的否定是( )A ．?x ∈[π2，π]，sin x －cos x <2B ．?x 0∈[π2，π]，sin x 0－cos x 0≤2C ．?x ∈[π2，π]，sin x －cos x ≤2D ．?x 0∈[π2，π]，sin x 0－cos x 0<25．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a 等于( )A ．6B ．－6C ．0D ．126．已知函数f (x )＝0，x ≤0，e x ，x >0，则使函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点的实数m 的取值范围是( )A ．[0,1)B ．(－∞，1)C ．(－∞，0]∪(1，＋∞)D ．(－∞，1]∪(2，＋∞) 7．对于非空集合A ，B ，定义运算：A B ＝{x |x ∈A ∪B ，且x ?A ∩B }，已知M ＝{x |a <=""A ．(a ，d )∪(b ，c )B ．(c ，a ]∪[b ，d )C ．(a ，c ]∪[d ，b )D ．(c ，a )∪(d ，b )8．已知函数f (x )＝?－x 2－2x ＋a ，x <0，－x 2＋1＋a ，x ≥0，且函数y ＝f (x )－x 恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．[－1,0)C ．[－1，＋∞)D ．[－2，＋∞)第Ⅱ卷二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上)9．已知命题p ：－40，若綈p 是綈q 的充分条件，则实数a 的取值范围是______________．10．若函数f (x )＝log 0.5(3x 2－ax ＋5)在(－1，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是__________．11．已知函数f (x )＝2x －1－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝________. 12．若函数f (x )是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝ x (1－x )，0≤x≤1，sin πx ，1<=""> 则f (294)＋f (416)＝________. 13．已知m ≠0，函数f (x )＝?3x －m ，x ≤2，－x －2m ，x >2，若f (2－m )＝f (2＋m )，则实数m 的值为________．14．设函数f (x )＝2x －a ，x ＜1，4(x －a )(x －2a )，x ≥1.(1)若a ＝1，则f (x )的最小值为________；(2)若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是_____________．三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(13分)已知集合A ＝{x ||x －a |≤2}，B ＝{x |lg(x 2＋6x ＋9)>0}．(1)求集合A 和?R B ；(2)若A ?B ，求实数a 的取值范围．16．(13分)设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0(其中a ≠0)，q ：实数x 满足x －3x －2<0. (1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．17.(13分)已知函数f(x)的定义域为(－2,2)，函数g(x)＝f(x－1)＋f(3－2x)．(1)求函数g(x)的定义域；(2)若f(x)是奇函数，且在定义域上单调递减，求不等式g(x)≤0的解集．18．(13分)设集合A为函数y＝ln(－x2－2x＋8)的定义域，集合B为函数y＝x＋1 x＋1的值域，集合C为不等式(ax－1a)·(x＋4)≤0的解集．(1)求A∩B；(2)若C??R A，求a的取值范围．19．(14分)经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，旅游人数f(t)(万人)与时间t(天)的函数关系近似地满足f(t)＝4＋1t，人均消费g(t)(元)与时间t(天)的函数关系近似地满足g(t)＝115－|t－15|.(1)求该城市的旅游日收益ω(t)(万元)与时间t(1≤t≤30，t∈N)的函数关系式；(2)求该城市的旅游日收益的最小值．20．(14分)已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋2是奇函数．(1)求b的值；(2)判断函数f(x)的单调性并证明；(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．。

2020年高考数学一轮复习单元滚动检测卷系列五(含答案解析)

