2010届高三应知应会讲义(附加部分)——复合函数导数、定积分(周德)
高二数学人选修课件时复合函数求导及应用
应试技巧总结和备考建议
应试技巧
在解题时，注意先确定复合函数的内外层函数，再运用链式法则进行求导；同时 ，要注意导数的定义域和函数的定义域之间的关系。
备考建议
熟练掌握复合函数求导的基本法则和技巧，多做相关练习题；同时，要注重理解 导数的概念和性质，以及在实际问题中的应用。在备考过程中，可以结合历年高 考真题和模拟题进行针对性训练。
将隐式表达复合函数转化为参数方 程形式，再对参数求导得到导数表 达式。
变量代换法
通过变量代换将隐式表达复合函数 转化为显式表达形式，再求导。
05
高考真题回顾与模拟题训 练
历年高考真题剖析
2022年全国卷
考查复合函数求导法则及导数在解决 实际问题中的应用，如最值、单调性 等。
2020年全国卷
考查复合函数求导的基本技巧，如链 式法则、乘法法则等，并结合实际问 题进行应用。
2021年全国卷
结合实际问题背景，考查学生运用导 数研究函数性质的能力，包括判断函 数的单调性、求极值和最值等。
模拟题训练及答案解析
模拟题一
求复合函数$f(g(x))$的导数，并 讨论其单调性。
模拟题二
结合实际问题背景，运用导数研 究函数的性质，如最值、拐点等
。
答案解析
详细解析模拟题的解题思路和方 法，帮助学生掌握复合函数求导
04
复杂情境下复合函数求导 策略
多层嵌套复合函数处理方法
01
02
03
逐层求导法
从外层函数开始，逐层向 内求导，直到求出最终导 数。
链式法则应用
将多层嵌套复合函数视为 多个简单复合函数的组合 ，分别应用链式法则求导 。
变量代换法
通过变量代换将多层嵌套 复合函数转化为简单复合 函数，再求导。
微积分复合函数求导法则课件
VS
链式法则引入思路
通过实例和图形展示，引入复合函数的概 念，并让学生思考如何求复合函数的导数 ，进而引出链式法则的概念。
链式法则证明过程
链式法则证明方法
采用极限的定义和四则运算法则进行证明， 让学生理解链式法则的本质和推导过程。
链式法则证明步骤
首先通过极限的定义求出复合函数的导数， 然后利用四则运算法则进行化简，得到链式 法则的公式。
隐函数求导法则
若y是x的函数，且由方程F(x,y)=0确 定，则将方程两边同时对x求导，得到 y'的表达式。
03
复合函数求导法则推导
链式法则引入
链式法则定义
若函数$y=f(u)$在点$u$可导，函数 $u=g(x)$在点$x$可导，则复合函数 $y=f[g(x)]$在点$x$也可导，且其导数为 $f'[g(x)] \cdot g'(x)$。
高阶导数性质
高阶导数具有线性性、叠加性和乘积法则等基本性质， 同时高阶导数与函数的凹凸性和拐点等性质密切相关。
隐函数求导方法简述
隐函数概念
当函数y以隐式形式给出，即F(x,y)=0时，称y为x的隐 函数。
隐函数求导方法
通过对隐函数F(x,y)两边同时对x求导，并利用链式法 则和复合函数求导法则，求得y'和y''等导数。
微积分复合函数求导法则课 件
目录
• 复合函数概述 • 求导基础知识回顾 • 复合函数求导法则推导 • 复合函数求导法则应用实例分析 • 高阶导数及隐函数求导方法介绍 • 总结回顾与拓展延伸
01
复合函数概述
复合函数定义
• 定义：设函数y=f(u)的定义域为Df，值域为Rf，函数u=g(x)的定义域为Dg，值域为Rg，且Rf∩Dg≠∅，则称函 数y=f[g(x)]为f(u)与g(x)的复合函数，记作y=f·g(x)，其中x∈Dg，u∈Rf∩Dg，y∈Ry。这里Rf∩Dg表示f(u)与 g(x)的定义域的交集。
高考数学一轮复习课件：复合函数的导数
CONTENTS
目录
• 复合函数导数的基本概念 • 复合函数的求导法则 • 复合函数导数的应用 • 高考真题解析 • 练习题及答案解析
CHAPTER
01
复合函数导数的基本概念
复合函数的定义
总结词
理解复合函数的概念是掌握复合函数导数的基础。
详细描述
复合函数是由两个或多个函数的组合而成的函数。简单来说，如果函数y=f(u)和函数u=g(x)存在，且g(x)有定义 域和值域，那么由这两个函数可以组成一个新的函数y=f(g(x))，这就是一个复合函数。
$f'(x) = frac{2}{x}$
答案及解析
解析5
利用对数函数的导数公式，对内部进行求导。
答案6
$f'(x) = e^xcos x - e^xsin x$
解析6
利用乘积法则，分别对每一项求导，然后合并同类项。
THANKS
感谢观看
CHAPTER
02
复合函数的求导法则
链式法则
链式法则
对于复合函数$f(g(x))$，其导数 为$f'(g(x)) cdot g'(x)$。
应用场景
当一个复合函数由多个函数嵌套而 成时，链式法则是求导的关键。
示例
若$f(x) = sin(x^2)$，则$f'(x) = 2x cos(x^2)$。
乘积法则
答案及解析
1 2
解析2
利用幂函数的导数公式，对根号下的部分进行求 导。
答案3
$f'(x) = -frac{1}{x^2}$
3
解析3
利用幂函数的导数公式，对分母进行求导。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.5 定积分的概念 1.6 微积分基本定理要点讲解素材 新人教A版选修22
定积分和微积分要点讲解一、定积分的概念教材上从求曲边梯形的面积和变速运动的路程出发引入了定积分的概念：如果函数()f x 在区间[],a b 上是连续的，用分点011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=将区间[],a b 等分成n 个小区间，在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点i ξ（1,2,,i n =），作和式()()11nni i i i b af x f nξξ==-∆=∑∑，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[],a b 上的定积分，记作()baf x dx ⎰，即()()1li m nbi an i b af x dx f n ξ→∞=-=∑⎰． 对这个概念我们应从如下几个方面进行理解１．对区间[],a b 分割的绝对任意性：在定义中我们将区间[],a b 进行等分是为了计算上的方便，实际上对区间[],a b 的分割是任意的，这时只要这些区间中长度最大的区间的长度趋向于零即可．２．在每个小区间[]1,i i x x -上取点的绝对任意性：在教材上的两个例题是为了计算的方便将点取小区间[]1,i i x x -的端点，实际上我们可以在区间[]1,i i x x -上任意取点，如取中点等．３．当n →∞时，和式()()11nni i i i b af x f nξξ==-∆=∑∑无限接近某个常数的唯一确定性．它不依赖于对区间[],a b 的分割方法，也不依赖于在每个小区间[]1,i i x x -上取点的方式．即()baf x dx ⎰是一个客观上存在的仅仅依赖于积分上下限和被积函数的唯一确定的常数．同时它也与积分变量无关，即()()b baaf x dx f t dt =⎰⎰．４．数学思想上的划时代意义．产生定积分概念的＂以直代曲＂＂以匀速代变速＂和＂无限逼近＂的数学思想，使人类在认识数学世界的观念上有了重大突破，在数学的发展史上具有重大意义．我们要仔细理解体会这种思想，可以说这才是我们在高中阶段学习定积分的真正目的．