【配套K12】江苏省宿迁市高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 第6课时 椭圆的几何性质3导学案(无答案)苏教版选
第6课时 直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆的位置关系的判定方法：
方程组思想，判别式法
Ax By C 0 2 由方程组 x y2 2 2 1 b a 消去ｙ整理得 mx 2 nx ｙ p 0(m 0) △=n2 4mp
△ 0
方程组有两解 方程组有一解 方程组无解
两个公共点 一个公共点 无公共点
题型一：直线与椭圆的位置关系
x2 y 2 例3：已知椭圆 1，直线l： 4 x - 5 y 40 0.椭圆上 25 9 是否存在一点，它到直线l的距离最小？ y 最小距离是多少？ 解：设直线l 平行于l，
则l 方程可设为4 x 5 y m 0
ห้องสมุดไป่ตู้ x 5 y m 0 2 2 2 2 消去y，得25x 8mx m - 225 0 由方程组 x y 1 25 9 由 0，得64m2 - 4 25 （m2 - 225） 0
5 m
题型一：直线与椭圆的位置关系
例2、k为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有两 个公共点?有一个公共点?没有公共点?
6 答案：当k = 时有一个交点 3 当k> 6 6 或k<时有两个交点 3 3
6 6 当 k< 时没有交点 3 3
题型一：直线与椭圆的位置关系
x2 y2 1 ,直线 4 x 5 y 40 0 ,椭圆 例 3、已知椭圆 25 9 上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距离是多少?
探究
点与椭圆的位置关系
如何利用方 程判断？
M（x0,y0）
种类:
2 y x 点M x0 , y0 与椭圆C： 1 的位置关系： 2 2 a b x0 2 y0 2 点M（x0,y0）在椭圆C外 2 1 2 a b 2 2 x y 0 0 点M（x0,y0）在椭圆C上 =1 2 2 a b 2 2 x y 0 0 点M（x0,y0）在椭圆C内 1 2 2 a b 2
[配套K12]2018版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的几何性质(二)学案 苏教版选修1-1
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2．2.2 椭圆的几何性质(二)学习目标 1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识．知识点一 点与椭圆的位置关系思考1 判断点P (1,2)与椭圆x 24＋y 2＝1的位置关系．思考2 类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的位置关系的判定吗？梳理 设P (x 0，y 0)，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则点P 与椭圆的位置关系如下表所示：知识点二 直线与椭圆的位置关系 思考1 直线与椭圆有几种位置关系？思考2 如何判断y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的位置关系？梳理 直线与椭圆的三种位置关系知识点三 直线与椭圆的相交弦思考 若直线与椭圆相交，如何求相交弦弦长？ 梳理弦长公式：(1)AB ＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋k 2|x 1－x 2|＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2]；(2)AB ＝ 1＋1k2|y 1－y 2| ＝＋1k2y 1＋y 22－4y 1y 2](直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，k 为直线的斜率)．其中，x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立，消去y 或x 后得到关于x 或y 的一元二次方程，由一元二次方程的根与系数的关系而得到．类型一 直线与椭圆的位置关系命题角度1 直线与椭圆位置关系的判定例1 若直线y ＝kx ＋1与焦点在x 轴上的椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，求m 的取值范围．反思与感悟 判断直线与椭圆的位置关系的方法跟踪训练1 当m 取何值时，直线l ：y ＝x ＋m 与椭圆9x 2＋16y 2＝144. (1)无公共点；(2)有且仅有一个公共点； (3)有两个公共点．命题角度2 距离的最值问题例2 在椭圆x 24＋y 27＝1上求一点P ，使它到直线l ：3x －2y －16＝0的距离最短，并求出最短距离．反思与感悟 本题将求最小距离问题转化为直线与椭圆的位置关系问题．解此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去y 或x 得到关于x 或y 的一元二次方程，则(1)直线与椭圆相交⇔Δ>0；(2)直线与椭圆相切⇔Δ＝0；(3)直线与椭圆相离⇔Δ<0.所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具．跟踪训练2 已知椭圆x 2＋8y 2＝8，在椭圆上求一点P ，使P 到直线l ：x －y ＋4＝0的距离最短，并求出最短距离．类型二 弦长及中点问题例3 已知椭圆x 236＋y 29＝1和点P (4,2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A 、B 两点．(1)当直线l 的斜率为12时，求线段AB 的长度；(2)当P 点恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程．反思与感悟 处理直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线与椭圆构成的方程．利用根与系数的关系或中点坐标公式解决，涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系．跟踪训练3 已知椭圆ax 2＋by 2＝1(a >0，b >0且a ≠b )与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若AB ＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程．类型三 椭圆中的最值(或范围)问题例4 已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程． 引申探究在本例中，若设直线与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，求△AOB 面积的最大值及△AOB 面积最大时的直线方程．反思与感悟 解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等．解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想．其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件．跟踪训练4 直线y ＝b 与椭圆x 24＋y 2＝1交于A ，B 两点，记△AOB 的面积为S .求在0<b <1的条件下，S 的最大值．1．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是__________．2．