2示范教案221向量加法运算及其几何意义.doc

2.2平面向量的线性运算2.2.1向量加法运算及其几何意义整体设计教学分析向量的加法是学生在认识的量概念之后首先要掌握的运算,是向量的第二节内容.其主要内容是运用向量的定义和的量相等的定义得出向量加法的三角形法则、平行四边形法则，并对向量加法的交换律、结含律进行证明，同时运用他们进行相关计算，这可让同学们进一步加强对向量几何意义的理解,同时也为接下来学习向量的减法更定基础，起到承上启下的重要作用.学生已经通过上节的学习，掌握了向量的概念、几何表示，理解了什么是相等向量和共线1何量.在学习物理的过程中,L2经知道位移、速度和力这些物理量都是向量，可以合成，而且知道这些矢量的合成都遵循平行四边形法则，这为本课题的引入提供了较好的条件.培养数学的应用意识是当今数学教育的主题，本节课的内容与实际问题联系紧密,更应强化数学来源于实际又应用于实际的意识.在向量加法的概念中，由于涉及到两个向量有不平行和平行这两种情况，因此有利于渗透分类讨论的数学思想，而在猜测向最加法的运算律时，通过引导学生利用实数加法的运算律进行类比.则能培养学生类比、迁移等能力.在实际教学中, 类比数的运算，向量也能够进行运算.运算引入后，向量的工具作用才能得到充分发挥.实际上, 引入一个新的量后，考察它的运算及运算律，是数学研究中的基本问题.教师应引导学生体会考察一个量的运算问题，最主要的是认清运算的定义及其运算律，这样才能正确、方便地实施运算.向量的加法运算是通过类比数的加法，以位移的合成、力的合力等两个物理模型为背景引入的.这样做使加法运算的学习建立在学生已有的认知基础上，同时还可以提醒学生注意，由于向量有方向，因此在进行1可量运算时，不但要考虑大小问题，而且要考虑方向问题，从而使学生体会向量运算与数的运算的联系与区别.这样做，有利于学生更好地把握向景加法的特点.三维目标1.通过经历向量加法的探究，掌握1何量加法概念,结合物理学实际理解向量加法的意义.能熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能作出已知两向量的和I-J量.2.在应用活动中，理解向量加法满足交换律和结合律及表述两个运算律的几何意义.掌握有特殊位置关系的两个向量的和，比如共线向量、共起点向量、共终点向量等.3.通过木节内容的学习，让学生认识事物之间的相互转化，培养学生的数学应用意识，体会数学在生活中的作用.培养学生类比、迁移、分类、归纳等能力.重点难点教学重点:向景加法的运算及其几何意义.教学难点:对向量加法法则定义的理解.课时安排1课时教学过程导入新课思路1・（复习导入）上一节，我们一起学习了向量的有关概念，明确了向量的表示方法，了解了零向量、单位|hj量、平行向量、相等向量等概念，并接触了这些概念的辨析判断.另外，向量和我们熟悉的数一样也可以进行加减运算，这一节，我们先学习向量的加法.思路2.（问题导入）2004年大陆和台湾没有直航,因此春节探亲，要先从台北到香港，再从香港到上海，这两次位移之和是什么？怎样列出数学式子？一位同学按以下的命令进行活动:向北走20米，再向西走15米，再向东走5米，最后|可南走10米，怎样计算他所在的位置？由此导入新课.(1)G E推进新课新知探究提出问题%1 数能进行运算,向量是否也能进行运算呢?类比数的加法，猜想向量的加法，应怎样定义向 量的加法？%1 猜想向量加法的法则是什么?与数的运算法则有什么不同？活珈向量是既有大小、又有方向的量，教师引导学生回顾物理中位移的概念，位移可以合 成，如图1.某对象从A 点经B 点到C 点，两次位移届、BC 的结果，与A 点直接到C 点的位 移尿结果相同.力也可以合成，老师引导，让学生共同探究如下的问题：图2(1)表示橡皮条在两个力的作用下，沿着GC 的方向佃长了 EO ；图2(2)表示撤去F 】 和F2,用一个力F 作用在橡皮条上，使橡皮条沿着相同的方向伸长相同的长度.改变力M 与F 2的大小和方向，重发以上的实验，你能发现F 与F I 、F 2Z|U J 的关系吗？力F 对橡皮条产生的效果与力％与F2共同作用产生的效果相同,物理学中把力F 叫做F 】与 F2的合力.合力F 与力F|、F2有怎样的关系呢?由图2(3)发现,力F 在以Fl 、F2为邻边的平行四边 形的对角线上，并且大小等于平行四边形对角线的长.数的加法启发我们，从运算的角度看,F 可以认为是％与F2的和，即位移、力的合成看作向量 的加法.讨论结果:①向量加法的定义:如图3,已知非零向量a 、b,在平面内任取一点A,作AB =a,8C=b,则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b,即a+b= AB + BC = AC .c图3求两个向量和的运算，叫做〕句量的加法.%1 向量加法的法则：Ca+bA B1。