例如在求曲边梯形的面积的课本例１中，我们把区间[]0,1等分成n 个小区间，在每个小区间上＂以直代曲＂就将曲边问题转化为直边问题，随着n 的增大这些小区间的宽度越来越小，这时在每个小区间上直边形的面积已经和曲边形的面积非常接近，我们就可以以这些小直边形的面积之和近似代替曲边形的面积，而当n →∞时这些小直边形就几乎变成了线段，这时小直边形的面积几乎就等于小曲边形的面积，这无穷个几乎变成了线段的直边形的面积之和就是所求的曲边形的面积了．我们常说＂线动成面＂，对课本例１，我们也可以这样形象的理解：就将小直边形的宽度变成零，使其成为线段，这时小直边形和小曲边形的就完全重合了，而将这些线段从0到1运动就形成了()2f x x =，1x =， x 轴所围成的曲边形，将这些线段的＂面积＂积累起来就是所求的曲边形的面积． 二、微积分基本定理的应用作变速直线运动的物体如果其运动方程是()S t ，那么该物体在时间区间[],a b 内通过的路程是()()S b S a -，另一方面由导数的物理意义，该物体在任意时刻的瞬时速度为()()'S t s t =，我们把该物体运动的时间区间[],a b 无限细分，在每个小时间段上，将其速度看作匀速，就能求出该物体在每个小时间段上通过的路程，将这无限个小时间段上的路程加起来，就是该物体在时间区间[],a b 上通过的路程，由定积分的定义可知，这个数值是()bas t dt ⎰．由此可知()()()()'b baaS t dt s t dt S b S a ==-⎰⎰．一般地有如下结论：如果()f x 是[],a b 上的连续函数，并且有()()F x f x '=，则()()()baf x dx F b F a =-⎰．这就是微积分基本定理，是微积分学最为辉煌的定理，是数学发展史的一个重要里程碑，利用这个定理可以很方便的计算定积分，其关键是找到一个函数使其导数等于被积函数，下面举例说明它在计算定积分上的应用．例１ 计算定积分()1xx ee dx --⎰分析：()'x x e e =，()'x x e e --=-，故()'x x x x e e e e --+=-．解：()()11'112xxxx xx eedx eedx ee e e---⎡⎤-=+=+=+-⎣⎦⎰⎰．点评：关键是找()F x ，使()'x xF x e e -=-，可以通过求导运算求探求．例２ 计算定积分220cos sin 22x x dx π⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰．分析：被积函数比较复杂，我们可以先化简，再探求．由于222cos sin cos 2cos sin sin 1sin 222222x x x x x x x ⎛⎫-=-+=- ⎪⎝⎭，而'1x =，()cos 'sin x x =-，故()2cos '1sin cos sin 22x x x x x ⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭．解：()()[]2'2222000cos sin 1sin cos cos 2212x x dx x dx x x dx x x πππππ⎛⎫-=-=+=+ ⎪⎝⎭=-⎰⎰⎰点评：被积函数较为复杂时要先化简在求解． 掌握如下的定积分计算公式对解题是有帮助的．①111bm m ab x dx xa m +=+⎰（,1m Q m ∈≠-），②1ln bab dx x a x =⎰，③b x x a b e dx e a =⎰，④ln x n xm n a a dx ma =⎰，⑤cos sin bab xdx xa=⎰，⑥()sin cos babxdx x a=-⎰．例如 例３ 计算定积分()1223x x dx -⎰．分析：先展开再利用上面的定积分公式． 解：()1223xx dx -⎰=()104269xxxdx -⋅+⎰=146920ln 4ln 6ln 9x x x ⎛⎫-⋅+ ⎪⎝⎭ 3108ln 4ln 6ln 9=-+． 点评：根据定积分公式结合定积分的运算性质是计算定积分的根本．从上面不难看出利用微积分基本定理计算定积分比用定义计算要方便的多，在实际解题中要注意对被积函数的化简展开以及有意识的利用定积分的三条运算性质，以起到化难为易的作用．三、定积分的三条性质根据定积分的定义不难得到定积分的三条性质 性质1．常数因子可提到积分号前，即：()()bbaakf x dx k f x dx =⎰⎰（k 为常数）；性质2．代数和的积分等于积分的代数和： 即：()()()()bb bx aa a f x g x dx f x d g x dx ±=±⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰；性质3．（定积分的可加性）如果积分区间[],a b 被点c 分成两个小区间[],a c 与[],c b ， 则：()()()bc daacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰。
高中数学 第四章 导数及其应用 4.5 定积分与微积分基
y＝0 和曲线 y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积，这就是定积分 bf(x)dx 的几何意义．
a
课堂讲练互动
2．定积分表示图形面积的代数和 被积函数是正的，定积分的值也为正，如果被积函数是负的， 函数曲线在 x轴之下，定积分的值就是带负号的曲边梯形的 面积．当被积函数在积分区间上有正有负时，定积分就是x 轴之上的正的面积与x轴之下的负的面积的代数和． 此外，定积分还有更多的实际意义，比如在物理学中，可以 用定积分表示功、路程、压力、体积等．
课堂讲练互动
(3)积零成整，精益求精．
作和 Sn＝I1＋I2＋…＋In ＝b－n ana＋b－n a1＋2＋…＋n ＝b－n ana＋b－n a·nn＋2 1 ＝(b－a)·a＋b－a22n2n2＋n ＝(b－a)·a＋b－2 a2·1＋1n.
作 下限 上限．
被积函数
积分区间
课堂讲练互动
2．定积分的几何意义 一般来说，定积分的几何意义是 在区间[a，b]上，曲线与
直线x＝a，x＝b(a≠b)及x轴所围图形面积的代数和(即x
轴上方的面积减去x轴下方的面积)
3．定积分的物理意义
①当f(x)是表示速度关于时间x的函数时，bf(x)dx表示的是
a
运动物体从x＝a 到x＝b时所走过的路程
．
②当f(x)是表示力关于位移x的函数时，bf(x)dx表示的是
a
运动物体从x＝a到x＝b时所做的功
．
课堂讲练互动
自主探究
用定义求定积分的一般方法是什么？
提示 ①化整为零，插入等分点．n 等分区间[a，b]； ②以直代曲，估计误差．
取点 ξ∈[xi－1，xi]，可取 ξi＝xi－1 或 ξi＝xi； ③积零成整，精益求精．
复合函数微分不定积分定积分幻灯片课件
8
基 (1)
本 积
(2)
分 (3) 表
?kdx ? kx ? C (k是常数);
?x? dx ? x? ?1 ? C (? ? ? 1); ??1
dx
?x
?
ln
x
?
C;
x?0
?
9
(4)
?1
1 ? x 2dx
?
arctan
x
?
C;
(5)
?
1 1?
dx x2
?
arcsin
x
?
C;
(6) ?cos xdx ? sin x ? C;
C.
x2 ? a2
x
t a
18
? 例17 求
1 ? x2 dx.