过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于A ，B 两点，则AB ＝________.3．椭圆x 225＋y 216＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，弦AB 过F 1，若△ABF 2的内切圆周长为π，A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则|y 1－y 2|的值为________．4．过点P (－1,1)的直线交椭圆x 24＋y 22＝1于A ，B 两点，若线段AB 的中点恰为点P ，则AB 所在的直线方程为________________．5．直线l ：y ＝kx ＋1与椭圆x 22＋y 2＝1交于M ，N 两点，且MN ＝423，求直线l 的方程．1．直线与椭圆相交弦长的有关问题(1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长．(2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式．设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则有AB＝x1－x22＋y1－y22＝＋k2x1－x22＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝＋1k2y1－y22＝1＋1k2·y1＋y22－4y1y2(k为直线斜率)．(3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况．2．解决椭圆中点弦问题的二种方法(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．(2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系．提醒：完成作业第2章§2.2 2.2.2(二)答案精析问题导学 知识点一思考1 当x ＝1时，得y 2＝34，故y ＝±32，而2>32，故点在椭圆外． 思考2 当P 在椭圆外时，x 20a 2＋y 20b 2>1；当P 在椭圆上时，x 20a 2＋y 20b 2＝1；当P 在椭圆内时，x 20a 2＋y 20b2<1.知识点二思考1 有三种位置关系，分别有相交、相切、相离．思考2 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y2b2＝1，消去y 得关于x 的一元二次方程．知识点三思考 有两种方法：一种方法是联立直线方程与椭圆方程求出交点坐标，利用两点间距离公式可求得；另一种方法是利用弦长公式可求得． 题型探究例1 解 因为直线y ＝kx ＋1恒过定点(0,1)，点(0,1)在椭圆x 25＋y 2m＝1上或其内部就能满足题意， 所以⎩⎪⎨⎪⎧025＋12m≤1，0<m <5，解得1≤m <5.跟踪训练1 解 由⎩⎪⎨⎪⎧9x 2＋16y 2＝144，y ＝x ＋m ，得25x 2＋32mx ＋16m 2－144＝0， Δ＝(32m )2－100(16m 2－144) ＝576(－m 2＋25)．(1)由Δ<0，解得m <－5或m >5.(2)由Δ＝0，解得m ＝±5. (3)由Δ>0，解得－5<m <5.例2 解 设与椭圆相切并与l 平行的直线方程为y ＝32x ＋m .代入x 24＋y 27＝1，并整理得4x 2＋3mx ＋m 2－7＝0， Δ＝9m 2－16(m 2－7)＝0 ⇒m 2＝16⇒m ＝±4，故两切线方程为y ＝32x ＋4和y ＝32x －4.显然y ＝32x －4距l 最近，此时最短距离为d ＝|16－8|32＋－2＝813＝81313，切点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－74.跟踪训练2 解 设与直线x －y ＋4＝0平行且与椭圆相切的直线为x －y ＋a ＝0.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋8y 2＝8，x －y ＋a ＝0，得9y 2－2ay ＋a 2－8＝0， Δ＝4a 2－36(a 2－8)＝0， 解得a ＝3或a ＝－3.∴与直线l 距离较近的切线方程为x －y ＋3＝0， 最小距离为d ＝|4－3|2＝22.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋8y 2＝8，x －y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－83，y ＝13，即P (－83，13)．例3 解 (1)由已知可得直线l 的方程为y －2＝12(x －4)，即y ＝12x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ，x 236＋y29＝1，消去y 可得x 2－18＝0.若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 则x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－18. 于是AB ＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝ x 1－x 22＋14x 1－x 22＝52×x 1＋x 22－4x 1x 2＝52×62＝310. 所以线段AB 的长度为310.(2)方法一 当直线l 的斜率不存在时，不合题意． 所以直线l 的斜率存在． 设l 的斜率为k ，则其方程为y －2＝k (x －4)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k x －，x 236＋y29＝1，消去y 得(1＋4k 2)x 2－(32k 2－16k )x ＋(64k 2－64k －20)＝0. 若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝32k 2－16k1＋4k 2，由于AB 的中点恰好为P (4,2)，所以x 1＋x 22＝16k 2－8k 1＋4k2＝4，解得k ＝－12，且满足Δ>0.此时直线的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.方法二 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y 229＝1. 两式相减，得x 22－x 2136＋y 22－y 219＝0， 整理得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－x 2＋x 1y 2＋y 1. 由于P (4,2)是AB 的中点，∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，于是k AB ＝－9×836×4＝－12. 于是直线AB 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.跟踪训练3 解 方法一 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程并作差， 得a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.①∵A ，B 为直线x ＋y －1＝0上的点，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－1. 由已知得y 1＋y 2x 1＋x 2＝k OC ＝22，代入①式可得b ＝2a . ∵直线x ＋y －1＝0的斜率为k ＝－1，又AB ＝1＋k 2|x 2－x 1|＝2|x 2－x 1| ＝22，∴|x 2－x 1|＝2.