数学预备知识

1．实数由于经济数学基础这门课程主要是在实数范围内研究微积分、线性代数、概率统计等问题,因此,本节课主要复习与实数有关的一些基础知识.1.1 实数中的基本概念及运算(1) 实数按照以下方法分类，形成实数系表：实数由有理数和无理数组成．有理数——能表示为两个整数相除形式的数（包括整数、分数（或表示成有限小数、无限循环小数））；无理数——无限不循环小数，即不能表示为两个整数相除形式的数．(2) 基本概念自然数——表示现实世界中“物体的个数”，自然数从 0开始，一般记为0， 1，2，…，n，…，其中n表示任意一个自然数．在实际生活中仅有自然数是不够的．例如，某班学生中男生占全班人数的五分之二，经济数学基础某学期的平均及格率为百分之六十七点二四等等.这些问题用自然数是不能准确描述的，应该分别用分数25和百分数69.24%(或小数0.692 4)来表示．正数——由正整数、正分数和正小数组成，记作a．那么，a> 0．有时用正数也不能准确描述一件事情，例如，白天的最高气温为7︒C,晚上气温下降了10︒C，达到最低气温那么应该怎样描述晚上最低温度呢？负数——在正数前面添上“－”号的数，记作-a(a>0).那么，-a< 0．用负数就可以将晚上最低温度记为-3︒C．0 是一个特殊的数.它既不是正数，也不是负数，而是一个正、负数的分界数，是一个中性的整数．正数和0通常叫做非负数，即当x是非负数时，x≥0；相反，0和负数通常叫做非正数，即当y是非正数时，y≤ 0．在我们遇到的问题中，只用有理数来描述也是不够的.例如，一个两条等边长为1分米的等腰直角三角形，其第三条边的长度是2分米.又如,圆的周长与直径之比是一个常数，叫做圆周率，用符号π表示.这里的2和π是不能被表示成两个整数之比的，这些数被叫做无理数．无理数又分为正无理数和负无理数．(2) 实数的运算规则I加法、乘法运算规则加法交换律a + b = b + a加法结合律(a + b) + c = a + (b + c)乘法交换律a⨯b = b⨯a乘法结合律(a⨯ b)⨯ c = a⨯ (b⨯ c)分配律a⨯ (b + c) = a⨯ b + a⨯cII 括号规则a + (b - c) = a + b - ca - (b - c) = a - b + ca +b -c = a + (b - c)a -b +c = a - (b - c)III正负规则a⨯ (-b) = -( b⨯ a)(-a) ⨯ b = -( b⨯ a)(-a) ⨯ (-b) = b⨯aIV比例规则a bab=⋅1(b≠0)a bcda db cbd+=⋅+⋅(b≠0, d≠0)a bcda cb d⋅=⋅⋅(b≠0, d≠0)a b c d a b d c a d b c ÷=⋅=⋅⋅ (b ≠0, c ≠0, d ≠0) V 乘方规则正数的非 0 次幂是正数；负数的非 0 偶次幂是正数，奇次幂是负数； 0 的正数次幂等于 0，非 0 数的 0 次幂等于 1． 例如， 25= 32， (-4)3= -64， (-1.3)2= 1.69， 0100= 0， a 0=1 (a ≠0)VI 开方规则正数的奇次方根是一个正数．正数的偶次方根有两个互为相反的数； 0 的n （n 为正整数）次方根是 0；负数的奇次方根是一个负数，在实数范围内，负数没有偶次方根．例如，3125= 5，38-= -2，53259±=，n 0= 0， (n 是正整数) 如果x 2=a ，那么，x 叫做a 的平方根．一个正数a (a >0)的平方根,是两个互为相反的数±a ，其中正的平方根a 叫做a 的算术平方根（或算术根）．如果x 3=a ，那么，x 叫做a 的立方根． 1.2 数轴与绝对值规定原点、正方向和长度单位的直线叫做数轴．数轴上的 O 表示原点，原点右边的点表示正数，原点左边的点表示负数． 数轴上的点与全体实数是一一对应的．一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离，记a ． 正数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0．即a a a a a a =>=-<⎧⎨⎪⎩⎪0000例如，-19= 19, 256.= 2.56, 0= 0绝对值有以下性质：任何实数都有惟一的绝对值，且绝对值非负，即a≥0任何一个实数都不大于它的绝对值，且不小于它的绝对值的相反数，即a≤a≤a-互为相反的一对数，其绝对值相等，即-a=a两个实数乘积的绝对值等于两个实数绝对值的乘积，即ab=a b两个实数和的绝对值不大于两个实数绝对值之和，即+≤a+ba b两个实数差的绝对值不小于两个实数绝对值之差，即-≥a-ba b任何一个实数绝对值等于该实数平方后的算术平方根，即a=2．