向量加法的三角形法则在定义中所给出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法则.运用这一法则时要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个IE量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量.0位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型.2°向量加法的平行四边形法则0------ <4图4如图4,以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形，则以O为起点的对角线无就是a与b的和.我们把这种作两个的量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.力的合成町以看作向量加法的物理模型.%1对于零向量与任一向量的加法,结果又是怎样的呢？%1两共线向量求和时，用三角形法则较为含适.当在数轴上表示两个向景时，它们的加法与数的加法有什么关系？%1思考|a+b|,|a|,|b|存在着怎样的关系？%1数的运算和运算律紧密联系，运算律可以有效地简化运算.类似地，向量的加法是否也有运算律呢？活动:观察实际例了，教师启发学生思考，并适时点拨，诱导，探究向量的加法在特殊情况下的运算，共线向量加法与数的加法之间的关系.数的加法满足交换律与结合律，即对任意a,bER,有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c).任意向量a,b的加法是否也满足交换律和结合律?引导学生画图进行探索. 讨论结果:①对于零向量与任一向量，我们规定a+0=0+a=a.%1两个数相加其结果是一个数，对应于数轴上的一个点;在数轴上的两个向量相加，它们的和仍是一个向景，对应于数轴上的一条有向线段.%1当a,b不共线时,|a+b|v|a|+|b|(即三角形两边之和大于第三边);当a,b共线且方向相同时,|a+b|=|a|+|b|;当a,b共线且方向相反时,|a+b|=|a|・|b|(或|b|・|a|).其中当向量a的长度大于向量b的长度时,|a+b|=|a|.|b|;当向量a的长度小于向量b的长度时,|a+b|=|b|-|a|.一般地，我们有|a+b|却|+|b|.%1如图5,作AB =a, AD =b，以AB、AD 为邻边作OABCD,则BC =b,DC =a.因为AC = AB + AD =a+b, AC = AD + DC =b+a,所以a+b=b+a.如图6,因为AD = AC + CD =( AB + BC)+ CD =(a+b)+c,AD = AB + BD = AB +(BC + CD )=a+(b+c),所以(a+b)+c=a+(b+c).综上所述，向量的加法满足交换律和结合律.应用示例思路1例1如图7,已知向量a、b,求作向量a+b.活动:教师引导学生，让学生探究分别用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.在向量加法的作图电学生体会作法中在平面内任取一点O的依据——它体现了向量起点的任意性.在1何量作图时，一般都需要进行1何量的平移，用平行四边形法则作图时应强调向量的起点放在一起，而用三角形法则作图则要求首尾相连.图7 图8 图9解:作法一:在平面内任取一点0(如图8),作OA=a,A8=b，则。

B =a+b.作法二:在平面内任取一点0(如图9),作0A=a,0B=b.以0A、0B为邻边作O0ACB,连接OC,则O C=a+b.变式训练化简:(1) BC + AB ;(2) DB + CD + BC ;(3) AB +DF + CD + BC + FA.活动:根据向量加法的交换律使各向量首尾顺次相接，再运用向量加法的结合律调整运算顺序，然后相加.jl¥：(l)BC + AB = AB + BC = AC.⑵ DB + CD - BC = BC - CD + DB =( BC + CD)+ DB = BD + DB =0.(3) AB + DF + CD + BC +FA=AB +BC + CD + DF + FA = AC + CD + DF + FA = AD + DF + FA=AF +FA=0.所 W|AC|=7|AB|2 + |BC|2 =3 +5一 =妨二5.4.点评:要善于运用向量的加法的运算法则及运算律来求和向量.例2长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输.如图10所示，一•艘船从长江南岸 A 点出发，以5 km/h 的速度向推直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东2 km/h.（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度（保留两个有效数字）；⑵求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度间的夹角表示,精确到度）.活动:本例结合一个实际问题说明向量加法在实际生活中的应用.这样的问题在物理中 己有涉及，这里是要学生能把它抽象为向量的加法运算，体会其中应解决的问题是向景模的大 小及向景的方向（与某一方向所成角的大小）.引导点拨学生正确理解题意，将实际问题反映在 向量作图上，从而与初中学过的解直角三角形建立联系.解:如图11所示，瓦表示船速，疝表示水速，以AD 、AB 为邻边作UABCD,则工？表示船实 际航行的速度.⑵在 RtAABC 中,| AB |=2,| BC |=5,J29因为tanZCAB= -------- ，由计算器得ZCAB=70°. 2答:船实际航行速度的大小约为5.4 km/h,方向与水的流速间的夹角为70°.点评:用向量法解决物理问题的步骤为:先用向量表示物理量，再进行1可量运算，最后I 门1扣 物理问题，解决问题.变式训练用向量方法证明对角线互相平分的四边形是平行四边形.图12活动:本题是一道平面儿何题,如果用纯儿何的方法去思考，问题不难解决,如果用向量法 来解，不仅思路清晰,而且运算简单.将互相平分利用向量表达，以此为条件推证使四边形为平 行四边形的向量等式成立.教师引导学生探究怎样用向量法解决几何问题，并在解完后总结思 路方法. 证明：如图12,设四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,AB =AO +OB ,DC =D 6+OC .AC 与 BD 互相平分,AO = OC, OB = DO, AB = DC, 因此 AB 〃C 。