联立ax 2＋by 2＝1与x ＋y －1＝0，可得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0. 且由已知得x 1，x 2是方程(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0的两根， ∴x 1＋x 2＝2b a ＋b ，x 1x 2＝b －1a ＋b， ∴4＝(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b .② 将b ＝2a 代入②式，解得a ＝13，∴b ＝23. ∴所求椭圆的方程是x 23＋2y 23＝1. 方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧ ax 2＋by 2＝1，x ＋y －1＝0，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2b a ＋b ，x 1x 2＝b －1a ＋b， 且直线AB 的斜率为k ＝－1. ∴AB ＝k 2＋x 1－x 22 ＝k 2＋x 1＋x 22－4x 1x 2]＝2·4b 2－a ＋bb －a ＋b .∵AB ＝22， ∴2·4b 2－a ＋bb －a ＋b ＝22，∴a ＋b －ab a ＋b＝1.① 设C (x ，y )，则x ＝x 1＋x 22＝b a ＋b ，y ＝1－x ＝a a ＋b . ∵OC 的斜率为22， ∴y x ＝ab ＝22，将其代入①式， 得a ＝13，b ＝23. ∴所求椭圆的方程为x 23＋2y 23＝1. 例4 解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ 4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m ，得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0.因为直线与椭圆有公共点，所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0，解得－52≤m ≤52. (2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点． 由(1)知5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，所以x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝15(m 2－1)， 所以AB ＝x 1－x 22＋y 1－y 22 ＝x 1－x 22 ＝x 1＋x 22－4x 1x 2] ＝ 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤4m 225－45m 2－ ＝2510－8m 2. 所以当m ＝0时，AB 最大，此时直线方程为y ＝x . 引申探究解 可求得O 到AB 的距离为d ＝|m |2. 又AB ＝2510－8m 2， ∴S △AOB ＝12AB ·d ＝12·2510－8m 2·|m |2＝25 54－m 2m 2 ≤25·54－m 2＋m 22＝14， 当且仅当54－m 2＝m 2时，上式取“＝”， 此时m ＝±104∈[－52，52]． 即△AOB 的面积的最大值为14. 此时直线方程为x －y ±104＝0. 跟踪训练4 解 设点A 的坐标为(x 1，b )，点B 的坐标为(x 2，b )．由x 24＋b 2＝1，解得x 1,2＝±21－b 2， 所以S ＝12b ·|x 1－x 2|＝2b 1－b 2≤b 2＋1－b 2＝1. 当且仅当b ＝22时，S 取到最大值1. 当堂训练1．(1,3)∪(3，＋∞) 2.1 3.534．x －2y ＋3＝05．解 设直线l 与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1，x 22＋y 2＝1，消去y 并化简， 得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0，所以x 1＋x 2＝－4k1＋2k2，x 1x 2＝0. 由MN ＝423，得(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝329， 所以(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝329， 所以(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝329， 即(1＋k 2)(－4k 1＋2k 2)2＝329， 化简得k 4＋k 2－2＝0，所以k 2＝1，即k ＝±1.所以所求直线l 的方程是y ＝x ＋1或y ＝－x ＋1.。
江苏省宿迁市高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 第5课时 椭圆的几何性质2导学案(无答案)苏教版选修21
第5课时椭圆的几何性质（2）【学习目标】1．根据椭圆的标准方程和几何性质处理实际问题；2．培养学生的数形结合的解题思想．【问题情境】椭圆2212516x y+=的顶点坐标是 _____；长轴长为；短轴长为____；焦点坐标是；焦距为；对称轴方程为；离心率为．【合作探究】2007年10月24日18时05分，在西昌卫星发射中心，“嫦娥一号”卫星顺利升空，24分钟后，星箭成功分离，卫星首次进入以地心为焦点的椭圆形调相轨道，卫星近地点为约200公里，远地点为约51000公里．设地球的半经为R，试探究卫星轨道的离心率．【展示点拨】例1．我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心（简称“地心”）F2为一个焦点的椭圆．已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面439km，远地点B（离地面最远的点）距地面2384km，AB是椭圆的长轴，地球半径约为6371km．求卫星运行的轨道方程．例2．求适合下列条件的椭圆的标准方程，（1）在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6；（2）焦点在x轴上,与椭圆2214xy+=有相同的离心率,且过点P(2,-1)．例3．椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为),0(),0,(),0,(1b B a A c F --是其两个顶点，如果1F 到直线AB 的距离为7b ，求椭圆的离心率e ．例4．椭圆14922=+y x 的左右焦点为1F ，2F ，点P 为椭圆上的动点，当21PF F ∠为钝角时，求点P 的横坐标0x 的取值范围．【学以致用】1．已知点)2,3(P 在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上，则以点P 为顶点的椭圆的内接矩形PABC 的面积是 ．2．已知椭圆11222=+++k y k x 的左右焦点为1F ，2F ，弦AB 过1F ，若1ABF ∆的周长为8，则椭圆的离心率为 ．3．地球运行的轨道是长半轴长为1．50810km ⨯,离心率为0．02的椭圆,太阳在这椭圆的一个焦点上,求地球到太阳的最远距离．4．已知椭圆在x 轴和y 轴正半轴上的两顶点分别为A ．B ，原点到直线AB又该椭圆的离心率e =，求该椭圆的方程．5．如图所示，过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点P 作x 轴的垂线，恰好通过椭圆的一个焦点F 1，此时椭圆与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，所确定的直线AB 与OP 平行，求离心率e ．