解 令 x ? sin t
dx ? costdt
t?
?? ? ?
?, 2
? 2
?? ?
? ? 1? x2 dx ? 1? sin 2 t ?cos tdt
? ?cos2 tdt
?
?(1?
cos 2t)dt
/
2
1
x
? t / 2 ? sin 2t / 4
常数项的原函数称为 f ( x)在区间I 内的
不定积分，记为? f ( x)dx.
? f ( x)dx ? F ( x) ? C
6
号分积 数函积被 式达表积被 量变分积 数常意任
例1 求 ?x5dx.
解
?
?
x
6
? ?
? ??
x5,
?6?
? ? x5dx ? x6 ? C. 6
例2
求
1 ?1 ? x2
导数及其应用定积分与微积分基本定理课件理ppt
求函数的导数有多种方法，例如，利用求导公式求导；利用求导法则求导；利用复合函数求导法则求复合函数 的导数；利用微分学基本定理求高阶导数等。
02
定积分
定积分的定义与性质
定积分的定义
定积分是函数在区间[a,b]上的积分，表示 为∫abf(x)dx，其中f(x)是待积函数，a和b 是积分的下限和上限。
定积分的性质
定积分具有一些基本性质，如线性性质、 可加性、可减性、可正可负性等。这些性 质在解决定积分问题时非常重要。
定积分的几何与物理应用
定积分的几何应用
定积分可以用于计算曲线下面积、旋转体体积等问题。例如，计算圆、椭圆 等图形的面积，或求圆柱、圆锥等旋转体的体积。
定积分的物理应用
定积分在物理中有广泛的应用，如计算变力沿直线所做的功、计算液体对平 面所施加的力等。
最优问题求解
导数可以用于求解最优问题，例如在投资组合理论中，通过求解收益率关于资产配置的导数，可以找到最优的资产配置比 例。
动态最优化
导数可以用于建立动态最优化模型，例如在宏观经济学中，通过求解一阶导数和二阶导数，可以研究经济的稳定性和增长 问题。
定积分在物理学中的应用案例
面积和体积计算
定积分可以用于计算曲线下包围的面积和曲线的长度，以及计算立体的体积。例如，在计 算旋转体的体积时，可以将旋转体表面展开成一系列的小圆环，然后利用定积分计算每个 小圆环的面积并求和得到总体积。
微积分基本定理可以用于求解一些方 程，例如在求解一些涉及到多个变量 的方程时，可以通过微积分基本定理 将方程转化为一个易于求解的方程并 求解。
THANKS
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物理应用
导数可以描述物理量随时间的变化率，例如速度是位移对时间的导数。导数 在物理中有广泛的应用，例如牛顿第二定律、欧姆定律等。
(完整版)高中数学导数与积分知识点.docx
高中数学教案—导数、定积分一．课标要求：1．导数及其应用（ 1）导数概念及其几何意义① 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。
（ 2）导数的运算2， y=x3， y=1/x ，y=x 的导数；① 能根据导数定义求函数y=c ， y=x， y=x② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如 f （ ax+b））的导数；③ 会使用导数公式表。
（ 3）导数在研究函数中的应用① 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；② 结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。
（ 4）生活中的优化问题举例例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。
（ 5）定积分与微积分基本定理① 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念；② 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。
（ 6）数学文化收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。
具体要求见本《标准》中" 数学文化 " 的要求。
二．命题走向导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。
在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值.三．要点精讲1．导数的概念函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x0 处有增量x ，那么函数y相应地有增量y =f（x0 + x）－ f （ x 0），比值y叫做函数 y=f （ x ）在 x 0到 x 0 +x 之间的平均变化率，即xy f ( x0x) f ( x0 ) x=x。
高考数学一轮复习第三章导数及其应用第四节定积分与微积分基本定理课件理
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
n
f(ξi)Δx＝
i＝1
当 n→∞时，上述和式无限接近某个 常数 ，
这个 常数 叫做函数 f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作bf(x)dx. a
2．定积分的相关概念
在bf(x)dx 中， a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限， a
区间 [a,b] 叫做积分区间，函数 f(x) 叫做被积函数， x 叫做
由yy＝＝x－x，2 得交点 A(4,2)．因此 y＝ x与 y＝x－2 及 y 轴所 围成的图形的面积为4 x－x－2dx＝
0
(2)
建立如图所示的平面直角坐标系，由抛物线过点(0，－2)，(－
5,0)，(5,0)，得抛物线的函数表达式为 y＝225x2－2，抛物线与 x 轴
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/7/12
最新中小学教学课件
33
谢谢欣赏！
2019/7/12
最新中小学教学课件
34
0
7－3t＋12＋5 t
dt
＝
7t－32t2＋25ln1＋t
4 0
＝
4
＋
25ln 5.
(2)由题意知，力 F(x)所做的功为
高中导数、定积分的复习讲义(含答案)
一、知识点梳理1.导数：当x ∆趋近于零时，xx f x x f ∆-∆+)()(00趋近于常数c 。
可用符号“→”记作：当0→∆x 时，x x f x x f ∆-∆+)()(00c →或记作c xx f x x f x =∆-∆+→∆)()(lim000，符号“→”读作“趋近于”。
函数在0x 的瞬时变化率，通常称作)(x f 在0x x =处的导数，并记作)(0x f '。
即 xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000'2.导数的四则运算法则：1）)()())()((x g x f x g x f '±'='± 2）)()()()(])()([x g x f x g x f x g x f '+'='3）)()()()()()()(2x g x g x f x f x g x g x f '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡几种常见函数的导数：(1))(0为常数C C =' (2))(1Q n nx x n n ∈='-）（(3)x x cos )(sin =' (4)x x sin )(cos -=' (5)x x 1)(ln =' (6)e xx a a log 1)(log =' (7)x x e e =')( (8)a a a xx ln )(='例题：对下面几个函数求导 （1）、12832++=x x y（2）xxa x x e x f -+=ln 5)((3)22ln 3)(x xe xf x +=3.导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率；导数的物理意义，通常是指物体运动在某一时刻的瞬时速度。
即若点),(00y x P 为曲线上一点，则过点),(00y x P 的切线的斜率xx f x x f x f k x ∆-∆+==→∆)()(lim)(0000'切由于函数)(x f y =在0x x =处的导数，表示曲线在点))(,(00x f x P 处切线的斜率，因此，曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线方程可如下求得：（1）求出函数)(x f y =在点0x x =处的导数，即曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处切线的斜率。
定积分讲义-
第六章 定积分及其应用积分学的另一个基本概念是定积分．本章我们将阐明定积分的定义，它的基本性质以及它的应用．此外，我们要重点讲述沟通微分法与积分法之间关系的微积分学基本定理，它把过去一直分开研究的微分和积分彼此互逆地联系起来,成为一个有机的整体．最后，我们把定积分的概念加以推广，简要讨论两类广义积分．§ 6.1 定积分的概念与性质1. 定积分的定义我们先来研究两个实际问题． 例1 计算曲边梯形的面积设)(x f y =为闭区间],[b a 上的连续函数，且0)(≥x f ．由曲线)(x f y =，直线b x a x == ,及x 轴所围成的平面图形(图6—1）称为)(x f 在],[b a 上的曲边梯形，试求图6—1我们先来分析计算会遇到的困难．由于曲边梯形的高)(x f 是随x 而变化的，所以不能直接按矩形或直角梯形的面积公式去计算它的面积．但我们可以用平行于y 轴的直线将曲边梯形细分为许多小曲边梯形如图6—1所示．在每个小曲边梯形以其底边一点的函数值为高，得到相应的小矩形，把所有这些小矩形的面积加起来,就得到原曲边梯形面积的近似值．容易想象，把曲边梯形分得越细，所得到的近似值就愈接近原曲边梯形的面积,从而运用极限的思想就为曲边梯形面积的计算提供了一种方法．下面我们分三步进行具体讨论：(1） 分割 在],[b a 中任意插入1-n 个分点b x x x x x a n n =<<<<<=-1210把],[b a 分成n 个子区间],[10x x ，],[21x x ，…，],[1n n x x -，每个子区间的长度为1--=∆i i i x x x ),,2,1( n i =．（2） 近似求和 在每个子区间],[1i i x x -),,2,1( n i =上任取一点i ξ，作和式ini ix f ∆∑=1)(ξ (1。