2020年高考数学一轮复习单元滚动检测卷系列考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．滚动检测五第Ⅰ卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设全集U＝R，集合A＝{x|x(x－2)＜0}，B＝{x|x＜a}，若A与B的关系如图所示，则实数a的取值范围是()A．[0，＋∞)B．(0，＋∞)C．[2，＋∞)D．(2，＋∞)2．若命题p：函数y＝lg(1－x)的值域为R；命题q：函数y＝2cos x是偶函数，且是R上的周期函数，则下列命题中为真命题的是()A．p∧q B．(綈p)∨(綈q)C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)3．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若a2＋b2＝2 016c2，则2tan A ·tan Btan C (tan A ＋tan B )的值为( )A ．0B ．2 014C ．2 015D ．2 0164．《张邱建算经》有一道题：今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织布( ) A ．110尺 B ．90尺 C ．60尺D ．30尺5．已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，g (x )≠0，f ′(x )g (x )＞f (x )g ′(x )，且f (x )＝a x g (x )(a ＞0，且a ≠1)，f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52.若数列{f (n )g (n )}的前n 项和大于62，则n的最小值为( ) A ．6B ．7C ．8D ．96．在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，D 为侧棱PC 上的一点，它的正视图和侧视图如图所示，则下列命题正确的是( )A ．AD ⊥平面PBC 且三棱锥D －ABC 的体积为83 B ．BD ⊥平面P AC 且三棱锥D －ABC 的体积为83 C ．AD ⊥平面PBC 且三棱锥D －ABC 的体积为163 D ．BD ⊥平面P AC 且三棱锥D －ABC 的体积为1637．已知点G 为△ABC 的重心，∠A ＝120°，A B →·A C →＝－2，则|A G →|的最小值是( ) A.33 B.22 C.23D.348．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤3x －2，x －2y ＋1≤0，2x ＋y ≤8，则lg(y ＋1)－lg x 的取值范围为( ) A ．[0,1－2lg 2] B ．[1，52] C ．[12，lg 2] D ．[－lg 2,1－2lg 2]第Ⅱ卷二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上) 9．如图，一栋建筑物的高为(30－103)m ，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD ，在它们之间的地面点M (B ，M ，D 三点共线)处测得楼顶A ，塔顶C 的仰角分别为15°和60°，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角为30°，则通信塔CD 的高为________m.10．若tt 2＋9≤a ≤t ＋2t 2在t ∈(0,2]上恒成立，则a 的取值范围是________．11．已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 是面对角线A 1C 1上的两个不同动点，给出以下判断：①存在P ，Q 两点，使BP ⊥DQ ；②存在P ，Q 两点，使BP ∥DQ ；③若|PQ |＝1，则四面体BDPQ 的体积一定是定值； ④若|PQ |＝1，则四面体BDPQ 的表面积是定值；⑤若|PQ |＝1，则四面体BDPQ 在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值．其中真命题是________．(将正确命题的序号全填上)12．已知矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝a ，若P A ⊥平面AC ，在BC 边上取点E ，使PE ⊥DE ，则满足条件的E 点有两个时，a 的取值范围是________．13．设a >1，若曲线y ＝1x 与直线y ＝0，x ＝1，x ＝a 所围成封闭图形的面积为2，则a ＝________.14．已知M 是△ABC 内的一点(不含边界)，且A B →·A C →＝23，∠BAC ＝30°，若△MBC ，△BMA 和△MAC 的面积分别为x ，y ，z ，记f (x ，y ，z )＝1x ＋4y ＋9z ，则f (x ，y ，z )的最小值是________．三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(13分)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2，x ∈R )的部分图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)当x ∈[－π，－π6]时，求f (x )的取值范围．16.(13分)数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n 是S n 和1的等差中项，等差数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝S 3.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝1b n b n ＋1，数列{c n }的前n 项和为T n ，证明：13≤T n ＜12.17．(13分)如图，已知点P 在圆柱OO 1的底面圆O 上，AB 、A 1B 1分别为圆O 、圆 O 1的直径且AA 1⊥平面P AB . (1)求证：BP ⊥A 1P ；(2)若圆柱OO 1的体积V ＝12π，OA ＝2，∠AOP ＝120°，求三棱锥A 1－APB 的体积．18．(13分)已知函数f(x)＝ln x＋ax－a2x2(a≥0)．(1) 若x＝1是函数y＝f(x)的极植点，求a的值；(2)若f(x)＜0在定义域内恒成立，求实数a的取值范围．19．(14分)如图，P－AD－C是直二面角，四边形ABCD是∠BAD＝120°的菱形，AB＝2，P A⊥AD，E是CD的中点，设PC与平面ABCD所成的角为45°.(1)求证：平面P AE⊥平面PCD；(2)试问在线段AB(不包括端点)上是否存在一点F，使得二面角A－PF－D的大小为45°？若存在，请求出AF的长，若不存在，请说明理由．20．(14分)已知△ABC 的三边长|AB |＝13，|BC |＝4，|AC |＝1，动点M 满足CM →＝λCA→＋μCB →，且λμ＝14. (1)求|CM →|最小值，并指出此时CM →与C A →，C B →的夹角；(2)是否存在两定点F 1，F 2，使||MF 1→|－|MF 2→||恒为常数k ？，若存在，指出常数k的值，若不存在，说明理由．答案解析1.C2.A3.C4.B5.A6.C7．C [设BC 的中点为M ，则A G →＝23AM →. 又M 为BC 的中点，∴AM →＝12(A B →＋A C →)，∴A G →＝23AM →＝13(A B →＋A C →)， ∴|A G →|＝13 A B →2＋A C →2＋2A B →·A C →＝13A B →2＋A C →2－4.又∵A B →·A C →＝－2，∠A ＝120°， ∴|A B →||A C →|＝4. ∵|A G →|＝13AB→2＋AC →2－4≥132|A B →||A C →|－4＝23，当且仅当|A B →|＝|A C →|＝2时取“＝”，∴|A G →|的最小值为23，故选C.]8．A[如图所示，作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤3x －2，x －2y ＋1≤0，2x ＋y ≤8确定的可行域．因为lg(y ＋1)－lg x ＝lg y ＋1x ，设t ＝y ＋1x ，显然，t 的几何意义是可行域内的点P (x ，y )与定点E (0，－1)连线的斜率．由图可知，点P 在点B 处时，t 取得最小值；点P 在点C 处时，t 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝0，2x ＋y ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，即B (3,2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x －2，2x ＋y ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，即C (2,4)．故t 的最小值为k BE ＝2－(－1)3＝1，t 的最大值为k CE ＝4－(－1)2＝52，所以t ∈[1，52]．又函数y ＝lg x 为(0，＋∞)上的增函数，所以lg t ∈[0，lg 52]，即lg(y ＋1)－lg x 的取值范围为[0，lg 52]．而lg 52＝lg 5－lg 2＝1－2lg 2，所以lg(y ＋1)－lg x 的取值范围为[0,1－2lg 2]．故选A.] 9．60解析如图，在Rt △ABM 中，AM ＝ABsin ∠AMB ＝30－103sin 15°＝30－103sin (45°－30°)＝30－1036－24＝20 6 m.又易知∠MAN ＝∠AMB ＝15°，所以∠MAC ＝30°＋15°＝45°，又∠AMC ＝180°－15°－60°＝105°，从而∠ACM ＝30°.在△AMC 中，由正弦定理得MC sin 45°＝206sin 30°，解得MC ＝40 3 m.在Rt △CMD 中，CD ＝403×sin 60°＝60 m ，故通信塔CD 的高为60 m. 10．[213，1]解析 t t 2＋9＝1t ＋9t，而u ＝t ＋9t 在(0,2]上单调递减，故t ＋9t ≥2＋92＝132，t t 2＋9＝1t ＋9t ≤213(当且仅当t ＝2时，等号成立)，t ＋2t 2＝1t ＋2t 2＝2(1t ＋14)2－18，因为1t ≥12，所以t ＋2t 2＝1t ＋2t 2＝2(1t ＋14)2－18≥1(当且仅当t ＝2时等号成立)，故a 的取值范围是[213，1.] 11．①③⑤解析当P 与A 1点重合，Q 与C 1点重合时，BP ⊥DQ ，故①正确；BP 与DQ 异面，故②错误；设平面A 1B 1C 1D 1两条对角线交点为O ，则易得PQ ⊥平面OBD ，平面OBD 可将四面体BDPQ 分成两个底面均为平面OBD ，高之和为PQ 的棱锥，故四面体BDPQ 的体积一定是定值，故③正确；若|PQ |＝1，则四面体BDPQ 的表面积不是定值，故④错误；四面体BDPQ 在上下两个底面上的投影是对角线互相垂直且对角线长度分别为1和2的四边形，其面积为定值，四面体BDPQ 在四个侧面上的投影，均为上底为22，下底和高均为1的梯形，其面积为定值，故四面体BDPQ 在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值，故⑤正确．12．a >6解析以A 点为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z轴，如图所示．则D (0，a,0)，设P (0,0，b )，E (3，x,0)，PE→＝(3，x ，－b )， DE→＝(3，x －a,0)， ∵PE ⊥DE ，∴PE →·DE→＝0， ∴9＋x (x －a )＝0，即x 2－ax ＋9＝0，由题意可知方程有两个不同根，∴Δ>0，即a 2－4×9>0，又a >0，∴a >6.13．e 2解析 ∵a >1，曲线y ＝1x 与直线y ＝0，x ＝1，x ＝a 所围成封闭图形的面积为2，∴ʃa 11xd x ＝2，∴ |ln x a 1＝2，ln a ＝2，∴a ＝e 2. 14．36解析由题意得A B →·A C →＝|A B →|·|A C →|cos ∠BAC＝23，则|A B →|·|A C →|＝4，∴△ABC 的面积为12|A B →|·|A C →|·sin ∠BAC ＝1，x ＋y ＋z ＝1，∴f (x ，y ，z )＝1x ＋4y ＋9z ＝x ＋y ＋z x ＋4(x ＋y ＋z )y ＋9(x ＋y ＋z )z ＝14＋(y x ＋4x y )＋(9x z ＋z x )＋(4z y ＋9y z )≥14＋4＋6＋12＝36(当且仅当x ＝16，y ＝13，z ＝12时，等号成立)．15．解 (1)由图象得A ＝1，T 4＝2π3－π6＝π2，所以T ＝2π，则ω＝1，将(π6，1)代入得1＝sin(π6＋φ)，而－π2＜φ＜π2，所以φ＝π3，因此函数f (x )＝sin(x ＋π3)．(2)由于x ∈[－π，－π6]，－2π3≤x ＋π3≤π6，所以－1≤sin(x ＋π3)≤12，所以f (x )的取值范围是[－1，12]．16．(1)解 ∵a n 是S n 和1的等差中项，∴S n ＝2a n －1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－1，∴a 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －1)－(2a n －1－1)＝2a n －2a n －1.∴a n ＝2a n －1，即a n a n －1＝2， ∴数列{a n }是以a 1＝1为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝2n －1，S n ＝2n －1.设{b n }的公差为d ，b 1＝a 1＝1，b 4＝1＋3d ＝7，∴d ＝2，∴b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.(2)证明 c n ＝1b n b n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)． ∴T n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝12(1－12n ＋1)＝n2n ＋1，∵n ∈N *，∴T n ＝12(1－12n ＋1)＜12， T n －T n －1＝n 2n ＋1－n －12n －1＝1(2n ＋1)(2n －1)＞0，∴数列{T n }是一个递增数列，∴T n ≥T 1＝13，综上所述，13≤T n ＜12.17．(1)证明易知AP ⊥BP ，由AA 1⊥平面P AB ，得AA 1⊥BP ，且AP ∩AA 1＝A ，所以BP ⊥平面P AA 1，又A 1P ⊂平面P AA 1，故BP ⊥A 1P .(2)解由题意得V ＝π·OA 2·AA 1＝4π·AA 1＝12π，解得AA 1＝3.由OA ＝2，∠AOP ＝120°，得∠BAP ＝30°，BP ＝2，AP ＝23，∴S △P AB ＝12×2×23＝23，∴三棱锥A 1－APB 的体积V ＝13S △P AB ·AA 1＝13×23×3＝2 3.18．解 (1)函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－2a 2x 2＋ax ＋1x. 因为x ＝1是函数y ＝f (x )的极值点，所以f ′(1)＝1＋a －2a 2＝0，解得a ＝－12(舍去)或a ＝1，经检验，当a ＝1时，x ＝1是函数y ＝f (x )的极值点，所以a ＝1.(2)当a ＝0时，f (x )＝ln x ，显然在定义域内不满足f (x )＜0恒成立；当a ＞0时，令f ′(x )＝(2ax ＋1)(－ax ＋1)x＝0 得，x 1＝－12a (舍去)，x 2＝1a ，所以当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x(0，1a ) 1a (1a ，＋∞) f ′(x )＋ 0 － f (x ) 极大值所以f (x )max ＝f (1a )＝ln 1a ＜0，所以a ＞1.综上可得a 的取值范围是(1，＋∞)．19.(1)证明因为P A ⊥AD ，二面角P －AD －C 是直二面角，所以P A ⊥平面ABCD ，因为DC ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥CD ，连接AC ，因为ABCD 为菱形，∠BAD ＝120°，所以∠CAD ＝60°，∠ADC ＝60°，所以△ADC 是等边三角形．因为E 是CD 的中点，所以AE ⊥CD ，因为P A ∩AE ＝A ，所以CD ⊥平面P AE ，而CD ⊂平面PCD ，所以平面P AE ⊥平面PCD .(2)解以A 为坐标原点，AB ，AE ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．因为P A ⊥平面ABCD ，所以∠PCA 是PC 与平面ABCD 所成角，所以∠PCA ＝45°，所以P A ＝AC ＝AB ＝2，于是P (0,0,2)，D (－1，3，0)，PD →＝(－1，3，－2)．设AF ＝λ，则0<λ<2，F (λ，0,0)，所以PF →＝(λ，0，－2)．设平面PFD 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则有n 1·PD →＝0，n 1·PF →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋3y －2z ＝0，λx －2z ＝0，令x ＝1，则z ＝λ2，y ＝λ＋13，所以平面PFD 的法向量为n 1＝(1，λ＋13，λ2)．而平面APF 的法向量为n 2＝(0,1,0)．所以|cos 〈n 1，n 2〉|＝2|λ＋1|7λ2＋8λ＋16＝22，整理得λ2＋8λ－8＝0，解得λ＝26－4(或λ＝－26－4舍去)，因为0<26－4<2，所以在AB 上存在一点F ，使得二面角A －PF －D 的大小为45°，此时AF ＝26－4.20．解 (1)由余弦定理知cos ∠ACB ＝12＋42－132×1×4＝12⇒∠ACB ＝π3，因为|CM →|2＝CM →2＝(λC A →＋μC B →)2＝λ2＋16μ2＋2λμC A →·C B →＝λ2＋1λ2＋1≥3，所以|CM →|≥3，当且仅当λ＝±1时，“＝”成立，故|CM →|的最小值是3，此时〈CM →，C A →〉＝〈CM →，C B →〉＝π6或5π6.(2)以C 为坐标原点，∠ACB 的平分线所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系(如图)，所以A (32，12)，B (23，－2)，设动点M (x ，y )，因为CM →＝λC A →＋μC B →，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝32λ＋23μ，y ＝12λ－2μ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 23＝(λ2＋2μ)2，y 2＝(λ2－2μ)2，再由λμ＝14知x 23－y 2＝1，所以动点M 的轨迹是以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点，实轴长为23的双曲线，即||MF 1→|－|MF 2→||恒为常数23，即存在k ＝2 3.。