第5课时 椭圆的几何性质（2）【基础训练】1．椭圆19422=+y x 的离心率为 ． 2．椭圆1251622=+y x 上顶点与右顶点之间的距离为 ．3．已知椭圆C 的短轴长为6，焦点F 到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆C 的离心率等于 ．4．设(,)P x y 是椭圆22114425x y +=上的点，则32y -的取值范围是 ． 5．若椭圆长轴长是短轴长的2倍，且焦距为2，则此椭圆的标准方程为 ．6．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为22=e ，点A 是椭圆上的一点，且点A 到椭圆C 两焦点的距离之和为4，则椭圆方程为 ．【思考应用】7．椭圆2211612x y +=上一点P 到两焦点12,F F 的距离之差为2，试判断12PF F V 的形状．8．已知圆柱的底面半径为4，与圆柱底面成030角的平面截这个圆柱得到的一个椭圆，求所得的椭圆离心率．9．已知F 是椭圆225945x y +=的左焦点， P 是椭圆上的动点，(1,1)A 是一定点,求PA PF +的最大值．10．设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，短轴的一个顶点B 与两焦点12,F F 组成的三角形的周长为4+，且122,3F BF π∠=求椭圆的标准方程．【拓展提升】 11．已知F 为椭圆12222=+b y a x 的右焦点，P 为椭圆上的动点，求PF 长的最大值和最小值，并求出对应点P 的坐标．12．设F 1．F 2为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点，P 为椭圆上的动点，A 为椭圆的一个短轴的顶点．求证：2PF F I ∠的最大值为2AF F I ∠。
江苏省宿迁市高中数学第2章圆锥曲线与方程第3课时椭圆的标准方程2导学案(无答案)苏教版选修1_1
第3课时 椭圆的标准方程（2） 【学习目标】1．能正确运用椭圆的定义与标准方程解题；2．学会用待定系数法与定义法求曲线的方程 【问题情境】椭圆的标准方程【合作探究】1．想一想：若椭圆的方程为),0,0(12222n m n m ny m x ≠>>=+怎样判断其焦点的位置？2．椭圆的两种标准方程有什么相同点和不同点？3．用待定系数法确定椭圆的标准方程需要几个条件？【展示点拨】例1．已知一个贮油罐横截面的外轮廓是一个椭圆，他的焦距为2．4米，外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为3米，求这个椭圆的标准方程．例2．根据下列条件求椭圆的标准方程：（1）经过两点P )31,31(，Q )21,0(-的椭圆的标准方程；（2）求经过点P （－2，3），且与椭圆364922=+y x 有共同焦点．例3．△ABC 三个角A ．B ．C 所对的边成等差数列，其中A （－2，0），C （2，0），求顶点B 满足的一个轨迹方程．拓展延伸：如图，已知定点A （－2，0），动点B 是圆F ：64)2(22=+-y x （F 为圆心）上的一点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，求动点P 的轨迹方程．例4．点P 是椭圆14522=+x y 上的一点，21,F F 两点是焦点，02130=∠PF F ，求21PF F ∆的面积．【学以致用】1．求经过两点A (2,-，B (--的椭圆的标准方程；2．求经过点P 3(1,)2，且与椭圆2212x y +=有相同焦点的椭圆的标准方程．3．求经过点)5152,2(-与椭圆124322=+y x 有共同焦点的椭圆方程．4．将圆22y x += 4上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得曲线的方程，并说明它是什么曲线？5．已知椭圆的方程为13422=+y x ，若点P 在椭圆上且在第二象限，且，021120=∠PF F ，求21PF F ∆的面积．第3课时 椭圆的标准方程（2）【基础训练】1．已知椭圆17922=+y x ，则a ．b ．c 的值分别是 ． 2．已知椭圆1253622=+y x 上一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则点P 到另一个焦点的距离为 ．3．若方程19422=-+-ky k x 表示椭圆，则参数k 的取值范围是 ． 4．已知21F F 、为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，若2212F A F B +=，则AB =______________．5．已知(4,0),(2,2)A B 是椭圆221259x y +=内的点，M 是椭圆上的动点，则||||MA MB +的最大值 ．6．椭圆的焦距为6且经过点124,5P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则焦点在x 轴上的椭圆的标准方程_____________． 【思考应用】7．求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在y 轴上，225a b +=，且过点(；（2）椭圆经过两点35(,)22-，．8．已知圆心为P 的动圆过点(2,0)A ，且与圆224320x x y ++-=内切，求点P 的轨迹方程．9．已知P 为椭圆17542522=+y x 上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．10．已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为435和235，过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程．【拓展提升】11．设点,A B 的坐标分别为()()5,0,5,0-，．直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是49-，求点M 的轨迹方程．12．已知1F ．2F 为椭圆14922=+y x 的两个焦点，已知P ．1F ．2F 是一个直角三角形的三个顶点，且21PF PF > 求21PF PF 的值．。
高中数学二圆锥曲线与方程椭圆的几何性质苏教版PPT课件
(2)当焦点在 y 轴上时，设椭圆的标准方程为ay22＋xb22＝1(a>b>0)．
ac＝ 23， 由题意得a92＋b42＝1，
a2＝b2＋c2，
解得 b2＝245，a2＝25.
所以所求椭圆的标准方程为2y52 ＋2x52＝1. 4
综上，所求椭圆的标准方程为4x02＋1y02 ＝1 或2y52 ＋2x52＝1. 4
b越小，椭圆越扁．
数学建模
焦点的位置
椭圆的简单几何性质
焦点在 x 轴上
焦在 y 轴上
图形
标准方程 范围
xa22＋by22＝1(a＞b＞0) －a≤x≤a且
－b≤y≤b
ay22＋xb22＝1(a＞b＞0) －b≤x≤b且 －a≤y≤a
焦点的位置 焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
顶点
_A_1_(_－__a_,0_)_，__A_2_(a_,_0_)_，__ _A_1_(0_，__－__a_)_，__A_2_(_0_，__a_)， _B_1_(_0_，__－__b_)，__B__2(_0_，__b_) _B_1_(－__b_,_0_)，__B__2(_b_,_0_) ___
(1)长轴长是短轴长的 5 倍，且过点 A(5,0)． (解2)：离(1心)若率椭e圆＝焦35，点焦在距x 为轴上12，. 设其标准方程为xa22＋by22＝1(a>b>0)， 由题意得
2a＝5×2b， 2a52 ＋b02＝1，
解得ab＝＝51， .