1)（3) 取极限 当上述分割越来越细（即分点越来越多，同时各个子区间的长度越来越小）时，和式（1。
导数及定积分知识点总结及练习(经典)
导数的应用及定积分（一）导数及其应用1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是limΔx →0ΔyΔx ＝lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝limΔx →0ΔyΔx ＝lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 。
2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，就是曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线的斜率 ，即k ＝f ′(x 0)＝limΔx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.3．函数的导数对于函数y ＝f (x )，当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数．当x 变化时，f ′(x )便是一个关于x 的函数，我们称它为函数y ＝f (x )的导函数(简称为导数)，即f ′(x )＝y ′＝limΔx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.4．函数y ＝f(x)在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x)在点x ＝x 0处的函数值，即f ′(x 0)＝f ′(x)|x ＝x 0。
5．常见函数的导数(x n )′＝__________.(1x )′＝__________.(sin x )′＝__________.(cos x )′＝__________.(a x )′＝__________.(e x )′＝__________.(log a x )′＝__________.(ln x )′＝__________. （1）设函数f (x )、g (x )是可导函数，则：(f (x )±g (x ))′＝________________；(f (x )·g (x ))′＝_________________． （2）设函数f (x )、g (x )是可导函数，且g (x )≠0，⎝⎛⎭⎫f (x )g (x )′＝___________________.（3）复合函数y ＝f(g(x))的导数和函数y ＝f(u)，u ＝g(x)的导数间的关系为yx ′＝y u ′·u x ′.即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．6．函数的单调性设函数y ＝f(x)在区间(a ，b)内可导，(1)如果在区间(a ，b)内，f ′(x)>0，则f(x)在此区间单调__________； (2)如果在区间(a ，b)内，f ′(x)<0，则f(x)在此区间内单调__________．(2)如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么这个函数在这个范围内变化较__________，其图象比较__________．7．函数的极值x ，如果都有________，则称函数f(x)在点x 0处取得________，并把x 0称为函数f(x)的一个_________；如果都有________，则称函数f(x)在点x 0处取得________，并把x 0称为函数f(x)的一个________．极大值与极小值统称为________，极大值点与极小值点统称为________．8．函数的最值假设函数y ＝f(x)在闭区间[a ，b]上的图象是一条连续不断的曲线，该函数在[a ，b]上一定能够取得____________与____________，若该函数在(a ，b)内是__________，该函数的最值必在极值点或区间端点取得．9．生活中的实际优化问题（1）在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示，还应确定函数关系式中__________的取值范围．（2）实际优化问题中，若只有一个极值点，则极值点就是__________点． （二）定积分1．曲边梯形的面积(1)曲边梯形：由直线x ＝a 、x ＝b(a≠b)、y ＝0和曲线________所围成的图形称为曲边梯形．(2)求曲边梯形面积的方法与步骤：①分割：把区间[a ，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些_______________； ①近似代替：对每个小曲边梯形“___________”，即用__________的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的________；①求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值________；①取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个________，即为曲边梯形的面积．2．求变速直线运动的路程如果物体做变速直线运动，速度函数为v ＝v(t)，那么也可以采用________、________、________、________的方法，求出它在a≤t≤b 内所作的位移s.3．定积分的概念如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式S n ＝∑=ni 1f(ξi )Δx＝_____________(其中Δx 为小区间长度)，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的_________，记作⎰baf (x )dx ，即⎰baf (x )dx ＝_________．________，x 叫做________，f(x)dx 叫做________．4．定积分的几何意义如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有___________，那么定积分⎰baf (x )dx 表示由_________________________，y ＝0和_____________所围成的曲边梯形的面积．5．定积分的性质 ①⎰bakf(x )dx ＝__________________(k 为常数)；②⎰ba(x )]dx f±(x )[f 21＝________________；③⎰baf (x )dx ＝⎰caf (x )dx ＋_______________(其中a <c <b )．6．微积分（1）微积分基本定理如果F (x )是区间[a ，b ]上的________函数，并且F ′(x )＝________，那么⎰baf (x )dx ＝___________．（2）用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足F ′(x )＝f (x )的函数F (x )，即找被积函数的________，利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，运用基本初等函数求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F (x )．（3）被积函数的原函数有很多，即若F (x )是被积函数f (x )的一个________，那么F (x )＋C (C 为常数)也是被积函数f (x )的________．但是在实际运算时，不论如何选择常数C (或者是忽略C )都没有关系，事实上，以F (x )＋C 代替式中的F (x )有⎰baf (x )dx ＝[F (b )＋C ]－[F (a )＋C ]＝F (b )－F (a )．（4）求定积分的方法主要有：①利用定积分的________；②利用定积分的___________；③利用_______________。
人教B版高中数学选择性必修第三册精品课件 第六章 导数及其应用 第2课时 简单复合函数的求导法则
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(4)∵y=xsin 2 + 2 cos 2 + 2 = 2xsin(4x+π)=-2xsin 4x,
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∴y'=- sin 4x- x·4cos 4x=- sin 4x-2xcos 4x.
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反思感悟
求复合函数的导数的步骤:
【变式训练1】 求下列函数的导数.
(1)y=(2x+3)2;
(2)y=e-0.05x+1;
(3)y=sin(πx+φ).
解:(1)令u=2x+3,函数y=(2x+3)2可以看成函数y=u2,u=2x+3的复合函数,
故yx'=yu'·ux'=(u2)'·(2x+3)'=2u·2=4(2x+3)=8x+12.
(2)令u=-0.05x+1,函数y=e-0.05x+1可以看成函数y=eu,u=-0.05x+1的复合函数,
(2)函数y=ln(2x)不是复合函数.( × )
π
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(3)复合函数 y=cos 3- 4 的导数是 y'=-sin 3- 4 .(
× )
合作探究 释疑解惑
探究一
求复合函数的导数
【例1】 求列复合函数的导数.