2020版高考数学人教版理科一轮复习课时作业：56 最值、范围、证明问题 Word版含解析

课时作业56 最|值、范围、证明问题第|一次作业根底稳固练1．动圆C 与圆C 1：(x －2)2＋y 2＝1相外切 ,又与直线l ：x ＝－1相切．(1)求动圆圆心轨迹E 的方程；(2)假设动点M 为直线l 上任一点 ,过点P (1,0)的直线与曲线E 相交于A ,B 两点 ,求证：k MA ＋k MB ＝2k MP .解：(1)由题知 ,动圆C 的圆心到点(2,0)的距离等于到直线x ＝－2的距离 ,所以由抛物线的定义可知 ,动圆C 的圆心轨迹是以(2,0)为焦点 ,x ＝－2为准线的抛物线 ,所以动圆圆心轨迹E 的方程为y 2＝8x .(2)证明：由题知当直线AB 的斜率为0时 ,不符合题意 ,所以可设直线AB 的方程为x ＝my ＋1 ,联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1y 2＝8x消去x ,得y 2－8my－8＝0 ,Δ＝64m 2＋32>0恒成立 ,设A (x 1 ,y 1) ,B (x 2 ,y 2) ,M (－1 ,t ) ,那么y 1＋y 2＝8m ,y 1·y 2＝－8 ,x 1＋x 2＝8m 2＋2 ,x 1·x 2＝1 , 而2k MP ＝2·t－1－1＝－t ,k MA ＋k MB ＝y 1－tx 1＋1＋y 2－tx 2＋1 ＝y 1x 2＋y 2x 1＋y 1＋y 2－t (x 1＋x 2)－2t x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝18y 1y 2(y 1＋y 2)＋y 1＋y 2－t (x 1＋x 2)－2t x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝－t (8m 2＋4)8m 2＋4＝－t , 所以k MA ＋k MB ＝2k MP .2. 如图 ,椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点为A ,右焦点为F (1,0) ,过点A 且斜率为1的直线交椭圆E 于另一点B ,交y 轴于点C ,AB →＝6BC →.(1)求椭圆E 的方程；(2)过点F 作直线l 与椭圆E 交于M ,N 两点 ,连接MO (O 为坐标原点)并延长交椭圆E 于点Q ,求△MNQ 面积的最|大值及取最|大值时直线l 的方程．解：(1)由题知A (－a,0) ,C (0 ,a ) ,故B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－a 7 6a 7 , 代入椭圆E 的方程得149＋36a 249b 2＝1 ,结合a 2－b 2＝1 ,得a 2＝4 ,b 2＝3 ,故椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题知 ,直线l 不与x 轴重合 ,故可设l ：x ＝my ＋1 ,代入x 24＋y 23＝1得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0 ,设M (x 1 ,y 1) ,N (x 2 ,y 2) ,那么y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4 ,y 1y 2＝－93m 2＋4 ,连接ON ,由Q 与M 关于原点对称知 , S △MNQ ＝2S △MON ＝|y 1－y 2| ＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12m 2＋13m 2＋4＝123m 2＋1＋1m 2＋1,∵m 2＋1≥1 , ∴3m 2＋1＋1m 2＋1≥4 , ∴S △MNQ ≤3 ,当且仅当m ＝0时 ,等号成立 ,∴△MNQ 面积的最|大值为3 ,此时直线l 的方程为x ＝1. 3．(2021·河南洛阳统考)抛物线C ：x 2＝2py (p >0) ,过焦点F 的直线交C 于A ,B 两点 ,D 是抛物线的准线l 与y 轴的交点．(1)假设AB ∥l ,且△ABD 的面积为1 ,求抛物线的方程； (2)设M 为AB 的中点 ,过M 作l 的垂线 ,垂足为N .证明：直线AN 与抛物线相切．解：(1)∵AB ∥l ,∴|FD |＝p ,|AB |＝2p . ∴S △ABD ＝p 2＝1.∴p ＝1 ,故抛物线C 的方程为x 2＝2y .(2)证明：显然直线AB 的斜率存在 ,设其方程为y ＝kx ＋p 2,A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1 x 212p ,B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2 x 222p . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋p 2x 2＝2py消去y 整理得 ,x 2－2kpx －p 2＝0.∴x 1＋x 2＝2kp ,x 1x 2＝－p 2.∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫kp k 2p ＋p 2 ,N ⎝ ⎛⎭⎪⎫kp －p 2.∴k AN ＝x 212p ＋p 2x 1－kp ＝x 212p ＋p 2x 1－x 1＋x 22＝x 21＋p 22p x 1－x 22＝x 21－x 1x 22p x 1－x 22＝x 1p .又x 2＝2py ,∴y ′＝xp .∴抛物线x 2＝2py 在点A 处的切线斜率k ＝x 1p .∴直线AN 与抛物线相切．4．椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为F 2(1,0) ,且该椭圆过定点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 22.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设点Q (2,0) ,过点F 2作直线l 与椭圆E 交于A ,B 两点 ,且F 2A →＝λF 2B →,λ∈[－2 ,－1] ,以QA ,QB 为邻边作平行四边形QACB ,求对角线QC 长度的最|小值．解：(1)由题易知c ＝1 ,1a 2＋12b 2＝1 , 又a 2＝b 2＋c 2 ,解得b 2＝1 ,a 2＝2 , 故椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)设直线l ：x ＝ky ＋1 ,由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky ＋1x 22＋y 2＝1得(k 2＋2)y 2＋2ky －1＝0 ,Δ＝4k 2＋4(k 2＋2)＝8(k 2＋1)>0.设A (x 1 ,y 1) ,B (x 2 ,y 2) ,那么可得y 1＋y 2＝－2k k 2＋2 ,y 1y 2＝－1k 2＋2.QC →＝QA →＋QB →＝(x 1＋x 2－4 ,y 1＋y 2)＝⎝⎛⎭⎪⎪⎪⎫－4(k 2＋1)k 2＋2－2k k 2＋2 , ∴|QC →|2＝|QA →＋QB →|2＝16－28k 2＋2＋8(k 2＋2)2,由此可知 ,|QC →|2的大小与k 2的取值有关．由F 2A →＝λF 2B →可得y 1＝λy 2 ,λ＝y 1y 2,1λ＝y 2y 1(y 1y 2≠0)．从而λ＋1λ＝y 1y 2＋y 2y 1＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2y 1y 2＝－6k 2－4k 2＋2,由λ∈[－2 ,－1]得⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋1λ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－52 －2 ,从而－52≤－6k 2－4k 2＋2≤－2 ,解得0≤k 2≤27.令t ＝1k 2＋2,那么t ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤716 12 , ∴|QC →|2＝8t 2－28t ＋16＝8⎝⎛⎭⎪⎫t －742－172 ,∴当t ＝12时 ,|QC |min ＝2.5．(2021·合肥模拟)中|心在原点 ,焦点在y 轴上的椭圆C ,其上一点P 到两个焦点F 1 ,F 2的距离之和为4 ,离心率为32.(1)求椭圆C 的方程；(2)假设直线y ＝kx ＋1与曲线C 交于A ,B 两点 ,求△OAB 面积的取值范围．解：(1)设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0) ,由条件知 ,⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝4 e ＝c a ＝32a 2＝b 2＋c 2解得a ＝2 ,c ＝ 3 ,b ＝1 , 故椭圆C 的方程为y 24＋x 2＝1. (2)设A (x 1 ,y 1) ,B (x 2 ,y 2) ,由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1 y ＝kx ＋1得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0 ,故x 1＋x 2＝－2k k 2＋4 ,x 1x 2＝－3k 2＋4 ,设△OAB 的面积为S , 由x 1x 2＝－3k 2＋4<0 ,知S ＝12×1×|x 1－x 2| ＝12(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2k 2＋3(k 2＋4)2,令k 2＋3＝t ,知t ≥3 ,∴S ＝21t ＋1t ＋2. 对函数y ＝t ＋1t (t ≥3) ,知y ′＝1－1t 2＝t 2－1t 2>0 ,∴y ＝t ＋1t 在t ∈[3 ,＋∞)上单调递增 ,∴t ＋1t ≥103 , ∴0<1t ＋1t ＋2≤316 ,∴0<S ≤32.故△OAB 面积的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0 32.第二次作业（高|考）·模拟解答题体验1．