方程在工作和生活中，我们有时会遇到要用数学式子来表示几个量之间的关系，并要通过这些关系式来求未知量的数值．那么怎样求解呢？有哪些求解方法呢？这就是本节课要讨论的内容──方程及方程求解．2.1 方程中的基本概念用等号连接的两个式子叫做等式，含有未知量的等式叫做方程．含有n个未知量的方程叫做n元方程，未知量的最高次幂是m的方程叫做m次方程，其中‘元’就是指未知量．例如：2x-10 = 5 一元一次方程x2+ 4x-5 = 0 一元二次方程2x+ 3y=1 二元一次方程34520x y x y -=+=⎧⎨⎩ 二元一次方程组能够使方程成为恒等式的未知量的值叫做方程的解． 含有一个未知量的方程的解也叫做方程的根．例如：x 1 = -5和x 2 = 1都是方程x 2+ 4x -5 =0 的解，也是该方程的两个根． 求方程的解或确定方程无解的过程叫做解方程． 两个解相同的方程叫做同解方程．性质1 方程两边都加上(减去)同一个数或同一个整式，所得方程与原方程是同解方程． 性质2 方程两边都乘(除)以一个不等于 0的数，所得方程与原方程是同解方程． 上述两个性质又叫做方程的变形规则. 解方程一般是利用这两个性质将原方程逐步变形，化简成便于求解的同解方程，然后求解． 2.2 一元一次方程只含有一个未知量,并且未知量的最高次幂是一次的整式方程叫做一元一次方程．一般式为ax + b = 0 (a ≠ 0)解法：通过同解变形（去分母、去括号、移项、合并同类项等）化成ax = -b (a ≠ 0)然后除以未知数的系数值a ，得到方程的解x = -ba ．2.3 一元二次方程只含有一个未知量，并且未知量的最高次幂是二次的整式方程叫做一元二次方程．一般式:ax 2 + bx + c = 0 （a ≠ 0）其中ax 2叫做二次项，a 叫做二次项的系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项的系数，c 叫做常数项．一元二次方程最基本的解法是公式法，有时也可以用配方法或因式分解法求解，尤其是当二次项系数a = 1，即原方程变为x bx c 20++=时．1. 公式法：利用求根公式x b b ac a =-±-242求方程的根（见例5）．一般先用判别式b ac 24-判断方程解的情况，在有解的情况下，再用求根公式求解．当b ac 240-≥时，方程有两个不同的实数解a acb b x 2421-+-=，a ac b b x 2422---=当042=-ac b 时，方程有两个相同的实数解212x a bx =-=当b ac 240-<时，方程无实数解．2．配方法：将方程中常数项移到等号右边，即ax 2 + bx = -c然后在等号的两边分别加上一次项系数一半的平方，得222)2()2()(b c b bx ax +-=++,44)2(22c b b ax -=+ 若b 2 - 4c ≥ 0（否则无解）再开方，即可求得方程的解（见例2）． 3．因式分解法：设方程可以写成两个一次项的乘积，即x bx c x p x q 2++=++()()由()()()x p x q x p q x pq ++=+++2即pq x q p x c bx x +++=++)(22比较等式两边x 的同次幂的系数，得到b p q =+，c pq =也就是说，将x bx c 2++因式分解时，只需找到两个数p 和q ，使它们满2．方程上节课我们讨论了一元一次方程、一元二次方程的求解方法．这节课将要讨论另一类方程——二元一次方程和二元一次方程组．在讨论二元一次方程（组）之前，先介绍直角坐标系的有关概念．2.4 直角坐标系一、直角坐标系在一平面上，两条数轴成直角相交，构成一个直角坐标系．规定：水平方向的数轴叫做x轴，垂直方向的数轴叫做y轴，两条数轴的交点叫做坐标原点（记为O），x轴的原点右边为正方向，y轴的原点上方为正方向．(见图)平面上点P (x,y)有序实数对x表示点P 到y轴的距离，叫做点P 的横坐标；y表示点P 到x轴的距离，叫做点P的纵坐标．坐标平面分为四个象限，每一个象限中点的横坐标和纵坐标的符号如下第一象限：(+, +)第二象限：(-, +)第三象限：(-, -)第三象限：(+, -)在x 轴上的点的纵坐标为0，即(x ,0)；在y 轴上的点的横坐标为 0，即(0,y )． 