(1)y=ln(2x-5);(2)y=(3x-1)2;
1 5
(3)y= 3- ;
第六章
第2课时 简单复合函数的求导法则
内
容
索
引
01
自主预习 新知导学
02
高三数学 复合函数的导数(第一课时)大纲选修
芯衣州星海市涌泉学校复合函数的导数课时安排 2课时 沉着说课本节讲述复合函数的微分法，先通过实例，引出复合函数的求导法那么，接下来对法那么进展了证明，然后通过三个例题说明法那么的使用.对于复合函数，以前学生只是见过，但书没有专门介绍过它的概念，教学时，可以先由引入求导法那么的实例，让学生对复合函数的概念有一个初步的认识，再结合后面的例题、习题，逐步理解.也可以将2021年高考〔卷〕试题中y=〔x-a 〕n 的导数，从复合函数的角度来求导，让学生认识到其作用，大大缩短理解题链.在进展复合函数的求导法那么教学时，首先通过课本的实例，让学生对求导法那么有一个直观的理解，如求y=〔3x-2〕2的导数y′时，分两组求解，一是先展开后求导再合并，二是把3x-2看成整体u,先对u2求导,再求u 的导数〔关于x 〕，比较2u·u′x 与y′的关系.再举几个实例，让学生发现规律，由学生提出法那么:y=f ［u 〔x 〕］,那么y′=f′u·u′x,然后让学生探究证明过程.要把握好教学的尺度.在处理“当Δx→0时Δu→0”的时候，可以指出，其根据是“可导函数的连续性〞.又如，推导)(lim lim00x uu y x y x x ∆∆⋅∆∆=∆∆→∆→∆时，要求Δu≠0.复合函数求导法那么的应用是本节的教学重点，在教学时应注意：①选定中间变量要适当;②要弄清楚每一步求导是哪个变量对哪个变量求导，不要混淆;③复合函数的求导法那么还可以应用于一个方程来确定变量间的函数关系的情况.例如，y2=2px ，求y′x.第八课时课题3.4.1 复合函数的导数〔一〕教学目的一,教学知识点复合函数的求导法那么.二,才能训练要求1.理解掌握复合函数的求导法那么.2.可以利用上述公式，并结合已学过的法那么、公式，进展一些复合函数的求导.三,德育浸透目的1.培养学生擅长观察事物，擅长发现规律，认识规律，掌握规律，利用规律.2.培养学生归纳、猜想的数学方法.3.加深学生对一般和特殊的理解，培养学生用联络的观点看问题.4.培养学生的创新才能，进步学生的数学素质.教学重点复合函数的求导法那么的概念与应用，复合函数的导数是导数的重点，也是导数的难点.教学难点复合函数的求导法那么的导入与理解.要弄清每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导，求导时对哪个变量求导要写明.可以通过详细的例子，让学生对求导法那么有一个直观的理解.教学方法建构主义式由几个详细的实例，通过学生自己动手计算，比较结果，进展观察、总结，可以自己发现规律，得到结论.让学生主动地进展学习，而不是被动地承受知识.培养学生的创新意识.教具准备实物投影仪先由几个例子，引出复合函数的求导法那么.几个例子可以先写在纸上，用表格的形式写出，分别让学生求y′x,y′u,u′x和y′u·u′x，答案写入表格中，让学生将y′x与y′u·u′x的结果进展比较.教学过程Ⅰ.课题导入［师］我们已经学习了一些根本初等函数的导数.根本初等函数一一一共有六种：①常量函数y=C〔C 是常数〕，②幂函数y=xa〔a∈R〕,③指数函数y=ax〔a>0,a≠1〕,④对数函数y=logax〔a>0,a≠1,x>0〕,⑤三角函数y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx,⑥反三角函数y=arcsinx，y=arccosx,y=arctanx,y=arccotx.其中常量函数、幂函数、三角函数的导数已经学过了，指数函数和对数函数的导数下几节课学.这节课我们来学习由根本初等函数复合而成的函数的导数.Ⅱ.讲授新课〔一〕复合函数的导数［师］我们来看几个函数.〔由实物投影仪投影出来〕y〔3x-2〕2〔sinx〕2〔x+1〕3〔x-1〕3sin2xu3x-2sinx x+1x-12x y〔u〕u2u2u3u3sinu y′x18x-122sinxcosx3〔x+1〕23〔x-1〕22cos2x y′u2u2u3u23u2cosu u′x3cosx112y′u·u′x18x-122sinxcosx3〔x+1〕23〔x-1〕22cos2x ［师］这五个函数都是由一些一次函数、二次函数、三次函数和三角函数复合而成的.像这种形式的函数，即由几个函数复合而成的函数，就叫做复合函数，下面来求一下y′x,y′u,u′x和y′u·u′x，并且y′u·u′x用x表示.〔给学生时间是是做题，做好了，让学生答复，说出答案，老师用笔写在纸上，让投影仪投影出来，再让学生观察表格中的数据有什么关系.虚框内的是后来填上去的〕［生］这几个函数y′x与yx′·u′x的值是一样的.［师］我们把u 称为中间变量，那对于一般的复合函数是不是有一样的结论呢？要求y′x，只要求y′u 与u′x 的乘积，也就是说y′x=y′u·u′x.我们来证明一下下面的一个命题.［板书］1.设函数u=φ〔x 〕在点x 处有导数u′x=φ′〔x 〕，函数y=f 〔u 〕在点x 的对应点u 处有导数y′u=f′〔u 〕,那么复合函数y=f ［φ〔x 〕］在点x 处也有导数，且y′x=y′u·u′x 或者者f′x［φ〔x 〕］=f′〔u 〕φ′〔x 〕.证明：设x 有增量Δx，那么对应的u,y 分别有增量Δu,Δy,因为u=φ〔x 〕在点x 处可导，所以u=φ〔x 〕在点x 处连续.因此当Δx→0时，Δu→0.〔为了证明起来比较方便，而且在不影响结论的情况下，我们只考虑〕当Δu≠0时，由x u u y x y ∆∆⋅∆∆=∆∆，且uyu y x x ∆∆=∆∆→∆→∆00limlim ， ∴x u u y x y x x ∆∆⋅∆∆=∆∆→∆→∆00lim lim =xu u y x x ∆∆⋅∆∆→∆→∆00lim lim =xu u y x x ∆∆⋅∆∆→∆→∆00lim lim ， 即y′x=y′u·u′x.［师］所以对于一般的复合函数，结论也成立，以后我们求y′x 时，就可以转化为求yu′和u′x 的乘积，关键是找中间变量，随着中间变量的不同，难易程度也不同.上述证明的命题就是复合函数的求导法那么.2.复合函数的求导法那么复合函数对自变量的导数，等于函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数. 〔二〕课本例题［例1］求y=〔2x+1〕5的导数.〔让学生设中间变量〕解：设y=u5,u=2x+1，∴y′x=y′u·u′x=〔u5〕′u·〔2x+1〕′x=5u4·2=5〔2x+1〕4·2=10〔2x+1〕4.注意：在利用复合函数的求导法那么求导数后，要把中间变量换成自变量的函数.［师］有时复合函数可以由几个根本初等函数组成，所以在求复合函数的导数时，先要弄清复合函数是由哪些根本初等函数复合而成的，特别要注意将哪一部分看作一个整体，然后按照复合次序从外向内逐层求导.〔三〕精选例题［例1］［2021年高考21〔1〕］a＞0，n为正整数，设y=〔x-a〕n.证明：y′=n〔x-a〕n-1.分析：设y=un，u=x-a.