指数函数及其性质

2.1.2 指数函数及其性质（一）

一、学习目标：了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念和意义，掌握指数函数

的图象和性质；本节课的重点是在理解指数函数定义的基础上掌握指数函数的图象和性质，

本节课的难点是弄清楚底数a对于指数函数图象和性质的影响。

二、问题引领：

1、指数函数的概念、图象和性质

2、指数函数图象分布图： 如图，,,,A B C D 分别为指数函数

,,,x x x x y a y b y c y d ====的图象，则,,,a b c d 与

0、1的大小关系为01a b c d <<<<<。 三、典例剖析：

例题1：已知指数函数()(0>=a a x f x 且)1≠a 的图象经过点()2,π，求()()()012f f f -、、的值。

分析：要求()()()012f f f -、、的值，我们需要先求出指数函数()x a x f =的解析式，也就是要先求a 的值。根据函数图象过点()2,π这一条件，可以求得底数a 的值。 解： ()x a x f =的图象经过点()2,π，

()2f π∴= 即2

a π=，解得1

2

a π=

()2x f x π∴=，即：()(

)()10

12

1

01,12f f f ππππ

-====-==

。

点评：求函数解析式的典型方法是待定系数法，求指数函数需要待定的系数只有一个a ，只需要一个已知条件，就可以确定一个指数函数。

例题2：1、设1111333b a

⎛⎫⎛⎫

<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，求,,a b a a a b 的大小关系。

2、 比较235

4

0.5,1.2,1的大小。

分析：利用指数函数的单调性和特殊点比较大小。

解：1、因为函数13x y ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

在R 上为减函数，又由1111333b a

⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，

所以得：01a b <<<，

因为当01a <<时，函数x

y a =为减函数，又a b <，

所以a b a a >，因为函数x y a =与x

y b =在R 上同为减函数且当0x >时，

随着x 的增大，函数x y a =比函数x

y b =减小的快，所以a a

a b <，

即b a a

a a

b <<。

2、因为函数0.5x y =在R 上为减函数，所以20

5

00.50.51<<=，又因为函数

1.2x

y =在R 上为增函数，所以30

4

1.2 1.21>=，即2354

0.51 1.2<<

点评：涉及到无理数和超越数的大小比较，一般需根据这些数的构成特点，寻求某

个函数作模型，然后将各数统一到这个模型中，利用函数单调性比较大小。

若底数相同，指数不同时，则可直接利用指数函数的单调性比较大小。

若底数不同，指数相同时，则可利用指数函数的图象分布规律进行比较大小。 若底数不同，指数也不相同，则常借助0，1等中间量进行比较。 例题3：对任意实数x ，求函数213531x x y -=+⋅+的值域。

分析：将函数分解成指数函数和二次函数的复合函数，分别利用指数函数的值域和二

次函数的单调性求值域。 解：()

()2

53

313x

x y =+⋅+=2

5113636x ⎛

⎫++ ⎪⎝

⎭ 令3(0)x t t =>，因为2

511636y t ⎛

⎫=++ ⎪⎝⎭

在()0,t ∈+∞为增函数，所以

函数213531x x y -=+⋅+的值域为()1,+∞。 点评：本题考查与指数函数有关的复合函数()

()2

(0,1)

x

x y k a

m a n a a =++>≠求值域问题,常用换元法,其步骤:1、换元，令(0)x

t a t =>2、得二次函数

2(0)y kt mt n t =++>，3、由二次函数2(0)y kt mt n t =++>的单调性

求y 的范围。

四、自我测评：

（一）、选择题：

1、下列函数中（1）2

2x y =（2）2x

y =（3）22x

y =（4）32x y =⨯（5）21x

y =-

（6）y =

）

A 0

B 1

C 2 C 3 2、 数3x

y =-的图象（ ）

A 与3x y =的图象关于y 轴对称

B 与3x

y =的图象关于坐标原点对称

C 与3

x

y -=的图象关于y 轴对称 D 与3x

y -=的图象关于坐标原点对称 3、 下列函数能使等式()()()f a b f a f b +=∙恒成立的是（ ）

A y kx b =+

B x y a =

C 2y ax bx c =++

D k y x

= 4、 已知函数1x y a -=的图象恒过定点P ，则定点P 的坐标是（ ）

A （1，1）

B （1，4）

C （1，5）

D （0，1） （二）、填空题： 5、指数函数()y f x =的图象过点()1,3，则()1f f ⎡⎤⎣⎦= 。 6

、函数y =

的定义域为 。

7、设()1

42(0)x

x f x x +=-≥，又()0f a =，则a 的值为 。

8、函数21x y =-的图象一定不过 象限。 （三）、解答题： 9、()(

),(5)2(5)x a x f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩()0,1a a >≠且已知()816f =，求a 的值。

10、已知0.70.7a =，0.3

3b =，3

34c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭

，1

23d =，比较,,,a b c d 的大小。

11、若函数()f x 的定义域是()0,1，分别求函数()3x f -和函数()

1

2

1x f --的定义域。

12、求函数29231x x y a a =+⋅+-的值域。