高考数学二轮复习大题专攻练十解析几何B组文新人教A版

高考大题专攻练10.解析几何(B组)
大题集训练,练就慧眼和规范,占领高考制胜点!
1.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,其右焦点为F(1,0).
(1)求椭圆E的方程.
(2)若P,Q,M,N四点都在椭圆E上,已知与共线,与共线,且·=0,求四边形PMQN的面积的最小值和最大值.
【解析】(1)由椭圆的离心率公式可知:e==,由c=1,则a=,
b2=a2-c2=1,
故椭圆方程为+y2=1.
(2)由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦,相交于焦点F(1,0),
且PQ⊥MN,设直线PQ的斜率为k(k≠0),P(x1,y1),Q(x1,y1),
则PQ的方程为y=k(x-1),
联立整理得:(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,
x1+x2=,x1x2=,
则|PQ|=·,
于是|PQ|=,
同理:|MN|==.
则S=|PQ||MN|=,令t=k2+,t≥2,
S=|PQ||MN|==2,
当k=±1时,t=2,S=,且S是以t为自变量的增函数,
当k=±1时,四边形PMQN的面积取最小值.
当直线PQ的斜率为0或不存在时,四边形P MQN的面积为2.
综上:四边形PMQN的面积的最小值和最大值分别为和2.
2.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆Ω:+=1(a>b>0)的离心率为,直线l:y=2上的点和椭圆Ω上的点的距离的最小值为1.
(1)求椭圆Ω的方程.
(2)已知椭圆Ω的上顶点为A,点B,C是Ω上的不同于A的两点,且点B,C关于原点对称,直线AB,AC分别交直线l于点E,F.记直线AC与AB的斜率分别为k1,k2.
①求证:k1·k2为定值;
②求△CEF的面积的最小值.
【解题导引】(1)由题知b=1,由=,b=1联立求解即可得出.
(2)①方法一:直线AC的方程为y=k1x+1,与椭圆方程联立可得坐标,即可得出.
方法二:设B(x0,y0)(y0>0),则+=1,因为点B,C关于原点对称,则C(-x0,-y0),利用斜率计算公式即可得出.
②直线AC的方程为y=k1x+1,直线AB的方程为y=k2x+1,不妨设k1>0,则k2<0,令y=2,得E,F,可得△CEF的面积S△CEF=|EF|(2-y c).
【解析】(1)由题意知b=1,由=,
所以a2=2,b2=1.
故椭圆的方程为+y2=1.
(2)①方法一:直线AC的方程为y=k1x+1,
由得(1+2)x2+4k1x=0,
解得x C=-,同理x B=-,
因为B,O,C三点共线,则由x C+x B=--=0,
整理得(k1+k2)(2k1k2+1)=0,
所以k1k2=-.
方法二:设B(x0,y0)(y0>0),则+=1,因为点B,C关于原点对称,则C(-x0,-y0),所以
k1k2=·===-.
②直线AC的方程为y=k1x+1,直线AB的方程为y=k2x+1,不妨设k1>0,则k2<0,
令y=2,得E,F,
而y C=k1x C+1=-+1=,
所以,△CEF的面积S△CEF=|EF|(2-y c)=
=··.
由k1k2=-,得k2=-,
则S△CEF=·=3k1+≥,当且仅当k1=时取得等号,
所以△CEF的面积的最小值为.
【加固训练】已知点P是椭圆C上任一点,点P到直线l1:x=-2的距离为d1,到点F(-1,0)的
距离为d2,且=.直线l与椭圆C交于不同两点A,B(A,B都在x轴上方),且∠OFA+∠OFB=180°.
(1)求椭圆C的方程.
(2)当A为椭圆与y轴正半轴的交点时,求直线l方程.
(3)对于动直线l,是否存在一个定点,无论∠OFA如何变化,直线l总经过此定点?若存在,求出该定点的坐标;若不存在,请说明理由.
【解题导引】(1)设P(x,y),得==,由此能求出椭圆C的方程.
(2)由已知条件得k BF=-1,BF:y=-(x+1)=-x-1,代入+y2=1,得:3x2+4x=0,由此能求出直线l 方程.
(3)B关于x轴的对称点B1在直线AF上.设直线AF的方程为y=k(x+1),代入+y2=1,
得:x2+2k2x+k2-1=0,由此能证明直线l总经过定点M(-1,0).
【解析】(1)设P(x,y),则d1=|x+2|,d2=,
==,
化简得+y2=1,
所以椭圆C的方程为+y2=1.
(2)因为A(0,1),F(-1,0),
所以k AF==1,∠OFA+∠OFB=180°,
所以k BF=-1,直线BF的方程为y=-(x+1)=-x-1,
代入+y2=1,得:3x2+4x=0,
所以x=0或x=-,代入y=-x-1得,
(舍)或
所以B.
k AB==,
所以AB的方程为y=x+1.
(3)由于∠OFA+∠OFB=180°,所以B关于x轴的对称点B1在直线AF上. 设A(x1,y1),B(x2,y2),B1(x2,-y2).
设直线AF的方程为y=k(x+1),代入+y2=1,
得:x2+2k2x+k2-1=0,
x1+x2=-,x1x2=,
k AB=,所以AB的方程为y-y1=(x-x1),
令y=0,得:x=x1-y1=,
y1=k(x1+1),y2=k(x2+1),
x==
=
==-1.
所以直线l总经过定点M(-1,0).。