广东2012九年级学业考试(信息卷二)-数学解析

2012年广东省初中毕业生学业考试（信息卷二）数学卷说明：1.全卷共8页，考试时间为80分钟，总分120分。

2．答卷前，考生必须将自己的姓名、学校、班级按要求填写在密封线左边的空格内。

3．答案可用黑色或蓝色字迹的钢笔、签字笔按各题要求答在试卷上，不能用铅笔、圆珠笔和红笔。

4．考试结束时，将试卷交回。

一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将所选选项的字母写在答题卷相应的位置)1．－2011的绝对值是()A．2011 B．－2011 C.12011D．－120112．2011年3月5日，第十一届全国人民代表大会第四次会议在人民大会堂开幕，国务院总理温家宝作《政府工作报告》．报告指出我国2010年国内生产总值达到398000亿元．“398000”这个数据用科学记数法(保留两个有效数字)表示正确的是() A．3.98×105B．3.98×106C．4.0×105D．4.0×1063A．20,19 B．19,19 C．19,20.5 D．19,204．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，∠2＝70°，则∠3等于()A．20°B．30°C．40°D．50°4题图5题图5．如图，⊙P 内含于⊙O ，⊙O 的弦AB 切⊙P 于点C ，且AB ∥OP.若阴影部分的面积为9π，则弦AB 的长为( )A ．9B ．6C ．4D ．3二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．请把下列各题的正确答案填写在答题卷相应的位置)6．分解因式：x 2y －2xy ＋y ＝______________.7．在平面直角坐标系中，点P(－2,3)关于原点对称的点的坐标为________．8．将正方形与直角三角形纸片按下图所示方式叠放在一起，已知正方形的边长为20 cm ，点O 为正方形的中心，AB ＝5 cm ，则CD 的长为________．8题图第9题图9．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝120°，AD ＝8，BC ＝14，则梯形ABCD 的周长为__________．10．如果记y ＝x 21＋x 2＝f(x)，并且f(1)表示当x ＝1时y 的值，即f(1)＝121＋12＝12；f ⎝⎛⎭⎫12表示当x ＝12时y 的值，即f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫1221＋⎝⎛⎭⎫122＝15，那么f(1)＋f(2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f(3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋f(n)＋f ⎝⎛⎭⎫1n ＝________.三、解答题(一)(本大题共5小题，每小题6分，共30分)11．计算：8－2cos45°＋⎝⎛⎭⎫7－π20－⎝⎛⎭⎫12－1. 12.解方程：3＋x x －4＋1＝14－x .13．如图，把一张给定大小的矩形卡片ABCD 放在宽度为10 mm 的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知α＝25°，求长方形卡片的周长．(精确到 1 mm，参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5)14.如图，AB∥CD，∠ACD＝72°.(1)用直尺和圆规作∠C的平分线CE，交AB于E，并在CD上取一点F，使AC＝AF，再连结AF，交CE于K；(要求保留作图痕迹，不必写出作法)(2)依据现有条件，直接写出图中所有相似的三角形(图中不再增加字母和线段，不要求证明)15．小兵和小宁用一副扑克牌中牌面数字分别是3,6,8,10的4张牌做纸牌游戏．游戏规则是：将这4张牌的正面全部朝下洗匀后放在桌上，小兵先从中抽出一张，小宁从剩余的3张牌中也抽出一张．小宁说：“若抽出的两张牌上的数都是偶数，你获胜；否则，我获胜．”(1)请用树状图表示出抽牌可能出现的所有结果；(2)若按小宁说的规则进行游戏，这个游戏公平吗？请说明理由．四、解答题(二)(本大题共4小题，每小题7分，共28分)16．如图，在中，E为BC的中点，连结AE并延长交DC的延长线于点F.(1)求证：AC＝BF；(2)当∠D与∠AFD满足什么数量关系时，四边形ABFC是矩形，并说明理由．17．已知关于x的一元二次方程x2－2(m－1)x－m(m＋2)＝0.(1)若x＝－2是这个方程的一个根，求m的值和方程的另一个根；(2)求证：对于任意实数m，这个方程都有两个不相等的实数根．18.日本在3·11地震后，核电站发生严重的核泄漏事故，为了防止民众受到更多的核辐射，我国某医疗公司主动承担了为日本福田地区生产2万套防辐射衣服的任务，计划10天完成，在生产2天后，日本的核辐射危机加重了，所以公司需提前完成任务，于是公司从其他部门抽调了50名工人参加生产，同时通过技术革新等手段使每位工人的工作效率比原计划提高了25%，结果提前2天完成了生产任务．