第2章 递归与分治_作业答案讲解

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递归和分治法

递归和分治法

递归和分治法摘要:1.递归和分治法的定义2.递归和分治法的区别3.递归和分治法的应用实例4.递归和分治法的优缺点正文:递归和分治法是计算机科学中常用的两种算法设计技巧。

它们在解决问题时都采用了将问题分解成更小子问题的思路,但在具体实现上却有所不同。

下面,我们来详细了解一下递归和分治法。

1.递归和分治法的定义递归法是指在算法中调用自身来解决问题的方法。

递归函数在执行过程中,会将原问题分解成规模更小的相似子问题,然后通过调用自身的方式,解决这些子问题,最后将子问题的解合并,得到原问题的解。

分治法是指将一个大问题分解成若干个规模较小的相似子问题,然后分别解决这些子问题,最后将子问题的解合并,得到原问题的解。

分治法在解决问题时,通常需要设计一个主函数(master function)和一个子函数(subfunction)。

主函数负责将问题分解,子函数负责解决子问题。

2.递归和分治法的区别递归法和分治法在解决问题时都采用了将问题分解成更小子问题的思路,但它们在实现上存在以下区别:(1)函数调用方式不同:递归法是通过调用自身来解决问题,而分治法是通过调用不同的子函数来解决问题。

(2)递归法必须有递归出口,即必须有一个基线条件,而分治法不一定需要。

3.递归和分治法的应用实例递归法应用广泛,例如斐波那契数列、汉诺塔问题、八皇后问题等。

分治法也有很多实际应用,例如快速排序、归并排序、大整数乘法等。

4.递归和分治法的优缺点递归法的优点是代码简单易懂,但缺点是容易产生大量的重复计算,导致时间复杂度较高。

分治法的优点是时间复杂度较低,但缺点是代码实现相对复杂,需要设计主函数和子函数。

总之,递归和分治法都是解决问题的有效方法,具体应用需要根据问题的特点来选择。

算法之2章递归与分治

算法之2章递归与分治

算法分析(第二章):递归与分治法一、递归的概念知识再现:等比数列求和公式:1、定义:直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。

用函数自身给出定义的函数称为递归函数。

2、与分治法的关系:由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式,这就为使用递归技术提供了方便。

在这种情况下,反复应用分治手段,可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小,最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。

这自然导致递归过程的产生。

分治与递归经常同时应用在算法设计之中,并由此产生许多高效算法。

3、递推方程:(1)定义:设序列01,....na a a简记为{na},把n a与某些个()ia i n<联系起来的等式叫做关于该序列的递推方程。

(2)求解:给定关于序列{n a}的递推方程和若干初值,计算n a。

4、应用:阶乘函数、Fibonacci数列、Hanoi塔问题、插入排序5、优缺点:优点:结构清晰,可读性强,而且容易用数学归纳法来证明算法的正确性,因此它为设计算法、调试程序带来很大方便。

缺点:递归算法的运行效率较低,无论是耗费的计算时间还是占用的存储空间都比非递归算法要多。

二、递归算法改进:1、迭代法:(1)不断用递推方程的右部替代左部(2)每一次替换,随着n的降低在和式中多出一项(3)直到出现初值以后停止迭代(4)将初值代入并对和式求和(5)可用数学归纳法验证解的正确性2、举例:-----------Hanoi塔算法----------- ---------------插入排序算法----------- ()2(1)1(1)1T n T nT=−+=()(1)1W n W n nW=−+−(1)=021n-23()2(1)12[2(2)1]12(2)21...2++2 (121)n n n T n T n T n T n T −−=−+=−++=−++==++=−(1)2 ()(1)1((n-2)+11)1(2)(2)(1)...(1)12...(2)(1)(1)/2W n W n n W n n W n n n W n n n n =−+−=−−+−=−+−+−==++++−+−=−3、换元迭代:(1)将对n 的递推式换成对其他变元k 的递推式 (2)对k 进行迭代(3)将解(关于k 的函数)转换成关于n 的函数4、举例:---------------二分归并排序---------------()2(/2)1W n W n n W =+−(1)=0(1)换元:假设2kn =,递推方程如下()2(/2)1W n W n n W =+−(1)=0 → 1(2)2(2)21k k k W W W−=+−(0)=0(2)迭代求解:12122222321332133212()2(2)212(2(2)21)212(2)22212(2)2*2212(2(2)21)2212(2)222212(2)3*2221...2(0)*2(22...21)22k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k W n W W W W W W W W k k −−−−−−−+−+−−−=+−=+−+−=+−+−=+−−=+−+−−=+−+−−=+−−−==+−++++=−1log 1n n n +=−+(3)解的正确性—归纳验证: 证明递推方程的解是()(1)/2W n n n =−()(1)1W n W n n W =−+−(1)=0,(n 1)=n +n=n(n-1)/2+n =n[(n-1)/2+1]=n(n+1)/2n W W +方法:数学归纳法证 n=1,W(1)=1*(1-1)/2=0假设对于解满足方程,则()---------------快速排序--------------------->>>平均工作量:假设首元素排好序在每个位置是等概率的112()()()(1)0n i T n T i O n n T −==+=∑ >>>对于高阶方程应该先化简,然后迭代(1)差消化简:利用两个方程相减,将右边的项尽可能消去,以达到降阶的目的。

第2章 递归与分治(1)

第2章 递归与分治(1)
分析:前面的几个例子中,问题本身都具有比较 明显的递归关系,易用递归函数直接求解。
本例若设p(n)为正整数n的划分数,则难以找到递 归关系。
17
现考虑增加一个自变量:将最大加数n1不大于m的划 分个数记作q(n,m)。q(n,m)有如下递归关系:
(1) q(n,1)=1,n1; 当最大加数n1不大于1时,任何正整数n只有一种划分形式, 即
• (8)循环赛日程表。
2
算法总体思想
对这k个子问题分别求解。如果子问题的规模仍然不够 将小要,求则解再的划较分大为k规个模子的问问题题,分如割此成递k归个的更进小行规下模去的,子直问
题到。问题规模足够小,很容易求出其解为止。
T(n)
=n
T(n/2)
T(n/2)
T(n/2)
T(n/2)
3
算法总体思想
以想象的慢速度趋向正无穷大。
13
例4:排列问题
排设列计。一个递归算法生成n个元素{r1,r2,…,rn}的全 ➢设R={r1,r2,…,rn}是要进行排列的n个元素,Ri=R{ri}。 ➢集合X中元素的全排列记为perm(X)。 (permutation) ➢(ri)perm(X)表示在全排列perm(X)的每一个排列前 加上前缀得到的排列。
22
➢由此可见,n个圆盘的移动问题可分为2次n-1个圆 盘的移动问题,这又可以递归地用上述方法来做。
解Hanoi塔问题的递归算法如下:
void hanoi(int n, int a, int b, int c) { if (n > 0) { hanoi(n-1, a, c, b); move(a,b); hanoi(n-1, c, b, a); } }
n1,m1 nm nm

递归和分治法

递归和分治法

递归和分治法摘要:一、递归和分治法简介1.递归2.分治法二、递归和分治法的应用1.递归在编程中的应用2.分治法在编程中的应用三、递归和分治法的优缺点1.递归的优缺点2.分治法的优缺点四、递归和分治法在实际问题中的应用案例1.递归在实际问题中的应用案例2.分治法在实际问题中的应用案例五、递归和分治法在我国教育领域的应用1.递归在我国教育领域的应用2.分治法在我国教育领域的应用六、递归和分治法在未来的发展前景1.递归在未来的发展前景2.分治法在未来的发展前景正文:递归和分治法是计算机科学中两种解决问题的方法,它们都具有广泛的应用。