故所求椭圆的标准方程为2x52 ＋y2＝1； 若焦点在 y 轴上，设其标准方程为ay22＋xb22＝1(a>b>0)，由题意，得
例 3 已知椭圆的中心在原点，对称轴是坐标轴，离心率 e
高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.2 2.2.1 椭圆的标准方程 苏教版选修2-1
[合 作 探 究·攻 重 难]
椭圆标准方程的求法 求满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1)椭圆的焦距为 2，且过点 P(－ 5，0)； (2)两个焦点坐标分别为(0，－2)，(0,2)，并且经过点 P－32，52.
【导学号：71392056】 [精彩点拨] 求椭圆的标准方程关键是确定焦点的位置及 a，b 的值，若不 能确定焦点位置，则要根据焦点在 x 轴上还是 y 轴上分类讨论．
2.( )
(6)椭圆1x22 ＋y82＝1 的焦点坐标是(±2,0)．(
)
[解析] (1)(2)明显正确； (3)xm2＋yn2＝1 中，当 m＝n>0 时方程表示圆，故错误； (4)方程 y2 的分母大于 x2 的分母，故椭圆的焦点在 y 轴上，故错误； (5)方程x42＋y2＝1 中，a＝2，所以 PF1＋PF2＝4.所以错误； (6)因为 a2－b2＝12－8＝4，所以 c＝2，即焦点坐标为(±2，0)，故正确．
椭圆标准方程的识别
已知方程 x2·sin α－y2·cos α＝1(0≤α≤2π)表示椭圆． (1)若椭圆的焦点在 x 轴上，求 α 的取值范围； (2)若椭圆的焦点在 y 轴上，求 α 的取值范围.
【导学号：71392057】
[精彩点拨] (1)已知方程不是椭圆的标准形式，应先化成标准方程． (2)对于椭圆方程xm2＋yn2＝1(m>0，n>0，m≠n)可由 m，n 的大小确定椭圆焦 点的位置，列出三角不等式后求 α 的范围．
[自主解答] 将椭圆方程 x2·sin α－y2·cos α＝1(0≤α≤2π)化为标准形式为
x2 1
＋
y2 1
【配套K12】江苏省宿迁市高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 第3课时 椭圆的标准方程2导学案(无答案)苏教版选
第3课时 椭圆的标准方程（2） 【学习目标】1．能正确运用椭圆的定义与标准方程解题；2．学会用待定系数法与定义法求曲线的方程 【问题情境】椭圆的标准方程【合作探究】1．想一想：若椭圆的方程为),0,0(12222n m n m ny m x ≠>>=+怎样判断其焦点的位置？2．椭圆的两种标准方程有什么相同点和不同点？3．用待定系数法确定椭圆的标准方程需要几个条件？【展示点拨】例1．已知一个贮油罐横截面的外轮廓是一个椭圆，他的焦距为2．4米，外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为3米，求这个椭圆的标准方程．例2．根据下列条件求椭圆的标准方程：（1）经过两点P )31,31(，Q )21,0(-的椭圆的标准方程；（2）求经过点P （－2，3），且与椭圆364922=+y x 有共同焦点．例3．△ABC 三个角A ．B ．C 所对的边成等差数列，其中A （－2，0），C （2，0），求顶点B 满足的一个轨迹方程．拓展延伸：如图，已知定点A （－2，0），动点B 是圆F ：64)2(22=+-y x （F 为圆心）上的一点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，求动点P 的轨迹方程．例4．点P 是椭圆14522=+x y 上的一点，21,F F 两点是焦点，02130=∠PF F ，求21PF F ∆的面积．【学以致用】1．求经过两点A (2,2-，B (--的椭圆的标准方程；2．求经过点P 3(1,)2，且与椭圆2212x y +=有相同焦点的椭圆的标准方程．3．求经过点)5152,2(-与椭圆124322=+y x 有共同焦点的椭圆方程．4．将圆22y x += 4上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得曲线的方程，并说明它是什么曲线？5．已知椭圆的方程为13422=+y x ，若点P 在椭圆上且在第二象限，且，021120=∠PF F ，求21PF F ∆的面积．第3课时 椭圆的标准方程（2）【基础训练】1．已知椭圆17922=+y x ，则a ．b ．c 的值分别是 ． 2．已知椭圆1253622=+y x 上一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则点P 到另一个焦点的距离为 ．3．若方程19422=-+-ky k x 表示椭圆，则参数k 的取值范围是 ． 4．已知21F F 、为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，若2212F A F B +=，则AB =______________．5．已知(4,0),(2,2)A B 是椭圆221259x y +=内的点，M 是椭圆上的动点，则||||MA MB +的最大值 ．6．椭圆的焦距为6且经过点124,5P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则焦点在x 轴上的椭圆的标准方程_____________． 【思考应用】7．求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在y 轴上，225a b +=，且过点(0)；（2）椭圆经过两点35(,)22-，．8．已知圆心为P 的动圆过点(2,0)A ，且与圆224320x x y ++-=内切，求点P 的轨迹方程．9．已知P 为椭圆17542522=+y x 上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．10．已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为435和235，过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程．【拓展提升】11．设点,A B 的坐标分别为()()5,0,5,0-，．直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是49-，求点M 的轨迹方程．12．已知1F ．2F 为椭圆14922=+y x 的两个焦点，已知P ．1F ．2F 是一个直角三角形的三个顶点，且21PF PF > 求21PF PF 的值．。
高中数学第2章圆锥曲线与方程2.2.2椭圆的几何性质课件苏教版选修1-1
方程为x42＋y32＝1. 【答案】 x42＋y32＝1
我还有这些不足： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________
(2)若椭圆短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形；且焦点到同侧顶点的 距离为 3，则椭圆的标准方程为________.