求该公司原计划安排多少名工人生产防辐射衣服？19．广州亚运会的召开，让同学们熟悉了不少体育明星．小红和小亮就本班同学“我最喜爱的体育明星”进行了一次调查统计，下图是他们通过收集数据后，绘制的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答以下问题：(1)求该班共有多少名学生？(2)在扇形统计图中，“刘翔”部分所对应的圆心角的度数是多少？(3)若全校有4000名学生，请估计“最喜爱郭晶晶”的学生有多少名？五、解答题(三)(本大题共3小题，每小题9分，共27分)20．某企业获准生产“上海世博会”纪念徽章，若生产A种款式的纪念徽章125件，B 种款式的纪念徽章150件，需成本700元；若生产A种款式的纪念徽章100件，B种款式的纪念徽章450件，需成本1550元．已知A、B两种纪念徽章的市场零售价分别为2.3元，3.5元．(1)求每个A、B两种款式的纪念徽章的成本是多少元？(2)随着上海世博会的开幕，为了满足市场的需要，该企业现在每天要生产A 、B 两种款式的纪念徽章共4500件，若要求每天投入成本不超过10000元，并且每天生产的B 种款式的纪念徽章不少于A 种款式纪念徽章的14，那么每天最多获利多少元，最少获利多少元？获利最多的方案如何设计？21.如图，AB 是△ABC 外接圆⊙O 的直径，D 是AB 延长线上一点，且BD ＝12AB ，∠A ＝30°，CE ⊥AB 于E ，过C 的直径交⊙O 于点F ，连结CD 、BF 、EF.(1)求证：CD 是⊙O 的切线； (2)求tan ∠BFE 的值．22.如图(1)，在平面直角坐标系中，已知点M 的坐标是(3,0)，半径为2的⊙M 交x 轴于E ，F 两点，过点P(－1,0)作⊙M 的切线，切点为点A ，过点A 作AB ⊥x 轴于点C ，交⊙M于点B.抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过P 、B 、M 三点．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若点Q 是抛物线上一动点，且位于P 、B 两点之间，设四边形APQB 的面积为S ，点Q 的横坐标为x ，求S 与x 之间的函数关系式，并求S 的最大值和此时点Q 的坐标；(3)如图(2)，将AEB 沿弦AB 对折后得到AE ′B ，试判断直线AF 与AE ′B 的位置关系，并说明理由．数学卷·参考答案1．A 2.C 3.D 4.C 5.B 6. y(x －1)27.(2，－3) 8.20 cm 9. 34 10.n －1211．原式＝22－2×22＋1－2＝2－1.12. 方程两边同时乘以x －4，得3＋x ＋x －4＝－1，解得x ＝0，经检验当x ＝0时方程有意义，则方程的解为x ＝0.13．作AF ⊥l 4，交l 2于E ，交l 4于F ，则△ABE 和△AFD 均为直角三角形 …1分在Rt △ABE 中，∠ABE ＝α＝25°，sin ∠ABE ＝AEAB ∴AB ＝AE sin25°＝200.4＝50 …2分∵∠FAD ＝90°－∠BAE ，α＝90°－∠BAE.∴∠FAD ＝α＝25° 在Rt △AFD 中，cos ∠FAD ＝AF AD ，AD ＝AF cos25°≈44.4 …5分∴长方形卡片ABCD 的周长为(44.4＋50)×2≈189(mm)…6分14．(1)CE 作法正确得1分，F 点作法正确，K 点标注正确得1分； (2)△CKF ∽△ACF ∽△EKA ；△CAK ∽△CEA (注：共4对相似三角形，每正确1对可得1分) 15. (1)树状图为：…3分(2)游戏公平．∵两张牌上的数都是偶数有6种可能结果(6,10)，(6,8)，(10,6)，(10,8)，(8,6)，(8,10) …5分∴小兵获胜的概率P ＝612＝12，小宁获胜的概率也为12，∴游戏公平．…6分16. (1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ，∴∠BAE ＝∠CFE ，∠ABE＝∠FCE ，∵E 为BC 的中点，∴EB ＝EC.∴△ABE ≌△FCE ，∴AE ＝EF.∴四边形ABFC 为平行四边形．∴AC ＝BF …3分(2)当∠D ＝∠AFD 时，四边形ABFC 是矩形． …4分理由如下： ∵∠D ＝∠AFD ，∴AF ＝AD.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC.∴AF ＝BC.∵四边形ABFC 是平行四边形，∴四边形ABFC 是矩形．…7分17. (1)把x ＝－2代入方程，得4－2(m －1)×(－2)－m(m ＋2)＝0，即m 2－2m ＝0.解得m 1＝0，m 2＝2.…2分当m ＝0时，原方程为x 2＋2x ＝0，则方程的另一个根为x ＝0；…3分当m ＝2时，原方程为x 2－2x －8＝0，则方程的另一个根为x ＝4.…4分 (2)Δ＝[－2(m －1)2]－4×[－m(m ＋2)]＝8m 2＋4， …6分∵对于任意实数m ，m 2≥0, ∴8m 2＋4＞0.