(2021·四川成都七中模拟)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1 ,F 2 ,且离心率为22 ,过左焦点F 1的直线l 与C 交于A ,B 两点 ,△ABF 2的周长为4 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)当△ABF 2的面积最|大时 ,求l 的方程．解：(1)由椭圆的定义知4a ＝4 2 ,a ＝ 2 , 由e ＝ca 知c ＝ea ＝1 ,b 2＝a 2－c 2＝1. 所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由(1)知F 1(－1,0) ,F 2(1,0) ,|F 1F 2|＝2 ,设A (x 1 ,y 1) ,B (x 2 ,y 2) ,l ：x ＝my －1 ,联立x ＝my －1与x 22＋y 2＝1 ,得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0 ,|y 1－y 2|＝22m 2＋1m 2＋2 , S △ABF 2＝22m 2＋1(m 2＋2)2＝221m 2＋1＋1m 2＋1＋2, 当m 2＋1＝1 ,m ＝0时 ,S △ABF 2最|大为 2 ,l ：x ＝－1.2．(2021·广东佛山模拟)中|心在坐标原点 ,焦点在x 轴上的椭圆M 的离心率为12 ,椭圆上异于长轴顶点的任意点A 与左、右两焦点F 1 ,F 2构成的三角形中面积的最|大值为 3.(1)求椭圆M 的标准方程；(2)假设A 与C 是椭圆M 上关于x 轴对称的两点 ,连接CF 2与椭圆的另一交点为B ,求证：直线AB 与x 轴交于定点P ,并求P A →·F 2C →的取值范围．解：(1)由题意知c a ＝12 ,12·2c ·b ＝ 3 ,a 2＝b 2＋c 2 ,解得c ＝1 ,a ＝2 ,b ＝ 3.所以椭圆M 的标准方程是x 24＋y 23＝1.(2)证明：设A (x 1 ,y 1) ,B (x 2 ,y 2) ,C (x 1 ,－y 1) ,直线AB ：y ＝kx ＋m . 将y ＝kx ＋m ,代入x 24＋y 23＝1得 , (4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0. 那么x 1＋x 2＝－8km4k 2＋3 ,x 1x 2＝4m 2－124k 2＋3.因为B ,C ,F 2共线 ,所以kBF 2＝kCF 2 , 即kx 2＋m x 2－1＝－(kx 1＋m )x 1－1, 整理得2kx 1x 2＋(m －k )(x 1＋x 2)－2m ＝0 , 所以2k 4m 2－124k 2＋3－(m －k )8km 4k 2＋3－2m ＝0 ,解得m ＝－4k .所以直线AB ：y ＝k (x －4) ,与x 轴交于定点P (4,0)．因为y 21＝3－34x 21 ,所以P A →·F 2C →＝(x 1－4 ,y 1)·(x 1－1 ,－y 1)＝x 21－5x 1＋4－y 21＝74x 21－5x 1＋1＝74⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－1072－187.因为－2<x 1<2 ,所以P A →·F 2C →的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－187 18.3．(2021·广东华南师大附中模拟)点C 是圆F ：(x －1)2＋y 2＝16上任意一点 ,点F ′与圆心F 关于原点对称．线段CF ′的中垂线与CF 交于P 点．(1)求动点P 的轨迹方程E ；(2)设点A (4,0) ,假设直线PQ ⊥x 轴且与曲线E 交于另一点Q ,直线AQ 与直线PF 交于点B ,证明：点B 恒在曲线E 上 ,并求△P AB 面积的最|大值．解：(1)由题意得 ,F 点坐标为(1,0) ,因为P 为CF ′中垂线上的点 ,所以|PF ′|＝|PC |.又|PC |＋|PF |＝4 ,所以|PF ′|＋|PF |＝4>|FF ′|＝2 ,由椭圆的定义知 ,2a ＝4 ,c ＝1 ,所以动点P 的轨迹方程E 为x 24＋y 23＝1.(2)设P 点坐标为(m ,n )(n ≠0) ,那么Q 点的坐标为(m ,－n ) ,且3m 2＋4n 2＝12 ,所以直线QA ：y ＝n4－m (x －4) ,即nx －(4－m )y －4n ＝0 ,直线PF ：y ＝nm －1(x －1) ,即nx －(m －1)y －n ＝0.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧nx －(4－m )y －4n ＝0nx －(m －1)y －n ＝0解得x B ＝5m －82m －5 ,y B ＝3n2m －5,那么x 2B 4＋y 2B 3＝(5m －8)24(2m －5)2＋(3n )23(2m －5)2 ＝25m 2－80m ＋64＋12n 24(2m －5)2 ＝16m 2－80m ＋1004(2m －5)2＝1 , 所以点B 恒在椭圆E 上．设直线PF ：x ＝ty ＋1 ,P (x 1 ,y 1) ,B (x 2 ,y 2) ,那么由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ty ＋13x 2＋4y 2＝12 消去x 整理得(3t 2＋4)y 2＋6ty －9＝0 ,所以y 1＋y 2＝－6t 3t 2＋4 ,y 1y 2＝－93t 2＋4, 所以|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝(－6t 3t 2＋4)2＋363t 2＋4＝12t 2＋13t 2＋4, 从而S △P AB ＝12|F A ||y 1－y 2|＝18t 2＋13t 2＋4＝18t 2＋13(t 2＋1)＋1＝183t 2＋1＋1t 2＋1. 令μ＝t 2＋1(μ≥1) ,那么函数g (μ)＝3μ＋1μ在[1 ,＋∞)上单调递增 ,故g (μ)min ＝g (1)＝4 ,所以S △P AB ≤184＝92 ,即当t ＝0时 ,△P AB 的面积取得最|大值 ,且最|大值为92.4．(2021·河北邢台模拟)椭圆W ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦距与椭圆Ω：x 24＋y 2＝1的短轴长相等 ,且W 与Ω的长轴长相等 ,这两个椭圆在第|一象限的交点为A ,直线l 与直线OA (O 为坐标原点)垂直 ,且l 与W 交于M ,N 两点．(1)求W 的方程；(2)求△MON 的面积的最|大值．解：(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4a 2－b 2＝1 ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝3 故W 的方程为y 24＋x 23＝1. (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧ y 24＋x 23＝1 x 24＋y 2＝1 得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝3613 y 2＝413∴y 2x 2＝19.又A 在第|一象限 ,∴k OA ＝y x ＝13.故可设l 的方程为y ＝－3x ＋m .联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－3x ＋m y 24＋x 23＝1得31x 2－18mx ＋3m 2－12＝0.设M (x 1 ,y 1) ,N (x 2 ,y 2) ,那么x 1＋x 2＝18m 31 ,x 1x 2＝3m 2－1231.∴|MN |＝1＋(－3)2×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10×4331－m 231. 又O 到直线l 的距离为d ＝|m |10, 那么△MON 的面积S ＝12d ·|MN | ＝23|m |31－m 231, ∴S ＝23m 2(31－m 2)31≤331(m 2＋31－m 2)＝ 3 ,当且仅当m 2＝31－m 2 ,即m 2＝312时 ,满足Δ>0 , 故△MON 的面积的最|大值为 3. 5．(2021·天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ,上顶点为B ,椭圆的离心率为53 ,点A 的坐标为(b,0) ,且|FB |·|AB |＝6 2.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：y ＝kx (k >0)与椭圆在第|一象限的交点为P ,且l 与直线AB 交于点Q .假设|AQ ||PQ |＝524sin ∠AOQ (O 为原点) ,求k 的值．解：(1)设椭圆的焦距为2c ,由有c 2a 2＝59 ,又由a 2＝b 2＋c 2 ,可得2a ＝3b .由可得 ,|FB |＝a ,|AB |＝2b ,由|FB |·|AB |＝6 2 ,可得ab ＝6 ,从而a ＝3 ,b ＝2.所以 ,椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.(2)设点P 的坐标为(x 1 ,y 1) ,点Q 的坐标为(x 2 ,y 2)．由有y 1>y 2>0 ,故|PQ |sin ∠AOQ ＝y 1－y 2.又因为|AQ |＝y 2sin ∠OAB, 而∠OAB ＝π4 ,故|AQ |＝2y 2.由|AQ ||PQ |＝524sin ∠AOQ ,可得5y 1＝9y 2.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx x 29＋y 24＝1 消去x ,可得y 1＝6k 9k 2＋4 .易知直线AB 的方程为x ＋y －2＝0 ,由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kxx ＋y －2＝0消去x ,可得y 2＝2k k ＋1. 由5y 1＝9y 2 ,可得5(k ＋1)＝39k 2＋4 ,两边平方 ,整理得56k 2－50k ＋11＝0 ,解得k ＝12 ,或k ＝1128.所以 ,k 的值为12或1128.。