递归是一种函数调用自身的技术,通常用于解决具有相似子问题的复杂问题。

分治法是一种将大问题分解成小问题,然后逐个解决小问题的方法,最后将小问题的解合并得到大问题的解。

递归在编程中有广泛的应用,例如计算阶乘、快速排序等。

递归的优点是可以简洁地表示复杂问题,但缺点是可能会导致栈溢出,因此需要合理设计递归函数。

分治法在编程中也有广泛的应用,例如归并排序、大整数乘法等。

分治法的优点是可以有效地处理大规模问题,但缺点是可能会导致过多的子问题,增加计算复杂度。

在实际问题中,递归和分治法都有许多应用案例。

例如,在图像处理中,快速傅里叶变换(FFT)算法利用了递归和分治法来高效地计算离散傅里叶变换。

在我国教育领域,递归和分治法被广泛应用于计算机科学教育,帮助学生理解和掌握基本的算法思想。

未来,递归和分治法仍将在计算机科学领域发挥重要作用。

随着科技的进步,递归和分治法将应用于更复杂的问题,如人工智能、大数据处理等领域。

第二章递归与分治

第二章递归与分治
2019/3/24 计算机算法设计与分析 7
正整数的划分





在正整数的所有不同划分中,将最大加数n1不 大于m的划分个数记为q(n, m),可以建立如下 的递归关系: 的二元递归函数: n= 1 n, 或m m =1 q (n, m) { 1 (1) q(n, 1)=1, q(1, m) 最简单情形: =1 ≥1; q(n, m) = 1 + q(n, n –1) n ≤ m if (n < 1) || (m < 1) return 0; 递归关系: (2) q(n, n) = 1 + q(n, n–1),n>1; q(n, m– 1)+q(n –m, m) if (n == 1) || (m == 1) return 1; n>m>1 产生的新情况: if (n == 1) || (n < m) return 1 + q(n, n–1); return q(n, m –1) q(n m, } n>m>1 (3) q(n, m) =q (n, m+ –1) +–q (nm); –m, m), (4) q(n, m) = q(n, n),=n < mn) 。 整数 n的划分数 ρ(n) q (n, 。

2019/3/24 计算机算法设计与分析 3
Hanoi塔问题
例 Hanoi 1:Hanoi 塔的解可以很自然地看成这样一个过程: 塔问题:有A、B、C三根柱子。A
上有n个圆盘,自下而上由大到小地叠在一起。 于是可得到如下的程序: (1)先将A上面 现要将 A上的全部圆 n –1 个盘移至 C。 void Hanoi(int n, int Fr, int To, int As) { 盘移到B上,并要求: if (n > 0) { (2)再将 A上剩下 (1)每次只能移动一个 Hanoi(n–1, Fro, Ass, To); 的1 个盘移至 B。 圆盘; (2)任何时刻都 B C A Move(Fro, To); 不允许将较大的圆盘 Hanoi(n–1, Ass, To, Fro)} (3) 最后将C上的 压在较小的圆盘上; } n–(3) 1个盘移至 B。A、B、 圆盘只能在 C三个柱子间移动。

算法之2章递归与分治

算法之2章递归与分治

算法分析(第二章):递归与分治法一、递归的概念知识再现:等比数列求和公式:1、定义:直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。

用函数自身给出定义的函数称为递归函数。

2、与分治法的关系:由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式,这就为使用递归技术提供了方便。

在这种情况下,反复应用分治手段,可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小,最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。

这自然导致递归过程的产生。

分治与递归经常同时应用在算法设计之中,并由此产生许多高效算法。

3、递推方程:(1)定义:设序列01,....na a a简记为{na},把n a与某些个()ia i n<联系起来的等式叫做关于该序列的递推方程。

(2)求解:给定关于序列{n a}的递推方程和若干初值,计算n a。

4、应用:阶乘函数、Fibonacci数列、Hanoi塔问题、插入排序5、优缺点:优点:结构清晰,可读性强,而且容易用数学归纳法来证明算法的正确性,因此它为设计算法、调试程序带来很大方便。

缺点:递归算法的运行效率较低,无论是耗费的计算时间还是占用的存储空间都比非递归算法要多。

二、递归算法改进:1、迭代法:(1)不断用递推方程的右部替代左部(2)每一次替换,随着n的降低在和式中多出一项(3)直到出现初值以后停止迭代(4)将初值代入并对和式求和(5)可用数学归纳法验证解的正确性2、举例:-----------Hanoi塔算法----------- ---------------插入排序算法----------- ()2(1)1(1)1T n T nT=−+=()(1)1W n W n nW=−+−(1)=021n-23()2(1)12[2(2)1]12(2)21...2++2 (121)n n n T n T n T n T n T −−=−+=−++=−++==++=−(1)2 ()(1)1((n-2)+11)1(2)(2)(1)...(1)12...(2)(1)(1)/2W n W n n W n n W n n n W n n n n =−+−=−−+−=−+−+−==++++−+−=−3、换元迭代:(1)将对n 的递推式换成对其他变元k 的递推式 (2)对k 进行迭代(3)将解(关于k 的函数)转换成关于n 的函数4、举例:---------------二分归并排序---------------()2(/2)1W n W n n W =+−(1)=0(1)换元:假设2kn =,递推方程如下()2(/2)1W n W n n W =+−(1)=0 → 1(2)2(2)21k k k W W W−=+−(0)=0(2)迭代求解:12122222321332133212()2(2)212(2(2)21)212(2)22212(2)2*2212(2(2)21)2212(2)222212(2)3*2221...2(0)*2(22...21)22k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k W n W W W W W W W W k k −−−−−−−+−+−−−=+−=+−+−=+−+−=+−−=+−+−−=+−+−−=+−−−==+−++++=−1log 1n n n +=−+(3)解的正确性—归纳验证: 证明递推方程的解是()(1)/2W n n n =−()(1)1W n W n n W =−+−(1)=0,(n 1)=n +n=n(n-1)/2+n =n[(n-1)/2+1]=n(n+1)/2n W W +方法:数学归纳法证 n=1,W(1)=1*(1-1)/2=0假设对于解满足方程,则()---------------快速排序--------------------->>>平均工作量:假设首元素排好序在每个位置是等概率的112()()()(1)0n i T n T i O n n T −==+=∑ >>>对于高阶方程应该先化简,然后迭代(1)差消化简:利用两个方程相减,将右边的项尽可能消去,以达到降阶的目的。

第2章递归与分治策略

第2章递归与分治策略

说明:边界条件与递归方程是递归函数的两个要素, 递归函数只有具备了这两个要素,才能在有限次计
算后得出结果。
2024/7/30
算法设计与分析
4
递归函数的内部执行过程
递归函数内部执行过程如下:
(1)运行开始时,为递归调用建立一个工作栈,其结 构包括实参、局部变量和返回地址;
(2)每次执行递归调用之前,把递归函数的实参和局 部变量的当前值以及调用后的返回地址压栈;
• Ackerman函数A(n, m)定义如下,n, m是两个独 立的整变量,其中n, m均≥0:
A1,0 2
A0, m 1
An,0 n 2
An, m AAn 1, m, m 1
m0 n2 n, m 1
2024/7/30
算法设计与分析
8
分析
• A(n,m)的自变量m的每一个值都定义了一个单 变量函数:
– 将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问 题的解,自底向上逐步求出原来问题的解。
2024/7/30
算法设计与分析
25
原问题 的规模是n
子问题1 的规模是n/2
子问题2 的规模是n/2
子问题1的解
子问题2的解
原问题的解
2024/7/30
算法设计与分析
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问题(N个输入)
合 子问题1 并 解
(3)每次递归调用结束后,将栈顶元素出栈,使相应 的实参和局部变量恢复为调用前的值,然后转向返回地 址指定的位置继续执行
举例2-2:Fibonacci数列
• 无穷数列1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,…,被称
为Fibonacci数列。 • 它可以递归定义为:

大学_计算机算法设计与分析第4版(王晓东著)课后答案下载

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计算机算法设计与分析第4版(王晓东著)课后答
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计算机算法设计与分析第4版内容简介
第1章算法概述
1.1 算法与程序
1.2 算法复杂性分析
1.3 NP完全性理论
算法分析题1
算法实现题1
第2章递归与分治策略
2.1 递归的概念
2.2 分治法的基本思想
2.3 二分搜索技术
2.4 大整数的乘法
2.5 Strassen矩阵乘法
2.6 棋盘覆盖
2.7 合并排序
2.8 快速排序
2.9 线性时间选择
2.10 最接近点对问题
第3章动态规划
第4章贪心算法
第5章回溯法
第6章分支限界法
第7章随机化算法
第8章线性规划与网络流
附录A C++概要
参考文献
计算机算法设计与分析第4版目录
本书是普通高等教育“十一五”__规划教材和国家精品课程教材。

全书以算法设计策略为知识单元,系统介绍计算机算法的设计方法与分析技巧。

主要内容包括:算法概述、递归与分治策略、动态规划、贪心算法、回溯法、分支限界法、__化算法、线性规划与网络流等。

书中既涉及经典与实用算法及实例分析,又包括算法热点领域追踪。

为突出教材的`可读性和可用性,章首增加了学习要点提示,章末配有难易适度的算法分析题和算法实现题;配套出版了《计算机算法设计与分析习题解答(第2版)》;并免费提供电子课件和教学服务。

[理学]算法设计与分析课件 第2章 递归与分治_OK

[理学]算法设计与分析课件 第2章 递归与分治_OK

• 当n>1时,perm(R) 由
(r1)perm(R1) (r2)perm(R2) ………
(rn)perm(Rn)
• 构成。(其中:Ri=R- { ri } )
12 四川师范大学 计算机科学学院 刘芳
2.1 递归的概念
• 例5 整数划分问题 • 将一个正整数n表示成形如下式的一系列正整数的和,称为n的一个划分。 • 形如:
2
A(n, 3) 222
A(A(n 1,m),m 1) n,m 1
n
2
A(3, 4) 222
65536
11
四川师范大学 计算机科学学院 刘芳
2.1 递归的概念
• 例4 数列的全排列问题
perm(R) • 求n个元素R={r1,r2,…,rn}的全排列

• 分析:
• 当n=1时,perm(R)=(r)
第2章 递归与分治策略
• 2.1 递归的概念 • 2.2 分治法的基本思想 • 2.3 分治法的应用 • 本章小结
1 Ó 2005 四川师范大学 计算机科学学院 刘芳
• 嵌套与递归
2.1 递归的概念
2 四川师范大学 计算机科学学院 刘芳
2.1 递归的概念
例1: 阶乘函数
阶乘函数可递归地定义为:
9
四川师范大学 计算机科学学院 刘芳
2.1 递归的概念
例3 Ackerman函数
当一个函数及它的一个变量是由函数自身定义时,称这个函 数是双递归函数。
Ackerman函数A(n,m)定义如下:
2
A(n,
m)
1 n
2
A( A(n 1, m), m 1)
n 1, m 0 n 0, m 0 n 2, m 0

递归和分治的关系

递归和分治的关系

分治算法是一种算法设计思想,其主要思想是将一个复杂的问题分解为两个或更多相同或相似的子问题,直到子问题简单到可以直接解决。

然后,再将子问题的解合并,形成原问题的解。

这种算法设计思想常用于数据结构和算法设计中,如排序算法(如快速排序和归并排序)、二叉树操作等。

递归与分治的关系
递归是一种编程或函数自我调用的方法,递归函数会不断地调用自身,直到满足某个终止条件。

分治算法常常使用递归作为其实现手段,通过递归调用来实现问题的分解和解的合并。

这种情况下,递归就成为了实现分治的一种手段。

虽然分治算法常常依赖于递归来实现,但并不是所有的递归算法都是分治算法。

分治算法的关键在于解决问题的方式:它把一个问题分解为若干个独立的子问题,然后对子问题求解,最后合并子问题的解来得到原问题的解。

而递归只是一种函数自我调用的编程技巧,其并没有明确规定问题需要如何被分解和求解。

示例:归并排序
归并排序就是一个典型的分治算法。

归并排序首先将一个待排序的序列分解为两个或更多的子序列,然后对每个子序列进行排序,最后将排序后的子序列合并为一个有序序列。

算法设计与分析习题第二章分治与递归

算法设计与分析习题第二章分治与递归

2010-12-28
12
2.11 编写针对链表的快速排序程序。
需要保存指针信息。下面给出双向链表的快速排序算法 void fast_sort( Sdata *a, Sdata *f, Sdata *t ) { Sdata *i,*j,k,p; i = f; j = t; if ( t->lnext != f ) { k = a->data; //用于比较的基准数值 i = f; j = t; p = -1; while ( j != i )
7
2.7 按2.2.4节的描述,编写从二叉树中删除一个结点 的C语言程序 二叉树节点删除有三种情况: (1)*p是叶子(即它的孩子数为0):无须连接*p的子树, 只需将*p的双亲*parent中指向*p的指针域置空即可。 (2)*p只有一个孩子*child:只需将*child和*p的双亲直接 连接后,即可删去*p。注意:*p既可能是*parent的左孩 子也可能是其右孩子,而*child可能是*p的左孩子或右孩 子,故共有4种状态。 (3)*p有两个孩子:先令q=p,将被删结点的地址保存在q 中;然后找*q的中序后继*p,并在查找过程中仍用parent 记住*p的双亲位置。*q的中序后继*p一定是 *q的右子树 中最左下的结点,它无左子树。因此,可以将删去*q的 操作转换为删去的*p的操作,即在释放结点*p之前将其 数据复制到*q中,就相当于删去了*q.
算法设计与分析习题
第二章 分治与递归
2010-12-28
1
2.1 对于顺序查找算法,分析目标值存在于数组中的 概率p趋于0的含义,这种情况下平均查找次数有什么 样的变化?当p趋于1时呢? 见教材P12。平均比较次数为 n - p(n-1)/2。 p趋于0,平均次数趋于n;p趋于1时,平均次数趋于 (n+1)/2。(求极限)