【精彩点拨】 解决问题的关键是根据已知条件求出 a2 和 b2.
1.利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程通常采用待定系数法. 2.根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准、定参数”，一般步骤是： (1)求出 a2，b2 的值；(2)确定焦点所在的坐标轴；(3)写出标准方程.
[探究共研型]
直线与椭圆的综合应用
探究 1 已知直线 y＝kx＋m 和椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)，如何判断直线与椭圆的
位置关系？ 【提示】
y＝kx＋m 由ax22＋by22＝1
得(a2k2＋b2)x2＋2kma2x＋a2(m2－b2)＝0，设该二次
方程的判别式为 Δ，若 Δ＞0，则直线与椭圆有两个交点；若 Δ＝0，则直线与椭圆
有一个交点；若 Δ＜0，则直线与椭圆没有交点.
2018-2019学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.2.1 椭圆的标准方程讲义 苏教版选修2-1
解得
k－2≠5－k，
2<k<5
且
k≠72，
所以 2<k<5 且 k≠72⇒ 2<k<5. 而 2<k<5 推不出 2<k<5 且 k≠72. 所以，“2<k<5”是“方程k－x22＋5－y2 k＝1”表示椭圆的必要不
充分条件．
b2＝659
若椭圆的焦点在 y 轴上，设它的标准方程为ya22＋bx22＝
1(a>b>0)，
由条件知
a32＋b92＝1 ，解得：
a92＋b42＝1
a2＝659 ，
b2＝223
此时，椭圆的标准方程为6y92 ＋2x32＝1；
52
综上，椭圆的标准方程为6y92 ＋2x32＝1. 52
法二：由题意，可设椭圆的方程为 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，
设椭圆方程为xa22＋by22＝1(a>b>0)，则 2a＝16，2c＝8.
∴a2＝64，c2＝16，b2＝a2－c2＝48， ∴动圆圆心的轨迹方程为6x42＋4y82 ＝1.
[方法归纳] 通过分析平面图形，利用平面几何知识，得到符合椭圆定义 的几何条件，从而判断点的轨迹是椭圆，再由待定系数法求 出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法．
第2章 圆锥曲线与方程
2．2 椭 圆 2．2.1 椭圆的标准方程
第2章 圆锥曲线与方程
学习导航
学习 目标
1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭 圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程．(难点) 2．掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．(重点、 难点)
学法 指导
通过椭圆标准方程的推导过程，培养分析探索能力， 熟练掌握解决解析几何问题的方法——坐标法．通 过对椭圆问题的探究，掌握数形结合、转化等数学 思想.
【配套K12】[学习]2018年秋高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2 椭圆 2.2.1 椭圆及
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2.2.1 椭圆及其标准方程学习目标：1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．(重点)2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．椭圆的定义把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．思考：(1)椭圆定义中将“大于|F 1F 2|”改为“等于|F 1F 2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)椭圆定义中将“大于|F 1F 2|”改为“小于|F 1F 2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？[提示] (1)点的轨迹是线段F 1F 2.(2)当距离之和小于|F 1F 2|时，动点的轨迹不存在． 2．椭圆的标准方程1．思考辨析(1)到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆．( ) (2)到两定点F 1(－2,0)和F 2(2,0)的距离之和为3的点M 的轨迹为椭圆．( ) (3)椭圆x 225＋y 249＝1的焦点在x 轴上．( )[答案] (1)× (2)× (3)×2．已知椭圆x 2m ＋y 216＝1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，到另一焦点距离为7，则m 等于( )A ．10B ．5C ．15D ．25D [由题意知2a ＝3＋7＝10，∴a ＝5，∴m ＝a 2＝25.]3．椭圆的两个焦点坐标分别为F 1(0，－8)，F 2(0,8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为( )【导学号：46342060】A.x 2100＋y 236＝1B.y 2400＋x 2336＝1 C.y 2100＋x 236＝1 D.y 220＋x 212＝1 C [由题意知c ＝8,2a ＝20，∴a ＝10， ∴b 2＝a 2－c 2＝36，故椭圆的方程为y 2100＋x 236＝1.] [合 作 探 究·攻 重 难](1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； (3)经过点A (3，－2)和点B (－23，1)． [解] (1)由于椭圆的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．∴a ＝5，c ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9. 故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)由于椭圆的焦点在y 轴上，∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．∴a ＝2，b ＝1.故所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.(3)法一：①当焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧(3)2a 2＋(－2)2b 2＝1，(－23)2a 2＋1b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝5.故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.②当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a ＋x 2b＝1(a ＞b ＞0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧(－2)2a 2＋(3)2b 2＝1，1a 2＋(－23)2b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝15，因为a ＞b ＞0，所以无解． 所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.法二：设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋4n ＝1，12m ＋n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝115，n ＝15.所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.1．已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点A (0，2)和B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，求椭圆的标准方程．[解] 设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )，将A ，B 两点坐标代入方程得⎩⎪⎨⎪⎧ 4n ＝1，14m ＋3n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝14，∴所求椭圆方程为x 2＋y 24＝1.