∴y′x=y′u·u′x=nun-1·〔x-a〕′=n·〔x-a〕n-1·1=n〔x-a〕n-1.解：∵y=〔x-a〕n，可以设y=un，u〔x〕=x-a，∴y′x=y′u·u′x=〔un〕′·〔x-a〕′=n·un-1〔x′-a′〕=n〔x-a〕n-1·1=n〔x-a〕n-1.［例2］〔2021年高考模拟题〕设y=f〔sinx〕是可导函数，那么y′x等于〔〕A.f′〔sinx〕B.f′〔sinx〕cosxC.f〔sinx〕cosxD.f′〔cosx〕·cosx分析：该函数分两层，中间变量u=sinx，外层f〔u〕对u求导为f′〔u〕，而不是f′〔u′〕，内层函数u=sinx 对x 求导为cosx.解：令u=sinx,∴y′x=f′〔u 〕·u′x=f′〔sinx 〕·〔sinx 〕′=f′〔sinx 〕·cosx. 应选B.［例3］求f 〔x 〕=sinx2的导数.〔让学生设中间变量〕解：令y=f 〔x 〕=sinu,u=x2.∴y′x=y′u·u′x=〔sinu 〕′u·〔x2〕x′ =cosu·2x=cosx2·2x=2xcosx2.∴f′〔x 〕=2xcosx2.［例4］求y=sin2〔2x+3π〕的导数. 分析：设u=sin 〔2x+3π〕时，求u′x,但此时u 仍是复合函数，所以可再设v=2x+3π. 解：令y=u2,u=sin 〔2x+3π〕,再令u=sinv,v=2x+3π.∴y′x=y′u·u′x=y′u·〔u′v·v′x〕. ∴y′x=y′u·u′v·v′x=〔u2〕′u·〔sinv 〕′v·〔2x+3π〕′x =2u·cosv·2=2sin 〔2x+3π〕cos 〔2x+3π〕·2 =4sin 〔2x+3π〕cos 〔2x+3π〕=2sin 〔4x+32π〕,即y′x=2sin〔4x+32π〕.［例5］求y=32c bx ax ++的导数.［学生板演］解：令y=3u,u=ax2+bx+c.∴y′x=y′u·u′x=〔3u〕′u·〔ax2+bx+c 〕′x=31u 32-·〔2ax+b 〕 =31〔ax2+bx+c 〕32-·〔2ax+b 〕 =322)(32c bx ax b ax +++,即y′x=322)(32c bx ax b ax +++.［例6］求函数y=〔2x2-3〕21x +的导数.分析：y 可看成两个函数的乘积，2x2-3可求导，21x +是复合函数，可以先算出21x +对x 的导数.解：令y=uv,u=2x2-3,v=21x +.令v=ω,ω=1+x2.v′x=v′ω·ω′x=〔ω〕′ω·〔1+x2〕′x=21ω21-〔2x 〕=2122x x +=21xx +.∴y′x=〔uv 〕′x=u′xv+uv′x=〔2x2-3〕′x·21x ++〔2x2-3〕·21xx +=4x21x++23132xx x +-=2316xx x ++，即y′x=2316xx x ++.Ⅲ.课堂练习1.求以下函数的导数.〔先设中间变量，再求导〕〔1〕y=〔5x-3〕4;〔2〕y=〔2+3x〕5;〔3〕y=〔2-x2〕3;〔4〕y=〔2x3+x〕2.解：〔1〕令y=u4,u=5x-3.∴y′x=y′u·u′x=〔u4〕′u·〔5x-3〕′x=4u3·5=4〔5x-3〕3·5=20〔5x-3〕3.〔2〕令y=u5,u=2+3x.∴y′x=y′u·u′x=〔u5〕′u·〔2+3x〕′x=5u4·3=5〔2+3x〕4·3=15〔2+3x〕4.〔3〕令y=u3,u=2-x2.∴y′x=y′u·u′x=〔u3〕′u·〔2-x2〕′x=3u2·〔-2x〕=3〔2-x2〕2〔-2x〕=-6x〔2-x2〕2.〔4〕令y=u2,u=2x3+x.∴y′x=y′u·u′x=〔u2〕′u·〔2x3+x〕′x=2u·〔2·3x2+1〕=2〔2x3+x〕〔6x2+1〕=24x5+16x3+2x.2.〔1〕函数y=〔x+1〕2〔x-1〕在x=1处的导数为〔〕A.1B.2C.3D.4解析：∵y′=2〔x+1〕〔x-1〕+〔x+1〕2,∴y′|x=1=4,应选D.〔2〕〔2021年高考题〕函数f〔x〕在x=1处的导数为3,那么f〔x〕的解析式可能为〔〕A.f〔x〕=〔x-1〕3+3〔x-1〕B.f〔x〕=2〔x-1〕+3C.f〔x〕=2〔x-1〕2+3D.f〔x〕=x-1解析：检验每个选项,看哪一个函数在x=1处的导数为3.当f〔x〕=2〔x-1〕+3时,f′〔x〕=2;当f〔x〕=2〔x-1〕2+3时,f′〔x〕=4〔x-1〕;当f〔x〕=x-1时,f′〔x〕=1.故只有A适宜,所以选A.Ⅳ.课时小结这节课主要学习了复合函数的求导法那么.复合函数对自变量的导数，等于函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即y′x=y′u·u′x,并且在利用复数的求导法那么求导数后，最后结果要把中间变量换成自变量的函数.复合函数，可以是一个中间变量，也可以是两个或者者多个中间变量，应该按照复合次序从外向内逐层求导.Ⅴ.课后作业〔一〕课本P123习题1〔1〕〔2〕，2〔1〕〔2〕，3〔2〕.〔二〕1.预习内容：课本P122～123例2、例3.2.预习提纲：预习例2、例3的解题过程，复习稳固复合函数的求导法那么.板书设计3.4.1 复合函数的导数〔一〕1.设函数u=φ〔x 〕在点x 处有导数u′x=φ′〔x 〕，函数y=f 〔u 〕在点x 的对应点u 处有导数y′u=f′〔u 〕,那么复合函数y=f ［φ〔x 〕］在点x 处也有导数，且y′x=y′u·u′x 或者者f′x ［φ〔x 〕］=f′〔u 〕φ′〔x 〕.2.复合函数的求导法那么.复合函数对自变量的导数，等于函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数. 课本例题例1.求y=〔2x+1〕5的导数. 精选例题求以下函数的导数.例1.〔2021年高考题〕 例2.〔2021年高考模拟题〕 例3.f 〔x 〕=sinx2. 例4.y=sin2〔2x+3π〕. 例5.y=32c bx ax ++.例6.y=〔2x2-3〕21x +.课堂练习1.求以下函数的导数. 〔1〕y=〔5x-3〕4; 〔2〕y=〔2+3x 〕5; 〔3〕y=〔2-x2〕3; 〔4〕y=〔2x3+x 〕2. 2.课时小结课后作业。
高三数学 3.4复合函数的导数(第二课时)大纲人教版选修