2020届高考总复习单元滚动测试卷文科数学答案

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2020年高考数学一轮复习单元滚动检测卷系列一(含答案解析)

2020年高考数学一轮复习单元滚动检测卷系列考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．滚动检测一第Ⅰ卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M ＝{x ∈R |y ＝lg(2－x )}，N ＝{y ∈R |y ＝2x －1}，则( )A ．M ＝NB ．M ∩N ＝∅C ．M ⊇ND ．M ∪N ＝R 2．函数f (x )＝11－x＋lg(1＋x )的定义域是( ) A ．(－∞，－1) B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞) 3．已知命题p ：△ABC 中，AB →·AC→<0，命题q ：△ABC 是钝角三角形，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．命题“∃x 0∈[π2，π]，sin x 0－cos x 0>2”的否定是( )A ．∀x ∈[π2，π]，sin x －cos x <2B ．∃x 0∈[π2，π]，sin x 0－cos x 0≤2C ．∀x ∈[π2，π]，sin x －cos x ≤2D ．∃x 0∈[π2，π]，sin x 0－cos x 0<25．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a 等于( )A ．6B ．－6C ．0D ．126．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧0，x ≤0，e x ，x >0，则使函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点的实数m 的取值范围是( )A ．[0,1)B ．(－∞，1)C ．(－∞，0]∪(1，＋∞)D ．(－∞，1]∪(2，＋∞) 7．对于非空集合A ，B ，定义运算：A B ＝{x |x ∈A ∪B ，且x ∉A ∩B }，已知M ＝{x |a <x <b }，N ＝{x |c <x <d }，其中a 、b 、c 、d 满足a ＋b ＝c ＋d ，ab <cd <0，则M N 等于( )A ．(a ，d )∪(b ，c )B ．(c ，a ]∪[b ，d )C ．(a ，c ]∪[d ，b )D ．(c ，a )∪(d ，b )8．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2－2x ＋a ，x <0，－x 2＋1＋a ，x ≥0，且函数y ＝f (x )－x 恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．[－1,0)C ．[－1，＋∞)D ．[－2，＋∞)第Ⅱ卷二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上)9．已知命题p ：－4<x －a <4，命题q ：(x －2)(3－x )>0，若綈p 是綈q 的充分条件，则实数a 的取值范围是______________．10．若函数f (x )＝log 0.5(3x 2－ax ＋5)在(－1，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是__________．11．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝________. 12．若函数f (x )是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧ x (1－x )，0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f (294)＋f (416)＝________. 13．已知m ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧ 3x －m ，x ≤2，－x －2m ，x >2，若f (2－m )＝f (2＋m )，则实数m 的值为________．14．设函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －a ，x ＜1，4(x －a )(x －2a )，x ≥1.(1)若a ＝1，则f (x )的最小值为________；(2)若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是_____________．三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(13分)已知集合A ＝{x ||x －a |≤2}，B ＝{x |lg(x 2＋6x ＋9)>0}．(1)求集合A 和∁R B ；(2)若A ⊆B ，求实数a 的取值范围．16．(13分)设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0(其中a ≠0)，q ：实数x 满足x －3x －2<0. (1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．17.(13分)已知函数f(x)的定义域为(－2,2)，函数g(x)＝f(x－1)＋f(3－2x)．(1)求函数g(x)的定义域；(2)若f(x)是奇函数，且在定义域上单调递减，求不等式g(x)≤0的解集．18．(13分)设集合A为函数y＝ln(－x2－2x＋8)的定义域，集合B为函数y＝x＋1 x＋1的值域，集合C为不等式(ax－1a)·(x＋4)≤0的解集．(1)求A∩B；(2)若C⊆∁R A，求a的取值范围．19．(14分)经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，旅游人数f(t)(万人)与时间t(天)的函数关系近似地满足f(t)＝4＋1t，人均消费g(t)(元)与时间t(天)的函数关系近似地满足g(t)＝115－|t－15|.(1)求该城市的旅游日收益ω(t)(万元)与时间t(1≤t≤30，t∈N)的函数关系式；(2)求该城市的旅游日收益的最小值．20．(14分)已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋2是奇函数．(1)求b的值；(2)判断函数f(x)的单调性并证明；(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．答案解析1．D [集合M 是函数y ＝lg(2－x )的定义域，所以M ＝(－∞，2)，集合N 为函数y ＝2x －1的值域，所以N ＝(0，＋∞)，所以M ∪N ＝R .]2．C [∵⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≠0，1＋x >0，∴x >－1且x ≠1，所以C 为正确选项，故选C.]3．A [由于在△ABC 中，AB →·AC→<0，可得A 为钝角，故△ABC 是钝角三角形，反之不成立，可能是B ，C 之一为钝角．故p 是q 的充分不必要条件．]4．C [特称命题的否定是全称命题，改量词并否定结论，所以C 正确．]5．B [作出函数f (x )的图象，可知函数f (x )在(－∞，－a 2]上单调递减，在[－a 2，＋∞)上单调递增．又已知函数f (x )的单调递增区间是[3，＋∞)，所以－a 2＝3，解得a ＝－6.]6．C [设函数h (x )＝f (x )＋x ，当x ≤0时，h (x )＝x 是增函数，此时h (x )的值域是(－∞，0]；当x >0时，h (x )＝e x ＋x 是增函数，此时h (x )的值域(1，＋∞)．综上，h (x )的值域是(－∞，0]∪(1，＋∞)．函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点，即方程f (x )＋x －m ＝0有解，也即方程m ＝f (x )＋x 有解．故m 的取值范围是(－∞，0]∪(1，＋∞)．]7．C [由新定义的概念可知当a ＋b ＝c ＋d ，ab <cd <0时，a <c <d <b .再由题意可知M N ＝(a ，c ]∪[d ，b )，根据选项可知应为C.故选C.]8．B [函数y ＝f (x )－x 恰有3个不同的零点等价于函数y＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ，x <0，－x 2－x ＋1，x ≥0的图象与直线y ＝－a 有3个不同的交点，作出图象，如图所示，可得当0<－a ≤1时，满足题意，故－1≤a <0.故选B.]9．[－1,6]解析由p ：－4<x －a <4成立，得a －4<x <a ＋4；由q ：(x －2)(3－x )>0成立，得2<x <3，所以綈p ：x ≤a －4或x ≥a ＋4，綈q ：x ≤2或x ≥3，又綈p 是綈q 的充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －4≤2，a ＋4≥3，解得－1≤a ≤6，故答案为[－1,6]． 10．[－8，－6]解析设g (x )＝3x 2－ax ＋5，由已知得⎩⎨⎧ a 6≤－1，g (－1)≥0，解得－8≤a ≤－6.11．－74解析若a ≤1，f (a )＝2a －1－2＝－3,2a －1＝－1(无解)；若a >1，f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3，a ＝7，f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝14－2＝－74.12.516解析因为函数f (x )的周期是4，则f (294)＝f (8－34)＝f (－34)，∵f (x )是奇函数，∴f (－34)＝－f (34)＝－34×14＝－316，f (416)＝f (8－76)＝f (－76)＝－f (76)＝－sin 7π6＝sin π6＝12，则f (294)＋f (416)＝－316＋12＝516.13．8或－83解析若m >0，则f (2－m )＝3(2－m )－m ＝6－4m ，f (2＋m )＝－(2＋m )－2m ＝－2－3m ，∴6－4m ＝－2－3m ，解得m ＝8.若m <0，则f (2－m )＝－(2－m )－2m ＝－2－m ，f (2＋m )＝3(2＋m )－m ＝6＋2m ，∴－2－m ＝6＋2m ，解得m ＝－83.14．(1)－1 (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪[2，＋∞) 解析 (1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x <1，4(x －1)(x －2)，x ≥1. 当x <1时，f (x )＝2x －1∈(－1,1)，当x ≥1时，f (x )＝4(x 2－3x ＋2)＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－14≥－1， ∴f (x )min ＝－1.(2)由于f (x )恰有2个零点，分两种情况讨论：当f (x )＝2x －a ，x <1没有零点时，a ≥2或a ≤0.当a ≥2时，f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1时，有2个零点；当a ≤0时，f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1时无零点．因此a ≥2满足题意．当f (x )＝2x －a ，x <1有一个零点时， 0<a <2.f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1有一个零点，此时a <1, 2a ≥1，因此12≤a <1.综上知实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |12≤a <1或a ≥2. 15．解 (1)∵|x －a |≤2⇔－2≤x －a ≤2⇔a －2≤x ≤2＋a ，∴集合A ＝{x |－2＋a ≤x ≤2＋a }，∵lg(x 2＋6x ＋9)>0，∴x 2＋6x ＋9>1，∴集合B ＝{x |x <－4或x >－2}．∴∁R B ＝[－4，－2]．(2)由A ⊆B ，得2＋a <－4或者－2<－2＋a .解得a <－6或a >0，所以a 的取值范围为{a |a <－6或a >0}．16．解 (1)当a ＝1时，由x 2－4ax ＋3a 2<0，解得1<x <3，即p 为真时，实数x 的取值范围是(1,3)；由x －3x －2<0，解得2<x <3，即q 为真时，实数x 的取值范围是(2,3)．若p ∧q 为真，则p 为真且q 为真，所以实数x 的取值范围是(2,3)．(2)由x 2－4ax ＋3a 2<0，得(x －3a )(x －a )<0.当a >0时，p ：a <x <3a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤2，3a ≥3，解得1≤a ≤2；当a <0时，p ：3a <x <a ，而⎩⎪⎨⎪⎧3a ≤2，a ≥3无解，不合题意．所以实数a 的取值范围是[1,2]．17．解 (1)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ －2<x －1<2，－2<3－2x <2，解得12<x <52， ∴函数g (x )的定义域为(12，52)．(2)由g (x )≤0得f (x －1)＋f (3－2x )≤0， ∴f (x －1)≤－f (3－2x )．∵f (x )是奇函数，∴f (x －1)≤f (2x －3)．又∵f (x )在(－2,2)上单调递减，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2<x －1<2，－2<2x －3<2，x －1≥2x －3.解得12<x ≤2，∴g (x )≤0的解集为(12，2]．18．解 (1)由－x 2－2x ＋8>0得－4<x <2，即A ＝(－4,2)，∁R A ＝(－∞，－4]∪[2，＋∞)． y ＝x ＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1－1，当x ＋1>0，即x >－1时y ≥2－1＝1，此时x ＝0，符合要求；当x ＋1<0，即x <－1时，y ≤－2－1＝－3，此时x ＝－2，符合要求．所以B ＝(－∞，－3]∪[1，＋∞)，所以A ∩B ＝(－4，－3]∪[1,2)．(2)(ax －1a )(x ＋4)＝0有两根x ＝－4或x ＝1a 2.当a >0时，C ＝{x |－4≤x ≤1a 2}，不可能C ⊆∁R A ；当a <0时，C ＝{x |x ≤－4或x ≥1a 2}，若C ⊆∁R A ，则1a 2≥2，∴a 2≤12，∴－22≤a <0.故a 的取值范围为[－22，0)．19．解 (1)由题意得，ω(t )＝f (t )·g (t )＝(4＋1t )(115－|t －15|)(1≤t ≤30，t ∈N )，即ω(t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (4＋1t )(t ＋100)(1≤t <15，t ∈N )，(4＋1t )(130－t )(15≤t ≤30，t ∈N ).(2)①当1≤t <15，t ∈N 时，ω(t )＝(4＋1t )(t ＋100)＝4(t ＋25t )＋401≥4×225＋401＝441，当且仅当t ＝25t ，即t ＝5时取等号，此时ω(t )取最小值，为441；②当15≤t ≤30，t ∈N 时，ω(t )＝(4＋1t )(130－t )＝519＋(130t －4t )，易知ω(t )在[15,30]上单调递减，所以当t ＝30时，ω(t )取最小值，为40313.因为40313<441，所以该城市旅游日收益的最小值为40313万元．20．解 (1)∵f (x )在定义域R 上是奇函数， ∴f (0)＝0，即b －12＋2＝0，∴b ＝1.(2)由(1)知f (x )＝1－2x 2＋2x ＋1＝－12＋12x ＋1. 设x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝12x 1＋1－12x 2＋1＝2x2－2x1(2x1＋1)(2x2＋1).∵函数y＝2x在R上是增函数且x1<x2，∴2x2－2x1>0.又(2x1＋1)(2x2＋1)>0，∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．(3)∵f(x)是奇函数，∴不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(k －2t2)，∵f(x)为减函数，由上式推得t2－2t>k－2t2.即对一切t∈R,3t2－2t－k>0，从而判别式Δ＝4＋12k<0⇒k<－13.∴k的取值范围是(－∞，－1 3)．。

2020届高考总复习单元滚动测试卷理科数学答案

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江苏专版2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测五十五直接证明与间接证明理含解析苏教版

解析：因为 0＜a＜1,0＜b＜1，且 a≠b，所以 a＋b＞2 ab，a2＋b2＞2ab，a＋b－(a2＋b2)＝ a(1－a)＋b(1－b)＞0，所以 a＋b 最大．
答案：a＋b
6．如果 a a＋b b＞a b＋b a，则 a，b 应满足的条件是__________．
解析：a a＋b b＞a b＋b a，即( a－ b)2( a＋ b)＞0，需满足 a≥0，b≥0 且 a≠b.
解：(1)设等差数列{an}的公差为 d，
则Error!解得 a1＝1，d＝2.
故所求的通项公式为 an＝2n－1.
(2)证明：由(1)可知 Sn＝n2，112来自要证原不等式成立，只需证
＋
＞，
n－12 n＋12 n2
即证[(n＋1)2＋(n－1)2]n2＞2(n2－1)2，
只需证(n2＋1)n2＞(n2－1)2，
②
1 1－z x＋y 2 xy
－1＝＝＞，
③
z
zzz
又 x，y，z 为正数，由①×②×③，
( )( )( ) 1 1 1
得－1 －1 －1 ＞8. xyz
9．已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a3＝5，S8＝64. (1)求数列{an}的通项公式；
1 12 (2)求证：Sn－1＋Sn＋1＞Sn(n≥2，n∈N*)．
1 (2)由题意，得数列{bn}的公差为 20，{cn}的公比为3，所以 bn＝1＋20(n－1)＝20n－19，
( )1
cn＝81· 3 n－1＝35－n， an＝bn＋cn＝20n－19＋35－n.
304 a1＝a5＝82，但 a2＝48，a6＝ 3 ，a2≠a6，所以{an}不具有性质 P. (3)证明：充分性：当{bn}为常数列时，an＋1＝b1＋sin an. 对任意给定的 a1，若 ap＝aq，则 b1＋sin ap＝b1＋sin aq，即 ap＋1＝aq＋1，充分性得证．必要性：假设{bn}不是常数列，则存在 k∈N*，使得 b1＝b2＝…＝bk＝b，而 bk＋1≠b. 下面证明存在满足 an＋1＝bn＋sin an 的数列{an}，使得 a1＝a2＝…＝ak＋1，但 ak＋2≠ak＋1. 设 f(x)＝x－sin x－b，取 m∈N*，使得 mπ＞|b|，则 f(mπ)＝mπ－b＞0，f(－mπ)＝－mπ－b＜0，故存在 c 使得 f(c)＝0. 取 a1＝c，因为 an＋1＝b＋sin an(1≤n≤k)，所以 a2＝b＋sin c＝c＝a1，