二、两点之间的距离公式设点P 1的坐标为(,)x y 11，点P 2的坐标为(,)x y 22， 则P 1, P 2两点之间的距离d 的计算公式为21221221)()(y y x x P P d -+-==两点之间的距离非负，而且只有在这两点位置 相同的情况下，它们之间的距离才等于 0． 距离公式的几何说明见右图． 2.5 直线方程二元一次方程——含有两个未知量，并且未知量的最高次幂是一次的方程．一般式为0=++c by ax其中a b ,是未知量的系数，c 是常数．满足二元一次方程的点 (,)x y 的轨迹是一条直线，因此，二元一次方 程又叫做直线方程． 画直线的两点法：当c =0时,先求满足直线方程的一点（原点除外），然后通过该点与原 点画出直线方程所表示的直线．当c ≠0时,可先分别求直线在x 轴上的截距（令y = 0,得a cx -=）和直线在y 轴上的截距（令x =0，得b cy -=）, 然后在坐标轴上画出这两个点（a c -，0）和（0，b c-）， 并通过这两个点画出直线方程所表示的直线．画直线的点斜法：通过直线上一点与直线的斜率确定直线．直线的斜率表示直线的方向,可通过直线上任意两点的坐标计算斜率． 设点(,)x y 11与(,)x y 22是直线l 上的两点，那么直线l 的斜率为k y y x x =--2121 ()x x 12≠当x x 12=时，直线l 的斜率没有定义，即直线l 垂直于x 轴． 下面给出求直线方程的几种方法：1． 如果点(x y 11,)和(x y 22,) 是直线上的两点，且x x 12≠，那么该直线的两点式方程为)(112121x x x x y y y y ---=-2．以k 表示两点式方程式中的斜率y y x x 2121--，那么该直线的点斜式方程为)(11x x k y y -=-即已知直线的斜率k 和直线上的一点(x y 11,)，就能写出直线方程． 直线方程除两点式和点斜式外，还有以下几种形式：3．截距式方程 x a y b +=14．斜截式方程 y kx b =+ 5．铅垂式方程 x x =1 6．水平式方程 y y =1x,轴上的截距．其中，a b,分别是y2.6 直线方程组直线方程组——由几个一次方程组成，且含有两个未知数的方程组．直线方程组亦叫做二元一次方程组．设有两条直线l1，l2，那么，这两条直线间有以下三种关系：（1）l1与l2上的所有点相同，表示两条直线重叠，这两条直线对应的直线方程组有无穷多解；（2）l1与l2只有一个公共点，表示两条直线相交，它们交点的坐标是该方程组的惟一解；（3）l1与l2没有公共点，表示两条直线平行，它们对应的方程组无解．求解直线方程组常用的方法是加减消元法．用消元法求解方程组主要是进行以下两种变换:（I）用一个非 0 数乘某一个方程；（II）一个方程加上另一个方程的倍数．这两种变换叫做方程的初等变换．另外， “将两个方程的位置互换”也是一种初等变换． 方程组经过初等变换，形式改变了，但是方程 组的解是不变的，也就是说初等变换不改变方 程组的解，变换后与变换前的方程组是同解方 程组．3．不等式前几节课我们讨论的都是一种相等关系的问题．但在很多地方存在不等关系的问题，而且常常要求解含有未知量的不等关系．不等式——用大于号“>”、 大于等于号“≥”、小于号“<”、 小 于等于号“≤” 等不等号将两个代数式连结起来的式子． 不等式的解——能够使不等式成立的未知量的值． 不等式具有下列性质，这些性质希望大家熟记．（1）不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个表达式，不等号不变．即当b a >时，a c b c +>+，a c b c ->-．（2）不等式两边都乘（或除）以同一个正数，不等号不变．即当b a >，c >0时，ac bc >，a c bc >．（3）不等式两边都乘（或除）以同一个负数，不等号反向．即当b a >，c <0时，bc ac <，a c b c <．（4）不等式有传递性，即当b a >，c b >时，c a >． 3.1 一元一次不等式一元一次不等式——含有一个未知量，并且未知量的最高次幂是一次的不等式． 一元一次不等式组——含有相同未知量的几个一元一次不等式所组成的不等式组． 不等式组的解——同时满足不等式组中每一个不等式的解． 注意：解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程的步骤类似；在不等式组的求解过程中，一般利用数轴确定它们的解，是一种比较方便的方法．