(1)椭圆9＋2＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则∠F 1PF 2的大小为________．(2)已知椭圆x 24＋y 23＝1中，点P 是椭圆上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，且∠PF 1F 2＝120°，则△PF 1F 2的面积为________.【导学号：46342061】[思路探究] (1)求|PF 2|→求cos∠F 1PF 2→求∠F 1PF 2的大小 (2)椭圆定义和余弦定理→建立关于|PF 1|，|PF 2|的方程→联立求解|PF 1|→求三角形的面积[解析] (1)由x 29＋y 22＝1，知a ＝3，b ＝2，∴c ＝7.∴|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2，∴cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝－12，∴∠F 1PF 2＝120°.(2)由x 24＋y 23＝1，可知a ＝2，b ＝3，所以c ＝a 2－b 2＝1，从而|F 1F 2|＝2c ＝2.在△PF 1F 2中，由余弦定理得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|cos∠PF 1F 2，即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1| ①.由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4 ②. 由①②联立可得|PF 1|＝65.所以S △PF 1F 2＝12|PF 1||F 1F 2|sin∠PF 1F 2＝12×65×2×32＝335.[答案] (1)120° (2)3352．(1)已知P 是椭圆y 25＋x 24＝1上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，且∠F 1PF 2＝30°，则△F 1PF 2的面积是______________________________．8－4 3 [由椭圆的标准方程，知a ＝5，b ＝2， ∴c ＝a 2－b 2＝1，∴|F 1F 2|＝2. 又由椭圆的定义，知 |PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2 5.在△F 1PF 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos∠F 1PF 2， 即4＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|－2|PF 1|·|PF 2|cos 30°， 即4＝20－(2＋3)|PF 1|·|PF 2|， ∴|PF 1|·|PF 2|＝16(2－3)．∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin∠F 1PF 2＝12×16(2－3)×12＝8－4 3.](2)设P 是椭圆x 24＋y 23＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，若∠PF 1F 2＝90°，则△F 1PF 2的面积是________．32 [由椭圆方程x 24＋y23＝1，知a ＝2，c ＝1，由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，且|F 1F 2|＝2，在△PF 1F 2中，∠PF 1F 2＝90°.∴|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2.从而(4－|PF 1|)2＝|PF 1|2＋4，则|PF 1|＝32，因此S △PF 1F 2＝12·|F 1F 2|·|PF 1|＝32.故所求△PF 1F 2的面积为32.][1.如图221，P 为圆B ：(x ＋2)2＋y 2＝36上一动点，点A 的坐标为(2,0)，线段AP 的垂直平分线交直线BP 于点Q ，求点Q 的轨迹方程．图221提示：用定义法求椭圆的方程，首先要利用平面几何知识将题目条件转化为到两定点的距离之和为定值，然后判断椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴，最后由定义确定椭圆的基本量a ，b ，C ．所求点Q 的轨迹方程为x 29＋y 25＝1.2.如图222，在圆x 2＋y 2＝4上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足．当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹方程是什么？为什么？图222提示：当题目中所求动点和已知动点存在明显关系时，一般利用代入法(相关点法)求解．用代入法(相关点法)求轨迹方程的基本步骤为：(1)设点：设所求轨迹上动点坐标为M (x ，y )，已知曲线上动点坐标为P (x 1，y 1)． (2)求关系式：用点M 的坐标表示出点P 的坐标，即得关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝g (x ，y )，y 1＝h (x ，y ).(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可．所求点M 的轨迹方程为x 24＋y 2＝1.(1)已知P 是椭圆x 24＋y 28＝1上一动点；O 为坐标原点，则线段OP 中点Q 的轨迹方程为______________．(2)一个动圆与圆Q 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆Q 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程.【导学号：46342062】[思路探究] (1)点Q 为OP 的中点⇒点Q 与点P 的坐标关系⇒代入法求解． (2)由圆的相切，及动圆圆心与两个定圆圆心、半径的关系得轨迹．[解析] (1)设Q (x ，y )，P (x 0，y 0)，由点Q 是线段OP 的中点知x 0＝2x ，y 0＝2y ，又x 204＋y 208＝1.所以(2x )24＋(2y )28＝1，即x 2＋y 22＝1.[答案] x 2＋y 22＝1.(2)由已知，得两定圆的圆心和半径分别为Q 1(－3,0)，R 1＝1；Q 2(3,0)，R 2＝9. 设动圆圆心为M (x ，y )，半径为R ，如图．由题设有 |MQ 1|＝1＋R ， |MQ 2|＝9－R ，所以|MQ 1|＋|MQ 2|＝10>|Q 1Q 2|＝6.由椭圆的定义，知点M 在以Q 1，Q 2为焦点的椭圆上， 且a ＝5，c ＝3.所以b 2＝a 2－c 2＝25－9＝16， 故动圆圆心的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.3．(1)已知x 轴上一定点A (1,0)，Q 为椭圆x 24＋y 2＝1上任一点，求线段AQ 中点M 的轨迹方程．[解] 设中点M 的坐标为(x ，y )，点Q 的坐标为(x 0，y 0)． 利用中点坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋12，y ＝y2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －1，y 0＝2y .∵Q (x 0，y 0)在椭圆x 24＋y 2＝1上， ∴x 204＋y 20＝1. 将x 0＝2x －1，y 0＝2y 代入上式，得(2x －1)24＋(2y )2＝1.故所求AQ 的中点M 的轨迹方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋4y 2＝1.(2)在Rt△ABC 中，∠CAB ＝90°，|AB |＝2，|AC |＝32，曲线E 过C 点，动点P 在曲线E上运动，且|PA |＋|PB |是定值．建立适当的平面直角坐标系，求曲线E 的方程．[解] 以AB 的中点O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．由题意可知，曲线E 是以A ，B 为焦点，且过点C 的椭圆，设其方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．