算法设计与分析:第02章 递归与分治策略

算法设计与分析:第02章 递归与分治策略

2.1
递归的概念
例4 排列问题 设计一个递归算法生成n个元素{r1,r2,…,rn}的全排列。 设R={r1,r2,…,rn}是要进行排列的n个元素,Ri=R-{ri}。 集合X中元素的全排列记为perm(X)。 (ri)perm(X)表示在全排列perm(X)的每一个排列前加上前 缀得到的排列。R的全排列可归纳定义如下: 当n=1时,perm(R)=(r),其中r是集合R中唯一的元素; 当n>1时,perm(R)由(r1)perm(R1),(r2)perm(R2),…, (rn)perm(Rn)构成。
分治法的基本步骤
divide-and-conquer(P) { if ( | P | <= n0) adhoc(P); //解决小规模的问题 divide P into smaller subinstances P1,P2,...,Pk;//分解问题 for (i=1,i<=k,i++) yi=divide-and-conquer(Pi); //递归的解各子问题 return merge(y1,...,yk); //将各子问题的解合并为原问题的解 } 人们从大量实践中发现,在用分治法设计算法时,最好使 子问题的规模大致相同。即将一个问题分成大小相等的k个子问 题的处理方法是行之有效的。这种使子问题规模大致相等的做 法是出自一种平衡(balancing)子问题的思想,它几乎总是比子 问题规模不等的做法要好。
1 5 n1 1 5 n1 1 F (n) 2 5 2
但本例中的Ackerman函数却无法找到非递归的定义。
2.1
例3 Ackerman函数
递归的概念
• A(n,m)的自变量m的每一个值都定义了一个单变量函数: • M=0时,A(n,0)=n+2 • M=1时,A(n,1)=A(A(n-1,1),0)=A(n-1,1)+2,和A(1,1)=2故 A(n,1)=2*n • M=2时,A(n,2)=A(A(n-1,2),1)=2A(n-1,2),和 A(1,2)=A(A(0,2),1)=A(1,1)=2,故A(n,2)= 2^n 。

算法第二章递归与分治策略小结

算法第二章递归与分治策略小结

算法第⼆章递归与分治策略⼩结第2章递归与分治策略2.1.递归的概念递归算法:直接或间接地调⽤⾃⾝的算法递归函数:⽤函数⾃⾝给出定义的函数递归函数的第⼀句⼀定是if语句作为边界条件,然后就是递归⽅程如:阶乘函数的第⼀句就是if条件语句1int factorial(int n){2if( n ==0)3return1;4return n*factorial(n-1);5 }※※※递归函数中⽐较著名的是Hanoi塔问题Hanoi塔问题。

设a,b,c是3个塔座。

开始时,在塔座a上有⼀叠共n个圆盘,这些圆盘⾃下⽽上,由⼤到⼩地叠在⼀起。

各圆盘从⼩到⼤编号为1,2,…,n,现要求将塔座a上的这⼀叠圆盘移到塔座c上,并仍按同样顺序叠置。

在移动圆盘时应遵守以下移动规则:规则1:每次只能移动1个圆盘;规则2:任何时刻都不允许将较⼤的圆盘压在较⼩的圆盘之上;规则3:在满⾜规则1和2的前提下,可将圆盘移⾄a,b,c中任⼀塔座上。

hanoi塔问题题⽬描述1 #include<iostream>2using namespace std;3void move(char p1,char p2){4 cout<<p1<<"->"<<p2<<endl;5 }67//将a上的n个盘⼦经b移动到c上8void hanoi(int n,char a,char b,char c){9if(n == 0) return;//当a上没有盘⼦的时候,直接返回不需要移动10if(n == 1) move(a,c);//当a上只有⼀个盘⼦的时候,直接将盘⼦从a上移动到c上11if(n>1){12 hanoi(n-1,a,c,b);13 move(a,b);14 hanoi(n-1,c,b,a);15 }16 }1718int main(){19char x,y,z;20 x = 'a';21 y = 'b';22 z = 'c';23 hanoi(4,x,y,z);24return0;25 }Hanoi塔2.2分治法的基本思想分治法的基本思想:将⼀个规模为n的问题分解为k个规模较⼩的⼦问题,这些⼦问题相互独⽴且与原问题相同在使⽤分治法设计算法的时候,最好使⼦问题的规模⼤致相同,即将⼀个问题分为⼤⼩相等的k个⼦问题,⼀般情况k取2.※※※分治法中⽐较著名的是划分整数问题1、整数划分问题将⼀个正整数n表⽰为⼀系列正整数之和,n = n1 + n2 +…+nk其中n1≥n2≥…≥nk≥1, k≥1。

算法设计与分析_第2章_递归与分治1

算法设计与分析_第2章_递归与分治1

算法设计与分析第2章递归与分治策略(1)2理解递归的概念。

掌握设计有效算法的分治策略。

通过下面的范例学习分治策略设计技巧。

二分搜索技术; 大整数乘法; Strassen 矩阵乘法; 合并排序和快速排序; 线性时间选择; 最接近点对问题; 重点和难点:递归和分治的概念与基本思想递归方程的求解方法学习要点3引言设计算法有许多方法 排序问题Bubble sort: bubblingInsertion sort: incremental approach (增量靠近) Merge sort: divide-and conquer (分而治之)Quick sort: location (元素定位)……分治算法的最坏运行时间远比插入排序还少4引言分而治之 清·俞樾《群经平议·周官二》“巫马下士二人医四人”:“凡邦之有疾病者,疕疡者造焉,则使医分而治之,是亦不自医也。

” 各个击破集中红军相机应付当前之敌,反对分兵,避免被敌人各个击破。

(毛泽东《中国的红色政权为什么能够存在》)5天下大事,必做于细天下难事,必做于易--------老子《道德经》引言分治法总体思想分治法总体思想分治法总体思想分治法总体思想10¾Divide=整个问题划分为多个子问题¾Conquer=求解每个子问题(递归调用正在设计的算法)¾Combine=合并子问题的解,形成原始问题的解。

分治法总体思想11分治法总体思想分治法的设计思想是:1)将一个难以直接解决的大问题,分割成一些规模较小的子问题;这些子问题互相独立且与原问题相同;2)递归地解子问题;3) 将各个子问题的解合并得到原问题的解.12问题: X 和Y 是两个n 位的二进制整数,分别表示为X=x n-1x n-2...x 0, Y=y n-1y n-2...y 0,其中0 ≤x i , y j ≤1 (i, j=0,1,…n-1) ,设计一个算法求X ×Y ,并分析其计算复杂度。

算法设计与分析习题解答(第2版)

算法设计与分析习题解答(第2版)