下面通过例题说明．例1 解下列不等式17)10(2283--≤--x x x解 去分母，即不等号两边同乘14，得1473841014x x x --≤--()()去括号，得 14440562114--≤+-x x x合并同类项，即将未知量的项移到不等号的一边，常数项移到不等号的另 一边，然后合并，得 303-≤-x 不等号两边同除 –3，由性质(3)得 10≥x例2 解不等式组533235231()()()()x x x x ->--<-⎧⎨⎩解 去掉第一个不等式中的括号，得96155->-x x 合并同类项，得 x <-6去掉第二个不等式中的括号，得 51033x x -<- 合并同类项，得 x <35.由右图知，不等式组的解，即同时满足不等式组中两个不等式的解为6-<x3.2 一元二次不等式一元二次不等式 ——含有一个未知量，并且未知量的最高次幂是二次的不等式． 任何一个一元二次不等式，总可以写成下列两种形式中的一种02≥++c bx ax 或 ax bx c 20++≤ （a ≠0）如何求解一元二次不等式呢？我们通过例子介绍．例3 解不等式 x x 23100-->解 将不等式左边分解因式，得()()x x +->250上式相当于下列不等式组x x +>->⎧⎨⎩2050 或 x x +<-<⎧⎨⎩2050由第一个不等式组得x >-2 且 x >5所以第一个不等式组的解为x >5． 由第二个不等式组得x <-2 且 x <5所以第二个不等式组的解为x <-2．由此可得原不等式的解为x >5或x <-2，如右图． 3.3 二元一次不等式二元一次不等式 ——含有 两个未知量，并且未知量的最高次幂是一次的不等式． 二元一次不等式的一般形式是ax by c ++≥0 或 ax by c ++≤0其中 a b c ,,为常数，且a b ≠≠00,二元一次不等式组——由几个二元一次不等式组成的不等式组．求解二元一次不等式或二元一次不等式组的常用方法是图解法，下面通过例子介绍． 例4 用图解法解不等式 230x y +≥解 首先在直角坐标系中画直线(见右图) l 1：032=+y x ． 由右图可知，直线l 1将坐标平面分成左下、右上两个半平面．然后在右上半平面中任取一点，如（1，1），代入不 等式，得2x + 3y = 2⨯1 + 3⨯1= 5 > 0由此可知，右上半平面内的所有点都是 不等式230x y +≥的解．显然，直线l 1 上的点也是230x y +≥的解．所以，原 不等式的解是包含直线l 1的右上半平面 内的全部点，如右图中的阴影部分． 注意：二元一次不等式的解是直角坐标系中的半个平面．当不等号是“≤”或“≥”时，解的半平面包含直线， 而当不等号是“<”或“>”时，解的半平面不含直线，在图中用虚线表 示．例5 用图解法求解不等式组240210x y x y -+<++≥⎧⎨⎩解 在直角坐标系中画直线(见右图)l 1: 42+-y x = 0 取点（0，0），代入直线方程得 2⨯0 - 0 + 4 = 4 > 0即点（0，0）不在240x y -+<表示的 半平面内，因此240x y -+<的解是直 线l 1的左上半平面．再画直线 l 2: 12++y x = 0取点（0，0），代入直线方程得 2⨯0 + 0 + 1 = 1 > 0即点（0，0）在2x + y + 1 ≥ 0表示的半平面内，因此2x + y + 1 ≥ 0的解是直线l 2的右上半平面．取两个半平面的重叠部分（在右图中用阴影表示），得到原不等式组的解．注意： 由例5可知，求二元一次不等式组的解，就是在直角坐标系中分别画出不等式组中每一个不等式所对应的半平面．如果这些半平面有重叠的区域，不等式组就有解，且解的区域可能是无界区域，也可能是有界区域．如果这些半平面没有重叠的部分，则不等式组无解. 4. 集合与区间集合与区间是经济数学中基本的概念．在学习微积分和概率论中的一些章节的内容时，将涉及集合和区间的有关知识． 4.1 集合的基本概念集合——具有确切含义的若干事物的全体． 元素——组成集合的事物．例如，某企业生产的一批全自动洗衣机组成一个集合，其中的任意一台洗衣机就是该集合的一个元素．坐标平面上所有的点组成一个集合，平面上的一点(,)x y ，就是该集合中的一个元素． 用A , B , C , …表示集合，用a , b , c , …表示集合的元素．如N ——自然数集合 Z ——整数集合 Q ——有理数集合 R ——实数集合若a 是集合A 中的元素，则称a 属于A ，记作a ∈ A ； 若a 不是集合A 中的元素，则称a 不属于A ，记作a ∉ A ．