高三数学 3.4复合函数的导数(第二课时)大纲人教版选修 课 题3.4.2 复合函数的导数（二）教学目标一,教学知识点复合函数的求导法则.二,能力训练要求能够利用复合函数的求导法则，求解一些复杂的函数的导数.三,德育渗透目标1.培养学生灵活运用知识的能力.2.培养学生综合运用知识的能力.教学重点利用复合函数的求导法则求函数的导数.教学难点如何设中间变量，弄清复合函数是由哪些基本函数复合而成，把哪一部分看成一个整体.求导的次序是由外向内.通过练习，能够熟练地掌握复合函数的求导法则. 教学方法讲练结合，以练为主.教学过程Ⅰ.课题导入 ［师］复合函数的求导法则是什么？［生］复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数. ［师］用公式如何表示？要注意什么？［生］y ′x =y ′u ·u x ′.利用复合函数的求导法则求导数后，要把中间变量换成自变量的函数. ［师］这节课我们还是来看一下利用复合函数的求导法则如何求一些复合函数的导数.Ⅱ.讲授新课 （一）课本例题［例2］求y =4)31(1x -的导数. ［师生共析］这道题如何设中间变量呢？可以设u =（1-3x ）4,这时u 仍是复合函数，再设v =1-3x .或者可以把y 看成y =（1-3x ）-4，这时只要设u =1-3x 就可以了. 解法一：令y =u1,u =（1-3x ）4. 再令u =v 4，v =1-3x .∴y ′x =y ′u ·u ′x =y ′u ·u ′v ·v ′x =（u 1）′u ·（v 4）′v ·（1-3x ）′x =21u -·4v 3·（-3） =-8)31(1x -·4·（1-3x ）3（-3）=5)31(12x -. 解法二：令y =u -4,u =1-3x .y ′x =y ′u ·u ′x =（u -4）′u （1-3x ）′x=-4u -5·（-3）=12（1-3x ）-5.［师］ 上述两种方法都求得正确结论，但是选取的中间变量不同，求导过程就有难易之分.所以求复合函数的导数，关键在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量.如果你们已经熟练掌握了复合函数的求导法则，那么中间步骤可以省略不写.［板书］解:y ′x =［（1-3x ）-4］′=-4（1-3x ）-5（-3）=12（1-3x ）-5.［例3］求y =51x x -的导数. 解：y =（x x-1）51,y ′=51（x x-1）54-·（x x-1）′=51（x x -1）54-·2)1()1(1x x x ----=515454)1(---x x·2)1(x x-=51x 54-（1-x ）56-.（二）精选例题［例1］求y =（ax -b sin 2ωx ）3对x 的导数. ［学生板演］解：y ′=3（ax -b sin 2ωx ）2·（ax -b sin 2ωx ）′=3（ax -b sin 2ωx ）2［a -（b sin 2ωx ）′］=3（ax -b sin 2ωx ）2［a -2b sin ωx ·（sin ωx ）′］=3（ax -b sin 2ωx ）2［a -2b sin ωx ·cos ωx ·ω］=3（ax -b sin 2ωx ）2（a -bω·sin2ωx ）.［例2］求y =sin n x cos nx 的导数.［学生板演］解：y ′=（sin n x ）′cos nx +sin n x （cos nx ）′=n sin n-1x ·cos nx +sin n x ·（-sin nx ）=n sin n-1x cos nx -sin n x sin nx .［学生点评］做得不正确.在第二步时还要对sin x 求导，以及对nx 也求导.［学生改正］解：y ′=（sin n x ）′cos nx +sin n x （cos nx ）′=n sin n-1x ·（sin x ）′cos nx +sin n x ·（-sin nx ）（nx ）′=n sin n-1x cos x cos nx -n sin n x sin nx=n sin n-1x （cos x cos nx -sin x sin nx ）=n sin n-1x cos （n +1）x .［师］不要忘了对中间变量还要进行求导.［例3］求函数y =-x 2（3x -2）（3-2x ）的导数.［学生分析］这是求三个函数乘积的导数，只要根据公式（uvω）′=u ′vω+uv ′ω+uvω′就可以求了.［学生板演］解：y ′=（-x 2）′（3x -2）（3-2x ）+（-x 2）（3x -2）′（3-2x ）+（-x 2）·（3x -2）（3-2x ）′=-2x （3x -2）（3-2x ）-x 2·3（3-2x ）-x 2（3x -2）（-2）=24x 3-39x 2+12x .［例4］某质点的运动方程是s=t 3-（2t -1）2,求在t =1 s 时的瞬时速度.解:∵s′=3t 2-2（2t -1）=3t 2-4t +2,∴t =1时,s′=3-2=1,即在t =1 s 时的瞬间速度为1.［例5］已知函数f （x ）=（n 1+x ）n （n ∈N *）. （1）求f ′（x ）；（2）判断f （n ）-f （n -n 1）与n n f )('的大小，并且证明.分析：（1）利用定义或复合函数的求导的方法求解.（2）利用二项式定理展开，分别求展开式中各项的极限.（1）解法一：∵f （x ）=（n 1+x ）n ，∴令u =n 1+x ,f =u n .∴f ′（x ）=f ′u ·u ′x =（u n ）′·（n 1+x ）′=nu n-1·1=nu n-1=n （n 1+x ）n-1.解法二：也可以先用二项式定理展开，再求导数.∵f （x ）=（n 1+x ）n ，∴f （x ）=C 0n ·（n 1）n +C 1n ·（n 1）n-1x +C 2n ·（n 1）n-2·x 2+…+C n n ·x n .∴f ′（x ）=0+C 1n ·（n 1）n-1+2C 2n ·（n 1）n-2·x +…+n C n n ·x n-1.又k C k n =n ·C 11--k n ,k =0,1,2,…,n ,∴f ′（x ）=n C 01-n （n 1）n-1+n C 11-n （n 1）n-2x +…+n C 11--n n x n-1=n ［C 01-n （n 1）n-1+C 11-n （n 1）n-2x +…+C 11--n n x n-1］=n （n 1+x ）n-1.（2）证f （n ）-f （n -n 1）≤n n f )(',∵f （n ）-f （n -n 1）=（n 1+n ）n -n n ,n n f )('=（n 1+n ）n-1, 故只需证（n 1+n ）n -n n ≤（n1+n ）n-1, 即证C 0n （n 1）n +C 1n （n 1）n-1·n +…+C 1-n n （n 1）·n n-1≤C 01-n ·（n 1）n-1+C 11-n （n1）n-2·n +…+C 11--n n ·n n-1.（*）∵0≤k ≤n -1,∴k n -1≤1.∵k n nC nC nC C n n C n n C kn k n kn k n kk n k n kkn k n -===⋅⋅⋅--------1)1()1(111111，∴C k n （n 1）n -k ·n k ≤C k n 1-（n 1）n -k -1·n k.∴（*）式成立，即f （n ）-f （n -n 1）≤n n f )(',当且仅当n =1时取“=”.Ⅲ.课堂练习1.求下列函数的导数.（1）y =32)12(1-x ;（2）y =4131+x ;（3）y =sin （3x -6π）;（4）y =cos （1+x 2）.（1）解：y =32)12(1-x =（2x 2-1）-3,y ′=［（2x 2-1）-3］′=-3（2x 2-1）-4（2x 2-1）′=-3（2x 2-1）-4（4x ）=-12x （2x 2-1）-4.