高考数学课时55 证明单元滚动精准测试卷文试题

课时55 证明本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

模拟训练〔分值：60分建议用时：30分钟〕1．〔2021·丽星中学高三上学期期中考试,5分〕命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos2θ〞的证明：“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ－sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos2θ〞过程应用了( )A ．分析法B ．综合法C ．综合法、分析法综合使用D ．间接证明法【答案】B【解析】因为证明过程是“从左往右〞，即由条件⇒结论．2．〔2021·吉水中学高三第二次月考,5分〕设a ，b ，c ∈(－∞，0)，那么a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a( )A ．都不大于－2B ．都不小于－2C ．至少有一个不大于－2D ．至少有一个不小于－2【答案】C【解析】因为a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a≤－6，所以三者不能都大于－2.3．〔2021·梁山二中高三12月月考,5分〕要证：a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( ) A ．2ab －1－a 2b 2≤0B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0C.a ＋b22－1－a 2b 2≤0D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0【答案】D【解析】因为a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0⇔(a 2－1)(b 2－1)≥0.4．〔2021·顺德容山中学高三上学期第一次月考试题,5分〕假设a ＞b ＞0，那么以下不等式中总成立的是( )A ．a ＋1b ＞b ＋1aB.b a ＞b ＋1a ＋1C ．a ＋1a ＞b ＋1bD.2a ＋b a ＋2b ＞ab【答案】A5．〔2021·树德协进中学上学期期中,5分〕①p 3＋q 3＝2，求证p ＋q ≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2，②a ，b ∈R ，|a |＋|b |<1，求证方程x 2＋ax ＋bx 1的绝对值大于或者等于1，即假设|x 1|≥1.以下结论正确的选项是( )A ．①与②的假设都错误B ．①与②的假设都正确C ．①的假设正确；②的假设错误D ．①的假设错误；②的假设正确【答案】D【解析】反证法的本质是命题的等价性，因为命题p 与命题的否认¬p 真假相对，故直接证明困难时，可用反证法．应选D.6.〔2021·翔安第一中学高三12月月考,5分〕假设a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，M ＝a b ＋ba，N ＝a ＋b ，那么M 与N 的大小关系是( )A ．M ＞NB ．M ＜NC ．M ≥ND ．M ≤N【答案】A7．〔2021·十二校新高考研究联盟高三第一次联考,5分〕在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足_________．【答案】a2>b2＋c2【解析】由余弦定理cos A＝b2＋c2－a22bc<0，所以b2＋c2－a2<0，即a2>b2＋c2.8．〔2021·新田一中高三第五次月考试题,5分〕设x，y，z是空间的不同直线或者不同平面，且直线不在平面内，以下条件中能保证“假设x⊥z，且y⊥z，那么x∥y〞为真命题的是________(填所有正确条件的代号)．①x为直线，y，z为平面；②x，y，z为平面；③x，y为直线，z为平面；④x，y为平面，z为直线；⑤x，y，z为直线．【答案】①③④【解析】①中x⊥平面z，平面y⊥平面z，∴x∥平面y或者x⊂平面y.又∵x⊄平面y，故x∥y成立．②中假设x，y，z均为平面，那么x可与y相交，故②不成立．③x⊥z，y⊥z，x，y为不同直线，故x∥y成立．④z⊥x，z⊥y，z为直线，x，y为平面可得x∥y，④成立．⑤x，y，z均为直线可异面垂直，故⑤不成立．9．〔2021·湄潭中学高三第五次月考,10分〕a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：b2－ac＜3a.10．〔2021·红色六校高三第一次联考,10分〕三个方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0，其中至少有一个方程有实根，务实数a 的取值范围．【解析】假设三个方程都无实根，那么⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝16a 2－4－4a ＋3＜0Δ2＝a －12－4a 2＜0Δ3＝4a 2＋4×2a ＜0，解得－32＜a ＜－1，故当三个方程至少有一个方程有实根时，实数a 的取值范围为{a |a ≤－32或者a ≥－1}．[新题训练] 〔分值：10分建议用时：10分钟〕11．〔5分〕x 1>0，x 1≠1且x n ＋1＝x n ·(x 2n ＋3)3x 2n ＋1(n ＝1,2，…)，试证：“数列{x n }对任意的正整数n ，都满足x n >x n ＋1，〞当此题用反证法否认结论时应为( )A ．对任意的正整数n ，有x n ＝x n ＋1B ．存在正整数n ，使x n ≤x n ＋1C ．存在正整数n ，使x n ≥x n －1，且x n ≥x n ＋1D．存在正整数n，使(x n－x n－1)(x n－x n＋1)≥0【答案】B【解析】根据全称命题的否认，是特称命题，即“数列{x n}对任意的正整数n，都满足x n>x n＋1〞的否认为“存在正整数n，使x n≤x n＋1〞，应选B.12．〔5分〕假如a a＋b b>a b＋b a，那么a、b应满足的条件是________．本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

2020版高考数学理科人教B版一轮温习课时标准练55分类加法计数原理与分步乘法计数原理

课时标准练55分类加法计数原理与分步乘法计数原理基础巩固组1.已知两条异面直线a,b上别离有5个点和8个点,那么这13个点能够确信不同的平面个数为()2.现有6名同窗去听同时进行的5个课外知识讲座,每名同窗可自由选择其中的一个讲座,不同选法的种数是()C.5×6×5×4×3×22×5×4×3×23.现有4种不同颜色要对如下图的四个部份进行着色,要求有公共边界的两块不能用同一种颜色,那么不同的着色方式共有()种种种种4.(2018山西一模)某天的值日工作由4名同窗负责,且其中1人负责清理讲台,另1人负责扫地,其余2人负责拖地,那么不同的分工共有()种种种种5.(2018北京一零一中学3月模拟)某学校开设“蓝天工程博览课程”,组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆,每一个年级任选一个博物馆参观,那么有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有()A.A62×A54种B.A62×54种C.C62×54种D.C62×A54种6.(2018辽宁丹东模拟)现将5张连号的电影票分给甲、乙等5个人,每人一张,且甲、乙分得的电影票连号,那么共有不同分法的种数为()7.(2018黑龙江牡丹江)将数字1,2,3,4,填入下面的表格内,要求每行、每列的数字互不相同,如下图,那么不同的填表方式共有()种8.(2018新疆乌鲁木齐二诊)有五名同窗站成一排照毕业纪念照,其中甲不能和乙站在一路,而且乙、丙两位同窗要站在一路,那么不同的站法种数有(用数字作答).9.假设甲、乙两人从4门课程中各选修2门,那么甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共有种.10.三边长均为正整数,且最大边长为11的三角形的个数是.综合提升组11.从0,2当选一个数字,从1,3,5当选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为()12.(2018内蒙古赤峰模拟)把2支相同的晨光签字笔,3支相同的英雄钢笔,全数分给4名优秀学生,每名学生至少1支,那么不同的分法有()种种种种13.(2018浙江宁波模拟)现有红、黄、蓝、绿四个骰子,每一个骰子的六个面上的数字别离为1,2,3,4,5,6.假设同时掷这四个骰子,那么四个骰子朝上的数字之积等于24的情形共有种(请用数字作答).14.如下图,一个地域分为5个行政区域,现给该地域的地图涂色,要求相邻区域不得利用同一种颜色,现有4种颜色可供选择,那么涂色方式共有的种数为.15.咱们把中间位上的数字最大,而两边依次减小的多位数称为“凸数”.如132,341等,那么由1,2,3,4,5能够组成无重复数字的三位凸数的个数是.创新应用组16.(2018天津模拟)将数字“124470”从头排列后取得不同的偶数个数为()17.对甲、乙、丙、丁四人进行编号,甲不编“1”号、乙不编“2”号、丙不编“3”号、丁不编“4”号的不同编号方式有()种种种种18.如图,在由假设干个一样小的平行四边形组成的大平行四边形内有一个★,那么含有★的平行四边形共有个.(用数字作答)课时标准练55分类加法计数原理与分步乘法计数原理分两类情形讨论:第1类,直线a别离与直线b上的8个点能够确信8个不同的平面;第2类,直线b别离与直线a上的5个点能够确信5个不同的平面.依照分类加法计数原理知,共能够确信8+5=13个不同的平面.6名同窗中的每一名同窗都能够从5个课外知识讲座中任选一个,由分步乘法计数原理可知不同的选法种数是56.应选A.按A→B→C→D的顺序分四步着色,共有4×3×2×2=48种不同的着色方式.方式数有C41C31=12种.应选B.因为有且只有两个年级选择甲博物馆,因此参观甲博物馆的年级有C62种情形,其余年级均有5种选择,因此共有54种情形,依照分步乘法计数原理可得共有C62×54种情形,应选C.先从4组2张连号票,比如(1,2)(2,3)(3,4)(4,5)中掏出一组,分给甲、乙两人,共有C41A22=8种,其余的3张票随意分给剩余的3人,共有A33=6种方式,依照分步乘法计数原理可知,共有8×6=48种不同的分法,应选C.对符合题意的一种填法如图,行互换共有A44=24种,列互换共有A44=24种,因此依照分步乘法计数原理取得不同的填表方式共有24×24=576种,应选B.依照题意,先排除甲后的其余4人进行排列,因为乙、丙两位同窗要站在一路,故将乙、丙“捆绑”再与其余2人进行全排,共有A33A22=12种不同的排法,再将甲插空,由于甲不能和乙站在一路,故甲有3种插法,因此依照分步乘法计数原理,不同的站法有12×3=36种.故答案为36.分步完成,第一甲、乙两人从4门课程中同选1门,有4种方式;第二甲从剩下的3门课程中任选1门,有3种方式;最后乙从剩下的2门课程中任选1门,有2种方式.于是,甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共有4×3×2=24(种).另两边长用x,y(x,y∈N*)表示,不妨设1≤x≤y≤11,要组成三角形,必需x+y≥12.当y取11时,x可取1,2,3,…,11,有11个三角形;当y取10时,x可取2,3,…,10,有9个三角形;……当y取6时,x只能取6,只有1个三角形.因此所求三角形的个数为11+9+7+5+3+1=36.三位数可分成两类,第一类是奇偶奇,其中个位有3种选择,十位有2种选择,百位有2种选择,共有3×2×2=12(个);第二类是偶奇奇,个位有3种选择,十位有2种选择,百位有1种选择,共有3×2×1=6(个).故由分类加法计数原理,可知共有奇数12+6=18(个).应选B.第一类,有一个人分到一支钢笔和一支签字笔,这种情形下的分法有:先将一支钢笔和一支签字笔分给一个人,有4种分法,将剩余的2支钢笔, 1支签字笔分给剩余3名同窗,有3种分法,共有3×4=12种不同的分法;第二类,有一个人分到两支签字笔,这种情形下的分法有:先将两支签字笔分给一个人,有4种情形,将剩余的3支钢笔分给剩余3个人,只有1种分法,共有4×1=4种不同的分法;第三类,有一个人分到两支钢笔,这种情形的分法有:先将两支钢笔分给一个人,有4种情形,再将剩余的两支签字笔和一支钢笔分给剩余的3个人,有3种分法,那共有3×4=12种不同的分法.综上所述,总共有12+4+12=28种不同的分法.应选B.因为24=6×4×1×1=6×2×2×1=4×3×2×1=3×2×2×2,关于上述四种情形掷这四个骰子时,别离有A42=12,C41×C32=12,A44=24,C41=4种情形,综上共有12+12+24+4=52种情形.因为区域1与其他4个区域都相邻,第一考虑区域1,有4种涂法,然后再按区域2,4同色和不同色,分为两类:第一类,区域2,4同色,有3种涂法,现在区域3,5均有2种涂法,共有4×3×2×2=48种涂法;第二类,区域2,4不同色,先涂区域2,有3种涂法,再涂区域4,有2种涂法,现在区域3,5都只有1种涂法,共有4×3×2×1×1=24种涂法.依照分类加法计数原理知,共有48+24=72种知足条件的涂色方式.依照“凸数”的特点,中间的数字只能是3,4,5,故分三类,第一类,当中间数字为3时,现在有2种(132,231);第二类,当中间数字为4时,从1,2,3中任取两个放在4的两边,故有A32=6种;第三类,当中间数字为5时,从1,2,3,4中任取两个放在5的两边,故有A42=12种;依照分类加法计数原理知,由1,2,3,4,5能够组成无重复数字的三位凸数的个数是2+6+12=20.依照题意,分3种情形讨论:①个位数字为0,在前面5个数位中任选2个,安排2个数字4,有C52=10种情形,将剩下的3个数字全排列,安排在其他的数位,有A33=6种情形,那么现在有10×6=60个偶数,②个位数字为2,0不能在首位,有4种情形,在剩下的4个数位中任选2个,安排2个数字4,有C42=6种情形,将剩下的2个数字全排列,安排在其他的数位,有A22=2种情形,那么现在有4×6×2=48个偶数,③个位数字为4,0不能在首位,有4种情形,将剩下的4个数字全排列,安排在其他的数位,有A44=24种情形,那么现在有4×24=96个偶数.共有60+48+96=204个不同的偶数;应选C.依题意,符合要求的编号方式为“1”号是乙、丙、丁三人中的某一个.①当乙的编号为“1”时,显然,现在有3种不同的编号方式;②当丙的编号为“1”时,显然,现在有3种不同的编号方式;③当丁的编号为“1”时,显然,现在有3种不同的编号方式.由分类加法计数原理,知不同的编号方式有3+3+3=9(种).含有★的平行四边形的左上角的极点有4种可能,右下角的极点有12种可能.由一个左上角极点和一个右下角极点就能够组成一个平行四边形,因此共有48个含有★的平行四边形.。