第1章算法引论11.1 算法与程序11.2 表达算法的抽象机制11.3 描述算法31.4 算法复杂性分析13小结16习题17第2章递归与分治策略192.1 递归的概念192.2 分治法的基本思想262.3 二分搜索技术272.4 大整数的乘法282.5 Strassen矩阵乘法302.6 棋盘覆盖322.7 合并排序342.8 快速排序372.9 线性时间选择392.10 最接近点对问题432.11 循环赛日程表53小结54习题54第3章动态规划613.1 矩阵连乘问题62目录算法设计与分析(第2版)3.2 动态规划算法的基本要素67 3.3 最长公共子序列713.4 凸多边形最优三角剖分753.5 多边形游戏793.6 图像压缩823.7 电路布线853.8 流水作业调度883.9 0-1背包问题923.10 最优二叉搜索树98小结101习题102第4章贪心算法1074.1 活动安排问题1074.2 贪心算法的基本要素1104.2.1 贪心选择性质1114.2.2 最优子结构性质1114.2.3 贪心算法与动态规划算法的差异1114.3 最优装载1144.4 哈夫曼编码1164.4.1 前缀码1174.4.2 构造哈夫曼编码1174.4.3 哈夫曼算法的正确性1194.5 单源最短路径1214.5.1 算法基本思想1214.5.2 算法的正确性和计算复杂性123 4.6 最小生成树1254.6.1 最小生成树性质1254.6.2 Prim算法1264.6.3 Kruskal算法1284.7 多机调度问题1304.8 贪心算法的理论基础1334.8.1 拟阵1334.8.2 带权拟阵的贪心算法1344.8.3 任务时间表问题137小结141习题141第5章回溯法1465.1 回溯法的算法框架1465.1.1 问题的解空间1465.1.2 回溯法的基本思想1475.1.3 递归回溯1495.1.4 迭代回溯1505.1.5 子集树与排列树1515.2 装载问题1525.3 批处理作业调度1605.4 符号三角形问题1625.5 n后问题1655.6 0\|1背包问题1685.7 最大团问题1715.8 图的m着色问题1745.9 旅行售货员问题1775.10 圆排列问题1795.11 电路板排列问题1815.12 连续邮资问题1855.13 回溯法的效率分析187小结190习题191第6章分支限界法1956.1 分支限界法的基本思想1956.2 单源最短路径问题1986.3 装载问题2026.4 布线问题2116.5 0\|1背包问题2166.6 最大团问题2226.7 旅行售货员问题2256.8 电路板排列问题2296.9 批处理作业调度232小结237习题238第7章概率算法2407.1 随机数2417.2 数值概率算法2447.2.1 用随机投点法计算π值2447.2.2 计算定积分2457.2.3 解非线性方程组2477.3 舍伍德算法2507.3.1 线性时间选择算法2507.3.2 跳跃表2527.4 拉斯维加斯算法2597.4.1 n 后问题2607.4.2 整数因子分解2647.5 蒙特卡罗算法2667.5.1 蒙特卡罗算法的基本思想2667.5.2 主元素问题2687.5.3 素数测试270小结273习题273第8章 NP完全性理论2788.1 计算模型2798.1.1 随机存取机RAM2798.1.2 随机存取存储程序机RASP2878.1.3 RAM模型的变形与简化2918.1.4 图灵机2958.1.5 图灵机模型与RAM模型的关系297 8.1.6 问题变换与计算复杂性归约299 8.2 P类与NP类问题3018.2.1 非确定性图灵机3018.2.2 P类与NP类语言3028.2.3 多项式时间验证3048.3 NP完全问题3058.3.1 多项式时间变换3058.3.2 Cook定理3078.4 一些典型的NP完全问题3108.4.1 合取范式的可满足性问题3118.4.2 3元合取范式的可满足性问题312 8.4.3 团问题3138.4.4 顶点覆盖问题3148.4.5 子集和问题3158.4.6 哈密顿回路问题3178.4.7 旅行售货员问题322小结323习题323第9章近似算法3269.1 近似算法的性能3279.2 顶点覆盖问题的近似算法3289.3 旅行售货员问题近似算法3299.3.1 具有三角不等式性质的旅行售货员问题330 9.3.2 一般的旅行售货员问题3319.4 集合覆盖问题的近似算法3339.5 子集和问题的近似算法3369.5.1 子集和问题的指数时间算法3369.5.2 子集和问题的完全多项式时间近似格式337 小结340习题340第10章算法优化策略34510.1 算法设计策略的比较与选择34510.1.1 最大子段和问题的简单算法34510.1.2 最大子段和问题的分治算法34610.1.3 最大子段和问题的动态规划算法34810.1.4 最大子段和问题与动态规划算法的推广349 10.2 动态规划加速原理35210.2.1 货物储运问题35210.2.2 算法及其优化35310.3 问题的算法特征35710.3.1 贪心策略35710.3.2 对贪心策略的改进35710.3.3 算法三部曲35910.3.4 算法实现36010.3.5 算法复杂性36610.4 优化数据结构36610.4.1 带权区间最短路问题36610.4.2 算法设计思想36710.4.3 算法实现方案36910.4.4 并查集37310.4.5 可并优先队列37610.5 优化搜索策略380小结388习题388第11章在线算法设计39111.1 在线算法设计的基本概念39111.2 页调度问题39311.3 势函数分析39511.4 k 服务问题39711.4.1 竞争比的下界39711.4.2 平衡算法39911.4.3 对称移动算法39911.5 Steiner树问题40311.6 在线任务调度40511.7 负载平衡406小结407习题407词汇索引409参考文献415习题1-1 实参交换1习题1-2 方法头签名1习题1-3 数组排序判定1习题1-4 函数的渐近表达式2习题1-5 O(1) 和 O(2) 的区别2习题1-7 按渐近阶排列表达式2习题1-8 算法效率2习题1-9 硬件效率3习题1-10 函数渐近阶3习题1-11 n !的阶4习题1-12 平均情况下的计算时间复杂性4算法实现题1-1 统计数字问题4算法实现题1-2 字典序问题5算法实现题1-3 最多约数问题6算法实现题1-4 金币阵列问题8算法实现题1-5 最大间隙问题11第2章递归与分治策略14 习题2-1 Hanoi 塔问题的非递归算法14习题2-2 7个二分搜索算法15习题2-3 改写二分搜索算法18习题2-4 大整数乘法的 O(nm log(3/2))算法19习题2-5 5次 n /3位整数的乘法19习题2-6 矩阵乘法21习题2-7 多项式乘积21习题2-8 不动点问题的 O( log n) 时间算法22习题2-9 主元素问题的线性时间算法22习题2-10 无序集主元素问题的线性时间算法22习题2-11 O (1)空间子数组换位算法23习题2-12 O (1)空间合并算法25习题2-13 n 段合并排序算法32习题2-14 自然合并排序算法32习题2-15 最大值和最小值问题的最优算法35习题2-16 最大值和次大值问题的最优算法35习题2-17 整数集合排序35习题2-18 第 k 小元素问题的计算时间下界36习题2-19 非增序快速排序算法37习题2-20 随机化算法37习题2-21 随机化快速排序算法38习题2-22 随机排列算法38习题2-23 算法qSort中的尾递归38习题2-24 用栈模拟递归38习题2-25 算法select中的元素划分39习题2-26 O(n log n) 时间快速排序算法40习题2-27 最接近中位数的 k 个数40习题2-28 X和Y 的中位数40习题2-29 网络开关设计41习题2-32 带权中位数问题42习题2-34 构造Gray码的分治算法43习题2-35 网球循环赛日程表44目录算法设计与分析习题解答(第2版)算法实现题2-1 输油管道问题(习题2-30) 49算法实现题2-2 众数问题(习题2-31) 50算法实现题2-3 邮局选址问题(习题2-32) 51算法实现题2-4 马的Hamilton周游路线问题(习题2-33) 51算法实现题2-5 半数集问题60算法实现题2-6 半数单集问题62算法实现题2-7 士兵站队问题63算法实现题2-8 有重复元素的排列问题63算法实现题2-9 排列的字典序问题65算法实现题2-10 集合划分问题(一)67算法实现题2-11 集合划分问题(二)68算法实现题2-12 双色Hanoi塔问题69算法实现题2-13 标准二维表问题71算法实现题2-14 整数因子分解问题72算法实现题2-15 有向直线2中值问题72第3章动态规划76习题3-1 最长单调递增子序列76习题3-2 最长单调递增子序列的 O(n log n) 算法77习题3-7 漂亮打印78习题3-11 整数线性规划问题79习题3-12 二维背包问题80习题3-14 Ackermann函数81习题3-17 最短行驶路线83习题3-19 最优旅行路线83算法实现题3-1 独立任务最优调度问题(习题3-3) 83算法实现题3-2 最少硬币问题(习题3-4) 85算法实现题3-3 序关系计数问题(习题3-5) 86算法实现题3-4 多重幂计数问题(习题3-6) 87算法实现题3-5 编辑距离问题(习题3-8) 87算法实现题3-6 石子合并问题(习题3-9) 89算法实现题3-7 数字三角形问题(习题3-10) 91算法实现题3-8 乘法表问题(习题3-13) 92算法实现题3-9 租用游艇问题(习题3-15) 93算法实现题3-10 汽车加油行驶问题(习题3-16) 95算法实现题3-11 圈乘运算问题(习题3-18) 96算法实现题3-12 最少费用购物(习题3-20) 102算法实现题3-13 最大长方体问题(习题3-21) 104算法实现题3-14 正则表达式匹配问题(习题3-22) 105算法实现题3-15 双调旅行售货员问题(习题3-23) 110算法实现题3-16 最大 k 乘积问题(习题5-24) 111算法实现题3-17 最小 m 段和问题113算法实现题3-18 红黑树的红色内结点问题115第4章贪心算法123 习题4-2 活动安排问题的贪心选择123习题4-3 背包问题的贪心选择性质123习题4-4 特殊的0-1背包问题124习题4-10 程序最优存储问题124习题4-13 最优装载问题的贪心算法125习题4-18 Fibonacci序列的Huffman编码125习题4-19 最优前缀码的编码序列125习题4-21 任务集独立性问题126习题4-22 矩阵拟阵126习题4-23 最小权最大独立子集拟阵126习题4-27 