集合A 中元素的数目叫做A 的基数．有限集合——集合中的元素为有限数的集合．如一个专业全体学生的集合． 无限集合——集合中的元素不是有限数的集合．如有理数集合． 表示一个集合的方法：列举法——列出集合的所有元素，并用花括号括起来．例如， A = {a b c z ,,,, }描述法——将集合中元素的共同属性描述出来．例如 B = {12=-x x 且x ∈R }文氏图——用一个简单的平面区域 代表一个集合，如右图．集合内的元素用区域内的点表示．注意：集合中的元素是彼此不同的，同一集合中不能重复出现同一元素． 集合中的元素是无序的，可以任意列出．若集合B 中的每个元素都是集合A 中的元素，那么将B 叫做A 的子集，记作B ⊆A ． 若B 不是A 的子集，记作例如 N ⊆ Q ⊆ R ， 但若A ⊆B 且B ⊆A ，则称A 与B 相等，记作A =B ． 若A 与B 不相等，记作A ≠B ．若B ⊆A ，且B ≠A ，则称B 为A 的真子集，记作 B ⊂A ．见右图． 若B 不是A 的真子集，记作B ⊄A ．例如 N ⊂ Q ⊂ R 空集——不含任何元素的集合，记作∅．例如{x x 210+=且x ∈R }=∅．因为12+x =0无实数解，所以它的实数解集是空集．全集—— 在一个具体问题中，如果所涉及的集合都是某个集合的子 集，则称这个集合为全集，记作U ． 4.2 集合的运算并集A ⋃B ——所有属于A 或属于B 的元素组成的集合．即A ⋃B ={x ∣x ∈A 或x ∈B }交集A ⋂B ——既属于A 又属于B 的所有元素组成的集合．即A ⋂B ={x ∣x ∈A 且x ∈B }如果两个集合A 和B 没有公共元素，即A ⋂B =∅，集合A 与B 叫做不相交集． 并集A ⋃B , 交集A ⋂B , A 与B 不相交的文氏图见下图(a )，(b ), (c )．差集A -B ——属于A 而不属于B 的所有元素组成的集合．即A -B ={x ∣x ∈A 且x ∉B }补集A ——由U 中所有不属于A 的元素组成的集合．即A ={x ∣x ∈U 且x ∉A }其中U 为全集，A ⊆U ．补集A 可以看作全集U 与集合A 的差集，即A =U -A ．差集A -B ，补集A 的文氏图表示见下图(d )，(e )．下面是集合运算的主要运算律，其中A ,B ,C 是任意集合，U 是全集． 1. 交换律 A ⋃B =B ⋃A A ⋂B =B ⋂A2. 结合律 (A ⋃B )⋃C =A ⋃(B ⋃C ) (A ⋂B )⋂C =A ⋂(B ⋂C )3. 分配律 A ⋃(⋂C )=(A ⋃B )⋂(A ⋃C ) A ⋂(B ⋃C )=(A ⋂B )⋃(A ⋂C )4. 吸收律 (A ⋃B )⋂A = A (A ⋂B )⋃A =A5. 摩根律 B A B A B A B A ⋃=⋂⋂=⋃4.3 区间设R 为实数集合，∈b a ,R 且a b <．有限区 间为：开区间(,)a b ——满足不等式a x b <<的所 有实数x 的集合，即(,){}a b x a x b =<<见右图(a )．闭区间[,]a b ——满足不等式a x b ≤≤的所 有实数x 的集合，即 [,]{}a b x a x b =≤≤ 见由图(b )．半开区间(,]([,))a b a b 或——满足不等式a xb <≤(或a x ≤<b )的所有实数x 的集合，即(,]{}a b x a x b =<≤[,){}a b x a x b =≤< 见右图(c ),(d )．区间长度——有限区间右端点b 与左端点a 的差b a -．几何上表示点a 与点b 之间的线段长度，开区间不包括端点，闭区间包括端点． 引入记号+∞(读作“正无穷大”)和-∞（读作“负无穷大”），可 以有以下几种无限区间：(,){}a x a x +∞=< [,){}a x a x +∞=≤ (,){}-∞=<b x x b (,]{}-∞=≤b x x b}{),(+∞<<∞-=+∞-∞x x ， 即实数集合．邻域(点x 0的δ邻域)——在数轴上以点x 0为中心，长度为2δ的开区间(,){,}x x x x x 0000-+=-<>δδδδ将(,)x x 00-δ和(,)x x 00+δ分别叫做点x 0的左邻域和右邻域．一般地，δ 是一个很小的正数．例如，x -<201.，是以点x 02=为中心，长度为0.2的邻域，也就是 开区间(1.9, 2.1)． 5． 排列与组合排列与组合是概率计数的基础，它们主要研究在某种条件下完成某件事的方法数. 