2020步步高《单元滚动检测卷》高考数学苏教版数学(文)精练十二推理与证明、算法、复数

高三单元滚动检测卷·数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(填空题)和第Ⅱ卷(解答题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分160分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．单元检测十二推理与证明、算法、复数第Ⅰ卷一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中横线上)1．(2020·桂林模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则a 1＝1，S n ＝n 2a n ，试归纳猜想出S n 的表达式为________．2．如图所示，阅读流程图，如果输出的函数值在区间[1,3]上，则输入的实数x 的取值范围是________________．3．设a 是实数，且a1＋i＋1－i 2是实数，则a ＝________.4．四个小动物换座位，开始是鼠，猴，兔，猫分别坐1,2,3,4号位子上(如图)，第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2 009次互换座位后，小兔的座位对应的编号是________.5．如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当F B →⊥A B →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e ＝____________.6．(2020·苏州模拟)设x ，y ，z ∈(0，＋∞)，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x ，则a ，b ，c 三数满足的条件是________． ①至少有一个不大于2； ②都小于2；③至少有一个不小于2； ④都大于2.7．设复数z ＝7＋i 3＋4i －isin θ，其中i 为虚数单位，θ∈[－π6，5π6]，则|z |的取值范围是__________．8．(2020·淮安质检)已知数列{a n }的各项均为正数，观察流程图，若k ＝5，k ＝10时，分别有S ＝511和S ＝1021，则数列{a n }的通项公式为__________．9．观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12……则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为________．10．如图所示的是由火柴棒拼成的一列图形，第n 个图形由n 个正方形组成，通过观察可以发现第4个图形中，火柴棒有________根；第n 个图形中，火柴棒有________根．11．在复平面内复数11＋i ，11－i 对应的点分别为M ，N ，若点P 为线段MN 的中点，则点P对应的复数是________．12．(2020·镇江检测)执行如图所示的流程图，若输出的结果是8，则输入的数是________．13.如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2,3出现在第2行；数字6,5,4(从左至右)出现在第3行；数字7,8,9,10出现在第4行；依此类推，则第63行从左至右的第2个数应是________．14．执行下面的流程图，若输入的ε的值为0.25，则输出的n的值为________．第Ⅱ卷二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(14分)已知复数z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i(m∈R)的共扼复数z对应的点在第一象限，求实数m的集合．16.(14分)有一种密英文的明文(真实文)按字母分解，其中英文的a ，b ，c ，…，z 的26个字母(不分大小写)，依次对应1,2,3，…，26这26个自然数，见如下表格：X ′＝⎩⎨⎧x ＋12(x ∈N ，1≤x ≤26，x 不能被2整除)x2＋13(x ∈N ，1≤x ≤26，x 能被2整除)将明文转换成密文，如8→82＋13＝17，即h 变成q ；如5→5＋12＝3，即e 变成c .(1)按上述规定，将明文good 译成的密文是什么？(2)按上述规定，若将某明文译成的英文是shxc ，那么原来的明文是什么？17．(14分)已知m ＞0，a ，b ∈R ，用分析法证明：(a ＋mb 1＋m )2≤a 2＋mb 21＋m .18．(16分)(2020·徐州模拟)如图的程序可产生一系列随机数，其工作原理如下：①从集合D 中随机抽取1个数作为自变量x 输入；②从函数f (x )与g (x )中随机选择一个作为H (x )进行计算；③输出函数值y .若D ＝{1,2,3,4,5}，f (x )＝3x ＋1，g (x )＝x 2.(1)求y ＝4的概率；(2)将程序运行一次，求输出的结果是奇数的概率．19.(16分)一企业生产的某产品在不做电视广告的前提下，每天销售量为b件．经市场调查后得到如下规律：若对产品进行电视广告的宣传，每天的销售量S(件)与电视广告每天的播放量n(次)的关系可用如图所示的流程图来体现．(1)试写出该产品每天的销售量S(件)关于电视广告每天的播放量n(次)的函数关系式；(2)要使该产品每天的销售量比不做电视广告时的销售量至少增加90%，则每天电视广告的播放量至少需多少次？20．(16分)在递增数列{a n}中，a1＝2，不等式(n＋1)a n≥na2n，对任意n∈N*都成立．(1)求a2的取值范围；(2)判断数列{a n}能否为等比数列，并说明理由．答案解析1．S n ＝2n n ＋1解析 S n ＝n 2a n ＝n 2(S n －S n －1)， ∴S n ＝n 2n 2－1S n －1，S 1＝a 1＝1，则S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85.∴猜想得S n ＝2nn ＋1.2．{x ∈R |0≤x ≤log 23或x ＝2} 解析依题意及框图可得，⎩⎪⎨⎪⎧ －2＜x ＜2，1≤2x≤3或⎩⎪⎨⎪⎧|x |≥2，1≤x ＋1≤3，解得0≤x ≤log 23或x ＝2. 3．－1 解析a 1＋i ＋1－i 2＝a (1－i )(1＋i )(1－i )＋(12－12i)＝(a 2＋12)－(a 2＋12)i ，由题意知a 2＋12＝0， ∴a ＝－1. 4．1解析由图，经过四次交换后，每个小动物又回到了原来的位置，故此变换的规律是周期为4， ∵2 009＝4×502＋1，∴第2 009次互换座位后，小兔的座位对应的是编号1. 5.5＋12解析根据“黄金椭圆”的性质是F B →⊥A B →，可以得到“黄金双曲线”也满足这个性质，设“黄金双曲线”方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则B (0，b )，F (－c,0)，A (a,0)，在“黄金双曲线”中， ∵F B →⊥A B →，∴F B →·A B →＝0，又F B →＝(c ，b )，A B →＝(－a ，b )， ∴b 2＝ac ，而b 2＝c 2－a 2， ∴c 2－a 2＝ac ，在等号两边同除以a 2得e ＝5＋12. 6．③解析 ∵a ＋b ＋c ＝1x ＋x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ≥6，∴a ，b ，c 至少有一个不小于2. 7．[52，5] 解析 z ＝7＋i 3＋4i －isin θ＝(7＋i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i )－isin θ＝25－25i25－isin θ＝1－(1＋sin θ)i ，所以|z |＝1＋(sin θ＋1)2，由θ∈[－π6，5π6]知12≤sin θ＋1≤2，所以52≤|z |≤ 5. 8．a n ＝2n －1解析当i ＝1时，a 2＝a 1＋d ，M ＝1a 1a 2，S ＝1a 1a 2；当i ＝2时，a 3＝a 2＋d ，M ＝1a 2a 3，S ＝1a 1a 2＋1a 2a 3；当i ＝3时，a 4＝a 3＋d ，M ＝1a 3a 4，S ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 3a 4； …因此，由流程图可知，数列{a n }是等差数列，首项为a 1，公差为d . 当k ＝5时，S ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 3a 4＋1a 4a 5＋1a 5a 6＝(1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋1a 3－1a 4＋1a 4－1a 5＋1a 5－1a 6)1d ＝⎝⎛⎭⎫1a 1－1a 61d ＝5a 1a 6＝511， ∴a 1a 6＝11，即a 1(a 1＋5d )＝11.① 当k ＝10时，S ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a 10a 11＝⎝⎛⎭⎫1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a 10－1a 111d ＝⎝⎛⎭⎫1a 1－1a 111d ＝10a 1a 11＝1021， ∴a 1a 11＝21，即a 1(a 1＋10d )＝21.② 由①②得a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝2n －1. 9．80解析由已知条件知|x |＋|y |＝n 的不同整数解(x ，y )的个数为4n ， ∴|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为4×20＝80. 10．13 3n ＋1解析易得第4个图形中有13根火柴棒，通过观察可得，每增加一个正方形，需增加三根火柴棒，所以第n 个图形中的火柴棒为4＋3(n －1)＝3n ＋1根． 11.12解析 ∵11＋i ＝1－i (1＋i )(1－i )＝1－i 2，11－i ＝1＋i (1－i )(1＋i )＝1＋i 2，∴M ⎝⎛⎭⎫12，－12，N ⎝⎛⎭⎫12，12，而P 是MN 的中点， ∴P ⎝⎛⎭⎫12，0，故点P 对应的复数为12. 12．2或－2 2解析由 a ≥b ，得x 2≥x 3，解得x ≤1，所以当x ≤1时，输出a ＝x 2，当x ＞1时，输出b ＝x 3，当x ≤1时，由a ＝x 2＝8，解得x ＝－8＝－2 2.当x ＞1时，由b ＝x 3＝8，得x ＝2，所以输入的数为2或－2 2. 13．2 015解析由题意可知：每行的行号数和这一行的数字的个数相同，奇数行的数字从左向右依次减小，偶数行的数字从左向右依次增大，第63行的数字从左向右依次减小，可求出第63行最左边的一个数是 63×(63＋1)2＝2 016，从左至右的第2个数应是2 016－1＝2 015. 14．3解析输入ε＝0.25后，程序执行如下： ①⎩⎪⎨⎪⎧ε＝0.25，F 0＝1，F 1＝2，n ＝1，②⎩⎪⎨⎪⎧ F 1＝F 0＋F 1＝3，F 0＝F 1－F 0＝2，n ＝2，1F 1＝13＞0.25，③⎩⎪⎨⎪⎧F 1＝F 0＋F 1＝5，F 0＝F 1－F 0＝3，n ＝3，1F 1＝15≤0.25.此时满足条件，结束循环，故输出的n 的值为3. 15．解由题意得z ＝(m 2＋m －1)－(4m 2－8m ＋3)i. 因为z 对应的点位于第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋m －1＞0，－(4m 2－8m ＋3)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＞0，4m 2－8m ＋3＜0，解得⎩⎨⎧m ＜－5－12或m ＞5－12，12＜m ＜32.所以5－12＜m ＜32，所以m 的集合为{m |5－12＜m ＜32}． 16．解 (1)g →7→7＋12＝4→d ；o →15→15＋12＝8→h ；d →4→42＋13＝15→o ；则明文good 的密文为dhho.(2)逆变换公式为x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ′－1 (x ′∈N ，1≤x ′≤13)，2x ′－26 (x ′∈N ，14≤x ′≤26).则有s →19→2×19－26＝12→l ；h →8→2×8－1＝15→o ；x →24→2×24－26＝22→v ；c →3→2×3－1＝5→e .故密文shxc 的明文为love.17．证明 ∵m ＞0，∴1＋m ＞0，∴要证原不等式成立，只需证(a ＋mb )2≤(1＋m )(a 2＋mb 2)，即证m (a 2－2ab ＋b 2)≥0，即证(a －b )2≥0，而(a －b )2≥0显然成立，故原不等式得证．18．解 (1)∵D ＝{1,2,3,4,5}，f (x )＝3x ＋1，g (x )＝x 2.∴第一步：从集合D 中随机抽取1个数作为自变量x 输入，共有5种方法，第二步：从函数f (x )与g (x )中随机选择一个作为H (x )进行计算，共有2种方法，∴该运算共有f (1)，f (2)，f (3)，f (4)，f (5)，g (1)，g (2)，g (3)，g (4)，g (5)，10种方法，而满足y ＝4的有f (1)，g (2)两种情况，∴由古典概型概率公式得y ＝4的概率P ＝210＝15.(2)输出结果是奇数有以下几种情况：f (2)，f (4)，g (1)，g (3)，g (5)共5种，∴由古典概型概率公式得输出的结果是奇数的概率P ＝510＝12.19．解 (1)设电视广告播放量为每天i 次时，该产品的销售量为S i (0≤i ≤n ，i ∈N *)．由题意得，S i ＝⎩⎪⎨⎪⎧ b ，i ＝0，S i －1＋b2i ，1≤i ≤n ，i ∈N *，于是当i ＝n 时，S n ＝b ＋(b 2＋b 22＋…＋b2n )＝b (2－12n )(n ∈N *)．所以，该产品每天销售量S (件)与电视广告每天播放量n (次)的函数关系式为S ＝b (2－12n )，n ∈N *. (2)由题意，有b (2－12n )≥1.9b ⇒2n ≥10⇒n ≥4(n ∈N *)．所以，要使该产品每天的销售量比不做电视广告时的销售量至少增加90%，则每天电视广告的播放量至少需4次．20．解 (1)因为{a n }是递增数列，所以a 2＞a 1，即a 2＞2.又(n ＋1)a n ≥na 2n ，令n ＝1，则有2a 1≥a 2，即a 2≤4，所以a 2∈(2,4]．(2)数列{a n }不能为等比数列．用反证法证明：假设数列{a n }是公比为q 的等比数列，由a 1＝2＞0，得a n ＝2q n －1. 因为数列{a n }是递增数列，所以q ＞1.因为(n ＋1)a n ≥na 2n ，对任意n ∈N *都成立，所以对任意n ∈N *，都有1＋1n ≥q n ．①因为q ＞1，所以存在n 0∈N *，使得当n ≥n 0时，q n ＞2.因为1＋1n ≤2(n ∈N *)．所以存在n 0∈N *，使得当n ≥n 0时，q n ＞1＋1n ，与①矛盾，故假设不成立．故数列{a n }不能为等比数列．。