整数边权Prim算法126习题4-28 最大权最小生成树127习题4-29 最短路径的负边权127习题4-30 整数边权Dijkstra算法127算法实现题4-1 会场安排问题(习题4-1) 128算法实现题4-2 最优合并问题(习题4-5) 129算法实现题4-3 磁带最优存储问题(习题4-6) 130算法实现题4-4 磁盘文件最优存储问题(习题4-7) 131算法实现题4-5 程序存储问题(习题4-8) 132算法实现题4-6 最优服务次序问题(习题4-11) 133算法实现题4-7 多处最优服务次序问题(习题4-12) 134算法实现题4-8 d 森林问题(习题4-14) 135算法实现题4-9 汽车加油问题(习题4-16) 137算法实现题4-10 区间覆盖问题(习题4-17) 138算法实现题4-11 硬币找钱问题(习题4-24) 138算法实现题4-12 删数问题(习题4-25) 139算法实现题4-13 数列极差问题(习题4-26) 140算法实现题4-14 嵌套箱问题(习题4-31) 140算法实现题4-15 套汇问题(习题4-32) 142算法实现题4-16 信号增强装置问题(习题5-17) 143算法实现题4-17 磁带最大利用率问题(习题4-9) 144算法实现题4-18 非单位时间任务安排问题(习题4-15) 145算法实现题4-19 多元Huffman编码问题(习题4-20) 147算法实现题4-20 多元Huffman编码变形149算法实现题4-21 区间相交问题151算法实现题4-22 任务时间表问题151第5章回溯法153习题5\|1 装载问题改进回溯法(一)153习题5\|2 装载问题改进回溯法(二)154习题5\|4 0-1背包问题的最优解155习题5\|5 最大团问题的迭代回溯法156习题5\|7 旅行售货员问题的费用上界157习题5\|8 旅行售货员问题的上界函数158算法实现题5-1 子集和问题(习题5-3) 159算法实现题5-2 最小长度电路板排列问题(习题5-9) 160算法实现题5-3 最小重量机器设计问题(习题5-10) 163算法实现题5-4 运动员最佳匹配问题(习题5-11) 164算法实现题5-5 无分隔符字典问题(习题5-12) 165算法实现题5-6 无和集问题(习题5-13) 167算法实现题5-7 n 色方柱问题(习题5-14) 168算法实现题5-8 整数变换问题(习题5-15) 173算法实现题5-9 拉丁矩阵问题(习题5-16) 175算法实现题5-10 排列宝石问题(习题5-16) 176算法实现题5-11 重复拉丁矩阵问题(习题5-16) 179算法实现题5-12 罗密欧与朱丽叶的迷宫问题181算法实现题5-13 工作分配问题(习题5-18) 183算法实现题5-14 独立钻石跳棋问题(习题5-19) 184算法实现题5-15 智力拼图问题(习题5-20) 191算法实现题5-16 布线问题(习题5-21) 198算法实现题5-17 最佳调度问题(习题5-22) 200算法实现题5-18 无优先级运算问题(习题5-23) 201算法实现题5-19 世界名画陈列馆问题(习题5-25) 203算法实现题5-20 世界名画陈列馆问题(不重复监视)(习题5-26) 207 算法实现题5-21 部落卫队问题(习题5-6) 209算法实现题5-22 虫蚀算式问题211算法实现题5-23 完备环序列问题214算法实现题5-24 离散01串问题217算法实现题5-25 喷漆机器人问题218算法实现题5-26 n 2-1谜问题221第6章分支限界法229习题6-1 0-1背包问题的栈式分支限界法229习题6-2 用最大堆存储活结点的优先队列式分支限界法231习题6-3 团顶点数的上界234习题6-4 团顶点数改进的上界235习题6-5 修改解旅行售货员问题的分支限界法235习题6-6 解旅行售货员问题的分支限界法中保存已产生的排列树237 习题6-7 电路板排列问题的队列式分支限界法239算法实现题6-1 最小长度电路板排列问题一(习题6-8) 241算法实现题6-2 最小长度电路板排列问题二(习题6-9) 244算法实现题6-3 最小权顶点覆盖问题(习题6-10) 247算法实现题6-4 无向图的最大割问题(习题6-11) 250算法实现题6-5 最小重量机器设计问题(习题6-12) 253算法实现题6-6 运动员最佳匹配问题(习题6-13) 256算法实现题6-7 n 后问题(习题6-15) 259算法实现题6-8 圆排列问题(习题6-16) 260算法实现题6-9 布线问题(习题6-17) 263算法实现题6-10 最佳调度问题(习题6-18) 265算法实现题6-11 无优先级运算问题(习题6-19) 268算法实现题6-12 世界名画陈列馆问题(习题6-21) 271算法实现题6-13 骑士征途问题274算法实现题6-14 推箱子问题275算法实现题6-15 图形变换问题281算法实现题6-16 行列变换问题284算法实现题6-17 重排 n 2宫问题285算法实现题6-18 最长距离问题290第7章概率算法296习题7-1 模拟正态分布随机变量296习题7-2 随机抽样算法297习题7-3 随机产生 m 个整数297习题7-4 集合大小的概率算法298习题7-5 生日问题299习题7-6 易验证问题的拉斯维加斯算法300习题7-7 用数组模拟有序链表300习题7-8 O(n 3/2)舍伍德型排序算法300习题7-9 n 后问题解的存在性301习题7-11 整数因子分解算法302习题7-12 非蒙特卡罗算法的例子302习题7-13 重复3次的蒙特卡罗算法303习题7-14 集合随机元素算法304习题7-15 由蒙特卡罗算法构造拉斯维加斯算法305习题7-16 产生素数算法306习题7-18 矩阵方程问题306算法实现题7-1 模平方根问题(习题7-10) 307算法实现题7-2 集合相等问题(习题7-17) 309算法实现题7-3 逆矩阵问题(习题7-19) 309算法实现题7-4 多项式乘积问题(习题7-20) 310算法实现题7-5 皇后控制问题311算法实现题7-6 3-SAT问题314算法实现题7-7 战车问题315算法实现题7-8 圆排列问题317算法实现题7-9 骑士控制问题319算法实现题7-10 骑士对攻问题320第8章NP完全性理论322 习题8-1 RAM和RASP程序322习题8-2 RAM和RASP程序的复杂性322习题8-3 计算 n n 的RAM程序322习题8-4 没有MULT和DIV指令的RAM程序324习题8-5 MULT和DIV指令的计算能力324习题8-6 RAM和RASP的空间复杂性325习题8-7 行列式的直线式程序325习题8-8 求和的3带图灵机325习题8-9 模拟RAM指令325习题8-10 计算2 2 n 的RAM程序325习题8-11 计算 g(m,n)的程序 326习题8-12 图灵机模拟RAM的时间上界326习题8-13 图的同构问题326习题8-14 哈密顿回路327习题8-15 P类语言的封闭性327习题8-16 NP类语言的封闭性328习题8-17 语言的2 O (n k) 时间判定算法328习题8-18 P CO -NP329习题8-19 NP≠CO -NP329习题8-20 重言布尔表达式329习题8-21 关系∝ p的传递性329习题8-22 L ∝ p 330习题8-23 语言的完全性330习题8-24 的CO-NP完全性330习题8-25 判定重言式的CO-NP完全性331习题8-26 析取范式的可满足性331习题8-27 2-SAT问题的线性时间算法331习题8-28 整数规划问题332习题8-29 划分问题333习题8-30 最长简单回路问题334第9章近似算法336习题9-1 平面图着色问题的绝对近似算法336习题9-2 最优程序存储问题336习题9-4 树的最优顶点覆盖337习题9-5 顶点覆盖算法的性能比339习题9-6 团的常数性能比近似算法339习题9-9 售货员问题的常数性能比近似算法340习题9-10 瓶颈旅行售货员问题340习题9-11 最优旅行售货员回路不自相交342习题9-14 集合覆盖问题的实例342习题9-16 多机调度问题的近似算法343习题9-17 LPT算法的最坏情况实例345习题9-18 多机调度问题的多项式时间近似算法345算法实现题9-1 旅行售货员问题的近似算法(习题9-9) 346 算法实现题9-2 可满足问题的近似算法(习题9-20) 348算法实现题9-3 最大可满足问题的近似算法(习题9-21) 349 算法实现题9-4 子集和问题的近似算法(习题9-15) 351算法实现题9-5 子集和问题的完全多项式时间近似算法352算法实现题9-6 实现算法greedySetCover(习题9-13) 352算法实现题9-7 装箱问题的近似算法First Fit(习题9-19) 356算法实现题9-8 装箱问题的近似算法Best Fit(习题9-19) 358算法实现题9-9 装箱问题的近似算法First Fit Decreasing(习题9-19) 360算法实现题9-10 装箱问题的近似算法Best Fit Decreasing(习题9-19) 361算法实现题9-11 装箱问题的近似算法Next Fit361第10章算法优化策略365 习题10-1 算法obst的正确性365习题10-2 矩阵连乘问题的 O(n 2) 时间算法365习题10-6 货物储运问题的费用371习题10-7 Garsia算法371算法实现题10-1 货物储运问题(习题10-3) 374算法实现题10-2 石子合并问题(习题10-4) 374算法实现题10-3 最大运输费用货物储运问题(习题10-5) 375算法实现题10-4 五边形问题377算法实现题10-5 区间图最短路问题(习题10-8) 381算法实现题10-6 圆弧区间最短路问题(习题10-9) 381算法实现题10-7 双机调度问题(习题10-10) 382算法实现题10-8 离线最小值问题(习题10-11) 390算法实现题10-9 最近公共祖先问题(习题10-12) 393算法实现题10-10 达尔文芯片问题395算法实现题10-11 多柱Hanoi塔问题397算法实现题10-12 线性时间Huffman算法400算法实现题10-13 单机调度问题402算法实现题10-14 最大费用单机调度问题405算法实现题10-15 飞机加油问题408第11章在线算法设计410习题11-1 在线算法LFU的竞争性410习题11-4 多读写头磁盘问题的在线算法410习题11-6 带权页调度问题410算法实现题11-1 最优页调度问题(习题11-2) 411算法实现题11-2 在线LRU页调度(习题11-3) 414算法实现题11-3 k 服务问题(习题11-5) 416参考文献422。