这节课先介绍加法法则与乘法法则，然后介绍不重复排列和重复排列的概念，及其排列数的计算公式.5.1 加法法则与乘法法则加法法则——如果完成事件A ， 必须且只须完成有关的事件A 1, A 2, …, A n 中的一个就算完成；设完成事件A 1, A 2, …, A n 的方法数分别为m 1, m 2, …, m n ，且其中任何两者方法都不相同，那么完成事件A 的方法数为m 1＋m 2＋…＋m n例如， 从北京到济南可乘3种交通工具到达，每天火车有10个车次，飞机有3个航班，汽车有2个班次，那么一天内从北京到达济南共有10＋3＋2＝15种不同到达方式.乘法法则——如果完成事件A ，必须且只须依次完成有关的事件A 1, A 2, …, A n 后才算完成；设完成事件A 1, A 2, …, A n 的方法数分别为m 1, m 2, …, m n ，那么完成事件A 的方法数为m 1⋅m 2⋅…⋅m n例如，一个班里有15名男生，20名女生．要在该班选一名男代表和一名女代表，从15名男生中选一名代表，有15种选法；从20名女生中选一名代表，又有20种选法. 所以在该班选一名男代表和一名女代表可能有15×20=300种选举结果.5.2 排列从n 个不同元素中，不重复地任取m ( m ≤n )个元素，按照一定的顺序排成一行，称为从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列. 这样取出的所有排 列的个数， 称为从n 个不同元素中取出的m 元排列数，记作mn P . 显然，NP m n ∈.当m ＝n 时，称为全排列，简记P n .从n 个不同元素中取出的m 元排列数的计算公式为m n P =n (n －1)(n －2)…(n －m +1)当m ＝n 时P n = n (n -1)…2⋅1＝n ! (读作n 的阶乘)于是有P n r =n (n -1)(n -2)…(n - r +1)=n n r !()!-规定0!=1．对于n ≥0，规定P n 0=1.从n 个不同元素中，允许重复地任取m (m ≤n )个元素，按照一定的顺序排成一行，称为从n 个不同元素中取出的m 元可重复排列（简称重复排列）. 这样取出的重复排列的个数，称为m 元重复排列数.记作m n R . 有 m m n n R =5． 排列与组合上节课介绍加法法则与乘法法则，以及排列的概念与排列数的计算公式. 这节课主要介绍组合概念及组合数的计算公式.5.3 组合从n 个不同元素中，不重复地任取m ( m ≤ n )个元素，组成一组，称为 从n 个不同元素中取出的m 个元素的组合(简称m 元组合)，这样取出的所有m 元组合的个数，称为从n 个不同元素中取出的m 元组合数. 记作⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛m n .例如，由矩形ABCD 的任意三个顶点所确定的三角形个数问题, 就是一个从4个不同元素中任取3个元素的组合问题. 显然所确定的三角形为∆ABC ，∆ABD ，∆ACD ，∆BCD共4个，即434=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛.注意，每个三角形由它的三个顶点 惟一确定，与三顶点的顺序无关. 一般地，任意一个m 元组合只与它的m 个元素有关，而与元素之间的顺序无关. 可以证明)!(!!!m n m n m P m n m n -==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛于是，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m n m P m n !例1 10个人相约，每二人互通电话一次，并各通信一次，问共通话多少次？通信多少封？解 二人互通电话没有顺序，是组合问题；而通信是有顺序的，是排列问题. 通话次数为：45!8!2!10210==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛通信封数：910210⨯=P ＝90由组合数的计算公式，容易推出组合数的下列性质：性质1：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛m n n m n ； 性质2：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+11m n m n m n .。