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课时55 证明
模拟训练（分值：60分建议用时：30分钟）
1．（2018·河南省开封市丽星中学高三上学期期中考试,5分）命题“对于任意角θ，cos 4
θ－sin 4
θ＝cos2θ”的证明：“cos 4
θ－sin 4
θ＝(cos 2
θ－sin 2
θ)(cos 2
θ＋sin 2
θ)＝cos 2
θ－sin 2
θ＝cos2θ”过程应用了( )
A ．分析法
B ．综合法
C ．综合法、分析法综合使用
D ．间接证明法
【答案】B
【解析】因为证明过程是“从左往右”，即由条件⇒结论．
2．（2018·江西省吉水中学高三第二次月考,5分）设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋
1
a
( )
A ．都不大于－2
B ．都不小于－2
C ．至少有一个不大于－2
D ．至少有一个不小于－2
【答案】C
【解析】因为a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1
a
≤－6，所以三者不能都大于－2.
3．（2018·山东济宁梁山二中高三12月月考,5分）要证：a 2＋b 2－1－a 2b 2
≤0，只要证明( ) A ．2ab －1－a 2b 2
≤0 B ．a 2＋b 2
－1－
a 4＋
b 4
2
≤0
C.
a ＋b
2
2
－1－a 2b 2
≤0
D ．(a 2
－1)(b 2
－1)≥0
【答案】D
【解析】因为a 2
＋b 2
－1－a 2b 2
≤0⇔(a 2
－1)(b 2
－1)≥0.
4．（2018·广东省顺德容山中学高三上学期第一次月考试题,5分）若a ＞b ＞0，则下列不等式中总成立的是( )
A ．a ＋1b ＞b ＋1a
B.b a ＞b ＋1
a ＋1
C ．a ＋1a
＞b ＋1b
D.
2a ＋b a ＋2b ＞a
b
【答案】A
5．（2018·四川成都树德协进中学上学期期中,5分）①已知p 3
＋q 3
＝2，求证p ＋q ≤2，用反证法证
明时，可假设p＋q≥2，②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.以下结论正确的是( ) A．①与②的假设都错误B．①与②的假设都正确
C．①的假设正确；②的假设错误D．①的假设错误；②的假设正确
【答案】D
【解析】反证法的实质是命题的等价性，因为命题p与命题的否定¬p真假相对，故直接证明困难时，可用反证法．故选D.
6.（2018·福建省厦门市翔安第一中学高三12月月考,5分）若a＞0，b＞0，且a≠b，M＝a
b
＋
b
a
，
N＝a＋b，则M与N的大小关系是( )
A．M＞N B．M＜N
C．M≥N D．M≤N
【答案】A
7．（2018·浙江省十二校新高考研究联盟高三第一次联考,5分）在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足_________．
【答案】a2>b2＋c2
【解析】由余弦定理cos A＝b2＋c2－a2
2bc
<0，
所以b2＋c2－a2<0，即a2>b2＋c2.
8．（2018·湖南省新田一中高三第五次月考试题,5分）设x，y，z是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若x⊥z，且y⊥z，则x∥y”为真命题的是________(填所有正确条件的代号)．
①x为直线，y，z为平面；②x，y，z为平面；
③x，y为直线，z为平面；④x，y为平面，z为直线；
⑤x，y，z为直线．
【答案】①③④
【解析】①中x⊥平面z，平面y⊥平面z，
∴x∥平面y或x⊂平面y.
又∵x⊄平面y，故x∥y成立．
②中若x，y，z均为平面，则x可与y相交，故②不成立．
③x⊥z，y⊥z，x，y为不同直线，故x∥y成立．
④z⊥x，z⊥y，z为直线，x，y为平面可得x∥y，④成立．
⑤x，y，z均为直线可异面垂直，故⑤不成立．
9．（2018·贵州省湄潭中学高三第五次月考,10分）已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：b2－ac＜3 a.
10．（2018·江西省红色六校高三第一次联考,10分）已知三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x ＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0，其中至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．
【解析】若三个方程都无实根，则⎩⎪⎨⎪⎧
Δ1＝16a 2
－－4a ＋＜0Δ2＝a －
2－4a 2
＜0Δ3＝4a 2＋4×2a ＜0
，解得－3
2
＜a ＜－1，故当三个方
程至少有一个方程有实根时，实数a 的取值范围为{a |a ≤－3
2
或a ≥－1}．
[新题训练] （分值：10分建议用时：10分钟）
11．（5分）已知x 1>0，x 1≠1且x n ＋1＝x n ·(x 2n ＋3)
3x 2
n ＋1
(n ＝1,2，…)，试证：“数列{x n }对任意的正整数n ，都满足x n >x n ＋1，”当此题用反证法否定结论时应为( )
A ．对任意的正整数n ，有x n ＝x n ＋1
B ．存在正整数n ，使x n ≤x n ＋1
C ．存在正整数n ，使x n ≥x n －1，且x n ≥x n ＋1
D ．存在正整数n ，使(x n －x n －1)(x n －x n ＋1)≥0 【答案】B
【解析】根据全称命题的否定，是特称命题，即“数列{x n }对任意的正整数n ，都满足x n >x n ＋1”的否定为“存在正整数n ，使x n ≤x n ＋1”，故选B.
12．（5分）如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则a 、b 应满足的条件是________．。