则2a ＝|AC |＋|BC |＝32＋52＝4,2c ＝|AB |＝2，所以a ＝2，c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3.所以曲线E 的方程为x 24＋y 23＝1.[当 堂 达 标·固 双 基]1．已知A (－5,0)，B (5,0)．动点C 满足|AC |＋|BC |＝10，则点C 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．直线 C ．线段 D ．点 C [由|AC |＋|BC |＝10＝|AB |知点C 的轨迹是线段AB .]2．已知椭圆4x 2＋ky 2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k 的值是( )【导学号：46342063】A ．1B ．2C ．3D ．4B [椭圆方程可化为x 2＋y24k ＝1，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧4k >14k －1＝1，解得k ＝2.]3．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P (2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为( ) A.x 24＋y 23＝1B.x 24＋y 2＝1 C.y 24＋x 23＝1 D.y 24＋x 2＝1 A [由题意知c ＝1，a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3.∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.]4．已知椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆两焦点F 1，F 2的连线夹角为直角，则|PF 1|·|PF 2|＝________.48 [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝14 ①|PF 1|2＋|PF 2|2＝100 ②①2－②得2|PF 1||PF 2|＝96. 所以|PF 1||PF 2|＝48.]5．已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4,3)．若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程.【导学号：46342064】[解] 设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．设焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c ＞0)．∵F 1A ⊥F 2A ， ∴F 1A →·F 2A →＝0， 而F 1A →＝(－4＋c,3)，F 2A →＝(－4－c,3)，∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0， ∴c 2＝25，即c ＝5. ∴F 1(－5,0)，F 2(5,0)． ∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝(－4＋5)2＋32＋(－4－5)2＋32＝10＋90＝410.∴a＝210，∴b2＝a2－c2＝(210)2－52＝15.∴所求椭圆的标准方程为x240＋y215＝1.。
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第6课时 椭圆的几何性质（3）
【学习目标】
1．根据椭圆的标准方程和几何性质求椭圆的离心率问题； 2．学会构造含a ，b ，c 的齐次式． 【问题情境】
问题1．求椭圆22
1259
x y +=的离心率．
问题2．已知椭圆1422=+m
y x 的离心率为
23
，求实数m 的值． 【合作探究】
已知椭圆22
2210()x y a b a b
+=>>的两个焦点分别为12,F F ，短轴的一个端点为P ，
（1）若12FPF ∠为直角，求椭圆的离心率；（2）若12FPF ∠为钝角，求椭圆离心率的取值范围．
如何构造含a ，b ，c 的齐次式．
【展示点拨】
例1．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的离心率．
例2．椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左．右焦点依次为1F ，2F ，上顶点为B ，右顶点为A ，
若1ABF ∆为直角三角形，则称其为“黄金椭圆”，求“黄金椭圆”的离心率．
例3．在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的焦距为2c ，以点O 为
圆心，a 为半径作圆M ，若过点P ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛0,2c a 作圆M 的两切线互相垂直，
求该椭圆的离心率．
例4．若椭圆122
22=+b y a x )0(>>b a 的两个焦点为F 1，F 2，P 为椭圆上一点，且
02190=∠PF F
求椭圆离心率的范围；
【学以致用】
1．若椭圆
22155x y m +=+的离心率是12
，则m = ． 2．设一个椭圆的焦距．短轴长．长轴长成等比数列，则此椭圆的离心率e ＝ ． 3．设椭圆的两个焦点分别为1F ，2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于,P 点，若12PF F ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 ．
4．以椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左焦点椭圆)0,(c F -的为圆心，c 为半径的圆与直线
c
a x 2
-=交于不同的两点，则离心率的取值范围是 ．
5．过椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，
若1260F PF ∠=o ，则椭圆的离心率是___________．
第6课时 椭圆的几何性质（3）
【基础训练】
1．椭圆22194
x y +=的离心率为 ． 2．若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则其离心率为 ．
3．已知椭圆C 的短轴长为6，焦点F 到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆C 的离心率等于 ．
4．若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角形，则其离心率为 ． 5．若椭圆的两个焦点把长轴分成三等分，则其离心率为 ．
6．直线x ＋2y －2＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心
率等于______． 【思考应用】
7．已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左．右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若椭圆上存在
一点P 使1221
sin sin a c
PF F PF F =，求该椭圆的离心率的取值范围．
8．在平面直角坐标系xOy 中，A ，上顶点为B ，
M 为线段AB 的中点，若30o MOA ∠=，求椭圆的离心率．
9和圆222
:O x y b +=，若C 上存在点P ，使得过点
P 引圆O 的两条切线，切点分别为,A B ，满足60APB ∠=︒，求椭圆C 的离心率的取值范
围．
10．已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>过点(3,1)P ，其左．右焦点分别为1F ，2F ，且
126F P F P ∙=-，求椭圆的离心率．
【拓展提升】
11．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，12,A A ，12,B B 为椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的
四个顶点，F 为其右焦点，直线12A B 与直线1B F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，求该椭圆的离心率．
12．设P 为椭圆22
2210()x y a b a b
+=>>上一点，A 为长轴的右端点，若OP PA ⊥，求椭圆
的离心率的取值范围．。