第2章递归与分治(3)

第2章递归与分治(3)
算法设计与分析 > 递归与分治
2.2 分治算法的基本思想
将规模为N的问题分解为k个规模较小的子问题,使这些子问题相互 独立可分别求解,再将k个子问题的解合并成原问题的解.如子问题 的规模仍很大,则反复分解直到问题小到可直接求解为止. 在分治法中,子问题的解法通常与原问题相同,自然导致递归过程.
应用当中,通常将问题分解为k个(k=2)大小相等的子问题. 算法一般模式 阀值 Divide-and-Conquer(P) if ( |P|<=n0) Adhoc(P); 直接求解问题p 问 divide P into smaller subinstances P1 ,P2,... ,Pk; 题 for (i = 1;i <= k; i++) 的 规 yi=Divide-and-Conquer(Pi); 模 return Merge( yl ,..., yk); 将p1,p2,…pk的解y1,y2,…yk 合并成p的解
13
算法设计与分析 > 递归与分治
[n]
[n/2] [n/2]
[n/4] [1] [1]
[n/4]

[n/4] [1]
[n/4]
log n +
1
[1]
• 二分搜索的每次循环查找区间减半,查找区间 构成一棵二叉树,最坏的情况是一直走到二叉 树的叶子。因此算法的复杂度为 log n + 1。
k–1
k–1
= n + nlog(n /2i) = n + n(logn –log2i ) i) ilog2)
i=0 i=0
i=0 k–1
i=0 k–1
= n + knlogn – n(k /2 1)k/2 nk2 – + nk/2

递归和分治法

递归和分治法

递归和分治法
1.【问题】递归和分治法
【答案】一、递归和分治法的定义
递归法是一种编程方法,指的是在一个函数中调用自身来解决问题。

递归法将原问题分解成规模较小的相似子问题,通过解决子问题来最终解决原问题。

分治法则是一种解决问题的策略,将原问题拆分成若干个相互独立的子问题,然后分别解决这些子问题,最后将子问题的解合并得到原问题的解。

二、递归和分治法的区别
递归法和分治法在解决问题时都采用了“分而治之”的思想,但它们之间存在一定的区别:
1.递归法是函数自身调用自己,而分治法是通过不同的函数来解决子问题。