∴对于任意实数m ，这个方程都有两个不相等的实数根．…7分18. 设公司原计划安排x 名工人生产防核辐射衣服，由题意得 …1分2000x (1＋25%)＝20000－2×2000(x ＋50)(10－2－2) …5分解得x ＝750.经检验x ＝750是方程的解，也符合题意．…6分 答：公司原计划安排750名工人生产防核辐射衣服 . …7分 19．(1)该班人数为：20÷40%＝50(人); …2分(2)在扇形统计图中，“刘翔”部分所对应的圆心角的度数是：1550×360°＝108°； …4分(3)“最喜爱郭晶晶”的学生占有的比例为：50－20－15－550×100%＝20% 故在全校4000名学生中“最喜爱郭晶晶”的学生人数约有：4000×20%＝800(名)．…7分20．(1)设每个A 种款式纪念徽章的成本是x 元，每个B 种款式纪念徽章的成本是y 元．据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 125x ＋150y ＝700100x ＋450y ＝1550，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝3…3分 答：每个A 、B 两种款式的纪念徽章的成本分别是2元，3元．(2)设现在每天生产m 个A 种款式的纪念徽章， (4500－m)个B 种款式的纪念徽章． 据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋3(4500－m )≤100004500－m ≥14m…4分解得3500≤m ≤3600且m 是整数 …5分设每天共获利w 元，则w ＝(2.3－2)m ＋(3.5－3)(4500－m)，即w ＝－0.2m ＋2250 …6分∵k ＝－0.2<0，∴w 随m 的增大而减少．∴当m ＝3600时，w 的值最小为w ＝－0.2×3600＋2250＝1530元； 当m ＝3500时，w 的值最大为w ＝－0.2×3500＋2250＝1550元， …8分则当每天生产A 种款式纪念徽章3500个，B 种款式纪念徽章1000个时获利最多，是1550元． …9分21．(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∵∠A ＝30°，∴BC ＝12AB …1分∵OB ＝12AB ，BD ＝12AB ，∴BC ＝OB ＝BD ，∴BC ＝12OD ，∴OC ⊥CD ，…3分 ∵OC 是半径，∴CD 是⊙O 的切线．…4分(2)过点E 作EH ⊥BF 于H ，如右图所示设EH ＝a ，∵CF 是⊙O 的直径，∴∠CBF ＝90°＝∠ACB.∴∠CBF ＋∠ACB ＝180°.∴AC ∥BF.∴∠ABF ＝∠A ＝30°. ∴BH ＝3EH ＝3a ，BE ＝2EH ＝2a. …5分∵CE ⊥AB 于E ，∴∠A ＋∠ABC ＝90°＝∠ECB ＋∠ABC.∴∠ECB ＝∠A ＝30°.∴BC ＝2BE ＝4a …6分∵∠BFC ＝∠A ＝30°，∠CBF ＝90°，∴BF ＝3BC ＝ 4 3a.∴FH ＝BF －BH ＝4 3a －3a ＝33a …8分∴tan ∠BFE ＝EH FH ＝a 33a ＝39. …(9分)22．(1)依题意，可知：点P(－1,0)，B(2，－3)，M(3,0)．∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过P 、B 、M 三点，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝04a ＋2b ＋c ＝－39a ＋3b ＋c ＝0解得：a ＝33，b ＝－233，c ＝－3，∴抛物线的解析式为：y ＝33x 2－233x － 3.…3分(2)如右图，依题意设点Q 的坐标为(x ，y 0)，过点Q 作QN ⊥x 轴交于点N ，连结QP 、QB.∵点Q 是抛物线上一动点，且位于P 、B 两点之间，∴y 0＝33x 2－233x －3，－1≤x ≤2 …4分∴S ＝S △APC ＋S △PQN ＋S 梯形CBQN ＝12×3×3＋12(x ＋1)(－y 0)＋12(3－y 0)(2－x)＝－32⎝⎛⎭⎫x －122＋3338(其中－1≤x ≤2)；即：S ＝－32⎝⎛⎭⎫x －122＋3338(其中－1≤x ≤2)；∴ 当x ＝12时，四边形APQB 的面积S 有最大值，S 最大值＝3338，此时，x ＝12，y 0＝0，点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，543，S 最大值＝3338. …7分(3)直线AF 与AE ′B 相切，理由如下：如右图，由(1)可知，PA 是⊙M 的切线，且点P(－1,0)，A(2，3)，C(2,0)，F(5,0)，∴△ACP ≌△ACF.…8分∵将AEB 沿弦AB 对折后得到AE ′B ，又∵PA 是AEB 的切线，∴FA 是AE ′B 的切线，即：直线AF 与AE ′B 相切．…9分。