（2）解：y =4131+x =（131+x ）41=（3x +1）41-,y ′=［（3x +1）41-］′=-41（3x +1）45-（3x +1）′ =-41（3x +1）45-·3=-43（3x +1）45-. ［师］有的函数要先进行变形，化成幂函数的形式，这样求导起来会比较方便.（3）解：y ′=［sin （3x -6π）］′ =cos （3x -6π）（3x -6π）′ =cos （3x -6π）·3=3cos （3x -6π）. （4）解：y ′=［cos （1+x 2）］′=-sin （1+x 2）（1+x 2）′=-sin （1+x 2）·2x =-2x sin （1+x 2）.2.下列函数中，导数不等于21sin2x 的是（D ） A.2-41cos2x B.2+21sin 2x C.21sin 2x D.x -21cos 2x 解析：A ：（2-41cos2x ）′=0-41（-sin2x ）（2x ）′ =41sin2x ·2=21sin2x . B:（2+21sin 2x ）′=0+21·2sin x ·（sin x ）′=21·2·sin x ·cos x =21sin2x . C:（21sin 2x ）′=21·2sin x （sin x ）′ =21·2sin x cos x =21sin2x . D:（x -21cos 2x ）′=1-21·2cos x （cos x ）′=1-21·2cos x （-sin x ）=1+21sin2x . 3.设函数f （x ）=（x -a ）3,曲线y =f （x ）在点P （x 1,f （x 1））与点Q （x 2,f （x 2））处的切线互相平行,且两切线斜率的取值范围是［3,6］,则弦PQ 在x 轴上的射影长的取值范围为（D ）A.［1,2］B.［2,3］C.［1,2］D.［2,22］ 解析：∵f ′（x ）=3（x -a ）2,f （x ）在P （x 1,f （x 1））,Q （x 2,f （x 2））处的切线平行,∴f ′（x 1）=f ′（x 2）.∴3（x 1-a ）2=3（x 2-a ）2.∴x 12-2ax 1+a 2=x 22-2ax 2+a 2.∴（x 1+x 2）（x 1-x 2）-2a （x 1-x 2）=0.∴（x 1-x 2）（x 1+x 2-2a ）=0.又∵x 1≠x 2,∴x 1+x 2=2a .设P ,Q 在x 轴上的射影为P 1,Q 1,∴P 1,Q 1关于点（a ,0）对称.∴|P 1Q 1|=|x 1-x 2|=|x 1-a +a -x 2|=|x 1-a |+|a -x 2|=|x 1-a |+|x 2-a |.又∵f ′（x 1）=f ′（x 2）∈［3,6］,∴1≤（x 1-a ）2≤2,1≤（x 2-a ）2≤2.∴1≤|x 1-a |≤2,1≤|x 2-a |≤2.∴|P 1Q 1|=|x 1-a |+|x 2-a |∈［2,22］.故选D.4.求y =21x x -的导数. 解：y ′=（21x x -）′ =2222)1()1(1x x x x x -'---'=2221221)1()1(211x x x x x -'--⋅---=2221)2(1211x x x x x ---⋅--=2222111x x x x --+-=2322222)1(1)1(11x x x x x -=-⋅-+- =（1-x 2）23-.Ⅳ.课时小结这节课主要复习巩固了如何运用复合函数的求导法则进行求导.求复合函数的导数，关键在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量.一些根式函数或分母上是幂函数分子为常数的分式函数，通常经过变形，转化成幂函数，这样求导起来会比较方便.利用幂函数的求导公式.Ⅴ.课后作业一,课本P 123习题3.4 1（3）（4）,2（3）（4）,3（1）.二,1.预习内容：课本P 123～124对数函数的导数.2.预习提纲：（1）（ln x ）′=x 1考虑证明过程，可用结论0lim →x （1+x ）x1=e.（2）（log a x ）′=x 1log a e.板书设计3.4.2 复合函数的导数（二）课本例题例2.求y =4)31(1x -的导数.（两种方法）例3.求y =51x x -的导数.精选例题例1.求y =（ax -b sin 2ωx ）3对x 的导数.例2.求y =sin n x cos nx 的导数.例3.求y =-x 2（3x -2）（3-2x ）的导数.例4.例5.课堂练习1.求下列函数的导数.（1）y =32)12(1-x ；（2）y =4131+x ；（3）y =sin （3x -6π）；（4）y =cos （1+x 2）.2.下列函数中，导数不等于21sin2x 的是（ ）A.2-41cos2xB.2+21sin 2xC.21sin 2xD.x -21cos 2x3.4.求y =21x x 的导数.课时小结课后作业。
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复合函数导数、定积分
南京市第十三中学 周 德 编写
一、考试说明要求：
二、应知应会知识和方法：
1．求下列复合函数的导数
（1）y ＝ln(x ＋2) （2）y ＝sin(2x ＋π3
) 解（1）y ＇＝１x ＋2
（2）y ＇＝2cos(2x ＋π3) 说明 简单的复合函数中仅限于形如f (ax+b )的导数．
2．已知x ＞0，比较2x 与ln(2x ＋1)的大小．
解 2x ＞ln(2x ＋1)．
说明 利用函数f (x )＝2x －ln(2x ＋1)的导数，研究其单调性，进而说明其恒大于0．
3．计算抛物线y ＝x 2－2x ＋3与直线y ＝x ＋3所围成的图形的面积．
解 如图，由⎩⎨⎧y =x 2－2x ＋3，y =x ＋3．
解得x 1＝0，x 2＝3． 因此，所求图形的面积是S ＝⎠⎛0
3[(x ＋3)－(x 2－2x ＋3)]dx ＝(－13x 3＋32x 2)|30＝92
．
4．已知f (x )＝ax －ln(－x )，x ∈[－e ，0)，其中e 是自然常数，a ∈R ．
（1）讨论a ＝－1时, 求f (x )的单调性、极值；
（2）是否存在实数a ，使f (x )的最小值是3，如果存在，求出a 的值；如果不存在，说明理由．
（1）因为 f (x )＝－x －ln(－x )，f ＇(x )＝－１－1x
， 当－e<x <－1时，f ＇(x )<0，当－1<x <0时，f ＇(x )>0，
所以f (x )在(－e ，－1)为单调递减，在(－1，0)为单调递增．
所以f (x )的极小值为f (－1)＝1．
（2）假设存在实数a ，使f (x )＝ax －ln(－x )有最小值3，
f ＇(x )＝a －1x
， ①当a ≥－1e 时，由于x ∈[－e ，0)，则f ＇(x )＝a －1x
≥0，
x
函数f (x )＝ax －ln(－x )在[－e ，0)上为增函数，
所以f (x )min ＝f (－e)＝－a e －1＝3．
解得a ＝－4e <－1e
（舍去）． ②当a <－ 1时， 所以f (x )min ＝f (1a )＝1－1n(－ 1a
)＝3． 解得a ＝－e 2．
所以a ＝－e 2．。