2.递归法的子问题解决过程与原问题相似,而分治法的子问题相对独立。

3.递归法通常需要较多的函数调用,可能导致栈溢出,而分治法通过将问题分解成相互独立的子问题,可以更有效地解决问题。

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具体执行过程:求最大值
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 24 -13 29 113 87 65 -9 36 14 76 44 83 67 5 0 1 2 3 4 5 6 24 -13 29 113 87 65 -9 0 1 2 3 24 -13 29 113 0 1 24 -13 2 3 29 113 4 5 6 87 65 -9 7 8 9 10 11 12 13 36 14 76 44 83 67 5 7 8 9 10 36 14 76 44 7 8 36 14 7 36 9 10 76 44 11 12 13 83 67 5 11 12 83 67 11 83 12 67 13 5
课后练习
• 练习2:分析如下时间函数的复杂度,并说明 原因。 1. 利用递归树说明以下时间函数的复杂度:
O(1) T ( n) 3T ( n ) O( n) 4 n1 n1
2. 利用主定理说明以下时间函数的复杂度:
T(n) = 16T(n/4) + n
T(n) = T(3n/7) + 1
课后练习
• 练习1:给定数组a[0:n-1], 1. 试设计一个分治法算法,找出a[0:n-1]中元素最 大值和最小值; 2. 写出该算法时间函数T(n)的递推关系式; 3. 分析该算法的时间复杂度和空间复杂度。
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 24 -13 29 113 87 65 -9 36 14 76 44 83 67 5
• 递归公式:
– 设n个元素的集合可以划分为F(n,m)个不同的由 m个非空子集组成的集合。 F(n,m) = 1, when n=0, n=m, n=1, or m=1 F(n,m) = 0, when n<m 否则 F(n,m)=F(n-1,m-1)+m*F(n-1,m)
• 考虑3个元素的集合,可划分为 – ① 1个子集的集合:{{1,2,3}} – ② 2个子集的集合:{{1,2},{3}},{{1,3},{2}}, {{2,3},{1}} – ③ 3个子集的集合:{{1},{2},{3}} ∴F(3,1)=1;F(3,2)=3;F(3,3)=1;
具体算法:伪代码
int MaxProfit(int p[], int m, int n) { //求第m到第n天内一次买卖股票的最大收益 int i=m, j=(m+n)/2+1; //在第i天买入股票,并在第j天卖出股票 int k; int max1, max2, max3; //三个可能的最优解 max1=MaxProfit(p, m, (m+n)/2); // S上的最优解 max2=MaxProfit(p, (m+n)/2+1, n); // S’上的最优解 for(k=m+1;k<=(m+n)/2;k++) //求最小p(i) if(p(i)>p(k)) p(i)=p(k); for(k=(m+n)/2+2;k<=n;k++) //求最大p(j) if(p(j)<p(k)) p(j)=p(k); max3=p(j)-p(i); return 最大值(max1, max2, max3); } //最优解
4 5 87 65 5 65
6 -9
0 1 2 4 3 24 -13 29 113 87
8 14
9 76
10 44
int MAXA( A, i, j) { int i, j, max=0, max1=0, max2=0; int A[]; if( i==j ) max=A[i]; else //求数组前半部分的最大值max1 { max1 = MAXA( A, i, (i+j)/2 ); //求数组后半部分的最大值max2 max2 = MAXA( A, (i+j)/2+1, j ); if( max1 > max2 ) max = max1; else max = max2; } return max; }
– 怎样在O(nlog2n)时间找到正确的i和j。
• 一共有n天的数据,即p(1), p(2), ……, p(i), p(i+1), ……, p(n1), p(n)。 • 设S是1天,……,n/2天的集合;S’是n/2+1,……,n天的集 合。
• 分治法策略:
– 或者有一个最优解使投资者在n/2结束时持有这只股票: 第i天买入股票,此时i≤n/2;第j天卖出股票,此时 j≥n/2+1。 – 或者没有: • 最优解在集合S中(i与j均≤n/2):用户可以在前n/2天 内买入股票并卖出; • 或者最优解在集合S’中( i与j均≥n/2+1):用户可以 在后n/2天内买入股票并卖出。
• 练习3:分析Strassen矩阵乘法在时间效率上有何 改进,为什么?
• Strassen矩阵乘积分治算法中,用了7次对于n/2阶 矩阵乘积的递归调用和18次n/2阶矩阵的加减运算。 由此可知,该算法的所需的计算时间T(n)满足如 下的递归方程: O1 n2
T n 2 7 T n / 2 O n

n2
T(n)=O(nlog7)≈O(n2.81)
较大的改进
课后练习
• 练习4:划出下列序列在快速排序过程中一次 划分的具体步骤。
21 25 49 25* 16 08
一次划分的过程
初始关键字
pivotkey 21 low 08 08 08 08 08 25 49 25* 16 08 high 21 high 25
c2 n (1 3 ( 3 ) 2 ( 3 )log4 n1 ) 4 4 4
• 最后一层叶子结点数: 3log4 n nlog4 3
16T(n/4) + n T(n) = T(3n/7) + 1 T(n) = 3T(n/4) + nlogn 定理(主定理): a≥1且b>1是常数, f(n)是一个函数,T(n)由 如下的递推式定义:T(n)=aT(n/b)+f(n),式中,n/b指n/b或 n/b,则T(n)有如下的渐近界: (1)若对于某常数є>0,有f(n)=O(nlogba-є),则T(n)=(nlogba); (2)若f(n)=(nlogba ),则T(n)=(nlogbalogn); (3)若对于某常数є>0,有f(n)=(nlogba+є ),且对于某个常数 c<1和所有足够大的n,有af(n/b)≤cf(n),则T(n)=(f(n))。
• 如果A[n/2]比A[n/2-1]和A[n/2+1]都大,顶峰项实际上就等 于A[n/2]。
具体算法:伪代码
int Danfeng(int A[], int m, int n) { //求单峰数组中的顶峰值 int k=(m+n)/2; if(k==m&&k==n) return A[k]; if(A[k-1]<A[k]&&A[k]>A[k+1]) return A[k]; else { if(A[k-1]<A[k]&&A[k]<A[k+1]) Danfeng(A[], k+1, n); if(A[k-1]>A[k]&&A[k]>A[k+1]) Danfeng(A[], m, k-1); } }
• 则算法是在下面三个可能的解中最好的: – S上的最优解 – S’上的最优解 – p(j)-p(i)的最大值,对所有的i∈S且j∈S’ • 前两个选择中的每一个在T(n/2)时间内被递归地计算;
• 第三个选择通过找S中的最小与S’中的最大而计算,该操 作需要O(n)时间。
• 则运行时间的递推关系式是: T ( n) 2T ( n ) O( n) 2 • 则算法的时间复杂度为:O(nlog2n)。
T(n) = 3T(n/4) + nlogn
• 练习2:分析如下时间函数的复杂度,并说明原因。
1. 利用递归树说明以下时间函数的复杂度:
O(1) T ( n) 3T ( n ) O( n) 4 n1 n1
• 递归树的高度为:log4n+1;
• 除去叶子结点,树有log4n层,每层结点总数为:
问题分析、举例说明
• 利用分治策略设计一个算法。
• 举例:
– 假设n=3, p(1)=9, p(2)=1, p(3)=5. 那么应该得出“2买,3 卖”的结论。即,在第2天买并且在第3天卖意味着每股 将挣4美元,是这个期间最大的收益。 • 问题分析: – 存在一个简单的算法,时间复杂度是O(n2):对所有的 买天/卖天构成的对进行尝试,看看哪个对能使用户挣 到最多的钱。 – 假设在第i天买、第j天卖可以获得最大收益:最优解。
课后练习(选做)
• 练习6:假设有n个项的数组A,每个项具有一个 不同的数。告诉你值A[1],A[2],…,A[n]的序列是单 峰的:对于某个在1与n之间的下标p,数组项的值 增加到A中的位置p,然后剩下的过程减少直到位 置 n。 • 要求:
– 利用分治策略设计一个算法,读尽可能少的元 素,找到这个“顶峰”元素p。
分治法思想
• 查看A[n/2]值,分析其是出现在上坡上( A[n/2]在A[p]之 前)还是下坡上(A[n/2]在A[p]之后)。 • 如果A[n/2-1]<A[n/2]<A[n/2+1],那么n/2项一定严格位 于p的前面,因此可以在n/2+1项到n项之间递归地继续下 去。 • 如果A[n/2-1]>A[n/2]>A[n/2+1],那么n/2项一定严格位 于p的后面,因此可以在1项到n/2-1项之间递归地继续下 去。
• 要求:
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